64. Вывод табличных производных. Производная постоянной.
При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :
Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.
Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения.
Производная степенной функции.
Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.
Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для
Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:
Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:
Следовательно, 
Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.
Производная показательной функции.
Вывод формулы производной приведем на основе определения:
Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.
Выполним
подстановку в исходный предел: 
Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:
Производная логарифмической функции.
Докажем
формулу производной логарифмической
функции для всех x из
области определения и всех допустимых
значениях основания a логарифма.
По определению производной имеем: 
Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.
Производные тригонометрических функций.
Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.
По определению производной для функции синуса имеем .
Воспользуемся
формулой разности синусов: 
Осталось обратиться к первому замечательному пределу:
Таким образом, производная функции sin x есть cos x.
Абсолютно
аналогично доказывается формула
производной косинуса. 
Следовательно, производная функции cos x есть –sin x.
Вывод
формул таблицы производных для тангенса
и котангенса проведем с использованием
доказанных правил дифференцирования
(производная
дроби).
Производные гиперболических функций.
Правила
дифференцирования и
формула производной показательной
функции из таблицы производных позволяют
вывести формулы производных гиперболического
синуса, косинуса, тангенса и котангенса. 
Производная обратной функции.
Перед началом изучения данной статьи рекомендуем вспомнить определение и свойства обратной функции.
Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, — это производная функции f(x) по x.
Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.
Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x), то в точке существует конечная производная обратной функции g(y), причем . В другой записи .
Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .
Давайте проверим справедливость этих формул.
Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x— аргумент). Разрешив это уравнение относительно x, получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.
Из таблицы производных видим, что и .
Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:
Как видите, получили такие же результаты как и в таблице производных.
Теперь мы обладаем знаниями для доказательства формул производных обратных тригонометрических функций.
Начнем с производной арксинуса.
Для обратной функцией является . Тогда по формуле производной обратной функции получаем
Осталось провести преобразования.
Так как областью значений арксинуса является интервал , то (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). Поэтому , а не рассматриваем.
Следовательно, . Областью определения производной арксинуса является промежуток (-1; 1).
Для арккосинуса все делается абсолютно аналогично:
Найдем производную арктангенса.
Для обратной функцией является .
Выразим арктангенс через арккосинус, чтобы упростить полученное выражение.
Пусть arctgx
= z,
тогда 
Следовательно,
Схожим образом находится производная арккотангенса:
studfiles.net
| Если x — независимая переменная, то: | |
Производная степенной функции |
Производная степенной функции |
| — | |
Производная экспоненциальной функции |
Производная экспоненты |
Производная сложной экспоненциальной функции |
Производная экспоненциальной функции |
| — | |
dpva.ru
| Развернуть структуру обучения | Свернуть структуру обучения |
См. также: Таблица производных тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций Для нахождения производных от тригонометрических функций применяют следующие правила дифференцирования:
|
profmeter.com.ua
Таблица производных элементарных функций, производная функции
Таблица производных — нужна для вычисления производной, что в свою очередь является важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Поэтому используя таблицу производных вы сможете быстро решить любую задачу.
Определение: Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (можно обозначить prime или
Общие формулы дифференцирования
В данных приведенных формулах u и v — произвольные дифференцируемые функции, а c — константа. Формул дифференцирования, что приведены ниже, абсолютно достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.
(производная постоянного числа)
(производная суммы)
(производная произведения)
(производная доли)
Таблица производных элементарных функций
Производная от константы
где
Производная степенной функции
Производная показательной функции
Производная экспоненты
Производная логарифма
Производная натурального логарифма
Производная косинуса
Производная синуса
Производная тангенса
Производная котангенса
Производные обратных тригонометрических функций
Производные гиперболических функций
Можете узнать производную сложной функции
Или найти вторую производную
Или стоит лучше понять, что такое производная?
cubens.com
Таблица производных
На данной странице будет приведена таблица производных, а также множество примеров её использования.
Для каждой типовой производной из списка будет дана ссылка, по каждой из которых описано, как же использовать сайт Контрольная работа.Ру, чтобы посчитать более сложные производные
Также вы можете посмотреть видео, где просто понять, как решать производные с помощью калькуляторов на этом сайте и как получить подробное решение!
