Рубрика: Школьная жизнь

Таблица умножения до 1000 | Сайт о таблице умножения

Таблица умножения до 1000 представляет собой таблицу до 32. Таким образом получается весьма значительный материал, состоящий из 32 столбцов, по 32 примера в каждом. Максимальное значение таблицы 32 * 32 = 1024.

1 x 1 = 1
1 x 2 = 2
1 x 3 = 3
1 x 4 = 4
1 x 5 = 5
1 x 6 = 6
1 x 7 = 7
1 x 8 = 8
1 x 9 = 9
1 x 10 = 10
1 x 11 = 11
1 x 12 = 12
1 x 13 = 13
1 x 14 = 14
1 x 15 = 15
1 x 16 = 16
1 x 17 = 17
1 x 18 = 18
1 x 19 = 19
1 x 20 = 20
1 x 21 = 21
1 x 22 = 22
1 x 23 = 23
1 x 24 = 24
1 x 25 = 25
1 x 26 = 26
1 x 27 = 27
1 x 28 = 28
1 x 29 = 29
1 x 30 = 30
1 x 31 = 31
1 x 32 = 32

2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
2 x 5 = 10
2 x 6 = 12
2 x 7 = 14
2 x 8 = 16
2 x 9 = 18
2 x 10 = 20
2 x 11 = 22
2 x 12 = 24
2 x 13 = 26
2 x 14 = 28
2 x 15 = 30
2 x 16 = 32
2 x 17 = 34
2 x 18 = 36
2 x 19 = 38
2 x 20 = 40
2 x 21 = 42
2 x 22 = 44
2 x 23 = 46
2 x 24 = 48
2 x 25 = 50
2 x 26 = 52
2 x 27 = 54
2 x 28 = 56
2 x 29 = 58
2 x 30 = 60
2 x 31 = 62
2 x 32 = 64

3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3 x 9 = 27
3 x 10 = 30
3 x 11 = 33
3 x 12 = 36
3 x 13 = 39
3 x 14 = 42
3 x 15 = 45
3 x 16 = 48
3 x 17 = 51
3 x 18 = 54
3 x 19 = 57
3 x 20 = 60
3 x 21 = 63
3 x 22 = 66
3 x 23 = 69
3 x 24 = 72
3 x 25 = 75
3 x 26 = 78
3 x 27 = 81
3 x 28 = 84
3 x 29 = 87
3 x 30 = 90
3 x 31 = 93
3 x 32 = 96

4 x 1 = 4
4 x 2 = 8
4 x 3 = 12
4 x 4 = 16
4 x 5 = 20
4 x 6 = 24
4 x 7 = 28
4 x 8 = 32
4 x 9 = 36
4 x 10 = 40
4 x 11 = 44
4 x 12 = 48
4 x 13 = 52
4 x 14 = 56
4 x 15 = 60
4 x 16 = 64
4 x 17 = 68
4 x 18 = 72
4 x 19 = 76
4 x 20 = 80
4 x 21 = 84
4 x 22 = 88
4 x 23 = 92
4 x 24 = 96
4 x 25 = 100
4 x 26 = 104
4 x 27 = 108
4 x 28 = 112
4 x 29 = 116
4 x 30 = 120
4 x 31 = 124
4 x 32 = 128

5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 5 = 25
5 x 6 = 30
5 x 7 = 35
5 x 8 = 40
5 x 9 = 45
5 x 10 = 50
5 x 11 = 55
5 x 12 = 60
5 x 13 = 65
5 x 14 = 70
5 x 15 = 75
5 x 16 = 80
5 x 17 = 85
5 x 18 = 90
5 x 19 = 95
5 x 20 = 100
5 x 21 = 105
5 x 22 = 110
5 x 23 = 115
5 x 24 = 120
5 x 25 = 125
5 x 26 = 130
5 x 27 = 135
5 x 28 = 140
5 x 29 = 145
5 x 30 = 150
5 x 31 = 155
5 x 32 = 160

6 x 1 = 6
6 x 2 = 12
6 x 3 = 18
6 x 4 = 24
6 x 5 = 30
6 x 6 = 36
6 x 7 = 42
6 x 8 = 48
6 x 9 = 54
6 x 10 = 60
6 x 11 = 66
6 x 12 = 72
6 x 13 = 78
6 x 14 = 84
6 x 15 = 90
6 x 16 = 96
6 x 17 = 102
6 x 18 = 108
6 x 19 = 114
6 x 20 = 120
6 x 21 = 126
6 x 22 = 132
6 x 23 = 138
6 x 24 = 144
6 x 25 = 150
6 x 26 = 156
6 x 27 = 162
6 x 28 = 168
6 x 29 = 174
6 x 30 = 180
6 x 31 = 186
6 x 32 = 192

7 x 1 = 7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
7 x 6 = 42
7 x 7 = 49
7 x 8 = 56
7 x 9 = 63
7 x 10 = 70
7 x 11 = 77
7 x 12 = 84
7 x 13 = 91
7 x 14 = 98
7 x 15 = 105
7 x 16 = 112
7 x 17 = 119
7 x 18 = 126
7 x 19 = 133
7 x 20 = 140
7 x 21 = 147
7 x 22 = 154
7 x 23 = 161
7 x 24 = 168
7 x 25 = 175
7 x 26 = 182
7 x 27 = 189
7 x 28 = 196
7 x 29 = 203
7 x 30 = 210
7 x 31 = 217
7 x 32 = 224

8 x 1 = 8
8 x 2 = 16
8 x 3 = 24
8 x 4 = 32
8 x 5 = 40
8 x 6 = 48
8 x 7 = 56
8 x 8 = 64
8 x 9 = 72
8 x 10 = 80
8 x 11 = 88
8 x 12 = 96
8 x 13 = 104
8 x 14 = 112
8 x 15 = 120
8 x 16 = 128
8 x 17 = 136
8 x 18 = 144
8 x 19 = 152
8 x 20 = 160
8 x 21 = 168
8 x 22 = 176
8 x 23 = 184
8 x 24 = 192
8 x 25 = 200
8 x 26 = 208
8 x 27 = 216
8 x 28 = 224
8 x 29 = 232
8 x 30 = 240
8 x 31 = 248
8 x 32 = 256

9 x 1 = 9
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
9 x 5 = 45
9 x 6 = 54
9 x 7 = 63
9 x 8 = 72
9 x 9 = 81
9 x 10 = 90
9 x 11 = 99
9 x 12 = 108
9 x 13 = 117
9 x 14 = 126
9 x 15 = 135
9 x 16 = 144
9 x 17 = 153
9 x 18 = 162
9 x 19 = 171
9 x 20 = 180
9 x 21 = 189
9 x 22 = 198
9 x 23 = 207
9 x 24 = 216
9 x 25 = 225
9 x 26 = 234
9 x 27 = 243
9 x 28 = 252
9 x 29 = 261
9 x 30 = 270
9 x 31 = 279
9 x 32 = 288

10 x 1 = 10
10 x 2 = 20
10 x 3 = 30
10 x 4 = 40
10 x 5 = 50
10 x 6 = 60
10 x 7 = 70
10 x 8 = 80
10 x 9 = 90
10 x 10 = 100
10 x 11 = 110
10 x 12 = 120
10 x 13 = 130
10 x 14 = 140
10 x 15 = 150
10 x 16 = 160
10 x 17 = 170
10 x 18 = 180
10 x 19 = 190
10 x 20 = 200
10 x 21 = 210
10 x 22 = 220
10 x 23 = 230
10 x 24 = 240
10 x 25 = 250
10 x 26 = 260
10 x 27 = 270
10 x 28 = 280
10 x 29 = 290
10 x 30 = 300
10 x 31 = 310
10 x 32 = 320

11 x 1 = 11
11 x 2 = 22
11 x 3 = 33
11 x 4 = 44
11 x 5 = 55
11 x 6 = 66
11 x 7 = 77
11 x 8 = 88
11 x 9 = 99
11 x 10 = 110
11 x 11 = 121
11 x 12 = 132
11 x 13 = 143
11 x 14 = 154
11 x 15 = 165
11 x 16 = 176
11 x 17 = 187
11 x 18 = 198
11 x 19 = 209
11 x 20 = 220
11 x 21 = 231
11 x 22 = 242
11 x 23 = 253
11 x 24 = 264
11 x 25 = 275
11 x 26 = 286
11 x 27 = 297
11 x 28 = 308
11 x 29 = 319
11 x 30 = 330
11 x 31 = 341
11 x 32 = 352

12 x 1 = 12
12 x 2 = 24
12 x 3 = 36
12 x 4 = 48
12 x 5 = 60
12 x 6 = 72
12 x 7 = 84
12 x 8 = 96
12 x 9 = 108
12 x 10 = 120
12 x 11 = 132
12 x 12 = 144
12 x 13 = 156
12 x 14 = 168
12 x 15 = 180
12 x 16 = 192
12 x 17 = 204
12 x 18 = 216
12 x 19 = 228
12 x 20 = 240
12 x 21 = 252
12 x 22 = 264
12 x 23 = 276
12 x 24 = 288
12 x 25 = 300
12 x 26 = 312
12 x 27 = 324
12 x 28 = 336
12 x 29 = 348
12 x 30 = 360
12 x 31 = 372
12 x 32 = 384

13 x 1 = 13
13 x 2 = 26
13 x 3 = 39
13 x 4 = 52
13 x 5 = 65
13 x 6 = 78
13 x 7 = 91
13 x 8 = 104
13 x 9 = 117
13 x 10 = 130
13 x 11 = 143
13 x 12 = 156
13 x 13 = 169
13 x 14 = 182
13 x 15 = 195
13 x 16 = 208
13 x 17 = 221
13 x 18 = 234
13 x 19 = 247
13 x 20 = 260
13 x 21 = 273
13 x 22 = 286
13 x 23 = 299
13 x 24 = 312
13 x 25 = 325
13 x 26 = 338
13 x 27 = 351
13 x 28 = 364
13 x 29 = 377
13 x 30 = 390
13 x 31 = 403
13 x 32 = 416

14 x 1 = 14
14 x 2 = 28
14 x 3 = 42
14 x 4 = 56
14 x 5 = 70
14 x 6 = 84
14 x 7 = 98
14 x 8 = 112
14 x 9 = 126
14 x 10 = 140
14 x 11 = 154
14 x 12 = 168
14 x 13 = 182
14 x 14 = 196
14 x 15 = 210
14 x 16 = 224
14 x 17 = 238
14 x 18 = 252
14 x 19 = 266
14 x 20 = 280
14 x 21 = 294
14 x 22 = 308
14 x 23 = 322
14 x 24 = 336
14 x 25 = 350
14 x 26 = 364
14 x 27 = 378
14 x 28 = 392
14 x 29 = 406
14 x 30 = 420
14 x 31 = 434
14 x 32 = 448

15 x 1 = 15
15 x 2 = 30
15 x 3 = 45
15 x 4 = 60
15 x 5 = 75
15 x 6 = 90
15 x 7 = 105
15 x 8 = 120
15 x 9 = 135
15 x 10 = 150
15 x 11 = 165
15 x 12 = 180
15 x 13 = 195
15 x 14 = 210
15 x 15 = 225
15 x 16 = 240
15 x 17 = 255
15 x 18 = 270
15 x 19 = 285
15 x 20 = 300
15 x 21 = 315
15 x 22 = 330
15 x 23 = 345
15 x 24 = 360
15 x 25 = 375
15 x 26 = 390
15 x 27 = 405
15 x 28 = 420
15 x 29 = 435
15 x 30 = 450
15 x 31 = 465
15 x 32 = 480

16 x 1 = 16
16 x 2 = 32
16 x 3 = 48
16 x 4 = 64
16 x 5 = 80
16 x 6 = 96
16 x 7 = 112
16 x 8 = 128
16 x 9 = 144
16 x 10 = 160
16 x 11 = 176
16 x 12 = 192
16 x 13 = 208
16 x 14 = 224
16 x 15 = 240
16 x 16 = 256
16 x 17 = 272
16 x 18 = 288
16 x 19 = 304
16 x 20 = 320
16 x 21 = 336
16 x 22 = 352
16 x 23 = 368
16 x 24 = 384
16 x 25 = 400
16 x 26 = 416
16 x 27 = 432
16 x 28 = 448
16 x 29 = 464
16 x 30 = 480
16 x 31 = 496
16 x 32 = 512

17 x 1 = 17
17 x 2 = 34
17 x 3 = 51
17 x 4 = 68
17 x 5 = 85
17 x 6 = 102
17 x 7 = 119
17 x 8 = 136
17 x 9 = 153
17 x 10 = 170
17 x 11 = 187
17 x 12 = 204
17 x 13 = 221
17 x 14 = 238
17 x 15 = 255
17 x 16 = 272
17 x 17 = 289
17 x 18 = 306
17 x 19 = 323
17 x 20 = 340
17 x 21 = 357
17 x 22 = 374
17 x 23 = 391
17 x 24 = 408
17 x 25 = 425
17 x 26 = 442
17 x 27 = 459
17 x 28 = 476
17 x 29 = 493
17 x 30 = 510
17 x 31 = 527
17 x 32 = 544

18 x 1 = 18
18 x 2 = 36
18 x 3 = 54
18 x 4 = 72
18 x 5 = 90
18 x 6 = 108
18 x 7 = 126
18 x 8 = 144
18 x 9 = 162
18 x 10 = 180
18 x 11 = 198
18 x 12 = 216
18 x 13 = 234
18 x 14 = 252
18 x 15 = 270
18 x 16 = 288
18 x 17 = 306
18 x 18 = 324
18 x 19 = 342
18 x 20 = 360
18 x 21 = 378
18 x 22 = 396
18 x 23 = 414
18 x 24 = 432
18 x 25 = 450
18 x 26 = 468
18 x 27 = 486
18 x 28 = 504
18 x 29 = 522
18 x 30 = 540
18 x 31 = 558
18 x 32 = 576

19 x 1 = 19
19 x 2 = 38
19 x 3 = 57
19 x 4 = 76
19 x 5 = 95
19 x 6 = 114
19 x 7 = 133
19 x 8 = 152
19 x 9 = 171
19 x 10 = 190
19 x 11 = 209
19 x 12 = 228
19 x 13 = 247
19 x 14 = 266
19 x 15 = 285
19 x 16 = 304
19 x 17 = 323
19 x 18 = 342
19 x 19 = 361
19 x 20 = 380
19 x 21 = 399
19 x 22 = 418
19 x 23 = 437
19 x 24 = 456
19 x 25 = 475
19 x 26 = 494
19 x 27 = 513
19 x 28 = 532
19 x 29 = 551
19 x 30 = 570
19 x 31 = 589
19 x 32 = 608

20 x 1 = 20
20 x 2 = 40
20 x 3 = 60
20 x 4 = 80
20 x 5 = 100
20 x 6 = 120
20 x 7 = 140
20 x 8 = 160
20 x 9 = 180
20 x 10 = 200
20 x 11 = 220
20 x 12 = 240
20 x 13 = 260
20 x 14 = 280
20 x 15 = 300
20 x 16 = 320
20 x 17 = 340
20 x 18 = 360
20 x 19 = 380
20 x 20 = 400
20 x 21 = 420
20 x 22 = 440
20 x 23 = 460
20 x 24 = 480
20 x 25 = 500
20 x 26 = 520
20 x 27 = 540
20 x 28 = 560
20 x 29 = 580
20 x 30 = 600
20 x 31 = 620
20 x 32 = 640

21 x 1 = 21
21 x 2 = 42
21 x 3 = 63
21 x 4 = 84
21 x 5 = 105
21 x 6 = 126
21 x 7 = 147
21 x 8 = 168
21 x 9 = 189
21 x 10 = 210
21 x 11 = 231
21 x 12 = 252
21 x 13 = 273
21 x 14 = 294
21 x 15 = 315
21 x 16 = 336
21 x 17 = 357
21 x 18 = 378
21 x 19 = 399
21 x 20 = 420
21 x 21 = 441
21 x 22 = 462
21 x 23 = 483
21 x 24 = 504
21 x 25 = 525
21 x 26 = 546
21 x 27 = 567
21 x 28 = 588
21 x 29 = 609
21 x 30 = 630
21 x 31 = 651
21 x 32 = 672

22 x 1 = 22
22 x 2 = 44
22 x 3 = 66
22 x 4 = 88
22 x 5 = 110
22 x 6 = 132
22 x 7 = 154
22 x 8 = 176
22 x 9 = 198
22 x 10 = 220
22 x 11 = 242
22 x 12 = 264
22 x 13 = 286
22 x 14 = 308
22 x 15 = 330
22 x 16 = 352
22 x 17 = 374
22 x 18 = 396
22 x 19 = 418
22 x 20 = 440
22 x 21 = 462
22 x 22 = 484
22 x 23 = 506
22 x 24 = 528
22 x 25 = 550
22 x 26 = 572
22 x 27 = 594
22 x 28 = 616
22 x 29 = 638
22 x 30 = 660
22 x 31 = 682
22 x 32 = 704

23 x 1 = 23
23 x 2 = 46
23 x 3 = 69
23 x 4 = 92
23 x 5 = 115
23 x 6 = 138
23 x 7 = 161
23 x 8 = 184
23 x 9 = 207
23 x 10 = 230
23 x 11 = 253
23 x 12 = 276
23 x 13 = 299
23 x 14 = 322
23 x 15 = 345
23 x 16 = 368
23 x 17 = 391
23 x 18 = 414
23 x 19 = 437
23 x 20 = 460
23 x 21 = 483
23 x 22 = 506
23 x 23 = 529
23 x 24 = 552
23 x 25 = 575
23 x 26 = 598
23 x 27 = 621
23 x 28 = 644
23 x 29 = 667
23 x 30 = 690
23 x 31 = 713
23 x 32 = 736

