Рубрика: Школьная жизнь

Знаков после запятой: 4

Треугольная матрица (метод Гаусса)

Треугольная матрица (метод Гаусса с выбором максимума в столбце)

Треугольная матрица (метод Гаусса с выбором максимума по всей матрице)

Сохранить share extension

Знаков после запятой: 4

Треугольная матрица (метод Барейса)

Треугольная матрица (метод Барейса с выбором максимума в столбце)

Треугольная матрица (метод Барейса с выбором максимума по всей матрице)

Сохранить share extension

Итак, для начала определимся с понятием треугольной, или ступенчатой матрицы:
Матрица имеет ступенчатый вид, если:

1. Все нулевые строки матрицы стоят последними
2. Первый ненулевой элемент строки всегда находится строго правее первого ненулевого элемента предыдущей строки
3. Все элементы столбца под первым ненулевым элементом строки равны нулю (это впрочем следует из первых двух пунктов)

Пример ступенчатой матрицы:
1 0 2 5
0 3 0 0
0 0 0 4

Понятие треугольной матрицы более узкое, оно используется только для квадратных матриц (хотя я думаю, что это не строго), и формулируется проще: треугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Строго говоря, это даже определение верхнетреугольной матрицы, но мы будем использовать его. Понятно, что такая верхнетреугольная матрица является также и ступенчатой.

Пример треугольной (верхнетреугольной) матрицы:
1 0 2 5
0 3 1 3
0 0 4 2
0 0 0 3
Кстати, определитель треугольной матрицы вычисляется простым перемножением ее диагональных элементов.

Чем же так интересны ступенчатые (и треугольные) матрицы, что к ним надо приводить все остальные? — спросите вы.
У них есть замечательной свойство, а именно, любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатой форме.

Что же такое элементарные преобразования? — спросите вы.
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:

1. перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы
2. умножение любой строки (столбца) на призвольное, отличное от нуля, число
3. сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.

И что? — спросите вы.
А то, что элементарные преобразования матрицы сохраняют эквивалентность матриц. А если вспомнить, что системы линейных алгебраический уравнений (СЛАУ) записывают как раз в матричной форме, то это означает, что элементарные преобразования матрицы не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Приведя матрицу системы линейных уравнений AX=B к треугольной форме A’X = B’, то есть, с соответствующими преобразованиями столбца B, можно найти решение этой системы так называемым «обратным ходом».

Чтобы было понятно, используем треугольную матрицу выше и перепишем систему уравнений в более привычной форме (столбец B я придумал сам):

Понятно, что сначала мы найдем , потом, подставив его в предыдущее уравнение, найдем и так далее — двигаясь от последнего уравнения к первому. Это и есть обратный ход.

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований называют методом Гаусса. Метод Гаусса — классический метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Также его еще называют Гауссовым исключением, так как это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к эквивалентной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Теперь про сам метод.
Собственно, как можно занулить переменную во втором уравнении? Вычтя из него первое, домноженное на коэффициент
Поясним на примере:

Зануляем во втором уравнении:

Во втором уравнении больше не содержится

Обобщенно алгоритм метода Гаусса можно представить следующим образом:

где N — число строк,
— i-тая строка,
— элемент, находящийся в i-той строке, j-том столбце

И все бы ничего, да и метод отличный, но. Дело все в делении на , присутствующем в формуле. Во-первых, если диагональный элемент будет равен нулю, то метод работать не будет. Во-вторых, в процессе вычисления будет накапливаться погрешность, и чем дальше, тем больше. Результат будет отличаться от точного.

Для уменьшения погрешности используют модификации метода Гаусса, которые основаны на том, что погрешность тем меньше, чем больше знаменатель дроби. Эти модификации — метод Гаусса с выбором максимума в столбце и метод Гаусса с выбором максимума по всей матрице. Как следует из названия, перед каждым шагом исключения переменной по столбцу (всей матрице) ищется элемент с максимальным значением и проводится перестановка строк (строк и столбцов), таким образом, чтобы он оказался на месте .

Но есть еще более радикальная модификация метода Гаусса, которая называется методом Барейса (Bareiss).
Как можно избавиться от деления? Например, умножив перед вычитанием строку на . Тогда вычитать надо будет строку , домноженную только на , без всякого деления.
.
Уже хорошо, но возникает проблема с ростом значений элементов матрицы в ходе вычисления.

Барейс предложил делить выражение выше на и показал, что если исходные элементы матрицы — целые числа, то результатом вычисления такого выражения тоже будет целое число. При этом принимается, что для нулевой строки .

Кстати, то, что в случае целочисленных элементов исходной матрицы алгоритм Барейса приводит к треугольной матрице с целочисленными элементами, то есть без накопления погрешности вычислений — довольно важное свойство с точки зрения машинной арифметики.

Алгоритм Барейса можно представить следующим образом:

Алгоритм, аналогично методу Гаусса, также можно улучшить поиском максимума по столбцу(всей матрице) и перестановкой соответствующих строк (строк и столбцов).

С отличной лекцией на эту тему можно ознакомиться здесь

planetcalc.ru

1. Методы вычисления определителей n – го порядка.

Основываясь на понятиях определителей второго и третьего порядков, можно аналогично ввести понятие определителя порядка n. Определители порядка выше третьего вычисляются, как правило, с использованием свойств определителей, сформулированных в п. 1.3., которые справедливы для определителей любого порядка.

Используя свойство определителей номер 9⁰ введем определение определителя 4-го порядка:

.

Пример 2. Вычислить, используя подходящее разложение.

.

Аналогично вводится понятие определителя 5-го, 6-го и т.д. порядка. Значит определитель порядка n :

.

Все свойства определителей 2-го и 3-го порядков, рассмотренные раннее, справедливы и для определителей n-го порядка.

Рассмотрим основные методы вычисления определителей n-го порядка.

1. Метод понижения порядка определителя основан на следующем соотношении (i фиксированное число): , где А_ik алгебраические дополнения к (разложение определителя поi-ой строке). Либо (разложение поj-тому столбцу).

Замечание: прежде чем применять этот метод, полезно, используя основные свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки или столбца. (Метод эффективного понижения порядка)

2. Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все его элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали.

Пример 3. Вычислить, приведением к треугольному виду.

Пример 4. Вычислить, используя метод эффективного понижения порядка

.

Решение: по свойству 4⁰ определителей из первой строки вынесем множитель 10, а затем будем последовательно умножать вторую строку на 2, на 2, на 1 и складывать соответственно с первой, с третьей и четвертой строками (свойство 8⁰).

.

Полученный определитель можно разложить по элементам первого столбца. Он будет сведен к определителю третьего порядка, который вычисляется по правилу Саррюса (треугольника).

Пример 5. Вычислить определитель, приведением к треугольному виду.

.

Пример 3. Вычислить, используя рекуррентные соотношения.

.

.

Лекция 4. Обратная матрица. Ранг матрицы.

1. Понятие обратной матрицы

Определение 1. Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной, если ее определитель |A| ≠ 0. В случае, когда |A| = 0, матрица А называется вырожденной.

Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы А^-1.

