Исследование функции с помощью производной онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
Вы можете выполнить исследование функции с помощью производной. Для этого воспользуйтесь онлайн калькулятором с подробным решением, как исследовать функцию.
Для это введите свою функцию в калькулятор:
Где при исследовании функции пригодится помощь производной?
Здесь перечислим, где используется производная, чтобы исследовать функцию:
- Чтобы найти точки экстремумов: найти наименьшее или наибольшее значение функции, а также промежутки возрастания и убывания функции
- Также чтобы найти точки перегибов функции — интервалы выпуклости и вогнутости (здесь используется производная второго порядка).
Рассмотрим пример
Найдём с помощью производной экстремумы и точки перегибов для функции (x^2 — 1)/(x^2 + 1):
Получим результат:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
Первая производная
/ 2 \
2*x 2*x*\x - 1/
------ - ------------ = 0
2 2
x + 1 / 2 \
\x + 1/ Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
Вторая производная
/ 2 2 2 / 2\\
| -1 + x 4*x 4*x *\-1 + x /|
2*|1 - ------- - ------ + --------------|
| 2 2 2 |
| 1 + x 1 + x / 2\ |
\ \1 + x / /
----------------------------------------- = 0
2
1 + x Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
(-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo)
www.kontrolnaya-rabota.ru
Исследование функций и построение графиков
Опорными точками при исследовании функций и построения их графиков служат характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения с осями координат. С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот.
Эскиз графика функции можно (и нужно) набрасывать уже после нахождения асимптот и точек экстремума, а сводную таблицу исследования функции удобно заполнять по ходу исследования.
Обычно используют следующую схему исследования функции.
1. Находят область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции
2. Исследуют функцию на чётность или нечётность (осевая или центральная симметрия графика.
3. Находят асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).
4. Находят и исследуют промежутки возрастания и убывания функции, точки её экстремума.
5. Находят интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба.
6. Находят точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют.
7. Составляют сводную таблицу исследования.
8. Строят график, учитывая исследование функции, проведённое по вышеописанным пунктам.
Пример. Исследовать функцию
и построить её график.
Решение.
1. Область определения функции – вся числовая прямая. Множеством значений данной функции, как и всякой показательной функции, служит интервал ]0, +∞[. Поэтому график функции расположен выше оси Ox,
2. Напомним: из школьного курса известно, что функция y = f(x) называется чётной, если
для всех x, принадлежащих области определения функции.
.График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; y).
Функция y = f(x) называется нечётной, если
для всех x, принадлежащих области определения функции.
График нечётной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (
Наша исследуемая функция чётная, так как
её график симметричен относительно оси Oy. Поэтому исследование можно выполнять только для ]0, +∞[.
3. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, так как
Поскольку кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту y = 0, у неё не может быть наклонных асиптот.
4. Находим
Из уравнения
имеем
Так как при переходе через значение x = 0 меняет знак с плюса на минус, то функция в точке x = 0 переходит от возрастания к убыванию, а (0; 1) – точка максимума. Касательная к кривой в этой точке горизонтальна, поскольку
5. Находим
Из уравнения
получаем
т.е.
Учитывая чётность функции, исследуем знаки в окрестности только точки
Следовательно, при x = 1 кривая меняет выпуклость на вогнутость. Так как
то
точка перегиба кривой. Угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке
поэтому в точке перегиба касательная образует с осью Ox тупой угол.
6. График не пересекает оси Ox, поскольку он расположен выше неё. Найдём точки пересечения кривой с осью
Тем самым получим точку (0; 1) графика, которая совпадает с точкой максимума.
7. Составим сводную таблицу исследования функции, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:
Особенности графика |
||||
[-1, 0[ |
+ |
— |
Возрастает |
Выпуклый |
0 |
0 |
— |
1 |
(0; 1) – точка максимума |
]0, 1[ |
— |
— |
Убывает |
Выпуклый |
1 |
— |
0 |
— точка перегиба, образует с осью Ox тупой угол |
|
]1, +∞[ |
— |
+ |
Убывает |
Вогнутый |
+∞ |
— |
+ |
| y = 0 – горизонтальная асимптота |
8. Используя результаты исследования, строим график функции (см. рисунок).
Весь блок «Производная»
function-x.ru
Исследование функций с помощью производной | LAMPA
Монотонная функция
Возрастающая функция на отрезке [a,b][a,b][a,b] (или интервале, или множестве) — это такая функция f(x)f(x)f(x), что для любых x1<x2x_1\lt x_2x1<x2 из отрезка (интервала, множества) выполняется неравенство f(x1)<f(x2)f(x_1)\lt f(x_2)f(x1)<f(x2). В случае выполнения нестрогого неравенства f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)f(x1)≤f(x2) функция называется неубывающей на отрезке.
