Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Как построить медиану треугольника?
Чтобы построить медиану треугольника, надо:
1) С помощью линейки найти и отметить середину стороны треугольника.
2) Соединить полученную точку с вершиной, лежащей напротив этой стороны.
Рисунок медианы треугольника:
Как построить медиану треугольника с помощью циркуля и линейки без шкалы, мы рассмотрим позже, в теме «Построить треугольник».
Сколько медиан имеет треугольник?
Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три. Значит, треугольник имеет три медианы.
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке:
Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника.
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному, считая от вершины:
Об этом свойстве медиан треугольника, а также о том, как найти длину медианы через длины сторон треугольника, более подробно мы поговорим позже и рассмотрим, как свойства медианы использовать при решении задач.
Кроме того, отдельно будут рассмотрены медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе и медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, поскольку каждая из них обладает своими свойствами, которые надо знать и уметь применять.
www.treugolniki.ru
Медиана треугольника — это… Что такое Медиана треугольника?
У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана. Треугольник и его медианы.
Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.
Свойства
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
При аффинных преобразованиях медиана переходит в медиану.
Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.
Формулы
, где mc — медиана к стороне c; a, b, c — стороны треугольника,
поэтому сумма квадратов медиан произвольного треугольника всегда в 4/3 раза меньше суммы квадратов его сторон.
Формула стороны через медианы:
, где медианы к соответствующим сторонам треугольника, — стороны треугольника.
Если две медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые они опущены, в 5 раз больше квадрата третьей стороны.
Медиана-обезьяна, у которой зоркий глаз, прыгнет точно в середину стороны против вершины, где находится сейчас.
Примечания
См. также
Ссылки
dic.academic.ru
Медиана треугольника, формулы и примеры
Определение и формулы медианы треугольника
Для медиан треугольника справедливы следующие утверждения:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Медиана разбивает треугольник на два треугольника с одинаковой площадью
Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является высотой и биссектрисой.
В равностороннем треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.
Формула для вычисления медианы
где – сторона треугольника, к которой проводится медиана, – две другие стороны рассматриваемого треугольника.
Примеры решения задач
Понравился сайт? Расскажи друзьям!
ru.solverbook.com
Все формулы медианы треугольника
Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.
Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.
M — медиана, отрезок |AO|
c — сторона на которую ложится медиана
a, b — стороны треугольника
γ — угол CAB
Формула длины медианы через три стороны, (M):
Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):
Подробности
Автор: Administrator
www-formula.ru
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Планиметрия
Определение. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).
Рис.1
Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.
На рисунке 1 медианой является отрезок BD.
Утверждение 1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника).
Доказательство. Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),
Рис.2
и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)
Поскольку отрезок BD является медианой, то
что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.
Доказательство. Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).
Рис.3
Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).
Рис.4
Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).
Рис.5
Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC. Следовательно,
Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC. Следовательно,
откуда вытекает, что стороны ED и FG четырёхугольника FEDG равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммом, а у параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополам (рис.6).
Рис.6
Таким образом,
| FO | = | OD | , | GO | = | OE | .
Следовательно,
| AF | = | FO | = | OD | , | CG | = | GO | = | OE | .
Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.
Доказательство завершено.
Следствие. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O, которая делит эту медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины A (рис.7).
Рис.7
Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.
Определение. Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.
Доказательство. Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).
Рис.9
Тогда
В силу утверждения 1,
что и требовалось доказать.
Утверждение 4. Длина медианы треугольника (рис. 10) вычисляется по формуле:
Рис.10
Доказательство. Воспользуемся теоремой косинусов, примененной к треугольникам DBC и ABD:
Складывая эти равенства, получим:
что и требовалось доказать.
Следствие. Длины медиан и длины сторон треугольника связаны формулой
Доказательство. В силу утверждения 4 справедливы равенства:
Складывая эти равенства, получим:
что и требовалось доказать.
Утверждение 5. В параллелограммепараллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.
Рис.11
Поскольку AO – медиана треугольника ABD, а DO – медиана треугольника ADC, то, в силу утверждения 4, справедливы равенства:
Следовательно,
d12 = 2a2 + 2b2 – d22,
d22 = 2a2 + 2b2 – d12.
Складывая эти равенства, получим
что и требовалось доказать.
Утверждение 6. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы (рис. 12).
Рис.12
Доказательство. Продолжим медиану CO за точку O до точки D так, чтобы было выполнено равенство CO = OD, и соединим полученную точку D с точками A и B (рис. 13).
Рис.13
Получим четырехугольник ADBC, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам. В силу признака параллелограммапризнака параллелограммапризнака параллелограмма заключаем, что четырехугольник ADBC является параллелограммом, а поскольку полученный параллелограмм содержит прямой угол C, то и все его углы прямые, следовательно, четырехугольник ADBC – прямоугольникпрямоугольник. Поскольку диагонали прямоугольника равны, получаем равенства:
что и требовалось доказать.
Следствие. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около треугольника окружности (рис. 14).
Рис.14
Утверждение 7. Рассмотрим в пространстве или на плоскости декартову систему координат с началом в точке O и произвольный треугольник ABC. Если обозначить буквой M точку пересечения медиан этого треугольника (рис.15), то будет справедливо равенство
Рис.15
Доказательство. По свойствам векторов
Далее получаем
что и требовалось доказать.
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
Запись по телефону (495) 509-28-10
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Что делает медиана в треугольнике
Доброй ночи! Вы обратились к нам с вопросом о том, что делает медиана в треугольнике. Вопрос интересно поставлен, но в нём нет ничего сложного. Давайте вспомним с Вами, что медиана — это такой отрезок, который проведён из вершины к противоположной стороне, при этом деля её на два равных отрезка. Теперь мы можем легко использовать это свойство. Как и у любой геометрической фигуры, у медианы есть свойства, среди которых мы можем выделить такие:
Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении , считая от вершин треугольника.
Три медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих (одинаковых по площади) треугольников
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
А теперь давайте попробуем разобраться с медианой, её найти в равностороннем треугольнике, то есть в таком треугольнике, у которого все стороны, также как и углы, равны. Медиана, в таком типе треугольника, проведённая к любой стороне, является также биссектрисой и высотой.
Нам важно научится выражать медиану через сторону равностороннего треугольника. И сейчас мы будем пытаться это сделать. Нам дан треугольник , в котором — медиана, которая, учитывая теоремы, будет также и высотой. То есть при её помощи образовывается два одинаковых прямоугольных треугольника: и . Рассмотрим один из них — . Для простоты исчисления давайте выполним замену: , а исходя из теорем . И теперь, при помощи теоремы Пифагора мы с Вами можем выразить неизвестную медиану:
Формула выражена, но ведь это не всё. Теперь нам остаётся подставить подставить известные значения:
Ответ: см
ru.solverbook.com
Элементы треугольника. Медиана | Подготовка к ЕГЭ по математике
Категория: ПланиметрияСправочные материалы
Елена Репина
2013-04-15
2013-07-31
Определение
Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны
Свойства
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
2. Медиана треугольника делит его на два треугольникаравной площади (равновеликих треугольника)
3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников
4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы
5. Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:
, где где — медиана к стороне ; — стороны треугольника
6. Длина стороны треугольника через медианы вычисляется по формуле:
, где – медианы к соответствующим сторонам треугольника, — стороны треугольника.
Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом.
Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и : (1.1) ; (1.2) Здесь , есть произвольные числа. Задача может быть как на нахождение максимума (max), так и на нахождение минимума (min). В системе ограничений могут присутствовать как знаки , так и знаки .
Построение области допустимых решений
Графический метод решения задачи (1) следующий. Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений (1.2) определяет полуплоскость, ограниченную соответствующей прямой.
Так, первое неравенство (1.2.1) определяет полуплоскость, ограниченную прямой . С одной стороны от этой прямой , а с другой стороны . На самой прямой . Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство (1.2.1), мы выбираем произвольную точку, не лежащую на прямой. Далее подставляем координаты этой точки в (1.2.1). Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны (не содержит выбранную точку). Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство (1.2.1).
Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы (1.2). Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам (1.2). Поэтому, графически, область допустимых решений (ОДР) является пересечением всех построенных полуплоскостей. Заштриховываем ОДР. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой.
Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет.
Можно упростить метод. Можно не заштриховывать каждую полуплоскость, а вначале построить все прямые (2) Далее выбрать произвольную точку, не принадлежащую ни одной из этих прямых. Подставить координаты этой точки в систему неравенств (1.2). Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку.
Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе (1.2).
Нахождение экстремума целевой функции
Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений (ОДР). Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым (2). ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений.
Теперь мы можем искать экстремум целевой функции (1.1) .
Для этого выбираем любое число и строим прямую (3) . Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна . такая прямая называется линией уровня функции . Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На одной полуплоскости . На другой полуплоскости . То есть с одной стороны от прямой (3) целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3), тем больше будет значение . С другой стороны от прямой (3) целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3) в другую сторону, тем меньше будет значение . Если мы проведем прямую, параллельную прямой (3), то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением .
Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3), максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3) и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР.
Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня (3) в сторону возрастания (убывания) , то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим (малым). Поэтому максимального (минимального) значения нет. Задача решений не имеет.
Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида (3), проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное (минимальное) значение целевой функции определяется по формуле: . Решением задачи является .
Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального (минимального) значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин: . Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и , включая сами точки и .
Пример решения задачи линейного программирования графическим методом
Условие задачи
Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида — 10 м, третьего вида — 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 400 ден. ед., одного изделия типа В — 300 ден. ед.
Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом.
Решение
Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит: (м) Количество израсходованной ткани второго вида составит: (м) Количество израсходованной ткани третьего вида составит: (м) Поскольку произведенное количество платьев не может быть отрицательным, то и . Доход от произведенных платьев составит: (ден. ед.)
Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид:
Решаем графическим методом. Проводим оси координат и .
Строим прямую . При . При . Проводим прямую через точки (0; 7) и (10,5; 0).
Строим прямую . При . При . Проводим прямую через точки (0; 10) и (10; 0).
Строим прямую . При . При . Проводим прямую через точки (0; 8) и (8; 0).
Прямые и являются осями координат.
Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:
Заштриховываем область, чтобы точка (2; 2) попала в заштрихованную часть. Получаем четырехугольник OABC.
Строим произвольную линию уровня целевой функции, например, (П1.1) . При . При . Проводим прямую через точки (0; 4) и (3; 0).
Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны (400 и 300), то она возрастает при увеличении и . Проводим прямую, параллельную прямой (П1.1), максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку четырехугольника OABC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты. .
Решение задачи: ;
Ответ
. То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит 3200 ден. ед.
Решаем графическим методом. Проводим оси координат и .
Строим прямую . При . При . Проводим прямую через точки (0; 6) и (6; 0).
Строим прямую . Отсюда . При . При . Проводим прямую через точки (3; 0) и (7; 2).
Строим прямую . Строим прямую (ось абсцисс).
Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:
Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка (4; 1) попала в заштрихованную часть. Получаем треугольник ABC.
Строим произвольную линию уровня целевой функции, например, . При . При . Проводим прямую линию уровня через точки (0; 6) и (4; 0). Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и , то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты. .
Решение задачи: ;
Ответ
.
Пример отсутствия решения
Условие задачи
Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции.
Решение
Решаем задачу графическим методом. Проводим оси координат и .
Строим прямую . При . При . Проводим прямую через точки (0; 8) и (2,667; 0).
Строим прямую . При . При . Проводим прямую через точки (0; 3) и (6; 0).
Строим прямую . При . При . Проводим прямую через точки (3; 0) и (6; 3).
Прямые и являются осями координат.
Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:
Заштриховываем область, чтобы точка (3; 3) попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE.
Строим произвольную линию уровня целевой функции, например, (П3.1) . При . При . Проводим прямую через точки (0; 7) и (7; 0). Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и .
Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и , то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и . Поэтому максимума не существует. можно сделать сколь угодно большой.
Ищем минимум. Проводим прямую, параллельную прямой (П3.1) и максимально удаленную от нее в сторону убывания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты. . Минимальное значение целевой функции:
Ответ
Максимального значения не существует. Минимальное значение .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
1cov-edu.ru
Графический метод решения задач линейного программирования
На этом уроке будем знакомиться с графическим методом решения
задач линейного программирования,
то есть, таких задач, в которых требуется найти такое решения системы линейных уравнений
и (или) неравенств (системы ограничений), при котором функция цели —
линейная функция — принимает оптимальное значение.
Ввиду того, что наглядность графического решения достигается лишь на
плоскости, мы можем познакомиться с графическим представлением задачи только в двумерном
пространстве. Это представление пригодно для системы ограничений-неравенств с двумя
переменными или для систем уравнений, в которых число переменных на 2 превышает число
уравнений, то есть число свободных переменных равно двум.
Поэтому графический метод имеет такие узкие рамки применения, что о нём
как об особом методе решения задач линейного программирования говорить нельзя.
Однако для выработки наглядных представлений о решениях задач
линейного программирования графический метод представляет определённый интерес. Кроме того,
он позволяет геометрически подтвердить справедливость
теорем линейного
программирования.
Итак, задача линейного программирования. Требуется найти неотрицательные
значения переменных и
, удовлетворяющих
системе неравенств
при которых линейная форма
принимает оптимальное значение.
Из теории и практики решения систем линейных неравенств известно, что множество всех решений данной системы, то есть множество
пар чисел и
, удовлетворяющих
системе, составляет многоугольник этой системы. Допустим, что это пятиугольник ABCDE
(рисунок внизу).
Линейная форма
графически означает семейство параллельных между собой прямых. При конкретном числовом значении
F линейная форма изобразится в виде некоторой прямой. Каждую из прямых этого семейства
принято называть линией уровня. На рисунке построена линия уровня
(чёрного цвета, проходит через начало координат), соответствующая значению F =0.
Если исходную линию уровня передвигать вправо, то значение F при
этом возрастает. Нужное направление движения исходной линии уровня можно установить следующим
образом. Коэффициенты при переменных в уравнении прямой служат координатами вектора,
перпендикулярного этой прямой. Таким образом, получаем градиент — вектор
(на рисунке бордового цвета). Значения функции F возрастают при перемещении исходной
линии уровня в направлении вектора .
Среди прямых упомянутого семейства параллельных прямых прямые mn
(зелёного цвета) и MN (красного цвета), которые назовём опорными. Опорными обычно
называют такие прямые, которые имеют с многоугольником ABCDE хотя бы одну общую точку,
и многоугольник ABCDE целиком лежит по одну сторону от этой прямой. Как видно из
чертежа, прямая mn является опорной, так как она касается многоугольника в точке
A и многоугольник целиком лежит правее (или выше) этой прямой. Прямая MN
также является опорной, так как имеет с многоугольником общую точку С и
многоугольник целиком лежит левее этой прямой.
Из основных
теорем
линейного программирования известно, что линейная форма достигает максимального и
минимального значений в крайних точках многогранника решений. Это значит, что опорные
прямые mn и MN характеризуют экстремальные значения линейной формы (функции цели), то есть
в точках А и С линейная форма достигает оптимальных значений. В точке
А, находящейся ближе к началу координат, функция цели достигает минимального
значения, а в точке С, находящейся дальше от начала координат, — максимального
значения.
1. Построить многоугольник решений системы неравенств.
3. Двигать прямую (или линейку) вдоль градиента — вектора
параллельно линии равных значений в сторону многоугольника решений до соприкосновения с
многоугольником решений. Если первая встреча с многоугольником решений произойдёт в крайней
точке с координатами ,
то в этой точке функция цели достигает минимального значения. Если первая встреча
произойдёт со стороной многоугольника, то данная функция цели достигает минимума во всех
точках этой стороны.
4. Двигаясь дальше, придём к некоторому опорному положению, когда прямая
будет иметь одну общую точку
с многоугольником решений. В этой точке функция цели достигает своего максимума.
5. Если первоначально построенная линия равных значений пересекает
многоугольник решений, то функция цели достигает минимального значения в вершине
многоугольника, расположенной ближе к началу координат, а максимального значения — в вершине,
более удалённой от начала координат.
Пример 1. Решить графическим методом задачу линейного
программирования, в которой требуется найти максимум функции
при ограничениях
Построим многоугольник решений. Для этого начертим граничные прямые. Из первого
неравенства запишем уравнение .
Это уравнение первой граничной прямой. Найдём точки пересечения этой прямой с осями
координат. При
из уравнения получим ,
при получим
. Это
значит, что первая прямая отсекает от осей координат отрезки
и .
Аналогично строим остальные граничные прямые. Вторая прямая от осей
координат отсекает отрезки, равные 6. Третья прямая проходит параллельно оси ,
отсекая на оси
отрезок, равный 2. Четвёртая прямая имеет уравнение .
Она совпадает с осью .
Из рисунка ниже видно, что множество точек четырёхугольника ABDE
удовлетворяет всем четырём неравенствам системы.
Следовательно, четырёхугольник ABDE является многоугольником
решений системы (заштрихован вовнутрь).
Начертим линию равных значений функции цели. Приняв в равенстве F =1,
получим, что эта линия отсекает отрезки 1 и 1/3 соответственно на оси и
на оси . Проведём
прямую через эти точки (на чертеже она чёрного цвета).
Двигая эту прямую параллельно самой себе в направлении градиента — вектора
(бордового цвета),
получим опорные прямые. Первая прямая (зелёного цвета) имеет с многоугольником общую точку
A. Здесь функция цели достигает минимума. Двигаясь дальше, придём к точке В.
Здесь максимум. Координаты точки В: (2, 4). Подставляя в функцию цели координаты
точки В, т. е. ,
,
получим максимальное значение функции цели: .
На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом.
Пример 3. Решить графическим методом задачу линейного
программирования, в которой требуется найти максимум функции
при ограничениях
где .
Правильное решение и ответ.
Пример 4. Решить графическим методом задачу линейного
программирования, в которой требуется найти минимум функции
при ограничениях
где .
Правильное решение и ответ.
До сих пор полученные выводы были основаны на том, что множество решений
задачи линейного программирования сконфигурировано так, что оптимальное решение конечно и
единственно. Теперь рассмотрим примеры, когда это условие нарушается. В этих примерах многоугольник
решений строится так, как показано в предыдущих примерах, остановимся же на признаках, которые
отличают эти исключительные примеры.
Пример 5. Решить графическим методом задачу линейного
программирования, в которой требуется найти максимум функции
при ограничениях
Решение. На рисунке изображены: неограниченная многогранная область
решений данной системы ограничений, исходная линия уровня (чёрного цвета), вектор (бордового
цвета), указывающий направление движения исходной линии уровня для нахождения максимума
целевой функции.
Легко заметить, что функция F может неограниченно возрастать
при заданной системе ограничений, поэтому можно условно записать, что .
На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом.
Пример 6. Решить графическим методом задачу линейного
программирования, в которой требуется найти максимум функции
при ограничениях
Решение. Изображённая на рисунке ниже область не содержит ни одной общей точки,
которая бы удовлетворяла всем неравенствам системы ограничений. То есть система ограничений противоречива
и не может содержать ни одного решения, в том числе и оптимального.
На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом.
На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом.
Пример 8. Решить графическим методом задачу линейного
программирования, в которой требуется найти максимум функции
при ограничениях
Решение. На рисунке ниже изображены область решений системы ограничений и линия уровня
(чёрного цвета). Если передвигать линию уровня параллельно исходной в направлении вектора ,
то она выйдет из области решений не в одной точке, как это было в предыдущих примерах, а сольётся с прямой
CD, которая является граничной линией области решений.
Все точки отрезка CD дают одно
и то же значение функции цели, которое и служит её оптимальным значением: .
Следовательно, имеется не одно, а бесчисленное множество оптимальных решений, совпадающих с точками
отрезка CD, в частности, с двумя угловыми точками C и D. Этот пример показывает,
что в некоторых случаях единственность оптимального решения нарушается.
