Функції одз – Что такое ОДЗ

1. Функция, одз

Пусть заданы 2 множества Х,У функцией или отображением из Х в У

называется правило, по которому каждому значению их Х ставится в соотвествие

значение из У.

Числовые функции характеризуются тем, что оба множества Х и У являются

подмножествами множества действительных чисел (или совпадают с ними). Область

определения функции — множество возможных значений, которые может принимать

аргумент.

Графиком функции с областью определения называется множетсво точек

Г={(x,f(x)|xÎX}.

2. Свойства функции.

1. Чётность. Если облать определения функции симметричня относительно

нуля и f(-x)=f(x) «xÎD(f), то функция у=f(x) называется чётной.

Если

f(-x)= — f(x) «xÎD(f), то функция у=f(x) называется нечётной.

Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция

обшего вида.

2. Монотонность. функция у=f(x) – возрастающая , если для

любого х₁ и х₂ из области определения функции (х₁

<х₂) выполняется неравенство f(x₁)<f(x₂)

Функция у=f(x) – убывающая, если для любого х₁ и х₂

из области определения функции (х₁>х₂) выполняется

неравенство f(x₁)>f(x₂).

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной на некотором

промежутке , если существует М>0, MÎR|»xÎданному промежутку

|f(x)|£M.

Функция у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mÎR

|»xÎданному промежутку m£f(x). Функция у=f(x) называется

ограниченной сверху, если существует mÎR |»xÎданному промежутку

m³f(x).

4. Периодичность.

Функция у=f(x) называется периодической с

периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ — T)=f(x).

3. Обратная функция.

Пусть Функция у=f(x) задана на множестве Х=D(f) и Y=E(f). Предположим, что

различным значениям х₁ и х₂ соответствуют различные

значения функции f(x₁) и f(x₂). Тогда для любого

уÎУ мы сможем поставить в соответсвие хÎХ| y=f(x). Получает

отображение f^-1: У®Х. Это отображение называется обратным.

График прямой и обратной функции симметричен относительно биссектрисы первой и

третьей координатной четверти.

4. Сложная функция.

Пусть заданы две функции t=h(x), [xÎD(h), T=E(h)] и y=g(t),

[tÎT=D(g), Y=E(g)] (область определения одной функции совпадает с

областью значений другой функции и наоборот) Тогда справедливо следующее

правило: из любого хÎХ по правилу ставится в соответствие y=g(h(x)).

Это правило называется сложной функцией.

5. Основные элементарные функции.

1. Степенная. y=x^a, a=const, aÎR. D(f)=(0;+¥). Если aÎNÞD(f)=R.

2. Показательная. y=a^x

, a>0,a не равно 1. D(f)=R/ E(f)=(0;+¥). Если a>1, следовательно,

функция возрастает. Если аÎ(0;1), функция убывает.

3. Логарифмическая. y=log_ax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+¥),

E(f)=R. Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если аÎ(0;1),

функция убывает.

4. Тригонометрические.

5. Обратные тригонометрические.

6. Предел функции

Опр. Пределом функции у=f(x) в точке х₀ (или при х →х

₀ )называют число а, если для любой последовательности { х_n}

значений аргумента , сходящейся к (при этом все х_n≠ х₀

) последовательность значений функции сходится к пределу а. Это записывают в

виде:

(*)

Аналогично определяеся предел при х →∞ (случаи когда х

0

есть +∞ или -∞). А именно, равенство (*) во всех случаях означает

следующее: для любой последовательности { х_n}, сходящейся к х₀

, соответствующая последовательность {f(х_n)} сходится к а.

studfiles.net

1. Функция, одз

Пусть заданы 2 множества Х,У функцией или отображением из Х в У называется правило, по которому каждому значению их Х ставится в соотвествие значение из У.

Числовые функции характеризуются тем, что оба множества Х и У являются подмножествами множества действительных чисел (или совпадают с ними). Область определения функции — множество возможных значений, которые может принимать аргумент.

Графиком функции с областью определения называется множетсво точек Г={(x,f(x)|xX}.