Определение 2. Матрица А^-1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если А^-1А = АА^-1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n.

Определение 3. Матрица называетсяприсоединенной, ее элементами являются алгебраические дополнения транспонированной матрицы.

Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

1. Находим определитель исходной матрицы. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует. Если определитель отличен от нуля, то матрица А невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим присоединенную матрицу А^*, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов транспонированной матрицы А.

3. Вычислим обратную матрицу по формуле

, где .

4. Проверяем правильность вычисления А^-1А = АА^-1 = Е. (Е – единичная матрица)

Матрицы А и А^-1взаимообратные. Если |A| = 0, то обратная матрица не существует.

Пример 1. Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная, и найти обратную матрицу .

Решение: . Следовательно матрица невырожденная.

Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Получаем .

studfiles.net

Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a_{i j} = b_j + c_j (j=), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, — такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом — из элементов c_j.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором M_{i j} элемента a_{i j} определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a_{i j} определителя d называется его минор M_{i j}, взятый со знаком (-1) ^{i + j}. Алгебраическое дополнение элемента a_{i j} будем обозначать A_{i j}. Таким образом, A_{i j} = (-1) ^{i + j} M_{i j}.

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} +… + a_{i n} A_{i n}   (i= )

или j- го столбца

d = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} +… + a_nj A_nj    (j = ).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Формула вычисления определителя третьего порядка.

Для облегчения запоминания этой формулы:

5. Мінори та алгебраїчні доповнення.Минором M_{i j} элемента a_{i j} определителя d n-гопорядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a_{i j} определителя d называется его минор M_{i j}, взятый со знаком (-1) ^{i + j}. Алгебраическое дополнение элемента a_{i j} будем обозначать A_{i j}. Таким образом, A_{i j} = (-1) ^{i + j} M_{i j}.

6. Визначник діагонального, трикутного та ступінчатого виду. Обчислення визначників спеціального виду.

Треугольные матрицы

Определение

Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Замечание. Диагональная матрица — это пример матрицы, которая является одновременно верхне- и нижнетреугольной.

1. Приведение определителя к треугольному виду.

Некоторые определители удобно вычислять, используя метод приведения к треугольному виду. А, как известно, определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали.

.

Решение.Легко увидеть, что в этом определителе сумма элементов каждой строки (столбца) одна и та же. Следовательно, прибавляя все строки определителя к первой, получим

.

Вынесем общий множитель элементов первой строки за знак определителя. Имеем:

.

Из каждой строки, начиная со второй, вычтем первую. Мы получили определитель треугольного вида:

studfiles.net

Видеоурок 5. Вычисление определителя методом приведения матрицы определителя к треугольному виду

Видеокурс высшей математики. Урок 1. Определители 2 и 3 порядков

Видеоурок 2. Вычисление определителя методом разложения по элементам его строки или столбца

Высшая математика 3. Вычисление определителя третьего порядка. Правило треугольников

Видеоурок 4. Вычисление определителя третьего порядка методом присоединения строк (столбцов)

Видеоурок 5. Вычисление определителя методом приведения матрицы определителя к треугольному виду

Видеоурок 6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера

Видеоурок 7. Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

Видеокурс высшей математики. Урок 8. Примеры решения систем трех линейных уравнений методом Крамера

Видеокурс высшей математики. Урок 9. Алгебраическая форма записи комплексного числа

Видеокурс высшей математики. Урок 10. 1 часть. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Видеокурс высшей математики. Урок 10. 2 часть. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Видеокурс высшей математики. Урок 11. Показательная форма записи комплексного числа

Видеокурс высшей математики. 12. Разложение многочлена на множители

Видеокурс высшей математики. 13. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей

Высшая математика. 14. Часть 1. Примеры разложения рациональной дроби на сумму простейших дробей

Высшая математика. 14. Часть 2. Примеры разложения рациональной дроби на сумму простейших дробей

Видеокурс высшей математики. Урок 15. Матрицы. Виды матриц

Видеокурс высшей математики. Урок 16. Сложение и вычитание матриц. Умножение матрицы на число

Видеокурс высшей математики. Урок 17. Умножение матриц. Возведение матрицы в степень

Видеокурс высшей математики. Урок 18. Приведение матрицы к ступенчатому виду

Видеокурс высшей математики. Урок 19. Ранг матрицы. Ранг системы векторов

Видеокурс высшей математики. Урок 20. Вычисление определителей высоких порядков

Видеокурс высшей математики. Урок 21. Часть 1. Обратная матрица

Видеокурс высшей математики. Урок 21. Часть 2. Обратная матрица

Видеокурс высшей математики. Урок 22. Матричные уравнения

Видеокурс высшей математики. Урок 23. Системы линейных неоднородных уравнений. Общая теория

Видеокурс высшей математики. Урок 24. Метод обратной матрицы решения системы линейных уравнений

Видеокурс высшей математики. Урок 25. Метод Крамера решения системы линейных уравнений

Видеокурс высшей математики. Урок 26. Часть 1. Решений систем линейных уравнений методом Гаусса

Видеокурс высшей математики. Урок 26. Часть 2. Решений систем линейных уравнений методом Гаусса

Видеокурс высшей математики. Урок 27. Фундаментальная система решений

Видеокурс высшей математики. Урок 28. Примеры построения фундаментальной системы решений

Видеокурс. Урок 29. Задача: найти общее и одно частное решения системы лин неоднородных уравнений

Видеокурс высшей математики. Урок 30. Собственные значения и собственные векторы (теория)

Высшая математика. 31. Собственные значения и собственные векторы. Простое собственное значение

Высшая математика. 32. Собственные значения и собственные векторы. Комплексно-сопряженные значения

Видеокурс. 33. Собственные значения и собственные векторы. Случай кратного собственного значения

Высшая математика. 34. Собственные значения и собственные векторы. Присоединенные векторы

Видеокурс высшей математики. Урок 35. Часть 1. Линейные векторные пространства

Видеокурс высшей математики. Урок 35. Часть 2. Линейные векторные пространства

Видеокурс высшей математики. Урок 36. Преобразование координат. Матрица перехода

Видеокурс высшей математики. Урок 37. Евклидовы пространства

Видеокурс высшей математики. Урок 38. Квадратичные формы

Видеокурс высшей математики. Урок 39. Квадратичные формы. Преобразование переменных

Видеокурс высшей математики. Урок 40. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

www.videxp.com

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Процесс поиска наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке напоминает увлекательный облёт объекта (графика функции) на вертолёте с обстрелом из дальнобойной пушки определённых точек и выбором из этих точек совсем особенных точек для контрольных выстрелов. Точки выбираются определённым образом и по определённым правилам. По каким правилам? Об этом мы далее и поговорим.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений. Это может произойти либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной на отрезке [a, b], нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a, b]. Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a, b].

Критической точкой называется точка, в которой функция определена, а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f(a) и f(b)). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a, b].

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции.

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2].

Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2]. Эти значения функции — следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка — в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, — в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.

Если функция непрерывна в промежутке и имеет единственный экстремум, то он является наименьшим значением в случае минимума и наибольшим — в случае максимума.

