Рубрика: Школьная жизнь

Изопроцессы. Газовые законы — Класс!ная физика

Изопроцессы. Газовые законы

Газовые законы — это просто!

Давление (p), объем (V) и температура (T) являются основными параметрами состояния газа.
Всякое изменение состояния газа называется термодинамическим процессом.

Термодинамические процессы, протекающие в газе постоянной массы при неизменном значении одного из параметров состояния газа, называются изопроцессами.
Изопроцессы являются идеализированной моделью реального процесса в газе.

Изопроцессы подчиняются газовым законам.
Газовые законы определяют количественные зависимости между двумя параметрами газа при неизменном значении третьего.
Газовые законы справедливы для любых газов и газовых смесей.

Изотермический процесс (T = const)

Изотермическим процессом называются изменения состояния газа, протекающие при постоянной температуре.
Изотермический процесс в идеальном газе подчиняется закону Бойля-Мариотта:

Для газа данной массы произведение давления газа на его объем постоянно, если температура газа не меняется.

Формулу закона можно записать иначе

где
— параметры газа в разные моменты времени

Графическое представление изотермического процесса:
— изотерма — график, отражающий изотермический процесс.
(математически это гипербола)

На графиках представлены изотермы для разных температур газа, где Т₁2.

Изобарный процесс (p =const)

Изобарным процессом называются изменения состояния газа, протекающие при постоянном давлении.
Изобарный процесс в идеальном газе подчиняется закону Гей-Люсака:

Для газа данной массы отношение объема газа к его температуре постоянно, если давление газа не меняется.

Формулу закона можно записать иначе

где
— параметры газа в разные моменты времени

Графическое представление изобарного процесса:
— изобара — график, отражающий изобарный процесс.
(математически это линейная зависимость)

На графиках представлены изобары для разных давлений газа, где р₁2.

Изохорный процесс (V = const)

Изохорным процессом называются изменения состояния газа, протекающие при постоянном объеме.
Изохорный процесс в идеальном газе подчиняется закону Шарля:

Для газа данной массы отношение давления газа к его температуре постоянно, если объем газа не меняется.

Формулу закона можно записать иначе

где
— параметры газа в разные моменты времени

Графическое представление изохорного процесса:
— изохора — график, отражающий изохорный процесс.
(математически это линейная зависимость)

На графиках представлены изохоры для разных объемов газа, где V₁2.

Молекулярная физика. Термодинамика — Класс!ная физика

Основные положения МКТ. Масса и размер молекул. Количество вещества. — Взаимодействие молекул. Строение твердых тел, жидкостей и газов. — Идеальный газ. Основное уравнение МКТ. — Температура. Тепловое равновесие. Абсолютная шкала температур. — Уравнение состояния идеального газа. — Изопроцессы. Газовые законы. — Взаимные превращения жидкостей и газов. Влажность воздуха. — Твердые тела. Кристаллические тела. Аморфные тела.

class-fizika.ru

Газовые законы. Изопроцессы. Видеоурок. Физика 10 Класс

На прошлом уроке мы уже сформулировали так называемое уравнение состояния идеального газа – закон, связывающий между собой три макроскопических параметра газа: температуру, давление и объём.

или же

То есть, каким бы ни был переход от одного состояния к другому (что, собственно, и подразумевается под газовым процессом), соотношение между тремя параметрами не меняется (естественно, при неизменном количестве вещества рассматриваемой порции газа).

Теперь же рассмотрим не произвольные процессы, а более частные случаи, когда неизменной величиной является один из макроскопических параметров. Начнём с изотермического процесса.

Определение. Изотермический процесс – процесс перехода идеального газа из одного состояния в другое без изменения температуры. Закон, описывающий связь меду параметрами газа при таком процессе, называется закон Бойля-Мариотта в честь двух учёных, практически одновременно выведших его: англичанина Роберта Бойля и француза Эдма Мариотта (рис. 2). Запишем его:

Для начала запишем уравнения состояния идеального газа при постоянном количестве вещества:

А теперь учитывая:  и 

Получаем:   для любых различных состояний газа, или же просто:

 — закон Бойля-Мариотта

Из этого закона очевидно следует обратно пропорциональная связь давления и объёма: при увеличении объёма наблюдается уменьшение давления, и наоборот. График зависимости меняющихся величин в уравнении, то есть P и V, имеет следующий вид и называется изотермой (рис. 1):

Рис. 1. Графики изотермических процессов в координатах P-V

Такая кривая в математике называется гиперболой. Также следствием закона Бойля-Мариотта является то, что площади показанных на графике прямоугольников равны между собой.

Рис. 2. Роберт Бойль и Эдм Мариотт соответственно (Источник), (Источник)

Рассмотрим следующий изопроцесс – изобарный процесс.

Определение. Изобарный (или изобарический) процесс – процесс перехода идеального газа из одного состояния в другое при постоянном значении давления. Впервые такой процесс рассмотрел французский учённый Жозеф-Луи Гей-Люссак (рис. 4), поэтому закон носит его имя. Запишем этот закон

Снова запишем обычное уравнение состояния: 

А теперь учитывая:  и 

Получаем:   для любых различных состояний газа, или же просто:

 — закон Гей-Люссака

Из этого закона очевидно следует прямо пропорциональная связь между температурой и объёмом: при увеличении температуры наблюдается увеличение объёма, и наоборот. График зависимости меняющихся величин в уравнении, то есть T и V, имеет следующий вид и называется изобарой (рис. 3):

Рис. 3. Графики изобарных процессов в координатах V-T (Источник)

Следует обратить внимание на то, что, поскольку мы работаем в системе СИ, то есть с абсолютной шкалой температур, на графике присутствует область, близкая к абсолютному нулю температур, в которой данный закон не выполняется. Поэтому прямую в области, близкой к нулю, следует изображать пунктирной линией.

Рис. 4. Жозеф Луи Гей-Люссак (Источник)

Рассмотрим, наконец, третий изопроцесс.

Определение. Изохорный (или изохорический) процесс – процесс перехода идеального газа из одного состояния в другое при постоянном значении объёма. Процесс рассмотрен впервые французом Жаком Шарлем (рис. 6), поэтому закон носит его имя. Запишем закон Шарля:

Снова запишем обычное уравнение состояния: 

А теперь учитывая:  и 

Получаем:   для любых различных состояний газа, или же просто:

 — закон Шарля

Из этого закона очевидно следует прямо пропорциональная связь между температурой и давлением: при увеличении температуры наблюдается увеличение давления, и наоборот. График зависимости меняющихся величин в уравнении, то есть T и P, имеет следующий вид и называется изохорой (рис. 5):

Рис. 5. Графики изохорных процессов в координатах V-T

В районе абсолютного нуля для графиков изохорного процесса также существует лишь условная зависимость, поэтому прямую также следует доводить до начала координат пунктиром.

Рис. 6. Жак Шарль (Источник)

Стоит обратить внимание, что именно такая зависимость температуры от давления и объёма при изохорных и изобарных процессах соответственно определяет эффективность и точность измерения температуры с помощью газовых термометров.

Интересен также тот факт, что исторически первыми были открыты именно рассматриваемые нами изопроцессы, которые, как мы показали, являются частными случаями уравнения состояния, а уже потом уравнения Клапейрона и Менделеева-Клапейрона. Хронологически сначала были исследованы процессы, протекающие при постоянной температуре, затем при постоянном объёме а последними – изобарические процессы.

Теперь для сравнения всех изопроцессов мы собрали их в одну таблицу (см рис. 7). Обратите внимание, что графики изопроцессов в координатах, содержащих неизменяющийся параметр, собственно говоря, и выглядят как зависимость константы от какой-либо переменной.

Рис. 7.

На следующем уроке мы рассмотрим свойства такого специфического газа, как насыщенный пар, подробно рассмотрим процесс кипения.

Список литературы

1. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Молекулярная физика. Термодинамика. – М.: Дрофа, 2010.
2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Илекса, 2005.
3. Касьянов В.А. Физика 10 класс. – М.: Дрофа, 2010.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Slideshare.net (Источник).  
2. E-science.ru (Источник). 
3. Mathus.ru (Источник). 

Домашнее задание

1. Стр. 70: №  514–518. Физика. Задачник. 10-11 классы. Рымкевич А.П. – М.: Дрофа, 2013. (Источник)
2. Какова зависимость между температурой и плотностью идеального газа при изобарном процессе?
3. При надувании щёк и объём, и давление во рту возростают пр неизменной температуре. Противоречит ли это закону Бойля-Мариотта? Почему?
4. *Как будет выглядеть график данного процесса в координатах P-V?

interneturok.ru

Изопроцессы. Газовые законы

Разделы: Физика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (1,3 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: сформировать и вывести  законы для изопроцессов  в газе.

Задачи:

• Образовательные:
  • рассмотреть частные случаи закона Клапейрона
  • получить газовые законы, доказать их справедливость экспериментально
  • сформировать умения выделять и описывать изопроцессы
  • продолжить формирования умения объяснять законы с молекулярной точки зрения
• Воспитательные:
  • формирование коммуникативных качеств, культуры общения
  • формирование интереса к изучаемому предмету
  • стимулирование  любознательности, активности на уроке
  • развитие работоспособности
• Развивающие:
  • развитие познавательного интереса
  • развитие интеллектуальных способностей
  • развитие умений выделять главное в изучаемом материале
  • развитие умений обобщать изучаемые факты и понятия

Тип занятия: изучение нового материала

Методы: наглядный, словесный,самостоятельная работа,мультимедиа

Оборудование: компьютер, видеопроектор, демонстративный экран; приложение к уроку, телевизор, видеоролик, таблицы

Используемая литература:

1. Рябоволо Г.И., Самойленко П.И., Огородникова Е.И. Планирование учебного процесса по физике. Второе издание. – М. Высшая школа, 1998, с. 430.
2. Жданов Л.С., Жданов Г.Л. Физика. Учебник для студентов средних специальных учебных заведений. – М.: 2005, с 473.
3. Самойленко П.И., Сергеев А.В. Физика.Учебник для студентов образовательных учреждений СПО. – М.: Мастерство, 2002, с.395.
4. Самойленко П.И. Сборник задач по физике для техникумов. – М.:Мир и образование, 2003, с.255.

План урока:

1) Организационный момент. Подготовка студентов к работе на занятии. (Приветствие, организация внимания, сообщения темы, цели, задачи урока, мотивация учебной деятельности)
2) Проверка знаний, умений и навыков
3) Подготовка студентов к изучению нового материала
4) Изучение нового материала
5) Формирование знаний и умений
6) Применение знаний
7) Домашнее задание
8) Подведение итогов
9) Рефлексия

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

– Добрый день! Прошу садиться! Тема нашего занятия «Изопроцессы. Законы идеальных газов»
В физике, как и других науках, происходит  со временем удивительный процесс. Многое из того, что сейчас  можно изложить кратко и ясно несколько десятилетий (веков) назад появлялось как новые истины, с большим трудом воспринимаемые человеком.
Со временем опыт человека заставляет принять новые идеи  и привыкнуть к ним, а привыкнув, начать использовать их в практической деятельности, как вполне понятные и порой тривиальные.
Примерно также и обстояло с изучением газа. Древние ученые считали газ неуловимой  формой тела, представлявшего собой  нечто среднее между веществом и духом..Но такой взгляд существовал  до тех пор, пока  в XVII веке Торричелли и Паскаль показали, что воздух имеет вес.
С тех пор физика начала изучать свойства газов.

2. Проверка знаний, умений и  навыков

Организация самостоятельной работы.
Студенты пишут физический  диктант на знание основных формул молекулярной физики (Приложение 1)
Далее проводится взаимопроверка (работа в парах)
Ответы приводятся на доске (Приложение 10)

3. Подготовка студентов к изучению нового материала

Попробуем обобщить  изученное по теме «Основы  молекулярно кинетической теории»
В основу нашего обобщения положим физическую теорию. Этой теорией является   МКТ –молекулярно-кинетическая теория. Большой вклад в развитие этой теории внесли ученые разных стран (М.Ломоносов, Д.Джоуль, Д.Бернаулли, Д.Менделеев)
Любая физическая теория включает в себя основание, ядро, выводы.
Преподаватель ведет беседу по вопросам, параллельно на доске составляется схема, на которой изученный материал предстает в  виде физической теории (Приложение 2)
1) Назовите основные положения МКТ.
2) Какие явления говорят о том, что частицы находятся в непрерывном движении?
3) Дайте определение диффузии, броуновского движения.
4) Кем была определена скорость молекул?
5) Какие размеры имеют молекулы?
6) Какие значения имеют средние скорости молекул?
7) Какой массой обладают молекулы?
8) Что показывает число Авогадро? Назовите  его числовое значение.
9) Какой газ называют идеальным?

– Видим, что основание МКТ составляют идеализированный объект, эксперементальные факты и основные физические величины

Далее продолжается опрос студентов.

10) Назовите основное уравнение МКТ идеального газа.
11) Что называют  термодинамическими параметрами газа?
12) Как связаны между собой абсолютная температура и средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул?
13) Как связаны между собой абсолютная температура и давление газа?
14) Запишите уравнение состояния идеального газа (m<>const).
15) Запишите формулу объединенного газового закона (m = const).
16) Что называют газовым законом?

– Сегодня мы рассмотрим частные случаи уравнения состояния идеального газа.

4. Изучение нового материала

Газы играют важную роль в природе и технике. Земля окружена газовой оболочкой. Шины автомобилей заполняются газом (воздухом)
Именно газы, расширяясь, выталкивают пулю из ружья и снаряд из пушки. Газы вращают турбины, толкают поршни в двигателях (студенты приводят примеры).
Во всех случаях происходит изменение состояния газа. Поэтому нужно знать к чему приведет то или иное изменение состояния газа. Уравнение состояния позволяет это сделать.
Изменение состояния газа необязательно означает изменение всех трех основных параметров. Любой из них можно поддерживать постоянным. Прошу изучить процессы, в которых масса и один из трех параметров – p, V или T остаются неизменными.
Дать определение изопроцесса.
Изопроцессами называют процессы, при которых масса газа и один из его параметров  остаются постоянными. Поскольку имеются три параметра газа, существуют три различных изопроцесса:

1) Изотермический (T = const)
2) Изохорный (V = const)
3) Изобарный (p = const)

При рассмотрении изопроцессов мы будем заполнять  таблицу (каждому студенту выдается три шаблона таблиц).

Полное заполнения таблиц приводится в Приложении 3, Приложении 4, Приложении 5.
Изучение законов проходит с помощью просмотра видеоролика и демонстрацией процесса на проекционном экране (Диск «Физика в картинках НЦ «Физикон»»)

Изотермический процесс (закон Бойля-Мариотта)

Демонстрация зависимости между объемом и давлением данной массы газа при постоянной температуре. По ходу рассмотрения процесса идет заполнение таблицы (Приложение 3)

Изохорный процесс (закон Шарля)

Демонстрация зависимости давления газа от температуры при постоянном объеме. При изучении процесса заполняется таблица (Приложение 4)

Изобарный процесс (закон Гей-Люссака)

Демонстрация зависимости объема газа от температуры при постоянном давлении. После рассмотрения данного процесса студенты самостоятельно заполняют таблицу.
Проводится проверка заполненной таблицы (Приложении 5)
При изучении процессов один из студентов делает сообщение. «История открытия газовых законов»

Историческая справка

1) Первый газовый закон был открыт английским ученым Робертом Бойлем в 1661 году. Бойль изучал изменение давления газа в зависимости от объема при t = const. Данный процесс называют изотермическим. Независимо от Бойля  несколько позднее французский ученый Эдм Мариотт пришел к тем же выводам в 1676 году.
2) Шарль Жак Александр Сезар – французский физик, исследовал  расширение газов и установил в 1787 году закон изменения давления данной массы газа с изменением  температуры при V = const. Изобрел ряд приборов, построил воздушный шар, осуществил полет на этом шаре.
3) Гей-Люссак Жозеф Луи – французский физик и химик в 1802 году открыл закон изменения объема газа от температуры при p = const

5. Формирование знаний и умений

1. Разработать алгоритм решения задач по теме: «Уравнение состояния. Газовые законы» (Приложение 6)

2. Решить задачи (Приложение 7)

а) Решить задачу №1 (разбирается задача у доски)

б) Решить задачи самостоятельно:

Вариант 1                задача №2
Вариант 2                задача №3

Проверка задач (вызвать двух студентов к доске)

Задача №2 (ответ 1300см³)
Задача №3 (ответ 11.2*10⁵ Па)

в) Дополнительно решить задачу №4 (если позволяет время)

г) Решить задачу № 5 (проанализировать графики изопроцессов газов)

6. Применение знаний (тестирование)

Ребята, мы с вами рассмотрели основные  газовые законы, разобрали изопроцессы, графики изопроцессов. Теперь нам нужно обобщить наши знания, суммировать все понятия и определения. Для этого вы выполните тест. Время выполнения – 5 минут (Приложение 8)

7. Домашнее задание

1) Объяснить с точки зрения МКТ изохорный и изобарный процессы (дополнить таблицу)
2) Подготовиться к зачету по теме: «Основы молекулярно-кинетической теории» (по вопросам)
3) Решить задачи 3.3, 3.18, 3.34 [4]

8. Подведение итогов занятия

Ребята, сегодня мы с вами выяснили, что представляет собой изопроцесс :в зависимости  от постоянства макроскопического параметра:

1) при  T = const – изотермический
2) при p = const – изобарный
3) при  V = const – изохорный

Вопросы для подведения итога:

1. Можно ли считать газовые законы следствием из уравнения состояния идеального газа?
2. Применимы ли газовые законы для смеси газов?
3. Каковы условия применения газовых законов?