24 x 1 = 24
24 x 2 = 48
24 x 3 = 72
24 x 4 = 96
24 x 5 = 120
24 x 6 = 144
24 x 7 = 168
24 x 8 = 192
24 x 9 = 216
24 x 10 = 240
24 x 11 = 264
24 x 12 = 288
24 x 13 = 312
24 x 14 = 336
24 x 15 = 360
24 x 16 = 384
24 x 17 = 408
24 x 18 = 432
24 x 19 = 456
24 x 20 = 480
24 x 21 = 504
24 x 22 = 528
24 x 23 = 552
24 x 24 = 576
24 x 25 = 600
24 x 26 = 624
24 x 27 = 648
24 x 28 = 672
24 x 29 = 696
24 x 30 = 720
24 x 31 = 744
24 x 32 = 768

25 x 1 = 25
25 x 2 = 50
25 x 3 = 75
25 x 4 = 100
25 x 5 = 125
25 x 6 = 150
25 x 7 = 175
25 x 8 = 200
25 x 9 = 225
25 x 10 = 250
25 x 11 = 275
25 x 12 = 300
25 x 13 = 325
25 x 14 = 350
25 x 15 = 375
25 x 16 = 400
25 x 17 = 425
25 x 18 = 450
25 x 19 = 475
25 x 20 = 500
25 x 21 = 525
25 x 22 = 550
25 x 23 = 575
25 x 24 = 600
25 x 25 = 625
25 x 26 = 650
25 x 27 = 675
25 x 28 = 700
25 x 29 = 725
25 x 30 = 750
25 x 31 = 775
25 x 32 = 800

26 x 1 = 26
26 x 2 = 52
26 x 3 = 78
26 x 4 = 104
26 x 5 = 130
26 x 6 = 156
26 x 7 = 182
26 x 8 = 208
26 x 9 = 234
26 x 10 = 260
26 x 11 = 286
26 x 12 = 312
26 x 13 = 338
26 x 14 = 364
26 x 15 = 390
26 x 16 = 416
26 x 17 = 442
26 x 18 = 468
26 x 19 = 494
26 x 20 = 520
26 x 21 = 546
26 x 22 = 572
26 x 23 = 598
26 x 24 = 624
26 x 25 = 650
26 x 26 = 676
26 x 27 = 702
26 x 28 = 728
26 x 29 = 754
26 x 30 = 780
26 x 31 = 806
26 x 32 = 832

27 x 1 = 27
27 x 2 = 54
27 x 3 = 81
27 x 4 = 108
27 x 5 = 135
27 x 6 = 162
27 x 7 = 189
27 x 8 = 216
27 x 9 = 243
27 x 10 = 270
27 x 11 = 297
27 x 12 = 324
27 x 13 = 351
27 x 14 = 378
27 x 15 = 405
27 x 16 = 432
27 x 17 = 459
27 x 18 = 486
27 x 19 = 513
27 x 20 = 540
27 x 21 = 567
27 x 22 = 594
27 x 23 = 621
27 x 24 = 648
27 x 25 = 675
27 x 26 = 702
27 x 27 = 729
27 x 28 = 756
27 x 29 = 783
27 x 30 = 810
27 x 31 = 837
27 x 32 = 864

28 x 1 = 28
28 x 2 = 56
28 x 3 = 84
28 x 4 = 112
28 x 5 = 140
28 x 6 = 168
28 x 7 = 196
28 x 8 = 224
28 x 9 = 252
28 x 10 = 280
28 x 11 = 308
28 x 12 = 336
28 x 13 = 364
28 x 14 = 392
28 x 15 = 420
28 x 16 = 448
28 x 17 = 476
28 x 18 = 504
28 x 19 = 532
28 x 20 = 560
28 x 21 = 588
28 x 22 = 616
28 x 23 = 644
28 x 24 = 672
28 x 25 = 700
28 x 26 = 728
28 x 27 = 756
28 x 28 = 784
28 x 29 = 812
28 x 30 = 840
28 x 31 = 868
28 x 32 = 896

29 x 1 = 29
29 x 2 = 58
29 x 3 = 87
29 x 4 = 116
29 x 5 = 145
29 x 6 = 174
29 x 7 = 203
29 x 8 = 232
29 x 9 = 261
29 x 10 = 290
29 x 11 = 319
29 x 12 = 348
29 x 13 = 377
29 x 14 = 406
29 x 15 = 435
29 x 16 = 464
29 x 17 = 493
29 x 18 = 522
29 x 19 = 551
29 x 20 = 580
29 x 21 = 609
29 x 22 = 638
29 x 23 = 667
29 x 24 = 696
29 x 25 = 725
29 x 26 = 754
29 x 27 = 783
29 x 28 = 812
29 x 29 = 841
29 x 30 = 870
29 x 31 = 899
29 x 32 = 928

30 x 1 = 30
30 x 2 = 60
30 x 3 = 90
30 x 4 = 120
30 x 5 = 150
30 x 6 = 180
30 x 7 = 210
30 x 8 = 240
30 x 9 = 270
30 x 10 = 300
30 x 11 = 330
30 x 12 = 360
30 x 13 = 390
30 x 14 = 420
30 x 15 = 450
30 x 16 = 480
30 x 17 = 510
30 x 18 = 540
30 x 19 = 570
30 x 20 = 600
30 x 21 = 630
30 x 22 = 660
30 x 23 = 690
30 x 24 = 720
30 x 25 = 750
30 x 26 = 780
30 x 27 = 810
30 x 28 = 840
30 x 29 = 870
30 x 30 = 900
30 x 31 = 930
30 x 32 = 960

31 x 1 = 31
31 x 2 = 62
31 x 3 = 93
31 x 4 = 124
31 x 5 = 155
31 x 6 = 186
31 x 7 = 217
31 x 8 = 248
31 x 9 = 279
31 x 10 = 310
31 x 11 = 341
31 x 12 = 372
31 x 13 = 403
31 x 14 = 434
31 x 15 = 465
31 x 16 = 496
31 x 17 = 527
31 x 18 = 558
31 x 19 = 589
31 x 20 = 620
31 x 21 = 651
31 x 22 = 682
31 x 23 = 713
31 x 24 = 744
31 x 25 = 775
31 x 26 = 806
31 x 27 = 837
31 x 28 = 868
31 x 29 = 899
31 x 30 = 930
31 x 31 = 961
31 x 32 = 992

32 x 1 = 32
32 x 2 = 64
32 x 3 = 96
32 x 4 = 128
32 x 5 = 160
32 x 6 = 192
32 x 7 = 224
32 x 8 = 256
32 x 9 = 288
32 x 10 = 320
32 x 11 = 352
32 x 12 = 384
32 x 13 = 416
32 x 14 = 448
32 x 15 = 480
32 x 16 = 512
32 x 17 = 544
32 x 18 = 576
32 x 19 = 608
32 x 20 = 640
32 x 21 = 672
32 x 22 = 704
32 x 23 = 736
32 x 24 = 768
32 x 25 = 800
32 x 26 = 832
32 x 27 = 864
32 x 28 = 896
32 x 29 = 928
32 x 30 = 960
32 x 31 = 992
32 x 32 = 1024

Таблица умножения в таком виде пригодится исключительно как справочный материал. Изучить ее полностью задача слишком сложная.

tablica-umnozhenia.ru

Таблица умножения до 20 | Сайт о таблице умножения

1 x 1 = 1
1 x 2 = 2
1 x 3 = 3
1 x 4 = 4
1 x 5 = 5
1 x 6 = 6
1 x 7 = 7
1 x 8 = 8
1 x 9 = 9
1 x 10 = 10
1 x 11 = 11
1 x 12 = 12
1 x 13 = 13
1 x 14 = 14
1 x 15 = 15
1 x 16 = 16
1 x 17 = 17
1 x 18 = 18
1 x 19 = 19
1 x 20 = 20

2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
2 x 5 = 10
2 x 6 = 12
2 x 7 = 14
2 x 8 = 16
2 x 9 = 18
2 x 10 = 20
2 x 11 = 22
2 x 12 = 24
2 x 13 = 26
2 x 14 = 28
2 x 15 = 30
2 x 16 = 32
2 x 17 = 34
2 x 18 = 36
2 x 19 = 38
2 x 20 = 40

3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3 x 9 = 27
3 x 10 = 30
3 x 11 = 33
3 x 12 = 36
3 x 13 = 39
3 x 14 = 42
3 x 15 = 45
3 x 16 = 48
3 x 17 = 51
3 x 18 = 54
3 x 19 = 57
3 x 20 = 60

4 x 1 = 4
4 x 2 = 8
4 x 3 = 12
4 x 4 = 16
4 x 5 = 20
4 x 6 = 24
4 x 7 = 28
4 x 8 = 32
4 x 9 = 36
4 x 10 = 40
4 x 11 = 44
4 x 12 = 48
4 x 13 = 52
4 x 14 = 56
4 x 15 = 60
4 x 16 = 64
4 x 17 = 68
4 x 18 = 72
4 x 19 = 76
4 x 20 = 80

5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 5 = 25
5 x 6 = 30
5 x 7 = 35
5 x 8 = 40
5 x 9 = 45
5 x 10 = 50
5 x 11 = 55
5 x 12 = 60
5 x 13 = 65
5 x 14 = 70
5 x 15 = 75
5 x 16 = 80
5 x 17 = 85
5 x 18 = 90
5 x 19 = 95
5 x 20 = 100

6 x 1 = 6
6 x 2 = 12
6 x 3 = 18
6 x 4 = 24
6 x 5 = 30
6 x 6 = 36
6 x 7 = 42
6 x 8 = 48
6 x 9 = 54
6 x 10 = 60
6 x 11 = 66
6 x 12 = 72
6 x 13 = 78
6 x 14 = 84
6 x 15 = 90
6 x 16 = 96
6 x 17 = 102
6 x 18 = 108
6 x 19 = 114
6 x 20 = 120

7 x 1 = 7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
7 x 6 = 42
7 x 7 = 49
7 x 8 = 56
7 x 9 = 63
7 x 10 = 70
7 x 11 = 77
7 x 12 = 84
7 x 13 = 91
7 x 14 = 98
7 x 15 = 105
7 x 16 = 112
7 x 17 = 119
7 x 18 = 126
7 x 19 = 133
7 x 20 = 140

8 x 1 = 8
8 x 2 = 16
8 x 3 = 24
8 x 4 = 32
8 x 5 = 40
8 x 6 = 48
8 x 7 = 56
8 x 8 = 64
8 x 9 = 72
8 x 10 = 80
8 x 11 = 88
8 x 12 = 96
8 x 13 = 104
8 x 14 = 112
8 x 15 = 120
8 x 16 = 128
8 x 17 = 136
8 x 18 = 144
8 x 19 = 152
8 x 20 = 160

9 x 1 = 9
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
9 x 5 = 45
9 x 6 = 54
9 x 7 = 63
9 x 8 = 72
9 x 9 = 81
9 x 10 = 90
9 x 11 = 99
9 x 12 = 108
9 x 13 = 117
9 x 14 = 126
9 x 15 = 135
9 x 16 = 144
9 x 17 = 153
9 x 18 = 162
9 x 19 = 171
9 x 20 = 180

10 x 1 = 10
10 x 2 = 20
10 x 3 = 30
10 x 4 = 40
10 x 5 = 50
10 x 6 = 60
10 x 7 = 70
10 x 8 = 80
10 x 9 = 90
10 x 10 = 100
10 x 11 = 110
10 x 12 = 120
10 x 13 = 130
10 x 14 = 140
10 x 15 = 150
10 x 16 = 160
10 x 17 = 170
10 x 18 = 180
10 x 19 = 190
10 x 20 = 200

11 x 1 = 11
11 x 2 = 22
11 x 3 = 33
11 x 4 = 44
11 x 5 = 55
11 x 6 = 66
11 x 7 = 77
11 x 8 = 88
11 x 9 = 99
11 x 10 = 110
11 x 11 = 121
11 x 12 = 132
11 x 13 = 143
11 x 14 = 154
11 x 15 = 165
11 x 16 = 176
11 x 17 = 187
11 x 18 = 198
11 x 19 = 209
11 x 20 = 220

12 x 1 = 12
12 x 2 = 24
12 x 3 = 36
12 x 4 = 48
12 x 5 = 60
12 x 6 = 72
12 x 7 = 84
12 x 8 = 96
12 x 9 = 108
12 x 10 = 120
12 x 11 = 132
12 x 12 = 144
12 x 13 = 156
12 x 14 = 168
12 x 15 = 180
12 x 16 = 192
12 x 17 = 204
12 x 18 = 216
12 x 19 = 228
12 x 20 = 240

13 x 1 = 13
13 x 2 = 26
13 x 3 = 39
13 x 4 = 52
13 x 5 = 65
13 x 6 = 78
13 x 7 = 91
13 x 8 = 104
13 x 9 = 117
13 x 10 = 130
13 x 11 = 143
13 x 12 = 156
13 x 13 = 169
13 x 14 = 182
13 x 15 = 195
13 x 16 = 208
13 x 17 = 221
13 x 18 = 234
13 x 19 = 247
13 x 20 = 260

14 x 1 = 14
14 x 2 = 28
14 x 3 = 42
14 x 4 = 56
14 x 5 = 70
14 x 6 = 84
14 x 7 = 98
14 x 8 = 112
14 x 9 = 126
14 x 10 = 140
14 x 11 = 154
14 x 12 = 168
14 x 13 = 182
14 x 14 = 196
14 x 15 = 210
14 x 16 = 224
14 x 17 = 238
14 x 18 = 252
14 x 19 = 266
14 x 20 = 280

15 x 1 = 15
15 x 2 = 30
15 x 3 = 45
15 x 4 = 60
15 x 5 = 75
15 x 6 = 90
15 x 7 = 105
15 x 8 = 120
15 x 9 = 135
15 x 10 = 150
15 x 11 = 165
15 x 12 = 180
15 x 13 = 195
15 x 14 = 210
15 x 15 = 225
15 x 16 = 240
15 x 17 = 255
15 x 18 = 270
15 x 19 = 285
15 x 20 = 300

16 x 1 = 16
16 x 2 = 32
16 x 3 = 48
16 x 4 = 64
16 x 5 = 80
16 x 6 = 96
16 x 7 = 112
16 x 8 = 128
16 x 9 = 144
16 x 10 = 160
16 x 11 = 176
16 x 12 = 192
16 x 13 = 208
16 x 14 = 224
16 x 15 = 240
16 x 16 = 256
16 x 17 = 272
16 x 18 = 288
16 x 19 = 304
16 x 20 = 320

17 x 1 = 17
17 x 2 = 34
17 x 3 = 51
17 x 4 = 68
17 x 5 = 85
17 x 6 = 102
17 x 7 = 119
17 x 8 = 136
17 x 9 = 153
17 x 10 = 170
17 x 11 = 187
17 x 12 = 204
17 x 13 = 221
17 x 14 = 238
17 x 15 = 255
17 x 16 = 272
17 x 17 = 289
17 x 18 = 306
17 x 19 = 323
17 x 20 = 340

18 x 1 = 18
18 x 2 = 36
18 x 3 = 54
18 x 4 = 72
18 x 5 = 90
18 x 6 = 108
18 x 7 = 126
18 x 8 = 144
18 x 9 = 162
18 x 10 = 180
18 x 11 = 198
18 x 12 = 216
18 x 13 = 234
18 x 14 = 252
18 x 15 = 270
18 x 16 = 288
18 x 17 = 306
18 x 18 = 324
18 x 19 = 342
18 x 20 = 360

19 x 1 = 19
19 x 2 = 38
19 x 3 = 57
19 x 4 = 76
19 x 5 = 95
19 x 6 = 114
19 x 7 = 133
19 x 8 = 152
19 x 9 = 171
19 x 10 = 190
19 x 11 = 209
19 x 12 = 228
19 x 13 = 247
19 x 14 = 266
19 x 15 = 285
19 x 16 = 304
19 x 17 = 323
19 x 18 = 342
19 x 19 = 361
19 x 20 = 380

20 x 1 = 20
20 x 2 = 40
20 x 3 = 60
20 x 4 = 80
20 x 5 = 100
20 x 6 = 120
20 x 7 = 140
20 x 8 = 160
20 x 9 = 180
20 x 10 = 200
20 x 11 = 220
20 x 12 = 240
20 x 13 = 260
20 x 14 = 280
20 x 15 = 300
20 x 16 = 320
20 x 17 = 340
20 x 18 = 360
20 x 19 = 380
20 x 20 = 400

По запросам в Интернете часто предлагают сокращенный вариант таблицы до 20, в котором отсутствует часть самых сложных примеров.

