Рубрика: Школьная жизнь

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости

Наша цель построить уравнение прямой, проходящей через данную точку M₀ и перпендикулярной к данной плоскости Ax+By+Cz+D=0.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональный плоскости (1) имеет следующий вид:

Пример 1. Построить прямую, проходящую через точку M₀(5, -4, 4) и перпендикулярной плоскости

Решение.

Общее уравнение плоскости имеет вид (1), где :

Подставляя координаты точки M₀(5, -4, 4) и координаты нормального вектора плоскости (4) в (3), получим:

Ответ:

Иррациональное число — это… Что такое Иррациональное число?

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби , где  — целые числа, . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Таким образом: , т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Свойства

• Всякое вещественное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
• Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
• Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
• Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.^[1]

Примеры

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и  — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и  — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде дроби , где и  — целые числа. Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда

Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие.

e

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

История

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу, который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:

• Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a:b, где a и b выбраны наименьшими из возможных.
• По теореме Пифагора: a² = 2b².
• Так как a² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
• Поскольку a:b несократима, b обязано быть нечетным.
• Так как a четное, обозначим a = 2y.
• Тогда a² = 4y² = 2b².
• b² = 2y², следовательно b² четное, тогда и b четно.
• Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному предположению Жана Итара (1961), оно было основано на пифагорейской теории чётных и нечётных чисел, в том числе — на теореме о том, что нечётное квадратное число за вычетом единицы делится на восемь треугольных чисел.

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. «Книга 10 Элементов» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге Йуктибхаза.

Наше время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей.

В 1761 году Ламберт показал, что π не может быть рационально, а также что иррационально при любом ненулевом рациональном n. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя-Клиффорда, показал, что π² иррационально, откуда иррациональность π следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное). Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

См. также

Примечания

xzsad.academic.ru

Иррациональное число — Википедия

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} — целое число, n{\displaystyle n} — натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Таким образом множество иррациональных чисел есть разность R∖Q{\displaystyle \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}.^[1]

Свойства

• Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
• Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.^{[источник не указан 163 дня]}

Алгебраические и трансцендентные числа

Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Множество алгебраических чисел является счётным множеством. Так как множество вещественных чисел несчётно, то множество иррациональных чисел несчётно.

Множество иррациональных чисел является множеством второй категории.^[2]

Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.

Иррациональные числа и непрерывные дроби

Иррациональное число представляются бесконечной непрерывной дробью. Пример, число e:

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,…,1,2n,1,…].{\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].}

Квадратичным иррациональностям соответствуют периодические непрерывные дроби.

ϕ=1+52=[1;1,1,1,1,…].{\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=[1;1,1,1,1,\dots ].}

Видео по теме

Примеры

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален, то есть представляется в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} — целое число, а n{\displaystyle n} — натуральное число.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

2=mn⇒2=m2n2⇒m2=2n2{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}}.

В каноническое разложение левой части равенства число 2{\displaystyle 2} входит в чётной степени, а в разложение 2n2{\displaystyle 2n^{2}} — в нечётной. Поэтому равенство m2=2n2{\displaystyle m^{2}=2n^{2}} невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: log2⁡3{\displaystyle \log _{2}3} рационален, то есть представляется в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} — целые числа. Поскольку log2⁡3>0{\displaystyle \log _{2}3>0}, m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} могут быть выбраны положительными. Тогда

log2⁡3=mn⇒m=nlog2⁡3⇒2m=2nlog2⁡3⇒2m=3n{\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}\Rightarrow m=n\log _{2}3\Rightarrow 2^{m}=2^{n\log _{2}3}\Rightarrow 2^{m}=3^{n}}

Но 2m{\displaystyle 2^{m}} чётно, а правая часть получившегося равенства нечётна. Получаем противоречие.

e

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

История

Античность

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (приблизительно 750—690 года до нашей эры) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены^{[источник не указан 1091 день]}.

Первое доказательство существования иррациональных чисел, а точнее существование несоизмеримых отрезков, обычно приписывается пифагорейцу Гиппасу из Метапонта (приблизительно 470 год до нашей эры). Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок^{[источник не указан 1091 день]}.

Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его, изучая длины сторон пентаграммы.^[3] Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение так как это и есть отношение диагонали к стороне в правильном пятиугольнике.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал^[4] иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному^[5] предположению Жана Итара^[fr], оно было основано на теореме о том, что нечётное квадратное число делится на восемь с остатком один^[6].

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. Десятая книга «Начал» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге «Йуктибхаза».

Новое время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с работами Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемыми) дедекиндовыми сечениями множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей. В 1761 году Ламберт с помощю цепных дробей показал, что π{\displaystyle \pi } не является рациональным числом, а также что ex{\displaystyle e^{x}} и tg⁡x{\displaystyle \operatorname {tg} x} иррациональны при любом ненулевом рациональном x{\displaystyle x}. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя — Клиффорда, показал, что π2{\displaystyle \pi ^{2}} иррационально, откуда иррациональность π{\displaystyle \pi } следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное).

Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π{\displaystyle \pi }. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

См. также

Примечания

Литература

wiki2.red

Иррациональное число — это… Что такое Иррациональное число?

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби , где  — целые числа, . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Таким образом: , т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Свойства

• Всякое вещественное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
• Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
• Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
• Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.^[1]

Примеры

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и  — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и  — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде дроби , где и  — целые числа. Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда

Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие.

e

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

История

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу, который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:

• Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a:b, где a и b выбраны наименьшими из возможных.
• По теореме Пифагора: a² = 2b².
• Так как a² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
• Поскольку a:b несократима, b обязано быть нечетным.
• Так как a четное, обозначим a = 2y.
• Тогда a² = 4y² = 2b².
• b² = 2y², следовательно b² четное, тогда и b четно.
• Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному предположению Жана Итара (1961), оно было основано на пифагорейской теории чётных и нечётных чисел, в том числе — на теореме о том, что нечётное квадратное число за вычетом единицы делится на восемь треугольных чисел.

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. «Книга 10 Элементов» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге Йуктибхаза.

Наше время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей.

В 1761 году Ламберт показал, что π не может быть рационально, а также что иррационально при любом ненулевом рациональном n. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя-Клиффорда, показал, что π² иррационально, откуда иррациональность π следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное). Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

См. также

Примечания

dis.academic.ru

Иррациональное число — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} — целое число, n{\displaystyle n} — натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Таким образом, множество иррациональных чисел есть разность I=R∖Q{\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}.^[1]

Свойства[ | ]

• Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
• Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.^{[источник не указан 258 дней]}

Алгебраические и трансцендентные числа[ | ]

Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Множество алгебраических чисел является

encyclopaedia.bid

Иррациональное число — это… Что такое Иррациональное число?

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби , где  — целые числа, . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Таким образом: , т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Свойства

• Всякое вещественное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
• Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
• Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
• Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.^[1]

Примеры

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и  — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и  — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде дроби , где и  — целые числа. Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда

Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие.

e

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

История

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу, который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:

• Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a:b, где a и b выбраны наименьшими из возможных.
• По теореме Пифагора: a² = 2b².
• Так как a² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
• Поскольку a:b несократима, b обязано быть нечетным.
• Так как a четное, обозначим a = 2y.
• Тогда a² = 4y² = 2b².
• b² = 2y², следовательно b² четное, тогда и b четно.
• Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному предположению Жана Итара (1961), оно было основано на пифагорейской теории чётных и нечётных чисел, в том числе — на теореме о том, что нечётное квадратное число за вычетом единицы делится на восемь треугольных чисел.

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. «Книга 10 Элементов» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге Йуктибхаза.

Наше время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей.

В 1761 году Ламберт показал, что π не может быть рационально, а также что иррационально при любом ненулевом рациональном n. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя-Клиффорда, показал, что π² иррационально, откуда иррациональность π следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное). Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

См. также

Примечания

biograf.academic.ru

Иррациональное число — WiKi

Античность

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (приблизительно 750—690 года до нашей эры) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены^{[источник не указан 1303 дня]}.

Первое доказательство существования иррациональных чисел, а точнее существование несоизмеримых отрезков, обычно приписывается пифагорейцу Гиппасу из Метапонта (приблизительно 470 год до нашей эры). Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок^{[источник не указан 1303 дня]}.

Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его, изучая длины сторон пентаграммы.^[3] Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение так как это и есть отношение диагонали к стороне в правильном пятиугольнике.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал^[4] иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному^[5] предположению Жана Итара^[fr], оно было основано на теореме о том, что нечётное квадратное число делится на восемь с остатком один^[6].

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. Десятая книга «Начал» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге «Йуктибхаза».

Новое время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с работами Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемыми) дедекиндовыми сечениями множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей. В 1761 году Ламберт с помощю цепных дробей показал, что π{\displaystyle \pi }  не является рациональным числом, а также что ex{\displaystyle e^{x}}  и tg⁡x{\displaystyle \operatorname {tg} x}  иррациональны при любом ненулевом рациональном x{\displaystyle x} . Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя — Клиффорда, показал, что π2{\displaystyle \pi ^{2}}  иррационально, откуда иррациональность π{\displaystyle \pi }  следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное).

Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π{\displaystyle \pi } . Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

www.ru-wiki.org

Как понять рациональное число или иррациональное? Помогите пожалуйста!!!

Любое рациональное число — это периодическая дробь: 5=5,0000…=5,(0) 1,257=1,257(0) 1/110=0,0(09) Рациональные числа представимы в виде p/q, где p — целое число, а q — натуральное. Иррациональные числа в такой записи нельзя представить, так как это непериодические дроби. … Единого метода доказательства иррациональности — нет. Док-во иррациональности п доказывается иначе, чем квадратного корня из 2.

иррациональное

Если запись бесконечная непериодическая — иррациональное, иначе рациональное.

Зависит от того, в каком виде вам представлено число.

Рациональным числом считается число от 0 до 9 или их соотношением. Например: 0,5 — иррациональное число, а дробь 1/2 — выраженное соотношением двух рациональных чисел. Число 0,3333333 можно выразить дробью 1/3 и т. д.

К рациональным числам относятся и целые, и дробные, и положительные, и отрицательные, и даже нуль. С метафизической точки зрения рациональные числа относятся к тем величинам, которые могут быть измерены с определенностью и точностью. Числа иррациональные относятся к группе действительных чисел, которые можно выразить в форме бесконечной десятичной непериодической дроби. Они не могут быть точно выраженными дробью m/n, где т и п- целые числа. Примерами таких иррациональных чисел являются числа корень из 2; 0,1010010001; lg2; cos20±; …С метафизической точки зрения иррациональные числа относятся к области тех неуловимых явлений тонкого мира, которые не могут быть измерены с абсолютной точностью.

touch.otvet.mail.ru

Постройте график функции y = |x| x + |x| – 3x

Задание.
Построить график функции у = \textbar х \textbar  х + \textbar х\textbar  — 3х.

Решение.
Сначала рассмотрим функцию. Она содержит знак модуля, под которым стоим переменная х. в таком случае переменная х может принимать и отрицательное, и положительное значение. Следовательно, графиком функции будет две параболы, ветви которых направлены в противоположные стороны.
Разберем более подробно.
Предположим, что переменная х будет иметь положительно значение. Тогда функция после раскрытия знака модуля будет иметь вид:

В случае, когда х будет иметь отрицательное значение, функция будет иметь следующий вид:

Нужно построить эти две параболы, но первую на промежутке для положительных значений х, то есть от 0 до плюс бесконечности, а вторую — для отрицательных значений х, то есть от минус бесконечности до 0. Таким образом, эти две параболы будут отделяться осью Оу.
Найдем вершины этих парабол.

Для построения найдем еще точки пересечения с осями координат.
Для параболы :
С осью Оу: х = 0

С осью Ох: у = 0

или
Получили две точки:
(0; 0) и (2; 0).
Для параболы :
С осью Оу: х = 0

С осью Ох: у = 0

или
Получили две точки:
(0; 0) и (—4; 0).

ru.solverbook.com

Постройте график функции и найдите значение k

Постройте график функции y=|x-3|-|x+3| и найдите значение k, при которых прямая y=kx имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Решение:

Разберем как строить график с модулем.

y=|x-3|-|x+3|

Найдем точки при переходе которых знак модулей меняется.
Каждое выражения, которое под модулем приравниваем к 0. У нас их два x-3 и x+3.
x-3=0 и x+3=0
x=3 и x=-3

У нас числовая прямая разделится на три интервала (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). На каждом интервале нужно определить знак под модульных выражений.

1. Это сделать очень просто, рассмотрим первый интервал (-∞;-3). Возьмем с этого отрезка любое значение, например, -4 и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.
х=-4
x-3=-4-3=-7 и x+3=-4+3=-1

У обоих выражений знаки отрицательный, значит перед знаком модуля в уравнении ставим минус, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (-∞;-3).

y=—(x-3)-(—(x+3))=-х+3+х+3=6

На интервале (-∞;-3) получился график линейной функции (прямой) у=6

2. Рассмотрим второй интервал (-3;3). Найдем как будет выглядеть уравнение графика на этом отрезке. Возьмем любое число от -3 до 3, например, 0. Подставим вместо значения х значение 0.
х=0
x-3=0-3=-3 и x+3=0+3=3

У первого выражения x-3 знак отрицательный получился, а у второго выражения x+3 положительный. Следовательно, перед выражением x-3 запишем знак минус, а перед вторым выражением знак плюс.

y=—(x-3)-(+(x+3))=-х+3-х-3=-2x

На интервале (-3;3) получился график линейной функции (прямой) у=-2х

3.Рассмотрим третий интервал (3;+∞). Возьмем с этого отрезка любое значение, например 5, и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.

х=5
x-3=5-3=2 и x+3=5+3=8

У обоих выражений знаки получились положительными, значит перед знаком модуля в уравнении ставим плюс, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (3;+∞).

y=+(x-3)-(+(x+3))=х-3-х-3=-6

На интервале (3;+∞) получился график линейной функции (прямой) у=-6

4. Теперь подведем итог.Постоим график y=|x-3|-|x+3|.
На интервале (-∞;-3) строим график линейной функции (прямой) у=6.
На интервале (-3;3) строим график линейной функции (прямой) у=-2х.
Чтобы построить график у=-2х подберем несколько точек.
x=-3 y=-2*(-3)=6 получилась точка (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 получилась точка (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 получилась точка (3;-6)
На интервале (3;+∞) строим график линейной функции (прямой) у=-6.