9. Рефлексия (анализ собственной деятельности студентов)

(Приложение 9)

11.03.2011

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Газовые законы были открыты экспериментально, но все они могут быть получены из уравнения Менделеева-Клапейрона.

Рассмотрим каждый из них.

Закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс)

Изотермическим процессомназывают изменение состояния газа, при котором его температура остаётся постоянной.

Для неизменной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на объем есть величина постоянная:

Этот же закон можно переписать в другом виде (для двух состояний идеального газа):

Этот закон следует из уравнения Менделеева – Клапейрона:

Очевидно, что при неизменной массе газа и при постоянной температуре правая часть уравнения остается постоянной величиной.

Графики зависимости параметров газа при постоянной температуре называются изотермами.

Обозначив константу буквой , запишем функциональную зависимость давления от объема при изотермическом процессе:

Видно, что давление газа обратно пропорционально его объему. Графиком обратной пропорциональности, а, следовательно, и графиком изотермы в координатах является гипербола (рис.1, а). На рис.1 б) и в) представлены изотермы в координатах и соответственно.

Рис.1. Графики изотермических процессов в различных координатах

Закон Гей-Люссака (изобарный процесс)

Изобарным процессомназывают изменение состояния газа, при котором его давление остаётся постоянным.

Для неизменной массы газа при постоянном давлении отношение объема газа к температуре есть величина постоянная:

Для двух состояний газа этот закон запишется в виде:

Этот закон также следует из уравнения Менделеева – Клапейрона:

Графики зависимости параметров газа при постоянном давлении называются изобарами.

Рассмотрим два изобарных процесса с давлениями и . В координатах и изобары будут иметь вид прямых линий, перпендикулярных оси (рис.2 а,б).

Определим вид графика в координатах .Обозначив константу буквой , запишем функциональную зависимость объема от температуры при изобарном процессе:

Видно, что при постоянном давлении объем газа прямо пропорционален его температуре. Графиком прямой пропорциональности, а, следовательно, и графиком изобары в координатах является прямая, проходящая через начало координат (рис.2, в). В реальности при достаточно низких температурах все газы превращаются в жидкости, к которым газовые законы уже неприменимы. Поэтому вблизи начала координат изобары на рис.2, в) показаны пунктиром.

Рис.2. Графики изобарных процессов в различных координатах

Закон Шарля (изохорный процесс)

Изохорным процессомназывают изменение состояния газа, при котором его объем остаётся постоянным.

Для неизменной массы газа при постоянном объеме отношение давления газа к его температуре есть величина постоянная:

Для двух состояний газа этот закон запишется в виде:

Этот закон также можно получить из уравнения Менделеева – Клапейрона:

Графики зависимости параметров газа при постоянном давлении называются изохорами.

Рассмотрим два изохорных процесса с объемами и . В координатах и графиками изохор будут прямые, перпендикулярные оси (рис.3 а, б).

Для определения вида графика изохорного процесса в координатах обозначим константу в законе Шарля буквой , получим:

Таким образом, функциональная зависимость давления от температуры при постоянном объеме является прямой пропорциональностью, графиком такой зависимости является прямая, проходящая через начало координат (рис.3, в).

Рис.3. Графики изохорных процессов в различных координатах

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Изопроцессы. Газовые законы

Изопроцессами называют термодинамические процессы, протекающие в системе с неизменной массой при постоянном значении одного из параметров состояния системы.

1 ˚ Изотермический процесс.

Т = const, ΔT = 0

Р.Бойль (англ.), Э. Мариотт (фр.), ХХVII в.

Закон Бойля-Мариотта.

Произведение pV = const для данного количества газа при постоянной температуре.

Объяснение закона Бойля-Мариотта с точки зрения МКТ.

Давление — это обобщенная, усредненная действие молекул (атомов, частиц) на стены. При уменьшении объема в несколько раз во столько же раз увеличивается число молекул в единице объема (концентрация), а значит и число ударов молекул в стенки за единицу времени. Последнее ведет к росту давления.

Схема эксперимента

2 ˚ Изохорный процесс.

V = const, ΔV = 0

Ж. Шарль (фр.), 1787 год.

Закон Шарля.

Давление определенной массы газа при нагревании на 1 ˚ С при постоянном объеме увеличивается на 1/273 часть его давления при 0 ˚ С.

 р = р0 (1 + αt)

 где α = (p — p0) / p0t = 1/273 (K-1) — температурный коэффициент давления.

Tt = T — 273, р = р0 (1 + αt) = р0 + р0 α (T — 273) = p0αT.

Поэтому р = p0αT или р / Т = const при неизменной массе идеального газа.

Объяснение закона Шарля на основе МКТ.

Согласно основным положениям МКТ при росте температуры идеального газа растет средняя скорость движения молекул (атомов, частиц), а потому возрастает частота соприкосновения со стенками сосуда. Это вызывает рост давления молекул на стенки.

Схема эксперимента

3 ˚ Изобарный процесс.

р = const, ДР = 0

Ж. Гей-Люссак (фр.), 1802 год.

Закон Гей-Люссака.

Увеличение температуры газа на 1 ˚ С при постоянном давлении увеличивает его объем на 1/273 часть того объема, который занимает газ при 0 ˚ С.

V = V0 (1 + βt)

где β = (V — V0) / V0t — температурный коэффициент объемного расширения газа.

Учитывая, что t = T — 273, закон Гей-Люссака можно представить в следующем виде:

V = V0βt, V / T = const, при неизменной массе идеального газа.

Объяснение закона Гей-Люссака на основе МКТ.

Согласно основным положениям МКТ при росте температуры идеального газа растет средняя скорость движения молекул (атомов, частиц), а потому растет среднее расстояние между молекулами, и вызывает рост объема, который занимает идеальный газ.

Схема эксперимента

Объединенный газовый закон.

Законы Бойля-Мариотта, Шарля и Гей-Люссака, установленные экспериментально, объединяются в одну формулу, которую называют объединенным газовым законом.

Для данной массы идеального газа (m = const) в ходе произвольного равновесного термодинамического процесса величина pV / T остается постоянной:

pV / T = const

Если в ходе данного процесса масса газа меняется, то объединенный газовый закон приобретает следующий вид:

pV / (mT) = const

Уравнение состояния.

Уравнением состояния идеального газа называют соотношение, которое связывает между собой параметры идеального газа в равновесном состоянии: f (p, V, T, m) = 0.

Экспериментально установлено уравнение

pV = (m / μ) RT

называют уравнением состояния или уравнением Клапейрона-Менделеева.

В последнем уравнении R = 8,31 Дж / (моль • К) называют универсальной газовой постоянной, а число ν = m / μ указывает на количество молей вещества, для которых записано уравнение состояния и коре находятся в состоянии термодинамического равновесия.

worldofscience.ru

Законы идеальных газов

       В XVII – XIX веках были сформулированы опытные законы идеальных газов. Кратко напомним их.

       Изопроцессы идеального газа – процессы, при которых один из параметров остаётся неизменным.

       1. Изохорический процесс. Закон Шарля. V = const.

       Изохорическим процессом называется процесс, протекающий при постоянном объёме V. Поведение газа при этом изохорическом процессе подчиняется закону Шарля:

       При постоянном объёме и неизменных значениях массы газа и его молярной массы, отношение давления газа к его абсолютной температуре остаётся постоянным: P/Т = const.

       График изохорического процесса на РV-диаграмме называется изохорой. Полезно знать график изохорического процесса на РТ— и VT-диаграммах (рис. 1.6).       Уравнение изохоры:

(1.4.1)

Рис. 1.6        Если температура газа выражена в градусах Цельсия, то уравнение изохорического процесса записывается в виде

(1.4.2)

где Р₀ – давление при 0 °С, α — температурный коэффициент давления газа равный 1/273 град^-1. График такой зависимости на Рt-диаграмме имеет вид, показанный на рисунке 1.7.
Рис. 1.7        2. Изобарический процесс. Закон Гей-Люссака. Р = const.

       Изобарическим процессом называется процесс, протекающий при постоянном давлении Р. Поведение газа при изобарическом процессе подчиняется закону Гей-Люссака:

       При постоянном давлении и неизменных значениях массы и газа и его молярной массы, отношение объёма газа к его абсолютной температуре остаётся постоянным: V/T = const.

       График изобарического процесса на VT-диаграмме называется изобарой. Полезно знать графики изобарического процесса на РV— и РT-диаграммах (рис. 1.8).

Рис. 1.8        Уравнение изобары:

.

(1.4.3)

       Если температура газа выражена в градусах Цельсия, то уравнение изобарического процесса записывается в виде

(1.4.4)

где α =1/273 град ^-1— температурный коэффициент объёмного расширения. График такой зависимости на Vt диаграмме имеет вид, показанный на рисунке 1.9.
Рис. 1.9        3. Изотермический процесс. Закон Бойля – Мариотта. T = const.

       Изотермическим процессом называется процесс, протекающий при постоянной температуре Т.

       Поведение идеального газа при изотермическом процессе подчиняется закону Бойля – Мариотта:

       При постоянной температуре и неизменных значениях массы газа и его молярной массы, произведение объёма газа на его давление остаётся постоянным: PV = const.

       График изотермического процесса на РV-диаграмме называется изотермой. Полезно знать графики изотермического процесса на VT— и РT-диаграммах (рис. 1.10).

Рис. 1.10       Уравнение изотермы:

(1.4.5)

       4. Адиабатический процесс (изоэнтропийный):

       Адиабатический процесс – термодинамический процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой.

       5. Политропический процесс. Процесс, при котором теплоёмкость газа остаётся постоянной. Политропический процесс – общий случай всех перечисленных выше процессов.

       6. Закон Авогадро. При одинаковых давлениях и одинаковых температурах, в равных объёмах различных идеальных газов содержится одинаковое число молекул. В одном моле различных веществ содержится N_A=6,02·10²³молекул (число Авогадро).

       7. Закон Дальтона. Давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений Р, входящих в неё газов:

(1.4.6)

       Парциальное давление Pn – давление, которое оказывал бы данный газ, если бы он один занимал весь объем.

       При , давление смеси газов:

(1.4.7)

       8. Объединённый газовый закон (Закон Клапейрона).

       В соответствии с законами Бойля – Мариотта (1.4.5) и Гей-Люссака (1.4.3) можно сделать заключение, что для данной массы газа

(1.4.8)

Клапейрон Бенуа Поль Эмиль (1799–1864) – французский физик и инженер. Физические исследования посвящены теплоте, пластичности и равновесию твердых тел. Придал математическую форму идеям Н. Карно, первым оценил большое научное значение его труда. Вывел уравнения состояния идеального газа. Впервые ввел в термодинамику графический метод.

---

ens.tpu.ru

Газовые законы — Класс!ная физика

Газовые законы

«Физика — 10 класс»

Состояние какого газа описывает уравнение Менделеева—Клапейрона.
Можно ли универсальную газовую постоянную считать фундаментальной постоянной?

С помощью уравнения состояния идеального газа можно исследовать процессы, в которых масса газа и один из трёх параметров — давление, объём или температура — остаются неизменными.

Количественные зависимости между двумя параметрами газа при фиксированном значении третьего называют газовыми законами.

Процессы, протекающие при неизменном значении одного из параметров, называют изопроцессами.

Слово «изопроцесс» — сложное слово, первая часть которого происходит от греческого слова isos — равный, одинаковый.

Отметим, что в действительности ни один процесс не может протекать при строго фиксированном значении какого-либо параметра. Всегда имеются те или иные воздействия, нарушающие постоянство температуры, давления или объёма. Лишь в лабораторных условиях удаётся поддерживать постоянство того или иного параметра с высокой точностью, но в действующих технических устройствах и в природе это практически неосуществимо. Изопроцесс — это идеализированная модель реального процесса, которая только приближённо отражает действительность.

Изотермический процесс.

Процесс изменения состояния системы макроскопических тел (термодинамической системы) при постоянной температуре называют изотермическим.

Слово «изотермический» происходит от греческих слов isos — равный, одинаковый и therme — теплота.

Для поддержания температуры газа постоянной необходимо, чтобы он мог обмениваться теплом с большой системой — термостатом. Иначе при сжатии или расширении температура газа будет меняться. Термостатом может служить атмосферный воздух, если температура его заметно не меняется на протяжении всего процесса. Согласно уравнению состояния идеального газа (10.4), если масса газа не изменяется, в любом состоянии с неизменной температурой произведение давления газа на его объём остаётся постоянным:

pV = const при Т = const.         (10.6)

Этот вывод был сделан английским учёным Р. Бойлем (1627—1691) и несколько позже французским учёным Э. Мариоттом (1620—1684) на основе эксперимента. Поэтому он носит название закона Бойля—Mapuoттa.

Для газа данной массы произведение давления газа на его объём постоянно.

Закон Бойля—Мариотта справедлив обычно для любых газов, а также и для их смесей, например для воздуха. Лишь при давлениях, в несколько сотен раз больших атмосферного, отклонения от этого закона становятся существенными.

Кривую, изображающую зависимость давления газа от объёма при постоянной температуре, называют изотермой.

Изотерма газа изображает обратно пропорциональную зависимость между давлением и объёмом. Кривую такого рода в математике называют гиперболой (рис. 10.1).

Различным постоянным температурам соответствуют различные изотермы. При повышении температуры газа давление согласно уравнению состояния (10.4) увеличивается, если V = const. Поэтому изотерма, соответствующая более высокой температуре Т₂, лежит выше изотермы, соответствующей более низкой температуре Т₁ (см. рис. 10.1).

Для того чтобы процесс происходил при постоянной температуре, сжатие или расширение газа должно происходить очень медленно. Дело в том, что, например, при сжатии газ нагревается, так как при движении поршня в сосуде скорость и соответственно кинетическая энергия молекул после ударов о поршень увеличиваются, а следовательно, увеличивается и температура газа. Именно поэтому для реализации изотермического процесса надо после небольшого смещения поршня подождать, когда температура газа в сосуде опять станет равной температуре окружающего воздуха.

Кроме этого, отметим, что при быстром сжатии давление под поршнем сразу становится больше, чем во всём сосуде. Если значения давления и температуры в различных точках объёма разные, то в этом случае газ находится в неравновесном состоянии и мы не можем назвать значения температуры и давления, определяющие в данный момент состояние системы. Если систему предоставить самой себе, то температура и давление постепенно выравниваются, система приходит в равновесное состояние.

Равновесное состояние — это состояние, при котором температура и давление во всех точках объёма одинаковы.

Параметры состояния газа могут быть определены, если он находится в равновесном состоянии.

Процесс, при котором все промежуточные состояния газа являются равновесными, называют равновесным процессом.

Очевидно, что на графиках зависимости одного параметра от другого мы можем изображать только равновесные процессы.

Изобарный процесс

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении называют изобарным.

Слово «изобарный» происходит от греческих слов isos — равный, одинаковый и baros — вес, тяжесть.

Согласно уравнению (10.4) в любом состоянии газа с неизменным давлением отношение объёма газа к его температуре остаётся постоянным:

Этот закон был установлен экспериментально в 1802 г. французским учёным Ж. Гей-Люссаком (1778—1850) и носит название закона Гей-Люссака.

Закона Гей-Люссака:

Для газа данной массы при постоянном давлении отношение объёма к абсолютной температуре постоянно.

Согласно уравнению (10.7) объём газа при постоянном давлении пропорционален температуре:

V = const • Т.         (10.8)

Прямую, изображающую зависимость объёма газа от температуры при постоянном давлении, называют изобарой.