Убывающая функция на отрезке [a,b][a,b][a,b] (или интервале, или множестве) — это такая функция f(x)f(x)f(x), что для любых x1<x2x_1\lt x_2x1<x2 из отрезка (интервала, множества) выполняется неравенство f(x1)>f(x2)f(x_1)\gt f(x_2)f(x1)>f(x2). В случае выполнения нестрогого неравенства f(x1)≥f(x2)f(x_1)\ge f(x_2)f(x1)≥f(x2) функция называется невозрастающей на отрезке.
Если функция является убывающей или возрастающей, то она называется монотонной функцией.
Пример: функция является возрастающей.
Пример: функция y=−3x+2y=-3x+2y=−3x+2 является убывающей.
Точки экстремума
x0x_0x0 — точка максимума функции f(x)f(x)f(x), если для всех достаточно близких точек xxx верно неравенство f(x)≤f(x0)f(x)\le f(x_0)f(x)≤f(x0).
x0x_0x0 — точка минимума функции f(x)f(x)f(x), если для всех достаточно близких точек верно неравенство f(x)≥f(x0)f(x)\ge f(x_0)f(x)≥f(x0).
Точка экстремума — это либо функции.
Признак возрастания и убывания функции
Функция f(x)f(x)f(x) возрастает на промежутке (a;b)(a;b)(a;b), если f′(x)>0f'(x)\gt 0f′(x)>0 на этом промежутке.
Функция f(x)f(x)f(x) убывает на промежутке (a;b), если производная f′(x)<0f'(x)\lt 0f′(x)<0 на этом промежутке.
Признаки максимума и минимума функции
Если функция f(x)f(x)f(x) непрерывна на промежутке (a;b)(a; b)(a;b), возрастает на промежутке (a;x0)(a;x_0)(a;x0) и убывает на промежутке (x0;b)(x_0;b)(x0;b), то x0x_0x0 является .
Признак максимума функции выполняется, если:
- f′(x)>0f'(x)\gt 0f′(x)>0 на промежутке (a;x0)(a; x_0)(a;x0)
- f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 в точке x0x_0x0
- f′(x)<0f'(x)\lt 0f′(x)<0 на промежутке (x0;b)(x_0; b)(x0;b)
Если функция f(x)f(x)f(x) непрерывна на промежутке (a;b)(a; b)(a;b), убывает на промежутке (a;x0)(a;x_0)(a;x0) и возрастает на промежутке (x0;b)(x_0;b)(x0;b), то x0x_0x0 является .
Признак минимума функции выполняется, если:
- f′(x)<0f'(x)\lt 0f′(x)<0 на промежутке (a;x0)(a; x_0)(a;x0)
- f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 в точке x0x_0x0
- f′(x)>0f'(x)\gt 0f′(x)>0 на промежутке (x0;b)(x_0; b)(x0;b)
Критическая точка
Точка, в которой производная функции равна нулю.
В критических точках является горизонтальной линией, так как тангенс угла наклона касательной (значение производной в точке касания) равен нулю.
Три типа критических точек:
x1x_1x1 – точка локального , является ;
x2x_2x2 – точка перегиба, НЕ является точкой экстремума.
x3x_3x3 – точка локального , является точкой экстремума;
Как искать точки максимума и минимума функции
Задачи на нахождение функции решаются по стандартной схеме в 333 шага.
Шаг 1. Найдите производную функции
- Запомните функции и основные , чтобы найти производную.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3×2−243.y'(x)=(x^3-243x+19)’=3x^2-243.y′(x)=(x3−243x+19)′=3×2−243.
Шаг 2. Найдите
- Решите полученное уравнение, чтобы найти .
3×2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,×2=9.3x^2-243=0 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x^2=81 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x_1=-9, \,\,\,\, x_2=9.3×2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,×2=9.
Шаг 3. Найдите точки экстремума
- Используйте , чтобы определить знаки производной;
- В равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, а в – с плюса на минус.
Применим этот подход, чтобы решить следующую задачу:
Найдите точку максимума функции y=x3−243x+19y=x^3-243x+19y=x3−243x+19.
1) Найдем производную: y′(x)=(x3−243x+19)′=3×2−243;y'(x)=(x^3-243x+19)’=3x^2-243;y′(x)=(x3−243x+19)′=3×2−243;
2) Решим уравнение y′(x)=0y'(x)=0y′(x)=0: 3×2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,×2=93x^2-243=0 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x^2=81 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x_1=-9, \,\,\,\, x_2=93×2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,×2=9
3) Производная положительная при x>9x\gt 9x>9 и x<−9x\lt -9x<−9 и отрицательная при −9<x<9.-9\lt x\lt 9.−9<x<9. Поэтому x=−9x=-9x=−9 — точка максимума.
Как искать наибольшее и наименьшее значение функции
Для решения задачи на поиск наибольших и наименьших значений функции необходимо:
- Найти функции на отрезке (интервале).
- Найти значения в концах отрезка и выбрать наибольшее или наименьшее величину из значений в точках экстремума и в концах отрезка.
Во многих задачах помогает теорема:
Если на отрезке только одна , причем это точка минимума, то в ней достигается наименьшее значение функции. Если это точка максимума, то в ней достигается наибольшее значение.
lampa.io