Как наименьшее значение функции, так и её наибольшее значение, могут быть найдены не только в одной точке, принадлежащей заданного интервала, а, как, например, далее — в двух.

Нередки случаи, когда уравнение, полученное от приравнивания производной функции нулю, не имеет действительных решений. Тогда наименьшее и наибольшее значения функции можно найти только на концах отрезка. Таков следующий пример.

Неплохо было бы взять и случаи, когда производная функции вычисляется не одним махом, как в предыдущих примерах. Это мы сейчас и сделаем, решив пример, где требуется найти производную частного.

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция — многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность — составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.

Пример 8. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x — сторона основания, h — высота резервуара, S — площадь его поверхности без крышки, V — его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S:

или

.

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[, причём

.

Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, — единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум — единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением. Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Пример 9. Из пункта A, находящегося на линии железной дороги, в пункт С, отстоящий от неё на расстоянии l, должны переправляться грузы. Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна , а по шоссе она равна . К какой точке М линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из А в С была наиболее экономичной (участок АВ железной дороги предполагается прямолинейным)?

Пусть , , (см. рисунок ниже).

Тогда , , . Стоимость провоза p единиц груза по шоссе СМ составит , а по железной дороге МА она составит . Общая стоимость провоза груза по пути СМА выражается функцией

,

где .

Нужно найти наименьшее значение этой функции. Она дифференцируема при всех значениях x, причём

.

Приравняв производную нулю, получим иррациональное уравнение , решение которого даёт единственную критическую точку (так как точка не входит в область определения функции).

Взяв контрольные точки и слева и справа от критической точки, убедимся, что производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при стоимость провоза груза из А и С является наименьшей, если . Если же , т. е. , то шоссе должно пройти по прямой АС (см. рисунок ниже).

Весь блок «Производная»

function-x.ru

Найти наименьшее значение функции х2 | Геометрия

Друзья, добрый день!
Сегодня мы начнём разбирать 12 задание ЕГЭ,
в котором необходимо найти
наименьшее значение функции,
точку минимума или максимума функции с помощью производных.
Задание достаточно простое,
если знать
формулы производных,
уметь решать
простейшие квадратные уравнения
и отыскивать
интервалы знакопостоянства.
Давайте приступим.

Задание 1. Найти наименьшее значение функции  у = √(х²  + 10х + 106)
Решение: покажем два решения данного задания.
А. Берём производную по у и приравниваем её к нулю.
В тех точках, в которых производная равна нулю, функция имеет либо максимум, либо минимум.
Данная функция сложная. Поэтому берём производную от сложной функции:
у´ = (2х + 10)/2√(х²  + 10х + 106) = 0
Дробь равна нулю  в том случае, когда числитель её равен нулю, а знаменатель существует.
Выражение, стоящее под знаком корня всегда положительное, т.к. дискриминант его — отрицательный.
Приравниваем числитель дроби к нулю: 2
х + 10 = 0 х + 5 = 0 х = — 5
Имеем одну точку на числовой прямой.
Правее этой точки знак производной всегда положительный.
Левее этой точки знак меняется на противоположный, т.е. на минус.
При переходе производной с минуса на плюс через ноль, у функции в этой точке — минимум.
Подставляем -5 в значение  у = √(х²  + 10х + 106)
у(-5) = у = √(25  — 50 + 106) = √81 = 9
Б. Возводим в квадрат правую и левую части уравнения у = √(х²  + 10х + 106)
у² = х²  + 10х + 106
Теперь берём производную от правой и левой части
2у´ = 2х + 10
у´ = х + 5
у´ = 0 при х = -5.
Далее как  в решении А.
Ответ: наименьшее значение функции 9.

Задание 2. Найти наибольшее значение функции у = √(-х²  + 6х + 40)
Решение: Ещё один вариант решения данного задания.
Под корнем стоит выражение -х²  + 6х + 40, которое в силу ООФ должно быть не менее нуля.
Графически — это парабола и ветви её направлены вниз.
Найдем точки пересечения этой параболы с осью ОХ.
-х²  + 6х + 40 = 0
х²  — 6х — 40 = 0   Решая это уравнение по теореме Виета находим корни
х1 = 10   х2 = -4
Максимальное значение функции находится в вершине параболы.
Абсцисса вершины находится между корнями, т.е. в точке х = 3.
Находим у(3) = √(-9   + 6·3 + 40) = √49 = 7.
Решая это задание через производную, получим:
у² = -х²  + 6х + 40
2у´ = -2х + 6
у´ = -х + 3
у´ = 0 при х = 3.
Далее получаем максимум функции равен  7.
Ответ: 7.

Задание 3. Найти точку минимума функции   у = (х + 24)е^{х – 70}
Решение: производная произведения равна производной первого множителя, умноженной на второй множитель плюс производной второго множителя, умноженной на первый множитель.
Ещё надо учесть, что второй множитель — сложная функция.
у´ = (х + 24)´е^{х – 70}  + (х + 24)(е^{х – 70} )´ = 0
у´ = е^{х – 70}  + (х + 24)е^{х – 70}  = 0
е^{х – 70} (1 + х + 24) = 0
Произведение двух множителей равно нулю в том случае, если один из них равен нулю.
Показательная функция нулю никогда не равна, значит нулем может быть выражение в скобке.
х + 25 = 0
х = — 25.
Ответ: точка минимума функции — 25.

Задание 4. Найдите наименьшее значение функции у = (х – 23)²е^{2х – 44}      на отрезке [1;23].
Решение: Задание похоже на задание № 3 с той лишь разницей, что первый множитель здесь тоже является сложной функцией.
 у´ = [(х – 23)²]´е^{2х – 44}   +  (х – 23)² (е^{2х – 44})´ = 0
2(х — 23) е^{2х – 44} + (х – 23)² (е^{2х – 44})·2 = 0
2(х — 23)е^{2х – 44} (1 + х — 23) = 0
х — 23 = 0        х = 23
х — 23 + 1= 0   х = 22
Производная имеет два корня, т.е. равна нулю в двух точках.
А это значит, что в точках
х = 22 и х = 23 функция имеет максимум или минимум.
Чтобы определить в какой точке максимум, а в какой минимум, строим числовую прямую.

______+_____22______-_____23______+____

 Правее правого корня производная всегда положительна.
При переходе через корень она меняет знак на противоположный.
В точке х = 22 производная меняет знак с плюса на минус — значит у функции в этой точке — максимум.
В точке х = 23 производная меняет знак с минуса на плюс — значит у функции в этой точке — минимум.
Точка х = 23 входит в заданный интервал.
Отсюда у(23) = (23 — 23)е^{2*23 – 44}  = 0
Ответ: наименьшее значение функции 0.

Задание 5. Найдите точку минимума функции   у = 2х^3/2/3 – 5х + 24
Решение: Производная первого одночлена — это производная степенной функции с коэффициентом 2/3.
у´= 3/2 * 2/3 * х½ — 5 = 0
√х — 5 = 0
√х = 5
х = 25.
Ответ: точка минимума функции х = 25.

На сегодня всё.
Успехов все и до новых задач!