Разным давлениям соответствуют разные изобары (рис. 10.2). Проведём на рисунке произвольную изотерму. С ростом давления объём газа при постоянной температуре согласно закону Бойля— Мариотта уменьшается. Поэтому изобара, соответствующая более высокому давлению р₂, лежит ниже изобары, соответствующей более низкому давлению p₁.

В области низких температур все изобары идеального газа сходятся в точке Т = 0. Но это не означает, что объём реального газа обращается в нуль. Все газы при сильном охлаждении превращаются в жидкости, а к жидкостям уравнение состояния (10.4) неприменимо. Именно поэтому, начиная с некоторого значения температуры, зависимость объёма от температуры проводится на графике штриховой линией. В действительности таких значений температуры и давления у вещества в газообразном состоянии быть не может.

Изобарным можно считать расширение газа при нагревании его в цилиндре с подвижным поршнем, если внешнее давление постоянно. Давление в цилиндре постоянно и равно сумме атмосферного давления и давления m_пg/S поршня.

Изохорный процесс

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объёме называют изохорным.

Слово «изохорный» происходит от греческих слов isos — равный, одинаковый и chora — место, пространство, занимаемое чем-нибудь.

Из уравнения состояния (10.4) вытекает, что в любом состоянии газа с неизменным объёмом отношение давления газа к его температуре остаётся постоянным:

Этот газовый закон был установлен в 1787 г. французским физиком Ж. Шарлем (1746—1823) и носит название закона Шарля.

Для газа данной массы отношение давления к абсолютной температуре постоянно, если объём не меняется.

Согласно уравнению (10.9) давление газа при постоянном объёме пропорционально температуре:

р = const • Т.         (10.10)

Прямую, изображающую зависимость давления газа от температуры при постоянном объёме, называют изохорой.

Разным объёмам соответствуют разные изохоры. Также проведём на рисунке произвольную изотерму (рис. 10.3). С ростом объёма газа при постоянной температуре давление его, согласно закону Бойля— Мариотта, падает. Поэтому изохора, соответствующая большему объёму V₂, лежит ниже изохоры, соответствующей меньшему объёму V₁.

В соответствии с уравнением (10.10) все изохоры идеального газа начинаются в точке Т = 0. Значит, давление идеального газа при абсолютном нуле равно нулю.

Увеличение давления газа в любом сосуде или в электрической лампочке при нагревании можно считать изохорным процессом. Изохорный процесс используется в газовых термометрах постоянного объёма.

В заключение составим опорную схему (рис. 10.4) и покажем логические переходы, связывающие различные законы и уравнения.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Основные положения МКТ. Тепловые явления — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Почему тепловые явления изучаются в молекулярной физике — Основные положения молекулярно-кинетической теории. Размеры молекул — Примеры решения задач по теме «Основные положения МКТ» — Броуновское движение — Силы взаимодействия молекул. Строение газообразных, жидких и твёрдых тел — Идеальный газ в МКТ. Среднее значение квадрата скорости молекул — Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов — Примеры решения задач по теме «Основное уравнение молекулярно-кинетической теории» — Температура и тепловое равновесие — Определение температуры. Энергия теплового движения молекул — Абсолютная температура. Температура — мера средней кинетической энергии молекул — Измерение скоростей молекул газа — Примеры решения задач по теме «Энергия теплового движения молекул» — Уравнение состояния идеального газа — Примеры решения задач по теме «Уравнение состояния идеального газа» — Газовые законы — Примеры решения задач по теме «Газовые законы» — Примеры решения задач по теме «Определение параметров газа по графикам изопроцессов»

class-fizika.ru

Уравнения и неравенства с модулем

Данная статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение |x² − 5x + 4| = 4.

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

x² − 5x + 4 = 4 или x² − 5x + 4 = −4.

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

1. |2 − x| = 5 − 4x

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: x = 1. У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

2. x² + 4|x − 3| − 7x + 11 = 0.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число x₂, будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число x₁. Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, x₁ больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

Число x₃ больше, чем , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим x₄:

Значит, x₄ является корнем исходного уравнения.

Ответ:

3. |2x² − 3x − 4| = 6x − 1.

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не точный квадрат. Давайте лучше воспользуемся следующим соображением: уравнение вида |A| = B равносильно совокупности двух систем:

То же самое, но немного по-другому:

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию B ≥ 0.

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

Затем решаем второе уравнение:

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

Стало быть, годятся лишь x₁ и x₃.

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Решим уравнение: x² + 2|x| − 3 = 0.

Поскольку x² = |x|², удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Ответ: ±1.

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: |3x² + 5x − 9| = |6x + 15|. Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Решим уравнение: |x − 1| − 2|x − 2| + 3|x − 3| = 4.

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: [1; 2] ∪ {5}.

Модуль в модуле

Решим уравнение: ||3 − x| − 2x + 1| = 4x − 10.

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) x ≥ 3. Имеем:

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Ответ: 4.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Неравенства с модулем

Никаких принципиально новых идей здесь не возникает. Всеми необходимыми знаниями вы уже владеете. Поэтому мы разберём лишь две задачи. Остальное — на занятиях и в домашних заданиях.

1. 2|x − 4| + |3x + 5| ≥ 16.

1) x ≥ 4. Имеем:

Полученное неравенство выполняется при всех рассматриваемых x ≥ 4. Иными словами, все числа из промежутка [4; +∞) являются решениями нашего неравенства.

2) Имеем в данном случае:

Учитывая, в каком промежутке мы сейчас находимся, получаем в качестве решений исходного неравенства множество [3; 4].

3) . Имеем:

Так как − , то все значения x из полученного промежутка служат решениями исходного неравенства.

Остаётся объединить множества решений, полученные в трёх рассмотренных случаях.

Ответ:

2. |x² − 2x − 3| < 3x − 3.

Это задача №6 теоретической части урока 8 книги В. В. Ткачука «Математика — абитуриенту». Автор решает её методом интервалов. Обязательно разберите авторское решение!

Заметим, что метод интервалов здесь проходит весьма безболезненно по той причине, что корни квадратного трёхчлена под модулем — целые числа. А если дискриминант не будет точным квадратом? Замените, например, под модулем −3 на −5. Объём вычислительной работы тогда существенно возрастёт.

Мы покажем вам другой способ решения этой задачи, не зависящий от капризов дискриминанта.

Наше неравенство имеет вид |A| < B. Очевидны следующие утверждения.

• Если B ≤ 0, то неравенство не имеет решений.

• Если B > 0, то неравенство равносильно двойному неравенству −B < A < B или, что то же самое, системе

Иными словами, мы берём пересечение множества решений данной системы с множеством решений неравенства B > 0, то есть решаем систему

В нашей задаче получаем:

Изобразим множества решений этих неравенств на рисунке. Чёрным цветом показаны решения первого (двойного) неравенства; зелёный цвет — решения совокупности; синий цвет — решения последнего неравенства системы.

Решением системы служит пересечение этих множеств, т. е. множество, над которым присутствуют линии всех трёх цветов. Оно заштриховано.

Ответ: (2; 5).

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Неравенства с модулем, примеры решений

Схема решения простейших неравенств:

1) неравенство вида при равносильно системе ; при неравенство решений не имеет.

2) неравенство , при равносильно совокупности неравенств

при решением неравенства является множество ; – вся числовая ось, то есть .

При решении неравенства вида или , обе части неравенства возводят в квадрат. Если неравенство содержит несколько выражений под знаком модуля, то применяется метод интервалов.

Примеры

ru.solverbook.com

Уравнения и неравенства с модулями

Сегодня порешаем немного заданий с модулями, вспомним, как они раскрываются, будут и уравнения, и неравенства. Поехали…

Задание 1. Решить уравнение:

Совсем простое уравнение. Раскрываем модуль со знаком «плюс» слева от точки 2 и со знаком «минус» – справа, так как в этой точке подмодульное выражение меняет знак с плюса на минус: , .

Получаем систему:

Решение найдено на промежутке , и, соответственно, этому промежутку не принадлежит, поэтому этот корень уравнения посторонний. Ответ:

Задание 2. Решить уравнение:

Приравняем к нулю оба подмодульных выражения, чтобы определить точки перемены их знаков:

Расставляем полученные точки на координатной оси, они нам ее разобьют на три промежутка. Расставляем знаки подмодульных выражений на каждом получившемся промежутке. Это просто сделать, подставив любое число из данного промежутка в модуль и определив, получается положительное число или отрицательное.

Раскрываем модуль

Теперь видно, с каким знаком надо раскрыть модуль на каждом интервале. Придется решить три уравнения, раскрыв модули с нужными знаками на каждом из них.

Интервал а) – оба модуля раскрываем со знаком «минус»: 

Интервал б) – первый модуль раскрываем со знаком «минус», второй – со знаком «плюс»: 

Интервал в) – оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:  – эта точка не принадлежит своему интервалу, поэтому этот корень – посторонний. Ответ: ,

Задание 3. Решить уравнение:

Решать можно либо графическим способом, либо постепенно раскрывая модули снаружи, как будто снимая листья с кочана капусты. Мы сделаем и тем способом, и другим. Сначала – аналитически (то есть раздевая капусту), снимаем первый модуль:

Раскрываем второй модуль:

Раскрываем третий модуль:

Теперь решим графически. Построим сначала прямую :

Построение прямой

Теперь «наденем» на нее модуль, то есть отразим всю ее часть, что оказалась ниже оси х, вверх:

Отражаем вверх все, что ниже оси х

Теперь построим   – минус перевернет наш график вверх тормашками:

Снова отражаем

Поднимаем все вверх на три единицы:

Поднимаем вверх

«Надеваем» второй модуль, то есть снова отражаем всю отрицательную часть вверх:

Второй модуль

Снова ставим «минус»:

Снова отражаем

Снова поднимаем вверх на три единицы:

Поднимаем

Наконец, последний модуль:

Последний модуль

И проводим прямую , пересечения с которой и есть искомые корни:

Прямая пересекает график

Ответ:

Задание 4. Решить неравенство:

Это неравенство также можно решить графически. Справа имеем прямую , слева под знаком модуля – парабола. Модуль переворачивает ту часть параболы, которая находится под осью х, вверх. Требуется найти те интервалы (отрезки), где прямая располагается выше параболы.

Графическое решение

Нас интересует, очевидно, интервал ВА, точки В и А не войдут в решение, так как неравенство строгое:  

Можно также решить аналитически: раскрываем модуль с положительным и отрицательным знаками.

На рисунке показаны решения первого неравенства и второго, и область пересечения этих решений закрашена.

Пересечение решений

Ответ:

Задание 5. Решить уравнение:

Определяем точку перемены знака модуля:

Справа от этой точки модуль раскроем со знаком «минус», слева – со знаком «плюс»

Первое решение сделано на промежутке , точка этому промежутку не принадлежит, поэтому этот корень – посторонний. Ответ:

Задание 6. Решить уравнение:

Приравниваем показатели степеней:

Определяем точки перемены знаков подмодульных выражений:

Раскрываем модуль

Раскрываем модули с соответствующими знаками на каждом из промежутков:

Интервал а) – оба модуля раскрываем со знаком «минус»: 

Интервал б) – первый модуль раскрываем со знаком «минус», второй – со знаком «плюс»: 

Интервал в) – оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:  -нет решений. Получается, что уравнению будет удовлетворять любое число из промежутка (]

Задание 7. Решить уравнение:

Воспользуемся формулой разности логарифмов и заменим ее частным:

По определению логарифма:

Раскрываем модуль

Интервал а) – оба модуля раскрываем со знаком «минус»:  ,

Интервал б) – первый модуль раскрываем со знаком «минус», второй – со знаком «плюс»:  , ,

Интервал в) – оба модуля раскрываем со знаком «плюс»: , – этот корень своему промежутку не принадлежит, он посторонний. Ответ:

Задание 8. Решить неравенство:

В основании логарифма – модуль, и в зависимости от того, какое значение он принимает, неравенство может решаться по-разному, так как его знак меняется.

Рассмотрим два случая: когда основание логарифма от 0 до 1, и когда оно больше 1: а)

То есть область, где решение будет существовать, такая:

На этой области при решении основного неравенства мы поменяем знак:

б) Вторая область:  

Знак неравенства не меняем, так как основание логарифма больше 1:

Осталось внимательно и аккуратно наложить области решения неравенства на те промежутки, где они существуют:

Наложение решений на промежутки

Ответ: ( ] [)

Задание 9. Решить неравенство:

В основании логарифма – модуль х, и в зависимости от того, какое значение он принимает, неравенство может решаться по-разному, так как его знак меняется. Рассмотрим два случая: когда основание логарифма от 0 до 1, и когда оно больше 1: а)

Этот промежуток изображен на рисунке: Тогда знак неравенства меняем, так как основание логарифма меньше 1:

б) Знак неравенства не меняем, так как основание логарифма больше 1:

Наложим решения на области их существовавния

Наложим решения на области, к которым эти решения относятся:

Ответ: (]

easy-physic.ru

25. Неравенства с модулем | Решение задач по математике и другим предме

I тип: Неравенство содержит некоторое выражение под модулем и число вне модуля:

где (3.27)

Решение зависит от знака числа А.

1. Если то неравенство (3.27) не имеет решений.

2. Если то неравенство (3.27) равносильно системе неравенств

где (3.28)

1. Если то неравенство (3.28) не имеет решений.

2. Если то неравенство (3.28) равносильно уравнению

3. Если , то неравенство (3.28) равносильно системе неравенств

где (3.29)

1. Если то решением неравенства (3.29) является множество всех значений Х из ОДЗ выражения

2. Если то решением неравенства (3.29) является множество всех значений Х из ОДЗ выражения таких, что

3. Если то неравенство (3.29) равносильно совокупности

где (3.30)

1. Если то решением неравенства (3.30) является множество всех значений Х из ОДЗ выражения

2. Если то неравенство (3.30) равносильно совокупности

II тип: Неравенство, которое содержит выражение с переменной под знаком модуля и вне его:

(3.31)

Где – некоторые выражения с переменной Х.

Для решения неравенств типа (3.31) можно использовать следующие способы.

1-й способ: используя определение модуля, получаем равносильную совокупность систем:

2-й способ: Решаем аналогично решению неравенства (3.29) при дополнительном ограничении на знак выражения

1. Если

(3.32)

То решением является множество всех значений Х из ОДЗ выражения которые удовлетворяют условию (3.32).

2. Если

То решением является множество всех значений Х, которые удовлетворяют системе

3. Если решение определяется системой

Ответом в решении неравенства (3.31) является объединение всех решений, полученных на этапах 1–3.

3-й способ: метод интервалов.

Для решения необходимо:

1) найти значения Х, для которых

2) найденные значения Х нанести на числовую ось;

3) определить знак выражения на всех полученных промежутках;

4) нарисовать кривую знаков;

5) раскрыть модуль, пользуясь рисунком, и получить соответствующее неравенство, которое следует решить вместе с условием принадлежности переменной Х определенному промежутку;

6) в ответе неравенства указать совокупность полученных решений.

III тип: Неравенство содержит несколько модулей и решается двумя способами:

1-й способ: Можно использовать определение модуля и решать совокупность систем неравенств. Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способ: использовать метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей содержится в неравенстве. Для каждого промежутка следует решать полученное после раскрытия модулей неравенство при условии, что переменная Х принадлежит конкретному промежутку. В ответе указывают объединение всех полученных решений.

IV тип: Неравенство вида

где (3.33)

Решается двумя способами:

1-й способ: метод интервалов.

2-й способ: согласно теореме равносильности (см. свойства равносильности неравенств (3.22) и (3.23)) неравенство (3.33) можно возводить в квадрат:

Решение неравенства (3.33) сводится к решению неравенства

Аналогично решают неравенства IV типа (3.33), если они заданы со знаками

V тип: Неравенства, решаемые заменой переменной.

В таком случае выражение с модулем обозначают новой переменной. Неравенство с новой переменной решают до конца (т. е. до возможного получения промежутков решения для новой переменной). Затем возвращаются к старой переменной и решают полученные неравенства с модулем как неравенства I типа.

Пример 1. Решить неравенства:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Решение. 1) Решаем как неравенство I типа:

Получаем ответ:

2) Решаем как неравенство I типа:

Второе неравенство совокупности не имеет решения (соответствующая парабола лежит над осью Ох). Первое неравенство сводится к виду

Его решение: это и есть ответ.

3) Решаем как неравенство II типа. Оно имеет решение, если Поэтому получаем равносильную систему:

Получаем ответ:

4) Заданное неравенство может быть записано в виде

Заменим переменную Решаем неравенство

Его решение

Возвращаемся к переменной Х и решаем совокупность

Получаем

Т. е. приходим к ответу

5) Для решения неравенства используем метод интервалов. Запишем неравенство в виде

Построим числовые прямые и определим знаки выражений, стоящих под модулем (рис. 3.10).

