Рубрика: Школьная жизнь

Что такое квадратный корень

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

Например:

4 x 2 = 8.

8, 25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:

Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала.
Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так: — целую часть справа налево; — число после запятой слева направо.	Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 Допускается, что вначале остается непарное число.
Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел). Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа. У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 =
Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7. А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_. Примечание: числа должны быть одинаковыми.
Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8.
Запишите найденное число в верхнем правом углу. Это второе число из искомого корня. Снесите следующую пару чисел и запишите возле полученной разницы слева.
Вычтите полученное справа произведение из числа слева. Удваиваем число, которое расположено справа вверху и записываем выражение с прочерками.
Сносим к получившейся разнице еще пару чисел. Если это числа дробной части, то есть расположены за запятой, то и в верхнем правом углу возле последней цифры искомого квадратного корня ставим запятую. Заполняем прочерки в выражении справа, подбирая число так, чтобы полученное произведение было меньше или равно разницы выражения слева.
Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение  прочерками, подбираем множители для него и так далее.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

Алгоритм действий

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.

4. Нажмите кнопку «Решить».

Вычисление самых сложных математических действий с онлайн калькулятором станет простым! Экономьте время и проводите расчеты с CALCON.RU.

calcon.ru

Расчет кубического корня числа онлайн

Кубический корень из a, обозначающийся как или как a^1/3 — решение уравнения x³ = a (обычно подразумеваются вещественные решения).

Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел.

Калькулятор кубического корня

Поделиться Оставить комментарий

2017-01-17 07:10:21

Все истории

Виджет голосования

2016-08-23 06:18:16

Все истории

Не удается установить .net 3.5 framework на windows 8.1

2016-08-15 13:18:27

Все истории

Распайка коннекторов видеокамер RVI

2015-03-13 18:15:07

Все истории

Фильтрация mac-адресов в DHCP на Windows Server 2003

Скачать дистрибутив можно тут.
Просто установите ее, используя установочный файл из архива, подходящий Вашей ОС.
Инструкция по использованию скопируется в папку %systemroot%\system32
В дальнейшем, следуя инструкции, отредактируйте файл-конфигурацию под свои нужды.
Это все. Всем удачи.

2015-01-16 12:13:04

Программы

3ds max долго закрываться

2014-01-24 13:14:12

Windows

Завершение сеанса Windows сразу после загрузки личных параметров

Обычно это результат «корябания» UserInit-а вирусом. Он переименовывает настоящие файлы userinit.exe или winlogon.exe на какие-то другие, а сам встает на их место, запуская их сразу же после себя. Антивирусы лечат, удаляя файл, не переименовав оригиналы. Если же они были удалены то, естественно, не восстановив.
Поэтому ОС пытается загрузить, но пользовательский интерфейс не найдя нужных файлов просто завершает сеанс.

К сожалению, ни безопасный режим, ни загрузка последней удачной конфигурации не дает эффекта.

Остается только вариант запуска RegEdit из комплекта ERD Commander-а, позволяющего редактировать реестр ОС не загружаясь ее.

1. Загружаемся с диска с ERD Commander-ом, запускаем RegEdit.

2. И проверяем правильность ключей в ветке реестра
HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\Microsoft\Windows NT\CurrentVersion\Winlogon\:

UserInit = «C:\WINDOWS\system32\userinit.exe,»
UIHost = «logonui.exe»
Shell = «Explorer.exe»
VmApplet = «rundll32 shell32,Control_RunDLL «sysdm.cpl»»

Всякие бессмысленные ключи типа «a3fs8543» просто удаляем — это тоже ошметки вируса.

3. Заменяем все упомянутые файлы в папочке Windows на файлы из дистрибутива Windows, т.к. мы не можем гарантировать того, что файлы в системе настоящие.

C:\WINDOWS\system32\userinit.exe
C:\WINDOWS\system32\logonui.exe
C:\WINDOWS\explorer.exe
C:\WINDOWS\system32\sysdm.cpl

5. Перезагружаем компьютер и пытаемся залогиниться.

6. После того как войдем в систему делаем проверку системных файлов Windows с помощью команды sfc /scannow

Источник: www.tudimon.com/
Рекомендовал пользователь: Гарик

2014-01-23 11:54:04

iphone

itunes не может прочитать контент iPhone

Развернуть

2. Сделать резервную копию в iCloud.
Там же кнопка «Создать копию».

Это все на тот случай если Вы не делали резервную копию или прошло много времени с момента последнего копирования.

3. Сбросьте контент и настройки iPhone.
Настройки — Основные — Сброс — Стереть контент и настройки.

4. После перезагрузки телефона, восстановите телефон из резервной копии iCloud.
Настройки — iCloud — Хранилище и копии — Хранилище — Выберите Вашу копию.

После этих действий телефон подключится к iTunes. Никакие данные: Почта, Контакты, Заметки, Фото, Настройки, Программы и т.д. не пропадут. Исчезнет вся музыка и фильмы. Хотя фото копируются в iCloud, я бы рекомендовал сделать копию, например, на Яндекс.Диск.
Всем удачи.

2013-03-29 01:52:50

Обновления

Ошибка при запуске приложения 0xc0000005

Источник: neverfold.ru

2013-03-22 12:23:24

Все истории

Как завести компьютер в домен и сохранить профиль пользователя?

Развернуть

ВНИМАНИЕ: Обязательно сделайте резервную копию всего реестра и точку восстановления.

1. Каждый компьютер вывел из старого домена и завел в новый.
2. Для удобства создал на контроллере домена пользоватлей с теми же именами и паролями, что и раньше.
3. Вошел под новым пользоватлем и вышел из его учетной записи.
4. Вошел под Администратором и сделал нового пользователя локальным администратором на его компьютере.
Пока не выходите из Администратора.
5. На каждом компьютере нашел следущую ветку реестра HKEY_LOCAL_MACHINE _ SOFTWARE _ Microsoft _ Windows NT _ CurrentVersion _ ProfileList
6. В этой ветке нашел профиль старого пользователя. Сделать это можно, открывая по очереди каждый ключ и проверяя значение параметра ProfileImagePath. В нем содержится путь к папке с профилем. Вам нужно найти старого пользователя.
7. Таким же способом нашел нового.
8. Скопировал название ключа нового пользователя.
9. Произвольно переименовал ключ нового пользователя.
10. Переименовал ключ старого пользователя на скопированное название нового.
11. Вышел из учетной записи Администратора и вошел под новым пользоватлем.

Единственное, что нельзя перенести — это пароли пользователей, их придется ввести заново. В остальном никаких дополнительных действий не понадобится.

В этой статье я привел решение, которое помогло именно мне. Если кто-то поделится своим опытом я буду очень рад. Уверен, что у этой задачи есть различные варианты выполнения.
Всем удачи.

www.it-ho.ru

Удаленная компьютерная помощь – это безопасно, быстро и современно!

Сервисный центр «Настройка ПК» предлагает Вашему вниманию современную услугу компьютерной помощи. Ее особенность заключается в том, что присутствие мастера у Вас дома не обязательно. Мы подключимся к Вашему компьютеру через интернет и устраним неполадки удаленно, то есть на расстоянии. Во-первых, это очень быстро, во-вторых, это удобно и для Вас, и для нас, в-третьих, это экономно: Вы не платите за выезд мастера и не тратите свое время на личное присутствие. Для того что бы мы смогли Вам помочь, Вы должны скачать специальное программное обеспечение, которое находится чуть ниже и связаться с нашим мастером.

Перечень проблем, от которых мы избавим Вас удаленно:

• Удаление вирусов. Выезд мастера для этого нетрудного дела необязателен и вовсе. Мы с легкостью чистим компьютеры от вредоносных программ удаленно. Трояны, черви, вирусы-баннеры (мешают нормальному пользованию браузером), всплывающая реклама и пр. Удаление вирусов онлайн – это около получаса работы.
• Настройка IP—камер. Мы выполнили уже не один десяток подобных заказов, поэтому можем заявить о том, что настроить ip-камеру можно и удаленно. Специалист подключится к камере и отладит все необходимые параметры через интернет. 
• Установка/Удаление программ. Системный реестр засоряется за счет установки новых программ. Не всегда удается самостоятельно полностью избавиться от ПО. Наши специалисты не только почистят Ваш компьютер от ненужных программ, но и правильно установят новые.
• Оптимизация работы системы. Производительность операционной системы зависит от множества факторов: заполнение реестра, вирусная активность, засорение жёсткого диска и автозапуска системы, перегрузка оперативной памяти и пр. Наш специалист подключится к Вашему компьютеру онлайн, установит причину снижения производительности и устранит ее.
• Освобождение памяти на жёстком диске. Мы знаем, где скапливается системный «мусор». Файлы, которые хранятся без надобности будут удалены. Производительность компьютера заметно улучшится, и станет больше свободного места на жёстком диске. 

Эти и многие другие вопросы мы можем решить на расстоянии, с помощью интернета.

Удаленная компьютерная помощь – это очень удобно.

Оставьте заявку на сайте или свяжитесь с нами по телефону и Вы убедитесь в этом сами!

Оставить заявку на помощь онлайн

Заполните форму, менеджер ответит вам в течение 5 минут.

Пожалуйста, заполните обязательные поля.

xn--80aa0aebnilejl.xn--p1ai

Чат компьютерной помощи — задать вопрос программисту онлайн бесплатно, консультация компьютерщика | Ремонт компьютеров Троещина на дому: компьютерная помощь, диагностика компьютера на Троещине

Задайте вопрос программисту —  компьютерщику в онлайне бесплатно

Задайте вопрос онлайн и получите консультацию компьютерщика совершенно бесплатно!

Добро пожаловать в онлайн чат компьютерной помощи. Здесь можно задать вопрос программисту (компьютерщику) совершенно бесплатно.  Прежде чем войти в чат обдумайте и грамотно сформулируйте свой вопрос. Помните, что правильно заданный вопрос — это уже наполовину готовый ответ. Учтите, так же, что чат компьютерной помощи кроме специалистов могут посещать пользователи лишь отдаленно имеющие представление о принципах работы компьютерной техники, и поэтому, слепо полагаться на советы таких людей, не стоит.

Как пользоваться чатом?

Онлайн чат компьютерной помощи не требует регистрации. Просто укажите своё имя, используя анг. раскладку, задайте вопрос и нажмите Enter. Ссылки и спам — запрещены.

Не нашли ответа в чате? Посетите онлайн-форум компьютерной помощи!

Лучший компьютерный форум без регистрации в Украине: форум по железу и сборке ПК, компьютерная помощь программистов, информатика. Задайте вопрос и получите консультацию опытных пользователей и ИТ специалистов.

 Хочу особо отметить, что онлайн консультация программиста — не является панацеей в большинстве случаев. Специалист по компьютерам не волшебник — он может дать консультацию, помочь бесплатно лишь тогда, когда пользователь подробно описал проблему. На вопрос «…не работает и что то пишет на экране» будет соответствующий ответ, ибо как я уже писал выше, грамотно заданный вопрос — это уже наполовину готовый ответ. Пользователям с небольшим опытом, чьи знания о работе компьютера стремятся к нулю проще обратиться не за онлайн консультацией компьютерщика а напрямую в ближайший сервисный центр.

Расширенная консультация компьютерного мастера

Компьютерная помощь — онлайн консультант: 098 294-02-77

Бывают случаи, когда проблема настолько сложна в описании или диагностике, что без расширенной консультации специалиста по компьютерам не обойтись.  Далеко не каждый пользователь может с легкостью орудовать профессиональными диагностическими утилитами. На помощь здесь придет услуга уделенной компьютерной помощи. При помощи программы удаленного доступа компьютерный специалист сможет запустить на клиентском ПК необходимый диагностический софт, собрать данные о поломке и сообщить результат клиенту (а в некоторых случаях  — даже осуществить ремонт удаленно).

Конечно, такая онлайн консультация компьютерщика  — не полноценный ремонт, но фактически уже его половина, т.к. любой ремонт техники на 50% состоит из грамотной диагностики.

computerrepair.com.ua

Обслуживание онлайн

Важное сообщение! Уважаемые клиенты мы прекращаем работу с частными клиентами, теперь мы работаем только с предприятиями и компаниями в режиме аутсорсинга! Мы продолжаем обслуживать частных клиентов по контракту, а также мы продолжаем гарантийное обслуживание.

Удаленное обслуживание любой компьютерной техники через интернет. Настройка, диагностика, отладка вашего ПК или ноутбука. Чистка от вирусов. Увеличение быстродействия. Установка ПО. Уроки онлайн, и многое другое.

Предлагаем вашему вниманию новую услугу, которая еще не имеет аналогов в интернете. Ну, а если быть точнее то даже 2 новые услуги.

Первая услуга будет заключаться в онлайн обслуживании вашего компьютера удаленно, что это значит? При наличии у вас интернета с постоянной скоростью в 1 Мега бит и более (чем больше тем лучше), наши специалисты  удаленно подключится к вашему рабочему столу и выполнят ремонтно-наладочные работы на вашем компьютере. Что мы можем сделать  таким образом, список довольно большой приведем примеры некоторых из них:

• Например вы не можете установить какую либо программу или сконфигурировать ее, мы найдем нужную программу, скачаем, выполним установку и настройку под вас.
• Если у вас проблема с каким либо драйвером например не работает веб камера звук или что то еще, все очень просто мы находим оригинальный драйвер, устанавливаем и конфигурируем его.
• Вы забыли как пользоваться какой либо программой, тоже не беда,  в онлайн режиме с помощью скайпа мы расскажем и покажем как пользоваться той или иной программой и все это у вас дома!
• У вас на компьютере вирус? Его тоже можно удалить. Мы установим вам актуальный антивирус и фаервол, просканируем систему, найдем вирусы и удалим их, а также восстановим нормальную работу системы после их воздействия.
• Есть проблемы с поиском чего либо в интернете, мы поможем вам найти нужный материалы в бескрайних просторах интернета.

Все это и многое другое можно сделать на вашем компьютере имея доступ к интернету. Вам не надо будет вызывать мастера домой, все это можно сделать в режиме онлайн в удобное для вас время, даже когда вас нет, при наличии включенного интернета и компьютера все это выполнимо.

Что вам потребуется для того что бы мы смогли выполнить работу на вашем компьютере? Вам надо скачать и запустить эту программу. Далее в появившемся окне переписываем ВАШ ID (девятизначное число) и пароль. Не закрываем программу, а просто ее сворачиваем. Далее заполняем форму ниже, в поле текста сообщения указываем вашу проблему, потом ВАШ ID и пароль из программы TeamViewer. В ближайшее время ваша проблема будет рассмотрена и сформирована цена на услугу(цены колеблются от 5$ до 20$) После чего на вашу почту будут высланы дальнейшие инструкции. В них вы получите варианты оплаты услуг, после успешной оплаты, я преступлю к выполнению заказа в любое оговоренное нами время.

Видео инструкция по установке и настройке Team Viewer

‘+cents+’% (‘+Math.floor(data.received/1024)+’ Kb)

spec-komp.com

Восстановление базы 1С IT-ПОМОЩЬ — Круглосуточная компьютерная помощь

Частным клиентам

Просто позвоните на бесплатный телефон 8 (800) 775-92-19.

Корпоративным клиентам

8 (800) 775-92-19 (БЕСПЛАТНЫЙ ЗВОНОК ПО РФ, ПОНЕДЕЛЬНИК — ПЯТНИЦА. КРУГЛОСУТОЧНО)

Оплачивая услуги ООО «КОМПАНИЯ АЙ ТИ — ПОМОЩЬ», Вы соглашаетесь с Договором-Офертой

70

100

97

Ежедневно мы обрабатываем
более 70 новых заявок

Мы спасаем более
100 компьютеров ежедневно

97 % клиентов рекомендуют
нас друзьям и коллегам

Скупой дважды не платит — он платит троекратно!

Объявления пестрят умельцами, обещающими починить компьютер за минимальную цену.

Практически за идею! Но, обращаясь к ним, вы покупаете кота в мешке: во-первых, качество ремонта не гарантировано, а во-вторых, такие мастера часто приманивают к себе взгляд низкой ценой, чтобы потом найти у клиента массу фиктивных проблем и выставить завышенный счет. Рынок знает много подобных историй.

«IT-Помощь» действует иначе. Наши цены фиксированы, а качество услуг — гарантировано. Словом, мы за честность.

Отзывы клиентов

«Я заказала у ребят почистить компьютер от вирусов, с которыми не мог справиться антивирус. Справились! А взамен попросили написать отзыв о работе. Итак. Неделю назад резко замедлилась работа компьютера. Антивирус нашел проблему, но удалить заразу не смог. Обратилась в «IT-ПОМОЩЬ». Ребята провели удалённую диагностику, нашли вирус и стерли его! На все ушло всего пара часов! СПА-СИ-БО!»

«Рекомендую всем подключиться на абонентское обслуживание. Купил эту услугу месяц назад и ни о чем не жалею: мастер удаленно проверяет компьютер на вирусы, следит за стабильностью системы и работой «железа». Самая приятная фишка — постоянное обновление важных программ. Комп летает! :)»

Есть вопросы? Задайте их нашим консультантам!

it-pomosh.com

Компьютерная помощь онлайн Remote computer help Удаленная помощь онлайн

Разработка и дизайн, Черняк Глеб
  Copyright © 2013-2019, Cherniak Gleb

Очень желательно, чтобы у Вас был подключен и настроен микрофон (неважно какой, отдельный или совмещенный с WEB камерой). Через него мы можем общаться во время сеанса, как по скайпу.