На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом.
Напоследок следует заметить, что строить многогранник решений можно и другим способом,
отличающимся о того, который мы рассматривали. А именно: можно не искать точки пересечения прямых с
осями координат, а искать точки пересечения прямых. Для этого последовательно решаются системы из
двух уравнений, так, чтобы решениями были точки пересечения всех прямых. Полученные точки и будут вершинами
многогранника решений. Этот способ иногда бывает удобным в случаях, когда точки пересечения прямых с
осями координат — дробные числа и, неправильно отложив точку пересечения, можно получить ошибку и в
поиске точек пересечения самих прямых.
Начало темы «Линейное программирование»
Поделиться с друзьями
function-x.ru
3 Графический метод решения злп
Наиболее простым
и наглядным методом решения ЗЛП является
графический метод. Он применяется для
решения задач с двумя переменными,
заданными в неканонической форме, и
многими переменными в канонической
форме при условии, что они содержат не
более двух свободных переменных.
Рассмотрим задачу
с двумя переменными
(1)
(2)
Графический метод
основывается на возможности графического
изображения области допустимых решений
и нахождения среди них оптимального.
Геометрически
каждое ограничение
системы (2) представляет собой полуплоскость
с граничной прямой.
Для того, чтобы определить, какая из
двух полуплоскостей является областью
решения, достаточно координаты какой-либо
точки, не лежащей на прямой, подставить
в неравенство: если оно верное, то
областью решения является та полуплоскость,
откуда взята точка, если неверное, то
полуплоскость, не содержащая точку.
Условия неотрицательности определяют
полуплоскости с граничными прямыми.
Если система (2) совместна (имеет решение),
то полуплоскости, пересекаясь, образуют
общую часть, которая является выпуклым
множеством и представляет собой
совокупность точек, координаты каждой
из которых являются решением данной
системы ограничений (2). Совокупность
этих точек называетсямногоугольником
решений.
Возможны следующие
варианты области допустимых решений:
x1
а) ОДР – замкнутое
множество
(многоугольник)
б) ОДР – открытое
множество
в) ОДР – пустое
множество
(Система
ограничений
не
совместна)
Рисунок 1 – Виды
области допустимых решений (ОДР)
Многоугольник
решений также может быть и точкой, и
отрезком, и лучом. Для нахождения среди
допустимых решений оптимального решения
используют опорную прямую и линии
уровня. Линией уровня называется прямая,
на которой целевая функция принимает
постоянное значение
,
а опорная прямая – линия уровня, которая
имеет хотя бы одну общую точку с областью
допустимых решений и по отношению к
которой эта область находится в одной
из полуплоскостей. ОДР имеет не более
двух опорных прямых. Изменение значения
целевой функцииидет по направлению вектора.
Алгоритм
графического решения ЗЛП с двумя
переменными:
Строят ОДР как
пересечение m полуплоскостей.
Если ОДР не пустое
множество, то определяют направление
возрастания (убывания) целевой функции Z,
т.е. строят вектор .
Строят линию
уровня
,
перпендикулярную вектору.
Линию уровня
перемещают в направлении вектора, в
случае максимизации функции, или в
противоположном направлении, в случае
минимизации до тех пор, пока она не
станет опорной прямой. Находят значение
целевой функции в полученных точках
или определяют, что значение целевой
функции неограниченно.
Рассматриваются
различные расположения опорной прямой
по отношению к ОДР:
x1
а) Min
Z
в ()
A
Max
Z
в ()
B
б)
Min Z в
()
A
Max
Z = ∞
в) Min
Z
в любой ()
отрезка AB
Max
Z
в ()
C
Рисунок 2 –
Расположение опорной прямой относительно
ОДР
Пример:
Решить графически ЗЛП:
Решение:Сначала
проведем оси: на горизонтальной будем
откладывать значения переменной x1 , а на вертикальной x2 . Далее
рассмотрим условия неотрицательности
переменных
.
Эти два ограничения показывают, что ОДР
будет находиться в 1-ой четверти. Чтобы
учесть оставшиеся ограничения, заменим
неравенства на равенства, а затем на
плоскости проведем эти прямые. Например,
неравенствозаменяем на равенство,
которое проходит через точки (0; 2) и (-2;
0). Обозначим эту прямую 1 . Определим
полуплоскость, выбрав контрольную точку
(0; 0). Так как- верное неравенство, то точки полуплоскости,
содержащей (0; 0) удовлетворяют первому
ограничению. Аналогично рассматриваем
оставшиеся ограничения.
Рисунок 3 –
Иллюстрация решения задачи
Получена
область допустимых решений – многоугольникABCDE.
Строим вектор и
линию уровня.
Перемещаем линию уровня вдоль векторадо опорной прямой (обозначены пунктирными
линиями). Эта прямая проходит через
точки А и С, причем в точке А определяетсяMin
Z,
а в точке С — Max
Z.
Определим координаты точки A
как пересечение прямой 3 и прямой x2=0:
Значит,
Определим
координаты точки С как пересечение
прямых 2 и 4 :
Значит,
Графическим методом
решаются задачи линейного программирования,
записанные в каноническом виде и
удовлетворяющие условию
,
гдеn – число неизвестных системы ограничений; r – ранг системы векторов условий. Если
уравнения системы ограничений линейно
независимы, то ранг r равен числу уравнений системы m.
Пример:
Решить задачу линейного программирования
Решение:
Метод применим, так как
.
Выпишем расширенную матрицу системы
ограничений, добавив строку, содержащую
коэффициенты целевой функции:
Методом Жордана
— Гаусса приведем систему уравнений –
ограничений к равносильной разрешенной,
одновременно исключив разрешенные
неизвестные из целевой функции:
Запишем задачу в
преобразованном виде:
Отбросим в уравнениях
неотрицательные разрешенные неизвестные х1,
х2,
х3 и заменим знак равенства знаками
неравенства « ≤ », получим вспомогательную
задачу линейного программирования с
двумя переменными
Решим задачу
графическим методом. Свободный член в
целевой функции 22 на отыскание
оптимального решения не влияет и
учитывается только при вычислении
значения целевой функции.
Рисунок 4 –
Графическая иллюстрация решения задачи
Находим оптимальное
решение вспомогательной задачи :
+.
Значит,
Вычисляем минимальное
значение целевой функции
Находим оптимальное
решение исходной задачи. Для этого
используем систему ограничений в
разрешенном виде:
Получаем
Ответ:
studfiles.net
1.4. Графический метод решения задач линейного программирования сnпеременными
Графическим
методом решаются ЗЛП, если в ее канонической
форме записи число переменных и число линейно независимых уравненийсвязаны соотношением.
Алгоритм
графического метода решения ЗЛП со
многими переменными (n>2)
Записать
каноническую форму ЗЛП.
Выбрать
две свободные переменные.
Выразить
все остальные переменные через свободные,
т.е. решить систему ограничений заданной
задачи.
Выразить
целевую функцию через свободные
переменные.
Построим
ОДР задачи (Рис. 1.7). Для этого в системе
координат на плоскости изобразим граничные прямые:
Затем
определим, какую полуплоскость определяет
соответствующее неравенство, подставив
координаты какой-нибудь точки, не лежащей
на данной прямой, например (0;0). Ограничения
означают, что ОДР лежит вI
четверти системы координат .
Соответствующие полуплоскости на
рисунке показаны стрелками. Пересечение
указанных полуплоскостей и определяет
ОДР данной задачи – это многоугольникABCDE.
Рис.
1.7
Строим
вектор-градиент целевой функции=(3;6).
Оптимальное
решение достигается в точке E(3;0).
Перейдем
к решению исходной задачи. Т.е. найдем
значения базисных переменных:
Итак,
решение исходной задачи:
,.
Экономический
смысл полученного решения задачи:
для
того, чтобы затраты были минимальными
и составили 52 усл. ден. ед. необходимо,
чтобы оборудование А1 выпускало 3 часа продукцию P1,
оборудование А2 выпускало 4 часа продукцию P1 и 6 часов продукцию P2.
Преобразовать
ЗЛП к эквивалентной двумерной ЗЛП можно
и не записывая исходную задачу в
канонической форме. Достаточно из
ограничений-равенств системы выразить
базисные переменные через выбранные
две свободные и подставить это выражение
всюду, где они встречаются в
ограничениях-неравенствах и в целевой
функции. Учитывая условия неотрицательности
базисных переменных двумерная модель
будет иметь то же количество ограничений,
что и исходная. Таким образом, графическим
методом можно решить лишь ту ЗЛП с n переменными, система ограничений которой
имеет не менее n–2
линейно-независимых ограничений-равенств.
Пример1.12
Решим
графически ЗЛП:
;
Решение
Перейдем
к эквивалентной задаче с двумя переменными.
Пусть
переменные ибудут свободными, а все остальные
переменные базисными. Выразим все
базисные переменные через свободные.
Сделаем это последовательно. Сначала
выразим, например, из второго
ограничения-равенства базисную переменнуюи подставим это выражение всюду, где
она встречается в модели:
;
Раскрыв
скобки, приведя подобные и учитывая
условие неотрицательности переменной ,
получим следующую модель от трех
переменных, эквивалентную исходной:
;
Затем
выразим, например, из первого
ограничения-равенства базисную переменную и подставим это выражение всюду, где
она встречается в модели:
;
Раскрыв
скобки, приведя подобные и учитывая
условие неотрицательности переменной ,
получим следующую модель от двух
переменных, эквивалентную исходной:
Построим
ОДР задачи (Рис. 1.8). Для этого в системе
координат на плоскости изобразим граничные прямые:
Затем
определим, какую полуплоскость определяет
соответствующее неравенство, подставив
координаты какой-нибудь точки, не лежащей
на данной прямой, например (0;0). Ограничения
означают, что ОДР лежит вI
четверти системы координат .
Соответствующие полуплоскости на
рисунке показаны стрелками. Пересечение
указанных полуплоскостей и определяет
ОДР данной задачи – это треугольникABC.
Вектор-градиент
целевой функции=(7,8;12,2).
Так как нас интересует направление
вектора-градиента, а не его длина, то
можно изобразить вектор=(3,9;6,1)=0,5,
который в два раза меньше вектора
градиента.
Рис.
1.8
Оптимальное
решение достигается в точке В, которая
лежит на пересечении прямой и оси.
Для определения ее координат необходимо
решить систему уравнений:
Откуда
.
Таким образом,.
Подставив значениеив целевую функциюZ,
получаем:
.
Перейдем
к решению исходной задачи. Т.е. найдем
значения базисных переменных:
,
.
Итак,
решение исходной задачи: ,.
Задачи
Решить
ЗЛП графическим методом (1.4.1 – 1.4.8)
1.4.1
;
1.4.3
;
1.4.5
;
1.4.7
;
1.4.2
;
1.4.4
;
1.4.6
;
1.4.8
;
1.4.9 – 1.4.11
Решить
задачи 1.1.4, 1.1.9, 1.1.11 (соответственно)
графическим методом.
studfiles.net
05. Графический метод решения ЗЛП
Графическим методом целесообразно решать ЗЛП, содержащие не более двух переменных.
Алгоритм графического метода рассмотрим применительно к задаче:
3Х1 + 2Х2 (3.16)
При
Х1 + 2Х2 6 (а)
2Х1 + Х2 8 (б)
Р = Х1+0,8Х2 5 (в) (3.17)
-Х1 + Х2 1 (г)
Х2 2 (д)
Х1 0, Х2 0 (е)
Шаг 1. Строим область допустимых решений (3.17) – область Р, т. е. геометрическое место точек, в котором одновременно удовлетворяются все ограничения ЗЛП. Каждое из неравенств (а)–(д) системы ограничений (3.17) задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми:
Х1 + 2Х2 = 6 (а)
2Х1 + Х2= 8 (б)
Х1+0,8Х2= 5 (в)
-Х1 + Х2= 1 (г)
Х2= 2 (д)
Условия неотрицательности переменных (е) ограничивают область допустимых решений первым квадратом. Области, в которых выполняются соответствующие ограничения (3.17) в виде неравенств, указываются стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Если система неравенств (3.17) совместна, область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям.
Полученная таким образом область допустимых решений Р – планов ЗЛП (см. рис. 3.1) есть многоугольник ABCDEF – замкнутое, ограниченное, выпуклое множество с шестью крайними, или угловыми, точками: A, B, C, D, E, F.
Шаг 2. Строим вектор-градиент линейной формы , указывающий направления возрастания функции .
Шаг 3. Строим прямую С1Х1 + С2Х2 = const – линию уровня функции , перпендикулярную вектору-градиенту :
3Х1 + 2Х2 = const (рис.3.2).
Рис. 3.2
Шаг 4. В случае максимизации передвигают прямую 3Х1 + 2Х2 = const в направлении вектора до тех пор, пока она не покинет область Р. Крайняя точка (или точки) области, в которой линия уровня покидает допустимую область, и является решением задачи (рис. 3.3).
Рис. 3.3
Крайняя точка С – точка максимума , С = Лежит на пересечении прямых (а) и (б). Для определения ее координат решим систему уравнений:
Х1 + 2Х2 = 6
2Х1 + Х2 = 8.
Откуда Х*1 = 10/3; X*2 = 4/3 или = (10/3; 4/3).
Подставляя значения Х*1 и X*2 в функцию , найдем
max= = 3 . 10/3 + 2 . 4/3 = 38/3.
Замечания.
1. В случае минимизации Прямую С1Х1 + С2Х2 = const надо перемещать в направлении (-), противоположном .
2. Если допустимая область решений Р представляет собой неограниченную область и прямая при движении в направлении вектора (или противоположном ему) не покидает Р, то в этом случае Не ограничена сверху (или снизу), т. е. (или ).
Пример 3.1. Графическим способом решить ЗЛП
Max (2Х1 + Х2)
при
Х1 — Х2 2 (1)
Х1 + 3Х2 3 (2)
7Х1 — Х2 2 (3)
Х1,2 0.
Шаг 1. Строим область Р (рис. 3.4). Она является неограниченной.
Шаг 2. Строим вектор .
Шаг 3. Строим линию уровня функции = 2Х1 + Х2 = const.
Шаг 4. Передвигая линию уровня в направлении вектора , убеждаемся в неограниченном возрастании функции , то есть .
Пример 3.2. Решить графическим методом ЗЛП. Найти
Х1 + 3Х2
При ограничениях
2Х1 + 3Х2 6 (1)
Х1 + 2Х2 5 (2)
Х1 4 (3)
0 Х2 3 (4)
Рис. 3.5
Из рис. 3.5 видно, что область допустимых решений пуста (Р=).
Задача не имеет решения.
< Предыдущая
Следующая >
matica.org.ua
Примеры решения задач — Линейное программирование — Исследование операций — ЭММ
Условие задачи
Цех
изготавливает изделия А и Б. Расход сырья, его запас и прибыль от реализации
каждого изделия указаны в таблице.
Вид сырья
Расход на изделие
Запас
А
Б
48
12
600
24
21
840
15
27
1350
Прибыль
12
18
Найти план производства изделий, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль от
их реализации. Решить задачу графическим методом.
Решение задачи
Экономико-математическая модель задачи
Через
и
обозначим количество выпускаемой продукции
вида А и Б соответственно.
Тогда
ограничения на ресурсы:
Кроме
того, по смыслу задачи
Целевая
функция, выражающая получаемую прибыль от реализации изделий:
Для построения области допустимых
решений строим в системе координат соответствующие данным ограничениям-неравенствам
граничные прямые:
Найдем точки, через которые проходят
прямые:
Решением каждого неравенства системы
ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и
расположенная по одну сторону от нее.
Для определения полуплоскости
возьмём любую точку, например точку
не
принадлежащую прямой (1), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к.
неравенство верно:
Области решений соответствующего
1-го неравенства соответствует левая полуплоскость
Возьмём любую точку, например точку
не
принадлежащую прямой (2), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к.
неравенство верно:
Области
решений соответствующего 2-го неравенства соответствует левая полуплоскость
Для определения полуплоскости
возьмём любую точку, например точку
не
принадлежащую прямой (3), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к.
неравенство верно:
Области
решений соответствующего 3-го неравенства соответствует нижняя полуплоскость
Областью допустимых решений является
фигура
.
Строим вектор
, координаты которого пропорциональны коэффициентам
целевой функции.
Перпендикулярно к построенному
вектору проводим линию уровня
.
Строим вектор
, координаты которого пропорциональны коэффициентам
целевой функции.
Перпендикулярно к построенному
вектору проводим линию уровня
.
Нахождение оптимального плана
Перемещаем линию уровня
в направлении
вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в крайней точке.
Решением на максимум является точка D, координаты которой находим как точку
пересечения прямой (2) и оси
.
Таким образом, необходимо выпускать
40 ед. изделия Б. Изделие а выпускать невыгодно. При этом прибыль будет
максимальной и составит 720 д.е.
mathminsk.com
Решить графически задачу — 8 Февраля 2015 — Примеры решений задач
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Построим уравнение 3x1+x2 = 9по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 9. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 3. Соединяем точку (0;9) с (3;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 3 • 0 + 1 • 0 — 9 ≤ 0, т.е. 3x1+x2 — 9≥ 0 в полуплоскости выше прямой. Построим уравнение x1+2x2 = 8по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 4. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 8. Соединяем точку (0;4) с (8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 + 2 • 0 — 8 ≤ 0, т.е. x1+2x2 — 8≥ 0 в полуплоскости выше прямой. Построим уравнение x1+x2 = 8по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 8. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 8. Соединяем точку (0;8) с (8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 + 1 • 0 — 8 ≤ 0, т.е. x1+x2 — 8≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.
Проверить правильность построения графиков функций можно с помощью калькулятора
Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x1+6x2 → min. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x1+6x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (4; 6). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.
Прямая F(x) = 4x1+6x2 пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 3x1+x2=9 x1+2x2=8
Решив систему уравнений, получим: x1 = 2, x2 = 3 Откуда найдем минимальное значение целевой функции: F(X) = 4*2 + 6*3 = 26
Как понять, почему «плюс» на «минус» дает «минус» ?
Слушая учителя математики, большинство учеников воспринимают материал как аксиому. При этом мало кто пытается добраться до сути и разобраться, почему «минус» на «плюс» дает знак «минус», а при умножении двух отрицательных чисел выходит положительное.
Законы математики
Большинство взрослых не в силах объяснить ни себе, ни своим детям, почему так получается. Они твердо усвоили этот материал в школе, но при этом даже не попытались выяснить, откуда взялись такие правила. А зря. Зачастую современные дети не столь доверчивы, им необходимо докопаться до самой сути и понять, скажем, почему «плюс» на «минус» дает «минус». А иногда сорванцы специально задают каверзные вопросы, дабы насладиться моментом, когда взрослые не могут дать вразумительного ответа. И совсем уж беда, если впросак попадает молодой учитель…
Кстати, следует отметить, что упомянутое выше правило действенно как для умножения, так и для деления. Произведение отрицательного и положительного числа даст лишь «минус. Если речь идет о двух цифрах со знаком «-», то в результате получится положительное число. То же касается и деления. Если одно из чисел будет отрицательным, то частное тоже будет со знаком «-».
Для объяснения правильности этого закона математики, необходимо сформулировать аксиомы кольца. Но для начала следует понять, что это такое. В математике кольцом принято называть множество, в котором задействованы две операции с двумя элементами. Но разбираться с этим лучше на примере.
Аксиома кольца
Существует несколько математических законов.
Первый из них переместительный, согласно ему, C + V = V + C.
Второй называется сочетательным (V + C) + D = V + (C + D).
Им же подчиняется и умножение (V х C) х D = V х (C х D).
Никто не отменял и правил, по которым открываются скобки (V + C) х D = V х D + C х D, также верно, что C х (V + D) = C х V + C х D.