5. Теперь проанализируем результат и ответим на вопрос задания найдем значение k, при которых прямая y=kx имеет с графиком y=|x-3|-|x+3| данной функции ровно одну общую точку.

Прямая y=kx при любом значении k всегда будет проходить через точку (0;0). Поэтому мы можем изменить только наклон данной прямой y=kx, а за наклон у нас отвечает коэффициент k.

Если k будет любое положительное число, то будет одно пересечение прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3|. Этот вариант нам подходит.

Если k будет принимать значение (-2;0), то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет три.Этот вариант нам не подходит.

Если k=-2, решений будет множество [-2;2], потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке. Этот вариант нам не подходит.

Если k будет меньше -2, то прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.Этот вариант нам подходит.

Если k=0, то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| также будет одно.Этот вариант нам подходит.

Ответ: при k принадлежащей интервалу (-∞;-2)U[0;+∞) прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

tutomath.ru

Построить график функции y = 3x+1

Задание.
Постройте график функции y = 3x + 1.

Решение.
Поскольку данная функция относится к линейным, а следовательно, ее графиком ее будет прямая, то построить ее можно абсолютно без никаких проблем. Выполним несложные расчеты, для того чтобы найти пару точек, через которые эта прямая будет проходить.
Найти точки можно двумя способами, которые практически равны по сложности.
Первый заключается в нахождении точек прямой, в которых она пересекается с осью Ох и осью Оу.
Первым рассмотрим пересечение с осью Ох. Если функция пересекается с осью Ох, то предположительно х не будет равен 0, а вот координата у будет равна 0. Решим следующее равенство:

Координаты первой точк5и получились равными .
Вторую точку найдем как пересечение с осью Оу. В этом случае предполагаем, что у не равен нулю, а вот х равен нулю. Подставляем в уравнение х = 0:

И вторая точка (0; 1).
Осталось провести через эти точки прямую и график готов.

Второй способ очень похож на первый, но вместо подстановки в уравнение значений х = 0 и у = 0, подставляют произвольные значения переменной х и находят значения у.
Например:
при х = 1 функция — точка (1; 4)
при х = -1 функция — точка (-1; -2)

ru.solverbook.com

Постройте график функции y = x^3-x^2

Задание.

Постройте график функции y = x^3 — x^2.

Решение.

Для данного уравнения функции ограничений никаких нет, ни для аргумента, ни для самой функции. Другими словами функция может существовать для любого значения переменной х.
В таком случае вместо этой переменной можно подставить любое значение, найти для него соответствующее значение функции и получить координату точки, через которую пройдет график функции. Такой метод называется методом подбора координат точек. Но в уравнении стоит переменная х в кубе, что тянет за собой несколько необычное поведение функции. Поэтому мы вынуждены выполнить некоторый анализ этого поведения.
Найдем первую производную функции, чтобы узнать на каких промежутках функция будет возрастать или же убывать:

Приравняем ее к нулю и решим уравнение:

или
Найдем знак производной на полученных трех промежутках и выясним поведение функции на них:
— функция возрастает
— функция убывает
— функция возрастает
Рассчитаем значение функции в точке максимума и минимума:
— точка максимума (0; 0)
— точка минимума
Найдем точки перегиба функции, вычислив вторую производную:

Найдем значение функции для найденного х:

— точка перегиба.
Осталось найти точки пересечения с координатными осями и построить график.
Пересечение с осью Ох будем искать, приравняв функцию к нулю:

или

Пересечение с осью Оу будем искать, подставив вместо х значение 0. Но для такого значение выше уже были произведены расчеты, поэтому точками пересечения с координатными осями будут:
(0; 0) и (1; 0).

ru.solverbook.com

Строим графики функций, содержащие модуль. Часть 1

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 1. Изобразить график функции y = |x² – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x² – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

0x : y = 0.

x² – 4x + 3 = 0.

x₁ = 3, x₂ = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

0y: x = 0.

y = 0² – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x_в = -(-4/2) = 2, y_в = 2² – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2, изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x² – 4 · |x| + 3

Так как x² = |x|², то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x|² – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x² – 4 · x + 3 (см. также рис. 1).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 3).

Пример 3. Изобразить график функции y = log₂|x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log₂x (рис. 4).

Далее повторяем пункты 2)-3) предыдущего примера и получаем окончательный график (рис. 5).

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже  являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому , их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y ≥ 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x² + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x²= |x|². Значит, вместо исходной функции y = -x² + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x|² + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x|² + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x² + 2x – 1 (рис. 6).

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7).

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8).

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a)  Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9).

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

Далее повторяем пункты b)-c) из предыдущего примера и получаем следующий график функции (рис. 10).

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11).

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Как построить график функции y=|x|x+|x|-3x?

У автора прозвучало два вопроса: «Как построить график заданной функции и как вообще строить такие графики?»

Поскольку на первый вопрос уже есть ответы, то ограничусь только картинкой графика.

Я немного видоизменю формулу и на ее примере попробую подробно рассказать о методе работы с модулями. А также постараюсь рассказать о других вариантах.

Поскольку модуль при различных Х, ведет себя по разному и решать уравнения с модулями нельзя, то те части уравнения где присутствует модуль переменной, заменяют на обыкновенные иксы. Но при этом альтернативная замена должна при расчете давать такое же значение как и модульная часть.

Предположим у нас такое уравнение:

Здесь под модулем только переменная Х, поэтому мы может разделить координатную ось на две части, та что слева от оси Y (отрицательная) и на ту что справа (положительная). Следовательно для каждой половинки будет свое уравнение.

В данном задании придется подставлять в формулы численные значения Х, поэтому что бы было

проще, понятней и меньше писать, я обозначу уравнения как функции.

N(х)- это Начальное уравнение

L(х)- это уравнение Левой части

P(х)- это уравнение Правой части

S(x)- уравнение Средней части

Рассмотрим, как более простую, правую часть. Здесь иксы всегда положительные, а значит модуль ничего не делает и его можно упустить.

Перейдем к левой части. Не поленимся и заключим в скобки выражения где есть |Х|.Все коэффициенты и знаки вынесем за скобку. В отрицательной зоне модуль Х заменяется на «-Х». Так как при подстановке любого отрицательного числа получится равенство.|Х|=-Х. Например подставим «-2». получим|-2|=-(-2)=2

В результате получили два простеньких квадратных уравнения. Квадратные уравнения решаются по теореме Виета, но в нашем случае это можно сделать в уме. Рассмотрим P(х).

P(х)=-2х^2+4х

х1=0 y=0

х2=2 у=0

Ось этой параболы будет находиться посередине между корнями. Значит Х оси равен 1. Подставим это значение в формулу.

P(1)=-2*1^2+4*1=2

Значит координаты вершины параболы А(1;2)

Строим график.

Аналогично рассматриваем левое уравнение L(х)

L(х)=2х^2-6х

х1=0 y=0

х2=3 у=0

Ось этой параболы по Х равна»1.5″

L(1.5)=2*1.5^2-6*1.5=-4.5

Координаты вершины параболы В(1.5;-4.5)

Строим график.

Теперь остается навести нужные части.

Вы обратили внимание, что в точке перехода между зонами есть излом. Это не всегда так. Переход может быть и плавным, и со скачком и, уходить в бесконечность, и могут быть не определенные точки. Например:

Понятно, что Х разделить на Х всегда равен 1, но вот с каким знаком, кроме того появляются неопределенные точки.

Поэтому если в уравнении есть структура |Х|/Х или Х/|Х|, то всегда будет скачок.

Например:

Структура 1/|Х| Всегда приведет к бесконечности. Например:

А вот что будет если под модулем будет хотя бы простенькое выражение?

Наши выражения добавят точки излома и еще одну зону между осью Y и этой точкой. Назовем ее средней (S(x)). Может показаться, что на предыдущей картинке ее нет. Но это дело случая, а точнее формулы.

Следует понимать, что от вида выражений зависит, в положительной или отрицательной зонах будет точка излома.

Так для выражений |X-a| и |a-X| точка излома будет в правой части, а для выражений |x+a| и |-X-a| в левой. А также каждый подобный модуль прибавит еще одну точку излома и зону.

Рассмотрим страшное выражение и определим точки излома. И конечно будет еще одна точка х=0

Разобьем нашу ось на зоны и выберем в каждой зоне проверочную точку.

Теперь рассмотрим зоны L, S1, S2. В этих зонах Х будет отрицательным, а значит что мы |Х| заменим на «-Х». А вот скобки придется анализировать. Что бы получить одинаковое численное значение под модулем и в нашей замене, математические выражения должны совпадать, но вот со знаком мы можем не угадать.

Зона L

Предположим что в зоне L формула совпадает с N(х)

?L(х)=|Х|+(Х+3)-(Х-2)-(-Х-6)

Подставим вместо Х значение контрольной точки зоны L, то есть Х=-7

В скобочках получим значения -4;-9;1 Это значит что математическое выражение в третьей скобке правильное. А вот в первой и второй, перед скобкой нужно поставить знак минус, что бы изменить отрицательные значения на положительные. Ведь модуль может дать нам только положительное значение. Для этого меняем в скобке у всех членов знаки на противоположные. Получим следующее.

L(х)=-Х+(-Х-3)-(2-Х)-(-Х-6)=1

Уравнение в этой зоне получилось очень простое. Это прямая линия параллельная оси Х и проходящяя через точку Y=1

Зона S1

Контрольная точка Х=-4

?S1(х)=|Х|+(Х+3)-(Х-2)-(-Х-6)

S1(х)=-Х+(-Х-3)-(2-Х)-(Х+6)=-2Х-11

Зона S2

Контрольная точка Х=-1

?S2(х)=|Х|+(Х+3)-(Х-2)-(-Х-6)

S2(х)=-Х+(Х+3)-(2-Х)-(Х+6)=-5

Зоны с положительными иксами S3 и P. Меняем |Х| на Х

Зона S3

Контрольная точка Х=1

?S3(х)=|Х|+(Х+3)-(Х-2)-(-Х-6)

S3(х)=Х+(Х+3)-(2-Х)-(Х+6)=2Х-5

Зона P

Контрольная точка Х=3

?P(х)=|Х|+(Х+3)-(Х-2)-(-Х-6)

P(х)=Х+(Х+3)-(Х-2)-(Х+6)=-1

Все, строим графики функций.

Теперь остается лишь правильно навести.

Примерно по такой схеме строятся графики функций с модулями.

Но следует помнить, что для более сложных функций нельзя путать модуль функции с модулем ее аргумента.

www.bolshoyvopros.ru

Постройте график функции y = 2 – 3^x

Задание.
Постройте график функции y = 2 — 3^x.

Решение.
Для того, чтобы понять как построить заданную функцию, необходимо рассмотреть ее и выполнить хотя бы небольшой анализ.
Одним из слагаемых функции является число в неизвестной степени. Такие функции принято называть показательными, причем они существуют при любом значении показателя степени.
Проверим функцию на четность. В таком случае нужно подставить в эту функцию вместо переменной х переменную —х и по полученному результату сделать вывод о ее четности:

Получили ни четную, ни нечетную функцию.
Также показательная функция не является периодической.
Проще всего построить заданную функцию по нескольким известным точкам, которые найдем, подставив вместо переменной х произвольные значения. Значения будем брать и положительные, и отрицательные.
— точка пересечения с осью Оу
Точку пересечения с осью Ох находить не так просто, но придется найти хотя бы приблизительное значение:

Решим равенство приближенно. Если подставить х = 0,5, то получим:

Если же взять х = 1, то:

Следовательно, график будет пересекаться с осью Ох приблизительно в точке (0,7; 0).

Полученных точек достаточно, чтобы получить адекватный график заданной в условии функции.
Нанесем точки на график и соединим линией.

ru.solverbook.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

∫ Найти интеграл от y = f(x) = e^(x/2) dx (e в степени (х делить на 2))

Решение

  1      
  /      
 |       
 |   x   
 |   -   
 |   2   
 |  E  dx
 |       
/        
0        

$$\int_{0}^{1} e^{\frac{x}{2}}\, dx$$

[LaTeX]

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         Таким образом, результат будет:

      Если сейчас заменить ещё в:

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

   2. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         Таким образом, результат будет:

      Если сейчас заменить ещё в:

2. Теперь упростить:

3. Добавляем постоянную интегрирования:

Ответ:

  1                    
  /                    
 |                     
 |   x                 
 |   -                 
 |   2              1/2
 |  E  dx = -2 + 2*e   
 |                     
/                      
0                      

$${{2\,\sqrt{E}}\over{\log E}}-{{2}\over{\log E}}$$

[LaTeX]

[LaTeX]

  /                
 |                 
 |  x             x
 |  -             -
 |  2             2
 | E  dx = C + 2*e 
 |                 
/                  

$${{2\,E^{{{x}\over{2}}}}\over{\log E}}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

∫ Найти интеграл от y = f(x) = 1/(e^x+2) dx (1 делить на (e в степени х плюс 2))

Решение

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |   x       
 |  E  + 2   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x} + 2}\, dx$$

[LaTeX]

1. Перепишите подынтегральное выражение:

2. пусть .

   Тогда пусть и подставим :

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

               Тогда пусть и подставим :

               1. Интеграл есть .

               Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть .

            Таким образом, результат будет:

         Результат есть:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

               Тогда пусть и подставим :

               1. Интеграл есть .

               Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть .

            Таким образом, результат будет:

         Результат есть:

   Если сейчас заменить ещё в:

3. Добавляем постоянную интегрирования:

Ответ:

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |    1         1   log(3)   log(2 + E)
 |  ------ dx = - + ------ - ----------
 |   x          2     2          2     
 |  E  + 2                             
 |                                     
/                                      
0                                      

$${{\log 3}\over{2\,\log E}}-{{\log \left(E+2\right)-\log E}\over{2\, \log E}}$$

[LaTeX]

[LaTeX]

  /                                     
 |                    / x\      /     x\
 |   1             log\e /   log\2 + e /
 | ------ dx = C + ------- - -----------
 |  x                 2           2     
 | E  + 2                               
 |                                      
/                                       

$${{x}\over{2}}-{{\log \left(E^{x}+2\right)}\over{2\,\log E}}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

∫ Найти интеграл от y = f(x) = x*e^x^2 dx (х умножить на e в степени х в квадрате)

Решение

  1           
  /           
 |            
 |     / 2\   
 |     \x /   
 |  x*E     dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} e^{x^{2}} x\, dx$$

[LaTeX]

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         Таким образом, результат будет:

      Если сейчас заменить ещё в:

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

   2. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         Таким образом, результат будет:

      Если сейчас заменить ещё в:

2. Добавляем постоянную интегрирования:

Ответ:

  1                     
  /                     
 |                      
 |     / 2\             
 |     \x /        1   E
 |  x*E     dx = - - + -
 |                 2   2
/                       
0                       

$${{E}\over{2\,\log E}}-{{1}\over{2\,\log E}}$$

[LaTeX]

[LaTeX]

  /                      
 |                   / 2\
 |    / 2\           \x /
 |    \x /          e    
 | x*E     dx = C + -----
 |                    2  
/                        

$${{E^{x^2}}\over{2\,\log E}}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

∫ Найти интеграл от y = f(x) = e^(x^3)*x^2*dx (e в степени (х в кубе) умножить на х в квадрате умножить на d х)

Решение

  1            
  /            
 |             
 |   / 3\      
 |   \x /  2   
 |  E    *x  dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} e^{x^{3}} x^{2}\, dx$$

[LaTeX]

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         Таким образом, результат будет:

      Если сейчас заменить ещё в:

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

   2. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         Таким образом, результат будет:

      Если сейчас заменить ещё в:

2. Добавляем постоянную интегрирования:

Ответ:

  1                      
  /                      
 |                       
 |   / 3\                
 |   \x /  2        1   E
 |  E    *x  dx = - - + -
 |                  3   3
/                        
0                        

$${{E}\over{3\,\log E}}-{{1}\over{3\,\log E}}$$

[LaTeX]

[LaTeX]

  /                       
 |                    / 3\
 |  / 3\              \x /
 |  \x /  2          e    
 | E    *x  dx = C + -----
 |                     3  
/                         

$${{E^{x^3}}\over{3\,\log E}}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

∫ Найти интеграл от y = f(x) = e^(2*x)+1 dx (e в степени (2 умножить на х) плюс 1)

Решение

  1              
  /              
 |               
 |  / 2*x    \   
 |  \E    + 1/ dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} e^{2 x} + 1\, dx$$

[LaTeX]

1. Интегрируем почленно:

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

         Тогда пусть и подставим :

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            Таким образом, результат будет:

         Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. пусть .

         Тогда пусть и подставим :

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            Таким образом, результат будет:

         Если сейчас заменить ещё в:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

   Результат есть:

2. Добавляем постоянную интегрирования:

Ответ:

  1                       
  /                       
 |                       2
 |  / 2*x    \      1   e 
 |  \E    + 1/ dx = - + --
 |                  2   2 
/                         
0                         

$${{2\,\log E+E^2-1}\over{2\,\log E}}$$

[LaTeX]

[LaTeX]

  /                            
 |                          2*x
 | / 2*x    \              e   
 | \E    + 1/ dx = C + x + ----
 |                          2  
/                              

$$x+{{E^{2\,x}}\over{2\,\log E}}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Обратная матрица онлайн калькулятор

Решение

Найдем обратную матрицу для матрицы A при помощи матрицы алгебраических дополнений.

1. Найдем определитель для матрицы A
det A = 14
(Если вы хотите получить детальное решение нахождения определителя, то воспользуйтесь калькулятором для нахождения определителя матрицы)

2. Найдем присоединенную матрицу adj(A) составленную из алгебраических дополнений. Для этого каждый элемент исходной матрицы a_ij заменим на его алгебраическое дополнение A_ij

M₁₂ =

M₂₁ =

M₂₂ =

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} ⋅ M₁₁ = (-1)² ⋅ 7 = 7
A₁₂ = (-1)^{1 + 2} ⋅ M₁₂ = (-1)³ ⋅ 4 = -4
A₂₁ = (-1)^{2 + 1} ⋅ M₂₁ = (-1)³ ⋅ 0 = 0
A₂₂ = (-1)^{2 + 2} ⋅ M₂₂ = (-1) ⁴ ⋅ 2 = 2

Решение

Найдем обратную матрицу для матрицы A при помощи матрицы алгебраических дополнений.

1. Найдем определитель для матрицы A
det A = -7396
(Если вы хотите получить детальное решение нахождения определителя, то воспользуйтесь калькулятором для нахождения определителя матрицы)

2. Найдем присоединенную матрицу adj(A) составленную из алгебраических дополнений. Для этого каждый элемент исходной матрицы a_ij заменим на его алгебраическое дополнение A_ij

M₁₂ =

M₁₃ =

M₂₁ =

M₂₂ =

M₂₃ =

M₃₁ =

M₃₂ =

M₃₃ =

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} ⋅ M₁₁ = (-1)² ⋅ (-1128) = -1128
A₁₂ = (-1)^{1 + 2} ⋅ M₁₂ = (-1)³ ⋅ (-876) = 876
A₁₃ = (-1)^{1 + 3} ⋅ M₁₃ = (-1)⁴ ⋅ (-470) = -470
A₂₁ = (-1)^{2 + 1} ⋅ M₂₁ = (-1)³ ⋅ (-752) = 752
A₂₂ = (-1)^{2 + 2} ⋅ M₂₂ = (-1)⁴ ⋅ (-584) = -584
A₂₃ = (-1)^{2 + 3} ⋅ M₂₃ = (-1)⁵ ⋅ 303 = -303
A₃₁ = (-1)^{3 + 1} ⋅ M₃₁ = (-1)⁴ ⋅ 12 = 12
A₃₂ = (-1)^{3 + 2} ⋅ M₃₂ = (-1)⁵ ⋅ 88 = -88
A₃₃ = (-1)^{3 + 3} ⋅ M₃₃ = (-1)⁶ ⋅ 5 = 5

matematika-club.ru

Обратная матрица, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор позволяет найти обратную матрицу всего в пару кликов. Для нахождения обратной матрицы выберите ее размер, введите значения всех элементов матрицы и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст детальное решение и ответ! Каждый этап будет детально расписан, это поможет вам понять, как был получен ответ и, при необходимости, проверить свое решение.

Как найти обратную матрицу онлайн

Для того, чтобы найти обратную матрицу онлайн, вам потребуется указать размер самой матрицы. Для этого кликните на иконки «+» или «-» до тех пор, пока значение количества столбцов и строк вас не устроит. Далее введите в поля требуемые элементы. Ниже находится кнопка «Вычислить» — нажав её, вы получите на экране ответ с подробным решением.

В линейной алгебре довольно часто приходится сталкиваться с процессом вычисления обратной матрицы. Она существует только для невыраженных матриц и для квадратных матриц при условии отличного от нуля детерминанта. В принципе, рассчитать её не представляет особой сложности, особенно если вы имеете дело с небольшой матрицей. Но если нужны более сложные расчёты или тщательная перепроверка своего решения, лучше воспользуйтесь данным онлайн калькулятором. С его помощью вы оперативно и с высокой точностью решите обратную матрицу.

С помощью данного онлайн калькулятора вы сможете значительно облегчить себе задачу в плане расчётов. Кроме того, он помогает закрепить материал, полученный в теории – это своеобразный тренажёр для мозга. Не стоит рассматривать его, как замену вычислениям вручную, он может дать вам гораздо больше, облегчив понимание самого алгоритма. К тому же, лишняя перепроверка себя никогда не помешает.

ru.solverbook.com

Обратная матрица онлайн

www.matcabi.net позволяет найти обратную матрицу онлайн. Сайт производит вычисление обратной матрицы онлайн. За неколько секунд сервер выдаст точное решение. Обратной матрицей будет являться такая матрица, умножение исходной матрицы на которую дает единичную матрицу, при условии, что определитель начальной матрицы не равен нулю, иначе обратной матрицы для нее не существует. В задачах, когда вычисляем обратную матрицу онлайн, необходимо, чтобы определитель матрицы был отличным от нуля, иначе www.matcabi.net выдаст соответствующее сообщение о невозможности вычислить обратную матрицу онлайн. Такую матрицу еще называют вырожденной. Найти обратную матрицу в режиме онлайн можно только для квадратной матрицы. Операция нахождения обратной матрицы онлайн сводится к вычислению определителя матрицы, затем составляется промежуточная матрица по известному правилу, и в завершении операции — умножения найденного ранее определителя на транспонированную промежуточную матрицу. Точного результата от определения обратной матрицы онлайн можно добиться, изучив теорию по этому курсу. Данная операция занимает особое место в теории матриц и линейной алгебры, позволяет решать системы линейных уравнений, так называемым, матричным методом. Задача по нахождению обратной матрицы онлайн встречается уже в начале изучения высшей математики и присутствует почти в каждой математической дисциплине как базовое понятие алгебры, являясь математическим инструментом в прикладных задачах. www.matcabi.net находит обратную матрицу заданной размерности в режиме онлайн мгновенно. Вычисление обратной матрицы онлайн при заданной её размерности — это нахождение матрицы той же размерности в числовом ее значении, а также в символьном, найденного по правилу вычисления обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы онлайн широко распространено в теории матриц. Результат нахождения обратной матрицы онлайн используется при решении линейной системы уравнений матричным методом. Если определитель матрицы будет равен нулю, то обратной матрицы, для которой найден нулевой определитель, не существует. Для того, чтобы вычислить обратную матрицу или найти сразу для нескольких матриц соответствующие им обратные, необходимо затратить не мало времени и усилий, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет обратную матрицу онлайн. При этом ответ по нахождению обратной матрицы будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при нахождении обратной матрицы онлайн будут иррациональными. На сайте www.matcabi.net допускаются символьные записи в элементах матриц, то есть обратная матрица онлайн может быть представлена в общем символьном виде при вычислении обратной матрицы онлайн. Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи по нахождению обратной матрицы онлайн, используя сайт www.matcabi.net. При совершении операции вычисления обратной матрицы онлайн необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении данной задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему обратная матрица онлайн. Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.matcabi.net безусловно будет являться удобным инструментом для проверки при нахождении и вычислении обратной матрицы онлайн.

www.matcabi.net

❺ Алгебра 8 класс — тесты онлайн

Пояснение к вопросу 1: 

Верный ответ — Все равны.

Значение выражения x2 — 2x + 1 при х = 101будет равно

Пояснение к вопросу 2: 

Исходный трехчлен является квадратом двухчлена:x2 — 2x + 1 = (x — 1)2Подставив в выражение вместо х число 101 получим (101 -1)2 = 1002

Вычислить(0,002)3

Пояснение к вопросу 3: 

(0,002)3 = (2 10-3)3 = 8 (10)-9

Пояснение к вопросу 4: 

Верный ответ — Б

Округлите число p=3,141592… с точностью до 0,001

Пояснение к вопросу 5: 

При округлении с точностью до 0,001 в числе после запятой должны остаться 3 цифры.Правило округления: Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то нужно брать стоящую в числе цифру, в противном случае эту цифру надо увеличить на 1.Верный ответ — Г p=3,141592… ~ 3,142

Решением уравнения 7 + x2 = (x + 1)(x + 6)будет

Пояснение к вопросу 6: 

Правая часть исходного уравнения 7 + x2 = (x + 1)(x + 6) представляет собой произведение двух многочленов:(x + 1)(x + 6) = x2 + 6x + x + 6 = x2 + 7x +6Таким образом, мы преобразовали наше уравнение к виду7 + x2 = x2 + 7x + 6Перенесем x2 и 7x из правой части уравнения влево, а число 7 из левой части уравения вправо. Отсюда,x2 — x2 — 7x = 6 — 7 или -7x = -1Разделив обе части полученного уравнения на -7 получим х = 1/7.

Пояснение к вопросу 7: 

1/1.5 + 1/3 =2/3 + 1/3 = 1Верный ответ x = 1.5 = 3/2

Пояснение к вопросу 8: 

Преобразуйте данное выражение соблюдая свойства степеней с одинаковыми основаниями

Представьте в виде многочлена выражение (а — х)(b — y)

Пояснение к вопросу 9: 

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить:(а — x)(b — y) = ab — ay — xb + xy.

Сколько решений имеет квадратное уравнение?2 x2 — 4 x + 4 = 0

Пояснение к вопросу 10: 

Квадратное уравнение:a x2 + b x + c = 0Дискриминант квадратного уравненияD = b2 — 4 a cЕсли дискриминант меньше нуля, то нет решений уравнения. Если дискриминант равен нулю, то существует одно решение. Если дискриминант больше нуля, то решений два.2 x2 — 4 x + 4 = 0D = (-4)2 — 4*2*4 = — 16

Решите уравнение5x + (3x — 3) = 6x + 11.

Пояснение к вопросу 11: 

Раскроем скобки: 5х + 3х — 3 = 6х + 11. Перенесем слагаемое 6х в левую часть уравнения, а слагаемое -3 в правую часть, изменив при этом их знаки: 5х + 3х — 6х = 11 + 3.Приведем подобные слагаемые: 2х = 14.Разделим обе части уравнения на 2: х = 7.

Решите неравенствоx — 4 ≤ 2x — 3

Пояснение к вопросу 12: 

Неравенство x — 4 ≤ 2x — 3x — 2x ≤ — 3 + 4-x ≤ 1 (умножаем на -1, меняем знак)x ≥ 1

Лодка прошла за 2 часа 10 км по течению реки и 5 км против. Чему равна собственная скорость лодки , если скорость течения равна 1 км/ч?Какая математическая модель соответствует данной задачи?

Пояснение к вопросу 13: 

расстояние / скорость = времяОбозначим собственную скорость лодки x . Сумма времени движения по течению 10/(x+1) и против течения 5/(x-1) равна двум часам.

Пояснение к вопросу 14: 

Верный ответ — B

Пояснение к вопросу 15: 

Два решения

Если вы закончили, то нажмите кнопку ниже. Все вопросы, на которые вы не ответили будут отмечены знаком «Ошибка». Выводы

otlgdz.online

Олимпиада по математике для 8 класса. Онлайн участие.