Сокращенная таблица умножения до 20

1 x 1 = 1
1 x 2 = 2
1 x 3 = 3
1 x 4 = 4
1 x 5 = 5
1 x 6 = 6
1 x 7 = 7
1 x 8 = 8
1 x 9 = 9
1 x 10 = 10

2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
2 x 5 = 10
2 x 6 = 12
2 x 7 = 14
2 x 8 = 16
2 x 9 = 18
2 x 10 = 20

3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3 x 9 = 27
3 x 10 = 30

4 x 1 = 4
4 x 2 = 8
4 x 3 = 12
4 x 4 = 16
4 x 5 = 20
4 x 6 = 24
4 x 7 = 28
4 x 8 = 32
4 x 9 = 36
4 x 10 = 40

5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 5 = 25
5 x 6 = 30
5 x 7 = 35
5 x 8 = 40
5 x 9 = 45
5 x 10 = 50

6 x 1 = 6
6 x 2 = 12
6 x 3 = 18
6 x 4 = 24
6 x 5 = 30
6 x 6 = 36
6 x 7 = 42
6 x 8 = 48
6 x 9 = 54
6 x 10 = 60

7 x 1 = 7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
7 x 6 = 42
7 x 7 = 49
7 x 8 = 56
7 x 9 = 63
7 x 10 = 70

8 x 1 = 8
8 x 2 = 16
8 x 3 = 24
8 x 4 = 32
8 x 5 = 40
8 x 6 = 48
8 x 7 = 56
8 x 8 = 64
8 x 9 = 72
8 x 10 = 80

9 x 1 = 9
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
9 x 5 = 45
9 x 6 = 54
9 x 7 = 63
9 x 8 = 72
9 x 9 = 81
9 x 10 = 90

10 x 1 = 10
10 x 2 = 20
10 x 3 = 30
10 x 4 = 40
10 x 5 = 50
10 x 6 = 60
10 x 7 = 70
10 x 8 = 80
10 x 9 = 90
10 x 10 = 100

11 x 1 = 11
11 x 2 = 22
11 x 3 = 33
11 x 4 = 44
11 x 5 = 55
11 x 6 = 66
11 x 7 = 77
11 x 8 = 88
11 x 9 = 99
11 x 10 = 110

12 x 1 = 12
12 x 2 = 24
12 x 3 = 36
12 x 4 = 48
12 x 5 = 60
12 x 6 = 72
12 x 7 = 84
12 x 8 = 96
12 x 9 = 108
12 x 10 = 120

13 x 1 = 13
13 x 2 = 26
13 x 3 = 39
13 x 4 = 52
13 x 5 = 65
13 x 6 = 78
13 x 7 = 91
13 x 8 = 104
13 x 9 = 117
13 x 10 = 130

14 x 1 = 14
14 x 2 = 28
14 x 3 = 42
14 x 4 = 56
14 x 5 = 70
14 x 6 = 84
14 x 7 = 98
14 x 8 = 112
14 x 9 = 126
14 x 10 = 140

15 x 1 = 15
15 x 2 = 30
15 x 3 = 45
15 x 4 = 60
15 x 5 = 75
15 x 6 = 90
15 x 7 = 105
15 x 8 = 120
15 x 9 = 135
15 x 10 = 150

16 x 1 = 16
16 x 2 = 32
16 x 3 = 48
16 x 4 = 64
16 x 5 = 80
16 x 6 = 96
16 x 7 = 112
16 x 8 = 128
16 x 9 = 144
16 x 10 = 160

17 x 1 = 17
17 x 2 = 34
17 x 3 = 51
17 x 4 = 68
17 x 5 = 85
17 x 6 = 102
17 x 7 = 119
17 x 8 = 136
17 x 9 = 153
17 x 10 = 170

18 x 1 = 18
18 x 2 = 36
18 x 3 = 54
18 x 4 = 72
18 x 5 = 90
18 x 6 = 108
18 x 7 = 126
18 x 8 = 144
18 x 9 = 162
18 x 10 = 180

19 x 1 = 19
19 x 2 = 38
19 x 3 = 57
19 x 4 = 76
19 x 5 = 95
19 x 6 = 114
19 x 7 = 133
19 x 8 = 152
19 x 9 = 171
19 x 10 = 190

20 x 1 = 20
20 x 2 = 40
20 x 3 = 60
20 x 4 = 80
20 x 5 = 100
20 x 6 = 120
20 x 7 = 140
20 x 8 = 160
20 x 9 = 180
20 x 10 = 200

tablica-umnozhenia.ru

Как научить детей таблице умножения один раз и на всю жизнь

Ребята, мы вкладываем душу в AdMe.ru. Cпасибо за то,
что открываете эту красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте

Таблица умножения — базовое понятие в математике, с которым мы знакомимся еще в начальной школе и которое потом используем всю жизнь вне зависимости от профессии. Вот только дети не спешат заучивать бесконечные столбики наизусть, особенно если задание пришлось на каникулы.

AdMe.ru даст советы, как легко выучить таблицу вместе с детьми и сделать этот процесс увлекательным.

Таблица Пифагора

Несмотря на то что задача — выучить, то есть заучить, таблицу наизусть, прежде всего важно понять суть самого действия. Для этого можно заменить умножение сложением: одинаковые числа складываются столько раз, на сколько мы умножаем. Например, 6×8 — это сложить 8 раз по 6.

Выделяем цветом одинаковые значения

Отличным помощником для изучения умножения станет таблица Пифагора, которая также демонстрирует некоторые закономерности. Например то, что от перемены мест множителей произведение не меняется: 4×6 = 6×4. Отметьте такие «зеркальные» ответы определенным цветом — это поможет запомнить и не запутаться при повторении.

Начинать изучение таблицы Пифагора лучше с самых простых и понятных частей: умножения на 1, 2, 5 и 10. При умножении на единицу число остается неизменным, а умножение на 2 дает нам удвоенное значение. Все ответы умножения на 5 оканчиваются либо на 0, либо на 5. А вот умножив на 10, в ответе мы получим двузначное число из цифры, которую умножали, и нуля.

Таблица для закрепления результата

Для закрепления результатов нарисуйте с ребенком пустую таблицу Пифагора и предложите ему заполнить клеточки правильными ответами. Для этого вам понадобится всего лишь листок бумаги, карандаш и линейка. Нужно нарисовать квадрат и поделить его на 10 частей по вертикали и горизонтали. А затем заполнить верхнюю строчку и крайний левый столбик числами от 1 до 9, пропустив первую клетку.

Конечно, все дети индивидуальны и универсального рецепта не существует. Главная задача родителя — найти подход и поддержать свое чадо, ведь все мы когда-то начинали с таких одновременно простых и сложных шагов.

Ребята, мы вкладываем душу в AdMe.ru. Cпасибо за то,
что открываете эту красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте

www.adme.ru

Таблица умножения онлайн для детей. Как выучить таблицу умножения

История
 
Наиболее древние упоминания о таблицах были обнаружены при раскопках городов Месопотамии. Данные наносились на глиняные таблички клинописью. Таблицу умножения называют еще таблицей Пифагора, так как ее авторство приписывают ему. Но документальных подтверждений этому не существует или они просто не дошли до нас. Первое известное изображение, имевшее вид квадрата, было найдено в книге Никомаха Геразского. Он отмечал, что так таблицу изображал Пифагор. Запись древнегреческих чисел значительно отличается от современных чисел. Для записи не использовался нуль, не существовало знаков плюс и минус.
 
В Японии археологи нашли деревянную дощечку с фрагментом таблицы умножения, которую изготовили еще в 8 веке. Иероглифы, с помощью которых изображены были цифры, похожи на письмо, существовавшее во времена китайской династии Тан. Поэтому считается, что таблицу японцы заимствовали из Китая.

Благодаря введению заучивания таблицы умножения, считать стали быстрее, процесс стал легче. До этого людьми использовались различные способы вычисления, которые замедляли счет. Это часто служило причиной появления различных ошибок.
 
В Англии школьники стали учить таблицу до 12 в Средние века. Это связано с английской мерой длины 1 фут, который равен 12 дюймам. Изучить ее нужно до 11 лет. В Индии дети изучают вариант до 20. В России школьники постигают азы умножения в 8 лет и учат таблицу умножения до 10.
 
Секреты таблицы умножения
 
Современные научные исследования показывают, что таблицу умножения можно изобразить графически. Для построения образа необходимо провести нумерологическое сокращение, то есть сократить двузначные числа до однозначных чисел. Для этого нужно просто сложить цифры в двузначных числах. Можно увидеть в столбиках интересную закономерность. Результат показан на картинке зеленым цветом. Пифагорейцы использовали такое сокращение для исследования мироздания. Они считали, что нашим миром управляет Число.

Чтобы просто выучить необходимый материал достаточно внимательно посмотреть на примеры, которые представлены в таблице, а затем найти закономерности. Классический вариант состоит из 10 столбиков по 10 примеров.

1. Необходимо запомнить 100 примеров. Это достаточно много, но присмотревшись внимательно, можно заметить, что некоторые примеры повторяются: 4*3=12 и 3*4=12 и др. Множители просто меняются местами. Поэтому необходимо запомнить всего 45 примеров.
2. На 1 умножать легко, и запоминать не нужно. Чтобы умножить число на 10, необходимо просто добавить к нему нуль. Это тоже просто. Остается запомнить 36 примеров.
3. Умножать на два легко. Для этого достаточно сложить число с самим собой. Для умножения на четыре необходимо прибавить к числу само число, а затем удвоить результат. Остается 21 пример.
4. Умножать на 5 просто. Для этого можно умножить число на десять и поделить пополам. Можно воспользоваться и другим способом. Если число четное, то к его половине нужно дописать 0. Если нечетное, то к половине предыдущего числа приписываем 5. На тройку тоже умножать просто. Остается 10 самых трудных примеров.
5. Решить оставшиеся примеры можно с помощью пальцев. Для этого руки необходимо повернуть ладошками к себе. Необходимо пронумеровать пальцы на обеих руках от 6 до 10, начиная с большого пальца и заканчивая мизинцем. Например, 7*8. Нижние пальцы включают отмеченные пальцы, и номера у которых меньше. Если их пересчитать, то получатся десятки. Верхние пальцы, находящиеся выше отмеченных пальцев, необходимы для получения единиц. Верхние пальцы левой руки умножаем на верхние пальцы правой руки и получаем единицы. При соединении десятков и единиц получаем ответ. 

Есть еще один метод запоминания таблицы умножения – благодаря поэзии! Предлагаем Вашему вниманию веселые и шуточные стишки. Читайте и запоминайте таблицу умножения с нами!

puzkarapuz.ru

Таблица умножения | Cubens

Таблица умножения чисел от 1 до 10

Таблица умножения на 2

(5 умножить на 2 будет 10)

Таблица умножения на 3

(2 умножить на 3 будет 6)

Таблица умножения на 4

(6 умножить на 4 будет 24)

Таблица умножения на 5

(6 умножить на 5 равно 30)

Таблица умножения на 6

(2 умножить на 6 будет равен 12)

Таблица умножения на 7

(3 умножить на 7 будет равняться 27)

Таблица умножения на 8

(5 умножить на 8 будет равен 40)

Таблица умножения на 9

(5 умножить на 9 равно 45)

Таблица Пифагора

Таблица умножения чисел от 1 до 20

Таблица умножения до 20 также называется таблица Пифагора

Для нахождения результатов умножения двух чисел, нужно одно число, взять в верхней строке таблицы умножения, второе число — по первом вертикальном столбце. На пересечении столбца и строки находится результат их умножения.

Примеры нахождения по таблице умножения:

Таблица умножения десятичных чисел изучается как составная часть элементарной арифметики по всему миру, поскольку она закладывает фундамент для арифметических операций с десятичными числами. Необходимо изучить таблицу 9 * 9 , или 12 * 12, чтобы быть искусным в традиционной математике.

cubens.com

Таблица умножения — традиционная 10×10, 12х12 и 20х20

dpva.ru

таблица умножения | интернет проект BeginnerSchool.ru

Мы все знаем, что учить таблицу умножения необходимо. А необходимо потому, что зная назубок таблицу умножения/деления от 1 до 10, ребенок без труда освоит внетабличное умножение и деление. Но как же легче всего выучить таблицу умножения. Ответ неоднозначен, для каждого ребенка нужен индивидуальный подход. Но все же можно дать общие для всех советы.
Для начала надо объяснить ребенку, что такое умножение. Умножение связано с действием сложения. Объясните ребенку, что перемножаемые числа называются множителями, а полученное число называется произведением.

Итак, начинаем с умножения на 2:
Что такое 2 × 2, это 2 + 2 и равно 4. Положим две конфеты на одну тарелочку и еще две конфеты на другую. Если конфеты сосчитать все вместе получится четыре, то есть 2 конфеты умножить на 2 тарелочки, получится 4 конфеты: 2 × 2 = 4.

Теперь, чтобы проверить результат, разделите 4 конфеты обратно на две тарелки: 4 ÷ 2 = 2.

А как еще можно поровну разделить конфеты? Конечно же, по четырем тарелкам. Если на каждую тарелку положить по конфете:

4 ÷ 4 = 1

4 ÷ 1 = 4

 проверим: 4 × 1 = 4.

Теперь добавим на каждую тарелочку еще по конфете. Считаем все конфеты, получаем 6, как получилось? Три конфеты умножили на две тарелочки: 3 × 2 = 3 + 3 = 2 + 2 + 2 = 6.

То есть три умножить на два это 2 раза по 3 или 3 раза по 2, и если взять три тарелочки по две конфеты, то все равно получится 6 конфет.

От перемены мест множителей произведение не меняется: 3 × 2 = 2 × 3 = 6.

Теперь деление: 6 ÷ 2 = 3, берем 6 конфет и раскладываем поровну на две тарелки, получаем на каждой по три конфеты. Также показываем деление шести конфет по трем тарелкам, получаем по две конфеты на каждой тарелке: 6 ÷ 3 = 2.

Таким образом, можно разобрать каждый пример умножения на 2, на 3 и так далее.
Когда ребенок уверенно будет решать такого рода примеры, приступайте к постепенному заучиванию таблицы умножения, сначала на 2, потом на 3 и так далее до 9.

Объясните особенности умножения на 1 и на 10:

При умножении любого числа на 1, в результате получите это же число:

1 × 1 = 1

 1 × 2 = 2

 1 × 3 = 3

 1 × 99 = 99

и так далее.

При умножении любого числа на 10, в результате получим то же число, но с добавленным справа нулем: 10 × 3 = 30, один ноль, потому что в цифре 10 один ноль, а если умножать не на 10, а на 100, то получим справа два нуля: 100 × 3 = 300. И так далее с 1000, 10000…

То есть для того, чтобы умножить число на 10, 100, 1000 и так далее (например 4 × 10), сначала вспоминаем правило умножения на 1, то есть пишем то же число (4) и дописываем к нему справа столько нулей, сколько во втором множителе (10), (4 × 10 = 40).

Таблица умножения:

Про особенности умножения на 9 мы писали в статье “Чудеса умножения“.

О том как выучить таблицу умножения, читайте в статье “Как выучить таблицу умножения“.

После того (или вместе с тем), как ребенок освоит таблицу умножения, знакомим его с таблицей Пифагора:

В таблице Пифагора по вертикали (в первом столбце) и горизонтали (в первой строке) расположены числа от 1 до 10. На пересечении строк и столбцов располагаются произведения этих чисел:

Проверить таблицу умножения можно следующим образом. Нарисуйте таблицу Пифагора, не заполняя произведения, заштрихуйте некоторые ячейки следующим образом:

Теперь пусть ребенок самостоятельно заполнит заштрихованные клетки, должно получиться следующее:

Теперь сами придумайте рисунок.

Если вы хотите получать анонсы наших статей, подпишитесь на рассылку “Новости сайта”.

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Подпишитесь на новости сайта:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

beginnerschool.ru

Молярная масса of ((mg(oh)2))

ru.webqc.org

Молярная масса of (mg(oh3)2)

ru.webqc.org

Молярная масса of mg*oh*2

ru.webqc.org

Молярная масса of (mg(oh)2)

ru.webqc.org

Молярная масса of *2mg(oh)2

ru.webqc.org

Молярная масса of mg(oh)2co3

ru.webqc.org

Молярная масса of (s)mg(oh)2

ru.webqc.org

2. Уравнения касательной и нормали к кривой

Пусть дано уравнение (1) F(x;y)=0, и для функцииF(x;y) в окрестности точки (х₀;y₀) выполнены условия теоремы 1. Тогда в окрестности точких₀V(х₀) уравнение (1) задает функциюу=f(х), определенную, непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точких₀иf(х₀)=y₀. Графиком этой функции является некоторая кривая. Так как существует, то существует касательная и нормаль к кривой (1).

Для функции y=f(x) уравнение касательной точкех₀имеет вид:

, (10)

нормали: . (11)

Из теоремы 1 следует . (12)

Подставляя (12) в (10), (11), получим 

– уравнение касательной;

или

– уравнение нормали.

3. Неявные функции нескольких переменных

Пусть дано уравнение . (13)

— функция (n+1)-й переменной. Если в каждой точкесуществует единственное значениеy, которое совместно сxудовлетворяет уравнению (13), то уравнение (13) на множествеGопределяет функциюnпеременных, (14)

и имеет место тождество наG.

Теорема 2 (достаточное условие существования и дифференцируемости неявной функцииnпеременных). Пусть функцияFи ее частные производныенепрерывны в некоторой окрестности точки, и пусть, а. Тогда уравнение (13) определяет функциюопределенную, непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки, причем, а частные производныенаходятся по формулам:

.

Рассмотрим частный случай. Пусть на дано уравнение

F(x;y;z)=0. (15)

Пусть это уравнение определяет неявную функцию z=f(x;y), дифференцируемую на, т.е. справедливо тождество (16)F(x;y;f(x;y))0. Правая часть (16) – сложная функция отхиу. В силу условий теоремы (2) (существуют непрерывные) эта функция дифференцируема наD. Дифференцируя (16) поx, получим:

.

Отсюда . (17)

Дифференцируя (16) по y, получим:

.

Отсюда . (18)

Пример 2.Пусть уравнениеопределяет функциюz=f(x;y). Найти

 .

По формулам (17), (18):

,

,

.

Подставляя сюда выражение для и заменяяzнаf(x;y), найдем.

Тогда . 

4. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Пусть уравнение (15) F(x;y;z)=0 определяет поверхность. Тогда (15) называется уравнением поверхности.

Пусть в окрестности (x₀;y₀;z₀) выполняется условия теоремы 2. Тогда в окрестности точки (x₀;y₀) определена функцияz=f(x;y), дифференцируемая в этой окрестности. Тогда поверхностьz=f(x;y) имеет касательную плоскость и нормаль в точке (x₀;y₀).

– уравнение касательной плоскости,

– уравнение нормали.

Так как , то

–

уравнение касательной плоскости,

– уравнение нормали.

Неявные функции могут определяться системой функциональных уравнений.

§ 9. Экстремум функции двух переменных

1. Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия

Пусть функция z=f(x;y) задана в некоторой окрестности точкиM₀(x₀;y₀)V(M₀).