Удаленная компьютерная помощь 24 часа

У Вас возникли вопросы при настройке компьютера? Вы затрудняетесь установить программу, игру, драйвер и т.п.?
Есть решение — Компьютерная помощь online или удаленная компьютерная помощь — это то, что Вам нужно!
Теперь нет необходимости вести ваш ПК в сервисный центр или вызывать специалиста на дом, достаточно воспользоваться данной услугой и наш специалист удаленно поможет решить Ваши проблемы

ВАЖНО! не закрывать программу пока мы не закончим работу!

Удаленная компьютерная помощь — это самый удобный и быстрый способ решения компьютерных проблем или вопросов. Услуги нашей компании позволяют решить проблему в считанные минуты через Интернет, не вызывая специалиста на дом или в офис

Специалист видит Ваш рабочий стол точно также как видите его Вы, благодаря чему достигается быстрое взаимопонимание.
Вам не нужно будет долго объяснять Вашу проблему и разбираться в компьютерной терминологии, поэтому не будет возникать недопониманий и лишних вопросов.
Укажите на возникшую проблему и наш специалист легко и быстро устранит ее

Будем рады помочь Вам в следующих случаях:

•

установка и настройка программ;

•

установка антивируса, лечение вирусов;

•

восстановление утерянных и удаленных данных;

•

настройка и оптимизация операционной системы;

•

очистка диска и реестра от ненужных файлов и записей;

•

установка и обновление драйверов устройств;

•

настройка почты и почтового клиента, регистрация почтового адреса;

•

обучение работе на компьютере с популярными программами;

•

установка и настройка принтера, сканера (при условии помощи со стороны клиента);

•

ремонт ПК, ноутбуков — замена оперативной памяти, винчестера, CD/DVD привода…..;

•

решение специфических задач (например, помощь в установке Windows, Mac OS с помощью веб камеры и скайпа);

•

берём офисы на абонентское обслуживание;

Что нужно для получения удаленной помощи?

Почему удаленное подключение безопасно?

Работая с нами Вы получаете:

Наш специалист устраняет ошибки через Интернет не приезжая к Вам! Все действия специалиста выполняются при вашем личном наблюдении и доступны лишь после Вашего согласия и подтверждения. Наша компания берет на себя обязательство за конфиденциальность и безопасность Ваших данных.

Быстро найдем возникшую проблему через Интернет. Вам не потребуется долго объяснять, что произошло, так как наш специалист видит Ваш рабочий стол точно также, как видите его Вы. Специалист не только решит возникшую проблему, но и объяснит возможные причины ее возникновения, расскажет, как избежать подобного в дальнейшем.

Стандартная практика для обычной службы технической поддержки — это выезд специалиста в течение часа после звонка для диагностики проблемы и еще 2 суток на ее решение. Наш специалист приступает к решению проблемы мгновенно, и обязуется решить ее в течении нескольких минут.

Оплата производится по факту только за полноценно выполненную работу, на которую предоставляется гарантия в течение 60 дней. В случае возникновения проблем с установленными программами в течении гарантийного срока специалист обязуется устранить их бесплатно.

Вы платите только за фактически выполненную работу любой сложности. Вы заранее знаете сколько Вам будет стоить решение проблемы и сами определяете, решена поставленная задача или нет.

Наш специалист поможет устранить системные ошибки, установить и настроить необходимые программы, дать консультацию по модернизации компьютера, обучить или помочь разобраться в различных программах и действиях на компьютере

Наш специалист, оказывающий удаленную помощь при ремонте компьютера, подскажет вам, как поступить в той или другой ситуации. Но чтобы удаленная помощь была доступной для вас, вам необходим доступ в интернет. Это, лишь то одно условие, которое вам нужно соблюсти

Удаленная помощь — это отличная возможность сэкономить денежные средства и исправить неполадки компьютера в любое время суток! Именно это очень удобно для любого пользователя, будь это частное лицо или организация. Круглосуточная компьютерная помощь теперь возможна вне зависимости от времени и расположения.

Компьютерный сервис онлайн

onlinehelp.com.ua

Например, в случае двух множеств формула включений-исключений имеет вид:

В сумме элементы пересечения учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем из правой части формулы. Справедливость этого рассуждения видна из диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств, приведенной на рисунке справа.

Таким же образом и в случае множеств процесс нахождения количества элементов объединения состоит во включении всего, затем исключении лишнего, затем включении ошибочно исключенного и так далее, то есть в попеременном включении и исключении. Отсюда и происходит название формулы.

Впервые формулу включений-исключений опубликовал португальский математик Даниэль да Сильва (англ.) в 1854 году ^[1]. Но еще в 1713 году Николай Бернулли (англ.) использовал этот метод для решения задачи Монмора (англ.), известной как задача о встречах (фр. «Le problème des rencontres»)^[2], частным случаем которой является задача о беспорядках. Также формулу включений-исключений связывают с именами французского математика Абрахама де Муавра^{[источник не указан 1272 дня]} и английского математика Джозефа Сильвестра ^[3]. В теории вероятностей аналог принципа включений-исключений известен как формула Пуанкаре^[1].

Формулировка

Формулу включений-исключений можно сформулировать в разных формах.

В терминах множеств

Пусть — конечные множества. Формула включений-исключений утверждает:

При получаем формулу для двух множеств, приведенную выше.

В терминах свойств

Принцип включений-исключений часто приводят в следующей альтернативной формулировке ^[4]. Пусть дано конечное множество , состоящее из элементов, и пусть имеется набор свойств . Каждый элемент множества может обладать или не обладать любым из этих свойств. Обозначим через количество элементов, обладающих свойствами (и, может быть, некоторыми другими). Также через обозначим количество элементов, не обладающих ни одним из свойств . Тогда имеет место формула:

Формулировка принципа включений-исключений в терминах множеств эквивалентна формулировке в терминах свойств. Действительно, если множества являются подмножествами некоторого множества , то в силу правил де Моргана (черта над множеством — дополнение в множестве ), и формулу включений-исключений можно переписать так:

Если теперь вместо «элемент принадлежит множеству » говорить «элемент обладает свойством », то мы получим формулировку принципа включений-исключений в терминах свойств, и наоборот.

Обозначим через количество элементов, обладающих в точности свойствами из набора .Тогда формулу включений-исключений можно переписать в следующей замкнутой форме (англ.)

Доказательство

Существует несколько доказательств формулы включений-исключений.

По индукции

Формулу включений-исключений можно доказать по индукции ^[1][5].

При формула включений-исключений тривиальна:

Пусть формула верна для , докажем ее для .

Пусть каждый элемент множества может обладать или не обладать любым из свойств . Применим формулу включений-исключений для свойств :

Теперь применим формулу для свойств к множеству объектов, для которых выполнено свойство :

Наконец, применим формулу для одного свойства к совокупности , объектов, которые не обладают свойствами :

Комбинируя выписанные три формулы, получим формулу включений-исключений для свойств . Что и требовалось доказать.

Комбинаторное доказательство

Рассмотрим произвольный элемент и подсчитаем, сколько раз он учитывается в правой части формулы включений-исключений^[4].

Если элемент не обладает ни одним из свойств , то в правой части формулы он учитывается ровно 1 раз (в члене ).

Пусть элемент обладает в точности свойствами, скажем . Он дает по 1 в тех слагаемых суммы , для которых есть подмножество , и 0 для остальных. Число таких подмножеств по определению есть число сочетаний . Следовательно, вклад элемента в правую часть равен

При числа сочетаний равны нулю. Оставшаяся сумма в силу биномиальной теоремы равна

Таким образом, правая часть формулы включений-исключений учитывает каждый элемент, не имеющий указанных свойств точно по одному разу, а каждый элемент, обладающий хотя бы одним из свойств — нуль раз. Следовательно, она равна количеству элементов, не обладающих ни одним из свойств , то есть . Что и требовалось доказать.

Используя индикаторные функции

Пусть — произвольные (не обязательно конечные) множества, являющиеся подмножествами некоторого множества , и пусть — индикаторные функции (или, эквивалентно, свойств ).

Индикаторные функции их дополнений равны

а индикаторная функция пересечения дополнений:

Раскрывая скобки в правой части и еще раз используя тот факт, что индикаторная функция пересечения множеств равна произведению их индикаторных функций, получим

Это соотношение — одна из форм принципа включений-исключений. Оно выражает собой логическое тождество^[1] и верно для произвольных множеств . В случае конечных множеств (и, соответственно, в предположении конечности множества ), просуммировав это соотношение по всем и воспользоваться тем, что для произвольного подмножества его мощность равна

получим формулировку принципа включений-исключений в терминах мощностей множеств (или в терминах свойств).

Применение

Задача о беспорядках

Основная статья: Задача о беспорядках

Классический пример использования формулы включений-исключений — задача о беспорядках ^[4]. Требуется найти число перестановок множества таких что для всех . Такие перестановки называются беспорядками.

Пусть — множество всех перестановок и пусть свойство перестановки выражается равенством . Тогда число беспорядков есть . Легко видеть, что — число перестановок, оставляющих на месте элементы , и таким образом сумма содержит одинаковых слагаемых. Формула включений-исключений дает выражение для числа беспорядков:

Это соотношение можно преобразовать к виду

Нетрудно видеть, что выражение в скобках является частичной суммой ряда . Таким образом, с хорошей точностью число беспорядков составляет долю от общего числа перестановок:

Вычисление функции Эйлера

Другой пример применения формулы включений-исключений — нахождение явного выражения для функции Эйлера ^[6].

Для целого положительного функция Эйлера дает количество чисел ряда , взаимно простых с . Найдем явное выражение для функции Эйлера.

Пусть каноническое разложение числа на простые множители имеет вид

Число взаимно просто с тогда и только тогда, когда ни один из простых делителей не делит . Если теперь свойство означает, что делит , то количество чисел взаимно простых с есть .

Количество чисел, обладающих свойствами равно , поскольку .

По формуле включений-исключений находим

Эта формула преобразуется к виду:

Вариации и обобщения

Принцип включения-исключения для вероятностей

Пусть — вероятностное пространство. Тогда для произвольных событий справедлива формула ^[1][5][7]

Эта формула выражает принцип включений-исключений для вероятностей. Ее можно получить из принципа включений-исключений в форме индикаторных функций:

Пусть — события вероятностного пространства , то есть . Возьмем математическое ожидание от обеих частей этого соотношения, и, воспользовавших линейностью математического ожидания и равенством для произвольного события , получим формулу включения-исключения для вероятностей.

Принцип включений-исключений в пространствах с мерой

Пусть — пространство с мерой. Тогда для произвольных измеримых множеств конечной меры имеет место формула включений-исключений:

Очевидно, принцип включений-исключений для вероятностей и для мощностей конечных множеств являются частными случаями этой формулы. В первом случае мерой является, естественно, вероятностная мера в соответствующем вероятностном пространстве: . Во втором случае в качестве меры берется мощность множества: .

Вывести принцип включений-исключений для пространств с мерой можно также, как для указанных частных случаев, из тождества для индикаторных функций:

Пусть — измеримые множества пространства , то есть . Проинтегрируем обе части этого равенства по мере , воспользуемся линейностью интеграла и соотношением , и получим формулу включений-исключений для меры.

Тождество максимумов и минимумов

Формула включений-исключений может рассматриваться как частный случай тождества максимумов и минимумов:

Это соотношение справедливо для произвольных чисел . В частном случае, когда мы получаем одну из форм принципа включений-исключений. В самом деле, если положить , где — произвольный элемент из , то получим соотношение для индикаторных функций множеств:

Обращение Мёбиуса

Пусть — конечное множество, и пусть — произвольная функция, определенная на совокупности подмножеств и принимающая действительные значения. Определим функцию следующим соотношением:

Тогда имеет место следующая формула обращения^[8][9]:

Это утверждение является частным случаем общей формулы обращения Мёбиуса для алгебры инцидентности (англ.) совокупности всех подмножеств множества , частично упорядоченных по отношению включения .

Покажем, как из этой формулы следует принцип включения-исключения для конечных множеств. Пусть дано семейство подмножеств конечного множества , обозначим — множество индексов. Для каждого набора индексов определим как число элементов, входящих только в те множества , для которых . Математически это можно записать так:

Тогда функция , определенная формулой

дает количество элементов, каждый из которых входит во все множества , , и, быть может, еще в другие. То есть

Заметим далее, что — количество элементов, не обладающих ни одним из свойств:

С учетом сделанных замечаний запишем формулу обращения Мёбиуса:

Это есть в точности формула включений-исключений для конечных множеств, только в ней не сгруппированы слагаемые, относящиеся к одинаковым значениям .

См. также

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3 4 5} Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ = An Introduction to Combinatorial Analysis. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. — С. 63-66. — 289 с.
2. ↑ Weisstein, Eric W. Derangement (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
3. ↑ Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 1985. — С. 264. — 309 с.
4. ↑ ^{1 2 3} Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: «Мир», 1970. — С. 18-20. — 424 с.
5. ↑ ^{1 2} Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 1985. — С. 69-73. — 309 с.
6. ↑ Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 1985. — С. 266. — 309 с.
7. ↑ Боровков, А. А. Теория вероятностей. — 2-е изд. — М.: «Наука», 1986. — С. 24. — 431 с.
8. ↑ Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: «Мир», 1970. — С. 30-31. — 424 с.
9. ↑ Стенли Р. Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 103-107. — 440 с.

Ссылки

dic.academic.ru

Формула включений-исключений

Теорема Эрдеша.

Результат, доказанный Полом Эрдёшем и Дьёрдем (Джорджем) Секерешем таков: для данных r, s они показали, что любая последовательность длины по крайней мере (r-1)(s-1)+1 содержит или монотонно возрастающую подпоследовательность длины r, или монотонно убывающую длины s. Для r=3 и s=2, формула говорит, что любая переста новка трёх чисел имеет возрастающую подпоследовательность длиной три или убывающую подпоследовательность длиной два. Пример: Из шести перестановок чисел 1,2,3:

-1,2,3 имеет возрастающую подпоследовательность длиной три

-1,3,2 имеет убывающую подпоследовательность 3,2

-2,1,3 имеет убывающую подпоследовательность 2,1

-2,3,1 имеет две убывающие подпоследовательности, 2,1 и 3,1

-3,1,2 имеет две убывающие подпоследовательности, 3,1 and 3,2

-3,2,1 имеет три убывающие подпоследовательности длины 2, 3,2, 3,1, и 2,1.

Теорема Эрдёша-Секереша может быть доказана несколькими разными способами; Майкл Стил дает обзор шести разных доказательств теоремы, в том числе с использованием принципа Дирихле и теоремы Дилворта.^[2] Прочие способы доказательства, приводимые Стилом, включают оригинальное доказательство Эрдёша и Секереша и доказательство Блэквелла, Ловаса и самого Стила

Формула включений-исключений

Формула включений-исключений (или принцип включений-исключений) —комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом.

Например, в случае двух множеств формула включений-исключений имеет вид:

В сумме элементы пересечения учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем из правой части формулы.

Таким же образом и в случае множеств процесс нахождения количества элементов объединения состоит во включении всего, затем исключении лишнего, затем включении ошибочно исключенного и так далее, то есть в попеременном включении и исключении. Отсюда и происходит название формулы.

Впервые формулу включений-исключений опубликовал португальский математик Даниэль да Сильва в 1854 году. Но еще в 1713 году Николай Бернулли использовал этот метод для решения задачи Монмора, известной как задача о встречах, частным случаем которой является задача о беспорядках. Также формулу включений-исключений связывают с именами французского математика Абрахама де Муавра и английского математика Джозефа Сильвестра. В теории вероятностей аналог принципа включений-исключений известен как формула Пуанкаре.

5. Теорема о биекциях.

Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением(соответствием), одно-однозначным отображением. Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы. Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (элементов этого множества). Функция называется биекцией (и обозначается ), если она:

Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность). Иными словами,

.

Любой элемент из Y имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,

.

Теорема о инъекциях.

Отображение называется инъекцией (или вложением, или отображением «в»), если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y.

Формально это значит, что если два образа совпадают, то совпадают и прообразы ( ). Инъективность является необходимым условием биективности (достаточно вместе ссюръективностью).

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть инъективно, если существует такое, что .

Теорема о сурьекциях.

Отображение называется сюръективным (или сюръекцией, или отображением на Y), если каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X, то есть . Для случая числовых функций это выражается как «функция, принимающая все возможные значения». Пример. — сюръективно.

Определение формулы АВ.

1)Простейшие высказ-я А,В,А₁,А₂ ..- формулы. 2)Если Φ,Ψ-формулы, то тогда (Φ), ( Φ)→( Ψ), ( Φ)&( Ψ), ( Φ)v ( Ψ), ( Φ)↔( Ψ).3)Др формул нет. Все формулы АВ построены таким обр-м. Договоренность о снятии скобок: связки по старшинству: 1,2v, &,3 →,↔.Поэтому в формуле (Φ) → Ψ, мы может убрать скобки и получить в итоге Φ → Ψ, исходя их старшинства связок.

Формулы АВ в юриспруденции.

У-убийство имело место после полуночи, С- Смит убийца,D-Джонс лжет, V-Джонс не встр ночью Смита.

V→Cv D

C→(V Λ Y)

Y→Cv D

C

(V→Cv D) Λ [C→(VΛ Y)]Λ ( Y→Cv D) →C

Попробуем подобрать значения С=л, V=и, Y=и, D=и. V,D,Y возможно. Возможно, что С не убийца. Вывод следователя был неполный. Он не учел все вещи. Эта формула бывает ложной. Т.е. с помощью математической логики мы пришли к заключению, что следователь не полностью исследовал все условия данного дела.

14.Полные системы логических связок.Определение. Множество функций алгебры логики называются полной системой, если любую функцию алгебры логики можно выразить формулой ——

Теорема: Система Ає{v, &, } – полна. Доказательство: Если функция алгебры логики f отличается от тождественного нуля, то А выражается в виде совершенной дизъюнктивной форме, в которую входит лишь дизъюнкция, конъюнкция, и отрицание. Если же f=0, то f есть x&x (ч.т.д). Лемма системы:

1.{x&y, x}2.{xVy, x}3.{x->y, x}4.{x|y} где x|y ~ (x&y) 5. {xΛy} где |xΛy| ~(xVy) полны

Доказательство.

1.x&y= (xVy) 2.xVy= (x&y) 3.x->y= xVy= (x&y)

А так как система Ає{v, &, } полна, то эти 3 пунка доказуемы.

4. x ~ xΛx; xVy ~ (xΛx) V (yΛy)

5. x ~ x|x; xVy ~ (x|x) V (y|y) ч.т.д

Понятие вывода.

Определение. Выводом из конечной совокупности формул H называется всякая конечная последовательность формул , всякий член которой удовлетворяет одному из следующих трех условий: 1) является одной из формул совокупности H; 2) является доказуемой формулой; 3) получается по правилу заключения из двух любых предшествующих членов последовательности .

Свойства вывода:

1) Всякий начальный отрезок вывода из совокупности H есть вывод из H.

2) Если между двумя соседними членами вывода из H вставить некоторый вывод из H, то полученная новая последовательность формул будет выводом из H.

3) Всякий член вывода из совокупности H, является формулой, выводимой из H.

Следствие. Всякий вывод из H является выводом его последней формулы.

4) Если , то всякий вывод из H является из W.

5) Для того, чтобы формула B была выводима из совокупности H, необходимо и достаточно, чтобы существовал вывод этой формулы из H.

Понятие вывода

ками вывода. Свойства:

23. Теорема о дедукции

Лемма Кальмара

29.Теорема полноты исчисления высказывний.

Общезначимые формулы.

Общезначимость аксиом ИП.

Определение. Формула А называется общезначимой тогда и только тогда, когда она истинна в каждой интерпретации.

Аксиомы ИП общезначимы.

Теорема о полноте ИП.

41. Системы одноместных предикатов формульных в арифметике. Определение 1. Одноместным предикатом Р(x) называется произвольная функция переменного x, определенная на множестве M и принимающая значение из множества {1; 0}. Множество М, на котором определен предикат Р(x), называется областью определения предиката Р(x). Множество всех элементов , при которых предикат принимает значения “истина” (1), называется множеством (областью) истинности предиката Р(x), т.е. множество истинности предиката Р(х)- это множество . Так, например, предикат Р(x) – “x – простое число” определен на множестве N, а множество истинности I_P для него есть множество всех простых чисел.

Р(х) – “х есть простое число”

П(х) – “x=p^a, где р-простое”

Sq(x) – “х есть квадрат нат. числа”

Сub(x) – “х есть куб нат. числа”

Even(x) – “х есть четное число”

Odd (x) – “х есть нечентное число”

Even(x)~ ØOdd (x)

42. Система одноместных операций формульных в арифметике. Предикаты, так же, как высказывания, принимают значения И или Л, поэтому и к предикатам и к высказываниям применимы все операции логики высказываний. Одноместная операция это такая операция, где участвует только одно высказывание или предикат. Логическое отрицание является одноместной операцией. Таблица истинности одноместной логической операции состоит из двух строк: два различных значения аргумента — «истина» (1) и «ложь» (0) и два соответствующих им значения функции. Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее: Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот. Приведем примеры отрицания: Высказывание «Земля вращается вокруг Солнца» истинно. Высказывание «Земля не вращается вокруг Солнца» ложно.

43. Система двухместных предикатов формульных в арифметике.Определение 1. Двухместным предикатом Р(x,y)называется функция двух переменных x и y, определенная на множестве М=М₁хМ ₂ и принимающая значения из множества {1;0}. В числе примеров двухместных предикатов можно назвать такие предикаты: Q(x, y) – “x=y” — предикат равенства, определенный на множестве RхR=R²;

44. Система двухместных операций формульных в арифметике.Предикаты, так же, как высказывания, принимают значения И или Л, поэтому и к предикатам и к высказываниям применимы все операции логики высказываний. Двухместная операция – операция в которой участвуют два высказывания или предиката. в таблице истинности двуместной логической операции — четыре строки: 4 различных сочетания значений аргументов — 00, 01, 10 и 11 и 4 соответствующих им значения функции. 45.Система двухместных операций формульных в арифметике.

Двуместные операции

z=lcm(x,y) наименьшее общее кратное

z=gcd(x,y) наибольший общий делитель

z=DIV(x,y) частное от деления x на y

z=MOD(x,y) остаток от деления x на y

z=exp(x,y) z=x^y=e^ylnx

p=gcd(x,y) ~ [(x|p&y|p)&Av(v|x&v|y)=>v|p]

x=1 ~ A y [lcm(x,y)=y]

x=1 ~ A y [gcd(x,y)=x]

x=0 ~ A y [gcd(x,y)=y]

45.Определимость констант 0.1.2,… в системах не менее сильных чем следование.

Neib(x,y) ~ [(x=s(y) vy=s(x)]

S^K(x)=y ~ S(S…(x)) /*K раз*/ =y

x=0 ~ -E y(S(y)=x)

x=1 ~ E y (S(y)=x & y=0)

x=2 ~ E y (S(y)=x & y=1)

Теорема Эрдеша.

Результат, доказанный Полом Эрдёшем и Дьёрдем (Джорджем) Секерешем таков: для данных r, s они показали, что любая последовательность длины по крайней мере (r-1)(s-1)+1 содержит или монотонно возрастающую подпоследовательность длины r, или монотонно убывающую длины s. Для r=3 и s=2, формула говорит, что любая переста новка трёх чисел имеет возрастающую подпоследовательность длиной три или убывающую подпоследовательность длиной два. Пример: Из шести перестановок чисел 1,2,3:

-1,2,3 имеет возрастающую подпоследовательность длиной три

-1,3,2 имеет убывающую подпоследовательность 3,2

-2,1,3 имеет убывающую подпоследовательность 2,1

-2,3,1 имеет две убывающие подпоследовательности, 2,1 и 3,1

-3,1,2 имеет две убывающие подпоследовательности, 3,1 and 3,2

-3,2,1 имеет три убывающие подпоследовательности длины 2, 3,2, 3,1, и 2,1.

Теорема Эрдёша-Секереша может быть доказана несколькими разными способами; Майкл Стил дает обзор шести разных доказательств теоремы, в том числе с использованием принципа Дирихле и теоремы Дилворта.^[2] Прочие способы доказательства, приводимые Стилом, включают оригинальное доказательство Эрдёша и Секереша и доказательство Блэквелла, Ловаса и самого Стила

Формула включений-исключений

Формула включений-исключений (или принцип включений-исключений) —комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом.

Например, в случае двух множеств формула включений-исключений имеет вид:

В сумме элементы пересечения учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем из правой части формулы.

Таким же образом и в случае множеств процесс нахождения количества элементов объединения состоит во включении всего, затем исключении лишнего, затем включении ошибочно исключенного и так далее, то есть в попеременном включении и исключении. Отсюда и происходит название формулы.

Впервые формулу включений-исключений опубликовал португальский математик Даниэль да Сильва в 1854 году. Но еще в 1713 году Николай Бернулли использовал этот метод для решения задачи Монмора, известной как задача о встречах, частным случаем которой является задача о беспорядках. Также формулу включений-исключений связывают с именами французского математика Абрахама де Муавра и английского математика Джозефа Сильвестра. В теории вероятностей аналог принципа включений-исключений известен как формула Пуанкаре.

5. Теорема о биекциях.

Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением(соответствием), одно-однозначным отображением. Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы. Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (элементов этого множества). Функция называется биекцией (и обозначается ), если она:

Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность). Иными словами,

.

Любой элемент из Y имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,

.

Теорема о инъекциях.

Отображение называется инъекцией (или вложением, или отображением «в»), если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y.

Формально это значит, что если два образа совпадают, то совпадают и прообразы ( ). Инъективность является необходимым условием биективности (достаточно вместе ссюръективностью).

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть инъективно, если существует такое, что .

Теорема о сурьекциях.

Отображение называется сюръективным (или сюръекцией, или отображением на Y), если каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X, то есть . Для случая числовых функций это выражается как «функция, принимающая все возможные значения». Пример. — сюръективно.

Определение формулы АВ.

1)Простейшие высказ-я А,В,А₁,А₂ ..- формулы. 2)Если Φ,Ψ-формулы, то тогда (Φ), ( Φ)→( Ψ), ( Φ)&( Ψ), ( Φ)v ( Ψ), ( Φ)↔( Ψ).3)Др формул нет. Все формулы АВ построены таким обр-м. Договоренность о снятии скобок: связки по старшинству: 1,2v, &,3 →,↔.Поэтому в формуле (Φ) → Ψ, мы может убрать скобки и получить в итоге Φ → Ψ, исходя их старшинства связок.

infopedia.su

Формула включений и исключений — 7 Июля 2016 — Примеры решений задач

Пусть задано конечное множество А. Число его элементов обозначим n(А). Найдем сколько элементов содержится в множестве А ∪ В. Основная формула нахождения числа элементов суммы двух множеств

n(А ∪ В) = n(А) + n(В) – n(А ∩ В)        (1)

Действительно, n(А ∪ В) — это сумма числа элементов множеств А и В, но при подсчете элементы, принадлежащие А ∩ В учитывались дважды. С помощью формулы (1) можно получить формулы для определения числа элементов суммы любого числа множеств. Например,

n(А ∪ В ∪ С) = n(А ∪ (В ∪ С)) = n(А) + n(В ∪ С) – n(А ∩ (В ∪ С)) =

= n(А) + n(В) + n(С) – n(В ∩ С) – n((А ∩ В) ∪ (А ∩ С)) =

= n(А) + n(В) + n(С) – n(В ∩ С) – (n(А ∩ В) + n(А ∩ С) – n((А ∩ В) ∩ (А ∩ С))) =

=n(А) + n(В) + n(С) – n(В ∩ С) – n(А ∩ В) – n(А ∩ C) + n(А ∩ В ∩ С).

n(А ∪ В ∪ С) = n(А) + n(В) + n(С) – n(А ∩ В) – n(В ∩ С) – n(А ∩ C) + n(А ∩ В ∩ С)    (2)

Формулы (1) и (2) называют формулами включений и исключений.

Примеры с подробным решением.

Задача 1. Из 100 школьников английский знают 42, немецкий — 30, французский — 28, английский и немецкий — 5, английский и французский — 10, немецкий и французский — 8, английский, немецкий и французский — 3 школьника. Сколько школьников не знают ни одного языка?

Решение. I способ.

Обозначим через А — множество школьников, знающих английский язык; N — множество школьников, знающих немецкий язык; F — множество школьников, знающих французский язык.

Тогда n(A) = 42, n(N) = 30, n(F) = 28, n(A ∩ N) = 5,

n(A ∩ F) = 10, n(N ∩ F) = 8, n(A ∩ N ∩ F) = 3.

Найдем с помощью формулы включений и исключений количество школьников, знающих хотя бы один из перечисленных иностранных языков.

n(A ∪ N ∪ F) = n(A) + n(N) + n(F) =

= n(A ∩ N) – n(A ∩ F) – n(N ∩ F) + n(A ∩ N ∩ F) =

= 42 + 30 + 28 – 5 – 10 – 8 + 3 = 80.

Следовательно, не знают ни одного иностранного языка:

100 – 80 = 20 школьников.

II способ.

Эту же задачу можно решить с помощью диаграммы Эйлера–Венна (рис. 1).

Так как 3 языка знают 3 школьника, то английский и немецкий знают 5 – 3 = 2, английский и французский — 10 – 3 = 7,

немецкий и французский — 8 – 3 = 5 школьников.

Только английский знают 42 –(2 + 3 + 7) = 30,

только немецкий — 30 – (2 + 3 + 5) = 20,

только французский — 28 – (3 + 5 + 7) = 13 школьников.

Ни одного языка не знают 100 – (2 + 3 + 5 + 7 + 13 + 20 + 30) = 20 школьников.

Задача 2. Сколько двузначных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 11?

Решение. Обозначим: А — множество двузначных чисел, делящихся на 2;

В — множество двузначных чисел, делящихся на 3;

С — множество двузначных чисел, делящихся на 5;

D — множество двузначных чисел, делящихся на 11.

n(A ∪ B ∪ C ∪ D) — количество двузначных чисел, делящихся хотя бы на одно из чисел 2; 3; 5; 11.

n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) –

– n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(A ∩ D) – n(B ∩ C) –

– n(B ∩ D) – n(C ∩ D) + n(A ∩ B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ D) +

+ n(A ∩ C ∩ D) + n(B ∩ C ∩ D) – n(A ∩ B ∩ C ∩ D).

n(A) = 45, n(B) = 30, n(C) = 18, n(D) = 9,

n(A ∩ B) = 15, n(A ∩ C) = 9, n(A ∩ D) = 4, n(B ∩ C) = 6,

n(B ∩ D) = 3, n(C ∩ D) = 1, n(A ∩ B ∩ C) = 3,

n(A ∩ B ∩ D) = 1, n(A ∩ C ∩ D) = n(B ∩ C ∩ D) = n(A ∩ B ∩ C ∩ D) = 0.

Итак, n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = 45 + 30 +18 + 9 – 15 – 9 – 4 – 6 – 3 – 1 + 3 + 1  = 68.

Так как всего 90 двузначных чисел, то чисел, не делящихся ни на одно из заданных чисел:

90 – 68 = 22.

Задача 3. Известно, что из n учеников спортом увлекаются a учеников, программированием b, математикой c, спортом и программированием d, спортом и математикой e, программированием и математикой f , спортом, математикой и программированием g учеников. Сколько учеников увлекается только программированием? Сколько учеников увлекается только математикой? Сколько учеников ничем не увлекается?

Решение. Пусть A —множество учеников, которые увлекаются спортом,

B — программированием, С — математикой.

Тогда |A| = 32, |B| = 21, |C| = 23, |A ∩ B| = 8, |A ∩ C| = 12, |B ∩ C| =4 |A ∩ B ∩ C| = 3

|(A ∩ B) ∪ ( B ∩ C) | = |A ∩ B| + |B ∩ C| − |A ∩ B ∩ C| = 8 + 4 – 3 = 9

Тогда, только программированием занимается 21 – 9 = 12 учеников.

|(A ∩ C) ∪ ( B ∩ C) | = |A ∩ C| + |B ∩ C| − |A ∩ B ∩ C| = 12 + 4 – 3 = 13

Тогда, только математикой занимается 23 – 13 = 10 учеников.

По формуле включений и исключений для трёх множеств находим число учеников увлекающихся спортом, программированием или математикой:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B∩ C| = =32+21+23-8-12-4+3 = 55

Значит, ничем не увлекается 70 − 55 = 15 человек. Ответ: 15.

Упражнения

1. В спортивном классе обучаются 24 человека. Каждый учащийся занимается хотя бы одним видом спорта (баскетболом или волейболом), из них баскетболом и волейболом занимаются 12 человек. Сколько человек занимается только волейболом, если их в 3 раза больше, чем тех, кто занимается только баскетболом?

2. В одном украинском городе все жители говорят на русском или украинском языке. По-украински говорят 80 % всех жителей, а по-русски — 75 %. Сколько процентов всех жителей говорят на обоих языках?

3. Группа ребят отправилась в поход. Семеро из них взяли с собой бутерброды, шестеро — фрукты, пятеро — печенье. Четве- ро ребят взяли с собой бутерброды и фрукты, трое — бутерброды  и печенье, двое — фрукты и печенье, а один — и бутерброды, и фрукты, и печенье. Сколько ребят пошли в поход?

4. Староста класса, в котором 40 человек, подводил итоги по успеваемости группы за I полугодие. Получилась следующая картина: из 40 учащихся не имеют троек по русскому языку 25 человек, по математике — 28 человек, по русскому языку и мате- матике — 16 человек, по физике — 31 человек, по физике и ма- тематике — 22 человека, по физике и русскому языку 16 человек. Кроме того, 12 человек учатся без троек по всем трем предметам. Классный руководитель, просмотрев результаты, сказал: «В тво- их расчетах есть ошибка». Составьте диаграмму Эйлера–Венна и объясните, почему это так.

5. В лаборатории института работают несколько человек. Каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. 7 человек знают английский, 7 — немецкий, 8 — французский, 5 знают английский и немецкий, 4 — немецкий и французский, 3 — французский и английский, 2 человека знают все три языка. Сколько человек работает в лаборатории? Сколько из них знает только французский язык? Сколько человек знает ровно 1 язык?

6. Сколько целых чисел от 0 до 999 не делятся ни на 5, ни на 7, ни на 11?

Ответы: 1. 9. 2. 55 %. 3. 10. 4. Если на диаграмме Эйлера– Венна отметить данные в непересекающихся множествах класса, то общее число учащихся класса получится равным 42, а не 40, как сказано в условии. 5. 12; 3; 4. 6. 376.

www.reshim.su

Формула включений-исключений — Википедия

Формула включений-исключений (или принцип включений-исключений) — комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом. В теории вероятностей аналог принципа включений-исключений известен как формула Пуанкаре^[1].

Например, в случае двух множеств формула включений-исключений имеет вид:

В сумме элементы пересечения учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем из правой части формулы. Справедливость этого рассуждения видна из диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств, приведенной на рисунке справа.

Таким же образом и в случае множеств процесс нахождения количества элементов объединения состоит во включении всего, затем исключении лишнего, затем включении ошибочно исключенного и так далее, то есть в попеременном включении и исключении. Отсюда и происходит название формулы.

Формулу включений-исключений можно сформулировать в разных формах.

В терминах множеств[править]

Пусть — конечные множества. Формула включений-исключений утверждает:

При получаем формулу для двух множеств, приведенную выше.

В терминах свойств[править]

Принцип включений-исключений часто приводят в следующей альтернативной формулировке ^[2]. Пусть дано конечное множество , состоящее из элементов, и пусть имеется набор свойств . Каждый элемент множества может обладать или не обладать любым из этих свойств. Обозначим через количество элементов, обладающих свойствами (и, может быть, некоторыми другими). Также через обозначим количество элементов, не обладающих ни одним из свойств . Тогда имеет место формула:

Формулировка принципа включений-исключений в терминах множеств эквивалентна формулировке в терминах свойств. Действительно, если множества являются подмножествами некоторого множества , то в силу правил де Моргана (черта над множеством — дополнение в множестве ), и формулу включений-исключений можно переписать так:

Если теперь вместо «элемент принадлежит множеству » говорить «элемент обладает свойством », то мы получим формулировку принципа включений-исключений в терминах свойств, и наоборот.

Обозначим через количество элементов, обладающих в точности свойствами из набора .Тогда формулу включений-исключений можно переписать в следующей замкнутой форме (англ.)

Доказательство[править]

Существует несколько доказательств формулы включений-исключений.

Доказательство по индукции  

Комбинаторное доказательство  

Рассмотрим произвольный элемент и подсчитаем, сколько раз он учитывается в правой части формулы включений-исключений^[2].

Если элемент не обладает ни одним из свойств , то в правой части формулы он учитывается ровно 1 раз (в члене ).

Пусть элемент обладает в точности свойствами, скажем . Он дает по 1 в тех слагаемых суммы , для которых есть подмножество , и 0 для остальных. Число таких подмножеств по определению есть число сочетаний . Следовательно, вклад элемента в правую часть равен

При числа сочетаний равны нулю. Оставшаяся сумма в силу биномиальной теоремы равна

Таким образом, правая часть формулы включений-исключений учитывает каждый элемент, не имеющий указанных свойств точно по одному разу, а каждый элемент, обладающий хотя бы одним из свойств — нуль раз. Следовательно, она равна количеству элементов, не обладающих ни одним из свойств , то есть . Что и требовалось доказать. ■

Доказательство через индикаторные функции  

Пусть — произвольные (не обязательно конечные) множества, являющиеся подмножествами некоторого множества , и пусть — индикаторные функции (или, эквивалентно, свойств ).

Индикаторная функция их дополнений равна

а индикаторная функция пересечения дополнений:

Раскрывая скобки в правой части и ещё раз используя тот факт, что индикаторная функция пересечения множеств равна произведению их индикаторных функций, получаем:

Это соотношение — одна из форм принципа включений-исключений. Оно выражает собой логическое тождество^[1] и верно для произвольных множеств . В случае конечных множеств (и, соответственно, в предположении конечности множества ), просуммировав это соотношение по всем и воспользоваться тем, что для произвольного подмножества его мощность равна

получим формулировку принципа включений-исключений в терминах мощностей множеств (или в терминах свойств). ■

Задача о беспорядках[править]

Классический пример использования формулы включений-исключений — задача о беспорядках^[2]. Требуется найти число перестановок множества таких что для всех . Такие перестановки называются беспорядками.

Пусть — множество всех перестановок и пусть свойство перестановки выражается равенством . Тогда число беспорядков есть . Легко видеть, что — число перестановок, оставляющих на месте элементы , и таким образом сумма содержит одинаковых слагаемых. Формула включений-исключений дает выражение для числа беспорядков:

Это соотношение можно преобразовать к виду

Нетрудно видеть, что выражение в скобках является частичной суммой ряда . Таким образом, с хорошей точностью число беспорядков составляет долю от общего числа перестановок:

Вычисление функции Эйлера[править]

Другой пример применения формулы включений-исключений — нахождение явного выражения для функции Эйлера ^[4], выражающей количество чисел из , взаимно простых с .

Пусть каноническое разложение числа на простые множители имеет вид

Число взаимно просто с тогда и только тогда, когда ни один из простых делителей не делит . Если теперь свойство означает, что делит , то количество чисел взаимно простых с есть .

Количество чисел, обладающих свойствами равно , поскольку .

По формуле включений-исключений находим

Эта формула преобразуется к виду:

Вариации и обобщения[править]

Принцип включения-исключения для вероятностей[править]

Пусть — вероятностное пространство. Тогда для произвольных событий справедлива формула^[1][3][5]

Эта формула выражает принцип включений-исключений для вероятностей. Её можно получить из принципа включений-исключений в форме индикаторных функций:

Пусть — события вероятностного пространства , то есть . Возьмем математическое ожидание от обеих частей этого соотношения, и, воспользовавших линейностью математического ожидания и равенством для произвольного события , получим формулу включения-исключения для вероятностей.

Принцип включений-исключений в пространствах с мерой[править]

Пусть — пространство с мерой. Тогда для произвольных измеримых множеств конечной меры имеет место формула включений-исключений:

Очевидно, принцип включений-исключений для вероятностей и для мощностей конечных множеств являются частными случаями этой формулы. В первом случае мерой является, естественно, вероятностная мера в соответствующем вероятностном пространстве: . Во втором случае в качестве меры берется мощность множества: .

Вывести принцип включений-исключений для пространств с мерой можно также, как для указанных частных случаев, из тождества для индикаторных функций:

Пусть — измеримые множества пространства , то есть . Проинтегрируем обе части этого равенства по мере , воспользуемся линейностью интеграла и соотношением , и получим формулу включений-исключений для меры.

Тождество максимумов и минимумов[править]

Формула включений-исключений может рассматриваться как частный случай тождества максимумов и минимумов:

Это соотношение справедливо для произвольных чисел . В частном случае, когда мы получаем одну из форм принципа включений-исключений. В самом деле, если положить , где — произвольный элемент из , то получим соотношение для индикаторных функций множеств:

Обращение Мёбиуса[править]

Пусть — конечное множество, и пусть — произвольная функция, определенная на совокупности подмножеств и принимающая действительные значения. Определим функцию следующим соотношением:

Тогда имеет место следующая формула обращения^[6][7]:

Это утверждение является частным случаем общей формулы обращения Мёбиуса для алгебры инцидентности (англ.) совокупности всех подмножеств множества , частично упорядоченных по отношению включения .

Покажем, как из этой формулы следует принцип включения-исключения для конечных множеств. Пусть дано семейство подмножеств конечного множества , обозначим — множество индексов. Для каждого набора индексов определим как число элементов, входящих только в те множества , для которых . Математически это можно записать так:

Тогда функция , определенная формулой

даёт количество элементов, каждый из которых входит во все множества , и, быть может, ещё в другие. То есть

Заметим далее, что — количество элементов, не обладающих ни одним из свойств:

С учетом сделанных замечаний запишем формулу обращения Мёбиуса:

Это есть в точности формула включений-исключений для конечных множеств, только в ней не сгруппированы слагаемые, относящиеся к одинаковым значениям .

Впервые формулу включений-исключений опубликовал португальский математик Даниэль да Сильва (англ.) в 1854 году ^[1]. Но еще в 1713 году Николай Бернулли (англ.) использовал этот метод для решения задачи Монмора (англ.), известной как задача о встречах (фр. Le problème des rencontres)^[8], частным случаем которой является задача о беспорядках. Также формулу включений-исключений связывают с именами французского математика Абрахама де Муавра^{[источник не указан 3271 день]} и английского математика Джозефа Сильвестра ^[9].

1. ↑ ^{1,01,11,21,31,4} Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ = An Introduction to Combinatorial Analysis. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. — С. 63-66. — 289 с.
2. ↑ ^2,02,12,2 Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: «Мир», 1970. — С. 18-20. — 424 с.
3. ↑ ^3,03,1 Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 1985. — С. 69-73. — 309 с.
4. ↑ Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 1985. — С. 266. — 309 с.
5. ↑ Боровков, А. А. Теория вероятностей. — 2-е изд. — М.: «Наука», 1986. — С. 24. — 431 с.
6. ↑ Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: «Мир», 1970. — С. 30-31. — 424 с.
7. ↑ Стенли Р. Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 103-107. — 440 с.
8. ↑ Weisstein, Eric W. Derangement (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
9. ↑ Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 1985. — С. 264. — 309 с.

www.wikiznanie.ru

Реферат Формула включений-исключений

Реферат на тему:

План:

Введение

• 1 Формулировка
  • 1.1 В терминах множеств
  • 1.2 В терминах свойств
• 2 Доказательство
  • 2.1 По индукции
  • 2.2 Комбинаторное доказательство
  • 2.3 Используя индикаторные функции
• 3 Применение
  • 3.1 Задача о беспорядках
  • 3.2 Вычисление функции Эйлера
• 4 Вариации и обобщения
  • 4.1 Принцип включения-исключения для вероятностей
  • 4.2 Принцип включений-исключений в пространствах с мерой
  • 4.3 Тождество максимумов и минимумов
  • 4.4 Обращение Мёбиуса
Примечания

Введение

Формула включений-исключений (или принцип включений-исключений) — комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом.

Случай двух множеств

Например, в случае двух множеств формула включений-исключений имеет вид:

В сумме элементы пересечения учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем из правой части формулы. Справедливость этого рассуждения видна из диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств, приведенной на рисунке справа.

Таким же образом и в случае множеств процесс нахождения количества элементов объединения состоит во включении всего, затем исключении лишнего, затем включении ошибочно исключенного и так далее, то есть в попеременном включении и исключении. Отсюда и происходит название формулы.

Впервые формулу включений-исключений опубликовал португальский математик Даниэль да Сильва (англ.) в 1854 году ^[1]. Но еще в 1713 году Николай Бернулли (англ.) использовал этот метод для решения задачи Монмора (англ.), известной как задача о встречах (фр. «Le problème des rencontres»)^[2], частным случаем которой является задача о беспорядках. Также формулу включений-исключений связывают с именами французского математика Абрахама де Муавра и английского математика Джозефа Сильвестра ^[3]. В теории вероятностей аналог принципа включений-исключений известен как формула Пуанкаре^[1].

1. Формулировка

Формулу включений-исключений можно сформулировать в разных формах.

1.1. В терминах множеств

Пусть — конечные множества. Формула включений-исключений утверждает:

При получаем формулу для двух множеств, приведенную выше.

1.2. В терминах свойств

Принцип включений-исключений часто приводят в следующей альтернативной формулировке ^[4]. Пусть дано конечное множество , состоящее из элементов, и пусть имеется набор свойств . Каждый элемент множества может обладать или не обладать любым из этих свойств. Обозначим через количество элементов, обладающих свойствами (и, может быть, некоторыми другими). Также через обозначим количество элементов, не обладающих ни одним из свойств . Тогда имеет место формула:

Формулировка принципа включений-исключений в терминах множеств эквивалентна формулировке в терминах свойств. Действительно, если множества являются подмножествами некоторого множества , то в силу правил де Моргана (черта над множеством — дополнение в множестве ), и формулу включений-исключений можно переписать так:

Если теперь вместо «элемент принадлежит множеству » говорить «элемент обладает свойством », то мы получим формулировку принципа включений-исключений в терминах свойств, и наоборот.

Обозначим через количество элементов, обладающих в точности свойствами из набора .Тогда формулу включений-исключений можно переписать в следующей замкнутой форме (англ.)

2. Доказательство

Существует несколько доказательств формулы включений-исключений.

2.1. По индукции

Формулу включений-исключений можно доказать по индукции ^[1][5].

При формула включений-исключений тривиальна:

Пусть формула верна для , докажем ее для .

Пусть каждый элемент множества может обладать или не обладать любым из свойств . Применим формулу включений-исключений для свойств :

Теперь применим формулу для свойств к множеству объектов, для которых выполнено свойство :

Наконец, применим формулу для одного свойства к совокупности , объектов, которые не обладают свойствами :

Комбинируя выписанные три формулы, получим формулу включений-исключений для свойств . Что и требовалось доказать.

2.2. Комбинаторное доказательство

Рассмотрим произвольный элемент и подсчитаем, сколько раз он учитывается в правой части формулы включений-исключений^[4].

Если элемент не обладает ни одним из свойств , то в правой части формулы он учитывается ровно 1 раз (в члене ).

Пусть элемент обладает в точности свойствами, скажем . Он дает по 1 в тех слагаемых суммы , для которых есть подмножество , и 0 для остальных. Число таких подмножеств по определению есть число сочетаний . Следовательно, вклад элемента в правую часть равен

При числа сочетаний равны нулю. Оставшаяся сумма в силу биномиальной теоремы равна

Таким образом, правая часть формулы включений-исключений учитывает каждый элемент, не имеющий указанных свойств точно по одному разу, а каждый элемент, обладающий хотя бы одним из свойств — нуль раз. Следовательно, она равна количеству элементов, не обладающих ни одним из свойств , то есть . Что и требовалось доказать.

2.3. Используя индикаторные функции

Пусть — произвольные (не обязательно конечные) множества, являющиеся подмножествами некоторого множества , и пусть — индикаторные функции (или, эквивалентно, свойств ).

Индикаторные функции их дополнений равны

а индикаторная функция пересечения дополнений:

Раскрывая скобки в правой части и еще раз используя тот факт, что индикаторная функция пересечения множеств равна произведению их индикаторных функций, получим

Это соотношение — одна из форм принципа включений-исключений. Оно выражает собой логическое тождество^[1] и верно для произвольных множеств . В случае конечных множеств (и, соответственно, в предположении конечности множества ), просуммировав это соотношение по всем и воспользоваться тем, что для произвольного подмножества его мощность равна

получим формулировку принципа включений-исключений в терминах мощностей множеств (или в терминах свойств).

3. Применение

3.1. Задача о беспорядках

Классический пример использования формулы включений-исключений — задача о беспорядках ^[4]. Требуется найти число перестановок множества таких что для всех . Такие перестановки называются беспорядками.

Пусть — множество всех перестановок и пусть свойство перестановки выражается равенством . Тогда число беспорядков есть . Легко видеть, что — число перестановок, оставляющих на месте элементы , и таким образом сумма содержит одинаковых слагаемых. Формула включений-исключений дает выражение для числа беспорядков:

Это соотношение можно преобразовать к виду

Нетрудно видеть, что выражение в скобках является частичной суммой ряда . Таким образом, с хорошей точностью число беспорядков составляет долю от общего числа перестановок:

3.2. Вычисление функции Эйлера

Другой пример применения формулы включений-исключений — нахождение явного выражения для функции Эйлера ^[6].

Для целого положительного функция Эйлера дает количество чисел ряда , взаимно простых с . Найдем явное выражение для функции Эйлера.

Пусть каноническое разложение числа на простые множители имеет вид

Число взаимно просто с тогда и только тогда, когда ни один из простых делителей не делит . Если теперь свойство означает, что делит , то количество чисел взаимно простых с есть .

Количество чисел, обладающих свойствами равно , поскольку .

По формуле включений-исключений находим

Эта формула преобразуется к виду:

4. Вариации и обобщения

4.1. Принцип включения-исключения для вероятностей

Пусть — вероятностное пространство. Тогда для произвольных событий справедлива формула ^[1][5][7]

Эта формула выражает принцип включений-исключений для вероятностей. Ее можно получить из принципа включений-исключений в форме индикаторных функций:

Пусть — события вероятностного пространства , то есть . Возьмем математическое ожидание от обеих частей этого соотношения, и, воспользовавших линейностью математического ожидания и равенством для произвольного события , получим формулу включения-исключения для вероятностей.

4.2. Принцип включений-исключений в пространствах с мерой

Пусть — пространство с мерой. Тогда для произвольных измеримых множеств конечной меры имеет место формула включений-исключений:

Очевидно, принцип включений-исключений для вероятностей и для мощностей конечных множеств являются частными случаями этой формулы. В первом случае мерой является, естественно, вероятностная мера в соответствующем вероятностном пространстве: . Во втором случае в качестве меры берется мощность множества: .