Математика 8 класс (Уравнения)

Лимит времени: 0

Информация

Примите участие и узнайте свой результат.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 10

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математика 0%

• 

  Поздравляем!
  Вы отлично выполнили задание.
  Ваш результат соответствует 1 месту.
  Вы можете заказать оформление диплома 1 степени перейдя по ссылке.

• 

  Поздравляем!
  Вы хорошо справились с заданием.
  Ваш результат соответствует 2 месту.
  Вы можете заказать оформление диплома 2 степени перейдя по ссылке.

• 

  Поздравляем!
  Вы выполнили задние допустив незначительное количество ошибок.
  Ваш результат соответствует 3 месту.
  Попробуйте пройти тестирование еще раз и не допустить ошибок.
  Вы можете заказать оформление диплома 3 степени перейдя по ссылке.

• 

  Сделайте работу над ошибками.
  Попробуйте пройти тестирование еще раз и добиться хорошего результата.
  Ваш результат может стать значительно лучше.

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

source2016.ru

Экзаменационный тест: «Математика 8 класс»

Итоговый тест для 8 класса. 1 вариант.

Часть 1

1) ; 2) 3; 3) ; 4) -3.

2. Упростите выражение и найдите его значение при х=-3.

1) -9; 2) 9; 3) ; 4) .

3. Упростить выражение: .

1) ху; 2) 1; 3) –ху.

4. Выберите неверное равенство:

1)

5. Решить уравнение .

1) 4; 2) -4; 3) 2;-2; 4) 0;2.

6. Найти дискриминант квадратного уравнения

1) 49; 2) -31; 3) -119; 4)46.

7. Решить неравенство

1)

9. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВС равен 112°, угол САD равен 70°. Найдите угол АВD. Ответ дайте в градусах.

10. Укажите номера верных утверждений.

1) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°,

то его четвертый угол равен 100°.

2) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм

 — прямоугольник.

3) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

4) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

В ответ запишите номера выбранных утверждений.

Часть 2

11. Упростить выражение и в ответе записать квадрат результата.

12. Найти сумму корней уравнения

13. Решить уравнение

14. Решите систему уравнения

15. Вычислить .

16. Два комбайна убрали поле за 4 дня. За сколько дней мог бы убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на 6 дней меньше, чем другому.

17. Найти значения а, при которых уравнение имеет два различных корня.

Итоговый тест для 8 класса 2 вариант.

Часть 1

1) ; 2) 3; 3) ; 4) -3.

2. Упростите выражение и найдите его значение при .

1) -5; 2) 5; 3) ; 4) .

3. Упростить выражение: .

1) 0,6; 2) 15у; 3) 2у+1.

4. Выберите неверное равенство:

1)

5. Решить уравнение .

1) 4; 2) -4; 3) 2;-2; 4) 0;4.

6. Найти дискриминант квадратного уравнения

1) -8; 2) 16; 3) -23; 4)6.

7. Решить неравенство

1)

8. Сторона треугольника равна 12, а высота, проведенная к этой стороне,

равна 9. Найдите площадь треугольника.

9. В угол АСВ величиной 115° вписана окружность, где О – центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

10. Укажите номера верных утверждений.

1) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2) Площадь трапеции равна произведению суммы ее оснований на высоту.

3) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

4) В любой четырехугольник можно вписать окружность.

В ответ запишите номера выбранных утверждений.

Часть 2

11. Упростить выражение и в ответе записать квадрат результата.

12. Найти сумму корней уравнения

13. Решить уравнение

14. Решите систему уравнения

15. Вычислить .

16. Две машинистки, работая совместно, могут перепечатать рукопись за 8 ч. сколько времени потребовалось бы каждой машинистке на выполнение всей работы, если одной для этого потребуется на 12 ч больше, чем другой.

17. Найти значения а, при которых уравнение не имеет корней.

infourok.ru

Контрольное тестирование по математике для 8 класса

РАССМОТРЕНО УТВЕРЖДЕНО

на заседании МО приказом директора МОУ Орлинская СОШ

учителей предметников от05.05.2014 г. № 95

протокол от «05»05.2014г. № __ _______О. А. Банных

Контрольное тестирование по математике

в рамках промежуточной аттестации

8 класс

2013- 2014 учебный год

1 вариант

Часть 1

Модуль «Алгебра»

Ответ:____________

Ответ:____________

6. Найти значение выражения:

Ответ:____________

Модуль «Геометрия»

7. Найти <DEF

Ответ:____________

8. Найдите площадь четырёхугольника:

Ответ:____________

9. Найти синус угла СВА:

Ответ:____________

Модуль «Реальная математика»

10.

11.

12.

2 часть

13. (2 балла)

14. (2 балла)

2 вариант

Часть 1

Модуль «Алгебра»

Ответ:____________

Ответ:____________

6. Найти значение выражения:

Ответ:____________

Модуль «Геометрия»

7. Найти < KOM

Ответ:____________

8. Найдите площадь четырёхугольника:

Ответ:____________

9. Найти косинус угла СВА:

Ответ:____________

Модуль «Реальная математика»

10.

11.

12.

2 часть

13. (2 балла)

14. (2 балла)

Ответы

1 вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

51.8

3

3

(3;-2)

-2; 3

4

71

24

0.8

16

1035

0.75

13) — 3

14) 8 1/3

2 вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2.7

1

1

(2; 1)

-5; -3

1

39

40

0.6

15

245

0.2

13) -2

14) 7

Нормы выставления оценок

Баллы

0 — 5

6 — 9

10 — 12

13 — 16

Оценка

«2»

«3»

«4»

«5»

infourok.ru

Эконометрика для студентов — простым языком, практически «на пальцах» — возможно ли такое?

Эконометрика, как считает подавляющее большинство студентов, — сложный предмет. Во-первых, потому, что в нем очень много математики (а к тому моменту, когда в программе появляется эконометрика, оказывается, что студенты уже основательно подзабыли даже самые простые вещи из элементарной математики). Во-вторых, потому, что каждый расчет должен быть подвергнут многочисленным проверкам (по принципу: посчитать-то посчитали, но есть ли в полученных цифрах какой-то смысл?). Для того, чтобы развенчать этот миф, в рамках своего проекта «ОбъяснялКИНО» я запустил ОбъяснялКИНО: эконометрика без галстука на Ютюбе.

Одним из лучших учебников по эконометрике считается книга Елисеевой. Однако, как показывает мой опыт преподавания эконометрики, этот учебник сложен для студентов, особенно заочников, поскольку работа с ними предполагает наличие хороших базовых знаний не только по математике, но и по статистике (в первую очередь — математической). Иногда программы вузов составлены таким образом, что сначала студенты изучают эконометрику, и уже после этого — статистику (что можно сравнить с установкой телеги впереди лошади, причем погонщик тоже должен управлять этой конструкцией по-особому, сидя впереди телеги — естественно, лицом вперед).

На сегодняшний день не существует единственно верного, качественного и понятного учебника по эконометрике. Во-первых, ещё не закончено выделение эконометрики как науки и обособление её математического аппарата. Во-вторых, изложение материала в книгах по эконометрике ведётся «вольно», зачастую — с позиций теории и без учёта решения практических задач. Объяснить эту особенность можно тем, что каждый вопрос эконометрики весьма объёмен. Так, если только описание методики построения и анализа модели парной линейной регрессии занимает порядка 25 страниц (с формулами и подробным разъяснением их применения, но без обоснования и доказательства чего-либо), то в целом, раскрывая все частные вопросы этой методики и приводя доказательства каждой формулы и критически важного утверждения, можно довести объём материала до размеров внушительного учебника (а это — только одна тема, причём одна из простейших, и таких тем множество).

Когда я был студентом, мы изучали всё то, что сегодня описывается в эконометрике, в рамках курсов по статистике, математической статистике и высшей математике. Сегодня (студенты, радуйтесь!) многое из этого собрано в одном курсе. Вместе с тем, основанная на статистике и высшей математике, эконометрика унаследовала от них некоторые «неприятные особенности», среди которых и работа с большим количеством цифрового материала (попросту говоря — чисел), и использование одной и той же буквы (как это принято в математике и технических науках) для обозначения совершенно разных показателей и величин, и обозначение одного и того же показателя совершенно разными способами (как больше нравится автору учебника).

Эконометрика — это прежде всего дисциплина. Чтобы решить задачу, нужно самому быть дисциплинированным, внимательным и пунктуальным, чтобы выполнить все расчеты и проверки, четко следуя установленному алгоритму, иначе результат будет получен, но будет ли он действительным? Ведь цель эконометрики — не расчеты ради расчетов, а расчеты как база для принятия управленческих решений. Чего будет стоить решение, основанное на неверных расчетах?

Сегодня методы эконометрики активно применяются в сфере обработки Больших Данных. Но — должен вас предостеречь от ошибки ложной корреляции: если вы возьмёте 100 совершенно независимых друг от друга величин, не связанных ни логически, ни функционально, можно быть практически уверенным, что обнаружится как минимум 5 пар, где показатели «тесно связаны» друг с другом, то есть между ними будет корреляция, которую можно признать значимой. Чем больше данных и чем больше их разнообразие — тем выше вероятность получить ошибочный, но очень «красивый» результат.

В настоящее время я уже не преподаю в вузе (к сожалению, реформы зацепили и наш филиал, который оказался закрыт), однако у меня накоплен большой опыт объяснения сложных концепций понятным даже неподготовленному студенту языком. Поэтому сейчас я работаю над  авторским курсом по эконометрике, который был в целом разработан и обкатан на студентах-заочниках (а это люди, зачастую капитально забывшие даже школьную математику), и готов предложить его всем желающим разобраться с парной и множественной регрессией, построением и анализом рядов динамики, системами одновременных уравнений (кстати, для того, чтобы объяснить эту тему, я даю студентам азы системного анализа, так что уверен на все сто, что аналогов моему курсу вы не найдёте).

Если все известные мне учебники эконометрики предполагают, что студент владеет знаниями математической статистики и линейной алгебры и навыками соответствующих расчетов, то мой курс можно назвать самодостаточным: если какой-либо показатель можно посчитать разными способами, все они собраны вместе, и даже более того: объясняются алгоритмы расчёта по каждой формуле.

Конечно, в разных вузах  свои требования, подчиняясь которым учебники становятся сложными, нудными и тяжеловесными. Но базовые вопросы, на которых основано большинство расчетов, я стараюсь объяснить, что называется, «на пальцах». Частично мои объяснения вы можете посмотреть на Ютюбе в проекте ОбъяснялКИНО: эконометрика без галстука. К сожалению, я не успел завершить работу над этим проектом, и «в эфир» выложены только первые занятия. Может быть, это и к счастью, поскольку сегодня я лучше представляю себе, как можно и нужно сделать этот курс более эффективным и полезным. Сейчас ведётся переработка видеороликов — их я сделаю короче и чётче по подаче материала, плюс добавлю мини-курс по системному анализу и много других интересных мини-курсов, так что подписывайтесь на канал — скоро на нём будет много нового и интересного!

P.S. Если вы хотите постичь азы эконометрики (парная и множественная регрессия, временные ряды) в индивидуальном порядке (разбор теории, решение задач), пишите мне на почту (573896 » mail.ru).

P.P.S. Если вам понравились эти материалы и вы хотите поддержать разработку и публикацию моих курсов, можете пополнить счёт телефона +7922794138.

punhin.ru

Эконометрика — это проще, чем вы думаете! — Основные разделы эконометрики (парная и множественная регрессия и корреляция, временные ряды и системы одновременных уравнений) — теория и практика решения задач!

Эконометрика — это наука, занявшая место между экономической теорией, статистикой и математикой. С одной стороны, она исследует экономические процессы (поэтому опирается на экономическую теорию), с другой стороны — призвана описывать их с математической точностью (в виде математических моделей), и при этом — имеет дело не с функциональными (однозначно проявляющимися) зависимостями, а со стохастическими (имеющими скорее вероятностную природу). Таким образом можно сказать, что эконометрика стремится описать мир в виде математических моделей в наилучшем приближении.

По этому поводу вспомнился анекдот про Шерлока Холмса: полетел он с доктором Ватсоном на воздушном шаре кататься… вдруг подул ветер, землю скрыли облака и тучи — и самым безопасным оказалось подняться повыше, чтобы не разбиться о какое дерево… в общем, когда буря прошла и в облаках появились просветы, Холмс с Ватсоном решили спуститься пониже, чтобы узнать, куда их занесло. Спускаются — и видят тропинку в поле, по тропинке идёт человек. Ватсон крикнул ему:

— Милейший, скажите пожалуйста — где мы находимся?

— На воздушном шаре!

— Вы случайно не математик? — крикнул путнику Холмс.

— Да! А как вы узнали? — удивился тот

— Ну, всё просто! Ваш ответ был абсолютно точным, и при этом совершенно бесполезным!

Изначально методы эконометрики делили между собой высшая математика и статистика (одни методы встречались в высшей математике, другие широко использовались в статистике). Однако со временем стало ясно, что в некотором смысле (в плане прикладного использования) все эти методы имеют друг с другом больше общего, чем с методами математики и статистики. Так началось проявление эконометрики в виде самостоятельной дисциплины… Оно идёт и по сей день: до сих пор состав методов эконометрики (круг классов задач, относимых к ней) не определён окончательно. Кто-то из авторов учебников по эконометрике включает в неё даже методы Data-Mining (например, кластерный анализ), хотя по большому счёту к эконометрике эти методы имеют отдалённое отношение (поскольку та же кластеризация ставит своей задачей классификацию объектов по множеству разнородных признаков, но не построение математической модели явления, а это — совершенно разные вещи).

На этом сайте вы найдёте основные теоретические положения эконометрики, их обоснования (при необходимости), а также примеры решения задач (если они будут необходимы для иллюстрации объясняемых методов). Вполне вероятно, что здесь также будут опубликованы отдельные вопросы из смежных дисциплин  — там, где этого потребует объяснение того или иного метода эконометрики (например, азы линейной алгебры необходимы для понимания множественной регрессии, соответственно — прежде чем будет объяснена множественная регрессия, здесь будет рассказано о матрицах, аффинных преобразованиях, определителях и т.п.).