Определение 1.Функцияz=f(x;y) имеет в точкеM₀(x₀;y₀)строгий максимум(строгий минимум), если, такая, чтовыполнено неравенствоf(x;y)<f(х₀;y₀) (f(x;y)>f(х₀;y₀)).

Определение 2.Функцияz=f(x;y) имеет в точкеM₀(x₀;y₀)максимум(минимум), если, такая, чтовыполнено неравенствоf(x;y)f(х₀;y₀) (f(x;y)f(х₀;y₀)).

Определение 3.Функцияz=f(x;y) имеет в точкеM₀(x₀;y₀) (строгий)экстремум, если она имеет в этой точке (строгий) максимум или (строгий) минимум.

Точку М₀называют точкой (строгого) экстремума, а значение функции в ней, т.е.f(M₀) – (строгим) экстремумом.

Теорема 1(необходимое условие экстремума). Пусть функцияz=f(x;y) достигает экстремума в точке _M0(_x0;_y0). Если в этой точке существуют частные производныеи, то они в этой точке равны нулю, то есть=0 и=0.

Доказательство.

Пустьz=f(x;y) имеет в точке_M0(_x0;_y0) максимум. Тогда, такая, чтовыполнено

f(x;y)f(х₀;y₀). (1)

Рассмотрим точки окрестности V_(M₀), для которыхy=y₀. На этом множестве точек, т.е. на, функцияf(x;y) превращается в функциюf(x;y₀) одной переменнойх. Из (1) следует, чтоf(x;y₀)f(х₀;y₀). Это означает, что функция одной переменнойf(x;y₀) имеет в точкех₀максимум. По условию. Она совпадает св точкех₀, т.е=. На основании необходимого условия экстремума функции одной переменной=0. Следовательно,=0.

Аналогично, рассмотрим точки окрестности V_(M₀), для которыхх=х₀. На этом множестве точек, функцияf(x;y) становится функциейf(x₀;y) одной переменнойу. Из (1) следует, чтоf(x₀;y)f(х₀;y₀). Значит, функция одной переменнойf(x₀;y) имеет в точкеу₀максимум. По необходимому условию экстремума функции одной переменной=0. Следовательно,=0.

Замечание.Если функцияz=f(x;y) дифференцируема в точке (х₀;y₀), то условиеравносильно условиюdf(х₀;y₀)=0.

Следствие.Если функцияz=f(x;y) имеет экстремум в точке (х₀;y₀) и дифференцируема этой точке, тоdf(х₀;y₀)=0.

Определение 3.Точки, в которых частные производные равны нулю, называютсястационарными точкамифункцииz=f(x;y).

Определение 4.Точки, в которых частные производные равны нулю (или не существуют) называютсякритическими точкамифункцииz=f(x;y).

Из теоремы 1 и определения 3 следует, что если функция дифференцируема, то точки экстремума являются стационарными точками. Обратное неверно. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пример. Рассмотрим функциюz=f(x;y)=x²—y²,f(0;0)=0.

, (0;0) – стационарная точка.

Рассмотрим . На оси Охf(x;0)=x²>0, на оси Оуf(0;y)=—y²<0. Следовательно, в любой окрестностиесть значения функции, как большиеf(0;0)=0, так и меньшиеf(0;0)=0. Значит, точка (0;0) не может быть точкой экстремума. 

Теорема 2 (достаточное условие экстремума).

Пусть функция z=f(x;y) определена и имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точкиМ₀(x₀;y₀)V(x₀;y₀). ПустьМ₀(x₀;y₀) — стационарная точка, то естьи. Обозначим

.

Тогда

1) если то z=f(x;y) имеет в точкеМ₀(x₀;y₀) экстремум, причем приA<0(C<0)- локальный максимум, при — локальный минимум;

2) если , то точка М₀(x₀;y₀) не является точкой экстремума;

3) если , то никакого заключения о характере стационарной точки сделать нельзя, требуются дополнительные исследования.

Доказательство.

Т.к. по условию функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то можем записать для нее формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, ограничиваясь двумя членами:

(0<<1).

Т.к. М₀(x₀;y₀) — стационарная точка, тоdf(x₀;y₀)=0, следовательно,

,

где х=х-х₀, у=y—y₀.

Положим

, где,

, где,

, где.

Т.к. частные производные второго порядка непрерывны, то. Полное приращение функции запишется в виде:

.

Положим , где.

Тогда

.(2)

1) Пусть .

В этом случае АС>0, следовательно,А0, и первый трехчлен в скобках в формуле (2) можно записать следующим образом:

. (3)

Очевидно, что при выражение в квадратных скобках положительно. Следовательно, первый трехчлен формулы (2) сохраняет знак коэффициентаА. Модуль этого трехчлена – непрерывная на [0;2] функция оти, значит, достигает на [0;2] своего наименьшего значенияm:

.

Теперь рассмотрим второй трехчлен в (2). Если выбрать достаточно малым (а, значит, и х, умалы), то, поскольку,,0 при х,у0, будем иметь

.

Но тогда все выражение в скобках в (2) будет сохранять тот же знак, что и первый трехчлен, то есть знак коэффициента А.

Итак, если A>0, то и f(x₀;y₀)>0. Следовательно,f(x;y)>f(x₀;y₀). Т.е. в точке (x₀;y₀) функция имеет строгий минимум. А еслиA<0, то и f(x₀;y₀)<0. Следовательно,f(x;y)<f(x₀;y₀). Значит, в точке (x₀;y₀) функция имеет строгий максимум.

2) Предположим теперь, что .

а) Пусть А0. Тогда можно использовать преобразование (3).

Если =₁=0, то из (3) следует, что выражение в квадратных скобках равно.

Если =₂ определить так, чтоAcos₂+Bsin₂=0 (ясно, что при этом sin₂0, т. к. иначе будетА=0), то выражение в квадратных скобках равно.

Если достаточно мало, то второй трехчлен в скобках в (2) будет сколь угодно мал. Следовательно, знак fопределяется знаком первого трехчлена.

Из (3) следует:

при A>0 и=₁он положителен,

=₂он отрицателен,

при A<0 и=₁он отрицателен,

=₂он положителен.

Итак, в любой окрестности точки (х₀;y₀) fбудет иметь значения противоположных знаков на лучах=₁и=₂. Следовательно, точка (х₀;y₀) не может быть точкой экстремума.

б) Пусть А=0. Тогда первый трехчлен в (2) равен

.

Если А=0, то из условияследует, чтоВ0. Тогда можно взять уголнастолько малым, чтобы выражение 2Bcos+Csinбыло близко к 2Ви, значит, сохраняло знак. Тогда при=₁ и=-₁первый трехчлен в (2) будет иметь противоположные знаки. Следовательно, и в этом случае точка (х₀;y₀) не может быть точкой экстремума.

Теорема 2 равносильна следующей теореме.

Теорема 3. Пустьdf(х₀;y₀)=0. Еслиd²f(х;y) сохраняет знак в некоторой достаточно малой окрестности точки (х₀;y₀), то в этой точке функция имеет строгий экстремум, причем, еслиd²f(х₀;y₀)<0, то строгий максимум, а если d²f(х₀;y₀)>0, то строгий минимум.

В таком виде достаточное условие экстремума переносится на случай функций любого числа переменных.

Пример.Исследовать функциюf(x;y)=xy(a—x—y),a>0 на экстремум.

 .

Найдем стационарные точки.

f_x=y(a-x-y)-xy=y(a-2x-y),f_y=x(a-x-y)-xy=x(a-x-2y)

Стационарные точки: О(0;0),М(а;0),N(0;a),.

Проверим, являются ли они точками экстремума.

,,.

О(0;0):А=0,В=а,С=0,АС-В²=0-а²<0  экстремума нет;

М(а;0):А=0,В=-а,С=—2а,АС-В²=0-а²<0  экстремума нет;

N(0;a):А=-2a,В=-а,С=0,АС-В²=0-а²<0  экстремума нет;

:,,,

К– точка экстремума, т.к.A<0, то— точка максимума. 

studfiles.net

Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум — КиберПедия

Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство , то точка М₀ называется точкой максимума.

Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство , то точка М₀называется точкой минимума.

Теорема (необходимые условия экстремума).

Если функция f(x,y) в точке (х₀, у₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.

Эту точку (х₀, у₀) будем называть критической точкой.

Теорема (достаточные условия экстремума).

Пусть в окрестности критической точки (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение: , где , , .

1) Если D(x₀, y₀) > 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет экстремум, если — максимум, если — минимум.

2) Если D(x₀, y₀) < 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) не имеет экстремума.

3) Если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя, необходимы дополнительные исследования.

Пример 19. Найти точки экстремума функции .

Решение. Находим частные производные первого порядка М(1; 2) – критическая точка.

Найдём значения вторых производных в точке М(1; 2):

, , .Тогда . Так как , то в точке М(1; 2) функция имеет минимум .

Пример 20.Исследовать на экстремум функцию , заданную неявно.

Решение. Схема исследований та же, только все параметры задачи надо определить по методам функций, заданных неявно.

1. Найдём критические точки.

Пусть , тогда

В третьей системе присоединяем данное уравнение. Решением системы являются точки , , . Если , то , следовательно, уравнение в этой точке не определяет однозначную функцию и эта точка не подлежит исследованию.

2. Для проверки достаточных условий найдём вторые частные производные по правилам дифференцирования неявных функций:

, , .

При : , , . , т.к. в точке — минимум.

При : , , . в точке — экстремума нет.

Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f(x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение j(х, у) = 0, которое называется уравнением связи. Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум так называемой функцией Лагранжа[11] u = f(x, y) + lj(x,y), где l — неопределённый постоянный множитель. Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид

Замечание. Если вторые частные производные не содержат , то процесс нахождения условного экстремума вырождается в процесс нахождения локального (абсолютного) экстремума функции − что не приемлемо. Тогда для исследования на экстремум в полученных критических точках вычисляем значение .

Если , то функция в точке имеет условный минимум; если — то условный максимум.

Пример 21. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0.

Решение.Составим функцию Лагранжа .

Найдем частные производные и составляем необходимые условия экстремума для функции Лагранжа:

М₀ — стационарная точка. Для исследования на экстремум в полученных критических точках вычисляем значения и составляем определитель = -12.

Т.к в точке М₀функция f(x, y) = xy имеет условный максимум.

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

cyberpedia.su

2. Экстремум неявно заданной функции

Пусть уравнение F(x;y;z)=0 задает неявно функцию z=f(x;y). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в . Если (х₀;у₀) – стационарная точка, то в ней выполнены равенства:

, ,

, .

Очевидно, верно и обратное утверждение. Следовательно, стационарные точки неявной функции могут быть найдены из системы:

Достаточное условие формулируется так же, как в случае явного задания функции.

3. Нахождение наибольших и наименьших значений

Пусть функция z=f(x;y) определена и дифференцируема на ограниченной замкнутой области G. Тогда она на имеет наибольшее и наименьшее значения. Если наибольшее (наименьшее) значение функция f принимает во внутренней точке области , то эта точка является точкой максимума (минимума). Т.о., подозрительными точками внутри области являются стационарные точки. Но функция f может принимать наибольшее (наименьшее) значения и на границе области G.

План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

1. Найти стационарные точки внутри области и значения функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения на границе области и значения функции в них. Для этого границу области следует задать либо одним уравнением, либо параметрически. Тогда на границе исходная функция будет функцией одного переменного.

3. Если в области существуют точки, в которых функция не дифференцируема, то надо вычислить в них значения функции.

4. Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x;y)=2x²—2y² в круге х²+у²9.

 1) ,  (0;0) – стационарная точка.

z₁=f(0;0)=0.

2) Граница области задана уравнением х²+у²=9. Отсюда у²=9-х². Тогда на границе получаем функцию одной переменной: z=2x²—2(9-х²), z=4х²-18, x[-3;3].

z=8x, z=0 при х=0. Тогда у=3. Значения функции в стационарных точках границы: z₂=f(0;3)=-18, z₃=f(0;-3)=-18.

Значения функции на концах отрезка [-3;3]: z₄=f(3;0)=18, z₅=f(-3;0)=18.

3) z_наиб.=f(3;0)=f(-3;0)=18, z_наим.=f(0;3)=f(0;-3)=-18. 

34

studfiles.net

Локальные экстремумы функции двух переменных

Определение. Точканазывается точкой локального максимума (минимума) функции, если существует-окрестность этой точки, такая, что для всех точек(принадлежащих-окрестности этой точки), отличных от точки, выполняется неравенство().

Значение называют локальным максимумом (минимумом) функции и пишут

().

Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции — экстремумами функции.

Пример.Функцияимеет локальный максимум в точке(1; 1):(1, 1) = 1.

Действительно, существует окрестность точки (1; 1), в которой выполняется условие(1; 1) >для. Графиком этой функции является поверхность — параболоид вращения, представленный на рисунке.

Отметим, что если функция имеет в точкелокальный экстремум, то:

в случае локального максимума,

в случае локального минимума.

Из сказанного выше следует, что полное приращение функции не меняет знака в . Однако для всех точекопределить знак приращенияпрактически невозможно, поэтому надо искать другие условия, по которым можно судить о наличии и характере экстремума функции в данной точке.

Теорема (необходимые условия существования локального экстремума). Если в точкедифференцируемая функцияимеет локальный экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

и,

или, по крайней мере, одна из них не существует.

Доказательство. Докажем только первое утверждение теоремы.

Рассмотрим в лишь те точки, для которых. Получим функциюодной переменной. Эта функция имеет в точкеэкстремум, следовательно,.

Аналогично доказывается, что .

Теорема доказана.

Проиллюстрируем примером второе утверждение теоремы .

Функция имеет максимум в точке О(0; 0; 0), так как для любой точки(О) выполняется условие(0; 0) >. Частные производные

,

в точке О(0; 0) не существуют для . Графиком этой функции является конус, представленный на рисунке.

Следствие.Если функцияимеет в точкелокальный экстремум, то ее дифференциал в этой точке равен нулю или не существует.

Точка , в которой частные производные равны нулю, или хотя бы одна из них не существует, называется точкой возможного экстремума. Такие точки называются также стационарными или критическими.

Равенство нулю частных производных первого порядка не является достаточным условием существования экстремума функции в точке.

Действительно, возьмем, например, функцию . Она задана на всей числовой плоскостиR². Точка О(0; 0) будет критической, поскольку частные производные в ней равны нулю. Так как функция равна нулю в точке О, а в любой сколь угодно малой окрестности(О) она принимает как положительные, так и отрицательные значения, то функцияне имеет в точке О экстремума.

Теорема (достаточные условия существования локального экстремума). Пусть— стационарная точка трижды дифференцируемой вфункциии пусть

.

Тогда стационарная точка является:

1) точкой локального максимума, если и;

2) точкой локального минимума, если и;

3) если , то стационарная точкане является точкой локального экстремума функции.

Замечание.Если, то нельзя определенно ответить на вопрос о существовании экстремума в точке. В этом случае необходимо произвести дополнительные исследования знака функциив.

Приращения ине могут равняться нулю одновременно, поскольку в подобном случае точкасовпала бы с точкойи функцияне получила бы никакого приращения.

Пример. Исследовать на экстремум функцию.

Решение.Вычислим частные производные первого порядка данной функции:

,.

Находим точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений:

(т. к.для R)

Таким образом, существует только одна стационарная точка (1; 0), в которой функцияможет достигать экстремума.

Воспользуемся теоремой о достаточных условиях существования локального экстремума.

Для этого найдем частные производные второго порядка функции z:

,,.

Вычислим значения частных производных второго порядка для стационарной точки :

,,.

Так как (1; 0),

то по теореме о достаточных условиях существования локального экстремума точка (1; 0) является точкой локального экстремума, а т. к. А > 0, то точка(1; 0) является точкой локального минимума, при этом

.

Пример. Исследовать на экстремум функцию.

Решение.Вычислим частные производные первого порядка данной функции:,.

Для определения точек возможного экстремума решим систему уравнений:

Данная система имеет два решения

и

Следовательно, функция имеет две стационарные точки (0; 0) и(1, 1). Вычислим частные производные второго порядка функции:

,,.

.

Вычислим для точки(0; 0). Так как(0; 0), то в точке(0; 0) нет экстремума.

Вычислим для точки(1, 1). Т. к.(1; 1), то точка(1, 1) является точкой локального экстремума, а т. к. , то точка(1, 1) является точкой локального максимума, при этом

(1; 1)=9.

Пример. Исследовать на экстремум функцию.

Решение.Вычислим частные производные первого порядка функции:

.

Решая систему уравнений:

находим единственную стационарную точку (0; 0) данной функции.

Найдем частные производные второго порядка функции :

,,

Для стационарной точки (0; 0)

,,

.

Следовательно, по теореме о достаточных условиях существования локального экстремума нельзя определенно ответить на вопрос о существовании экстремума в точке (0; 0). В данном случае стационарная точка(0; 0) является точкой локального минимума, поскольку,для(0; 0)=0.

studfiles.net

21. Условный экстремум.

Задачи об отыскании экстремумов ф-ции, аргументы которой удовлетворяют дополнительным условиям связи-экстремумы такого рода будем наз-ть условными.

Пусть тр-ся найти экс-мум ф-ции u=при условии, что аргументы этой ф-ции уовлетворяют условию связи х+у-1=0. Таким образом, экстремумы ф-цииu=ищутся не на всей плоскости Оху, а лишь на прямой х+у-1=0. Для решения подставим в ур-ие ф-ции u=зн-ие у, определяемое из условия связи х+у-1=0. Таким путём мы сведём поставленную задачу к задаче об отыскании безусловного экстремума ф-цииu=2

Последний экстремум нах-ся без труда : так как то ф-ияu=2с условием связи х+у-1=0 имеет условный минимумu=1/2 в точке (1/2,1/2). Отметим, что безусловный минимум ф-ции u=достигается в точке (0;0) и равенu=0. (графиком явл парабалоид вращения) на всей плоскости с ее минимумом на прямой х+у-1=0.