ОДЗ:

Рис. 3.10

А) рассмотрим неравенство на 1-м промежутке. Получаем систему

(3.34)

Решаем неравенство

Получаем

Система (3.34) сводится к системе

На данном промежутке решений нет.

Б)

Если , то С учетом рассматриваемого промежутка имеем:

Получаем

В)

Решением является промежуток:

Объединим полученные решения и приходим к ответу:

6)

ОДЗ:

Введем новую переменную:

тогда и приходим к неравенству вида

Решаем его

Используем метод интервалов (рис. 3.11).

Рис. 3.11

Запишем полученное решение в виде совокупности:

Вернемся к переменной Х:

(3.35)

– выполняется при любых

С учетом ОДЗ второе неравенство системы (3.35) равносильно системе

Получаем ответ:

matica.org.ua

5.4. Неравенства с модулем

Рассмотрим некоторые виды неравенств, содержащих знак модуля, и методы их решения.

1.

В частности, , где,. Принеравенство решений не имеет.

2.

В частности, ,. Принеравенство выполняется для всехпри которых функцияопределена.

3.

.

Последнее неравенство решается методом интервалов.

4. Неравенство вида решают с помощью замены.

Пример 5.6. Решить неравенство .

Решение. .

Ответ: .

Пример 5.7. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 5.8. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 5.9. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 5.10. Решить неравенство .

Решение. Из свойств модуля следует, что . Поэтому

.

Ответ: .

Пример 5.11. Решить неравенство .

Решение.

Ответ: .

Пример 5.12. Решить неравенство .

Решение. Введем замену , тогда исходное неравенство имеет вид:

.

Переходя обратно к переменной , получим:

.

Ответ: .

Пример 5.13. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 5.14. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

5.5. Иррациональные неравенства

К основным методам решения иррациональных неравенств относятся:

1. сведение исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или к совокупности неравенств:

a) ,

в частности, для

,

б) ,,

в частности, для

,

б) ,

в частности, для

, ;

2. введение новой переменной;

3. ,

4.

Пример 5.15. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 5.16. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 5.17. Решить неравенство

.

Решение.

,

последняя система, а, следовательно, и исходное неравенство, решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Пример 5.18. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения Группа а

1. Укажите длину промежутка, который является решением неравенства:

(Ответ: .)

2. Найти произведение всех целых решений неравенства:

. (Ответ: .)

Решить неравенство (3-15)

3. . (Ответ: .)

4. (Ответ: .)

5. (Ответ: .)

6. . (Ответ: .)

7. . (Ответ: .)

8. . (Ответ: .)

9. . (Ответ: .)

10. . (Ответ: .)

11. . (Ответ: .)

12. . (Ответ: .)

13. . (Ответ: .)

12. . (Ответ: .)

13. . (Ответ: .)

14. . (Ответ: .)

15. . (Ответ: .)

studfiles.net

Решение неравенств с модулем. Модуль раскрытие. Неравенства содержащие модуль. Неравенства с модулем примеры решения.

Как решать неравенства с модулем?

Методы решения систем линейных неравенств отличаются от методов решения линейных уравнений тем, что знаки неравенства не позволяют выполнять подстановку, как мы это делаем с уравнениями. Тем не менее, мы решаем по определенной системе. Система линейных неравенств включает в себя несколько выражений, которые при решении могут дать ряд решений.

\(|x|\)— расстояние на числовой прямой от  \(0\) до точки \(a\).

1. \(|u|=u\) \(—>\) \(u\geq0\)
2. \(|u|=-u\) \(—>\) \(u\le \: 0\)
3. \(|u|=|v|\)     \(—>\) \(v^2=u^2\)
4. \(|x|<a \)  \(—>\)  \(-a<x<a\)    Система
5. \(|x|\le \:a \) \(—>\)  \(-a\le \:x\le \:a\)  
6. \(|x|> a \) \(—>\) \(\left[ \begin{gathered} x < -a \\ x >a \\ \end{gathered} \right.\)  Совокупность
7. \(|x|\geq a \) \(—>\) \(\left[ \begin{gathered} x \le \: -a \\ x \geq a \\ \end{gathered} \right.\)  

Пример 1. Решить неравенство  \(|3+x| \geq|x|\). 

Решение.  \(|3+x| \geq|x|\)\(—>\) \((3+x)^2\geq x^2\) \(—>\) \(x^2+6x+9\geq x^2\)  \(—>\) \(6x\geq -9\) \(—>\) \(x\geq -1,5\)

Ответ: \([-1,5; +∞)\)

Пример 2. Решить неравенство \(\left|3+2x\right|\le \:7\).  Система

Решение.  \(\left|3+2x\right|\le \:7\)     \(—>\)    \(3+2x\le \:7\) и  \(3+2x\ge \:-7\)  или  \(-7\le \:3+2x\le \:7\)

                                                          \(x\le \:2\)         и   \(x\ge \:-5\)                       \(-5\le \:x\le \:2\)

Ответ: [-5;2];

  Пример 3. Решить неравенство \(\left|3x-5\right|<\:4\)

Решение:         \(-4<3x-5<4\)  \(—>\) \(\frac{1}{3}<x<3\)

Ответ: \((\frac{1}{3};3)\);

Пример 4. Решить неравенство \(\left|x-8\right|\ge \:\:3\)

Решение: Совокупность  \(\) \(\left[ \begin{gathered} x-8\le \:-3\\ x-8\ge \:3 \\ \end{gathered} \right.\)  \(—>\) \(\left[ \begin{gathered} x\le \:5\\ x\ge \:11 \\ \end{gathered} \right.\)

Ответ: \((+∞;5)⋃ (11;+∞)\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (9 класс) по теме: Тема 7. НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. Теория. Ключевые методы решения задач. Упражнения.

Тема 7. Неравенства с модулем. Иррациональные алгебраические неравенства.

IV. Неравенства с модулем.

При решении неравенств с неизвестным под знаком модуля пользуемся определением

Решение неравенств, содержащих модули, в большинстве случаев строится аналогично решению соответствующих уравнений. Основное отличие состоит в том, что после освобождения от модулей требуется решить, естественно, не уравнение, а неравенство. Есть еще одно отличие. Если при решении уравнений можно широко пользоваться проверкой полученных решений, то для случая неравенств отбросить посторонние решения проверкой может быть затруднительно. Это означает, что при решении неравенств стараются использовать в основном, равносильные переходы.

Пример. Решить неравенство +  

Решение. Нули подмодульных выражений разделяют числовую ось на три промежутка

x  x  4.

                      -1                      4                      x    

На левом промежутке оба модуля раскрываются со знаком «-«; на среднем — первый модуль раскрывается со знаком «-«, а второй — со знаком «+»; на правом — оба раскрываются со знаком «+». В результате получаем, что исходное неравенство равносильно совокупности трех систем неравенств

Решите эти системы самостоятельно и объедините полученные ответы:

x(-2; -1)  [-1; 4)  [4; 5) x(-2; 5).

Ответ: x(-2; 5).

Неравенство вида  можно решать, исходя из определения модуля, но во многих случаях удобнее перейти к системе неравенств

Пример. Решить неравенство .

Решение. В соответствии с приведенной схемой запишем систему неравенств, равносильную исходному неравенству:

Решением первого неравенства является отрезок x, а решением второго — объединение двух лучей

Пересечение полученных множеств решений неравенств является решением системы и служит ответом в данной задаче.

Ответ: x.

Неравенство вида удобнее решать, переходя к совокупности неравенств

Пример. Решить неравенство 2.

Решение. Запишем совокупность неравенств, равносильную исходному неравенству

Решением первого неравенства является объединение интервалов , а решением второго интервал . Объединяя полученные множества решений неравенств, находим решение совокупности.

Ответ: .

Решить неравенства.

1. .                                               Ответ:
2. .                                             Ответ:
3. .                                                        Ответ:
4. .                                                       Ответ:
5. .                                        Ответ:

V. Иррациональные неравенства.

При решении иррациональных неравенств необходимо помнить, что корни нечетной степени рассматриваются при всех действительных значениях подкоренных выражений, а корни четной степени — только арифметические.

Избавляясь от иррациональности, помните, что неравенство нельзя возводить в четную степень, если хотя бы одна из его частей отрицательна, поскольку при этом знак неравенства может измениться!

Иррациональные неравенства, предлагаемые на вступительных экзаменах, часто сводятся к простейшим следующих видов.

Схемы решения иррациональных неравенств.

5. .

Пример.

1) Решить неравенство

Решение.

Ответ:

1. Решить неравенство  

Решение.

Ответ: .

2. Решить неравенство  

Решение.

Неравенство решим по правилу решения дробно-рациональных неравенств (см. III).

Найдем нули числителя и знаменателя дроби. Это х=2, х=. Нанесем эти точки на числовую ось и определим знак дроби

           —                     +                          —

                                            2                         х

в каждом промежутке.

Ответ: .

3. Решить неравенство    

Решение.

Ответ:

Решить неравенства

1.                                   Ответ:
2. .                                                Ответ:
3.          Ответ:
4.                                          Ответ:
5.            Ответ:

nsportal.ru

Производные математических функций. Определение, таблица основных производных, правила их вычисления

Справочные материалы по теме «производная». Базовый школьный уровень.
Теоретические сведения для учеников, преподавателей и репетиторов по математике. В помощь к проведению занятий.

Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть

Таблица производных основных математических функций:

Правила вычисления производных

Производная суммы двух любых выражений равна сумме производных этих выражений (производная суммы равна сумме производных)

Производная разности двух любых выражений равна разности производных этих слагаемых (производная разности равна разности производных).

Производная от произведения двух множителей равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго (сумма поочередно взятых производных от множителей).
Комментарий репетитора по математике: когда я короткими фразами напоминаю ученику о правиле вычисления производной от произведения, я говорю так: производная первого множителя на второй плюс обмен штрихами!

Производная от частного двух выражений равна частному разности поочередно взятых производных от множителей и квадрата знаменателя.

Производная от произведения числа на функцию. Чтобы найти производную от произведения числа на буквенное выражение (на функцию) нужно умножить это число на производную этого буквенного выражения.

Производная сложной функции:

Для вычисления производной сложной функции необходимо найти производную внешней функции и умножить ее на производную внутренней функции.

Ваши комментарии и отзывы к странице с производными:
Александр С.
Очень нужна была таблица. В интернете одна из самых. За пояснения и правила тоже огромное спасибо. Хотя бы по одному примеру ещё к ним и вообще было бы отлично было. Еще раз огромное спасибо.

Колпаков А.Н, репетитор по математике: хорошо, постараюсь в ближайшее время дополнить страницу примерами.

Виртуальный математический справочник.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Метки: Алгебра, Справочник репетитора, Ученикам

ankolpakov.ru

Формулы производных функции

Рассмотрим функцию которая определена и непрерывна на некотором интервале произвольную точку и соответствующее значение функции в этой точке Зададим аргументу функции приращение в точке В результате получим величину и соответствующее значение функции

Если данный предел конечен, то рассматриваемая функция называется дифференцируемой в точке .

Дифференцирование – это процесс нахождения производной функции. Его проводят с использованием таблицы производных и правил дифференцирования. На этой странице разобраны все формулы производных функции.

Таблица производных, список формул

Правила дифференцирования

ru.solverbook.com

Таблица производных. Таблица производных функций. Табличные производные. Формулы производных.

dpva.ru

12 Таблица основных формул дифференцирования

Производные высших порядков

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом

адание. Найти вторую производную функции 

Решение. Для начала найдем первую производную:

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

Ответ. 

15.Признак возрастания ,убывания функции.

Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения. Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I. Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х₁ и x₂ из интервала. Пусть x₁<x₂. По формуле Лагранжасуществует число с∈(х₁, x₂), такое, что

(1)

Число с принадлежит интервалу I, так как точки х₁ и x₂ принадлежат I. Если f'(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x₁)<F(x₂) — это следует из формулы (1), так как x₂ — x₁>0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f'(с)<0, и потому f(x₁)>f (х₂) — следует из формулы (1), так как x₂—x₁>0. Доказано убывание функции f на I.  Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).  Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f'(t) (см. Мгновенная скорость). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t₁ <t₂, то f (t₁)<f (t₂). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I. Замечание 1. Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку. Замечание 2. Для решения неравенств f’ (х)>0 и f’ (х)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f’ сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f’ в какой-нибудь точке промежутка.

16.Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума

Необходимое условие экстремума

      Функция g(x) в точкеимеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точкии для всех точек x  некоторой области:, выполнено соответственно неравенство

(в случае максимума) или (в случае минимума).

Экстремум функции находиться из условия:, если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.

Достаточное условие экстремума

1) Первое достаточное условие: 

Если:

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точкитакой, что первая  производная в данной точке равна нулю или не существует.

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точкии слева от этой же точки, тогда точкуможно охарактеризовать следующим образом

     Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.

2) Второе достаточное условие

     Если функция g(x) обладает второй производнойпричем в некоторой точкепервая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точкаэкстремум функции g(x), причем если, то точка является максимумом; если, то точка является минимумом.

3) Третье достаточное условие

     Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки N производных, причем значение первых (N — 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:

а) Если N — четно, то точка экстремум функции:у функции точка максимума,у функции точка минимума.

б) Если N — нечетно, то в точкеу функции g(x) экстремума нет.

Абсолютный экстремум

     Наибольшее(наименьшее) значение на сегменте [a;b] непрерывной функции g(x) достигается или в критической точке этой функции(т.е. где производная равна нулю или не существует), или в граничных точках а и b данного сегмента.

studfiles.net

Таблица производных функций

Вот полная таблица производных основных функций:

1. sin´x = cosx

2. cos´x = -sinx

3. tg ´x =

4. ctg ´x =

5. (a^x)´ =ln a · a^x , где a>0, когда a = e тогда (e^x)´ = e^x

6. (xⁿ)´ = n · x^n-1 , где n постоянное вещественное число

7. (lnx)´ =

8. (arcsinx)´ =

8. (arccosx)´ =

9. (log_ax)´ =

10. (arctgx)´ =

11. (arcctgx)´ =

Упражнения.

Применяя таблицу производных и свойства производной вычислите следующие производные:

a) y=x²+x+1, y′ -?                                                       b) y=x cosx, y′ -?

c) y=x sinx, y′ -?                                                           d) y=sin(2x), y′ -?

Докажем теперь к примеру первую формулу.

Доказательство:

1. sin´x = cosx

sin´x =

воспользуемся формулой sin α – sin β = 2 sin() cos():

sin (x+ Δ x) – sin x = 2 sin() cos()

sin (x+ Δ x) – sin x = 2 sin() cos()

Подставляем это выражение в верхнее равенство:

sin´x =

sin´x =

по первому замечательному пределу

поэтому:

sin´x = cosx

Этим же путем докажите формулу cos´x = -sinx

Упражнение.

Применяя формулу ()´=  докажите формулы 3 и 4.

Задача.

При помощи второго замечательного предела докажите формулу (e^x)´ = e^x.

Таблица производных функций незаменима при вычислении производных поэтому советую Вам записать их.

tendey.kz

Площадь прямоугольника — формул, пример расчет, калькулятор

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90°, а противоположные стороны попарно параллельны и равны.

У прямоугольника есть несколько неопровержимых свойств, которые применяются в решении множества задач, в формулах площади прямоугольника и его периметра. Вот они:

• Стороны прямоугольника являются его высотами;
• Длины диагоналей равны между собой ;
• Точка пересечения диагоналей делит их пополам;

Длина неизвестной стороны или диагонали прямоугольника вычисляется по формуле площади прямоугольного треугольника или по теореме Пифагора. Площадь прямоугольника можно найти двумя способами – по произведению его сторон или по формуле площади прямоугольника через диагональ. Первая и самая простая формула выглядит так:

Площадь прямоугольника через диагонали

Иногда требуется применить формулу площади прямоугольника через диагонали. Для нее потребуется не только узнать длину диагоналей, но и угол между ними:

Итак, пример расчета площади прямоугольника через диагональ показал нам, что найти площадь таким образом, если задан угол, довольно просто.
Рассмотрим еще одну интересную задачку, которая поможет нам немного размять мозги.

2mb.ru

Площадь прямоугольника онлайн калькулятор

Чему равна площадь прямоугольника? 1. Необходимо знать длину и ширину прямоугольника. 2. Внесите значения сторон в графы ниже. 3. Нажмите кнопку рассчитать площадь прямоугольника!

Прямоугольник — это простая двухмерная геометрическая фигура. Все углы у него прямые, по этому он и называется прямоугольник. Стороны имеют разный размер, попарно, и обычно называются ширина и длина.

Формула площади прямоугольника — посчитать!

