ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ sh – Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

64. Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ постоянной.

ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π΅ самой ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ , Π³Π΄Π΅ x β€“ любоС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, x β€“ любоС число ΠΈΠ· области опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΈ :

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° получаСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ΡΡΠ½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ноль Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ноль, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² числитСлС находится Π½Π΅ бСсконСчно малая Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ноль. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ постоянной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ всСгда Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ постоянной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π½Π° всСй области опрСдСлСния.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ , Π³Π΄Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни p β€“ любоС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ сначала Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ показатСля стСпСни, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, для 

p = 1, 2, 3, …

Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ приращСния стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°:

Для упрощСния выраТСния Π² числитСлС обратимся ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°:

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

Π­Ρ‚ΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ показатСля.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½Π° основС опрСдСлСния:

ΠŸΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΈ ΠΊ нСопрСдСлСнности. Для Π΅Π΅ раскрытия Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ , ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° . Π’ послСднСм ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΌΡ‹ использовали Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ подстановку Π² исходный ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»:

Если Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для всСх x ΠΈΠ· области опрСдСлСния ΠΈ всСх допустимых значСниях основания 

a Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

Как Π’Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ прСобразования ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ с использованиСм свойств Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. РавСнство ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ Π² силу Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Для Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΌ придСтся Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π».

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ .

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ разности синусов:

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin x Π΅ΡΡ‚ΡŒ cos x.

ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ доказываСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ косинуса.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ cos x Π΅ΡΡ‚ΡŒ β€“sin x.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… для тангСнса ΠΈ котангСнса ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ с использованиСм Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» диффСрСнцирования (производная Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ).

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ гипСрболичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ вывСсти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… гипСрболичСского синуса, косинуса, тангСнса ΠΈ котангСнса.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ изучСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ свойства ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ индСксС Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ выполняСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, β€” это производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) ΠΏΠΎ x.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ сформулируСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x) ΠΈ x = g(y) Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствСнно. Если Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ конСчная отличная ΠΎΡ‚ нуля производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 

f(x), Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ конСчная производная ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ g(y), ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ . Π’ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ записи .

МоТно это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для любого x ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° , Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ .

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ».

НайдСм ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ для Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° (здСсь y β€“ функция, Π° xβ€” Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚). Π Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ² это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ x, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ (здСсь x β€“ функция, Π° y β€“ Π΅Π΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚). Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ .

УбСдимся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ приводят нас ΠΊ этим ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ:

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅ΠΌ знаниями для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

НачнСм с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ арксинуса.

Для ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ являСтся . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ провСсти прСобразования.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ арксинуса являСтся ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» , Ρ‚ΠΎ (смотритС Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ элСмСнтарныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΡ… свойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ , Π° Π½Π΅ рассматриваСм.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, . ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ арксинуса являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ (-1; 1).

Для арккосинуса всС дСлаСтся Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ:

НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ арктангСнса.

Для ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ являСтся .

Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ арктангСнс Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· арккосинус, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ arctgx = z, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

Π‘Ρ…ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ находится производная арккотангСнса:

studfiles.net

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… полная для студСнтов ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

Если x β€” нСзависимая пСрСмСнная, Ρ‚ΠΎ:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
β€”

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ экспонСнты

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
β€”
 

dpva.ru

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π Π°Π·Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ структуру обучСния Π‘Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ структуру обучСния

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅:

