Элементы теории множеств примеры решения задач – Решение некоторых задач по теории множеств

Решение некоторых задач по теории множеств

Разделы: Математика

---

На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств.

Введем определение множества, а так же некоторые обозначения.

Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком.

Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит.

Можно сделать такую запись определения множества:

, где

“” – принадлежит;

“=>“ – следовательно;
“ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента.

Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов

Например:

Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если , то , где “С” знак подмножества или включения.

Графически это выглядит так (рис.1):

(рис.1)

Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами.

Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2).

Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств.

Это определение можно записать с помощью обозначений:

А υ В, где  

где “ υ ” – знак объединения,

“ / ” – заменяет слова ”таких что“

(рис.2)

Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко:

А ∩ В = С, где

“∩“ – знак пересечения. (рис.3)

(рис.3)

Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где  A С Е (“”- любо число), т.е. А Е = Е; АЕ =А

Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается ĀЕ или Ā (рис.4)

Е

(рис.4)

Примерами для понимания этих понятий являются свойства:

_

А Ā=Е                      Ø = Е             Е Ā=Ā

_

А ∩ Ā= Ø                 Ē = Ø             (Ā)=А

Свойства дополнения имеют свойства двойственности:

________ _ _

АВ = А∩В

________ _ _

АВ = АUВ

Введем еще одно понятие – это мощность множества.

Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А.

Из определение следуют свойства:

m (A) + m (Ā) = m (E)

А = В => m(A) = m(B)

Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:

m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В)

m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ)

m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) — m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).

А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию.

Задача №1

В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.

По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека.

1. Сколько учащихся решили все задачи?
2. Сколько учащихся решили только две задачи?
3. Сколько учащихся решили только одну задачу?

Задача № 2

Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.

Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

Задача № 3

В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников.

Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?

Решение задачи № 1

Запишем коротко условие и покажем решение:

• m (Е) = 40
• m (А) = 20
• m (В) = 18
• m (С) = 18
• m (А∩В) = 7
• m (А∩С) = 8
• m (В∩С) = 9

___________

m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37

Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5).

(рис.5)

К1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;

К2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;

К3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;

К4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;

К5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;

К6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;

К7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;

К8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.

Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:

• m (К5) = m (А∩В∩С)= m (АВС) — m (А) — m (В) — m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С)
• m (К5) = 37-20-18-18+7+8+9=5
• m (К2) = m (А∩В) — m (К5) = 7-5=2
• m (К4) = m (А∩С) — m (К5) = 8-5=3
• m (К6) = m (В∩С) — m (К5) = 9-5=4
• m (К1) = m (А) — m (К2) — m (К4) — m (К5) = 20-2-3-5=10
• m (К3) = m (В) — m (К2) — m (К6) — m (К5) = 18-2-4-5=7
• m (К7) = m (С) — m (К4) — m (К6) — m (К5) = 18-3-4-5 =6
• m (К2) + m (К4) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи;
• m (К1) + m (К3) + m (К7) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу.

Ответ:

5 учеников решили три задачи;

9 учеников решили только по две задачи;

23 ученика решили только по одной задаче.

С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так:

Решение задачи № 2

• m (АВ) = 33
• m (АС) = 31
• m (ВС) = 32
• m (К2) + m (К4) + m (К6) + m (К5) = 20

Найти m (К1) + m (К3) + m (К7)

• m (АUВ) = m (К1) + m (К2) + m (К3) + m (К4) + m (К5) + m (К6) = m (К1) + m (К3) + 20 = 33 =>
• m (К1) + m (К3) = 33 – 20 = 13
• m (АUС) = m (К1) + m (К4) + m (К2) + m (К5) + m (К6) + m (К7) = m (К1) + m (К7) + 20 = 31 =>
• m (К1) + m (К7) = 31 – 20 = 11
• m (ВUС) = m (К3) + m (К2) + m (К5) + m (К6) + m (К7) + m (К4) = m (К3) + m (К7) + 20 = 32 =>
• m (К3) + m (К7) = 32 – 20 = 12
• 2m (К1) + m (К3) + m (К7) = 13+11=24
• 2m (К1) + 12 = 24
• m (К3)= 13-6=7
• m (К7)=12-7=5
• m (К1) + m (К3) + m (К7) = 6+7+5=18

Ответ:

Только одну контрольную работу решили 18 учеников.

Решение задачи № 3

• m (Е) = 35
• m (А∩В∩С)= m (К5) = 6
• m (А∩В)= 15
• m (А∩С)= 13
• m (В∩С)= 9

Найти m (К1) + m (К3) + m (К7)

• m (К2) = m (А∩В) — m (К5) = 15-6=9
• m (К4) = m (А∩С) — m (К5) = 13-6=7
• m (К6) = m (В∩С) — m (К5) = 9-6=3
• m (К1) + m (К3) + m (К7) = m (Е) — m (К4) — m (К2) — m (К6) — m (К5) = 35-7-9-3-6=10

Ответ:

Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников.

Литература: А.Х. Шахмейстер «Множества. Функции. Последовательности»

9.03.2010

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Множества — Практика — Примеры решения типовых задач

     1. Записать множество Е, если , причем А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Решение.
      есть не что иное, как объединение множеств А и В, т.е. множество Е будет состоять из элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В: Е={2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.

     2. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Требуется выполнить операцию пересечения т.е. множество Е будет состоять только из элементов, одновременно входящих как в множество А, так и в множество В: Е={6, 12}.

     3. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Требуется выполнить операцию разности т.е. множество Е будет состоять из всех элементов множества А, не принадлежащих В: Е={2, 4, 8, 10}.

     4. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Из предыдущего примера имеем . Для получения окончательного ответа требуется выполнить операцию дополнения т.е. множество Е будет состоять из элементов множества В: Е={3, 6, 9, 12}.

     5. Проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера следующую формулу:
     Выполняя действие в скобках получим:

     После этого получаем А\Е т.е. необходимо выделить участок множества А, не принадлежащий множеству Е. Ответ примет форму:

     6. Проиллюстрировать с помощью Диаграмм Венна верность тождества:

.

     Проиллюстрируем левую часть тождества, обозначив сначала объединение множеств В и С,

      затем пересечение множеств А и . Окончательный вид левой части:

     Теперь проиллюстрируем правую часть:

          

     окончательный вид правой части:

     Как видим диаграммы совпадают, следовательно тождество верно.

     7. По диаграмме Венна записать формулу:

     Запишем сначала ,

     затем , получим:

     8. Доказать
     Решение.

,

     по закону да Моргана и закону дистрибутивности

dl.nure.ua

Элементы теории множеств

Элементы теории множеств

Множество – основное математическое понятие. В обычной жизни его смысл заложен в словах: «совокупность», «класс», «стая», «табун», «стадо» и т.п. Теория множеств как математическая дисциплина создана немецким математиком Г. Кантором, которая получила признание в качестве самостоятельного раздела математики к 1890 году, когда были получены ее приложения в анализе и геометрии. Главная заслуга Георга Кантора заключается в установлении того факта, что понятие бесконечность является не абстракцией, придуманной философами, а реальностью; бесконечные совокупности предметов существуют наравне с конечными.

Множество относится к математическим объектам, для которых нет строго определения. Мы можем лишь в какой-то мере дать описание основных его свойств.

Кантор описывает множество следующим образом:

Определение.

Множество Sесть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое.

 Понятие множества. Способы задания множества

Мы под множествомбудем понимать следующее:

Определение.

Множество – набор (совокупность) определенных, различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое, и обладающий некоторым общим свойством. . Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами. .

Для того, чтобы указать, что х– элемент множестваА, записываюти читают «хпринадлежитА». Чтобы указать, чтохне является элементом множестваА, записываюти читают «хне принадлежит множествуА».

Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:

Обозначения числовых множеств: N – множество натуральных чисел. Z – множество целых чисел. Q– множество рациональных чисел (дроби). R – множество действительных чисел

Существует два способа задания множества:

Рисунок 1. Способы задания множеств

Множества можно разделить на конечные и бесконечные.

Определение.

Конечныммножеством называется множество, состоящее из конечного числа элементов. Множество называется бесконечным, если оно состоит из бесконечного числа элементов

Пример 1.

• Конечные множества:множество букв алфавита, множество студентов 2 курса специальности «Юриспруденция» и т.д.

• Бесконечные множества:множество натуральных чисел, множество точек прямой и т.д.

К конечным множествам относится и множество, не содержащее элементов вообще. Такое множество называют пустыми обозначают Ø.

Пример 2.

Ø = , поскольку среди действительных чисел нет решения данного уравнения.

Определение.

Если каждый элемент множества Вявляется также и элементом множестваА, то говорят, что множествоВназываетсяподмножествоммножестваА. (Ввключено вА).

Пример 3.

Множество ,, тогда, т.е..

Определение.

Множества АиВназываютсяравными(илисовпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов, т.е.и.

Если множества не равны, то пишут .

Пример 4.

Множества и, гдеиудовлетворяют уравнению, т.е., значит.

Определение.

Множество всех подмножеств множества Аназываетсямножеством-степеньюмножестваА.

Пример 5.

Пусть , тогда{Ø}, т.е. если множество состоит из двух элементов, то множество-степень состоит из четырех подмножеств.

Пусть , тогда{{4}, {2,3}, {3,4}, {2,4}, Ø}, т.е. если множество состоит из трех элементов, то множество-степень состоит из восьми подмножеств.

Таким образом, если конечное множество Асостоит изnэлементов, то число всех его подмножеств равно.

Определение.

Множество Uназываетсяуниверсальнымдля системы множествА,B,C, …, если каждое множество системы является подмножествомU, т.е.,,, …. .

studfiles.net

Теория множеств — Примеры решений задач

Задача 2. Все студенты курса изучают иностранные языки: 91 студент изучает английский язык, 96 студентов изучают немецкий язык, 94 сту-дента изучают французский язык, 36 студентов изучают английский и немецкий языки, 32 студента изучают английский и французский языки, 10 студентов изучают все языки. Сколько студентов изучают немецкий и французский языки, если в курсе учатся 189 студентов? Решение. Введем обозначения: $A$ – множество всех студентов курса; $A_1$ – множество студентов, изучающих английский язык; $A_2$ – множество студентов, изучающих немецкий язык; $A_3$ – множество студентов, изучающих французский язык; $A_{12}$ – множество студентов, изучающих английский и немецкий языки; $A_{13}$ – множество студентов, изучающих английский и французский языки; $A_{23}$ – множество студентов, изучающих немецкий и французский языки; $A_{123}$ – множество студентов, изучающих все языки; $|B| $– количество элементов множества $B$. По условию задачи: $$|A|=189, \:|A_1|=91,\: |A_3|=94,\:|A_{12}=36,\:|A_{13}=32,\: |A_{23}=x.$$ Найдем $x$ – количество студентов, изучающих немецкий и французский языки. Согласно введенным обозначениям имеем: $$A_{12} =A_1 \cap A_2,\:A_{13}=A_1 \cap A_3,\:A_{23}=A_2 \cap A_3,$$ $$A_{123}=A_1 \cap A_2 \cap A_3.$$ … Смотреть решение » Объединением или суммой n множеств A1 , A2 , …, An называется множество , состоящее из элементов , входящих хотя бы в одно из этих n множеств : A = A1 U A2 U… U An где знак U обозначает операцию объединения множеств . Формально операция объединения множеств определяется следующим образом : A = {x / x ∈ A1 ∨ x ∈ A2 ∨ … ∨ x ∈ An }, где ∨ — логический знак , обозначающий союз ИЛИ . Читается эта запись так : множество А — это все те значения х , которые принадлежат множеству А1 , или множеству А2 , или множеству А3 и так далее до множества Ап . Для выполнения операции объединение множеств имеется калькулятор операций над множествами. Например , пусть даны множества : A1 … Смотреть решение » Одним из важнейших понятий теории множеств является понятие универсального множества ( иногда используется термин «полное множество» , а также «универсум» . Обозначается оно обычно символом I ( либо U). Множество I — это множество всех тех элементов , которые участвуют в данном рассуждении . Любое рассматриваемое при этом множество является подмножеством универсального множества . Например , если рассматриваются различные множества целых положительных чисел за исключением нуля , то универсальным можно считать множество всех натуральных чисел. На диаграммах Венна универсальные множества изображаются в виде прямоугольников , внутри которых размещаются круги , обозначающие подмножества соответствующих универсальных множеств . На рис.3 показан пример универсального множества I = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и двух его подмножеств P = {2} и Q = {2, 3, 5, 7), где P — множество четных простых чисел , а Q — множество всех простых чисел , меньших 10. … Смотреть решение »

www.reshim.su

Операции над множествами — 5 Июля 2016 — Примеры решений задач

Объеденением множеств $A$ и $B$ называется множество $$A∪B=\left \{ x|(x∈A)∨(x∈B)\right \}$$ Пересечением множеств $A$ и $B$ называется множество $$ A∩B=\{x|(x∈A)∧(x∈B)\} $$ Множество, стостоящее из всех элементов множества $A$, не принаждлежащих множеству $B$, называется разностью множеств $A$ и $B$: $$ A\setminus B=\{x|(x\in A)\wedge (x\notin B)\}.$$ Если $A⊂B$ , то $B\setminus A$ называют дополнением множества $A$ до множства $B:A’_B.$  Если, в частности, $A−$ подмножество некоторого универсального множества $U$, то разность $ U\setminus A $ обозначается символом $\bar{A}$ или $A′$ и называется дополнением множества $A$ (до множества $U$).   Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называют множество $AΔB$, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат только одному из множеств $A$ или $B$, то есть $$ AΔB=(A ∖ B)∪(B ∖ A). $$   Примеры операций над множествами Пример 1. Даны множества $A=\{3,5,7,8,9\}$ и $B=\{2,3,7,8, 10\}$ Найти:  $ A ∩ B $,   $ A ∪ B $ ,   $ A \setminus B $,   $ A ∆ B $ Решение. $$ A∩B=\{3,5,7,8,9\}∩\{2,3,7,8, 10\} = \{3,7,8\} $$ $$ А ∪ B=\{3,5,7,8,9\}∪\{2,3,7,8, 10\} = \{2,3,5,7,8,9,10\}$$ $$ A \setminus B=\{3,5,7,8,9\}\{2,3,7,8, 10\} = \{5,9\} $$ $$ A \Delta B=\left \{3,5,7,8,9\right \} \setminus \left \{2,3,7,8, 10\right \} ∪ \left \{2,3,7,8, 10\right \} \setminus \left \{3,5,7,8,9\right \} = $$ $$=\{3,7,8\}∪\{2,10\} = \{2,3,7,8,10\} $$ Пример 2. Даны множества $A=\{\{a,d\},\{a,b,c\},\{a\},a,b\}$ и $B=\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b\},a\}$ Найти:  $ A ∩ B $,   $ A ∪ B $ ,   $ A \setminus B $,   $ A ∆ B $ Решение. $$ A ∩ B=\{\{a,d\},\{a,b,c\},\{a\},a,b\}∩\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b\},a\} = $$ $$ =\{a, \{a, b, c\}\} $$ $$ A ∪ B=\{\{a,d\},\{a,b,c\},\{a\},a,b\}∪ \{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b\},a\} = $$ $$ =\{a, b, \{a\}, \{a, b\}, \{a, d\}, \{a, b, c\}, \{a, b, c, d\}\}$$ $$ А \setminus В=\{\{a,d\},\{a,b,c\},\{a\},a,b\}\setminus \{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b\},a\} = $$ $$= \{b,\{a\},\{a,d\}\} $$ $$ A \Delta B=\{\{a,d\},\{a,b,c\},\{a\},a,b\}\setminus \{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b\},a\}∪ $$ $$ ∪ \{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b\},a\}\setminus \{\{a,d\},\{a,b,c\},\{a\},a,b\} = $$ $$=\{b,\{a\},\{a,b\},\{a,d\},\{a,b,c,d\}\}$$ Калькулятор вычислений над множествами. Примечание: Операция Обозначения математические в калькуляторе Пересечение ⋂ intersection Объединение ⋃ union Разность \ difference Симметрическая разность ∆ symmetric difference

www.reshim.su

Раздел 1: Элементы теории множеств

Каждый с самого рождения бессознательно пользуется теорией множеств, так же как Мольеров Журден из «Мещанина во дворянстве» разговаривает прозой, сам того не ведая.

М. Стоун

1.1 Основные понятия теории множеств

В конце XIX века в математической науке возникла необходимость уточнить смысл таких ведущих понятий, как функция, непрерывность и т. д. Для этого нужно было строго определить, что такое натуральное число. Поиски ответа на эти сложные вопросы способствовали развитию новых математических идей, поэтому в конце XIX начале XX столетий происходил пересмотр старых представлений буквально во всех областях математических знаний. В результате в конце XIX века возникла новая область математики – теория множеств, одним из создателей которой был немецкий математик Георг Кантор (1845 – 1918). За небольшой срок теория множеств стала фундаментом всей математики.

Понятие множества является ключевым в математике, без которого невозможно изложение ни одного из ее разделов. Подсознательно первые представления о множестве у человека начинают формироваться с рождения, когда он погружается в многообразный мир окружающих его объектов и явлений. С первых же шагов мы не просто пополняем список знакомых нам объектов и явлений, а начинаем дифференцировать и классифицировать (горячие и холодные, сладкие и горькие, тяжелые и легкие и т. п.), объединяя тем самым объекты в некоторые совокупности.

В математике понятие множество используется для описания предметов или объектов. При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг от друга и от предметов, не входящих в эту совокупность.

Создатель теории множеств Г. Кантор определил множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью», а так же «множество есть многое мыслимое нами как единое». Эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такого определения не существует. Понятие множества относится к исходным (не определяемым), на основании которых строятся остальные понятия математики.

Множество – это совокупность каких-либо объектов. Так, можно говорить о множестве всех книг данной библиотеки, множестве всех вершин данного многоугольника, множестве всех натуральных чисел, множестве всех точек данной прямой и т. д. Объекты, входящие в данное множество называются элементами множества. Книги данной библиотеки, вершины данного многоугольника, натуральные числа, точки данной прямой являются элементами соответствующих множеств.

Множества обычно обозначаются большими буквами A, B, X, а их элементы – малыми буквами а, b, x.

Множество называется конечным, если количество его элементов можно выразить целым неотрицательным числом (причем неважно, известно это число или нет, главное, оно существует), в противном случае множество называется бесконечным.

Пример 1: Множество книг в библиотеке, множество студентов в группе являются конечными. Множество натуральных чисел, множество точек прямой являются бесконечными.

Количество элементов множества обозначается |A|.

Пример 2: Пусть В – множество правильных многоугольников. Тогда В = {тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр}. |B| = 5.

Запись xХ, означает что объект х есть элемент множества Х, читается «х принадлежит множеству Х», «х входит в множество Х». Если х не принадлежит множеству Х, то пишут х Х.

Например, если через N обозначим множество натуральных чисел, то 3 N, 20 N, 0 N, N.

Если все элементы множества А принадлежат какому-то множеству В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В. Записывают А В (множество А содержится во множестве В). Любое множество является подмножеством самого себя, т. е. справедливо утверждение А А.

Если множество не содержит ни одного элемента, то его называют пустым и обозначают символом Ø. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Подмножества, которые содержат не все элементы множества В, называют собственными подмножествами множества В.

Пример 3: Дано множество М = {a; c; m}. Найти все его подмножества.

Решение:

M₁ = {a}, M₂ = {c}, M₃ = {m}, M₄ = {a; c}, M₅ = {a; m}, M₆ = {c; m}, M₇ = {a; c; m}, M₈ = Ø.

Множества M₇ и M₈ называются несобственными подмножествами множества М.

Множества А и В называют равными (А = В), если. они состоят из одних и тех же элементов, т.е. В Аи А В.

Например, множества А = {3, 5, 7, 9} и В = {7, 3, 9, 5} равны, т. к. состоят из одинаковых элементов.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

Ν={1; 2; 3; …; n; …} – множество натуральных чисел – множество чисел, использующихся при счете предметов;

Ζ₀={0; 1; 2; …; n; …} – множество целых неотрицательных чисел – множество натуральных чисел с нулем;

Ζ={0; ±1; ±2; …; ±n; …} – множество целых чисел – множество целых неотрицательных чисели им противоположных;

Q={:m Z, n N} – множество рациональных чисел – множество чисел, которые можно представить в виде обыкновенной дроби – множество конечных и бесконечных периодических десятичных дробей;

R – множество действительных чисел – объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.

Между этими множествами существует соотношение: .

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, ½=0,5 (=0,5000…), ⅓=0,333… – рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Например, = 1,4142356…, π = 3,1415926… – иррациональные числа.

studfiles.net

Множества Элементы теории множеств. Операции над множествами.

Определение 1.Множеством называется совокупность некоторых объектов, объединенных в одно целое по какому ‒ либо признаку.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.

Обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, …, X, Y, …, а их элементы обозначаются соответствующими прописными буквами: a, b, …, x, y.

Определение 1.1.Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø.

Множество можно задать перечислением и описанием.

Пример:; .

Определение 1.2.Множеством A называется подмножеством B, если каждый элемент множества A является элементом множества B. Символически это обозначают так: AB (A содержится в B).

Определение 1.3.Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов: (A =B).

Операции над множествами.

Определение 1.4.Объединением или суммой множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств.

Объединение множеств обозначают AB(или A +B). Кратко можно записать AB = .

AB= A +B

Если BA, то A +B=A

Определение 1.5. Пересечением или произведением множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству A и множеству B одновременно. Пересечение множеств обозначают AB (или A·B). Кратко можно записать:

AB =.

AB =A ·B

Если BA, то A · B= B

Определение 1.6. Разностью множеств A и B называется множество, каждый элемент которого является элементом множества A и не является элементом множества B. Разность множеств обозначают A\B. По определению A\B = .

A\B =A–B

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Примерами числовых множеств являются:

N = — множество натуральных чисел.

Z= — множество целых чисел.

Q= — множество рациональных чисел.

R‒ множество действительных чисел.

Множество Rсодержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, ;… ‒ рациональные числа.

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Так, = 1,41421356…; = 3,14159265…. – иррациональное число.

K– множество комплексных чисел (вида Z=a+bi)

RK

Определение 1.7.Ɛ ‒ окрестностью точки x₀ называется симметричный интервал (x₀ – Ɛ; x₀ + Ɛ), содержащий точку x₀.

В частности, если интервал (x₀ –Ɛ; x₀ +Ɛ), то выполнятся неравенство x₀ –Ɛ<x<x₀ +Ɛ, или, что то же, │x– x₀ │<Ɛ. Выполнение последнего означает попадание точки xв Ɛ – окрестность точки x₀.

Пример 1:

= 2, Ɛ = 0,1.

(2 – 0,1; 2 + 0,1) или (1,9; 2,1) – Ɛ– окрестность.

│x– 2│< 0,1

–0,1<x – 2<0,1

2 –0,1<x< 2 + 0,1

1,9<x< 2,1

Пример 2:

A– множество делителей 24;

B– множество делителей 18.

A=.

B=.

AB= A +B =

AB =A ·B =

A /B =A –B =

Функция Понятие функции. Основные свойства функции.

Определение 1. Пусть даны два непустых множестваХ и Y.Соответствие f, при котором каждому элементу xХсоответствует один единственный элемент уY, называется функцией и записывается у = f(x),

xХили f:x→ у (x → у).

x— аргумент функции; у — значение функции.

Пример:

y = 2 x – 1

Множество Х называется областью определения функцииfи обозначается D(f). Множество всех уY называется множеством значений функции f и обозначается E(f).

Если элементами множеств Х и Yявляются действительные числа, то функцию f называют числовой функцией.

studfiles.net