Рубрика: Школьная жизнь

PDF в JPG | Zamzar

www.zamzar.com

Бесплатная программа конвертер PDF в JPG

Наверняка, многие сталкивались с тем, что нужно сделать из документа PDF картинку JPG. Например, когда нужно разместить какой-нибудь графический файл на сайте (сертификат, лицензию). Есть много способов, как это сделать: скопировать изображение из документа, сделать скриншот документа, отправить на виртуальный принтер или использовать программу-конвертер.

Чаще всего документ PDF содержит вместе с картинками еще и текст. Чтобы быстро сконвертировать PDF в JPG, предлагаю всем использовать бесплатную программу TTR PDF To JPG. Несмотря на такое, может быть, непрезентабельное название, программа отлично справляется с конвертацией. У нее простой интерфейс:

Разрешение картинки на выходе регулируется параметром Magnification: чем больше коэффициент, тем больше разрешение картинки. Остальные настройки интуитивно понятны. Для конвертации можно добавить файлы как дрэг-дропом, так и через меню, где можно добавить целую директорию.

Эта программа понравилась мне тем, что дает высокое качество JPG (кстати, там можно делать не только JPG, но и PNG и другие графические форматы). Текст не картинке получается не рубленый, а плавный (пробовал другие программы, например, PDFCreator — там текст выходит рубленым и в использовании он сложнее). Можно конвертировать несколько страниц документа, при этом создаются нумерованные файлы картинок.

Как итог, если нужно преобразовать PDF в картинку, то бесплатная программа TTR PDF To JPG — лучший выбор. Она с открытым исходным кодом (без вирусов и закладок), там нет рекламы. Другие способы или сложны (как виртуальный принтер), или нелепы (скриншот документа).

blog.sergey-lysenko.ru

Конвертер PDF в JPG – конвертуйте свої PDF в зображення

Зберігайте кожну сторінку PDF як зображення JPG за декілька секунд.

Почати наново

Only one file can be selected at a time. Multiple file conversion is supported only for members.

Виберіть файл PDF

перетягніть файли сюди

Як конвертувати PDF в зображення JPG? Для відправки на конвертацію виберіть файл PDF на комп’ютері або перетягніть його. Дочекайтеся завершення відправки й конвертації зображення JPG в хмарі.

Приєднуйтесь до 10+ мільйонів наших користувачів

Easy to use and free conversion online – wonderful! It worked great while I’m in transition with a new computer and am wrestling with software license transfers at the moment. This service is so much appreciated. Thank you.

Наш користувач Zach Ault, Pastoral Minister

Залишайтеся на зв’язку

Вибрати конвертор

{{lable}}

Почати наново

• Документи необмеженого розміру
• Convert multiple documents at once
• Необмежений доступ до всіх інструментів
• 20 інструментів для видобування, конвертації, стиснення, злиття й поділу файлів PDF
• Захист файлів за допомогою 256-розрядного SSL-шифрування
• Миттєва конвертація
• На будь-якому комп’ютері
• Пріоритетна підтримка

www.freepdfconvert.com

Как конвертировать pdf в jpg

Конвертировать PDF в JPG — онлайн

В настоящий момент интернет буквально пестрит бесплатными онлайн-конверторами, которые позволяют изменить формат PDF в JPG:

Сайты разные, но, как правило, используемая технология одинакова. Интерфейс интуитивно понятен, да и вокруг всегда есть куча подсказок.

Но не все так идеально, как может показаться:

• Большинство таких ресурсов являются условно-бесплатными. Пользователь, конечно, может пользоваться практически всеми возможностями сайта, однако будет введено ограничение на качество и на скорость работы сервиса. Для того, чтобы это исправить, необходимо оформить подписку;
• Конвертировать несколько файлов одновременно нельзя. Придется делать это по отдельности, что достаточно сильно замедляет процесс.

Вот несколько популярных онлайн сервисов:

1. Бесплатный сервис Convert-my-image;
2. Конвертор с обрезкой краев и масштабированием PDF-PNG-JPG;
3. Просто еще один конвертор — ссылка.

Программы для конвертации pdf в jpg

Самым удобным способом конвертировать pdf в jpg будет не какая-нибудь специальная программа, предназначенная именно для этого. Есть возможность воспользоваться подручными средствами, а именно программой photoshop.

Все что вам нужно сделать:

1. Открыть свой PDF-файл;
2. Сохранить его в формате jpg — профит!

Открыть файл, уверен, вы сможете. После этого сразу идем в «Файл» — «Сохранить как», в пункте «Формат» выбираем «JPEG»:

В сети также существует большое разнообразие программ подобного рода. Разберем на примере одной из них – PDF – Xchange Editor. Интерфейс программы выглядит следующим образом:

ПО относительно дружелюбно даже к неопытному пользователю. Действуем следующим образом:

1. В панели инструментов выбираем «Файл» и экспортируем PDF;
2. Жмем «Изображение»;
3. Устанавливаем необходимые для вас настройки.

Минусов в показанном способе немного. Основной недостаток заключается в установке дополнительной программы. Если установщик был скачен из подозрительных источников, то компьютер может поймать вирус. Проблема решается достаточно просто – ищите проверенные ресурсы (по ссылке выше я указал хороший ресурс, оттуда можно скачать).

Видео с демонстрацией конвертации:

Похожие статьи:

yhoome.ru

PDF To JPG Converter 3.3

Основные возможности программы PDF To JPG Converter:

• На 187% быстрее других конвертеров.
• Поддержка пакетного преобразования.
• Поддержка преобразования PDF в JPG, BMP,TIF,GIF,PNG.
• Поддержка постраничного преобразования.
• Настройка DPI для вывода изображений.

нажмите на картинку и она увеличится

 
 
 
 
КАК ТУТ СКАЧАТЬ – ВИДЕО

 
 
 
 
откроется в новом окне

 
 
 
 
откроется в новом окне

 
 
 
 
откроется в новом окне

xn--c1adkjnf.net

Знаки неравенств — урок. Алгебра, 8 класс.

Неравенства, произведение или частное которых сравнено с нулем — это, например, (x+3)(x−2)>0;x+3x−5≤0.

Один из методов решения таких неравенств — замена системой неравенств.

Чтобы заменить неравенство системами неравенств, нужно знать свойства знаков:

++=+−−=++−=−−+=−++=+−−=++−=−−+=−

Чтобы произведение было положительным, оба множителя должны иметь одинаковые знаки — или положительные, или отрицательные.

Чтобы произведение было отрицательным, множители должны иметь противоположные знаки.

Чтобы частное было положительным, делимое и делитель должны иметь одинаковые знаки.

Чтобы частное было отрицательным, делимое и делитель должны иметь противоположные знаки. 

f(x)g(x)>0только в том случае, еслиf(x)>0g(x)>0илиf(x)<0g(x)<0f(x)g(x)<0только в том случае, еслиf(x)>0g(x)<0илиf(x)<0g(x)>0f(x)g(x)≥0только в том случае, еслиf(x)≥0g(x)>0илиf(x)≤0g(x)<0f(x)g(x)≤0только в том случае, еслиf(x)≥0g(x)<0илиf(x)≤0g(x)>0

Обрати внимание!

Обрати внимание — в дробном неравенстве знаменатель не может быть равен \(0\), поэтому используются только знаки строгого неравенства (\(<\) или \(>\)).

Пример:

x&plus;2x−3≥0x&plus;2≥0x−3>0, т. к.x&plus;3≠0 илиx&plus;2≤0x−3<0x≥−2x>31 илиx≤−2x<32 

Множества решений системы неравенства отображаются на оси координат:

Ответ:   x∈(−∞;−2]∪(3;+∞).

www.yaklass.ru

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

Содержание страницы:

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак     =     поменять на любой из знаков неравенства:

>    больше,

≥    больше или равно,

<    меньше,

≤    меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

ax<bax≤bax>bax≥b

где a и b — любые числа, причем a≠0,x — переменная.

Примеры линейных неравенств:

3x<5x−2≥07−5x<1x≤0

Решить линейное неравенство — получить выражение вида:

x<cx≤cx>cx≥c

где c — некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

• Если знак неравенства строгий >,<, точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

• Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

• Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Таблица числовых промежутков

Алгоритм решения линейного неравенства

1. Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

ax<bax≤bax>bax≥b

1. Пусть получилось неравенство вида ax≤b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.

• Если a>0 то неравенство приобретает вид x≤ba.

• Если a<0, то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x≥ba.

1. Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство    3(2−x)>18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6−3x>18

−3x>18−6−3x>12|÷(−3)

Делим обе части неравенства на (-3) — коэффициент, который стоит перед  x. Так как    −3<0,  знак неравенства поменяется на противоположный. x<12−3⇒x<−4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x∈(−∞;−4)

№2. Решить неравество    6x+4≥3(x+1)−14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x+4≥3x+3−14

6x−3x≥3−14−4

3x≥−15    |  ÷3 Делим обе части неравенства на (3) — коэффициент, который стоит перед  x. Так как 3>0,   знак неравенства после деления меняться не будет.

x≥−153⇒x≥−5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x∈[−5;  +∞)

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство    6x−1≤2(3x−0,5).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x−1≤6x−1

6x−6x≤−1+1

0≤0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:
1. x — любое число
2. x∈(−∞;+∞)
3. x∈ℝ

 

 

 

 

№2. Решить неравенство    x+3(2−3x)>−4(2x−12).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x+6−9x>−8x+48

−8x+8x>48−6

0>42

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: x∈∅

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: ax2+bx+c>0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c<0ax2+bx+c≤0 где a, b, c — некоторые числа, причем   a≠0,x — переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

1. Решить уравнение ax2+bx+c=0 и найти корни x1 и x2.
1. Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий >,<, точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точки будут жирные (заштрихованный).

1. Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение ax2+bx+c вместо x.

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

1. Записать ответ.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство    x2≥x+12.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

x2≥x+12

x2−x−12≥0

x2−x−12=0

a=1,b=−1,c=−12

D=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅(−12)=1+48=49

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−1)±492⋅1=1±72=[1+72=82=41−72=−62=−3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−x−1=62−6−1=29>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪.

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x∈(−∞;−3]∪[4;+∞)

№2. Решить неравенство    −3x−2≥x2.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

−3x−2≥x2

−x2−3x−2≥0

−x2−3x−2=0

a=−1,b=−3,c=−2

D=b2−4ac=(−3)2−4⋅(−1)⋅(−2)=9−8=1

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−3)±12⋅(−1)=3±1−2=[3+1−2=4−2=−23−1−2=2−2=−1

x1=−2,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

−x2−3x−2=−(0)2−3⋅0−2=−2<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   −.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥, выбираем в ответ интервал со знаком   +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x∈[−2;−1]

№3. Решить неравенство   4<x2+3x.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

4<x2+3x

−x2−3x+4<0

−x2−3x+4=0

a=−1,b=−3,c=4

D=b2−4ac= (−3)2−4⋅(−1)⋅4=9+16=25

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−3)±252⋅(−1)=3±5−2=[3+5−2=8−2=−43−5−2=−2−2=1

x1=−4,x2=1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

−x2−3x+4=−(2)2−3⋅2+4=−6<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   <,  выбираем в ответ интервалы со знаком   −.

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x∈(−∞;−4)∪(1;+∞)

№4. Решить неравенство   x2−5x<6.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

x2−5x<6

x2−5x−6<0

x2−5x−6=0

a=1,b=−5,c=−6

D=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅(−6)=25+25=49

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−5)±492⋅1=5±72=[5+72=122=65−72=−22=−1

x1=6,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−5x−6=102−5⋅10−6=100−50−6= 44>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   >, выбираем в ответ интервал со знаком   -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ:   x∈(−1;6)

№5. Решить неравенство   x2<4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

x2<4

x2−4<0

x2−4=0

(x−2)(x+2)=0⇔[x−2=0x+2=0 [x=2x=−2

x1=2,x2=−2

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−4=32−4=9−4=5>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   <,   выбираем в ответ интервал со знаком   −.

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x∈(−2;2)

№6. Решить неравенство   x2+x≥0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения   x2+x=0.

x2+x≥0

x2+x=0

x(x+1)=0⇔[x=0x+1=0[x=0x=−1

x1=0,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2+x=12+1=2>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x∈(−∞;−1]∪[0;+∞)

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x−1x+3<03(x+8)≤5×2−1x>0x+20x≥x+3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0

1. Приравнять числитель дроби к нулю   f(x)=0.  Найти нули числителя.
1. Приравнять знаменатель дроби к нулю   g(x)=0.  Найти нули знаменателя.

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x.

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось xнули знаменателя всегда выколотые.

Если знак неравенства строгий,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые.

Если знак неравенства нестрогий,
при нанесении на ось x нули числителя жирные.

1. Расставить знаки на интервалах.
1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство   x−1x+3>0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f(x)g(x)>0.
1. Приравниваем числитель к нулю  f(x)=0.

x−1=0

x=1 — это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

1. Приравниваем знаменатель к нулю  g(x)=0.

x+3=0

x=−3 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):x−1x+3 = 2−12+3=15>0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   >,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Ответ:   x∈(−∞;−3)∪(1;+∞)

№2. Решить неравенство   3(x+8)≤5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Привести неравенство к виду  f(x)g(x)≤0.

3(x+8)≤5

3(x+8)−5\x+8≤0

3x+8−5(x+8)x+8≤0

3−5(x+8)x+8≤0

3−5x−40x+8≤0

−5x−37x+8≤0

1. Приравнять числитель к нулю  f(x)=0.

−5x−37=0

−5x=37

x=−375=−375=−7,4

x=−7,4 — ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

1. Приравнять знаменатель к нулю  g(x)=0.

x+8=0

x=−8 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение  f(x)g(x):

−5x−37x+8=−5⋅0−370+8=−378<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   ≤,  выбираем в ответ интервалы со знаком   -.

В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

Ответ:   x∈(−∞;−8)∪[−7,4;+∞)

№3. Решить неравенство   x2−1x>0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f(x)g(x)>0.
1. Приравнять числитель к нулю  f(x)=0.

x2−1=0

(x−1)(x+1)=0⇒[x−1=0x+1=0[x=1x=−1

x1=1,x2=−1  — нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

1. Приравнять знаменатель к нулю g(x)=0.

x=0 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение  f(x)g(x):

x2−1x=22−12=4−12=32>0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   >,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x∈(−1;0)∪(1;+∞)

Системы неравенств

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

{x+4>02x+3≤x2

Алгоритм решения системы неравенств

1. Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
1. Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
1. Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.
1. Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств   {2x−3≤57−3x≤1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

2x−3≤5 

2x≤8|÷2, поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x≤4;

Графическая интерпретация:

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Решаем второе неравенство системы.

7−3x≤1

−3x≤1−7

−3x≤−6|÷(−3),  поскольку  −3<0,  знак неравенства после деления меняется на противоположный.

x≥2

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4. Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

Ответ:   x∈[2;4]

№2. Решить систему неравенств   {2x−1≤51<−3x−2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

2x−1≤5

2x≤6|÷2, поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x≤3

Графическая интерпретация:

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Решаем второе неравенство системы.

1<−3x−2

3x<−1−2

3x<−3|÷3,  поскольку  3>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x<−1

Графическая интерпретация решения:

Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

Ответ:   x∈(−∞;−1)

№3. Решить систему неравенств   {3x+1≤2x−1x−7>5−x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

3x+1≤2x−1

3x−2x≤−1−1

x≤−1

Графическая интерпретация решения:

1. Решаем второе неравенство системы

x−7>5−x

x+x>5+7

2x>12| ÷2,  поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x>6

Графическая интерпретация решения:

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

Ответ:   x∈∅

№4. Решить систему неравенств   {x+4>02x+3≤x2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

x+4>0

x>−4

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

1. Решаем второе неравенство системы

2x+3≤x2

−x2+2x+3≤0

Решаем методом интервалов.

−x2+2x+3=0

a=−1,b=2,c=3

D=b2−4ac=22−4⋅(−1)⋅3=4+12=16

D>0 — два различных действительных корня.

x1,2=−b±D2a=−2±162⋅(−1)=−2±4−2=[−2−4−2=−6−2=3−2+4−2=2−2=−1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения  ∪.

Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

Ответ:   x∈(−4;−1]∪[3;+∞)

 

Скачать домашнее задание к уроку 8.

 

epmat.ru

Знак неравенства. Строгие и нестрогие неравенства

Неравенства и их знаки

Знаки «>» были введены английским астрономом, математиком, этнографом и переводчиком Томасом Хэрриотом (1560-1621) в 1631 году, а знаки «» предложил английский математик, один из предшественников математического анализа Джон Валлис (1616-1703) в 1670 году.

Запись означает, что меньше .

Запись означает, что больше .

Запись означает, что меньше или равно .

Запись означает, что больше или равно .

Если , то точка, изображающая число на координатной прямой, лежит правее точки, изображающей число (рис. 1).

Если , то точка, изображающая число на координатной прямой, лежит левее точки, изображающей число (рис. 2).

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Неравенство — это… Что такое Неравенство?

В математике неравенство (≠) есть утверждение об относительной величине или порядке двух объектов, или о том, что они просто не одинаковы (см. также Равенство).

Типы неравенств

• запись означает, что a меньше, чем b;
• запись означает, что a больше, чем b.
• запись означает, что a не равно b.