Таблица
Ниже в таблице представлены производные, а также рядом ссылки на примеры применения таблицы и калькулятора для решения более сложных функций
Синус
sin(x)
(sin(x))’ = cos(x)
Косинус
cos(x)
(cos(x))’ = — sin(x)
Тангенс
tg(x)
(tg(x))’ = tg^2(x) + 1
Корень
sqrt(x)
(sqrt(x))’ = 1/2*1/sqrt(x)
Дробь
1/x
(1/x)’ = -1/x^2
Показательная
a^x
(a^x)’ = a^x*ln(a)
Степенная
x^n
(x^n)’ = n*x^(n-1)
Натуральный логарифм
ln(x)
(ln(x))’ = 1/x
Квадрат
x^2
(x^2)’ = 2*x
Арктангенс
arctg
(arctg(x))’ = 1/(x^2 + 1)
Подробное решение производной
По ссылке http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/ вы можете получить подробное решение производной без всякого использования таблицы производных, что лишний раз говорит о том, что удобно использовать сайт Контрольная работа Ру в практическом смысле.
www.kontrolnaya-rabota.ru
Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Элементы математического анализа
Правила вычисления производных
Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.
Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство
(c f (x))’ = c f ‘ (x) ,
где c – любое число.
Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.
Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле
(f (x) + g (x))’ = f ‘ (x) + g’ (x),
то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.
Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле
(f (x) – g (x))’ = f ‘ (x) – g’ (x),
то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.
Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле
(f (x) g (x))’ =
= f ‘ (x) g (x) + f (x) g’ (x),
Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.
Правило 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле
Определение. Рассмотрим функции f (x) и g (x) . Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида
f (g (x))
При этом функцию f (x) называют внешней функцией, а функцию g (x) – внутренней функцией.
Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле
[ f (g (x))]’ = f ‘ (g (x)) g’ (x)
Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x .
Таблица производных часто встречающихся функций
В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.
| Функция | Формула для производной | Название формулы |
y = c , где c – любое число | y’ = 0 | Производная от постоянной функции |
y = x c , где c – любое число | y’ = c xc – 1 | Производная степенной функции |
| y = e x | y’ = e x | Производная от экспоненты (показательной функции с основанием e) |
y = a x где a – любое положительное число, не равное 1 | y’ = a x ln a | Производная от показательной функции с основанием a |
| y = ln x , x > 0 | , x > 0 | Производная от натурального логарифма |
y = log a x , x > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 | , x > 0 | Производная от логарифма по основанию a |
| y = sin x | y’ = cos x | Производная синуса |
| y = cos x | y’ = – sin x | Производная косинуса |
y = tg x , | , | Производная тангенса |
y = ctg x , | , | Производная котангенса |
y = arcsin x , | Производная арксинуса | |
y = arccos x , | Производная арккосинуса | |
| y = arctg x | Производная арктангенса | |
| y = arcctg x | Производная арккотангенса |
| Производная от постоянной функции |
Функция: y = c , где c – любое число Формула для производной: y’ = 0 |
| Производная степенной функции |
Функция: y = x c , где c – любое число Формула для производной: y’ = c xc – 1 |
| Производная от экспоненты (показательной функции с основанием e) |
Функция: y = e x Формула для производной: y’ = e x |
| Производная от показательной функции с основанием a |
Функция: y = a x где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной: y’ = a x ln a |
| Производная от натурального логарифма |
Функция: y = ln x , x > 0 Формула для производной: , x > 0 |
| Производная от логарифма по основанию a |
Функция: y = log a x , x > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной: , x > 0 |
| Производная синуса |
Функция: y = sin x Формула для производной: y’ = cos x |
| Производная косинуса |
Функция: y = cos x Формула для производной: y’ = – sin x |
| Производная тангенса |
Функция: y = tg x , где Формула для производной: , |
| Производная котангенса |
Функция: y = ctg x , где Формула для производной: , |
| Производная арксинуса |
Функция: y = arcsin x , Формула для производной: |
| Производная арккосинуса |
Функция: y = arccos x , Формула для производной: |
| Производная арктангенса |
Функция: y = arctg x Формула для производной: |
| Производная арккотангенса |
Функция: y = arcctg x Формула для производной: |
Таблица производных сложных функций
В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.
В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид f (x) = kx + b , где k и b – любые числа, .
| Функция | Формула для производной |
y = (kx + b) c , где c – любое число. | y’ = kc (kx + b) c – 1 , |
y = ( f (x)) c , где c – любое число. | |
| y = ekx + b | y = kekx + b |
| y = e f (x) | |
y = akx + b где a – любое положительное число, не равное 1 | |
y = a f (x) где a – любое положительное число, не равное 1 | |
| y = ln (kx + b) , kx + b > 0 | , kx + b > 0 |
| y = ln ( f (x)) , f (x) > 0 | , f (x) > 0 |
y = log a (kx + b) , kx + b > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 | , kx + b > 0 |
y = log a ( f (x)) , f (x) > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 | , f (x) > 0 |
| y = sin (kx + b) | y’ = k cos (kx + b) |
| y = sin ( f (x)) | |
| y = cos (kx + b) | y’ = – k sin (kx + b) |
| y = cos ( f (x)) | |
y = tg (kx + b), где | , |
y = tg ( f (x)), где | , |
y = ctg (kx + b), где | , |
y = ctg ( f (x)), где | , |
| y = arcsin (kx + b), | |
| y = arcsin ( f (x)), | |
| y = arccos (kx + b), | |
| y = arccos ( f (x)), | |
| y = arctg (kx + b) | |
| y = arctg ( f (x)) | |
| y = arcctg (kx + b) | |
| y = arcctg ( f (x)) |
Функция: y = (kx + b) c , где c – любое число. Формула для производной: y’ = kc (kx + b) c – 1 , |
Функция: y = ( f (x)) c , где c – любое число. Формула для производной: |
Функция: y = ekx + b Формула для производной: y = kekx + b |
Функция: y = e f (x) Формула для производной: |
Функция: y = akx + b где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной: |
Функция: y = a f (x) где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной: |
Функция: y = ln (kx + b) , kx + b > 0 Формула для производной: , kx + b > 0 |
Функция: y = ln ( f (x)) , f (x) > 0 Формула для производной: , f (x) > 0 |
Функция: y = log a (kx + b) , kx + b > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной: , kx + b > 0 |
Функция: y = log a ( f (x)) , f (x) > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной: , f (x) > 0 |
Функция: y = sin (kx + b) Формула для производной: y’ = k cos (kx + b) |
Функция: y = sin ( f (x)) Формула для производной: |
Функция: y = cos (kx + b) Формула для производной: y’ = – k sin (kx + b) |
Функция: y = cos ( f (x)) Формула для производной: |
Функция: y = tg (kx + b), где Формула для производной: , |
Функция: y = tg ( f (x)), где Формула для производной: , |
Функция: y = ctg (kx + b), где Формула для производной: , |
Функция: y = ctg ( f (x)), где Формула для производной: , |
Функция: y = arcsin (kx + b), Формула для производной: |
Функция: y = arcsin ( f (x)), Формула для производной: |
Функция: y = arccos (kx + b), Формула для производной: |
Функция: y = arccos ( f (x)), Формула для производной: |
Функция: y = arctg (kx + b) Формула для производной: |
Функция: y = arctg ( f (x)) Формула для производной: |
Функция: y = arcctg (kx + b) Формула для производной: |
Функция: y = arcctg ( f (x)) Формула для производной: |
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
|
|
|
|
Производная экспоненциальной функции |
Производная экспоненты |
|
Производная сложной экспоненциальной функции |
Производная экспоненциальной функции |
|
|
|
|
|
Производная натурального логарифма функции |
|
|
Производная косинуса |
|
Производная косеканса |
Производная секанса |
|
|
|
|
Производная арксинуса |
Производная арккосинуса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная арксеканса |
Производная арккосеканса |
|
Производная арксеканса |
Производная арккосеканса |
|
|
|
|
|
Производная гиперболического котангенса |
|
Производная гиперболического секанса |
Производная гиперболического косеканса |
tehtab.ru