2. Свойства функции.

1. Чётность. Если облать определения функции симметричня относительно нуля и f(-x)=f(x) xD(f), то функция у=f(x) называется чётной. Если

f(-x)= — f(x) xD(f), то функция у=f(x) называется нечётной. Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция обшего вида.

2. Монотонность. функция у=f(x) – возрастающая , если для любого х₁ и х₂ из области определения функции (х₁<х₂) выполняется неравенство f(x₁)<f(x₂)

Функция у=f(x) – убывающая, если для любого х₁ и х₂ из области определения функции (х₁>х₂) выполняется неравенство f(x₁)>f(x₂).

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке , если существует М>0, MR|xданному промежутку |f(x)|M.

Функция у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mR |xданному промежутку mf(x). Функция у=f(x) называется ограниченной сверху, если существует mR |xданному промежутку mf(x).

4. Периодичность. Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ — T)=f(x).

3. Обратная функция.

Пусть Функция у=f(x) задана на множестве Х=D(f) и Y=E(f). Предположим, что различным значениям х₁ и х₂ соответствуют различные значения функции f(x₁) и f(x₂). Тогда для любого уУ мы сможем поставить в соответсвие хХ| y=f(x). Получает отображение f

-1: УХ. Это отображение называется обратным. График прямой и обратной функции симметричен относительно биссектрисы первой и третьей координатной четверти.

4. Сложная функция.

Пусть заданы две функции t=h(x), [xD(h), T=E(h)] и y=g(t), [tT=D(g), Y=E(g)] (область определения одной функции совпадает с областью значений другой функции и наоборот) Тогда справедливо следующее правило: из любого хХ по правилу ставится в соответствие y=g(h(x)). Это правило называется сложной функцией.

5. Основные элементарные функции.

1. Степенная. y=x^, =const, R. D(f)=(0;+). Если ND(f)=R.

2. Показательная. y=a^x, a>0,a не равно 1. D(f)=R/ E(f)=(0;+). Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если а(0;1), функция убывает.

3. Логарифмическая. y=log_ax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+), E(f)=R. Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если а(0;1), функция убывает.

4. Тригонометрические.

5. Обратные тригонометрические.

6. Предел функции

Опр. Пределом функции у=f(x) в точке х₀ (или при х →х₀ )называют число а, если для любой последовательности { х_n} значений аргумента , сходящейся к (при этом все х_n≠ х₀) последовательность значений функции сходится к пределу а. Это записывают в виде:

(*)

Аналогично определяеся предел при х →∞ (случаи когда х₀ есть +∞ или -∞). А именно, равенство (*) во всех случаях означает следующее: для любой последовательности { х_n}, сходящейся к х₀ , соответствующая последовательность {f(х_n)} сходится к а.

studfiles.net

1. Функция, одз

Пусть заданы 2 множества Х,У функцией или отображением из Х в У называется правило, по которому каждому значению их Х ставится в соотвествие значение из У.

Числовые функции характеризуются тем, что оба множества Х и У являются подмножествами множества действительных чисел (или совпадают с ними). Область определения функции — множество возможных значений, которые может принимать аргумент.

Графиком функции с областью определения называется множетсво точек Г={(x,f(x)|xX}.

2. Свойства функции.

1. Чётность. Если облать определения функции симметричня относительно нуля и f(-x)=f(x) xD(f), то функция у=f(x) называется чётной. Если

f(-x)= — f(x) xD(f), то функция у=f(x) называется нечётной. Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция

обшего вида.

2. Монотонность. функция у=f(x) – возрастающая , если для любого х₁ и х₂ из области определения функции (х₁<х₂) выполняется неравенство f(x₁)<f(x₂)

Функция у=f(x) – убывающая, если для любого х₁ и х₂ из области определения функции (х₁>х₂) выполняется неравенство f(x₁)>f(x₂).

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке , если существует М>0, MR|xданному промежутку |f(x)|M.

Функция у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mR |xданному промежутку mf(x). Функция у=f(x) называется ограниченной сверху

, если существует mR |xданному промежутку mf(x).