Поскольку сам я — практик, а не теоретик (то бишь применяю методы, о которых говорю, на практике), постараюсь объяснить все расчёты на примерах, причём таким образом, чтобы для их понимания было достаточно знаний математики на уровне 6-7 класса очень средней школы (хотя те же системы уравнений объясняются в школе в 11 классе!). Если вы умеете складывать, вычитать, умножать, делить и находить корень из числа — ничего сложнее этих пяти операций здесь вы не найдёте. Так что этот сайт определённо должен быть полезен не только студентам и аспирантам, изучающим эконометрику, но и всем, кому «по жизни» необходимо что-то моделировать, анализировать, исследовать. Заглядывайте сюда почаще! В ближайшее время здесь появятся материалы по множественной регрессии, временным рядам и решению задач в R!

Этот сайт разрабатывался как вполне определённый маршрут, который вам предстоит пройти, если Вы хотите научиться понимать и использовать эконометрику. Все действия объясняются подробно и максимально просто, порой даже примитивно (это сделано специально для тех, кто в танке) (Разработано для заочников и на них же проверено — на заочниках, «взрослых дядях и тётях», которые не то что высшую математику не знают — школьную позабыли и имеют остаточные знания, соответствующие примерно 5-6-7 классу очень средней школы. Они справились — значит, и вы справитесь!) Итак…

Возможно, некоторые формулы вам покажутся сложными — тогда подписывайтесь на канал «Эконометрика без галстука» на ютюбе, где объясняются не только алгоритмы расчётов, но и напоминаются базовые принципы и правила выполнения вычислений. Изначально я планировал выложить на этом канале весь курс (для своих студентов-заочников), но филиал, где я 8 лет преподавал эконометрику, закрыли, и лично для меня необходимость в полном видеокурсе отпала. Учитывая, что запись и обработка 15-минутного видео может занимать целый рабочий день (а материал курса только по парной линейной регрессии — теория плюс показ, как это делать на практике — займёт в чистом виде часов восемь), я принял решение выложить те видео, которые уже отсняты и обработаны, а остальными материалами поделиться с вами с помощью этого сайта.

Если у Вас появились вопросы, касающиеся эконометрики, ответы на которые отсутствуют на этом сайте, зайдите на страницу, где описаны возможности нашего с вами сотрудничества.

P.S. Ну и напоследок — о всеми любимой политике конфиденциальности сайта… а как же без неё? 🙂

P.P.S. Если вы хотите поделиться материалами этого сайта с кем-то ещё — смелее! Любое распространение материалов сайта приветствуется, но только при выполнении одного условия: вы проставите активную, действующую ссылку на страницу, с которой вы позаимствовали материал! (Для любителей халявы, сидящих в танке: опыт борьбы с несознательными личностями, выдающими чужие разработки за свои, имеется, и довольно обширный. Хотите испытать на себе? Навряд ли. В общем, ссылочку проставить вам не трудно, а мне — приятно).

ekonometrik.ru

Эконометрика — это… Что такое Эконометрика?

Эконометрика [econometrics] — научная дисциплина, предметом которой является изучение количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического и статистического анализа. (близкое, но не тождественное значение имеет термин «эконометрия», под которым обычно понимается наука,. которая тесно связана с математической экономией и отличается от последней  в основном применением конкретного числового материала). В Э. как бы синтезируются достижения теоретического анализа экономики с достижениями математики и статистики (прежде всего математической статистики).

Сам термин «Э.» происходит от двух слов: экономия и метрика, т.е. измерение. Он введен в науку норвежским ученым Р.Фришем, лауреатом Нобелевской премии по экономике. Широко известный международный журнал этого направления тоже называется «Econometrica» (основан в 1933 г. Р.Фришем).

Есть много определений Э. По нашему мнению, Э. — одно из ответвлений комплекса научных дисциплин, объединяемого понятием — «экономико-математические методы». Ее главным инструментом является эконометрическая модель (как определенный тип экономико-математических моделей), задачей — проверка экономических теорий на фактическом (эмпирическом) материале при помощи методов математической статистики.

Среди конечных прикладных задач Э. выделяют две: прогноз экономических и социально-экономических показателей анализируемой экономической системы, имитацию различных возможных сценариев развития этой системы. По уровню иерархии анализируемой экономической системы выделяют макроуровень (т.е. страны в целом), мезоуровень (регионы, отрасли, корпорации) и микроуровень (домашние хозяйства,  фирмы). Э. применяет такие методы, как регрессионный анализ, анализ временных рядов, системы одновременных уравнений, статистические методы классификации и снижения размерности, а также другие методы и инструментарий теории вероятностей и математической статистики.¹
 

¹  Айвазян С.А. Основы эконометрики. М.: Юнити-«Дана». 2001. С.19-20

Эконометрические методы применяются для построения крупных эконометрических систем моделей, описывающих экономику той или иной страны и включающих в качестве составных элементов производственную функцию, инвестиционную функцию, а также уравнения, характеризующие движение занятости, доходов, цен и процентных ставок и другие блоки. Среди наиболее известных эконометрических систем подобного рода, по которым ведутся расчеты на ЭВМ, — так называемые Брукингская модель, Уортонская модель (США). Приемы и методы Э. применяются также в анализе спроса и потребления.

Э. как наука возникла в начале- середине прошлого века, хотя истоки ее восходят к В.Петти (XVII век) с его «политической арифметикой», О.Курно и Э.Энгелю (ХIХ в.) и др. В ХIХ в. были разработаны и началось использование в Э. таких статистических методов, как множественная регрессия, статистическая проверка гипотез, теория ошибок, выборочные методы ( Р.Фишер, К. Пирсон, Э.Пирсон и др.). В первой половине ХХ в. появился интерес к моделированию структур спроса и потребительских расходов и их эмпирической оценке  (Р.Аллен, А.Маршалл и др.). В этот же период формулируется задача идентификации (Е.Уоркинг), начинается изучение производственной функции (Ч.Кобб, П.Дуглас), статистическое моделирование делового цикла (Н.Кондратьев, Е.Слуцкий, Р.Фриш).

Макроэконометрические исследования начали Я.Тинберген и Р.Фриш, ставшие первыми в истории лауреатами Нобелевской премии по экономике (1968 г.). После второй мировой войны важным центром развития Э. стала Комиссия Коулса (США). Новый инструментарий Э. получила в результате разработки моделей одновременных уравнений (Т.Хаавельмо, Т.Купманс, Г.Тейл и др.) В последние десятилетия методы Э. сыграли решающую роль в освоении и развитии использования компьютерной техники  в экономических расчетах разного уровня и назначения.

Определенный вклад в развитие Э. внесли и отечественные экономисты (Е.Е.Слуцкий, Л.В.Канторович и др.), несмотря на длительное официальное третирование эконометрии как «буржуазной», «антимарксистской» и «вредной» «лженауки». Большая роль в ее  реабилитации принадлежала академику В.С.Немчинову — написанная им статья «Эконометрия» (1965 г.) явилась своего рода открытием для широкой экономической общественности страны.

Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — М.: Дело. Л. И. Лопатников. 2003.

economic_mathematics.academic.ru

Эконометрика, видео лекций по Эконометрике

Примеры задач по эконометрике

1. Решение задач по эконометрике в Gretl
2. Расчет параметров модели парной регрессии. Коэффициент корреляции
3. Поиск параметров множественной регресии. Оценка значимости. Статистика Дарбина-Уотсона 
4. Анализ уравнения множественной регрессия матричным способом
5. Расчет параметров с помощью Анализа данных в Excel
6. Идентификация систем уравнений
7. Временные ряды. Расчет коэффициентов автокорреляции. Выбор тренда
8. Сезонная составляющая (сезонная компонента) и её оценка

Об эконометрике

Последние 10-30 лет эконометрика как научная дисциплина стремительно развивается. Увеличивается число научных публикаций и исследований с применением эконометрических моделей и методов. Доказательством всемирного признания эконометрики является присуждение за самые выдающиеся разработки в этой области Нобелевских премий по экономике Р. Фришу (1969), Л. Клейну (1980), Т. Хаавельмо (1989), Дж. Хекману и Д. Макфаддену (2000).

Достижения современной эконометрики предъявляют высокие требования к высшему профессиональному образованию экономистов. Современное экономическое образование, держится на трех основах: макроэкономике, микроэкономике и эконометрике. Если в период плановой экономики упор делался на балансовых и оптимизационных методах исследования, то в период современной рыночной экономике высока роль эконометрических методов.

Без знания этих методов невозможно ни исследование и теоретическое обобщение эмпирических зависимостей экономических факторов, ни построение более или менее надежного прогноза в банковском секторе, сфере финансов или любом бизнесе. Задачи по эконометрике достаточно сложны, особенно, если их разбирать в первый раз

Видео лекций по Эконометрике

Для подробного изучения эконометрики советуем посмотреть видео лекций. Представленные лекции достаточно подробно объясняют суть рассматриваемых вопросов, поэтому если Вы пропустили лекции в Вашем ВУЗе или обучаетесь заочно обязательно ознакомьтесь с данным курсом.

Лекция 1. Линейные модели

Лекция 2. Линейные модели

Лекция 1. Критерии и Гипотезы.
Критерии Стьюдента и Фишера

Лекция 2. Критерии и Гипотезы.
Критерии Стьюдента и Фишера

Лекция 3. Критерии и Гипотезы.
Критерии Стьюдента и Фишера

Лекция 1. Факторный,
дисперсионный и многофакторный анализ

Лекция 2. Факторный, дисперсионный и многофакторный анализ

Лекция. Анализ данных

Эконометрика и её определения

Термин «эконометрика» был введен в 1926 г. норвежским ученым Р. Фришем и в переводе означает «эконометрические измерения». Наряду с таким широким пониманием эконометрики, существует и узкая трактовка эконометрики как набора математико-статистических методов, используемых в приложениях математики в экономике.

Ниже приводятся определения «эконометрики» различными учеными:

Эконометрика — это раздел экономики, который занимается разработкой и применением статистических методов для измерений взаимосвязей между экономическими переменными (С. Фишер и др.).

Основная задача эконометрики — наполнить эмпирическим содержанием априорные экономические рассуждения {Л. Клейн).

Цель эконометрики — эмпирический вывод экономических законов (Э. Маленво).

Эконометрика является не более чем набором инструментов, хотя и очень полезных… Эконометрика является одновременно нашим телескопом и нашим микроскопом для изучения окружающего экономического мира (Ц. Грилихес).

Р. Фриш говорит, что эконометрика есть единство трех составляющих — статистики, экономической теории и математики.

С.А. Айвазян полагает, что эконометрика объединяет совокупность методов и моделей, позволяющих на базе экономической теории, математико-статистического и экономической статистики инструментария придавать количественные выражения качественным зависимостям.

Основные результаты экономической теории носят качественный характер, а эконометрика вносит эмпирическое содержание. Математическая экономика выражает экономические законы в виде математических соотношений, а эконометрика осуществляет практическую проверку этих законов. Экономическая статистика дает информационное обеспечение исследуемого процесса в виде исходных статистических данных и экономических показателей, а эконометрика, используя традиционные математико-статистические и специально разработанные методы, проводит анализ взаимосвязей между этими показателями.

Многие базовые понятия эконометрики имеют два определения — «экономическое» и «математическое». Характер научных работ по эконометрике варьируется от «классических» экономических работ, в которых почти не используется математические методы, до внушительных математических трудов, использующих достаточно глубокий аппарат современной математики.

Источник: Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов, 2002. — 311 с

univer-nn.ru

Эконометрика как наука

Содержание:

Введение……………………………………………………………………………………………3

1. Определение эконометрики……………………………………………………………3

2. Объект исследования эконометрики……………………………………………….4

3. Основные принципы эконометрики………………………………………………..6

4. Цели и задачи эконометрики…………………………………………………………..8

Заключение……………………………………………………………………………………….9

Литература ……………………………………………………………………………………..10

Введение

Современная экономическая теория, как на микро, так и на макро уровне, постоянно усложняющиеся экономические процессы привели к необходимости создания и совершенствования особых методов изучения и анализа. При этом широкое распространение получило использование моделирования и количественного анализа. На базе последних выделилось и сформировалось одно из направлений экономических исследований – эконометрика.

Эконометрика – это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов. Эта наука возникла в результате взаимодействия и объединения трех компонент: экономической теории, статистических и экономических методов. Задачей данной работы является рассмотрение эконометрики как науки в целом, то есть рассмотрение ее объекта, принципов, целей и задач в частности.

1. Определение эконометрики

Эконометрика – быстроразвивающаяся отрасль науки, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям. Эконометрика — совокупность методов анализа связей между различными экономическими показателями (факторами) на основании реальных статистических данных с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики.[[1] ]

Джеймс Лайтхилл, английский математик и экономист, коротко так раскрывает этот термин: «Эконометрика — это статистико-математический анализ экономических отношений».[[2] ] Такой анализ производится с целью выработки рекомендаций по повседневным проблемам делового мира. Естественно, что при этом целесообразно придерживаться выводов и решений, которые обоснованы количественно. Именно этим и занимается наука эконометрика.

Развитость любого научного направления в современном мире принято оценивать числом нобелевских лауреатов. И если первоначально Нобелевские премии присуждались, прежде всего, в области естественных наук, то впоследствии эти границы существенно расширились. В частности, в 1968 г., в год 300-летия существования Шведского банка, им была учреждена Нобелевская премия и в области экономических наук (читай — в области эконометрики). Первыми лауреатами Нобелевской премии в 1969 г. стали два экономиста-математика — голландец Ян Тинберген и норвежец Рангар Фриш, заслугой которых признана разработка математических методов анализа экономических процессов. С тех пор подобного мирового признания удостоены многие ученые, в число которых вошли представители ряда стран, включая Россию:

— в 1970 г. — Пол Антони Самуэльсон — за учебник “Экономикс” с официальной формулировкой “за вклад… в повышение общего уровня анализа в экономической науке”;

— в 1973 г. — Василий Васильевич Леонтьев, американский экономист российского происхождения, — за разработку метода прогнозного экономического анализа “затраты — выпуск”;

— в 1975 г. — Леонид Витальевич Канторович, советский экономист и математик, — за введение в экономическую науку моделей линейного программирования и разработку подходов к оптимизации использования ресурсов.[[3] ]

Перечисленные ученые наряду с другими экономистами и математиками и создали эконометрику как науку.