Прейдем к общей постановке задачи об отыскании условного экстремума. Пусть треб-ся найти экстремум ф-ции m+n переменных

U=f((40)

При наличии m условий связи

(41)

Функция при наличии связей (41) имеет условный максимум (минимум ) в точке ), координаты которой удовлетворяют условиям связи (41), если найдётся такая окр-ть точки, в пределах которой зн-ие ф-ции (40) в точкеявл. наибольшим (наименьшим ) среди ее зн-ий во всех точках, координаты которых удовлетворяю условиям связи (41).

22. Неявные функции, теорема о неявной функции. Производная неявной функции.

Часто переменная u, явл. по смыслу задачи функцией аргументов x,y,…,задается посредством функционального ур-я F(u,x,y,…)=0 (15.1)

В этом сл. гов., что u как функция аргументов x,y,.. задана неявна . Например, функ. U=-,рассматривая в круге , м/б неявно задана с пом. функцион-го Ур-я

F(u,x,y,…)=(15.2)

Возникает вопрос: при каких усл. Ур-е (15.1) однозначно разрешимо отн-но u, т.е однозначно определяет явную функцию u=и при каких усл. Эта функция явл.Непрерывной и дифференцируемой.

(Обозначения: через R б/т пространство переменных (u,x,y,…), а пр-во переменных (x,y,…) символом R’)

Теорема о существовании и диф-ти неявной функции.

Пусть функция F(u,x,y) диф-ма в некоторой окрестности точки пр-ваR, причём частная производная dF/du непрерывна в точке. Тогда если в точкефункцияFобращается в нуль, а частная производная dF/du не обращается в нуль, то для любого достаточно малого положительного числа найдется такая окр-ть точкипр-ваR’ , что в пределах этой окр-ти сущ-ет единственная ф-ия которая удовл-ет усл.и явл. решением ур-я

F(u,x,y,…)=0 (15.3)

Причём эта функциянепрерывна и диф-ма в указанной окр-ти точки.

Замечание.В усл. Теоремы можно опустить требование непрерывности частной производной dF/du в точке , но тогда придётся потребовать, чтобы эта производная не обращалась к нулю не только в самой точке, но и в некоторой окр-ти этой самой точки и сохраняла определенный знак в этой окр-ти.

Вычисление частных производных неявно заданной ф-ции.

F(u,x,y,…)=0, пусть выполнены все усл. Теоремы , частные производные ф-ции определяются ф-ми

Du/dx=-(dF/dx)/(dF/du), du/dy=-(dF/dy)/(dF/du). (15.11)

(а если не от 2, а от более аргументов, то du/d=) (k=1,2,…….м)

Если нужно найти частне произв. 2-го порядка, то нужно добавить усл. дифференц-ти дважды.

Пример. Вфчислить частную произв. ф-ции ,заданной использую ф-лу (15.11), получим du/dx=-(x/u), du/dy=-(y/u).

=D(du/dx)|Dy=D(-(x/u))/Dy=x * du/dy| =-(xy)/

Условия, обеспечивающие сущ-ие для ф-ции y=f(x) обратной ф-ции.

Применим теорему для выяснения условий, при выполнении которых y=f(x) имеет в некоторой окр-ти точки x0 обратную ф-ю x=(y), определенную в некоторойокр-ти точки y0, где y0=f(x0). Будем рассматривать y=f(x) как ф-ю, определяемую уравнением вида F(x,y)=f(x)-y=0. То вопрос о сущ-ии обр. ф-ии совпадает с вопросом о разрешимости относительно х указанного функционального уравнения. Если ф-ция y=f(x) имеет отличную от нуля производную в некоторой окр-ти точки х0, то для этой ф-ции в окр-ти х0 существует обратная ф-я x=(y), определенная и дифференцируемая в некоторой окр-ти точки у0, где у0=f(x0). Производная указанной обр. ф-ции в точке у0 в силу второй из формул (15.11) равна 1/f’(x0).

Неявные ф-ции, определяемые системой функциональных Ур-ий.

Предположим, что m-функций

(13)

ищутся как решение системы m функциональных Ур-ий

(14)

Это решение будем наз-ть непрерывным и дифференцируемым в некоторой области D изменения переменных , если каждая из ф-ций (13) непрерывна и диф-ма в областиD. (символом R будет пространство (m+n) переменных , а сисмволомR’ пространство n переменных )

Рассмотрим m функций стоящих в левых частях системы (14), и составим из частных производных этих ф-ий следующий определитель:

(15)(15)- определитель Якоби. (или якобианом ) ф-ции по переменными кратко обозначать символом

.

Теорема Пусть m функций дифференцируемы в некоторой окр-ти точки) пространстваR, причем частные производные этих ф-ий по перевменным непрерывны в точке . Тогда, если в точкевсе ф-ции (16) обращаются в нуль, а якобиан отличен от нуля, то для достаточно малых положительных чиселнайдется такая окр-ть точки пространстваR’, что в пределах этой окр-ти сущ-ют единственные m функций (13), которые удовлетворяют условиям и явл-ся решением системы Ур-ий (14), причём это решение непрерывно и дифференцируемо в указанной окр-ти точки’.

Зависимость ф-ий. Пусть m функций от одних и тех же n переменных

(28) Определены и диф-мы в некоторой открытой n-мерной области D.

Одна из этих ф-ий, например, , зависит в областиD от остальных ф-ций, если сразу для всех точек в областиD (29), где Ф-некоторая ф-ия, определенная и диф-ая в соответствующей области изменения своих аргументов. Ф-ции будем наз-ть зависимыми в областиD, если одна из этих функций зависит в области D , еслиодна из этих ф-ций зависит в области D от остальных.

Пример

Зависимы в любой области D четырехмерного пр-ва, ибо для всех точек () этой области

Теорема Пусть mфункций от nпеременных

Определены и дифференцируемы в окр-ти точки ). Тогда если якобиан из этих ф-ций по каим-ибоm переменным отличен от нуля в точке , то эти ф-ции независимы в некоторой окр-ти точки.

Пример.Две ф-ции независимы в окр-ти любой точки М(х,у) так как якобиан=-2не равен нулю всюду.

studfiles.net

Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум

Задача отыскания экстремума в случае функции многих переменных может быть поставлена как задача об условном экстремуме функции с ограничениями вида,, …,, которые называютсяуравнениями связи. Разумеется, функциидолжны быть определены, непрерывны и непрерывно дифференцируемы в области. Таким образом, ведется поиск экстремума не на всей области определения, а лишь на множестве точек, удовлетворяющих уравнениям связи. Такой экстремум называетсяусловным.

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Допустим, требуется найти экстремум функции при условии, что. Для этого из уравнениявыражают одну из переменных через другую, например,. Подставив это выражение в, получают– функцию одной переменной, которую исследуют на обычный экстремум. Однако, в большинстве более сложных случаев решить этим способом задачу отыскания экстремума не удается.

Для отыскания условного экстремума в общем случае применяется метод множителей Лагранжа. Для этого вводится вспомогательная функция Лагранжа:

.

Эта функция зависит от и значений множителей Лагранжа.

Теорема.Если точка является точкой условного экстремума функциипри условиях,,…,, то существует такое, что точкаявляется точкой экстремума функции.

В качестве необходимых условий существования экстремума формируется система уравнений, решения которой и требуется найти:

Решения системы уравнений образуют множество критических точек с переменными ;. В каждой указанной точке должно выполняться условиеили.

На практике в большинстве случаев ставится задача исследования функции , определенной на множестве точек, удовлетворяющих системе ограничений. Такое множество точек образует область, границами которой являются уравнения связи,, …,.

Наибольшее или наименьшее значение функции в данной области называется абсолютным или глобальным экстремумом функции (соответственно абсолютным максимумом или абсолютным минимумом) в этой области.

Согласно теореме Вейерштрасса функция непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наибольшего и своего наименьшего значений.

Теорема.Абсолютный (глобальный) экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.

Метод наименьших квадратов

При определении вида эмпирической функции обычно предполагается, что это наиболее гладкая кривая, согласованная с экспериментальными данными. Кроме того, для выбора этой функции привлекаются дополнительные соображения, как правило, не математического характера (теоретические модели, опыт предшествующих исследований, и т.п.).

Эта задача может быть решена в ходе регрессионного анализа, который изучается в курсе теории вероятностей, но решить ее можно и математическими методами. Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров функции выбираются такие значения, которые соответствуют минимальному значению суммы квадратов отклонений эмпирических значенийот значений функциивычисленных по соответствующим им значениям аргументов, т.е.:

.

Разность называетсяневязкой. В качестве критерия согласия или величины отклонения можно было взять обычную сумму невязок или их абсолютных величин, но делать это нецелесообразно, поскольку в первом случае сумма невязок может быть малой или, даже, равняться нулю при значительном разбросе экспериментальных данных из-за того, что положительные отклонения будут скомпенсированы отрицательными. Сумма абсолютных величин невязок лишена этого недостатка, но она имеет другой – она не является дифференцируемой, что существенно затрудняет решение задачи.

В ходе решения задачи отыскания оптимальных параметров аппроксимационной функции возникает необходимость поиска экстремума функции нескольких переменных, поэтому прежде чем решать эту задачу для конкретных эмпирических функций, необходимо рассмотреть свойства функций нескольких переменных.

Предположим, что функция – линейная, т.е.. Если это выражение приближенно описывает зависимость междуи, то сумма квадратов невязок должна быть минимальной, т.е. значения параметровидолжны соответствовать минимуму величины:

.

Это функция двух переменных и, она непрерывна, дифференцируема, неотрицательна и ограничена снизу. Для того чтобы найти ее наименьшее значение, необходимо ее частные производные приравнять к нулю:

Таким образом, для нахождения параметров инеобходимо решить систему уравнений:

Эта линейная система уравнений имеет единственное решение, поскольку ее определитель:

не равен нулю.

Вторые производные функции равны:

; ;.

Главные миноры матрицы квадратичной формы положительны, т.е. ;

.

Таким образом, значения и, найденные при решении системы уравнений, соответствуют минимуму функции.

Поскольку система невырождена, то решение можно найти по правилу Крамера:

,.

studfiles.net

Локальные экстремумы функции двух переменных

Определение. Точканазывается точкой локального максимума (минимума) функции, если существует-окрестность этой точки, такая, что для всех точек(принадлежащих-окрестности этой точки), отличных от точки, выполняется неравенство().

Значение называют локальным максимумом (минимумом) функции и пишут

().

Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции — экстремумами функции.

Пример.Функцияимеет локальный максимум в точке(1; 1):(1, 1) = 1.

Действительно, существует окрестность точки (1; 1), в которой выполняется условие(1; 1) >для. Графиком этой функции является поверхность — параболоид вращения, представленный на рисунке.

Отметим, что если функция имеет в точкелокальный экстремум, то:

в случае локального максимума,

в случае локального минимума.

Из сказанного выше следует, что полное приращение функции не меняет знака в . Однако для всех точекопределить знак приращенияпрактически невозможно, поэтому надо искать другие условия, по которым можно судить о наличии и характере экстремума функции в данной точке.

Теорема (необходимые условия существования локального экстремума). Если в точкедифференцируемая функцияимеет локальный экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

и,

или, по крайней мере, одна из них не существует.

Доказательство. Докажем только первое утверждение теоремы.

Рассмотрим в лишь те точки, для которых. Получим функциюодной переменной. Эта функция имеет в точкеэкстремум, следовательно,.

Аналогично доказывается, что .

Теорема доказана.

Проиллюстрируем примером второе утверждение теоремы .

Функция имеет максимум в точке О(0; 0; 0), так как для любой точки(О) выполняется условие(0; 0) >. Частные производные

,

в точке О(0; 0) не существуют для . Графиком этой функции является конус, представленный на рисунке.

Следствие.Если функцияимеет в точкелокальный экстремум, то ее дифференциал в этой точке равен нулю или не существует.

Точка , в которой частные производные равны нулю, или хотя бы одна из них не существует, называется точкой возможного экстремума. Такие точки называются также стационарными или критическими.

Равенство нулю частных производных первого порядка не является достаточным условием существования экстремума функции в точке.

Действительно, возьмем, например, функцию . Она задана на всей числовой плоскостиR². Точка О(0; 0) будет критической, поскольку частные производные в ней равны нулю. Так как функция равна нулю в точке О, а в любой сколь угодно малой окрестности(О) она принимает как положительные, так и отрицательные значения, то функцияне имеет в точке О экстремума.

Теорема (достаточные условия существования локального экстремума). Пусть— стационарная точка трижды дифференцируемой вфункциии пусть

.

Тогда стационарная точка является:

1) точкой локального максимума, если и;

2) точкой локального минимума, если и;

3) если , то стационарная точкане является точкой локального экстремума функции.

Замечание.Если, то нельзя определенно ответить на вопрос о существовании экстремума в точке. В этом случае необходимо произвести дополнительные исследования знака функциив.

Приращения ине могут равняться нулю одновременно, поскольку в подобном случае точкасовпала бы с точкойи функцияне получила бы никакого приращения.

Пример. Исследовать на экстремум функцию.

Решение.Вычислим частные производные первого порядка данной функции:

,.

Находим точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений:

(т. к.для R)

Таким образом, существует только одна стационарная точка (1; 0), в которой функцияможет достигать экстремума.

Воспользуемся теоремой о достаточных условиях существования локального экстремума.

Для этого найдем частные производные второго порядка функции z:

,,.

Вычислим значения частных производных второго порядка для стационарной точки :

,,.

Так как (1; 0),

то по теореме о достаточных условиях существования локального экстремума точка (1; 0) является точкой локального экстремума, а т. к. А > 0, то точка(1; 0) является точкой локального минимума, при этом

.

Пример. Исследовать на экстремум функцию.

Решение.Вычислим частные производные первого порядка данной функции:,.

Для определения точек возможного экстремума решим систему уравнений:

Данная система имеет два решения

и

Следовательно, функция имеет две стационарные точки (0; 0) и(1, 1). Вычислим частные производные второго порядка функции:

,,.

.

Вычислим для точки(0; 0). Так как(0; 0), то в точке(0; 0) нет экстремума.

Вычислим для точки(1, 1). Т. к.(1; 1), то точка(1, 1) является точкой локального экстремума, а т. к. , то точка(1, 1) является точкой локального максимума, при этом

(1; 1)=9.

Пример. Исследовать на экстремум функцию.

Решение.Вычислим частные производные первого порядка функции:

.

Решая систему уравнений:

находим единственную стационарную точку (0; 0) данной функции.

Найдем частные производные второго порядка функции :

,,

Для стационарной точки (0; 0)

,,

.

Следовательно, по теореме о достаточных условиях существования локального экстремума нельзя определенно ответить на вопрос о существовании экстремума в точке (0; 0). В данном случае стационарная точка(0; 0) является точкой локального минимума, поскольку,для(0; 0)=0.

studfiles.net

Построить график функции y=f(x). Исследование функции онлайн.

Введите график функции

Построим (исследуем) график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x)

Важно: a должно быть меньше b, иначе график не сможет построиться. Cледите за масштабом — если графика на рисунке нету, значит стоит поварьировать значения a и b

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратный корень

sqrt(x)/(x + 1)

Кубический корень

cbrt(x)/(3*x + 2)

С применением синуса и косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

x*arcsin(x)

Арккосинус

x*arccos(x)

Применение логарифма

x*log(x, 10)

Натуральный логарифм

ln(x)/x

Экспонента

exp(x)*x

Тангенс

tg(x)*sin(x)

Котангенс

ctg(x)*cos(x)

Иррациональне дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

x*arctg(x)

Арккотангенс

x*arсctg(x)

Гиберболические синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гиберболические тангенс и котангенс

ctgh(x)/tgh(x)

Гиберболические арксинус и арккосинус

x^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

x^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Исследование графика функции

Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода

Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции

Что умеет находить этот калькулятор:

• Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
• Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
• Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
• Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
• Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
• Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
• Наклонные асимптоты графика функции: Да
• Четность и нечетность функции: Да

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)

Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)

arccos(x)

Функция — арккосинус от x

arccosh(x)

Арккосинус гиперболический от x

arcsin(x)

Арксинус от x

arcsinh(x)

Арксинус гиперболический от x

arctg(x)

Функция — арктангенс от x

arctgh(x)

Арктангенс гиперболический от x

e

e число, которое примерно равно 2.7

exp(x)

Функция — экспонента от x (что и e^x)

log(x) or ln(x)

Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))

pi

Число — «Пи», которое примерно равно 3.14

sin(x)

Функция — Синус от x

cos(x)

Функция — Косинус от x

sinh(x)

Функция — Синус гиперболический от x

cosh(x)

Функция — Косинус гиперболический от x

sqrt(x)

Функция — квадратный корень из x

sqr(x) или x^2

Функция — Квадрат x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

www.kontrolnaya-rabota.ru

Калькулятор графиков. График функции онлайн

ru.onlinemschool.com

Построение графиков онлайн | Онлайн калькулятор

allcalc.ru

Построение графиков функций

Документация по синтаксису математических операций,
списку поддерживаемых сервисом функций и констант

www.aiportal.ru

Окружность. Как построить окружность? Формула окружности.

Как построить окружность?

Окружностью называется фигура которая состоит из всех точек плоскости равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Радиусом называется любой отрезок соединяющей точку окружности с ее центром.

Чтобы построить окружность необходимо знать уравнение окружности:

(х – а)² + (у – b)² = R ²

Точка С(а;b) центр окружности, радиус R, х и у – координаты произвольной точки окружности.