4. Периодичность. Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ — T)=f(x).

3. Обратная функция.

Пусть Функция у=f(x) задана на множестве Х=D(f) и Y=E(f). Предположим, что различным значениям х₁ и х₂ соответствуют различные значения функции f(x₁) и f(x₂). Тогда для любого уУ мы сможем поставить в соответсвие хХ| y=f(x). Получает отображение f^-1: УХ. Это отображение называется обратным. График прямой и обратной функции симметричен относительно биссектрисы первой и третьей координатной четверти.

4. Сложная функция.

Пусть заданы две функции t=h(x), [xD(h), T=E(h)] и y=g(t), [tT=D(g), Y=E(g)] (область определения одной функции совпадает с областью значений другой функции и наоборот) Тогда справедливо следующее правило: из любого хХ по правилу ставится в соответствие y=g(h(x)). Это правило называется сложной функцией.

5. Основные элементарные функции.

1. Степенная. y=x^, =const, R. D(f)=(0;+). Если ND(f)=R.

2. Показательная. y=a^x, a>0,a не равно 1. D(f)=R/ E(f)=(0;+). Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если а(0;1), функция убывает.

3. Логарифмическая. y=log_ax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+), E(f)=R. Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если а(0;1), функция убывает.

4. Тригонометрические.

5. Обратные тригонометрические.

6. Предел функции

Опр. Пределом функции у=f(x) в точке х₀ (или при х →х₀ )называют число а, если для любой последовательности { х_n} значений аргумента , сходящейся к (при этом все х_n≠ х₀) последовательность значений функции сходится к пределу а. Это записывают в виде:

(*)

Аналогично определяеся предел при х →∞ (случаи когда х₀ есть +∞ или -∞). А именно, равенство (*) во всех случаях означает следующее: для любой последовательности { х_n}, сходящейся к х₀ , соответствующая последовательность {f(х_n)} сходится к а.

studfiles.net

ОДЗ | Алгебра

Найти ОДЗ — область допустимых значений — задание, которое в алгебре встречается как в виде самостоятельных примеров, так и при решении уравнений, неравенств и их систем.

   

   

ОДЗ многочлена — любое значение переменной.

   

Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля.

Следовательно, ОДЗ дроби — все значения переменной, за исключением тех, в которых знаменатель обращается в нуль.

   

Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени (в том числе, под знаком квадратного корня), должно быть неотрицательным.

Следовательно, ОДЗ выражения, содержащего переменную под знаком корня чётной степени — все значения переменной, при которых это выражение больше либо равно нуля.

   

Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени (в том числе, под знаком квадратного корня) в знаменателе дроби, должно быть положительным.

То есть ОДЗ выражения с корнем чётной степени в знаменателе — множество значений переменной, при котором это выражение строго больше нуля.

   

Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным.

Выражение, стоящее в основании логарифма, должно быть положительным и не равным единице.

   

Выражение, стоящее под знаком синуса, может принимать любые значения (ОДЗ синуса — любые значения переменной).

   

Выражение, стоящее под знаком косинуса, может принимать любые значения (ОДЗ косинуса — любые значения переменной).

   

ОДЗ тангенса можно рассматривать как ОДЗ дроби

   

   

ОДЗ котангенса находим как ОДЗ дроби

   

   

Выражение, стоящее под знаком арксинуса, должно быть не меньшим -1 и не большим 1 (то есть ОДЗ арксинуса — промежуток [-1;1]).

   

Выражение, стоящее под знаком арккосинуса, должно быть не меньшим -1 и не большим 1 (ОДЗ арккосинуса — промежуток [-1;1]).

   

Выражение, стоящее под знаком арктангенса, может принимать любые значения (ОДЗ арктангенса — любые значения f(x)).

   

Выражение, стоящее под знаком арккотангенса, может принимать любые значения (ОДЗ арккотангенса — любые значения f(x)).

   

   

Выражение, стоящее в показателе степени, основание которой — положительное число, может принимать любые значения.

В ходе изучения темы «Степенная функция» обобщается информация по области допустимых значений степени и корня.