2. Объект исследования эконометрики

Объектом изучения эконометрики, как самостоятельного раздела математической экономики, являются экономико-математические модели, которые строятся с учетом случайных факторов. Такие модели называются эконометрическими моделями. Исследование эконометрических моделей проводится на основе статистических данных об изучаемом объекте и с помощью методов математической статистики.

Эконометрические модели и методы сейчас — это не только мощный инструментарий для получения новых знаний в экономике, но и широко применяемый аппарат для принятия практических решений в прогнозировании, банковском деле, бизнесе. Развитие информационных технологий и специальных прикладных программ, совершенствование методов анализа сделали эконометрику мощнейшим инструментом экономических исследований.

Необходимо отметить, что любая из моделей будет лишь упрощением реальности и всегда содержит определенную погрешность. Поэтому из всех предлагаемых моделей с помощью статистических методов отбирается та, которая в наибольшей степени соответствует реальным эмпирическим данным и характеру зависимости.

Если модель удовлетворяет требованиям качества, то она может быть использована для прогнозирования, либо для анализа внутреннего механизма исследуемых процессов.

Математические модели позволяют более полно исследовать и понимать сущность происходящих процессов, анализировать их.

В эконометрических исследованиях используют разные типы моделей. Но можно выделить три основных класса моделей, которые применяются в эконометрике: модели временных рядов, регрессионные модели (с одним уравнением) и системы одновременных уравнений.

Эконометрика входит в комплекс дисциплин «Экономико-математические методы». Ёе предметом является количественное выражение взаимосвязей и зависимостей экономических явлений и процессов, закономерностей экономики.

3. Основные принципы эконометрики

Чтобы продемонстрировать основные принципы эконометрики, рассмотрим пример из страхового бизнеса (страхование автомобилей). Здесь основная проблема возникает вследствие сложного характера зависимости размера страховой премии от множества переменных факторов, ряд из которых невозможно учесть. Так, очевидно, что годовой пробег автомобиля — это важный фактор, но пользоваться им как оценочным затруднительно. Практическое решение состоит в определении ряда легко наблюдаемых факторов — мощности машины, возраста (владельца страхового полиса и машины), географического положения, износа, каждый из которых имеет некоторую связь с истинным риском, в свою очередь определяющим фактический размер страховой премии. Предположим, например, что используются пять таких факторов и каждый из них измеряется на пяти уровнях. Это приводит к 55 = 3215 отдельным классификационным требованиям. Если застраховано 100 000 машин, то в каждом классе будет в среднем по 32 машины. Поскольку вероятность страхового требования порядка 10% в год, данные в каждом разряде подвергались бы слишком большим колебаниям вследствие случайных ошибок выборки и было бы трудно оценить истинную связь между тем, что происходит в разных разрядах. Более того, заниматься таким большим числом отдельных групп было бы сложно и дорого.

Для преодоления этих сложностей разрабатывают классификационную систему, основанную на выяснении относительной важности каждого фактора. Тогда классификационную формулу можно построить на аддитивной или мультипликативной основе, когда каждый фактор оценивается баллами, а формула в целом дает относительный уровень риска.

Таким же образом строятся многие экономические модели, когда наблюдаемые значения величины Y зависят линейным или более сложным образом от значений многих других наблюдаемых величин, т. е.:

Y = а1х1 + а2х2 + . . . + е. (1)

В этом уравнении е — остаток, устраняющий разность между Y наблюдавшимся и полученным по набору хi расчетным образом. Основная задача эконометрического анализа заключается в отыскании значений коэффициентов а, обеспечивающих наименьшую величину е, а следовательно, наилучшую точность прогноза.

Из приведенного примера видно, что эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основой является экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса с помощью научной абстракции, отражения только характерных черт. Наибольшее распространение в современной экономике получил метод анализа экономики “затраты — выпуск”. Это матричные (балансовые) модели, строящиеся по шахматной схеме и позволяющие в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства. Таким образом, объектом эксперимента стали не только многократно воспроизводимые явления и процессы, но и системы и изменения в них, реально в практике трудно либо вообще неосуществимые.

Описание экономических систем математическими методами, или эконометрика, дает заключение о реальных объектах и связях по результатам выборочного обследования или моделирования. Вместе с тем, чтобы сделать вывод о том, какие из полученных результатов являются достоверными, а какие сомнительными или просто необоснованными, необходимо уметь оценивать их надежность и величину погрешности. Все перечисленные аспекты и составляют содержание эконометрики как науки.

В эконометрике, как и в любой научной дисциплине, познание развивается в соответствии с общим научным методом, предполагающим:

— формулировку гипотезы с учетом соотношений между наблюдаемыми данными;

— сбор статистических данных и представление гипотезы в сжатой или математической форме;

— модификацию или улучшение гипотезы.

Таким образом, сердцевиной познания в экономике является эксперимент, предполагающий либо непосредственное наблюдение (измерение), либо математическое моделирование.

Область применения эконометрических моделей и методов достаточно обширна. Это все сферы экономической теории и практики, где есть возможность сбора и обработки статистических данных, проведения наблюдений и экспериментов с целью учета воздействия случайных факторов, выявления качественных и количественных взаимосвязей между экономическими величинами и прогнозирования их поведения.

mirznanii.com

ЭКОНОМЕТРИКА — это… Что такое ЭКОНОМЕТРИКА?

dic.academic.ru

Прикладная математика | 404 ошибка

Произошла ошибка. Причины ошибки могут быть разными. Например, была удалена страница, а вы попали на нее из поисковой системы. Вы получили ошибочный адрес страницы из других источников. Или, к примеру, произошел сбой на сервере. Не расстраивайтесь. Перейдите на любую другую страницу нашего сайта. Если ошибка возникает систематически — можете сообщить администратору сайта, воспользовавшись нашей формой [обратной связи]. Приносим наши извинения.

На нашем сайте очередная порция обновлений. Перечислим основные. Во-первых, изменился полностью дизайн сайта. Основная причина для смены дизайна — пер… […]

Подскажите пожалуйста на правильном ли пути решения? Вычислить массу m неоднородной пластины D, ограниченной линиями если поверхностная плотность в ка… […]

Здесь приведен список самых востребованных и популярных языков программирования по состоянию на октябрь 2015 года, а также сравнительная динамика популярности с октябрем прошлого года. … […]

Здесь можно проследить как менялась популярность основных языков программирования на последние тридцать лет. В таблице указано место языка в общем рейтинге наиболее популярных языков в те или иные годы. Таблица пригодится при выборе языка программирования для изучения. Ее можно использовать и для рефератов. … […]

В современных смартфонах используются литий-ионные аккумуляторы. И их срок хорошей работоспособности составляет 2-3 года. Но можно продлить их жизнь, если следовать некоторым правилам…. […]

Отличный способ понять как генератор случайных чисел работает — представить его результаты на графике в режиме реального времени. Ниже приведен такой … […]

Теперь решить систему линейных алгебраических уравнений очень просто. Вводите команду solve и через запятую записываете ваши уравнения. Затем нажимает… […]

Если вам понадобится найти обратную матрицу — используйте наш #решатель. Просто введите команду и получите результат. Приведем примеры, как можно найт… […]

Вам может понадобиться вычислить определитель 2-го, 3-го, 4-го порядка или даже пятого. Теперь вы можете это сделать очень просто. Надо только правиль… […]

Переводчик Skype помогает общаться с людьми из разных стран, преодолевая языковые барьеры. Просто организуйте голосовой или видеозвонок и начните обще… […]

Продолжаем рубрику — умникам. На это раз у нас видео-вопрос. Внимательно посмотрите ролик. Это не фото или видео-подделка. Это — попытка создать вечны… […]

Алан Матисон Тьюринг (1912—1954) английский математик, логик, криптограф, изобретатель машины Тьюринга. Машина Тьюринга — простое вычислительно… […]

Здесь представлена постоянно обновляющаяся лента вакансий для программистов. Следите за новыми предложениями работы в реальном времени. … […]

Вы не разговариваете во сне? — спрашивает врач пациента. — Нет, доктор, хотя я часто говорю, когда другие спят. — Это как же? — Я читаю лекции по мате… […]

«Если… то…» — если это не математика, то это шантаж. Ягодзиньский, Хенрик (р. 1928), польский сатирик
В пустую голову входит больше знаний…. […]

primat.org

Таблица умножения на 24

Автор: Bill4iam

kvn201.com.ua

Умножение столбиком. Примеры умножения в столбик, нахождения решения онлайн.

Нахождение произведения чисел

Метод умножения столбиком, позволяет упростить умножения чисел. Умножение столбиком предполагает последовательное умножения первого числа, на все цифры второго числа последующего сложения полученных произведений с учетом отступа, зависящего от положения цифры второго числа.

Рассмотрим как нужно умножать столбиком на примере нахождения произведения двух чисел 625 × 25.

• 1 Запишем числа одно под другим и проведем черту .
• 2 Число 25, состоит из 2 цифр, 2 и 5, будем умножать первое число 625, на цифры второго числа в обратном порядке. Начнем вычисление с нахождения произведения 625 × 5, запишем результат ниже черты, начинаем запись с правой стороны, получим: .
• 3 Теперь умножаем 625 на 2, и запишем результат на следующей строке, сместив запись на одну клетку левее, предыдущего произведения, получим .

  При большем количестве цифр во втором числе, мы получим что наши произведения выстраиваются справа в виде «лесенки».

• 4 В результате умножения получаем 2 произведения, 3125 и 1250, будем последовательно справа на лево складывать их цифры между собой, в том порядке как они идут, и записывать результат их сложения ниже. Если сумма цифр при сложение превысит 9, то делим сумму на 10, остаток от деления записываем под текущими цифрами, а целую часть от деления перенесем влево.

  В результате получаем .

Пример Умножить столбиком числа 687 и 253.

calcs.su

Калькулятор умножение в столбик онлайн

Не секрет, что знакомство с математикой начинается с важнейшей науки о числах — арифметики. Как утверждал великий ученый М. В. Ломоносов, с арифметикой мы входим «во врата учености», именно с нее начинается нелегкий, но заманчивый путь познания мира. Эта наука изучает числа и действия над ними. Одним из таких действий над цифрами является умножение столбиком. Без ясного понимания последовательности действий при совершении умножения двух чисел в математике нельзя двигаться дальше. Следует знать, что числа, которые умножаются, называются множителями, а полученный результат — произведением. В числах имеются разряды, самый маленький — единицы, затем десятки, после них сотни и т. д. Если вы умножаете в столбик, расположите оба множителя друг над другом, чтобы совпадали разряды чисел. Большее число расположите в верхней строке, меньшее — в нижней. Если оба множителя или один из них имеют на концах нули, то числа располагают так, чтобы цифры наименьшего разряда (кроме 0) находились в одном столбике. Нули в поле поэтапных операций не заносятся, они переносятся под черту в конечный результат. Это делается потому, что при умножении любого числа на 0, все равно получается 0. Слева от множителей ставим «х». Умножение в столбик — поразрядное умножение. Это значит, что каждый разряд 1-го множителя, начиная с последней цифры, умножается на последнюю цифру 2-го множителя. Следующей строкой будет результат умножения верхнего числа (1-го множителя) на следующую цифру нижнего числа (2-го множителя). Следует помнить, что полученный после умножения на вторую цифру результат, следует размещать под второй цифрой полученного результата от первого умножения. Поэтапные произведения (разрядные) складываются по разрядам, результат заносится под черту, начиная с самой правой стороны. Слева от полученных произведений, которые складываются, ставим «+».

infofaq.ru

10 математических секретов, которые научат легко считать в уме

Те, кто в школе относился к урокам математики с пренебрежением, наверняка хотя бы несколько раз в жизни бывали в неловкой ситуации. Как посчитать, сколько оставить на чай или сумму коммунального платежа? Если знать пару простых приёмов, это займёт у вас буквально секунду. А уж во время экзамена знание правил умножения больших чисел может помочь сэкономить критически недостающее время. «Мел» совместно с Creu делится простыми секретами вычислений.

Рассылка «Мела»

Мы отправляем нашу интересную и очень полезную рассылку два раза в неделю: во вторник и пятницу

1. Умножение на 11

Все мы знаем, что при умножении на десять к числу добавляется ноль, а знаете ли вы, что существует такой же простой способ умножения двузначного числа на 11? Вот он:

Возьмите исходное число и представьте промежуток между двумя знаками (в этом примере мы используем число 52): 5_2

Теперь сложите два числа и запишите их посередине: 5_(5+2)_2.

Таким образом, ваш ответ: 572.Если при сложении чисел в скобках получается двузначное число, просто запомните вторую цифру, а единицу прибавьте к первому числу: 9_(9+9)_9 (9+1)_8_9 10_8_9 1089. Это срабатывает всегда.

2. Быстрое возведение в квадрат

Этот приём поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на пять. Умножьте первую цифру саму на себя +1, а в конце допишите 25. Вот и всё! 252 = (2x(2+1)) & 25

2×3 = 6

625

3. Умножение на пять

Большинству очень просто даётся таблица умножения на пять, но когда приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее.

Этот приём невероятно прост. Возьмите любое число и поделите пополам. Если в результате получилось целое число, припишите ноль в конце. Если нет, не обращайте внимание на запятую и в конце добавьте пять. Это срабатывает всегда:

2682×5 = (2682 / 2) & 5 или 0

2682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0)

13410

Давайте попробуем другой пример:

5887×5

2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5)

29435

4. Умножение на девять

Это просто. Чтобы умножить любое число от одного до девяти на девять, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например, 9×3 — загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×3 — это два), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае — семь). Ответ — 27.

5. Умножение на четыре

Это очень простой приём, хотя очевидный лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на два, а затем опять умножить на два: 58×4 = (58×2) + (58×2) = (116) + (116) = 232.

6. Подсчёт чаевых

Если вам нужно оставить 15% чаевых, есть простой способ сделать это. Высчитайте 10% (разделите число на десять), а потом добавьте получившееся число к его половине и получите ответ:

15% от $25 = (10% от 25) + ((10% от 25) / 2)

$2.50 + $1.25 = $3.75

7. Сложное умножение

Если вам нужно умножать большие числа, причём одно из них — чётное, вы можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ:

32×125 всё равно что:

16×250 всё равно что:

8×500 всё равно что:

4×1000 = 4,000

8. Деление на пять

На самом деле делить большие числа на пять очень просто. Нужно просто умножить на два и перенести запятую:

195 / 5

1. 195 * 2 = 390

2. Переносим запятую: 39,0 или просто 39.

2978 / 5

1. 2978 * 2 = 5956

2. 595,6

9. Вычитание из 1000

Чтобы выполнить вычитание из 1000, можете пользоваться этим простым правилом. Отнимите от девяти все цифры, кроме последней. А последнюю цифру отнимите от десяти:

1000-648

1. От 9 отнимите 6 = 3

2. От 9 отнимите 4 = 5

3. От 10 отнимите 8 = 2

Ответ: 352

10. Систематизированные правила умножения

Умножение на 5: Умножьте на 10 и разделите на 2.

Умножение на 6: Иногда проще умножить на 3, а потом на 2.

Умножение на 9: Умножьте на 10 и отнимите исходное число.

Умножение на 12: Умножьте на 10 и дважды прибавьте исходное число.

Умножение на 13: Умножьте на 3 и 10 раз прибавьте исходное число.

Умножение на 14: Умножьте на 7, а затем на 2.

Умножение на 15: Умножьте на 10 и 5 раз прибавьте исходное число, как в предыдущем примере.

Умножение на 16: Если хотите, 4 раза умножьте на 2. Или умножить на 8, а потом на 2.

Умножение на 17: Умножьте на 7 и 10 раз прибавьте исходное число.

Умножение на 18: Умножьте на 20 и дважды отнимите исходное число.

Умножение на 19: Умножьте на 20 и отнимите исходное число.

Умножение на 24: Умножьте на 8, а потом на 3.

Умножение на 27: Умножьте на 30 и 3 раза отнимите исходное число.

Умножение на 45: Умножьте на 50 и 5 раз отнимите исходное число.

Умножение на 90: Умножьте на 9 и припишите 0.

Умножение на 98: Умножьте на 100 и дважды отнимите исходное число.

Умножение на 99: Умножьте на 100 и отнимите исходное число.

БОНУС: проценты

Вычислить 7% от 300.

Сперва нужно понять значение слова «процент» (percent). Первая часть слова — про (per). Per = для каждого. Вторая часть — цент (cent), это как 100. Например, столетие = 100 лет. 100 центов в одном долларе и так далее. Итак, процент = для каждой сотни.

Итак, получается, что 7% от 100 будет семь. (Семь для каждой сотни, только одной сотни).

8% от 100 = 8.

35,73% от 100 = 35,73

Но как это может быть полезным? Вернёмся к задачке 7% от 300.

7% от первой сотни равно 7. 7% от второй сотни — то же 7, и 7% от третьей сотни — все те же 7. Итак, 7 + 7 + 7 = 21. Если 8% от 100 = 8, то 8% от 50 = 4 (половина от 8).

Дробите каждое число, если нужно вычислить проценты из 100, если же число меньше 100, просто перенесите запятую влево.

Примеры:

8%200 =? 8 + 8 = 16.

8%250 =? 8 + 8 + 4 = 20,

8%25 = 2,0 (Передвигаем запятую влево).

15%300 = 15+15+15 =45

15%350 = 15+15+15+7,5 = 52,5

Также полезно знать, что вы всегда можете поменять числа местами: 3% от 100 — то же самое, что 100% от 3. А 35% от 8 — то же самое, что и 8% от 35.

Источник: Creu

---

ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:

Как перемножать в уме шестизначные числа

Математика в школе: 9 вещей, которые бесят

Как научные знания могут помочь в повседневной жизни

mel.fm

Сократите дробь (3*t-24*c)/(30*t*s) ((3 умножить на t минус 24 умножить на c) делить на (30 умножить на t умножить на s))

Решение

3*t - 24*c
----------
  30*t*s  

$$\frac{- 24 c + 3 t}{s 30 t}$$

  4*c   t 
- --- + --
   5    10
----------
   s*t    

$$\frac{1}{s t} \left(- \frac{4 c}{5} + \frac{t}{10}\right)$$

-24*c + 3*t
-----------
   30*s*t  

$$\frac{- 24 c + 3 t}{30 s t}$$

Численный ответ

[LaTeX]

0.0333333333333333*(3.0*t - 24.0*c)/(s*t)

Рациональный знаменатель

[LaTeX]

-24*c + 3*t
-----------
   30*s*t  

$$\frac{- 24 c + 3 t}{30 s t}$$

Объединение рациональных выражений

[LaTeX]

$$\frac{- 8 c + t}{10 s t}$$

Общее упрощение

[LaTeX]

$$\frac{- 8 c + t}{10 s t}$$

Собрать выражение

[LaTeX]

3*t - 24*c
----------
  30*s*t  

$$\frac{- 24 c + 3 t}{30 s t}$$

Общий знаменатель

[LaTeX]

$$\frac{- 8 c + t}{10 s t}$$

Комбинаторика

[LaTeX]

$$\frac{- 8 c + t}{10 s t}$$

Раскрыть выражение

[LaTeX]

3*t - 24*c
----------
  30*s*t  

$$\frac{- 24 c + 3 t}{30 s t}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Таблица умножения на 30

Большая таблица умножения натуральных чисел на 30 (тридцать) 

Множители	Произведение (Результат)
30 * 1 =	30
30 * 2 =	60
30 * 3 =	90
30 * 4 =	120
30 * 5 =	150
30 * 6 =	180
30 * 7 =	210
30 * 8 =	240
30 * 9 =	270
30 * 10 =	300
30 * 11 =	330
30 * 12 =	360
30 * 13 =	390
30 * 14 =	420
30 * 15 =	450
30 * 16 =	480
30 * 17 =	510
30 * 18 =	540
30 * 19 =	570
30 * 20 =	600
30 * 21 =	630
30 * 22 =	660
30 * 23 =	690
30 * 24 =	720
30 * 25 =	750
30 * 26 =	780
30 * 27 =	810
30 * 28 =	840
30 * 29 =	870
30 * 30 =	900
30 * 31 =	930
30 * 32 =	960
30 * 33 =	990
30 * 34 =	1020
30 * 35 =	1050
30 * 36 =	1080
30 * 37 =	1110
30 * 38 =	1140
30 * 39 =	1170
30 * 40 =	1200
30 * 41 =	1230
30 * 42 =	1260
30 * 43 =	1290
30 * 44 =	1320
30 * 45 =	1350
30 * 46 =	1380
30 * 47 =	1410
30 * 48 =	1440
30 * 49 =	1470
30 * 50 =	1500
30 * 51 =	1530
30 * 52 =	1560
30 * 53 =	1590
30 * 54 =	1620
30 * 55 =	1650
30 * 56 =	1680
30 * 57 =	1710
30 * 58 =	1740
30 * 59 =	1770
30 * 60 =	1800
30 * 61 =	1830
30 * 62 =	1860
30 * 63 =	1890
30 * 64 =	1920
30 * 65 =	1950
30 * 66 =	1980
30 * 67 =	2010
30 * 68 =	2040
30 * 69 =	2070
30 * 70 =	2100
30 * 71 =	2130
30 * 72 =	2160
30 * 73 =	2190
30 * 74 =	2220
30 * 75 =	2250
30 * 76 =	2280
30 * 77 =	2310
30 * 78 =	2340
30 * 79 =	2370
30 * 80 =	2400
30 * 81 =	2430
30 * 82 =	2460
30 * 83 =	2490
30 * 84 =	2520
30 * 85 =	2550
30 * 86 =	2580
30 * 87 =	2610
30 * 88 =	2640
30 * 89 =	2670
30 * 90 =	2700
30 * 91 =	2730
30 * 92 =	2760
30 * 93 =	2790
30 * 94 =	2820
30 * 95 =	2850
30 * 96 =	2880
30 * 97 =	2910
30 * 98 =	2940
30 * 99 =	2970
30 * 100 =	3000
… * 101 =	…

---

Автор: Bill4iam

---

kvn201.com.ua

Математика. Умножение «в столбик» | Сайт Леонида Некина

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

До сих пор мы умели только умножать на счетах в пределах 24 × 24. Настало время научиться перемножать бóльшие числа, и не на счетах, а на бумаге — с помощью процедуры, которая называется умножением «в столбик».

Надо честно признаться: умножение «в столбик» — это одна из самых неприятных и нудных вещей во всей математике. Хуже нее только деление «уголком», которым мы тоже вскоре займемся. Как только мы освоим умножение «в столбик» и деление «уголком», мы можем смело утверждать, что самый трудный участок на пути изучения математики у нас остался позади.

Прежде всего нам понадобится таблица умножения в пределах от 2 × 2 до 9 × 9. Удобнее всего ее записать в таком виде:

 

	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

Это так называемая таблица Пифагора. Здесь на пересечении строки, помеченной числом 3, и колонки, помеченной числом 5, стоит как раз произведение чисел 3∙5, то есть 15. Подобным же образом мы можем по этой таблице быстро найти произведение любых однозначных чисел (за исключением нуля и единицы, но умножать на ноль и единицу настолько легко, что никакая таблица не нужна).

В школе эту таблицу заставляют учить наизусть. На мой взгляд, в этом нет никакой необходимости. Пусть она просто будет под рукой, и этого совершенно достаточно. По мере того как мы будем практиковаться в умножении «в столбик», она выучится сама собой.

Таблицу умножения на отдельном листе (в формате pdf) можно взять здесь.

Итак, приступим к умножению чисел. Для начала научимся умножать на однозначное число. Пусть нам надо вычислить

6879∙7.

Воспользовавшись свойствами умножения, которые мы проходили на прошлом уроке, мы можем написать:

6879∙7 =

(9	+	7∙10	+	8∙100	+	6∙1000)∙7	=
9∙7	+	7∙7∙10	+	8∙7∙100	+	6∙7∙1000	=
63	+	49∙10	+	56∙100	+	42∙1000	=

	6 3
+	4 9 0
+	5 6 0 0
+	4 2 0 0 0

Перепишем это в виде упрощенной таблицы (очень похожей на ту, какую мы писали, когда учились сложению столбиком):

 

×	6	8	7	9
				7
			6	3
		4	9
	5	6
4	2

Теперь остается сложить числа под горизонтальной линией — и ответ готов:

 

×	6	8	7	9
				7
			6	3
		4	9
	5	6
4	2
	1	1
4	8	1	5	3

Надо ли пояснять, откуда взялись маленькие единички над нашим ответом? Когда мы в разряде десятков сложили 6 и 9, то получили 15. Последнюю цифру этого числа (то есть пятерку) мы записали в ответе в разряде десятков, а первую цифру этого числа (то есть единицу) перенесли в следующий разряд в виде маленькой приподнятой единички. Потом в разряде сотен мы стали складывать 4 и 6, и не забыли добавить сюда же эту самую единичку. Получившееся число 11 тоже записали наискосок: вторую единицу покрупнее и пониже (в аккурат в строке ответа), а первую единицу поменьше и повыше.

Мы теперь, в принципе, умеем умножать на однозначное число. Но давайте подумаем над усовершенствованиями. Во-первых, перепишем нашу табличку в более компактном виде:

 

×	6	8	7	9
				7
4	5	4	6
	2	6	9	3
	1	1
4	8	1	5	3

А во-вторых, подумаем над возможностью более радикального сокращения записи. Вернемся в исходное положение:

 

×	6	8	7	9
				7

В разряде единиц умножим 9 на 7. Результат 63 запишем, как и раньше, наискосок, но шестерку сделаем совсем маленькой:

 

×	6	8	7	9
				7
			6
				3

Теперь умножим в разряде десятков 7 на 7. Получаем 49. Прибавляем сюда нашу «маленькую» шестерку: 49 + 6 = 55. Этот результат опять записываем наискосок:

 

×	6	8	7	9
				7
		5	6
			5	3

Переходим к разряду сотен: 8∙7 + 5 = 61. Записываем:

 

×	6	8	7	9
				7
	6	5	6
		1	5	3

И, наконец, в разряде тысяч получаем 6∙7 + 6 = 48:

 

×	6	8	7	9
				7
4	6	5	6
4	8	1	5	3

Здесь мы еще перенесли «маленькую» четверку в разряде десятков тысяч вниз, чтобы получить окончательный ответ. Не правда ли, наши вычисления стали короче, а запись еще более компактной?

Теперь возникает резонный вопрос. А как мы будем записывать эти вычисления в нашей тетрадке по математике, разлинованной в клетку? Будем ли мы писать «маленькие» цифры в отдельном ряду клеток или же втискивать их в тот же ряд клеток, где у нас записан ответ? Оба варианта не слишком хороши. Поэтому я предлагаю делать наши вычисления в столбик на отдельных листах бумаги. Для этого прекрасно подойдут обычные белые листы, какие используются для принтеров и копировальных машин. А тех, кому работать на линованной бумаге всё же привычнее, приглашаю воспользоваться листами с особой линовкой.

Лист со специальной линовкой для вычислений можно взять здесь (формат pdf).

Надо отметить, что в школе учат умножать «в столбик» несколько по-другому. Отличие состоит в том, что «маленькие» цифры не записывают на бумагу, а держат в уме — вероятно, по той именно причине, что в стандартных тетрадках в клетку их прото некуда записывать. На мой взгляд, это слишком усложняет процесс счета и только способствует ошибкам.

Переходим к умножению на двузначные числа. Пусть требуется вычислить

6879∙67.

Ну что ж, приступим.