L * H = S чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо перемножить ширину на длину. Другими словами её можно выразить так: площадь прямоугольника равна произведению сторон.

1. Приведём пример расчёта как найти площадь прямоугольника, стороны равны известным величинам, например ширина 4 см, длина 8 см.

Как найти площадь прямоугольника со сторонами 4 и 8 см: Решение простое! 4 х 8 = 32 см2. Чтобы решить такую простую задачу нужно вычислить произведение сторон прямоугольника или просто умножить ширину на длину, это и будет площадь!

2. Частным случаем прямоугольника является квадрат, это тот случай когда стороны у прямоугольника равны, в этом случае найти площадь квадрата можно по выше приведённой формуле.

Чему равна площадь прямоугольника?

Умение рассчитывать площадь прямоугольника является базовым навыком для решения огромного количества бытовых или технических задач. Эти знания применяются практически во всех областях жизни! Например в тех случаях когда необходимы площади любых поверхностей в строительстве или недвижимости. При расчётах площадей земли, участков, стен домов, жилых помещений … не возможно назвать ни одной области деятельности человека, где это знание не может пригодиться!

Если расчёт площади прямоугольника вызывает у Вас сложности — просто воспользуйтесь нашим калькулятором! О моментально приведёт все необходимые вычисления и напишет текст решения с разъяснениями в деталях.

allcalculators.ru

Как найти площадь прямоугольника

С таким понятием, как площадь, нам приходится сталкиваться в своей жизни повседневно. Так, например, при строительстве дома ее нужно знать для того, чтобы рассчитать количество необходимого материала. Размер садового участка также будет характеризоваться площадью. Даже ремонт в квартире невозможно сделать без этого определения. Поэтому вопрос, как найти площадь прямоугольника, на нашем жизненном пути встает очень часто и является важным не только для школьников.

Для тех, кто не знает, прямоугольник – это плоская фигура, у которой противоположные стороны равны, а углы составляют 90о. Для обозначения площади в математике используют английскую букву S. Ее измеряют в квадратных единицах: метрах, сантиметрах и так далее.

Теперь попытаемся дать подробный ответ на вопрос, как найти площадь прямоугольника. Существует несколько способов определения этой величины. Наиболее часто мы сталкиваемся со способом определения площади с помощью ширины и длины.

Возьмем прямоугольник с шириной b и длиной k. Для вычисления площади данного прямоугольника необходимо ширину умножить на длину. Это все можно представить в виде формулы, которая будет выглядеть так: S = b * k.

А теперь рассмотрим этот способ на конкретном примере. Необходимо определить площадь садового участка с шириной 2 метра и длиной 7 метров.

S = 2 * 7 = 14 м2

В математике, особенно в старших классах, приходится определять площадь иными способами, так как во многих случаях ни длина, ни ширина прямоугольника нам не известна. Вместе с тем имеют место другие известные величины. Как найти площадь прямоугольника в этом случае?

• Если нам известна длина диагонали и один из углов, составляющий диагональ с любой стороной прямоугольника, то в этом случае потребуется вспомнить о площади прямоугольного треугольника. Ведь если разобраться, то прямоугольник состоит из двух равных прямоугольных треугольников. Итак, вернемся к определяемой величине. Для начала необходимо определить косинус угла. Полученную величину умножить на длину диагонали. В итоге получим длину одной из сторон прямоугольника. Аналогично, но уже с помощью определения синуса, можно определить длину второй стороны. А как найти площадь прямоугольника теперь? Да очень просто, перемножить полученные величины.

В виде формулы это будет выглядеть так:

S = cos(a) * sin(a) * d2 , где d- длина диагонали

• Еще один способ определения площади прямоугольника – через вписанную в него окружность. Он применяется в том случае, если прямоугольник является квадратом. Для использования данного способа необходимо знать радиус окружности. Как вычислить площадь прямоугольника таким способом? Конечно же, по формуле. Доказывать мы ее не будем. А выглядит она так: S = 4 * r2, где r –радиус.

Случается так, что вместо радиуса нам известен диаметр вписанной окружности. Тогда формула будет выглядеть так:

S=d2,где d – диаметр.

• Если известна одна из сторон и периметр, то как узнать площадь прямоугольника в этом случае? Для этого необходимо произвести ряд простых вычислений. Как мы знаем, противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому от значения периметра необходимо отнять известную длину, умноженную на два. Полученный результат разделить на два и получим длину второй стороны. Ну, а дальше стандартный прием, перемножаем обе стороны и получаем площадь прямоугольника. В виде формулы это будет выглядеть так:

S=b* (P – 2*b), где b – длина стороны, P – периметр.

Как видим площадь прямоугольника можно определять различными способами. Все зависит от того, какие величины нам известны перед рассмотрением данного вопроса. Конечно же, последние методы исчисления в жизни практически не встречаются, но могут пригодиться для решений многих задач в школе. Возможно, и для решения ваших задач эта статья окажется полезной.

fb.ru

Как найти площадь прямоугольника :: SYL.ru

Площадь прямоугольника, как не будет дерзко звучать, но это важное понятие. В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с ним. Узнать размер полей, огородов, рассчитать количество краски, необходимой для побелки потолка, сколько понадобится обоев для оклейки ко

Геометрическая фигура

Для начала поговорим о прямоугольнике. Это фигура на плоскости, которая имеет четыре прямых угла, а ее противоположные стороны равны. Стороны его привыкли называть длиной и шириной. Измеряют их в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т. д. Теперь ответим на вопрос: «Как найти площадь прямоугольника?» Для этого необходимо длину умножить на ширину.

Площадь=длина*ширина

Но еще одна оговорка: длина и ширина должны быть выражены в одинаковых единицах измерения, то есть метр и метр, а не метр и сантиметр. Записывается площадь латинской буквой S. Для удобства обозначим длину латинской буквой b, а ширину латинской буквой a, как показано на рисунке. Отсюда мы делаем вывод, что единицей измерения площади является мм², см², м² и т. д.

S_{стены 1}=16,5 м². Следовательно, противоположная стена имеет площадь равную 16,5 м². Найдем площади следующих двух стен. Стороны их, соответственно, равны 3,5 м и 3 м. S_{стены 2}=3,5*3, S_{стены 2}=10,5 м². Значит, и противоположная сторона равна 10,5 м². Сложим все результаты. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 м². Как вычислить площадь прямоугольника, если стороны выражены в разных единицах измерения. Ранее мы вычисляли площади в м², то и в этом случае будем использовать метры. Тогда ширина рулона обоев будет равна 0,5 м. S_рулона=10*0,5, S_рулона=5 м². Теперь узнаем, сколько рулонов необходимо для оклейки комнаты. 54:5=10,8 (рулонов). Так как они измеряются целыми числами, то нужно купить 11 рулонов обоев. Ответ: 11 рулонов обоев. Задача. Как вычислить площадь прямоугольника, если известно, что ширина на 3 см короче длины, а сумма сторон прямоугольника составляет 14 см? Решение: пусть длина х см, тогда ширина (х-3) см. х+(х-3)+х+(х-3)=14, 4х-6=14, 4х=20, х=5 см — длина прямоугольника, 5-3=2 см — ширина прямоугольника, S=5*2, S=10 см² Ответ: 10 см².

Резюме

Рассмотрев примеры, надеюсь, стало понятно, как найти площадь прямоугольника. Напомню, что единицы измерения длины и ширины должны совпадать, иначе получится неправильный результат, чтобы не допустить ошибок, читайте задание внимательно. Иногда сторона может быть выражена через другую сторону, не стоит бояться. Обратитесь к нашим решенным задачам, вполне возможно, они могут помочь. Но хоть раз в жизни мы сталкиваемся с нахождением площади прямоугольника.

www.syl.ru

Как вычислить площадь прямоугольника?

Одним из важнейших правил тригонометрии является вычисление площади различных фигур, поэтому многие задумываются над тем, как вычислить площадь прямоугольника.

Стоит отметить, что, зная разнообразные величины: стороны, диагонали, углы и периметр фигуры, — можно вычислить ее площадь.

Площадь по двум сторонам

В задаче необходимо найти площадь прямоугольника, если известны две стороны: одна сторона равна 3 см, а другая — 2 см.

Решение:

Исходя из формулы площади S=a*b, мы получаем, что площадь прямоугольника в данном случае равняется:

Ответ: S = 6 см²

Площадь прямоугольника с известной стороной и диагональю

Чтобы решить задачи с такими условиями, необходимо вспомнить теорему Пифагора.

Например, в задаче необходимо найти площадь прямоугольника ABCD, когда известно, что сторона прямоугольника АВ = 3 см, а прилегающая диагональ АС = 5 см.

Решение:

Для начала необходимо узнать вторую сторону прямоугольника. Для этого следует воспользоваться теоремой Пифагора: а² + b² = c². Исходя из теоремы, мы получаем, что сторону ВС можно вычислить следующим способом:

• ВС²= АС²-АВ² = (25-9) = 16 см.
• ВС=4 см.

Таким образом, можно определить и искомое значение:

Ответ: S = 12 см²

О нахождении диагонали прямоугольника можно прочитать в статье Как найти диагональ прямоугольника.

Площадь по диагонали и углу

В задаче необходимо найти площадь прямоугольника, если диагональ равна 10 см, а угол прилегания диагонали к ширине прямоугольника равен 60 градусов.

Решение:

Так как угол между одной стороной и диагональю равен 60 градусам, то прямоугольник делится на два треугольника. Используя формулу S=1/2 d²*sin α, определяем:

• S= 1/2*10²*sin60°= 50*(√ 3)/2 см² = 25*(√ 3) см²

Ответ: S = 25*(√ 3) см².

Площадь прямоугольника по периметру и стороне

Необходимо найти площадь прямоугольника, когда известно, что сторона равна 5 см, а периметр равен 30 см.

Решение:

Чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо определить длину его второй стороны. Если нам в задаче известен периметр, то, исходя из формулы нахождения периметра: Р=2(а+b), можно вычислить, что вторая сторона прямоугольника будет равняться:

• b = (Р-2а)/2=(30-10)/2=10 см.

Таким образом, площадь прямоугольника можно вычислить по уже известной формуле:

• S = a*b, то есть
• S=5*10=50 см².

Ответ: S = 50 см².

Зная основные фо

elhow.ru

Как посчитать площадь прямоугольника: практические советы

Одна из первых формул, которая изучается в математике, связана с тем, как посчитать площадь прямоугольника. Она же является и самой часто используемой. Прямоугольные поверхности окружают нас повсюду, поэтому часто требуется знать их площади. Хотя бы для того, чтобы узнать, хватит ли имеющейся в наличии краски для покраски полов.

Какие единицы измерения площади существуют?

Если говорить о той, которая принята за международную, то это будет квадратный метр. Его удобно использовать при расчете площадей стен, потолка или пола. В них указывается площадь жилья.

Когда речь идет о меньших предметах, то вводят квадратные дециметры, сантиметры или миллиметры. Последние нужны, если фигура не больше ногтя.

При измерении площади города или страны самыми подходящими оказываются квадратные километры. Но есть еще и единицы, которые используют для того, чтобы указать размер площади: ар и гектар. Первая из них еще называется соткой.

Как быть, если заданы стороны прямоугольника?

Это самый простой способ того, как посчитать площадь прямоугольника. Достаточно просто перемножить обе известные величины: длину и ширину. Формула выглядит так: S = а * в. Здесь буквами а и в обозначены длина и ширина.

Подобным образом рассчитывается площадь квадрата, который является частным случаем прямоугольника. Так как у него все стороны равны, то произведение становится квадратом буквы а.

Как быть, если фигура изображена на клетчатой бумаге?

В этой ситуации нужно полагаться на количество клеточек внутри фигуры. По их числу бывает просто посчитать площадь прямоугольника. Но это можно сделать тогда, когда стороны прямоугольника совпадают с линиями клеток.

Часто имеет место такое положение прямоугольника, при котором его стороны наклонены по отношению к разлиновке бумаги. Тогда количество клеток определить сложно, поэтому расчет площади прямоугольника усложняется.

Потребуется сначала узнать площадь прямоугольника, который можно прочертить по клеточкам точно вокруг данного. Это просто: перемножить высоту и ширину. Потом вычесть из получившегося значения площади всех прямоугольных треугольников. А их четыре. К слову, их рассчитывают как половину произведения катетов.

Итоговый результат даст значение площади данного прямоугольника.

Как поступить, если стороны неизвестны, зато даны его диагональ и угол между диагоналями?

До того как находить площадь прямоугольника, в этой ситуации нужно вычислить его стороны, чтобы воспользоваться уже знакомой формулой. Поначалу потребуется вспомнить свойство его диагоналей. Они равны и делятся точкой пересечения пополам. Можно увидеть на чертеже, что диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника, которые попарно равны друг другу.

Равные стороны этих треугольников определяются как половины диагонали, которая известна. То есть в каждом треугольнике есть две стороны и угол между ними, которые даны в задаче. Можно воспользоваться теоремой косинусов.

Одна сторона прямоугольника будет вычислена по формуле, в которой фигурируют равные стороны треугольника и косинус заданного угла. Для вычисления второй значение косинуса придется брать от угла, равного разности 180 и известного угла.

Теперь задача о том, как посчитать площадь прямоугольника, сводится к простому перемножению двух полученных сторон.

Что делать, если в задаче дан периметр?

Обычно в условии указывается еще и соотношение длины и ширины. Вопрос о том, как посчитать площадь прямоугольника, в этом случае проще на конкретном примере.

Допустим, что в задаче периметр некоторого прямоугольника равен 40 см. Известно также, что его длина в полтора раза больше ширины. Необходимо узнать его площадь.

Решение задачи начинается с записи формулы периметра. Его удобнее расписать как сумму длины и ширины, каждую из которых умножить на два по отдельности. Это будет первым уравнением в системе, которую потребуется решить.

Второе связано с известным по условию соотношением сторон. Первая сторона, то есть длина, равна произведению второй (ширины) и числа 1,5. Это равенство нужно подставить в формулу для периметра.

Получится, что он равен сумме двух одночленов. Первый — произведение 2 и неизвестной ширины, второй — произведение чисел 2 и 1,5 и той же ширины. В этом уравнении всего одна неизвестная — это ширина. Нужно ее сосчитать, а потом воспользоваться вторым равенством, чтобы сосчитать длину. Останется только перемножить эти два числа, чтобы узнать площадь прямоугольника.

Расчеты дают такие величины: ширина — 8 см, длина — 12 см, а площадь — 96 см². Последнее число — ответ рассмотренной задачи.

fb.ru

решение 🚩 как находить площадь прямоугольника 🚩 Школы

Во-первых, его стороны, располагающиеся друг напротив друга, будут параллельны. Во-вторых, эти стороны будут попарно равны между собой по длине. Эти характеристики прямоугольника оказываются очень важными для исчисления других его параметров, таких как площадь.

Поэтому для обозначения различающихся сторон прямоугольника приняты особые обозначения: так, сторону с большой протяженностью обычно называют длиной фигуры, а сторону с меньшей протяженностью — его шириной. При этом каждый прямоугольник в силу его свойств, описанных выше, имеет две длины и две ширины.

Собственно алгоритм вычисления площади этой фигуры достаточно прост: необходимо лишь его одну длину умножить на одну его ширину. Полученное произведение будет представлять собой площадь прямоугольника.

Для нахождения площади фигуры необходимо ее ширину умножить на длину: таким образом, площадь рассматриваемого прямоугольника составит 40 квадратных сантиметров. Обратите внимание, что для осуществления вычислений оба используемых параметра должны измеряться в одинаковых единицах, например сантиметрах, как в данном случае. Если же они приведены в разных единицах, необходимо привести их к общему измерению.

Так, если по условиям задачи длина прямоугольника равна, например, 8 сантиметрам, а ширина — 0,06 метрам, следует перевести ширину в измерение в сантиметрах. Ее размер в этом случае составит 6 сантиметров, а площадь фигуры — 48 квадратных сантиметров.

www.kakprosto.ru

Что такое предел функции как его найти

Обобщённое понятие предела: число a есть предел некоторой переменной величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

Поясним это на примере, который также проиллюстрируем. А после примера приведём общий алгоритм решения пределов.

Запишем приведённый пример на языке формул. Итак, номер окружности возрастает и стремится к бесконечности, то есть . Допустим, существует такой равнобедренный треугольник, что длина диаметра каждой вписанной в него окружности расчитывается по формуле

Величина, которую нам требуется найти, будет записана так:

Lim это и есть предел, а под ним указывается переменная, которая стремится к определённому значению – нулю, любому другому числу, бесконечности.

Теперь вычислим предел, присвоив переменной x значение бесконечность (в более строгом определении это называется «доопределить функцию», с этим определением вы можете ознакомиться в последующих частях главы «Предел»). Примем, что конечная величина, поделенная на бесконечность, равна нулю:

С рассмотренной последовательностью окружностей свяжем другую переменную величину — последовательность сумм их диаметров:

Рассмотрев рисунок снова, обнаружим, что предел последовательности равен h – высоте равнобедренного треугольника. Вообще, предел может быть равен нулю, любому другому числу или бесконечности.

Теперь более строгие определения предела функции, которые Вас могут спросить на экзамене, и для понимания которых потребуется чуть больше внимания.

Предел функции при

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть дана точка . Возьмём из X последовательность точек, отличных от :

   (1)

сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

   (2)

и можно ставить вопрос о существовании её предела.

Это означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить то значение, к которому стремится x.

Пример 1. Найти предел функции при .

Решение. Подставляем вместо x значение 0. Получаем:

.

Итак, предел данной функции при равен 1.

Предел функции при , при и при

Кроме рассмотренного понятия предела функции при существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символически это записывается так: .

Определение 3. Число A называется пределом функции f(x) при (), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символически это записывается так: ().

Это, как и в случае определения 1, означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить бесконечность, плюс бесконечность или минус бесконечность.

Пример 2. Найти предел функции при .

Решение. Подставляем вместо x бесконечность. Получаем, что последовательность значений функции является бесконечно малой величиной и поэтому имеет предел, равный нулю:

.

Для наглядности и убедительности, решая данный пример в черновике, можете подставить вместо x супербольшое число. При делении получите супермалое число.

Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.

Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , то либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют предела в этой точке.

Теорема 2. Если функции f(x) и  g(x) имеют пределы в точке , то:

1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.

         (3)

2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.

            (4)

3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.

           (5)

Замечание. Формулы (3) и (4) справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Пример 3. Найти предел:

Решение.

Пример 4. Найти предел:

Решение. Предварительно убедимся, что предел делителя не равен нулю:

Таким образом, формула (5) применима и, значит,

а функция f(u) непрерывна в точке , то

Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.

Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.

Пример 5. Найти предел:

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как

Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим

где

корни квадратного трёхчлена (если Вы забыли, как решать квадратные уравнения, то Вам сюда). Теперь сократим дробь и, используя следствие из теоремы 1, вычислим предел данной функции:

При решении примеров 5 и 8 нам уже встретилась неопределённость вида . Эта неопределённость и неопределённость вида — самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.

БОльшая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.

Освоим эти приёмы на примерах.

Для преобразования выражений потребуются пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Неопределённость вида

Пример 12. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :

.

Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или «супермалому числу».

Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .

Пример 13. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:

.

Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем «икс» под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо «икса».

Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.

Неопределённость вида

Пример 14. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. В числителе — разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:

.

В знаменателе — квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):

Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:

Пример 15. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку

Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:

Пример 16. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию  приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:

Продолжение темы «Предел»

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Определение и нахождение пределов. Методы решения лимитов

Тестирование онлайн

Определение предела последовательности

Число a называется пределом числовой последовательности, если для любого существует число такое, что для всех n>N выполняется неравенство

Когда число a является пределом числовой последовательности (x_n), то пишут:

Пример 1. Рассмотрим числовую последовательность . Найдем несколько первых элементов этой последовательности:

Элементы числовой последовательности будем отображать точками на координатной прямой:

Легко заметить, что пункты, которые отображают элементы данной числовой последовательности с нарастанием номера n все ближе и ближе приближаются к пункту a=1. Расстояние от x_n до пункта а=1 может быть меньше или вообще любого положительного числа.

Когда последовательность имеет предел, то она называется сходящейся. Когда пределом последовательности является число a, то говорят, что последовательность (x_n) сходится к a.
(В нашем примере последовательность сходится к 1).

Когда последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся.

Из определения предела последовательности следует, что

Арифметические действия над сходящимися последовательностями

Определение предела функции

Число A называется пределом функции y=f(x) в пункте x₀, когда для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех x, которые удовлетворяют неравенству выполняется неравенство:

Когда число A является пределом функции f(x), то пишут:

Обратите внимание! Здесь x стремится к некоторому числу, а не к бесконечности. Арифметические действия для пределов фунции аналогичные.

Методы решения пределов

При отыскании пределов отношения двух многочленов относительно x при оба члена отношения полезно разделить на xⁿ, где n — наивысшая степень этих многочленов.

Решение пределов вида , где P(x) и Q(x) — целые многочлены. Если P(x₀)=Q(x₀)=0, то дробь рекомендуется сократить.

Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональному виду во многих случаях путем введения новой переменной.

Еще один способ решения пределов с иррациональными выражениями — это перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель.

При вычислении пределов во многих случаях используется формула

Нахождение пределов вида

При решении подобных пределов часто используют формулу числа e:

Некоторые важные пределы:

fizmat.by

Предел функции в точке

Сегодня рассмотрим подборку новых задач на нахождение предела в точке. Начнем с простых примеров на подстановку значения, чаще всего рассматривают в 11 классе школьной программы по математике.
Далее остановимся и проанализируем пределы с неопределенностями, методы раскрытия неопределенностей, применением первой и второй важных границ и их последствий.
Приведенные примеры полностью не охватят всей темы, но на многие вопросы внесут ясность.

Найти предел функции в точке:

Пример 46. Предел функции в точке определяем подстановкой

Так как знаменатель дроби не превращается в ноль то такую задача под силу решить каждому выпускнику школы.

 

Пример 47. Имеем долю полиномов, кроме того знаменатель не содержит особенности (не равен нулю).
Еще одна задача, фактически за 11 класс.

 

Пример 48. Методом подстановки определяем предел функции
Из условия следует, что граница функции равна двум, если переменная стремится к бесконечности.

 

Пример 49.Прямая подстановка x=2 показывает, что граница в точке имеет особенность {0/0}. Это означает, что и числитель и знаменатель скрыто содержат (x-2).
Выполняем разложение полиномов на простые множители, а потом сокращаем дробь на указанный множитель (x-2).
Предел дроби, которая останется, находим методом подстановки.

 

Пример 50.Предел функции в точке имеет особенность типа {0/0}.
Избавляемся разницы корней методом умножения на сумму корней (сопряженное выражение), полином раскладываем.
Далее, упростив функцию, находим значение предела в единице.

 

Пример 51.Рассмотрим задачу на сложные пределы.
До сих пор от иррациональности избавлялись методом умножения на сопряженное выражение.
Здесь же, в знаменателе, имеем корень кубический, поэтому нужно использовать формулу разности кубов.
Все остальные преобразования повторяются от условия к условию.
Полином раскладываем на простые множители,
далее сокращаем на множитель, который вносит особенность (0)
и подстановкой x=-3 находим предел функции в точке

 

Пример 52.Особенность вида {0/0} раскрываем с помощью первого замечательного предела и его последствий.
Сначала разницу синусов распишем согласно тригонометрической формуле
sin(7x)-sin(3x)=2sin(2x)cos(5x).
Далее числитель и знаменатель дроби дополняем выражениями, которые необходимы для выделения важных пределов.
Переходим к произведению пределов и оцениваем вложение каждого множителя.

 
Здесь использовали первый замечательный предел:

и следствия из него


где a и b – произвольные числа.

 

Пример 53.Чтобы раскрыть неопределенность при переменной стремящейся к нулю, используем второй замечательный предел.
Чтобы выделить экспоненту, приводим показатель к 2-му замечательному пределу, а все остальное, что останется в предельном переходе, даст степень експоненты.

Здесь использовали следствие из второго замечатеьного предела:

Вычислить предел функции в точке:

Пример 54. Нужно найти предел функции в точке. Простая подстановка значения показывает, что имеем деление нулей.
Для ее раскрытия разложим на простые множители полиномы и выполним сокращение на множитель, который вносит особенность (х+2).
Однако числитель дальше содержит (x+2), а это значит, что при x=-2 граница равна нулю.

 

Пример 55.Имеем дробную функцию — в числителе разница корней, в знаменателе — поленом.
Прямая подстановка дает особенность вида {0/0}.
Переменная стремится к минус единице, а это значит, что следует искать и избавляться особенности вида (x+1).
Для этого избавляемся иррациональности умножением на сумму корней, а квадратичную функцию раскладываем на простые множители.
После всех сокращений методом подстановки определяем предел функции в точке

 

Пример 56.С виду подлимитной функции можно ошибочно заключить, что нужно применить первый предел, но вычисления показали, что все гораздо проще.
Сначала распишем сумму синусов в знаменателе sin(2x)+sin(6x)=2sin(4x)*cos(2x).
Далее расписываем tg(2x), и синус двойного угла sin(4x)=2sin(2x)cos (2x).
Синусы упрощаем и методом подстановки вычисляем предел дроби

 

Пример 57.Задача на умение использовать вторую замечательный предел:
суть заключается в том, что следует выделить ту часть, которая дает экспоненту.
Остальное, что останется в показателе в предельном переходе даст степень экспоненты.

На этом разбор задач на пределы функций и последовательностей не заканчивается.
В настоящее время подготовлено более 150 готовых ответов к пределам функций, поэтому изучайте и делитесь ссылками на материалы с однокласниками.

yukhym.com

Предел функции в точке, формулы и примеры

Определение предела функции в точке по Гейне

Это определение предела функции на языке последовательностей.

Определение предела функции в точке по Коши

Это определение предела функции на языке « — ».

Замечание 1. Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке двух разных пределов.

Замечание 2. Понятие предела функции в точке – локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 3. Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием и высотой , с точкой пересечения диагоналей , что все точки графика данной функции на интервале , за исключением, быть может, точки, лежат в этом прямоугольнике (рис. 1).

Рис. 1

Учитывая то, как будут раскрываться модули, а также тот факт, стремится слева или справа к значению , для записанных выше выражений можно построить следующую таблицу:

Во втором столбце записаны условия, накладываемые на переменную и функцию, а третий и четвертый столбцы соответствуют тому, как необходимо эти условия трактовать в определениях предела функции по Гейне и Коши соответственно.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как находить пределы?

Существует в математике такое понятие, как предел функции. Чтобы понимать, как находить пределы, нужно помнить определение предела функции: функция f (x) имеет предел L в точке x = a, если для каждой последовательности значений х, сходящейся к точке a, последовательность значений у приближается к:

Понятие и свойства пределов

Что такое предел, можно понять из примера. Предположим, мы имеем функцию у=1/х. Если мы будем последовательно увеличивать значение х и смотреть, чему равен у, то получим всё уменьшающиеся значения: при х=10000 у=1/10000; при х=1000000 у=1/1000000. Т.е. чем больше х, тем меньше у. Если х=∞, у будет настолько мал, что его можно будет считать равным 0. Таким образом, предел функции у=1/х при х стремящемся к ∞ равен 0. Записывается это так:

Предел функции имеет несколько свойств, которые нужно помнить: это существенно облегчит решение задач на нахождение пределов:

• Предел суммы равен сумме пределов: lim(x+y)=lim x+lim y
• Предел произведения равен произведению пределов: lim(xy)=lim x*lim y
• Предел частного равен частному от пределов: lim(x/y)=lim x/lim y
• Постоянный множитель выносят за знак предела: lim(Cx)=C lim x

У функции у=1 /x, в которой x →∞, предел равен нулю, при x→0, предел равен ∞.

В статье Как решать пределы подробно рассказывается методика решения таких задач. А мы рассмотрим несколько примеров.

Решение примеров на пределы

Начинать находить пределы функций надо всегда с подстановки в функцию того значения х, к которому он стремится.

Пример 1

• Lim (х-3) = lim (3-3) = 0
• х→3

Пример 2

• Lim [х²/(1-х)]. Если подставить х=∞, получим
• х→∞
• ∞²/(1-∞) = ∞²/(-∞).

Одну бесконечность в числителе и знаменателе сокращаем:

• ∞/(-1) = -∞. Значит,
• Lim [х²/(1-х)] = -∞.
• х→∞

В этих примерах всё просто. Однако обычно пределы функций ищут при таких значениях х, которые создают неопределённость типа 0/0 или ∞/∞. Такие неопределённости нужно раскрывать.

Пример 3

• Lim [(2х² — 3х – 5)/(1 + х + 3х²)]
• х→∞

Подставляем х=∞ и получаем в числителе и знаменателе бесконечность, и там, и там в квадрате. Значит, получилась неопределённость типа ∞/∞.

Попробуем сначала разделить обе части дроби на старшую степень — х²:

• Lim {[(2х² — 3х – 5)/x²]/[(1 + х + 3х²)/x²]} =
• х→∞
• = Lim {[(2х²/x²) – (3х/x²) – (5/x²)]/[(1/x²) +( х/x²) + (3х²/x²)]} =
• х→∞
• Lim {[2 – (3/x) – (5/x²)]/[(1/x²) +(1/x) + 3]}
• х→∞
• При х = ∞ 3/х = 0; 5/х² = 0; 1/x² = 0; 1/x = 0.

Значит, из всей страшной четырёхэтажной дроби у нас остались:

Ответ:

• Lim [(2х² — 3х – 5)/(1 + х + 3х²)] = 2/3
• х→∞

В этом при

elhow.ru

Предел функции. Односторонний предел

Задачи на нахождение предела очень часто можно встретить в таких науках как механика, физика, высшая математика, прикладная математика и т.д. Суть таких задач заключается в отыскании значения функции при движении аргумента до некоторого значения при котором функция может быть и неопределена. Поведение функции в определенной точке и называется ее пределом. Он может принимать как постоянное значение так и быть равным бесконечности ().

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Пусть имеем функцию которая определена в некоторой окрестности точки . Число называется пределом функции при , если для любого малого наперед заданного положительного числа можно найти такое положительное число что для всех удовлетворяющих неравенство

выполняется неравенство

В упрощенной форме определения записывают так

При функция является бесконечно большой, если для любого числа можно найти такое число что для всех , удовлетворяющих неравенство оправдывается неравенство

В краткой форме это определение примет вид

Функция является бесконечно малой при , если выполняется

ОДНОСТОРОННИЕ ГРАНИЦЫ

Запись можно понимать как приближение к точке слева, когда и дело, когда . аким образом, приближение точек до может быть двусторонним. На основе этого введены определения правой и левой границы.

Число есть пределом функции слева (левой границей), если для любого числа существует такое, что при выполняется неравенство

Число является пределом функции справа (правой границей) если для сколь угодно малого значения найдется такое что для всех из промежутка выполняется неравенство

Левая и правая границы называются односторонними границами.

Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда существуют одновременно границы справа и слева и они равны между собой

Рассмотрим примеры из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика» на нахождение границ.

————————————

Пример 1. Найти пределы.

1) (4. 331)

2) (4. 333)

3) (4. 337)

4) (4. 342)

5) (4. 348)

6) (4. 357)

Решение.

1) Первые примеры не являются сложными и их решения сводится к подстановки значения аргумента в функцию

2) Как и в предыдущем примере проводим подстановку

3) Выполняем подстановку переменной в предел

4) В такого типа примерах нужно знаменатель разложить по правилу разности квадратов, после этого выполнить подстановку

5) В таких примерах нужно числитель и знаменатель сократить на множитель, который вносит наибольший вклад

6) В подобных примерах ищут наибольший показатель переменной в числителе и знаменателе, а потом проводят анализ. При следовании корни ведут себя следующим образом

С оценки показателей видим что числитель быстрее растет чем знаменатель

следовательно функция бесконечно большая и ее предел бесконечный

На этом вводной урок нахождения пределов функций завершен. Другие примеры вычисления пределов и методику их нахождения Вы найдете в следующих материалах.

————————————

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Односторонние пределы функции, формулы и примеры

Рис. 1

Рис. 2

Определение одностороннего предела функции по Гейне

Обозначение:

   

Итак,

   

Обозначение:

   

То есть

   

Определение одностороннего предела по Коши

Замечание. Основные свойства односторонних пределов схожи со свойствами обычных пределов.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые [wiki.eduVdom.com]

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Рис.1

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Рис.2

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рис.3

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рис.4

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Рис.5

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

---

---

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x, тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

---

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

---

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

---

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

www.wiki.eduvdom.com

Вертикальные углы — это… Что такое Вертикальные углы?

Две прямые пересекаются, создавая пару вертикальных углов. Одна пара состоит из углов A и B, другая — из C и D.

В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух прямых и не являются прилегающими. Такие углы имеют общую вершину. Они имеют одинаковую градусную меру и могут рассматриваться как равные.

Теорема о вертикальных углах

Если две прямые пересекаются в точке, образуются четыре угла. Несмежные углы называются вертикальными или противоположно вертикальными углами. Также, каждая пара прилегающих углов образует прямую, а эти углы называются смежными^[1]. Поскольку каждая пара вертикальных углов является смежными к прилегающим, то градусные меры вертикальных углов — равны.

Алгебраическое решение вертикальных углов

Например, угол A на рисунке — неизвестен. Обозначим A = x. Если два прилегающих угла образуют прямую, то они — смежные. Тогда, градусная мера C = 180 − x. Аналогично, градусная мера D = 180 − x. Углы C и D имеют одинаковую меру, которая равна 180 — x и являются вертикальными. Поскольку, угол B является смежным для обоих углов C и D, для того, чтобы вычислить размер B можно использовать градусную меру любого из них. Используя меру угла C или угла D, найдём градусную меру угла B = 180 — (180 — x) = 180—180 + x = x. Отсюда, оба угла A и B имеют г

См. также

Литература

1. ↑ Euclid The Elements. — c. 300 BC. Proposition I:13.

Ссылки

dic.academic.ru

Вертикальные углы | Треугольники

Какие углы вертикальные? Каким свойством обладают вертикальные углы?

Рассмотрим определение вертикальных углов и их свойство, а также применим свойство вертикальных углов для решения задач.

Определение.

Вертикальные углы — это пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

При пересечении двух прямых образуется две пары вертикальных углов:

∠1 и ∠2  — вертикальные углы

 

 

 

 

 

∠3 и ∠4 — вертикальные углы

 

Свойство вертикальных углов.

Вертикальные углы равны.

 

∠AOC =∠BOD

 

 

 

∠AOD =∠BOC

 

 

Таким образом, при пересечении двух прямых образуется две пары равных межу собой углов.

Задачи.

1) Сумма вертикальных углов равна 140º. Найти эти углы.

Решение:

Так как вертикальные углы равны, а в условии сказано, что их сумма равна 140º, то каждый из них равен по 140:2=70º.

Ответ: 70º, 70º.

2) Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 100º. Найти эти углы.

Решение:

При пересечении двух прямых образуются углы двух видов — вертикальные и смежные.

Так как сумма смежных углов равна 180º, а по условию, сумма углов равна 100º, то эти углы — вертикальные.

А так как вертикальные углы равны, то каждый из них равен по 100:2=50º.

Ответ: 50º, 50º.

Вертикальные углы во многих задачах — важный элемент при доказательстве  равенства треугольников и подобия треугольников.

www.treugolniki.ru

Смежные и вертикальные углы

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (рис. 72): ∠АВС и ∠СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие, АВ и ВD, составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.

Например, ∠АDF и ∠FDВ — углы смежные (рис. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (рис. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 180°

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 54°, то второй угол будет равен:

180° — 54° = l26°.

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На рисунке 75 углы EOF и АОС— вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть ∠1 = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°(рис. 76). Смежный с ним ∠2 будет равен 180° — \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°, т. е. 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90°.

Таким же образом можно вычислить, чему равны ∠3 и ∠4.

∠3 = 180° — 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° — \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90° = 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° (рис. 77).

Мы видим, что ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (рис. 78):

∠a + ∠c = 180°;

∠b + ∠c = 180°;

(так как сумма смежных углов равна 180°).

Отсюда

∠a + ∠c = ∠b + ∠c

(так как и левая часть этого равенства равна 180°, и правая его часть тоже равна 180°).

В это равенство входит один и тот же угол с.

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: ∠a = ∠b, т. е. вертикальные углы равны между собой.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

На чертеже 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

razdupli.ru

Измерение вертикальных углов.

Вертикальным называется угол между направлением на предмет и горизонтальным направлением визирной оси трубы теодолита. Вертикальные углы могут быть заключены в пределах от 90^о до –90^о. Вертикальные углы измеряются для определения превышений между точками тригонометрическим нивелированием и для определения горизонтальных проложений наклонных линий местности. Измеряя вертикальные углы, можно также определить высоты объектов (зданий, водокачек, дымовых труб и т.д.).

Горизонтальное направление визирной оси определяется при помощи места нуля (МО) вертикального круга. Место нуля – это отсчет по вертикальному кругу при горизонтальном положении визирной оси и горизонтальном положении оси уровня при вертикальном или горизонтальном (у теодолита 4Т30) круге.

У разных теодолитов вертикальный круг имеет различное устройство и различную оцифровку. Поэтому формулы для определения вертикальных углов и места нуля вертикального круга у разных теодолитов различаются. Например, у теодолита 4Т30 оцифровка вертикального круга секторная, по 75^о в одну и в другую сторону от нуля, причем в одну сторону деления подписываются со знаком +, в другую – со знаком — . На рис.7 показаны отсчеты по вертикальному кругу теодолита 4Т30 для положительного вертикального угла при круг право (КП) и круге лево (КЛ).

Рис.7

Из рисунка очевидны формулы:

;; (3)

из этих формул можно вывести, что

13

; ; (4)

у теодолита 3Т30 (Т30) формула для определения вертикального угла и место нуля (МО) будут другие:

; ; (5)

; . (6)

Необходимо отметить, что отсчеты по вертикальному кругу у теодолита 4Т30 берутся по шкале, подписанной буквой В , равной 1^о вертикального круга и поделенной на 12 частей. Следовательно, цена деления шкалы равна 5’. Деля ее на глаз на 10 частей, мы можем брать отсчет с точностью 0,5’(30”). Слева направо шкала возрастает от 0’ до 60’ (подписано цифрой 6), справа налево шкала уменьшается от -0’ до –60’ (подписано –6). Отсчет по шкале берется следующим образом: количество градусов считывается с подписанного градусного штриха вертикального круга, который проектируется на шкалу; количество минут определяется по шкале от ее нуля до градусного штриха вертикального круга. Причем, если градусный штрих положителен, то количество минут считается слева направо от 0 шкалы до этого штриха, и прибавляется к градусам. Отсчет будет положительным. Например, на рис. 8 отсчет равен +2^о19’. Если градусный штрих вертикального круга отрицателен, то количество минут считается справа налево от –0 до градусного штриха и прибавляется к градусам; отсчет будет отрицательным. Например, на рис. 9 отсчет равен –-0^о52’.

Рис. 8 Рис. 9

При измерении вертикальных углов теодолитом 4Т30 тщательно приводят ось теодолита в отвесное положение, затем зрительную трубу наводят на точку при круге право (КП). Перед взятием отсчета при необходимости нужно поправить уровень (пузырек вывести на середину) подъемными винтами. Затем берется и записывается отсчет КП по вертикальному кругу. Далее труба переводится через зенит и наводится на ту же точку при круге лево (КЛ). Подправив при необходимости уровень подъемными винтами, берут и записывают отсчет по вертикальному кругу КЛ. По формулам (4) определяют вертикальный угол и место нуля МО.

Место нуля следует определить повторно при наведении на другую точку, и из двух значений вычислить его среднее арифметическое, Если среднее значение МО больше 1’, его следует исправить. Для этого вычислить исправленные отсчеты для вертикального круга по формулам

КЛ_{исправ.}= КЛ – МО или КП_{исправ.}= КП – МО (7)

и установить исправленный отсчет на вертикальном круге наводящим винтом зрительной трубы. При этом крест сетки нитей сместится с изображения наблюдаемой точки. Отвинтить колпачок в окулярной части трубы, шпилькой ослабить на пол оборота боковые исправительные винты сетки нитей. Вращением верхнего и нижнего исправительных винтов сетки в одну сторону, навести крест сетки нитей на точку. Закрепив боковые винты сетки, еще раз определяем МО.

Если мы определили место нуля (МО), то другие вертикальные углы можем измерять однократным наведением зрительной трубы на цель при круге право (КП) или круге лево (КЛ) с одновременным снятием отсчетов по вертикальному кругу и подсчитывать углы по формулам (3).

Рекомендуемая литература.

Д.Ш.Михелев. Инженерная геодезия.- М.: Академия, 2004.

studfiles.net

Вертикальные углы равны

Сначала разберемся какие же углы можно назвать вертикальными.
Начертим две пересекающиеся прямые. Обозначим получившиеся углы одинарной и двойной дугами.

Вертикальными называют углы, которые имеют общую вершину, а стороны одного из углов продолжают стороны другого.
На данном рисунке есть две пары вертикальных углов. Первая пара вертикальных углов – это углы АОВ и COD, а вторая – углы АОС и BOD.
Вертикальные углы можно получить только при пересекающихся двух прямых.
Как видно из рисунка, вертикальные углы обозначены одинаковыми дугами, что обозначает их равенство. Относительно вертикальных углов существует теорема, которая гласит, что вертикальные углы равны.
Разберем на примере как можно использовать понятие вертикальных углов.

Задача.
Известно, что сумма двух вертикальных углов равна 100 градусов. Найти градусную меру всех четырех углов, которые были получены при пересечении данных прямых.

Решение.
Используем рисунок, представленный выше.
Пусть известна сумма двух вертикальных углов COD и АОВ, которая по условию равна 100 градусов.. из теоремы о вертикальных углах известно, что они равны между собой. Тогда получим, что:
уг. AOB = уг. COD.
Запишем выражение, которое известно из условия:
уг. AOB + уг. COD = 100.
Используя предыдущее условие последнее выражение можно переписать так:
уг. AOB + уг. AOB = 100.
Тогда получим:
2 * уг. AOB = 100
уг. AOB = 50.
Рассмотрим смежные углы АОВ и АОС. Известно, что их сумма равна 180 градусов:
уг. АОВ + уг.л АОС = 180.
Найдем угол АОС:
уг. АОС = 180 – уг. АОВ = 180 – 50 = 130.
Второй парой вертикальных углов будут углы АОС и BOD, а значит:
уг. АОС = уг. BOD = 130.

Ответ. 50, 50, 130, 130.

ru.solverbook.com

Вертикальные углы равны. Какие углы вертикальные. Определение вертикальных углов.

В геометрии пары углов могут относиться друг к другу разными способами, в этой статье мы объясним что такое вертикальные углы
Когда две линии пересекаются, противоположные углы образуют вертикальные углы или вертикально противоположные углы. Они называются вертикальными углами, так как имеют одну и ту же вершину. Снизу рисунок вертикальных углов \(y\) и \(y\), \(x\) и \(x\):

 

 
Вертикальные углы равны. Заметьте также, что сумма углов  \(x\) и \(y\)   равна \(180°\). Прокрутите страницу вниз для получения дополнительных примеров и решений.

---

Пример 1. Найти \(x\):

Решение:
           \( х + 65° = 180° ⇒ х = 180° – 65° = 115° \)

Найти \(z\):

 \(z\) и \(x\) — вертикальные углы, поэтому они равны 115° .

Найти y:           

 y и \(65°\) вертикальные углы.
            Поэтому \(y = 65°\)

Ответ: \(x = 115°, y = 65° , z = 115° \)

 Пример 1. \(AEC \) и \(DEB\) прямые линии, которые пересекаются в точке \(E\). \(∠DEC\) \(=135°\).  Найти  \(q\).

 

Решение:
 \(∠AEB\) = \(∠DEC\)  вертикальные углы \(—>\) \( q + 45= 135\)
  \(q=\) \( 135 – 45 = 90\)

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

CaCO3, степень окисления углерода и др элементов

Общие сведения о карбонате кальция и степени окисления в CaCO3

Брутто-формула – CaCO₃. Молярная масса равна – 100,09 г/моль.

Рис. 1. Карбонат кальция. Внешний вид.

Практически не растворяется в воде. Разлагается кислотами, хлоридом аммония в растворе. Переводится в раствор избытком диоксида углерода: в результате образуется гидрокарбонат кальция (Ca(HCO₃)₂), который определяет временную жесткость природных вод.

CaCO3, степени окисления элементов в нем

Чтобы определить степени окисления элементов, входящих в состав карбоната кальция, сначала необходимо разобраться с тем, для каких элементов эта величина точно известна.

Степень окисления кальция постоянна и равна номеру группы Периодической системы Д.И. Менделеева, в которой он расположен со знаком плюс (кальций – металл), т.е. (+2).

Степень окисления кислорода в составе кислот, а, следовательно, и их остатков равна (-2). Для нахождения степени окисления углерода примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности:

(+2) + х + 3× (-2) = 0;

2 + х — 6 = 0;

x – 4 = 0;

x = +4.

Степень окисления углерода в карбонате кальция равна (+4):

Ca⁺²C⁺⁴O^-2₃.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

какова степень окисления у h3CO3

она просто о*уительная !!!

В Н2СО3 степени окисления: Р (1+), С (4+) ,О (2-)

У водорода +1,у SO3 -2

именно чего степень окисления? водород +1 кислород -2 углерод +4

В Н2СО3 степени окисления: Р (1+), С (4+) ,О (2-)

touch.otvet.mail.ru

CCl4, степень окисления углерода и хлора в нем

Общие сведения о четыреххлористом углероде и степени окисления в CCl4

Плотность – 1,5954 г/см³. Брутто-формула – CCl₄ (строение молекулы изображено на рис. 1). Молярная масса равна 153,82 г/моль.

Рис. 1. Строение молекулы тетрахлорметана.

Нерастворим в воде, однако при нагревании в этом тетрахлорметана в этом растворителе до температуры равной 250^oC подвергается гидролизу. Смешивается со многими органическими растворителями.

CCl4, степени окисления элементов в нем

Чтобы определить степени окисления элементов, входящих в состав тетрахлорметана, сначала необходимо разобраться с тем, для каких элементов эта величина точно известна.

Тетрахлор метан – это галогенпроизводное метана, в котором все атомы водорода были замещены на атомы хлора. Это означает, что степени окисления углерода в метане и тетрахлорметане равны.

Метан – это соединение углерода с водородом, которое по сути представляет собой гидрид углерода. Как известно, степень окисления водорода в гидридах неметаллов равна (+1). Для нахождения степени окисления углерода примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности:

x + 4×(+1) = 0;

x +4 = 0;

x = -4.

Степень окисления углерода в метане равна (-4), значит и в тетрахлорметане имеет такое же значение:

С^—4Cl⁺¹₄.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

степень окисления K2SO4 и СaSO3. помагите пожалуйста) напишите степень окисления в скобках))

Степень окисления определить достаточно легко. Нужно помнить что: 1) молекула всегда электронейтральна, т. е. в ней количество плюсов = количеству минусов. 2) у многих химических элементов степень окисления одна во всех соединениях. Например у кислорода практически всегда в сложных веществах степень ок-я равна -2. У водорода чаще всего +1. Для металлов степень окисления можно посмотреть в верхней строчке таблицы растворимости. Там же можно найти и степень окисления неметаллов, входящих в состав бескислородных кислот — сульфид-ион -2, фторид-, хлорид-, бромид- и иодид-ионы -1. Теперь собственно ваши примеры. 1)Сульфат калия. В таблице растворимости находим калий, у него заряд +1. У кислорода, как говорилось выше, -2. Ищем степень ок-я серы, помня что в молекуле кол-во +=кол-ву -. Калия в молекуле 2, кислорода 4. Значит уже есть два плюса калия (2*(+1)) на восемь минусов кислорода (4*(-2)). Не хватает шести плюсов, их даст сера. Проверяйте: 8 плюсов (+2+6)= 8 минусов (4*(-2)) Итог: калий (+1), сера (+6), кислород (-2). 2) Сульфиткальция. В таблице растворимости находим кальций, у него заряд +2. У кислорода, как говорилось выше, -2. Ищем степень ок-я серы, помня что в молекуле кол-во +=кол-ву -. Кальция в молекуле 1, кислорода 3. Значит уже есть два плюса кальция (1*(+2)) на шесть минусов кислорода (3*(-2)). Не хватает четыре плюса, их даст сера. Проверяйте: 6 плюсов (+2+4)= 6 минусов (3*(-2)) Итог: кальций (+2), сера (+4), кислород (-2). Ещё два примерчика от меня 1) КНСО3 По таблице растворимости смотрим калий- (+1), водород (+1). Кислород – (-2). Считаем: (+1)+(+1) + х — количество плюсов, 3*(-2)=-6 – т. е. минусов будет 6. 2+х=6 Значит степень ок-я углерода в гидрокарбонате калия (+4). 2) бромид железа (!!!) – ГеВч3 У железа степень ок-я может быть (+2) и (+3). Степень ок-я брома в бромидах (по таблице растворимости) (-1). Кол-во плюсов (+х) должно быть равно кол-ву минусов. Ионов брома исходя из формулы – три. Значит и минусов будет три, т. к. (3*(-1)). Значит степень ок-я железа должна быть (+3). Надеюсь, это поможет вам в дальнейшем самостоятельно определять степень ок-я в любых веществах. Удачи!

