Стандартное обозначение объема есть V.
Этим мы измеряем количество (наример, воды), которая может заполнить фигуру. Только пространственные фигуры имеют объем. Например, треугольники, квадраты не имеют объема, но шар имеет объем (потому что он может быть заполнен чем-то, например водой).
Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед это фигура, все стороны которой — прямоугольники. Если длины стороны прямоугольника в основе есть a и
b и третье ребро c тогда формула объема есть:
$V = a \cdot b \cdot c$
Площадь поверхности:
S = $2(a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$
Куб
Куб есть параллелепипедом, все ребра (стороны) которого равны.
Если длина стороны куба равна a, тогда формула объема:
$V = a.a.a = a^3$
Площадь поверхности:
$S = 6a \cdot a = 6a^2$
Параллелепипед
Параллелепипед это фигура, все стороны которой — параллелограммы.
Если площадь основы равна S и высота параллелепипеда равны h, то формула объема есть:
$V = S \cdot h$
Пирамида
Пирамида это фигура, основа которой есть треугольник, параллелограмм (квадрат, прямоугольник) или другая фигура с n-углами и треугольными сторонами. Если площадь основы есть S и высота пирамиды есть h, тогда формула ее объема есть:
$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h$
Правильный тетраэдр
$V = \frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}$
Площадь поверхности:
$S = \sqrt{3}\cdot a^2$
Прямой круговой конус
Конус это фигура с основанием в виде окружности и имеющая одну вершину, как у пирамиды. Если площадь основы есть S и длиныа стороны конуса равна h, то формула объема есть:
$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2\cdot h$
Формула площади боковой поверхности конуса:
$S=\pi\cdot r \cdot l$
Формула площади полной поверхности конуса (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания):
$S=\pi\cdot r(r + l)$
Сфера
Сфера есть шар. Она имеет радиус — расстояние от центральной точки сферы к поверхности. Если длина радиуса есть R,
то формула объема есть:
$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$
Площадь поверхности:
$S = 4\cdot\pi\cdot r^2$
Цилиндр
Цилиндр это фигура с двумя параллельными окружностями. Если ралиус основы равен r и высота (расстояние между основами) цилиндра есть h, то его объем вычисляется по формуле:
$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$
Прямой круговой цилиндр
Объём
$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$
Площадь боковой поверхности:
$S = 2\cdot\pi\cdot r \cdot h$
Площадь полной поверхности:
$S = 2\cdot\pi\cdot r(h + r)$
Тест: объём и площадь поверхности
www.math10.com
Объём — это… Что такое Объём?
Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами. С понятием объёма тесно связано понятие вместимость, то есть объём внутреннего пространства сосуда, упаковочного ящика и т. п. Синонимом вместимости частично является ёмкость, но словом ёмкость обозначают также сосуды и качественную характеристику конденсаторов.
Принятые единицы измерения — в СИ и производных от неё — кубический метр, кубический сантиметр, литр (кубический дециметр) и т. д. Внесистемные — галлон, баррель.
Слово «объём» также используют в переносном значении для обозначения общего количества или текущей величины. Например, «объём спроса», «объём памяти», «объём работ». В изобразительном искусстве объёмом называется иллюзорная передача пространственных характеристик изображаемого предмета художественными методами.
Вычисление объёма
Математически
В общем случае математически объём тела вычисляется по следующей интегральной формуле:
,
где — характеристическая функция геометрического образа тела.
Для ряда тел с простой формой более удобным является использование специальных формул. Например, объём куба с длиной стороны, равной a, равен .
Через плотность
Объём находится по формуле:
Единицы объёма жидкости
1 л = 1,76 пинты = 0,23 галлона
Английские внесистемные
Американские внесистемные
1 американский галлон = 3,785 л (Распространён в США)
Античные внесистемные
Древнееврейские
Эйфа = 24 883 см³ (Эйфа́)
Омер = 1/10 эйфы
Гин = 4147 см³ [1]
Кав = 1382 см³
Русские внесистемные
Единицы сыпучих веществ
Английские внесистемные
Русские внесистемные
Молярный объём
Vm — величина, равная отношению объёма V системы (тела) к её количеству вещества n:
Vm = V/n
Молярный объем для газов при нормальных условиях: Vm = 22,4 л/моль
Калькулятор комлексных чисел | Вычисление выражений, содержащих комплексные числа
Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.
Калькулятор комплексных чисел
7
8
9
+
—
*
/
^
4
5
6
i
(
)
π
e
1
2
3
sin
cos
tg
ctg
ln
.
0
√
sh
ch
th
cth
abs
Скрыть клавиатуру
Вычислено выражений: 22629
Как пользоваться калькулятором
Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
Нажмите на кнопку «Построить»
Ввод комплексных чисел
комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:
Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
Комплексные числа — это числа вида x+iy, где x, y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i2 = -1). Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.
Примеры комплексных чисел
4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
-2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
i — действительная часть = 0, мнимая = 1
-i — действительная часть = 0, мнимая = -1
10 — действительная часть = 10, мнимая = 0
Основные действия с комплексными числами
Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:
сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
деление: = = + i
Примеры
Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i: Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5. Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i Полученное число и будет ответом:5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i
Найти разность чисел 12-i и -2i: Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1. Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i Полученное число и будет ответом:12-i — (-2i) = 12 + i
Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i: Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1. Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i Полученное число и будет ответом:2+3i * (5-7i) = 31 + i
Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i: Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18. Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i Полученное число и будет ответом:75-50i / (3+4i) = 1 - 18i
Другие действия над комплексными числами
Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:
Получение действительной части числа: Re(z) = a
Получение мнимой части числа: Im(z) = b
Модуль числа: |z| = √(a2 + b2)
Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
Экспонента: ez = ea·cos(b) + i·ea·sin(b)
Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i Re(z) = Re(4 — 3i) = 4 Im(z) = Im(4 — 3i) = -3 |z| = √(42 + (-3)2) = √25 = 5
Формы представления комплексных чисел
Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.
Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy, где x — действительная часть, а y — мнимая часть
Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ), где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
Показательная форма — запись вида r·eiφ, где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))
Пример:
Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:
Решение:
Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(12 + 12) = √2
Найдём аргумент числа: φ = arctan() = = 45°
Запишем результат в тригонометрической форме: √2·(cos(45°) + isin(45°))
Запишем результат в показательной форме: √2·eπi/4
programforyou.ru
Онлайн калькулятор: Комплексные числа
Начиная с 16 века математики столкнулись с необходимостью введения комплексных чисел, то есть чисел вида a+bi, где a,b — вещественные числа, i — мнимая единица — число, для которого выполняется равенство: i2=-1.
Интересно проследить, как менялось представление о комплексных числах с течением времени. Вот некоторые цитаты из древних трудов:
XVI век : Эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны.
XVII век : Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием.
XVIII век : Квадратные корни из отрицательных чисел не равны нулю, не меньше нуля и не больше нуля. Из сего видно, что квадратные корни из отрицательных чисел не могут находиться среди возможных чисел. Поэтому, нам не остается ничего другого, как признать их невозможными числами. Это ведет нас к понятию таких чисел, которые по своей природе невозможны и обычно называются мнимыми или воображаемыми, потому что их только в уме представить можно.
XIX век Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств.
Известно три способа записи комплексного числа z:
Алгебраическая запись комплексного числа
, где a и b — вещественные числа, i — мнимая единица. a — действительная часть, bi — мнимая часть.
Тригонометрическая запись комплексного числа
, где r — модуль комплексного числа:
, который соответствует расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат, а φ — угол наклона вектора 0-z к оси действительных значений или аргумент комплексного числа.
Показательная запись комплексного числа
была введена Леонардом Эйлером для сокращения тригонометрической записи.
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
В тригонометрической форме
В показательной форме
Комплексное число
Главный аргумент (радианы)
Главный аргумент (градусы)
Сопряженное число
Комплексная плоскость
Сохранить shareextension
Значение аргумент комплексного числа определяется с точностью до , для всех целых k. Главный аргумент — это значение аргумента, лежащее в диапазоне (-π..π]. Главный аргумент вычисляется как арктангенс двух аргументов мнимой и действительной части комплексного числа: , см Арктангенс с двумя аргументами
Над комплексным числом возможны все алгебраические операции:
ОперацияСложитьВычестьУмножитьПоделитьВозвести в степеньИзвлечь корень
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Сохранить shareextension
Сложение комплексных чисел
Комплексные числа складываются ровно так же, как и многочлены:
Умножение комплексных чисел
Помня о том, что i*i=-1, легко выразить формулу для умножения комплексных чисел:
Деление комплексных чисел
Формулу деления комплексных чисел проще всего вывести, путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное комплексное число, для того, чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе:
Сопряженное комплексное число, это число вида:
Раскрывая скобки получаем:
Возведение в целую степень
Проще всего комплексное число возводить в степень используя показательную форму:
формула вытекает из формулы Муавра:
Вычисление корня степени n
Из формулы Муавра вытекает решение для корней степени n из комплексного числа: , всего получается n корней, где k = 0..n-1 — целое число, определяющее индекс корня. Корни располагаются на комплексной плоскости, как вершины правильного многоугольника.
planetcalc.ru
Онлайн Калькулятор комплексного числа
Числа вида x+iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица называются комплексными числами. Произвести расчеты с комплексными числами: умножение, деление и извлечение квадратного корня из заданного числа.
Комплексные числа: калькулятор онлайн для вычислений
Здравствуйте. Не у каждого пользователя может возникнуть необходимость в вычислении комплексных чисел. При этом те, у кого она все же появляется, обязательно должны знать, что есть возможность вычислять в интернете комплексные числа, калькулятор онлайн для этого и создан. Есть множество таких сервисов, простых в использовании и доступных в любое время. В этой статье мы поговорим о наиболее популярных, и рассмотрим некоторые нюансы, которые следует учитывать в процессе работы.
СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ:
Для чего используется?
Естественно, тем, кто ищет такой онлайн калькулятор, не нужно объяснять, для чего он нужен, но стоит отметить некоторые функции, с которыми он должен справляться.
Такая программа должна выполнять:
вычитание;
сложение;
умножение;
деление;
находить различные формы;
аргументы и модули;
геометрическую интерпретацию и прочее.
На некоторых сайтах необходимо просто ввести известные части задачи и выбрать нужную операцию из предлагаемого списка. Ниже будут представлены наиболее функциональные и удобные программы, с которыми легко работать в режиме реального времени.
Отличный онлайн калькулятор для комплексных чисел – Kontrolnaya Rabota
Данный сервис можно смело считать одним из самых надежных, он оперативно и правильно вычисляет. Работать с ним нужно так:
просмотрите инструкцию по вводу значений;
учитывая правила ввода, впишите выражение в соответствующем поле;
кликните по клавише «Вычислить» для получения результата;
ответ будет выдан в трех различных формулах.
При необходимости детальный принцип решения найдете под ответами, для этого существует окошко «Описание». Кроме того, сайт можно использовать и для неравенств, уравнений, матриц и прочего.
OnlineMSchool
Данный ресурс очень простой и понятный, освоится сразу даже новичок за несколько секунд. Провести действия поможет следующий алгоритм:
вводите необходимые значения;
выбираете алгебраическую операцию из перечня, выплывающего при нажатии на стрелку;
кликом по клавише «=» активируете процесс;
ниже выходит решение.
С помощью данного ресурса вы получаете детальное описание нужного примера, позволяющее понять принцип вычисления задач с комплексными числами и закрепить пройденное. Доступен для скачивания из сервиса Гугл Плей.
Мир математики
Достойный внимания сайт, предоставляющий после полученного ответа подробные пояснения. Работать с ним также очень легко:
вводите условия в соответствующие поля;
выбираете нужное действие;
после нажатия на выбранную операцию будет начато вычисление и выдан результат.
Здесь вы найдете при необходимости подробную инструкцию для работы, так что точно не запутаетесь. Доступны разные варианты вычислительных сервисов, к примеру, матричный, инженерный и прочие.
Полезный контент:
Math Solution
Функциональный и удобный сервис, позволяющий выполнять сразу четыре алгебраические операции: на сложение, вычитание, деление и умножение. Ознакомимся с основными рабочими этапами:
просмотрите правила ввода, кликнув на «+»;
введите необходимые значения;
посчитайте, для этого есть специальная кнопка с вычислением;
получите результат и подробное описание.
Этот ресурс станет настоящей находкой для старшеклассников. Легко заменит репетиторов и дорогие учебники. Подробное и понятное описание теории и принципов решения позволит быстро усвоить необходимый материал. Здесь вы не просто решаете задачи, используете онлайн калькулятор с подробным решением, но и можете легко понять, как это вычислялось.
Если вам нужно решить задачи, где есть комплексные числа, калькулятор онлайн станет отличным помощником. Ресурсы, отмеченные в этой статье, очень просты в использовании. На каждом из них вам будет выдан не только ответ, но и полное описание принципа решения. Если у вас возникли какие-то вопросы, пишите в комментариях. Подписывайтесь на обновления блога, чтобы не пропустить все самое актуальное и интересное.
Это может быть так же интересным:
life-v.ru
Решить комплексные уравнения онлайн калькулятор
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве
сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только
возрастает. Сегодня вы можете в режиме онлайн решить уравнение с комплексными числами, однако сложно будет
проверить правильность результата, не имея представления о комплексных числах, поэтому мы ознакомим вас с
числами данного вида.
Комплексное число — это выражение вида \[x+yi.\] В данном выражении \[x,y\] — действительные числа, \[а i\] —
мнимая единица, квадрат которого -1, \[i^2=-1.\] \[b\] называют мнимой частью комплексного числа \[a=x+yi.\]
В случае, если \[y=0,\] то вместо \[x+0i\] пишут \[x.\] Над данным типом чисел можно выполнять абсолютно все
арифметические действия, что и над действительными.
Так же читайте нашу статью «Решить разностное уравнение
онлайн»
Например, вам необходимо решить квадратное уравнение:
\[ c^2-6c+34=0 \]
Изначально необходимо вычислить дискриминант:
\[D= 36-136= -100\]
Поскольку дискриминант отрицательный, то в действительных числах его решить нельзя. Однако можно извлечь
корень в комплексных числах:
\[\sqrt D=\pm 10i\]
Получаем 2 корня:
\[z_{1,2}=\frac {r\pm 10i}{2}=3\pm 5i\]
— сопряженные комплексные корни.
Решить комплексное уравнение онлайн решателем вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru.
Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что
вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть
видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы
можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте
в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Мы с наслаждением познаем математику… Она восхищает нас, как цветок лотоса.
К числу наиболее сложных задач школьной математики относятся задачи, связанные с решением функциональных уравнений. В настоящей статье приводятся определение и методы решения таких уравнений, а также рассматриваются примеры решения соответствующих задач.
Основные понятия и свойства
Функциональные уравнения являются уравнениями повышенной сложности и записываются в общем виде следующим образом:
(1)
и
, (2)
где . При решении функциональных уравнений (1) и (2), как правило, необходимо использовать следующие теоремы.
Теорема 1. Если функция возрастает на отрезке , то на этом отрезке уравнение (1) будет равносильно уравнению .
Теорема 2. Если функция убывает на отрезке и при этом нечетное, то на этом отрезке уравнение (1) будет равносильно уравнению .
Отметим, что в этом случае функциональное уравнение (1) будет иметь не более одного корня. Это утверждение вытекает из того факта, что уравнение (1) равносильно уравнению , левая часть которой представляет собой возрастающую функцию, а правая часть – убывающую функцию. Известно, что в таком случае, если уравнение имеет корень, то этот корень будет единственным.
Необходимо заметить, если функция на отрезке убывает и при этом четное число, то в таком случае для решения уравнений вида (1) необходимо привлекать другие методы
Теорема 3. Если функция возрастает (или убывает) на всей области определения переменной в уравнении (2), то уравнение будет равносильно уравнению .
Доказательство приведенных выше теорем приводится во втором учебном пособии из списка рекомендованной литературы.
Решение функциональных уравнений
Пример 1. Решить уравнение . (3)
Решение. Из уравнения (3) следует, что . Введем в рассмотрение функцию . Тогда уравнение (3) принимает вид функционального уравнения . Поскольку функция на области определения является возрастающей, то согласно теореме 1 уравнение (3) будет равносильно уравнению . Решая квадратное уравнение , получаем . Следовательно, уравнение (3) имеет корень .
Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение . (4)
Решение. Поскольку областью допустимых значений переменной в уравнении (4) являются , то из данного уравнения получаем функциональное уравнение
. (5)
Так как функция является возрастающей на области определения, то уравнение (5) равносильно уравнениям или . Решая уравнение , получаем и .
Ответ: , .
Пример 3. Решить уравнение . (6)
Решение. Перепишем уравнение (6) в виде функционального уравнения . Так как функция возрастает на всей числовой оси , то уравнение будет равносильно уравнениям или .
Первый корень уравнения легко найти подбором. Этим корнем является .
Так как , то для поиска остальных корней уравнения (6) рассмотрим квадратное уравнение . Отсюда получаем и .