Кроме того, установлено, что в кольцо можно ввести специальный, нейтральный по сложению элемент, при использовании которого будет верно следующее: C + 0 = C. Кроме того, для каждого C есть противоположный элемент, который можно обозначить, как (-C). При этом C + (-C) = 0.
Выведение аксиом для отрицательных чисел
Приняв приведенные выше утверждения, можно ответить на вопрос: «»Плюс» на «минус» дает какой знак?» Зная аксиому про умножение отрицательных чисел, необходимо подтвердить, что действительно (-C) х V = -(C х V). А также, что верно такое равенство: (-(-C)) = C.
Для этого придется вначале доказать, что у каждого из элементов существует лишь один ему противоположный «собрат». Рассмотрим следующий пример доказательства. Давайте попробуем представить, что для C противоположными являются два числа — V и D. Из этого следует, что C + V = 0 и C + D = 0, то есть C + V = 0 = C + D. Вспоминая о переместительных законах и о свойствах числа 0, можно рассмотреть сумму всех трех чисел: C, V и D. Попробуем выяснить значение V. Логично, что V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, ведь значение C + D, как было принято выше, равняется 0. Значит, V = V + C + D.
Точно так же выводится и значение для D: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Исходя из этого, становится ясно, что V = D.
Для того чтобы понять, почему все же «плюс» на «минус» дает «минус», необходимо разобраться со следующим. Так, для элемента (-C) противоположными являются C и (-(-C)), то есть между собой они равны.
Тогда очевидно, что 0 х V = (C + (-C)) х V = C х V + (-C) х V. Из этого следует, что C х V противоположно (-)C х V, значит, (-C) х V = -(C х V).
Для полной математической строгости необходимо еще подтвердить, что 0 х V = 0 для любого элемента. Если следовать логике, то 0 х V = (0 + 0) х V = 0 х V + 0 х V. А это значит, что прибавление произведения 0 х V никак не меняет установленную сумму. Ведь это произведение равняется нулю.
Зная все эти аксиомы, можно вывести не только, сколько «плюс» на «минус» дает, но и что получается при умножении отрицательных чисел.
Умножение и деление двух чисел со знаком «-»
Если не углубляться в математические нюансы, то можно попробовать более простым способом объяснить правила действий с отрицательными числами.
Допустим, что C — (-V) = D, исходя из этого, C = D + (-V), то есть C = D — V. Переносим V и получаем, что C + V = D. То есть C + V = C — (-V). Этот пример объясняет, почему в выражении, где идут два «минуса» подряд, упомянутые знаки следует поменять на «плюс». Теперь разберемся с умножением.
(-C) х (-V) = D, в выражение можно добавить и вычесть два одинаковых произведения, которые не поменяют его значения: (-C) х (-V) + (C х V) — (C х V) = D.
Вспомная о правилах работы со скобками, получаем:
1) (-C) х (-V) + (C х V) + (-C) х V = D;
2) (-C) х ((-V) + V) + C х V = D;
3) (-C) х 0 + C х V = D;
4) C х V = D.
Из этого следует, что C х V = (-C) х (-V).
Аналогично можно доказать, что и в результате деления двух отрицательных чисел выйдет положительное.
Общие математические правила
Конечно, такое объяснение не подойдет для школьников младших классов, которые только начинают учить абстрактные отрицательные числа. Им лучше объяснять на видимых предметах, манипулируя знакомым им термином зазеркалья. Например, придуманные, но не существующие игрушки находятся именно там. Их и можно отобразить со знаком «-». Умножение двух зазеркальных объектов переносит их в еще один мир, который приравнивается к настоящему, то есть в результате мы имеем положительные числа. А вот умножение абстрактного отрицательного числа на положительное лишь дает знакомый всем результат. Ведь «плюс» умножить на «минус» дает «минус». Правда, в младшем школьном возрасте дети не слишком-то пытаются вникнуть во все математические нюансы.
Хотя, если смотреть правде в глаза, для многих людей даже с высшим образованием так и остаются загадкой многие правила. Все принимают как данность то, что преподают им учителя, не затрудняясь вникать во все сложности, которые таит в себе математика. «Минус» на «минус» дает «плюс» – об этом знают все без исключения. Это верно как для целых, так и для дробных чисел.
fb.ru
Почему минус на минус дает плюс?
«Враг моего врага — мой друг».
Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.
Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, … Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.
Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.
В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).
Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.
Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3.
Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.
Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.
Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции… Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).
В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.
Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.
Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:
сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A)), что A + (–A) = 0;
умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.
Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.
Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B), а во-вторых (–(–A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.
Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значит, B = C.
Заметим теперь, что и A, и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A), поэтому они должны быть равны.
Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B, то есть (–A)·B противоположно A·B, значит, оно равно –(A·B).
Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.
А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.
Ответил: Евгений Епифанов
elementy.ru
Плюс минус
Плюс минус
Плюс и минус — это признаки положительных и отрицательных чисел в математике. Какой результат получается при умножении и делении положительных и отрицательных чисел? Эта простая таблица наглядно показывает результаты умножения и деления двух чисел с разными знаками.
Приведенные в таблице результаты применимы как при умножении и делении целых чисел, так и при умножении и делении дробей. Для определения числовых значений результата умножения или деления воспользуйтесь таблицами умножения и деления, которые можно скачать бесплатно.
При умножении или делении двух положительных чисел в результате получается положительное число. Плюс умноженный на плюс дает плюс, плюс деленный на плюс будет плюс. Это правило математики. Произведение двух положительных чисел — число положительное, частное двух положительных чисел — положительное число.
В математике умножение или деление положительного числа на отрицательное дает в результате отрицательное число. Плюс умноженный на минус дает минус. Плюс деленный на минус будет минус. Если положительную дробь умножить или разделить на отрицательную дробь получится отрицательное число. Это число может быть целым или дробным. Произведение положительного числа на отрицательное — число отрицательное, частное положительного числа на отрицательное число — отрицательное число. Если числитель дроби положительный, а знаменатель отрицательный — дробь (или целое число) будет отрицательной.
При делении или умножении отрицательного числа на положительное в результате получается отрицательное число. Минус умноженный на плюс будет минус. Минус деленный на плюс в математике будет минус. Когда числитель дроби отрицательный, а знаменатель положительный — дробь (или целое число) будет отрицательной. Если отрицательную дробь умножить или разделить на положительную дробь получится отрицательное число. Это число может быть целым или дробным, что определяется другими правилами математики. Произведение отрицательного числа на положительное — число отрицательное, частное отрицательного числа на положительное число — отрицательное число.
Когда умножаются или делятся два отрицательных числа, результатом будет положительное число. Минус умноженный на минус дает плюс, минус деленный на минус будет плюс. Произведение двух отрицательного чисел — положительное число, частное двух отрицательного чисел — число положительное. При делении или умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Правила знаков в математике распространяются как на целые, так и на дробные числа. При делении двух отрицательных дробей результат будет положительным. При умножении двух отрицательных дробей результат так же будет положительным, то есть со знаком плюс.
ВОПРОС — ОТВЕТ
«Кто ввел знаки сложения и вычитания в математику?» — первое употребление слов plus (больше) и minus (меньше) как обозначения действия сложения было найдено историком математики Энестремом в итальянской алгебре четырнадцатого века. Вначале действия сложения и вычитания обозначали перввыми буквами слов «p» и «m». Современные знаки плюс «+» и минус «-» появились в Германии в последнее десятилетие пятнадцатого века в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (“Behende und ubsche Rechenung auf allen Kaufmannschaft”, 1498). Существует предположение, что знаки плюс «+» и минус «-» появились из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке черточкой «-«, а при восстановлении запаса их перечеркивали, откуда получился знак «+».
«Минус 6 делить на минус 3 как быть?» — сперва отбрасываем знаки минус и делим просто 6 (шесть) на 3 (три) при помощи таблицы деления и получаем в результате 2 (два). Потом по табличке вверху странички делим минус на минус и получаем плюс. Теперь прилепливаем полученный плюс к ранее полученной двойке
(-6) : (-3) = +2
Впрочем, знак «+» перед числами писать не принято, поэтому красивее и правильнее будет так:
(-6) : (-3) = 2
«Если число со знаком минус спереди умножаем на такое же число?» — решение смотри выше.
Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.
Минус на минус даёт плюс – это правило, которые мы выучили в школе и применяем всю жизнь. А кто из нас интересовался почему? Конечно, проще без лишних вопросов запомнить данное утверждение и глубоко не вникать в суть вопроса. Сейчас и без того достаточно информации, которую необходимо «переварить». Но для тех, кого всё же заинтересует этот вопрос, постараемся дать объяснение этому математическому явлению.
С древних времён люди пользуются положительными натуральными числами: 1, 2, 3, 4, 5,… С помощью чисел считали скот, урожай, врагов и т.д. При сложении и умножении двух положительных чисел получали всегда положительное число, при делении одних величин на другие не всегда получали натуральные числа – так появились дробные числа. Что же с вычитанием? С детских лет мы знаем, что лучше к большему прибавить меньшее и из большего вычесть меньшее, при этом мы опять же не используем отрицательные числа. Получается, если у меня есть 10 яблок, я могу отдать кому-то только меньше 10 или 10. Я никак не смогу отдать 13 яблок, потому что у меня их нет. Нужды в отрицательных числах не было долгое время.
Только с VII века н.э. отрицательные числа использовались в некоторых счётных системах, как вспомогательные величины, которые позволяли получить положительное число в ответе.
Рассмотрим пример, 6х – 30 = 3х – 9. Чтобы найти ответ, необходимо члены с неизвестными оставить в левой части, а остальные — в правую: 6х – 3х = 30 – 9, 3х = 21, х = 7. При решении этого уравнения нам даже не встретились отрицательные числа. Мы могли бы члены с неизвестными перенести в правую часть, а без неизвестных — в левую: 9 – 30 = 3х – 6х, (-21) = (-3х). При деление отрицательного числа на отрицательное получаем положительный ответ: х = 7.
Что мы видим?
Действия с использованием отрицательных чисел должны привести нас к такому же ответу, что и действия только с положительными числами. Мы можем больше не думать о практической непригодности и осмысленности действий – они помогают нам решить задачу гораздо быстрее, не приводя уравнение к виду только с положительными числами. В нашем примере мы не использовали сложных вычислений, но при большом количестве слагаемых вычисления с отрицательными числами могут облегчить нам работу.
Со временем, после проведения длительных опытов и вычислений удалось выявить правила, которым подчиняются все числа и действия над ними (в математике они называются аксиомами). Отсюда и появилась аксиома, которая утверждает, что при умножении двух отрицательных чисел получаем положительное.
Как известно, уже в школе всем говорят, что минус на минус дает плюс. Можно даже привести примеры:
$$x-(-y)=x+y; (-x)\cdot (-y)=x\cdot y; -x/\left(-y \right)=x/y$$
Но самое интересное в другом. Если у кого угодно спросить а почему так, то мало кто сможет ответить. Вам скажут — так принято или так должно быть по правилам. А ответить почему такие правила и откуда они появились еще труднее. И даже если задать такой же вопрос в поисковой системе, то можно прочитать все что угодно, начиная с дурацких примеров и заканчивая попытками объяснения из области теории групп. Ну как школьнику или даже студенту можно объяснить что такое кольца из теории групп? Поэтому требуется нормальное объяснение, основанное на понятных и легко проверяемых понятиях и правилах. Как оказалось, это можно сделать фактически в одну строку. Смотрите выкладки: $$A-(-B)=X\Rightarrow A=X+(-B)\Rightarrow A=X-B\Rightarrow A+B=X\Rightarrow A-(-B)=A+B$$
Тут тоже могут возникать вопросы: «Почему при переносе слагаемого меняется знак на противоположный?» Ответ будет такой: «Мы ничего никуда не переносим, а просто добавляем в левую и правую части выражения одну и ту же величину»: $$A-(-B)=X\Rightarrow A-\left(-B \right)+(-B)=X+(-B)$$
А вот теперь обозначим: $$-B=Z$$
и после подстановки все становится очевидным: $$A-Z=X\Rightarrow A-Z+Z=X+Z\Rightarrow A=X+Z$$
Теперь осталось вернуться к старой (заменной переменной), используя выражение: $$-B=Z$$
И в результате получим, что при «переносе вправо слагаемого его знак поменялся на противоположный»: $$ A=X-B$$
Вот и все преобразования, объясняющие почему если в выражении идет два минуса подряд, то в итоге их надо заменить на плюс. Теперь займемся случаем умножения двух отрицательных чисел. $$(-A)\cdot (-B)=X\Rightarrow (-A)\cdot (-B)+\left(A\cdot B \right)-\left(A\cdot B \right)=X\Rightarrow …$$ $$… \Rightarrow (-A)\cdot (-B)+\left(A\cdot B \right)+ \left(-A \right) \cdot B=X\Rightarrow …$$ $$…\Rightarrow \left(-A \right)\left[\left(-B \right)+B \right]+A\cdot B=X\Rightarrow \left(-A\ \right) \cdot 0+A\cdot B=X\Rightarrow A\cdot B=X$$
Теперь осталось приравнять, с одной стороны: $$\left(-A \right)\cdot \left(-B \right)=X$$
а с другой стороны: $$A \cdot B =X$$
Тогда, окончательно: $$\left(-A \right)\cdot \left(-B \right)=A \cdot B$$
Как вам понятно, с делением двух отрицательных чисел уже не возникает проблем, так как операцию деления можно легко заменить операцией умножения на обратное. Остается выяснить почему минус из знаменателя можно поднимать в числитель. Один из вариантов: $$\frac{1}{-A}=\frac{1\cdot \left(-1 \right)}{-A\cdot \left(-1 \right)}=\frac{-1}{A}$$
Предлагаем все высказываться в комментариях, если что кому не понравилось. Эта статья подготовлена студенческой лабораторией для любознательных школьников и их учителей.
Плюс на минут-минус, плюс на плюс-плюс, минус-на минут-плюс
минус конечно:)
Конечно минус!
минус что за тупые вопросы
Что делаешь — умножаешь, делишь — тогда минус, ну а если складываешь, то смотри по большему модулю ( сложение чисел с разными знаками) здесь может быть и минус, и плюс.
конечно минус!
Друг моего друга =мой друг
Враг моего друга = мой враг
Враг моего врага =мой друг
Друг моего врага =мой враг
Здесь:
Враг- минус
Друг — плюс
Доброй ночи! Уравнения вида, которое вы попросили решить — очень часто вызывает различные затруднение у многих людей. Но это, на самом деле, не так страшно и не так сложно, как Вам могло показаться. Прежде, чем разобраться с Вашей уравнением sin x = 0, нужно подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать. Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке:
Да, я понимаю, что это Вам ничем не помогло, но находить будет легче. Для подобных уравнений есть определённое правило решения, которое принимает всегда вот такой общий вид:
Как только мы разобрались с общим решением, то с лёгкостью можем преступить к решению именно Вашего уравнения:
Значение мы найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получаем, что , или же . Возьмём с Вами второй вариант. Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение:
Ответ:
ru.solverbook.com
sin x = 0,5
Задание. Решить уравнение:
Решение. Подобные уравнения принято называть простейшими тригонометрическими уравнениями, которые решить не составит никакого труда. Для решения данного уравнения достаточно иметь под рукой таблицу значений функции синус, а также помнить об одном из важных свойств синуса — о его периодичности. Итак, необходимо выяснить, при каких значениях углов синус принимает значение 0,5. Для этого будем использовать выше упомянутую таблицу. Из нее узнаем, что синус равен 0,5 при Пи / 6 и 5Пи / 6. Имея эти два значения, запишем полное решение данного уравнения для всех возможных значений функции. Аргумент синуса в данном уравнении — переменная х. Далее запишем одно из значений аргумента, которое мы узнали из таблицы, — это Пи / 6. Период синуса равен числу 2Пи. Соответственно, для этого значения можем записать все возможные решения, которые будет принимать синус:
Из таблицы мы также имеем второе значение аргумента — это 5 Пи / 6. Как и в предыдущем случае, принимая во внимание периодичность функции синус, запишем оставшиеся значения аргумента синуса:
Итак, можно записать полное решение уравнения, которое охватывает все возможные решения: и При этом переменная q может быть любым целым числом.
Решение
простейших тригонометрических уравнений и неравенств.
I. Решение простейших
тригонометрических уравнений:
Ä
Sinx = aaÎ[-1;1] О: Арксинусом числа aÎ[-1;1] называется
такой угол из промежутка [-p/2;p /2],
синус которого равен a .
x = (-1)n arcsin a +p n , nÎZ
Ä
Cosx = aaÎ[-1;1] О: Арккосинусом числа aÎ[-1;1] называется
такой угол из промежутка [ 0 ;p ],
косинус которого равен a .
x = ± arccos a + 2p n , nÎZ
Ä
Tgx = aa — любое число О: Арктангенсом числа aÎ[-¥;+¥] называется
такой угол из промежутка (-p/2;p /2),
тангенс которого равен a .
x = arctg a +p n , nÎZ
Ä
Ctgx = aa — любое число О:Арккотангенсом числа aÎ[-¥;+¥] называется
такой угол из промежутка ( 0 ; p ),
котангенс которого равен a .
x = arcсtga+pn , nÎZили сведём к тангенсу: tgx = 1 / a …
Частные случаи:
sin x = 1
sin
x = -1
sin
x = 0
x
= p /2 + 2p n
x
= -p /2 + 2p n
x
= p n
cos
x = 1
cos
x = -1
cos
x = 0
x
= 2p n
x
= p + 2p n
x
= p /2 + p n
tg
x = 1
tg
x = -1
tg
x = 0
x
= p /4 + p n
x
= -p /4 + p n
x
= p n
ctg
x = 1
ctg
x = -1
ctg
x = 0
x
= p /4 + p n
x
= -p /4 + p n
x = p /2 + p n
II.
Решение простейших
тригонометрических неравенств (на примерах):
План: 1 этап — геометрическое решение на единичной
окружности.
2 этап — определение начала и конца промежутка
(приравнять к нулю)
3 этап — получение окончательного ответа.
Пример 1: Решить неравенство:
sin(x — p
/3) < Ö 3/2
1 этап: геометрическое
решение:
2 этап: найдём начало и
конец:
sin j = Ö 3/2
j = (-1)n
arcsin(Ö 3/2) + pn , nÎ Z
j = (-1)n*p /3 + pn , nÎ Z
При n = 0 ® j = p /3 -
конец дуги
При n = -1 ® j
= — p
/3 — p = — 4p /3 — начало
3 этап: получение ответа:
x — p /3 Î (- 4p /3 + 2pn; p /3 + 2pn) , nÎ Z ½+p / 3
x Î (- p + 2pn; 2p /3 + 2pn) , nÎ Z
Ответ: x Î (- p + 2pn; 2p /3 + 2pn) , nÎ Z
chernovskoe.narod.ru
sin x = 0 частный случай решение
Доброй ночи! Уравнения вида, которое вы нам предоставили — очень часто вызывает различные затруднение. Но это, на самом деле, не так страшно и не так сложно. Прежде, чем разобраться с Вашей уравнением sinx = 0 частный случай решение, нужно подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать. Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке:
Да, я понимаю, что это Вам особо не помогло. Но для этого есть определённое правило решения подобных уравнений, которое примет такой общий вид:
Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения:
Значение мы найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получаем, что Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение:
Ответ:
ru.solverbook.com
sin 4x – sin x = 0
Задание. Решить уравнение: sin 4x — sin x = 0
Решение. Решение каждого уравнения должно начинаться с его анализа. Посмотрим на выражение в левой части уравнения. Оно содержит разность синусов от разных аргументов. Воспользуемся соответствующей формулой, которую принято называть формулой разности синусов, и запишем уравнение:
Поскольку в левой части получили произведение, которое равно нулю, то можно утверждать, что каждый член этого произведения может быть равен нулю. Поэтому получим два уравнения, в которых каждый из множителей приравнивается к нулю: или Решим каждое уравнение по отдельности. При каких аргументах синус равен нулю можно узнать из таблицы значений синусов или любым другим доступным способом. Тогда решением первого уравнения будут корни:
Выразим х и получим:
С помощью таблицы значений косинуса узнаем, при каких аргументах косинус равен нулю. Таким образом, решением второго уравнения будут корни:
Равносильности
формул логики высказываний часто
называют законами
логики.