И так, чтобы построить окружность необходимо знать цент окружности и радиус. Рассмотрим пример:

Пример №1:
(х – 1)² + (у – 2)² = 4²

Найдем центр окружности:
х – 1=0
x=1

у – 2=0
y=2

Центр окружности будет находится в точке (1;2)

Найдем радиус окружности:
R ²=4
R ²=2²
R=2

Построим окружность. Отметим сначала центр окружности, а потом отложим с четырех сторон (вверх, вниз, влево и право) длину радиуса и отметим эту длину точками. Потом проведем окружность.

Пример №2:
х² + (у + 1)² =1

Можно представить уравнение окружности ввиде:
(х-0)² + (у + 1)² =1²

Найдем центр окружности:
х=0

у + 1=0
y=–1

Центр окружности будет находится в точке (0;–1)

Найдем радиус окружности:
R ²=1
R ²=1²
R=1

Построим окружность.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

tutomath.ru

ОНЛАЙН ДИАГРАММЫ | создавайте Ваши собственные диаграммы онлайн

Диаграммы — великолепное изобретение для визуализации информации. На сайте OnlineCharts.ru Вы сможете создавать и публиковать Ваши собственные онлайн диаграммы абсолютно бесплатно.

Наша система поддерживает множество типов диаграмм, включая такие, как: столбчатые диаграммы, круговые диаграммы, линейные диаграммы, пузырьковые диаграммы и радиальные диаграммы.

Создайте Вашу диаграмму »

Примеры диаграмм

Car Sales 1967-2007 (NL)

Unemployment 2001-2007 (NL)

Dutch Elections 2006

Dutch Elections 2006 vs 2003

Apples and Pears Sale 2007

Sales Chart April

Sales Data March

www.onlinecharts.ru

Уравнения, радиуса и центра окружности по трем точкам

Калькулятор расчета онлайн уравнения окружности по трем заданным точкам, а также нахождение координат точки центра и радиус окружности.

Перпендикулярные векторы и условие перпендикулярности

Перпендикулярные векторы и условие перпендикулярности

Условие ортогональности векторов. Векторы и будут ортогональными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

Если векторы заданы своими координатами: и , то условие ортогональности запишется в виде:

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Ортогональность векторов.

Примеры задач на ортогональность векторов

Примеры плоских задач на ортогональность векторов

Так в случае плоской задачи для векторов a = {a_x; a_y} и b = {b_x; b_y}, условие ортогональности запишется следующим образом:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y = 0

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = -2.

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

Так в случае пространственной задачи для векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z}, условие ортогональности запишется следующим образом:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z = 0

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.

ru.onlinemschool.com

Как найти вектор перпендикулярный вектору

Рассмотрим формулы и примеры, с помощью которых станет проще понять как найти вектор перпендикулярный вектору.
Для перпендикулярности двух векторов необходимо выполнение одного условия: скалярное произведение данных векторов должно быть равным нулю.
Сразу же рассмотрим два случая:

1-й случай. Векторы заданы на плоскости. В таком случае они будут заданы двумя координатами х и у и условие перпендикулярности этих векторов будет:

2-й случай. Векторы заданы в пространстве. В таком случае они будут заданы тремя координатами х, у и z и условие перпендикулярности этих векторов:

Рассмотрим на примере как найти вектор перпендикулярный другому вектору.

Пример 1.
Заданы два вектора и . Найдем значение d, при котором данные векторы будут перпендикулярными.

Решение.
Для перпендикулярности векторов, заданных на плоскости, необходимо, чтобы выполнялось условие равности их скалярного произведения нулю, то есть для нашего случая условие первое:

Подставим в него известные координаты векторов и вычислим неизвестное d:

Ответ. Векторы и будут перпендикулярными при .

На самом деле ничего сложно нет, нужно только определить на плоскости или в пространстве заданы векторы, взять нужную формулу, подставить в нее координаты и посчитать результат.

ru.solverbook.com

РГР 2

Вопросы к защите РГР №2 по математике за 1 семестр.

Вектор — это направленный отрезок, который имеет начало и конец.

Длиной ненулевого вектора  называется длина отрезка AB.

Нулевой вектор — вектор, начало которого совпадает с его концом.

Орты – единичный вектор.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Чтобы сложить два вектора, нужно от конца одного из них отложить второй вектор; тогда сумма – это вектор с началом в начале первого вектора и концом в конце второго вектора: .

Разностью двух векторов  и называется такой третий вектор , который равен сумме векторов и .

Проекцией вектора  на ось l называется длина его составляющей  по этой оси, взятая со знаком «+», если   сонаправлен с l, и со знаком «-»,если  не сонаправлен с l.

Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют равные модули.

a={a_x; a_y; a_z} и b={b_x; b_y; b_z} коллинеарны если

Радиус-вектор точки — называется вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с данной точкой.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Для перпендикулярности двух ненулевых векторов инеобходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов в координатах имеет вид .

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор который обладает следующими свойствами:

1. Его длина равна  =

2. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и 

3. Вектор направлен так, что поворот от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора (в этом случае, говорят, что тройка векторов и – правая).

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Смешанное произведение векторов a, b, c — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами a, b, c.

 Ax + By + Cz + D = 0

Геометрическое значение коэффициентов A, B и C в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 состоит в том, что они являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz вектора, перпендикулярного этой плоскости.

1) By + Cz + D = 0 — параллельна оси Ox;

2) Ax + Cz + D = 0 — параллельна оси Oy;

3) Ax + By + D = 0 — параллельна оси Oz;

4) Cz + D = 0 — параллельна оси Oxy;

5) By + D = 0 — параллельна оси Oxz;

6) Ax + D = 0 — параллельна оси Oyz;

7) Ax + By + Cz = 0 — проходит через начало координат;

8) By + Cz = 0 — проходит через ось Ox;

9) Ax + Cz = 0 — проходит через ось Oy;

10) Ax + By = 0 — проходит через ось Oz;

11) z = 0 — плоскость Oxy;

12) y = 0 — плоскость Oxz;

13) x = 0 — плоскость Oyz.

Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы параллельны, а значит .

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а значит .

m, n, p – направляющий вектор прямой

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны. 

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю (скалярное произведение).

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

1. Привести уравнение прямой к параметрическому виду: ;  ;

2. Подставить эти выражения в уравнение плоскости.

3. Из полученного найти t, а потом  x,y и z.

studfiles.net

Если ненулевые векторы перпендикулярные, то их скалярное произведение равно

Если ненулевые векторы перпендикулярные, то их скалярное произведение равно

+а) 0

б) 1

в) -1

г) 10

д) -10

9. Скалярное произведение векторов равно-…

ОТВЕТ:1

10. Определитель равен

+а) -1

б) 7

в) 1

г) -4

д) -7

11. Порядок определителя равен-…

ОТВЕТ:4

Числовая матрица – это

+а) таблица

б) число

в) вектор

г) скаляр

д) линия

13.Если , то значение равно

+а)

б)

в)

г)

д)

14.Если , то значение равно

+а)

б)

в)

г)

д)

15. — это обозначение матрицы

+а) транспонированной

б) симметрической

в) косоугольной

г) треугольной

д) диагональной

16.Матрица является вырожденной при равном-…

ОТВЕТ:6

СЛАУ, имеющая решение, называется

+а) совместной

б) определённой

в) регулярной

г) несовместной

д) неопределённой

18. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A(1;1) и B(2;3), равен-…

ОТВЕТ:2

19.Расстояние между точками A(-1;2;6) и B(-3;-4;3) равно-…

+а) 7

б) 6

в) 5

г) 4

д) 3

20.Предел равен

+а) 1

б) 2

в) 1/3

г) 1/2

д) ∞

21.Производная функции равна

+а)

б)

в)

г)

д)

22. . равна

+а)

б)

в)

г)

д)

23.Минимум функции равен-…

ОТВЕТ:-3

24.Функция имеет минимум в точке , равной

+а) 2

б) 0

в) -2

г) 1

д) -1

25.Производная на интервале. Тогда функция на этом интервале

+а) возрастает

б) убывает

в) постоянна

г) ограничена

д) выпуклая

26.Интеграл равен

+а)

б)

в)

г)

д)

27.Интеграл равен

а)

б)

в)

+г)

д)

28.Пять судей распределяют в пять различных районных судов. Количество различных вариантов равно-…

ОТВЕТ:120

29.Для проверки отбирают три банка из семи. Количество различных вариантов выбора равно-…

ОТВЕТ:35

В партии 7 стандартных и три нестандартных изделия. Вероятность того, что наудачу выбранное изделие стандартное, равна

+а) 0.7

б) 0.3

в) 0.5

г) 0.1

д) 1

В партии 7 стандартных и три нестандартных изделия. Вероятность того, что наудачу выбранное изделие нестандартное, равна

+а) 0.3

б) 0.7

в) 0.6

г) 0.4

д) 0

32. Вероятность достоверного события равна-…

ОТВЕТ:1

33.Случайные величины изучают в дисциплине

+а) теория вероятностей

б) алгебра и геометрия

в) математич. анализ

г) программирование

д) история цивилизаций

Дискретная случайная величина задана законом распределения

Пропущенное значение вероятности равно

+а) 0.2

б) 0.1

в) 0.3

г) 0.4

д) 0

Случайная величина принимает значения 3, 5, 8, 8, 11. Мода величины равна

+а) 8

б) 3

в) 11

г) 5

д) 0

36.Определитель равен-…

ОТВЕТ:9

37.Если — решение системы уравнений , то равно-…

ОТВЕТ:3

38.Если — решение системы уравнений , то равно

+а) 1

б) 5

в) 4

г) -1

д) -3

39.Если — решение системы уравнений , то равно

+а) 2

б) 5

в) 3

г) -1

д) -4

40.Матрица является

+а) диагональной

б) вырожденной

в) единичной

г) размера

д) нулевой

41. Длина вектора равна-…

ОТВЕТ:7

42. . Тогда равно

+а)

б)

в)

г)

д)

43.Если векторы перпендикулярные, то их скалярное произведение равно

+а) 0

б) 1

в) -1

г) 10

д) -10

44. Скалярное произведение векторов равно-…

ОТВЕТ:1

45. Определитель равен

+а) 10

б) 17

в) -11

г) -3

д) -7

46. Порядок матрицы равен-…

ОТВЕТ:4

Определитель – это

+а) число

б) таблица

в) вектор

г) скаляр

д) кривая

48.Если , то значение равно

+а)

б)

в)

г)

д)

49.Если , то значение равно

+а)

б)

в)

г)

д)

50. — это обозначение матрицы

+а) единичной

б) симметричной

в) косоугольной

г) треугольной

д) диагональной

51.Матрица является вырожденной при равном-…

ОТВЕТ:6

В урне 7 белых и три чёрных шара. Вероятность того, что наудачу выбранный шар белый, равна

+а) 0.7

б) 0.3

в) 0.5

г) 0.1

д) 1

Дискретная случайная величина задана законом распределения

Матрица – это

+а) таблица

б) число

в) вектор

г) скаляр

д) линия

83.Если , то значение равно

+а)

б)

в)

г)

д)

84.Если , то значение равно

+а)

б)

в)

г)

д)

85. — это обозначение матрицы

+а) транспонированной

б) симметрической

в) косоугольной

г) треугольной

д) диагональной

86.Матрица является вырожденной при равном-…

ОТВЕТ:9

Диагональная матрица – это

+а) таблица

б) число

в) вектор

г) скаляр

д) кривая

118.Дано: . Тогда значение равно

+а)

б)

в)

г)

д)

119.Дано: . Тогда значение равно

+а)

б)

в)

г)

д)

120. — это обозначение матрицы

+а) обратной

б) симметричной

в) единичной

г) треугольной

д) диагональной

121.Матрица является вырожденной при равном-…

ОТВЕТ:6

Если ненулевые векторы перпендикулярные, то их скалярное произведение равно

+а) 0

б) 1

в) -1

г) 10

д) -10

9. Скалярное произведение векторов равно-…

ОТВЕТ:1

10. Определитель равен

+а) -1

б) 7

в) 1

г) -4

д) -7

11. Порядок определителя равен-…

ОТВЕТ:4

Числовая матрица – это

+а) таблица

б) число

в) вектор

г) скаляр

д) линия

13.Если , то значение равно

+а)

б)

в)

г)

д)

14.Если , то значение равно

+а)

б)

в)

г)

д)

15. — это обозначение матрицы

+а) транспонированной

б) симметрической

в) косоугольной

г) треугольной

д) диагональной

16.Матрица является вырожденной при равном-…

ОТВЕТ:6

cyberpedia.su

Условие перпендикулярности векторов

Векторы на плоскости

1. Координаты вектора

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат

конца вычесть соответственные координаты начала.

Абсолютная величина вектора (модуль вектора, длина вектора)

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Равные вектора

Векторы равны, если равны их соответственные координаты, и наоборот.

Одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы

Коллинеарные векторы

а) определение

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

б) Условие коллинеарности векторов

Если два вектора коллинеарны, то их соответственные координаты пропорциональны и наоборот.

Действия с векторами

1.Сложение векторов

Чтобы сложить два вектора, нужно сложить их соответственные координаты.

2. Правила сложения векторов

а) Правило треугольника

Чтобы сложить векторы по правилу треугольника, нужно отложить их последовательно друг за другом. Вектор, равный их сумме, направлен от начала первого к концу второго.

б) Правило параллелограмма

Чтобы сложить векторы по правилу параллелограмма, нужно отложить их из общего начала, достроить параллелограмм на этих векторах как на сторонах. Их суммой является вектор, выходящий из общего начала и являющийся диагональю параллелограмма.

в) Правило многоугольника

Чтобы сложить векторы по правилу многоугольника, нужно отложить их последовательно друг за другом. Их суммой является вектор, выходящий из начала первого к концу второго.

3. Вычитание векторов

Чтобы вычесть векторы, нужно вычесть их соответственные координаты.

4. Правило вычитания векторов

Чтобы вычесть векторы, нужно отложить их из общего начала и соединить их концы. Направить вектор к уменьшаемому.

5. Умножение вектора на число

Чтобы умножить число на вектор, нужно умножить каждую координату вектора на это число.

1.

2.

Скалярное произведение векторов

а) Определение скалярного произведения

Скалярным произведением называется число, равное сумме произведений соответственных координат.

б) Теорема о скалярном произведении

Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Условие перпендикулярности векторов

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, и наоборот.

Скалярный квадрат

Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора.

9. Свойство вектора

studopedya.ru

Калькулятор матриц онлайн

Онлайн-калькулятор матриц позволяет выполнять следующие действия над матрицами: сложение матриц, вычитание матриц, умножение матриц. Для того, чтобы произвести вычисления, заполните соответствующие элементы в матрицах А и В, выберите вид действия над матрицами и затем нажмите кнопку «Рассчитать».

Как вычислить экспоненту | Сделай все сам

Экспонента – это математическая функция, значение которой вычисляется по формуле «е» в степени «х». Значение числа «е» приблизительно равно 2,7. Если значения числа «х» – целые числа, то вычислить экспоненту дозволено и на листе бумаги. Но если показатель функции («х») принимает дробные либо дюже крупные значения, то нужен компьютер либо инженерный калькулятор. Причем, даже на компьютере вычислить экспоненту не так-то примитивно.

Вам понадобится

• калькулятор либо компьютер

Инструкция

1. Вычисление экспоненты на обыкновенном (бухгалтерском) калькуляторе дюже затруднительно. Следственно, дабы вычислить экспоненту, возьмите «инженерный» калькулятор (тот на котором имеются значки математических функций). Введите число, экспоненту которого нужно посчитать. Позже чего, легко нажмите на кнопку, обозначенную как «е» с крошечной буквой «икс», расположенной выше и правее символа «е». На дисплее калькулятора здесь же появится желанный итог.

2. Если значение функции получится дюже огромным (показательная функция дюже стремительно повышается), то все цифры итога не уместятся на индикаторе калькулятора. Самые недорогие модели калькуляторов в таком случае легко выдают сообщение об ошибке (выглядит как буква «Е» либо надпись типа «error»). Добротный калькулятор в таком случае представит итог в форме типа: хххЕууу. Дабы получить вывод вычислений в больше привычном виде, припишите к числу ххх ууу нулей справа, если ууу – позитивное число. Если ууу – негативное, то сдвиньте десятичную точку на ууу знаков налево, приписав слева нужное число нулей.

3. Дабы вычислить экспоненту на компьютере, запустите типовой калькулятор ОС Windows (нажмите ступенчато кнопки «Пуск», «Исполнить» и наберите «calc»). Если калькулятор запустился в «обыкновенном» режиме, то переведите его в инженерный вид, предпочтя пункт меню «Вид» и указав в списке опций «Инженерный».

4. После этого введите на клавиатуре (виртуальной либо компьютерной) число, экспоненту которого требуется вычислить. Позже чего установите галочку в окне «Inv» и нажмите на кнопку, применяющуюся для вычисления значения естественного логарифма «ln». При вычислении дальнейшей экспоненты не позабудьте вторично выставить галочку в окошке Inv.

5. Обратите внимание, что особой кнопки для вычисления значения экспоненты в стандартном «компьютерном» калькуляторе нет. Наружно подходящая для этих целей кнопка с надписью ехр применяется в калькуляторе Windows абсолютно по иному назначению. Будьте внимательны.

Логарифмы применяются при решении тех уравнений в математике и прикладных науках, в которых незнакомые величины присутствуют как показатели степени. Логарифм с основанием, равным константе “e” («число Эйлера», 2,718281828459045235360…), именуется «естественным» и записывается почаще каждого как ln(x). Он показывает степень, в которую следует построить константу e, дабы получить число, указанное в качестве довода естественного логарифма (x).