Вам так же будет интересно:

Оставить комментарий

geometriyaprosto.ru

Как найти наименьшее общее кратное (НОК)

Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём разложения данных чисел на простые множители.

Допустим, нам требуется найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Чтобы искомое число делилось на 99, на 30 и на 28, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам необходимо взять все простые множители этих чисел в наибольшей встречающейся степени и перемножить их между собой:

2² · 3² · 5 · 7 · 11 = 13 860

Таким образом, НОК (99, 30, 28) = 13 860. Никакое другое число меньше 13 860 не делится нацело на 99, на 30 и на 28.

Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени, с каким он встречается, и перемножить эти множители между собой.

Так как взаимно простые числа не имеют общих простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 – взаимно простые. Поэтому

НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32 340.

Таким же образом надо поступать, когда отыскивается наименьшее общее кратное различных простых чисел. Например, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.

Нахождение путём подбора

Второй способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём подбора.

Пример 1. Когда наибольшее из данных чисел делится нацело на другие данные числа, то НОК этих чисел равно большему из них. Например, дано четыре числа: 60, 30, 10 и 6. Каждое из них делится нацело на 60, следовательно:

НОК (60, 30, 10, 6) = 60

В остальных случаях, чтобы найти наименьшее общее кратное используется следующий порядок действий:

1. Определяем наибольшее число из данных чисел.
2. Далее находим числа, кратные наибольшему числу, умножая его на натуральные числа в порядке их возрастания и проверяя делятся ли на полученное произведение остальные данные числа.

Пример 2. Дано три числа 24, 3 и 18. Определяем самое большое из них – это число 24. Далее находим числа кратные 24, проверяя делится ли каждое из них на 18 и на 3:

24 · 1 = 24 – делится на 3, но не делится на 18.

24 · 2 = 48 – делится на 3, но не делится на 18.

24 · 3 = 72 – делится на 3 и на 18.

Таким образом, НОК (24, 3, 18) = 72.

Нахождение путём последовательного нахождения НОК

Третий способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём последовательного нахождения НОК.

НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их наибольший общий делитель.

Пример 1. Найдём НОК двух данных чисел: 12 и 8. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (12, 8) = 4. Перемножаем данные числа:

12 · 8 = 96.

Делим произведение на их НОД:

96 : 4 = 24.

Таким образом, НОК (12, 8) = 24.

Чтобы найти НОК трёх и более чисел используется следующий порядок действий:

1. Сначала находят НОК каких-нибудь двух из данных чисел.
2. Потом, НОК найденного наименьшего общего кратного и третьего данного числа.
3. Затем, НОК полученного наименьшего общего кратного и четвёртого числа и т. д.
4. Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

Пример 2. Найдём НОК трёх данных чисел: 12, 8 и 9. НОК чисел 12 и 8 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное числа 24 и третьего данного числа – 9. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (24, 9) = 3. Перемножаем НОК с числом 9:

24 · 9 = 216.

Делим произведение на их НОД:

216 : 3 = 72.

Таким образом, НОК (12, 8, 9) = 72.

naobumium.info

Решаем задачи B14 из ЕГЭ

Автор Сергей Валерьевич

Воскресенье, Декабрь 18, 2011

В задании B14 из ЕГЭ по математике требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции одной переменной. Это достаточно тривиальная задача из математического анализа, и именно по этой причине научиться решать её в норме может и должен каждый выпускник средней школы. Разберём несколько примеров, которые школьники решали на диагностической работе по математике, прошедшей в Москве 7 декабря 2011 года.

В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов.

I. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

• Найти область определения функции.
• Найти производную функции.
• Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
• Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
• Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
• Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции
y = x³ – 18x² + 81x + 23 на отрезке [8; 13].

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

• Область определения функции не ограничена: D(y) = R.
• Производная функции равна: y’ = 3x² – 36x + 81. Область определения производной функции также не ограничена: D(y’) = R.
• Нули производной: y’ = 3x² – 36x + 81 = 0, значит x² – 12x + 27 = 0, откуда x = 3 и x = 9, в наш промежуток входит только x = 9 (одна точка, подозрительная на экстремум).
• Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: y = x³ – 18x² + 81x + 23 = x(x-9)²+23:
  •  y(8) = 8 · (8-9)²+23 = 31;
  • y(9) = 9 · (9-9)²+23 = 23;
  • y(13) = 13 · (13-9)²+23 = 231.

Итак, из полученных значений наименьшим является 23. Ответ: 23.

II. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции:

• Найти область определения функции.
• Найти производную функции.
• Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
• Отметить эти точки и область определения функции на числовой прямой и определить знаки производной (не функции!) на получившихся промежутках.
• Определить значения функции (не производной!) в точках минимума (те точки, в которых знак производной меняется с минуса на плюс), наименьшее из этих значений будет наименьшим значением функции. Если точек минимума нет, то у функции нет наименьшего значения.
• Определить значения функции (не производной!) в точках максимума (те точки, в которых знак производной меняется с плюса на минус), наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции. Если точек максимума нет, то у функции нет наибольшего значения.

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции:
.

Решение: действуем по алгоритму нахождения наибольшего значения функции:

• Область определения функции задается неравенством:
  , которое выполняется при любом x, поскольку ветви соответствующей параболы направлены вверх, а дискриминант соответствующего квадратного трехчлена отрицателен: D(y) = R.
• Производная функции равна:
  ,
  область определения которой также не ограничена, поскольку по указанной выше причине x² – 6x + 10 > 0, и знаменатель дроби нигде не обращается в ноль: D(y’) = R.
• Нули производной: 2x — 6 = 0, откуда x = 3 (одна точка, подозрительная на экстремум).
• Отмечаем область определения функции и точки, подозрительные на экстремум, на числовой прямой, определяем знаки производной в получившихся промежутках:x = 3 — точка максимума, поскольку в ней возрастание функции (плюс производной) сменяется убыванием (минусом производной). Следовательно, максимального значения функция достигает в этой точке.
• Находим это значение:
  .

Итак, наибольшее значение функции равно -1. Ответ: -1.

Репетитор по математике
Сергей Валерьевич

yourtutor.info

Наименьшее значение функции онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Чтобы найти наименьшее значение заданной функции, то стоит воспользоваться сервисом на сайте «Контрольная работа РУ».

 На примере функции

как можно найти наименьшее значение онлайн.

Итак:

1. Вам нужно перейти на страницу сервиса по исследованию функций онлайн и построения графиков.

2. Для указанного примера вбиваем функцию x^2 + 5*x — 1 в форму:

3. После того как вбили функцию, для которой надо найти наименьшее значение, то нажимаем кнопку «Найти наименьшее значение!»

4. Ждём, когда сервер произведёт исследование функции (1-2 сек) и вы увидите результат данного исследования. В том числе там будет подробное решение по нахождению наименьшего значения функции. Я скопировал часть результата исследования для моего примера, которая связана с вычислением минимального значения функции:

Экстремумы функции:

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y’=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:

y'=2*x + 5=0

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:

1. x=-5/2. Точка: (-5/2, -29/4)

Интервалы возрастания и убывания функции:

Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:

• Минимумы функции в точках:
• Максимумов у функции нету
• Возрастает на промежутках: [-5/2, oo)
• Убывает на промежутках: (-oo, -5/2]

 Видим, что наименьшее значение функции для моего примера найдено и равно y min = -5/2 = — 2.5

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное для двух целых чисел — это наименьшее из всех целых чисел, которое делится нацело и без остатка на оба заданных числа.