В сульфате калия: калий +1, сера +6, кислород -2. В сульфите кальция: кальций +2, сера +4, кислород -2.

touch.otvet.mail.ru

Кто и когда придумал обозначать века римскими цифрами?

Отличный вопрос!<br><br>Римские цифры появились около 500 до нашей эры у этрусков.<br><br>В русском языке римские цифры используются для указания порядковых номеров монархов, иногда для нумерации томов и разделов книг, для маркировки циферблатов часов и написания номеров веков и т. п. В других языках их сфера применения может отличаться, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года. Иногда римские цифры используются для отделения основного текста книги от предисловия (чтобы не исправлять текст (внутренние ссылки) при изменении предисловия).<br><br>0 отсутствует <br>4 IV (иногда IIII) <br>8 VIII <br>9 IX <br>31 XXXI <br>46 XLVI <br>99 XCIX <br>666 DCLXVI (все отдельные цифры, кроме M, по порядку — число зверя) <br>1984 MCMLXXXIV <br><br><img src=»//foto.mail.ru/mail/pit2006satana88/_answers/i-41.jpg» ><br><br>Британский футболист Дэвид Бекхэм имеет на своей руке татуировку «VII», что означает его любимый номер — семь, под которым он обычно выступает. Многие важные события, например, Олимпийские игры или конференции также нумеруются римскими цифрами. Чем же объясняется выбор между двумя системами написания цифр? <br><br>Считается, что римские цифры, в отличие от более обыденных арабских, обладают духом значительности. Монархов также же обозначают римскими цифрами. Елизавета II, по какой-то причине, выглядит более напыщенно нежели Елизавета 2. <br><br>

… Первый способ — это сокращенная форма записи. Например, фразу «III век от Христа» могли сокращенно записывать как «X.III», где X — первая буква слова Христос (греч.). Буква «X» — одна из самых распространенных средневековых европейских анаграмм имени «Христос». Таким образом, можно предположить, что формула: «Христа I век» в сокращенной записи приобретала вид «X.I», формула «Христа II век» — вид «X.II» и т.д.<br><br>Очевидно, из этих сокращений могли возникнуть принятые сегодня обозначения веков: XI — одиннадцатый век, XII — двенадцатый век и т.д. Однако в современном прочтении прежняя буква X трактуется уже как цифра «десять». Наша гипотеза хорошо согласуется с тем фактом, что средневековые<br><br> «итальянцы обозначали века по сотням: Треченто (трехсотые годы) — XIV век, Кватроченто (четырехсотые) — XV век, Чинквеченто (пятисотые) — XVI век»<br><br>Эти названия веков абсолютно ясно указывают на начало отсчета лет именно от XI веке н.э., поскольку игнорируют принятое сегодня добавление «тысячи лет». Возможно, это также согласуется с обнаруженным нами наложением легенд о Гильдебранде на легенды об Иисусе Христе.<br><br>Аналогично, запись 1300 год (например) могла первоначально означать I.300, т.е. «300-й год от Иисуса»<br><br>По прошествии нескольких веков, а именно, в XVII веке, началось создание новой версии истории. Скалигеровским историкам требовалось исказить до неузнаваемости историю последних веков, то есть XIV-XVI веков. Это было сделано, в частности, путем ИСКАЖЕНИЯ ХРОНОЛОГИИ. Главный прием фальсификации был гениально прост и состоял в следующем. Первую букву Х (то есть Христос) объявили в датах обозначением «десяти веков», а первую букву I (то есть Иисус) объявили обозначением «тысячи». В результате даты искусственно удревнились на 1000 лет, или на 1053 года. Многие средневековые события XI-XVI веков «уехали вниз» примерно на тысячу лет. Возникла фантомная «древняя» история.

touch.otvet.mail.ru

напишите римскими цифрами век, к которому относятся факты из истории русской культуры

МГУ открыли в 1755 г. — XVIII Дата написания повести временных лет — ок. 1110 — 1118 — XII Букварь Кариона Истомина издан в Москве в 1694 г. — XVII Какое начало книгопечатания вам нужно не известно? В России?

Московский университет — XVIII; Книгопечатание в России — XVI; Повесть временных лет — XII; букварь Кариона Истомина — XVII.

1.XVI век. 2.XIIIвек. 3.XIIвек. 4.XVIIвек. Я точно знаю это правильно пиши.

1.XVI век. 2.XIIIвек. 3.XIIвек. 4.XVIIвек

1 18 век 2 16 век 3 12 век 4 17 век 5 18 век

touch.otvet.mail.ru

Римские цифры « Абросайт — творит Абро!

2013 римскими будет записываться так: MMXIII. С наступающим новым годом!

Римская империя оставила после себя огромное наследине, оказавшее сильнейшее влияние на современную цивилизаци. Римские свечи, римские шторы, римское право, римские цифры  — далеко не полный список — вещи и понятия, плотно вошедшие в повседневный обиход.  Ученые и ораторы, императоры и вельможи Древнего Рима — их имена до сих пор на слуху.

Римские цифры — система записи чисел, система счисления. Натуральные числа записываются при помощи повторения римских цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания).

Римские цифры — цифры, использовавшиеся в древнем риме – цифры непозиционной системы счисления.

В отличие от позиционной, более привычной нам, в римской системе не важно, на какой позиции в числе стоит цифра (от позиции не зависит, указывает цифра число едениц, десятков или сотен).

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

Римские цифры обозначаются некоторыми буквами латинского алфавита, а именно:
Число 1 – римская цифра I
Число 5 – римская цифра V
Число 10 – римская цифра X
Число 50 – римская цифра L
Число 100 – римская цифра C
Число 500 – римская цифра D
Число 1000 – римская цифра M

Для закрепления в памяти буквенных обозначений римских цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:
Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх. Соответственно M, D, C, L, X, V, I

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.
Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

В русском языке римские цифры используются в следующих случаях:
• Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
• Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.
• Номер тома в многотомной книге (иногда — номера частей книги, разделов или глав).
• Разметка циферблатов часов и т.д.

Для преобразования чисел, записанных арабскими цифрами, в римские, используются специальные функции. Например, в Microsoft Excel для этого существует функция РИМСКОЕ (аргумент).

Римские цифры — очень красивы, и знание этой системы счисления необходимо для современного цивилизованного человека.

Наш ресурс постарался, и сделал красивые картинки для римских цифр. Римские цифры от 1 до 10:

Римская цифра 1 »
Римская цифра 2 »
Римская цифра 3 »
Римская цифра 4 »
Римская цифра 5 »
Римская цифра 6 »
Римская цифра 7 »
Римская цифра 8 »
Римская цифра 9 »
Римская цифра 10 »

Далее все числа римскими цифрами — все с теми же красивыми картинками «под пергамент» — римские числа от 11 до 20:

11 римскими »
12 римскими »
13 римскими »
14 римскими »
15 римскими »
16 римскими »
17 римскими »
18 римскими »
19 римскими »
20 римскими »

И далее — римские числа от 1 до 135:

1  11   21  31   41    51   61    71    81   91    101    111    121    131
2  12   22  32   42   52   62    72   82   92    102    112   122   132
3  13   23  33   43   53   63    73   83   93    103    113   123   133
4  14   24  34   44   54   64    74   84   94    104    114   124   134
5  15   25  35   45   55   65    75   85   95    105    115   125   135
6  16   26  36   46   56   66    76   86   96    106    116   126
7  17   27  37    47  57   67    77   87   97   107   117   127
8  18   28  38   48   58   68    78   88   98    108    118   128
9  19   29  39   49   59   69    79   89   99    109    119   129
10 20 30 40   50   60   70   80   90  100 110     120  130

abrosait.ru

Решение неравенств методом интервалов

Статья посвящена разбору примеров решения неравенств методом интервалов. При том, что этот метод решения неравенств достаточно универсален, важно помнить, что не всегда применение данного метода оправдано с точки зрения объема вычислений. Иногда бывает удобнее воспользоваться некоторыми другими методами решения неравенств. Все рассмотренные в статье неравенства взяты из реальных вариантов ЕГЭ по математике разных лет. Присутствует подробный видеоразбор одного из заданий.

Метод интервалов

Пусть заданное неравенство имеет вид: Для решения этого неравенства используется так называемый метод интервалов (метод промежутков), который состоит в следующем.

Во-первых, на числовую ось наносят точки разбивающие ее на промежутки, в которых выражение определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений и Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками — точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками — не удовлетворяющие ему.

Во-вторых, определяют и отмечают на числовой оси знак выражения для значении , принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции и являются многочленами и не содержат множителей вида где  то достаточно определить знак функции в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.

Если же в числителе или знаменателе дроби  имеется множитель вида  где  то непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение заданному неравенству.

Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком дроби в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, иногда покрывают штрихами. На ту же ось помещают и точки, соответствующие Заштрихованная область в совокупности с полученными точками будет являться ответом к неравенству.

Общий вид прямой знаков в методе интервалов

Примеры решения неравенств методом интервалов

Постройте график функции y = –5/x

Задание.
Постройте график функции у = —5 / x.

Решение.
Функции с дробями мало кому нравятся, но на самом деле их график построить совсем не сложно.
Немного ознакомимся с функцией.
Функция записана в виде дроби, причем в числителе находится конкретное число, а вот в знаменателе — переменная, которая может принимать различные значения. Для таких случаев необходимо проверить, все ли значения может принимать данная переменная.
Вспоминаем правило: делить на ноль нельзя!
Соответственно для заданной дроби в знаменателе не должно быть нуля, поэтому переменная х не может быть равной нулю:

Больше никаких ограничений для данной функции не существует, поэтому можно приступать к ее построению.
Чтобы понимать, как будет вести себя график функции, проверим саму функцию на четность / нечетность:

Следовательно, функция является нечетной.
Определим точки, через которые пройдет график функции.
Ранее было определено, что функция существует для любых значений переменной х, исключая 0. Поэтому можно выбрать произвольные значения этой переменной и подставить их в уравнение:

Точка (—5; 1)

Точка (—2; 2,5)

Точка (—1; 5)

Точка (—0,5; 10)
Этих точек достаточно, чтобы провести часть кривой графика. Так как определили, что функция является нечетной, то другую часть графика можно провести симметрично началу координат.
Получаем гиперболу у = —5 / x.

ru.solverbook.com

Постройте график функции y = x|x|-5|x|-3x

Задание.
Постройте график функции y = x|x| — 5|x| — 3x.
 
Решение.
На первый взгляд построить данную функцию не так просто, но на самом деле она строится не намного сложнее других.
Разберемся со знаком модуля, который входит в данную функцию. Как известно, под этим знаком может стоять хоть положительное, хоть отрицательное число, но в любом случае результат будет положительным. Следовательно, необходимо рассмотреть два варианта:
1) когда под знаком модуля будет стоять отрицательное число;
2) когда под знаком модуля будет стоять положительное число.
В случае отрицательного числа получим следующую функцию после открытия модуля:

Графиком такой функции будет парабола с ветвями, которые направлены вниз, так как перед квадратом переменой х стоит знак «минус».
Найдем координаты вершины параболы:

Найдем значение функции для этой точки:

Полученная вершина первой параболы для отрицательных значений х имеет координаты (—1; 1).
Пересекаться парабола с осями будет в следующих точках:
Ось Ох:

или
Получилось две точки — (0; 0) и (—2; 0).
В случае положительного х получим такую функцию после открытия модуля:

График функции — парабола с ветвями, которые направлены вверх, так как перед квадратом х стоит знак «плюс».
Координаты ее вершины:

Найдем значение функции для этой точки:

Полученная вершина второй параболы для положительных значений х имеет координаты (4; —16).
Пересечение параболы с осями будет в следующих точках:
Ось Ох:

или
Получилось две точки — (0; 0) и (8; 0).
Не забывая об ограничениях из-за модуля, наносим точки на график.

ru.solverbook.com

Постройте график функции y = (x+5)^2

Задание.
Постройте график функции y = (x + 5)^2.

Решение.
Построить график любой функции можно простым подбором координат точек, которые будут принадлежать этой функции. Но зачастую проще сделать небольшой анализ уравнения функции, чтобы понять что за кривая должна получиться, а также такой анализ поможет более быстро и точно построить этот график.
Рассмотрим заданное уравнение:

Видим квадрат от суммы двух чисел, одно из которых является неизвестным. В таких случаях можно представить с помощью формул сокращенного умножения данную функцию в следующем виде:

Получаем квадратную функцию, графиком которой является парабола. Ветви этой параболы будут направлены вверх, так как перед квадратом х нет отрицательного коэффициента.
У каждой параболы есть вершина. Найдем ее абсциссу с помощью простой формулы:

Полученное значение абсциссы подставим в уравнение заданной функции и найдем нужное значение ординаты точки вершины:

Имеем, что вершина параболы с координатами (—5; 0).
В принципе это видно из начального уравнения функции, а именно из выражения (х + 5) под знаком квадрата.
Найдем дополнительные точки, чтобы построить параболу. Относительно своей вершины она симметрична, поэтому можно найти точки для построения одной ветви, а вторую достроить симметрично ей.
Выберем х = —4:

Координаты первой точки (—4; 1).
Выберем х = —3:

Координаты второй точки (—3; 4).
При х = —2 функция — третья точка (—2; 9)
Нанесем точки на плоскость, соединим их плавной кривой и достроим вторую ветвь параболы симметрично ее вершине.

ru.solverbook.com

Постройте график функции y=0,5x(в квадрате)

Задание.
Постройте график функции y = 0,5x(в квадрате).

Решение.
Для начала запишем функцию в более привычном для математики виде:

Так будет проще воспринимать саму функцию.
Итак, из ее записи видно, что графиком будет парабола. На это указывает квадрат аргумента х. Далее из коэффициента 0,5 перед квадратом аргумента определяет, что ветви параболы будут направлены вверх, так как коэффициент — положительный.
Определим четность функции:

Получается, что значения функции для положительных и отрицательных значений аргумента будут совпадать, то есть функция является четной, а ее график будет симметричен оси Оу.
Найдем вершину параболы. Поскольку функция располагается симметрично оси Оу, то ее вершина будет лежать на этой оси. А это значит, что абсцисса точки вершины равна 0 (х = 0). Подставим это значение в функцию и найдем значение у:

Получается, что вершина параболы в начале координат.
Найдем несколько точек, через которые пройдет парабола. Будем находить значения функции только для положительных х, а для отрицательных, как мы выяснили, значения будут такими же.
Выберем первую точку х = 1. Тогда . Получили точку (1; 0,5).
Выберем вторую точку х = 2. Тогда . Получили точку (2; 2).
Выберем третью точку х = 3. Тогда . Получили точку (3; 4,5).
Построим точки и симметричные им и проведем параболу.

ru.solverbook.com

Постройте график функции y = |-2

Задание.
Постройте график функции y = |-2 – |x + 5||.

Решение.
Страшная на первый взгляд функция на самом деле строиться не так уж сложно.
Чтобы разобраться в ее построении вспомним, что представляет собой модуль. Как известно из алгебры, модулем любого числа (то ли оно положительное, то ли отрицательное) всегда будет положительное число. Также модуль называют расстоянием, а как известно, расстояние не может быть отрицательным – это всегда положительное число.
Под знаком модуля в заданной функции стоит сумма неизвестного числа х и числа 5, которая может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому для построения графика этой функции нужно рассмотреть обе возможности.
Пусть сумма (х + 5) будет положительным числом. Тогда, при открытии знака модуля, функция примет следующий вид:
y = |–2 – |x + 5|| = |-2 – x – 5| = |– x – 7|
Здесь также возможны два варианта:
1) –х – 7 – положительное, тогда у = –х – 7
2) –х – 7 – отрицательное, тогда у = х + 7
Таким образом, при х > –5:
1) –х – 7 > 0
При x < –7 функция существовать не будет
2) –х – 7 < 0
При x > –7 функция будет существовать для х > –5, а тогда:
у (–4) = –4 + 7 = 3 – точка (–4; 3)
у (0) = 0 + 7 = 7 – точка (0; 7)

Пусть сумма (х + 5) будет отрицательным числом. Тогда, открыв знак модуля, получим:
y = |–2 – |x + 5|| = |-2 + x + 5| = |x + 3|
Здесь также возможны два варианта:
1) х + 3 – положительное, тогда у = х + 3
2) х + 3 – отрицательное, тогда у = – х – 3
Таким образом, при х < –5:
3) х + 3 > 0
При x > –3 функция у = х + 3 существовать не будет
4) х + 3 < 0
При x < –3 функция будет существовать для х < –5. Тогда:
у (–6) = –(–6) – 3 = 3 – точка (–6; 3)
у (–10) = –(–10) – 3 = 7 – точка (–10; 7)
Нанесем полученные точки на плоскость.

ru.solverbook.com