Инструкция

1. Используйте калькулятор для вычисления естественного логарифма. Это может быть, скажем, калькулятор из базового комплекта программ операционной системы Windows. Ссылка на его запуск упрятана достаточно велико в основное меню ОС – раскройте его щелчком по кнопке «Пуск», после этого откройте его раздел «Программы», перейдите в подраздел «Типовые», а после этого в секцию «Служебные» и, наконец, щелкните пункт «Калькулятор». Дозволено взамен мыши и перемещений по меню применять клавиатуру и диалог запуска программ – нажмите сочетание клавиш WIN + R, наберите calc (это имя исполняемого файла калькулятора) и нажмите клавишу Enter.

2. Переключите интерфейс калькулятора в расширенный режим, разрешающий осуществлять вычисления логарифмов. По умолчанию он открывается в «обыкновенном» виде, а вам необходим «инженерный» либо «ученый» (в зависимости от версии применяемой ОС). Раскройте в меню раздел «Вид» и выберите соответствующую строку.

3. Введите довод, естественный логарифм которого необходимо вычислить. Это дозволено сделать как с клавиатуры, так и щелкая мышкой соответствующие кнопки в интерфейсе калькулятора на экране.

4. Кликните кнопку с надписью ln – программа рассчитает логарифма по основанию e и покажет итог.

5. Воспользуйтесь каким-нибудь из онлайн-калькуляторов в качестве альтернативного варианта вычисления значения естественного логарифма. Скажем, тем, тот, что расположен по адресу http://calc.org.ua. Его интерфейс предельно примитивен – есть исключительное поле ввода, куда вам нужно впечатать значение числа, логарифм от которого нужно вычислить. Среди кнопок обнаружьте и щелкните ту, на которой написано ln. Скрипт этого калькулятора не требует отправки данных на сервер и ожидания результата, следственно итог вычисления вы получите фактически мигом. Исключительная специфика, которую следует рассматривать – разделителем между дробной и целой частью вводимого числа тут непременно должна быть точка, а не запятая.

Вычисление логарифмов может потребоваться для нахождения значений по формулам, содержащим в качестве неведомых переменных показатели степеней. Два вида логарифмов, в различие от всех остальных, имеют личные наименования и обозначения – это логарифмы по основаниям 10 и число e (иррациональная константа). Разглядим несколько примитивных методов вычисления логарифма по основанию 10 – «десятичного» логарифма.

Инструкция

1. Используйте для вычислений калькулятор, встроенный в операционную систему Windows. Для его запуска нажмите клавишу win, выберите пункт «Исполнить» в основном меню системы, введите латинские буквы calc и нажмите OK. В стандартном интерфейсе этой программы нет функции вычисления алгорифмов, следственно раскройте в ее меню раздел «Вид» (либо нажмите сочетание клавиш alt + «и») и выберите строку «ученый» либо «инженерный».

2. Введите число, которое должно стоять под знаком десятичного логарифма, и щелкните по кнопке, помеченной в интерфейсе надписью log. Калькулятор рассчитает и покажет итог.

3. Воспользуйтесь каким-нибудь онлайн-сервисом если ваш компьютер подключен к интернету. В сети есть большое число сайтов с калькуляторами различного рода. Перейдите, скажем, на страницу http://kalkulyatoronline.ru/index.html и нажмите клавишу end, дабы пропустить изложение калькулятора и перейти непринужденно к вычислению. Введите число, десятичный логарифм которого нужно рассчитать, и щелкните по кнопке с такой же, как в программном калькуляторе надписью log. Итог увидите сразу же – данный сервис не отправляет данные на сервер, а вычисляет все прямо в вашем браузере.

4. Если по какой-то причине вы не хотите вычислять десятичный логарифм именно как логарифм по основанию 10, то дозволено представить его как частное от деления логарифма по основанию e (число Эйлера) этого числа, на логарифм по основанию e от 10. Логарифмы с основанием e называют «естественными»: lg(x)=ln(x)/ln(10). Дабы посчитать логарифм этим нестандартным методом перейдите, скажем, на сайт поисковика Google и введите в строку поискового запроса ln(81)/ln(10), если надобно узнать значение десятичного логарифма для числа 81. Google, кстати, может посчитать его и обыкновенным методом, то есть если вы введете запрос lg 81. В обоих случаях итог будет идентичен: 1,90848502.

Вычисление дробных степеней порождает трудности, связанные с расчетами для негативных чисел. В связи с этим, математику для решения связанных с дробной степенью задач следует помнить ряд правил и рекомендаций.

Инструкция

1. Удостоверитесь в том, что задача вообще имеет решение. Если основание степени негативное, математика действительных чисел воспрещает возведение в дробную степень. В этом случае надобно будет использовать комплексное исчисление, которое постигают студенты высших технических улебных заведений.

2. В вычислении дробной степени имеется казус, по которому, с одной стороны, итог операции ?8^1/3 не определен, но, с иной стороны, каждому вестимо, что кубический корень из ?8 равен ?2. Тем не менее, если попытаться вычислить дробную степень числа ?8, применяя степенные формулы A^(BC) = (A^B)^C, дозволено прийти к возражению: ?8^1/3 = ?8^2/6 = (-8^2)^1/6 = 64^1/6 = 2. Следственно возводить негативные числа в дробные степени запрещено, а в уравнениях следует различно чураться формул с дробными степенями, потому что вы можете утратить негативные корни.

3. Если в задаче требуется произвести расчет дробной степени правильного числа, дозволено воспользоваться калькулятором с функцией возведения в степень, скажем, стандартным калькулятором Windows. Для этого введите основание степени, после этого нажмите знаок возведения в степень, введите показатель степени и нажниме клавишу Enter. Итог будет выведен на экране калькулятора.

4. Если требуется решить уравнение, в котором один из доводов присутствует в дробной степени, определенный путь решения зависит от вида этого уравнения. Но надобно помнить несколько формул, которые помогают при вычислении дробной степени:A^BC = (A^B)^CA^(B+C) = A^B · A^Clog(A^B) = B · log(A)

5. В тех случаях, когда необходимо обнаружить примерное значение дробной степени числа, а калькулятора под рукой нет, воспользуйтесь формулами из пункта 4. Пример: обнаружим примерное значение 100^3/5. 100^3/5 = 10^6/5 = 1000000^1/5 ? 1024^1/5 · 1024^1/5 = 4*4 = 16. Проверяем на калькуляторе: 100^3/5 ? 15,85. Значение получено нами с недурной точностью.

Процессоры современных компьютеров в состоянии исполнять сотни триллионов операций в секунду. Ясно, что такие примитивные задачки, как возведение числа в степень , для них пустяки. Они решаются попутно при выполнении серьезных задач, скажем, по созданию графики виртуальных миров. Но повелитель компьютера – пользователь, а раз ему хочется заниматься такими пустяками, супердракону доводится прикидываться котенком, изображая из себя программу-калькулятор.

Вам понадобится

Инструкция

1. Запустите типовой калькулятор, встроенный в операционную систему – кликните по кнопке «Пуск», наберите две буквы «ка» и нажмите клавишу Enter. В версиях ОС Windows больше ранних выпусков – XP и старее – используйте ссылку «Калькулятор» в подразделе «Типовые» раздела «Все программы» основного меню.

2. Открываемый по умолчанию вариант интерфейса калькулятора не имеет особой функции возведения в степень , но и его дозволено применять для выполнения этой операции. Введите число, которое требуется построить в степень , и нажмите звездочку – знак умножения. Нажмите клавишу Enter, и число будет умножено на само себя, то есть возведено в квадрат. Повторное нажатие этой же клавиши совершит еще одну операцию умножения, построив начальное число в куб. Вы можете нажимать Enter необходимое число раз, всяким нажатием увеличивая показатель степени на единицу.

3. Описанный метод примитивен, но не неизменно комфортен. Больше продвинутый вариант интерфейса калькулятора – «инженерный» – может предложить другие способы выполнения этой операции. Для его включения нажмите комбинацию клавиш Alt + 2 либо выберите пункт «Инженерный» в разделе «Вид» меню приложения.

4. Введите начальное число. В этом интерфейсе за операциями возведения в квадрат и куб закреплены отдельные кнопки, следственно для их выполнения вам довольно кликнуть по кнопкам с символами x? либо x?.

5. Если показатель степени огромнее тройки, позже ввода числа-основания щелкните по кнопке с символом x?. После этого введите показатель степени и нажмите клавишу Enter либо кликните по кнопке со знаком равенства. Калькулятор произведет нужные вычисления и отобразит итог.

6. Есть и еще один метод возведения числа в степень , тот, что, скорее, дозволено назвать трюком. Дабы им воспользоваться, введите начальное число и кликните по кнопке извлечения корня произвольной степени ??x. После этого введите десятичную дробь, которая является итогом деления единицы на показатель степени. Скажем, для возведения в пятую степень это должно быть число 1/5=0,2. Нажмите на кнопку Enter и получите итог возведения в степень .

Видео по теме

Если в школе ученик непрерывно сталкивается с числом П и его значимостью, то студенты значительно почаще применяют некоторое e, равное 2.71. Число при этом не берется из ниотколе – множество преподавателей добросовестно рассчитывают его прямо во время лекции, не применяя при этом даже калькулятора.

Инструкция

1. Используйте для расчета 2-й восхитительный предел. Он заключается в том, что e=(1+1/n)^n, где n – целое число, нарастающее до бесконечности. Суть доказательства сводится к тому, что правую часть восхитительного предела надобно разложить через бином Ньютона, зачастую используемую в комбинаторике формулу.

2. Бином Ньютона разрешает выразить всякую (a+b)^n (сумму 2-х чисел в степени n), как ряд (n!*a^(n-k)*b^k)/(k!*(n-k)!). Для большей наглядности перепишите данную формулу на бумагу.

3. Проведите указанное выше реформирование для «восхитительного предела». Получите, что e=(1+1/n)^n= 1 + n/n + (n(n-1))/(2!*n^2) + n(n-1)(n-2)/(3!*n3) + … + (n-1)(n-2)2*1/(n!*n^n).

4. Данный ряд дозволено преобразовать, перенесши, для наглядности, факториал в знаменателе за скобку и почленно поделив числитель всякого числа на знаменатель. Получим ряд 1+1+(1/2!)*(1-1/n)+(1/3!)*(1-1/n)*(1-2/n)+ … + (1/n!)*(1-1/n)*…*(1-n-1/n). Перепишите данный ряд на бумагу, чтобы удостовериться, что он имеет довольно примитивную конструкцию. При безмерном увеличении числа членов (т.е. увеличении n) разность в скобках будет уменьшаться, впрочем будет возрастать стоящий перед скобкой факториал (1/1000!). Несложно подтвердить, что данный ряд будет сходиться к некоторой величине, равной 2,71. Это видно и из первых членов: 1+1=2; 2+(1/2)*(1-1/1000)=2,5; 2,5+(1/3!)*(1-1/1000)*(1-2/1000)=2,66.

5. Значительно проще разложение при помощи обобщения ньютоновского бинома – формулы Тейлора. Минус данного метода в том, что расчет ведется через экспоненциальную функцию e^x, т.е. для расчета е математик оперирует числом е.

6. Ряд Тейлора имеет вид: f(x)=f(a)+(x-a)*f’(a)/1!+(x-a)*(f^(n))(a)/n!, где х – некоторая точка, вокруг которой ведется разложение, а f^(n) –производная f(x) n-ого порядка.

7. Позже разложения экспоненты в ряд она примет вид: e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+…+x^n/n!.

8. Производная функции e^x=e^x, следственно, если раскладывать функцию в ряд Тейлора в окрестности нуля, производная всякого порядка обратится в единицу (подставим 0 взамен х). Получим: 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … + 1/n!. По первым нескольким членам дозволено вычислить примерное значение e: 1+0.5+0.16+0.041= 2.701.

Видео по теме

jprosto.ru

Как посчитать экспоненту | Сделай все сам

Экспонентой в математике именуется значение показательной функции. То есть, число «е», возведенное в степень «х». Значение числа «е» для приближенных расчетов дозволено принять равным 2,7. Впрочем, невзирая на простоту определения, без калькулятора либо компьютера тут не обойтись. Причем подсчет экспоненты на компьютере не так примитивен, как кажется.

Вам понадобится

• калькулятор либо компьютер

Инструкция

1. Дабы посчитать экспоненту на калькуляторе, возьмите «инженерный» калькулятор, на котором дозволено вычислять значения математических функций. Ведите число, экспоненту которого нужно посчитать. После этого примитивно нажмите на кнопку расчета экспоненты. На большинстве калькуляторов она выглядит как «ехр» либо буква «е» с маленьким «иксом», расположенным немножко выше и правее буквы «е». На индикаторе калькулятора сразу же появится итог (нажимать на кнопку «=» не надобно).

2. Для подсчета экспоненты на компьютере воспользуйтесь стандартным калькулятором ОС Windows. Для этого запустите программу «калькулятор» (нажмите кнопку «Пуск», после этого «Исполнить», наберите в появившемся окошке «calc» и нажмите «Ок»). Если на клавиатуре виртуального калькулятора нет клавиш для вычисления математических функций, то переключите в инженерный режим (выберите пункт меню «Вид», а после этого укажите на строке «Инженерный»).

3. Сейчас наберите число, экспоненту которого надобно посчитать. После этого поставьте «галку» в окошке «Inv» и нажмите на кнопку вычисления естественного логарифма «ln». Обратите внимание, что позже вычисления галочка в окошке «Inv» механически сбрасывается и ее нужно выставлять вновь. Не пользуйтесь для вычисления экспоненты кнопкой с надписью «ехр»! В калькуляторе Windows эта кнопка применяется абсолютно для других целей.

Существует три вида инженерных калькуляторов: с обратной польской, арифметической и формульной записью. Бывают и такие калькуляторы, которые поддерживают переключения способов ввода выражений. Применение всякого из них имеет свои особенности.

Инструкция

1. Определите, какой способ ввода поддерживает ваш калькулятор. Если на нем отсутствует клавиша со знаком равенства, но есть клавиша со стрелкой, направленной вверх, перед вами – машинка с обратной польской записью. Присутствие клавиши со знаком равенства говорит о том, что в приборе применяется арифметический способ ввода. Наконец, если индикатор калькулятора, помимо сегментных знакомест, имеет еще и матричные, то агрегат рассчитан на формульную запись. В последнем случае, взамен знака равенства на соответствующей клавише может быть нанесено слово “EXE” либо “Enter”.

2. Дабы произвести расчет на калькуляторе с обратной польской записью, нужно сначала определить очередность выполнения действий. Делается это по общепризнанным математическим правилам.Действия с двумя операндами исполняйте дальнейшим образом. Введите 1-й операнд. Нажмите кнопку со стрелкой вверх, дабы перенести его на один регистр стека вверх. Введите 2-й операнд, и лишь позже этого нажмите на клавишу математического действия. На индикаторе отобразится итог вычисления.Для выполнения действия с одним операндом примитивно введите его, а после этого нажмите на соответствующую этому действию кнопку.

3. На калькуляторе с арифметической записью действия с двумя операндами исполняйте так же, как на обыкновенном калькуляторе. Действия же с одним операндом исполняйте так же, как на машинке с обратной польской записью.Если на клавиатуре присутствуют клавиши со скобками, надобность в определении очередности вычислений отсутствует. Следует, впрочем, не допускать превышения яруса вложенности скобок, указанного в инструкции. При отсутствии инструкции определить данный ярус дозволено опытным путем, нажав клавишу с открывающей скобкой несколько раз и подметив, позже которого по счету нажатия появилось сообщение об ошибке.

4. В калькулятор с формульной записью выражение вводят так же, как оно записывается на бумаге. Если поле ввода однострочное, формулы, содержащие дроби, преобразовывают в «одноэтажные» с подмогой скобок и знака деления. При необходимости, введенное выражение дозволено скорректировать, пользуясь клавишами с горизонтальными стрелками, а также кнопками “Insert”, “Backspace” и “Delete” (на различных калькуляторах их наименования могут различаться). После этого нажимают клавишу “EXE” либо “Enter” и получают итог. Если данный итог требуется разместить в следующую формулу, пользуются клавишей “ANS”.

5. Во многих калькуляторах некоторые из клавиш способны исполнять больше одной функции. Примитивное нажатие клавиши соответствует выполнению той операции, наименование которой указано прямо на ней. Другие операции обозначены рядом с кнопкой тем либо другим цветом. Дабы принудить калькулятор исполнить такую функцию, следует вначале нажать регистровую клавишу, имеющую тот же цвет (она может именоваться “F”, “2ndF”, “S”), а после этого – кнопку, рядом с которой указана необходимая вам операция.

Видео по теме

Из всеобщего ряда логарифмов два выделены особенно – это логарифм по основанию 10 (десятичный) и по основанию, равному числу “e” – константе, которую называют «числом Эйлера». Эта константа является числом иррациональным, то есть не имеет точного значения, а представляет собой безмерную дробь. Логарифм с таким основанием именуется естественным и имеет гораздо большее использование в интегральном и дифференциальном исчислении, чем десятичный логарифм.

Инструкция

1. Используйте онлайн-калькуляторы как особенно стремительный метод вычисления естественных логарифмов при наличии доступа в интернет. Таких сервисов довольно много в сети, но искать их через поисковые системы нет необходимости – некоторые из поисковиков и сами имеют вычислители с необходимой функцией. Скажем, дозволено воспользоваться калькуляторами поисковых систем Google либо Nigma. Перейдя на основную страницу всякий из этих систем, введите в поле для поискового запроса запись необходимого вам математического действия. Скажем, для вычисления естественного логарифма числа 0,489 введите «ln 0.489». В качестве разделителя целой и дробной частей отличнее применять точку, правда Nigma осознает верно и число с разделителем-запятой.

2. Задействуйте программный калькулятор, встроенный в операционную систему Windows, если доступ в интернет отсутствует. Открыть его дозволено через основное меню на кнопке «Пуск» (раздел «Все программы», подраздел «Типовые», сегмент «Служебные», пункт «Калькулятор») либо с поддержкой диалога запуска программ, тот, что вызывается сочетанием клавиш WIN + R. В диалоге нужно ввести команду calc и щелкнуть кнопку «OK».