Способ 1. Найти НОК можно, по очереди, для каждого из заданных чисел, выписывая в порядке возрастания все числа, которые получаются путем их умножения на 1, 2, 3, 4 и так далее.

Пример для чисел 6 и 9.
Умножаем число 6, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 6, 12, 18, 24, 30
Умножаем число 9, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 9, 18, 27, 36, 45
Как видно, НОК для чисел 6 и 9 будет равно 18.

Данный способ удобен, когда оба числа небольшие и их несложно умножать на последовательность целых чисел. Однако, бывают случаи, когда нужно найти НОК для двузначных или трехзначных чисел, а также, когда исходных чисел три или даже больше.

Способ 2. Найти НОК можно, разложив исходные числа на простые множители.
После разложения необходимо вычеркнуть из получившихся рядов простых множителей одинаковые числа. Оставшиеся числа первого числа будут множителем для второго, а оставшиеся числа второго — множителем для первого.

Пример для числе 75 и 60.
Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Как видно, множители 3 и 5 встречаются в обоих строках. Мысленно их «зачеркиваем».
Выпишем оставшиеся множители, входящие в разложение каждого из этих чисел. При разложении числа 75 у нас осталось число 5, а при разложении числа 60 — остались 2 * 2
Значит, чтобы определить НОК для чисел 75 и 60, нам нужно оставшиеся числа от разложения 75 (это 5) умножить на 60, а числа, оставшиеся от разложения числа 60 (это 2 * 2 ) умножить на 75. То есть, для простоты понимания, мы говорим, что умножаем «накрест».
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Таким образом мы и нашли НОК для чисел 60 и 75. Это — число 300.

Пример. Определить НОК для чисел 12, 16, 24
В данном случае, наши действия будут несколько сложнее. Но, сначала, как всегда, разложим все числа на простые множители
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Чтобы правильно определить НОК, выбираем наименьшее из всех чисел (это число 12) и последовательно проходим по его множителям, вычеркивая их, если хотя бы в одном из других рядов чисел встретился такой же, еще не зачеркнутый множитель.

 Шаг 1 . Мы видим, что 2 * 2 встречаются во всех рядах чисел. Зачеркиваем их.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Шаг 2. В простых множителях числа 12 осталось только число 3. Но оно присутствует в простых множителях числа 24. Вычеркиваем число 3 из обоих рядов, при этом для числа 16 никаких действий не предполагается.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Как видим, при разложении числа 12 мы «вычеркнули» все числа. Значит нахождение НОК завершено. Осталось только вычислить его значение.
Для числа 12 берем оставшиеся множители у числа 16 (ближайшего по возрастанию)
12 * 2 * 2 = 48
Это и есть НОК

Как видим, в данном случае, нахождение НОК было несколько сложнее, но когда нужно его найти для трех и более чисел, данный способ позволяет сделать это быстрее. Впрочем, оба способа нахождения НОК являются правильными.

profmeter.com.ua

Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из двух различных лучей, исходящих из одной точки. В данном случае, эти лучи называются сторонами угла. Точка, являющаяся началом лучей, называется вершиной угла. На рисунке вы можете увидеть угол с вершиной в точке О, и сторонами k и m.

На сторонах угла отмечены точки А и С. Этот угол можно обозначить как угол AOC. В середине обязательно должно стоять название точки, в которой находится вершина угла. Также существуют и другие обозначения, угол О или угол km. В геометрии вместо слова угол часто пишут специальный значок.

Развернутый и неразвернутый угол

Если у угла обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым углом. То есть одна сторона угла является продолжением другой стороны угла. На рисунке нижк представлен развернутый угол О.

Следует отметить, что любой угол, разделяет плоскость на две части. Если угол не является развернутым, то одна из частей называется внутренней областью угла, а другая внешней областью этого угла.  На рисунке ниже представлен неразвернутый угол и отмечены внешняя и внутренняя области этого угла.

В случае с развернутым углом любую из двух частей, на которые он делит плоскость, можно считать внешней областью угла. Можно говорить о положении точки относительно угла. Точка может лежать вне угла (во внешней области), может находится на одной из его сторон, либо может лежать внутри угла (во внутренней области).

На рисунке ниже, точка А лежит вне угла О, точка B лежит на одной из сторон угла, а точка С лежит внутри угла.

Измерение углов

Для измерения углов существует прибор называемый транспортиром. Единицей измерения угла является градус. Следует отметить, что каждый угол имеет определенную градусную меру, которая больше нуля. 

В зависимости от градусной меры углы делятся на несколько групп.

1. Острый угол — градусная мера от 0 до 90 градусов.

2. Прямой угол — градусная мера 90 градусов.

3. Тупой угол — градусная мера больше 90 градусов.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Луч: понятие, сущность, примеры и задача
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРавенство геометрических фигур: определение и примеры

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Неразвернутый угол — Что такое неразвернутый угол ? — 22 ответа



В разделе Прочее компьютерное на вопрос Что такое неразвернутый угол ? заданный автором работоспособный лучший ответ это это угол, градусная мера которого меньше 180.
Лера Горбачева
Профи
(563)
Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда)
например прямой угол = 90 градусов, развернутый — 180 градусов, острый = меньше 90 градусов, тупой = больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Что такое неразвернутый угол ?

Ответ от Денис Губин[новичек]
угол который меньше 180 градусов

Ответ от Невропатолог[новичек]
это угол, градусная мера которого меньше 180.

Ответ от сергей кузин[новичек]
неразвернутый угол это луч

Ответ от Проскрести[новичек]
это который меньше 180 градусов.

Ответ от Влад Тушавин[активный]
Угол, который менее 180 градусов.

Ответ от Ѐуслан Курочкин[новичек]
угол который меньше 180 градусов
\

Ответ от Егор Власов[активный]
Неразвернутый угол — это угол меньше 180 градусов. Неразвернутый угол делит плоскость на две части. Та часть, что меньше 180 градусов — внутренняя область, а та часть, что больше 180 градусов — внешняя область ОДНОГО неразвернутого угла ))))

Ответ от Оксана Карпова[новичек]
это все углы кроме развёрнутого

Ответ от Safonov-p[эксперт]
А теперь достали учебник геометрии и читаем. .
Определение.
Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.
То есть развернутый угол равен 180 градусов. Соответственно не развернутый — не равный 180 град. Бывают ведь углы больше 180 градусов. .
Интересно, в каком контексте упоминается «неразвернутый угол»?

Ответ от Leninid(lns-studio.ru) vasilev[гуру]
Угол, который менее 180 градусов

Ответ от ЄГУП СКБ Титан НИО ПАС[гуру]
Так понимаю, тот, который меньше 360 градусов.