Эти математические отношения называются строгим неравенством. В противоположность им нестрогие неравенства означают следующее:

• запись означает, что a меньше либо равно b;
• запись означает, что a больше либо равно b.

Кроме того, иногда требуется показать, что одна из величин много больше другой, обычно на несколько порядков:

• запись означает, что a намного больше b.

Иногда не требуется знать результат и тогда можно определить формальное неравенство как два числа или алгебраических выражения, соединённые знаками >,<,≠.

Неравенство называется точным если его нельзя улучшить.

• Например является точным, а нет.

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:^[1]

• алгебраические
• трансцендентные

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример:

Неравенство — алгебраическое, первой степени.

Неравенство  — алгебраическое, второй степени.

Неравенство  — трансцендентное.

Решение неравенств второй степени

Решение неравенства второй степени вида или можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения (промежутки знакопостоянства).

Пример 1.

Решить неравенство .

Решение. Рассмотрим функцию . Для того чтобы решить это неравенство методом интервалов нам следует найти нули функции и выбрать соответствующие интервалы, в которых она принимает отрицательные значения.

Итак, корни уравнения , наш искомый интервал: .

Ответ: .

Решение неравенств методом интервалов

Пусть у нас есть неравенство вида Для его решения нам необходимо:

• разбить ось на интервалы знакопостоянства
• поставить в каждом таком интервале знак неравенства на этом интервале (, если больше нуля, если меньше)
• выбрать те интервалы, где стоит знак начального неравенства

Крайними точками интервалов будут , и нули функций .

Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств

Пример 2.

Решить неравенство .

Решение. Действуем по плану:

Из последней выкладки видно, что наше неравенство решений не имеет.

Ответ: Ø

Знаки неравенства

Русскоязычная традиция начертания знаков и отличается от принятой в англоязычной литературе.

Символ	Код в Юникоде	Название в Юникоде	Название	HTML шестн.	HTML десят.	HTML обозн.	LaTeX
	U+2A7D	Less-than or slanted equal to	Меньше либо равно	⩽	⩽	отсутствует	\leqslant
	U+2A7E	Greater-than or slanted equal to	Больше либо равно	⩾	⩾	отсутствует	\geqslant
	U+2264	Less-than or equal to	Меньше либо равно	≤	≤	≤	\le, \leq
	U+2265	Greater-than or equal to	Больше либо равно	≥	≥	≥	\ge, \geq

Примечание

1. ↑ М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974

См. также

dic.academic.ru

Знаки неравенства Википедия

О неравенствах в социально-экономическом смысле см. Социальное неравенство.

Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков^[1].

Строгие неравенства

• a<b{\displaystyle a<b} — означает, что a{\displaystyle a} меньше, чем b.{\displaystyle b.}
• a>b{\displaystyle a>b} — означает, что a{\displaystyle a} больше, чем b.{\displaystyle b.}

Неравенства a>b{\displaystyle a>b} и b<a{\displaystyle b<a} равносильны. Говорят, что знаки >{\displaystyle >} и <{\displaystyle <} противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что <{\displaystyle <} заменено на >{\displaystyle >} или наоборот.

Нестрогие неравенства

• a⩽b{\displaystyle a\leqslant b} — означает, что a{\displaystyle a} меньше либо равно b.{\displaystyle b.}
• a⩾b{\displaystyle a\geqslant b} — означает, что a{\displaystyle a} больше либо равно b.{\displaystyle b.}

Русскоязычная традиция начертания знаков

ru-wiki.ru

Простейшие неравенства | Алгебра

Простейшие линейные неравенства — это неравенства вида x>a; x≥a; x<a; x≤a.

Решение простейшего линейного неравенства можно изобразить на числовой прямой в виде числового промежутка и записать в виде интервала.

Неравенства бывают строгие и нестрогие.

Строгие неравенства — это неравенства со знаками больше (>) или меньше (<).

Нестрогие неравенства — это неравенства со знаками больше либо равно(≥) или меньше либо равно(≤).

При изображении на числовой прямой решения строгого неравенства точку выкалываем (она рисуется пустой внутри), точку из нестрогого неравенства закрашиваем (для запоминания можно использовать ассоциацию).

Числовой промежуток, соответствующий решению неравенства x<a или x≤a находится слева от точки a (штриховка идет от точки a влево, к минус бесконечности).

Числовой промежуток — решение неравенства x>a или x≥a — лежит справа от точки a (штриховка идет от точки a вправо, на плюс бесконечность) (для запоминания можно использовать ассоциацию).

Скобка, соответствующая точке a строгого неравенства x>a или x<a — круглая.

В нестрогом неравенстве x≥a или x≤a точка a — с квадратной скобкой.

Бесконечность и минус бесконечность в любом неравенстве всегда записываются с круглой скобкой.

Если обе скобки в записи круглые, числовой промежуток называется открытым. Концы открытого промежутка не являются решением неравенства и не включаются в ответ.

Конец промежутка с квадратной скобкой включается в ответ.

Запись промежутка всегда ведётся слева направо, от меньшего — к большему.

Решение простейших линейных неравенств схематически можно представить в виде схемы:

Рассмотрим примеры решения простейших линейных неравенств.

   

Читают: «икс больше двенадцати».

Решение:

Неравенство нестрогое, на числовой прямой 12 изображаем выколотой точкой.

К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: —>. Стрелочка указывает, что от 12 штриховка уходит вправо, к плюс бесконечности:

Так как неравенство строгое и точка x=12 выколотая, в ответ 12 записываем с круглой скобкой.

Ответ:

   

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от двенадцати до бесконечности».

   

Читают: «икс больше минус трёх целых семи десятых»

Решение:

Неравенство нестрогое, поэтому -3,7 на числовой прямой изображаем закрашенной точкой. Мысленно пририсовываем к знаку неравенства стрелочку: —≥. Стрелочка направлена вправо, поэтому штриховка от -3,7 идёт вправо, на бесконечность:

Так как неравенство нестрогое и точка x= -3,7 закрашенная, -3,7 в ответ записываем с квадратной скобкой.

Ответ:

   

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус трёх целых семи десятых до бесконечности, включая минус три целых семь десятых».

   

Читают: «икс меньше нуля целых двух десятых» (или «икс меньше чем нуль целых две десятых»).

Решение:

Неравенство строгое, 0,2 на числовой прямой изображаем выколотой точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: <—. Стрелочка подсказывает, что от 0,2 штриховка уходит влево, к минус бесконечности:

Неравенство строгое, точка выколотая, 0,2 — с круглой скобкой.

Ответ:

   

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от минус бесконечности до нуля целых двух десятых».

   

Читают: «икс меньше либо равен пяти».

Решение:

Неравенство нестрогое, на числовой прямой 5 изображаем закрашенной точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: ≤—. Направление штриховки — влево, к минус бесконечности:

Неравенство нестрогое, точка закрашенная, 5 — с квадратной скобкой.

Ответ:

   

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до пяти, включая пять».

www.algebraclass.ru

Решение неравенств, все формулы и примеры

Определение и формулы неравенств

Знаки > называются знаками строгого неравенства, а знаки — знаками нестрогого неравенства.

Если в неравенство входят только числовые величины, то такое неравенство называется числовым неравенством.

Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Основные правила, применяемые при решении неравенств

1. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
2. Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.
3. Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

В зависимости от того, какие функции входят в неравенство, различают линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические, показательные неравенства, неравенства с параметром.

Если требуется все общие решения двух или нескольких неравенств, то решают систему неравенств. Как и систему уравнений, систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки. Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств.

Одним из основных методов решения неравенств является метод интервалов.

Примеры решения неравенств

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

как найти 60% от 65% объясните,плиз!

60 умножить на сто и разделить на 65 (по другому записать не могла — выдает ошибку)

также как и 60% просто от 65 только ответ получается в процентах, т. е. 60 умножаем на 100 и делим на 65. Получается 92,3%

есть правило: чтобы найти процент от данного числа, нужно количество процентов, выраженное дробью, умножить на данное число 60% = 0,6 65%=0,65 0,6 * 0,65 = 0,39, т е 39%

65 представляем как 100%. Делим его на 100 65/100=0.65 — это 1%. умножаем на 60% 0.65*60=39.

Определим сколько состовляет 1 % от 65 для этого разделим 65 на 100 получим 0,65 теперь умножим 0,65 на 60 =39

touch.otvet.mail.ru

Простейшие примеры на проценты.

Тема «Проценты» станет понятнее с  книгой «Как решать задачи на проценты»! Узнать подробнее здесь!

•  Процентом называется одна сотая часть.
• Чтобы выразить проценты дробью или натуральным числом, нужно число процентов разделить на 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
•  Чтобы выразить число в процентах, нужно его умножить на 100%. (0,65=0,65·100%=65%; 1,5=1,5·100%=150%).
•  Чтобы найти проценты от числа, нужно выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью и умножить полученную дробь на данное число.
• Чтобы найти число по его процентам, нужно выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.
•  Чтобы найти, сколько процентов составляет первое число от второго, нужно разделить первое число на второе и результат умножить на 100%.

Пример 1. Выразить проценты дробью или натуральным числом: 130%, 65%, 4%, 200%.

1.  130%=130%:100%=130:100=1,3;
2.  65%=65%:100%=65:100=0,65;
3.  4%=4%:100%=4:100=0,04;
4.  200%=200%:100%=200:100=2.

Пример 2. Записать следующие числа в виде процентов: 1; 1,5; 0,4; 0,03.

1.  1=1·100%=100%;
2.  1,5=1,5·100%=150%;
3.  0,4=0,4·100%=40%;
4.  0,03=0,03·100%=3%.

Пример 3. Найти 15% от числа 400.

Решение.

1) 15%=15%:100%=15:100=0,15;

2) 0,15·400=60.

Ответ: 60.

Пример 4. Найти число, если 18% его равны 900.

Решение.

1) 18%=18%:100%=18:100=0,18;

2) 900:0,18=90000:18=5000.

Ответ: 5000.

Пример 5. Определить, сколько процентов составляет число 320 от числа 1600.

Решение.

(320:1600)·100%=0,2·100%=20%.

Ответ: 20%.

www.mathematics-repetition.com

Как найти процент от числа? Примеры. Ответы.

Как найти процент от числа?  Общее правило такое. Чтобы найти процентную часть числа, нужно:

1. Число разделить на 100. Почему на 100? Потому что процент — это одна сотая часть числа. И для того, чтобы найти несколько процентов, для начала нужно найти 1 %( процент). Число мы делим на 100 и таким образом мы находим 1%(процент) числа.

2.  Получившийся результат умножить на количество процентов. Таким образом мы увидим какую часть от числа мы искали.

Как найти процент от числа?

Давайте разберем это  на конкретных примерах:

1. Вычислить 5% от числа 60. Найдем 1 %, итак число 60 нам нужно разделить на 100 (60: 100= 0,6). Теперь 0,6 нужно умножить на то число, сколько процентов мы ищем. Мы ищем 5%. Просто умножаем 6*5 =30 , в результате нужно отделить запятой один знак, потому что в множителях стоит один знак после запятой, поэтому 0,6*5= 3

Как найти процент от числа?

Как найти процент от числа?

2. Вычислить 15% от числа 30. По той же схеме 30:100= 0,3. Теперь  0,3 нужно умножить на то число, сколько процентов мы ищем. Мы ищем 15%. Просто умножаем 3*15 =45, но нам нужно отделить запятой 1 цифру. Поэтому 0,3*15= 4,5

3. Вычислить 75% от числа 150.  По той же схеме 150:100= 1,5. Теперь  1,5 нужно умножить на то число, сколько процентов мы ищем. Мы ищем 75%. поэтому Для того что бы умножить эти 2 числа нужно отбросить все запятые и просто умножить 15 *75= 1125. Теперь в результате нужно отделить запятой столько цифр, сколько в обоих множителях в сумме. В обоих множителях у нас одна цифра. То есть только 5 в числе 1,5.  Поэтому запятую мы двигаем тоже на одну цифру 1,5*75= 112,5.

Таким способом легче узнать проценты.

kakblog.info

Калькулятор процентов. Онлайн расчет

Этот онлайн сервис выполняет следующие операции с процентами: нахождение процента от данного числа, расчет процентного соотношения между числами, прибавление или вычитание процента от заданного числа.

В форме калькулятора выберите вид расчета, введите число и процент (либо второе число для нахождения процентного соотношения), укажите точность расчета и нажмите «Посчитать».

Калькулятор

Процентом какого-либо числа называют сотую часть этого числа. Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого, принимаемого за единицу. Обозначается знаком %. Одна десятая процента или тысячная доля целого называется — промилле.

Кроме обозначения доли целого, проценты также используются для сравнения двух величин. При сравнении в процентах обязательно указывается относительно какой величины был вычислен процент. Например, доходы превышают расходы на 2% или цены на продукты повысились на 5% по сравнению с прошлым месяцем.

Число процентов может быть более 100. Это означает, что доля больше целого. Обычно величины более 100 используются при сравнениях в процентах, в статистических и финансовых расчетах, при решении математических задач.

Экономическое определение «процент» — прибыль, выгода, преимущество.

Как финансовое понятие «процент» означает плату, которую одно лицо (заемщик) передает другому лицу (кредитору) за то, что последний предоставляет первому во временное пользование денежные средства.

Часто в бизнес лексике употребляется выражение «работать за проценты». Это словосочетание означает работать за вознаграждение, исчисляемое в зависимости от оборота или прибыли. Здесь процент обозначает комиссионные, которые являются характеристикой, работы сотрудника.

Проценты используются в различных статистических расчетах, во многих областях хозяйственной деятельности, бухгалтерском учете, в финансовых учреждениях (при расчете выплат по кредитам, вкладам и другим финансовым услугам).

Как рассчитать проценты на калькуляторе

fin-calc.org.ua

Как вычислить процент от числа и число от процента? Например,3% от 300,это сколько? Или 34-это сколько процентов от 60?

1.Чтобы вычислить процент от числа, надо этот процент превратить в десятичную дробь (т. е разделить на сто) и на то. что получится, умножить данное число В нашем случае 3%=0.03 Умножаем 300 на 0,03.Получаем 9 2.Чтобы вычислить, какой процент составляет первое число от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100 В нашем случае 34:60&#215;100&#8776;56.6%

1 процент это сотая часть числа, чтобы вычислить 3% от 300 надо число разделить на 100 и умножить на 3 — будет 9 Чтобы узнать сколько процентов составляет число надо конечное число разделить на 100 (это 60 /100)= (0.6) потом число 34 делим на 1 часть от числа (0.6) 34/0.6=56.666666666666

1 процент это сотая часть числа, чтобы вычислить 3% от 300 надо число разделить на 100 и умножить на 3 — будет 9 Чтобы узнать сколько процентов составляет число надо конечное число разделить на 100 (это 60 /100)= (0.6) потом число 34 делим на 1 часть от числа (0.6) 34/0.6=56.6666

В видео все подробно описано <a rel=»nofollow» href=»https://www.youtube.com/watch?v=kDx4mbAOiOI» target=»_blank»>https://www.youtube.com/watch?v=kDx4mbAOiOI</a>

touch.otvet.mail.ru

Как посчитать процент от числа?

Для того чтобы узнать, как посчитать процент от числа, нужно сначала разобраться, что такое процент.

Процент — это одна сотая доля чего-либо целого. На письме обозначается значком %. Если нам нужно посчитать процент от какого-либо числа, то мы принимаем само это число за 100%.

Есть несколько способов посчитать процент от числа. Разберем на конкретных примерах:

Первый способ

Сначала мы узнаем, какова величина 1% от конкретного числа, а потом умножим эту величину на количество процентов, данных в задании.

• Пример: найти 20% от числа 60.
• Решение: Сначала узнаем, сколько будет 1% от числа 60. Если 60 — это 100%, то 1% = 60/100 = 0,6. Теперь умножим величину 1%= 0,6 на нужные нам 20%. Посчитать можно в столбик или на калькуляторе. 0,6 * 20 = 12.
• Ответ: 12.

Второй способ

Вместо того чтобы делить на 100, а потом умножать на количество нужных процентов, мы можем сразу умножить наше заданное число на десятичную дробь, поставив количество процентов, которые нам надо найти, после 0 с запятой.

• Пример: найти 20% от 80.
• Решение: 80 * 0,20 = 16.
• Ответ: 16.

Третий способ

близок к первым двум. Для кого-то он может показаться более простым. Сначала умножим данное нам число на количество нужных процентов, а потом поделим на 100.

• Пример: найти 40% от 70.
• Решение: 70 * 40 = 2800, 2800/100 = 28.
• Ответ: 28.

Четвертый способ

Пропорция. Введем переменную х.

Пример:

Решение:

Составляем уравнение, перемножая значения крест-накрест

• 100 х = 80 * 30
• х = (80 * 30)/100
• х = 24.
• Ответ: 24.

Пятый способ

Посчитать процент от числа можно на калькуляторе. Берем калькулятор и вводим заданное число, затем умножаем его на количество нужных процентов и вместо знака «=» нажимаем знак «%».

• Пример: найти 25% от 80
• Решение: набираем 80 * 25 % — на калькуляторе появится число 20.
• Ответ: 20

Подробнее о процентах также можно прочитать в нашей статье Как найти процент.

elhow.ru

Не могу понять как умножить число на процент?Надо рассчитать Налог.