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования:
  1. (sin x )’ = cos x 
    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ синуса ΠΎΡ‚ икс Ρ€Π°Π²Π½Π° косинусу ΠΎΡ‚ икс
  2. (cos x )’ = -sin x 
    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ косинуса ΠΎΡ‚ икс Ρ€Π°Π²Π½Π° минус синус икс
  3. (tg x)’ = 1/ cos2x = 1 + tg2
    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ тангСнса ΠΎΡ‚ икс ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ 
    • Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° косинус ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ икс
    • Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ плюс тангСнс ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ икс
  4. (ctg x)’ = β€” 1/ sin2x = -(1 + ctg2 x) 
    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ котангСнса ΠΎΡ‚ икс, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ двумя выраТСниями: 
    • минус Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° синус ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ икс
    • минус сумму Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ котангСнса ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ икс
  5. (arcsin x)’ = 1/(√(1-x2))
    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арксинуса
    икс Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· разности Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ икс ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚
  6. (arccos x)’ = -1/(√(1-x2))
    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккосинуса ΠΈΠΊΡ Ρ€Π°Π²Π½Π° минус Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· разности Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ икс ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚
  7. ( arctg x )’ = 1 / ( 1 + x2
    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арктангСнса ΠΎΡ‚ икс Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Π² числитСлС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ находится Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° плюс икс ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚
  8. ( arcctg x )’ = -1 / ( 1 + x2
    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккотангСнса ΠΎΡ‚ икс Ρ€Π°Π²Π½Π° минус Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° сумму Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ икс ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚
  9. (sex x)’ = tg x sec x
    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ сСканса ΠΎΡ‚ икс Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ тангСнса икс ΠΈ сСканса икс
  10. (cosec x)’ = -ctg x cosec x
    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ косСканса ΠΎΡ‚ икс Ρ€Π°Π²Π½Π° минус котангСнс икс ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° косСканс икс
  11. (arcsec x)’ = 1 / (|x|√(x
    2
     -1))
    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арксСканса икс Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Π² числитСлС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ модуля икс ΠΈ корня ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ разности икс ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹
  12. (arccosec x)’ = β€” 1 / (|x|√(x2 -1)) 
    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккосСканса ΠΈΠΊΡ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Π² числитСлС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ минус Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ модуля икс ΠΈ корня ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ разности икс ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹
 Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ логарифмичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ | ОписаниС курса | ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ числа 

   

profmeter.com.ua

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… β€” Π½ΡƒΠΆΠ½Π° для вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ являСтся ваТнСйшая опСрация Π² Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ исчислСнии. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ смоТСтС быстро Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ называСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ (ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ prime ΠΈΠ»ΠΈ

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ диффСрСнцирования

Π’ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… u ΠΈ v β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° c β€” константа. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» диффСрСнцирования, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½ΠΈΠΆΠ΅, Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ достаточно для диффСрСнцирования любой элСмСнтарной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

(производная постоянного числа)

(производная суммы)

(производная произвСдСния)

(производная Π΄ΠΎΠ»ΠΈ)

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ константы

Π³Π΄Π΅

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ экспонСнты

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ косинуса

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ синуса

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ тангСнса

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ котангСнса

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ гипСрболичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Или Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ

Или стоит Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная?

cubens.com

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

На Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ страницС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ мноТСство ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π΅Ρ‘ использования.

Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· списка Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄Π°Π½Π° ссылка, ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… описано, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ сайт ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°.Π Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ, Π³Π΄Π΅ просто ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° этом сайтС ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅!

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°

НиТС Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ прСдставлСны ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ рядом ссылки Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ примСнСния Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Бинус

sin(x)

(sin(x))’ = cos(x)

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ

cos(x)

(cos(x))’ = β€” sin(x)

ВангСнс

tg(x)

(tg(x))’ = tg^2(x) + 1

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

sqrt(x)

(sqrt(x))’ = 1/2*1/sqrt(x)

Π”Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ

1/x

(1/x)’ = -1/x^2

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ

a^x

(a^x)’ = a^x*ln(a)

БтСпСнная

x^n

(x^n)’ = n*x^(n-1)

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

ln(x)

(ln(x))’ = 1/x

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚

x^2

(x^2)’ = 2*x

АрктангСнс

arctg

(arctg(x))’ = 1/(x^2 + 1)

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

По ссылкС http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π±Π΅Π· всякого использования Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ лишний Ρ€Π°Π· Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ сайт ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π Ρƒ Π² практичСском смыслС.

www.kontrolnaya-rabota.ru

ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° школьников ΠΊ Π•Π“Π­ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΌ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» (Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ β€” Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

     Π’ычислСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… основано Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π², ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° выходят Π·Π° Ρ€Π°ΠΌΠΊΠΈ школьного курса ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

      ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 1 (производная ΠΎΡ‚ произвСдСния числа Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ). Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ равСнство

(c f (x))’ = c f β€˜ (x) ,

Π³Π΄Π΅  c – любоС число.

      Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, производная ΠΎΡ‚ произвСдСния числа Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ этого числа Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

      ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 2 (производная суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ). ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

(f (x) + g (x))’ = f β€˜ (x) + g’ (x),

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ производная ΠΎΡ‚ суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

      ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 3 (производная разности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ). ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ разности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

(f (x) – g (x))’ = f β€˜ (x) – g’ (x),

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ производная ΠΎΡ‚ разности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° разности ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

      ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 4 (производная произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ). ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

(f (x) g (x))’ =
= f β€˜ (x) g (x) + f (x) g’ (x),

      Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, производная ΠΎΡ‚ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, плюс пСрвая функция, умноТСнная Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

      ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 5 (производная частного Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ). ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ (частного Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ) вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

      ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   f (x)   ΠΈ   g (x) .  Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Β«Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ» Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²ΠΈΠ΄Π°

f (g (x))

ΠŸΡ€ΠΈ этом Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ   f (x)   Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ   g (x)  – Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

      ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 6 (производная слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ). ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

[ f (g (x))]’ = f β€˜ (g (x)) g’ (x)

      Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   f (g (x))   Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅   x   Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅   g (x) ,   Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅   x .

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

      Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ стСпСнных, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… (ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…), логарифмичСских, тригономСтричСских ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° ΠΈΡ… этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π·Π° Ρ€Π°ΠΌΠΊΠΈ школьного курса ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

ЀункцияЀормула для производнойНазваниС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

y = c ,

Π³Π΄Π΅  c – любоС число

y’ = 0ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ постоянной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

y = x c ,

Π³Π΄Π΅  c – любоС число

y’ = c xc – 1ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
y = e xy’ = e xΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ экспонСнты (ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с основаниСм   e)

y = a x

Π³Π΄Π΅  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

y’ = a x ln aΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с основаниСм   a
y = ln x ,   x > 0,   x > 0ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

y = log a x ,   x > 0

Π³Π΄Π΅  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

,   x > 0ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎ основанию   a
y = sin xy’ = cos xΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ синуса
y = cos xy’ = – sin xΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ косинуса

y = tg x ,

,ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ тангСнса

y = ctg x ,

,ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ котангСнса

y = arcsin x ,

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арксинуса

y = arccos x ,

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккосинуса
y = arctg xΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арктангСнса
y = arcctg xΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккотангСнса
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ постоянной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Ѐункция:

y = c ,

Π³Π΄Π΅  c – любоС число

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = 0

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Ѐункция:

y = x c ,

Π³Π΄Π΅  c – любоС число

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = c xc – 1

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ экспонСнты (ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с основаниСм   e)

Ѐункция:

y = e x

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = e x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с основаниСм   a

Ѐункция:

y = a x

Π³Π΄Π΅  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = a x ln a

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

Ѐункция:

y = ln x ,   x > 0

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,   x > 0
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎ основанию   a

Ѐункция:

y = log a x ,   x > 0

Π³Π΄Π΅  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,   x > 0
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ синуса

Ѐункция:

y = sin x

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = cos x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ косинуса

Ѐункция:

y = cos x

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = – sin x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ тангСнса

Ѐункция:

y = tg x ,

Π³Π΄Π΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ котангСнса

Ѐункция:

y = ctg x ,

Π³Π΄Π΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арксинуса

Ѐункция:

y = arcsin x ,

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккосинуса

Ѐункция:

y = arccos x ,

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арктангСнса

Ѐункция:

y = arctg x

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккотангСнса

Ѐункция:

y = arcctg x

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

      Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

      Π’ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… строках (с ΠΆΠ΅Π»Ρ‚Ρ‹ΠΌ Ρ„ΠΎΠ½ΠΎΠΌ) ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° внутрСнняя функция являСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄   f (x) = kx + b , Π³Π΄Π΅  k  ΠΈ  b  – Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ числа, .