Угол на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Угол

22oa.ru

какой называется развернутым, сколько градусов в прямом и неразвернутом

С понятием угол учащиеся знакомятся еще в начальной школе. Но как геометрическую фигуру, имеющую определенные свойства, начинают изучать его с 7-го класса в геометрии. Кажется, довольно простая фигура, что о ней можно сказать. Но, приобретая новые знания, школьники всё больше понимают, что можно узнать о ней довольно интересные факты.

…

Вконтакте

Facebook

Twitter

Google+

Мой мир

Когда изучаются

Школьный курс геометрии разделён на два раздела: планиметрию и стереометрию. В каждом из них немалое внимание уделяется углам:

• В планиметрии дается их основное понятие, происходит знакомство с их видами по величине. Более подробно изучаются свойства каждого вида треугольников. Появляются новые определения для учащихся – это геометрические фигуры, образованные при пересечении двух прямых между собой и пересечении нескольких прямых секущей.
• В стереометрии изучаются пространственные углы – двугранные и трехгранные.

Внимание! В данной статье рассматриваются все виды и свойства углов именно в планиметрии.

Определение и измерение

Приступая к изучению, первоначально определяют, что такое угол в планиметрии.

Если на плоскости взять определённую точку и провести от нее два произвольных луча, то получим геометрическую фигуру – угол, состоящую из следующих элементов:

• вершина – та точка, из которой и проводились лучи, обозначается заглавной буквой латинского алфавита;
• стороны – полупрямые, проведенные из вершины.

Все элементы, образующие рассматриваемую нами фигуру, разбивают плоскость на две части:

• внутренняя — в планиметрии не превышает 180 градусов;
• внешняя.

Принцип измерения углов в планиметрии объясняют на интуитивной основе. Для начала знакомят учащихся с понятием развернутый угол.

Важно! Угол называется развернутым, если полупрямые, выходящие из его вершины, образуют прямую линию. Неразвернутый угол это все остальные случаи.

Если его разделить на 180 равных частей, то принято считать меру одной части равной 10. В таком случае говорят, что измерение производится в градусах, а градусная мера такой фигуры составляет 180 градусов.

Основные виды

Виды углов подразделяются по таким критериям, как градусная мера, характер их образования и представленные ниже категории.

По величине

Учитывая величину, углы разделяют на:

• развернутый;
• прямой;
• тупой;
• острый.

Какой угол называется развернутым, было представлено выше. Определимся с понятием прямого.

Его можно получить при делении развернутого на две равные части. В этом случае легко ответить на вопрос: прямой угол, сколько градусов составляет?

180 градусов развернутого делим на 2 и получаем, что прямой угол равен 90 градусам. Это замечательная фигура, так как многие факты в геометрии связаны именно с ней.

Имеет она и свои особенности в обозначении. Чтобы на рисунке показать прямой угол, его обозначают не дугой, а квадратиком.

Это интересно! Легкие правила округления чисел после запятой

Углы, которые получаются при делении произвольным лучом прямого, называют острыми. По логике вещей следует, что острый угол меньше прямого, но его мера отлична от 0 градусов. То есть, он имеет величину от 0 до 90 градусов.

Тупой угол больше прямого, но меньше развернутого. Его градусная мера варьируется в интервале от 90 до 180 градусов.

Данный элемент можно разбить на разные виды рассматриваемых фигур, исключая развёрнутый.

Вне зависимости от того, как разбивается неразвернутый угол, всегда пользуются базовой аксиомой планиметрии — «основное свойство измерения».

При разделении угла одним лучом или несколькими, градусная мера данной фигуры равна сумме мер углов, на которые она разбита.

На уровне 7-го класса виды углов по их величине на этом заканчиваются. Но для повышения эрудиции можно добавить, что существуют и другие разновидности, которые обладают градусной мерой больше 180 градусов.Их называют выпуклыми.

Фигуры при пересечении прямых

Следующие типы углов, с которыми знакомятся учащиеся – элементы, образованные при пересечении двух прямых. Фигуры, которые размещаются друг напротив друга, называют вертикальными. Их отличительное свойство – они равны.

Элементы, которые прилегают к одной и той же прямой, называют смежными. Теорема, отображающая их свойство, говорит о том, что смежные углы в сумме дают 180 градусов.

Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Элементы в треугольнике

Если рассматривать фигуру как элемент в треугольнике, то углы подразделяют на внутренний и внешний. Треугольник ограничен тремя отрезками и состоит из трёх вершин. Углы, расположенные внутри треугольника при каждой вершине, называют внутренними.

Если взять любой внутренний элемент при любой вершине и продлить любую сторону, то угол, который образовался и является смежным с внутренним, называется внешним. Эта пара элементов имеет следующее свойство: их сумма равна 180 градусам.

Пересечение двух прямых секущей

Пересечение прямых

При пересечении двух прямых секущей также образуются углы, которые принято распределять по парам. Каждая пара элементов имеет свое название. Выглядит это следующим образом:

• внутренние накрест лежащие:∟4 и ∟6, ∟3 и ∟5;
• внутренние односторонние: ∟4 и ∟5, ∟3 и ∟6;
• соответствующие: ∟1 и ∟5, ∟2 и ∟6, ∟4 и ∟8, ∟3 и ∟7.

В том случае, когда секущая пересекает две параллельные прямые, все эти пары углов имеют определённые свойства:

1. Внутренние накрест лежащие и соответственные фигуры между собой равны.
2. Внутренние односторонние элементы в сумме дают 180 градусов.

Изучаем углы в геометрии, их свойства

Виды углов в математике

Вывод

В этой статье представлены все основные виды углов, которые встречаются в планиметрии и изучаются в седьмом классе. Во всех последующих курсах свойства, касающихся всех рассмотренных элементов, являются основой для дальнейшего изучения геометрии. К примеру, изучая параллелограмм, необходимо будет вспомнить все свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. При изучении особенностей треугольников, необходимо вспомнить, что такое смежные углы. Перейдя в стереометрию, все объёмные фигуры будут изучаться и строиться, опираясь на планиметрические фигуры.

Это интересно! Изучение точного предмета: натуральные числа — это какие числа, примеры и свойства

uchim.guru

Определение угла

Углом называется геометрическая фигура, состоящая из двух лучей с общей вершиной. Лучи при этом называются сторонами угла, а их общая вершина – вершиной данного угла.

Развёрнутый и нулевой угол

Угол называется развёрнутым, если его стороны являются дополнительными друг к другу лучами, то есть лежат на одной прямой с разных сторон от вершины угла. Если же стороны угла совпадают, то этот угол называется нулевым.

Развёрнутый угол		Нулевой угол

Внутренняя область угла

Пусть точка \(C\) лежит на некотором отрезке с концами на разлиных сторонах ненулевого и не развёрнутого угла \(AOB\). Тогда говорят, что \(C\) является внутренней точкой угла \(AOB\). Все внутренние точки образуют внутреннюю облсать угла \(AOB\).

Нулевой угол не имеет внутренней области. Для развёрнутого угла кадую из двух областей, на которые его стороны разбивают плоскость, можно назвать внутренней. При этом должно быть указано, какая из областей считается внутренней областью развёрнутого угла.

Внутренняя область неразвёрнутого угла		Случай развёрнутого угла

Луч, проходящий между сторонами угла

Говорят, что луч проходит между сторонами угла, если его вершина совпадает с вершиной этого угла, а все остальные точки принадлежат внутренней области угла.

Луч \(OC\) проходит между сторонами угла \(AOB\)

Биссектриса угла

Биссектрисой угла называется луч, проходящий между его сторонами и делящий этот угол на два равных угла.

\(OC\) – биссектриса угла \(AOB\)

Градусная мера угла

Каждый угол имеет определённую градусную меру, которая представляет собой число из отрезка \([0^{\circ};180^{\circ}]\).

Если на плоскости задан некоторый луч \(OA\) и выбрана полуплоскость относительно прямой \(OA\), то для любого числа из отрезка \([0^{\circ};180^{\circ}]\) в этой полуплоскости существует ровно один угол \(AOB\), градусной мерой которого является это число.

$$ \angle{AOB}=\alpha^{\circ} $$

Свойства градусной меры угла

1. Градусная мера развёрнутого угла равна \(180^{\circ}\). Градусная мера нулевого угла равна \(0^{\circ}\).
2. Если луч \(OC\) проходит между сторонами угла \(AOB\), то градусная мера угла \(AOB\) равна сумме градусных мер углов \(AOC\) и \(BOC\).
3. Градусные меры равных углов равны.

	$$\quad \angle{AOC}+\angle{COB}=\angle{AOB}$$

Смежные углы. Теорема о смежных углах

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными друг к другу лучами.

Теорема о смежных углах. Сумма градусных мер смежных углов равна \(180^{\circ}\).

Углы \(AOB\) и \(COB\) смежные. $$ \alpha+\beta=180^{\circ} $$

Вертикальные углы. Теорема о вертикальных углах

Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются дополнительными лучами к сторонам другого.

Теорема о вертикальных углах. Вертикальные углы равны.

Углы \(AOB\) и \(COD\) вертикальные. $$ \angle{AOB}=\angle{COD} $$

Прямой, острый и тупой угол

Угол называется прямым, если он равен смежному с ним углу. Градусная мера прямого угла равна \(90^{\circ}\).

Угол называется острым, если его градусная мера меньше \(90^{\circ}\).

Угол называется тупым, если его градусная мера больше \(90^{\circ}\).

Прямой угол	Острый угол	Тупой угол

Плоский угол

Наряду с понятием угла как фигуры, состоящей из двух лучей с общей вершиной (такой угол называюют линейным), рассматривают также понятие плоского угла. Два луча с общей вершиной разбивают плоскость на две части. Каждая из этих частей вместе с граничными лучами называется плоским углом. Говорят, что эти две части дополняют друг друга до полного угла. По крайней мере один из двух данных плоских углов является объединением линейного угла с его внутренней областью. Второй плоский угол есть объединение линейного угла с остальной частью плоскости. В первом случае говорят, что плоский угол не больше развёрнутого.

Градусная мера плоского угла равна градусной мере соответствующего линейного угла, если данный плоский угол не больше развёрнутого, и дополняет эту градусную меру до \(360^{\circ}\) в противном случае.

tmath.ru

Развернутый угол в геометрии :: SYL.ru

В этой статье будет рассматриваться одна из основных геометрических фигур – угол. После общего введения в это понятие мы уделим основное внимание отдельному виду такой фигуры. Развернутый угол – важное понятие геометрии, которое и будет основной темой этой статьи.

Введение в понятие геометрического угла

В геометрии существует ряд объектов, которые составляют основу всей науки. Угол как раз относиться к ним и определяется с помощью понятия луча, поэтому начнем именно с него.

Также перед тем, как приступать к определению самого угла, нужно вспомнить о нескольких не менее важных объектах в геометрии – это точка, прямая на плоскости и собственно сама плоскость. Прямой называют самую простую геометрическую фигуру, у которой нет ни начала, ни конца. Плоскостью – поверхность, которая имеет два измерения. Ну и луч (или же полупрямая) в геометрии – это часть прямой, у которой есть начало, но нет конца.

Используя данные понятия, можем составить утверждение, что углом является геометрическая фигура, которая полностью лежит в некоторой плоскости и состоит из двух несовпадающих лучей с общим началом. Такие лучи называются сторонами угла, а общее начало сторон – это его вершина.

Виды углов и геометрии

Мы знаем о том, что углы могут быть совсем разными. А потому немного ниже будет приведена небольшая классификация, которая поможет лучше разобраться в видах углов и их главных особенностях. Итак, существует несколько видов углов в геометрии:

1. Прямой угол. Он характеризируется величиной в 90 градусов, а значит, его стороны всегда перпендикулярны между собой.
2. Острый угол. К таким углам относятся все их представители, имеющие размер меньше 90 градусов.
3. Тупой угол. Здесь же могут быть все углы с величиной от 90 до 180 градусов.
4. Развернутый угол. Имеет размер строго 180 градусов и внешне его стороны составляют одну прямую.

Понятие развернутого угла

Теперь давайте рассмотрим развернутый угол более подробно. Это тот случай, когда обе стороны лежат на одной прямой, что можно четко увидеть на рисунке немного ниже. Значит, мы можем с уверенностью сказать, что у развернутого угла одна из его сторон по сути есть продолжением другой.

Стоит запомнить тот факт, что такой угол всегда можно разделить с помощью луча, который выходит из его вершины. В результате мы получим два угла, которые в геометрии называются смежными.

Также развернутый угол имеет несколько особенностей. Для того, чтобы рассказать о первой из них, нужно вспомнить понятие «биссектриса угла». Напомним, что это луч, который делит любой угол строго пополам. Что касается развернутого угла, то его биссектриса разделяет его таким образом, что образуется два прямых угла по 90 градусов. Это очень легко просчитать математически: 180˚ (градус развернутого угла) : 2 = 90˚.

Если же разделять развернутый угол совсем произвольным лучом, то в результате мы всегда получаем два угла, один из которых будет острым, а другой – тупым.

Свойства развернутых углов

Будет удобно рассматривать этот угол, собрав воедино все его главные свойства, что мы и сделали в данном списке:

1. Стороны развернутого угла антипараллельны и составляют прямую.
2. Величина развернутого угла всегда составляет 180˚.
3. Два смежных угла вместе всегда составляют развернутый угол.
4. Полный угол, который составляет 360˚, состоит из двух развернутых и равен их суме.
5. Половина развернутого угла – это прямой угол.

Итак, зная все эти характеристики данного вида углов, мы можем использовать их для решения ряда геометрических задач.

Задачи с развернутыми углами

Для того, чтобы понять, усвоили ли вы понятие развернутого угла, попытайтесь ответить на несколько следующих вопросов.

1. Чему равен развернутый угол, если его стороны составляют вертикальную прямую?
2. Будут ли два угла смежными, если величина первого 72˚, а другого — 118˚?
3. Если полный угол состоит из двух развернутых, то сколько в нем прямых углов?
4. Развернутый угол разделили лучом на два таких угла, что их градусные меры относятся как 1:4. Вычислите полученные углы.

Решения и ответы:

1. Как бы ни был расположен развернутый угол, он всегда по определению равен 180˚.
2. Смежные углы имеют одну общую сторону. Поэтому, чтобы вычислить размер угла, который они составляю вместе, нужно просто прибавить значение их градусных мер. Значит, 72 +118 = 190. Но по определению развернутый угол составляет 180˚, а значит, два данных угла не могут быть смежными.
3. Развернутый угол вмещает два прямых угла. А так как в полном имеется два развернутых, значит, прямых в нем будет 4.
4. Если мы назовем искомые углы а и b, то пусть х — это коэффициент пропорциональности для них, а это значит, что а=х, и соответственно b=4х . Развернутый угол в градусах равен 180˚. И согласно своим свойствам, что градусная мера угла всегда равна сумме градусных мер тех углов, на которые он разбивается любым произвольным лучом, что проходит между его сторонами, можем сделать вывод, что х + 4х = 180˚, а значит, 5х = 180˚. Отсюда находим: х=а=36˚ и b = 4х = 144˚. Ответ: 36˚ и 144˚.

Если у вас получилось ответить на все эти вопросы без подсказок и не подглядывая в ответы, значит вы готовы переходить к следующему уроку по геометрии.

www.syl.ru

Прямой, тупой, острый и развернутый угол

Давайте начнем с определения того, что такое угол. Во-первых, он является геометрической фигурой. Во-вторых, он образован двумя лучами, которые называются сторонами угла. В-третьих, последние выходят из одной точки, которую называют вершиной угла. Исходя из этих признаков, мы можем составить определение: угол — геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон), выходящих из одной точки (вершины).

Их классифицируют по градусной величине, по расположению относительно друг друга и относительно окружности. Начнем с видов углов по их величине.

Существует несколько их разновидностей. Рассмотрим подробнее каждый вид.

Основных типов углов всего четыре — прямой, тупой, острый и развернутый угол.

Прямой

Он выглядит так:

Его градусная мера всегда составляет 90^о, иначе говоря, прямой угол — это угол 90 градусов. Только они есть у таких четырехугольников, как квадрат и прямоугольник.

Тупой

Он имеет такой вид:

Градусная мера тупого угла всегда больше 90^о, но меньше 180^о. Он может встречаться в таких четырехугольниках, как ромб, произвольный параллелограмм, во многоугольниках.

Острый

Он выглядит так:

Градусная мера острого угла всегда меньше 90^о. Он встречается во всех четырехугольниках, кроме квадрата и произвольного параллелограмма.

Развернутый

Развернутый угол имеет такой вид:

В многоугольниках он не встречается, но не менее важен, чем все остальные. Развернутый угол — это геометрическая фигура, градусная мера которой всегда равняется 180º. На нем можно построить смежные углы, проведя из его вершины один или несколько лучей в любых направлениях.

Есть еще несколько второстепенных видов углов. Их не изучают в школах, но знать хотя бы об их существовании необходимо. Второстепенных видов углов всего пять:

1. Нулевой

Он выглядит так:

Само название угла уже говорит о его величине. Его внутренняя область равняется 0^о, а стороны лежат друг на друге так, как показано на рисунке.

2. Косой

Косым может быть и прямой, и тупой, и острый, и развернутый угол. Главное его условие — он не должен равняться 0^о, 90^о, 180^о, 270^о.

3. Выпуклый

Выпуклыми являются нулевой, прямой, тупой, острый и развернутый углы. Как вы уже поняли, градусная мера выпуклого угла — от 0^о до 180^о.

4. Невыпуклый

Невыпуклыми являются углы с градусной мерой от 181^о до 359^о включительно.

5. Полный

Полным является угол с градусной мерой 360^о.

Это все типы углов по их величине. Теперь рассмотрим их виды по расположению на плоскости относительно друг друга.

1. Дополнительные

Это два острых угла, образовывающие один прямой, т.е. их сумма 90^о.

2. Смежные

Смежные углы образуются, если через развернутый, точнее, через его вершину, провести луч в любом направлении. Их сумма равна 180^о.

3. Вертикальные

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Их градусные меры равны.

Теперь перейдем к видам углов, расположенным относительно окружности. Их всего два: центральный и вписанный.

1. Центральный

Центральным является угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере меньшей дуги, стянутой сторонами.

2. Вписанный

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, и стороны которого ее пересекают. Его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.

Это все, что касается углов. Теперь вы знаете, что помимо наиболее известных — острого, тупого, прямого и развернутого — в геометрии существует много других их видов.

fb.ru

Угол [wiki.eduVdom.com]

Угол развернутый

Рис.1

Углом называется фигура, которая состоит из двух различных лучей с общим началом. Эта начальная точка называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла. Если стороны угла являются дополнительными лучами одной прямой, то угол называется развернутым (рис.1).

Угол AOB

Рис.2

Слово «угол» иногда заменяют значком ∠. Угол можно обозначить тремя способами: ∠AOB, ∠O, ∠ab (рис.2).

Луч с проходит между сторонами угла АОВ

Рис.3

Говорят, что луч с началом в вершине угла АОВ проходит между сторонами этого угла, если он пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла (рис.3). В случае развернутого угла будем считать, что любой луч с началом в вершине угла, отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.

Два угла считаются равными, если при наложении они могут совместиться.

Рис.4

На рисунке 4, а изображены неразвернутые углы 1 и 2. Чтобы установить, равны они или нет, наложим один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон (рис.4, б). Если две другие стороны также совместятся, то углы полностью совместятся и, значит, они равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого. На рисунке 4,б угол 1 составляет часть угла 2, поэтому ∠1 < ∠2.

Неразвернутый угол СОВ составляет часть развернутого угла АОВ

Рис.5

Неразвернутый угол составляет часть развернутого (рис.5, угол СОВ составляет часть угла АОВ), поэтому развернутый угол больше неразвернутого угла. Любые два развернутых угла, очевидно, равны.

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

l — биссектриса угла О

Рис.6

На рисунке 6 луч l — биссектриса угла hk.

---

---

www.wiki.eduvdom.com

Конвертировать!

• С помощью кнопок «Локальный файл» или «Онлайн файл» укажите каким образом загрузить документ на сервер. Используете «локальный файл» если вам нужно сконвертировать файл с вашего компьютера, для того чтобы указать файл, находящийся в интернете выберите «Онлайн файл» и в появившемся поле вставьте ссылку на файл. Мы не устанавливаем никаких ограничений на размер документов, но чем больше файл, тем больше времени будет занимать конвертация. Просто наберитесь терпения и все получится. Вы можете конвертировать документы из более 30 форматов, таких как DOCX, HTML, ODB, PPT, PPTX, RTF и другие.
• Для начала конвертации нажмите кнопку «Конвертировать» чтобы начать преобразование. В случае успешной конвертации файл будет доступен в разделе «Результаты конвертации». Если вам нужно просто скачать файл, то кликните на имя файла. Если вы хотите получить другие способы сохранения, то нажмите на значок чтобы сформировать QR-код для загрузки результата на ваш мобильный телефон или планшет, а также если вы хотите сохранить файл в одном из онлайн-сервисов хранения данных, таких как Google Drive или Dropbox.