очередной фейспалм.. . 5%= 5/100 при умножении.. . и так с любым числом

1%=0.01 12%*14%=0,12*0,14=0,0168 Вот так как-то

50 яблок = 100% Сколько процентов составляют 30 яблок? Неизвестное число (то есть в этом случае 30) всегда умножается на противоположное (то есть не на яблоки в данном случае, а на проценты. умножить на 100%) и разделить на оставшеееся (то есть 50). 30 x 100= 3’000 : 50 = 60% В зависимости от ситуации могут искаться не проценты, а яблоки или что-то другое, но принцип остаётся. Искать один процент и потом умножать это не всегда выводит к правильному ответу.

число умножаем на 100 и делим на процент!!!

Дважды два четыре дважды два четыре Это всем известно в целом мире Дважды два четыре дважды два четыре Это всем известно в целом мире Дважды два четыре дважды два четыре А не три а не пять это надо знать Дважды два четыре дважды два четыре А не шесть а не семь это ясно всем Трижды три навеки девять Ничего тут не поделать И не трудно сосчитать Сколько будет пятью пять Пятью пять двадцать пять Пятью пять двадцать пять Совершенно верно Дважды два четыре дважды два четыре Это всем известно в целом мире Дважды два четыре дважды два четыре Это всем известно в целом мире Дважды два четыре дважды два четыре А не три а не пять это надо знать Дважды два четыре дважды два четыре А не шесть а не семь это ясно всем У кого друзья ни спросим Шестью восемь сорок восемь Шестью шесть прошу учесть Неизменно тридцать шесть Шестью шесть тридцать шесть Шестью шесть тридцать шесть Совершенно верно Дважды два четыре дважды два четыре Это всем известно в целом мире Дважды два четыре дважды два четыре Это всем известно в целом мире Дважды два четыре дважды два четыре А не три а не пять это надо знать Дважды два четыре дважды два четыре А не шесть а не семь это ясно всем Дважды два четыре дважды два четыре А не три а не пять это надо знать Дважды два четыре дважды два четыре А не шесть а не семь это ясно всем.

touch.otvet.mail.ru

Решение задач Задачи к экзамену по курсу «Дискретная математика» (для

ID (номер) заказа

709160

Тип

Решение задач

Предмет

Дискретная математика

Статус

Заказ выполнен

Задачи к экзамену по курсу «Дискретная математика» (для вечерней и заочной формы обучения).

1.Множество состоящее из шести элементов Х1,Х2,Х3,Х4,Х5,Х6 упорядочили всеми возможными способами. • Сколько таких способов? • В скольких случаях элемент Х2 будет стоять перед элементом Х6? • В скольких случаях элемент Х3 не будет ни первым, ни последним? • В скольких случаях элемент Х5 будет первым по порядку? • В скольких случаях элемент Х2 будет первым по порядку, а элемент Х6 будет последним? • В скольких случаях элемент Х2 будет стоять рядом с элементом Х3? • В скольких случаях элемент Х3 не будет стоять рядом с элементом Х4? 2. а) В январе было 10 солнечных дней, а снег шел в течение 25 дней, докажите, что в течение 4 дней было солнце, и шел снег. б) Найти количество натуральных чисел, меньших 100, которые делятся на 3 или 7. в) Найти количество натуральных чисел, не больших 1000, которые делятся или на 10, или на 15 или на 36. г) Найти количество натуральных чисел, меньших 100, которые не делятся на 5 и 11. д) Номерной знак автомобиля состоит из двух пар чисел (например, 42-91, 17-44). Сколько номеров автомобилей, где две одинаковые цифры присутствуют в одной паре (например, 55-12, 43-77, 33-00, 66-66). е) Найти количество натуральных чисел, не больших 1000, которые делятся или на 15, или на 20 или на 24. 3. Доказать равносильность формул логики высказываний (с помощью равносильных преобразований или с помощью таблиц истинности). • • • • • •

vsesdal.com

перестановки с повторениями — 3 Августа 2015 — Примеры решений задач

Число перестановок c повторениями обозначают

$P( k_1,k_2,…,k_m )$

Сколько же их? Если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы $n$. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. В первой группе элементы (первого типа) можно переставлять друг с другом $k_1!$ способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то перестановки ничего не меняют. Точно также ничего не меняют $k_2!$ перестановок элементов во второй группе и т. д. Перестановки элементов в разных группах можно делать независимо друг от друга. Поэтому (из принципы умножения) элементы можно переставлять друг с другом $ k_1!*k_2!*…*k_m! $ способами так, что она остаётся неизменной.

Число различных перестановок с повторениями, которые можно составить из данных элементов, равно

$$P(k_1,k_2,…,k_m)=\frac{n!}{k_1!*k_2!*…k_m!}$$

$$n=k_1+k_2+…+k_m $$

Пример 1. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?

Решение. Речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно сделать из k1=4 элементов первого типа (зеленых бус), k2=5 элементов второго типа (синих бус) и k3=6 элементов третьего типа (красных бус). По формуле (6) получаем

Калькулятор длч вычисления числа перестановок с повторениями

Пример 2. У мамы было 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?

Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа перестановок с повторениями:

.

Пример 3. Сколько различных браслетов можно сделать из пять одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

Решение. Камни можно переставлять P(5, 6, 7) способами. При циклических перестановках и при зеркальном отражении браслет остается неизменным. В результате получаем

.

Пример 4. Сколько способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы: а) три буквы «о» не стояли рядом? б) если запрещается, чтобы две буквы «о» стояли рядом?

Решение. а) Буквы данного слова можно переставлять P(3,1,1,1) способами. Если три буквы «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Тогда буквы можно переставлять 4! Способами. Вычитая этот результат из предыдущего, получим

.

Б) Сначала расставляем согласные (3! способов). Для трёх букв «о» остаётся 4 места, и их можно расставить способами. Всего получаем способа.

Упражнения

1. Сколькими способами можно расположить в ряд две зелёные и четыре красные лампочки?

Ответ: .

2. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: .

3. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трёх бандеролях соответственно по два три, четыре книги в каждой бандероли?

Ответ: .

4. Группу командировочных из восьми человек требуется расселить в три комнаты, из которых две трёхместные и одна двухместная. Сколько вариантов расселения возможно?

Ответ: .

5. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в следующих исходных словах: а) академия, б) электротехника, в) молокопродукт?

Ответ: .

6. Сколькими способами можно разделить 12 предметов между тремя студентами, чтобы каждому досталось ровно по четыре предмета?

Ответ: .

7. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 30 участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?

Ответ: .

8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

Ответ: .

9. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

Ответ: Гласные можно переставлять P(2,1,1)=12 способами, Аналогично, P(2,1,1)=12 способами можно расставить согласные буквы. Если согласные уже расставлены, то для гласных останется 5 мест. Поэтому места для них можно выбрать способами. Всего способов.

www.reshim.su

Глава1.Вопросы и упражнения

Вопросы

1.1.          Что такое энтропия?

1.2.          Дайте основные свойства энтропии для дискретных систем.

1.3.          Укажите, когда энтропия приобретает максимальное (минимальное) значение.

1.4.          Выразите энтропию объединения двух систем в случае независимых и зависимых систем.

1.5.          В чем отличия количества информации по Хартли и по Шеннону?

1.6.          В чем разница между понятиями объем информации и количество информации?

1.7.          Как зависит количество информации от сообщения об отдельном событии от вероятности этого события?

1.8.          Приведите выражение взаимной информации.

1.9.          Во что превращается полная взаимная информация в случаях полной независимости и полной зависимости систем.

Упражнения

1.1. Чему равно количество информации, если  получили сообщение о выходе из строя одного из восьми станков в данном цехе?

Решение.

I = log 8 =3 бит.

1.2. Алфавит состоит из букв а, b, с, d. Вероятности появления букв равны соответственно 0,25; 0,25; 0,34; 0,16. Определите количество информации, приходящееся на символ сообщения, составленного с помощью такого алфавита

Решение.

Количество информации на символ алфавита есть энтропия данного алфавита. Так как символы алфавита не равновероятны, то энтропия равна 

При вычислениях удобно воспользоваться таблицей значений функции Н(р) = -р log p (Табл.1 приложения 1).

1.3. Определите объем и количество информации в сообщении «Завтра ожидается ясная погода», переданном 7-элементным телеграфным кодом.

Решение.

Число принятых символов, включая пробел, k = 29. Объем информации Q = 29·7 = 203 бит. Количество информации для равновероятного алфавита I = k·H = 29· 1оg 32 == 29·5 = 145 бит.

1.4. Определите энтропию системы, состояние которой описывается  случайной величиной X с рядом распределения 

 1.5. Определите максимально возможную энтропию системы, состоящей из четырех элементов, каждый из которых может быть в четырех состояниях равновероятно.

1.6. Вероятность появления сигнала на выходе канала связи — p, а вероятность не появления q = 1-p. При каком значении p наибольшая неопределенность появления или не появления сигнала?

1.7. Определить энтропию, содержащуюся в изображении, при условии, что последнее разлагается на 625 строк по 840 элементов в каждой строке. Яркость каждого элемента передается восемью квантованными уровнями, а яркости разных элементов некоррелированные.

1.8. Определить энтропию физической системы, состоящей из двух самолетов (истребителя и бомбардировщика), участвующих в воздушном бою. В результате боя система может оказаться в одном из четырех возможных состояний: х1 — оба самолета не сбиты; х2 — истребитель сбит, бомбардировщик не сбит; х3 — истребитель не сбит, бомбардировщик сбит; х4 — оба самолета сбиты. Состояние системы дастся схемой

1.9. В двух корзинах имеется по 15 яблок, причем в первой урне — 5 красных, 7 белых и 3 черных, а во второй соответственно 4,4 и 7. Из каждой корзины вынимается по одному яблоку. Определите, для  какой из корзин исход опыта является более определенным, (то есть вынуть задуманное яблоко).

1.10. Из многолетних наблюдений за погодой известно, что для определенного пункта вероятность того, что 15 июня будет идти дождь, равна 0,4, а вероятность того, что в указанный день дождя не будет, равна 0,6. Пусть далее для этого же пункта вероятность того, что 15 ноября будет идти дождь, равна 0,65; вероятность, что будет идти снег, равна 0,15, вероятность, что не будет осадков, равна 0,2. В какой из двух перечисленных дней погоду следует считать более неопределенной?

1.11. По заданным значениям энтропии Н(Х) и Н(Y) случайных величин X и Y и средней условной энтропии H(X/Y) случайной величины Х относительно Y определите среднюю условную энтропию H(X/Y) случайной величины Y относительно Х.

1.12. В урне два белых и три черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найдите энтропию появления двух белых шаров.

1.13. Сигнал формируется в виде двоичного кода с вероятностями появления символов 1 и 0, равными соответственно 0,6 и 0,4. Появление любого из символов взаимосвязано условными вероятностями

Определите условную энтропию.

1.14. Имеются две системы X и Y, объединяемые в одну, вероятности состояний которой представлены следующей матрицей:

Определите полную условную энтропию H(Y/X).

Решение.

Вычисляем безусловные вероятности как суммы совместных вероятностей по строкам и столбцам исходной матрицы

Определяем условные вероятности по формуле p(y/x) = p(x,y)/p(x) и составляем матрицу условных вероятностей

 H(Y,X) = 0,6 (0,333 log 0,333 + 0,5 log 0,5 + 0,167 log 0,167) = 0,87 бит

 1.15. Взаимодействие двух систем Х и Y описывается следующей матрицей:

Определите безусловную энтропию системы Х и системы Y.

1.16. Канал связи с помехами описан матрицей

Определите I(Х, Y).

1.17. Канал связи описан следующей канальной матрицей:

Вычислите среднее количество информации, которое переносится одним символом сообщения, если вероятности появления символов источника сообщений равны р(х1) = 0,7; р(х2) = 0,2; р(х3) = 0,1. Чему равны информационные потери при передаче сообщения из 1000 символов алфавита х1, x2, x3? Чему равно количество принятой информации?

Решение.

Энтропия источника сообщений

Общая условная энтропия

Потери в канале связи DI будут равны 

DI = kH(Y/X) = 1000×0,473 = 473 бит 

Энтропия приемника 

Учитывая, что p(y₁) = p(x_i)p(y₁/x_i), 

H(Y) = — (0,726 log 0,726 + 0,187 log 0,187 +

+ 0,087 log 0,087) = 1,094 бит

Среднее количество полученной информации 

I = k[H(Y) – H(Y/X)] = kH(Y) — DI = 1094 – 473 = 621 бит

 1.18. Определите информационные потери в канале связи, описанном следующей канальной матрицей: 

www.informkod.narod.ru

13. ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ | Решение задач по математике и другим

При перестановке букв в слове «толпа» получается P5 = 5! = 120 «слов». Если же переставлять буквы в слове «топот», то получится меньше различных «слов», потому что ни перестановка двух букв «т», ни перестановка двух букв «о» не изменяют «слова»; всего перестановок в данном случае будет . Мы имеем здесь дело с перестановками с повторениями.

Общую задачу сформулируем следующим образом.

Имеется n элементов k различных типов: n1 элементов первого типа, n2 элементов второго типа, …, nk элементов k-го типа, . Сколько можно составить различных перестановок из этих элементов?

Число перестановок c повторениями обозначают . Сколько же их? Если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы n!. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. В первой группе элементы (первого типа) можно переставлять друг с другом n1! способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то перестановки ничего не меняют. Точно также ничего не меняют n2! перестановок элементов во второй группе и т. д. Перестановки элементов в разных группах можно делать независимо друг от друга. Поэтому (из принципы умножения) элементы можно переставлять друг с другом способами так, что она остаётся неизменной.

Число различных перестановок с повторениями, которые можно составить из данных элементов, равно

, (11.1) где .

Замечание. Отметим, что формула числа сочетаний из n элементов по k элементов совпадает с формулой для числа перестановок с повторениями из k элементов одного типа и n–k элементов другого типа:

.

Пример 11.1. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?

Решение. Речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно сделать из k1=4 элементов первого типа (зеленых бус), k2=5 элементов второго типа (синих бус) и k3=6 элементов третьего типа (красных бус). По формуле (6) получаем

.

Пример 11.2. У мамы было 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?

Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа перестановок с повторениями:

.

Пример 11.3. Сколько различных браслетов можно сделать из пять одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

Решение. Камни можно переставлять P(5, 6, 7) способами. При циклических перестановках и при зеркальном отражении браслет остается неизменным. В результате получаем

.

Пример 11.4. Сколько способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы: а) три буквы «о» не стояли рядом? б) если запрещается, чтобы две буквы «о» стояли рядом?

Решение. а) Буквы данного слова можно переставлять P(3,1,1,1) способами. Если три буквы «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Тогда буквы можно переставлять 4! Способами. Вычитая этот результат из предыдущего, получим

.

Б) Сначала расставляем согласные (3! способов). Для трёх букв «о» остаётся 4 места, и их можно расставить способами. Всего получаем способа.

Упражнения

11.1. Сколькими способами можно расположить в ряд две зелёные и четыре красные лампочки?

Ответ: .

11.2. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: .

11.3. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трёх бандеролях соответственно по два три, четыре книги в каждой бандероли?

Ответ: .

11.4. Группу командировочных из восьми человек требуется расселить в три комнаты, из которых две трёхместные и одна двухместная. Сколько вариантов расселения возможно?

Ответ: .

11.5. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в следующих исходных словах: а) академия, б) электротехника, в) молокопродукт?

Ответ: .

11.6. Сколькими способами можно разделить 12 предметов между тремя студентами, чтобы каждому досталось ровно по четыре предмета?

Ответ: .

11.7. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 30 участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?

Ответ: .

11.8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

Ответ: .

11.9. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

Ответ: Гласные можно переставлять P(2,1,1)=12 способами, Аналогично, P(2,1,1)=12 способами можно расставить согласные буквы. Если согласные уже расставлены, то для гласных останется 5 мест. Поэтому места для них можно выбрать способами. Всего способов.

matica.org.ua

Поиск k-ого наименьшего элемента / Habr

Задача нахождения k-ого наименьшего элемента обычно связывается с задачей сортировки, так как очевидный метод нахождения этого элемента состоит в сортировке N элементов и выборе k-ого.

Но мы с вами пойдём немного другим путём. Я предполагаю, что читатели знают, как работает алгоритм быстрой сортировки, но на всякий случай напомню. В массиве выбирается случайный элемент x, и выполнется просмотр массива слева, пока не найдётся элемент a[i]>x, затем выполняется просмотр справа, пока не будет найден элемент a[j]<x. Как только два таких элемента найдены, выполняется их обмен и просмотр продолжается до тех пор, пока индексы i,j не станут равны где-то в середине массива. В результате получается массив левая часть которого содержит элементы <=x, а правая часть содержит элементы >=x. Описанная процедура применяется рекурсивно для левой и правой части и продолжается до тех пор, пока не будет получен полностью отсортированный массив. (Немного подробнее о эффективных алгоритмах сортировки).

Процедура разделения, используемая в быстрой сортировке, даёт потенциальную возможность находить искомый (k-ый) элемент гораздо быстрее.
Этот алгоритм работает следующим образом. На первом шаге вызывается процедура разделения с L=1 и R=N (т.е. разделение выполняется для всего массива), причём в качестве разделяющего значения x выбирается a[k]. После разделения получаются значения индексов i,j такие, что

a[h]<x для всех h<i
a[h]>x для всех h>j
i>j

Здесь возможны три случая:
•Разделяющее значение x оказалось слишком мало. В результате граница между двумя частями меньше нужного значения k. Тогда операцию разделения нужно повторить с элементами a[i]…a[R].

•Выбранное значение x оказалось слишком велико. Тогда операцию разделения нужно повторить с элементами a[L]…a[j].

•Элемент a[k] разбивает массив на две части в нужной пропорции и поэтому является искомым значением.

Операцию разделения нужно повторять, пока не реализуется случай 3. Этот цикл выражается следующим фрагментом (прошу прощения за Pascal, но мои ученики пока знают только его):

1. procedure Find(k: integer);
2. var
3. L,R,i,j: integer;
4. w,x: integer;
5. begin
6.   L:=1; R:=N;
7.   while L<R-1 do
8.   begin
9.     x:=a[k];
10.     i:=L;
11.     j:=R;
12.     REPEAT
13.       while a[i]<x do
14.         i:=i+1;
15.       while x<a[j] do
16.         j:=j-1;
17.       if i<=j then
18.       begin
19.         w:=a[i];
20.         a[i]:=a[j];
21.         a[j]:=w;
22.         i:=i+1;
23.         j:=j-1;
24.       end;
25.     UNTIL i>j;
26.     if j<k then
27.       L:=i;
28.     if k<i then
29.       R:=j;
30.   end;
31. end;

Если предположить, что в среднем каждое разбиение делит пополам размер части массива, в которой находится искомое значение, то необходимое число сравнений будет N+N/2+N/4+…+1=2N. Это объясняет эффективность приведённой процедуры для поиска медиан и прочих величин, а также объясняет её превосходство над простым методом, состоящем в предварительной сортировке всего массива с последующим выбором k-ого элемента (где наилучшее поведение имеет порядок N*log(N)).

Надеюсь, этот алгоритм поможет вам сделать ваши программы более эффективными и быстрыми. Спасибо за внимание.

habr.com

Ряд активности металлов, когда им пользоваться » HimEge.ru

Ряд напряжений (ряд активности или электрохимический ряд напряжения ЭХРН) металлов используется на практике для относительной оценки химической активности металлов в реакциях с водными растворами солей и кислот и для оценки катодных и анодных процессов при электролизе.

ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИЙ РЯД НАПРЯЖЕНИЙ МЕТАЛЛОВ

Восстановительная активность металлов (свойство отдавать электроны) уменьшается, а окислительная способность их катионов (свойство присоединять электроны) увеличивается в указанном ряду слева направо.

• Металлы, стоящие левее, являются более сильными восстановителями, чем металлы, расположенные правее: они вытесняют последние из растворов солей. Например, взаимодействие Zn + Cu²⁺ → Zn²⁺ + Cu возможно только в прямом направлении. Цинк вытесняет медь из водного раствора её соли. При этом цинковая пластинка растворяется, а металлическая медь выделяется из раствора.
• Металлы, стоящие в ряду левее водорода, вытесняют водород при взаимодействии с водными растворами кислот-неокислителей; наиболее активные металлы (до алюминия включительно) — и при взаимодействии с водой.
• Металлы, стоящие в ряду правее водорода, с водными растворами кислот-неокислителей при обычных условиях не взаимодействуют.
• При электролизе металлы, стоящие правее водорода, выделяются на катоде; восстановление металлов умеренной активности сопровождается выделением водорода; наиболее активные металлы (до алюминия) невозможно при обычных условиях выделить из водных растворов солей.

  Катодный процесс

himege.ru

30 CSS-селекторов, о которых полезно помнить

• Главная
• ->
• Материалы
• ->
• 30 CSS-селекторов, о которых полезно помнить

Reg.ru: домены и хостинг

Крупнейший регистратор и хостинг-провайдер в России.

Более 2 миллионов доменных имен на обслуживании.

Продвижение, почта для домена, решения для бизнеса.

Более 700 тыс. клиентов по всему миру уже сделали свой выбор.

Перейти на сайт->

Бесплатный Курс «Практика HTML5 и CSS3»

Освойте бесплатно пошаговый видеокурс

по основам адаптивной верстки

на HTML5 и CSS3 с полного нуля.

Начать->

Фреймворк Bootstrap: быстрая адаптивная вёрстка

Пошаговый видеокурс по основам адаптивной верстки в фреймворке Bootstrap.

Научитесь верстать просто, быстро и качественно, используя мощный и практичный инструмент.

Верстайте на заказ и получайте деньги.

Получить в подарок->

Бесплатный курс «Сайт на WordPress»

Хотите освоить CMS WordPress?

Получите уроки по дизайну и верстке сайта на WordPress.

Научитесь работать с темами и нарезать макет.

Бесплатный видеокурс по рисованию дизайна сайта, его верстке и установке на CMS WordPress!

Получить в подарок->

*Наведите курсор мыши для приостановки прокрутки.

Назад Вперед

30 CSS-селекторов, о которых полезно помнить

Итак, Вы разобрались с основными селекторами: id, class, селекторами потомков. И все? Если да, то Вы теряете очень много в плане гибкости управления внешним видом элементов на странице.

Несмотря на то, что многие из упомянутых здесь селекторов входят в спецификацию CSS3 и, соответственно, поддерживаются только современными браузерами, Вам все же следует ознакомиться с ними и держать их в памяти.

1. *

* {
 margin: 0;
 padding: 0;
}

Начнем с простейших вещей для новичков, прежде чем перейдем к продвинутым селекторам.

Символ звездочки позволяет выбрать все элементы на странице. Многие веб-разработчики используют это для «обнуления» всех внешних и внутренних отступов.

Также символ * можно использовать для дочерних элементов объекта.

#container * {
 border: 1px solid black;
}

Этот код нацелен на все элементы, которые являются дочерними по отношению к блоку с идентификатором container.

Совместимость:

* IE6+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

2. #X

#container {
   width: 960px;
   margin: auto;
}

Символ решетки позволяет нам отбирать элементы по идентификатору. Это один из наиболее распространенных способов отбора элементов, однако будьте осторожны при его использовании.

«Спросите себя: Мне точно необходимо использовать id для какого-то элемента, чтобы сослаться на него?»

Селекторы id негибки и их трудно использовать повторно в разных проектах. Если возможно, пытайтесь сначала использовать имя тэга или даже псевдо-класс.

Совместимость:

* IE6+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

3. .X

.error {
  color: red;
}

Это селектор класса. Разница между id и классами в том, что с помощью классов можно выбирать сразу несколько элементов. Используйте классы, если Вам нужно применить один стиль к группе элементов.

В противном случае используйте id для нахождения «иголки в стоге сена» и применения стиля только к одному конкретному объекту.

Совместимость:

* IE6+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

4. X Y

li a {
  text-decoration: none;
}

Следующий часто используемый тип селектора — селектор потомка. Его следует использовать, когда нужно производить более точечный отбор элементов.

К примеру, как быть, если нужно выбрать не все тэги ссылок, а только те, что находятся внутри неупорядоченного списка? Это как раз тот случай, когда следует использовать селектор потомка.

«Совет: Если Ваш селектор похож на X Y Z A B.error, то Вы, вероятно, что-то делаете на так. Всегда спрашивайте себя, действительно ли это самый простой способ»

Совместимость:

* IE6+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

5. X

a {color: red;}
ul {margin-left: 0px;}

Что, если Вы хотите сослать на все элементы определенного типа на странице, если у них нет id или классов? Делайте проще, используйте селекторы типа. Если Вам нужно выбрать все неупорядоченные списки, используйте ul{}.

Совместимость:

* IE6+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

6. X:visited и X:link

a:link {color: red;}
a:visited {color: purple;}

Здесь мы используем псевдо-класс :link для выбора всех ссылок, на которых еще не был совершен клик.

Также есть псевдо-класс :visited, который, как Вы и ожидали, позволяет нам применить стиль только к тем ссылкам, по которым был совершен клик или переход.

Совместимость:

* IE7+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

7. X + Y

ul + p {
   color: red;
}

Это так называемый смежный селектор. В этом случае каждый параграф следующий сразу после каждого элемента ul будет красного цвета.

Совместимость:

* IE7+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

8. X > Y

#container > ul {
  border: 1px solid black;
}

Различие между X Y и X > Y в том, что последний выберет только прямых потомков. Рассмотрим следующий пример:

<div>
      <ul>
         <li>Элемент списка
           <ul>
              <li>Потомок</li>
           </ul>
         </li>
         <li>Элемент списка</li>
         <li>Элемент списка</li>
         <li>Элемент списка</li>
      </ul>
</div>

Селектор #container > ul выберет только те элементы ul, которые являются прямыми потомками блока div с идентификатором container. Т.е. в данном случае этот селектор не отберет элемент ul, который является потомком первого элемента li.

Совместимость:

* IE7+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

9. X ~ Y

ul ~ p {
   color: red;
}

Эта комбинация сестринских (сиблинговых) элементов похожа на X + Y, но она менее строгая. Если в случае ul + p будут выбраны только первые элементы p, следующие за ul (т.е. наблюдается смежность в выборе), то рассматриваемый нами сейчас селектор более общий.

В нашем случае он отберет все элементы p, следующие за элементом ul.

Совместимость:

* IE7+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

10. X[title]

a[title] {
   color: green;
}

Здесь мы обращаемся к атрибуту селектора. В нашем примере будут окрашены в зеленый цвет только ссылки, имеющие атрибут title.

Совместимость:

* IE7+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

11. X[href=»foo»]

a[href="http://www.codeharmony.ru"] {
  color: red;
}

Код выше позволит придать стиль всем ссылкам, атрибут href у которых равен http://www.codeharmony.ru. Эти ссылки будут красного цвета. Остальные ссылки не получат данного стиля.

Это работает хорошо, но это немного негибко. Что, если ссылка на самом деле ведет на Codeharmony.ru но, возможно, адрес указан, как codeharmony.ru а не http://www.codeharmony.ru? В таких случаях мы можем использовать основы регулярных выражений.

Совместимость:

* IE7+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

12. X[href*=»codeharmony»]

a[href*="codeharmony"] {
  color: red;
}

Поехали дальше; это как раз то, что нам нужно. Звездочка означает, что искомое значение может находиться в любой части атрибута href. Таким образом, мы можем отобрать и http://www.codeharmony.ru и www.codeharmony.ru и codeharmony.ru.

Совместимость:

* IE7+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

13. X[href^=»http»]

a[href^="http"] {
   background: url(path/to/external/icon.png) no-repeat;
   padding-left: 10px;
}

Вы когда-нибудь думали о том, как на некоторых сайтах рядом с ссылками, ведущими на другие сайты (внешние по отношению к текущему) проставлены небольшие иконки, которые дают знать об этом пользователю? Это отличные «напоминалки» пользователю о том, что ссылка ведет на другой сайт.

Делается это с помощью символа ^ (карат). Он обычно используется в регулярных выражениях для обозначения начала строки. Если мы хотим отобрать ссылки, у которых атрибут href начинается с http, то мы можем использовать селектор из примера выше.

«Обратите внимание, что мы не ищем http://. Это необязательно и, к тому же, не учитывает ссылки по протоколу https://.»

Совместимость:

* IE7+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

14. X[href$=».jpg»]

a[href$=".jpg"] {
   color: red;
}

И снова мы используем регулярное выражение и символ $ для того, чтобы обозначить конец строки. В данном примере мы ищем все ссылки, которые ссылаются на картинки с расширением .jpg. Разумеется, такой подход не будет работать для картинок с расширениями .gif, .png и т.д.

Совместимость:

* IE7+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

15. X[data-*=»foo»]

a[data-filetype="image"] {
   color: red;
}

Как же мы можем охватить различные типы картинок? Мы можем создать, например, несколько селекторов:

a[href$=".jpg"],
a[href$=".jpeg"],
a[href$=".png"],
a[href$=".gif"] {
   color: red;
}

Но это муторно и не элегантно. Другой вариант — это создать собственный атрибут data-filetype и добавить его к каждой ссылке, ведущей на картинку.

<a href="path/to/image.jpg" data-filetype="image">Ссылка</a>

Поступив таким образом, мы можем использовать код данного примера:

a[data-filetype="image"] {
   color: red;
}

Совместимость:

* IE7+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

16. X[foo~=»bar»]

a[data-info~="external"] {
   color: red;
}

a[data-info~="image"] {
   border: 1px solid black;
}

Вот еще один интересный трюк, о котором не все знают. Знак ~ (тильда) позволяет нам выбирать атрибуты со значениями, разделенными пробелами, т.е.

<a href="path/to/image.jpg" data-info="external image">Кликни сюда</a>

Используя данный прием мы можем делать выборки с нужными нам комбинациями:

/* Отобрать атрибут data-info, который содержит значение external */
a[data-info~="external"] {
   color: red;
}

/* и отобрать атрибут data-info, который содержит значение image */
a[data-info~="image"] {
  border: 1px solid black;
}

Совместимость:

* IE7+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

17. X:checked

input[type=radio]:checked {
   border: 1px solid black;
}

Этот псевдо-класс отбирает те элементы, которые были отмечены, например, радиокнопку или чекбокс.

Совместимость:

* IE9+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

18. X:after

Данный псевдо-класс позволяет сгенерировать контент вокруг выбранного элемента.

.clearfix:after {
    content: "";
    display: block;
    clear: both;
    visibility: hidden;
    font-size: 0;
    height: 0;
    }

.clearfix {
   *display: inline-block;
   _height: 1%;
}

Данный пример показывает, как с помощью псевдо-класса :after после блока с классом .clearfix создаётся пустая строка, после чего очищается. Хороший метод, когда невозможно применить overflow: hidden.

Совместимость:

* IE8+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

19. X:hover

div:hover {
  background: #e3e3e3;
}

Это Вы точно знаете. Официальное название звучит вроде «псевдо-класс, основанный на действии пользователя». Звучит страшновато, хотя на деле все просто. Хотите применить к элементу определенный стиль, когда на него наводится курсор мыши? Это оно самое!

«Помните, что старые версии IE не понимают этого псевдо-класса по отношению к чему-бы то ни было, кроме тэга а.»

Часто данный прием используется для задания нижней границы для ссылок при наведении на них курсора:

a:hover {
 border-bottom: 1px solid black;
}

«Мега-чит: border-bottom: 1px solid black; выглядит лучше, чем text-decoration: underline;»

Совместимость:

* IE6+ (в IE6 работает только по отношению к ссылкам)
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

20. X:not(selector)

div:not(#container) {
   color: blue;
}

Отрицание может быть также очень полезным. Предположим, я хочу выбрать все блоки div, кроме одного с идентификатором container. Для этого отлично подойдет код выше.

Если же мне нужно выбрать все элементы, кроме тэгов параграфов, то можно написать так:

*:not(p) {
  color: green;
}

Совместимость:

* IE9+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

21. X::pseudoElement

p::first-line {
   font-weight: bold;
   font-size: 1.2em;
}

Псевдоэлементы можно использовать для придания стилей фрагменту элемента, например, первой строке или первой букве. Применяется только к блочным элементам.

Выбираем первую букву параграфа:

p::first-letter {
   float: left;
   font-size: 2em;
   font-weight: bold;
   font-family: cursive;
   padding-right: 2px;
}

Этот кусок кода найдет все параграфы на странице и применит к первой букве каждого из них указанные стили. Часто это используется для создания эффекта «газетного заголовка».

Выбираем первую строку параграфа:

p::first-line {
   font-weight: bold;
   font-size: 1.2em;
}

Аналогично предыдущему примеру, но в данном случае будет выбрана первая строка каждого параграфа.

Совместимость:

* IE6+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

22. X:nth-child(n)

li:nth-child(3) {
   color: red;
}

Помните времена, когда мы не имели возможности обратиться к конкретному порядковому элементу-потомку? Данный псевдо-класс решает эту проблему!

В качестве параметра принимается целое число. Если нужно выбрать 2-й элемент списка, нужно использовать конструкцию: li:nth-child(2).

Мы можем даже выбирать группы элементов-потомков. К примеру, чтобы выбрать каждый четвертый элемент списка, нужно использовать конструкцию: li:nth-child(4n).

Совместимость:

* IE9+
* Firefox
* Chrome
* Safari

23. X:nth-last-child(n)

li:nth-last-child(2) {
   color: red;
}

Что, если у Вас есть большой неупорядоченный список и Вам нужно, к примеру, выбрать третий элемент с конца. Вместо того, чтобы писать li:nth-child(397), Вы можете воспользоваться псевдо-классом nth-last-child.

Совместимость:

* IE9+
* Firefox 3.5+
* Chrome
* Safari
* Opera

24. X:nth-of-type(n)

ul:nth-of-type(3) {
   border: 1px solid black;
}

Иногда бывают ситуации, когда вместо того, чтобы выбирать определенных потомков, нужно сделать выбор по типу элемента.

Представьте, что на странице есть пять неупорядоченных списков. Если Вам нужно применить стили только к третьему списку, но у него нет уникального идентификатора и иных «зацепок», то можно воспользоваться псевдо-классом nth-of-type(n). В коде выше показан способ придания стиля только третьему неупорядоченному списку.

Совместимость:

* IE9+
* Firefox 3.5+
* Chrome
* Safari

25. X:nth-last-of-type(n)

ul:nth-last-of-type(3) {
   border: 1px solid black;
}

Да, для полноты картины есть и такой вариант. Так можно выбрать n-ный элемент определенного типа с конца.

Совместимость:

* IE9+
* Firefox 3.5+
* Chrome
* Safari
* Opera

26. X:first-child

ul li:first-child {
   border-top: none;
}

Этот псевдо-класс позволяет выбрать только первого потомка родительского элемента. Часто используется для удаления границ первого и последнего элементов списка.

К примеру, если у вас есть список рядов, каждый из которых имеет border-top и border-bottom, то последний и первый элементы списка будут немного выбиваться из общего строя.

Для устранения этого недостатка можно использовать данный псевдо-класс.

Совместимость:

* IE7+
* Firefox
* Chrome * Safari
* Opera

27. X:last-child

ul > li:last-child {
   color: green;
}

В противоположность классу first-child, last-child выберет последний элемент родительского элемента.

Совместимость:

* IE9+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

28. X:only-child

div p:only-child {
   color: red;
}

Честно говоря, это довольно редко используемый псевдо-класс, но, тем не менее, он тоже бывает полезен. Он позволяет выбрать Вам те элементы, которые являются единственными потомками для своих родителей.

В нашем примере стиль будет применен только к параграфу, который является единственным потомком блока div.

Давайте рассмотрим для наглядности такую разметку:

<div><p>Здесь идет единственный в блоке параграф.</p></div>

<div>
   <p>Здесь идет первый параграф в блоке.</p>
   <p>Здесь идет второй параграф в блоке.</p>
</div>

В этом случае параграфы во втором блоке div выбраны не будут. Стиль будет применен только к параграфу из первого блока div.

Совместимость:

* IE9+
* Firefox
* Chrome
* Safari
* Opera

29. X:only-of-type

li:only-of-type {
   font-weight: bold;
}

Этот псевдо-класс выбирает элементы, которые не имеют сестринских элементов в содержащем их контейнере. Например, давайте выберем все ul, которые содержат одинокие li.

Вы могли бы написать ul li, но этот способ выберет все элементы li. Единственный способ — использовать only-of-type.

ul > li:only-of-type {
   font-weight: bold;
}

Совместимость:

* IE9+
* Firefox 3.5+
* Chrome
* Safari
* Opera

30. X:first-of-type

Этот псевдо-класс позволяет отобрать первого сиблинга того же типа.

Чтобы лучше это понять, скопируйте в свой редактор следующий код:

<div>
   <p>Здесь параграф.</p>
   <ul>
      <li>Элемент 1.</li>
      <li>Элемент 2.</li>
   </ul>

   <ul>
      <li>Элемент 3.</li>
      <li>Элемент 4.</li>
   </ul>
</div>

Сейчас, не читая дальше, попробуйте придать стиль только «элементу 2». Когда догадаетесь (либо сдадитесь), читайте дальше.

Решение 1

Есть много способов решить данную задачу. Рассмотри лишь некоторые из них. Начнем с использования first-of-type:

ul:first-of-type > li:nth-child(2) {
   font-weight: bold;
}

Данный код гласит: «Найди первый неупорядоченный список на странице, затем найди только его прямых потомков, являющихся элементами li. После этого выбери только второй по порядку элемент li.»

Решение 2

Другой вариант — воспользоваться смежным селектором:

p + ul li:last-child {
   font-weight: bold;
}

Здесь мы находим ul, следующий непосредственно за тэгом параграфа, после чего находим самый последний его дочерний элемент.

Решение 3

Можно еще немного поиграть с селекторами и поступить таким образом:

ul:first-of-type li:nth-last-child(1) {
   font-weight: bold;
}

Сейчас мы уже получаем первый элемент ul на странице, затем ищем самый первый элемент li, но начиная с конца.

Совместимость:

* IE9+
* Firefox 3.5+
* Chrome
* Safari
* Opera

Вывод

Если Вы все еще пишете код, принимая во внимание существование IE6, то Вам нужно быть предельно осторожным при использовании новых селекторов. Но не делайте из этого оправдания, не говорите, что Вам это не нужно знать — этим Вы осложните жизнь самому себе.

Если Вы работаете с какими-либо JavaScript-библиотеками, например, с jQuery, то всегда старайтесь использовать «родные» CSS3 селекторы, когда это возможно. В этом случае Ваш код будет работать быстрее.

Благодарю за внимание, надеюсь, Вы нашли для себя хотя бы пару-тройку полезных трюков.

По материалам www.net.tutsplus.com
Перевод — Дмитрий Науменко.

P.S. Уже верстаете сайты или планируете глубже освоить CSS? Посмотрите еще серию бесплатных видео по резиновой верстке и бесплатный курс по основам адаптивной верстки. Эти материалы помогут вам продвинуться вперед гораздо быстрее:

Понравился материал и хотите отблагодарить?
Просто поделитесь с друзьями и коллегами!

Смотрите также:

Наверх

www.codeharmony.ru

Какой угол называется острым? прямым? тупым?

Острый угол, угол &lt; 90 градусов. Прямой угол = 90 градусов. Тупой угол &gt; 90 градусов.

Остр. — &lt;90° Прямой — 90° Тупой — &gt;90°

Угол, который меньше 90 градусов, называется-острым Угол, равный 90 градусам, называется-прямым Угол, который больше 90 градусов, называется-тупым

Прямым называется угол, который равен 90 градусам, острый угол меньше прямого, а тупой-больше прямого. И на справку: есть ещё развёрнутый угол, который равен 180 градусам.

Возьми свой транспортир, острым называется тот, у которого меньше 90 градусов. Идёт от 0 до 90 градусов. У прямого только 90 градусов, обычный угол, который чаще всего везде встречается. Тупой: более широкий, больше 90 градусов, и до 180.

touch.otvet.mail.ru

Острый угол — это… Что такое Острый угол?

«∠», обозначение угла в математике

Плоский у́гол — неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).

Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости, заключёнными между этими лучами (Вообще говоря, двум таким лучам соответствуют два угла, так как они делят плоскость на две части. Один из этих углов условно называют внутренним, а другой — внешним.

Иногда, для краткости, углом называют угловую меру.

Угловая мера

Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L, в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам.

В системе СИ принято использовать радианы.

В морской терминологии углы обозначаются румбами.

Углы на тригонометрической окружности

В математике в качестве начала отсчёта углов принято направление оси абсцисс (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления направо), и отсчитывается против часовой стрелки.

В географии в качестве начала отсчёта углов принято направление оси ординат (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления север (вперёд)), и отсчитывается по часовой стрелке.

Типы углов

Смежные углы — острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых и не имеют общих сторон. Два вертикальных угла равны.

Центральные и вписанные углы окружности.

В зависимости от величины углы разделяются на:

Невыпуклый угол

Прямой угол

Вариации и обобщения

Величиной ориентированного угла между прямыми AB и CD (обозначение: ) называбт величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB так, чтобы она стала параллельна прямой CD. При этом углы, отличающиеся на , считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD и AB не равен ориентированному углу между прямыми AB и CD (они составляют в сумме или, что по нашему соглашению то же самое, ). Ориентированные углы обладает следующими свойствами: а) ; б) ; в) точки A,B,C,D, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда .

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла: в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы, рассматривают углы, большие 360°, углы, равные 0°, и т. д. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается также на различные объекты, рассматриваемые в стереометрии (двугранный угол, многогранный угол, телесный угол).

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Углы в геометрии. Сторона угла. Прямой угол, острый угол, тупой угол, развернутый угол. Измерение углов

Угол

Что такое угол в геометрии?

Угол в геометрии: если провести из данной точки два различных луча, то получим геометрическую фигуру – угол.

Точка, из которой исходят эти лучи, называется вершиной угла, а сами лучи называют сторонами угла.

На картинке изображен угол AOB, O – вершина угла AOB, OA и OB – стороны угла AOB:

Измерения углов

Измеряются углы в градусах.

45⁰20’12»

это угол в 45 градусов, 20 минут, 12 секунд.

Развернутый угол

Развернутый угол – это угол, обе стороны которого лежат на одной прямой. Величина развернутого угла 180⁰:

Прямой угол

Прямой угол – это угол величиной в 90⁰:

Острый угол

Острый угол – это угол величиной менее 90⁰:

Тупой угол

Тупой угол – это угол величиной более 90⁰, но менее 180⁰:

Смежные углы

Смежные углы – это углы, у которых одна сторона общая. а две другие лежат на одной прямой:

На картинке углы AOB и BOC являются смежными.

Сумма смежных углов равна 180⁰, это свойство смежных углов.

Вертикальные углы

Вертикальные углы – это углы, у которых стороны являются продолжениями друг друга:

На картинке имеются две пары вертикальных углов: первая пара – углы AOB и DOC являются вертикальными, вторая пара – углы AOD и BOC являются вертикальными.

Вертикальные углы равны между собой.

В нашем примере вертикальные углы AOB и DOC равны между собой, и вертикальные углы AOD и BOC равны между собой.

www.sbp-program.ru

Внеклассный урок — Углы

Углы

Основные понятия.

Угол – это фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Вершина угла – это точка, из которой выходят два луча, образующих этот угол.

Биссектриса – это луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам.

Развернутый угол – это угол, стороны которого лежат на одной плоскости; равен 180˚ и является прямой.

Прямой угол – это угол, равный половине развернутого угла; равен 90˚.

Острый угол – это угол, который меньше прямого.

Тупой угол – это угол, который больше прямого, но меньше развернутого.

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом.

Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.

Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами.

Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера равна 360^º – α, где α – градусная мера дополнительного плоского угла.

Равные углы.

Это углы, которые совпадают при наложении.

Смежные углы.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

 На рисунке углы (ad) и (cd) смежные. У них сторона d общая, а стороны a и c – дополнительные полупрямые. 

Теорема:
Сумма смежных углов равна 180^º.

Из теоремы следует:
— если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
— если угол не развернутый, то его градусная мера меньше 180^º.
— угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Вертикальные углы.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. Они созданы пересечением двух прямых и не являются прилегающими, имеют общую вершину и одинаковую градусную меру.

 На рисунке углы (A₁ B₁) и (A₂ B₂) вертикальные. Стороны A₂ и B₂ второго угла являются дополнительными полупрямыми сторон A₁ и B₁ первого угла.

  Центральный угол.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре (рис.1).

Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (на рис.1 дуга AB является дугой окружности).

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Угол, вписанный в окружность.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность (рис.2).

Свойства:

 Углы при пересечении двух прямых третьей.

При пересечении прямых a и b секущей c образуется восемь углов, которые на рисунке обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:
накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7. 

raal100.narod.ru

Острый угол прямоугольного треугольника равен

Для вас несколько заданий — в условии дан прямоугольный треугольник. В условии говорится о вычислении углов между высотой и биссектрисой, медианой и биссектрисой, высотой и медианой проведёнными из прямого угла.

Это группа заданий входит в состав ЕГЭ по математике. Задачи несложные, требуется знание теоремы о сумме углов треугольника, свойств равнобедренного треугольника и немного логики. Да! Есть один нюанс — задачи, в  которых говорится о медиане проведённой к гипотенузе необходимо знать одно свойство, теорию можно посмотреть здесь. Приступим!

Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого.  Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Обозначим меньший острый угол прямоугольного треугольника через x. Тогда больший острый угол данного  треугольника будет равен 4х.

По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна 90^о. Отсюда получаем уравнение  х + 4х = 90^о.

Вычисляем, получим 5х = 90^о,  х = 18^о.

Следовательно больший угол будет равен 18^о ∙ 4 = 72^о

Ответ: 72

Острый угол прямоугольного треугольника равен 32^о. Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.

Нам необходимо найти угол COD. По условию известно, что CE и AD  — это  биссектрисы (делят углы пополам). Это означает, что угол CAD равен 32^о, а угол ACO равен 45^о. По теореме о сумме углов треугольника мы можем найти угол AOC, и далее угол COD. Итак, известно, что сумма углов треугольника равна 180^о, следовательно

Углы AOC и COD  смежные, то есть их сумма равна 180^о. Таким образом, искомый угол (острый угол между данными биссектрисами) равен 61 градусу.

Ответ: 61

*Если в подобных задачах вы сразу не видите ход решения, то ищите те элементы, которые можно найти исходя из условия в первую очередь. А далее уже используйте найденные значения.

Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

В условии нам не даны ни какие величины, кроме того, что угол С прямой. Это говорит  о том, что их необходимо ввести, то есть в данном случае мы можем обозначить угол через переменную,  а далее использовать свойства прямоугольного треугольника и теорему о сумме углов.

Обозначим угол CAD как х. Тогда угол CBA будет равен 90^о – х.

Рассмотрим треугольник AOB:

Можем найти угол AOB:

Значит острый угол между биссектрисами будет равен 45^о, так является смежным углу 135^о.

Как видите, не всегда нужны численные величины в условии. Достаточно знать свойства, включить логику и задача будет решена.

Ответ: 45

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 21^о. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах. 

Сразу отметим, что в треугольнике CDH нам известны два угла. Используя теорему о сумме углов треугольника мы можем найти угол CDH. То есть:

Теперь мы можем найти угол В в треугольнике CDВ. Так как CD биссектриса, то угол BCD равен 45^о, угол CDB мы нашли.

Значит угол В равен 180^о–45^о–69^о=66^о. По свойству прямоугольного треугольника: сумма острых углов в нём равна 90 градусов.

Следовательно  другой острый угол будет равен 24^о.

Ответ: 24

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14^о. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах. 

Нам дан угол MCD равный 14^о. Так же нам известен угол DCB, он равен 45^о, так как CD биссектриса. Можем найти угол MCB: 14^о + 45^о = 59^о.

Как уже сказано, медиана в прямоугольном треугольнике проведённая из прямого угла к гипотенузе равна её половине. То есть, она разбивает прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника, в данном случае AMC и BMC. Известно, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть угол MBC равен углу BCM. Таким образом,

То есть, меньший угол равен 31^о.

Ответ: 31

Один острый угол прямоугольного треугольника на 32^о  больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В треугольнике АВС угол С равен 90^о, СН  — высота, угол А равен 34^о. Найдите угол ВСН. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В треугольнике ABC CD  — медиана, угол ACB равен 90^о, угол В равен 58^о. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Острые углы прямоугольного треугольника равны 29^о  и 61^о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Острые углы прямоугольного треугольника равны 24^о и 66^о. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 40^о. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Острые углы прямоугольного треугольника равны 24^о и 66^о. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Какие общие рекомендации можно дать?

1. Используйте теорему о сумме углов треугольника. Это одна из основных теорем, связанных с треугольниками, её нужно всегда помнить.

2. Нужно чётко помнить, что такое медиана, биссектриса, высота (не перепутать).

3. Запомните свойство медианы  в прямоугольном треугольнике.

4. В задачах, где в условии не даны численные величины углов, обозначайте их переменной(ыми) и далее используйте известные вам свойства.

5. Если не видите каким путём строить решение, и сразу не можете увидеть логическую цепочку рассуждений, то исходя из данных в условии ищите то, что возможно найти. Получив новые величины, также смотрите, что вы можете найти при их использовании.

На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Что такое тупой угол?

Если градусная мера угла больше 90 и меньше 180 градусов, то такой угол называют тупым (рисунок 1).
Если обозначить угол , то для тупого угла запишем .

Рисунок 1
Тупой угол является большим от прямого и меньшим от развернутого.

Пример.
На рисунке 2 изображены углы. Назовите, какие из них острые и какие тупые.

Рисунок 2
Решение.
Назовем тупые углы – ZFG, LKN, NZX, CNK.
Острые углы (градусная мера меньше 90 градусов) – ABM, EOP, BEC, MOD.
Угол YCK – прямой (градусная мера равна 90 градусов, такой угол не является ни острым, ни прямым).

Пример.
Острый угол параллелограмма  равен 53 градуса. Найти тупой угол данного параллелограмма.
Решение.
Так как сумма углов параллелограмма, которые прилегают к одной стороне, равна 180 градусов, то тупой угол, который необходимо найти, будет равен:

Ответ:

Пример.
Треугольник имеет два острых и один тупой угол. Острые углы равны 28 и 34 градуса. Найти тупой угол.
Решение. Обозначим искомый тупой угол – х. По теореме о сумме углов треугольника известно, что:

Найдем неизвестное:

Ответ. Тупой угол треугольника равен .

ru.solverbook.com

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 34градуса.Найти второй острый угол треугольника

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам. Если треугольник прямоугольный, значит один из его углов равен 90 градусам. Второй угол — по условию задачи — 34 градуса. Соответственно, третий угол равен 180-90-34 =56 градусов

56 градусов, соответствено. Не то нажал сначала:)

Ну ты дашь…. На такой вопрос и отвечать стыдно

так как в треугольнике 180 градусов, а прямой это 90 гр, то получаем: 180-(90+34)=??

Сумма всех углов равна 180. Значит 56

геометрия 5-6 класс

Танюшка задала вопрос-шутку, а все начали считать!

touch.otvet.mail.ru

Полином Лежандра — это… Что такое Полином Лежандра?



Полином Лежандра

Многочлены Лежандра — определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

часто записываемой в виде

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

которую также можно представить в виде

При m = 0 функция совпадает с P_n.

Примеры

Первые четыре многочлена Лежандра равны:

1. P₀(x) = 1
2. P₁(x) = x

Свойства

• При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в L₂( − 1,1).
• В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра P_n,m(x)) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах r,θ,φ) вида

  и   ,

где  — присоединённые многочлены Лежандра. Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в (при n < 0 — всюду, кроме нуля) и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

• В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5

Wikimedia Foundation. 2010.

• Полином Лагранжа
• Полином Чебышева

Смотреть что такое «Полином Лежандра» в других словарях:

• полином Лежандра — Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Legendre polynomial vok. Legendresches Polynom, n rus. многочлен Лежандра, m; полином Лежандра, m pranc. polynôme de Legendre, m …   Fizikos terminų žodynas

• присоединённый полином Лежандра — prijungtinis Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. associated Legendre polynomial vok. Legendresches zugeordnetes Polynom, n; zugeordnetes Legendresches Polynom, n rus. присоединённый многочлен Лежандра, m;… …   Fizikos terminų žodynas

• Многочлены Лежандра — Многочлен Лежандра  многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов… …   Википедия

• многочлен Лежандра — Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Legendre polynomial vok. Legendresches Polynom, n rus. многочлен Лежандра, m; полином Лежандра, m pranc. polynôme de Legendre, m …   Fizikos terminų žodynas

• присоединённый многочлен Лежандра — prijungtinis Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. associated Legendre polynomial vok. Legendresches zugeordnetes Polynom, n; zugeordnetes Legendresches Polynom, n rus. присоединённый многочлен Лежандра, m;… …   Fizikos terminų žodynas

• РАССЕЯНИЕ МИКРОЧАСТИЦ — процесс столкновения ч ц, в результате к рого меняются импульсы ч ц (у п р у г о е р а с с е я н и е) или наряду с изменением импульсов меняются также внутр. состояния ч ц (к в а з и у п р у г и е п р о ц е с с ы) либо образуются др. ч цы (н е у… …   Физическая энциклопедия

• СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — (сферические гармоники) спец. функции, возникающие, напр., при отыскании ограниченных решений ур ния Лапласа Du = 0 в сферич. координатах (r, q, j) методом разделения переменных. Введены в кон. 18 в. А. Лежандром и П. Лапласом. Полагая и = и(r,q …   Физическая энциклопедия

• Юпитер — У этого термина существуют и другие значения, см. Юпитер (значения). Юпитер …   Википедия

• Гипергеометрическая функция — (функция Гаусса) определяется внутри круга как сумма гипергеометрического ряда а при   как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого… …   Википедия

• Legendre polynomial — Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Legendre polynomial vok. Legendresches Polynom, n rus. многочлен Лежандра, m; полином Лежандра, m pranc. polynôme de Legendre, m …   Fizikos terminų žodynas

dic.academic.ru

Многочлены Лежандра — это… Что такое Многочлены Лежандра?

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(УравнПолЛеж)

где  — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени можно представить через формулу Родрига в виде^[1]

Часто вместо записывают косинус полярного угла:

Уравнение (УравнПолЛеж) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

(УравнЛеж)

где ,  — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при (в частности, при действительных ) или когда действительная часть числа больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или шаровыми функциями. Подстановка вида в (УравнЛеж) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области принимает вид

где F — гипергеометрическая функция. Подстановка в (УравнЛеж) приводит к решению вида

определённым на . Функции и называют функциями Лежандра первого и второго рода.^[2]

Справедливы соотношения^[3]

и

Формулы с

• Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:

, если ;

, если .

Рекуррентная формула

Формулы с разложениями

• Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

для ± :

и для ± :

Следовательно,

Присоединённые многочлены Лежандра

• Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При функция совпадает с .

Матрица функции многочлена Лежандра

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны , где .

Примеры

Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

Поскольку , то

Свойства

Что также можно записать как:

где  — символ Кронекера.

• Для , норма равна:

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой следующим соотношением:

•  — четная функция;
•  — нечетная функция.

Ряды многочленов Лежандра

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция является функцией со свойством:

, где .

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

1. , где

Липшецевую функцию можно записать следующим образом:

Разложение голоморфной функции

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

Теорема сложения

Для величин, удовлетворяющих условиям , , , — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:^[4]

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как^[5]

при условиях , , ,

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах ) вида (с точностью до константы)

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра;

а точнее вида , где  — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в .

Примечания

1. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1039
2. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 126—127
3. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 140
4. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1027
5. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1028

Литература

• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
• Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
• Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.

dic.academic.ru

Присоединённые многочлены Лежандра — это… Что такое Присоединённые многочлены Лежандра?



Присоединённые многочлены Лежандра

Многочлены Лежандра — определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

часто записываемой в виде

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

которую также можно представить в виде

При m = 0 функция совпадает с P_n.

Примеры

Первые четыре многочлена Лежандра равны:

1. P₀(x) = 1
2. P₁(x) = x

Свойства

• При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в L₂( − 1,1).
• В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра P_n,m(x)) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах r,θ,φ) вида

  и   ,

где  — присоединённые многочлены Лежандра. Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в (при n < 0 — всюду, кроме нуля) и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

• В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5

Wikimedia Foundation. 2010.

• Присоединённое представление лиевой алгебры
• Присосконоги

Смотреть что такое «Присоединённые многочлены Лежандра» в других словарях:

• Многочлены Лежандра — Многочлен Лежандра  многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов… …   Википедия

• Многочлен Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

• Полином Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

• Полиномы Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

• Функция Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

• C++ Technical Report 1 — (TR1) является общим названием для стандарта ISO / IEC TR 19768, библиотеки расширений C++  это документ с предложением дополнений в стандарт библиотеки С++. Дополнения включают регулярные выражения, умные указатели, хэш таблицы, и… …   Википедия

• Сферические функции — представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями …   Википедия

dic.academic.ru

Реферат Многочлены Лежандра

скачать

Реферат на тему:

План:

Введение

• 1 Определение
  • 1.1 Формула Родрига
  • 1.2 Формулы с Σ
  • 1.3 Рекуррентная формула
  • 1.4 Формулы с разложениями
  • 1.5 Присоединённые многочлены Лежандра
• 2 Матрица функции многочлена Лежандра
• 3 Примеры
• 4 Свойства
• 5 Ряды многочленов Лежандра
  • 5.1 Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра
  • 5.2 Разложение голоморфной функции
• 6 Функции Лежандра
Литература

Введение

Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

1. Определение

1.1. Формула Родрига

• Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

часто записываемой в виде:

1.2. Формулы с Σ

• Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:

, если ;

, если .

1.3. Рекуррентная формула

• Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:

1.4. Формулы с разложениями

• Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

для ± :

и для ± :

Следовательно,

1.5. Присоединённые многочлены Лежандра

• Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При m = 0 функция совпадает с P_n.

2. Матрица функции многочлена Лежандра

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны k(k + 1), где .

3. Примеры

Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

Поскольку P_n(1) = 1,

4. Свойства

• Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

Что также можно записать как:

• Производящая функция для многочленов Лежандра равна:

• Условие ортогональности этих полиномов на отрезке :

где δ_kl — символ Кронекера.

• Для , норма P_n равна:

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой P_n следующим соотношением:

• При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в .
• В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

•  — четная функция;
•  — нечетная функция.

5. Ряды многочленов Лежандра

5.1. Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция f является функцией со свойством:

, где L > 0.

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

1. , где

Липшецевую функцию f можно записать следующим образом:

5.2. Разложение голоморфной функции

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами -1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

6. Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах ) вида

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра.

Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
• Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
• Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.

wreferat.baza-referat.ru

1.4. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма

Докажем что полиномам Лежандра различных порядков ортогональны на отрезке . Согласно общей теореме присоединенные функцииобразуют ортогональную систему. Вычислим нормуприсоединенных функций. Попутно будет доказана их ортогональность.

, (1)

, (2)

где ,.Домножим (1) на(x), а (2) на (x), а затем вычтем (1) из (2):

,

, (3)

Доказать ортогональность если . Если , то полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой:

. (4)

1.5. Норма полиномов Лежандра

Вычислим норму полиномов Лежандра

(5)

Применим рекуррентную формулу (11) (§1.1) дважды: сначала выразим из нее (предварительно заменив в (11) n+1 на n) черези, а затемчерези. Учитывая ортогональность полиномов,,, получим:

(6)

Рекуррентная формула для нормы:

(7)

Полиномы Лежандра образуют замкнутую систему функций. Поэтому произвольная функция может быть разложена в ряд

,

который домножим наи проинтегрируем:

.

Система ортогональных функций называют замкнутой если не существует непрерывных функции тождественно равных 0 и ортогональных ко всем функциям системы.

Система ортогональных функций называется полной в (a,b) если любую непрерывную функцию можно аппроксимировать с любой степенью точности при помощи линейной комбинации .

Замкнутость есть условие полноты, а полнота есть следствие замкнутости.

Упражнения

1. Получить полиномы Лежандра, используя производящую функцию, для n=0,1,2.

2. Получить полиномы Лежандра, используя формулу Родрига, для n=0,1,2,3,4,5.

3. Получить полиномы Лежандра, используя рекуррентную формулу для коэффициентов, для n=0,1,2,3,4,5,6.

Ответ:

4. Построить и исследовать (найти точки перегибов, максимумов и минимумов) полиномов Лежандра для n=0,1,2,3,4,5.

5. Получить присоединенные функции Лежандра для n, m=0,1,2,3,4. Выразить данные функции через тригонометрические функции.

6. Получить сферические функции для l=0,1,2.

7. Показать, что сферические функции ортонормированны. Ограничиться l=0,1.

8. Выполнить визуализацию сферических функций.

Ответ:

§2 Присоединенные функции Лежандра

2.1. Присоединенные функции

Рассмотрим следующую задачу:

Найдем собственные значения и собственные функции следующего уравнения

(1)

-1<x<1 при условии ограниченности

(2)

Будем искать решение в виде:

(3)

Подставим (3) в (1), найдем

,

,

. (4)

Это же уравнение получается для производной решения уравнения Лежандра (17) из §1, если продифференцироватьm раз.

, (4а)

,

Продифференцируем соотношение (4) n раз, тогда получим

,

,(5)

. (6)

Нетривиальное и ограниченное решение решении уравнения Лежандра существует при , гдеm>0. Решение Соотношение (6) является решением уравнения (3)

,

есть собственная функция исходной задачи (1) для собственных значений ,где m-целые числа (7). — присоединенная функция Лежандра

,

Если n=0, то

при .

2.2. Норма присоединенной функции

Согласно общей теоремы присоединенные функции образуют ортогональную систему. Вычислим норму и докажем ортогональность

(8)

Уменьшим n на 1:

(9)

, (10)

Введем обозначение:

Подстановка обращается в нуль, а интеграл в силу (8) и (7) преобразуется к виду

,

, (11)

, (12)

Нетрудно показать, что

,

.

studfiles.net

Многочлены Лежандра — Википедия

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке в пространстве . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода[править]

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(УравнПолЛеж)

где  — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени можно представить через формулу Родрига в виде^[1]

Часто вместо записывают косинус полярного угла:

Уравнение (УравнПолЛеж) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

(УравнЛеж)

где ,  — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при (в частности, при действительных ) или когда действительная часть числа больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или шаровыми функциями. Подстановка вида в (УравнЛеж) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области принимает вид

где F — гипергеометрическая функция. Подстановка в (УравнЛеж) приводит к решению вида

определённым на . Функции и называют функциями Лежандра первого и второго рода.^[2]

Справедливы соотношения^[3]

и

Выражение через суммы[править]

• Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:

, если ;

, если .

Рекуррентная формула[править]

(РекуррЛеж)

причем первые две функции имеют вид

Производная полинома Лежандра[править]

• Вычисляется по формуле^[5]:

(ПроизвЛеж)

Корни полинома Лежандра[править]

• Вычисляются итеративно по методу Ньютона^[5]:

,

причем, начальное приближение для i-го корня (i = 1, 2, …, n) берется по формуле^[5]

Значение полинома можно вычислять используя рекуррентную формулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной.

Формулы с разложениями[править]

• Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

для ± :

и для ± :

Следовательно,

Присоединённые многочлены Лежандра[править]

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При функция совпадает с .

Нормировка по правилу Шмидта[править]

Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом^[6]:

Сдвинутые многочлены Лежандра[править]

Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как , где сдвигающая функция (это аффинное преобразование) — выбрана так чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов на интервал в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены :

Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как:

Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является:

Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:

Матрица функции многочлена Лежандра[править]

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны , где .

Первые многочлены Лежандра равны:

Поскольку , то

При уравнение принимает вид

где  — символ Кронекера.

• Для , норма равна:

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой следующим соотношением:

•  — четная функция;
•  — нечетная функция.

Ряды многочленов Лежандра[править]

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра[править]

Липшицевая функция является функцией со свойством:

, где .

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

1. , где

Липшецевую функцию можно записать следующим образом:

Разложение голоморфной функции[править]

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

Теорема сложения[править]

Для величин, удовлетворяющих условиям , , ,  — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:^[7]

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как^[8]

при условиях , , ,

Функции Лежандра[править]

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах ) вида (с точностью до константы)

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра;

а точнее вида , где  — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в .

1. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1039
2. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 126—127
3. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 140
4. ↑ Цимринг, 1988, с. 196
5. ↑ ^5,05,15,2 Цимринг, 1988, с. 197
6. ↑ John W. Eaton, David Bateman, Søren Hauberg, Rik Wehbring. GNU Octave. — 2011. — С. 455-456.
7. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1027
8. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1028

• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
• Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
• Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.
• Цимринг Ш.Е. Специальные функции и определенные интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1988.

wp.wiki-wiki.ru

Реферат Полином Лежандра

скачать

Реферат на тему:

План:

Введение

• 1 Определение
  • 1.1 Формула Родрига
  • 1.2 Формулы с Σ
  • 1.3 Рекуррентная формула
  • 1.4 Формулы с разложениями
  • 1.5 Присоединённые многочлены Лежандра
• 2 Матрица функции многочлена Лежандра
• 3 Примеры
• 4 Свойства
• 5 Ряды многочленов Лежандра
  • 5.1 Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра
  • 5.2 Разложение голоморфной функции
• 6 Функции Лежандра
Литература

Введение

Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

1. Определение

1.1. Формула Родрига

• Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

часто записываемой в виде:

1.2. Формулы с Σ

• Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:

, если ;

, если .

1.3. Рекуррентная формула

• Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:

1.4. Формулы с разложениями

• Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

для ± :

и для ± :

Следовательно,

1.5. Присоединённые многочлены Лежандра

• Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При m = 0 функция совпадает с P_n.

2. Матрица функции многочлена Лежандра

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны k(k + 1), где .

3. Примеры

Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

Поскольку P_n(1) = 1,

4. Свойства

• Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

Что также можно записать как:

• Производящая функция для многочленов Лежандра равна:

• Условие ортогональности этих полиномов на отрезке :

где δ_kl — символ Кронекера.

• Для , норма P_n равна:

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой P_n следующим соотношением:

• При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в .
• В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

•  — четная функция;
•  — нечетная функция.

5. Ряды многочленов Лежандра

5.1. Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция f является функцией со свойством:

, где L > 0.

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

1. , где

Липшецевую функцию f можно записать следующим образом:

5.2. Разложение голоморфной функции

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами -1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

6. Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах ) вида

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра.

Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
• Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
• Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.

wreferat.baza-referat.ru

Квадратный корень из 2 — это… Что такое Квадратный корень из 2?

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: Приведём значение корня из 2 с 65 знаками после запятой:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История

Вавилонская глиняная табличка с примечаниями.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта.

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

• 3/2 = 1.5
• 17/12 = 1.416…
• 577/408 = 1.414215…
• 665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137,438,953,444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Шигеру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор 3.6 GHz с 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только было вычислено более точно.

Свойства квадратного корня из двух

Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора,образующего угол 45° с координатными осями:

Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:

.Потому что

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство √2:

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

и

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения π:

С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида , где — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пусть , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь , то последующая имеет вид . Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух является пропорцией формата бумаги ISO 216. Соотношение сторон таково, что при разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции.

См. также

dic.academic.ru

Квадратный корень из 3 — это… Что такое Квадратный корень из 3?

Квадратный корень из числа 3 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 3.

Его приблизительным значением с 69 цифрами после запятой является:

Округленное значение 1.732 является правильным с точностью до 0,01 %. Приблизительной правильной дробью является (1,7321 42857…).

Квадратный корень из 3 является иррациональным числом. Также известен как Феодоровская постоянная, названная в честь Феодора Киренского.

Может быть выражен в виде непрерывной дроби [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, …].

Геометрия

Квадратный корень из 3 равен длине между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.

Если равносторонний треугольник со сторонами длиной 1 делится на две равные половины, пересечением внутреннего угла для составления прямого угла с одной стороной, то получившийся прямоугольный треугольник имеет гипотенузу со стороной 1 и катеты длиной 1/2 и Поэтому тангенс 60° равен

Так же, это расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.

является длиной диагонали куба со стороной 1.

Использование в других областях

Энергетика

При трехфазной системе токов модуль напряжения между двумя фазами (линейное напряжение) в больше модуля фазного напряжения

См. также

Ссылки

veter.academic.ru

Квадратный корень из 2 — Википедия

1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472

---

Первые 1000 знаков значения √2^[1]. Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: 2.{\displaystyle {\sqrt {2}}.}

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} является дробь 9970{\displaystyle {\tfrac {99}{70}}}. Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История

Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

1+2460+51602+10603=1.41421296¯.{\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}.}

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

1+13+13⋅4−13⋅4⋅34=577408≈1.414215686.{\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686.}

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел^{[источник не указан 1850 дней]}.

Видео по теме

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

an+1=an+2an2=an2+1an.{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Несколько первых приближений, начиная с a0=1{\displaystyle a_{0}=1}:

• 3/2 = 1,5
• 17/12 = 1,416…
• 577/408 = 1,414215…
• 665857/470832 = 1,4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ.

Мнемоническое правило

Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре): «И плод у меня, но у них много корней».

Свойства квадратного корня из двух

Половина 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

22=12=12=cos⁡(45∘)=sin⁡(45∘).{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos(45^{\circ })=\sin(45^{\circ }).}

Одно из интересных свойств 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} состоит в следующем:

 12−1=2+1{\displaystyle \ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1}. Потому что (2+1)(2−1)=2−1=1.{\displaystyle ({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {2}}-1)=2-1=1.}

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}:

2+2+2+⋯=2.{\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=2.}

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i, используя только квадратные корни и арифметические операции:

i+iii{\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}} и −i−i−i−i.{\displaystyle {\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.}

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

222 ⋅⋅⋅=2{\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\ \cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=2}

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения π{\displaystyle \pi }:

2m2−2+2+⋯+2→π as m→∞{\displaystyle 2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}\to \pi {\text{ as }}m\to \infty }

С точки зрения высшей алгебры, 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} является корнем многочлена x2−2{\displaystyle x^{2}-2} и поэтому является целым алгебраическим числом^[2]. Множество чисел вида a+b2{\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}, где a,b{\displaystyle a,b} — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается Q[2]{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]} и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален, то есть представляется в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} — целые числа.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

2=mn⇒2=m2n2⇒m2=2n2{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}}.

Так как разложение m² на простые множители содержит 2 в четной степени, а 2n² — в нечетной, равенство m²=2n² невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

 2=1+12+12+12+12+⋱.{\displaystyle \ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}.}

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, то последующая имеет вид m+2nm+n{\displaystyle {\frac {m+2n}{m+n}}}. Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

32; 75; 1712; 4129; 9970; 239169; 577408; 1393985; 33632378…{\displaystyle {\frac {3}{2}};\ {\frac {7}{5}};\ {\frac {17}{12}};\ {\frac {41}{29}};\ {\frac {99}{70}};\ {\frac {239}{169}};\ {\frac {577}{408}};\ {\frac {1393}{985}};\ {\frac {3363}{2378}}\dots }

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216. Соотношение сторон равно 1:2{\displaystyle 1:{\sqrt {2}}}. При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,…

См. также

Примечания

Литература

• Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.

Ссылки

wiki2.red

Квадратный корень из 2 — Википедия

1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472

---

Первые 1000 знаков значения √2^[1]. Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение:

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел^{[источник не указан 1708 дней]}.

Алгоритмы вычисления[править]

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

• 3/2 = 1.5
• 17/12 = 1.416…
• 577/408 = 1.414215…
• 665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только было вычислено более точно.

Мнемоническое правило[править]

Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре): «И плод у меня, но у них много корней»

Свойства квадратного корня из двух[править]

Половина приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

Одно из интересных свойств состоит в следующем:

. Потому что

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство :

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

и

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения :

С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом^[2]. Множество чисел вида , где  — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности[править]

Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде дроби , где и  — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Так как разложение m² на простые множители содержит 2 в четной степени, а 2n² — в нечетной, равенство m²=2n² невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и  — иррациональное число.

Непрерывная дробь[править]

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь , то последующая имеет вид . Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Квадратный корень из двух используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216. Соотношение сторон равно . При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне, получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,…

• Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.

wp.wiki-wiki.ru

Квадратный корень из 2 Вики

1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472

---

Первые 1000 знаков значения √2^[1]. Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: 2.{\displaystyle {\sqrt {2}}.}

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} является дробь 9970{\displaystyle {\tfrac {99}{70}}}. Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История[ | код]

Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800–1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

1+2460+51602+10603=1.41421(296).{\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421(296).}

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

1+13+13⋅4−13⋅4⋅34=577408≈1.414215686.{\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686.}

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел^{[источник не указан 2064 дня]}.

Алгоритмы вычисления[ | код]

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

an+1=an+2an2=an2+1an.{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше n{\displaystyle n}), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Несколько первых приближений, начиная с a0=1{\displaystyle a_{0}=1}:

• 32=1,5{\displaystyle {\frac {3}{2}}={\color {Green}1}{,}5}
• 1712=1,416…{\displaystyle {\frac {17}{12}}={\color {Green}1{,}41}6\ldots }
• 577408=1,414215…{\displaystyle {\frac {577}{408}}={\color {Green}1{,}41421}5\ldots }
• 665857470832=1,4142135623746…{\displaystyle {\frac {665857}{470832}}={\color {Green}1{,}41421356237}46\ldots }

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ.

Мнемоническое правило[ | код]

Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре): «И плод у меня, но у них много корней».

Свойства квадратного корня из двух[ | код]

Половина 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

22=12=12=cos⁡45∘=sin⁡45∘.{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.}

Одно из интересных свойств 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} состоит в следующем:

 12−1=2+1{\displaystyle \ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1}. Потому что (2+1)(2−1)=2−1=1.{\displaystyle ({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {2}}-1)=2-1=1.}

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}:

2+2+2+⋯=2.{\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=2.}

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i, используя только квадратные корни и арифметические операции:

i+iii{\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}} и −i−i−i−i.{\displaystyle {\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.}

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

222 ⋅⋅⋅=2{\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\ \cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=2}

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения π{\displaystyle \pi }:

2m2−2+2+⋯+2→π{\displaystyle 2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}\to \pi \quad }при m→∞.{\displaystyle m\to \infty .}

С точки зрения высшей алгебры, 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} является корнем многочлена x2−2{\displaystyle x^{2}-2} и поэтому является целым алгебраическим числом^[2]. Множество чисел вида a+b2{\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}, где a,b{\displaystyle a,b} — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается Q[2]{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]} и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности[ | код]

Применим доказательство от противного: допустим, 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален, то есть представляется в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} — целые числа.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

2=mn⇒2=m2n2⇒m2=2n2{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}}.

Так как разложение m2{\displaystyle m^{2}} на простые множители содержит 2{\displaystyle 2} в чётной степени, а 2n2{\displaystyle 2n^{2}} — в нечётной, равенство m2=2n2{\displaystyle m^{2}=2n^{2}} невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} — иррациональное число.

Непрерывная дробь[ | код]

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

 2=1+12+12+12+12+⋱.{\displaystyle \ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}.}

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, то последующая имеет вид m+2nm+n{\displaystyle {\frac {m+2n}{m+n}}}. Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

32; 75; 1712; 4129; 9970; 239169; 577408; 1393985; 33632378…{\displaystyle {\frac {3}{2}};\ {\frac {7}{5}};\ {\frac {17}{12}};\ {\frac {41}{29}};\ {\frac {99}{70}};\ {\frac {239}{169}};\ {\frac {577}{408}};\ {\frac {1393}{985}};\ {\frac {3363}{2378}}\dots }

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги[ | код]

Квадратный корень из двух используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216. Соотношение сторон равно 1:2{\displaystyle 1:{\sqrt {2}}}. При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,…

См. также[ | код]

Примечания[ | код]

Литература[ | код]

• Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.

Ссылки[ | код]

ru.wikibedia.ru

Квадратный корень из 2 Википедия

1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472

---

Первые 1000 знаков значения √2^[1]. Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: 2.{\displaystyle {\sqrt {2}}.}

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} является дробь 9970{\displaystyle {\tfrac {99}{70}}}. Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История

Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800–1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

1+2460+51602+10603=1.41421(296).{\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421(296).}

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

1+13+13⋅4−13⋅4⋅34=577408≈1.414215686.{\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686.}

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел^{[источник не указан 2064 дня]}.

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

an+1=an+2an2=an2+1an.{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше n{\displaystyle n}), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Несколько первых приближений, начиная с a0=1{\displaystyle a_{0}=1}:

• 32=1,5{\displaystyle {\frac {3}{2}}={\color {Green}1}{,}5}
• 1712=1,416…{\displaystyle {\frac {17}{12}}={\color {Green}1{,}41}6\ldots }
• 577408=1,414215…{\displaystyle {\frac {577}{408}}={\color {Green}1{,}41421}5\ldots }
• 665857470832=1,4142135623746…{\displaystyle {\frac {665857}{470832}}={\color {Green}1{,}41421356237}46\ldots }

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ.

Мнемоническое правило

Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре): «И плод у меня, но у них много корней».

Свойства квадратного корня из двух

Половина 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

22=12=12=cos⁡45∘=sin⁡45∘.{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.}

Одно из интересных свойств 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} состоит в следующем:

 12−1=2+1{\displaystyle \ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1}. Потому что (2+1)(2−1)=2−1=1.{\displaystyle ({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {2}}-1)=2-1=1.}

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}:

2+2+2+⋯=2.{\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=2.}

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i, используя только квадратные корни и арифметические операции:

i+iii{\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}} и −i−i−i−i.{\displaystyle {\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.}

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

222 ⋅⋅⋅=2{\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\ \cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=2}

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения π{\displaystyle \pi }:

2m2−2+2+⋯+2→π{\displaystyle 2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}\to \pi \quad }при m→∞.{\displaystyle m\to \infty .}

С точки зрения высшей алгебры, 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} является корнем многочлена x2−2{\displaystyle x^{2}-2} и поэтому является целым алгебраическим числом^[2]. Множество чисел вида a+b2{\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}, где a,b{\displaystyle a,b} — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается Q[2]{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]} и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален, то есть представляется в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} — целые числа.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

2=mn⇒2=m2n2⇒m2=2n2{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}}.

Так как разложение m2{\displaystyle m^{2}} на простые множители содержит 2{\displaystyle 2} в чётной степени, а 2n2{\displaystyle 2n^{2}} — в нечётной, равенство m2=2n2{\displaystyle m^{2}=2n^{2}} невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

 2=1+12+12+12+12+⋱.{\displaystyle \ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}.}

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, то последующая имеет вид m+2nm+n{\displaystyle {\frac {m+2n}{m+n}}}. Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

32; 75; 1712; 4129; 9970; 239169; 577408; 1393985; 33632378…{\displaystyle {\frac {3}{2}};\ {\frac {7}{5}};\ {\frac {17}{12}};\ {\frac {41}{29}};\ {\frac {99}{70}};\ {\frac {239}{169}};\ {\frac {577}{408}};\ {\frac {1393}{985}};\ {\frac {3363}{2378}}\dots }

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216. Соотношение сторон равно 1:2{\displaystyle 1:{\sqrt {2}}}. При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,…

См. также

Примечания

Литература

• Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.

Ссылки

wikiredia.ru

Квадратный корень из 2 — Википедия. Что такое Квадратный корень из 2

1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472

---

Первые 1000 знаков значения √2^[1]. Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: 2.{\displaystyle {\sqrt {2}}.}

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} является дробь 9970{\displaystyle {\tfrac {99}{70}}}. Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История

Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

1+2460+51602+10603=1.41421296¯.{\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}.}

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

1+13+13⋅4−13⋅4⋅34=577408≈1.414215686.{\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686.}

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел^{[источник не указан 1868 дней]}.

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

an+1=an+2an2=an2+1an.{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Несколько первых приближений, начиная с a0=1{\displaystyle a_{0}=1}:

• 3/2 = 1,5
• 17/12 = 1,416…
• 577/408 = 1,414215…
• 665857/470832 = 1,4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ.

Мнемоническое правило

Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре): «И плод у меня, но у них много корней».

Свойства квадратного корня из двух

Половина 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

22=12=12=cos⁡(45∘)=sin⁡(45∘).{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos(45^{\circ })=\sin(45^{\circ }).}

Одно из интересных свойств 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} состоит в следующем:

 12−1=2+1{\displaystyle \ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1}. Потому что (2+1)(2−1)=2−1=1.{\displaystyle ({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {2}}-1)=2-1=1.}

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}:

2+2+2+⋯=2.{\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=2.}

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i, используя только квадратные корни и арифметические операции:

i+iii{\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}} и −i−i−i−i.{\displaystyle {\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.}

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

222 ⋅⋅⋅=2{\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\ \cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=2}

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения π{\displaystyle \pi }:

2m2−2+2+⋯+2→π as m→∞{\displaystyle 2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}\to \pi {\text{ as }}m\to \infty }

С точки зрения высшей алгебры, 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} является корнем многочлена x2−2{\displaystyle x^{2}-2} и поэтому является целым алгебраическим числом^[2]. Множество чисел вида a+b2{\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}, где a,b{\displaystyle a,b} — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается Q[2]{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]} и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален, то есть представляется в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} — целые числа.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

2=mn⇒2=m2n2⇒m2=2n2{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}}.

Так как разложение m² на простые множители содержит 2 в четной степени, а 2n² — в нечетной, равенство m²=2n² невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

 2=1+12+12+12+12+⋱.{\displaystyle \ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}.}

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, то последующая имеет вид m+2nm+n{\displaystyle {\frac {m+2n}{m+n}}}. Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

32; 75; 1712; 4129; 9970; 239169; 577408; 1393985; 33632378…{\displaystyle {\frac {3}{2}};\ {\frac {7}{5}};\ {\frac {17}{12}};\ {\frac {41}{29}};\ {\frac {99}{70}};\ {\frac {239}{169}};\ {\frac {577}{408}};\ {\frac {1393}{985}};\ {\frac {3363}{2378}}\dots }

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216. Соотношение сторон равно 1:2{\displaystyle 1:{\sqrt {2}}}. При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,…

См. также

Примечания

Литература

• Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.

Ссылки

wiki.sc

Примеры задач со степенями — СПИШИ У АНТОШКИ

1. Найдите такое натуральное число n такое, что 3ⁿ=729

Решение:

Возьмем число 3 и будем домножать его на 3 до тех пор, пока не получим 729: 3⋅3=9, 9⋅3=27 27⋅3=81, 81⋅3=243, 249⋅3 = 729  значит 729=3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3=3⁶⇒n=6.

онлайн калькулятор, формулы, примеры решений

Куб — это правильный шестигранник, каждая грань которого является квадратом. Кубические фигуры часто встречаются в реальной жизни, поэтому на работе или в быту вам может понадобиться вычислить объем или площадь поверхности объекта, который имеет форму кубика.

Геометрия куба

Куб или правильный гексаэдр — это частный случай шестигранной прямоугольной призмы, все грани которой представляют собой квадраты. Кроме того, куб — это и частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого длина, ширина и высота абсолютно равны. Куб — уникальная фигура, существующая в разных многомерных пространствах. К примеру, нульмерный куб — это точка, одномерный — отрезок, двухмерный — квадрат, а четырехмерный — тессеракт. В нашем родном трехмерном пространстве куб встречается повсеместно, к примеру, в форме детских кубиков, рафинированного сахара, картонных коробок, газетных киосков или предметов интерьера.

Кубы широко используются в программировании, аналитике, научных изысканиях и прочих высоких материях. Идеальная форма геометрической фигуры позволяет при помощи разномерных кубов выражать массивы данных, измерять объемы или визуализировать данные. Кубические фигуры часто встречаются в реальности и абстрактных задачах, поэтому вам может понадобиться рассчитать объем или площадь поверхности кубика для решения самых разных проблем.

Площадь поверхности куба

Площадь кубической фигуры — это сумма площадей всех граней. Каждая грань куба — это квадрат. Площадь квадрата, то есть одной грани, определяется по простой формуле как:

Sg = a²

Куб — это гексаэдр, то есть шестигранник. Таким образом, площадь поверхности кубической фигуры представляет собой сумму шести квадратов:

S = 6 Sg = 6 a²

Определить площадь куба можно не только при помощи длины его ребра: для расчета площади поверхности вы можете использовать диагональ самого куба или диагональ одной грани.

Диагональ куба — это отрезок, который находится внутри пространства куба и соединяет две противоположные вершины. Проведенная диагональ разделяет куб на два прямоугольных треугольника. Согласно теореме Пифагора квадрат ребра куба равен одной трети от квадрата диагонали D, следовательно, формула площади полной поверхности приобретает вид:

S = 2 D²

Площадь поверхности куба легко определить и с помощью диагонали одной грани. Площадь квадрата через диагональ равна:

S = 0,5 d².

Так как у куба 6 граней, общая площадь поверхности составит сумму шести граней куба, то есть:

S = 6 × 0,5 d² = 3 d²

Таким образом, чтобы определить площадь поверхности кубической фигуры вам достаточно ввести в форму-онлайн калькулятора всего один параметр на выбор:

• длину ребра;
• диагональ куба;
• диагональ квадрата.

Рассмотрим примеры использования данных формул в реальной жизни.

Примеры из жизни

Ящик

Представьте, что вы хотите соорудить из листов ДСП ящик для хранения инструментов в форме куба. Вы знаете, что он отлично впишется в пространство на чердаке высотой 50 см. Сколько же квадратных метров ДСП вам понадобится для создания такого контейнера? Зная высоту, равную a = 0,5 м вы можете легко подсчитать площадь общей поверхности куба, введя данный параметр в онлайн-калькулятор. Вы получите ответ в виде:

S = 1,5

Таким образом, вам понадобится всего 1,5 квадратных метра ДСП для создания ящика для инструментов. Зная всего один параметр, вы без труда порежете листы на грани куба и соорудите нужную конструкцию.

Контейнер

Допустим, вы хотите обработать антикоррозионным покрытием грузовые контейнеры, которые имеют кубическую форму. Для правильного расчета параметров покрытия вам необходимо знать площадь обрабатываемой поверхности. Вы знаете, что диагональ грани стандартного контейнера равняется d = 3 м. Зная этот параметр, вы легко рассчитаете площадь кубической поверхности, которая равна

S = 18

Зная общую площадь покрытия, вы без проблем определите необходимое количество антикоррозионной жидкости.

Заключение

Куб встречается в реальной жизни не так часто, как призматические фигуры или параллелепипеды, однако в любом случае вам может понадобиться удобный калькулятор, при помощи которого вы определите площадь полной поверхности кубического объекта. Наш сервис поможет решить вам бытовые, производственные или школьные задачи мгновенно и без ошибок.

bbf.ru

Немного информации о кубе и о способах того, как вычислить площадь поверхности куба :: SYL.ru

Куб — удивительная фигура. Он одинаковый со всех сторон. Любая его грань может вмиг стать основанием или боковой. И от этого ничего не изменится. А формулы для него всегда легко запоминаются. И неважно, что нужно найти — объем или площадь поверхности куба. В последнем случае даже не нужно учить что-то новое. Достаточно помнить только формулу площади квадрата.

Что такое площадь?

Эту величину принято обозначать латинской буквой S. Причем это справедливо для школьных предметов, таких как физика и математика. Измеряется она в квадратных единицах длины. Все зависит от данных в задаче величин. Это могут быть мм, см, м или км в квадрате. Причем возможны случаи, когда единицы даже не указаны. Идет речь просто о числовом выражении площади без наименования.

Так что же такое площадь? Это величина, которая является числовой характеристикой рассматриваемой фигуры или объемного тела. Она показывает размер ее поверхности, которая ограничена сторонами фигуры.

Какая фигура называется кубом?

Эта фигура является многогранником. Причем непростым. Он правильный, то есть у него все элементы равны друг другу. Будь то стороны или грани. Каждая поверхность куба представляет собой квадрат.

Другое название куба — правильный гексаэдр, если по-русски, то шестигранник. Он может быть образован из четырехугольной призмы или параллелепипеда. При соблюдении условия, когда все ребра равны и углы образуют 90 градусов.

Эта фигура настолько гармонична, что часто используется в быту. Например, первые игрушки малыша — кубики. А забава для тех, кто постарше, — кубик Рубика.

Как связан куб с другими фигурами и телами?

Если начертить сечение куба, которое проходит через три его грани, то оно будет иметь вид треугольника. По мере удаления от вершины сечение будет все больше. Настанет момент, когда пересекаться будут уже 4 грани, и фигура в сечении станет четырехугольником. Если провести сечение через центр куба так, чтобы оно было перпендикулярно его главным диагоналям, то получится правильный шестиугольник.

Внутри куба можно начертить тетраэдр (треугольную пирамиду). За вершину тетраэдра берется один из его углов. Остальные три совпадут с вершинами, которые лежат на противоположных концах ребер выбранного угла куба.

В него можно вписать октаэдр (выпуклый правильный многогранник, который похож на две соединенные пирамиды). Для этого нужно найти центры всех граней куба. Они будут вершинами октаэдра.

Возможна и обратная операция, то есть внутрь октаэдра реально вписать куб. Только теперь центры граней первого станут вершинами для второго.

Метод 1: вычисление площади куба по его ребру

Для того чтобы вычислить всю площадь поверхности куба, потребуется знание одного из его элементов. Самый простой способ решения, когда известно его ребро или, другими словами, сторона квадрата, из которого он состоит. Обычно эта величина обозначается латинской буквой «а».

Теперь нужно вспомнить формулу, по которой вычисляется площадь квадрата. Чтобы не запутаться, введено ее обозначение буквой S₁.

Для удобства лучше задать номера всем формулам. Эта будет первой.

Но это площадь только одного квадратика. Всего их шесть: 4 по бокам и 2 снизу и сверху. Тогда площадь поверхности куба вычисляется по такой формуле: S = 6 * a². Ее номер 2.

Метод 2: как вычислить площадь, если известен объем тела

Этот способ сводится к тому, чтобы сосчитать длину ребра по известному объему. И потом уже воспользоваться известной формулой, которая здесь обозначена цифрой 2.

Из математического выражения для объема гексаэдра выводится то, по которому можно сосчитать длину ребра. Вот она:

Нумерация продолжается, и здесь уже цифра 3.

Теперь его можно вычислить и подставить во вторую формулу. Если действовать по нормам математики, то нужно вывести такое выражение:

Это формула площади всей поверхности куба, которой можно воспользоваться, если известен объем. Номер этой записи 4.

Метод 3: расчет площади по диагонали куба

Для того чтобы рассчитать площадь полной поверхности куба, также потребуется вывести ребро через известную диагональ. Здесь используется формула для главной диагонали гексаэдра:

Это формула №5.

Из нее легко вывести выражение для ребра куба:

Это шестая формула. После его вычисления можно снова воспользоваться формулой под вторым номером. Но лучше записать такую:

Она оказывается пронумерованной цифрой 7. Если внимательно посмотреть, то можно заметить, что последняя формула удобнее, чем поэтапный расчет.

Метод 4: как воспользоваться радиусом вписанной или описанной окружности для вычисления площади куба

Если обозначить радиус описанной около гексаэдра окружности буквой R, то площадь поверхности куба будет легко вычислить по такой формуле:

Ее порядковый номер 8. Она легко получается благодаря тому, что диаметр окружности полностью совпадает с главной диагональю.

Обозначив радиус вписанной окружности латинской буквой r, можно получить такую формулу для площади всей поверхности гексаэдра:

Это формула №9.

Несколько слов о боковой поверхности гексаэдра

Если в задаче требуется найти площадь боковой поверхности куба, то нужно воспользоваться уже описанным выше приемом. Когда уже дано ребро тела, то просто площадь квадрата нужно умножить на 4. Эта цифра появилась из-за того, что боковых граней у куба всего 4. Математическая запись этого выражения такая:

Ее номер 10. Если даны какие-то другие величины, то поступают аналогично описанным выше методам.

Примеры задач

Условие первой. Известна площадь поверхности куба. Она равна 200 см². Необходимо вычислить главную диагональ куба.

Решение.

1 способ. Нужно воспользоваться формулой, которая обозначена цифрой 2. Из нее будет несложно вывести «а». Эта математическая запись будет выглядеть как квадратный корень из частного, равного S на 6. После подстановки чисел получается:

а = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (см).

Пятая формула позволяет сразу вычислить главную диагональ куба. Для этого нужно значение ребра умножить на √3. Это просто. В ответе получается, что диагональ равна 10 см.

2 способ. На случай если забылась формула для диагонали, но помнится теорема Пифагора.

Аналогично тому, как было в первом способе, найти ребро. Потом нужно записать теорему для гипотенузы два раза: первую для треугольника на грани, вторую для того, который содержит искомую диагональ.

х² = а² + а², где х — диагональ квадрата.

d² = х² + а² = а² + а² + а² = 3 а². Из этой записи легко видно, как получается формула для диагонали. А дальше все расчеты будут, как в первом способе. Он немножко длиннее, но позволяет не запоминать формулу, а получить ее самостоятельно.

Ответ: диагональ куба равна 10 см.

Условие второй. По известной площади поверхности, которая равна 54 см², вычислить объем куба.

Решение.

Пользуясь формулой под вторым номером, нужно узнать значение ребра куба. То, как это делается, подробно описано в первом способе решения предыдущей задачи. Проведя все вычисления, получим, что а = 3 см.

Теперь нужно воспользоваться формулой для объема куба, в которой длина ребра возводится в третью степень. Значит, объем будет считаться так: V = 3³ = 27 см³.

Ответ: объем куба равен 27 см³.

Условие третьей. Требуется найти ребро куба, для которого выполняется следующее условие. При увеличении ребра на 9 единиц площадь всей поверхности увеличивается на 594.

Решение.

Поскольку явных чисел в задаче не дано, только разности между тем, что было, и тем, что стало, то нужно ввести дополнительные обозначения. Это несложно. Пусть искомая величина будет равна «а». Тогда увеличенное ребро куба будет равно (а + 9).

Зная это, нужно записать формулу для площади поверхности куба два раза. Первая — для начального значения ребра — совпадет с той, которая пронумерована цифрой 2. Вторая будет немного отличаться. В ней вместо «а» нужно записать сумму (а + 9). Так как в задаче идет речь о разности площадей, то нужно вычесть из большей площади меньшую:

6 * (а + 9)² — 6 * а² = 594.

Нужно провести преобразования. Сначала вынести за скобку 6 в левой части равенства, а потом упростить то, что останется в скобках. А именно (а + 9)² — а². Здесь записана разность квадратов, которую можно преобразовать так: (а + 9 — а)(а + 9 + а). После упрощения выражения получается 9(2а + 9).

Теперь его нужно умножить на 6, то есть то число, что было перед скобкой, и приравнять к 594: 54(2а + 9) = 594. Это линейное уравнение с одной неизвестной. Его легко решить. Сначала нужно раскрыть скобки, а потом перенести в левую часть равенства слагаемое с неизвестной величиной, а числа — в правую. Получится уравнение: 2а = 2. Из него видно, что искомая величина равна 1.

Ответ: а = 1.

www.syl.ru

Формулы площади поверхности геометрических фигур.

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры, показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Площадь куба

Площадь поверхности куба равна квадрату длины его грани умноженному на шесть.

Формула площади куба

S

a

Площадь прямоугольного параллелепипеда

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

S

a

b

h

Площадь цилиндра

Площадь боковой поверхности круглого цилиндра равна произведению периметра его основания на высоту.

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности круглого цилиндра равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и удвоенной площади основания.

Формула для вычисления площади полной поверхности цилиндра

S

R

h

π = 3.141592

Площадь конуса

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению его радиуса и образующей умноженному на число

π

Формула площади боковой поверхности конуса:

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания конуса и площади боковой поверхности.

Формула площади полной поверхности конуса:

S

R

l

π = 3.141592

Площадь шара

Формулы площади шара

• Площадь поверхности шара равна четырем его радиусам в квадрате умноженным на число

  π

  .

• Площадь поверхности шара равна квадрату его диаметра умноженного на число

  π

  .

S

R

D

π = 3.141592

Добавить комментарий

o-math.com

периметр, площадь, содержание, объем куба (формула и онлайн-расчет)

Расчет

Введите данные в какое-либо поле, остальные параметры будут расчитаны автоматически.
Если в какой-либо области изменения данных, другие автоматически пересчитываются.
В качестве десятичной запятой можно использовать как запятую, так и точку.

Результат выводится в тех-же единицах, что и вводите данные.
Например если ввели в сантиметрах, то и результат будет в них-же.

Обнаруженны NaN, проверьте, что вы ввели в поле
корректные данные, то есть без букв и других символов.

Формулы

a … длина одной стороны

u₂ … диагоналная стороны

u₃ … пространство по диагонали

S … центр куба

o … ось

Куб и шар

Диагональный пространственное (u₃) = диаметр сферы на кубе ограниченный
Сторона куба (a) = диаметр шара вписанного в куб

Расчет куба онлайн

Расчет периферии всех ребер куба. Калькулятор для расчета общей площади или поверхности куба и передачи к содержанию или объему куба, шаблон куба. площадь или длина окружности оболочки или содержимого. Расчет объема куба онлайн. Формула для вычисления куба.

Ссылки

Как рассчитать …

Могло бы вас заинтересовать

kub.wikina.ru

Формулы площади поверхности тел

Площадь поверхности геометрической фигуры измеряется в квадратных единицах.  Очень часто используется в повседневной жизни, в строительстве, на производствах.  Например, нужно вам покрасить комнату, зная сколько краски используется на кв. метр,  и площади стен комнаты легко можно вычислить, сколько всего вам нужно купить краски.

Различают два вида площадей поверхности тел: S_бок — площадь боковой поверхности тела, и Р — площадь полной поверхности тела, которая равна сумме площадей боковой поверхности и основания тела.

Содержание статьи:

Формула площади поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру основания умноженному на высоту призмы (высота=боковому ребру).

S_бок = ph=pl

р — периметр основания;

h — высота;

l — боковое ребро.

Формула площади поверхности куба

Площадь боковой поверхности куба равна числу боковых граней умноженному на квадрат ребра.

S_бок = 4a²

Площадь полной поверхности куба равна числу всех граней куба умноженному на квадрат ребра.

P = 6a²

а — ребро куба.

Формула площади поверхности пирамиды

1) Правильная пирамида:

S_бок = 1/2pA

p — периметр основания;

A — апофема.

S_бок = S/cos φ

S — площадь основания;

φ — угол между боковой гранью и основанием пирамиды.

S_бок = S_гр n

S_гр — площадь одной боковой грани;
n — количество боковых граней пирамиды.

2) Правильная усеченная пирамида:

S_бок = 1/2(p₁ + p₂)A

p₁ ,p₂— периметры оснований;

A — апофема.

Р = S_бок + S₁ + S₂

Р — площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды;

S_бок— площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды;

S₁ + S₂ — площади оснований.

Формула площади поверхности цилиндра

S_бок = 2πrh = πdh

P = 2πr²+2πrh = 2π(r+h)

P — площадь полной поверхности цилиндра;

r — радиус цилиндра;

d — диаметр цилиндра;

h — высота цилиндра.

Формула площади поверхности конуса

1) Прямой круговой конус:

S_бок = πrl = 1/2 πdl

P = πr² + πrl= πr(r+l)

P — площадь полной поверхности конуса;

r -радиус конуса;

d -диаметр конуса;

l — образующая конуса.

2) Усеченный прямой круговой конус:

S_бок = πl(r₁ + r₂) = 1/2πl(d₁ + d₂)

P = πl(r₁ + r₂) + π(r₁ + r₂)

P — площадь полной поверхности усеченного конуса;

r₁, r₂— радиусы оснований усеченного конуса;

d₁, d₂— диаметры оснований усеченного конуса;

l — образующая усеченного конуса.

Формула площади поверхности шара (сферы)

Шар — тело, созданное вращением полукруга вокруг диаметра.

Сфера — поверхность шара.

P = 4πR² = πD²

Формула площади поверхности сферического сегмента

Сферический сегмент — часть сферы, что отсекается от сферы плоскостью.

S_{сф. сегм.} = 2πRh = π(a² + h²)

Формула площади поверхности шарового сегмента

Шаровой сегмент — часть шара, что отсекается от шара плоскостью, и ограничивается кругом (основание шарового сегмента) и сферическим сегментом.

S_{шар. сегм.} = π(2Rh+a²)=π(h²+2a²)

R — радиус шара;

D — диаметр шара;

h — высота сегмента;

a — радиус основания сегмента.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

matemonline.com

Ответы@Mail.Ru: Как найти площадь куба?

Объём на высоту и ширину

Площадь куба — это сумма площади всех шести его сторон. Вот формула: 6 x s2, где «s» это сторона куба <img data-big=»1″ data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/194147873_73de0f2c33c8c660e3c75aca1de9b587_120x120.jpg» src=»//otvet.imgsmail.ru/download/194147873_73de0f2c33c8c660e3c75aca1de9b587_800.jpg»>

У куба 8 граней. В основе каждой грани квадрат с одинаковыми сторонами. Пусть длина сторон равна а. Тогда площадь поверхности куба будет равна сумме всех площадей поверхностей. Те 8*а*а.

Куб — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра и грани куба равны. Площадь поверхности куба равна квадрату длины его грани умноженному на шесть. Формула для вычисления площади куба S = 6 a2 где S — площадь куба, a — длина грани куба.

S = 6 граней * S (одной грани) = 6 * а * а

Площадь куба — это сумма площадей его граней. Формула S = 6 * a * a Быстро вычислить можно тут — <a rel=»nofollow» href=»http://www.center-pss.ru/math/plkuba.htm» target=»_blank»>http://www.center-pss.ru/math/plkuba.htm</a>

touch.otvet.mail.ru

расчет площади по диагонали куба 🚩 Математика

27 декабря 2018

Автор КакПросто!

Кубом называют правильный многогранник, каждая грань которого является квадратом. Площадью куба называют площадь его поверхности, которая состоит из суммы площадей его граней, то есть, из суммы площадей квадратов, которые образуют куб.

Статьи по теме:

Вам понадобится

• Базовые знания стереометрии.

Инструкция

Видео по теме

Обратите внимание

Площадь грани, как и площадь поверхности куба величины всегда положительные.

Полезный совет

Эта формула подходит только для куба, так как он является правильным многогранником.

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

В сочетании с — это… Что такое В сочетании с?

dic.academic.ru

в сочетании с — это… Что такое в сочетании с?

dic.academic.ru

в сочетании с — это… Что такое в сочетании с?

additional_universal_dictionary_ru_en.academic.ru

в сочетании — это… Что такое в сочетании?

dic.academic.ru

в сочетании с — это… Что такое в сочетании с?

dic.academic.ru

в сочетании с — это… Что такое в сочетании с?

all_words.academic.ru

в сочетании — с французского на русский

translate.academic.ru