Перечислим наиболее важные из них:
–закон
тождества.
–закон
исключенного третьего
–закон
противоречия
–дизъюнкция
с нулем
–конъюнкция
с нулем
–дизъюнкция
с единицей
–конъюнкция
с единицей
–закон
двойного отрицания
–коммутативность
конъюнкции
–коммутативность
дизъюнкции
–ассоциативность
конъюнкции
–ассоциативность
дизъюнкции
–дистрибутивность
конъюнкции
–дистрибутивность
дизъюнкции
–законы
идемпотентности
;
– законы поглощения
;
– законы де Моргана
–закон,
выражающий импликацию через дизъюнкцию
–закон
контрапозиции
–законы,
выражающие эквиваленцию через другие
логические операции
Законы
логики используются для упрощения
сложных формул и для доказательства
тождественной истинности или ложности
формул.
2.3 Равносильные преобразования. Упрощение формул
Если
в равносильные формулы всюду вместо
какой-нибудь переменной подставить
одну и ту же формулу, то вновь полученные
формулы также окажутся равносильными
в соответствии с правилом подстановки.
Таким способом из каждой равносильности
можно получить сколько угодно новых
равносильностей.
Пример
1: Если
в законе де Моргана
вместоХ подставить ,
а вместоY подставить ,
то получим новую равносильность.
Справедливость полученной равносильности
легко проверить с помощью таблицы
истинности.
Если
какую-нибудь формулу ,
являющуюся частью формулыF,
заменить формулой ,
равносильной формуле,
то полученная формула окажется
равносильной формулеF.
Тогда
для формулы из примера 2 можно провести
следующие замены:
–закон
двойного отрицания;
–закон
де Моргана;
–закон
двойного отрицания;
–закон
ассоциативности;
–закон
идемпотентности.
По
свойству транзитивности отношения
равносильности можем утверждать, что
.
Замену
одной формулы другой, ей равносильной,
называют равносильным
преобразованием формулы.
Под упрощением формулы, не содержащей знаков импликации
и эквиваленции, понимают равносильное
преобразование, приводящее к формуле,
которая не содержит отрицаний
неэлементарных формул (в частности,
двойных отрицаний) или содержит в
совокупности меньшее число знаков
конъюнкции и дизъюнкции, чем исходная.
Пример
2.2: Упростим формулу
.
.
На
первом шаге мы применили закон,
преобразующий импликацию в дизъюнкцию.
На втором шаге применили коммутативный
закон. На третьем шаге применили закон
идемпотентности. На четвертом – закон
де Моргана. И на пятом – закон двойного
отрицания.
Замечание
1.
Если некоторая формула является
тавтологией, то и всякая равносильная
ей формула также является тавтологией.
Таким
образом, равносильные преобразования
можно также применять для доказательства
тождественной истинности тех или иных
формул. Для этого данную формулу нужно
равносильными преобразованиями привести
к одной из формул, которые являются
тавтологиями.
Замечание
2.
Некоторые тавтологии и равносильности
объединены в пары (закон противоречия
и закон альтернативы, коммутативный,
ассоциативный законы и т.д.). В этих
соответствиях проявляется так называемый принцип
двойственности.
Две
формулы, не содержащие знаков импликации
и эквиваленции, называются двойственными,
если каждую из них можно получить из
другой заменой знаков
соответственно на.
Принцип
двойственности утверждает следующее:
Теорема
2.2: Если две формулы, не содержащие знаков
импликации и эквиваленции, равносильны,
то и двойственные им формулы также
равносильны.
studfiles.net
2.2 Законы логики
Равносильности
формул логики высказываний часто
называют законами
логики.
Перечислим наиболее важные из них:
–закон
тождества.
–закон
исключенного третьего
–закон
противоречия
–закон
двойного отрицания
–коммутативность
конъюнкции
–коммутативность
дизъюнкции
–ассоциативность
конъюнкции
–ассоциативность
дизъюнкции
–дистрибутивность
конъюнкции
–дистрибутивность
дизъюнкции
–законы
идемпотентности
;
– законы поглощения
;
– законы де Моргана
–закон,
выражающий импликацию через дизъюнкцию
–закон
контрапозиции
–законы,
выражающие эквиваленцию через другие
логические операции
Законы
логики используются для упрощения
сложных формул и для доказательства
тождественной истинности или ложности
формул.
2.3. Упрощение формул.
Пример
1. Упростить формулу (АvВ) ^ (АvС)
Решение.а)
Раскроем скобки
( A vB
) ^ ( A v
C ) ^
v
^C
v
B^A
v
B^C б) По закону идемпотентности A^A
, следовательно,
^
v
^C
v
B^A
v
B^C
v
^C
v
B^A
v
B^C
в)
В высказываниях А и А· C вынесем за скобки
А и используя свойство Аv1
1, получим
АvА^Сv
^
v
^C
( ^
v
С v
^ v
^С
v
^ v
^С
Аналогично
пункту в) вынесем за скобки высказывание
А.
v^
v
^С
^
v
^С
v
^С
Таким
образом, мы доказали закон дистрибутивности.
Пример
2. Упростить выражение v
^
Решение.
v
^ v
— поглощение
Пример
3. Упростить выражение ^ v
^ Решение. ^ v
^
v
— склеивание
Всякую
формулу можно преобразовать так, что в
ней не будет отрицаний сложных высказываний
— все отрицания будут применяться только
к простым высказываниям. Пример
4. Преобразовать
формулу так, чтобы не было отрицаний сложных
высказываний. Примечание!!!! знак
«+» — дизъюнкция; знак «∙»-конъюнкция.
Решение.1.
Воспользуемся формулой де Моргана,
получим: 2.
Для выражения
применим
еще раз формулу де Моргана, получим:
Любую
формулу можно тождественно преобразовать
так, что в ней не будут использованы:—
знаки логического сложения;
— знаки
логического умножения.
— знаки отрицания
и логического умножения;
— знаки
отрицания и логического сложения.
Пример
5. Преобразовать формулу
так,
чтобы в ней не использовались знаки
логического сложения.
Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания,
а затем формулой де Моргана.
Пример
6. Преобразовать формулу
так, чтобы в ней не использовались знаки
логического умножения. Решение. Используя формулы де Моргана и закон
двойного отрицания получим:
Эквиваленция
выражается через конъюнкцию и импликацию:
Из
(3) и (1) получаем:
Y
X
(4)
Эта равносильность выражает
эквиваленцию через конъюнкцию, дизъюнкцию
и отрицание.
Из равносильностей (3) и
(2) получаем равносильность:
= (5),
выражающую
эквиваленцию через конъюнкцию и
отрицание.
Если
в равносильные формулы всюду вместо
какой-нибудь переменной подставить
одну и ту же формулу, то вновь полученные
формулы также окажутся равносильными
в соответствии с правилом подстановки.
Таким способом из каждой равносильности
можно получить сколько угодно новых
равносильностей.
Пример
1: Если
в законе де Моргана
вместоХ подставить ,
а вместоY подставить ,
то получим новую равносильность.
Справедливость полученной равносильности
легко проверить с помощью таблицы
истинности.
Если
какую-нибудь формулу ,
являющуюся частью формулыF,
заменить формулой ,
равносильной формуле,
то полученная формула окажется
равносильной формулеF.
Тогда
для формулы из примера 2 можно провести
следующие замены:
–закон
двойного отрицания;
–закон
де Моргана;
–закон
двойного отрицания;
–закон
ассоциативности;
–закон
идемпотентности.
По
свойству транзитивности отношения
равносильности можем утверждать, что
.
Замену
одной формулы другой, ей равносильной,
называют равносильным
преобразованием формулы.
Под упрощением формулы, не содержащей знаков импликации
и эквиваленции, понимают равносильное
преобразование, приводящее к формуле,
которая не содержит отрицаний
неэлементарных формул (в частности,
двойных отрицаний) или содержит в
совокупности меньшее число знаков
конъюнкции и дизъюнкции, чем исходная.
Пример
2: Упростим формулу
.
.
На
первом шаге мы применили закон,
преобразующий импликацию в дизъюнкцию.
На втором шаге применили коммутативный
закон. На третьем шаге применили закон
идемпотентности. На четвертом – закон
де Моргана. И на пятом – закон двойного
отрицания.
Замечание
1.
Если некоторая формула является
тавтологией, то и всякая равносильная
ей формула также является тавтологией.
Таким
образом, равносильные преобразования
можно также применять для доказательства
тождественной истинности тех или иных
формул. Для этого данную формулу нужно
равносильными преобразованиями привести
к одной из формул, которые являются
тавтологиями.
Замечание
2.
Некоторые тавтологии и равносильности
объединены в пары (закон противоречия
и закон альтернативы, коммутативный,
ассоциативный законы и т.д.). В этих
соответствиях проявляется так называемый принцип
двойственности.
Две
формулы, не содержащие знаков импликации
и эквиваленции, называются двойственными,
если каждую из них можно получить из
другой заменой знаков
соответственно на.
Принцип
двойственности утверждает следующее:
Теорема
2.2: Если две формулы, не содержащие знаков
импликации и эквиваленции, равносильны,
то и двойственные им формулы также
равносильны.
Вопросы
для контроля:
Равносильные
предложения. Равносильные формулы.
Свойства
отношения равносильности.
Равносильные
преобразования.
Упрощение
формул.
Применение
равносильных преобразований.
Принцип
двойственности.
studfiles.net
Упрощение логических выражений
Замечание 1
Логическую функцию можно записать с помощью логического выражения, а затем можно перейти к логической схеме. Упрощать логические выражения надо для того, чтобы получить как можно более простую (а значит, и более дешёвую) логическую схему. По сути, логическая функция, логическое выражение и логическая схема −это три разных языка, рассказывающие об одной сущности.
Для упрощения логических выражений используют законы алгебры логики.
Какие-то преобразования похожи на преобразования формул в классической алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), а другие преобразования основаны на свойствах, которыми операции классической алгебры не обладают (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, правил де Моргана и др.).
Законы алгебры логики формулируются для базовых логических операций — “НЕ” – инверсия (отрицание), “И” – конъюнкция (логическое умножение) и “ИЛИ” – дизъюнкция (логическое сложение).
Закон двойного отрицания означает, что операция “НЕ” обратима: если применить ее дважды, то в итоге логическое значение не изменится.
Закон исключенного третьего гласит, что любое логическое выражение либо истинно, либо ложно (“третьего не дано”). Поэтому если $A=1$, то $\bar{A}=0$ (и наоборот), а, значит, конъюнкция этих величин всегда равно нулю, а дизъюнкция равна единице.
Операции с константами и закон повторения легко проверяются по таблицам истинности операций “И” и “ИЛИ”.
Переместительный и сочетательный законы выглядят так же, как и в математике. Почти всегда “работает” аналогия с классической алгеброй, нужно только помнить, что в логике $1 + 1 = 1$, а не $2$.
Рисунок 1.
Распределительный закон для дизъюнкции — это просто раскрытие скобок. А вот для конъюнкции выражение незнакомое, и в математике это равенство неверно. Доказательство начинаем с правой части. Раскроем скобки:
Правила, которые позволяют раскрывать инверсию сложных выражений, получили своё название в честь де Моргана, шотландского математика и логика. Важно следующее: “общее” отрицание не просто переходит на отдельные выражения, но и конъюнкция заменяется на дизъюнкцию (и наоборот). Доказать эти правила можно с помощью таблиц истинности.
Большинство законов и аксиом алгебры логики записаны парами. При внимательном изучении пар можно вывести принцип двойственности– если в тождестве произвести взаимные замены операций дизъюнкции и конъюнкции, а также элементы $0$ и $1$, в случае если они имеются, то получим тоже тождество. Такое свойство принято называть принципом двойственности.
Примеры упрощения логических выражений
$(A \cdot B) + (A \cdot \bar{B}) = A \cdot (B + B)= A \cdot 1 = A$
Рисунок 2.
здесь был использовано правило де Моргана для дизъюнкции и закон двойного отрицания, далее вынесли за скобку сомножитель $\bar{X}$, получили в скобках закон исключённого третьего и использовали операцию с константами.
Пример 1
Кто из учеников $A$, $B$, $C$ и $D$ играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:
а) если $A$ или $B$ играет, то $C$ не играет;
б) если $B$ не играет, то играют $C$ и $D$;
в) $C$ играет
Решение. Определим следующие простые высказывания:
$A$ — «ученик $A$ играет в шахматы»;
$B$ — «ученик $B$ играет в шахматы»;
$C$ — «ученик $C$ играет в шахматы»;
$D$ — «ученик $D$ играет в шахматы».
С помощью простых высказываний запишем высказывания из условия:
а) ($A + B) → C$;
б) $B → C \cdot D$;
в) $C$.
Составим конъюнкцию записанных сложных высказываний:
Ответ: в шахматы играют ученики $B$, $C$ и $D$, а ученик $A$ не играет.
При упрощении логических выражений можно выполнять такую последовательность действий:
Заменить все “небазовые” операции (эквивалентность, импликацию, исключающее ИЛИ и др.) на их выражения через базовые операции инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию.
Раскрыть инверсии сложных выражений по правилам де Моргана таким образом, чтобы операции отрицания остались только у отдельных переменных.
Затем упростить выражение, используя раскрытие скобок, вынесение общих множителей за скобки и другие законы алгебры логики.
Пример 2
Здесь последовательно использованы правило де Моргана, распределительный закон, закон исключенного третьего, переместительный закон, закон повторения, вновь переместительный закон и закон поглощения.
Рисунок 4.
Также можно использовать упрощение логических выражений для нахождения решений логического уравнения.
Пример 3
Требуется найти все решения уравнения
Рисунок 5.
Упрощаем выражение, заменяя импликацию по формуле $А → В = \bar{А} + В$, и получаем
Рисунок 6.
Используем правило де Моргана
$B + C + \bar{A} + \bar{A} \cdot \bar{C} + D = 0$
и закон поглощения
$B + C + \bar{A} + D = 0$
Для того чтобы логическая сумма была равна нулю, каждое слагаемое должно быть равно нулю, поэтому
$A = 1$, $B = 0$, $C = 0$, $D = 0.$
Пример 4
Выполнить преобразование логической функции
Рисунок 7.
Применим последовательно следующие законы алгебры логики: правило де Моргана для конъюнкции, правило де Моргана для дизъюнкции, закон двойного отрицания, закон исключённого третьего, вынос общего множителя за скобки и операцию с константой
Рисунок 8.
spravochnick.ru
Упрощение логических выражений
Разделы: Информатика
Основная образовательная задача урока – научить учащихся умению упрощать логические выражения, правильно определять порядок выполнения операций в логическом выражении, устанавливать связи между различными частями сложных логических выражений, умение выбирать лучший вариант решения.
Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.
Применение основных законов логики для упрощения логических выражений.
Представленные примеры демонстрируют основные приемы упрощения логических выражений.
Упростить логическое выражение:
1)
Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения, определимся с порядком выполнения операций:
Воспользуемся распределительным законом и вынесем за скобки общий множитель, затем операцией переменной с ее инверсией.
Воспользуемся распределительным законом и вынесем за скобки общий множитель, затем операцией переменной с ее инверсией, затем операцией с константами.
Таким образом,
2)
Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения, определимся с порядком выполнения операций. В выражении присутствуют два выражения в скобках, соединенных дизъюнкцией. Сначала преобразуем выражения в скобках.
В первой скобке воспользуемся распределительным законом, во второй скобке – раскроем инверсию по правилу де Моргана и избавимся от инверсии по закону двойного отрицания.
Воспользуемся операцией переменной с ее инверсией.
Таким образом,
3)
Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения, определимся с порядком выполнения операций. В выражении присутствуют два выражения в скобках, соединенных конъюнкцией. Сначала преобразуем выражения в скобках.
Раскроем инверсию по правилу де Моргана, избавимся от инверсии по закону двойного отрицания.
Воспользуемся переместительным законом и поменяем порядок логических сомножителей.
Применим закон склеивания
Воспользуемся распределительным законом, затем операцией переменной с ее инверсией, затем операцией с константами.
Таким образом,
4)
Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения, определимся с порядком выполнения операций.
В выражении присутствует импликация. Сначала преобразуем импликацию .
Воспользуемся правилом де Моргана, затем законом двойного отрицания, затем раскроем скобки.
Применим закон идемпотенции и перегруппируем логические слагаемые.
Воспользуемся распределительным законом и вынесем за скобки общий логический множитель.
Воспользуемся операцией с константами.
Таким образом,
5)
Рассмотрим 3 способа упрощения этого логического выражения.
1 способ. Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения.
Воспользуемся распределительным законом и раскроем скобки, затем операцией переменной с ее инверсией и законом идемпотенции.
Воспользуемся распределительным законом и раскроем скобки, затем операцией переменной с ее инверсией.
Воспользуемся законом идемпотенции.
Таким образом,
2 способ. Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения.
Воспользуемся законом склеивания
Воспользуемся операцией переменной с ее инверсией.
Таким образом,
3 способ. Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения.
Повторим второй сомножитель , что разрешено законом идемпотенции.
Сгруппируем два первых и два последних сомножителя.
Воспользуемся законом склеивания
Таким образом,
6)
Рассмотрим 2 способа упрощения этого логического выражения.
1 способ. Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения, определимся с порядком выполнения операций.
Воспользуемся распределительным законом и вынесем общий логический множитель за скобки.
2 способ. Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения, определимся с порядком выполнения операций.
Введем вспомогательный логический сомножитель
Сгруппируем 1 и 4, 2 и 3 логические слагаемые. Вынесем общие логические множители за скобки.
Воспользуемся операцией с константами и операцией переменной с ее инверсией.
Таким образом,
Получили два логических выражения:
Теперь построим таблицы истинности и посмотрим, правильно ли упрощено логическое выражение
Равносильные преобразования — это замена
одной формулы другой, равносильной
формулой. Если в равносильные формулы
всюду вместо какой-нибудь переменной
подставить одну и ту же формулу, то вновь
полученные формулы также окажутся
равносильными.
Под упрощением формулы будем понимать
равносильные преобразования, приводящие
к формуле, содержащей меньшее числа
переменных, чем исходная. Такие
преобразования формул логики (логических
функций) необходимы при синтезе, анализе,
контроле дискретных устройств, а в
последнее время — в системах искусственного
интеллекта (логического вывода).
Мощным аппаратом для таких равносильных
преобразований помимо рассмотренных
законов алгебры логики являются так
называемые основные формулы равносильных
преобразований, полученные с использованием
этих законов.
Пусть
— некоторая переменная, причем символ~означает, что неважно, инверсная они
или нет, т.е.Î{а,};
тогдаÎ{,а}.
Пустьf[(,),,…]- некоторая функция, зависящая как от
переменной х и ее инверсии,
так и от других переменных
,….
Под одноименностью будем понимать и
соответствие знаков инверсии (т.е.
одновременное наличие или отсутствие).
Тогда, если переменнаянаходится в конъюнкции с некоторой
функцией, зависящей от данной переменной
и от других переменных, то в этой функции
все одноименныепеременные заменяются на константу 1,
а все переменные,
инверсные одноименной, — на константу
0. Сама же переменная перед функцией
остается без изменения. Таким образом,
×f[(,),,…]=×f[(1,0),,…].
Такая
запись означает, что
х×f[(х,),,…]=х×f[(1,0),,…];
×f[(х,),,…]=×f[(0,1),,…].
Условно замену переменных на константу
в функции fобозначаем стрелками.
Примеры:
f1(авс)=а(вÚа)(Úс)=а(вÚ1)(0Úа)=ас;
f2(авс)=(вÚа)(Úс)=(вÚ0)(1Úс)=×в.
Для облегчения запоминания рекомендуется
мнемоническое правило. Представим
формулу равносильного преобразования
относительно конъюнкции из вида
переключательной схемы, в которой
конъюнкции
и функцииfсоответствует их последовательное
соединение. Такое соединение напоминает
символ 1 (рис.6.1). Для простоты на рис.6.1
не указаны переменные функцииf.
Это значит, что одноименные переменныевfзаменяются на константу 1. Соответственно
переменныевfзаменяются на константу 0.
Рис.6.1. Иллюстрация мнемонического
правила
для формулы равносильных преобразований
относительно конъюнкции
Рассмотрим
формулу равносильных преобразований
относительно дизъюнкции. Если переменнаялогически складывается с функцией,
зависящей от данной переменной и от
других переменных, то в этой функции
все одноименныепеременные заменяются на константу 0,
а все переменные,
инверсные одноименной, заменяются на
константу 1. Сама же переменная, логически
складываемая с функцией, остается без
изменения:
Úf[(,),,…]=Úf[(0,1),,…].
Это
означает, что
хÚf[(х,),,…]=хÚf[(0,1),,…];
Úf[(х,),,…]=Úf[(1,0),,…].
Здесь также замена переменных на
константы в функции fусловно показана стрелками.
Примеры:
f(авс)=аÚ(вÚа)(Úс)=аÚ=аÚв;
f(авс)=авÚ(Ú)(Ú).
В
этой функции в явном виде нет отдельной
переменной (),
однако нетрудно заметить, что ав=(Ú).
Поэтому обозначим ав, например, х:
f(асх)=хÚ(Ú)=хÚÚ.
Отсюда
f(авс)=авÚÚс=1×вÚÚс=ÚвÚс.
Имеется соответствующее мнемоническое
правило. Представим формулу равносильного
преобразования относительно дизъюнкции
в виде релейной структуры, в которой
дизъюнкции
и функцииfсоответствует их параллельное соединение.
Такое соединение напоминает символ 0
(рис.6.2). Это значит, что одноименные
переменныевfзаменяются на константу 0. Соответственно
переменныевfзаменяются на константу 1.
Рис.6.2. Иллюстрация мнемонического
правила
для формулы равносильных преобразований
относительно дизъюнкции
Основные формулы равносильных
преобразований можно доказать методом
подстановки в них вместо переменной х
ее возможных значений 0, 1 и сравнения
правой и левой частей уравнения.
Докажем, например, формулу
хÚf[(х,),…]=хÚf[(0,1),…].
Пусть х=0; тогда левая часть формулы
0Úf[(0,1),…],
а правая
0Úf[(0,1),…],
т.е. равенство справедливо.
Пусть х=1; тогда левая часть формулы
1Úf[(1,0),…]-1,
а правая часть формулы
1Úf[(0,1),…]=1.
Равенство также справедливо, несмотря
на отличия в функции f.
Аналогично доказывается формула для
конъюнкции, например
х×f[(х,),…]=х×f[(1,0),…].
При х=0
0×f[(0,1),…]=0×f[(1,0),…]=0,
равенство справедливо, несмотря на
отличия в функции f.
При х=1
1×f[(1,0),…]=1×f[(1,0),…],
равенство также справедливо.
Основные формулы равносильных
преобразований имеют следствия, которые
позволяют разложить логическую функцию
по любой переменной.
Следствие 1:
f[(x,),,…]=x×f[(1,0),,…]Úf[(0,1),,…].
Следствие может быть доказано путем
конъюнкции функции с тождественно
истинной формулой хÚи последующего применения формул
равносильного преобразования:
f(хÚ)=fхÚf=xf[(1,0),,…]Úf[(0,1),,…].
(Это
известное разложение Шеннона).
Пример 1. Разложить логическую функцию
по переменной в:
Пример 2: Разложим ту же функцию f(авсd)
(пример 1) по переменной а с помощью
следствия 2:
f(авсd)={аÚ0×Ú(1Úв)×с[0×Úd(1Úв)]}×
×{Ú1×Ú(0Úв)×с[1×Úd(0Úв)]}=
={аÚсd}{ÚÚвс[Údв]}=(аÚсd)(ÚÚсd).
Указанные следствия могут быть применены
для преобразования структур
релейно-контактных автоматов, когда
необходимо привести их к какому-либо
одному переключающему контакту или
когда исходная структура не может быть
сразу записана в аналитической форме.
studfiles.net
Равносильные преобразования
§ 3 Равносильные
преобразования
Определение 1. Две формулы алгебры логики А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе
значений входящих в них высказываний
(АВ).
Важнейшие
равносильности можно разбить на три группы:
III. Равносильности, выражающие основные законы алгебры
логики:
1.
— коммутативность
конъюнкции.
2.
— коммутативность
дизъюнкции.
3.
— ассоциативность
конъюнкции.
4.
— ассоциативность
дизъюнкции.
5.
— дистрибутивность
конъюнкции относительно дизъюнкции.
6.
— дистрибутивность
дизъюнкции относительно конъюнкции.
Используя
равносильности группы I, II и III, можно часть
формул алгебры логики или всю формулу заменить равносильной ей формулой.
Такие преобразования называются равносильными. Равносильные
преобразования формул применяются для доказательства равносильностей,
для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул.
Пример
1.Доказать равносильность .
Решение. Для
доказательства равносильности подвергнем ее левую часть равносильным преобразованиям: .
Определение 2. Формула А называется тождественноистинной (или тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях
входящих в нее переменных.
Определение 3.Формула А называется тождественноложной, если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в
нее переменных.
Пример
2. Доказать тождественную истинность формулы:
.
Решение. Подвергнем формулу А равносильным преобразованиям
.
Для проверки усвоения теоретического
материала можно перейти к выполнению Проверочной работы №2.
logica2006.narod.ru
 Равносильные преобразования формул
 Используя равносильности I, II, III групп можно часть формулы или формулу заменить равносильной ей формулой. такие преобразования формул называются равносильными.  Равносильные преобразования используются для доказательства равносильностей, для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул.  Формула \(A\) считается проще равносильной ей формулы \(В\), если она содержит меньше букв, меньше логических операций. При этом обычно операции эквивалентности и импликации заменяются операциями дизъюнкции и конъюнкции, а отрицание относятся к элементарным высказываниям. Рассмотрим ряд примеров.  Пример 1. Доказать равносильность \(x \leftrightarrow y \equiv \bar{x} \wedge \bar{y} \vee x \wedge y\).
 Решение. Используя равносильности I, II, III групп запишем цепочку равносильных формул: $$x \leftrightarrow y \equiv ( x \rightarrow y) \wedge (y \rightarrow x) \equiv (\bar{x} \vee y) \wedge ( \bar{y} \vee x) \equiv$$
$$\equiv \bar{x} \wedge \bar{y} \vee \bar{x} \wedge x \vee y \wedge \bar{y} \vee y \wedge x \equiv$$
$$\equiv \bar{x} \wedge \bar{y} \vee 0 \vee 0 \vee y \wedge x \equiv \bar{x} \wedge \bar{y} \vee y \wedge x \equiv \bar{x} \wedge \bar{y} \vee x \wedge y.$$  Пример 2. Упростить формулу \(( \overline{( x \vee y ) }\rightarrow x \vee y) \wedge y\).
 Решение. Запишем цепочку равносильных формул:
$$(\overline{\overline{( x \vee y )}} \vee x \vee y) \wedge y \equiv ( x \vee y \vee x \vee y) \wedge y \equiv ( x \vee y ) \wedge y \equiv y.$$  Пример 3. Доказать тождественную истинность формулы:
$$( x \rightarrow y) \rightarrow ((y \rightarrow z) \rightarrow ( x \vee y \rightarrow z)).$$  Решение. Запишем цепочку равносильных формул, используя равносильности:
$$( x \rightarrow y) \rightarrow ((y \rightarrow z) \rightarrow ( x \vee y \rightarrow z)) \equiv$$ $$\equiv \overline{( \bar{x} \vee y)} \vee (\overline{ \bar{y} \vee z } \vee \overline{ x \vee y} \vee z) \equiv \bar{\bar{x}} \wedge \bar{y} \vee \bar{\bar{y}} \wedge \bar{z} \vee \bar{x} \wedge \bar{y} \vee z \equiv$$ $$\equiv x \wedge \bar{y} \vee y \wedge \bar{z} \vee \bar{x} \wedge \bar{y} \vee z \equiv ( x \wedge \bar{y} \vee \bar{x} \wedge \bar{y} ) \vee ( y \wedge \bar{z} \vee z) \equiv$$ $$\equiv \bar{y} \wedge ( x \vee \bar{x} ) \vee ( y \vee z) \wedge ( \bar{z} \vee z ) \equiv \bar{y} \wedge 1 \vee ( y \vee z) \wedge 1 \equiv$$ $$\equiv \bar{y} \vee y \vee z \equiv ( \bar{y} \vee y ) \vee z \equiv 1 \vee z\equiv 1.$$
Исследование функции с помощью производной онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
Вы можете выполнить исследование функции с помощью производной. Для этого воспользуйтесь онлайн калькулятором с подробным решением, как исследовать функцию.
Для это введите свою функцию в калькулятор:
Где при исследовании функции пригодится помощь производной?
Здесь перечислим, где используется производная, чтобы исследовать функцию:
Чтобы найти точки экстремумов: найти наименьшее или наибольшее значение функции, а также промежутки возрастания и убывания функции
Также чтобы найти точки перегибов функции — интервалы выпуклости и вогнутости (здесь используется производная второго порядка).
Рассмотрим пример
Найдём с помощью производной экстремумы и точки перегибов для функции (x^2 — 1)/(x^2 + 1):
Получим результат:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
Вторая производная
/ 2 2 2 / 2\\
| -1 + x 4*x 4*x *\-1 + x /|
2*|1 - ------- - ------ + --------------|
| 2 2 2 |
| 1 + x 1 + x / 2\ |
\ \1 + x / /
----------------------------------------- = 0
2
1 + x
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
(-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo)
www.kontrolnaya-rabota.ru
Исследование функций и построение графиков
Опорными точками при исследовании функций и построения их графиков служат характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения с осями координат.
С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций:
возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот.
Эскиз графика функции можно (и нужно) набрасывать уже после нахождения асимптот и точек экстремума,
а сводную таблицу исследования функции удобно заполнять по ходу исследования.
Обычно используют следующую схему исследования функции.
1. Находят область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.
2. Исследуют функцию на чётность или нечётность (осевая или центральная симметрия графика.
3. Находят асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).
4. Находят и исследуют промежутки возрастания и убывания функции, точки её экстремума.
5. Находят интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба.
6. Находят точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют.
7. Составляют сводную таблицу исследования.
8. Строят график, учитывая исследование функции, проведённое по вышеописанным пунктам.
Пример. Исследовать функцию
и построить её график.
Решение.
1. Область определения функции – вся числовая прямая. Множеством значений данной функции, как и всякой показательной функции, служит интервал ]0, +∞[. Поэтому график функции расположен выше оси Ox,
2. Напомним: из школьного курса известно, что функция y = f(x) называется чётной, если
для всех x, принадлежащих области определения функции.
.
График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; y).
Функция y = f(x) называется нечётной, если
для всех x, принадлежащих области определения функции.
График нечётной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; -y).
Наша исследуемая функция чётная, так как
её график симметричен относительно оси Oy. Поэтому исследование можно выполнять только для ]0, +∞[.
3. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, так как
Поскольку кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту y = 0, у неё не может быть наклонных асиптот.
4. Находим
Из уравнения
имеем
Так как при переходе через значение x = 0 меняет знак с плюса на минус, то функция в точке x = 0 переходит от возрастания к убыванию, а (0; 1) – точка максимума.
Касательная к кривой в этой точке горизонтальна, поскольку
5. Находим
Из уравнения
получаем
т.е.
Учитывая чётность функции, исследуем знаки в окрестности только точки
Следовательно, при x = 1 кривая
меняет выпуклость на вогнутость. Так как
то
точка перегиба кривой. Угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке
поэтому в точке перегиба касательная образует с осью Ox тупой угол.
6. График не пересекает оси Ox, поскольку он расположен выше неё. Найдём точки пересечения кривой с осью Oy: полагая x = 0, имеем
Тем самым получим точку (0; 1) графика, которая совпадает с
точкой максимума.
7. Составим сводную таблицу исследования функции, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:
Особенности графика
[-1, 0[
+
—
Возрастает
Выпуклый
0
0
—
1
(0; 1) – точка максимума
]0, 1[
—
—
Убывает
Выпуклый
1
—
0
— точка перегиба, образует с осью Ox тупой угол
]1, +∞[
—
+
Убывает
Вогнутый
+∞
—
+
y = 0 – горизонтальная асимптота
8. Используя результаты исследования, строим график функции (см. рисунок).
Весь блок «Производная»
function-x.ru
Исследование функций с помощью производной | LAMPA
Монотонная функция
Возрастающая функция на отрезке [a,b][a,b][a,b] (или интервале, или множестве) — это такая функция f(x)f(x)f(x), что для любых x1<x2x_1\lt x_2x1<x2 из отрезка (интервала, множества) выполняется неравенство f(x1)<f(x2)f(x_1)\lt f(x_2)f(x1)<f(x2). В случае выполнения нестрогого неравенства f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)f(x1)≤f(x2) функция называется неубывающей на отрезке.
Убывающая функция на отрезке [a,b][a,b][a,b] (или интервале, или множестве) — это такая функция f(x)f(x)f(x), что для любых x1<x2x_1\lt x_2x1<x2 из отрезка (интервала, множества) выполняется неравенство f(x1)>f(x2)f(x_1)\gt f(x_2)f(x1)>f(x2). В случае выполнения нестрогого неравенства f(x1)≥f(x2)f(x_1)\ge f(x_2)f(x1)≥f(x2) функция называется невозрастающей на отрезке.
Если функция является убывающей или возрастающей, то она называется монотонной функцией.
Пример: функция является возрастающей. Пример: функция y=−3x+2y=-3x+2y=−3x+2 является убывающей.
Точки экстремума
x0x_0x0 — точка максимума функции f(x)f(x)f(x), если для всех достаточно близких точек xxx верно неравенство f(x)≤f(x0)f(x)\le f(x_0)f(x)≤f(x0).
x0x_0x0 — точка минимума функции f(x)f(x)f(x), если для всех достаточно близких точек верно неравенство f(x)≥f(x0)f(x)\ge f(x_0)f(x)≥f(x0).
Точка экстремума — это либо функции.
Признак возрастания и убывания функции
Функция f(x)f(x)f(x) возрастает на промежутке (a;b)(a;b)(a;b), если f′(x)>0f'(x)\gt 0f′(x)>0 на этом промежутке.
Функция f(x)f(x)f(x) убывает на промежутке (a;b), если производная f′(x)<0f'(x)\lt 0f′(x)<0 на этом промежутке.
Признаки максимума и минимума функции
Если функция f(x)f(x)f(x) непрерывна на промежутке (a;b)(a; b)(a;b), возрастает на промежутке (a;x0)(a;x_0)(a;x0) и убывает на промежутке (x0;b)(x_0;b)(x0;b), то x0x_0x0 является .
Признак максимума функции выполняется, если:
f′(x)>0f'(x)\gt 0f′(x)>0 на промежутке (a;x0)(a; x_0)(a;x0)
f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 в точке x0x_0x0
f′(x)<0f'(x)\lt 0f′(x)<0 на промежутке (x0;b)(x_0; b)(x0;b)
Если функция f(x)f(x)f(x) непрерывна на промежутке (a;b)(a; b)(a;b), убывает на промежутке (a;x0)(a;x_0)(a;x0) и возрастает на промежутке (x0;b)(x_0;b)(x0;b), то x0x_0x0 является .
Признак минимума функции выполняется, если:
f′(x)<0f'(x)\lt 0f′(x)<0 на промежутке (a;x0)(a; x_0)(a;x0)
f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 в точке x0x_0x0
f′(x)>0f'(x)\gt 0f′(x)>0 на промежутке (x0;b)(x_0; b)(x0;b)
Критическая точка
Точка, в которой производная функции равна нулю.
В критических точках является горизонтальной линией, так как тангенс угла наклона касательной (значение производной в точке касания) равен нулю.
Три типа критических точек:
x1x_1x1 – точка локального , является ;
x2x_2x2 – точка перегиба, НЕ является точкой экстремума.
x3x_3x3 – точка локального , является точкой экстремума;
Как искать точки максимума и минимума функции
Задачи на нахождение функции решаются по стандартной схеме в 333 шага.
Шаг 1. Найдите производную функции
Запомните функции и основные , чтобы найти производную.
В равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, а в – с плюса на минус.
Применим этот подход, чтобы решить следующую задачу:
Найдите точку максимума функции y=x3−243x+19y=x^3-243x+19y=x3−243x+19. 1) Найдем производную: y′(x)=(x3−243x+19)′=3×2−243;y'(x)=(x^3-243x+19)’=3x^2-243;y′(x)=(x3−243x+19)′=3×2−243; 2) Решим уравнение y′(x)=0y'(x)=0y′(x)=0: 3×2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,×2=93x^2-243=0 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x^2=81 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x_1=-9, \,\,\,\, x_2=93×2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,×2=9 3) Производная положительная при x>9x\gt 9x>9 и x<−9x\lt -9x<−9 и отрицательная при −9<x<9.-9\lt x\lt 9.−9<x<9. Поэтому x=−9x=-9x=−9 — точка максимума.
Как искать наибольшее и наименьшее значение функции
Для решения задачи на поиск наибольших и наименьших значений функции необходимо:
Найти функции на отрезке (интервале).
Найти значения в концах отрезка и выбрать наибольшее или наименьшее величину из значений в точках экстремума и в концах отрезка.
Во многих задачах помогает теорема:
Если на отрезке только одна , причем это точка минимума, то в ней достигается наименьшее значение функции. Если это точка максимума, то в ней достигается наибольшее значение.
Иногда требуется сохранить какую-нибудь страницу в PDF. Например, чтобы прочесть затем на электронной читалке или нетбуке. Для того, чтобы просто сохранить информацию и прочитать ее в офлайне. В данном случае Google и Яндекс, как правило, советуют скачать специальный софт. Но ведь не все программы кросплатформенные, да и покидать браузер не всегда хочется. Поэтому, Лайфхакер сделал для вас небольшую подборку сервисов, которые конвертируют веб-страницы в PDF прямо в браузере.
HTML to PDF converter Минималистичный и красивый сервис по конвертации веб-страниц в PDF. Он даже поддерживает русский язык. Просто введите нужный адрес в единственную на сранице строку и начинайте конвертирование. Через некоторое время сервис выдаст ссылку на .pdf-файл.
Web2pdf convert В отличие от предыдущего, этот сервис русского языка не знает. Но он ему и не нужен. Здесь нет ровным счетом ничего сложного — адрес в строку и скачиваем .pdf-файл. Кстати, Web2pdf convert сделал свою работу гораздо быстрее, чем HTML to PDF converter.
PDF on Fly Этот сервис называется «PDF на лету» и это название подобрано очень правильно. Данный конвертер не так красив и удобен как предыдущие. На нем больше рекламы, чем на других. Для конвертации нужно ввести проверочный код. Это все минусы. Но есть один весомый плюс — конвертер работает очень и очень быстро. Ему нужно около секунды, чтобы сделать свою работу. Правда, он не дает ссылку на сохранение .pdf-файла, а просто предлагает открыть его прямо в браузере.
Htm 2 pdf
Преимущество этого сервиса перед остальными в том, что кроме веб-страниц он конвертирует и html-код. Для этого нужно выбрать опцию «convert RAW html» и вставить в форму исходный код какой-либо странички. Конвертер работает достаточно медленно по сравнению с предыдущими, но возможность конвертирования исходного кода страниц оправдывает его существование.
PDF my URL Простой и быстрый конвертер. Когда вы предлагаете ему ссылку, он, не раздумывая, сразу предлагает вам сохранить документ. Кого-то такая прыть может отпугнуть, а кому-то наоборот понравится. Еще с помощью этого сервиса можно сделать виджет сохранения страницы в PDF для своего сайта или блога.
lifehacker.ru
HTML PDF Конвертер — конвертируйте HTML в PDF
Онлайн PDF Конвертер от PDF24 также поддерживает HTML файлы. Вы можете конвертировать весь веб-сайт или HTML текст в формат PDF. Конвертер прост в использовании. Просто скопируйте и вставьте HTML текст или введите URL сайта, нажмите кнопку «конвертировать» и загрузите Ваш PDF файл.
Конвертируйте HTML веб-страницы в PDF
Самым простым способом конвертации HTML веб-сайтов в PDF является использование Вашего браузера для открытия веб-сайта и использования функции печати, чтобы можно было напечатать сайт на PDF принтере. Загрузите бесплатный PDF принтер от PDF24 с этого сайта и установите приложение. PDF24 Creator установит виртуальный PDF принтер, который Вы можете использовать для конвертации ваших HTML веб-сайтов в формат PDF. Просто распечатайте их на PDF принтере от PDF24, и Вы получите PDF файл.
Подробнее о PDF24 Creator
Вы также можете воспользоваться бесплатным Онлайн URL в PDF Конвертером от PDF24 для преобразования HTML веб-сайтов в PDF. Вам не нужно будет ничего устанавливать. Введите адрес веб-сайта, нажмите кнопку «конвертировать», и через несколько секунд Вы получите хорошо отформатированный PDF файл.
URL в PDF Конвертер
Преобразование текста в формате HTML в формат PDF
Если у Вас имеется только текст в формате HTML, Вы можете открыть этот текст с помощью браузера, чтобы распечатать его на PDF принтере отм. Вы можете также скопировать и вставить текст в форму Онлайн PDF Конвертера от PDF24 для преобразования текста онлайн без установки дополнительного ПО. Откройте страницу PDF24 Онлайн Конвертера, вставьте свой текст и нажмите кнопку Пуск, чтобы получить конвертированный текст.
Онлайн Документ в PDF Конвертер
Обратный процесс: Конвертация PDF файлов обратно в HTML
Это тоже возможно и PDF24 помогает с этой проблемой. Соответствующее приложение доступно в PDF24 инструментарии, и оно преобразует PDF обратно в HTML легко и просто. Вот как это делается:
Откройте утилиты перейдя по ссылке
Выберите PDF файлы, которые хотите преобразовать
Выберите HTML в качестве формата сохранения
Начать преобразование
Сохранить результат
Преобразуйте PDF в HTML
ru.pdf24.org
Как преобразовать HTM файл в PDF файл
На этой странице объясняется, как Вы можете с легкостью конвертировать a .htm файл в PDF файл с помощью бесплатного и простого в использовании PDF24 Creator. Описанный способ конвертации является бесплатным и простым. PDF24 Creator устанавливает PDF принтер, и Вы можете распечатать Ваш .htm файл на данном принтере, чтобы конвертировать файл в PDF.
Что необходимо для конвертации HTM файла в PDF файл или как можно создать PDF версию Вашего HTM файла
Файлы типа HTM или файлы с расширением .htm можно легко конвертировать в PDF с помощью PDF принтера.
PDF принтер представляет собой виртуальный принтер, который можно использовать так же, как любой другой принтер. Отличием от обычного принтера является то, что PDF принтер создает PDF файлы. Вы не печатаете на физическом листе бумаги. Принтер PDF печатает содержимое исходного файла в PDF файл.
Таким образом, Вы можете создать PDF версию любого файла, который можно распечатать. Просто откройте файл с помощью ридера, нажмите кнопку печати, выберите виртуальный PDF принтер и нажмите кнопку «Печать». Если у Вас есть устройство для чтения файла HTM и если ридер может распечатать файл, то Вы можете преобразовать файл в формат PDF.
Бесплатный и простой в использовании PDF принтер от PDF24 можно загрузить с этой страницы. Просто нажмите на кнопку загрузки справа от этой статьи, чтобы загрузить PDF24 Creator. Установите это программное обеспечение. После установки Вы будете иметь новое печатающее устройство, зарегистрированное в Windows, которое можно использовать для создания PDF файлов из Вашего .htm файла или конвертации любого другого файла с возможностью печати в формат PDF.
Вот как это работает:
Установите PDF24 Creator
Откройте .htm файл с помощью ридера, который может открыть файл.
Распечатайте файл на виртуальном PDF24 PDF принтере.
Помощник PDF24 открывает окно, в котором Вы можете сохранять новый файл как PDF, отправлять по его email, факсу или редактировать.
Подробнее о PDF24 Creator
Альтернативный способ того, как преобразовать HTM файл в PDF файл
PDF24 предоставляет несколько онлайн инструментов, которые могут быть использованы для создания PDF файлов. Поддерживаемые типы файлов добавляются по мере поступления и, возможно, формат файла HTM также уже поддерживается. Служба конвертации имеет различные интерфейсы. Два из них являются следующими:
Онлайн PDF Конвертер от PDF24 поддерживает множество файлов, которые могут быть преобразованы в PDF. Просто выберите файл HTM, из которого Вы хотели бы получить PDF версию, нажмите кнопку «конвертировать», и Вы получите PDF версию файла.
Существует также E-Mail PDF Конвертер от PDF24, который также может быть использован для преобразования файлов в формат PDF. Просто отправьте по электронной почте сообщение в службу E-Mail PDF Конвертера, прикрепите HTM файл к этому письму, и через несколько секунд Вы получите PDF файл обратно.
Онлайн PDF Конвертер
Более подробная информация о .htm файлах, которая поможет найти подходящий ридер, так что Вы можете печатать файлы этого типа на PDF принтере.
Расширение файла:
.htm
Мим-Тип:
Описание:
see HTML
ru.pdf24.org
Как конвертировать HTML в PDF?
Конвертирование HTML в PDF
Конвертирование файла HTML в PDF это процесс, изменяющий форму презентации данных, а не сами данные. Конвертация данных — это процесс, выполняемый для потребностей компьютерной технологий. Нас, как окончательных пользователей, интересует прежде всего содержимое файла. Совсем иначе данные в файлах воспринимают машины. Они не интересуются содержанием, для них важна соответствующая форма, или же презентация данных, так, чтобы они смогли расшифровать их содержимое.
Несмотря на то, что данные в окончательной форме представляют ряды нулей и единиц, они должны быть рядами, упорядоченными таким образом, чтобы были читабельны для определенной аппликации или платформы. Всякий раз, когда данные должны быть переданы дальше, должна произойти их конвертация в формат, читабельный для следующей аппликации — нас интересует целевой формат PDF. Данные, содержащиеся в файле HTML можно конвертировать не только для потребностей следующей аппликации, но также с целью перенесения их в другую компьютерную систему.
Экспорт и импорт данных и мануальная конвертация
Конверсия данных как правило является процессом, в определенных случаях механизированным. Эффект работы одной программы является автоматически входным продуктом следующей аппликации (некоторые аппликации дают автоматическую возможность записывать работу, проведенную с файлом HTML в формат PDF — ЭКСПОРТ данных) После выполнения экспорта, мы можем простым методом провести ИМПОРТ этих данных в другую аппликацию. Если нет такой возможности, мы можем попробовать самостоятельно провести процесс конвертирования HTML в PDF. Чтобы язык машин совпадал, необходимо использовать соответствующий конвертатор. Список программ для интересующего Вас конвертирования Вы найдете вверху этой страницы. Конвертатор файла — это транслятор бинарного кода, нивелирующий разницу в коде или проводящий его правильный перевод таким образом, чтобы другая машина или программа поняла его. Для нас, как пользователей, заметным изменением будет только иное расширение файла — PDF вместо HTML. Для машин и программ — это разница между пониманием содержания файла, и отсутствием возможности его прочтения.
ru.thefile.org
PDF в HTML | Zamzar
Расширение файла
.html
Категория
Document File
Описание
Веб-страницы преимущественно размечены на HTML, а затем отображаются в браузерах, таких как Safari, Internet Explorer или Mozilla Firefox. Он предоставляет средства для описания структуры текстовой информации в документе, обозначая определенный текст, заголовки, абзацы, ссылки и т.д., и дополняя текст интерактивными формами, изображениями и другими объектами. Исходный HTML код, используемый веб-браузерами, как правило, не виден пользователю. HTML код можно просмотреть, выбрав Просмотр источника в меню веб-браузера Вид или открыв HTML файл в текстовом редакторе.
Действия
Convert HTML file View other document file formats
Технические детали
Язык HTML основан на использовании различных тегов заключенных в угловые скобки. Все современные браузеры поддерживают использование HTML4, но недавно был разработан HTML5, включив в себя много новых синтаксические особенностей. К ним относятся элементы , и , а также интеграция SVG. в определенной степени , с помощью HTML можно описать внешний вид и семантику документа, и включать в него языки сценариев, встраиваемые языки сценариев, такие как JavaScript, которые могут повлиять на поведение веб-браузеров и других программ для обработки HTML.
Ассоциированные программы
Any Web Browser (e.g. Internet Explorer, Safari, Firefox, Google Chrome)
Разработано
World Wide Web Consortium & WHATWG
Тип MIME
text/html
Полезные ссылки
Более подробная информация о HTML файлах Как я могу редактировать HTML файл? Convert HTML file
www.zamzar.com
html — Преобразование HTML + CSS в PDF с помощью PHP?
После некоторого исследования и общего вытягивания волос решение кажется HTML2PDF. DOMPDF проделал ужасную работу с таблицами, границами и даже умеренно сложной компоновкой и htmldoc кажется достаточно надежным, но почти полностью игнорируется CSS, и я не хочу возвращаться к оформлению HTML без CSS только для этой программы.
HTML2PDF выглядел наиболее перспективным, но у меня была такая странная ошибка в отношении нулевых ссылочных аргументов node_type. Наконец я нашел решение. В принципе, PHP 5.1.x отлично справился с заменой регулярных выражений (preg_replace_ *) на строки любого размера. В PHP 5.2.1 была указана директива конфигурации php.ini под названием pcre.backtrack_limit. Этот параметр конфигурации ограничивает длину строки, для которой выполняется сопоставление. Почему это было введено, я не знаю. Значение по умолчанию было выбрано как 100 000. Почему такая низкая стоимость? Опять же, не знаю.
A ошибка против PHP 5.2.1 для этого, которая по-прежнему открыта почти два года спустя.
Что ужасно, так это то, что когда предел превышен, замена просто бесшумно терпит неудачу. По крайней мере, если ошибка была поднята и зарегистрирована, вы бы указали, что произошло, почему и что изменить, чтобы исправить ее. Но нет.
Итак, у меня есть 70-килобайтный HTML файл, который превращается в PDF. Для этого требуются следующие настройки php.ini:
pcre.backtrack_limit = 2000000; # вероятно, больше, чем мне нужно, но что ОК
memory_limit = 1024M; # да, один гигабайт; и
max_execution_time = 600; # да, 10 минут.
Теперь проницательный читатель, возможно, заметил, что мой HTML файл меньше 100k. Единственная причина, по которой я могу догадаться, почему я столкнулся с этой проблемой, заключается в том, что html2pdf делает преобразование в xhtml как часть процесса. Возможно, это меня перевело (хотя почти 50% раздувание кажется странным). Как бы то ни было, вышеописанное работало.
Теперь html2pdf — ресурс hog. Мой файл 70k занимает около 5 минут и не менее 500-600M ОЗУ для создания 35-страничного PDF файла. Не достаточно быстро (к сожалению) для загрузки в режиме реального времени, к сожалению, и использование памяти ставит коэффициент использования памяти в размере порядка 1000 к 1 (600 МБ ОЗУ для файла 70 тыс.), Что совершенно нелепо.
Ошибка: количество входящих данных превысило лимит в 10.
Чтобы продолжить, вам необходимо обновить свою учетную запись:
Ошибка: общий размер файла превысил лимит в 100 MB.
Чтобы продолжить, вам необходимо обновить свою учетную запись:
Ошибка: общий размер файла превысил абсолютный лимит в 8GB.
Для платных аккаунтов мы предлагаем:
Премиум-пользователь
Вплоть до 8GB общего размера файла за один сеанс конвертирования
200 файлов на одно конвертирование
Высокий приоритет и скорость конвертирования
Полное отсутствие рекламы на странице
Гарантированный возврат денег
Купить сейчас
Бесплатный пользователь
До 100 Мб общего размера файла за один сеанс конвертирования
10 файлов на одно конвертирование
Обычный приоритет и скорость конвертирования
Наличие объявлений
Мы не может загружать видео с Youtube. Для загрузки средства загрузки видео с Youtube нажмите здесь.
image.online-convert.com
Из JPG в PNG
Сервис позволяет произвести преобразование (конвертировать) из формата JPG в формат PNG
JPEG – это наиболее распространенный и популярный формат растрового изображения. Свое название форма получил по аббревиатуре от названия организации-разработчика Joint Photographic Experts Group. Файлы такого формата используются сегодня во всех цифровых фотоаппаратах и камерах. Они имеют хорошую степень сжатия и поддерживают глубину цвета в 24 бит. Поскольку такое сжатие существенно уменьшают размер изображения практически без потери качества, формат JPEG широко распространен в Интернете. Однако чем сильнее сжатие, тем хуже качество. К тому же формат JPEG не поддерживает опцию прозрачности.
PNG – это формат растрового изображения, разработчиком которого является компания PNG Development Group. Название PNG – это аббревиатура от Portable Network Graphic. Этот формат изображений используется, прежде всего, в Интернете для размещения на веб-страницах, поскольку файлы PNG применяют сжатие по алгоритму Deflate, не теряя качества. Разработка данного формата была предпринята для того, чтобы заменить формат GIF, к которому было немало претензий. Качество изображения и характеристики у PNG оказались намного лучше, однако в отличие от GIF он не поддерживает анимацию и использует палитру CMYK.
Отзывы
отлично
good
збс
Очень долго конвертит, через ФШ быстрее сделать
Топовый конвертер, очень быстро, без всего лишнего.
Лучший среди остальных!
Ваще супер!
Спасибо! Супер!
круто
Делаю рекламы и иногда файл с фото скачивается не в том формате… Лучший сайт для решения этой проблемы.
Делаю рекламы и иногда файл с фото скачивается не в том формате… Лучший сайт для решения этой проблемы
Другие сервисы
ru.inettools.net
Онлайн конвертер изображений из JPG в PNG
Во что:
JPGDDSICOPNGTIFFGIFBMPPNMPSPS2PS3PPMPSDPTIFRADPICTPAMPBMPCLPCXPDBPDFPCDPFMPGMPALMVICARVIFFWBMPWDPWEBPXBMXPMXWDUYVYUILRFGSGISUNSVGTGAAAIDCXDIBDPXEPDFEPIEPSEPS2EPS3EPSIAVSCINCMYKCMYKAEPSFEPTEXRFAXJ2CJ2KJXRMIFFMONOMNGMPCMTVOTBJPTJP2FITSFPXGRAYHDRJNGJBIGINFOHRZP7
photometric mono
Leave As IsMinimum is WhiteMinimum is Black
with fill order
most significant to leastleast significant to most
создать превью
Сохранить EXIF, если есть
Сохранить IPTC, если есть
BigTIFF формат
Конвертировать!
online-converting.ru
Онлайн конвертер изображений из JPG в PNG
Во что:
JPGDDSICOPNGTIFFGIFBMPPNMPSPS2PS3PPMPSDPTIFRADPICTPAMPBMPCLPCXPDBPDFPCDPFMPGMPALMVICARVIFFWBMPWDPWEBPXBMXPMXWDUYVYUILRFGSGISUNSVGTGAAAIDCXDIBDPXEPDFEPIEPSEPS2EPS3EPSIAVSCINCMYKCMYKAEPSFEPTEXRFAXJ2CJ2KJXRMIFFMONOMNGMPCMTVOTBJPTJP2FITSFPXGRAYHDRJNGJBIGINFOHRZP7
photometric mono
Leave As IsMinimum is WhiteMinimum is Black
with fill order
most significant to leastleast significant to most
создать превью
Сохранить EXIF, если есть
Сохранить IPTC, если есть
BigTIFF формат
Конвертировать!
fconvert.ru
Онлайн конвертер изображений в PNG
Во что:
JPGDDSICOPNGTIFFGIFBMPPNMPSPS2PS3PPMPSDPTIFRADPICTPAMPBMPCLPCXPDBPDFPCDPFMPGMPALMVICARVIFFWBMPWDPWEBPXBMXPMXWDUYVYUILRFGSGISUNSVGTGAAAIDCXDIBDPXEPDFEPIEPSEPS2EPS3EPSIAVSCINCMYKCMYKAEPSFEPTEXRFAXJ2CJ2KJXRMIFFMONOMNGMPCMTVOTBJPTJP2FITSFPXGRAYHDRJNGJBIGINFOHRZP7
photometric mono
Leave As IsMinimum is WhiteMinimum is Black
with fill order
most significant to leastleast significant to most
создать превью
Сохранить EXIF, если есть
Сохранить IPTC, если есть
BigTIFF формат
Конвертировать!
fconvert.ru
Как конвертировать JPG в PNG файл онлайн
PNG – это изображение с прозрачным фоном, которое часто весит больше своего аналога в JPG-формате. Конвертирование может понадобится в тех случаях, когда нет возможности загрузить какое-либо фото на сайт из-за того, что оно не подходит по формату, или в других ситуациях, где требуется изображение исключительно с расширением PNG.
Преобразование JPG в PNG онлайн
В интернете есть большое количество сервисов, предоставляющие услуги по конвертированию различных форматов – от самых новых до уже давно устаревших. Чаще всего их услуги не стоят ни копейки, но при этом могут встречаться ограничения, например, по размеру и количеству загружаемого файла. Данные правила не сильно мешают в работе, но если вы бы хотели их убрать, то придётся купить платную подписку (относится только к некоторым сервисам), после чего вам будут доступны расширенные возможности. Мы же рассмотрим бесплатные ресурсы, позволяющие быстро выполнить поставленную задачу.
Способ 1: Convertio
Это очень простой и интуитивно понятный сервис, который не имеет каких-либо серьёзных ограничений за исключением следующего: максимальный размер файла должен быть 100 МБ. Единственное неудобство – это то, что незарегистрированным пользователям показывается реклама, но её легко скрыть, используя специальные плагины, например, AdBlock. Для работы не нужно проходить регистрацию и платить.
Перейти к Convertio
Пошаговая инструкция выглядит таким образом:
На главной странице вам нужно выбрать вариант загрузки изображения. Вы можете сделать загрузку с компьютера, по прямой ссылке или с облачных дисков.
Если вы выбрали загрузку изображения с ПК, то у вас откроется «Проводник». В нём найдите нужную картинку и нажмите на «Открыть».
Теперь выберите тип «изображение», и формат «PNG».
Вы можете загрузить несколько файлов одновременно, использовав кнопку «Добавить ещё файлы». Стоит помнить, что их суммарный вес не должен превышать 100 МБ.
Нажмите на кнопку «Преобразовать», чтобы начать конвертирование.
Преобразование будет идти от нескольких секунд до нескольких минут. Всё зависит от скорости вашего интернета, количества и веса загруженных файлов. По завершении нажмите на кнопку «Скачать». Если меняли одновременно несколько файлов, то вы скачаете архив, а не отдельное изображение.
Способ 2: Pngjpg
Данный сервис разработан специально для конвертирования файлов форматов JPG и PNG, другие форматы не поддерживаются. Здесь можно загружать и преобразовывать до 20 изображений одновременно. Ограничение на размер одного изображения всего 50 МБ. Для работы не нужно проходить регистрацию.
Перейти к Pngjpg
Пошаговая инструкция:
На главной странице воспользуйтесь кнопкой «Загрузить» или перетащите изображения в рабочую область. Сервис сам определит, в какой формат их нужно перевести. Например, если вы добавили картинку PNG, то она автоматически будет конвертирована в JPG, и наоборот.
Подождите некоторое время, после чего скачайте картинку. Для этого можно использовать кнопку «Скачать», что под фотографией, или кнопку «Скачать всё», что под рабочей областью. Если вы загрузили несколько изображений, то разумнее всего будет использовать второй вариант.
Способ 3: Online-convert
Сервис для перевода различных форматов изображений в PNG. Помимо преобразования здесь вы можете добавить различные эффекты и фильтры к фотографиям. В остальном серьёзных отличий от ранее рассмотренных сервисов нет.
Перейти к Online-convert
Пошаговая инструкция имеет следующий вид:
Изначально загрузите картинку, которую вы бы хотели конвертировать. Для этого используйте кнопку под заголовком «Upload your image you want to convert to PNG» или введите ссылку на нужную картинку в поле ниже.
Напротив «Настройка качества» выберите в выпадающем меню желаемое качество.
В «Дополнительных настройках» вы можете сделать обрезку изображения, задать размеры, разрешение в пикселях на дюйм, применить какие-либо фильтры.
Чтобы выполнить конвертирование, нажмите на «Преобразовать файл». После него картинка автоматически скачается на компьютер в новом формате.
Читайте также: Как конвертировать CR2 в JPG файл онлайн Как конвертировать фото в JPG онлайн
Если под рукой нет графического редактора или специального ПО, то удобнее всего будет использовать онлайн-конвертеры изображений. Единственные их особенности – это небольшие ограничения и обязательное подключение к интернету.
Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы. Опишите, что у вас не получилось.
Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.
Помогла ли вам эта статья?
ДА НЕТ
lumpics.ru
Как jpg перевести в png 🚩 Компьютеры и ПО 🚩 Другое
Любой формат изображения можно легко конвертировать онлайн. Для этого необходимо зайти на один из сервисов, который предоставляет подобные услуги совершенно бесплатно. Например, сайт «onlineconvertfree» предлагает изменить формат изображения jpg в любой из нижеперечисленных:
Png в перечне присутствует, поэтому можно провести процедуру и здесь. Сначала потребуется загрузить изображение на сайт, нажав на кнопку «Выберите файл». Открывается проводник, выбирается нужный файл, нажимается кнопка «Конвертировать».
После преобразования картинки появляется возможность ее скачать на компьютер.
Данный ресурс способен переформатировать сразу массив изображений. Если необходимо преобразовать большое количество картинок, то подобный сервис будет очень полезным.
Можно воспользоваться и другими конвертерами, например, вот этим: convertio.co.
Интерфейс программы интуитивно понятен, действия расписаны по шагам, есть возможность добавлять картинки из разных источников, также возможна и множественная конвертация. Еще онлайн-программы для выполнения задачи: ru.inettools, jpg2png, online-converting, image.online-conver и другие. Их функционал похож, можно выбрать любую по вкусу.
Программ для работы с фото в настоящее время великое множество. Вот несколько самых распространенных и многофункциональных: GIMP, Paint.net, Photoshop, DxO Photolab. В любой из этих программ есть функция изменения форматов изображений. Осуществить эту процедуру несложно: нужно открыть изображение в одной из программ, найти в панели управления вкладку «Файл», вызвать меню этого раздела. Далее нужно найти функцию «Сохранить как», появится проводник, в котором можно выбрать путь сохранения и желаемый тип файла. В разделе «Тип файла» выбирается формат PNG (*.png) и нажимается «Сохранить».
Если на компьютере не установлен ни один фоторедактор, то можно воспользоваться простейшим графическим редактором Microsoft Paint. Эта программа встроена в пакет установки операционной системы Windows, поэтому есть на каждом ПК с этой системой. Чтобы ее найти, нужно кликнуть «Пуск», «Все программы», «Стандартные», «Paint». Запускается программа, открывается вот такое окно:
Далее нужно открыть основное меню. Следует учесть то, что здесь нет вкладки «Файл», как в других редакторах.
Далее открывается нужное изображение.
Снова вызывается основное меню, но в этот раз выбирается вкладка «Сохранить как».
В этой программе перечень форматов не такой большой, как в других фоторедакторах, но необходимый в списке есть. Нужно выбрать PNG и нажать «Сохранить».
Поставленную задачу можно решить другим способом без онлайн программ и редакторов. В оболочке Windows для этого следует пройти по такому пути: «Пуск» → «Панель управления» → «Параметры папок» → раздел «Вид». Там отыскать строчку «Скрывать расширение для зарегистрированных типов файлов», убрать напротив нее галочку, кликнуть «Применить» и «Ок». Такое простое действие приведет к тому, что расширения файлов будут отображаться.
Далее для замены формата нужно просто переименовать файл, поменяв вручную его расширение. В момент переименования появляется вот такое предупреждение:
В нем ничего страшного нет, нужно нажать «Ок». Но во избежание случайной потери информации рекомендуется сделать копию первичного изображения.
Вот такими способами можно преобразовывать jpg в png. Способ с онлайн-сервисами подойдет как для компьютеров, так и для мобильных устройств, остальные способы подойдут для ПК.
Как построить график функции y=sin x? Для начала рассмотрим график синуса на промежутке [0; π].
Единичный отрезок берём длиной 2 клеточки тетради. На оси Oy отмечаем единицу.
Для удобства число π/2 округляем до 1,5 (а не до 1,6, как требуется по правилам округления). В этом случае отрезку длиной π/2 соответствуют 3 клеточки.
На оси Ox отмечаем не единичные отрезки, а отрезки длиной π/2 (через каждые 3 клеточки). Соответственно, отрезку длиной π соответствует 6 клеточек, отрезку длиной π/6 — 1 клеточка.
При таком выборе единичного отрезка график, изображённый на листе тетради в клеточку, максимально соответствует графику функции y=sin x.
Составим таблицу значений синуса на промежутке [0; π]:
Полученные точки отметим на координатной плоскости:
Так как y=sin x — нечётная функция, график синуса симметричен относительно начала отсчёта — точки O(0;0). С учётом этого факта продолжим построение графика влево, то точки -π:
Функция y=sin x — периодическая с периодом T=2π. Поэтому график функции, взятый на на промежутке [-π;π], повторяется бесконечное число раз вправо и влево :
График функции y=sin x
Тригонометрические функции, в том числе, функция y=sin x, имеют важное практическое применение не только в алгебре, но также в физике и биологии.
www.algebraclass.ru
как построить график функции y=sinx+2, и какие у нее свойства?
<img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/chigrik_89.89/_animated/i-51.gif» >
это у=синх, а синх+2, будет тоже самое, только график переместится по оси у не 2 единицы вверх.
свойства
Область определения функции — множество R всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [1; 3], т. е. синус функция — ограниченная.
Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R.
График функции симметричен относительно точко (0,2).
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:
sin(x+2π·k) +2 = sin x + 2, где k ∈ Z для всех х ∈ R.
sin x +2 не равна 0 при x любое
sin x+2 > 0 (положительная) для всех x любое
sin x +2< 0 (отрицательная) не бывает отрицательной. Функция возрастает от 1 до 3 на промежутках:
Функция убывает от 1 до 3 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x+2 = 3 в точках: х= пи/2+2π·k где k ∈ Z
Наименьшее значение функции sin x +2 = 1 в точках: х=3пи/2+2π·k где k ∈ Z
обычная синусоида, которая просто смещается по оси ОУ на 2 клетки вверх. свойства все те же, что и у обычной синусоиды, только множества значений-не от -1 до 1,а от 2 до 4
Y sinx 2 — как построить график функции y=sinx+2, и какие у нее свойства? — 22 ответа
Sinx 2 график
В разделе Домашние задания на вопрос как построить график функции y=sinx+2, и какие у нее свойства? заданный автором Настя… лучший ответ это это у=синх, а синх+2, будет тоже самое, только график переместится по оси у не 2 единицы вверх. свойства Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [1; 3], т. е. синус функция — ограниченная. Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно точко (0,2). Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: sin(x+2π·k) +2 = sin x + 2, где k ∈ Z для всех х ∈ R. sin x +2 не равна 0 при x любое sin x+2 > 0 (положительная) для всех x любое sin x +2< 0 (отрицательная) не бывает отрицательной. Функция возрастает от 1 до 3 на промежутках: Функция убывает от 1 до 3 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x+2 = 3 в точках: х= пи/2+2π·k где k ∈ Z Наименьшее значение функции sin x +2 = 1 в точках: х=3пи/2+2π·k где k ∈ Z
Ответ от 22 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: как построить график функции y=sinx+2, и какие у нее свойства?
Ответ от Алёнка[гуру] обычная синусоида, которая просто смещается по оси ОУ на 2 клетки вверх. свойства все те же, что и у обычной синусоиды, только множества значений-не от -1 до 1,а от 2 до 4
Комплекс игр и тренажёров по теме «Таблица умножения»
36783
12
]]]]]]]]>]]]]]]>]]]]>]]>
Рекомендации:
Порядок вывода комментариев:
По умолчаниюСначала новыеСначала старые
]]]]]]]]>]]]]]]>]]]]>]]>
Лидия Петровна! Спасибо за комплекс работ по теме «Умножение»! Всё в одном месте и искать не надо!
]]]]]]]]>]]]]]]>]]]]>]]>
Linda
#2 | 06.01.2017 | 16:42 |
0
Татьяна Владимировна! Большое спасибо за внимание к ресурсам и отзыв. Буду рада, если они окажут помощь коллегам. С благодарностью, Лидия Петровна.
]]]]]]]]>]]]]]]>]]]]>]]>
Лидия Петровна, всё-всё-всё забрала себе! Спасибо за такой полезный комплекс Ваших работ! Новых творческих идей Вам!
]]]]]]]]>]]]]]]>]]]]>]]>
Linda
#4 | 06.01.2017 | 17:27 |
0
Лариса Юрьевна! Большое спасибо за внимание к работе и отзыв. Рада, что ресурсы востребованы. С благодарностью, Лидия Петровна.
]]]]]]]]>]]]]]]>]]]]>]]>
DAN64
#5 | 06.01.2017 | 20:50 |
1
Лидия Петровна, вот это комплекс! Какая помощь педагогам в работе! Спасибо Вам за труд и желание делиться материалами. Всего доброго, с Рождеством!
]]]]]]]]>]]]]]]>]]]]>]]>
Linda
#6 | 06.01.2017 | 21:32 |
0
Надежда Георгиевна! Большое спасибо за внимание к работе, отзыв, пожелания и поздравление. С благодарностью, Лидия Петровна.
]]]]]]]]>]]]]]]>]]]]>]]>
n
Хочу поделиться вот какой находкой! Мы недавно очень легко выучили таблицу умножения при помощи вот какой классной штуки. Это картинки с изображениями ассоциаций. Нашла я ее на Авито. Называется «ассоциативная таблица умножения»! Вот правила игры: (скопировала со странички на сайте) Поочередно показывать ребёнку карточки с обеих сторон, вначале множители, затем картинку, поясняя, что она означает. Когда ученик уже немного заучил информацию, нужно показывать только цифры и можно напомнить картинку в случае, если сразу не запомнил. Таким образом, откладывается и сам результат таблицы умножения, и сам познавательный факт, указанный на картинке. Некоторые дети, изучавшие таблицу умножения при помощи данных карточек, сами просили маму показать сначала картинку, а ребёнок уже называет множители! Тоже отличный вариант обучения!
]]]]]]]]>]]]]]]>]]]]>]]>
Linda
#8 | 24.03.2017 | 16:21 |
0
Надежда Валерьевна! Большое спасибо за внимание к работе. С благодарностью, Лидия Петровна.
]]]]]]]]>]]]]]]>]]]]>]]>
Е
Елена
#9 | 07.12.2017 | 19:37 |
1
Большое спасибо за Ваш труд! Мне, как молодому учителю, очень повезло, что я нашла Ваши презентации. Теперь мои второклашки с нетерпением ждут каждый урок математики!
]]]]]]]]>]]]]]]>]]]]>]]>
Linda
#10 | 11.12.2017 | 16:42 |
0
Елена! Большое спасибо за внимание к работе и оценку моего труда. Приятно, что ресурсы востребованы. С благодарностью, Лидия Петровна.
]]]]]]]]>]]]]]]>]]]]>]]>
И
Ирина
#11 | 04.01.2019 | 15:03 |
1
Отличный материал! Спасибо огромное!
]]]]]]]]>]]]]]]>]]]]>]]>
Linda
#12 | 11.01.2019 | 16:17 |
0
Ирина! Большое спасибо за внимание к работе и отзыв. Буду рада, если ресурсы пригодятся в работе. С благодарностью, Лидия Петровна.
«Таблица умножения на 2» тренажёр онлайн детям. Интеллектуальная игра викторина для детей составлена из 15 заданий и 4 вариантов ответов к каждому вопросу. Протестируйте свои знания по теме «Таблица умножения на 2» и ознакомьтесь с результатами игры в виде оценки знаний. Таблица умножения и деления на 2 разработана для детей 2 класса и старше. Если раньше в школьной программе по математике во втором классе начальной школы изучалась вся таблица умножения (от 0 до 10), то теперь многие дети знакомятся с умножением на 2 лишь в конце учебного года 2 класса. Занимательная интерактивная онлайн игра на оценку позволит вашему ребёнку непринуждённо запомнить таблицу умножения и деления в игровой форме.
Задания к онлайн викторине по теме «Таблица умножения на 2» в игровой форме адаптированы под школьников.
Идёт загрузка викторины… Придётся подождать…
15 | 1 000 000
14 | 500 000
13 | 250 000
12 | 125 000
11 | 64 000
10 | 32 000
09 | 16 000
08 | 8 000
07 | 4 000
06 | 2 000
05 | 1 000
04 | 500
03 | 300
02 | 200
01 | 100
¶|11930327120439|jpg|png|js|svg|php|xml|htm
Оценка за викторину «Таблица умножения на 2».
Предлагаем ознакомиться с результатами интеллектуальной игры-викторины (тренажёра) «Таблица умножения на 2»:
Всего заданий викторины (тренажёра): 15
Правильных ответов викторины: —
Ложных ответов викторины: —
Оценка знаний по теме «Таблица умножения на 2»: —
vneuroka.ru
Тесты онлайн по математике для 2 класса
Здесь выложены онлайн тесты по математике за 2 класс на тему «Математические задачи, Сложение и вычитание до 100, и Умножение и деление» и другие. Тесты составлены с учетом школьной программы по математике для 2 класса на основе того, что должен знать и уметь ребенок в этом возрасте. А именно:
Математические задачи для 2 класса. Задачи на нахождение неизвестного слагаемого, неизвестного уменьшаемого и неизвестного вычитаемого. Решение задач в 2 действия на сложение и вычитание. Решение задач в одно действие на умножение и деление (с числами 2 и 3 из таблицы умножения). Порядок выполнения действий в выражениях, содержащих 2-3 действия (со скобками и без них). При этом, кроме простых выражений из программы 1 класса, в этих задачах используются новые (более сложные) выражения: прибавление одноцифрового числа к двухцифровому (45+7), отнимание одноцифрового числа от двухцифрового (45-7), прибавление и отнимание двухцифровых чисел (45+27, 45-27). Также в этих задачах используются меры длины (миллиметры, сантиметры, дециметры, метры), разменная монета (рубли, копейки), единицы измерения веса (киллограмм, центнер), единицы измерения ёмкости (литр).
Сложение и вычитание до 100 для 2 класса. Новая счетная единица – десяток.. Счет десятками. Образование и названия чисел, их десятичный состав. Запись и чтение чисел. Числа однозначные и двузначные. Порядок следования чисел при счете. Сравнение чисел. Единицы длины: сантиметр, дециметр, миллиметр, метр. Соотношения между ними. Единицы времени: час, минута. Соотношение между ними. Определение времени по часам с точностью до минуты. Монеты (набор и размен). Задачи на нахождение неизвестного слагаемого, неизвестного уменьшаемого и неизвестного вычитаемого. Решение задач в 2 действия на сложение и вычитание. Устные и письменные приемы сложения и вычитания чисел в пределах 100. Числовое выражение и его значение. Порядок действий в выражениях, содержащих 2 действия (со скобками и без них). Сочетательное свойство сложения. Использование переместительного и сочетательного свойств сложения для рационализации вычислений.
Умножение и деление для 2 класса.Конкретный смысл и названия действий умножения и деления. Знаки умножения • (точка) и деления : (две точки). (В тестах знак умножения заменяется на «х»). Названия компонентов и результата умножения (деления), их использование при чтении и записи выражений. Переместительное свойство умножения. Взаимосвязи между компонентами и результатом действия умножения; их использование при рассмотрении деления с числом 10 и при составлении таблиц умножения и деления с числами 2, 3. Порядок выполнения действий в выражениях, содержащих 2-3 действия (со скобками и без них). Периметр прямоугольника (квадрата). Решение задач в одно действие на умножение и деление.
Дальше вы можете пройти по порядку (или вразброс) тесты по математике за 2 класс. Желаем успехов!
Тесты
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на нахождение суммы для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на нахождение суммы для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на нахождение суммы для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на нахождение остатка для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на нахождение остатка для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на нахождение остатка для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на тему «Больше, меньше» для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на тему «Больше, меньше» для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач с нахождением неизвестного слагаемого и вычитаемого для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач с нахождением неизвестного слагаемого и вычитаемого для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач с нахождением неизвестного слагаемого и вычитаемого для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач с нахождением неизвестного слагаемого и вычитаемого для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач с нахождением неизвестного третьего слагаемого для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач с нахождением неизвестного третьего слагаемого для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач с нахождением неизвестного уменьшаемого для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач с нахождением неизвестного уменьшаемого для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на разностное сравнение для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на разностное сравнение для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на разностное сравнение для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач с косвенными вопросами для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на сложение в пределах 100 для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на сложение в пределах 100 для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на сложение в пределах 100 для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на сложение с переходом через десяток в пределах 100 для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на вычитание в пределах 100 для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на вычитание в пределах 100 для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на вычитание в пределах 100 для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на вычитание с переходом через десяток для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на вычитание с переходом через десяток для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно проверить свои знания таблицы умножения с числами «2» и «3» для 2 класса.
В этом тесте тебе нужно увеличивать или уменьшать число «2» в заданное количество раз, а также увеличивать и уменьшать другие числа в 3 раза
В этом тесте тебе нужно увеличивать или уменьшать число «3» в заданное количество раз, а также увеличивать и уменьшать другие числа в 3 раза
В этом тесте тебе нужно пройти математический диктант, в котором нужно решать выражения с числом «2».
В этом тесте тебе нужно пройти математический диктант, в котором нужно решать выражения с числом «3».
В этом тесте тебе нужно решить примеры, состоящие из нескольких действий, руководствуясь при этом правилом порядка математических действий.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических заданий, в которых ты сможешь проверить не только математические способности, но и логическое мышление.
chudo-udo.info
Тренажер Таблицы умножения для 2 и 3 классов | Таблица умножения за 20 минут | Клуб любителей математики
Ни для кого не секрет, как важно знание таблицы умножения и деления, в частности при выполнении арифметических расчётов и решении примеров по математике.
Однако, что если ребёнка пугает этот огромный набор цифр, именующийся «Таблицей умножения и деления», а уж знать его наизусть, представляется совсем непосильной задачей?
Тогда спешим успокоить – Выучить всю таблицу умножения очень просто! Для этого необходимо запомнить всего лишь 36 комбинаций чисел (связки трех чисел). Здесь мы не учитываем умножение на 1 и 10, так как это является элементарным действием не требующим особых усилий в запоминании.
Описание работы онлайн тренажера
Данный тренажер работает на основе специально разработанного алгоритма повышения сложности примеров: начиная с самых простых цифр «2 x 2», постепенно повышая сложность до «9 x 9». Тем самым плавно завлекая в процесс изучения.
Таким образом, запоминать таблицу умножения придётся небольшими порциями, что существенно снизит нагрузку, так как дети будут направлять своё внимание всего лишь на несколько примеров, забыв про весь «большой» объём.
В Тренажере есть меню настроек для выбора режима изучения таблицы. Имеется возможность выбора дейстия — «Умножение» или «Деление», диапазона примеров «Вся таблица» или «На какое-то число». Все это является рассширенным функционалом сайта и доступно после оплаты.
Каждый новый пример сопровождается справочной подсказкой, так ребёнку будет легче начать своё изучение и запоминать новые неизвестные ему комбинации.
Если же по ходу обучения, какой либо пример вызывает трудность, можно быстро напомнить себе его результат, воспользовавшись дополнительной подсказкой, это поможет эффективнее справляться с запоминанием трудных примеров.
Процентная шкала быстро даст вам понять каким уровнем знания таблицы умножения Вы обладаете.
Пример считается полностью выученным, если правильный ответ был дан 4 раза подряд. Однако при достижении 100%, призываем не бросать изучение, а вернуться на следующий день и освежить свои знания, повторно пройдя все примеры. Ведь именно регулярные занятия развивают память и закрепляют навыки!
Описание интерфейса онлайн тренажера
Во-первых, в тренажере присутствует «панель быстрого доступа», включающая в себя 4 кнопки. Они позволяют: перейти на главную страницу сайта, включить или отключить звуковые сигналы, сбросить результаты обучения (начать изучение сначала), а также попать на страницу отзывов и комментариев.
Во-вторых, это основная структура программы.
Выше всех находится процентная шкала, отобржающая примерный уровень знания таблицы умножения.
Ниже идет поле с примером, на который необходимо дать ответ. Во время ответа оно будет изменять свой цвет: станет красным — если был дан неверный ответ, зеленым — в случае правильного, голубым — после использования подсказки, и желтоватым — во время показа нового примера.
Следом располагается строка сообщений. В ней выводятся текстовая информация об ошибках, правильных ответах, а также справочной и дополнительной подсказками.
В конце находится экранная клавиатура, содержащая только необходимые для работы кнопки: все цифры, «забой» — если нужно исправить ответ, кнопки «Проверить» и «Дополнительная подсказка».
В-третьих, это ссылка на данное описание (если есть необходимость что-то уточнить) и блок «Поделиться» тренажером в социальных сетях.
Мы уверены, что данный тренажер «Таблица умножения за 20 минут», поможет легко и быстро выучить таблицу умножения и деления.
matematika.club
Игры Таблица Умножения — играть онлайн бесплатно
Онлайн игры «Таблица умножения» — серия развивалок, которые бесплатно знакомят малышей с
основой основ арифметики. С ними просто выучиться считать, умножать, вычитать и складывать. По
сути, это адаптированные для компьютеров и смартфонов тренажеры математики. Чем дольше
играть, тем больше чисел и примеров можно выучить.
Математическая парковка: умножение
Хотите подтянуть таблицу умножения? Эта развивающая игра для мальчиков предложит заниматься парковкой и одновременно повторять таблицу Пифагора.
Таблица умножения
Учебное пособие на русском языке по математике, которое поможет детям выучить таблицу или проверить знания. Учите, решайте, получайте оценки.
Таблица умножения тренажер
Эффективное математическое пособие для быстрого освоения таблицы. Тренажер на русском языке, подходит для всех возрастов и располагает подсказками.
Учим таблицу умножения онлайн тренажер
Детский тренажер с красочным интерфейсом на русском языке поможет детям за игрой выучить таблицу умножения на 2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Учим таблицу умножения, играя
Отправляйтесь на горнолыжный курорт гонять по снежным склонам на сноуборде. Чтобы показать класс езды, щелкайте примеры, как семечки.
Учить таблицу умножения
Приключенческая бродилка приглашает постигать математику в игровой форме. Помогите мальчику вернуть конфеты в Хэллоуин, украденные монстрами.
Таблица умножения на 2
Хотите превратить изучение таблицы в интересное развлечение? Тогда мудрый старый кит приглашает вас в свое подводное царство.
Таблица умножения на 3
Обучающее пособие на русском языке, чтобы учить и повторять формулы. Играйте с подсказками и запоминайте или практикуйте знания математики.
Таблица умножения на 4
Кто сказал, что выучить таблицу Пифагора невозможно без нудной зубрежки? Отправляйтесь исследовать подводные глубины в роли дайвера в этом тренажере.
Таблица умножения на 5
Увлекательная смесь математического тренажера и симулятора кафе. Проявите себя проворным барменом: быстро решайте примеры и обслуживайте клиентов.
Таблица умножения на 6
Если вы фанат драйва и хотите за игрой выучить таблицу, тогда попытайтесь побить скоростные рекорды в гонке, решая примеры по математике.
Таблица умножения на 7
Помогите Гарри Поттеру победить в волшебном математическом батле против 4-х магов, чтобы получить звание Лорда Волдемата.
Таблица умножения на 8
Хотите интересно изучать таблицу в игровой форме? Тогда спешите попасть на средневековый турнир лучников! Решайте примеры и метко стреляйте по целям.
Таблица умножения на 9
Рыбки, морской конек и черепаха устраивают подводные гонки. Блесните знанием умножения, чтобы ваш гонщик набирал скорость.
Изучаем таблицу умножения
Математический тренажер в html5 формате для игры и на мобильных. Решайте задания на сложение и умножение, чтобы практиковаться в математике.
Таблица умножения для детей
Окунитесь в математическую бродилку, полную приключений. Правильно умножайте, чтобы лепрекон собрал сокровища, похищенные драконом.
Таблица умножения игра чтобы быстро выучить
Подыскиваете эффективное обучающее пособие, которое поможет просто и легко освоить таблицу Пифагора? Воспользуйтесь этим тренажером.
Таблица Пифагора умножение
Обучающая игра, которая превратит освоение умножения в интересную забаву. Правильно разберите цифровую головоломку, используя знание таблицы.
Тест таблица умножения
Хотите проверить, насколько хорошо усвоили таблицу умножения? Тогда пройдите онлайн тестирование в этой игре. Постарайтесь набрать максимум баллов.
Раскраска таблица умножения
Сборник интересных математических раскрасок. Проводите время за любимым хобби и одновременно тренируйте свои знания.
Для девочек таблица умножения
Забудьте о нудной зубрежке таблицы! Наслаждайтесь модными преображениями в одевалочке, а заодно практикуйтесь в умножении.
Таблица умножения для мальчиков
Знание таблицы очень важно в жизни, а Бену 10 оно и вовсе поможет спасти планету от монстров. Решайте примеры — и супергерой сможет победить злодеев.
Таблица умножения: гонки мультиплеер
Запускайте многопользовательскую игру и примите участие в международных гонках. Правильно решайте примеры, чтобы прийти к финишу первым.
Таблица умножения: пазлы с животными
Увлекательный сборник математических пазлов. Решайте примеры на умножение, чтобы собрать пазл и увидеть картинку с животным.
Таблица умножения: соревнования пингвинов
Устройте соревнования по прыжкам по льдинам в многопользовательском режиме, с друзьями по сети, против ПК. Решайте задания и побеждайте.
Змейка с таблицей умножения
Занимательный тренажер для изучения таблицы от 2 до 12 в игровой форме. Собирайте шарики с цифрами, полученными в решении, чтобы змейка росла.
Зимние раскраски с таблицей умножения
Коллекция раскрасок, на которых запечатлены зимние забавы. Воспользуйтесь знаниями умножения, чтобы разблокировать краски.
Таблица умножения: рыбалка в джунглях
Захватывающая математическая рыбалка. Правильно решайте примеры, чтобы первобытный человек наловил много рыбы.
Таблица умножения: приключения в джунглях
Помогите дикарю сдать экзамен по метанию дротиками, рыбалке, игре на барабанах, чтобы получить маску своего племени. Учите математику и играйте.
Таблица умножения: мозаика
Обширная коллекция математических мозаик с примерами на умножение. Повторяйте таблицу на одну или несколько цифр, играя.
Таблица умножения: охота на сыр
Интересный тренажер, в котором вы будете помогать мышке охотиться на сыр, решая задания по математике с разными числами.
Таблица умножения: гонки на скейтборде
Захватывающий дух экстрим и математический тренажер в одной аркадной игре. Блесните знанием таблицы, чтобы скейтбордист не убился в гонке.
Таблица умножения: сумасшедшая математика
Уверены, что блестяще умеете считать в уме и хорошо знаете таблицу умножения? Тогда попробуйте выдержать этот стремительный математический марафон.
Одевалка с таблицей умножения
Гардероб царевны заколдован и теперь без знания таблицы умножения девушка не может нарядиться на бал. Решите примеры и расколдуйте вещи.
Таблица умножения: тир
Занимательный интеллектуальный тир приглашает отличиться не только внимательностью, но и знаниями по математике, чтобы выбить цель.
Таблица умножения: мыльные пузыри
Отправляйтесь на цветочный луг ловить вместо бабочек летающие цифры в мыльные пузыри. Тренируйте свои знания таблицы, играя.
Детские пазлы с таблицей умножения
Сборник развивающих математических пазлов. Решайте примеры на умножение и складывайте по частицам красочные картинки.
Весенние пазлы с таблицей умножения
Веселые зверушки приглашают вас вместе сыграть в пазлы. Покажите, как хорошо вы знаете таблицу, чтобы собрать все картинки пазлов.
Пазлы с таблицей умножения: Пасха
Красочный сборник пазлов со зверушками, отмечающими праздник Пасхи. Выбирайте цифру для умножения, и собирайте пазлы, решая примеры.
Мозаики с таблицей умножения
За примерами этой мозаики скрыто множество красочных картинок, которые так и ждут умельцев, сумеющих их собрать с помощью знания умножения.
Таблица умножения: собери пазлы
Захватывающий сборник интеллектуальных головоломок для любителей пазлов, которые хотят, играя, выучить таблицу Пифагора.
Пакман с таблицей умножения
Захватывающее сочетание Пакмана с математическим тренажером для всех, кто хочет превратить изучение таблицы в веселое развлечение.
Чтобы быстро выучить таблицу умножения
Эффективный математический тренажер на русском языке, с помощью обучающей методики которого дети смогут легко освоить таблицу.
Тест на умножение
Хотите устроить себе экзамен по таблице умножения? Запускайте этот математический тест и проверьте, насколько хорошо вы знаете таблицу Пифагора.
Таблица умножения, она же — таблица Пифагора, появилась 4000 лет назад. И вот уже пятое
тысячелетие подряд дети всего мира запоминают ее одним и тем же способом – учат на память.
Только в зазубренном до автоматизма виде этот материал имеет смысл.
И тут малышей подстерегает сложность. Кто учился в школе, хорошо помнит, насколько зубрить –
нудное занятие. Как с первых секунд начинает хотеться спать, трудно сосредоточиться, все вокруг
бесит, а окружающих ненавидишь (особенно, учительницу математики).
Родители (а таблицу умножения большинство учит в начальных классах под присмотром родителей)
видя, что ребенок отвлекся, начинают сердиться, дети в ответ капризничают и разорвать этот
порочный круг бывает непросто. Онлайн игры «Таблица умножения» сделают это за вас.
Многочисленные исследования показали, что игровая форма обучения – самый эффективный способ
усвоить новый материал. Причем, не только для детей, но и для взрослых. Для малышей же, чей мозг не способен сосредотачиваться на чем-то дольше 30-40 минут, они — просто находка. Веселые
сюжеты, герои, яркая графика – ни одного шанса заскучать.
Хотя по факту, онлайн игры про таблицу умножения – та же зубрежка, но приведенная в
единственно удобоваримую для восприятия форму.
Начинать советуем с игрушек, посвященных умножению одного или двух чисел. Самые простые
примеры с двойками и тройками. Их, если вдруг ребенок не знает ответ, может быстро решить в уме. Процесс запоминания состоит из двух этапов:
Во время зубрежки важно не дать малышу заскучать. Не стоит повторять примеры больше 5-10
минут. Достаточно один раз разобрать табличку, скажем, умножения на 3, повторить раз-другой, и
поскорее переходить к играм. И тут взрослых, помогающих ребенку с арифметикой, ждет
удивительный феномен.
Почему-то, когда ответа на 3*2 требует мама или учительница в школе, ничего решать не хочется. А когда мультяшный зайка трижды сходил в такой же мультяшный магазин и каждый раз покупал там по две морковки, невозможно удержаться, что бы не помочь ему их пересчитать. Чудеса, правда?
multoigri.ru
Тренажер Таблица умножения в мультиках 1.0
В начальных классах школы дети часто сталкиваются с трудностями в запоминании таблицы умножения. Порой изучение таблицы умножения сводится к ее утомительному зазубриванию вместе с родителями. Поэтому родители с целью оказания помощи школьникам ищут более простые способы изучения таблицы умножения, подбирают стихи или скачивают различные обучающие программы и тренажеры в надежде, что данные программы помогут быстро и легко выучить детям таблицу умножения.
Мы написали уникальный тренажер Таблица умножения в мультиках для детей 2 класса, 3 класса и 4 класса школы, который позволит быстро и легко выучить таблицу умножения в игровой форме с просмотром картинок и кадров из известных всем мультфильмов.
Данный онлайн тренажер по математике «Таблица умножения в мультиках 1.0» можно бесплатно скачать и с интересом играть, при этом постепенно изучая и закрепляя таблицу умножения в трех режимах сложности на выбор школьника.
С помощью этого тренажера учителю можно проводить изучение таблицы умножения на уроках, используя интерактивную доску и мультимедийный проектор. Дети при этом с удовольствием у доски выбирают правильные ответы и открывают скрытое изображение мультика.
Наша обучающая программа и тренажер предназначен для изучения таблицы умножения на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также для повторения и закрепления ее детьми разного возраста и класса школы. Родители вместе с детьми также смогут повторить таблицу умножения, интересно и весело провести время.
В данной игре изучается таблица умножения от 1 до 10, а точнее от 2х2 до 9х9. On this page it is possible to download the multiplication table program.
В игре тренажере таблицы умножения для 3 класса ребенок может выбрать один из трех способов изучения и закрепления таблицы умножения:
Горизонтально — изучение таблицы умножения сначала на 2, затем на 3, на 4 и т.д.
Диагонально — изучение таблицы умножения по математике следующими этапами: — выбор ответов в квадрате от 2х2 до 4х4 — выбор ответов в дополнении с 5х5 и т.д.
Случайно — изучение всей таблицы умножения в разброс
Характеристики тренажера Таблица умножения в мультиках
Цель учащегося — открыть полностью изображение из мультфильма, допустив при этом минимум ошибок.
Случайный режим в игре тренажере уместно использовать для закрепления таблицы умножения после прохождения горизонтального и диагонального.
Правильные ответы отмечаются зеленым цветом, а их количество отображается на эквалайзере справа.
Неправильные ответы отмечаются красным цветом, и их количество отображается на эквалайзере слева.
При правильных ответах в данной обучающей программе «Таблица умножения в мультиках» соответствующие кнопки исчезают, открывая учащемуся части скрытой картинки.
Обучающая игра Таблица умножения в мультиках содержит 32 случайных фрагмента из мультипликационных фильмов.
Год выпуска программы: 09.04.2012 Операционная система: Windows 98/ME/2000/XP/2003/Vista/7/8/10 Язык интерфейса: Русский Автор программы: учитель информатики и математики Андрейчук Николай Васильевич.
Скачать: Таблица умножения в мультиках 1.0 Размер: 1.94 Мb
Игровая программа по математике написана в среде программирования Borland Delphi. Данный тренажер таблицы умножения в мультиках предназначена только для бесплатного скачивания.
Внимание! При размещении обучающей игровой программы для изучения таблицы умножения на других сайтах, прямая ссылка на авторскую страницу является обязательным условием!
Код ссылки на эту страницу: <a href=»http://obuchonok.ru/node/120″ target=»_blank»>Таблица умножения в мультиках</a>
Код баннера на сайт Обучонок: <a href=»http://obuchonok.ru/»target=»_blank»> <img src=»http://obuchonok.ruhttp://obuchonok.ru//banners/banob2.gif» title=»Обучонок» alt=»Обучонок. Обучающие программы и исследовательские работы учащихся»></a>
Код ссылки на форум: [URL=http://obuchonok.ru/node/120]Таблица умножения в мультиках[/URL]
Если страница Вам понравилась, поделитесь ссылкой с друзьями:
Скачатьhttp://shkolnayastrana.ucoz.ua/ программуhttp://shkolnayastrana.ucoz.ua/ сhttp://shkolnayastrana.ucoz.ua/ сайтаhttp://shkolnayastrana.ucoz.ua/ автора
.
.
.
и
линию уровня.
Перемещаем линию уровня вдоль вектора
до опорной прямой (обозначены пунктирными
линиями). Эта прямая проходит через
точки А и С, причем в точке А определяетсяMin
Z,
а в точке С — Max
Z.
Определим координаты точки A
как пересечение прямой 3 и прямой x2=0:
:
.
Значит,
и число линейно независимых уравнений
связаны соотношением.
и
будут свободными, а все остальные
переменные базисными. Выразим все
базисные переменные через свободные.
или 
на плоскости изобразим граничные прямые:
.
Соответствующие полуплоскости на
рисунке показаны стрелками. Пересечение
указанных полуплоскостей и определяет
ОДР данной задачи – это многоугольникABCDE.
=(3;6).
и
будут свободными, а все остальные
переменные базисными. Выразим все
базисные переменные через свободные.
Сделаем это последовательно. Сначала
выразим, например, из второго
ограничения-равенства базисную переменную
и подставим это выражение всюду, где
она встречается в модели:
,
получим следующую модель от трех
переменных, эквивалентную исходной:
и подставим это выражение всюду, где
она встречается в модели:
,
получим следующую модель от двух
переменных, эквивалентную исходной:
или 
на плоскости изобразим граничные прямые:
.
Соответствующие полуплоскости на
рисунке показаны стрелками. Пересечение
указанных полуплоскостей и определяет
ОДР данной задачи – это треугольникABC.
=(7,8;12,2).
Так как нас интересует направление
вектора-градиента, а не его длина, то
можно изобразить вектор
=(3,9;6,1)=0,5
,
который в два раза меньше вектора
градиента.
и оси
.
Для определения ее координат необходимо
решить систему уравнений:
.
Подставив значение
и
в целевую функциюZ,
получаем:
,.
Кстати, следует отметить, что упомянутое выше правило действенно как для умножения, так и для деления. Произведение отрицательного и положительного числа даст лишь «минус. Если речь идет о двух цифрах со знаком «-», то в результате получится положительное число. То же касается и деления. Если одно из чисел будет отрицательным, то частное тоже будет со знаком «-».
–закон
двойного отрицания
,
а вместоY подставить 
,
то получим новую равносильность.
Справедливость полученной равносильности
легко проверить с помощью таблицы
истинности.
,
являющуюся частью формулыF,
заменить формулой 
,
равносильной формуле
,
то полученная формула окажется
равносильной формулеF.
.
–закон
двойного отрицания
,
а вместоY подставить 
,
то получим новую равносильность.
Справедливость полученной равносильности
легко проверить с помощью таблицы
истинности.
,
являющуюся частью формулыF,
заменить формулой 
,
равносильной формуле
,
то полученная формула окажется
равносильной формулеF.
http://shkolnayastrana.ucoz.ua/ 
http://shkolnayastrana.ucoz.ua/ 
http://shkolnayastrana.ucoz.ua/