6879∙67 =

6879∙(7 + 6∙10) =

6879∙7
+
6879∙6∙10 =

	6 3
+	4 9 0
+	5 6 0 0
+	4 2 0 0 0
	+
	5 4 0
+	4 2 0 0
+	4 8 0 0 0
+	3 6 0 0 0 0

Здесь при умножении на 6 мы воспользовались тем же приемом, что и при умножении на 7, только к каждому получившемуся слагаемому приписали еще 0 из-за дополнительного умножения на 10. Сумму «желтых» слагаемых находим точно так же, как раньше мы находили сумму «зеленых» слагаемых:

 

	×	6	8	7	9
				6	7
	4	6	5	6
	4	8	1	5	3
4	5	4	5
4	1	2	7	4

Складываем получившиеся ряды «больших» цифр и получаем окончательный ответ (при этом «маленькие» цифры можно зачеркнуть, чтобы не мешались):

 

	×	6	8	7	9
				6	7
	4	6	5	6
	4	8	1	5	3
4	5	4	5
4	1	2	7	4
	1
4	6	0	8	9	3

Подобным же образом делается умножение на трехзначные числа. Например:
 

		×	6	8	7	9
				2	6	7
		4	6	5	6
		4	8	1	5	3
	4	5	4	5
	4	1	2	7	4
1	1	1	1
1	3	7	5	8
	1	1	1
1	8	3	6	6	9	3

Если в середине трехзначного числа стоит ноль, то запись выглядит так:
 

		×	6	8	7	9
				2	0	7
		4	6	5	6
		4	8	1	5	3
1	1	1	1
1	3	7	5	8
	1	1
1	4	2	3	9	5	3

Наконец, умножение круглых чисел (которые оканчиваются нулями) записывается в таком виде:
 

		×	6	8	7	9	0
				2	6	7	0	0
		4	6	5	6
		4	8	1	5	3
	4	5	4	5
	4	1	2	7	4
1	1	1	1
1	3	7	5	8
	1	1	1
1	8	3	6	6	9	3	0	0	0

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Умножение на однозначное число

Умножение на двузначное число

Умножение на трехзначное число

 

 

 

www.nekin.info

h3SO4, степень окисления серы и др элементов

Общие сведения о серной кислоте и степени окисления в h3SO4

Брутто-формула – H₂SO₄. Молярная масса – 98 г/моль.В твердом и жидком состоянии молекулы H₂SO₄ связаны водородными связями. Жидкий H₂SO₄ – ионизирующий растворитель.

Серная кислота смешивается с водой в любых соотношениях. Является сильным электролитом, т.е. в водном растворе практически полностью диссоциирует на ионы (строение сульфат иона представлено на рис. 1). В ОВР проявляет себя в роли окислителя.

Рис. 1. Строение сульфат-иона.

h3SO4 , степени окисления элементов в ней

Чтобы определить степени окисления элементов, входящих в состав серной кислоты, сначала необходимо разобраться с тем, для каких элементов эта величина точно известна.

Степени окисления водорода и кислорода в составе неорганических кислот всегда равны (+1) и (-2) соответственно. Для нахождения степени окисления серы примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности:

2× (+1) + х + 4×(-2) = 0;

2 + х — 8 = 0;

x — 6 = 0;

x = +6.

Значит степень окисления серы в серной кислоте равна (+6):

H⁺¹₂S⁺⁶O^-2₄.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

SO4, степень окисления серы и кислорода в сульфат-ионе

Общие сведения о сульфат-ионе и степени окисления в SO4

Поэтому соли серной кислоты носят название – сульфаты, например, Na₂SO₄– сульфат натрия, CaSO₄– сульфат кальция, K₂SO₄ – сульфат калия и т.д.

Сульфат ион имеет строение, представленное на рис. 1.

Рис. 1. Строение сульфат-иона.

Существуют реактивы, добавление которых позволяет обнаружить сульфат-ион в растворе (качественная реакция на сульфат-ион). Это растворимые соли бария. В результате наличия сульфат-ионов в растворе будет наблюдаться выпадение кристаллического осадка белого цвета нерастворимого в азотной кислоте. Например:

Na₂SO₄ + Ba(NO₃)₂ = BaSO₄↓ + 2NaNO₃;

2Na⁺ + SO₄^2- + Ba²⁺ + 2NO₃^— = BaSO₄↓ + 2Na⁺ + 2NO₃^—;

SO₄^2- + Ba²⁺ = BaSO₄↓.

SO4, степени окисления элементов в нем

Сульфат-ион – это кислотный остаток серной кислоты, формула которой H₂SO₄. В её составе имеется два атома водорода, следовательно, степень окисления сульфат-иона равна (-2). Для нахождения степени окисления серы примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности:

x + 4× (-2) = -2;

x — 8 = -2;

x = +6.

Степень окисления серы в сульфат-ионе равна (+6).

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Степень окисления | Учись легко

Степень окисления

20.11.2010 Автор: Т U

Степень окисления – условный заряд атома в молекуле, вычисленный из предположения, что молекула состоит из ионов, но в целом электронейтральна.

I. Определение степени окисления:

• Степень окисления простых веществ равна нулю:

Na⁰, Сa⁰, H₂⁰

• Степень окисления металлов главных подгрупп положительна и равна номеру группы:

Na⁺, Mg⁺², Al⁺³

• Степень окисления кислорода  равна  -2

O^-2

(некоторые исключения: H₂O₂^-1, Na₂O₂^-1, BaO₂^-1)

• Степень окисления водорода равна +1

Н⁺

(исключения соединения с металлами: NaH^—, CaH₂^— )

• Алгебраическая сумма степеней окисления в молекуле  равна нулю

Na⁺Cl^—, Ca⁺²Cl₂^—

II. Алгоритм  определения степени окисления химического элемента в соединениях:

Определим степень окисления каждого элемента в серной кислоте:

1. Степень окисления водорода равна +1

H⁺₂SO₄

2. Степень окисления кислорода равна -2

H⁺₂SO₄^-2

3. Мы знаем, что алгебраическая сумма степеней окисления должна быть равна нулю. Начинаем вычислять степень окисления серы:

Сумма степеней окисления для четырёх атомов кислорода (а в серной кислоте их 4) равна -8 (-2х4=-8)

Для двух атомов водорода: +1х2=+2

-8(для кислорода)+2(для водорода)=-6

Чтобы в итоге молекула была нейтральна степень окисления серы должна быть равна +6

(-6+6=0)

H⁺₂S⁺⁶O₄^-2

Понравилось это:

Нравится Загрузка…

Похожее

Опубликовано в 9 класс | 2 комментария

4schoolchild.wordpress.com

научите определять степень окисления! пожалуйста.

Алгоритм «Определение степени окисления элементов по химической формуле» Задание: Определите степени окисления элементов в серной кислоте (h3SO4) 1.Написать формулу серной кислоты h3SO4 2.По периодической таблице определить степень окисления элемента, стоящего слева. Определение производить согласно правила: элемент, стоящий слева отдает электроны, его степень окисления положительна и численно равна номеру группы элемента. Так слева в формуле расположен водород это элемент первой группы периодической системы, следовательно его степень окисления равна +1 (h3+1SO4)[1][2] 3.По периодической таблице определить степень окисления элемента, стоящего справа. Определение производить согласно правила: элемент, стоящий справа принимает электроны, его степень окисления отрицательна и численно равна номеру группы, в которой находится элемент минус восемь ( №периода — 8).[2][3] Так справа в формуле расположен кислород, это элемент шестого периода, следовательно его степень окисления равна (6-8=-2). h3+1SO4-2 .4.Определить степень окисления третьего элемента согласно правила: сумма степеней окисления всех атомов, образующих частицу равна заряду частицы — для нейтральной молекулы — это 0. С этой целью составим математическое уравнение, включив в него степени окисления всех атомов молекулы и приняв за х степень окисления серы. 2(+1) + х + 4(-2) = 0 5.Решить уравнение, определив степень окисления серы. Х=+6 6.Проставить степени окисления элементов в химической формуле h3+1S+6O4-2 Степень окисления не всегда совпадает с валентностью.

если не путаю, она обычно совпадает с валентностью что ли. но ты почитай учебник.

в конце учебника есть таблица растворимости там написаны все степени окисления, их нужно выучить.

ребята, вы ващи тупые, я тоже не знаю

touch.otvet.mail.ru

Калькулятор пределов

Что такое предел?

Предел функции (предельное значение функции) в предельной для области определения функции заданной точке — это величина, к которой стремится значение функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Если предел функции существует, говорят, что функция сходится к указанному значению. Если такого предела не существует – функция расходится.

Другими словами, если некоторая переменная величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной функции в некотором интервале f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Определение предела функции часто формулируют на языке окрестностей. Предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения. Можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция. При этом сами концы интервала в область определения не входят.

На расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удаленной точки. Поэтому допустимо описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также ситуации, когда сама функция стремится к бесконечности в заданной точке. Предел последовательности при этом предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции в данной точке означает, что для любого заранее заданного значения области значений имеется такая окрестность этого значения, при которой в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел, равный значению функции в данной точке, такая функция является непрерывной в данной точке.

Также читайте нашу статью «Решить систему уравнений методом сложения онлайн решателем»

Бесплатный онлайн калькулятор

Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Вычисление предела функции онлайн | umath.ru

Пределом функции в некоторой точке называется та величина, к которой стремится значение функции при стремлении значения её аргумента к (). Пусть эта величина равна , тогда пишут

или при

Предел функции онлайн

Калькулятор быстро и точно найдёт предел любой функции онлайн. Можно считать пределы функций как в точках, так и на бесконечности. При это калькулятор выдаёт не только ответ, но и подробное решение, которое полезно проанализировать, особенно если ваш собственный результат не совпадает с результатом его вычислений.

umath.ru

Онлайн-калькулятор вычисления пределов | СпецКласс

Как быстро решить предел? Воспользоваться любым онлайн-калькулятором, ибо их сейчас предоставляется невероятное множество. Но вот только не все онлайн калькуляторы вам с этим помогут.

Неделю назад меня попросили решить один простой пример, которые с помощью правила Лопиталя решался в 1 строчку. Как любой нормальный человек, я не стал решать его самостоятельно и решил найти онлайн-калькулятор, который сделает это за меня. Тем более, что пример был плёвый:

В итоге я нашел парочку онлайн-калькуляторов, которые посчитали мне правильный ответ примера, но к сожалению, содержали ошибки внутри самого решения. И вот как это у них получилось.

Есть классный математический сервис, который называется Wolframalpha. Это международная компания, которая выпускает серьезный софт для ученых: в частности Mathematica. У них есть онлайн-версия, которая позволяет получить ответы на множество вопросов, особенно если вы знаете английский. Виджет, взятый с их сайта, расположен ниже, и с его помощью вы можете получить ответ любого предела, который вам задали в институте.

Так вот, как работают многие онлайн-калькуляторы в Интернете? Сперва надо ввести ваш пример. Для этого в калькуляторе есть поля ввода самого предела и поле для ввода значения, к которой стремится переменная в вашем пределе. В случае с виджетом от wolframalpha, в поле «limit of » нужно ввести сам предел (используя правила написания формул, такие же как в LaTex), а в поле «as x approaches» ввести значение, к которому стремится переменная Х из вашего предела. Например:

• если Х стремится к 2, то пишем просто » 2 «.
• если Х стремится к единице слева, пишем » 1-0 «
• если Х стремится к минус бесконечности, пишем » — infinity «

Не волнуйтесь, если ошибетесь: виджет либо выдаст ошибку, либо сам исправит ваш запрос. В любом случае помимо ответа вы увидите, какой предел возьмет виджет и чему он будет равен?

А что делают онлайн-калькуляторы на других сайтах? Они «парсят» ваш предел, и с помощью LaTex записывают его в красивом виде. Дальше им нужно его решить, но раз вы ищите решение предела онлайн, или же просто вбили в поиске онлайн-калькулятор решения пределов, то скорее всего вы сами толком не знаете, как должно выглядеть правильное решение этого примера. Из распарсенного выражения на калькуляторе происходит несколько преобразований (либо нахождение производных, либо стандартные упрощения), а затем подставляется правильный ответ пример. Который получен, например,с помощью того самого виджета, который вы видите на этой странице.

Еще один минус в работе таких «онлайн-калькуляторов» состоит в том, что их решение может быть неоптимальным. Очень часто вас просят найти предел определенным способом. Калькуляторы же ищут решения стандартным способом, одинаковым для всех. Так что если вы учитесь в серьезном техническом вузе, или ваш преподаватель серьезно относится к проверке ваших занятий, то вас скорее всего раскусят). Единственный способ избежать этого — понимать, что написано в решении вашего примера. В видеоуроках я разбираю, как подходить к тем или иным примерам, и на что стоит обращать внимание. Ну а после того, как вы самостоятельно решите пару десятков примеров, у вас выработается собственная «чуйка».

specclass.ru

Онлайн калькулятор: Предел функции в точке

По многочисленным просьбам наших пользователей публикуем калькулятор вычисляющий предел функции одного аргумента в заданной точке. Калькулятор вычисляет предел функции приближенным численным методом, что не позволяет нам вычислить предел в том случае, когда аргумент стремится к бесконечности. Подробности, как обычно, следуют за калькулятором.

Допустимые операции: + — / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

Знаков после запятой: 2

Предел функции в точке

Сохранить share extension

Определение

Число A называется пределом функции y=f(x), при х->x0, если для всех значений x, достаточно мало отличающихся от числа x0, соответствующие значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа A.

На этом определении предела функции и основана работа нашего калькулятора.

Для вычисления предела мы попросту вычисляем значение функции в точке незначительно отличающейся от заданной. Говоря незначительно, я имею в виду величину предельно мало отличающуюся от заданной точки, которая только возможна для нашей вычислительной системы. Для получения такой предельно малой величины мы берем некоторую малую величину и уменьшаем ее методом половинного деления до тех пор, пока значение функции в точке, отличающейся от заданной на эту малую величину, определено.

В результате предпоследнего вычисления мы получаем предел нашей функции.

Метод требует наличия некоторых вычислительных мощностей, потому что значение функции вычисляется несколько сотен раз. Но так как все вычисления в наших калькуляторах делаются на компьютере пользователя, заботу о наличии этих мощностей мы перекладываем на ваши плечи, дорогие посетители нашего сайта 🙂

planetcalc.ru

Нахождение предела функции в точке по правилу Лопиталя

Калькулятор ниже находит предел функции по правилу Лопиталя (через производные числителя и знаменателя). Описание правила смотри ниже.

Допустимые операции: + — / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

Точка в которой необходимо посчитать предел