ЀункцияЀормула для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

y = (kx + b) c ,

Π³Π΄Π΅  c – любоС число.

y’ = kc (kx + b) c – 1 ,

y = ( f (x)) c ,

Π³Π΄Π΅  c – любоС число.

y = ekx + by = kekx + b
y = e f (x)

y = akx + b

Π³Π΄Π΅  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

y = a f (x)

Π³Π΄Π΅  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

y = ln (kx + b) ,   kx + b > 0,

kx + b > 0

y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0,

f (x) > 0

y = log a (kx + b) ,   kx + b > 0

Π³Π΄Π΅  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

,   kx + b > 0

y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0

Π³Π΄Π΅  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

,   f (x) > 0
y = sin (kx + b)y’ = k cos (kx + b)
y = sin ( f (x))
y = cos (kx + b)y’ = – k sin (kx + b)
y = cos ( f (x))

y = tg (kx + b),

Π³Π΄Π΅

,

y = tg ( f (x)),

Π³Π΄Π΅

,

y = ctg (kx + b),

Π³Π΄Π΅

,

y = ctg ( f (x)),

Π³Π΄Π΅

,
y = arcsin (kx + b),
y = arcsin ( f (x)),
y = arccos (kx + b),
y = arccos ( f (x)),
y = arctg (kx + b)
y = arctg ( f (x))
y = arcctg (kx + b)
y = arcctg ( f (x))

Ѐункция:

y = (kx + b) c ,

Π³Π΄Π΅  c – любоС число.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = kc (kx + b) c – 1 ,

Ѐункция:

y = ( f (x)) c ,

Π³Π΄Π΅  c – любоС число.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = ekx + b

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y = kekx + b

Ѐункция:

y = e f (x)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = akx + b

Π³Π΄Π΅  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = a f (x)

Π³Π΄Π΅  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = ln (kx + b) ,   kx + b > 0

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,   kx + b > 0

Ѐункция:

y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,   f (x) > 0

Ѐункция:

y = log a (kx + b) ,   kx + b > 0

Π³Π΄Π΅  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,   kx + b > 0

Ѐункция:

y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0

Π³Π΄Π΅  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,   f (x) > 0

Ѐункция:

y = sin (kx + b)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = k cos (kx + b)

Ѐункция:

y = sin ( f (x))

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = cos (kx + b)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = – k sin (kx + b)

Ѐункция:

y = cos ( f (x))

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = tg (kx + b),

Π³Π΄Π΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,

Ѐункция:

y = tg ( f (x)),

Π³Π΄Π΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,

Ѐункция:

y = ctg (kx + b),

Π³Π΄Π΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,

Ѐункция:

y = ctg ( f (x)),

Π³Π΄Π΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,

Ѐункция:

y = arcsin (kx + b),

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = arcsin ( f (x)),

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = arccos (kx + b),

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = arccos ( f (x)),

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = arctg (kx + b)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = arctg ( f (x))

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = arcctg (kx + b)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = arcctg ( f (x))

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

      На нашСм сайтС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ прСподаватСлями ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

    ΠŸΡ€ΠΈΠ³Π»Π°ΡˆΠ°Π΅ΠΌ школьников (ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вмСстС с родитСлями) Π½Π° бСсплатноС тСстированиС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ для ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ° Β«ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ½Ρ‹ΠΌΠΈΒ».

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Ρƒ (495) 509-28-10

      Для школьников, ΠΆΠ΅Π»Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈ ΡΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ русскому языку Π½Π° высокий Π±Π°Π»Π», ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚

      Π£ нас Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ для школьников ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹

ΠœΠžΠ‘ΠšΠ’Π, Π‘Π’ΠΠž, Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Β«Π Π•Π—ΠžΠ›Π¬Π’Π•ΠΠ’ΠΒ»

www.resolventa.ru

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ частного. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

  

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ экспонСнты

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  

 
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

 

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

  


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ синуса


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ косинуса

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ косСканса

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ сСканса


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арксинуса

 
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккосинуса


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арксинуса
 
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккосинуса

 
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ тангСнса


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ котангСнса


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арктангСнса


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккотангСнса

 
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арктангСнса

 
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккотангСнса


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арксСканса

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккосСканса

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арксСканса

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккосСканса
  


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ гипСрболичСского синуса


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ гипСрболичСского синуса Π² английской вСрсии


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ гипСрболичСского косинуса


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ гипСрболичСского косинуса Π² английской вСрсии


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ гипСрболичСского тангСнса


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ гипСрболичСского котангСнса

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ гипСрболичСского сСканса

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ гипСрболичСского косСканса

tehtab.ru

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *