Рубрика: Школьная жизнь

Оценочная деятельность тесты с ответами синергия – Оценочная деятельность.Тест Синергия

alexxlab / / Школьная жизнь

Бесплатные ответы на тесты МФПУ «Синергия» по предмету «управление собственным бизнесом «

  • 1.Профессиональный предпринимательский бизнес-это …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)система ведения дел

2)особая деятельность

3)профессиональная деятельность

  • 2. Компания со смешанным капиталом предполагает …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)федеральную собственность на часть акций АО

2)собственность хозяйственных товариществ и муниципальных органов

3)собственность АО и хозяйственных товариществ

  • 3. Предпринимательский статус-это …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)образование предпринимателя

2)принадлежность к профессии

3)признаваемая обществом принадлежности к профессии

  • 4. Объектами предпринимательского бизнеса являются …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)ресурсы

2)услуги

3)работы по производству товаров

  • 5. Государственное предпринимательство-это..

Отметьте правильный вариант ответа:

1)государственное участие в деятельности юридических лиц

2)деятельность госслужащих

3)предпринимательская деятельность федеральных органов

  • 6. Уставный капитал ООО на момент регистрации должен быть оплачен …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)не менее, чем на 25%

2)не менее, чем на 50%

3)полностью

  • 7. Предпринимательские функции исполняются посредством …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)предпринимательских действий

2)директивных распоряжений

3)определенных актов

  • 8. «Ведение дел» не включает в себя …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)поддержание бизнеса

2)развитие бизнеса

3)обучение бизнесу

  • 9. Государственные унитарные предприятия учреждаются …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)полными товарищами

2)уполномоченными государством органами

3)собственниками имущества

  • 10. Одной из основных функций предпринимателя является ..

Отметьте правильный вариант ответа:

1)регистрация фирмы

2)принятие на себя обязательств

3)получение кредитов

  • 11. Долевая собственность представляет собой …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)неделимый фонд

2)союз

3)сумму долей

  • 12. Каждый предприниматель вправе участвовать в деятельности …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)нескольких фирм

2)одной фирмы

3)одного акционерного общества

  • 13. Предпринимательское администрирование-это …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)применение системы формализованных процедур

2)ведение дела

3)функционирование предпринимательской фирмы

  • 14. Руководитель унитарного предприятия назначается …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)собранием учредителей

2)собственником

3)органами опеки

  • 15. Акционер-это …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)учредитель АО

2)дольщик АО

3)участник АО

  • 16. Предпринимательская власть-это …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)полномочия

2)право и ответственность за включение объектов в бизнес

3)независимость в бизнесе

  • 17. «Чистые» технологические схемы предполагают …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)и следование, и нарушение

2)нарушение закона

3)следование закону

  • 18. Предприниматель формирует ресурсы фирмы за счет …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)кредитов

2)консолидации ресурсов

3)государственной поддержки

  • 19. Предприниматель должен строить свою деятельность …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)последовательно

2)в соответствии с особенностями ведения дел

3)исторически оправданно

  • 20. Современная теория предпринимательства …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)культурологическое, историческое направление науки

2)имеет разрозненный характер, включает элементы экономической теории, психологии, менеджмента

3)целостная теория

  • 21. Участниками товарищества на вере являются …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)полные товарищи

2)полные товарищи и коммандисты

3)коммандисты

  • 22. Предпринимательской деятельностью не могут заниматься …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)тинэйджеры в возрасте от 14 до 18 лет

2)пенсионеры

3)чиновники

  • 23. Вхождение предпринимателей в состав участников фирмы сопровождается процедурой …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)регистрации фирмы

2)реорганизации

3)создание фирмы

  • 24. Величина уставного капитала ООО составляет …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)10 МРОТ

2)100 МРОТ

3)1000 МРОТ

  • 25. Бюджетные предприятия-это …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)аналог унитарных предприятий

2)акционерные общества

3)коммандитные товарищества

  • 26. Создание и организация рабочих мест является …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)функцией предпринимателя

2)служебной обязанности менеджера

3)обязательством предпринимателя

  • 27. Некоммерческие организации зарабатывать прибыль …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)не имеют права

2)занимаются другой деятельностью

3)имеют право

  • 28. «Серые» технологические схемы предполагают …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)нарушение закона

2)и следование, и нарушение

3)следование закону

  • 29. Под рациональностью в предпринимательском бизнесе понимают …

Отметьте правильный вариант ответа:

1)оптимальность

2)подчинение своего поведения целям

3)экономичность

xn—-etbfclc6azafijc8n.xn--p1ai

Ответы к тесту по предмету Оценка бизнеса

Стоимость открытых акционерных обществ по отношению к закрытым должна быть:
  • выше
  • ниже
  • равна

Расчетная величина, за которую предполагается переход имущества из рук в руки на дату оценки в результате сделки между продавцом и покупателем, называется:
  • рыночная стоимость
  • инвестиционная стоимость
  • ликвидационная стоимость
  • кадастровая стоимость

Рыночная стоимость может выражаться отрицательной величиной в случае оценки:
  • нематериальных активов
  • изношенного оборудования
  • имущества, сданного в аренду
  • устаревших объектов недвижимости, сумма затрат на снос которых превышает стоимость земельного участка
  • экологически неблагополучных объектов

Какой документ является основанием для проведения оценки бизнеса?
  • лицензия
  • договор
  • акт
  • сертификат
  • распоряжение

Потребителями результатов оценки могут являться:
  • только заказчик оценки
  • любой участник оценочной деятельности
  • органы исполнительной власти
  • собственник оцениваемого имущества

При балансовой или бухгалтерской оценке активы фирмы равны:
  • сумме неосязаемых активов, обязательств и собственного капитала
  • сумме обязательств и величины чистого собственного капитала
  • чистому собственному капиталу
  • сумме стоимости: гарантий, лицензии и страховки

Если расчет стоимости бизнеса производится с целью заключения сделки купли-продажи, то рассчитывается:
  • инвестиционная стоимость
  • стоимость замещения объекта оценки
  • рыночная стоимость
  • ликвидационная стоимость

К какому подходу относятся метод чистых активов и метод ликвидационной стоимости?
  • затратному
  • доходному
  • сравнительному

Практика оценки бизнеса в России показывает, что наибольшее применение находит:
  • доходный подход
  • сравнительный подход
  • затратный подход

К какому подходу относятся метод капитализации доходов и метод дисконтированных денежных потоков?
  • затратному
  • доходному
  • сравнительному

Сумма затрат в рыночных ценах, существующих на дату оценки, необходимых для создания объекта идентичного объекту оценки, является:
  • нормативной стоимостью
  • рыночной стоимостью
  • стоимостью воспроизводства
  • инвестиционной стоимостью

В основу какого подхода к оценке бизнеса положен принцип замещения?
  • затратного
  • доходного
  • сравнительного

В основу какого подхода к оценке бизнеса положен принцип ожидания?
  • затратного
  • доходного
  • сравнительного

Какой метод оценки необходимо использовать в случае принятия собранием кредиторов решения о введении на предприятии конкурсного производства?
  • дисконтированных денежных потоков
  • капитализации доходов
  • ликвидационной стоимости
  • чистых активов

Как называется вероятность того, что доходы от инвестиций в оцениваемый бизнес окажутся больше или меньше прогнозируемых
  • риск
  • убыток
  • прибыль
  • дефицит
  • избыток

«Чем больше предприятие способно удовлетворить потребность собственника, тем выше его стоимость» — это принцип:

  • ожидания
  • предвидения
  • полезности
  • вклада
  • остаточной продуктивности

К какому подходу относятся метод рынка капитала, метод сделок и метод отраслевых коэффициентов?
  • затратному
  • доходному
  • сравнительному

Максимальная стоимость предприятия определяется наименьшей ценой, по которой может быть приобретен другой объект с эквивалентной полезностью» — это принцип:
  • предвидения
  • полезности
  • вклада
  • замещения

В настоящее время в России для осуществления оценочной деятельности необходимо иметь:
  • лицензию Министерства экономического развития
  • свидетельство о членстве в СРОО оценщика
  • лицензию Минимущества
  • разрешение Министерства финансов

В договоре об оценке должны содержаться следующие условия:
  • основания заключения договора
  • вид объекта оценки
  • вид определяемой стоимости (стоимостей) объекта оценки
  • сведения о страховании гражданской ответственности оценщика
  • все перечисленное

testyiotvety.blogspot.com

Оценка стоимости бизнеса.Тест Синергия — решенные тесты Синергия, тест Синергия,бизнес практикум Синергия

Сдано на 73баллов в 2017г. Скриншот с отметкой прилагается к работе. Ответы выделены цветом в Worde.

1. Оценщик указывает дату оценки объекта в отчете об оценке, руководствуясь принципом…
Изменения стоимости
Полезности
Соответствия
Предельной производительности

2. В случае выбора аналогов среди западных компаний необходимо провести с отчетностью оцениваемой компании процедуру …
Нормализации
Инфляционной корректировки
трансформации

3. Стоимость предприятия, определенная сравнительным подходом, составляет …, если известно, что мультипликатор «цена/прибыль» по компаниям-аналогам составил 6,3; «цена/денежный поток» – 10,5; «цена/выручка» – 4,3 (в расчетах значимость мультипликаторов принимается как равная), деятельность оцениваемой компании убыточна, ее выручка составила 1 200 000 ден.ед., а денежный поток – 200 000 ден.ед.
2100000 ден.ед.
3630000 ден.ед.
5160000 ден.ед.

4. Для определения величины ликвидационной стоимости используется формула «…»

5. Метод сделок основан…
На активах оцениваемой компании
На оценке минаритарных пакетов акций компаний-аналогов
На оценке контрольных пакетов акций компаний-аналогов
На будущих доходах оцениваемой компании

6. Модель Эдвардса-Бэлла-Ольсона устраняет недостаток…подхода в оценке бизнеса
Затратного
Сравнительного
Доходного  
7. Основным недостатком затратного подхода в оценке бизнеса является
Его умозрительность
Отсутствие учета перспектив развития бизнеса
Отсутствие достоверной информации об объекте оценки
 
8. Для целей оценки дебиторской задолженности специалист должен изучить …
Справку бухгалтерии о составе и сроках возникновения и погашения дебиторской задолженности
Договоры с покупателями и заказчиками
Договоры с кредитными учреждениями

9. Чтобы принять результаты метода рынка капитала к согласованию с результатами доходного и затратного подходов, необходимо
Не применять никаких корректировок
Применить скидку за низкую ликвидность
Применить премию за контроль и при необходимости сделать скидку за низкую ликвидность
Применить скидку за неконтрольный характер

10. В соответствии с принципом … объект оценки, характеристики которого не соответствуют требованиям рынка, скорее всего, будет оценен ниже среднего уровня
Замещения
Соответствия
Вклада
Конкуренции

11. Чтобы определить стоимость неконтрольного пакета низколиквидных акций при известной стоимости 100% пакета на уровне контроля, необходимо…
Добавить премию за контрольный характер
Вычесть скидки за неконтрольный характер и низкую ликвидность хз
Вычесть скидку за неконтрольный характер
Вычесть скидку за низкую ликвидность

12.Если известно, что балансовая стоимость денежных средств организации составляет на дату оценки 50 000 ден.ед., дебиторской задолженности – 450 000 ден.ед. (12 % ее является безнадежной), рыночная стоимость недвижимости составляет на дату оценки 8 400 000 ден.ед, машин и оборудования – 13 520 000 ден.ед, запасов – 3 890 000 ден.ед., финансовых активов – 785 000 ден.ед., стоимость обязательств –22 760 000 ден.ед., то тогда стоимость предприятия, определенная затратным подходом, составляет …
4281000 ден ед
26310000ден ед

13. В отчете об оценке бизнеса принято приводить обзор макроэкономики …
Отрасли
Региона и отрасли
Страны, региона и отрасли
региона

14. Мультипликатор «…» является моментным
Цена/прибыль
Цена/денежный поток
Цены/чистые активы

15. В оценке стоимости предприятия выделяют … риски


16. Если известно, что среднее значение мультипликатора «цена/прибыль» у нескольких компаний-аналогов -6,5, прибыль оцениваемой компании – 80000ден.ед., а выручка – 1000000ден.ед., то стоимость оцениваемой компании составляет…
650000 ден.ед.
520000 ден.ед.  
100000 ден.ед.

17. Нормализация отчетности проводится с целью
Определения доходов и расходов, характерных для нормально действующего бизнеса
Приведение ее к единым стандартам бухгалтерского учета
Упорядочения бухгалтерской отчетности

18. Ставка дисконтирования – это …
Ожидаемая ставка дохода по альтернативным вариантам инвестиций
Действующая ставка дохода по альтернативным вариантам инвестиций
Коэффициент, приводящий текущую стоимость денег к их будущей стоимости

19. Если известно, что доходы компании, ожидаемые к получению в прогнозном периоде составляют в 1-й год 750000ден.ед., во 2-й год 350000 ден.ед., в 3-й год – 500000ден.ед., в 4-тый год – 550000ден.ед., остаточная стоимость – 1200000ден.ед., а ставка дисконта – 8%, то текущая стоимость предприятия составляет…
2612570 ден.ед.
3101850 ден.ед.
2677720 ден.ед

20. Для бездолгового денежного потока ставка дисконтирования рассчитывается …

21. Стоимость предприятия, определенная рыночным подходом, составляет …, если известно, что мультипликатор «цена/прибыль» по компаниям-аналогам составил 6,3, «цена/выручка» – 4,3, деятельность оцениваемой компании убыточна, а ее выручка составила 1 200 000 ден.ед.
7560000 ден.ед.  
279070 ден.ед.
5160000 ден.ед.
190476 ден.ед

22. В соответствии с … в отчете об оценке в обязательном порядке должно быть указано задание на оценку
Федеральным стандартом оценки №2
Федеральным стандартом оценки №3
ФЗ №135 «Об оценочной деятельности в РФ»
Федеральным стандартом оценки №1

 

23. Расположите в правильной последовательности этапы определения стоимости компании
A подписание договора на оценку
B определение стоимости компании
C сбор информации о компании
D формировании отчета об оценке
E вывод итоговой величины стоимости

24. Целью оценки объекта оценки может быть…
Принятие управленческих решений
Решение уполномоченного органа
Определение рыночной стоимости
Купля-продажа

25. Отчет об оценке в оценке бизнеса …
Может не составляться
Должен быть составлен в устной форме
Должен быть составлен в письменной форме

26. При оценке стоимости бизнеса акционерного общества объектом оценки будет выступать …
имущественный комплекс общества с ограниченной ответственностью;
право собственности на долю в уставном капитале общества с ограниченной ответственностью;
пакет акций акционерного общества.

27. Проведение финансового анализа в сравнительном подходе необходимо для определения
Степени риска, связанного с объектом оценки
Соотношения постоянных и переменных затрат в общей величине затрат
Рейтинга среди проданных аналогичных предприятий
Тенденции изменения доходов и расходов

28. Для случаев возрастающих во времени денежных потоков коэффициент капитализации…
Будет равен ставке дисконтирования
Будет всегда меньше ставки дисконтирования
Будет всегда больше ставки дисконтирования
Может быть как больше, так и меньше ставки дисконтирования

29. С помощью метода …можно определить стоимость миноритарного пакета акций
Сделок
Рынка капитала
Стоимости

30. Рыночная стоимость может быть выражена…
В денежных единицах
В денежном эквиваленте
В сочетании денежных средств и неликвидных ценных бумаг

 

xn--c1adalc1aweahc7n.xn--p1ai

Тест тема 1

ОЦЕНКА БИЗНЕСА

1. Стоимость открытых акционерных обществ по отношению к закрытым должна быть:

а) выше

б) ниже

в) равна

2. Расчетная величина, за которую предполагается переход имущества из рук в руки на дату оценки в результате сделки между продавцом и покупателем, называется:

а) рыночная стоимость

б) инвестиционная стоимость

в) ликвидационная стоимость

г) кадастровая стоимость

3. Рыночная стоимость может выражаться отрицательной величиной в случае оценки:

а) нематериальных активов

б) изношенного оборудования

в) имущества, сданного в аренду

г) устаревших объектов недвижимости, сумма затрат на снос которых превышает стоимость земельного участка

д) экологически неблагополучных объектов

4. Какой документ является основанием для проведения оценки бизнеса?

а) лицензия

б) договор

в) акт

г) сертификат

д) распоряжение

5. Потребителями результатов оценки могут являться:

а) только заказчик оценки

б) любой участник оценочной деятельности

в) органы исполнительной власти

г) собственник оцениваемого имущества

6. При балансовой или бухгалтерской оценке активы фирмы равны:

а) сумме неосязаемых активов, обязательств и собственного капитала

б) сумме обязательств и величины чистого собственного капитала

в) чистому собственному капиталу

г) сумме стоимости: гарантий, лицензии и страховки

7. Если расчет стоимости бизнеса производится с целью заключения сделки купли-продажи, то рассчитывается:

а) инвестиционная стоимость

б) стоимость замещения объекта оценки

в) рыночная стоимость

г) ликвидационная стоимость

8. К какому подходу относятся метод чистых активов и метод ликвидационной стоимости?

а) затратному

б) доходному

в) сравнительному

9. Практика оценки бизнеса в России показывает, что наибольшее применение находит:

а) доходный подход

б) сравнительный подход

в) затратный подход

10. К какому подходу относятся метод капитализации доходов и метод дисконтированных денежных потоков?

а) затратному

б) доходному

в) сравнительному

11. Сумма затрат в рыночных ценах, существующих на дату оценки, необходимых для создания объекта идентичного объекту оценки, является:

а) нормативной стоимостью

б) рыночной стоимостью

в) стоимостью воспроизводства

г) инвестиционной стоимостью

12. В основу какого подхода к оценке бизнеса положен принцип замещения?

а) затратного

б) доходного

в) сравнительного

13. В основу какого подхода к оценке бизнеса положен принцип ожидания?

а) затратного

б) доходного

в) сравнительного

14. Какой метод оценки необходимо использовать в случае принятия собранием кредиторов решения о введении на предприятии конкурсного производства?

а) дисконтированных денежных потоков

б) капитализации доходов

в) ликвидационной стоимости

г) чистых активов

15. Как называется вероятность того, что доходы от инвестиций в оцениваемый бизнес окажутся больше или меньше прогнозируемых

Ответ: Риск

16. «Чем больше предприятие способно удовлетворить потребность собственника, тем выше его стоимость» — это принцип:

а) ожидания

б) предвидения

в) полезности

г) вклада

д) остаточной продуктивности

17. К какому подходу относятся метод рынка капитала, метод сделок и метод отраслевых коэффициентов?

а) затратному

б) доходному

в) сравнительному

18. «Максимальная стоимость предприятия определяется наименьшей ценой, по которой может быть приобретен другой объект с эквивалентной полезностью» — это принцип:

а) предвидения

б) полезности

в) вклада

г) замещения

19. В настоящее время в России для осуществления оценочной деятельности необходимо иметь:

а) лицензию Министерства экономического развития

б) свидетельство о членстве в СРОО оценщика

в) лицензию Минимущества

г) разрешение Министерства финансов

20. В договоре об оценке должны содержаться следующие условия:

а) основания заключения договора

б) вид объекта оценки

в) вид определяемой стоимости (стоимостей) объекта оценки

г) сведения о страховании гражданской ответственности оценщика

д) все перечисленное

studfiles.net

Готовые тесты МФПУ( Синергия) и МИЭМП (им.Витте) |

В данной категории доступно часть тестов

с некоторыми ответами на каждый из тестов

таких институтов :

  • МФПУ (Синергия)
  • МИЭМП (им.Витте)

ДЛЯ  быстрого ПОИСКА  ТЕСТА воспользуйтесь формой «ПОИСК» — справа.

Если Вас интересует помощь в сдаче онлайн-тестов, то:

Быстро, недорого и на высокую оценку сдадим онлайн-тесты студентам дистанционной формы обучения:

 

МЫ РАБОТАЕМ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:

1) Вы передаете нам логин и пароль в Ваш личный кабинет;

2) Мы сдаем 1 тест для того, чтобы Вы убедились, что мы  не обманем;

3) Вы оплачиваете тест, который мы сдали и оставшиеся тесты;

4) В течении 1-2 суток мы сдаем все оставшиеся тесты.

Мы гарантируем оценку не ниже «4» (70 баллов и выше).
70% наших оценок: 90-97 баллов

Примеры выполненных нами тестов

 

Свяжитесь с нами любым удобным для Вас способом

И получите бесплатную консультацию по любому вопросу!

xn--4-7sbqf2d.com

Ответы на тесты МФПУ Синергия

1. Как сдать тесты в Мегакампус Синергии
2. Примеры ответов на тесты Синергии
2.1. Физическая культура и спорт ответы
2.2. Информационные технологии в менеджменте — тесты с ответами
2.3. Тест по теории обучения и воспитания
2.4. Тест и экзамен по информатике
2.5. Концепции современного естествознания — тесты с ответами
2.6. Основы предпринимательства — тесты с ответами
2.7. Управление собственным бизнесом — тест с ответами
2.8. Тест Оценка стоимости бизнеса
2.9. Стратегический менеджмент — тесты с ответами
2.10. История — тест с ответами
2.11. Ответы на тест по микроэкономике
2.12. Бизнес практикум
2.13. Ответы на тест по экономике
2.14. Линейная алгебра — тест
2.15. Психология деловых отношений тест с ответами синергия
2.16. Оценочная деятельность тесты с ответами
2.17. Теория менеджмента Синергия ответы
2.18. Международные стандарты финансовой отчетности тест синергия
2.19. Ответы на тесты МФПУ Синергия Культурология
2.20. Юридическая логика тесты с ответами
2.21. Готовый тест по математике
2.22. Математика ответы
2.23. Тест Муниципальное право
2.24. Тест по английскому языку ответы
2.25. Тест Финансы Синергия
2.26. Теория и практика адвокатской деятельности тест
2.27. Международное частное право тесты с ответами
2.28. Экономическая теория тест вопросы
2.29. Тест правоохранительные органы МФПУ Синергия
2.30. Лидерство тесты с ответами
2.31. Ответы на тест Предпринимательское право
2.32. Психология тест
2.33. История и методология юридической науки тест
2.34. Ответы к тесту Основы оздоровительной гимнастики
2.35. Русский язык и культура речи тест
2.36. Управление человеческими ресурсами тесты с ответами синергия
2.37. Тест теория вероятности ответы
2.38. Конкуренция тесты с ответами МФПУ Синергия
2.39. Технологии обработки информации ответы на тесты
2.40. Тест в синергии 1 курс Педагогика
2.41. Тест Синергия онлайн Экономика и финансы организации
3. Где найти ответы на тесты бесплатно
4. Помощь в сдаче тестов, рефератов и курсовых работ


Возврат к списку

Выполнение контрольных, тестов, экзаменов точно в срок

Оправить заявку

8 (800) 555-22-46, [email protected]

+7(930)-830-04-02

Цены на стандартные типы работ

Стоимость выполнения задания зависит от сложности задания и временного интервала, поэтому рассчитывается индивидуально для каждого заказа.

Тип работы Цена

Тесты, контрольные, задачи, рефераты, курсовые, чертежи
Тесты от 800 руб
Контрольные, задачи от 400 руб
Рефераты от 900 руб
Курсовые от 2000 руб
Чертежи от 800 руб

Порядок работы

❶ Выяснение требований: вы можете прислать нам задания, или сообщить реквизиты личного кабинета
❷ Расчет стоимости: мы ознакомимся с заданием и сообщим вам цену в течение суток
❸ Оплата: вы можете оплатить каждое задание по отдельности, или весь семестр целиком
❹ Выполнение работ занимает до 14 рабочих дней, первые работы загружаются в личный кабинет на третий день
❺ Доработки до статуса «Зачтено»: мы доработаем и повторно загрузим все незачтенные задания, если это потребуется

Наши преимущества

↯ Быстрая оценка работ — вы узнаете стоимость в день обращения
★ Только профессионалы — задания выполняют наши образованные, ответственные специалисты: выпускники ВУЗов, преподаватели, кандидаты и доктора наук, которые проходят строгий отбор, поэтому задания сдаются с первого раза, это экономит ваше время
₽ Поэтапная оплата — вы можете разбить задания на группы и оплатить их постепенно, или оплатить весь семестр и получить скидку от большего количества заданий

Ваши отзывы

Каждый положительный отзыв это результат кропотливого труда нашей команды. Спасибо Вам за добрые слова!

Здравствуйте! Вчера закрыл семестр! Все задания приняты с первого раза!Спасибо вам большое!!!

Не успевал сделать чертежи. Спасибо за оперативность, сдал вовремя на отл.

prorektor.ru

Бесплатные ответы на тесты МФПУ «Синергия» по предмету «история»

  • 1.Председателем правительства РФ в 2004 г. стал …

 Отметьте правильный вариант ответа: 

1)М. Касьянов 

2)В. Черномырдин 

3)В. Путин 

4)М. Фрадков 

  • 2.Расположите в хронологической последовательности 

Варианты ответа: 

А-Создание Организации Варшавского договора 

В-Появление «доктрины Трумэна» 

С-Создание военно-политического союза НАТО 

D-Образование ФРГ 

Ответ:  BCDA 

  • 3.Среди командующих Красной Армии в годы гражданской войны были: 

Отметьте правильный вариант ответа:1)Тухачевский, Миллер, Краснов 

 2)Троцкий, Каледин, Петлюра 

 3)Марков, Савинков, Алексеев 

4)Вацетис, Егоров, Фрунзе 

  • 4.Расположите в хронологической последовательности 

Варианты ответа:

 А-Формирование Добровольческой армии 

 В-Мятеж чехословацкого корпуса 

 С-Заключение Брестского мираD-Появление интервентов во Владивостоке 

Ответ:

 ADCB 

  • 5.В 1990-ых годах произошло … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)Первый Съезд народных депутатов 

 2)Принятие нового устава КПСС 

 3) «дело ЮКОСА» 

4)создание СНГ 

  • 6. «Просвещенный абсолютизм» -это политика, характерная для правления … 

Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)Александра I 

 2)Екатерины II 

 3)Елизаветы Петровны 

 4)Петра Великого 

  •  7.Расположите события в правильной хронологической последовательности 

 Варианты ответа: 

 А-княжение Данила Александровича 

 В-княжение Ивана Калиты 

 C-нашествие монголо-татарских войск на Русь, приведшее к ее покорению 

D-Куликовская битва 

Ответ: 

CABD 

  • 8.Автором работы «История государства Российского» является …

Отметьте правильный вариант ответа: 

1)Н.М. Карамзин

 2)В.Н. Татищев 

 3)С.Ф. Платонов 

 4)С.М. Соловьев 

  •  9.Иосифляне придерживались взглядов, в основе которых было мнение … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)об отсутствии монастырского землевладения 

 2)о божественном характере великокняжеской власти 

 3)об отрешенности монахов от земных забот 

  • 10.Основопологающие вопросы общественной жизни России после Февральской революции предполагалось вынести на решение … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)Учредительного собрания 

 2)Государственной группы 

 3)Временного правительства  

4)Всероссийского съезда Совета 

  • 11.Расположите в хронологической последовательности Варианты ответа: 

 A-Второй кризис Временного правительства 

 В-Отречение Николая IIC-Корниловский мятеж

 D-Складывание двоевластия 

 Ответ: DBAC 

  • 12.Советскими военноначальниками  периода Великой Отечественной войны являлись: 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

1)Г.К. Жуков и А.И. Егоров 

2)К.К. Рокоссовский и А.М. Василевский 

3)П.К. Пономаренко и В.К. Блюхер 

4)К.Е. Ворошилов и М.Н. Тухачевский 

  • 13.К параметрам Российского либерального проекта относится … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)сохранение сословной иерархии 

 2)признание «борьбы классов» главным фактором исторического прогресса 

 3)критика капитализма 

 4)наличие параметра европейского типа 

  • 14.Новыми явлениями экономической жизни России XVII века стало …

Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)появление мануфактур 

 2)введение подушной подати 

 3)отмена местничества 

  •  15.Расположите события 1905-1906 гг. в хронологической последовательностиВарианты ответа: 

 A-Всероссийская Октябрьская политическая стачка 

 B-1 съезд “Союза 17 октября»

 C-Восстание на броненосце «Князь Потемкин-Таврический» 

 D-«Кровавое воскресенье» 

 Ответ: DCAB 

  • 16.Расположите в хронологической последовательности 

 Варианты ответа: 

 A-воцарение династии Романовых 

 B-правление «Семибоярщины» 

 C-возникновение раскола в Русской православной церкви 

 D-принятие Соборного уложения 

Ответ: BADC 

  • 17.Автором работы «История России с древнейших времен» является … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)С.М. Соловьев 

 2)В.Н. Татищев 

 3)Н.М. Карамзин 

 4)С.Ф. Платонов 

  • 18.Соотнесите исторические события и даты 

 A-Ввод советских войск в Афганистане 

 В-Карибский кризис 

 С-Совещание в Хельсинки 

 D-1979E-1975F-1962 

 Ответ:  А-D, B-F, C-E19.

  • 19 Хрущевская реформа управления народным хозяйством предусматривала … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)понижение плановых показателей 

 2)развитие частного предпринимательства 

 3)конвертируемость советской валюты 

 4)ликвидацию отраслевых министерств 

  • 20.Характерной чертой политики «военного коммунизма» являлась … 

Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)продразверстка 

 2)функционирование акционерных обществ 

 3)национализация крупных предприятий 

 4)возможность хозяйственного самоуправления 

  •  21.Комплекс Контрреформ Александра III включал в себя … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)отмену суда присяжных 

 2)циркуляр «О кухаркиных детях» 

 3)возврат системы крепостного права 

 4)военную контрреформу 

  • 22.Восточные славяне языческого периода поклонялись богам: 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)Даждьбогу и Хорсу 

 2)Перуну и Янусу 

 3)Макоши и Зевсу 

 4)Яриле и Марсу 

  • 23.Окончательное закрепощение крестьян было оформлено в … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)Соборном уложении 

 2)Указе «О заповедных летах» 

 3)Судебнике Ивана IV 

 4)Судебник Ивана III 

  •  24.Расположите в хронологической последовательности Варианты ответа: 

 A-создание Центрального штаба партизанского движения

 B-Убийство С.М. Кирова 

 C-провозглашение курса на индустриализацию 

 D-образование СССР 

Ответ: D, C, B, A 

  • 25.Окончательный распад Древней Руси на отдельные самостоятельные территории произошел после смерти князя …Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)Владимира Мономаха 

 2)Ярослава Мудрого 

 3)Мстислава Великого 

 4)Юрия Долгорукого 

  • 26.Приказ №1 Петроградского Совета рабочих и солдатских депутатов был посвящен … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)продовольственному снабжению населения 

 2)взаимоотношениям между политическими партиями 

3)заключению перемирия между воюющими сторонами 

4)демократизации армии 

  • 27.Расположите события в правильной хронологической последовательности Варианты ответа: 

 A-появление в Киевской Руси первого письменного свода знаков 

 B-Монгольское нашествие на Русь 

 C-Появление «Повести временных лет» 

 D-Ледовое побоище 

Ответ:  A, C, B, D 

  • 28.Расположите в хронологической последовательности 

 Варианты ответа: 

A-Подписание «Жалованной грамоты городам» 

B-Указ «О вольных хлебопашцах» 

C-Появление военных поселений 

D-Появление категории «посессионных крестьян» 

 Ответ: D, A,B,C 

  • 30.Среди особенностей российского абсолютизма XVIII века можно назвать … 

Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)дворцовые перевороты 

 2)функционирование Земского собора 

 3)большую роль дворянского ополчения 

4)существование института патриаршества в русской православной церкви 

  •  31.Среди реформ государственного управления, осуществленных в период правления Александра I, можно выделить …Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)появление Государственного Совета, возникшего в соответствии с планом М.М. Сперанского 

 2)созыв Уложенной комиссии 

 3)возникновение Верховного Тайного Совета 

 4)возникновение коллегий 

  • 32.Для Владимиро-Суздальского княжества была характерна следующая политическая модель:Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)развитие демократических вечевых порядков 

 2)сильная княжеская власть и тенденции к централизации 

3)тесное сотрудничество княжеской власти, вече, и боярства 

 4)укрепление положения боярства 

  • 33.Расположите в хронологической последовательностиВарианты ответа: 

 A-Речь У. Черчилля в г. Фултон 

 B-Атомная бомбардировка японских городов Хиросимы и Нагасаки 

 C-Сражение под Сталинградом 

 D-Восстановление границы СССР 

Ответ:  C,D,B,A34.

Неверно, что к народническим организациям в России относился … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)Кружок Н.В. Чайковского 

 2) «Народная воля» 

 3) «Земля и Воля»

4)Кружок Д. И. Благоева 

  • 35.Расположите в хронологической последовательности 

Варианты ответа: 

A-Принятие Декрета «О земле» 

B-Осуществление политики «военного коммунизма» 

C-Выборы в Учредительное собрание 

D-Открытие II Всероссийского съезда Совета 

Ответ:  D, A, C, B 

  • 36.Комплекс «Великих реформ» Александра II включает в себя … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)переход к федеративному государственному устройству 

 2)учреждение Государственной Думы 

 3)введение всеобщей воинской повинности 

 4)реформу ценообразования 

  • 37.Период царствования Николая I характеризуется … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)усилением местного самоуправления 

 2)началом промышленного переворота

 3)появлением «военных поселений» 

 4)либеральными реформами в области печати и образования 

  • 38. Расположите в хронологической последовательности 

 Варианты ответа: 

 A-Введение ограничения переходов крестьян, которые могли произойти только в период связанный с Юрьевым днем 

B-Введение опричнины 

 C-Возникновение в России Земского собора 

 D-Образование Тушинского лагеря Лжедмитрия II 

 Ответ: C, B, D, A 

  • 39.Лидером партии социалистов-революционеров (эсеров) являлся … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)П.Н. Милюков 

 2)П.А. Кропоткин 

 3)В.М. Чернов 

4)Г.В. Плеханов 

  • 40.Среди предпосылок создания древнерусского государства необходимо назвать … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)принятие христианства 

 2)социальное и имущественное расслоение

3)призвание варягов 

  • 41.Отличительными чертами НЭПа являлись: … 

 Отметьте правильный вариант ответа:

1)принудительный труд и внедрение элементов долгосрочного планирования 

2)возрождение частного предпринимательства и денежная реформа 

 3)введение бесплатных коммунальных услуг и насаждение коммун в деревнях 

  • 42.Среди главных вопросов, обсуждаемых в тайных декабристских организациях, были вопросы … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)введения в России Конституции и отмена крепостного права 

 2)о превращении России в республику и об осуществлении промышленного переворота 

 3)о превращении России в конституционную монархию и о расширении торговых связей 

 4)об укреплении в России самодержавия и о привлечении к трону образованных людей 

  • 43.События Крымской войны относятся к периоду … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)1700-1721гг. 

 2)1812-1814 гг. 

 3)1877-1878 гг. 

 4)1853-1856 гг. 

  • 44. Расположите в хронологической последовательности 

 Варианты ответа: 

 A-стояние на реке Угре 

 B-обретение автокефальности Русской православной церковью 

 C-появление первого общерусского Судебника 

 D-начало династической войны в Московском княжестве 

Ответ:  D, B, A, C 

  • 45. Расположите в хронологической последовательностиВарианты ответа: 

 A-Полтавская битва 

B-Заключение Ништадского мира 

C-Заключение Тильзитского мира 

D-Разделы Польши 

Ответ: A, B, D, C 

  • 46.Экономическая политика индустриализации и коллективизации способствовала … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)преодолению катастрофических последствий I Мировой войны и гражданской войны 

 2)созданию державы, полностью опирающейся на свои внутренние ресурсы 

 3)развитию в стране частных предприятий, опиравшихся на личную заинтересованность работника в результате труда

  • 47.Центрами формирования белых сил периода Гражданской войны являлись:

Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)Крым, часть Эстонии, южный Кавказ 

 2)Верхняя Волга, район Нарвы и Пскова, Тамбовская область 

3)Донская область, Кубанская область, Южный Урал 

 4)район реки Терек, Архангельская область, Северный Урал 

  • 48.Среди основных причин распада Древней Руси можно назвать … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)возросшее значение торгового пути «из варяг в греки» 

 2)возросшее значение крупнейших городов 

 3)усилившиеся враждебные соседи 

  • 49.К параметрам Российского консервативного проекта относится … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)отмена исторических сословий 

 2)критика «деспотизма» русской монархии 

 3)вера в способность передовой русской интеллигенции возглавить политические-неграмотные массы в направлении справедливого переустройства общества 

 4)сохранение традиционного религиозного сознания-как высшей  формы общественной морали 

  • 50. Расположите в хронологической последовательности 

 Варианты ответа: 

 A-Появление документа «Жалованная грамота дворянству» 

 B-Появление Сената 

 C-Подписание Указа «О престолонаследии» 

 D-Появление Манифеста «О вольности дворянской» 

 Ответ:  C, D, A, B

  • 51.Cреди причин, вызвавших кризис Российской государственности на рубеже XVI-XVII веке, можно назвать … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)денежную реформу и реформу церкви 

 2)борьбу с Казанским и Астраханским ханством 

 3)последствия опричнины и Ливонской войны 

  • 52.Соотнесите представителей российской науки и культуры и сферу их деятельности 

 A-Историческая наука 

 B-География 

 C-Живопись 

 D-Н. М. Карамзин, Н. М. Погодин, Н. И. КостомаровE-П. П. Семенов-Тянь-Шанский, Н. М. Пржевальский, Н. Н. Мик-лухо-Маклай 

 F-А. Г. Венецианов, И. Н. Крамской, Н. Н. Ге 

Ответ: A-D, B-E, C-F 

  • 53.В 1990-ых годах произошло … 

 Отметьте правильный вариант ответа:

1)Компания по борьбе с алкоголизмом 

 2)учреждение семи федеральных округов 

 3)ввод советских войск в Афганистане 

 4)танковый обстрел здания Верховного Совета 

  • 54. Соотнесите представителей российской науки и культуры и сферу их деятельности 

A-Социология 

B-Художественная литература 

C-Музыкальное искусство 

 D-А. И. Гончаров, Н. А. Некрасов, М. Е. Салтыков-ЩедринE-П. Л. Лавров, Н. К. Михайловский, М. М. КовалевскийF-М. И. Глинка, М. П. Мусоргский, Н. А. Римский-Корсаков 

Ответ:  A-E, B-D, C-F 

  •  55.Борис Годунов стал правителем России … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)по завещанию Ивана Грозного 

 2)по итогам избрания Боярской Думой 

 3)в результате захвата власти 

 4)в результате избрания сословно-представительным органом 

  •  56.Неверно, что к числу специальных (вспомогательных) исторических дисциплин относится … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)генеалогия 

 2)орфография 

 3)источниковедение 

 4)палеография 

  • 57.Основополагающие вопросы общественной жизни России после Февральской революции предполагалось вынести на решение … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)Всероссийского съезда Советов 

 2)Временного правительства 

 3)Учредительного собрания 

 4)Государственной Думы 

  • 58.Расположите в хронологической последовательности 

Варианты ответа: 

A-Оборона Севастополя 

B-«битва народов» 

C-Бородинская битва 

D-Парижский мирный договор 

Ответ:  C, B, D, A

  •  59.В первое столетие своего существования древнерусское государство представляло собой … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)централизованное государство с развитым аппаратом, активно присоединяющее соседние территории 

 2)мощную республику с развитым государственным аппаратом 

 3)внутренне единое государственное образование, ведущее активную внешнюю политику 

 4)непрочную федерацию отдельных территорий, выплачивающих дань центру 

  • 60.Победа большевиков в России осенью 1917 года явилась следствием ряда факторов, среди которых …Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)массовая поддержка населением первых решительных мер борьбы с контрреволюционерами 

 2)массовая поддержка населением первых общедемократических декретов советской власти 

 3)неспособность бывшего императора Николая II организовать сопротивление большевикам 

  • 61.К параметрам российского консервативного проекта относится… 

 Отметьте правильный вариант ответа:

1)вера в способность передовой русской интеллигенции возглавить политически-неграмотные массы в направлении справедливого переустройства общества 

 2)отмена исторических сословий 

 3)критика «деспотизма» русской монархии 

 4)сохранение традиционного религиозного сознания-как высшей формы общественной морали62.Конституция 1977 г. закрепляла положение … 

 

Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)о построении коммунизма к 1980 году 

 2)о ведущей роли КПСС в руководстве государством и обществом 

 3)об обострении классовой борьбы 

 4)о диктатуре пролетариата 

  •  63.Лидером старообрядцев был … 

 Отметьте правильный вариант ответа:

 1)протопоп Аввакум 

 2)патриарх Филарет 

 3)патриарх Иосаф 

 4)патриарх Никон 

  • 64.Соотнесите исторические события и даты 

 A-Визит Н. Хрущева в СШАB-Создание Организации Варшавского Договора 

 C-Договора ОСВ-1 

 D-1959 

 E-1972 

 F-1955 

Ответ:  A-D, B-F, C-E 

  • 65.Важное значение для отражения набегов кочевников-половцев играла деятельность князя …Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)Владимира I Святославовича 

 2)Владимира Мономаха 

 3)Ярослава Мудрого 

 4)Святослава 

  • 66.Автором работы «Лекции по русской истории» является … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)С. М. Соловьев 

 2)Н. М. Карамзин 

 3)С. Ф. Платонов 

 4)В. Н. Татищев 

  • 67. Расположите в хронологической последовательности 

Варианты ответа: 

 A-Открытие «второго фронта» 

 B-Битва на Курской дуге 

 C-Начало холодной войны 

 D-Капитуляция Японии 

 Ответ: B, A, D, C 

68.Двенадцатое (12) декабря 1993 г. стал днем … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)принятия Конституции РФ на референдуме 

 2)подписания Федеративного договора 

 3)начала войны в Чечне 

4)выборов президента страны 

  • 69.Среди причин поражения России в I Мировой войне были … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)неспособность к придуманным действиям и разложение правящей элиты страны 

 2)корыстные интересы союзников России 

 3)деятельность партии большевиков

4)дворцовые перевороты 

  • 70.Период правления Александра I характеризуется … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)учреждением Сената 

 2)регулированием вопросов престолонаследия 

 3)укреплением режима самодержавия в начале царствования 

 4) «аракчеевщиной» 

  •  71. Расположите события в правильной  хронологической последовательности 

 Варианты ответа: 

 A-Установление «уроков и погостов» 

 B-Принятие христианства на Руси 

 C-Призвание варягов во главе с Рюриком 

 D-Возникновение Древнерусского государства 

Ответ: C, D, A, B72.

  • После смерти В. И. Ленина соперниками И. В. Сталина во внутрипартийной борьбе, пользовавшиеся большим влиянием в ВКП(б), были: … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

1)Н. И. Бухарин и Ф. Э. Дзержинский 

2)А. И. Рыков и С. М. Киров 

3)Л. Д. Троцкий и Г. Е. Зиновьев 

4)В. М. Молотов и Л. Б. Каменев 

  • 73. Расположите в хронологической последовательностиВарианты ответа: 

A-Разгром белых войск в Крыму 

B-Начало советско-польской войны 

C-Приход к власти адмирала Колчака 

D-Поход войск Юденича на Петроград 

 Ответ:  C, B, D. A 

  •  74.Первым правителем, официально принявшим титул «Государь всея Руси» был … 

 Отметьте правильный вариант ответа: 

 1)Ивана IV Грозный 

 2)Иван Калита 

 3)Дмитрий  Донской 

 4)Иван III 

  • 75. Расположите в хронологической последовательности 

Варианты ответа: 

 A-Образование Тушинского лагеря Лжедмитрия II 

 B-Введение опричнины 

 C-Введение ограничения переходов крестьян, которые могли произойти только в период, связанный с Юрьевым днем 

D-Возникновение в России Земского собора 

 Ответ: C, D, B, A 

xn—-etbfclc6azafijc8n.xn--p1ai

Проверить спортлото 6из49 – Проверка билета «Спортлото 6 из 49». Проверить тираж по номеру билета.

alexxlab / / Школьная жизнь

СПОРТЛОТО 6 ИЗ 49>Главная

array (
  'mm' => 
  array (
    'num' => '701',
    'day' => '1',
    'month' => '6',
    'year' => '2019',
  ),
  '#mm(catalog:getMaxResult())' => '',
  'dta' => 
  array (
    'date' => 
    array (
      0 => 'Число',
      1 => 1,
      2 => 2,
      3 => 3,
      4 => 4,
      5 => 5,
      6 => 6,
      7 => 7,
      8 => 8,
      9 => 9,
      10 => 10,
      11 => 11,
      12 => 12,
      13 => 13,
      14 => 14,
      15 => 15,
      16 => 16,
      17 => 17,
      18 => 18,
      19 => 19,
      20 => 20,
      21 => 21,
      22 => 22,
      23 => 23,
      24 => 24,
      25 => 25,
      26 => 26,
      27 => 27,
      28 => 28,
      29 => 29,
      30 => 30,
      31 => 31,
    ),
    'month' => 
    array (
      0 => 'Месяц',
      1 => 'Января',
      2 => 'Февраля',
      3 => 'Марта',
      4 => 'Апреля',
      5 => 'Мая',
      6 => 'Июня',
      7 => 'Июля',
      8 => 'Августа',
      9 => 'Сентября',
      10 => 'Октября',
      11 => 'Ноября',
      12 => 'Декабря',
    ),
    'year' => 
    array (
      0 => 'Год',
      2008 => 2008,
      2009 => 2009,
      2010 => 2010,
      2011 => 2011,
      2012 => 2012,
      2013 => 2013,
      2014 => 2014,
      2015 => 2015,
      2016 => 2016,
      2017 => 2017,
      2018 => 2018,
      2019 => 2019,
    ),
  ),
  '#dta(catalog:getDates())' => '',
  'ancestor.kupon1' => '',
  'mm>num' => '701',
  'dta>date' => 
  array (
    0 => 'Число',
    1 => 1,
    2 => 2,
    3 => 3,
    4 => 4,
    5 => 5,
    6 => 6,
    7 => 7,
    8 => 8,
    9 => 9,
    10 => 10,
    11 => 11,
    12 => 12,
    13 => 13,
    14 => 14,
    15 => 15,
    16 => 16,
    17 => 17,
    18 => 18,
    19 => 19,
    20 => 20,
    21 => 21,
    22 => 22,
    23 => 23,
    24 => 24,
    25 => 25,
    26 => 26,
    27 => 27,
    28 => 28,
    29 => 29,
    30 => 30,
    31 => 31,
  ),
  '@_each37f420caebc3a33858f0f68a6b4393287(this:_each({F:dta>date},k,d))' => '
                                <option value="0" >Число</option>
                            
                                <option value="1" selected="selected">1</option>
                            
                                <option value="2" >2</option>
                            
                                <option value="3" >3</option>
                            
                                <option value="4" >4</option>
                            
                                <option value="5" >5</option>
                            
                                <option value="6" >6</option>
                            
                                <option value="7" >7</option>
                            
                                <option value="8" >8</option>
                            
                                <option value="9" >9</option>
                            
                                <option value="10" >10</option>
                            
                                <option value="11" >11</option>
                            
                                <option value="12" >12</option>
                            
                                <option value="13" >13</option>
                            
                                <option value="14" >14</option>
                            
                                <option value="15" >15</option>
                            
                                <option value="16" >16</option>
                            
                                <option value="17" >17</option>
                            
                                <option value="18" >18</option>
                            
                                <option value="19" >19</option>
                            
                                <option value="20" >20</option>
                            
                                <option value="21" >21</option>
                            
                                <option value="22" >22</option>
                            
                                <option value="23" >23</option>
                            
                                <option value="24" >24</option>
                            
                                <option value="25" >25</option>
                            
                                <option value="26" >26</option>
                            
                                <option value="27" >27</option>
                            
                                <option value="28" >28</option>
                            
                                <option value="29" >29</option>
                            
                                <option value="30" >30</option>
                            
                                <option value="31" >31</option>
                            ',
  'dta>month' => 
  array (
    0 => 'Месяц',
    1 => 'Января',
    2 => 'Февраля',
    3 => 'Марта',
    4 => 'Апреля',
    5 => 'Мая',
    6 => 'Июня',
    7 => 'Июля',
    8 => 'Августа',
    9 => 'Сентября',
    10 => 'Октября',
    11 => 'Ноября',
    12 => 'Декабря',
  ),
  '@_each696ce65c19f894131bcb81a635cef5f3f(this:_each({F:dta>month},k,m))' => '
                                <option value="0" >Месяц</option>
                            
                                <option value="1" >Января</option>
                            
                                <option value="2" >Февраля</option>
                            
                                <option value="3" >Марта</option>
                            
                                <option value="4" >Апреля</option>
                            
                                <option value="5" >Мая</option>
                            
                                <option value="6" selected="selected">Июня</option>
                            
                                <option value="7" >Июля</option>
                            
                                <option value="8" >Августа</option>
                            
                                <option value="9" >Сентября</option>
                            
                                <option value="10" >Октября</option>
                            
                                <option value="11" >Ноября</option>
                            
                                <option value="12" >Декабря</option>
                            ',
  '@s(D:get_vars())' => '',
  'dta>year' => 
  array (
    0 => 'Год',
    2008 => 2008,
    2009 => 2009,
    2010 => 2010,
    2011 => 2011,
    2012 => 2012,
    2013 => 2013,
    2014 => 2014,
    2015 => 2015,
    2016 => 2016,
    2017 => 2017,
    2018 => 2018,
    2019 => 2019,
  ),
  '@_each20cf1d8c978a49231f11112ee8696c43d9(this:_each({F:dta>year},k,y))' => '',
  'FilterTemplate' => 'results_check_page.catalog_filter.html',
  'Action' => 'catalog_filter',
  'Alias' => 'Каталог',
  'Destination_page' => '',
  '' => '',
  'type' => 'catalog',
  '_Extra' => '',
  'Active' => '1',
  'RAction' => 'Фильтр данных каталога',
  '__page_bone' => '26802',
  '__back_tpa' => 
  array (
    '__back_slot' => 'right',
    '__module_id' => '32598',
  ),
  'Destination' => NULL,
)

6×49.sportloto.by

Проверить спортлото 6 из 49 Беларусь

Тираж/№123456
7015619313445
700141519374648
69921033374348
69891011152643
69731627304149
69671724283942
695113233343548
69491011222435
693142642454749
692252830323946
6913517192123
Здесь вы можете проверить как играла ваша комбинация в последних 30 тиражахДля этого нажимайте левой кнопкой мышки на ваши номера и затем нажать кнопку ПРОВЕРИТЬАнализ ваших комбинаций по всем тиражам из архива спортлото 6 из 49 Беларусь вы можете провести здесь

 

lotonet.ru

архив тиражей. Проверить результаты лотереи последнего тиража 2019 года

за последние полгода

Поиск 

по датеилитиражу

По дате

Дата

Тираж

Выпавшие числа

Суперприз, ₽

Январь, 2018

31.01.2018 22:30

369374424330

Суперприз: 5 000 000 ₽

31.01.2018 16:30

3832209393017

Суперприз: 5 000 000 ₽

31.01.2018 10:30

3321482864939

Суперприз: 5 000 000 ₽

30.01.2018 22:30

3227221434344

Суперприз: 5 000 000 ₽

30.01.2018 16:30

1534424252131

Суперприз: 5 000 000 ₽

30.01.2018 10:30

352143845277

Суперприз: 5 000 000 ₽

29.01.2018 22:30

1141940104223

Суперприз: 5 000 000 ₽

29.01.2018 16:30

17531219187

Суперприз: 5 000 000 ₽

29.01.2018 10:30

72317526424

Суперприз: 5 000 000 ₽

28.01.2018 22:30

19343112304940

Суперприз: 5 000 000 ₽

28.01.2018 16:30

11152743311720

Суперприз: 5 000 000 ₽

28.01.2018 10:30

12363021131517

Суперприз: 5 000 000 ₽

27.01.2018 22:30

322129135741

Суперприз: 5 000 000 ₽

27.01.2018 16:30

20331510242936

Суперприз: 5 000 000 ₽

27.01.2018 10:30

14493047352045

Суперприз: 5 000 000 ₽

26.01.2018 22:30

2139136414433

Суперприз: 5 000 000 ₽

26.01.2018 16:30

45863126521

Суперприз: 5 000 000 ₽

26.01.2018 10:30

1392133303539

Суперприз: 5 000 000 ₽

25.01.2018 22:30

252842118249

Суперприз: 5 000 000 ₽

25.01.2018 16:30

29244031144435

Суперприз: 5 000 000 ₽

25.01.2018 10:30

2641251416646

Суперприз: 5 000 000 ₽

24.01.2018 22:30

3422261721439

Суперприз: 5 000 000 ₽

24.01.2018 16:30

324146621299

Суперприз: 5 000 000 ₽

24.01.2018 10:30

3114491193736

Суперприз: 5 000 000 ₽

23.01.2018 22:30

211271346729

Суперприз: 5 000 000 ₽

23.01.2018 16:30

316141347921

Суперприз: 5 000 000 ₽

23.01.2018 10:30

314246284051

Суперприз: 5 000 000 ₽

22.01.2018 22:30

17733624468

Суперприз: 5 000 000 ₽

22.01.2018 16:30

454612224496

Суперприз: 5 000 000 ₽

22.01.2018 10:30

915373413314

Суперприз: 5 000 000 ₽

21.01.2018 22:30

10341619324226

Суперприз: 5 000 000 ₽

21.01.2018 16:30

3452430343217

Суперприз: 5 000 000 ₽

21.01.2018 10:30

72138411920

Суперприз: 5 000 000 ₽

20.01.2018 22:30

13121647232830

Суперприз: 5 000 000 ₽

20.01.2018 16:30

2314718202910

Суперприз: 5 000 000 ₽

20.01.2018 10:30

213743361946

Суперприз: 5 000 000 ₽

19.01.2018 22:30

214231129147

Суперприз: 5 000 000 ₽

19.01.2018 16:30

215382536331

Суперприз: 5 000 000 ₽

19.01.2018 10:30

233051433624

Суперприз: 5 000 000 ₽

18.01.2018 22:30

3525213263739

Суперприз: 5 000 000 ₽

18.01.2018 16:30

6421025481230

Суперприз: 5 000 000 ₽

18.01.2018 10:30

302923364524

Суперприз: 5 000 000 ₽

17.01.2018 22:30

24473917362731

Суперприз: 5 000 000 ₽

17.01.2018 16:30

2733910471316

Суперприз: 5 000 000 ₽

17.01.2018 10:30

412634162476

Суперприз: 5 000 000 ₽

16.01.2018 22:30

442725153810

Суперприз: 5 000 000 ₽

16.01.2018 16:30

48152745441243

Суперприз: 5 000 000 ₽

16.01.2018 10:30

12954447154

Суперприз: 5 000 000 ₽

15.01.2018 22:30

444541529219

Суперприз: 5 000 000 ₽

15.01.2018 16:30

30452636421727

Суперприз: 5 000 000 ₽

15.01.2018 10:30

2542398212726

Суперприз: 5 000 000 ₽

14.01.2018 22:30

1744184124137

Суперприз: 5 000 000 ₽

14.01.2018 16:30

1723214943414

Суперприз: 5 000 000 ₽

14.01.2018 10:30

2871923124233

Суперприз: 5 000 000 ₽

13.01.2018 22:30

1836523214549

Суперприз: 5 000 000 ₽

13.01.2018 16:30

4419436352330

Суперприз: 5 000 000 ₽

13.01.2018 10:30

4218113922307

Суперприз: 5 000 000 ₽

12.01.2018 22:30

13341436262342

Суперприз: 5 000 000 ₽

12.01.2018 16:30

30193544342249

Суперприз: 5 000 000 ₽

12.01.2018 10:30

3434220344113

Суперприз: 5 000 000 ₽

11.01.2018 22:30

4514523414727

Суперприз: 5 000 000 ₽

11.01.2018 16:30

1121481440337

Суперприз: 5 000 000 ₽

11.01.2018 10:30

4403124223234

Суперприз: 5 000 000 ₽

10.01.2018 22:30

1341334221119

Суперприз: 5 000 000 ₽

10.01.2018 16:30

6223914213349

Суперприз: 5 000 000 ₽

10.01.2018 10:30

134258124310

Суперприз: 5 000 000 ₽

09.01.2018 22:30

3126151981421

Суперприз: 5 000 000 ₽

09.01.2018 16:30

463398474323

Суперприз: 5 000 000 ₽

09.01.2018 10:30

288141513941

Суперприз: 5 000 000 ₽

08.01.2018 22:30

294736318730

Суперприз
разыгран

Суперприз: 42 432 561 ₽

08.01.2018 16:30

346441623491

Суперприз: 42 083 943 ₽

08.01.2018 10:30

113464614174

Суперприз: 41 910 596 ₽

07.01.2018 22:30

37101743391342

Суперприз: 41 649 686 ₽

07.01.2018 16:30

5413922334231

Суперприз: 41 474 771 ₽

07.01.2018 10:30

30342132161736

Суперприз: 41 321 032 ₽

06.01.2018 22:30

9223329494824

Суперприз: 41 147 909 ₽

06.01.2018 16:30

11242339164237

Суперприз: 40 979 810 ₽

06.01.2018 10:30

2514494341636

Суперприз: 40 820 785 ₽

05.01.2018 22:30

347458352240

Суперприз: 40 630 880 ₽

05.01.2018 16:30

119484781042

Суперприз: 40 412 753 ₽

05.01.2018 10:30

454342938630

Суперприз: 40 232 264 ₽

04.01.2018 22:30

33281223274024

Суперприз: 40 007 549 ₽

04.01.2018 16:30

2019493539293

Суперприз: 39 707 044 ₽

04.01.2018 10:30

201341402753

Суперприз: 39 482 275 ₽

03.01.2018 22:30

2839478174918

Суперприз: 39 207 480 ₽

03.01.2018 16:30

2712146174031

Суперприз: 38 859 931 ₽

03.01.2018 10:30

2943154273119

Суперприз: 38 436 228 ₽

02.01.2018 22:30

384581427105

Суперприз: 38 203 033 ₽

02.01.2018 16:30

41120324636

Суперприз: 37 998 170 ₽

www.lotonews.ru

Результаты лотереи Спортлото 6 из 49

Видео канал сайта


Все видео
YouTube канал

Чтобы не пропустить новое видео — подписывайтесь на канал сайта.

Нужно набрать 1000 подписчиков на канал: присоединяйтесь!

Новости сайта

На страницах сайта можно найти последние результаты популярных лотерей, а также закономерность выпадения номеров по тиражам, системы номеров, варианты анализа номеров, статистика тиражей.
Советы и предложения по ведению сайта и новости по лотерейной тематике публикуйте в группе соцсетей или направляйте на мою страничку.

Новости

Cайт igravloto.ru

Сайт «Системы игры в числовые лотереи» сайт не является игровым сайтом, не относится к сайтам азартной тематики. Он не является официальным сайтом Государственных лотерей «Столото» и любых других числовых лото. Здесь собраны результаты тиражей и проведен их статический анализ. Cайт собирает статистику тиражей популярных числовых лотереи.

О сайте

Лотерейный билет

На сайте не организуются азартные игры и не продаются лотерейные билеты.
Претензии по лотерейным билетам, помощь в получении выигрышей, свои предложения направляйте на официальные сайты организаторов лотерей.
Сайт не консультирует посетителей по организационным вопросам проведения тиражей.

Помощь

Реклама на сайте

Рекламные блоки от Яндекс Директ и Google AdSense, размещенные на сайте, могут содержать рекламу лотерейных сайтов (или азартных игр) от своих проверенных рекламодателей.
Для размещения Вашей рекламы на сайте igravloto.ru внесите соответствующие изменения в настройках рекламных объявлений Google и Яндекс.

Контакты

igravloto.ru

Спортлото 6 из 49 архив тиражей: все тиражи, постоянное обновление

На это странице представлены результаты спортлото в виде таблицы с возможностью анализа выпавших номеров. Этот архив тиражей спортлото 6 из 49 анализа числовых комбинаций, проверки выпадения номеров в прежних тиражах и т.д. Таблица обновляется по мере проведения розыгрышей.

Если вы ищете результаты тиражей спортлото, то смотреть их можно здесь. При необходимости их можно скопировать в Excel для дальнейшей обработки и прогнозирования итогов будущих розыгрышей.

Для корректной работы скриптов используйте современные браузеры:
Google Chrome, Opera, FireFox

По возрастанию По порядку выпадения

№ ТиражаЧисло 1Число 2Число 3Число 4Число 5Число 6Бонус
214066363839474832
2141614223536374419
21426572426363745
2143619262733414739
214469171932474814
21456391415384827
21466461037414738
214762141528304346
21486141216354019
214967142123334548
2150610151619253721
215163131516234514
215269121626293621
220261172336434429
22036362832394534
220467182030404513
2205623242633388
220661257233143
220765222331344532
2208611202627323437
220962283031374011
22106361127404632
2211637363842444
2212616192943454634
221365152023293330
221466162030434737
221566141926354834
22166481332394231
221763162641444535
2218612242944474843
2219612162229384533
222068101429343517
222163132130394349
2222611131628444529
2223656112033411
22246310181929382
222567273639414410
22266481524343844
22276181620474917
2228611131530354733
222964213034394831
223063141727294835
223161111315214612
223266222429484911
2233618293839414314
22346281328354946
2235648162629315
22366382328384715
2237630323740474915
22386781523283534
2239627373842444914
224065162932354411
224162101626313641
2242610213538424741
22436891034353747
224461142632454720
224561561322367
224666273033364629
22476673035374618
22486361935404442
224966112426344927
225069222529323641
225169243038394043
22526353741424539
23016671315233712
230261011232741477
2303610152021294219
230464101825293523
230563323340434447
230668112536434441
2307613162226294325
230861821222630479
2310036727364340
231018101427304523
2310214929344818
23103781315334823
2310412172332334119
23105381134404818
231067153537434830
23107561926363849
231082101128394126
23109712142341484
231105162021254311
23111251217344240
23112161621334239
231138101229303341
231147202132344836
231157192025323813
23116181725344024
2311746222731437
2311827152645475
23119151112264640
231203121318424739
231215152039474826
2312210151621343932
231239101740424632
2312413203539454723
23125261214162713
231263152729404539
231277121317243725
2312810263234354346
2312934719274945
23130561524323545
231315222427363926
231321112029374546
231331116373941483
231347121821233211
23135412212829307
2313611151933414223
231378222532384415
231381141729364911
2313923822232521
231401113163238419
231411682024384
2314227293237424828
2314317222438414926
23144492227294825
2314519232834384916
231462330353646482
2314717293335394711
2314820222326324917
2314914193132364424
23150511242529318
2315120213841444936
231528122124464816
231536131416223035
231548143135404945
23155461424252932
231562426323942455
231577172134374846
2315810111314263528
2315915254041424719
231607101839454741
2316145132231337
23162262833424720
23163181420373949
231642162441474810
231656253032344526
23166171416182235
2316715712253728
231683151820444846
23169241215203934
2317012192225344437
231713112029424728
2317225162123317
231736173637454832
231741101819234821
231753111626434642
231762242529313441
2317710112324394212
2317819303234434941
2317939202528491
231802112128374724
231811141623243835
231821023262737388
231832123336424746
2318425293132344920
23185611252942495
23186351024384732
23187612243435384
231882183440414636
23189162230323320
231903162224344225
231913222731354636
231926111825263543
2319318192225424334
231943101829354821
2319510152631434538
23196111524363942

lotostat.ru

Проверить билет спортлото 6 из 49 по номеру комбинации и таблице тиража

Популярная лотерея спортлото 6 из 49, проводимая в поддержку Олимпийских, Паралимпийских игр, является уникальной в своем роде и очень прибыльной лотереей. Проверить билет спортлото 6 из 49 есть возможность несколькими способами.

Нужно сказать, что розыгрыши этой спортивной лотереи происходят во вторник, субботу и четверг в восемь вечера по московскому времени. Кроме того, проверить свой билет можно, купив в киоске газету «Советский спорт», которая выходит по средам, или обратившись в пункты распространения лотерей. Также есть возможность позвонить по номеру (495) 980-8366. Однако, нужно учесть, что звонок платный.

Моментальная проверка

На нашем сайте вы сможете за несколько секунд посмотреть последние тиражи и таблицы выигрышей спортлото 6 из 49. Для этого вам необходимо зайти в соответствующий раздел лотереи, ввести номер и тираж билета и после этого нажать кнопку «Проверить». Кроме того, на нашем сайте спортлото 6 из 49 проверить билет можно по комбинации, указав тираж и комбинацию в соответствующем подразделе.

Стоит сказать, что у нас на портале доступен полный архив тиражей лотереи 6 из 49, используя который также возможно произвести проверку своего билета. Также эту информацию можно использовать в качестве статистики для составления своих расчетов выигрышных комбинаций, что в несколько раз повысит вероятность заработать джек-пот.

Глядя на вышесказанное, можно смело утверждать, что оптимальный способ проверки билетов спортлото 6 из 49 – это онлайн проверка на нашем сайте. Теперь нет необходимости бегать по киоскам в поисках газет, ждать выхода в эфир телепередачи или звонить на платный номер. Можно просто загрузить компьютер, зайти к нам на сайт и воспользоваться совершенно бесплатным и удобным сервисом проверки билетов лотерей. Такая же система пригодится, чтобы проверить билеты лотереи РЖД — все так же бесплатно!

Информация у нас на сайте обновляется практически сразу после проведения розыгрышей в прямом эфире. Поэтому вам будут доступны наиболее актуальные данные, которые вы сможете просмотреть и использовать в любое время, какое вам будет удобно.

Играйте в спортивную лотерею 6 из 49. Благодаря этому вы не только поддерживаете спортсменов, но и обеспечиваете себе хорошую возможность заработать неплохой выигрыш. А теперь вы еще знаете, что играя в лотерею спортлото 6 из 49, проверить билет по номеру очень легко, также как и проверить билеты русского лото 6 из 36. Желаем вам удачи и солидных выигрышей.

proverit-tirazh.com

Пределы с иррациональностью примеры – Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Первая часть.

alexxlab / / Школьная жизнь

Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Вторая часть.

Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:

\begin{equation} a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end{equation} \begin{equation} a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end{equation}

Пример №4

Найти $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}}{16-x^2}$.

Решение

Так как $\lim_{x\to 4}\left(\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}\right)=0$ и $\lim_{x\to 4}(16-x^2)=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac{0}{0}$. Чтобы избавиться от иррациональности, вызвавшей эту неопределенность, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю. Формула №1 здесь уже не поможет, ибо домножение на $\sqrt[3]{5x-12}+\sqrt[3]{x+4}$ приведёт к такому результату:

$$ \left(\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}\right)\left(\sqrt[3]{5x-12}+\sqrt[3]{x+4}\right)=\sqrt[3]{(5x-12)^2}-\sqrt[3]{(x+4)^2} $$

Как видите, такое домножение не избавит нас от разности корней, вызывающей неопределённость $\frac{0}{0}$. Нужно домножить на иное выражение. Это выражение должно быть таким, чтобы после домножения на него исчезла разность кубических корней. А кубический корень может «убрать» только третья степень, посему нужно использовать формулу №2. Подставив в правую часть этой формулы $a=\sqrt[3]{5x-12}$, $b=\sqrt[3]{x+4}$, получим:

$$ \left(\sqrt[3]{5x-12}- \sqrt[3]{x+4}\right)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)=\\ =\sqrt[3]{(5x-12)^3}-\sqrt[3]{(x+4)^3}=5x-12-(x+4)=4x-16. $$

Итак, после домножения на $\sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2}$ разность кубических корней исчезла. Именно выражение $\sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2}$ будет сопряжённым к выражению $\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}$. Вернемся к нашему пределу и осуществим умножение числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое числителю $\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}$:

$$ \lim_{x\to 4}\frac{\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}}{16-x^2}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{\left(\sqrt[3]{5x-12}- \sqrt[3]{x+4}\right)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}{(16-x^2)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{4x-16}{(16-x^2)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)} $$

Задача практически решена. Осталось лишь учесть, что $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (см. формулу №1). Кроме того $4x-16=4(x-4)$, поэтому последний предел перепишем в такой форме:

$$ \lim_{x\to 4}\frac{4x-16}{(16-x^2)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{4(x-4)}{-(x-4)(x+4)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}=\\ =-4\cdot\lim_{x\to 4}\frac{1}{(x+4)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}=\\ =-4\cdot\frac{1}{(4+4)\left( \sqrt[3]{(5\cdot4-12)^2}+\sqrt[3]{5\cdot4-12}\cdot \sqrt[3]{4+4}+\sqrt[3]{(4+4)^2} \right)}=-\frac{1}{24}. $$

Ответ: $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}}{16-x^2}=-\frac{1}{24}$.

Рассмотрим ещё один пример (пример №5) в данной части, где применим формулу №4. Принципиально схема решения ничем не отличается от предыдущих примеров, – разве что сопряжённое выражение будет иметь иную структуру. Кстати, стоит отметить, что в типовых расчётах и контрольных работах часто встречаются задачи, когда, например, в числителе размещены выражения с кубическим корнем, а в знаменателе – с корнем квадратным. В этом случае приходится домножать и числитель и знаменатель на различные сопряжённые выражения. Например, для при вычислении предела $\lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{\sqrt{x+1}-3}$, содержащего неопределённость вида $\frac{0}{0}$, домножение будет иметь вид:

$$ \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{\sqrt{x+1}-3}=\left|\frac{0}{0}\right|= \lim_{x\to 8}\frac{\left(\sqrt[3]{x}-2\right)\cdot \left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)}{\left(\sqrt{x+1}-3\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)}=\\= \lim_{x\to 8}\frac{(x-8)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)}{\left(x-8\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)}= \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt{x+1}+3}{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}=\frac{3+3}{4+4+4}=\frac{1}{2}. $$

Все преобразования, применённые выше, уже были рассмотрены ранее, поэтому полагаю, особых неясностей здесь нет. Впрочем, если решение вашего аналогичного примера вызывает вопросы, прошу отписать об этом на форум.

Пример №5

Найти $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}$.

Решение

Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt[4]{5x+6}-2)=0$ и $\lim_{x\to 2}(x^3-8)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. Для раскрытия оной неопределённости используем формулу №4. Сопряжённое выражение к числителю имеет вид

$$\sqrt[4]{(5x+6)^3}+\sqrt[4]{(5x+6)^2}\cdot 2+\sqrt[4]{5x+6}\cdot 2^2+2^3=\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8.$$

Домножая числитель и знаменатель дроби $\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}$ на указанное выше сопряжённое выражение будем иметь:

$$\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{\left(\sqrt[4]{5x+6}-2\right)\cdot \left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5x+6-16}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)} $$

Так как $5x-10=5\cdot(x-2)$ и $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (см. формулу №2), то:

$$ \lim_{x\to 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ \lim_{x\to 2}\frac{5}{(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ \frac{5}{(2^2+2\cdot 2+4)\cdot\left(\sqrt[4]{(5\cdot 2+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5\cdot 2+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5\cdot 2+6}+8\right)}=\frac{5}{384}. $$

Ответ: $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}=\frac{5}{384}$.

Пример №6

Найти $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}$.

Решение

Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt[5]{3x-5}-1)=0$ и $\lim_{x\to 2}(\sqrt[3]{3x-5}-1)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. В таких ситуациях, когда выражения под корнями одинаковы, можно использовать способ замены. Требуется заменить выражение под корнем (т.е. $3x-5$), введя некоторую новую переменную. Однако простое использование новой буквы ничего не даст. Представьте, что мы просто заменили выражение $3x-5$ буквой $t$. Тогда дробь, стоящая под пределом, станет такой: $\frac{\sqrt[5]{t}-1}{\sqrt[3]{t}-1}$. Иррациональность никуда не исчезла, – лишь несколько видоизменилась, что нисколько не облегчило задачу.

Здесь уместно вспомнить, что корень может убрать лишь степень. Но какую именно степень использовать? Вопрос не тривиален, ведь у нас два корня. Один корень пятого, а другой – третьего порядка. Степень должна быть такой, чтобы одновременно убрать оба корня! Нам нужно натуральное число, которое одновременно делилось бы на $3$ и на $5$. Таких чисел бесконечное множество, но наименьшее из них – число $15$. Его называют наименьшим общим кратным чисел $3$ и $5$. И замена должна быть такой: $t^{15}=3x-5$. Посмотрите, что такая замена сделает с корнями:

$$ \sqrt[5]{3x-5}=\sqrt[5]{t^{15}}=t^{\frac{15}{5}}=t^3;\\ \sqrt[3]{3x-5}=\sqrt[3]{t^{15}}=t^{\frac{15}{3}}=t^5.\\ $$

Корни исчезли, остались лишь степени. И дробь $\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}$ станет такой:

$$ \frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}=\frac{t^3-1}{t^5-1}. $$

Однако это ещё не всё. Переменная $x\to 2$, но к чему стремится переменная $t$? Рассудим так: если $t^{15}=3x-5$, то $t=\sqrt[15]{3x-5}$. Так как $x\to 2$, то ${(3x-5)}\to 1$, $\sqrt[15]{3x-5}\to 1$, посему $t\to 1$. Теперь можем вернуться к нашему пределу:

$$ \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{t\to 1}\frac{t^3-1}{t^5-1} $$

Корни исчезли, – но неопределённость $\frac{0}{0}$ осталась. Чтобы убрать её, нужно учесть, что при $t=1$ имеем $t^3-1=1^3-1=0$ и $t^5-1=1^5-1=0$. Из сказанного следует, что $t=1$ — корень многочленов $t^3-1$ и $t^5-1$. Следовательно, оные многочлены делятся на $t-1$. Разделим многочлен $t^5-1$ на $t-1$ с помощью схемы Горнера:

Результаты применения схемы Горнера можно записать так: $t^5-1=(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)$. К многочлену $t^3-1$ можно также применить схему Горнера, но лучше использовать формулу №2: $t^3-1=t^3-1^3=(t-1)(t^2+t+1)$. Вернёмся к рассматриваемому пределу:

$$ \lim_{t\to 1}\frac{t^3-1}{t^5-1}=\lim_{t\to 1}\frac{(t-1)(t^2+t+1)}{(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)}=\\ =\lim_{t\to 1}\frac{t^2+t+1}{t^4+t^3+t^2+t+1}=\lim_{t\to 1}\frac{1^2+1+1}{1^4+1^3+1^2+1+1}=\frac{3}{5}. $$

Ответ: $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}=\frac{3}{5}$.

math1.ru

Предел функции с корнями

Среди примеров пределов функции часто встречаются функции с корнями, которые не всегда понятно как раскрывать. Проще когда есть пример границе с корневой функцией вида

Решение подобных пределов просто и понятно каждому.
Трудности возникают если есть следующие примеры функций с корнями.

Пример 1. Вычислить предел функции

При прямой подстановке точки x = 1 видно что и числитель и знаменатель функции

превращаются в ноль, то есть имеем неопределенность вида 0/0.
Для раскрытия неопределенности следует умножить выражение, содержащее корень на сопряженное к нему и применить правило разности квадратов. Для заданного примера преобразования будут следующими



Предел функции с корнями равен 6. Без приведенного правила ее трудно было бы найти.
Рассмотрим подобные примеры вычисления границы с данным правилом

Пример 2. Найти предел функции

Убеждаемся что при подстановке x = 3 получаем неопределенность вида 0/0.
Ее раскрываем умножением числителя и знаменателя на сопряженное к числителю.


Далее числитель раскладываем согласно правилу разности квадратов

Вот так просто нашли предел функции с корнями.

Пример 3. Определить предел функции

Видим, что имеем неопределенность вида 0/0.
Избавляемся ирациональносьти в знаменателе

Предел функции равна 8.

 

Теперь рассмотрим другой тип примеров, когда переменная в переделе стремится к бесконечности.

Пример 4. Вычислить предел функции
Много из Вас не знают как найти предел функции. Ниже будет раскрыта методика вычислений.
Имемем предел типа бесконечность минус бесконечность. Умножаем и делим на сопряженный множитель и используем правило разности квадратов

Границ функции равна -2,5.

Вычисление подобных пределов фактически сводится к раскрытию иррациональности , а затем подстановке переменной

Пример 5. Найти предел функции

Предел эквивалентен — бесконечность минус бесконечность
.
Умножим и разделим на сопряженное выражение и выполним упрощение

Пример 6. Чему равен предел функции?

Имеем неопределенность вида бесконечность минус бесконечность

Выполняем преобразования с корневыми функциями


предел функции равен -2.

Хорошо ознакомьтесь с методикой раскрытия неопределенностей, алгоритм достаточно прост и поможем найти сложную границу функции.

yukhym.com

Вычисление предела рациональных и иррациональных функций без использования правила Лопиталя

В данной статье рассмотрены несколько методов математического анализа без использования правила Лопиталя.

Математический анализ является для студентов самым пугающим предметом на первом курсе. Особенно для студентов-технарей.

Данная статья посвящена практической части математического анализа— мы рассмотрим несколько методов вычисления пределов сложных функций в точке и на бесконечности.

Для того чтобы начать практическую часть, необходимо дать понятие предела функции? Предел функции (предельное значение функции) — одно из основных понятий математического анализа. Предел — это значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.

Задание 1. Вычислить предел функции при .

Решение. Подставим вместо x значение 0 :

  • получили неопределенность из отношения бесконечно малых многочленов.

1 способ.

2 cпособ. Воспользуемся правилом, что предел отношения бесконечно малых многочленов при равен пределу отношения их младших по степени слагаемых. Оставим младшие слагаемые многочленов, выполним сокращение дроби и снова подставим вместо x значение 0:

Ответ:

Задание 2. Вычислить предел функции при .

Решение. Подставим вместо х значение () :

Получили неопределенность из отношения разностей бесконечно больших многочленов под знаком корня. Воспользуемся правилом, что предел отношения бесконечно больших иррациональностей из многочленов при равен пределу отношения их старших по степени слагаемых. Оставим старшие слагаемые по степени и снова подставим вместо х значение ():

Ответ:

Задание 3. Вычислить предел функции при .

Решение. Подставим вместо х значение 1:

Ответ:

novainfo.ru

6.2. Вычисление пределов функций, содержащих

При вычисление пределов вида в случае если числи-

Тель или знаменатель содержит выражение , стремящееся к нулю при часто бывает полезным избавиться от иррациональности в числителе или в знаменателе путём домножения числителя и знаменателя на соответствующий сопряжённый множитель .

Для разности таким множителем является , для выражения таким множителем является .

В самом деле

, где ,

,

Где .

В общем случае для разности сопряжённое выражение . В результате умножения получаем , т. е. . Для сокращения записи можно вычислить отдельно и если он конечен и не равен нулю, вынести за знак предела.

Пример 1

A =

Решение: Т. к. х8, то х-80. Выделим множитель в числителе и знаменателе. Умножим числитель и знаменатель дроби на множитель . Тогда в числителе мы получим

В знаменателе множитель будет стремиться к конечному пределу, не равному 0, а именно к 10 при х8, поэтому по теореме о пределе

Произведения множитель можно вынести за знак предела. Знаменатель представим в виде произведения х2 – 6х – 16 = (х – 8)(х + 2). Таким образом, вычисление данного предела сводиться к следующим действиям:

A =

Пример 2. Вычислить

Решение: Выделим в числителе и знаменателе множитель, стремящийся к нулю, т. е. х.

Числитель:

Знаменатель:

.

Таким образом, предел приобретает вид

A =

Пример 3.

A =

Решение: Выделим в числителе и знаменателе множитель, стремящийся к 0, т. е. (х – 2)

Числитель:

Знаменатель: .

Тогда A = .

Пример 3.

A =

Решение: Как и в предыдущем случае выделим множитель, стремящийся к 0, т. е. (х+1) в числителе и знаменателе. Тогда

Числитель: .

Знаменатель:

Таким образом

A =

При раскрытии неопределенностей вида нужно выполнить тождественные преобразования, позволяющие свести такую неопределенность к виду или . Например, в случае, если выражение содержит иррациональности с невысоким показателем корня, этого можно добиться путем умножения и деления данного выражения на «сопряженное».

Пример 5.

Пример 6.

(Сумма двух бесконечно больших одного знака есть величина бесконечно большая)

Пример 7.

Решение. Данный предел содержит корень с высоким показателем, поэтому умножение и деление на сопряженное выражение нецелесообразно. Преобразуем данное выражение следующим образом:

При выражение , т. е. является бесконечно малой величиной. Если воспользоваться следствием из 2-го замечательного предела , то выражение, стоящее в скобках, можно заменить эквивалентной величиной . Так как величина является бесконечно малой более высокого порядка, чем , то ее можно отбросить, поэтому данная дробь будет эквивалентна выражению

.

Следовательно,

Пример 8.

Решение. Выделим Главную часть в каждом из слагаемых. Очевидно, что при

;

.

Таким образом, оба радикала имеют одинаковую часть . Вычтем ее из каждого радикала. Тогда получим

=

.

Пример 9.

Решение. 1 Способ: Выделим главную часть числителя и знаменателя. Т. к. то главная часть числителя будет совпадать с Аналогично, поэтому главная часть знаменателя совпадает с

Тогда

2 способ: Вынесем из-под каждого корня старшую степень переменной.

При раскрытии неопределенностей вида можно также выделить главную часть числителя и знаменателя.

Пример 10.

Решение. 1 способ:Этот пример можно решить, воспользовавшись для выделения главной части эквивалентными бесконечно большими величинами, а именно:

Значит

2 способ: Этот же предел можно вычислить и непосредственно, а именно вынести за скобки старшую степень переменной в числителе и знаменателе.

Пример 11.

Решение: 1 способ: Как и в предыдущем примере, выделим главную часть числителя и знаменателя.

,

Тогда

2 способ: Вынесем в числителе и знаменателе за скобки старшую степень х.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

пределы с корнями | Математика

Рассмотрим примеры на пределы с корнями, в которых требуется раскрыть неопределенность вида 0 на 0.

   

Чтобы раскрыть неопределенность 0/0, числитель разложим на множители по формуле суммы кубов, затем и числитель, и знаменатель, домножим на выражение, сопряженное знаменателю (чтобы в знаменателе получить формулу разности квадратов, что позволит нам избавиться от квадратного корня):

   

   

   

   

   

   

И числитель, и знаменатель умножаем на выражение, сопряженное знаменателю. Знаменатель раскладываем по теореме о разложении квадратного трехчлена на множители:

   

   

   

   

Домножаем и числитель, и знаменатель на выражения, сопряженные числителю и знаменателю. То есть

   

   

   

   

   

   

Примеры для самопроверки:

   

   

   

Показать решение

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 

adminПредел функции

www.matematika.uznateshe.ru

2.13. Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей

Правило. Для вычисления предела функции в точкеили принадо применить теоремы о пределах и подставить предельное значение аргумента.

Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

.

Примеры

Найти пределы функций:

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

При вычислении пределов функций формальная подстановка вместо х предельного значения часто приводит к неопределенным выражениям вида:,,,,,,.

Например, или.

Выражения вида ,,,,,,называютсянеопределенностями.

Вычисление предела функции в этих случаях называют раскрытием неопределенности.

Рассмотрим правила раскрытия таких неопределенностей.

Неопределенность вида

Если ипри(), то говорят, что их частноепредставляет собой неопределенность вида.

Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степеньх.

Например,

.

Рассмотрим дробно−рациональную функцию

(),

представляющую собой отношение двух многочленов относительно х степеней m и n соответственно, и исследуем поведение этой функции при .

При нахождении предела данной функции при могут иметь место три варианта ответа:

1.

, если ;

2.

, если ;

3.

, если .

Из этого следует, что предел отношения двух многочленов при во всех случаях равен пределу отношения их старших членов.

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

3. .

Неопределенность вида

Если требуется найти , гдеи− бесконечно малые функции при(), т.е., то в этом случае вычисление предела называют раскрытием неопределенности вида .

Рассмотрим возможные приемы раскрытия такой неопределенности.

Выделение критического множителя

Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и в числителе и в знаменателе выделить критический множитель и сократить на него дробь.

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

Преобразование иррациональных выражений

Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель, или тот и другой иррациональны, надо:

− перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или из знаменателя в числитель, домножив дробь на сопряженные выражения,

− либо сделать замену переменной.

Замечание.

Если под знаком предела делается замена переменной, то все величины, входящие под знак предела, должны быть выражены через эту новую переменную. Из равенства, выражающего зависимость между старой переменной и новой, должен быть определен предел новой переменной.

Примеры

Найти пределы функций:

1.

;

2.

;

3.

;

4.

.

Применение первого замечательного предела

Правило. Для раскрытия неопределенности вида , содержащей тригонометрические выражения, используют первый замечательный предел:

или ,

где и.

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

4. .

Применение эквивалентных бесконечно малых величин

Правило. Для раскрытия неопределенности вида можно и числитель и знаменатель заменить величинами им эквивалентными (п.2.12).

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4.

.

Неопределенности вида и

Если ипри, то их разностьпредставляет собой неопределенность вида .

Если ипри, то их произведение− это неопределенность вида .

Правило. Неопределенности вида ираскрываются путем их преобразования и сведения к неопределенностям видаили.

Примеры

Найти пределы функций:

.

Неопределенности вида ,,

Пусть функция имеет вид:

.

Если при ,, а, то имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности применяют второй замечательный предел:

; ;

или

; .

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

3. ;

Если при ,, а, то имеем неопределенность вида .

Если ипри, то имеет место неопределенность .

Для раскрытия неопределенностей вида иих преобразуют и сводят к неопределенности видаследующим образом:

.

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

В заключение отметим, что в дальнейшем будут рассмотрены более эффективные методы вычисления пределов функций, основанные на использовании понятия производной.

Упражнения

Односторонние пределы. Найти пределы:

1. ; Ответ:;

; Ответ: ;

2. ; Ответь:;

; Ответ: 0.

Непосредственное вычисление пределов. Найти пределы:

3. ; Ответ: 15;

4. ; Ответ:.

5. ; Ответ: 0.

Раскрытие неопределенности . Найти пределы:

6. ; Ответ: 0;

7. ; Ответ: -2;

8. ; Ответ:;

9. ; Ответ:.

Раскрытие неопределенности . Найти пределы:

10. ; Ответ:;

11. ; Ответ: -2;

12. ; Ответ:;

13. ; Ответ:;

14. ; Ответ: -12;

15. ; Ответ:.

16. ; Ответ:;

17. ; Ответ:;

18. ; Ответ:;

19. ; Ответ:;

20. ; Ответ:.

Раскрытие неопределенностей . Найти пределы:

21. ; Ответ:;

22. ; Ответ:;

23. ; Ответ: 0;

24. ; Ответ: 1.

Раскрытие неопределенности. Найти пределы:

25. ; Ответ:;

26. ; Ответ:;

27. ; Ответ:;

28. ; Ответ:.

studfiles.net

Вычисление пределов, содержащих иррациональность. | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Чтобы избавиться от иррациональности в числителе, умножим числитель и знаменатель дроби на множитель . Далее необходимо воспользоваться формулой . Получим

Пример 3.2. Вычислить .

Имеем

.

Пример 3.3. Вычислить .

.

Пример 3.4. Найти .

Имеет место неопределённость . Под знаком предела стоит выражение, содержащее корни третьей степени. Умножим числитель и знаменатель …
дроби на неполный квадрат суммы, затем воспользуемся формулой

.

Это позволит избавиться от иррациональности в числителе.

.

Пример 3.5. Вычислить .

Убеждаемся, что имеет место неопределённость . Умножим и разделим на выражение .

.

Получили неопределённость вида , рассмотренную в пункте 1. Необходимо выделить в числителе и в знаменателе дроби старшую степень. .

Пример 3.6.

, так как числитель –константа, а знаменатель – б.б. функция.

| следующая страница ==>
Вычисление пределов от рациональной функции в конечной точке.| Первый замечательный предел.

Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 3.

Поделиться с ДРУЗЬЯМИ:

refac.ru

Примеры решения систем линейных уравнений метод гаусса – Метод Гаусса

alexxlab / / Школьная жизнь

Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных). Примеры решений для чайников

Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений. Этот урок является третьим по теме. Если вы смутно представляете, что такое система линейных уравнений вообще, чувствуете себя чайником, то рекомендую начать с азов на странице Как решить систему линейных уравнений? Далее полезно изучить урок Правило Крамера. Матричный метод.

Метод Гаусса – это просто! Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто! Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении – портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.

Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА.Необходимо уметь складывать и умножать! Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах. Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного – всё дело в методике, и я постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной).

Метод  Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решениялюбой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случаеприведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статьяНесовместные системы и системы с общим решением. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.

Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений? и решим ее методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы: . По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.

Справка: рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: . Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями.

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки: 

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следуетудалить. Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули.

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: , и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2: . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ.

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче: Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: »

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений

! ВНИМАНИЕ: рассмотренные манипуляции нельзя использовать, если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя! Вернемся к нашей системе . Она практически разобрана по косточкам.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. И снова: почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.

(2) Делим вторую строку на 3.

Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид. 

 В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса.

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .

Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:

Ответ: 

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения: И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число:  Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2:

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3:

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

Не нужно считать всё сразу и одновременно. Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО: А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше.

Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2: Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений: Круто.

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат: 

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:

Ответ: 

Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса. Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!

Пример 3

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так:  (1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

Дальше алгоритм работает уже по накатанной колее:

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

(3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

(5) Третью строку разделили на 3.

Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился:

Ответ: .

Пример 4

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения. 

В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса. Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например: Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте я уже рассказывал на уроке Правило Крамера. Матричный метод. В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули: Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований.

Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: .

Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце.

Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.

Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 десять систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.

Дождливая осенняя погода за окном…. Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Решить методом Гаусса систему 4-х линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.

Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением. Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду. Выполненные элементарные преобразования: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2.  К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –1. Внимание! Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем! (2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание, что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и –1, что даже удобнее. (3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5. (4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14.

Обратный ход: 

Ответ: .

Пример 4: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования: (1) К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке». (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7.  К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6.

Со второй «ступенькой» всё хуже, «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3. Нужная вещь на второй ступеньке получена. (5) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6. (6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на -83.

Обратный ход: 

Ответ: 

Пример 5: Решение: Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования: (1) Первую и вторую строки поменяли местами. (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2.  К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –3. (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 4. К четвертой строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) У второй строки сменили знак. Четвертую строку разделили на 3 и поместили вместо третьей строки. (5) К четвертой строке прибавили третью строку, умноженную на  –5.

Обратный ход:

Ответ: 

\

studfiles.net

Метод Гаусса. Примеры

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении переменных и преобразовании системы линейных алгебраических уравнений

к треугольному виду

Предположим, что в системе коэффициент . Если это условие не выполняется, то на первое место переносим уравнение, которое ее удовлетворяет. С помощью первого уравнения исключим из остальных уравнений.

Для этого делят первую строчку на , обозначим

.

Дальше второй строки вычитаем первую строку, умноженную на ;от третьего первую строчку, умноженный на ; и так далее до последней строки. Получим таблицу коэффициентов:

Для неизвестных имеем систему уравнений. Выполняя, как и раньше, исключим из всех уравнений, начиная с третьего. Для этого сначала разделим вторую строчку на .

Если коэффициент , то переставим уравнения так, чтобы выполнялось условие .

Обозначив

,

от третьей строки вычтем вторую строчку, умноженный на ;

от четвертой строки вычтем вторую строчку, умноженный на и т.д. Получим таблицу коэффициентов:

Продолжая процесс исключения неизвестных получим таблицу:

Таблица коэффициентов при неизвестных сводится к треугольному виду. Все главной диагонали элементы . Запишем соответствующую систему уравнений:

Переход от первой системы уравнений до последней называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса начинается с последней системы уравнений. Ее решают с конца до начала. Из последнего уравнения находят . Подставив это значение в предпоследнее — находят и т.д. Из первого уравнения находят .

Если система уравнений с неизвестными имеет единственное решение, то эта система всегда может быть преобразована к треугольному виду. Для студентов не всегда требуют, чтобы диагональные элементы были равны единице. Достаточно просто свести систему линейных уравнений к верхней треугольной.

———————————————

Пример 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную из второго и третьего уравнения. Для этого от них вычтем первое умноженное на

Видим, что наше уравнение в таком виде можно решать обратным ходом метода Гаусса. Для этого из последнего уравнения выразим

Подставим полученное значение в предыдущее уравнение и найдем

Из первого уравнения находим

Решение данной системы равен

——————————————

В случаях систем больших размеров, а также для удобства, часто на практике используют другую схему решения. Вместо преобразований над системой выполняют соответствующие преобразования над матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных и столбца из свободных членов, который для удобства выделяют вертикальной линией. Такую матрицу называют расширенной матрицей системы.

——————————————

Пример 2.

Решить систему четырех линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу для данной системы

Сведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

1.Поменяем местами первый и второй строки.

2. Добавим к элементам второго, третьего и четвертого строк элементы первой строки, умноженные соответственно на

3. Поменяем местами второй и третий строки. Добавим к элементам третьего и четвертого строк элементы второй строки, умноженные соответственно на

4. От четвертого уравнения умноженного на вычитаем третье уравнение умноженное на

Такой расширенной матрицы соответствует следующая система уравнений

С четвертого уравнения находим и подставляем в третье уравнение

Найденные значения подставляем во второе уравнение

Из первого уравнения находим первую неизвестную

Система полностью решена и – ее решение.

——————————————————

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Решение СЛАУ 3-его порядка методом Гаусса, пример № 1

СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12

Условие

 x 1 + 2x 2 + 3x 3   =   3
 3x 1 + 5x 2 + 7x 3   =   0
 x 1 + 3x 2 + 4x 3   =   1

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по математике и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 3 × 4, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.


Проведём следующие действия:

  • Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 3 (Строка 2 — 3 × строка 1)
  • Из строки № 3 вычтем строку № 1 (Строка 3 — строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

  • Строку № 2 умножим на -1 (Строка 2 = -1 × строка 2 )
  • Из строки № 3 вычтем строку № 2 (Строка 3 — строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

  • Строку № 3 умножим на -1 (Строка 3 = -1 × строка 3 )
  • Из строки № 2 вычтем строку № 3 умноженную на 2 (Строка 2 — 2 × строка 3)
  • Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 — 3 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

  • Из строки № 1 вычтем строку № 2 умноженную на 2 (Строка 1 — 2 × строка 2)

Получим:

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х1 = -4
х2 = -13
х3 = 11


Вы поняли, как решать? Нет?

Помощь с решением

www.webmath.ru

Метод Гаусса

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решить (найти такие значения неизвестных хi, что обращают каждое уравнение системы в равенство).

Мы знаем, что система линейных алгебраических уравнений может:

1) Не иметь решений (быть несовместной).
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Иметь единственное решение.

Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений, который в каждом случае приведет нас к ответу! Сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково. Если в методах Крамера и матричном необходимы знания определителей, то для применения метода Гаусса необходимо знание только арифметических действий, что делает его доступным даже для школьников начальных классов.

Преобразования расширенной матрицы (это матрица системы —  матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, плюс столбец свободных членов) системы линейных алгебраических  уравнений в методе Гаусса:

1) строки матрицы можно переставлять местами.

2) если в матрице появились (или есть) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной.

3) если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить.

4) строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля.

5) к строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля.

В методе Гаусса элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений.

Метод Гаусса состоит из двух этапов:

  1. «Прямой ход» — с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы линейных алгебраических уравнений к «треугольному» ступенчатому виду: элементы расширенной матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю (ход «сверху-вниз»). Например, к такому виду:

Для этого выполним следующие действия:

1)   Пусть мы рассматриваем первое уравнение системы линейных алгебраических уравнений и коэффициент при х1 равен К. Второе, третье и т.д. уравнения преобразуем следующим образом: каждое уравнение (коэффициенты при неизвестных, включая свободные члены) делим на коэффициент при неизвестном х1, стоящий в каждом уравнении, и умножаем на К. После этого из второго уравнения (коэффициенты при неизвестных и свободные члены) вычитаем первое. Получаем при х1 во втором уравнении коэффициент 0. Из третьего преобразованного уравнения вычитаем первое уравнение, так до тех пор, пока все уравнения, кроме первого, при неизвестном х1 не будут иметь коэффициент 0.

2)   Переходим к следующему уравнению. Пусть это будет второе уравнение и коэффициент при х2 равен М. Со всеми «нижестоящими» уравнениями поступаем так, как описано выше. Таким образом, «под» неизвестной х2 во всех уравнениях будут нули.

3)   Переходим к следующему уравнению и так до тех пора, пока не останется одна последняя неизвестная и преобразованный свободный член.       

  1. «Обратный ход» метода Гаусса – получение решения системы линейных алгебраических уравнений (ход «снизу-вверх»). Из последнего «нижнего» уравнения получаем одно первое решение – неизвестную хn. Для этого решаем элементарное уравнение А*хn = В. В примере, приведенном выше, х3 = 4. Подставляем найденное значение в «верхнее» следующее уравнение и решаем его относительно следующей неизвестной. Например, х2 – 4 = 1, т.е. х2 = 5. И так до тех пор, пока не найдем все неизвестные.

Пример.

Решим систему линейных уравнений методом Гаусса, как советуют некоторые авторы:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Поступим так: 
1 шаг. К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное действие: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

Дальше алгоритм работает уже по апробированной методике:

2 шаг. Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

3 шаг. Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

4 шаг. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

5 шаг. Третью строку разделили на 3.

Признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде (0 0 11 |23), и, соответственно, 11x3 = 23, x3 = 23/11, то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Выполняем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает «снизу вверх». В данном примере получился подарок:

x3 = 1
x2 = 3
x1 + x2 – x3 = 1, следовательно x1 + 3 – 1 = 1, x1 = –1

Ответ: x1 = –1, x2 = 3, x3 = 1.

Решим эту же систему по предложенному алгоритму. Получаем

4   2   –1   1
5   3   –2   2
3   2   –3   0

Разделим второе уравнение на 5, а третье – на 3. Получим:

4   2       –1    1
1   0.6    –0.4  0.4
1   0.66  –1    0

Умножим второе и третье уравнения на 4, получим:

4    2       –1    1
4    2,4    –1.6  1.6
4    2.64  –4    0

Вычтем из второго и третьего уравнений первое уравнение, имеем:

4    2       –1      1
0    0.4    –0.6   0.6
0    0.64  –3    –1

Разделим третье уравнение на 0,64:

4    2      –1              1
0    0.4   –0.6           0.6
0    1      –4.6875    –1.5625

 Умножим третье уравнение на 0,4

4    2       –1              1
0    0.4    –0.6           0.6
0    0.4    –1.875     –0.625

Вычтем из третьего уравнения второе, получим «ступенчатую» расширенную матрицу: 

4    2      –1              1
0    0.4   –0.6           0.6
0    0      –1.275      –1.225

Таким образом, так как в процессе вычислений накапливалась погрешность, получаем х3 = 0,96 или приблизительно 1.

х2 = 3 и х1 = –1.

Решая таким образом, Вы никогда не запутаетесь в вычислениях и не смотря на погрешности вычислений, получите результат.

Такой способ решения системы линейных алгебраических уравнений легко программируем и не учитывает специфические особенности коэффициентов при неизвестных, ведь на практике (в экономических и технических расчетах) приходиться иметь дело именно с нецелыми коэффициентами.

Желаю успехов! До встречи на занятиях! Репетитор Дмитрий Айстраханов.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

1. Система линейных алгебраических уравнений

1.1 Понятие системы линейных алгебраических уравнений

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Системой линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

где числа aij называются коэффициентами системы, числа bi – свободными членами, aij и bi (i=1,…, m; b=1,…, n) представляют собой некоторые известные числа, а x1 ,…, xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Подлежат нахождению числа xn . Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме: AX=B. Здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

– вектор-столбец из неизвестных xj.
– вектор-столбец из свободных членов bi.

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

1.2 Решение системы линейных алгебраических уравнений

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Решением системы называется n значений неизвестных х1=c1, x2=c2,…, xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как x1=x2=x3=…=xn=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

2. Метод исключения Гаусса

2.1 Сущность метода исключения Гаусса

Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных – метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой и обратный ходы.

1. Прямой ход.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним.

После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

,

где

Коэффициенты aii называются главными (ведущими) элементами системы.

1-й шаг.

Будем считать, что элемент

(если a11=0, переставим строки матрицы так, чтобы a 11 не был равен 0. Это всегда возможно, т. к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна).

Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на

и сложим почленно со вторым уравнением системы (или из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на ). Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы (или из третьего почленно вычтем первое, помноженное на ). Таким образом, последовательно умножаем первую строку на число и прибавляем к i -й строке, для i= 2, 3, …, n.

Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему:


Здесь

– новые значения коэффициентов при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, которые определяются формулами:

Таким образом, на первом шаге уничтожаются все коэффициенты, лежащие под первым ведущим элементом a11

0, на втором шаге уничтожаются элементы, лежащие под вторым ведущим элементом а22(1) (если a22(1)0) и т.д. Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе.

Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т.е. равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида

то это свидетельствует о несовместности системы.

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

2. Обратный ход.

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений.

Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (она в нем всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх.

Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Примечание: на практике удобнее работать не с системой, а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a11).

2.2 Примеры решения СЛАУ методом Гаусса

В данном разделе на трех различных примерах покажем, как методом Гаусса можно решить СЛАУ.

Пример 1. Решить СЛАУ 3-го порядка.

Обнулим коэффициенты при

во второй и третьей строчках. Для этого домножим их на 2/3 и 1 соответственно и сложим с первой строкой:

mirznanii.com

принцип, теорема и примеры решения задач

Задание. Решить СЛАУ методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей — три первых:

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на ):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

Умножив третью строку на , получаем:

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью:

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

Полученной матрице соответствует система

   или   

Ответ.

www.webmath.ru

2.3 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из универсальных и эффективных методов реше­ния линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состо­ящий в последовательном исключении неизвестных.

Напомним, две системы называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой и наоборот. Эквивалентные системы получаются приэлементарных преобразованияхуравнений системы:

  1. умножение обеих частей уравнения на число отличное от нуля;

  2. прибавление к некоторому уравнению соответствующих частей другого уравнения, умноженных на число отличное от нуля;

  3. перестановка двух уравнений.

Пусть дана система уравнений

Процесс решения этой системы по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система с помощью элементарных преобразований приводится к ступен­чатому, илитреугольному виду, а на втором этапе (обратный ход) идет последовательное, начиная с последнего по номеру переменного, определение неизвестных из полученной ступенчатой системы.

Предположим, что коэффициент данной системы , в против­ном случае в системе первую строку можно поменять местами с любой другой строкой так, чтобы коэффициент прибыл отличен от нуля.

Преобразуем систему, исключив неизвестное во всех уравне­ниях, кроме первого. Для этого умножим обе части первого уравнения наи сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения наи сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалент­ную систему

Здесь – новые значения коэффициентов и свободных членов, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом , исклю­чим неизвестноеиз всех уравнений системы, кроме первого и второго. Продолжим этот процесс, пока это возможно, в результате получим ступенчатую систему

,

где ,,…,– главные элементы системы.

Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся уравнения , т. е. равенства вида, их отбрасывают, так как им удовлетворяют любые наборы чисел. Если же припоявится уравнение вида, которое не имеет решений, то это свидетельствует о несовместности системы.

При обратном ходе из последнего уравнения преобразованной сту­пенчатой системы выражается первое неизвестное через все остальные неизвестные, которые называютсвободными.Затем выражение переменнойиз последнего уравнения системы подставляется в предпоследнее уравнение и из него выражается переменная. Аналогичным образом последовательно определяются переменные. Переменные, выраженные через свободные переменные, называютсябазисными(зависимыми). В результате получается общее решение системы линейных уравнений.

Чтобы найти частное решениесистемы, свободным неизвестнымв общем решении придаются произвольные значения и вычисляются значения переменных.

Технически удобнее подвергать элементарным преобразованиям не сами уравнения системы, а расширенную матрицу системы

.

Метод Гаусса — универсальный метод, который позволяет решать не только квадратные, но и прямоугольные системы, в которых число неизвестных не равно числу уравнений.

Достоинство этого метода состоит также в том, что в процессе решения мы одновременно исследуем систему на совместность, так как, приведя расширенную матрицу к ступенчатому виду, легко определить ранги матрицыи расширенной матрицыи применитьтеорему Кронекера — Капелли.

Пример 2.1 Методом Гаусса решить систему

Решение. Число уравненийи число неизвестных.

Составим расширенную матрицу системы, приписав справа от матрицы коэффициентов столбец свободных членов.

Приведём матрицу к треугольному виду; для этого будем получать «0» ниже элементов, стоящих на главной диагонали с помощью элементарных преобразований.

Чтобы получить «0» во второй позиции первого столбца, умножим первую строку на (-1) и прибавим ко второй строке.

Это преобразование запишем числом (-1) против первой строки и обозначим стрелкой, идущей от первой строки ко второй строке.

Для получения «0» в третьей позиции первого столбца, умножим первую строку на (-3) и прибавим к третьей строке; покажем это действие с помощью стрелки, идущей от первой строки к третьей.

.

В полученной матрице, записанной второй в цепочке матриц, получим «0» во втором столбце в третьей позиции. Для этого умножили вторую строку на (-4) и прибавили к третьей. В полученной матрице вторую строку умножим на (-1), а третью — разделим на (-8). Все элементы этой матрицы, лежащие ниже диагональных элементов — нули.

Так как ,система является совместной и определенной.

Соответствующая последней матрице система уравнений имеет треугольный вид:

Из последнего (третьего) уравнения . Подставим во второе уравнение и получим.

Подставим ив первое уравнение, найдём.

Итак

Пример 2.2. Исследовать систему на совместность и в случае совместности найти решение:

Решение. Применим к данной системе метод Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы, предварительно для удобства вычислений поменяв местами вторую и первую строку. Приведем ее к ступенчатому виду.

̴̴.

Найдем ранги матриц: . Так как ,то система является несовместной, т.е. не имеет решений.

Иначе говоря, система содержит противоречивое уравнение вида:

или, поэтому является несовместной.

studfiles.net

Решение уравнений с иксами – Решение онлайн уравнений

alexxlab / / Школьная жизнь

Решить уравнение с х онлайн калькулятор

Для обозначения неизвестного числа используются буквенные обозначения. Именно значение этих букв и приходится искать с помощью решений уравнения.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнение Эйлера онлайн»

Работая над решением уравнения, мы стараемся на первых этапах привести его к более простому виду, позволяющему получить результат с помощью простых математических манипуляций. Для этого мы выполняем перенос слагаемых с левой стороны на правую, изменяем знаки, умножаем/делим части предложения на какое-то число, раскрываем скобки. Но выполняем все эти действия мы только с одной целью — получения простого уравнения.

Уравнения \[rx+c=0\] — является уравнением с одной неизвестной линейного вида, в котором r и c — обозначение для числовых значений. Чтобы решить уравнение данного вида необходимо произвести перенос его членов:

\[x=-b\div a.\]

Например, нам необходимо решить такое уравнение:

\[3-2х=5-3х\]

Начинаем решение данного уравнения с переноса его членов: с \[х\] — в левую часть, остальные — в правую. При переносе помним о том, что меняется \[+\] на \[-.\] Получим:

\[-2х+3х=5-3\]

Выполнив простые арифметические действия, получим следующий результат:

\[x=2\]

Где можно решить уравнение с х онлайн?

Решить уравнение с иксом онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

46. Видеоурок. Математика 4 Класс

На этом уроке мы рассмотрим решение уравнений с неизвестным делимым и неизвестным делителем. Повторим, что такое уравнение и что такое «решить уравнение». Вспомним компоненты деления и их связи между собой. Решим несколько уравнений на нахождение неизвестного делимого и нахождение неизвестного делителя.

Уравнение – это равенство с неизвестным числом. Неизвестное число обозначают любой латинской буквой.

Рассмотрите данные записи: только одна из них является уравнением, скажите какая.

· 

·

·

·

Конечно же, это первая запись. Частное неизвестного числа и числа 6 равно разности чисел 18 и 5. На уроке мы научимся решать уравнения данного вида.

Решить уравнение – это найти значение неизвестного, при котором равенство будет верным (или доказать, что таких значений не существует).

Пример 1

Решите уравнение:

 

Решение

Упростим уравнение, для этого найдем значение выражения в правой части. Значение разности чисел 18 и 5 равно 13, левую часть переписываем так, как она есть, а справа записываем 13:

 

Пример 1

Решите уравнение:

 

Решение

Упростим уравнение, для этого найдем значение выражения в правой части. Значение разности чисел 18 и 5 равно 13, левую часть переписываем так, как она есть, а справа записываем 13:

 

Для того чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

 

 – это корень уравнения.

Проверка

Значение корня 78 подставим вместо неизвестного числа.

 

Вычислим левую и правую часть. Значение частного – 13, значение разности – тоже 13. Значит, уравнение решено верно.

Ответ: .

Решите уравнение:

 

Решение

Частное неизвестного числа и числа 5 равно сумме чисел 49 и 11. Сначала упростим уравнение, вычислим значение правой части: . Левую часть от знака равно переписываем, а справа запишем значение суммы:

 

Чтобы найти делимое, нужно значение частного умножить на делитель.

 

 – это корень уравнения.

Проверка

Подставим значение корня вместо неизвестного числа.

 

Выполним вычисления:

, то есть значение частного равно значению суммы.

Ответ: .

Решите уравнение:

 

Решение

Частное чисел 48 и неизвестного числа  равно частному чисел 92 и 46. Упростим уравнение. Левую часть переписываем, а в правой произведем вычисления:

Чтобы найти делитель, нужно значение делимого разделить на значение частного.

 

 – корень уравнения.

Проверка

Подставим найденное значение неизвестного числа в уравнение:

 

 

Уравнение решено верно.

Ответ: .

Сравним все уравнения.

В одних мы искали неизвестный делитель, в других – неизвестное делимое. Но каждый раз мы следовали некому алгоритму:

1. Упростить уравнение: найти значение правой части.

2. Использовать знания о связи компонентов при делении.

3. Сделать проверку

 

Список литературы

  1. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Учебник в 3 ч. – М.: 2013. – 96 с. + 128 с. +96 с.
  2. Математика: учеб. для 4-го кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения. В 2 ч. Ч. 1 / Т.М. Чеботаревская, В.Л. Дрозд, А.А. Столяр; пер. с бел. яз. Л.А. Бондаревой. – 3-е изд., перераб. – Минск: Нар. асвета, 2008. – 134 с.: ил.
  3. Математика. Учебник для 4 кл. нач. шк. В 2 ч./М.И. Моро, М.А. Бантова – М.: Просвещение, 2010.

 

Домашнее задание

  1. Решите уравнения:



 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Interneturok.ru  (Источник).
  3. Интернет-портал Interneturok.ru  (Источник).
  4. Интернет-портал Math-prosto.ru (Источник).
  5. Интернет-портал Goncharova-potter71.blogspot.com (Источник).

interneturok.ru

Методы решения уравнений

Автор Сергей Валерьевич

Понедельник, Июль 9, 2012

Статья о методах решения уравнений. Задач, которые связаны с решением уравнений, довольно много в вариантах ЕГЭ и ГИА по математике. Поэтому как репетитор по математике рекомендую освежить с памяти связанный с этим вопросом материал. К каждому разобранному в статье примеру прилагается аналогичное задание для самопроверки. Все свои вопросы вы можете смело задавать в комментариях. Ни один вопрос без ответа не останется. В статье также имеется видеоразбор одного из заданий.

Основные методы решения уравнений

Решить уравнение значит найти все его корни или доказать, что их не существует. Стандартных методов решения уравнений много, нестандартных — еще больше. Последние подходят для решения небольшого количества (часто вообще одного) типа уравнений. При решении уравнений почти всегда приходится прибегать к тождественным преобразованиях алгебраических выражений. Поэтому целесообразно разобраться сперва с этим материалом, прежде чем переходить к решению уравнений. В данной статье разобраны в основном стандартные методы решения уравнений. Некоторые нестандартные методы кратко охарактеризованы в завершающей части статьи. Также на сайте есть отдельные статьи о решении тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений, с которыми я также рекомендую читателю ознакомиться.

Метод разложения на множители

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль. Проще всего уяснить эту идею на конкретном примере.

Пример 1. Решите уравнение методом разложения на множители:

Решение. Осуществим разложение на множители (представим исходное выражение в виде произведения). Для этого вынесем переменную за скобки:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, или Из последнего уравнения получаем: или

Ответ:  и

Задача для самостоятельного решения №1. Решите уравнение методом разложения на множители:

Показать ответ

Ответ: 0 или Пример 2. Решите уравнение методом разложения на множители:

Решение. Для разложения на множители используем прием деления многочленов столбиком (или, как еще иногда говорят, уголком). Несложно догадаться, что — корень многочлена

yourtutor.info

Уравнение с одним неизвестным. Решение уравнений

Уравнение вида ax = b, где x – неизвестное, a и b – числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением.

Число a называется коэффициентом при неизвестном, а число b – свободным членом.

Если в уравнении ax = b коэффициент не равен нулю (a ≠ 0), то разделив обе части уравнения на a, получим . Значит уравнение ax = b, в котором a ≠ 0, имеет единственный корень .

Если в уравнении ax = b коэффициент равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение не имеет корней, так как равенство 0x = b, где b ≠ 0, не является верным ни при каком значении x.

Если в уравнении ax = b и коэффициент и свободный член равны нулю (a = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство 0x = 0 верно при любом значении x.

Решение уравнений с одним неизвестным

Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:

  • освобождение от дробных членов
  • раскрытие скобок
  • перенос всех членов, содержащих неизвестное, в одну часть, а известные – в другую (члены с неизвестными, как правило, переносят в левую часть уравнения)
  • сделать приведение подобных членов
  • разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном

Пример 1. Решить уравнение

Решение:

  1. Освобождаем уравнение от дробных членов:

    4(5x — 7) — 24 = 3(3x + 12)

  2. Раскрываем скобки:

    20x — 28 — 24 = 9x + 36

  3. Переносим члены:

    20x — 9x = 36 + 28 + 24

  4. Выполняем приведение подобных членов:

    11x = 88

  5. Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):

    x = 8

  6. Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.

Ответ: x = 8.

Пример 2. Решить уравнение 5(x — 2) = 45

Решение:

  1. Это уравнение проще решить, не раскрывая скобок, поэтому делим обе части уравнения на 5:

    x — 2 = 9

  2. Переносим члены:

    x = 9 + 2

  3. Выполняем приведение подобных членов:

    x = 11

  4. Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

    5(11 — 2) = 45;   5 · 9 = 45;   45 = 45

Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так:

5(x — 2) = 45
x — 2 = 9
x = 9 + 2
x = 11

Ответ: x = 11.

naobumium.info

Функції одз – Что такое ОДЗ

alexxlab / / Школьная жизнь

1. Функция, одз

Пусть заданы 2 множества Х,У функцией или отображением из Х в У

называется правило, по которому каждому значению их Х ставится в соотвествие

значение из У.

Числовые функции характеризуются тем, что оба множества Х и У являются

подмножествами множества действительных чисел (или совпадают с ними). Область

определения функции — множество возможных значений, которые может принимать

аргумент.

Графиком функции с областью определения называется множетсво точек

Г={(x,f(x)|xÎX}.

2. Свойства функции.

1. Чётность. Если облать определения функции симметричня относительно

нуля и f(-x)=f(x) «xÎD(f), то функция у=f(x) называется чётной.

Если

f(-x)= — f(x) «xÎD(f), то функция у=f(x) называется нечётной.

Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция обшего вида.

2. Монотонность. функция у=f(x) – возрастающая , если для

любого х1 и х2 из области определения функции (х1

<х2) выполняется неравенство f(x1)<f(x2)

Функция у=f(x) – убывающая, если для любого х1 и х2

из области определения функции (х1>х2) выполняется

неравенство f(x1)>f(x2).

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной на некотором

промежутке , если существует М>0, MÎR|»xÎданному промежутку

|f(x)|£M.

Функция у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mÎR

|»xÎданному промежутку m£f(x). Функция у=f(x) называется

ограниченной сверху, если существует mÎR |»xÎданному промежутку

m³f(x).

4. Периодичность. Функция у=f(x) называется периодической с

периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ — T)=f(x).

3. Обратная функция.

Пусть Функция у=f(x) задана на множестве Х=D(f) и Y=E(f). Предположим, что

различным значениям х1 и х2 соответствуют различные

значения функции f(x1) и f(x2). Тогда для любого

уÎУ мы сможем поставить в соответсвие хÎХ| y=f(x). Получает

отображение f-1: У®Х. Это отображение называется обратным.

График прямой и обратной функции симметричен относительно биссектрисы первой и

третьей координатной четверти.

4. Сложная функция.

Пусть заданы две функции t=h(x), [xÎD(h), T=E(h)] и y=g(t),

[tÎT=D(g), Y=E(g)] (область определения одной функции совпадает с

областью значений другой функции и наоборот) Тогда справедливо следующее

правило: из любого хÎХ по правилу ставится в соответствие y=g(h(x)).

Это правило называется сложной функцией.

5. Основные элементарные функции.

1. Степенная. y=xa, a=const, aÎR. D(f)=(0;+¥). Если aÎNÞD(f)=R.

2. Показательная. y=ax

, a>0,a не равно 1. D(f)=R/ E(f)=(0;+¥). Если a>1, следовательно,

функция возрастает. Если аÎ(0;1), функция убывает.

3. Логарифмическая. y=logax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+¥),

E(f)=R. Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если аÎ(0;1),

функция убывает.

4. Тригонометрические.

5. Обратные тригонометрические.

6. Предел функции

Опр. Пределом функции у=f(x) в точке х0 (или при х →х

0 )называют число а, если для любой последовательности { хn}

значений аргумента , сходящейся к (при этом все хn≠ х0

) последовательность значений функции сходится к пределу а. Это записывают в

виде:

(*)

Аналогично определяеся предел при х →∞ (случаи когда х0

есть +∞ или -∞). А именно, равенство (*) во всех случаях означает

следующее: для любой последовательности { хn}, сходящейся к х0

, соответствующая последовательность {f(хn)} сходится к а.

studfiles.net

1. Функция, одз

Пусть заданы 2 множества Х,У функцией или отображением из Х в У называется правило, по которому каждому значению их Х ставится в соотвествие значение из У.

Числовые функции характеризуются тем, что оба множества Х и У являются подмножествами множества действительных чисел (или совпадают с ними). Область определения функции — множество возможных значений, которые может принимать аргумент.

Графиком функции с областью определения называется множетсво точек Г={(x,f(x)|xX}.

2. Свойства функции.

1. Чётность. Если облать определения функции симметричня относительно нуля и f(-x)=f(x) xD(f), то функция у=f(x) называется чётной. Если

f(-x)= — f(x) xD(f), то функция у=f(x) называется нечётной. Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция обшего вида.

2. Монотонность. функция у=f(x) – возрастающая , если для любого х1 и х2 из области определения функции (х1<х2) выполняется неравенство f(x1)<f(x2)

Функция у=f(x) – убывающая, если для любого х1 и х2 из области определения функции (х1>х2) выполняется неравенство f(x1)>f(x2).

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке , если существует М>0, MR|xданному промежутку |f(x)|M.

Функция у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mR |xданному промежутку mf(x). Функция у=f(x) называется ограниченной сверху, если существует mR |xданному промежутку mf(x).

4. Периодичность. Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ — T)=f(x).

3. Обратная функция.

Пусть Функция у=f(x) задана на множестве Х=D(f) и Y=E(f). Предположим, что различным значениям х1 и х2 соответствуют различные значения функции f(x1) и f(x2). Тогда для любого уУ мы сможем поставить в соответсвие хХ| y=f(x). Получает отображение f-1: УХ. Это отображение называется обратным. График прямой и обратной функции симметричен относительно биссектрисы первой и третьей координатной четверти.

4. Сложная функция.

Пусть заданы две функции t=h(x), [xD(h), T=E(h)] и y=g(t), [tT=D(g), Y=E(g)] (область определения одной функции совпадает с областью значений другой функции и наоборот) Тогда справедливо следующее правило: из любого хХ по правилу ставится в соответствие y=g(h(x)). Это правило называется сложной функцией.

5. Основные элементарные функции.

1. Степенная. y=x, =const, R. D(f)=(0;+). Если ND(f)=R.

2. Показательная. y=ax, a>0,a не равно 1. D(f)=R/ E(f)=(0;+). Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если а(0;1), функция убывает.

3. Логарифмическая. y=logax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+), E(f)=R. Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если а(0;1), функция убывает.

4. Тригонометрические.

5. Обратные тригонометрические.

6. Предел функции

Опр. Пределом функции у=f(x) в точке х0 (или при х →х0 )называют число а, если для любой последовательности { хn} значений аргумента , сходящейся к (при этом все хn≠ х0) последовательность значений функции сходится к пределу а. Это записывают в виде:

(*)

Аналогично определяеся предел при х →∞ (случаи когда х0 есть +∞ или -∞). А именно, равенство (*) во всех случаях означает следующее: для любой последовательности { хn}, сходящейся к х0 , соответствующая последовательность {f(хn)} сходится к а.

studfiles.net

1. Функция, одз

Пусть заданы 2 множества Х,У функцией или отображением из Х в У называется правило, по которому каждому значению их Х ставится в соотвествие значение из У.

Числовые функции характеризуются тем, что оба множества Х и У являются подмножествами множества действительных чисел (или совпадают с ними). Область определения функции — множество возможных значений, которые может принимать аргумент.

Графиком функции с областью определения называется множетсво точек Г={(x,f(x)|xX}.

2. Свойства функции.

1. Чётность. Если облать определения функции симметричня относительно нуля и f(-x)=f(x) xD(f), то функция у=f(x) называется чётной. Если

f(-x)= — f(x) xD(f), то функция у=f(x) называется нечётной. Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция обшего вида.

2. Монотонность. функция у=f(x) – возрастающая , если для любого х1 и х2 из области определения функции (х1<х2) выполняется неравенство f(x1)<f(x2)

Функция у=f(x) – убывающая, если для любого х1 и х2 из области определения функции (х1>х2) выполняется неравенство f(x1)>f(x2).

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке , если существует М>0, MR|xданному промежутку |f(x)|M.

Функция у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mR |xданному промежутку mf(x). Функция у=f(x) называется ограниченной сверху, если существует mR |xданному промежутку mf(x).

4. Периодичность. Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ — T)=f(x).

3. Обратная функция.

Пусть Функция у=f(x) задана на множестве Х=D(f) и Y=E(f). Предположим, что различным значениям х1 и х2 соответствуют различные значения функции f(x1) и f(x2). Тогда для любого уУ мы сможем поставить в соответсвие хХ| y=f(x). Получает отображение f-1: УХ. Это отображение называется обратным. График прямой и обратной функции симметричен относительно биссектрисы первой и третьей координатной четверти.

4. Сложная функция.

Пусть заданы две функции t=h(x), [xD(h), T=E(h)] и y=g(t), [tT=D(g), Y=E(g)] (область определения одной функции совпадает с областью значений другой функции и наоборот) Тогда справедливо следующее правило: из любого хХ по правилу ставится в соответствие y=g(h(x)). Это правило называется сложной функцией.

5. Основные элементарные функции.

1. Степенная. y=x, =const, R. D(f)=(0;+). Если ND(f)=R.

2. Показательная. y=ax, a>0,a не равно 1. D(f)=R/ E(f)=(0;+). Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если а(0;1), функция убывает.

3. Логарифмическая. y=logax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+), E(f)=R. Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если а(0;1), функция убывает.

4. Тригонометрические.

5. Обратные тригонометрические.

6. Предел функции

Опр. Пределом функции у=f(x) в точке х0 (или при х →х0 )называют число а, если для любой последовательности { хn} значений аргумента , сходящейся к (при этом все хn≠ х0) последовательность значений функции сходится к пределу а. Это записывают в виде:

(*)

Аналогично определяеся предел при х →∞ (случаи когда х0 есть +∞ или -∞). А именно, равенство (*) во всех случаях означает следующее: для любой последовательности { хn}, сходящейся к х0 , соответствующая последовательность {f(хn)} сходится к а.

studfiles.net

ОДЗ | Алгебра

Найти ОДЗ — область допустимых значений — задание, которое в алгебре встречается как в виде самостоятельных примеров, так и при решении уравнений, неравенств и их систем.

   

   

ОДЗ многочлена — любое значение переменной.

   

Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля.

Следовательно, ОДЗ дроби — все значения переменной, за исключением тех, в которых знаменатель обращается в нуль.

   

Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени (в том числе, под знаком квадратного корня), должно быть неотрицательным.

Следовательно, ОДЗ выражения, содержащего переменную под знаком корня чётной степени — все значения переменной, при которых это выражение больше либо равно нуля.

   

Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени (в том числе, под знаком квадратного корня) в знаменателе дроби, должно быть положительным.

То есть ОДЗ выражения с корнем чётной степени в знаменателе — множество значений переменной, при котором это выражение строго больше нуля.

   

Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным.

Выражение, стоящее в основании логарифма, должно быть положительным и не равным единице.

   

Выражение, стоящее под знаком синуса, может принимать любые значения (ОДЗ синуса — любые значения переменной).

   

Выражение, стоящее под знаком косинуса, может принимать любые значения (ОДЗ косинуса — любые значения переменной).

   

ОДЗ тангенса можно рассматривать как ОДЗ дроби

   

   

ОДЗ котангенса находим как ОДЗ дроби

   

   

Выражение, стоящее под знаком арксинуса, должно быть не меньшим -1 и не большим 1 (то есть ОДЗ арксинуса — промежуток [-1;1]).

   

Выражение, стоящее под знаком арккосинуса, должно быть не меньшим -1 и не большим 1 (ОДЗ арккосинуса — промежуток [-1;1]).

   

Выражение, стоящее под знаком арктангенса, может принимать любые значения (ОДЗ арктангенса — любые значения f(x)).

   

Выражение, стоящее под знаком арккотангенса, может принимать любые значения (ОДЗ арккотангенса — любые значения f(x)).

   

   

Выражение, стоящее в показателе степени, основание которой — положительное число, может принимать любые значения.

В ходе изучения темы «Степенная функция» обобщается информация по области допустимых значений степени и корня.

   

  • Если α — натуральное число, то f(x)∈R.
  • Если α — целое отрицательное число или нуль, то f(x)≠0.
  • Если α — нецелое положительное число, то то f(x)≥0.
  • Если α — нецелое отрицательное число, то то f(x)>0.

www.algebraclass.ru

Как найти область значения функции?

Функцию можно построить по точкам: подставлять в формулу значение переменной и ставить на графике соответствующие точки. Но при этом нет никакой гарантии, что вы не пропустите точку экстремума или разрыва. Да и процесс это долгий и нудный. Поэтому гораздо рациональнее найти область определения, область значений и все критические точки функции. Поговорим об этом подробнее.

Что такое область значения функции

Область значения функции y=f(x) – это множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех значений х из области определения х € Х. Обозначается область значения как Е y=f(x).

Про область определения написано в статье Как найти область определения функции. Эти две области иногда путают, что недопустимо. Чтобы лучше понять, что это такое, рассмотрим конкретные примеры.

Например, функция y=f(x)=sinx. Для наглядности можно нарисовать синусоиду. Тогда мы увидим, что х может изменяться от -∞ до +∞, y=f(x) определена при х € -∞; +∞. При этом f(x) изменяется от -1 до +1, других значений она не принимает. Значит, область определения функции х € -∞; +∞, область значения Е у = -1; +1. Т.е. область определения – это значения х, при которых функция существует. А область значения – это те значения функции, которые она принимает во всей области определения.

Рассмотрим другой простой пример: у=1/х. Рисовать гиперболы мы тоже умеем и знаем, что при х=0 значение функции не определено, т.е. в этой точке она не существует. При х=0 мы имеем разрыв функции. Значит, область определения х € (-∞ < 0; 0 < ∞), область значения Е у = (-∞ < 0; 0 < ∞).

Если мы знаем область определения функции, нам нужно найти максимальное и минимальное значение функции – это и будет область значений.

Как найти область значений функции: пример

  • Имеем функцию у = 1 / (х² — 4).

Сначала ищем производную функции, чтобы найти точки экстремумов.

  • у’ = (1 / (х² — 4)) ‘ = -2х / (х² — 4)².

Из этого выражения следует, первая точка экстремума при х = 0, т.к. в этой точке производная меняет знак. Т.к. знак меняется с + на -, это максимум.

Максимальное значение функции при х = 0:

  • у = 1 / (х² — 4) = у = 1 / (0² — 4) = -1 / 4.
  • y max = -1/4.

Теперь найдём точки разрыва функции, которые бывают, когда знаменатель производной равен 0.

Раскладываем выражение на множители:

Корни уравнения: х = 2; -2. Значит, это точки разрыва функции. Определяем, к чему стремится функция в этих точках.

  • Lim (1 / (х² — 4)) = lim1(1 / (х – 2)(х + 2)) = lim (1 / (2 – 2)(2 + 2)) = lim ((1/0)(-1/4)) = -∞ .
  • x → -+2

В точках разрыва функция стремится к минус беско

elhow.ru

ОДЗ логарифма | Логарифмы

ОДЗ логарифма следует непосредственно из определения логарифма.

По определению, логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число знаком логарифма:

   

Основание степени должно быть положительным числом, отличным от единицы.

При возведении в любую степень такого числа всегда получается положительное число.

Таким образом, область допустимых значений логарифма (ОДЗ логарифма)

   

состоит из трёх условий:

1) Под знаком логарифма должно стоять положительное число:

   

2-3) В основании логарифма должно стоять положительное число, отличное от единицы:

   

   

Все три условия должны быть выполнены одновременно.

Таким образом, чтобы найти ОДЗ логарифма

   

надо решить систему из трёх неравенств:

   

Если в основании логарифма стоит число: 

   

ОДЗ логарифма содержит всего одно условие:

   

Если под знаком логарифма стоит число, а в основании — выражение с переменной:

   

то в область допустимых значений нужно записать два условия:

   

Примеры нахождения ОДЗ логарифма рассмотрим отдельно.

www.logarifmy.ru

Действия над векторами онлайн калькулятор – Онлайн калькулятор. Векторное произведение векторов.

alexxlab / / Школьная жизнь

Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Векторы представляют собой особый раздел аналитической геометрии, который в том числе оказал значительное влияние на развитие физики. Сам по себе вектор выглядит как отрезок, который имеет начало и имеет конец, определен заданной конечными точками длиной этого отрезка. Но внутри вектора кроется множество других скрытых функций, за счет того что вектор задает направление. Поэтому если для отрезка не имеет значения какая точка названа началом, а какая концом, и чаще просто применяется принцип чтения «слева направо», то для векторов AB и BA – это диаметрально противоположные понятия.

Итак, в векторе присутствует две важных составляющих – это его длина и направление. Тем не менее, координатами вектора задается не его фактическая длина, а местоположение на плоскости или в пространстве. Поэтому длина вектора, иначе называемая модуль вектора, вычисляется, используя прямоугольный треугольник с осями координат. Дальнейшие действия с вектором также чаще используют именно его координаты, нежели фактическую длину. Работе с векторами можно провести аналогию с целыми числами, — как только появляются отрицательные числа на числовой оси, приходится не только считать значение примера, но и все время обращать внимание на знаки. Так и с векторами, во всех действиях – будь то сложение, вычитание, умножение скалярное или векторное и другие действия, приходится не только учитывать реальные масштабы вектора – координаты, длина или угол, но и принимать в расчет его направление. К слову, направления векторов также находят отражение в знаках – обратный изначальному вектор всегда будет со знаком «минус».

В данном разделе разложены все основные действия с векторами, такие как нахождение длины вектора, координат вектора, сложение векторов, вычитание векторов, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение трех векторов, вычисление угла между векторами и другие. Все расчет можно произвести для векторов на плоскости или для векторов в пространстве. Также доступен векторный калькулятор, который вычисляет все возможные параметры одного и более векторов, с заданными координатами точек вектора.

geleot.ru

Сложение векторов | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Для того чтобы сложить векторы, необходимо знать их координаты в плоскости i и j, или в пространстве (i,j,k). Если даны координаты точек начала и конца обоих векторов, которые нужно сложить, то на первом этапе потребуется вычислить координаты самих векторов, чтобы их можно было складывать. Принцип сложения векторов легко обнаружить, если представить сложение в виде схемы на графике координат. Если даны векторы (2,3) и (6,2), то они оба на графике исходят из начала координат. Чтобы понять, как именно происходит сложение векторов в скалярном виде, перенесем вектор таким образом, чтобы его начало совпадало с концом вектора . Теперь из начала координат (0,0) проведем новый вектор в конец вектора . Вектор и будет суммой векторов: . Чтобы найти координаты вектора – результат сложения двух векторов, вернемся к графику координат. Вдоль оси абсцисс общее значение координаты i для вектора состоит из значения той же координаты вектора и вектора , которые нужно аналогично друг с другом сложить. То же самое происходит и по оси ординат, поэтому последовательность складываемых векторов не имеет значения.
ic= ia+ib=2+6=8
jc=ja+jb=3+2=5

geleot.ru

Векторное произведение векторов | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Векторное произведение векторов по определению возможно только в трехмерном пространстве, где у каждого вектора указаны три координаты (i,j,k). Векторное произведение векторов отличается от скалярного тем, что оно представляет собой не просто число, но вектор, имеющий свое собственное направление. Это третье направление и обуславливает трехмерность системы.

Векторное произведение двух векторов и на графике выглядит следующим образом – из точки начала двух векторов проводится третий вектор-произведение , направленный вверх при умножении первого вектора на второй или вниз при умножении второго вектора на первый. Соответственно, направление и знак вектора взаимосвязаны, поэтому обратное векторное произведение векторов будет отрицательным.

Вычислить векторное произведение векторов можно, умножив их длины на синус угла между ними. Эта же самая формула определяет площадь параллелограмма, образованного сторонами и .
=[×]=|||| sin⁡α
||=Sпар.

Таким образом, если векторы и коллинеарны, то синус угла между ними равен нулю, и векторное произведение коллинеарных векторов тоже равно нулевому вектору. Из этого следует, что векторное умножение вектора самого на себя тоже дает нулевой вектор. Если векторы и ортогональны, то их векторное произведение равно произведению их длин, так как синус угла в 90 градусов равен 1.

geleot.ru

Векторное произведение векторов, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор позволяет найти векторное произведение двух векторов всего за пару минут. Для вычисления векторного произведения выберите форму представления векторов (через координаты или по точкам), заполните все элементы и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст пошаговое решение и ответ! Каждый шаг будет детально расписан, это поможет вам понять, как был получен ответ и, при необходимости, проверить свое решение.

Введите данные, чтобы найти векторное произведение векторов  

Форма представления векторов:

координатами точками

Формула :
Решили сегодня: раз, всего раз
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Векторное произведение векторов онлайн

Вычисление векторного произведения векторов онлайн.

Выберите необходимые вам размерность векторов и форму их представления

Форма представления первого вектора: КоординатамиТочками
Форма представления второго вектора: КоординатамиТочками

Введите значения векторов.

Первый вектор


Второй вектор

Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Получить ответ

Воспользуйтесь также:
Скалярное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Проверка образуют ли вектора базис
Разложение вектора по заданному базису

Векторное произведение векторов онлайн

Векторное произведение

Векторным произведением вектора

a

на вектор

b

называется вектор

c

, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах

a

и

b

, направленный перпендикулярно к плоскости этих векторов так, чтоб наименьшее вращение от вектора

a

к

b

, если смотреть с конца вектора

c

, осуществлялось против часовой стрелки (то есть по правилу правого буравчика).

Векторное произведение двух векторов

a

=

{x1; y1; z1}

и

b

=

{x2; y2; z2}

, заданных в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующие формулы:

a

×

b

=

i

j

k

= i(y1z2 — z1y2) — j(x1z2 — z1x2) + k(x1y2 — y1x2)

x1

y1

z1

x2

y2

z2
или

a

×

b

=

{y1 z2 — z1 y2; z1 x2 — x1 z2; x1 y2 — y1 x2}

matematikam.ru

Калькулятор выражений онлайн – Калькулятор выражений

alexxlab / / Школьная жизнь

Онлайн калькулятор: Калькулятор выражений с градусами

Этот калькулятор выполняет арифметические действия над градусами. Как и Арифметика двоичных чисел, технически он сделан на базе калькулятора Математический калькулятор. Сделан был по запросу пользователя Калькулятор .

Вводим выражение с градусами, калькулятор считает. Тонкость тут в форме ввода значений в градусах, ибо символ градуса как-то сложно набрать на клавиатуре. Собственно, вот примеры того, как вводить градусы с их интерпретацией калькулятором:

15 — 15 градусов 0 минут 0 секунд
15.3 — 15 градусов 18 минут 0 секунд (выражение интерпретируется как доли градуса)
15.3′ — 15 градусов 3 минуты 0 секунд (выражение интерпретируется как градусы/минуты)
15.3’5 — 15 градусов 3 минуты 5 секунд (выражение интерпретируется как градусы/минуты/секунды)
15.3’5′ — 15 градусов 3 минуты 5 секунд (выражение интерпретируется как градусы/минуты/секунды)
15.3’5» — 15 градусов 3 минуты 5 секунд (выражение интерпретируется как градусы/минуты/секунды)
15.3.5 — 15 градусов 3 минуты 5 секунд (выражение интерпретируется как градусы/минуты/секунды)
.3 — 0 градусов 18 минут 0 секунд (выражение интерпретируется как доли градуса)
.3′ — 0 градусов 3 минуты 0 секунд (выражение интерпретируется как градусы/минуты/секунды)
.3.5 — 0 градусов 3 минуты 5 секунд (выражение интерпретируется как градусы/минуты/секунды)
.3’5 — 0 градусов 3 минуты 5 секунд (выражение интерпретируется как градусы/минуты/секунды)
.3’5′ — 0 градусов 3 минуты 5 секунд (выражение интерпретируется как градусы/минуты/секунды)
.3’5» — 0 градусов 3 минуты 5 секунд (выражение интерпретируется как градусы/минуты/секунды)

Несколько вариантов записи, чтобы кому как удобнее было.

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Результат вычисления (градусы/минуты/секунды)

 

Результат вычисления (доли градуса)

 

Сохранить share extension

planetcalc.ru

Другие онлайн калькуляторы

На странице представлены калькуляторы различного назначения. На самом деле может возникнуть вопрос — зачем эти калькуляторы вообще нужны? Вообще, они нужны при специфических проблемах — позволяют быстро что-то посчитать. А рост количества калькуляторов онлайн на этой странице дает охват большого количества задач. Такой подход позволяет решать задачи быстрее более чем в два раза.
Итак, Вы можете пользоваться следующим онлайн:

Калькулятор масштабов

Воспользуйтесь калькулятором масштабов

Калькулятор онлайн

Это инженерный математический обычный калькулятор
Перейти к калькулятору

Градусы

Это калькулятор по расчету градусов, минут, секунд, радиан
Перейти

Калькулятор даты и времени

Этот онлайн калькулятор позволяет прибавить к данной дате кол-во дней или количества часов.
Это требуется допустим, когда надо узнать дату, когда надо получать деньги со счета (депозита)
Также может вычислять сколько дней осталось до определенного числа.
Перейти к сервису

Сравнение текстов

Сервис, который помогает при сравнении текстов — найти разницу среди двух текстовых файлов Перейти к программе

md5 генератор

Это простой калькулятор, переводящий текст в md5. Вы вводите текст — он выдает Вам md5. Перейти к сервису

Длина слова, текста

Калькулятор в основном предназначен для seo анализа текста. Вычисляет длину текста, количество слов Перейти

Калькулятор веса труб

В данном калькуляторе вам надо будет указать диаметр, материал, а также толщину стенки трубы. Перейти

Простые числа

Этот калькулятор предоставляет ряд простых чисел в пределах до максимального. Вводится максимальное число. Вычисления калькулятора происходят на компьютере пользователя. Перейти

Генератор паролей онлайн

Генератор паролей позволяет получить много паролей на выбор Перейти

Конвертеры

С помощью данных конвертеров мы можете конвертировать файлы из разных форматов в другие форматы:
Конвертеры

www.kontrolnaya-rabota.ru

Онлайн упрощение математических выражений с помощью калькулятора

Следующий уникальный калькулятор может упрощать заданное пользователем математическое выражение.

В введенном пользователем выражении можно использовать не только одну переменную ( переменная x), но и целые, и даже дробные числа.

В результате калькулятор выдаст вам не только формулу выражения, но и упрощенное выражение.

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

hostciti.net

Калькулятор онлайн

Нахождение обратного числаВвести число, для которого нужно найти обратное, нажать кнопку 1/x
Извлечение квадратного корня (корня 2-й степени)Ввести число, из которого нужно извлечь квадратный корень, нажать кнопку √x
Извлечение кубического корня (корня 3-й степени)Ввести число, из которого нужно извлечь кубический корень, нажать кнопку 3√x
Извлечение корня заданной степениВвести число, из которого нужно извлечь корень заданной степени, нажать кнопку y√x, ввести значение степени извлекаемого корня
Вычисление десятичного логарифма (логарифма по основанию 10)Нажать кнопку log, ввести число, для которого нужно вычислить логарифм по основанию 10
Операции с числом eЕсли необходимо произвести математическую операцию с числом e или с использованием этой константы, то вместо введения значения этого числа нужно просто нажать кнопку e
Возведение числа 10 в степеньНажать кнопку 10x, ввести значение степени, в которую нужно возвести число 10
Возведение в квадрат (2-ю степень)Ввести число, которое нужно возвести в квадрат, нажать кнопку x2
Возведение в куб (3-ю степень)Ввести число, которое нужно возвести в куб, нажать кнопку x3
Возведение в заданную степеньВвести число, которое нужно возвести в заданную степень, нажать кнопку xy, ввести значение степени
Операции с процентамиДля вычисления, чему равно определённое количество процентов от числа, нужно ввести это число, нажать кнопку x (т.е. умножить), ввести количество процентов и нажать %.
Чтобы прибавить к числу (или вычесть) определённое количество процентов от него, нужно ввести это число, нажать кнопку + (или, соответственно, –), затем ввести количество процентов и нажать %
Операции с мнимой единицей (число i)Для использования в вычислениях мнимой единицы (числа i), необходимо нажать кнопку i

www.calculator-pro.ru

Перевод пауэр поинт в пдф – PPT в PDF — Конвертация PPT в PDF онлайн

alexxlab / / Школьная жизнь

Конвертер PowerPoint в PDF

Конвертируйте презентацию PowerPoint в файл PDF.

Начать сначала

Only one file can be selected at a time. Multiple file conversion is supported only for members.

Выберите документ PowerPoint

перетащите файлы сюда

Как конвертировать PowerPoint в PDF? Для отправки на конвертацию выберите файлы PPT или PPTX PowerPoint на компьютере или перетащите их. Дождитесь завершения отправки и конвертации в PDF в облаке.

Присоединяйтесь к 10+ миллионов наших пользователей

A very big ‘thank you’. Just a few seconds, six or seven..and here it comes!! You are really fast and accurate. You made a new friend in Greece. Thank you again.

Наш пользователь Kiki Kariotou, Greece

Оставайтесь на связи

Выбрать конвертер

{{lable}}

Загрузить Сохранить на Диске Google

Сохранить в Dropbox

Удалить

Начать сначала

  • Документы неограниченного размера
  • Convert multiple documents at once
  • Неограниченный доступ ко всем инструментам
  • 20 инструментов для извлечения, конвертирования, сжатия, слияния и разделения файлов PDF
  • Защита файлов при помощи 256-разрядного SSL-шифрования
  • Мгновенная конвертация
  • На любом компьютере
  • Приоритетная поддержка

www.freepdfconvert.com

Как конвертировать PowerPoint в PDF

Далеко не всегда стандартный формат презентации в PowerPoint соответствует всем требованиям. Потому приходится производить конвертирование в другие виды файлов. Например, довольно востребованным является преобразование стандартного PPT в PDF. Об этом и следует сегодня поговорить.

Перенос в PDF

Необходимость в переносе презентации в формат PDF может быть обусловлена множеством факторов. Например, печатать документ PDF намного лучше и проще, качество выходит намного выше.

Какой бы ни была необходимость, вариантов для конвертирования много. И всех их можно условно разделить на 3 основных способа.

Способ 1: Специализированное ПО

Существует широкий ряд всевозможных конверторов, которые способны преобразовывать из Повер Поинт в ПДФ с минимальными потерями качества.

Для примера будет взята одна из наиболее популярных программ для данных целей – FoxPDF PowerPoint to PDF Converter.

Скачать программу FoxPDF PowerPoint to PDF Converter

Здесь можно как приобрести программу, разблокировав полный функционал, так и воспользоваться бесплатной версией. По этой же ссылке можно приобрести FoxPDF Office, включающий в себя ряд конвертеров для большинства форматов MS Office.

  1. Для начала работы нужно добавить презентацию в программу. Для этого есть отдельная кнопка – «Add PowerPoint».

  2. Откроется стандартный обозреватель, где потребуется найти необходимый документ и добавить его.

  3. Теперь можно произвести необходимые настройки перед началом конвертирования. Например, можно изменить имя конечного файла. Для этого нужно либо нажать кнопку «Operate», либо щелкнуть по самому файлу в рабочем окне правой кнопкой мыши. Во всплывающем меню нужно выбрать функцию «Rename». Также для этого можно использовать горячую клавишу «F2».

    В открывающемся меню можно переписать имя будущего PDF.

  4. Внизу расположен адрес, куда будет сохранен результат. Нажатием на кнопку с папкой также можно изменить директорию для сохранения.

  5. Для начала конвертирования следует нажать на кнопку «Convert to PDF» в левом нижнем углу.

  6. Начнется процесс преобразования. Длительность зависит от двух факторов – размера презентации и мощности компьютера.

  7. В конце программа предложит сразу открыть папку с результатом. Процедура выполнена успешно.

Данный метод достаточно эффективен и позволяет без потерь качества или содержимого перевести презентацию PPT в PDF.

Также существуют и другие аналоги конверторов, данный же выигрывает за счет простоты использования и наличия бесплатной версии.

Способ 2: Онлайн-сервисы

Если же вариант скачивания и установки дополнительного ПО не устраивает по каким-либо причинам, то можно воспользоваться и онлайн-конверторами. Для примера стоит рассмотреть Standard Converter.

Сайт Standard Converter

Пользоваться данным сервисом очень просто.

  1. Внизу можно выбрать формат, который будет конвертироваться. По указанной выше ссылке автоматически будет выбран PowerPoint. Сюда входит, кстати, не только PPT, но и PPTX.

  2. Теперь нужно указать нужный файл. Для этого нужно нажать на кнопку «Обзор».

  3. Откроется стандартный обозреватель, в котором нужно найти необходимый файл.

  4. После этого останется нажать на кнопку «Convert».

  5. Начнется процедура преобразования. Поскольку трансформация происходит на официальном сервере сервиса, скорость зависит только от размера файла. Мощность компьютера пользователя не имеет значения.

  6. В итоге появится окно, предлагающее скачать результат на компьютер. Здесь можно стандартным образом выбрать конечный путь сохранения либо сразу открыть в соответствующей программе для ознакомления и дальнейшего сохранения.

Данный способ отлично подойдет для тех, кто работает с документами с бюджетных устройств и мощность, точнее, отсутствие таковой, может затянуть процесс конвертирования.

Способ 3: Собственная функция

Если ни один из вышеописанных способов не подходит, можно переформатировать документ собственными ресурсами PowerPoint.

  1. Для этого нужно отправиться во вкладку «Файл».

  2. В открывшемся меню требуется выбрать вариант «Сохранить как…».

    Откроется режим сохранения. Для начала программа потребует указать область, где будет производиться сохранение.

  3. После выбора будет доступно окно стандартного обозревателя для сохранения. Здесь нужно будет внизу выбрать другой тип файла – PDF.

  4. После этого нижняя часть окна расширится, открыв дополнительные функции.

  5. После нажатия кнопки «Сохранить» начнется процесс переноса презентации в новый формат, после чего свежий документ появится по указанному ранее адресу.

Заключение

Отдельно стоит сказать о том, что не всегда печать презентации хороша только в PDF. В оригинальном приложении PowerPoint также можно неплохо распечатывать, здесь есть даже свои преимущества.

Читайте также: Как распечатать презентацию PowerPoint

В конце концов, стоит не забывать о том, что также можно конвертировать документ PDF в другие форматы MS Office.

Читайте также:
Как конвертировать документ PDF в Word
Как конвертировать в PDF документ Excel

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Помогла ли вам эта статья?

ДА НЕТ

lumpics.ru

Сохранение презентаций PowerPoint в формате PDF

В PowerPoint для macOS можно преобразовать презентацию в формат PDF двумя способами.

  • Можно сохранить презентацию в формате PDF (Файл > Сохранить как).

    -ИЛИ-

  • Можно экспортировать презентацию в виде PDF-файла (Файл > Экспорт).

Оба способа действуют одинаково, так что при создании PDF-версии презентации вам нужно просто выбрать тот, который вам лучше знаком.

Способ 1. Сохранение презентации в формате PDF

  1. Выберите Файл > Сохранить как.

  2. Выберите место для сохранения PDF-файла, а затем в окне Формат файла выберите PDF.

Способ 2. Экспорт презентации в формате PDF

(Этот способ недоступен в PowerPoint для Mac 2011).

  1. Выберите Файл > Экспорт.

  2. В меню Формат файла выберите PDF.

Примечание: Если вам нужны дополнительные возможности для настройки преобразования презентаций в формат PDF в PowerPoint для macOS, оставьте свои пожелания на странице предложений для PowerPoint.

Настройка качества печати PDF-файла

Следующие функции недоступны: сохранение заметок, сохранение слайдов в виде раздаточных материалов, добавление скрытых слайдов в PDF-файл и уменьшение размера PDF-файла. Однако в более новых версиях PowerPoint для macOS (после версии 2011) можно повысить или понизить качество печати PDF-файла.

Для качества печати PDF-файла можно задать значения Высокое, Среднее или Низкое в зависимости от потребностей. По умолчанию качество печати настроено на «Высокое» значение (это оптимальный вариант для печати PDF-файлов). Следуйте этим инструкциям, чтобы настроить качество печати PDF-файла:

  1. В меню PowerPoint выберите пункт Параметры.

  2. В диалоговом окне Параметры PowerPoint щелкните пункт Общие.

  3. В разделе Качество печати (бумага/PDF) установите для параметра Нужное качество вариант по своему выбору.

support.office.com

Как конвертировать PPT в PDF

Конвертирование PPT в PDF

   24.02.2018


Для подготовки презентации отлично подойдет программа Power Point от Microsoft, однако может возникнуть потребность перевести эту презентацию в файл PDF. В этой статье будет рассказано о том, как это сделать с помощью специального софта.

Конвертирование с помощью специальных утилит

Специальные программы будут полезны тем, у кого не всегда есть доступ в интернет. Также они более удобны в использовании и содержат больший функционал нежели онлайн-сервисы. Ниже приведены три наиболее популярных утилит.

Способ 1: FoxPDF PPT to PDF Converter

FoxPDF PPT to PDF Converter — простая программа с приятным дизайном и большим функционалом.

Скачать FoxPDF PPT to PDF Converter

Чтобы преобразовать файл, следуйте следующей инструкции:

  1. Для начала нужно ее скачать и установить. В процессе установки сложностей возникнуть не должно, так как установка стандартная: принимаем пользовательское соглашение, выбираем, куда установить софт и устанавливаем.
  2. Далее необходимо запустить программу, кликнуть по кнопке «Add PowerPoint(PPT)», выбрать файл в формате PPT и нажать «Открыть».
  3. Затем нажимаем на круг в правом нижнем углу «Convert to PDF».
  4. Начнется процесс конвертации, который не займет много времени. По окончании данного процесса нам предложит перейти в директорию, где расположен преобразованный файл.

Способ 2: PPT to PDF Converter

С помощью этого софта можно сохранять презентации в формат для чтения напрямую из Power Point, что очень удобно.

Скачать PPT to PDF Converter

Для осуществления преобразования необходимо:

  1. Скачать и установить PPT to PDF Converter. Процесс установки такой же простой, как и при предыдущем способе, только здесь еще добавляется папка в меню «Пуск», которую, при желании, можно не создавать.
  2. После установки необходимо зайти в файл презентации, который желаете конвертировать. Там находим раздел «Сохранить как». Например в MS Office 2010 для этого необходимо перейти во вкладку «Файл» и там выбрать «Сохранить как».
  3. Далее следует задать имя файлу, выбрать тип PDF и нажать «Сохранить». Файл сразу сохранится в формате для чтения, не требующий никаких преобразований.

Способ 3: All Office Converter Platinum

All Office Converter Platinum рекомендуется для конвертации из Power Point старых версий.

  1. Скачиваем и устанавливаем программу аналогично предыдущим способам.
  2. Далее запускаем и выбираем в левом верхнем углу вкладку «File». В открывшемся меню необходимо нажать на «Add File» и выбрать нужный PPT-файл.
  3. Затем следует выбрать директорию, в которую будут попадать файлы. Для этого нажимаем кнопку с троеточием напротив соответствующего поля и выбираем любой удобный путь. Например мы выбрали «Рабочий стол», после чего нажали «ОК».
  4. Нажимаем на кнопку «Convert» и получаем файл в PDF.Файл будет находиться в той директории, которую вы указали в предыдущем шаге.

Читайте также: Конвертирование PDF в FB2

Мы рассмотрели несколько способов преобразования документа из Power Point формата в PDF. Желаем удачи!

Расскажи друзьям в социальных сетях

compdude.ru

Конвертировать PPT в PDF — Онлайн Конвертер Файлов

Исходный формат:CSV — Comma Separated ValuesDOC — Microsoft Word DocumentDOCX — Microsoft Word 2007 DocumentDJVU — DjVu DocumentODP — OpenDocument PresentationODS — OpenDocument SpreadsheetODT — OpenDocument Text DocumentPPS — PowerPoint Slide ShowPPSX — PowerPoint Slide Show 2007PPT — PowerPoint PresentationPPTX — PowerPoint Presentation 2007PDF — Portable Document FormatPS — PostScriptEPS — Encapsulated PostScriptRTF — Rich Text FormatTXT — Text documentWKS — Microsoft Works SpreadsheetWPS — Microsoft Works DocumentXLS — Microsoft Excel SpreadsheetXLSX — Microsoft Excel 2007 SpreadsheetXPS — XML Paper Specification3GP — 3GP Multimedia FileAVI — Audio Video Interleave FileFLV — Flash Video FileM4V — MPEG-4 Video FileMKV — Matroska Video FileMOV — Apple QuickTime Movie FileMP4 — MPEG-4 Video FileMPEG — Moving Picture Experts Group FileOGV — Ogg Vorbis Video FileWMV — Windows Media Video FileWEBM — HTML5 Video FileAAC — Advanced Audio Coding FileAC3 — AC3 Audio FileAIFF — Audio Interchange File FormatAMR — Adaptive Multi-Rate Audio FileAPE — Monkey’s Lossless Audio FormatAU — Sun’s Audio File FormatFLAC — Free Lossless Audio CodecM4A — MPEG-4 Audio FileMKA — Matroska Audio FileMP3 — MPEG-1 Audio Layer 3 FileMPC — MusePack Audio FileOGG — Ogg Vorbis Audio FileRA — RealMedia Streaming MediaWAV — Waveform Audio File FormatWMA — Windows Media Audio FileBMP — Windows BitmapEXR — OpenEXR File FormatGIF — Graphics Interchange FormatICO — ICO File FormatJP2 — JPEG 2000 compliant imageJPEG — Joint Photographic Experts GroupPBM — Netpbm Portable Bitmap formatPCX — Paintbrush image formatPGM — Netpbm Portable Graymap formatPNG — Portable Network GraphicsPPM — Netpbm Portable Pixmap formatPSD — Photoshop DocumentTIFF — Tagged Image File FormatTGA — Truevision Graphics AdapterCHM — Microsoft Compiled HTML HelpEPUB — Electronic PublicationFB2 — Fiction Book 2.0LIT — Microsoft LiteratureLRF — Sony Portable ReaderMOBI — Mobipocket eBookPDB — Palm Media eBookRB — RocketEdition eBookTCR — Psion eBook7Z — 7-ZipZIP — ZipRAR — Roshal ArchiveJAR — Java ArchiveTAR — TarballTAR.GZ — TAR GZippedCAB — Cabinet

www.docspal.com

Переводим файлы PowerPoint в pdf-формат


Преобразовать файлы презентаций PowerPoint в формат PDF можно сразу несколькими способами, каждый из которых на выходе даст хороший результат. Я рассмотрю каждый из них, а какой в итоге выбрать – решать уже вам.

Free PowerPoint/PPT to Pdf Converter


Бесплатная программа, которая позволяет быстро преобразовать файлы, сохранив при этом их содержание в оригинальном виде. Работает все быстро, и, несмотря на англоязычный интерфейс, не нужно иметь какой-либо опыт для ее освоения.
Скачать программу

Сохранение из PowerPoint

В последних версиях этого компонента Microsoft Office, функция сохранения в нужном формате, является встроенной. Для этого, откройте нужный документ-презентацию, и в меню «Сохранить как», выберите пункт «Adobe PDF» или «Другие форматы». Если вы выбрали последний пункт, укажите в выпадающем списке «PDF», и нажмите «Сохранить».

Будет запущен процесс конвертации, и всего через несколько секунд вы получите готовый файл. Быстро и просто.

Преобразование можно реализовать и с помощью редактора Adobe Acrobat. Но, так как программа платная, здесь мы ее рассматривать не будем. Перейдем лучше сразу к онлайн-сервисам.

Powerpoint to PDF Converter от Nitro

Сервис от разработчиков специализированной программы, с помощью которого тоже можно быстро запустить конвертацию файлов Microsoft Office для получения PDF на выходе. Результат можно получить на email, если оставить его в специальном поле формы.
Официальный сайт

PDF Converter


Название сервиса полностью соответствует его предназначению. Здесь есть и обратная конвертация, то есть, «пдф-ку» можно сохранить в других офисных форматах.
Официальный сайт

Думаю, перечисленной в этой статье информации точно должно быть достаточно, чтобы вы смогли реализовать данную задачу.

alterprogs.ru

Как перевести PDF в PowerPoint

Иногда приходится получать документы не в том формате, в каком хотелось. Остается либо искать способы прочитать данный файл, либо перевести его в другой формат. Вот как раз про рассмотрение второго варианта стоит поговорить подробнее. Особенно, когда это касается файлов PDF, которые нужно перевести в PowerPoint.

Преобразование PDF в PowerPoint

Обратный пример конвертирования можно посмотреть здесь:

Урок: Как перевести PowerPoint в PDF

К сожалению, в данном случае программой для презентаций не предусмотрено функции открытия PDF. Приходится использовать только стороннее ПО, которое как раз и специализируется на конвертировании данного формата в различные другие.

Далее можно ознакомиться с небольшим списком программ для конвертирования PDF в PowerPoint, а также принципом их работы.

Способ 1: Nitro Pro

Сравнительно популярный и функциональный инструментарий для работы с PDF, в том числе и конвертированием таких файлов в форматы приложений пакета MS Office.

Скачать Nitro Pro

Перевести PDF в презентацию здесь очень даже просто.

  1. Для начала следует загрузить в программу нужный файл. Для этого можно просто перетащить нужный файл в рабочее окно приложения. Также можно сделать это стандартным способом – зайти во вкладку «Файл».

  2. В открывшемся меню выбрать «Открыть». Сбоку появится перечень направлений, где можно найти нужный файл. Поиск можно осуществлять как на самом компьютере, так и в различных облачных хранилищах – DropBox, OneDrive и так далее. После выбора нужной директории сбоку будут отображаться варианты – имеющиеся файлы, пути навигации и так далее. Это позволяет эффективно искать необходимые объекты PDF.

  3. Как итог, нужный файл будет загружен в программу. Теперь здесь его можно просмотреть.

  4. Чтобы начать конвертирование, нужно зайти во вкладку «Преобразование».

  5. Здесь потребуется выбрать пункт «В PowerPoint».

  6. Откроется окно преобразования. Тут можно произвести настройки и сверить все данные, а также указать директорию.

  7. Для выбора пути сохранения нужно обратиться к области «Уведомления» — здесь нужно выбрать параметр адреса.

    • По умолчанию здесь задано «Папка с исходным файлом» — конвертированная презентация сохранится туда же, где находится документ PDF.
    • «Заданная папка» разблокирует кнопку «Обзор», чтобы в обозревателе выбрать папку, куда сохранить документ.
    • «Спросить в процессе» означает, что данный вопрос будет задан уже после завершения процесса конвертирования. Стоит отметить, что такой выбор будет дополнительно нагружать систему, поскольку преобразование будет происходить в кэше компьютера.
  8. Чтобы настроить процесс конвертирования, нужно нажать кнопку «Параметры».

  9. Откроется специальное окно, где все возможные настройки рассортированы по соответствующим категориям. Стоит обратить внимание, что различных параметров тут очень много, поэтому не стоит здесь что-либо трогать без наличия соответствующих знаний и прямой необходимости.

  10. В конце всего этого нужно нажать кнопку «Преобразование», чтобы начать процесс конвертирования.

  11. Переведенный в PPT документ будет находиться в указанной ранее папке.

Стоит отметить, что главным недостатком данной программы является то, что она сразу пытается настойчиво встроиться в систему, чтобы с ее помощью по умолчанию открывались как документы PDF, так и PPT. Это очень мешает.

Способ 2: Total PDF Converter

Очень известная программа для работы с конвертированием PDF во всевозможные форматы. Она также работает и с PowerPoint, так что нельзя было не вспомнить про это.

Скачать Total PDF Converter

  1. В рабочем окне программы сразу видно обозреватель, в котором и следует отыскать необходимый файл PDF.

  2. После того, как он будет выбран, справа можно будет просмотреть документ.

  3. Теперь остается нажать вверху на кнопку «PPT» с фиолетовой иконкой.

  4. Сразу откроется специальное окно для настройки преобразования. Слева отображены три вкладки с разными настройками.
    • «Куда» говорит сама за себя: тут можно настроить конечный путь нового файла.

    • «Поворот» позволяет перевернуть информацию в итоговом документе. Полезно, если в PDF страницы расположены не так, как надо.

    • «Начать конвертацию» демонстрирует весь список настроек, по которым будет происходить процесс, но в качестве перечня, без возможности изменения.

  5. Остается нажать кнопку «Начать». После этого произойдет процесс конвертирования. Сразу по окончанию автоматически откроется папка с итоговым файлом.

Данный метод имеет свои минусы. Основной – очень часто программа не подстраивает размер страниц в итоговом документе под тот, который заявлен в исходнике. Потому часто слайды выходят с белыми полосами, обычно снизу, если в PDF не был заранее забит стандартный размер страниц.

Не менее популярное приложение, которое также предназначено для предварительного редактирования PDF перед его конвертированием.

Скачать Abble2Extract

  1. Нужно добавить требуемый файл. Для этого следует нажать кнопку «Open».

  2. Откроется стандартный обозреватель, в котором потребуется отыскать необходимый документ PDF. После открытия его можно изучить.

  3. Программа работает в двух режимах, которые меняются четвертой кнопкой слева. Это либо «Edit», либо «Convert». После загрузки файла автоматически работает режим конвертирования. Для изменения документа нужно нажать на эту кнопку, чтобы открылась панель с инструментами.

  4. Для конвертирования нужно в режиме «Convert» выбрать необходимые данные. Делается это либо кликом левой кнопкой мышью на каждом конкретном слайде, либо нажатием кнопки «All» на панели инструментов в шапке программы. Это выберет все данные для конвертирования.

  5. Теперь остается выбрать, во что это все преобразовывать. Там же в шапке программы нужно выбрать значение «PowerPoint».

  6. Откроется обозреватель, в котором нужно выбрать место, куда будет сохранен конвертированный файл. Сразу после окончания преобразования итоговый документ будет автоматически запущен.

Проблем у программы несколько. Во-первых, бесплатная версия может конвертировать до 3 страниц за один раз. Во-вторых, она не только не подгоняет формат слайдов под страницы PDF, но и нередко искажает цветовую гамму документа.

В-третьих, она конвертирует в формат PowerPoint от 2007 года, что может привести к некоторым проблемам совместимости и искажению содержимого.

Главным же плюсом является пошаговое обучение, которое включается при каждом запуске программы и помогает спокойно выполнить конвертирование.

Заключение

В конце следует отметить, что большинство способов все равно выполняют относительно далекое от идеала конвертирование. Все-таки приходится дополнительно редактировать презентацию, чтобы она выглядела лучше.

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Помогла ли вам эта статья?

ДА НЕТ

lumpics.ru

Синусы косинусы на окружности – Тригонометрическая окружность. Подробная теория с примерами.

alexxlab / / Школьная жизнь

Синус и косинус числового аргумента, знаки значений функций. Тест

Тестирование онлайн

Единичная окружность

Рассмотрим единичную окружность, т.е. окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1.

Каждой точке на единичной окружности соответствует угол, координата х и координата y.

Точке А соответствует угол ?=300, координата х=0,87, координата y=0,5. Рассмотрим треугольник ОАВ: ; . Таким образом, координата х точки А — косинус угла ?, а координата y точки А — синус угла ?.

Для любой точки на окружности, соответствующей любому углу, можно определить значения косинуса и синуса этого угла.



Табличные значения углов

Знаки функций

Тригонометрическую окружность разбивают на четверти.

В соответствующей четверти синус, косинус, тангенс, котангенс принимают положительное или отрицательное значения.

Значение угла на тригонометрической окружности

При прохождении окружности против часовой стрелки, начиная с точки С (1;0), угол положительный, при прохождении по часовой стрелки — отрицательный.

В точку А можно попасть при повороте ОС на угол или на угол, отличающийся от на любое целое число оборотов. Например, или , или и т.д. Поэтому для описания угла, соответствующего точке А на окружности, применяют общую запись

В точку В можно попасть при повороте ОС на угол или, в общем виде, . Если угол, соответствующий точке В, описывать, используя положительное направление отсчета, получим эквивалентную запись .

fizmat.by

Единичная окружность | Треугольники

Что такое единичная окружность и как с ее помощью вводятся определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса?

Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат окружность с центром в начале координат — точке O.

 

Отметим на окружности точку P, лежащую на оси абсцисс справа от точки O.

Осуществим поворот радиуса OP около точки O на угол α в верхнюю полуплоскость.

При этом радиус OP займет положение OA. Говорят, что при повороте на угол альфа радиус OP переходит в радиус OA, а точка P переходит в точку точку A(x;y).

 

Опустив перпендикуляр AB из точки A на ось Оx, получим прямоугольный треугольник OAB, в котором гипотенуза OA равна радиусу окружности, катеты AB и OB — ординате и абсциссе точки A: OA=R, AB=y, OB=x.

Катет AB — противолежащий углу AOB, равному α, катет OB — прилежащий.

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

   

Таким образом, на окружности косинус угла α — это отношение абсциссы точки A окружности к радиусу этой окружности.

Аналогично, по определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

   

Значит,  синус угла α — это отношение ординаты точки A окружности к радиусу этой окружности.

Для окружности любого радиуса отношения x/R и y/R не зависят от величины радиуса, а зависят только от  угла альфа. Поэтому удобно взять R=1. Для окружности единичного радиуса определение синуса и косинуса упрощаются:

   

   

Определение.

Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице, называется единичной окружностью.

Отсюда получаем определения синуса и косинуса на единичной окружности.

Определение.

Синусом угла α называется ордината точки A единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

Косинусом угла α называется абсцисса точки A единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

Применив определения тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике в ∆AOB,  получаем:

   

откуда

   

   

Приходим к определению тангенса и котангенса на единичной окружности.

Определение.

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки A единичной окружности к абсциссе этой точки.

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки A единичной окружности к ординате этой точки.

www.treugolniki.ru

Тригонометрия окружность со всеми значениями: ось синусов

Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность. Что это такое?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…» )

 

Очень часто термины тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность плохо понимаются учащимся народом. И совершенно зря. Эти понятия – мощный и универсальный помощник во всех разделах тригонометрии. Фактически, это легальная шпаргалка! Нарисовал тригонометрический круг – и сразу увидел ответы! Заманчиво? Так давайте освоим, грех такой вещью не воспользоваться. Тем более, это совсем несложно.

Для успешной работы с тригонометрическим кругом нужно знать всего три вещи.

Первое. Надо знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в применении к прямоугольному треугольнику. Сходите по ссылке, кто ещё не был. Тогда и здесь всё ясно будет.

Второе. Надо знать, что такое тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность. Это я расскажу прямо здесь и сейчас.

Третье. Надо знать, как отсчитывать углы на тригонометрическом круге, и что такое градусная и радианная меры углов. Это будет в следующих уроках.

Всё. Разобравшись с этими тремя китами, получим надёжную, безотказную и совершенно законную шпаргалку для всей тригонометрии сразу.

А то в школьных учебниках с этой самым тригонометрическим кругом как-то не очень…

Начнём, помаленьку.

В предыдущем уроке вы усвоили, что синус, косинус, тангенс и котангенс (т.е.

тригонометрические функции) зависят только от угла. И не зависят от длин сторон в прямоугольном треугольнике. Отсюда интересный вопрос. Пусть у нас есть вот такой угол. Назовём его угол β. Буква красивая.)

Раз есть угол, у него должны быть тригонометрические функции! Синус, скажем, или котангенс… А где их взять? Нет ни гипотенузы, ни катетов…

Как определить тригонометрические функции угла без прямоугольного треугольника? Задачка… Придётся опять лезть в сокровищницу мировых знаний. К средневековым людям. Те всё умели…

Первым делом возьмём координатную плоскость. Это самые обычные координатные оси, ОХ – по горизонтали, ОY – по вертикали. И… прибьём одну сторону угла к положительной полуоси ОХ. Вершина угла, естественно, в точке О. Крепко прибьём, чтобы не оторвать! Вторую сторону оставим подвижной, чтобы угол менять можно было. Раздвижной у нас угол будет. Конец неприбитой стороны угла обозначим точкой А. Получим вот такую картинку:

 

 

Так, угол пристроили. А где его синус, где косинус? Спокойно! Сейчас всё будет.

Отметим координаты точки А на осях. Наведите курсор мышки на картинку и всё увидите. На ОХ это будет точка В, на ОY — точка С. Понятно, что В и С — это какие-то числа. Координаты точки А.

Так вот, число В будет косинусом угла β, а число С – его синусом!

С чего бы это? Древние люди учили нас, что синус и косинус – это отношения сторон! Которые от длин сторон не зависят. А мы тут координаты точки придумали… Но! Посмотрите на треугольник ОАВ. Прямоугольный, кстати… По древнему определению косинус угла β равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Т.е. ОВ/ОА. Ладно, не возражаем. Причём косинус и синус не зависят от длин сторон.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Тригонометрический круг

А это вообще отлично! Это значит, что длины сторон можно брать какие угодно. Имеем полное право взять длину ОА за единицу! Неважно чего. Хоть метр, хоть километр, всё равно синус не меняется. А в этом случае

Вот так. Если провести такие же рассуждения для синуса, получим, что синус угла β равен АВ. Но АБ = ОС. Следовательно,

Можно сказать совсем просто. Синусом угла β будет игрековая координата точки А, а косинусом – иксовая. Слова нестандартные, но тем лучше. Запоминается надёжнее! А запомнить это надо. Железно запомнить. Косинус – по иксу, синус – по игреку.

Нет, не обидели средневековые люди древних! Сберегли наследие! И отношение сторон сохранили, и возможности расширили чрезвычайно!

Однако, а где тригонометрический круг!? Где единичная окружность!? Ни слова про круги не было!

Верно. Но осталось всего ничего. Взять подвижную сторону ОА и повернуть её вокруг точки О на полный оборот. Как вы думаете, какую фигуру нарисует при этом точка А? Совершенно верно! Окружность! Вот она.

Вот это и будет тригонометрический круг.

Вот так. А почему круг — тригонометрический? Круг и круг… Вопрос резонный. Поясняю. Каждой точке окружности соответствуют два числа. Координата этой точки по Х и координата этой точки по Y. А координаты у нас что? Наведите курсор на рисунок. Координаты у нас — точки В и С. Т.е. косинус и синус угла β. Т.е. тригонометрические функции. Поэтому круг и называется тригонометрическим.

Вспомнив, что ОА = 1, а ОА – радиус, сообразим, что это же – и единичная окружность тоже.

А так как синус и косинус — просто какие-то числа — этот тригонометрический круг будет ещё и числовой окружностью.

Три термина в одном флаконе.)

В данной теме эти понятия: тригонометрический круг, единичная окружность и числовая окружность – одно и то же. В более широком смысле, единичная окружность – это любая окружность с радиусом, равным единице. Тригонометрический круг – практический термин, как раз для работы с единичной окружностью в тригонометрии. Чем мы сейчас и позанимаемся. Работой с тригонометрическим кругом.

Первую половину работы мы уже выполнили. Нарисовали тригонометрический круг с помощью угла (классно звучит, правда?).

Теперь выполним вторую половину работы. Сделаем то же самое, только наоборот. Пройдём путь от тригонометрического круга к углу.

Пусть нам дана единичная окружность. Т.е. просто окружность, нарисованная на координатной плоскости, с радиусом, равным единице. Возьмём произвольно точку А на окружности. Отметим её координаты точками В и С на осях. Как нам помнится, её координаты — это cosβ (по иксу) и sinβ (по игреку). И синус с косинусом отметим. Получим вот такую картинку:

Всё понятно? Внимание, вопрос!

Где β!? Где угол β, без которого синуса и косинуса не бывает!?

Наводим курсор на картинку, и… вот он, вот он угол β! Именно его синус и косинус являются координатами точки А.

Кстати, здесь не нарисована прибитая сторона угла. Она и в предыдущих рисунках не нужна, только так, для понимания… Угол всегда отсчитывается от положительного направления оси ОХ. От направления стрелки.

А если точку А взять в другом месте? Окружность — она круглая… Да пожалуйста! Где угодно! Поместим, к примеру, точку А во вторую четверть, отметим её координаты, синус, косинус, как полагается. Вот так:

Самые наблюдательные заметят, что синус угла β – положительный (точка С – на положительной полуоси OY), а вот косинус – отрицательный! Точка В лежит на отрицательной полуоси ОХ.

Наводим курсор на картинку и видим угол β. Угол β здесь – тупой. Чего, кстати, решительно не бывет в прямоугольном треугольнике. А зря, что ли, мы возможности расширяли?

Уловили суть тригонометрического круга? Если взять точку в любом месте окружности, её координатами будут косинус и синус угла. Угол отсчитывается от положительного направления оси ОХ и до прямой, соединяющей центр координат с этой самой точкой на окружности.

Вот и всё. Проще хотелось бы, да некуда. Кстати, мой вам совет. Работая с тригонометрическим кругом, рисуйте не только точки на окружности, но и сам угол! Как на этих рисунках. Понятнее будет.

Рисовать вам этот круг в тригонометрии постоянно придётся. Это не обязаловка, это и есть та легальная шпаргалка, которой пользуются умные люди. Сомневаетсь? Тогда назовите мне по памяти знаки вот таких выражений, к примеру: sin1300, cos1500, sin2500, cos3300? Я уж не спрашиваю про cos10500 или sin(-1450)… Про такие углы в следующем уроке написано.

И нигде-то вы подсказку не найдёте. Только на тригонометрическом круге. Рисуем примерный угол в правильной четверти и сразу видим, куда попадают его синус и косинус. На положительные полуоси, или отрицательные. Кстати, определение знаков тригонометрических функций постоянно требуется в самых различных заданиях…

Или ещё, чисто для примера… Надо вам, например, узнать, что больше, sin1300, или sin1550? Попробуй-ка, сообрази просто так…

А мы умные, мы нарисуем тригонометрический круг. И нарисуем на нём угол примерно 130 градусов. Исходя только из того, что он больше 90 и меньше 180 градусов. Ориентируемся на угол, а не на окружность! Уж где пересечёт подвижная сторона угла окружность, там и пересечёт. Отмечаем игрековую координату точки пересечения. Это будет sin1300. Как на этом рисунке:

А затем, здесь же, нарисуем угол 155 градусов. Примерно нарисуем, зная, что он больше 130 градусов. И меньше 180. Отметим и его синус. Наведите курсор на картинку, всё увидите. Ну и что, какой синус больше? Тут уж совсем трудно ошибиться! Конечно sin1300 больше, чем sin1550!

Долго? Да ну?! Никто не требует от вас тщательно прорисовывать картину и обеспечивать мультипликацию! Поработаете с этим сайтом, и по этой задаче будете за 10 секунд рисовать вот такую картинку:

Другой и не сообразит, что это за каракули, да… А вы спокойно и уверенно дадите правильный ответ! Хотя, аккуратность и не мешает… А то можно такую «окружность» нарисовать, что ответ обратный получится…

Эта задачка — только один пример широких возможностей тригонометрического круга. Освоить эти возможности вполне реально. Чем мы и займёмся далее.

Чаще всего вам придётся иметь с тригонометрическими функциями в обычной, алгебраической записи. Типа sin450, tg(-3), cos(x+y) и так далее. Безо всяких картинок и тригонометрических кругов! Рисовать этот самый круг надо самим. Руками. Если, конечно, хотите легко и правильно решать задания по тригонометрии. В том числе и самые продвинутые. Но особо не волнуйтесь. Уж на этом сайте, в тригонометрии, я вам обеспечу рисование кругов! И вы освоите этот крайне полезный приём. Однозначно.

Подведём итоги урока.

В этой теме мы плавно перешли от тригонометрических функций угла в прямоугольном треугольнике к тригонометрическим функциям любого угла. Для этого нам понадобилось освоить понятия «тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность». Это очень полезно.)

Здесь я рассказывал о тригонометрическом круге в применении к синусу и косинусу. Но тангенс и котангенс тоже можно увидеть на круге! Одно движение ручкой, и вы легко и правильно определяете знак тангенса — котангенса любого угла, решаете тригонометрические неравенства и вообще потрясаете окружающих своими тригонометрическими способностями.)

Если вас интересуют такие перспективы — можно посетить урок «Тангенс и котангенс на тригонометрическом круге» в Особом разделе 555.

Далее мы разберёмся со следующими вопросами.

Как выглядят углы в 1000 градусов? Как выглядят отрицательные углы? Что за загадочное число «Пи», на которое неизбежно наталкиваешься в любом разделе тригонометрии? И каким боком это «Пи» к углам пристраивается? Всё это – в следующих уроках.

laservirta.ru

Числовая окружность на координатной плоскости. Синус и косинус

В ходе урока вы сможете самостоятельно изучить тему «Числовая окружность на координатной плоскости. Синус и косинус». В первой части урока рассматривается круг и его составные части. Разбираются примеры задач. Далее дается определения sinα и cosα, рассказывается о том, как вычислять эти значения и находить синусы и косинусы для основных реперных точек окружности

Мы уже знаем, что аргумент можно откладывать на числовой окружности. Рассмотрим круг и его основные части, которые нам будут нужны в дальнейшем.

Определение радиана. Углы могут измеряться разными единицами – градусами и радианами.

Радианом называется такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу (рис.1).

;

Ð

, т.к. длина хорды АВ меньше длины дуги .

Связь радиана и градуса.

Окружность разделили на 360 равных частей и угол, равный одной части, приняли за угол в

А сколько углов в 1рад можно получить в одной окружности?

Длина окружности , т.е. в окружности содержится  штук  радиусов R.

;

 — связь градуса и радиана;

— иррациональное число.

Типовые задачи.

1. Дано: . Перевести в рад.

a) Дано: Перевести в рад.

2. Дано: 1рад. Перевести в градусы.

Через радианную меру угла удобно выражать площадь сектора круга и длину дуги окружности.

Имеем круг радиуса R. Найти площадь сектора AOB.

Длина дуги .

Если , то 

Если окружность имеет , то, отложив длину дуги , мы получим центральный угол, который равен в радианном измерении.

Наша цель – тригонометрические функции. Аргументы тригонометрических функций откладывают либо на единичной окружности, либо на координатной прямой. Если окружность единичная, откладывать можно и числа, и углы.

Переходим к числовой окружности в координатной плоскости.

На окружности начало отсчета – т. А (рис.4).

Зададим . Отложим дугу , получим угол  и т.В.

 – уравнение окружности с центром в т. О(0;0).

Если ,то  уравнение единичной окружности с центром в т.О(0;0).

Мы уже знаем, что любая точка на окружности описывает множество чисел, первое из них – число  либо угол  Важно уметь находить координаты этих точек.

Любая точка на координатной плоскости характеризуется двумя координатами —.

Определение. Если т. В соответствует числу , а значит и углу , то ее абсциссу называют косинусом этого числа или этого угла, а ее ординату – синусом этого числа или этого угла.

Как вычислять эти значения?

Мы имеем уравнение единичной окружности  

И ранее были вычислены соответствующие значения для углов  .

Пример:

Вычислить значения

Решение:

 .

Необходимо найти

Изобразим т. М на единичной окружности (рис.5). Спроектируем ее на координатные оси и получим точки

координата т.координата т.

Т.е. нам необходимо найти

Рассмотрим прямоугольный (рис.6).

 

Но т.принадлежит отрицательной полуоси  поэтому 

Ответ:.

Найдем синусы и косинусы основных реперных точек. Реперные точки – это точки пересечения единичной окружности с осями координат (рис.7).

Т. А соответствует углу 0 рад.

По определению 

Значит

Т .В соответствует углу

Значит

Т.С соответствует углу

Значит

Т. D соответствует углу .

Значит

Мы ввели числовую окружность и поместили ее в координатную плоскость, решили типовые задачи, определили, что такое синус и косинус угла, выяснили, что если в числовой окружностиR=1, то дуга , соответствующая центральн

interneturok.ru

Тригонометрия: определение тригонометрических функций

В этой статье мы рассмотрим тригонометрический круг и введем определения тригонометрических функций с помощью тригонометрического круга .

Впервые с определением  синуса, косинуса, тангенса и котангенса школьники встречаются в восьмом классе в курсе геометрии. Напомню эти определения. Рассмотрим прямоугольный треугольник: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A=a/b; sin C=c/b

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего  катета к гипотенузе:

 cos A=c/b; cos C= a/b

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A=a/c; tg C=c/a.

Эти определения тригонометрических функций  удобно использовать при решении геометрических задач, связанных с нахождением сторон и углов в прямоугольном треугольнике, однако они не улучшают понимания того, что из себя представляют тригонометрические функции именно как функции.

Часто  во время занятий со школьниками я сталкиваюсь с тем, что они не понимают, откуда «взялись» тригонометрические функции, что они из себя представляют, и как их «готовить», чтобы легко решать уравнения и неравенства, содержащие тригонометрические функции.

Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, чтобы  понять, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, как они между собой связаны, и как легко определять знаки тригонометрических функций без использования таблиц.

Итак.

Косинусом  угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.

Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующеий данному углу α.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса (x), синус — ордината (y).

 Поскольку радиус окружности равен 1, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от −1 до 1:

−1 ≤ cos α ≤ 1, −1 ≤ sin α ≤ 1.

Основное тригонометрическое тождество является следствием теоремы Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

sin2 α+ cos2 α = 1

Чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу α, смотрим, положительны или отрицательны её координаты по x (это косинус угла α) и по y (это синус угла α).

 

Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и 13»

ege-ok.ru

Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге.





 Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса  / / Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге.

Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге.

Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге.

Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге.

Функция / четверть

I

II

III

IV

sin α

+

+

–

–

cos α

+

–

–

+

tg α

+

–

+

–

ctg α

+

–

+

–

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

dpva.ru

Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности

Пример 1.

Найти радианную меру угла равного а) 40° , б)120° , в)105°

Решение

а) 40° = 40·π / 180 = 2π/9

б) 120° = 120·π/180 = 2π/3

в) 105° = 105·π/180 = 7π/12

Пример 2.

Найти градусную меру угла выраженного в радианах а) π/6 , б) π/9, в) 2·π/3

Решение

а) π/6 = 180°/6 = 30°

б) π/9 = 180°/9 = 20°

в) 2π/3 = 2·180°/6 = 120°

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

— Синус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис.1):

sin t = b/c.

— Косинус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе (рис.1):

cos t = a/c.

Эти определения относятся к прямоугольному треугольнику и являются частными случаями тех определений, которые представлены в данном разделе.

Поместим тот же прямоугольный треугольник в числовую окружность (рис.2).

Мы видим, что катет b равен определенной величине y на оси Y (оси ординат), катет а равен определенной величине x на оси X (оси абсцисс). А гипотенуза с равна радиусу окружности (R).

Таким образом, наши формулы обретают иной вид.

Так как b = y, a = x, c = R, то:

y x
sin t = —— , cos t = ——.
R R

Кстати, тогда иной вид обретают, естественно, и формулы тангенса и котангенса.

Так как tg t = b/a, ctg t = a/b, то, верны и другие уравнения:

tg t = y/x,

ctg = x/y.

Но вернемся к синусу и косинусу. Мы имеем дело с числовой окружностью, в которой радиус равен 1. Значит, получается:

y
sin t = —— = y,
1


x
cos t = —— = x.
1

Так мы приходим к третьему, более простому виду тригонометрических формул.

Эти формулы применимы не только к острому, но и к любому другому углу (тупому или развернутому).

Определения и формулы cos t, sin t, tg t, ctg t.

Косинусом числа t числовой окружности называют абсциссу этого числа: cos t = x Синус числа t – это его ордината: sin t = y Тангенс числа t – это отношение синуса к косинусу: sin tπ tg t = ———,где t ≠ — + πk cos t2 Котангенс числа t – это отношение косинуса к синусу: cos t ctg t = ———,где t ≠ πk sin t

Из формул тангенса и котангенса следует еще одна формула:

sin t cos tπk tg t · ctg t = ——— · ——— = 1,при t ≠ —— cos t sin t2

Уравнения числовой окружности.

Из предыдущего раздела мы знаем одно уравнение числовой окружности: x2 + y2 = 1 Но поскольку x = cos t, а y = sin t, то получается новое уравнение: cos2 t + sin2 t = 1

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях окружности:

  1-я четверть 2-я четверть 3-я четверть 4-я четверть
cos t + – – +
sin t + + – –
tg t, ctg t + – + –

 

Косинус и синус основных точек числовой окружности:

Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности.

Прежде всего надо знать, что в каждой паре чисел значения косинуса стоят первыми, значения синуса – вторыми.

1) Обратите внимание: при всем множестве точек числовой окружности мы имеем дело лишь с пятью числами (в модуле):

1 √2 √3
0; —; ——; ——; 1.
2 2 2

Сделайте для себя это «открытие» — и вы снимете психологический страх перед обилием чисел: их на самом деле всего-то пять.

2) Начнем с целых чисел 0 и 1. Они находятся только на осях координат.

Не надо учить наизусть, где, к примеру, косинус в модуле имеет единицу, а где 0.

На концах оси косинусов (оси х), разумеется, косинусы равны модулю 1, а синусы равны 0.

На концах оси синусов (оси у) синусы равны модулю 1, а косинусы равны 0.

Теперь о знаках. Ноль знака не имеет. Что касается 1 – тут просто надо вспомнить самую простую вещь: из курса 7 класса вы знаете, что на оси х справа от центра координатной плоскости – положительные числа, слева – отрицательные; на оси у вверх от центра идут положительные числа, вниз – отрицательные. И тогда вы не ошибетесь со знаком 1.

3) Теперь перейдем к дробным значениям.

— Во всех знаменателях дробей – одно и то же число 2. Уже не ошибемся, что писать в знаменателе.

— В серединах четвертей косинус и синус имеют абсолютно одинаковое значение по модулю: √2/2. В каком случае они со знаком плюс или минус – см.таблицу выше. Но вряд ли вам нужна такая таблица: вы знаете это из того же курса 7 класса.

— Все ближайшие к оси х точки имеют абсолютно одинаковые по модулю значения косинуса и синуса: (√3/2; 1/2).

— Значения всех ближайших к оси у точек тоже абсолютно идентичны по модулю – причем в них те же числа, только они «поменялись» местами: (1/2; √3/2).

Теперь о знаках – тут свое интересное чередование (хотя со знаками, полагаем, вы должны легко разобраться и так).

Если в первой четверти значения и косинуса, и синуса со знаком плюс, то в диаметрально противоположной (третьей) они со знаком минус.

Если во второй четверти со знаком минус только косинусы, то в диаметрально противоположной (четвертой) – только синусы.

Осталось только напомнить, что в каждом сочетании значений косинуса и синуса первое число – это значение косинуса, второе число – значение синуса.

— Обратите внимание еще на одну закономерность: синус и косинус всех диаметрально противоположных точек окружности абсолютно равны по модулю. Возьмем, к примеру, противоположные точки π/3 и 4π/3:

cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2

Различаются значения косинусов и синусов двух противоположных точек только по знаку. Но и здесь есть своя закономерность: синусы и косинусы диаметрально противоположных точек всегда имеют противоположные знаки.

Важно знать:

Значения косинусов и синусов точек числовой окружности последовательно возрастают или убывают в строго определенном порядке: от самого малого значения до самого большого и наоборот (см. раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций» — впрочем, в этом легко убедиться, лишь просто посмотрев на числовую окружность выше).

В порядке убывания получается такое чередование значений:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; ——; ——; —; 0; – —; – ——; – ——; –1
2 2 2 2 2 2

Возрастают они строго в обратном порядке.

Поняв эту простую закономерность, вы научитесь довольно легко определять значения синуса и косинуса.

studopedya.ru

1 … 314 315 316 317 318 … 343