Ответ: , , .
При решении следующего функционального уравнения нельзя использовать теорему 2, поэтому здесь применяется другой метод.
Пример 4. Решить уравнение . (7)
Решение. Если обозначить , то из уравнения (7) получим систему уравнений
(8)
Отсюда следует, что и . Если оба уравнения системы (8) возвести в квадрат, а затем из первого уравнения вычесть второе, то получим .
Рассмотрим два случая.
1. Пусть , тогда или . Квадратное уравнение имеет единственный положительный корень .
Нетрудно убедиться в том, что .
2. Пусть . Тогда , где . После возведения в квадрат обеих частей данного уравнения получаем уравнение , корнями которого являются и .
Так как функция является возрастающей на всей числовой оси , то уравнение (10) равносильно уравнению . Первый корень уравнения находим подбором, т.е. .
Поскольку и , то уравнение (9) других корней не имеет.
Ответ: .
Пример 6. Решить систему уравнений (11)
Решение. Введем в рассмотрение функцию . В таком случае из системы (11) получаем совокупность двух уравнений и , т.е. здесь имеем функциональное уравнение .
Так как для функции выполняется условие теоремы 1, то уравнение равносильно уравнению , т.е. для решения заданной системы уравнений необходимо рассмотреть уравнения или , где .
Корень уравнения находим подбором. Так как и , то является единственным корнем кубического уравнения. Так как и , то .
Поскольку система уравнений (11) является симметрической (относительно вхождения переменных и ) и найденный корень является единственным, то .
Ответ: , .
Пример 7. Решить систему уравнений
(12)
Решение. Введем в рассмотрение функцию , где . В таком случае система уравнений (12) принимает вид
Из данной системы уравнений вытекает функциональное уравнение вида . Так как функция является убывающей и выполняется условие теоремы 2, то уравнение равносильно уравнению , т.е. или .
Так как функция возрастает на области определения, то уравнение имеет не более одного корня. Этот единственный корень нетрудно найти подбором.
Однако в систему уравнений (12) все переменные входят симметрично и известно, что является единственным корнем этой системы уравнений,
поэтому и .
Ответ: , , .
Пример 8. Решить уравнение . (13)
Решение. Так как уравнение (13) равносильно уравнению , (14)
то положим и представим уравнение (14) в виде функционального уравнения (2), в котором , и .
Поскольку функция является возрастающей на положительной полуоси , то при решении уравнения можно воспользоваться теоремой 3. Согласно этой теореме уравнение (2) равносильно уравнению , т.е. решение уравнения (14) сводится к решению уравнения . Отсюда получаем .
Ответ: .
Пример 9. Решить систему уравнений (15)
Решение. Первое уравнение системы (15) принимает вид функционального уравнения . Так как функция всегда является возрастающей, то из уравнения получаем . В таком случае из второго уравнения системы (15) следует .
Ответ: , , , .
Для более глубокого изучения методов решения задач, связанных с решением функциональных уравнений, можно использовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы.
Рекомендуемая литература
1. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2017. – 200 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2017. – 296 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Общепризнано, что решение задач является
важнейшим средством формирования у школьников
системы основных математических знаний, умений и
навыков, ведущей формой учебной деятельности
учащихся в процессе учения математики, является
одним из основных средств их математического
развития.
Ориентируя школьников на поиски красивых,
изящных решений математических задач, учитель
тем самым способствует эстетическому воспитанию
учащихся и повышению их математической культуры.
И всё же главная цель задач — развить творческое и
математическое мышление учащихся,
заинтересовать их математикой, привести к
“открытию” математических фактов.
Достичь этой цели с помощью одних стандартных
задач невозможно. Необходимы задачи,
направленные на воспитание у учащихся
устойчивого интереса к изучению математики,
творческого отношения к учебной деятельности
математического характера. Необходимы
специальные упражнения для обучения школьников
способам самостоятельной деятельности, для
овладения ими методами научного познания
реальной действительности и приемами умственной
деятельности, которыми пользуются
ученые-математики, решая ту или иную задачу.
В данной статье речь идет о функциональных
уравнениях, о методах их решения. Функциональным
уравнением называется соотношение, выражающее
определённое свойство, которым обладает
некоторый класс функций (некоторая функция).
Простейшими примерами функциональных
уравнений могут служить : f(x) =f(- x) – уравнение
чётности, f(x+Т) = f(x) – уравнение периодичности и
др.
Функция f(x) называется решением данного
функционального уравнения, если она
удовлетворяет ему при всех значениях аргумента в
области её определения.
Например, функции f(x) = ax2,f(x)=sin2x, где aR, являются
частными решениями приведённых соответственно
выше уравнений, в чём убедимся подстановкой ах2=
а (-х)2.
Решить функциональное уравнение – значит
установить, имеет ли оно решения, и найти их, если
они имеются.
Приведем примеры решения функциональных
уравнений методом подстановки. Этот метод
заключается в том, что, применяя вместо х (или у)
различные подстановки и комбинируя полученные
уравнения с исходным, получаем (обычно путём
исключения) алгебраическое уравнение
относительно искомой функции.
Пример 1.
1) Пусть
2) Подставим в исходное уравнение, получим
3)Заменим z на
получим или
после преобразований в правой части уравнения:
4)Итак, получили два уравнения:
5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим
со 2-ым уравнением, получим:
Пример 2. 2
1)Заменим в уравнении на ,
получим 2 .
2) Умножим обе части исходного уравнения 2 на (-2) и
сложим с уравнением 2 ,
получим:
.
Пример 3.
Пусть тогда
уравнение принимает вид:.
Заменим в уравнении на ,
получим .
Умножим уравнение на (-2) и сложим с уравнением , получим Таким образом,
Пример 4.
1) Заменим в уравнение на ,
.
2)Умножим уравнение на и
вычтем из уравнения ,получим —
, где
Пример 5. ,
1)Заменим в уравнении на
получим .
2)Выразим из исходного уравнения , получим
или .
3)Подставим в
уравнение ,
получим .
Выполним преобразования
Пример 6. .
Заменим на , получим
Умножим обе части уравнения на и вычтем из
уравнения
получим
Пример 7.
1)Пусть , тогда
уравнение принимает вид:
2)Пусть тогда
исходноеуравнение принимает вид:
3)Умножим обе части уравнения из п.1 на 2, а обе
части уравнения из п.2 на (-3) и почленно сложим
получившиеся уравнения:
Пример 8.
1) Заменим на , получим или .
2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и
сложим с исходным уравнением:
Смышляев В.К.. Практикум по решению задач
школьной математики. – М: “Просвещение”, 1978г.
20.01.2005
Поделиться страницей:
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Функциональные уравнения. Методы их решения
Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики
БОУ ДПО (ПК) С «Чувашский республиканский институт образования»
Минобразования Чувашии
Кафедра математики и информационных технологий
Курсовая работа на тему:
« Функциональные уравнения. Методы их решения»
Выполнил (а): учитель математики МБОУ «СОШ № 60»
г. Чебоксары
Флегентова А.А.
Чебоксары, 2014
Содержание
Введение……………………………………………………….……………..……3
Глава 1. Понятие функционального уравнения …………………………………5
Глава 2. Практическая часть. Методы решения функционального уравнения.9
Заключение……………………………………………………………………….24
Список литературы………………………………………………………………25
Приложения………………………………………………………………………26
Введение
Одно из важнейших математических умений, которым должны овладеть учащиеся школы, — умение решать уравнения. Корень уравнения находят в одно или более действий, многие текстовые задачи решаются алгебраическим способом, в уравнении могут участвовать целые, рациональные и другие числа, то есть уравнения одновременно сами по себе являются задачами и способами решения задач, умение, решать, которые необходимы всем учащимся школы. Но во время решения тренировочных заданий мне попалось уравнение, которое я решить не смогла. Как я узнала позже от учителя, это было функциональное уравнение.
Что же такое функциональные уравнения? И какие способы их решения существуют? Эти вопросы заинтересовали меня, и я решила провести исследование. функциональный уравнение коши
Функциональными уравнениями занимаются с очень давних пор, этому курсу так и не нашлось достойного места в математических программах. А жаль. Ведь решение отдельных функциональных уравнений требует достаточно глубокого понимания предмета и прививает любовь к самостоятельной творческой работе. Так как эта тема в школьном курсе не изучается в виду её сложности, при поступлении в престижные ВУЗы, на олимпиадах, в части С ЕГЭ такие задачи встречаются.
В настоящее время практически нет никаких пособий, обучающих решению функциональных уравнений.
Поэтому ощущается потребность в пособии, которое на простых и конкретных примерах способно показать читателю со скромной математической подготовкой весь арсенал современных методов решения функциональных уравнений.
Цель работы — выяснить, что является функциональным уравнением их системами, найти способы решения и составить сборник задач для использования математическими классами.
Задачи исследования:
1. изучение и анализ литературы;
2. поиск способов решения функциональных уравнений и их систем;
3. решение функциональных уравнений
4. составление сборника
Объект исследования: функциональные уравнения
Предмет исследования: изучение свойств и способов решения функциональных уравнений.
Структура: введение, понятие функционального уравнения, сборник задач, заключение.
Глава 1. Понятие функционального уравнения
Функциональное уравнение – это уравнение, которое содержит одну или несколько неизвестных функций (с заданными областями определения и значений). Решить функциональное уравнение – это, значит, найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют. Функциональные уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них. Часто встречаются на различных математических соревнованиях.
Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это
f(x) = f(-x), f(-x) = — f(x), f(x+T) = f(x),
которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.
Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения
(1)
То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения
этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x).
Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности
была получена Н. И. Лобачевским (1792 – 1856) из функционального уравнения
, (2)
которое он решил методом, аналогичным методу Коши. Это уравнение можно привести к уравнению
.
Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х); (х, f(х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,
(3)
Функциональному уравнению (3) удовлетворяют, в частности, функции:
,
Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши
f(x+y) = f(x)+f(y), (4)
f(x+y) = f(x)·f(y), (5)
f(xy) = f(x)+f(y), (6)
f(xy) = f(x)·f(y), (7)
Эти уравнения Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид
, , ,
В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.
Функциональное уравнение (4) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение — значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши (4) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax. Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax. Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (4)), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В ходе работы мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значени
infourok.ru
Функциональный метод решения уравнений — HintFox
Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где g(x) — элементарные функции, определенные на множествах D1, D2. Обозначим область изменения этих функций соответственно E1 и E2. Если х1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x1) = g(x1), где f(x1) значение функции f(x) при х = х1, а g(x1) — значение функции g(x) при х = х1. Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функций f(x) и g(x) имеют общие элементы (Е1∩Е2 !=∅). Если же таких общих элементов множества Е1 и Е2 не содержат, то уравнение решений не имеет.
Для оценки выражений используются базовые неравенства. (Приложение №2).
Примеры:
Пусть дано уравнение f(x) = g(x). Если f(x)>=0 и g(x)
Примеры.
1. x2+2xsinxy+1=0.
Решение. В левой части есть единица, значит, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: x2+ 2xsinxy+ sin2xy+cos2xy=0.
Сумма первых трех членов представляет собой полный квадрат:
(x+sinxy)2+cos2xy =0.
Следовательно, в левой части сумма квадратов, она равна нулю тогда, когда одновременно равны нулю выражения, стоящие в квадратах. Запишем систему: cosxy=0,x+sinxy=0.
Если cosxy=0, то sinxy= +-1, поэтому эта система равносильна совокупности двух систем: x+1=0,cosxy=0 или x-1=0,cosxy=0.
Их решениями являются пары чисел х=1, у = PI 2 + PIm, m∈Z, и x=-1, y = = PI 2 + PIm, m∈Z.
Ответ: х=1, у = PI 2 + PIm, m∈Z, и x=-1, y = = PI 2 + PIm, m∈Z.
Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций y = f(x), y = g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений fx=А,gx=А.
Примеры.
1. Найдите все значения a, при которых имеет решение уравнение
2cos222x-x2=a+3sin(22x-x2+1).
Решение.
После замены t= 22x-x2 приходим к уравнению cos(2t+PI3)=a-12.
Функция t=2mвозрастает, значит, она достигает своего наибольшего значения при наибольшем значении m. Но m=2х — х[2] имеет наибольшее значение, равное 1. Тогда tнаиб = 22·1-1=2. Таким образом, множеством значений функции t= 22x-x2является промежуток (0;2, а функции cos(2t+PI3)- промежуток -1;0,5). Следовательно, исходное уравнение имеет решение для тех и только тех значений a, которые удовлетворяют неравенствам -1
Ответ: x= — 5+32, если a=1+32 и x=-5+32, если a= 1-32.
Можно подробнее рассмотреть и другие уравнения. (Приложение №3).
Глава 3. Использование свойства монотонности функции.
Функцию y = f(x) называют возрастающей (соответственно убывающей) на множестве Х, если на этом множестве при увеличении аргумента увеличиваются (соответственно уменьшаются) значения функции.
Иными словами, функция y = f(x) возрастает на множестве Х, если из х1∈Х, х2∈Х и х1
Она убывает на этом множестве, если из х1∈Х, х2∈Х и х1 f(x2).
Функцию y = f(x) называют нестрого возрастающей (соответственно нестрого убывающей) на Х, если из х1∈Х, х2∈Х и х1=f(x2)).
Функции, возрастающие и убывающие на Х, называют монотонными на Х, а функции, нестрого возрастающие или нестрого убывающие на Х, называют нестрого монотонными на Х.
Для доказательства монотонности функций используются следующие утверждения:
1. Если функция f возрастает на множестве Х, то для любого числа С функция f+С тоже возрастает на Х.
2. Если функция f возрастает на множестве Х и С > 0, то функция Сf тоже возрастает на Х.
3. Если функция f возрастает на множестве Х, то функция — f убывает на этом множестве.
4. Если функция f возрастает на множестве Х и сохраняет знак на множестве Х, то функция 1f убывает на этом множестве.
5. Если функции f и g возрастают на множестве Х, то их сумма f+g тоже возрастает на этом множестве.
6. Если функции f и g возрастают и неотрицательны на множестве Х, то их произведение fg тоже возрастает на Х.
7. Если функция f возрастает и неотрицательна на множестве Х и n — натуральное число, то функция fn тоже возрастает на Х.
8. Если обе функции f(x) и g(x) возрастающие или обе убывающие, то функция h(x) = f(g(x)) — возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая. А другая убывающая, то h(x) = f(g(x)) — убывающая функция.
Сформулируем теоремы об уравнениях.
Теорема 1.
Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(x) = С имеет на промежутке Х не более одного корня.
Теорема 2.
Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(g(x)) = f(h(x)) равносильно на промежутке Х уравнению g(x) = h(x).
Теорема 3.
Если функция f(x) возрастает на промежутке Х, а g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение g(x) = f(x) имеет на промежутке Х не более одного корня.
Теорема 4.
Если функция f(x) возрастает на промежутке Х, то уравнение f(f(x)) = x равносильно на промежутке Х уравнению f(x) = х.
Примеры.
1. Найдите все значения a, при которых имеет ровно три корня уравнение
4-x-alog3(x2-2x+3)+2-x2+2xlog13(2x-a+2)=0.
Решение. Преобразуем данное уравнение к виду
2×2-2xlog3(x2-2x+3)= 22x-a-1log3(2x-a+2).
Если положить u = x2-2x, v=2x-a-1, то придем к уравнению
2ulog3(u+3)= 2vlog3(v+3).
Функция f (t) = 2tlog3(t+3) монотонно возрастает при t >-2, поэтому от последнего уравнения можно перейти к равносильному u = v, x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1)2=2x-a.
Это уравнение, как видно из рисунка, имеет ровно три корня в следующих случаях:
1. Вершина графика функции у = 2x-a располагается в вершине параболы у = (x-1)2, что соответствует a = 1;
2. Левый луч графика у = 2x-a касается параболы, а правый пересекает ее в двух точках; это возможно при a=12;
3. Правый луч касается, а левый — пересекает параболу, что имеет место при a=32.
Поясним второй случай. Уравнение левого луча у = 2a-2x, его угловой коэффициент равен -2. Следовательно, угловой коэффициент касательной к параболе равен
2(х -1) = -2 ⇒ х = 0 и точка касания имеет координаты (0; 1). Из условия принадлежности этой точки лучу находим a=12.
Третий случай можно рассмотреть аналогично или привлечь соображения симметрии.
Ответ: 0,5; 1;1,5.
Можно рассмотреть подробнее и другие уравнения. (Приложение №4).
Глава 4. Использование свойств выпуклости.
Пусть функция f(x) определена на промежутке Х она называется строго выпуклой вниз (вверх) на Х, если для любых u и v из Х, u!=v и 0λf(u) + (1 — λ)f(v)).
Геометрически это означает, что любая точка хорды ВС (то есть отрезка с концами в точках B(u;f(u)) и C(v;f(v)), отличная от точек В и С, лежит выше (ниже) точки А графика функции f(x), соответствующей тому же значению аргумента. (Приложение №5).
Функции строго выпуклые вверх и вниз называются строго выпуклыми.
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1.
Пусть функция f(x) является строго выпуклой вниз на промежутке Х, u ,v ∈X, u
Из теоремы 1 вытекает следующее утверждение.
Теорема 2.
Если функция f(x) является строго выпуклой на промежутке Х, функции u = u(x), v = v(x), u1=u1(x), v1 = v1(x) такие, что при всех х из ОДЗ уравнения f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (1) их значения u(x), v(x), u1(x), v1(x) содержатся в Х и выполнено условие u+v = u1 +v1, то уравнение f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (2) на ОДЗ равносильно совокупности уравнений u (x) = u1(x), u(x) = v1(x) (3).
Примеры.
1. 41-sin4x+41-cos4x=412.
Решение. Если положим fx= 41-x2, u=cos2x, v=sin2x, u1=v1=12, то данное уравнение запишется в виде (1). Поскольку f’x= -x24(1-x2)3, f»x=-2+x244(1-x2)7, то функция fx является строго выпуклой вверх на сегменте -1;1. Очевидно, что выполнены остальные условия теоремы 2 и, следовательно, уравнение равносильно уравнению cos2x = 0,5, х = PI4 +PIk2, где k∈Z.
Ответ: х = PI4 +PIk2, где k∈Z.
Теорема 3.
Пусть функция fx является строго выпуклой на промежутке Х и u,v, λv+(1-λ)u∈X. Тогда равенство f (λv+(1-λ)u) = λf(v)+(1-λ)f(u) (4) справедливо в том и только и том случае, если либо u=v, либо λ=0, либо λ=1.
Уравнение имеет вид (4), если fx=x1+x= x+x2, u=sin3x, v= cos3x, λ=sin2x.
Очевидно, что функция fx является строго выпуклой вниз на R. Следовательно, по теореме 3 исходное уравнение равносильно совокупности уравнений sinx=0, sin2x=1, cos3x=sin3x.
Отсюда получаем, что его решениями будут PIk2, PI12+PIn3, где k,n∈Z.
Ответ: PIk2, PI12+PIn3, где k,n∈Z.
Использование свойств выпуклости применяется при решении и более сложных уравнений. (Приложение № 6).
Глава 5. Использование свойств четности или нечетности функций.
Функция fx называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение — х также принадлежит области определения и выполняется равенство f-x= fx. Функция fx называется нечетной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение — х также принадлежит области определения и выполняется равенство f-x=- fx.
Из определения следует, что области определения четной и нечетной функций симметричны относительно нуля (необходимое условие).
Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная — равные по абсолютной величине, но противоположного знака.
Теорема 1.
Сумма, разность, произведение и частное двух четных функций являются четными функциями.
Теорема 2.
Произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции.
Пусть имеем уравнение F(x)=0, где F(x) — четная или нечетная функция.
Чтобы решить уравнение F(x) = 0, где F(x) — четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, симметричные полученным, и для нечетной функции корнем будет х = 0, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение х = 0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.
Примеры.
1. 8x=2x+2+x-2.
Решение.
В обеих частях уравнения имеем четные функции. Поэтому достаточно найти решения для x>=0. Так как x=0 не является корнем уравнения, рассмотрим два промежутка: (0;2, 2;infinity.
а) На промежутке (0;2 имеем:
8x= 2x+2-x+2, 23x=24, x= 43.
b) На промежутке 2;infinity имеем:
8x= 2x+2+x-2,23x=22x, x=0.
Но так как х = 0 не является корнем уравнения, то для х>0 данное уравнение имеет корень x= 43. Тогда x=- 43 также является корнем уравнения.
Ответ: 43; — 43.
Автор полагает, что работа может быть использована учителями и учащимися общеобразовательных типов на факультативных занятиях, при подготовке к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ, вступительным экзаменам в технические учебные заведения.
www.hintfox.com
I. Понятие функционального уравнения — МегаЛекции
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Автор работы: Багаутдинова Альбина,
ученица 11 «А» класса СОШ № 11
Научный руководитель: Петрова Ирина Владимировна,
учитель математики
Г. Зеленодольск
Содержание
Введение……………………………………………………………………………………………. 3
I. Понятие функционального уравнения……………………………………………… 4
II. Способы решения функциональных уравнений……………………………… 6
2.Решение функциональных уравнений методом подстановки………… 7
3.Решение функциональных уравнений методом Коши……………………. 16
4.Использование значений функции в некоторых точках………………….. 18
5.Уравнение относительно f(x)…………………………………………………………… 19
6.Графическое решение функциональных уравнений……………………….. 19
Заключение………………………………………………………………………………………….. 21
Список использованной литературы…………………………………..….. 22
Приложения…………………………………………………………………. 23
Введение
Одно из важнейших математических умений, которым должны овладеть учащиеся средней школы, − умение решать уравнения. Корень уравнения находят в одно или более действий, многие текстовые задачи решаются алгебраическим способом, то есть уравнения одновременно сами по себе являются задачами и способами решения задач, умение решать которые необходимы всем учащимся школы. Но во время решения тренировочных заданий мне попалось уравнение, которое я решить не смогла. Как я узнала позже от учителя, это было функциональное уравнение.
Что же такое функциональные уравнения? И какие способы их решения существуют? Эти вопросы заинтересовали меня, и я решила провести исследование.
Актуальность работы заключается в том, что эта тема в школьном курсе математики не изучается в виду её сложности, а при поступлении в престижные ВУЗы, на олимпиадах, в заданиях части С ЕГЭ такие задачи встречаются.
Цель работы — выяснить, что является функциональным уравнением, найти способы решения и научиться применять их на практике.
Задачи исследования:
1. Изучение и анализ литературы;
2. Поиск способов решения функциональных уравнений;
3.Применение полученных знаний при решении функциональных уравнений.
Структура работы: введение, понятие функционального уравнения, способы решения функциональных уравнений, примеры решения функциональных уравнений, заключение.
I. Понятие функционального уравнения
Функциональное уравнение – это уравнение, которое содержит одну или несколько неизвестных функций (с заданными областями определения и значений).
Функция f(x) называется решением данного функционального уравнения, если она удовлетворяет ему при всех значениях аргумента в области её определения.
Решить функциональное уравнение – это, значит, найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют.
Функциональные уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.
Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса. Это уравнения f(x) = f(-x), f(-x) = — f(x), f(x+T) = f(x), которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность. Простым видом функциональных уравнений является реккурентное соотношение, знакомое нам по теме Последовательности, которое , говоря формально, содержит неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига. ( пример реккурентного соотношения: ).
Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения
(1)
То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x):
.
Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности
была получена Н. И. Лобачевским (1792 – 1856) из функционального уравнения
(2)
которое он решил методом, аналогичным методу Коши. Это уравнение можно привести к уравнению
.
Решение — .
Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х); (х, f(х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,
(3)
Функциональному уравнению (3) удовлетворяют, в частности, функции:
,
Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши
f(x+y) = f(x)+f(y), (4)
f(x+y) = f(x)·f(y), (5)
f(xy) = f(x)+f(y), (6)
f(xy) = f(x)·f(y), (7)
Эти уравнения Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид
, , ,
В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.
Функциональное уравнение (4) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение − значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши (4) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax. Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax. Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (4)), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В ходе работы мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции, т. е. f(x) = ax для x Q. Казалось бы, что тогда f(x) = ax для всех действительных x. Если f(x) — непрерывна, то это действительно так, если же данное предположение отбросить — то нет. Первый пример отличного от f(x) = ax разрывного решения функционального уравнения (4) построил в 1905 году немецкий математик Г. Гамель с помощью введённого им базиса действительных чисел.
Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение f(x+1) = f(x) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f(1+x) = f(1-x) — класс функций, симметричных относительно прямой x = 1, и т. д.
Это не тривиальная задача и обычным студентам скорее всего наш калькулятор не пригодится. Решают функциональные уравнения или студенты-математики или те, кто занимается наукой. Но мы не могли пройти мимо возможности облегчить жизнь и тем и другим. Обычно и те и другие уже хорошо знают что такое функциональное уравнение, но на всякий случай ликбез:
Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.
А теперь по сути. Самый простой способ решить функциональное уравнение с помощью нашего калькулятора — ввести в строку решателя это уравнения. Вот первый пример (чтобы попробовать пример — кликните на пиктограмму «вставить в калькулятор» и нажмите кнопку»Решить»):
2f(x)-f(x/2)=3x^2
Следующий пример, показывает как можно использовать команду solve (если использовать такую команду, то решение будет выдано в более компактной форме).
solve 2f(x)-f(x/2)=3x^2
В некоторых случаях потребуется указывать функцию, для которой надо получить решение в явном виде. Сделать это можно так как показано в примере ниже:
solve f(x)-1/2f(x/2)=x^2 for f(x)
А еще можно получить частное решение функционального уравнения. Для этого следует указать начальное условие (значение неизвестной функции в конкретной точке). Следует просто дописать через запятую это условие. Пример ниже:
f(x)-1/2f(x/2)=x, f(1)=2
Но и это еще не все. С помощью калькулятора можно, например, решать и более интересные задачи (математики поймут, а остальным и не надо) — можно проверить какие функции обладают свойством: $$f(x+y)=f(x)+f(y)$$
Чтобы найти такие функции, достаточно ввести функциональное соотношение в калькулятор:
f(x+y)=f(x)+f(y)
upbyte.net
Функциональное уравнение — это… Что такое Функциональное уравнение?
В математике функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.
Примеры
Функциональному уравнению
где — Гамма-функция Эйлера, удовлетворяет Дзета-функция Римана ζ.
Следующим трём уравнениям удовлетворяет Гамма-функция. Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:
(формула дополнения Эйлера)
Функциональное уравнение
где a, b, c, d являются целыми числами, удовлетворяющими равенству ad − bc = 1, то есть , определяет f как модулярную форму порядка k.
Различные примеры, не обязательно связанные со «знаменитыми» функциями:
— удовлетворяют все показательные функции,
— удовлетворяют все логарифмические функции,
— уравнение Коши,
— квадратичное уравнение или закон параллелограмма, удовлетворяет ,
— уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции, и его версия
— уравнение Лобачевского, решение — ,
— уравнение Даламбера,
— уравнение Абеля (англ.),
— уравнение Шрёдера (англ.), решением является функция Кёнигса, связанная с функцией .
Простым видом функциональных уравнений является реккурентное соотношение. Говоря формально, оно содержит неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.
Пример реккурентного соотношения:
Коммутативный и ассоциативный законы функциональных уравнений. Когда ассоциативный закон выражается в виде его знакомой формы, что позволяет некоторым символом между двумя переменными представляет собой бинарную операцию[стиль!]:
Но если мы напишем вместо то ассоциативный закон будет выглядеть как то, что обычно называют функциональным уравнением:
Решение функциональных уравнений
Решение функциональных уравнений может быть очень трудным, но существуют некоторые общие методы их решения.
Обсуждение инволюции функции полезно. Например, рассмотрим функцию
.
Затем рассмотрим
,
если мы продолжим схему мы в конце получим x при четном количестве композиций и f(x) при нечетном. Эта же идея распространяется на многие другие функции, например,
и многие другие.
Пример 1
Решить для всех где f принимает вещественные значения.
Положим : . Тогда и .
Теперь, положим :
Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит для всех x и является единственным решением этого уравнения.
См. также
Примечания
Литература
Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
Kuczma M. Functional equations in a single variable. Polska Akademia Nauk. Monografie matematyczne, t. 46. Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1968.
Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
Kuczma M. (with B. Choczewski and R. Ger). Iterative functional equations. Cambridge — New-York — Port Chester — Melburn — Sydney: Cambridge Univ. Press, 1990.
Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.
Построение графиков функций геометрическими методами / math5school.ru
График функции y=f(x)+a
График функции y=f(x–a)
График функции y=kf(x), k>0
График функции y=f(kx), k>0
График функции y=–f(x)
График функции y=f(–x)
График функции y=|f(x)|
График функции y=f(|x|)
График функции y=f(x)+a
Способ построения: параллельный перенос графика функции y=f(x) вдоль оси Oy на а единиц вверх, если a>0, и на |a| единиц вниз, если a<0.
График функции y=f(x–a)
Способ построения: параллельный перенос графика функции y=f(x) вдоль оси Ox на а единиц вправо, если a>0, и на |a| единиц влево, если a<0.
График функции y=kf(x), k>0
Способ построения: растяжение графика функции y=f(x) вдоль оси Oy относительно оси Ox вk раз, если k>1, и сжатие в 1/k раз, если 0<k<1.
График функции y=f(kx), k>0
Способ построения: сжатие графика функции y=f(x) вдоль оси Ox относительно оси Oy вk раз, если k>1, и растяжение в 1/k раз, если 0<k<1.
График функции y=–f(x)
Способ построения: симметричное отражение графика функции y=f(x) относительно оси Ox.
График функции y=f(–x)
Способ построения: симметричное отражение графика функции y=f(x) относительно оси Oy.
График функции y=|f(x)|
Способ построения: часть графика функции y=f(x), расположенная ниже оси Ox, симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остаётся без изменения.
График функции y=f(|x|)
Способ построения: часть графика функции y=f(x), расположенная правее оси Oy и на ней, остаётся без изменения, а остальная его часть заменяется симметричным отображением относительно оси Oy части графика, расположенной правее оси Oy.
Смотрите также:
Таблицы чисел
Алгебраические тождества
Степени
Арифметический корень n-й степени
Логарифмы
Графики элементарных функций
Тригонометрия
Таблицы значений тригонометрических функций
Треугольники
Четырёхугольники
Многоугольники
Окружность
Площади геометрических фигур
Прямые и плоскости
Многогранники
Тела вращения
math4school.ru
График функции y=f(|x|) | Алгебра
График функции y=f(|x|) может быть получен из графика функции y=f(x).
Для этого ту часть графика, которая лежит левее оси Oy, отбрасываем. Часть графика, расположенную правее оси ординат, сохраняем, и её же отображаем симметрично относительно оси Oy.
Точка, лежащая на оси Oy, при таком преобразовании остаётся на месте.
Примеры.
1) Построить график функции y= -x²+2|x|+8.
Решение:
Так как x²=|x|², запишем формулу функции в виде y= —|x|²+2|x|+8.
График функции y= —|x|²+2|x|+8 можно получить из графика функции y= -x²+2x+8. Для этого часть графика, лежащую слева от оси Oy, отбрасываем. Правее оси ординат график сохраняем и это же часть отображаем симметрично относительно оси Oy:
(1; 9) → (-1; 9),
(2; 8) → (-2; 8),
(3; 5) → (-3; 5),
(4; 0) → (-4; 0).
График y= -|x|²+2|x|+8 из графика y= -x²+2x+8.
2) График функции
получен из графика функции y=-4/(x-2).
Всё, что лежит левее оси Oy, отбрасываем, всё, что правее — отображаем симметрично относительно оси ординат:
3) График функции
получен из графика y=√x.
Отбрасывать здесь нечего, поскольку график полностью расположен правее оси ординат. Весь график сохраняем, и его же отображаем симметрично относительно оси Oy:
Геометрические преобразования — быстрый и удобный способ построения графиков на основе графиков элементарных функций. Поскольку в алгебре строить графики приходится достаточно часто, важно вовремя научиться пользоваться этим инструментом.
www.algebraclass.ru
Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|
Функция $f(x)=|x|$
$|x|$ — модуль. Он определяется следующим образом: Если действительное число будет неотрицательным, то значение модуля совпадает с самим числом. Если же отрицательно, то значение модуля совпадает с абсолютным значением данного числа.
Математически это можно записать следующим образом:
Пример 1
Исследуем и построим её график.
$D\left(f\right)=R$.
По определению модуля действительного числа, получим, что$E\left(f\right)=[0,\infty )$
$f\left(-x\right)=|-x|=|x|=f(x)$. Значит, функция четна.
При $x=0,\ y=0$. Точка $\left(0,0\right)$ — единственное пересечение с координатными осями.
\[f’\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} {1,x >0,} \\ {-1,xФункция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$
Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$
Функция $f\left(x\right)=[x]$ — функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».
Пример: $[2,6]=2.$
Пример 2
Исследуем и построим её график.
$D\left(f\right)=R$.
Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
$f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
$(0,0)$ — единственная точка пересечения с осями координат.
$f’\left(x\right)=0$
Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.
Рисунок 2.
Функция $f\left(x\right)=\{x\}$
Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ — функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.
$\{2,6\}=0,6$
Пример 3
Исследуем и построим график функции
$D\left(f\right)=R$.
Очевидно, что эта функция никогда не будет отрицательной и никогда не будет больше единицы, то есть $\ E\left(f\right)=[0,1)$
$f\left(-x\right)=\{-x\}$. Следовательно, данная функция будет общего вида.
Пересечение с осью $Ox$: $\left(z,0\right),\ z\in Z$
Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$
$f’\left(x\right)=0$
Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$
Рисунок 3.
Функция $f(x)=sign(x)$
Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ — сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.
Математически это можно записать следующим образом:
$f\left(-x\right)=sign\left(-x\right)=-sign(x)$. Следовательно, данная функция будет нечетной.
Пересечение с осью $Ox$: $\left(0,0\right)$
Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$
$f’\left(x\right)=0$
Функция имеет точку разрыва (скачка функции) в начале координат.
Рисунок 4.
spravochnick.ru
Преобразование графиков функций у= f(x) в y=-f(x); y=f(-x); y=-f(-x); y=f(x-a); y=f(x)+b; y=f(ax); y=kf(x); y=|f(x)|; y=f(|x|). Построение графика обратной функции. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)
Преобразование графиков функций у= f(x) в y=-f(x):
График функции y=-f(x) получается преобразованием симметрии графика функции у= f(x) относительно оси x
Точки пересечения графика с осью x остаются неизменными
Преобразование графиков функций у= f(x) в y=f(-x):
График функции y=f(-x) получается преобразованием симметрии графика функции у= f(x) относительно оси y
Точки пересечения графика с осью y остаются неизменными
Преобразование графиков функций у= f(x) в y=-f(-x):
График функции y=-f(-x) получается преобразованием симметрии графика функции у= f(x) относительно начала координат
Преобразование графиков функций у= f(x) в y=f(x-a):
График функции y=f(x-a) получается параллельным переносом графика функции у= f(x) вдоль оси x на |a| вправо при а>0 и влево при a<0
График периодической функции с периодом T не изменяется при параллельных переносах вдоль оси x на πT
dpva.ru
Как построить график функции у = f (x + t) + m, если известен график функции у = f(x)
На этом уроке вы узнаете, как построить график функции у = f (x + t) + m, если известен график функции у = f(x)
Мы умеем строить график функции y = f(x+t), если известен график функции y = f(x).
Правило построения графиков функции y = f(x+t):
y = f(x+t)
y = f(х) сдвигаем:
— при на единиц
— при на единиц
Правило построения графиков функции y = f(x) + m:
y = f(x) + m
y = f(х) сдвигаем:
— при на единиц
— при на единиц
Пример. Построить график функции Дано: Решение. 1. Сначала мы должны построить график функции вида в нашем случае это .
Так как -1 < 0, то, соответственно, график сдвигается вдоль оси Ох вправо на 1 единицу (рис. 1).
Рис. 1. График функции
2. Теперь построим : Так как , а 2 > 0, то график, полученный в предыдущем действии, мы сдвигаем вверх 2 единицы (рис. 2).
Рис. 2. График функции Этот график и будет графиком требуемой функции. Точка пересечения с осями – (0; 3).
Пример решен.
В данном примере числа -1 и 2 можно заменить на параметр
interneturok.ru
Как построить график функции y=m*f(x), если известен график функции y=f(x)
Дополнительные сочинения
На этом уроке мы обсудим построение модификаций графиков вида у = mf(x). Вначале мы вспомним, как строятся ранее изучаемые модификации графиков вида у = f(x±k) и у = f(x)±k. Далее мы рассмотрим построение графика функции вида у = mf(x) на примере функции синуса и сформулируем общее правило для подобных преобразований. В конце урока мы решим несколько примеров на построение схематического графика.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Как построить график функции y=m∙f(x), если известен график функции y=f(x)
1. Преобразование графиков: напоминание
Вспомним известные нам правила преобразования графиков.
1) Построить графики функций
Например:
получаем сдвигом кривой на 1 вправо по оси x;
получаем сдвигом кривой на 1 влево по оси x.
2) Построить графики функций
Например:
получаем сдвигом кривой на 1 вверх по оси y;
получаем сдвигом кривой на 1 вниз по оси y.
2. Построение графика функции y=m∙f(x) по известному графику y=f(x)
3) Построить график функции
Например:
Поместим значения функций в основных точках в таблицу.
И построим графики функций (рис. 3).
Исходную кривую необходимо растянуть или сжать в m раз. При точки графика остаются без изменения.
Рассмотрим значения функций в основных точках при
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
И построим графики функций
График функции симметричен графику функции относительно оси x.
3. Правило получения кривой y=m∙f(x)
Правило получения кривой из кривой
1. Точки пересечения кривой c осью x сохраняются без изменений.
2. В остальных точках области определения ордината изменяется в m раз (рис. 5).
4. Примеры
Используя правило, построим графики функций:
1)
2)
5. Вывод, заключение
Мы вспомнили известные ранее правила преобразования графиков функций и вывели новое правило, по которому из графика функции можно получить график функции , привели несколько примеров.
Правило будет использоваться и в дальнейшем, в частности, при исследовании гармонических колебаний.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.
7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
№№ 17.1 – 17.6.
Дополнительные веб-ресурсы
1. Математика .
2. Интернет-портал Problems. ru .
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам .
dp-adilet.kz
Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x)
На этом уроке мы рассмотрим построение модификаций графика вида у = f(k∙x). Вначале мы вспомним, как строится график вида у = m*f(x) и общее правило построения таких графиков. Далее мы рассмотрим построение модификаций графиков вида у = f(k∙x) при k>1 на примере функции синуса и сформулируем правило построения. И рассмотрим построение графиков при 0<k<1. В конце урока мы сформулируем общее правило для построения графиков данной модификации при k>0.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x)
Ранее мы рассматривали, как построить график функции когда на число m умножалась вся функция, при этом необходимо было сжать или растянуть исходную кривую в m раз вдоль оси y.
Теперь вместо аргумента x в функцию подставим аргумент и исходную кривую необходимо будет в раз сжать или растянуть вдоль оси x.
Реакция протекает по схеме: h3S + Cl2 + h3O = h3SO4 + HCl. В ходе реакции степень окисления серы повышается от (-2) до (+6) (сера окисляется), а хлора – понижается от 0 до (-1) (хлор восстанавливается). Уравнение полуреакции окисления серы:
Уравнение полуреакции восстановления хлора:
Поскольку отношение чисел электронов, принятых при восстановлении хлора и отданных при окислении серы, равно 1:8, то, складывая уравнения полуреакций восстановления и окисления, надо второе из них умножить на 8, а первое ни на что домножать не нужно:
В молекулярной форме полученное уравнение имеет следующий вид:
Сероводород в обычных условиях представляет собой бесцветный газ с характерным запахом гниющего белка. Он немного тяжелее воздуха и горит голубоватым пламенем, образуя диоксид серы и воду:
Сероводород легко воспламеняется; смесь его с воздухом взрывает. Очень ядовит. При один объем воды растворяет 2,5 объема сероводорода. Раствор сероводорода в воде называется сероводородной водой. Сероводород – сильный восстановитель. При действии сильных окислителей он окисляется до диоксида серы или до серной кислоты; глубина окисления зависит от условий: температуры, рН раствора, концентрации окислителя. Например, реакция с хлором обычно протекает до образования серной кислоты:
Средние соли сероводорода называют сульфидами. При высокой температуре сера взаимодействует с водородом, образуя газ сероводород. Практически сероводород обычно получают действием разбавленных кислот на сернистые металлы, например на сульфид железа:
CuCl2 + h3SO4 = CuSO4 +2 HCl
Но сверившись с таблицей растворимости, видим, что в результате реакции образуются два растворимых соединения. И, насколько я помню, это означает, что реакция до конца не идет, образуется раствор ионов. Правило Бертолле, кажется.
Полное ионное уравнение выглядело бы так:
Cu2 + +2 Cl-+2 H + +SO42-= Cu2 + +SO42-+2 H + +2 Cl-
Но поскольку реакция не идет, записывать его нет смысла.
Нет, выделяется хлороводород
CuCl2 + h3SO4 = CuSO4 +2 HCl
И хлороводород выделяется в виде газа, поэтому реакция идёт очень даже хорошо. Кстати, именно с помощью концентрированной h3SO4 и получают HCl.
touch.otvet.mail.ru
Mathway | Популярные задачи
1
Найти число нейтронов
H
2
Найти массу одного моля
H_2O
3
Определить кислотность pH
0.76M(HCl)(solution)
4
Найти массу одного моля
H_2O
5
Баланс
H_2(SO_4)+K(OH)→K_2(SO_4)+H(OH)
6
Найти массу одного моля
H
7
Найти число нейтронов
Fe
8
Найти число нейтронов
Tc
9
Найти конфигурацию электронов
H
10
Найти число нейтронов
Ca
11
Баланс
CH_4+O_2→H_2O+CO_2
12
Найти число нейтронов
C
13
Найти число протонов
H
14
Найти число нейтронов
O
15
Найти массу одного моля
CO_2
16
Баланс
(a+b/c)(d-e)=f
17
Баланс
CH_4+O_2→H_2O+CO_2
18
Баланс
C_8H_18+O_2→CO_2+H_2O
19
Найти атомную массу
H
20
Определить, растворима ли смесь в воде
H_2O
21
Найти конфигурацию электронов
Na
22
Найти массу одного атома
H
23
Найти число нейтронов
Nb
24
Найти число нейтронов
Au
25
Найти число нейтронов
Mn
26
Найти число нейтронов
Ru
27
Найти конфигурацию электронов
O
28
Найти массовую долю
H_2O
29
Упростить
корень пятой степени 243
30
Определить, растворима ли смесь в воде
NaCl
31
Найти эмпирическую/простейшую формулу
H_2O
32
Найти степень окисления
H_2O
33
Найти конфигурацию электронов
K
34
Найти конфигурацию электронов
Mg
35
Найти конфигурацию электронов
Ca
36
Найти число нейтронов
Rh
37
Найти число нейтронов
Na
38
Найти число нейтронов
Pt
39
Найти число нейтронов
Be
Be
40
Найти число нейтронов
Cr
41
Найти массу одного моля
H_2SO_4
42
Найти массу одного моля
HCl
43
Найти массу одного моля
Fe
44
Найти массу одного моля
C
45
Найти число нейтронов
Cu
46
Найти число нейтронов
S
47
Найти степень окисления
H
48
Баланс
CH_4+O_2→CO_2+H_2O
49
Найти атомную массу
O
50
Найти атомное число
H
51
Найти число нейтронов
Mo
52
Найти число нейтронов
Os
53
Найти массу одного моля
NaOH
54
Найти массу одного моля
O
55
Найти конфигурацию электронов
H
56
Найти конфигурацию электронов
Fe
57
Найти конфигурацию электронов
C
58
Найти массовую долю
NaCl
59
Найти массу одного моля
K
60
Найти массу одного атома
Na
61
Найти число нейтронов
N
62
Найти число нейтронов
Li
63
Найти число нейтронов
V
64
Найти число протонов
N
65
Вычислить
2+2
66
Упростить
H^2O
67
Упростить
h*2o
68
Определить, растворима ли смесь в воде
H
69
Найти плотность при стандартной температуре и давлении
Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов 30°,45°,60°,90°,180°,270°,360.
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса / / Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов 30°,45°,60°,90°,180°,270°,360.
Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов 30°,45°,60°,90°,180°,270°,360. Значения синусов и косинусов. Вариант для печати.
Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Sin, Cos, tg, ctg.
Таблица тангенсов, котангенсов, синусов, косинусов, градусов и π/2
Значения тригонометрических функций таблица
Значения синусов и косинусов
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
dpva.ru
Внеклассный урок — Тригонометрическая таблица
Тригонометрическая таблица
Значения синусов, косинусов, тангенсов и катангенсов для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330° и 360°, а также значения этих углов в радианах.
Радианы
Градусы
Косинус
Синус
Тангенс
Котангенс
0
0
1
0
0
—
π — 6
30°
√3 —— 2
1 — 2
√3 — 3
√3
π — 4
45°
√2 —— 2
√2 —— 2
1
1
π — 3
60°
1 — 2
√3 —— 2
√3
√3 — 3
π — 2
90°
0
1
—
0
2π —— 3
120°
1 – — 2
√3 —— 2
–√3
√3 – —— 3
3π —— 4
135°
√2 – —— 2
√2 —— 2
–1
–1
5π —— 6
150°
√3 – —— 2
1 — 2
√3 – —— 3
–√3
π
180°
–1
0
0
—
7π —— 6
210°
√3 – —— 2
1 – — 2
√3 — 3
√3
5π —— 4
225°
√2 – —— 2
√2 – —— 2
1
1
4π —— 3
240°
1 – — 2
√3 – —— 2
√3
√3 — 3
3π —— 2
270°
0
–1
—
0
5π —— 3
300°
1 — 2
√3 – —— 2
–√3
√3 – —— 3
7π —— 4
315°
√2 —— 2
√2 – —— 2
–1
–1
11π —— 6
330°
√3 —— 2
1 – — 2
√3 – —— 3
–√3
2π
360°
1
0
0
—
Радианы
Градусы
Косинус
Синус
Тангенс
Котангенс
Примечание 1:
— функция не имеет смысла. Примечание 2:
В некоторых таблицах значения тангенса и котангенса, равные модулю √3/3, указаны как 1/√3. Ошибки тут нет, так как это равнозначные числа. Если числитель и знаменатель числа 1/√3 умножить на √3, то получим √3/3.
raal100.narod.ru
Как запомнить синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы – boeffblog.ru
Обычно тема тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс и котангенс) приводит к шоковому состоянию. Запомнить табличные значения для всех углов – это просто ужас, невозможно.
Однако, несколько простых советов могут помочь не перегружать свой мозг кучей ненужной информации.
Нужно запомнить хотя бы значения для синусов и то не для всех углов. Разберемся как это сделать, используя только пальцы левой руки.
Этот метод заключается в том, чтобы взять левую руку.
А точнее ладонь. Затем растопырить пальцы так, чтобы между мизинцем и большим пальцами образовался угол 90°. Тогда безымянный палец будет показывать 30°, средний – 45°, а указательный 60°. Как на рисунке.
Затем нужно пронумеровать эти пальцы в соответствии с рисунком. легко запомнить, что мизинец, который отвечает за угол 0°, становится номером 0, а далее по возрастанию.
Эти номера нужны для того, чтобы подставить их в формулу: , где n – номер пальца.
Получаем значения синусов для углов от 0 до 90, которые чаще всего используются в школьном курсе.
Зная синус угла, можно найти его косинус без проблем. Для косинусов используется та же формула, только пальцы нумеруются начиная с большого (90° = №0) и заканчивая мизинцем (0° = №4)
А зная синус и косинус угла можно найти его тангенс (синус разделить на косинус) и котангенс (косинус разделить на синус). Если подзабыли, как делить дроби, смотрите здесь.
1Радиан — угловая величина дуги, по длине равной радиусу или 57,295779513° градусов.
2Градус (в геометрии) — 1/360ая часть окружности или 1/90ая часть прямого угла.
π = 3.141592653589793238462 (приблизительное значение числа Пи, определяемого как отношению длины произвольной окружности к длине её диаметра).
Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.
Предположим, что даны N элементов (чисел, предметов и т.д.). Требуется узнать, сколькими способами эти N элементов можно расположить в ряд. В более точных терминах, требуется вычислить количество возможных комбинаций из этих элементов.
Инструкция
1
Если предполагается, что в ряд входят все N элементов, и ни один не повторяется, то это задача о количестве перестановок. Решение можно найти простым рассуждением. На первом месте в ряду может стоять любой из N элементов, следовательно, получается N вариантов. На втором месте — любой, кроме того, который уже был использован для первого места. Следовательно, для каждого из N уже найденных вариантов есть (N — 1) вариантов второго места, и общее количество комбинаций становится N*(N — 1).Это же рассуждение можно повторить для остальных элементов ряда. Для самого последнего места остается только один вариант — последний оставшийся элемент. Для предпоследнего — два варианта, и так далее.Следовательно, для ряда из N неповторяющихся элементов число возможных перестановок равно произведению всех целых чисел от 1 до N. Это произведение называется факториалом числа N и обозначается N! (читается «эн факториал»).
2
В предыдущем случае количество возможных элементов и количество мест ряда совпадали, и их число было равно N. Но возможна ситуация, когда в ряду меньше мест, чем имеется возможных элементов. Иными словами, количество элементов в выборке равно некоторому числу M, причем M < N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.Во-первых, может потребоваться сосчитать общее количество возможных способов, которыми можно выстроить в ряд M элементов из N. Такие способы называются размещениями.Во-вторых, исследователя может интересовать число способов, которыми можно выбрать M элементов из N. При этом порядок расположения элементов уже не важен, но любые два варианта должны различаться между собой хотя бы одним элементом. Такие способы называются сочетаниями.
3
Чтобы найти количество размещений по M элементов из N, можно прибегнуть к такому же способу рассуждений, как и в случае с перестановками. На первом месте здесь по-прежнему может стоять N элементов, на втором (N — 1), и так далее. Но для последнего места количество возможных вариантов равняется не единице, а (N — M + 1), поскольку, когда размещение будет закончено, останется еще (N — M) неиспользованных элементов.Таким образом, число размещений по M элементов из N равняется произведению всех целых чисел от (N — M + 1) до N, или, что то же самое, частному N!/(N — M)!.
4
Очевидно, что количество сочетаний по M элементов из N будет меньше количества размещений. Для каждого возможного сочетания есть M! возможных размещений, зависящих от порядка элементов этого сочетания. Следовательно, чтобы найти это количество, нужно разделить число размещений по M элементов из N на N!. Иными словами, количество сочетаний по M элементов из N равно N!/(M!*(N — M)!).
chtokak.ru
Ответы@Mail.Ru: как посчитать число комбинаций???
Если пароли, отличающиеся только расположением цифр, считать различными, то 10000.
На 1-м месте может быть одна из 10 цифр, при любой из них на 2-м месте может быть также одна из 10 цифр.
Для двухместного кода уже было бы 10*10=100 комбинаций.
Для 3-х-местного 1000, для 4-х-местного 10000.
4*3*2*1*10=1920 комбинаций
разве это не факультет ?
n!/(k!(n-k)!)?
возьмите однозначный пароль — при 10 элементах — число комбинаций — 10
при двузначном пароле — 100
а лучше дипломат с нумерным замком и пробовать посчитать ))))
возможно 1260 вариантов
(если импользуются все 4 чила из 10, применяя формулу n!/(k!(n-k)!) получаем 1260).
Все вы мудаки. Вопрос был поставлен, учитывая повторения. У нас 4 ячейки, на каждую ячейку может попасть любая из 10 цифр, значит 10*10*10*10=10^4=10000 комбинаций.
Если повторений нет, то на первую ячейку попадет любая из 10 цифр, на вторую ячейку любая уже из 9 цифр, потому что одна цифра использована, на третью ячейку любая из 8 цифр, а на 4 ячейку любая уже из 7 цифр. Получается 10*9*8*7=5040 комбинаций. Какие нах*й факториалы. Это совсем другое
Вот Всеволод начал говорить правильно, но не договорил
touch.otvet.mail.ru
Как посчитать количество комбинаций | Сделай все сам
Представим, что даны N элементов (чисел, предметов и т.д.). Требуется узнать, сколькими методами эти N элементов дозволено расположить в ряд. В больше точных терминах, требуется вычислить число допустимых комбинаций из этих элементов.
Инструкция
1. Если предполагается, что в ряд входят все N элементов, и ни один не повторяется, то это задача о числе перегруппировок. Решение дозволено обнаружить простым рассуждением. На первом месте в ряду может стоять всякий из N элементов, следственно, получается N вариантов. На втором месте — всякий, помимо того, тот, что теснее был использован для первого места. Следственно, для всякого из N теснее обнаруженных вариантов есть (N – 1) вариантов второго места, и всеобщее число комбинаций становится N*(N – 1).Это же рассуждение дозволено повторить для остальных элементов ряда. Для самого последнего места остается только один вариант — конечный оставшийся элемент. Для предпоследнего — два варианта, и так дальше.Следственно, для ряда из N неповторяющихся элементов число допустимых перегруппировок равно произведению всех целых чисел от 1 до N. Это произведение именуется факториалом числа N и обозначается N! (читается «эн факториал»).
2. В предыдущем случае число допустимых элементов и число мест ряда совпадали, и их число было равно N. Но допустима обстановка, когда в ряду поменьше мест, чем имеется допустимых элементов. Иными словами, число элементов в выборке равно некоторому числу M, причем M < N. В этом случае задача определения числа допустимых комбинаций может иметь два разных варианта.Во-первых, может понадобиться сосчитать всеобщее число допустимых методов, которыми дозволено выстроить в ряд M элементов из N. Такие методы именуются размещениями.Во-вторых, изыскателя может волновать число методов, которыми дозволено предпочесть M элементов из N. При этом порядок расположения элементов теснее не значим, но всякие два варианта обязаны различаться между собой правда бы одним элементом. Такие методы именуются сочетаниями.
3. Дабы обнаружить число размещений по M элементов из N, дозволено прибегнуть к такому же методу рассуждений, как и в случае с перегруппировками. На первом месте тут по-бывшему может стоять N элементов, на втором (N – 1), и так дальше. Но для последнего места число допустимых вариантов равняется не единице, а (N – M + 1), от того что, когда размещение будет завершено, останется еще (N – M) неиспользованных элементов.Таким образом, число размещений по M элементов из N равняется произведению всех целых чисел от (N – M + 1) до N, либо, что то же самое, частному N!/(N – M)!.
4. Видимо, что число сочетаний по M элементов из N будет поменьше числа размещений. Для всякого потенциального сочетания есть M! допустимых размещений, зависящих от порядка элементов этого сочетания. Следственно, дабы обнаружить это число, надобно поделить число размещений по M элементов из N на N!. Иными словами, число сочетаний по M элементов из N равно N!/(M!*(N – M)!).
Факториал естественного числа – это произведение всех предыдущих естественных чисел, включая само число. Факториал нуля равен единице. Кажется, что посчитать факториал числа дюже легко – довольно перемножить все естественные числа, не превышающие заданное. Впрочем, значение факториала настоль стремительно нарастает, что некоторые калькуляторы не справляются с этой задачей.
Вам понадобится
калькулятор, компьютер
Инструкция
1. Дабы посчитать факториал естественного числа перемножьте все настоящие числа, не превосходящие данное. Всякое число учитывается только один раз. В виде формулы это дозволено записать дальнейшим образом:n! = 1*2*3*4*5*…*(n-2)*(n-1)*n, гдеn – естественное число, факториал которого требуется посчитать.0! принимается равным единице (0!=1).При возрастании довода значение факториала дюже стремительно возрастает, следственно обыкновенный (бухгалтерский) калькулятор теснее для факториала 15-ти взамен итога может выдать сообщение об ошибке.
2. Дабы посчитать факториал большого естественного числа, возьмите инженерный калькулятор. То есть, такой калькулятор на клавиатуре которого имеются обозначения математических функций (cos, sin, ?). Наберите на калькуляторе начальное число, а после этого нажмите кнопку вычисления факториала. Традиционно такая кнопка обозначается как «n!» либо подобно (взамен буквы «n» может стоять «N» либо «х», но восклицательный знак «!» в обозначении факториала должен присутствовать в любом случае).При крупных значениях довода итоги вычислений начинают отображаться в «экспоненциальном» (показательном) виде. Так, скажем, факториал 50 будет представлен в форме: 3,0414093201713378043612608166065e+64 (либо схожем). Дабы получить итог вычислений в обыкновенном виде, припишите к числу, показанному до символа «е», столько нулей, сколько указано позже «е+» (если, безусловно, хватит места).
3. Дабы посчитать факториал числа на компьютере, запустите программу «калькулятор» (типовой калькулятор Windows). Для этого обнаружьте его изображение на рабочем столе либо нажмите на кнопки «Пуск» и «Исполнить». После этого, наберите в появившемся окошке «calc» и нажмите «Ок». Посмотрите: в каком режиме запустилась программа «Калькулятор». Если картинка напоминает обычный «бухгалтерский» калькулятор, переключите его в «инженерный» режим. Для этого, примитивно щелкните мышкой на пункте «Вид» и выберите в списке опций строку «Инженерный».Позже чего, проделайте те же самые действия, которые перечислены в предыдущем пункте инструкции – наберите число и нажмите кнопку «n!».
4. «Посчитать» факториал числа дозволено и без применения вычислительной техники. Для этого примитивно распечатайте таблицу факториалов. Потому что значения факториала дюже стремительно возрастают, то реально распечатать лишь факториалы чисел от 0 до 50. Впрочем, утилитарное использование таких таблиц крайне подозрительно. Чай, во-первых, на ввод такого многозначного числа уйдет дюже много времени, во-вторых, огромна вероятность ошибки при вводе, а, в-третьих, не вовсе внятно – куда вводить такое длинное число. Ни на дисплее калькулятора, ни в ячейке Excel легко не уместится так много цифр.
jprosto.ru
Найти количество возможных комбинаций
Примечание. Текст задачи взят с форума.
Задача
Маємо 8 різних конвертів, 4 різні марки і 6 різних листівок. Скількома способами можна вибрати комплект з конверта марки і листівки?
Есть 8 разных конвертов, 4 разные марки и 6 разных листовок. Сколькими способами можно выбрать комплект из конверта, марки и листовки?
Решение.
Поскольку на каждый из восьми конвертов можно наклеить одну из четырех марок, то количество комбинаций будет 8 * 4 = 32, к каждой из этих комбинаций можно добавить одну из шести листовок. Таким образом, общее число возможных вариантов составит
8 * 4 *6 = 192 комбинации
Ответ: 192 способа
Задача
Є n листів n різним людям і n підписаних конвертів. Скількома способами можна вкласти листи в конверти так, щоб жоден лист не дійшов до адресата.
Имеется n писем n разным людям и n подписанных конвертов. Сколькими способами можно вложить письма в конверты так, чтобы ни одно письмо не дошло до адресата.
Решение.
Учтем нюанс — если в нашем распоряжении n писем n разным людям, то, поскольку адрес и получатель (одновременно!) указывается на подписанном (именно так указано в условии!) конверте, данная фраза дана исключительно для запутывания (или проверки логического мышления?). Таким образом общее количество комбинаций равно n адресов * n писем.
Определим теперь количество комбинаций, когда хотя бы один адрес совпал с содержанием письма. Это когда из общего количества совпал 1 адрес и конверт, 2 адреса и конверта, 3 адреса и конверта и так до (n-1) адресов и конвертов. Вообще-то, n-1 быть не может, поскольку «путать» последний конверт и адрес не с чем, они совпадут и так. Но для создания формулы нам будет удобно, поскольку случай совпадения всех n адресов и конвертов это и есть случай (n-1).
Сумма всех не устраивающих нас случаев равна сумме арифметической прогрессии от 1 до (n-1). То есть:
N = ( 1 + ( n — 1 ) ) / 2 * ( n — 1 )
N = ( n2 — n ) / 2
Теперь из общего количество вариантов раскладки (количества комбинаций) вычтем неблагоприятные для нас случаи и получим количество благоприятных случаев.
R = n2 — ( n2 — n ) / 2 = ( n2 + n ) / 2
Ответ: Общее количество способов равно ( n2 + n ) / 2
Комбинаторика |
Описание курса | Теория вероятности
profmeter.com.ua
Нужна формула для расчёта количества вариантов комбинаций..
Есть. Только то что ты описал, называется «перестановки без повторений», сочетания это немного другое, формула такая: n!=n*(n-1)*(n-2)*…*2*1 т. е. число цифр/чисел/символов/букв умножаешь на это же число минус 1, результат умножаешь на это же число минус два и т. д. до единицы. Операция называется факториал.
В нашем случае это число перестановок (без повторений) по n из n, оно равно n!
(Знаком! обозначается факториал, т. е. произведение всех целых чисел от 1 до n).
В вашем случае
3! = 1*2*3 = 6,
4! = 1*2*3*4 = 24
Длина окружности — это… Что такое Длина окружности?
Длина окружности
Длинна окружности = π × диаметр
Длина окружности — это длина закрытой кривой. Определение окружности в статье Окружность.
Длина окружности вычисляется из диаметра по формуле::
Или из половины диаметра, радиуса:
где r — это радиус, d — диаметр круга, а π (греческая буква пи), которая является математической постоянной, отношением длины окружности к ее диаметру (значение пи, первые цифры: 3.141 592 653 589 793).
Wikimedia Foundation.
2010.
Длина Дебая
Длина дебая
Смотреть что такое «Длина окружности» в других словарях:
длина окружности резервуара — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN tank circumference … Справочник технического переводчика
длина окружности совокупность известных операций — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN circuit … Справочник технического переводчика
ДЛИНА — ДЛИНА, длины, мн. нет, жен. Протяжение линии, плоскости, тела в том направлении, в котором две крайние точки (линии, плоскости, тела) лежат на наибольшем расстоянии одна от другой. Предметы измеряются в длину, ширину и высоту. Длина стола. Меры… … Толковый словарь Ушакова
длина — ы/, только ед., ж. 1) Протяжение в том направлении, в котором две крайние точки линии, плоскости, тела лежат на наибольшем расстоянии друг от друга. Мера длины. Лыжи длиной в два метра. Измерить площадку в длину и в ширину. Синонимы: расстоя/ние… … Популярный словарь русского языка
Длина кривой — (или, что то же, длина дуги кривой) в метрическом пространстве числовая характеристика протяжённости этой кривой[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление). Если длина кривой… … Википедия
Длина шкалы — Расстояние между крайними отметками шкалы, отсчитанное по дуге окружности или по прямой линии, проходящей через середины наименьших отметок Источник: ГОСТ 2405 88: Манометры, вакуумметры, мановакуумметр … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Длина дуги — Дифференциальная геометрия кривых раздел дифференциальной геометрии, который занимается исследованием гладких пространственных и плоских кривых в евклидовом пространстве аналитическими методами. Содержание 1 Способы задания кривой 1.1 Плоские… … Википедия
Длина дуги кривой — Дифференциальная геометрия кривых раздел дифференциальной геометрии, который занимается исследованием гладких пространственных и плоских кривых в евклидовом пространстве аналитическими методами. Содержание 1 Способы задания кривой 1.1 Плоские… … Википедия
длина — 3.1 длина (length) l: Наибольший линейный размер лицевой грани измеряемого образца. Источник: ГОСТ Р ЕН 822 2008: Изделия теплоизоляционные, применяемые в строительстве. Методы измерения длины и ширины … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Длина — числовая характеристика протяжённости линий. В разных случаях понятие Д. определяется различно. 1) Д. отрезка прямой расстояние между его концами, измеренное каким либо отрезком, принятым за единицу Д. 2) Д. ломаной сумма Д. её звеньев.… … Большая советская энциклопедия
dic.academic.ru
Длина окружности и площадь круга. Решение задач
Длина окружности
Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π (пи):
Таким образом, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:
C = πD = 2πR
где C – длина окружности, π – константа, D – диаметр окружности, R – радиус окружности.
Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.
Задачи на длину окружности
Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.
Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:
C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см)
Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.
Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:
D = 3,5 · 2 = 7 (м)
теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:
C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м)
Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.
Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π
следовательно радиус будет равен:
R
≈
7,85
=
7,85
= 1,25 (м)
2 · 3,14
6,28
Площадь круга
Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:
S = πr2
где S – площадь круга, а r – радиус круга.
Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:
D = 2r, значит r =
D
2
следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:
S = π(
D
)2 = π
D2
= π
D2
2
22
4
Задачи на площадь круга
Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.
Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:
S ≈ 3,14 · 22 = 3,14 · 4 = 12,56 (см2)
Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.
Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:
Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:
S = π
D2
≈ 3,14
72
= 3,14
49
=
153,86
= 38,465 (см2)
4
4
4
4
Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м2.
Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π, а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:
r = √S : π
следовательно радиус будет равен:
r ≈ √12,56 : 3,14 = √4 = 2 (м)
Число π
Длину окружности предметов, окружающих нас, можно измерить с помощью сантиметровой ленты или верёвки (нитки), длину которой потом можно померить отдельно. Но в некоторых случаях померить длину окружности трудно или практически невозможно, например, внутреннюю окружность бутылки или просто длину окружности начерченной на бумаге. В таких случаях можно вычислить длину окружности, если известна длина её диаметра или радиуса.
Чтобы понять, как это можно сделать, возьмём несколько круглых предметов, у которых можно измерить и длину окружности и диаметр. Вычислим отношение длины к диаметру, в итоге получим следующий ряд чисел:
Ведро
Таз
Бочка
Тарелка
Стакан
Окружность
91 см
157 см
220 см
78,5 см
23,9 см
Диаметр
29 см
50 см
70 см
25 см
7,6 см
Отношение (с точн. до 0,01)
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
Из этого можно сделать вывод, что отношение длины окружности к её диаметру это постоянная величина для каждой отдельной окружности и для всех окружностей в целом. Это отношение и обозначается буквой π.
Используя эти знания, можно по радиусу или диаметру окружности находить её длину. Например, для вычисления длины окружности с радиусом 3 см нужно умножить радиус на 2 (так мы получим диаметр), а полученный диаметр умножить на π. В итоге, с помощью числа π мы узнали, что длина окружности с радиусом 3 см равна 18,84 см.
naobumium.info
Все что нужно знать об окружности
Эта статья содержит минимальный набор сведений об окружности, необходимый для успешной сдачи ЕГЭ по математике.
Окружностью называется множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от данной точки, которая называется центром окружности.
Для любой точки , лежащей на окружности выполняется равенство ( Длина отрезка равна радиусу окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности называется хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром окружности ().
Длина окружности:
Площадь круга:
Дуга окружности:
Часть окружности, заключенная между двумя ее точками называется дугой окружности. Две точки окружности определяют две дуги. Хорда стягивает две дуги: и . Равные хорды стягивают равные дуги.
Угол между двумя радиусами называется центральным углом:
Чтобы найти длину дуги , составляем пропорцию:
а) угол дан в градусах:
Отсюда
б) угол дан в радианах:
Отсюда
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и дуги, которые она стягивает пополам:
Если хорды и окружности пересекаются в точке , то произведения отрезков хорд, на которые они делятся точкой равны между собой:
Касательная к окружности.
Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку называется касательной к окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки называется секущей.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Если из данной точки проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке:
Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть:
Следствие: произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть:
Углы в окружности.
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:
∠ ⌣
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:
∠∠
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:
∠∠∠
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:
∠∠∠
Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду равны или их сумма равна
∠∠
∠∠∠
Вершины треугольников с заданным основанием и равными углами при вершине лежат на одной окружности:
Угол между двумя хордами (угол с вершиной внутри окружности) равен полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри данного угла и внутри вертикального угла.
∠ ∠∠( ⌣ ⌣ )
Угол между двумя секущими (угол с вершиной вне окружности) равен полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла.
∠ ∠∠( ⌣ ⌣ )
Вписанная окружность.
Окружность называетсявписанной в многоугольник, если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.
Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.
Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле
,
здесь — полупериметр многоугольника, — радиус вписанной окружности.
Отсюда радиус вписанной окружности равен
Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:
В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.
Радиус вписанной окружности равен . Здесь
Описанная окружность.
Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .
∠+∠=∠+∠
Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:
Радиус описанной окружности вычисляется по формулам:
Где — длины сторон треугольника, — его площадь.
Теорема Птолемея
Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:
ege-ok.ru
Окружность и ее свойства. Длина окружности. :: SYL.ru
Окружность в математике является фигурой одной из самых главных и важных. Она необходима для множества расчетов. Знания свойств этой фигуры из школьной программы непременно пригодятся в жизни. Длина окружности требуется при расчете многих материалов с круглым сечением. Заниматься чертежами, строить заборчик возле клумбы – для этого понадобится знание геометрической фигуры и ее свойств.
Понятие окружности и ее основные элементы
Фигура на плоскости, состоящая из многочисленных точек, расположенных на равном расстоянии от центральной, называется окружностью. Отрезок, выходящий из центра и соединяющий его с одной из точек, образующих окружность, называется радиусом. Хордой является отрезок, который соединяет пару точек, расположенных по периметру круга, между собой. Если она расположена так, что проходит через центральную точку, то одновременно является диаметром.
Длина радиуса окружности равна длине диаметра, уменьшенной вдвое. Пара несовпадающих точек, находящихся на окружности, делят ее на две дуги. Если отрезок с концами в этих точках проходит через центральную точку (тем самым являясь диаметром), то образуемые дуги будут являться полуокружностями.
Длина окружности
Расчет периметра окружности определяется несколькими способами: через диаметр или через радиус. На практике было выявлено, что длина окружности (l) при делении на ее же диаметр (d) всегда дает одно число. Это число π, которое ровняется 3,141692666… Расчет производится по формуле: π= l/ d. Преобразуя ее, получается длина окружности. Формула такова: l=πd.
Для нахождения радиуса применим следующую формулу: d=2r. Это стало возможным, благодаря делению. Ведь радиус — это половина диаметра. Как только получили вышеуказанные значения, можно вычислить, чему же ровна длина окружности, по формуле следующего вида: l=2πr.
Основные свойства
Площадь круга всегда больше, если сравнивать ее с площадями иных замкнутых кривых. Касательная — это прямая, которая соприкасается с окружностью только в одной точке. Если прямая пересекает ее в двух местах, то она является секущей. Точка, в которой 2 различные окружности соприкасаются друг с другом, всегда находится на прямой, проходящей через их центральные точки. Пересекающимися на плоскости являются такие окружности, которые имеют 2 общие точки. Угол между ними рассчитывается как угол, образованный касательными к точкам соприкосновения.
Если через точку, не являющейся точкой окружности, провести две секущиеся к ней прямые, то образованный ими угол будет равен разности длин дуг, уменьшенной вдвое. Данное правило действует и в противоположном случае, когда речь идет о двух хордах. Две пересекающиеся хорды образуют угол, равный сумме длин дуг, уменьшенной в два раза. Дуги в такой ситуации выбирают в данном углу и углу, расположенному напротив. Оптическое свойство окружности гласит следующее: лучи света, отраженные от зеркал, расставленных по периметру круга, собираются обратно в его центр. В данном случае источник света должен быть установлен в центральной точке круга.
www.syl.ru
Длина дуги окружности — формула, пример расчета, калькулятор
Длина дуги, которую описывают концы радиусов, пропорциональна величине центрального угла, образованного этими же радиусами. Именно поэтому длину дуги можно измерять в градусах. За 1° дуги принимают часть окружности. Необходимо понимать, что величина центрального угла никак не зависит от дины дуги.
Формула длины дуги окружности Найдем длину дуги окружности, центральный угол которой равен n° Так как длина окружности равна , то развернутому углу будет соответствовать длина дуги . Тогда длина дуги центрального угла 1° будет равна . Следовательно, длина дуги центрального угла n° будет выражаться по формуле
Очень часто в задачах на вычисление длины дуги окружности используется радиальная мера угла. Радиальная мера угла – это отношение длины дуги к радиусу окружности. Из формулы длины дуги окружности получаем Чтобы получить радиальную меру угла необходимо градусную меру умножить на . Радиальная мера угла 180° равна . Радиальная мера угла 90° равна .
Тогда длину дуги окружности центрального угла имеющего радиальную меру θ можно выразить формулой .
Пример задачи на нахождение длины дуги окружности
Вычислите длину дуги окружности с радиусом 3, если ее градусная мера составляет 150°
Формула длины дуги центрального угла n° выражается формулой Подставив значения из условия задачи, получаем
2mb.ru
через диаметр и радиус. Терминология, основные формулы и характеристика фигуры :: SYL.ru
Окружность — замкнутая кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Эта фигура является плоской. Поэтому решение задачи, вопрос которой состоит в том, как найти длину окружности, является достаточно простым. Все имеющиеся способы, мы рассмотрим в сегодняшней статье.
Описания фигуры
Кроме достаточно простого описательного определения существуют еще три математических характеристики окружности, которые уже сами по себе содержат ответ на вопрос, как найти длину окружности:
Состоит из точек A и B и всех других, из которых AB можно увидеть под прямым углом. Диаметр данной фигуры равен длине рассматриваемого отрезка.
Включает исключительно такие точки X, что отношение AX/BX неизменно и не равно единице. Если это условие не соблюдается, то это не окружность.
Состоит из точек, для каждой из которых выполняется следующее равенство: сумма квадратов расстояний до двух других – это заданная величина, которая всегда больше половине длины отрезка между ними.
Терминология
Не у всех в школе был хороший учитель математики. Поэтому ответ на вопрос, как найти длину окружности, осложняется еще и тем, что не все знают основные геометрические понятия. Радиус – отрезок, который соединяет центр фигуры с точкой на кривой. Особым случаем в тригонометрии является единичная окружность. Хорда – отрезок, который соединяет две точки кривой. Например, под это определение подпадает уже рассмотренный AB. Диаметр – это хорда, проходящая через центр. Число π равно длине единичной полуокружности.
Основные формулы
Из определений непосредственно следуют геометрические формулы, которые позволяют рассчитать основные характеристики окружности:
Длина равна произведению числа π и диаметра. Формулу обычно записывают следующим образом: C = π*D.
Радиус равен половине диаметра. Его также можно рассчитать, вычислив частное от деления длины окружности на удвоенное число π. Формула выглядит так: R = C/(2* π) = D/2.
Диаметр равен частному от деления длины окружности на π или удвоенному радиусу. Формула является достаточно простой и выглядит так: D = C/π = 2*R.
Площадь круга равна произведению числа π и квадрата радиуса. Аналогично в этой формуле можно использовать диаметр. В этом случае площадь будет равна частному от деления произведения числа π и квадрата диаметра на четыре. Формулу можно записать следующим образом: S = π*R2 = π*D2/4.
Как найти длину окружности по диаметру
Для простоты объяснения обозначим буквами необходимые для расчета характеристики фигуры. Пусть C – это искомая длина, D – ее диаметр, а число π приблизительно равно 3,14. Если у нас есть всего одна известная величина, то задачу можно считать решенной. Зачем это нужно в жизни? Предположим мы решили обнести круглый бассейн забором. Как вычислить необходимое количество столбиков? И тут на помощь приходит умение, как вычислить длину окружности. Формула выглядит следующим образом: C = π D. В нашем примере диаметр определяется на основе радиуса бассейна и необходимого расстояния до забора. Например, предположим, что наш домашний искусственный водоем составляет 20 метров в ширину, а столбики мы собираемся ставить на десятиметровом расстоянии от него. Диаметр получившейся окружности равен 20 + 10*2 = 40 м. Длина – 3,14*40 = 125,6 метров. Нам понадобятся 25 столбиков, если промежуток между ними будет около 5 м.
Длина через радиус
Как всегда, начнем с присвоения характеристикам окружности букв. На самом деле они являются универсальными, поэтому математикам из разных стран вовсе не обязательно знать язык друг друга. Предположим, что C – это длина окружности, r – ее радиус, а π приблизительно равно 3,14. Формула выглядит в этом случае следующим образом: C = 2*π*r. Очевидно, что это абсолютно правильное равенство. Как мы уже разобрались диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу, поэтому эта формула так и выглядит. В жизни этот способ тоже может часто пригодиться. Например, мы печем торт в специальной раздвижной форме. Чтобы он не испачкался, нам нужна декоративная обертка. Но как вырезать круг нужного размера. Здесь на помощь и приходит математика. Те, кто знают, как узнать длину окружности, сразу скажут, что нужно умножить число π на удвоенный радиус формы. Если ее радиус равен 25 см, то длина будет составлять 157 сантиметров.
Примеры задач
Мы уже рассмотрели несколько практических случаев полученных знаний о том, как узнать длину окружности. Но зачастую нас заботят не они, а реальные математические задачи, которые содержатся в учебнике. Ведь за них учитель выставляет баллы! Поэтому давайте рассмотрим задачу повышенной сложности. Предположим, что длина окружности составляет 26 см. Как найти радиус такой фигуры?
Решение примера
Для начала запишем, что нам дано: C = 26 см, π = 3,14. Также вспомним формулу: C = 2* π*R. Из нее можно извлечь радиус окружности. Таким образом, R= C/2/π. Теперь приступим к непосредственному расчету. Сначала делим длину на два. Получаем 13. Теперь нужно разделить на значение числа π: 13/3,14 = 4,14 см. Важно не забыть записать ответ правильно, то есть с единицами измерения, иначе теряется весь практический смысл подобных задач. К тому же за подобную невнимательность можно получить оценку на один балл ниже. И как бы досадно ни было, придется мириться с таким положением вещей.
Не так страшен зверь, как его малюют
Вот мы и разобрались с такой непростой на первый взгляд задачей. Как оказалось, нужно просто понимать значение терминов и запомнить несколько легких формул. Математика – это не так страшно, нужно только приложить немного усилий. Так что геометрия ждет вас!
www.syl.ru
Как рассчитывается длина окружности
Нередко приходится работать с геометрическими фигурами, расчеты по которым не поддаются легкому объяснению. Если требуется найти площадь квадрата или прямоугольника, то их условно можно разделить на некоторые части и интуитивно вывести правильную формулу. Однако длина окружности — не совсем стандартный объект для обычных школьников. Частенько возникает непонимание этой темы. Давайте разберемся, в чем дело.
Сам круг формируется благодаря двум параметрам: радиусу и геометрическому положению центра. Последний разбирается в старших классах, поэтому нас он мало интересует. А вот первый задает основные свойства, например площадь. Длина окружности зависит фактически только от радиуса и рассчитывается по такой формуле:
L=2ПР
За искомый показатель принимаем L. Множитель П («Пи») есть константа. Для успешного решения задач в школе достаточно знать, что П=3,14. Однако далеко не всегда требуется подставлять это значение, так как оно является весьма упрощенным. Если речь идет о больших масштабах, то необходимо учитывать немалое количество знаков после запятой. Поэтому во многих случаях более приемлемым является ответ в общем виде без каких-либо округлений. Запомните, что расчет длины окружности зависит только от радиуса. Это показатель того, насколько далеко удалены все точки круга от центра. Соответственно, чем этот параметр больше, тем длиннее дуга. Как и обычные показатели расстояния, L измеряется в метрах. Р — радиус.
В более реальных условиях имеют место усложненные задачи. Например, когда необходима длина дуги окружности. Здесь формула немного сложнее. Следует понять, что она базируется на основной закономерности, но отсекает ненужную вам часть длины. В общем виде ее можно записать так:
L=2ПР/360*n
Как видно, появилась одна новая переменная n. Это наглядное обозначение. Вся длина окружности была разделена на 360 градусов. Таким образом, стало известно, сколько метров приходится на 1 градус. Далее, подставив значения искомого оборота вокруг оси вместо буквы n, мы получим долгожданный ответ. Взяв единичный отрезок, мы пропорционально его увеличили в n раз.
Для чего в реальной жизни надо знать, чему равна длина окружности? На этот вопрос нельзя дать ответ, который охватил бы все области применения. Но для ознакомления начнем с примитивных часов. Зная радиус движения секундной стрелки, можно найти расстояние, которое она должна пройти за минуту. После того как станут известны путь и время, мы сможем найти скорость, с которой она движется. А дальше углубляться будут только люди, занимающиеся часами. Если велосипедист движется по круглому треку, то его время прохождения зависит от скорости и радиуса. Вы можете найти и его ускорение. В стиральных машинах также не обходится без показателя, который мы почти разобрали. Там длина окружности необходима для подсчета оборотов (все ведь упирается в расстояние), проделываемых за определенное количество времени. В более масштабных условиях благодаря длине окружности предсказывается движение планет по орбитам и так далее.
Таким образом, для четкого понимания темы необходимо запомнить всего две формулы. Эти знания пригодятся вам не только в школе для хороших оценок, но и в реальной жизни.
Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком.
Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту:
За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:
Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:
Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:
Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:
Как делить столбиком
Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:
Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:
это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:
В нашем случае число 78 будет неполным делимым, неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.
Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра – 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.
Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:
Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:
Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше.
К получившемуся остатку – 6, сносим следующую цифру делимого – 0. В результате, получилось неполное делимое – 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:
Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное – оно записано под делителем:
780 : 12 = 65
Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.
Определяем неполное делимое – это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:
Сносим следующую цифру делимого – 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0 : 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:
Сносим следующую цифру делимого – 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:
Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:
Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:
9027 : 9 = 1003
Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.
Определяем неполное делимое – это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:
Сносим следующую цифру делимого – 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:
Сносим следующую цифру делимого – 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток – 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:
Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:
3000 : 6 = 500
Деление столбиком с остатком
Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.
Определяем неполное делимое – это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:
Сносим следующую цифру делимого – 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6:
Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6:
1340 : 23 = 58 (остаток 6)
Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток – 3:
3 : 10 = 0 (остаток 3)
Калькулятор деления столбиком
Данный калькулятор поможет вам выполнить деление столбиком. Просто введите делимое и делитель и нажмите кнопку Вычислить.
naobumium.info
Как узнать баланс лицевого счета за интернет 🚩 автоинформатор ростелеком 🚩 Интернет 🚩 Другое
Вам понадобится
документ, удостоверяющий личность, банкомат, мобильный телефон, банковская карта, сберегательная книжка, компьютер с доступом в интернет.
Инструкция
Если у вас расчетный счет на пластиковой карте, подойдите к банкомату, убедитесь, что он принадлежит тому банку, в котором вы завели карточку. Вставьте карту в ячейку для приема карт, введите PIN-код, который вам выслали в конверте по почте вместе с картой или выдали в филиале или центральном офисе банка. Выберите на мониторе банкомата состояние счета и узнайте, какая сумма денежных средств находится в настоящее время на вашей карточке. Выведите ее на экран или распечатайте на чеке.
Если расчетный счет на сберегательной книжке или на банковской карте, нанесите личный визит в филиал или центральный офис банка, в котором заведен личный счет. Выскажите свою просьбу сотруднику банка о проверке пополнения вашего лицевого счета. Представьте документ, удостоверяющий личность. Если у вас сберегательная книжка, предъявите ее, если банковская номер карты) и скажите кодовое слово, которое вы выдумали при заключении договора с банком. После проверки представленных сведений банковский работник выдаст вам необходимую информацию, попросив вас расписаться в ее получении.
У каждого банка есть свой сайт, зайдите на главную страницу и зарегистрируйтесь. Укажите номер сотового телефона в необходимом поле, на него впоследствии придет смс с паролем, введите его. Оператор службы поддержки перезвонит вам и подскажет, как идентифицироваться на сайте. После этого вы можете, введя свой логин и пароль, проверять состояние своего счета на карте или сберегательной книжке, не выходя из дома.
Позвоните по бесплатному номеру службы поддержки банка, в котором вы зарегистрировали расчетный счет, переведите телефон в тональный режим. Пользуясь командами автоответчика, введите необходимые данные. И вы без труда узнаете о пополнении лицевого счета.
Подключите услугу мобильный банк в филиале или центральном офисе банка. За нее вы будете ежемесячно платить абонентскую плату. О движении денежных средств, находящихся на карте или сберегательной книжке, вам будут приходить уведомления в виде смс.
www.kakprosto.ru
Узнайте остаток по кредиту онлайн проверить остаток платежа по кредиту
Как узнать остаток по кредиту
Узнать остаток по кредиту можно несколькими способами: с помощью кредитной истории, через интернет, по СМС, в банкомате, отделении банка. Расскажем о каждом способе подробнее.
Как узнать остаток платежа по кредиту с помощью кредитной истории
Как только вы взяли первый кредит, у вас появилась кредитная история. В кредитную историю попадают все ваши действия как заемщика: сколько кредитов брали, в каких банках, сколько выплатили и сколько осталось выплатить.
Титульная часть кредитной истории
Кредитная история особенно удобна для тех, кто выплачивает несколько кредитов. В одном документе содержатся сведения обо всех кредитах (при условии, что вы запросили кредитную историю в крупнейших бюро).
Получить кредитную историю
Как узнать остаток по кредиту через интернет
Если вы взяли кредит в крупном банке, у него должен быть сайт с личным кабинетом. В личном кабинете каждый заемщик может узнать остаток по кредиту.
Как правило, при оформлении кредита оператор автоматически генерирует логин и пароль для входа в личный кабинет.
В этом случае узнать остаток по кредиту онлайн вы сможете, посетив официальный сайт вашего банка. В личном кабинете вы не только увидите сумму очередного платежа и оставшуюся задолженность, но и сможете быстро внести деньги.
Раздел с кредитами в мобильном приложении Сбербанка
Как узнать остаток по кредиту через СМС
Сделать это можно посредством подключения услуги смс-уведомления. Такой способ обычно платный, но он служит хорошим напоминанием для заемщика. Чтобы подписаться на СМС-уведомления, поставьте галочку в соответствующей графе во время оформления кредитного договора.
Как проверить остаток по кредиту через отделение банка
Воспользоваться банкоматом для выдачи наличных. Они часто оснащены набором дополнительных функций. И чтобы узнать остаток задолженности по кредиту, достаточно вставить в терминал кредитную карту, ввести ПИН-код и воспользоваться меню.
Позвонить в банк. Оператор бесплатной линии (после подтверждения личных данных заемщика и его номера кредитного договора) проверит поступление платежей и ответит на все вопросы.
Посетить отделение банка. Это наиболее точный способ, позволяющий узнать остаток долга по кредиту, но и более затратный по времени. От вас потребуется паспорт и кредитный договор – по этим документам оператор сможет посмотреть всю интересующую вас информацию, узнать погашен ли кредит, либо какую сумму нужно доплатить для его полного погашения.
mycreditinfo.ru
Деление, частное | Формулы и расчеты онлайн
Деление — есть нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. Данное произведение получает название делимого, данный сомножитель — делителя, искомый сомножитель — частного.
например
\[ Делимое : Делитель = Частное \]
или
\[ \frac{Делимое}{Делитель} = Частное \]
в цифрах
\[ 35 : 5 = 7 \]
или
\[ \frac{35}{5} = 7 \]
35 — Делимое 5 — Делитель 7 — Частное
Произведение делителя 5 и частного 7 дает делимое 35 (проверка деления).
\[ 5 · 7 = 35 \]
Кратные числа
Частное от деления одного целого числа на другое целое может не быть целым числом.
Тогда это частное можно представить дробью.
Если частное есть целое число, то говорят, что первое из упомянутых чисел нацело делится, или просто, делится на второе.
Например, 35 делится (нацело) на 5, ибо частное есть целое число 7.
Второе число в этом случае 5 называется делителем первого 35, первое 35 — кратным второго 5.
Например:
60 есть кратное чисел 15, 20, 30 и не является кратным чисел 17, 40, 90.
Во многих случаях можно, не выполняя деления, узнать, делится ли нацело одно целое число на другое.
В случае, кода делимое не делится нацело на делитель, иногда выполняют так называемое деление с остатком.
Деление с остатком
Деление с остатком есть отыскание наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимое. Искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком. Он всегда меньше делителя.
Например:
19 не делится нацело на 5. Числа 1, 2, 3 в произведение с 5 дают 5, 10, 15, не превосходящие делимое 19, но уже 4 дает в произведении с 5 число 20, большее, чем 19. Поэтому неполное частное есть 3. Разность между 19 и произведением 3 · 5 = 15 есть 19 — 15 = 4; поэтому остаток есть 4.
Произвести деление, найти частное
В помощь студенту
Деление, частное
стр. 14
www.fxyz.ru
Как узнать остаток материнского капитала через госуслуги
Если вы являетесь обладателем сертификата на материнский капитал, Пенсионный фонд РФ обязан ежегодно предоставлять вам информацию о сумме имеющегося остатка маткапитала по почте не позднее 1 сентября. Однако, один раз в год — слишком длительный промежуток. К вашему удобству, оперативно получить информацию об остатке можно в любое удобное время онлайн. Узнать остаток материнского капитала через интернет можно одним из следующих способов:
На портале Госуслуг
На сайте ПФР
В этой инструкции мы подробно расскажем, как это сделать.
Как узнать остаток материнского капитала через Госуслуги?
При помощи логина и пароля авторизуемся в личном кабинете сайта Госуслуг и переходим к Каталогу услуг, раздел «Пенсия, пособия и льготы».
Данная электронная услуга доступна только зарегистрированным пользователям портала, поэтому, если вы еще не создали свою учетную запись, рекомендуем также изучить статью Инструкция по регистрации на сайте gosuslugi.ru.
В разделе выбираем категорию «Выписка о предоставлении социальной помощи»
Из перечня предоставляемых услуг нас интересует электронная
Нажимаем «Получить услугу»
В открывшейся форме личные данные заполнятся автоматически из настроек личного кабинета, а затем указываем тему запроса — узнать остаток материнского капитала. Результат запроса вы получите на электронную почту, указанную в разделе с контактной информации, в течении 15-30 рабочих дней.
Получить сведения о размере материнского капитала через Пенсионный фонд
Существует еще один способ узнать остаток материнского капитала — воспользоваться электронными услугами и сервисами Пенсионного фонда России. В этот раздел можно попасть с главной страницы сайта ПФР или по прямой ссылке https://es.pfrf.ru/
Для доступа к услугами информирования и управления материнским капиталом понадобится выполнить вход в систему:
Для авторизации вам будет предложено использовать вашу учетную запись в Единой системе идентификации и аутентификации (ЕСИА). Не нужно пугаться этой сложной аббревиатуры — доступ к услугам и сервисам ПФР осуществляется с помощью учетной записи на портале Госуслуг, для входа вам понадобится ваши логин и пароль от портала. Нажимаем кнопку «Вход».
Итак, вы вошли в систему электронных услуг и сервисов ПФР. В каталоге выберите интересующий вас раздел, а именно «Материнский (семейный) капитал (МСК), и нажмите на ссылку «Получить информацию: о размере (остатке) материнского (семейного) капитала»
Полная информация об остатке материнского капитала на текущий момента, а также сведения о размере средства, доступных для расходования, вы увидите на экране монитора. Эта информация всегда доступна для авторизованного пользователя по прямой ссылке https://es.pfrf.ru/informMsk/
Как заказать и получить справку об остатке материнского капитала?
На сайте ПФР вы также можете получить выписку о размере (другими словами, справку об остатке) материнского капитала онлайн без необходимости личного присутствия.
Для этого в каталоге электронных сервисов ПФР перейдите по ссылке «Заказать справку (выписку о размере (остатке) материнского (семейного) капитала» в разделе «Материнский (семейный) капитал (МСК)».
Информация о готовности справки будет отправлена на вашу электронную почту
После обработки обращения, вам будет доступен для скачивания сформированный документ в формате PDF с информацией об остатке маткапитала.
gosuslugi-online.ru
узнать лимиты ГБ, минут, смс
Остаток ГБ трафика МТС, минут и СМС посредством запроса USSD или звонка
Для повышения комфорта при пользовании своими тарифными планами, сотовый оператор МТС предлагает клиентам сразу несколько способов узнать остаток трафика на тарифе, минут или СМС.
USSD-запросы
USSD-запрос, или USSD-команда (Unstructured Supplementary Service Data) – это специализированный GSM-интерфейс, организующий взаимодействие владельца SIM-карты с сервисным приложением оператора через прием-передачу небольших сообщений, плата за которые, как правило, не взимается.
USSD позволяет пользователю самостоятельно узнать параметры своего тарифного плана, баланс, остаток пакетов. Также при помощи USSD-запроса абонент может изменять условия договора с МТС: переходить на новый тарифный план, устанавливать дополнительные опции, подключать или отключать пакеты услуг, отправлять заявку на доверительный платеж.
Команда запроса баланса
Наиболее популярной USSD-командой является проверка баланса: *100# (+ клавиша вызова).
Но в появившемся ответе, как правило, отображается лишь привязанный к SIM -карте депозит.
Ответ сервиса МТС на проверку баланса
Чтобы узнать, какой объем предоставленных в рамках договора услуг еще не потрачен, необходимо прибегнуть к расширенным запросам: *100*1# и *100*2#.
Проверка остатка тарифа *100*1# и *100*2#
В первом случае на экране телефона отобразится остаток от пакета услуг, предоставляемого по тарифу, во втором – статистика по разовым пакетам бесплатных функций в том числе интернет пакетов.
Существует еще один, более долгий способ узнать остаток доступных возможностей – мобильный помощник. Автоматический справочник открывается при нажатии клавиши вызова после ввода команды *111#.
Портал МТС *111#
tarifgid.info
Как проверить и пополнить баланс интернета?
Большинство пользователей домашнего Интернета и не задумываются, откуда он берется в квартире. Да и зачем об этом задумываться, если можно просто спокойно там сидеть.
Откуда берется Интернет
Но одно нужно знать, и это совершенно точно: доступ к Глобальной сети не может быть бесплатным. Даже если вы не платите первые несколько месяцев после подключения, это означает, что вы переплатили за установку модема и настройку роутера. В конечном итоге сумма получилась бы точно такая же, как, если бы вы подключились бесплатно, а платили бы абонентскую плату с самого первого месяца.
В любом случае важно помнить: вы платите за свой доступ к Всемирной паутине, от этого никуда не деться. Мы не станем брать во внимание корпоративные тарифы на рабочих компьютерах, а поговорим о вашем доме и о том, как пополнить домашний интернет-баланс.
Важные устройства
Интернет в ваш домашний компьютер не идет сразу от провайдера. Для того чтобы ваш браузер смог загрузить любую страницу из Сети, у вас дома должно быть установлено устройство, через которое вы получаете доступ к Всемирной паутине.
Это может быть маленький модем, подающий гигабайты информации в ваш компьютер через кабель. Также это может быть роутер, раздающий «вай-фай» на территории всей вашей жилплощади.
Такой вариант, что вы подключились к незащищенному «вай-фай»-роутеру вашего соседа и бессовестно «кушаете» его трафик, мы рассматривать не станем, мы же приличные люди.
Так вот, для того чтобы любое из ваших устройств для доступа в Интернет работало, необходимо, чтобы баланс интернета был положительным. Это правило ничем не отличается от принципа работы дебетовой банковской карты или счета мобильного телефона с предоплаченным балансом.
Два способа снятия денег со счета
Чтобы знать, сколько нужно денег, чтобы пополнить баланс интернета, важно поинтересоваться у своего провайдера, каким образом будут происходить списания денег с вашего счета. Вариантов может быть два:
вы платите за месяц, эта сумма снимается первого числа, и вы пользуетесь Интернетом до начала следующего расчетного периода;
вы кладете на счет любую сумму, деньги снимаются каждый день понемногу равными порциями так, чтобы в конце месяца в сумме со счета снялась ваша абонентская плата.
Первый вариант хорош тем, что вы, раз пополнив домашний интернет-баланс, больше не вспомните о нем до следующего месяца. Зато во втором случае вы сможете класть на счет меньшую сумму. Например, пополнить баланс интернета всего на неделю вперед, затем уехать в отпуск и не платить деньги впустую.
Обычно такую информацию лучше узнавать еще на этапе выбора провайдера. Почти все поставщики интернет-услуг предлагают примерно одинаковые тарифы и скорости. Особенности уменьшения вашего счета могут стать решающим фактором при выборе.
Но если вы не узнали об этом заранее и уже подключились — не беда. Вся информация о вашем подключении доступна на сайте провайдера, достаточно только зайти в интернет-кабинет: баланс, название тарифа, номер вашего счета — все это можно узнать там.
Как зайти в личный кабинет
При подключении услуг вы подписывали договор. В нем указан ваш счет (его еще называют личным номером) и пароль для подключения Интернета. Первые цифры обычно являются вашим логином, а пароль от сети оказывается вашим паролем от личного кабинета.
Там же в договоре вы найдете адрес сайта провайдера. Зайдите на него и найдите кнопку «Войти в Личный Кабинет». Затем введите логин и пароль — и вы окажетесь внутри, на вашей персональной страничке.
Как проверить баланс интернета
Обычно эти данные появляются сразу после входа в кабинет. Но в отдельных случаях сайт провайдера устроен так, что для показа информации следует нажать соответствующую кнопку.
Если вы не увидели состояние вашего счета сразу после входа, проверить баланс интернета вам поможет кнопка с надписью «Состояние счета». Она также может называться «Баланс» или «Личные данные».
Если вам все-таки отключили связь за неуплату, позвоните на горячую линию своего провайдера. А далее с помощью указанных в меню клавиш вы сможете прослушать информацию о вашем счете. Это самый простой и доступный способ, как узнать баланс на интернете. Но для этого обязательно забейте номер вашего поставщика услуг в телефонную книжку.
Способы пополнения
Их количество зависит от вашего провайдера. Многие поставщики услуг готовы принять деньги с вашей банковской карты. Некоторые из них также будут не против ваших электронных денег: кошельки «Вебмани», «Яндекс», «Киви» и прочие.
Этими способами можно увеличить ваш баланс, при этом не оплачивая комиссию. Дополнительную плату станут взимать с вас терминалы. Почти в каждом магазине стоят устройства для оплаты. Обычно в них пополняют счета мобильных телефонов. Но также там можно оплатить интернет. Конечно, если ваш провайдер захотел появиться в списке услуг на терминале.
Комиссия при оплате через терминал может быть фиксированной, а может зависеть от суммы. В любом случае будьте внимательны, если решите пополнить баланс интернета через такой терминал. Этим способом можно воспользоваться только в том случае, если у вас отключили Интернет за неуплату, и нужно его срочно вернуть.
Платить банковской картой не так страшно, как кажется с первого раза. Многие боятся, что их данные куда-то уйдут, будут украдены все средства и прочие страшные варианты. Спешим вас заверить, что процесс оплаты интернета (как и других услуг) защищен, и ваши счета, номер карты и имя не попадут к третьим лицам.
Сама оплата производится на сайте банка, а уж там все защищено сверх меры. Но если вы не доверяете такому способу, но все равно хотите пополнять баланс быстро и без комиссии, вы можете завести отдельную карту для интернет-покупок. Это очень популярный вариант, ведь в Интернете оплатить можно не только услуги провайдера, но и заказать доставку еды, купить одежду и продукты, оплатить билеты в кино и еще много всего.
Отдельная карта позволит вам чувствовать себя защищенным и не бояться потерять все свои сбережения. Пополняйте ее с вашего зарплатного счета путем обычного перевода. Для того чтобы делать это без комиссии, лучше создать карту у того же банка.
Пополнить баланс интернета электронными деньгами смогут те, у кого на счету «Вебмани» или «Киви» есть сбережения. Специально пополнять эти кошельки для оплаты интернета смысла нет: комиссия за пополнение может быть очень большой. Обычно электронные деньги есть у тех, кто работает за компьютером: фрилансеров, копирайтеров, дизайнеров, программистов. Они получают оплату на кошелек и тратят деньги на домашний интернет. В таком деле важно зарабатывать гораздо больше, чем ежемесячная плата за услуги провайдера.
Вы решили пополнить баланс через интернет? Отлично!
Всегда держите ваш счет у провайдера положительным. Ведь если у вас отключат интернет за неуплату, как вы сможете пополнить его на сайте?
Поэтому лучше платить раз в месяц в строго установленные дни. Например, сразу после зарплаты. Получили ее — положили на баланс интернета ровно ту сумму, которая необходима для спокойного пользования до следующего месяца.
Если у вас есть смартфон с выходом в Сеть, обязательно забейте в закладки телефонного браузера сайт вашего провайдера. С помощью него вы сможете заплатить за интернет, если уйдете в минус на домашнем компьютере. Это немного неудобно — вводить с телефона данные и пополнять баланс, но иногда другого выхода просто нет.
Учитель зарабатывает на 25% меньше, чем профессор. На сколько процентов больше, чем учитель, зарабатывает профессор? Решение
Найти число, если известно, что 25% его равны 45% от 640 000. Решение
После двух последовательных повышений зарплата возросла в раза. На сколько процентов повысилась зарплата в первый раз, если второе повышение было в процентном отношении вдвое больше первого? Решение
Для офиса решили купить 4 телефона и 3 факса на сумму 1470 долларов. Удалось снизить цену на телефон на 20%, и в результате за ту же покупку уплатили 1326 долларов. Найдите цену факса. Решение
За первый квартал автозавод выполнил 25% годового плана выпуска машин. Количество машин, выпущенных за второй, третий и четвертый кварталы, оказалось пропорциональным числам 15, 16 и 18. Определить перевыполнение годового плана выпуска в процентах, если во втором квартале автозавод выпустил продукции на 8% больше, чем в первом. Решение
Рабочий день сократился с 8 ч до 7 ч. На сколько процентов нужны повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возросла бы на n % процентов? Решение
Банк выделил определенную сумму денег на кредиты трем организациям сроком на год. Организация A получила кредит в размере 40% от выделенной суммы под 30% годовых, организация B — 40% от оставшейся суммы под 15% годовых. Последнюю часть выделенной суммы получила организация C. Через год, когда кредиты были погашены, оказалось, что банк получил прибыль в размере 21%. Под какие проценты был выдан кредит организации C? Решение
В результате реконструкции цеха число высвободившихся рабочих заключено в пределах от 1,7 до 2,3 % от общего числа рабочих цеха. Найдите минимальное число рабочих, которое могло быть занято в цехе до реконструкции. Решение
Объем вещества А составляет половину суммы объемов веществ В и С, а объем вещества В составляет 20% суммы объемов веществ А и С. Найдите отношение объема вещества С к сумме объемов веществ А и В. Решение
Банк начисляет ежегодно р % от суммы вклада. Через сколько лет внесенная сумма увеличится в 5 раз? Решение
Предприятие работало три года. Выработка продукции за второй год работы предприятия возросла на р %, а на следующий год прирост был на 10% больше, чем в предыдущий. Определите, на сколько процентов увеличилась выработка за второй год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59%. Решение
В конце года вкладчику на его сбережения сбербанк начислил проценты, что составило 6 долларов. Добавив 44 доллара, вкладчик оставил деньги еще на год. После истечения года вновь были начислены проценты, и теперь вклад вместе с процентами составил 257 долларов 50 центов. Какая сумма первоначально была положена в сбербанк? Решение
Сухие грибы по массе содержат 12% воды, а свежие — 90%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих грибов? Решение
Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же количество процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое количество процентов. В результате получили 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали данное число? Решение
Задачи для самостоятельного решения
В двух мешках вместе находится 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй 12,5 % муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках будет одинаковое количество муки. Сколько килограммов муки в каждом мешке? Ответ: 80 кг и 60 кг
В январе завод выполнил 105% месячного плана, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план? Ответ: на 7,1 %
Количество студентов в университете, увеличиваясь на одно и то же число процентов ежегодно, возросло за три года с 5000 до 6655 человек. На сколько процентов увеличивалось число студентов ежегодно? Ответ: на 10%
Вкладчик на свои сбережения через год получил 150 р. процентных денег. Добавив 850 р., он оставил деньги еще на один год. По истечении года вклад вместе с процентами составил 4200 р. Какая сумма была положена первоначально и какие годовые проценты дает банк? Ответ: 3000 р, 5%
Зарплата продавца составляет 3% выручки. Он реализовал товар стоимостью 6000 р. по цене на 5% выше его себестоимости. На сколько повысилась зарплата продавца? Ответ: на 9 р.
Одна сторона прямоугольника в 2,5 раза меньше другой. Как и на сколько процентов изменятся его периметр и площадь, если большую сторону уменьшить на 25%, а меньшую увеличить на 80%? Ответ: +5%, +35%
Два брата купили акции одного достоинства на сумму 3640 долларов. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 долларов. Первый брат продал 75% своих акций, а второй — 80% своих. При этом сумма, полученная от продажи акций вторым братом, превышает сумму от продажи акций первым братом на 140%. На сколько процентов возросла цена акции? Ответ: на 37,5%
В начале года вкладчик положил своих денег в один банк, а остальные — в другой. К концу года сумма на этих вкладах выросла до 1340 р., а к концу следующего года — до 1498 р. Было подсчитано, что если бы с самого начала денег вкладчик положил во второй банк, а остальные — в первый, то по итогам первого года сумма на этих вкладах составила бы 1420 р. Определить величину вклада по истечении двух лет, предполагая, что вкладчик положил все деньги в первый банк. Ответ: 1452 р.
Понятие процент встречается в нашей жизни слишком часто, поэтому очень важно знать, как решать задачи на проценты. В принципе, это дело не сложное, главное, понять принцип работы с процентами.
Что такое процент
Мы оперируем с понятием 100 процентов, и соответственно, один процент это сотая доля определенного числа. И все счисления ведутся уже исходя из этого соотношения.
Например, 1% от 50 это 0,5, 15 от 700 это 7.
Как решать
Зная, что один процент это одна сотая от представленного числа, можно найти любое количество требуемых процентов. Для того чтобы было нагляднее, попробуем найти 6 процентов от числа 800. Делается это просто.
Сначала находим один процент. Для этого 800 делим на 100. Получается 8.
Теперь этот самый один процент, то есть 8, умножаем на нужное нам количество процентов, то есть на 6. Получается 48.
Закрепим результат повторением.
15% от 150. Решение: 150/100*15=22.
28% от 1582. Решение: 1582/100*28=442.
Бывают другие задачки, когда вам даются величины, а вам нужно найти проценты. Например, вам известно, что в магазине 5 алых роз из 75 белых, и вам нужно узнать, каков процент алых. Если мы не знаем этот процент, значит, обозначим его как х.
Для этого есть формула: 75 – 100%
5 — х%
В этой формуле цифры умножаются крест на крест, то есть х=5*100/75. Получается, что х=6% Значит процент алых роз составляет 6%.
Существует еще один тип задач на проценты, когда вам надо найти на сколько процентов одно число больше или меньше другого. Как решать задачи с процентами в этом случае?
В классе учится 30 человек, из них 16 мальчиков. Вопрос, на сколько процентов мальчиков больше, чем девочек. Для начала необходимо сосчитать, какой процент составляют учащиеся мальчики, затем нужно узнать, сколько процентов девочек. А уж в конце найти разницу.
Теперь считаем. Х=16*100/30, х=53,4 % от всех учащихся в классе составляют мальчики.
Теперь найдем процент дево
elhow.ru
Задачи на проценты | Математика
Удобнее всего решать задачи на проценты в 6 классе с помощью пропорций. Для составления пропорции нет необходимости выяснять вид задачи на проценты. Нахождение числа по его процентам, процентов от числа и процентного отношения чисел в этом случае проходит по одинаковой схеме, что существенно упрощает решение.
Задачи на проценты относятся к задачам на прямую пропорциональную зависимость, но при составления условия стрелки обычно не рисуют. Условие оформляется максимально просто: в первом столбце — единицы измерения, во втором — проценты.
Рассмотрим примеры задач на проценты, решаемые с помощью пропорции.
1) Сколько килограммов соли содержится в 40 кг 3-процентного раствора?
Решение:
Пусть х кг соли содержится в растворе. Составляем пропорцию:
(Здесь пропорцию составили по строкам. Можно также составлять ее по столбцам, например, в направлении от большой величины — к меньшей: 40:х=100:3).
Значит, в растворе содержится 1,2 кг соли.
Ответ: 1,2 кг.
2) В саду растет 64 вишневых дерева, что составляет 16% всех деревьев. Сколько всего деревьев в саду?
Решение:
Пусть х деревьев всего в саду. Составляем пропорцию:
Значит, всего в саду 400 деревьев.
Ответ: 400 деревьев.
3) В книге 130 страниц. Саша прочитал 104 страницы. Сколько процентов книги прочитал Саша?
Решение:
Пусть х% книги составляют прочитанные страницы. Составим и решим пропорцию:
130 и 100 сокращаем на 10, затем 13 и 104 сокращаем на 13:
Значит, Саша прочитал 80% книги.
Ответ: 80%.
В некоторых случаях задачи на проценты можно легко решать устно. Как это делается, я расскажу позже.
www.for6cl.uznateshe.ru
Сложные проценты на примерах
Задачи на сложные проценты решаются в достаточно быстрый способ при знании нескольких простых формул. Часть из них касается начислений по вкладу или кредиту, когда те осуществляются через определенные промежутки времени . Также сложные проценты используют в задачах химии, медицины и ряде других сфер.
ФОРМУЛЫ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
В случае размещения вкладов с капитализацией процентов на годы конечная сумма депозита определяется формулой Здесь P – первоначальный взнос, r – процентная ставка, n – количество лет. По сложным процентам работают банки, инвестиционные фонды, страховые компании. Распространенные за рубежом, а теперь и в Украине — пенсионные фонды и фонды страхования жизни работают по схеме сложных процентов. При размещении вкладов с капитализацией процентов ежеквартально формула сложных процентов будет выглядеть где q – количество полных кварталов. При капитализации процентов ежемесячно применяют следующую формулу для вычислений где s – количество месяцев существования соглашения. Последний случай, непрерывное начисление процентов, когда сложные проценты начисляются ежедневно, рассчитывают по формуле где m – количество дней. Страхование жизни и откладывания пенсий исчисляют сложными формулами, кроме начисления сложных процентов ежегодно осуществляются необходимые взносы. Рассмотрим два случая накопления. Мужчина откладывает 5000 грн. в течение 20 лет. За это время он отложит 20*5000=100000 (грн). При откладывании в накопительные фонды с годовой ставкой 13%, за первый год сумма возрастет до 5000*(1+13/100)=5650 (грн). В следующем году человек в данной суммы добавляет еще 5000 грн. В результате, за второй год сумма увеличится (5650+5000)*(1+0,13)=12034.50 (грн) . Продолжая подобные вычисления, в конце срока получим сумму размером 457349,58 грн. Поверьте — ошибок при исчислении форуме, большое значение набегает за счет сложных процентов. Сомнительным остается только история изменения платежеспособности гривны через 20 лет. Учитывая политику государства вкладывать деньги в такие фонды люди не спешат, однако за рубежом практика откладывания денег распространена, правда процентные ставки намного ниже.
Рассмотрим распространенные задачи на сложные проценты.
Пример 1. Вкладчик положил на депозит $ 3000 под 9% годовых на 10 лет. Какая сумма аккумулируется конце 10-го года при годовой капитализации? На сколько вырастет сумма по сравнению с первоначальным взносом?
Решение: Применяем формулу сложных процентов для нахождения суммы в конце срока
Чтобы ответить на второй вопрос, от значения 7102,09 вычитаем сумму вклада.
Разница составляет 4102 доллара.
Пример 2. Инвестор вложил 7000 грн под 10% годовых при условии начисления сложных процентов ежеквартально. Какую сумму он получит через 8 лет?
Решение: Применяем 2 формулу сложных процентов. Находим количество кварталов 8*4=32. и подставляем в формулу
Школьные задачи на сложные проценты
Например, возьмем задачи из учебника для 9 класса авторов А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Аглгебра». (Номер в скобках)
Задача 1. (556) Костюм стоил 600 грн. После того как цена была снижена дважды, он стал стоить 432 грн., Причем процент снижения второй был в 2 раза больше, чем в первый раз. На сколько процентов каждый раз снижалась цена?
Решение: Для упрощения вычислений обозначим X – первая скидка; X/2 – вторая скидка. Для вычисления неизвестной X составляем уравнение
Упрощаем, и сводим к квадратному уравнению
и решаем
Первый решение не имеет физического смысла, второй учитываем при вычислениях. Значение 0,2 соответствует снижению на 0,2*100%=20% после первой скидки, и X/2 =10% после второй скидки.
Задача 2. (557) Определенный товар стоил 200 грн. Сначала его цену повысили на несколько процентов, а затем снизили на столько же процентов, после чего стоимость его стала 192 грн. На сколько процентов каждый раз происходила смена цены товара?
Решение: Поскольку проценты одинаковы, то обозначаем изменении цены товара через X. На основе условия задачи получим уравнение
Его упрощение приведет к решению уравнения
откуда корни приобретут значений
Первая значение отвергаем, оно меняет суть задачи (сначала имеем снижение, а затем рост процентов, противоречит условию). Второе при пересчете составит 0,2*100%=20% процентов.
Задача 3. (558) Вкладчик положил в банк 4000 грн. За первый год ему начислена определенный процент годовых, а второго года банковский процент увеличен на 4%. На конец второго года на счете стало 4664 грн. Сколько процентов составила банковская ставка в первый год?
Решение: Обозначим через X – увеличение вклада в первый год, тогда X+4/100%=X+0,04 начисления во второй год. По условию задачи составляем уравнение для определения неизвестной X
После упрощений получим квадратное уравнение вида
Вычисляем дискриминант
и корни уравнения
Первый корень отбрасываем, второй соответствует ставке в 6% годовых.
Задача 4. (564) В сосуде 12 кг кислоты. Часть кислоты отлили и долили до прежнего уровня водой. Затем снова отлили столько же, как и в первый раз, и долили водой до прежнего уровня. Сколько литров жидкости отливали каждый раз, если в результате получили 25-процентный раствор кислоты?
Решение: Обозначим через X – часть кислоты, которую отливали. После первого раза ее осталось 12-X, а процентное содержание кислоты
После второй попытки содержание кислоты в сосуде составило . Разведя водой до 12 кг, процентное содержание составляло 25%. Составляем уравнение
Упрощаем проценты и избавляемся знаменателей
Решаем квадратное уравнение
Условии задачи удовлетворяет второе решение, а это значит, что каждый раз отливали 6 кг жидкости.
На этом знакомство со сложными процентами завершается. На практике Вам встретятся как простые так и сложные задачи. При проблемах с вычисления сложных процентов обращайтесь к нам, мы поможем Вам в решении задач.
. При решении функциональных уравнений (1) и (2), как правило, необходимо использовать следующие теоремы. 
возрастает на отрезке , то на этом отрезке уравнение (1) будет равносильно уравнению 
.
нечетное, то на этом отрезке уравнение (1) будет равносильно уравнению 
, левая часть которой представляет собой возрастающую функцию, а правая часть – убывающую функцию. Известно, что в таком случае, если уравнение 
четное число, то в таком случае для решения уравнений вида (1) необходимо привлекать другие методы 
. Введем в рассмотрение функцию . Тогда уравнение (3) принимает вид функционального уравнения . Поскольку функция 
на области определения является возрастающей, то согласно теореме 1 уравнение (3) будет равносильно уравнению . Решая квадратное уравнение , получаем 
. Следовательно, уравнение (3) имеет корень .
.
в уравнении (4) являются 
, то из данного уравнения получаем функциональное уравнение
и 
.
, 
. 
, то уравнение будет равносильно уравнениям или .
.
и 
.
(8)
и 
. Если оба уравнения системы (8) возвести в квадрат, а затем из первого уравнения вычесть второе, то получим .
.
. После возведения в квадрат обеих частей данного уравнения получаем уравнение , корнями которого являются и 
.
.
, то уравнение (10) равносильно уравнению . Первый корень уравнения находим подбором, т.е. 
.
.
и 
, т.е. здесь имеем функциональное уравнение . 
. 
уравнения находим подбором. Так как и , то 
, то 
.
и 
) и найденный корень 
.
. 
(12)
, где 
. В таком случае система уравнений (12) принимает вид
или .
является единственным корнем этой системы уравнений, 
и 
.
, 
. 
.
, то при решении уравнения можно воспользоваться теоремой 3. Согласно этой теореме уравнение (2) равносильно уравнению , т.е. решение уравнения (14) сводится к решению уравнения . Отсюда получаем 
.
(15) 
. В таком случае из второго уравнения системы (15) следует 
. 
, 
, 
. 
Длинна окружности = π × диаметр
Чтобы найти длину дуги , составляем пропорцию:
∠∠
∠∠
∠ ∠∠( ⌣ ⌣ )
Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.
Радиус вписанной окружности равен . Здесь
Радиус описанной окружности вычисляется по формулам:
За 1° дуги принимают часть окружности.
В открывшейся форме личные данные заполнятся автоматически из настроек личного кабинета, а затем указываем тему запроса — узнать остаток материнского капитала. Результат запроса вы получите на электронную почту, указанную в разделе с контактной информации, в течении 15-30 рабочих дней.
Итак, вы вошли в систему электронных услуг и сервисов ПФР. В каталоге выберите интересующий вас раздел, а именно «Материнский (семейный) капитал (МСК), и нажмите на ссылку «Получить информацию: о размере (остатке) материнского (семейного) капитала»
Полная информация об остатке материнского капитала на текущий момента, а также сведения о размере средства, доступных для расходования, вы увидите на экране монитора. Эта информация всегда доступна для авторизованного пользователя по прямой ссылке https://es.pfrf.ru/informMsk/
Такой вариант, что вы подключились к незащищенному «вай-фай»-роутеру вашего соседа и бессовестно «кушаете» его трафик, мы рассматривать не станем, мы же приличные люди.