Вывести принцип включений-исключений для пространств с мерой можно также, как для указанных частных случаев, из тождества для индикаторных функций:

Пусть — измеримые множества пространства , то есть . Проинтегрируем обе части этого равенства по мере , воспользуемся линейностью интеграла и соотношением , и получим формулу включений-исключений для меры.

4.3. Тождество максимумов и минимумов

Формула включений-исключений может рассматриваться как частный случай тождества максимумов и минимумов:

Это соотношение справедливо для произвольных чисел . В частном случае, когда мы получаем одну из форм принципа включений-исключений. В самом деле, если положить , где — произвольный элемент из , то получим соотношение для индикаторных функций множеств:

4.4. Обращение Мёбиуса

Пусть — конечное множество, и пусть — произвольная функция, определенная на совокупности подмножеств и принимающая действительные значения. Определим функцию следующим соотношением:

Тогда имеет место следующая формула обращения^[8][9]:

Это утверждение является частным случаем общей формулы обращения Мёбиуса для алгебры инцидентности (англ.) совокупности всех подмножеств множества , частично упорядоченных по отношению включения .

Покажем, как из этой формулы следует принцип включения-исключения для конечных множеств. Пусть дано семейство подмножеств конечного множества , обозначим — множество индексов. Для каждого набора индексов определим как число элементов, входящих только в те множества , для которых . Математически это можно записать так:

Тогда функция , определенная формулой

дает количество элементов, каждый из которых входит во все множества , , и, быть может, еще в другие. То есть

Заметим далее, что — количество элементов, не обладающих ни одним из свойств:

С учетом сделанных замечаний запишем формулу обращения Мёбиуса:

Это есть в точности формула включений-исключений для конечных множеств, только в ней не сгруппированы слагаемые, относящиеся к одинаковым значениям .

Примечания

1. ↑ ¹²³⁴⁵Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ = An Introduction to Combinatorial Analysis. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. — С. 63-66. — 289 с.
2. Weisstein, Eric W. Derangement — mathworld.wolfram.com/Derangement.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
3. Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 1985. — С. 264. — 309 с.
4. ↑ ¹²³Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: «Мир», 1970. — С. 18-20. — 424 с.
5. ↑ ¹²Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 1985. — С. 69-73. — 309 с.
6. Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 1985. — С. 266. — 309 с.
7. Боровков, А. А. Теория вероятностей. — 2-е изд. — М.: «Наука», 1986. — С. 24. — 431 с.
8. Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: «Мир», 1970. — С. 30-31. — 424 с.
9. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 103-107. — 440 с.

wreferat.baza-referat.ru

Таблица степеней

В таблице степеней содержатся значения натуральных положительных чисел от 1 до 10.

Запись 3⁵ читают «три в пятой степени». В этой записи число 3 называют основанием степени, число 5 показателем степени, выражение 3⁵ называют степенью.

Показатель степени указывает сколько множителей в произведение, 3⁵=3×3×3×3×3=243

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часамин. срок

Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

calcsbox.com

Таблица степеней натуральных чисел — 2mb.ru

Ниже представлена таблица степеней от 2 до 10 натуральных чисел от 1 до 20.

Используя второй столбик вы получите таблицу квадратов чисел. Например берем в таблице число 11 и находим напротив во втором столбике квадрат числа 121.
Третий столбик таблицы представляет из себя значение кубов натуральных чисел.
Воспользовавшись таблицей вы можете узнать, что 2 в степени 10 равно 1024, а 20 в десятой степени равно 1 0240 000 000 000.

2mb.ru

Числа в степени таблица

simple-math.ru

Таблица степеней.

o-math.com

Таблица 4-ой и 5-ой степени чисел — сборник таблиц

www.funtable.ru

Таблица степеней натуральных чисел | Формулы с примерами

Калькулятор степени натурального числа

Таблица степеней натуральных чисел от 2 до 25

! Наведите на ячейку, для того, чтобы увеличить значение в таблице.

formula-xyz.ru

Начало программы.

a :=1 b:= −4 c:= 3 k← 4 ORIGIN:=1

x1=1×2= 3a =1b = −4c = 3.

Конец программы.

3. Оператор if предназначен для организации разветвляющихся вычислительных процессов. Чтобы ввести оператор if в программу, необходимо мышкой щелкнуть по кнопке if из панели программирования или использовать горячую клавишу –}.

При этом в программу вставляется заготовка для оператора if: if .

Общий вид простого оператора if: D if L,L – логическое выражение;

D – оператор, выполняемый в случае, если условиеL принимает значение «истина».

Оператор работает следующим образом:

•вычисляется логическое условие L;

•если L – истина, то выполняется операторD, в ином случае он не выполняется;

•выполнение программы продолжается со следующего,

после if, оператора.

Как мы видим, данный оператор if идентичен аналогичному оператору из других высокоуровневых языков программирования. Единственное отличие заключаются в синтаксисе.

Для формирования сложных условий можно использовать панель инструментов Boolean, содержатся знаки логического равенства, неравенства и логических операций. В частности, «V» означает логическое «или», а «Λ» — логическое «и».

121

Таким образом, чтобы сформулировать условие, что переменная х находится в диапазоне(–3;4),необходимо написать:x > –3 Λx < 4.

При формулировании сложных логических условий для расстановки приоритетов можно использовать скобки.

Пример. Построить график следующей функции:

Решение.

f (x) := 28−6x if x > 3

x2 +1 if x ≤3 x ≥ −1

2if x < −1

Всложных подпрограммах

часто используется блочный оператор if:if L

D1

Dn

Где D1, …, Dn – действия, выполняемые в случае, если логическое условиеL истинно.

Для того чтобы вставить подобную конструкцию, нам необходимо, на панели инструментов Programming, выбратьif , затем установить курсор на место ввода слева от оператораif иn раз нажать наAdd Line.

Приведем пример программы с подобным оператором. Усовершенствуем программу для решения квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

Начало программы.

x1 ← −b2−a D x2 ← −b2+a D

if D < 0

x1 ←»действительных корней нет» x2 ←»действительных корней нет»

x

x1 =»действительных корней нет» x2 =»действительных корней нет»

Конец программы.

В данном случае при дискриминанте меньше 0 программа выдает сообщение «действительных корней нет!».

Кроме оператора if, программа Mathcad может содержать и операторotherwise.

4. Оператор otherwise применяется в случае, когда используется условие с двумя вариантами действия, то есть, если условие истинно, нужно выполнить одно действие (или действия), а если ложно, то другое.

Общий вид такого оператора следующий:

D1 ifL

D2 otherwise

В случае если условие L истинно, выполняются действияD1, иначе выполняются действияD2. То естьotherwise аналогичен оператору else в Бейсике, Фортране и других высокоуровневых языках.

Рассмотрим пример программы, использующей операторы if иotherwise. В данном случае проверяются условия, при которых логарифм не существует(x<0 илиy<0 илиy=1). Если они выпол-

123

нены, выдается сообщение «error», в противном случае вычисля-

Когда в блоке otherwise несколько строк, нужно установить курсор в место ввода слева от оператораotherwise и нажатьAdd Line необходимое количество раз.

Вернемся к программе, вычисляющей корни уравнения ax2+bx+c=0, и запишем ее с помощью операторовif иotherwise. Начало программы.

ORIGIN :=1 a:=1 b:= 2 c:= 2

Конец программы.

5. Оператор for используется для создания циклических вычислительных процессов. В документе Mathcad простейшие циклы могут быть заменены ранжированными векторами. Для более сложных циклов необходимо составлять программу.

Чтобы вставить оператор for в программу, необходимо мышкой щелкнуть по кнопкеfor из панели программирования или использовать «горячую» клавишу «Ctrl+Shift+’». При этом в программу вставляется заготовка для оператораfor:

for

Общий вид оператора выбора for: for i k1..kn

D

Или

for i (k1k2k3 …kn)

D

Где i – счетчик цикла. Переменная, которая меняется в диапазоне отk1 доkn. Диапазон изменения счетчика цикла вводится с помощью ранжированной переменной или с помощью вектора.

D –действия,которые выполняются в цикле (тело цикла). Ниже приведен пример, в котором диапазон изменения счетчика циклаn задан с помощью вектора. Вектор вставляется с по-

мощью панели инструментов Matrix.

sum := s← 0

for n (1 2 5 7 10 11 13 16 17 19)

s ← s+ 1n

sum = 2.285.

Данная программа вычисляет сумму

Sum=1+1/2+1/5+1/7+1/10+1/11+1/13+1/16+1/17+1/19.

Если тело цикла оператора for состоит из нескольких строк, то необходимо установить курсор на позицию для ввода тела цикла и соответствующее количество раз нажать наAdd Line.

Как и в обычных программах, циклы и условные операторы могут быть вложенными. Mathcad, впрочем, сам следит за вложенностью циклов и сделать ошибку во вложенности просто не позволит.

Пример. Написать функциюFA, создающую матрицуA, состоящую изM строк иN столбцов следующего вида:

125

Запишем подпрограмму, выводящую эту матрицу с помощью двух вложенных циклов:

Тогда главная диагональ задается уравнением «i=j», элементы матрицы, расположенные выше главной диагонали, уравнением«i<j», а элементы матрицы, расположенные ниже главной диагонали, – усравнением«i<j».

Каждый элемент, расположенный выше главной диагонали, вычисляется как удвоенное произведение элемента, стоящего в этой же строке в предыдущем столбце: Ai j=2* Ai j–1.

Для проверки работы функции подали команду: FA(4,5)=. 6. Операторцикла while используется тогда, когда цикл дол-

жен выполняться не заданное количество раз, а до тех пор, пока не будет выполнено определенное в цикле условие.

Чтобы вставить оператор while в программу, необходимо мышкой щелкнуть по кнопкеwhile из панели программирования или использовать горячую клавишу –«Ctrl+]». При этом в программу вставляется заготовка для оператораwhile:

while

Общий вид оператора While:while L

D,

где L – условие, при выполнении которого выполняется цикл (условие цикла). В данном случае, действиеD (тело цикла) выполняется до тех пор, пока условиеL истинно. Если логическое условиеL изначально ложно, то операторы, составляющие тело цикла, не будут выполняться, а управление передается на оператор следующий за операторомwhile.

Если в теле цикла выполняемых действий должно быть несколько, то необходимо установить курсор на позицию для ввода тела цикла и соответствующее количество раз нажать на Add Line.

Следует заметить, что если условие L истинно всегда, то программа будет работать бесконечно (зациклится). Именно поэтому с цикломwhile необходимо быть очень осторожным и тщательно проверять условие выхода из цикла, прежде чем выполнять программу.

Если программа все-такиповисла, то чтобы прервать ее выполнение, необходимо нажать клавишу «Esc» и в появившемся окне нажать на кнопку OK.

Приведем пример программы, использующей цикл while.

s ← s+ 1n n← n+1

s

= 2.829.

Вданной программе с указанной точностью (tol) вычисляется сумма s=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7…

7. Оператор break обеспечивает экстренный выход из цикла. Программа при этом продолжает выполнять следующую после цикла строку. Данный оператор часто применяется, чтобы избежать «зацикливания» программы.

Вкачестве примера применения оператора break рассмотрим

приведенной ниже программе, суммирование членов ряда прекращается, когда достигается точность, указанная параметром tol или если число итераций цикла превышает 10000.

sum(tol) := s← 0 n←1

while f(n) > tol s← s+ f(n)

break if n >10000 n ←n +1

s sum(0.000011) =8.726 .

В данном случае оператор break исключается возможность зацикливания программы для расходящегося ряда.

8. Оператор continue возвращает управление в первую строку цикла. Как только этот оператор встречается в программе, выполнение текущей итерации прерывается и выполняется переход на следующую итерацию цикла. Выход из цикла не производится.

Данный оператор, как и оператор break, не содержит параметров.

Пример: Найти сумму N первых членов ряда:

В программе, при помощи оператора continue, происходит обход слагаемого в котором знаменатель дроби равен нулю.

sum(100)= −0.024.

9. Оператор return прерывает выполнение программы. В качестве результата работы программы возвращается значение, указанное в позиции для ввода, после оператора return.

При выборе на панели инструментов пункта return вставляется строка.

Пример. Подсчитать с указанной точностью tol сумму ряда:

Если ряд получается расходящийся, программа выдаст сообщение «расходится». Ряд будет считаться расходящимся, если число итераций цикла превысило 1000000 раз.

129

sum1(0.01) =» ряд расходится».

10. Оператор on error отвечает за обработку ошибок. При выборе данного оператора в программу вставляется заготовка следующего вида:

Общий вид оператора on error:D1on error D2 .

Если при вычислении выражения D1 произошла ошибка, будет вычислено значениеD2.

Данный оператор имеет смысл использовать, если при выполнении программы возможна ошибка в каком-тоопределенном месте, например деление на ноль.

Приведем пример программы, вычисляющей десятичный логарифм числа xy.

Если логарифм не существует, выдается сообщение об ошибке: «аргумент логарифма <0».

Оператор on error можно применять в комплексе встроенной функциейerror().

f (x, y) := z← x y

error(«аргумент логарифма< 0») on errorlog(z)

В данном случае сообщение об ошибке будет показываться в стандартном для Mathcad виде. При ошибке текст вызова функции выделяется красным цветом, а при подведении мыши к этому вызову внизу отображается запрограммированный в функции error текст.

studfiles.net

Урок 12. Программирование в Mathcad — циклы

Во втором уроке по программированию в Mathcad мы рассмотрим циклы – различные повторяющиеся вычисления. Помимо циклов мы рассмотрим, как можно находить ошибки в программах.

В этом уроке мы изучим три новые команды:

1. for – для циклов for.
2. while – для циклов while.
3. return – как команду для отслеживания ошибок.

Остановка вычислений

Операции Mathcad, которые мы рассматривали ранее, достаточно безвредны – они не заставят Ваш компьютер «зависнуть». Но с циклами это не так. Поэтому для начала следует изучить команды в меню Вычисления –> Элементы управления:

Здесь находятся четыре кнопки:

1. Автоматический расчет.
2. Остановить все расчеты.
3. Рассчитать.
4. Отключить область.

Кнопка «Автоматический расчет» обычно включена. Она отключается при нажатии на кнопку «Остановить все расчеты». Зеленый индикатор в левом нижнем углу становится серым. «Остановить все расчеты» служит для прекращения всех расчетов в документе на случай, если что-то пошло не так. При автоматическом расчете вычисления производятся лишь в том случае, когда происходят какие-либо изменения. С помощью кнопки «Рассчитать» можно сделать пересчет всего документа. Кнопка «Отключить область» прекращает вычисления в тех математических областях, которые Вы выбрали.

На рисунке ниже видно, что область серая – значит, она отключена:

Нажмите на нее, затем на кнопку «Отключить область». Тем самым Вы запустите расчет в области. Вычисление займет некоторое время:

Его можно прекратить, нажав на кнопку «Остановить все расчеты», затем отключив область и снова включив автоматический расчет.

Циклы

for

Циклы forприменяются, когда заранее известно число повторений вычислений. Программа ниже формирует вектор из n+1 элементов. Значения начинаются с нуля и имеют шаг 1.

Цикл forначинается со второй строки. Он включает в себя счетчик (здесь – i), который является локальной переменной-диапазоном. Эту строку можно прочитать как: «Для диапазона целых чисел от 0 до nвключительно сделать: …». Затем следуют выполняемые действия – в нашем случае это простое присваивание. Когда цикл завершается, программа выполняет действия на следующей строке – здесь это оператор return.

Составим программу.

Задайте имя программы-функции, вставьте программную структуру (вертикальная линия) и определение цикла forиз меню Математика –> Операторы и символы –> Программирование или с помощью сочетания клавиш [Ctrl+Shift+”]:

Определите имя переменной-счетчика:

Определите диапазон счетчика:

Введите команды тела цикла и оператор return:

Проверим программу:

Как видно, использование дробных или отрицательных чисел – не лучшая идея. Вы можете изменить точку начала, но этого лучше избегать:

Видите нули, которые появились в начале вектора? Причиной появления этих нулей является то, что если не определить некоторые элементы вектора, то им автоматически присвоится значение 0:

Циклы

while

На рисунке ниже – простейший цикл while, который делает то же самое, что и предыдущий цикл for:

До цикла необходимо создать строку, содержащую определение начального значения счетчика. Следующую строку можно прочитать как «Выполнять цикл, пока соблюдается условие i?n». После определения элемента вектора нужно задать команду на увеличение переменной-счетчика, так как в цикле while это не происходит автоматически.

Другой, более «реалистичный», пример цикла while вычисляет экспоненту отрицательного числа, используя разложения в ряд:

Суммирование будем производить с помощью цикла while. Будем проверять, насколько изменяется общая сумма S при каждом увеличении k. Если абсолютное значение этого изменения достаточно мало, цикл завершится. Чтобы начать цикл, необходимо определить первые два элемента вектора:

Кроме того, мы определили начальное значение суммы S и счетчика k. Дальнейшие вычисления производятся в цикле:

Проверка:

С положительными числами программа работает хорошо, но для работы с отрицательными она не предназначена.

Отладка

Одна из простых технологий отладки программ – вывод промежуточных результатов вычислений и их сравнение с тем, какие значения должны быть. Пример на цикле while:

Число элементов вектора верное, но второй элемент неправильный. Похоже, что последние элементы нашего вектора получили правильный индекс, а второй элемент (с индексом 1) – нет. Мы можем проверить, какой индекс получил второй элемент, вставив «returni» в первую строку цикла while. Программа остановит вычисление и вернет значение i:

Вероятно, Вы уже поняли, что ошибка в первой строке. Замените 2 на 1, удалите дополнительную строку return, и Вы получите верный результат.

Можно получить выходное значение итерации цикла, отличной от первой. Для этого требуется применить оператор условия if. В программе ниже выводится элемент вектора после третьей итерации цикла:

После отладки всегда следует удалять дополнительные строки, которые Вы вводите, так как программа всегда прекращает работу после первого оператора return.

Подпрограммы

Примеры программ в этом уроке малы. Настоящие программы могут быть намного больше. В других языках программирования они обычно составляются как основная программа и следующие за ней подпрограммы и процедуры. Эти более малые программы можно составлять сами по себе и затем вызывать их в основной программе. Также могут быть подподпрограммы и так далее.

Ваша собственная программа

Когда Вы начинаете составлять свою собственную программу, может показаться, что Вы находитесь в замкнутом круге: чтобы начать, нужен опыт; чтобы получить опыт, нужно начать.

Начать необходимо, но не следует начинать с набора команд в Mathcad! Для начала следует подготовиться.

Прежде всего, нужно решить, что делает Ваша программа. Для больших, сложных программ это, как правило, нетривиальная задача. Какие выходные данные нужны, и какие входные для этого необходимы?

Возможно, самая сложная часть – это представление того, как будет получен желаемый результат. Будьте готовы потратить несколько листов бумаги. Нарисуйте различные структурные диаграммы и детализируйте их. Вы знаете следующие элементы:

1. Ввод (input)
2. Действие (или определение)
3. Вывод (output)
4. Одиночное ответвление (if..elseили if..if)
5. Многократное ответвление (if..if..if)
6. Цикл for
7. Цикл while

Решите, какие вспомогательные переменные (например, счетчики) необходимы, и какие имена Вы собираетесь им дать. Постарайтесь предусмотреть, где и что может пойти не так и как это можно проверить.

Только когда Вы поняли, что улучшить программу на бумаге больше нельзя, открывайте Mathcad. Остановите все вычисления, затем вводите код. Возможно, это самая простая часть написания программы.

После написания кода программы сохраните файл. Затем нажмите кнопку «Автоматический расчет», чтобы запустить вычисления. Будьте готовы увидеть неверный результат или ошибку – тогда программу придется отлаживать. Сохраняйте файл каждый раз, когда делаете большие изменения.

После запуска программы ее необходимо проверить. Попробуйте обычные входные значения, а также такие значения, с которыми могут возникнуть проблемы. Программа может дать сообщение об ошибке для неверного входного или выходного значения. В завершение подумайте, как можно улучшить программу.

Резюме

1. Отключайте вычисления при написании или редактировании программы (Вычисления –> Остановить все расчеты).
2. Цикл for – повторяет вычисления определенное количество раз. Цикл forобязательно включает в себя счетчик и число повторений.
3. Цикл while – выполняется, пока соблюдается определенное условие. Начальное значение счетчика следует задавать до цикла. В теле цикла изменение счетчика задается вручную.
4. Программы почти всегда требуют отладки. Полезная команда для этого – return, с помощью которой можно вывести промежуточное значение.
5. Важно подготовиться к написанию программы, например, составив структурную диаграмму до написания непосредственно кода.

Другие интересные материалы

sapr-journal.ru

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет — Сибстрин

Стартовала регистрация участников форума молодежи Новосибирской области «PROрегион» С 10 по 13 сентября 2019 года пройдет главное молодежное событие Новосибирской области – форум «PROрегион». Ежегодно на форум собираются представители молодежного сообщества региона, чтобы обсудить актуальные вопросы социальной проблематики. Тема форума этого года – «Культура мира». Как отмечают организаторы форума, «Культура мира» направлена на социальное взаимодействие и сотрудничество, основанное на принципах свободы, справедливости, демократии, соблюдении всех прав человека. Она отвергает насилие, учит решать проблемы с помощью диалога. Именно об этом эксперты форума будут говорить с участниками. Экспертами форума станут тренеры неформального образования из Казани, Москвы, Томска, Челябинска, Минска, Еревана. К участию в форуме приглашаются молодые люди в возрасте от 16 до 30 лет, проживающие в Новосибирской области и г. Новосибирске. Планируется, что участниками форума также станут представители активной молодежи из других регионов страны, а также представители иностранной молодежи, обучающейся в вузах региона.

Лучшие студенты Сибстрина стали стипендиатами Правительства Новосибирской области 30 мая 2019 года в большом зале Правительства Новосибирской области состоялась церемония торжественного вручения свидетельств стипендиатам Губернатора Новосибирской области и Правительства Новосибирской области, а также талантливым студентам-соотечественникам. С приветственным словом к участникам церемонии обратились глава Новосибирской области А.А. Травников и министр образования Новосибирской области С.В. Федорчук. Они же вручили свидетельства о награждении стипендиями губернатора и правительства 191 студенту вузов, училищ и техникумов, добившимся выдающихся успехов в освоении профессиональных образовательных программ. Среди награждаемых была группа студентов нашего университета. «Я вижу, что вы гордитесь своими успехами, а мы с удовольствием наблюдаем, как вы осваиваете будущие специальности. Много талантливых и успешных молодых людей учатся в вузах Новосибирска, и это дает уверенность в будущем нашего региона. Желаю вам успехов в учебе и дальнейшей профессиональной деятельности, и воплощения в жизнь творческих замыслов. Здоровья вам и удачи!» – сказал губернатор Новосибирской области А.А. Травников.

В НГАСУ (Сибстрин) обсудили перспективы сотрудничества с Узбекистаном 31 мая 2019 года состоялась встреча ректора НГАСУ (Сибстрин) Ю.Л. Сколубовича с делегацией республики Узбекистан. Мероприятие прошло при посредничестве Академии КНАУФ СНГ. В состав узбекской делегации вошли директор Маргиланского строительного колледжа М.Н. Исмаилов, директор Бухарского ирригационно-мелиорационного и архитектурного колледжа Р.Е. Буронов, руководитель учебного центра «КНАУФ ГИПС Бухара» С.С. Атаев, начальник информационно-технического центра «КНАУФ ГИПС Бухара» Ш.Х. Камилов. Со стороны НГАСУ (Сибстрин) во встрече приняли участие заведующая кафедрой строительных материалов, стандартизации и сертификации О.Е. Смирнова и директор Института международной деятельности Н.В. Синеева. Компанию КНАУФ представляли руководитель Академии КНАУФ СНГ Е.В. Парикова и руководитель группы внешнего обучения Новосибирского отделения Восточной сбытовой дирекции – филиал ООО «КНАУФ ГИПС» М.Е. Михейченко.

Успешные выпускники кафедры ГТСБЭ поделились опытом со студентами 27 мая 2019 года состоялась, ставшая уже традиционной, встреча выпускников-гидротехников кафедры ГТСБЭ, а ныне начальника отдела ГТС Управления Кировского филиала АО «Апатит» (группа «Фос Агро») Ильи Григорьевича Зеленского (1994 год выпуска) и директора ООО «Верхний бьеф» Дмитрия Вонсамовича Кима (2009 года выпуска) со студентами 3 и 4 курсов направлений «Строительство» и «Природообустройство и водопользование». В настоящее время в России более 1500 вузов, из которых гидротехников выпускает только около 10. Ежегодно выпускается всего порядка 200 человек. С другой стороны, в составе водохозяйственного комплекса Российской Федерации находится свыше 25 тысяч гидротехнических сооружений. Это – плотины, здания гидроэлектростанций, водосбросные, водоспускные и водовыпускные сооружения, тоннели, каналы, насосные станции, судоходные шлюзы, судоподъемники; сооружения, предназначенные для защиты от наводнений, разрушений берегов и дна водохранилищ, рек; сооружения (дамбы), ограждающие хранилища жидких отходов промышленных и сельскохозяйственных организаций; устройства от размывов на каналах, а также другие сооружения, предназначенные для использования водных ресурсов и предотвращения негативного воздействия вод и жидких отходов.

www.sibstrin.ru

Урок 11. Программирование в Mathcad

Mathcad содержит встроенную среду программирования, что значительно расширяет возможности вычислительного пакета. Операторы программирования находятся в меню Математика –> Операторы и символы –> Программирование:

Этих операторов не очень много, но и они позволяют построить достаточно сложные алгоритмы. К тому же, уже ознакомившись с базовыми понятиями (операторы, переменные, константы, функции и т.д.), можно использовать Mathcad, если Вы хотите лишь начать изучать программирование.

Команды, которые мы изучим в этом уроке:

1. «Программирование» – для создания программной структуры.
2. «Локальное назначение» – знак «равно» для программ.
3. «Оператор if»– оператор условия.
4. «Оператор else»– альтернативный выбор.
5. «Оператор return» – выход из программы.
6. «Try / On Error» – применяется, если при выполнении программы может возникнуть ошибка.

Эти команды можно сочетать с операторами, переменными и функциями Mathcad. Например, Вы можете использовать структуру функции для ввода входных значений:

«Программирование» и «Локальное определение»

Создадим программу, которая вычисляет разницу между двумя переменными a и b.

На рисунке ниже представлена структурная диаграмма программы:

Здесь всего три элемента: вход, действие и выход. Вместо структурной диаграммы можно использовать другие способы, помогающие созданию программы, например, блок-схемы или псевдокод.

Определите ввод переменных a и b:

Нажмите оператор «Программирование» на панели Математика –> Программирование:

Нажмите [Enter] для создания второй строки:

Переместите курсор в верхний местозаполнитель, затем вставьте оператор «Локальное назначение»:

Заполните местозаполнители слева и справа от оператора:

Переместите курсор в нижний местозаполнитель и вставьте оператор «return»:

Важно! Операторы программирования return, else, if, while и т.д. следует вставлять из меню программирования. Ввод этих команд с клавиатуры не приведет к желаемому результату.

Введите переменную в местозаполнитель:

Всегда тестируйте программы, потому что при некоторых значениях могут получиться бессмысленные результаты. В некоторых случаях это могут быть отрицательные числа, ноль или бесконечность.

У операторов программирования есть свои горячие клавиши. Попробуйте запомнить их:

• «Программирование» – правая квадратная скобка ]
• «Локальное назначение» – левая фигурная скобка {
• «return»– [Ctrl+\]

Создайте предыдущую программу снова, используя горячие клавиши. Теперь это должно занять меньше минуты!

Программе не обязательно задавать входные переменные:

Оператор «return» также не обязателен – программа примет за выходное значение последнее вычисление:

В нашей второй программе (которая более полезна, чем предыдущая) мы вычислим площадь поверхности цилиндра диаметром D и высотой H. Структурная диаграмма этой программы:

Программа и некоторые выходные результаты показаны ниже. Возможно, нужно запретить отрицательные входные значения…

Заметьте, что переменные внутри программы являются локальными. Локальная переменная не определяется вне программы:

Входным значениям можно дать числа с единицами измерения:

Однако если задать единицу измерения только одной переменной, Mathcad скажет, что единицы не совместимы:

Поэтому единицы измерения следует использовать единообразно.

Булева алгебра

В программах часто используются равенства и неравенства. Операторы сравнения находятся в меню Математика –> Операторы и символы –> Операторы –> Сравнение:

Операторы сравнения дают результат 1 при истинном выражении и 0 при ложном:

Операторы сравнения можно сочетать. Пример таких сочетаний с оператором логического И:

Операторы

if и

else

Необходимо создать программу функции, которая принимает следующие значения:

Структурная диаграмма программы представлена ниже. Треугольник означает выбор между двумя или более альтернативными вариантами. Напишем программу, используя операторы if и else.

Введите имя функции и местозаполнитель для первой строки:

Нажмите if в меню программирования или с помощью горячей клавиши }. Появится вторая строка, которая относится к оператору if:

Введите критерий выбора и желаемое значение функции. Обратите внимание на серые линии справа:

Нажмите на внутреннюю серую линию (станет мигающей синей), затем вставьте оператор else. Появится еще одна строка, относящаяся к else:

Введите необходимую функцию под else. Внутренняя серая линия удлинится, что указывает на то, что операторы ifи else связаны между собой. Нажмите на нее, нажмите [Enter], затем вставьте оператор return:

Проверьте программу, построив график функции:

При работе с программой можно добавлять новые строки нажатием клавиши [Enter]. Где появится местозаполнитель, зависит от положения курсора. Выбрана внутренняя серая линия:

Курсор стоит за x­²:

Усложним функцию:

На структурной диаграмме показаны различные варианты выбора. Наиболее простой способ создать программу для этой задачи – использовать три различных операторов выбора (в Mathcad нет аналога оператора case).

Здесь важно правильно задать границы независимой переменной. Если Вы введете:

,

то точки 0 и 1 будут исключены, а Mathcad выдаст некорректный результат для этих значений.

Проверим программу для некоторых входных значений:

Для значений, не имеющих смысла, Mathcad выдаст сообщение об ошибке.

Функции в программах

В Mathcad встроено множество функций, которые могут быть полезными в том числе и в программах. Рассмотрим некоторые из них.

Векторы и матрицы

Откройте Функции –> Все функции и откройте раздел Векторы и матрицы. Найдите функции last() и length(). Это функции для определения некоторых свойств вектора:

Функция length() определяет длину вектора, т.е. количество элементов в нем, а функция last() выводит индекс последнего элемента. По умолчанию в Mathcadнумерация элементов вектора начинается с нуля, поэтому у четвертого элемента массива индекс 3.

Теория чисел/комбинаторика

Наибольший общий делитель:

Наименьшее общее кратное:

Остаток от деления x на y:

Кусочно-непрерывные функции

Ступенчатая функция:

Разное

«Разное» содержит функцию time(), которая возвращает системное время момента активации функции.

Строковые функции

Строки в Mathcad заключаются в двойные кавычки:

Строки можно задавать в качестве переменных, но их нельзя использовать в вычислениях. (Строку, содержащую только числа, можно преобразовать в константу.)

Конкатенация строк:

Длина строки (включая пробелы):

Строки могут быть полезны для задания в программах сообщений об ошибках.

Усечение и округление

Наименьшее целое число, большее x:

Наибольшее целое число, меньшее x:

Округление:

Усечение:

Список функций Mathcad огромен. Два совета по ознакомлению с новыми функциями:

1. Подведя указатель мыши к имени функции в списке, Вы увидите ее полное название и краткое описание.
2. Если Вы вставите функцию в рабочую область, а затем нажмете [F1], Вы получите расширенное описание функции.

Try / On Error

Последняя команда, которую мы изучим в этом уроке, используется для указания, что должно быть сделано, если при выполнении программы возникает ошибка (например, деление на ноль). Если при выполнении программы в блоке tryвозникает ошибка, программа выполняет действия в блоке on error:

Ниже представлена программа с тремя операторами if внутри блока try:

При неверном вводе появится сообщение об ошибке. Таким образом, можно отследить большую часть ошибок, но не все:

Поскольку переменная abc не определена, функция не вычисляется.

Резюме

Мы изучили следующие элементы программирования:

1. Входные данные – обычно вводятся как параметры функции.
2. Первая строка программы – вводится с помощью ]. Больше линий – с помощью [Enter].
3. Оператор локального определения – вводится с помощью {.
4. В конструкциях выбора с помощью оператора ifприменяются операторы сравнения.
5. If вводится с помощью }. За ifвводится логическое выражение, например x<0. Под оператором записывается алгоритм, который должен быть выполнен, если выражение после if верно.
6. После if может следовать оператор else или другой оператор if.
7. [Enter] добавляет новую строку в программу. Место появления новой строки зависит от позиции курсора до нажатия на [Enter].
8. Вывод переменной осуществляется с помощью оператора return. Переменной может быть одиночная переменная, вектор или матрица, которые могут содержать как числовые значения, так и текст.
9. Mathcadсодержит большое число встроенных функций, которые могут быть полезны при написании программ. Список функций с подсказками можно открыть по команде Функции –> Все функции.
10. Используйте try / onerror, чтобы указывать на ошибки.

Другие интересные материалы

sapr-journal.ru

Программирование в MathCad

ФГБОУ ВПО «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Факультет физико-математический

Кафедра информатики и вычислительной техники

Проект по имитационному моделированию в системах компьютерной математики на тему:

«Программирование в MathCAd»

Работу выполнила:студентка 2 курса группы МДМ-214 Д.А.Лапшина

Направление подготовки «Педагогическое образование».

Профиль подготовки «Математика. Информатика».

Работу проверила: Т.В. Кормилицына

Саранск 2015

Программирование в MathCAD

Панель инструментов Программирование

Язык программирования Mathcad

Для вставки программного кода в документы в Mathcad имеется специальная панель инструментов Программирование. Большинство кнопок этой панели выполнено в виде текстового представления операторов программирования, поэтому их смысл легко понятен.

Что такое программа?

Программа – это выражение содержащее более одного утверждения.

Основными инструментами работы в Mathcad являются математические выражения, переменные и функции.

Программирование в Mathcad имеет ряд существенных преимуществ, которые в ряде случаев делают документ более простым и читаемым:

• возможность применения циклов и условных операторов дает большую гибкость построения выражений;

• простота создания функций и переменных, требующих нескольких простых шагов;

• возможность создания функций, содержащих закрытый для остального документа код, включая преимущества использования локальных переменных и обработку исключительных ситуаций (ошибок).

Программный модуль обозначается в Mathcad вертикальной чертой, справа от которой последовательно записываются операторы языка программирования.

Создание программы (Add Line)

Чтобы создать программный модуль:

• Введите имя функции и присваивания.

• Нажмите на панели Программирование кнопку Add Line (Добавить линию).

• Если приблизительно известно, сколько строк кода будет содержать программа, можно создать нужное количество линий повторным нажатием кнопки Add Line (Добавить линию) соответствующее число раз (ниже показан результат трехкратного нажатия).

• В появившиеся местозаполнители введите желаемый программный код, используя программные операторы.

После того как программный модуль полностью определен и ни один местозаполнитель не остался пустым, функция может использоваться обычным образом, как в численных, так и в символьных расчетах.

Не вводите с клавиатуры имена операторов. Для их вставки пользуйтесь панелью Программирование.

Начало создания программного модуля

Разработка программы

Вставить строку программного кода в уже созданную программу можно в любой момент с помощью той же самой кнопки Add Line. Для этого следует предварительно поместить на нужное место внутри программного модуля курсор ввода.

Основной принцип создания программных модулей заключается в правильном расположении строк кода. Ориентироваться в их действии довольно легко, т. к. фрагменты кода одного уровня сгруппированы в программе с помощью вертикальных линий.

Оператор локального присваивания ()

Язык программирования Mathcad позволяет создавать внутри программных модулей локальные переменные, которые «не видны» извне, из других частей документа. Присваивание значения переменной, в отличие от документов Mathcad, производится с помощью оператора Локальное присваивание, который вставляется нажатием кнопки с изображением стрелки .

Ни оператор присваивания :=, ни оператор вывода = в пределах программ не применяются.

Локальное присваивание иллюстрируется примером слева. Переменная z существует только внутри программы, выделенной вертикальной чертой. Из других мест документа получить ее значение невозможно.

Условный оператор (if, otherwise)

Сначала проверяется логическое выражение (условие) справа от него.

• Если оно истинно, выполняется выражение слева от оператора if.

• Если ложно, выполнение программы продолжается переходом к следующей строке.

Оператор otherwise используется совместно с оператором if и указывает на выражение, которое будет выполняться, если проверяемое условие не выполняется.

Пример. Построить график функции

Операторы цикла (for, while, break, continue)

В языке программирования Mathcad имеются два оператора цикла: for и while. Первый из них дает возможность организовать вычисления несколько раз. Второй создает цикл с выходом из него по некоторому логическому условию.

Вставка оператора цикла

При необходимости дополните программу другими строками и введите в них нужный код.

Диапазон значений переменной в условии цикла for можно задать как с помощью диапазона ранжированной переменной, так и с помощью вектора.

Оператор цикла for с ранжированной переменной

Оператор цикла for с вектором

Оператор цикла while

Оператор break

Позволяет досрочно завершить цикл при достижении некоторого условия. Управление передается на первый оператор после цикла.

Оператор break внутри цикла for

Оператор break внутри цикла while

Чтобы четче обозначить границы завершения тела цикла, в его конце может использоваться дополнительная строка с оператором continue.

Возврат значения (return)

По умолчанию программа возвращает значение, вычисленное в последней строке. Можно явно указать имя вычисляемой переменной в последней строке программного модуля. Вместе с тем, можно вернуть значение, вычисленное в любом месте программы с помощью оператора return.

Возврат значения обозначен явно в последней строке программы

Применение оператора return

Перехват ошибок (on error)

Программирование в Mathcad позволяет осуществлять дополнительную обработку ошибок. Если пользователь предполагает, что выполнение кода в каком-либо месте программного модуля способно вызвать ошибку (например деление на ноль), то эту ошибку можно перехватить с помощью оператора on error. Чтобы вставить его в программу, надо поместить курсор ввода в нужное положение и нажать кнопку с именем оператора on error . В результате появится строка с двумя местозаполнителями и оператором on error посередине.

Вставка оператора перехода по ошибке

В правом местозаполнителе следует ввести выражение, которое должно выполняться в данной строке программы. В левом — выражение, которое будет выполнено вместо правого выражения, если при выполнении последнего возникнет ошибка. Приведем пример применения оператора on error в программном модуле, который рассчитывает функцию обратного числа значению n. Соответственно, вместо выражения справа от оператора on error будет выполнено левое выражение, присваивающее функции f(n) строковое значение «user error: cannot divide by zero» (пользовательская ошибка: деление на ноль невозможно). Конечно, этой строке можно присвоить и текст на русском языке.

Перехват ошибки деления на ноль

Перехват ошибки деления на ноль

Обратите внимание, что сделанные изменения свелись к помещению текста сообщения об ошибке в аргумент функции error.

Примеры программирования

Рассмотрим два простых примера использования программных модулей в Mathcad для численных и символьных расчетов. В двух приведенных листингах используется большинство операторов, рассмотренных в данной главе.

Программирование в численных расчетах

Программирование в символьных расчетах

www.metod-kopilka.ru

Расчеты в MathCad (Файлы примеров в MathCad) | Макаров Е.Г.

Расчеты в MathCad (Файлы примеров в MathCad) Макаров Е.Г.

Новый диск, 2008.56 примеров инженерных расчетов по различным разделам математики, сопротивления материалов, динамики и прочности машин, включая расчеты методом конечных элементов. Удобная навигация позволит мгновенно найти нужный раздел и распечатать его.

Language: russian

File: RAR, 9.79 MB

The file will be sent to selected email address. It may takes up to 1-5 minutes before you received it.

The file will be sent to your Kindle account. It may takes up to 1-5 minutes before you received it.
Please note you’ve to add our email [email protected] to approved e-mail addresses. Read more.

 

1

2

 

mcad/01-statistica.mcd
mcad/02-electro1.mcd
mcad/03-electro2.mcd
mcad/04-kulachok.mcd
mcad/05-most.avi
mcad/05-most.mcd
mcad/05-most1a.avi
mcad/05-most2.avi
mcad/05-most2a.avi
mcad/05-most3.avi
mcad/05-most3a.avi
mcad/06-Geom1.mcd
mcad/07-Geom2.mcd
mcad/08-Geom3.mcd
mcad/09-Vnutr1.mcd
mcad/10-Vnutr2.mcd
mcad/11-Vnutr3.mcd
mcad/12-Vnutr4.mcd
mcad/13-Rast1.mcd
mcad/14-Rast2.mcd
mcad/15-Rast3.mcd
mcad/16-Soedin.mcd
mcad/17-Kruch2.mcd
mcad/18-1.prn       0
       1
       5
      22
      30
     111
     111
     132
     177
     321
     512
     833
     958
     958
    1009
    1100
    1300
    1700
    1950
    1985
    2000
       0
       1
       2
       3
       4
       5
       6
       7
       8
       9
      10
      11
      12
      13
      14
      15
      16
      17
      18
      19
      20


mcad/18-2.prn   9.038
    14.8
   26.55
   19.51
   33.69
   14.22
   30.31
   18.12
   11.74
   13.42
   38.66
   12.57
   9.268
   15.95
   18.05
   4.987
   13.52
   1.712
    23.5
    15.6
   26.28
   28.68
   16.18
   13.86
   25.87
   23.39
    29.9
   18.34
   7.986
    25.2
   11.28
   20.32
  0.2645
   8.277
   17.64
   25.13
   14.55
   22.31
   13.74
   22.33
   17.97
   22.05
   17.17
   4.547
   12.75
   15.51
   22.55
    5.07
   14.76
   20.99
   13.43
   13.25
   29.79
    21.8
      38
    13.6
   33.65
   14.74
   33.52
   13.67
   30.96
   17.39
   29.47
   21.66
   3.691
   25.04
   15.51
   12.79
   28.48
   16.49
   14.15
   25.41
   13.68
   29.49
   22.18
    5.88
   25.18
   15.03
  0.8249
   17.18
   15.94
   25.29
   19.73
   25.26
   3.298
   9.423
   8.582
   4.208
   25.04
   18.01
   7.582
 0.04858
   24.19
   6.317
    16.6
   3.414
   22.57
    16.3
    13.1
   20.89
    22.1
   26.34
   27.86
   24.12
   29.87
    14.7
   14.35
   22.72
   11.93
   11.83
   36.94
   35.84
   15.82
   12.32
   18.84
   13.55
   17.93
   25.64
   18.74
   16.97
   5.529
   16.65
   7.286
   18.14
   17.54
   14.83
   22.22
   18.61
   24.14
   17.28
   27.35
   21.83
   20.03
   9.451
   9.175
   3.257
   25.54
   4.647
    2.38
   19.23
   16.35
   12.27
   13.97
    4.58
   22.14
    24.8
    26.2
   9.002
   3.817
   23.55
   27.29
   11.17
   28.62
   12.14
   15.81
    36.6
   28.88
   23.78
    23.9
   24.28
   29.64
   27.19
   9.177
   3.019
    25.9
   22.42
    11.4
   16.58
   28.67
   5.298
   3.949
   28.55
  0.8353
   1.678
   3.949
   25.93
   21.65
  0.4405
   21.24
   6.527
   5.068
   10.23
   11.03
   24.07
    15.8
   23.95
   4.345
   12.07
   4.097
   1.985
    17.2
   16.44
    9.34
   24.24
   8.528
   26.86
   22.31
   10.83
   6.855
   6.883
   25.27
   10.61
   24.74
   11.84
   35.75
    13.4
   36.95
   10.41
   19.09
   20.96
   37.38
   25.03
   29.81
   7.775
   15.77
   11.96
   17.57
   20.52
   13.07
   0.216
   18.05
    17.3
    6.67
  0.1286
   2.468
   25.65
   24.33
   20.74
    15.9
   4.283
   21.84
  0.9328
   19.34
   2.564
   28.44
   8.249
   29.45
   8.768
   11.03
   6.559
   7.217
   27.07
   27.08
   2.404
   5.154
   23.28
   6.319
  0.1133
   3.422
   9.335
   10.16
   14.68
   13.61
   35.56
   14.87
   28.37
   36.27
   36.64
   13.52
   26.09
   37.29
   26.36
   16.66
   10.51
   23.86
   2.109
   17.72
    5.93
   19.33
   18.13
   13.24
    11.9
   17.77
   28.48
   11.75
    5.56
   17.23
   18.82
   1.489
   7.806
   26.86
   21.85
   11.81
   27.12
   11.64
   10.61
   22.36
   22.18
   6.005
   20.41
   11.04
   3.282
   6.092
   19.64
   20.63
   2.387
  0.8344
   9.217
    4.28
   2.036
   30.75
   29.82
   28.65
   11.95
   10.49
   22.92
   30.84
    29.4
   20.16
    10.5
   14.09
   18.32
   15.37
   14.54
    13.2
   18.18
   12.03
   25.28
    18.7
   1.605
   25.91
   9.192
  0.8016
   11.74
  0.9315
   25.74
   12.06
   18.35
   26.26
   17.85
   23.79
   17.72
   17.08
   20.18
  0.3069
   10.25
   23.13
    26.1
   21.77
   26.82
   16.07
    23.4
   5.922
   23.92
   25.46
   18.86
   18.51
    7.52
   23.64
   21.42
   11.45
   34.66
   18.22
   23.19
   14.76
   38.85
   28.43
   14.22
   17.25
   34.17
   20.14
   15.98
   15.95
   29.13
  0.6873
   4.555
  0.2777
   19.32
   12.44
   2.721
   20.98
   19.73
   16.06
    1.62
     7.8
    25.9
   2.624
   21.28
   25.93
   8.791
   19.35
   24.86
   26.16
   27.38
    13.2
   10.62
   12.83
 0.02624
   23.21
   2.695
   20.52
   4.623
   1.454
  0.5575
   19.43
   27.42
   12.95
   7.278
   19.62
  0.6856
   13.15


mcad/18-Kruch3.mcd
mcad/19-Izgib1.mcd
mcad/20-Izgib2.mcd
mcad/21-Izgib3.mcd
mcad/22-plast1.mcd
mcad/23-plast2.mcd
mcad/24-plast3.mcd
mcad/25-slog-sopr1.mcd
mcad/26-slog-sopr2.mcd
mcad/27-energ1.mcd
mcad/28-energ2.mcd
mcad/29-energ3.mcd
mcad/30-energ4.mcd
mcad/31-energ5.mcd
mcad/32-energ6.mcd
mcad/33-ustoi1.mcd
mcad/34-ustoi2.mcd
mcad/35-ustoi3.mcd
mcad/36-koleb1.mcd
mcad/37-koleb2.avi
mcad/37-koleb2.mcd
mcad/38-koleb3.mcd
mcad/38-выдавливание.mcd
mcad/39-ustal1.mcd
mcad/40-ustal2.mcd
mcad/41-ustal3.mcd
mcad/42-razruch.mcd
mcad/43-diag.mcd
mcad/44-obolochka.mcd
mcad/45-optimiz1.mcd
mcad/46-optimiz2.mcd
mcad/47-optimiz3.mcd
mcad/48-optimiz4.mcd
mcad/49-optimiz5.mcd
mcad/50-МКЭ-1-балка.avi
mcad/50-МКЭ-1-балка.mcd
mcad/51-МКЭ-2-рама.mcd
mcad/52-МКЭ-3-простран.mcd
mcad/52-МКЭ3-F1000
100
0
-3000
0
0
0
0
0
0
0
0
-1000
0
0
100
0
0
0
0


mcad/52-МКЭ3-FI45  90  45  90   0  90 135  90  45
 0  90  90  90   0  90  90  90   0
 0  90  90  90   0  90  90  90   0
34  56  90 124  34  90  90  90   0
90   0  90   0  90  90  90  90   0
90  45  45  90 135  45   0  90  90


mcad/52-МКЭ3-MI0  0  0  0  0  0  9  4  5 10  7  8
0  0  1  0  0  2  3  4  5  6  7  8
3  4  5  6  7  8 11 12 13 14 15 16
0  0  0 18 19 20 11 12 13 14 15 16
0  0  0  0  0  0 11 12 13 14 15 16
0  0  0  17  0 0 11 12 13 14 15 16


mcad/52-МКЭ3-S    56.4    7.10    16.2    8.10    8.10     
    40.0    7.10    16.2    8.10    8.10
    20.0    7.10    16.2    8.10    8.10
    72.1    7.10    16.2    8.10    8.10
    40.0    7.10    16.2    8.10    8.10
    56.4    7.10    16.2    8.10    8.10


mcad/53-Matr-ind.mcd
mcad/53-МКЭ-4-кольцо.mcd
mcad/54-МКЭ-5-Пуассон.mcd
mcad/54-МКЭ5-COORD.TXTкоординаты узлов y и z
1	10	0
2	8	0
3	6	0	
4	5	0
5	10	2
6	8	2
7	6	2
8	5	2
9	10	4
10	8	4
11	6	4
12	5	4
13	6	5
14	5	5
15	4	5
16	2	5
17	0	5
18	10	6
19	8	6
20	6	6
21	5	6
22	4	6
23	2	6
24	0	6
25	10	8
26	8	8
27	6	8
28	4	8
29	2	8
30	0	8
31	10	10
32	8	10
33	6	10
34	4	10
35	2	10
36	0	10

mcad/54-МКЭ5-GRAN.TXT√раничные услови¤
1
2
3
4
8
12
14
15
16
17
24
30
36
35
34
33
32
31
25
18
9
5

mcad/54-МКЭ5-MIU.TXT
mcad/55-МКЭ-6-пласт.mcd
mcad/55-МКЭ6-Coord.prn       1      30-1.149e-014
       2    28.5-1.091e-014
       3      27-1.034e-014
       4    25.5-9.763e-015
       5      24-9.189e-015
       6    22.5-8.614e-015
       7      21-8.04e-015
       8    19.5-7.466e-015
       9      18-6.891e-015
      10    16.5-6.317e-015
      11      15-5.743e-015
      12   28.53   9.271
      13   27.11   8.807
      14   25.68   8.343
      15   24.25    7.88
      16   22.83   7.416
      17    21.4   6.953
      18   19.97   6.489
      19   18.55   6.026
      20   17.12   5.562
      21   15.69   5.099
      22   14.27   4.635
      23   24.27   17.63
      24   23.06   16.75
      25   21.84   15.87
      26   20.63   14.99
      27   19.42   14.11
      28    18.2   13.23
      29   16.99   12.34
      30   15.78   11.46
      31   14.56   10.58
      32   13.35   9.698
      33   12.14   8.817
      34   17.63   24.27
      35   16.75   23.06
      36   15.87   21.84
      37   14.99   20.63
      38   14.11   19.42
      39   13.23    18.2
      40   12.34   16.99
      41   11.46   15.78
      42   10.58   14.56
      43   9.698   13.35
      44   8.817   12.14
      45   9.271   28.53
      46   8.807   27.11
      47   8.343   25.68
      48    7.88   24.25
      49   7.416   22.83
      50   6.953    21.4
      51   6.489   19.97
      52   6.026   18.55
      53   5.562   17.12
      54   5.099   15.69
      55   4.635   14.27
      56       0      30
      57       0    28.5
      58       0      27
      59       0    25.5
      60       0      24
      61       0    22.5
      62       0      21
      63       0    19.5
      64       0      18
      65       0    16.5
      66       0      15


mcad/55-МКЭ6-GU.prn       1       1       0
       2       3       0
       3       5       0
       4       7       0
       5       9       0
       6      11       0
       7      13       0
       8      15       0
       9      17       0
      10      19       0
      11      21       0
      12     112       0
      13     114       0
      14     116       0
      15     118       0
      16     120       0
      17     122       0
      18     124       0
      19     126       0
      20     128       0
      21     130       0
      22     132       0


mcad/55-МКЭ6-Miuf.prn      13      12       1
       2      13       1
      14      13       2
       3      14       2
      15      14       3
       4      15       3
      16      15       4
       5      16       4
      17      16       5
       6      17       5
      18      17       6
       7      18       6
      19      18       7
       8      19       7
      20      19       8
       9      20       8
      21      20       9
      10      21       9
      22      21      10
      11      22      10
      24      23      12
      13      24      12
      25      24      13
      14      25      13
      26      25      14
      15      26      14
      27      26      15
      16      27      15
      28      27      16
      17      28      16
      29      28      17
      18      29      17
      30      29      18
      19      30      18
      31      30      19
      20      31      19
      32      31      20
      21      32      20
      33      32      21
      22      33      21
      35      34      23
      24      35      23
      36      35      24
      25      36      24
      37      36      25
      26      37      25
      38      37      26
      27      38      26
      39      38      27
      28      39      27
      40      39      28
      29      40      28
      41      40      29
      30      41      29
      42      41      30
      31      42      30
      43      42      31
      32      43      31
      44      43      32
      33      44      32
      46      45      34
      35      46      34
      47      46      35
      36      47      35
      48      47      36
      37      48      36
      49      48      37
      38      49      37
      50      49      38
      39      50      38
      51      50      39
      40      51      39
      52      51      40
      41      52      40
      53      52      41
      42      53      41
      54      53      42
      43      54      42
      55      54      43
      44      55      43
      57      56      45
      46      57      45
      58      57      46
      47      58      46
      59      58      47
      48      59      47
      60      59      48
      49      60      48
      61      60      49
      50      61      49
      62      61      50
      51      62      50
      63      62      51
      52      63      51
      64      63      52
      53      64      52
      65      64      53
      54      65      53
      66      65      54
      55      66      54


mcad/56-МКЭ-7-изопарам.mcd
mcad/56-МКЭ-7-изопарам.xmcd
mcad/animation-1.avi
mcad/animation-2.avi
mcad/animation-3.avi
mcad/animation-4.avi
mcad/animation-5.avi
mcad/animation-6.avi
mcad/animation-7.avi
mcad/animation.avi
mcad/Animation.mcd
mcad/Coord.prn       1      30-1.149e-014
       2    28.5-1.091e-014
       3      27-1.034e-014
       4    25.5-9.763e-015
       5      24-9.189e-015
       6    22.5-8.614e-015
       7      21-8.04e-015
       8    19.5-7.466e-015
       9      18-6.891e-015
      10    16.5-6.317e-015
      11      15-5.743e-015
      12   28.53   9.271
      13   27.11   8.807
      14   25.68   8.343
      15   24.25    7.88
      16   22.83   7.416
      17    21.4   6.953
      18   19.97   6.489
      19   18.55   6.026
      20   17.12   5.562
      21   15.69   5.099
      22   14.27   4.635
      23   24.27   17.63
      24   23.06   16.75
      25   21.84   15.87
      26   20.63   14.99
      27   19.42   14.11
      28    18.2   13.23
      29   16.99   12.34
      30   15.78   11.46
      31   14.56   10.58
      32   13.35   9.698
      33   12.14   8.817
      34   17.63   24.27
      35   16.75   23.06
      36   15.87   21.84
      37   14.99   20.63
      38   14.11   19.42
      39   13.23    18.2
      40   12.34   16.99
      41   11.46   15.78
      42   10.58   14.56
      43   9.698   13.35
      44   8.817   12.14
      45   9.271   28.53
      46   8.807   27.11
      47   8.343   25.68
      48    7.88   24.25
      49   7.416   22.83
      50   6.953    21.4
      51   6.489   19.97
      52   6.026   18.55
      53   5.562   17.12
      54   5.099   15.69
      55   4.635   14.27
      56       0      30
      57       0    28.5
      58       0      27
      59       0    25.5
      60       0      24
      61       0    22.5
      62       0      21
      63       0    19.5
      64       0      18
      65       0    16.5
      66       0      15


mcad/Data.prn      38
      15
     5.5
      23
      51
      79
     105
     126
     144
     156
     164
     166
     162
     152
     137
     117
      93
      66


mcad/find.mcd
mcad/Graphic1.mcd
mcad/Graphic2.mcd
mcad/Graphic3.mcd
mcad/Graphic4.mcd
mcad/Graphic5.mcd
mcad/Graphic6.mcd
mcad/Graphic7.mcd
mcad/GU.PRN
mcad/interp.mcd
mcad/interp1.mcd
mcad/matrix1.mcd
mcad/matrix2.mcd
mcad/matrix3.mcd
mcad/MC13.mcd
mcad/MC14.mcd
mcad/minerr.mcd
mcad/minimax.mcd
mcad/Miu          1  26  24   2
          2   4  26   2
          3   6  26   4
          4   6  28  26
          5  30  28   6
          6   8  30   6
          7  10  30   8
          8  10  32  30
          9  34  32  10
         10  12  34  10
         11  14  34  12
         12  14  36  34
         13  38  36  14
         14  16  38  14
         15  18  38  16
         16  18  40  38
         17  42  40  18
         18  20  42  18
         19  22  42  20
         20  22  44  42
         21  26  46  24
         22  26  48  46
         23  50  48  26
         24  28  50  26
         25  30  50  28
         26  30  52  50
         27  54  52  30
         28  32  54  30
         29  34  54  32
         30  34  56  54
         31  58  56  34
         32  36  58  34
         33  38  58  36
         34  38  60  58
         35  62  60  38
         36  40  62  38
         37  42  62  40
         38  42  64  62
         39  66  64  42
         40  44  66  42
         41  70  68  46
         42  48  70  46
         43  50  70  48
         44  50  72  70
         45  74  72  50
         46  52  74  50
         47  54  74  52
         48  54  76  74
         49  78  76  54
         50  56  78  54
         51  58  78  56
         52  58  80  78
         53  82  80  58
         54  60  82  58
         55  62  82  60
         56  62  84  82
         57  86  84  62
         58  64  86  62
         59  66  86  64
         60  66  88  86
         61  70  90  68
         62  70  92  90
         63  94  92  70
         64  72  94  70
         65  74  94  72
         66  74  96  94
         67  98  96  74
         68  76  98  74
         69  78  98  76
         70  78 100  98
         71 102 100  78
         72  80 102  78
         73  82 102  80
         74  82 104 102
         75 106 104  82
         76  84 106  82
         77  86 106  84
         78  86 108 106
         79 110 108  86
         80  88 110  86
         81 114 112  90
         82  92 114  90
         83  94 114  92
         84  94 116 114
         85 118 116  94
         86  96 118  94
         87  98 118  96
         88  98 120 118
         89 122 120  98
         90 100 122  98
         91 102 122 100
         92 102 124 122
         93 126 124 102
         94 104 126 102
         95 106 126 104
         96 106 128 126
         97 130 128 106
         98 108 130 106
         99 110 130 108
        100 110 132 130


mcad/MIU1          1  26  24   2
          2   4  26   2
          3   6  26   4
          4   6  28  26
          5  30  28   6
          6   8  30   6
          7  10  30   8
      

mcad/Miuf.prn      13      12       1
       2      13       1
      14      13       2
       3      14       2
      15      14       3
       4      15       3
      16      15       4
       5      16       4
      17      16       5
       6      17       5
      18      17       6
       7      18       6
      19      18       7
       8      19       7
      20      19       8
       9      20       8
      21      20       9
      10      21       9
      22      21      10
      11      22      10
      24      23      12
      13      24      12
      25      24      13
      14      25      13
      26      25      14
      15      26      14
      27      26      15
      16      27      15
      28      27      16
      17      28      16
      29      28      17
      18      29      17
      30      29      18
      19      30      18
      31      30      19
      20      31      19
      32      31      20
      21      32      20
      33      32      21
      22      33      21
      35      34      23
      24      35      23
      36      35      24
      25      36      24
      37      36      25
      26      37      25
      38      37      26
      27      38      26
      39      38      27
      28      39      27
      40      39      28
      29      40      28
      41      40      29
      30      41      29
      42      41      30
      31      42      30
      43      42      31
      32      43      31
      44      43      32
      33      44      32
      46      45      34
      35      46      34
      47      46      35
      36      47      35
      48      47      36
      37      48      36
      49      48      37
      38      49      37
      50      49      38
      39      50      38
      51      50      39
      40      51      39
      52      51      40
      41      52      40
      53      52      41
      42      53      41
      54      53      42
      43      54      42
      55      54      43
      44      55      43
      57      56      45
      46      57      45
      58      57      46
      47      58      46
      59      58      47
      48      59      47
      60      59      48
      49      60      48
      61      60      49
      50      61      49
      62      61      50
      51      62      50
      63      62      51
      52      63      51
      64      63      52
      53      64      52
      65      64      53
      54      65      53
      66      65      54
      55      66      54


mcad/Normal.mct
mcad/odesolve.mcd
mcad/polyroot.mcd
mcad/PRIMER.PRN       1       2       3       4       5
       2       3       4       5       1
       3       4       5       1       2
       4       5       1       2       3
       5       1       5       3       4


mcad/program.mcd
mcad/regress1.mcd
mcad/regress2.mcd
mcad/root.mcd
mcad/SINCOS.AVI
mcad/smooth.mcd
mcad/Specfunction1.mcd
mcad/Specfunction2.mcd
mcad/Specfunction3.mcd
mcad/Specfunction4.mcd
mcad/Splash.mcd
mcad/start.mcd
mcad/Statistica.mcd
mcad/Symbol1.mcd
mcad/Symbol2.mcd
mcad/Symbol3.mcd
mcad/TOC- матрица.mcd
mcad/TOC- программирование.mcd
mcad/TOC-animation.mcd
mcad/TOC-coord.mcd
mcad/TOC-function1.mcd
mcad/TOC-mat-fun.mcd
mcad/TOC-MC13.mcd
mcad/TOC-MC14.mcd
mcad/TOC-original.mcd
mcad/TOC-start рис.mcd
mcad/TOC-start темы.mcd
mcad/TOC-vozm рис.mcd
mcad/TOC-vozm темы.mcd
mcad/TOC-график.mcd
mcad/TOC-инж-расчеты.mcd
mcad/TOC-интерполяция.mcd
mcad/TOC-ОДУ.mcd
mcad/TOC-размерность.mcd
mcad/TOC-регрессия.mcd
mcad/TOC-символ.mcd
mcad/TOC-статистика.mcd
mcad/TOC-уравнение.mcd
mcad/TOC-условие.mcd
mcad/TOC-Фурье.mcd
mcad/TOC-эксперимент.mcd
mcad/TOC-экстремум.mcd
mcad/Toc.mcd
mcad/vozm.mcd
mcad/адреса.csv"[email protected];[email protected]"
"Mathcad;[email protected]"
"Mathsoft;[email protected]"
"Svetlana Ilyicheva;[email protected]"
"Сайт File Exchange File Exchange;[email protected]"


mcad/адреса.txt"[email protected];[email protected]"
"Mathcad;[email protected]"
"Mathsoft;[email protected]"
"Svetlana Ilyicheva;[email protected]"
"Сайт File Exchange File Exchange;[email protected]"


mcad/амбар.avi
mcad/горки.avi
mcad/Дифур-част.mcd
mcad/карта.avi
mcad/Массив.xlsЛист1
	1	4	0.514
	1	6	0.539
	1	8	0.643
	1	9	0.727
	1	10	0.724
	2	4	0.584
	2	5	0.566


Лист2
	


Лист3
	



mcad/ОДУ.mcd
mcad/размерность.mcd
mcad/спираль.avi
mcad/торнадо.avi
mcad/условие.mcd
mcad/Фурье.mcd
mcad.hbk
Normal.mct
Normal.xmctMathcad Professional 12.0
    
      Mathsoft Engineering & Education, Inc.
      Mathsoft Engineering & Education, Inc.
      
      
    
    
      00000000-0000-0000-0000-000000000000
      3
      05e9297f-9c8e-4285-8800-4633ccda82a4
      1505178c-a17b-4faa-99a3-71cc204fbba6
      00000000-0000-0000-0000-000000000000
    
  
  
    
      
        
          
            
            
          
          
            
            
          
          
            
            
          
          
            
            
          
          
            
            
          
          
            
            
          
          
            
            
          
          
            
            
          
          
            
            
          
        
      
      
        
        
          
          
          
          
          
          
          
          
          
          
        
        
        
        
          
          
          
        
      
      
        
        
        
      
      
    
    
      
      
      
    
    
      
      
        
      
      
    
    
    
      
    
  
  
  
    h5sIAAAAAAAA/4zMuw6CMBgF4P5tuYoyOf8mLjZh5hmIk4mPQErFW0I0yODb66HgbpvTy9fm
ZEIIQhyS+rPCmp/K+tLb57U+P/rODlqMY4sknis7WE9ih8SdOzb31g0TNdMm5AaLmvvXY6s/
j7fUvm+vva+W/m+BHGj+O40PpqDif/2VR0NvXVtW05PxzjmRkcSSjJKsyGjFmgxpDuABh/CQ
I7jgGE6cwCWncMULuOYMHvASHvIKPpYaTfwFAAD//wMAWrX/UEMBAAA=
  

b-ok.org

Основы работы в математическом пакете Mathcad

MathCAD является интегрированной системой, ориентированной на проведение математических и инженерно-технических расчетов [18]. Он объединяет понятность, ясность, простоту в обращении при вычислениях и т.п. с простотой в обращении, свойственной электронным таблицам.

MathCAD может:

• Использоваться как калькулятор для простых вычислений.

• Определять значения выражений, заданных в символьном виде.

• Производить матричные и векторные преобразования.

• Решать линейные, нелинейные уравнения и системы уравнений.

• Заменять справочные таблицы.

• Производить дифференцирование, интегрирование, статистические расчеты и анализ данных.

• Строить двумерные и трехмерные графики и т.п.

Документ MathCAD, на котором могут быть совмещены текст, графика и формулы, выглядит как страница научной статьи или учебника, при этом формулы являются «живыми» – стоит внести изменения в одну из них, как MathCAD пересчитает результаты, перерисует графики и т.д.

После запуска приложения MathCAD открывается окно, как это показано на рис. 5.1.

Главное окно оформлено стандартным для Windows-приложений образом: заголовок, главное меню, панель инструментов, окно редактирования, строка состояния.

Рис. 5.1. Рабочее окно системы MathCAD

5.1. Основные команда MathCad

Главное меню системы MathCAD представлено набором команд, общим для большинства приложений операционной системы MS Windows, а также командами, представляющими специфические возможности:

• Меню File (Файл) — работа с файлами.

• Меню Edit (Правка) — редактирование документов.

• Меню View (Вид) — настройка элементов окна. Команды меню View представлены на рис. 5.2.

ToolBars – содержит кнопки панелей инструментов Standard, Formatting, Math. Если отсутствует какая-либо из панелей, то следует включить соответствующую опцию, например, командой ViewToolbarsMath. Status Bar – позволяет включать и отключать отображение строки состояния. Ruler – позволяет включать и отключать отображение горизонтальной линейки для точного позиционирования документов на листе. Regions – делает видимыми/невидимыми границы областей. Zoom – изменение масштаба. Refresh – обновить содержимое экрана. Animate – анимация. PlayBack – воспроизведение. Preferences – настройки.

Рис. 5.2. Команды меню View (Вид) – редактирование документов

• Меню Insert (Вставка) — позволяет помещать в MathCAD – документ графики, функции, матрицы, гиперссылки, компоненты и настраивать объекты.

• Меню Format (Формат) — содержит команды, предназначенные для задания различных параметров, определяющих внешнее представление чисел, формул, текста, абзацев, колонтитулов и т.д.

• Меню Math (Математика) — позволяет установить режимы и параметры вычислений.

• Меню Symbolics (Символы) — реализует символьные вычисления.

• Меню Window (Окно) — содержит команды для упорядочения взаимного расположения нескольких окон и позволяет активизировать одно из них.

• Меню Help (Помощь) — информационный центр и справочники. Команда Help открывает окно, представленное на рис. 5.3. На вкладке «Содержание» справочные сведения распределены по темам. На вкладке «Указатель» темы представлены в алфавитном порядке. Вкладка «Поиск» позволяет находить конкретное понятие.

Рис. 5.3. Окно меню справки

studfiles.net