   

• Если α — натуральное число, то f(x)∈R.
• Если α — целое отрицательное число или нуль, то f(x)≠0.
• Если α — нецелое положительное число, то то f(x)≥0.
• Если α — нецелое отрицательное число, то то f(x)>0.

www.algebraclass.ru

Как найти область значения функции?

Функцию можно построить по точкам: подставлять в формулу значение переменной и ставить на графике соответствующие точки. Но при этом нет никакой гарантии, что вы не пропустите точку экстремума или разрыва. Да и процесс это долгий и нудный. Поэтому гораздо рациональнее найти область определения, область значений и все критические точки функции. Поговорим об этом подробнее.

Что такое область значения функции

Область значения функции y=f(x) – это множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех значений х из области определения х € Х. Обозначается область значения как Е y=f(x).

Про область определения написано в статье Как найти область определения функции. Эти две области иногда путают, что недопустимо. Чтобы лучше понять, что это такое, рассмотрим конкретные примеры.

Например, функция y=f(x)=sinx. Для наглядности можно нарисовать синусоиду. Тогда мы увидим, что х может изменяться от -∞ до +∞, y=f(x) определена при х € -∞; +∞. При этом f(x) изменяется от -1 до +1, других значений она не принимает. Значит, область определения функции х € -∞; +∞, область значения Е у = -1; +1. Т.е. область определения – это значения х, при которых функция существует. А область значения – это те значения функции, которые она принимает во всей области определения.

Рассмотрим другой простой пример: у=1/х. Рисовать гиперболы мы тоже умеем и знаем, что при х=0 значение функции не определено, т.е. в этой точке она не существует. При х=0 мы имеем разрыв функции. Значит, область определения х € (-∞ < 0; 0 < ∞), область значения Е у = (-∞ < 0; 0 < ∞).

Если мы знаем область определения функции, нам нужно найти максимальное и минимальное значение функции – это и будет область значений.

Как найти область значений функции: пример

• Имеем функцию у = 1 / (х² — 4).

Сначала ищем производную функции, чтобы найти точки экстремумов.

• у’ = (1 / (х² — 4)) ‘ = -2х / (х² — 4)².

Из этого выражения следует, первая точка экстремума при х = 0, т.к. в этой точке производная меняет знак. Т.к. знак меняется с + на -, это максимум.

Максимальное значение функции при х = 0:

• у = 1 / (х² — 4) = у = 1 / (0² — 4) = -1 / 4.
• y max = -1/4.

Теперь найдём точки разрыва функции, которые бывают, когда знаменатель производной равен 0.

Раскладываем выражение на множители:

Корни уравнения: х = 2; -2. Значит, это точки разрыва функции. Определяем, к чему стремится функция в этих точках.

• Lim (1 / (х² — 4)) = lim1(1 / (х – 2)(х + 2)) = lim (1 / (2 – 2)(2 + 2)) = lim ((1/0)(-1/4)) = -∞ .
• x → -+2

В точках разрыва функция стремится к минус беско

elhow.ru

ОДЗ логарифма | Логарифмы

ОДЗ логарифма следует непосредственно из определения логарифма.

По определению, логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число знаком логарифма:

   

Основание степени должно быть положительным числом, отличным от единицы.

При возведении в любую степень такого числа всегда получается положительное число.

Таким образом, область допустимых значений логарифма (ОДЗ логарифма)

   

состоит из трёх условий:

1) Под знаком логарифма должно стоять положительное число:

   

2-3) В основании логарифма должно стоять положительное число, отличное от единицы:

   

   

Все три условия должны быть выполнены одновременно.

Таким образом, чтобы найти ОДЗ логарифма

   

надо решить систему из трёх неравенств:

   

Если в основании логарифма стоит число: 

   

ОДЗ логарифма содержит всего одно условие:

   

Если под знаком логарифма стоит число, а в основании — выражение с переменной:

   

то в область допустимых значений нужно записать два условия:

   

Примеры нахождения ОДЗ логарифма рассмотрим отдельно.

www.logarifmy.ru