3. Переключите запущенный калькулятор в больше продвинутый режим. Если вы используете операционную систему Windows XP либо больше раннюю версию, то надобный режим будет именоваться «инженерный», а в больше поздних версиях (Windows 7 и Windows Vista) – «ученый». Пункт с таким наименованием в всякий версии ОС размещен в раздел «Вид» меню калькулятора.

4. Используйте клавиатуру либо кнопки интерфейса на экране для ввода числа, настоящий логарифм которого необходимо вычислить. После этого щелкните кнопку с меткой ln и программа посчитает и покажет итог вычисления.

jprosto.ru

Расчет значения экспоненциальной функции: онлайн калькулятор

Экспонента (число e) — иррациональное число, приблизительно равное 2,71828. Число e играет большую роль в дифференциальном и интегральном исчислениях и используется практически во всех научных сферах. Столь сухое математическое определение совершенно не раскрывает сути о физическом смысле экспоненты. Рассмотрим подробнее.

Смысл числа e

Число Пи представляет собой не просто иррациональное число, равное 3,1415, а одинаковое для всех случаев соотношение длины окружности к диаметру. Точно так же и число e имеет свой собственный смысл.

Экспонента — это базовое соотношение роста для всех растущих процессов. Любое число можно рассматривать как увеличенную единицу, любой квадрат — как масштабированный единичный квадрат, любой равносторонний треугольник — как увеличенный или уменьшенный правильный треугольник, ну а любой коэффициент роста можно представить в виде масштабированного коэффициента е.

Именно операции с числом e дадут вам возможность определить темпы роста в таких ситуациях, как прирост населения, начисление процентов по депозиту или объем полураспада радиоактивного вещества.

Дискретный рост

В качестве базового примера системы непрерывного удвоения можно привести размножение бактерий, которые удваиваются каждые сутки. Если удвоение происходит один раз, то математически мы получаем 2 в первой степени, то есть просто 2. Если удвоений x раз, то в итоге мы получаем 2 в степени x бактерий, денег или любого другого добра.

Однако система может изменяться не в 2 раза, а например на 20% или 120%. В этом случае мы можем представить удвоение не как двойку, а как 1+1 или 1+100%. В такой записи мы можем подставить любой коэффициент прироста и получить формулу роста как:

Рост = (1 + прирост)^x,

где x — это количество циклов прироста.

Благодаря этой формуле мы можем узнать, сколько бактерий мы получим из одной клетки через 30 дней. Однако бактерии делятся дискретно, то есть пока новая клетка не сформируется в течение суток, она не сможет производить новые организмы. Применяя эту формулу к деньгам, мы получим совсем другой результат.

Непрерывный рост

При начислении процентов на деньги происходит не дискретный, а непрерывный рост. Как только по депозиту начисляется прибыль в размере пары пенни, эти деньги начинают приносить уже свою прибыль. Нет нужды ждать, пока «родится» целый доллар, который начнет делиться по подобию бактерий. Достаточно сформироваться центу, который начнет генерировать свою микроприбыль.

Представим, что мы вложили $1 в бизнес, который обещает нам 100% прибыли через год. Это значит, что мы получим прирост:

Доход = (1 + 1)¹ = 2

Всего $2 — негусто. Однако если мы разобьем год на два полугодия, то мы получим по 50 центов за каждые полгода. Полученные центы уже могут самостоятельно генерировать прибыль, и тогда формула изменится.

Доход = (1 + 0,5)² = 2,25

Так как у нас теперь два периода удвоения, мы возвели прирост в квадрат и получили дополнительные 25 центов дохода. Если разбить нашу прибыль на 5 частей по 20 центов, то получится еще привлекательнее:

Доход = (1 + 0,2)⁵ = 2,4883

Может быть, мы сможем разделить прибыль на бесконечно большое количество мелких частей и получим бесконечную прибыль? Увы, нет. Даже если мы разделим наш доллар на 100 000 частей, доход составит:

Доход= (1 + 0,00001)^{100 000} = 2,71826

При бесконечном дроблении доллара прибыль будет увеличиваться на стотысячные знаки после запятой. Наши 2,71826 доллара прибыли будут стремиться к значению 2,718281828, что есть ничто иное как число Е.

И что все это значит

Экспонента — это наибольший возможный результат стопроцентного непрерывного роста за конкретный период времени. Да, изначально нам обещают 100% прибыли, то есть всего $2, но каждый цент приносит свои дивиденды и по итогам у нас оказывается ровно $2,71828 прибыли. Число е – это максимум, который мы можем получить при разбиении прибыли на суммы бесконечно малых величин.

Это означает, что если при потенциальной стопроцентной прибыли мы вложим в бизнес $1, то получим $2,718 чистой прибыли. Если $2, то мы получим 2е чистой прибыли, а если $100, то наш профит составит 100е. Таким образом, e — это предельная константа, которая ограничивает процессы роста точно так же, как скорость света ограничивает передвижение информации в пространстве. Число е – это максимально возможный результат, труднодостижимый на практике, поэтому в реальности многие процессы описываются с использованием частей экспоненты.

Использование экспоненты на практике

На первый взгляд рост изображается в виде прибавления 1%, однако, математически такая прибавка выражается как умножение на 1,01. Таким образом, при операциях с числом e мы используем степени или корни. Или натуральные логарифмы, если нам необходима обратная операция. Какой бы коэффициент прироста мы не взяли, он будет означать степень для числа е. К примеру, если мы знаем, что в течение 3 лет получим прибыль в размере 200%, то мы просто умножаем прирост (e 2) на 3 периода и получаем:

Рост = (е³)² = e⁶

Для лучшего понимания рассмотрим примеры.

Депозит в банке

Допустим, мы положили на депозит в банке $100 под годовую ставку в размере 8%. Выбранный банк предлагает нам полную капитализацию процентов, какую же прибыль мы получим через 5 лет? Так как банк обеспечивает нам непрерывный рост денег, через 5 лет на нашем счету уже будет:

Прибыль = 100 × е^{(0,08 × 5)} = 149,1

Потрясающе, правда? К сожалению, реальные банки редко используют сложные проценты, а если и рассчитывают капитализацию, то по своим формулам, которые несколько отличаются от классической экспоненты.

Период полураспада

Представьте, что у вас есть 5 кг радиоактивного урана, который распадается со скоростью 100% в год. Сколько урана у вас останется через 2 года? По идее, весь уран должен распасться за первый же год, однако это не так. Через 6 месяцев у вас останется только 2,5 кг урана, который в свою очередь начнет распадаться со скоростью всего 2,5 кг в год. Еще через пару месяцев в вашем хранилище останется 1 кг урана, но и он будет распадаться с еще меньшей скоростью на уровне 1 кг в год. С течением времени вы теряете радиоактивное топливо, при этом снижается и скорость распада. Таким образом, через 2 года у вас останется:

Радиоактивный остаток = 5 × e⁻² = 0,676

Заключение

Экспонента находит широкое применение в ситуациях, где что-либо непрерывно или дискретно растет. Вы можете использовать калькулятор возведения числа e в степень для подсчета результатов роста любых непрерывных процессов.

bbf.ru

Вычисление экспоненты без помощи Microsoft

Я время от времени изучаю, что ищут люди, попадающие ко мне из поисковиков. Как ни странно, в последнее время примерно треть поискового трафика приходится на людей, желающих узнать, как посчитать экспоненту. Пост про вычисление экспоненты в виндовом калькуляторе затмил по популярности прошлых лидеров поиска: посты про сохранение онлайн-видео и про аквалангистов от Google. Формулировка были самые разные: «посчитать экспоненту», «что такое экспонента», «кнопка exp в калькуляторе», «считать экспоненту в степени» и тому подобные варианты. Попадались и запросы из ближнего зарубежья: «калькулятор з експонентом» и «калькулятор експлоненти».

Мне показалось, что большинство ищущих, возможно, не находит у меня ответа на свой вопрос, так как пост, на который они попадают, всего лишь рассказывает, на какие кнопки надо нажимать в виндовом калькуляторе. В этом посте я попытаюсь восполнить данный пробел, показав, что экспоненту от произвольного числа можно вычислить не только без винды, но и без калькулятора вовсе 🙂

Сакральное знание, которым обладает любой математик, но недоступное далекому от математики большинству, заключается в простой, как все гениальное, формуле. Экспоненту в произвольной степени x можно вычислить, просто просуммировав следующую последовательность:

Или, если записать то же самое в виде суммы бесконечного ряда:

Если взять x равным единице, то, очевидно, сумма ряда будет равна самому числу e.

Разумеется, суммировать до бесконечности нет необходимости. Уже первые пять-шесть элементов дают точность где-то до второго-третьего знака после запятой, а уж десяти элементов обычно хватает за глаза и за уши для любых практических целей.

Чтобы проиллюстрировать принцип вычисления, я сделал табличку на Google Docs, наглядно показывающую, как сумма первых десяти членов ряда дает число e в степени x. Число x вводится в соответствующую ячейку, после чего перерассчитываются члены ряда в табличке, а сумма этих членов складывается в искомую экспоненту. Полученное значение можно сравнить с «эталонным», вычисленным через штатную функцию EXP().

Редактировать свой документ я, естественно, не дам, но любой желающий может через меню «Файл» скачать его к себе в формате MS Excel или OpenOffice Spreadsheet и поэкспериментировать.

P.S. При написании этого поста принципиально не использовался ни один продукт Microsoft 🙂

myx.ostankin.net

Онлайн калькулятор: Математический калькулятор

Калькулятор был создан в ответ на многочисленные запросы наших пользователей, которые желают воспользоваться нашим сервисом чтобы посчитать результат какого-либо математического выражения, например, что-нибудь сложить, вычесть, поделить возвести в степень, извлечь корень и т. п. Вводите последовательность математических выражений в поле математическое выражение и получайте результат.

Все тригонометрические функции принимают аргументы в радианах, а не в градусах. Обратные тригонометрические функции, также возвращают угол в радианах. Для преобразования градусов в радианы — умножайте градусы на pi/180, например, sin 30 градусов надо записывать как sin(30*pi/180).

Допустимые операции: + — / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

2.4.2. Решения уравнения Пуассона

Пример. Найти функцию , удовлетворяющую неоднородному уравнению Лапласа – уравнению Пуассона

(2.107)

и однородным граничным условиям на прямоугольном контуре (см. рис.2.2)

. (2.108)

Рис.2.2.

Решение. Будем искать решение задачи (2.107–2.108) в виде разложения в ряд по собственным функциям однородной задачи

. (2.109)

При этом удовлетворяются граничные условия на вертикальных сторонах области x = 0 и x = a. Функцию Y_n(y) следует определить так, чтобы функция u(x, y) удовлетворяла уравнению (2.107) и граничным условиям на горизонтальных границах y = 0 и y = b. Для этого подставляем (2.109) в уравнение (2.107). Тогда получим

. (2.110)

В левой части уравнения имеем ряд Фурье по синусам на промежутке [0, a]. Разложим функцию в правой части (2.110) также в ряд Фурье по синусам на том же промежутке:

, (2.111)

. (2.112)

Подставляем выражение (2.111) с учётом (2.112) в правую часть уравнения (2.110):

.

В результате для определения функции Y_n(y) приходим к обыкновенному линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго по­ряд­ка с постоянными коэффициентами:

. (2.113)

Однородное уравнение, соответствующее уравнению (2.113), совпадает с (2.90), и его общее решение согласно (2.91) имеет вид

.

Частное решение неоднородного уравнения (2.113) легко находится методом подбора:

.

В результате общее решение уравнения (2.113) примет вид

. (2.114)

После подстановки (2.114) в равенство (2.109) получаем

. (2.115)

Функция u(x, y) в выражении (2.115) удовлетворяет уравнению (2.107) и граничным условиям на сторонах x = 0 и x = a. Константы α_n и β_n найдём из условия удовлетворения граничным условиям на горизонтальных сторонах области y = 0 и y = b.

При y = 0 из условия u(x, 0) = 0 имеем

,

откуда в силу произвольности функции следует

. (2.116)

При y = b из условия u(x, b) = 0 с учетом α_n = 0 находим

,

и, следовательно

.

Из последнего равенства находим

. (2.117)

Подставляя (2.116) и (2.117) в (2.115), окончательно получим решение поставленной задачи в виде

.

Пример. Две стороны AC и BC прямоугольного однородного бруса 0ACB покрыты тепловой изоляцией (на рисунке 2.3 они выделены жирными линиями), а две другие поддерживаются при температуре, равной нулю. Найти стационарное распределение температуры при условии, что в брусе выделяется тепло с плотностью

Рис.2.3.

Решение. Задача сводится к решению уравнения

, (2.118)

при краевых условиях

, , (2.119)

, . (2.120)

Здесь k – коэффициент внутренней теплопроводности.

Сначала находим решение однородного уравнения Лапласа (2.80) методом разделения переменных, принимая, как обычно, согласно (2.84)

.

Тогда после обычных преобразований, характерных для метода разделения переменных, получаем для функций X(x) и Y(y) независимые обыкновенные линейные однородные уравнения (2.86), (2.87). Подставляя далее (2.84) в граничные условия (2.119), получим

. (2.121)

Таким образом, для определения функции X(x) приходим к задаче на собственные значения (2.86), (2.121). Собственные значения этой задачи будут

, (2.122)

а соответствующие собственные функции с точностью до множителя будут равны

. (2.123)

Раскладываем далее искомую функцию u(x, y) и правую часть в уравнении (2.118) в обобщённые ряды Фурье по системе ортогональных на [0, a] функций (2.123):

, (2.124)

. (2.125)

При этом коэффициенты C_n определяются по формуле (1.24):

. (2.126)

Подставляя (2.124) и (2.125) в уравнение (2.118), получим обык­новенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции Y_n(y)

. (2.127)

Общее решение однородного уравнения (2.127) находим, как и для уравнения (2.90), в виде

.

Частное решение неоднородного уравнения (2.127) при постоянной правой части, как легко видеть, будет равно

.

Поэтому общее решение уравнения (2.127) запишется в виде

. (2.128)

Подставляя (2.128) в (2.124), получим

. (2.129)

Произвольные постоянные α_n и β_n в общем решении (2.129) находим из граничных условий (2.120) на горизонтальных сторонах области.

При y = 0 имеем

,

откуда в силу произвольности функции следует:

. (2.130)

Из второго граничного условия (2.120) с учетом (2.130) получим

. (2.131)

Подставляя (2.130) и (2.131) в (2.129) и используя формулу сложения для гиперболических функций

,

после несложных преобразований получим окончательное решение задачи в виде

.

Пример. Найти решение уравнения Пуассона

(2.132)

в прямоуголь­ной области при следующих граничных условиях

, , (2.133)

, . (2.134)

Решение. Решая сначала, как и в предыдущем примере, однородное уравнение Лапласа (2.80) методом разделения переменных и используя представление (2.84)

,

с учетом граничных условий (2.133) на вертикальных сторонах области для определения функции X(x) приходим к задаче на собственные значения

. (2.135)

Собственные значения этой задачи будут

(2.136)

а соответствующие собственные функции с точностью до множителя

. (2.137)

Далее раскладываем в ряды Фурье по собственным функциям однородной задачи искомую функцию u(x, y) и правую часть уравнения (2.132):

, (2.138)

, (2.139)

при этом

. (2.140)

Подставляя (2.138) и (2.139) в (2.132), после обычной процедуры приходим к обыкновенным линейным неоднородным уравнениям второго порядка относительно функций Y_n(y) (n = 0, 1, 2,…):

, (2.141)

. (2.142)

Подставляя (2.138) в граничные условия (2.134), в силу линейности задачи (2.132–2.134) представим граничные условия для функций Y₀(y) и Y_n(y) в виде

, (2.143)

, (n = 1, 2,…). (2.144)

Таким образом, для определения функций Y₀(y) и Y_n(y) приходим к краевым задачам (2.141) и (2.143) и соответственно (2.142) и (2.144). Общее решение однородного уравнения (2.141) будет

,

а общее решение однородного уравнения (2.142), как было показано выше, имеет вид

(n = 1, 2,…).

Частные решения уравнений (2.141–2.142) находятся методом подбора или методом вариации произвольных постоянных. Далее должны быть определены произвольные постоянные в общих решениях уравнений (2.141–2.142)

, (2.145)

(n = 1, 2,…). (2.146)

из граничных условий (2.143), (2.144).

Окончательное решение поставленной задачи запишется после подстановки (2.145) и (2.146) с учётом найденных значений произвольных постоянных в (2.138).

studfiles.net

Уравнение Пуассона и математическая постановка задач электростатики

Существует большое количество случаев, когда самым удобным методом нахождения напряженности поля считается решение дифференциального уравнения для потенциала. После его получения применим в качестве основы теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме:

где ρ является плотностью распределения заряда, ε0 — электрической постоянной, div E→=∇→E→=∂Ex∂x+∂Ey∂y+∂Ez∂z — дивергенцией вектора напряженности и выражением, связывающим напряженность поля и потенциал.

Произведем подстановку (2) в (1):

Учитывая, что divgrad φ=∇2φ=∂2φ∂x2+∂2φ∂y2+∂2φ∂z2, где ∆=∇2 — это оператор Лапласа, равенство (3) принимает вид:

Выражение (4) получило название уравнения Пуассона для вакуума. При отсутствующих зарядах запишется как уравнение Лапласа:

После нахождения потенциала переходим к вычислению напряженности, используя (2). Решения уравнения Пуассона должны удовлетворять требованиям:

• значение потенциала как непрерывная функция;
• потенциал должен быть конечной функцией;
• производные потенциала как функции по координатам должны быть конечными.

При наличии сосредоточенных зарядов в объеме V, решение уравнения (4) будет выражаться для потенциала вида: