Исследовать на ограниченность функцию онлайн – Исследование функции и построение графика

Исследование функции с помощью производной онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Вы можете выполнить исследование функции с помощью производной. Для этого воспользуйтесь онлайн калькулятором с подробным решением, как исследовать функцию.

Для это введите свою функцию в калькулятор:

Где при исследовании функции пригодится помощь производной?

Здесь перечислим, где используется производная, чтобы исследовать функцию:

  • Чтобы найти точки экстремумов: найти наименьшее или наибольшее значение функции, а также промежутки возрастания и убывания функции
  • Также чтобы найти точки перегибов функции — интервалы выпуклости и вогнутости (здесь используется производная второго порядка).

Рассмотрим пример

Найдём с помощью производной экстремумы и точки перегибов для функции (x^2 — 1)/(x^2 + 1):

Получим результат:

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение

(производная равна нулю),

и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:

Первая производная


             / 2    \    
 2*x     2*x*\x  - 1/    
------ - ------------ = 0
 2                2      
x  + 1    / 2    \       
          \x  + 1/       

Решаем это уравнение

Корни этого ур-ния

Зн. экстремумы в точках:

 

Интервалы возрастания и убывания функции:

Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:

Минимумы функции в точках:

Максимумов у функции нет

Убывает на промежутках

Возрастает на промежутках

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

(вторая производная равняется нулю),

корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:

Вторая производная


  /          2       2       2 /      2\\    
  |    -1 + x     4*x     4*x *\-1 + x /|    
2*|1 - ------- - ------ + --------------|    
  |          2        2             2   |    
  |     1 + x    1 + x      /     2\    |    
  \                         \1 + x /    /    
----------------------------------------- = 0
                       2                     
                  1 + x                      

Решаем это уравнение

Корни этого ур-ния

 

Интервалы выпуклости и вогнутости:

Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:

Вогнутая на промежутках

Выпуклая на промежутках


(-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo)

www.kontrolnaya-rabota.ru

Исследование функций и построение графиков

Опорными точками при исследовании функций и построения их графиков служат характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения с осями координат. С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот.

Эскиз графика функции можно (и нужно) набрасывать уже после нахождения асимптот и точек экстремума, а сводную таблицу исследования функции удобно заполнять по ходу исследования.

Обычно используют следующую схему исследования функции.

1. Находят область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции

.

2. Исследуют функцию на чётность или нечётность (осевая или центральная симметрия графика.

3. Находят асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).

4. Находят и исследуют промежутки возрастания и убывания функции, точки её экстремума.

5. Находят интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба.

6. Находят точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют.

7. Составляют сводную таблицу исследования.

8. Строят график, учитывая исследование функции, проведённое по вышеописанным пунктам.


 Пример. Исследовать функцию

и построить её график.

Решение.

1. Область определения функции – вся числовая прямая. Множеством значений данной функции, как и всякой показательной функции, служит интервал ]0, +∞[. Поэтому график функции расположен выше оси Ox,

2. Напомним: из школьного курса известно, что функция y = f(x) называется чётной, если

для всех x, принадлежащих области определения функции.

.

График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; y).

Функция y = f(x) называется нечётной, если

для всех x, принадлежащих области определения функции.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (

x; y) он содержит и точку (-x; -y).

Наша исследуемая функция чётная, так как

её график симметричен относительно оси Oy. Поэтому исследование можно выполнять только для ]0, +∞[.

3. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, так как

Поскольку кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту y = 0, у неё не может быть наклонных асиптот.

4. Находим

Из уравнения

имеем

Так как при переходе через значение x = 0 меняет знак с плюса на минус, то функция в точке x = 0 переходит от возрастания к убыванию, а (0; 1) – точка максимума.

Касательная к кривой в этой точке горизонтальна, поскольку

5. Находим

Из уравнения

получаем

т.е.

Учитывая чётность функции, исследуем знаки в окрестности только точки

Следовательно, при x = 1 кривая меняет выпуклость на вогнутость. Так как

то

точка перегиба кривой. Угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке

поэтому в точке перегиба касательная образует с осью Ox тупой угол.

6. График не пересекает оси Ox, поскольку он расположен выше неё. Найдём точки пересечения кривой с осью

Oy: полагая x = 0, имеем

Тем самым получим точку (0; 1) графика, которая совпадает с точкой максимума.

7. Составим сводную таблицу исследования функции, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:

Особенности графика

[-1, 0[

+

Возрастает

Выпуклый

0

0

1

(0; 1) – точка максимума

]0, 1[

Убывает

Выпуклый

1

0

— точка перегиба, образует с осью Ox тупой угол

]1, +∞[

+

Убывает

Вогнутый

+∞

+

 

y = 0 – горизонтальная асимптота

 

8. Используя результаты исследования, строим график функции (см. рисунок).

Весь блок «Производная»

function-x.ru

Исследование функций с помощью производной | LAMPA

Монотонная функция

Возрастающая функция на отрезке [a,b][a,b][a,b] (или интервале, или множестве) — это такая функция f(x)f(x)f(x), что для любых x1<x2x_1\lt x_2x1​<x2​ из отрезка (интервала, множества) выполняется неравенство f(x1)<f(x2)f(x_1)\lt f(x_2)f(x1​)<f(x2​). В случае выполнения нестрогого неравенства f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)f(x1​)≤f(x2​) функция называется неубывающей на отрезке.

Убывающая функция на отрезке [a,b][a,b][a,b] (или интервале, или множестве) — это такая функция f(x)f(x)f(x), что для любых x1<x2x_1\lt x_2x1​<x2​ из отрезка (интервала, множества) выполняется неравенство f(x1)>f(x2)f(x_1)\gt f(x_2)f(x1​)>f(x2​). В случае выполнения нестрогого неравенства f(x1)≥f(x2)f(x_1)\ge f(x_2)f(x1​)≥f(x2​) функция называется невозрастающей на отрезке.

Если функция является убывающей или возрастающей, то она называется монотонной функцией.

Пример: функция является возрастающей.
Пример: функция y=−3x+2y=-3x+2y=−3x+2 является убывающей.

Точки экстремума

x0x_0x0​ — точка максимума функции f(x)f(x)f(x), если для всех достаточно близких точек xxx верно неравенство f(x)≤f(x0)f(x)\le f(x_0)f(x)≤f(x0​).

x0x_0x0​ — точка минимума функции f(x)f(x)f(x), если для всех достаточно близких точек верно неравенство f(x)≥f(x0)f(x)\ge f(x_0)f(x)≥f(x0​).

Точка экстремума — это либо функции.

Признак возрастания и убывания функции

Функция f(x)f(x)f(x) возрастает на промежутке (a;b)(a;b)(a;b), если f′(x)>0f'(x)\gt 0f′(x)>0 на этом промежутке.

Функция f(x)f(x)f(x) убывает на промежутке (a;b), если производная f′(x)<0f'(x)\lt 0f′(x)<0 на этом промежутке.

Признаки максимума и минимума функции

Если функция f(x)f(x)f(x) непрерывна на промежутке (a;b)(a; b)(a;b), возрастает на промежутке (a;x0)(a;x_0)(a;x0​) и убывает на промежутке (x0;b)(x_0;b)(x0​;b), то x0x_0x0​ является .

Признак максимума функции выполняется, если:

  • f′(x)>0f'(x)\gt 0f′(x)>0 на промежутке (a;x0)(a; x_0)(a;x0​)
  • f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 в точке x0x_0x0​
  • f′(x)<0f'(x)\lt 0f′(x)<0 на промежутке (x0;b)(x_0; b)(x0​;b)

Если функция f(x)f(x)f(x) непрерывна на промежутке (a;b)(a; b)(a;b), убывает на промежутке (a;x0)(a;x_0)(a;x0​) и возрастает на промежутке (x0;b)(x_0;b)(x0​;b), то x0x_0x0​ является .

Признак минимума функции выполняется, если:

  • f′(x)<0f'(x)\lt 0f′(x)<0 на промежутке (a;x0)(a; x_0)(a;x0​)
  • f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 в точке x0x_0x0​
  • f′(x)>0f'(x)\gt 0f′(x)>0 на промежутке (x0;b)(x_0; b)(x0​;b)

Критическая точка

Точка, в которой производная функции равна нулю.

В критических точках является горизонтальной линией, так как тангенс угла наклона касательной (значение производной в точке касания) равен нулю.

Три типа критических точек:

x1x_1x1​ – точка локального , является ;

x2x_2x2​ – точка перегиба, НЕ является точкой экстремума.

x3x_3x3​ – точка локального , является точкой экстремума;

Как искать точки максимума и минимума функции

Задачи на нахождение функции решаются по стандартной схеме в 333 шага.

Шаг 1. Найдите производную функции

  • Запомните функции и основные , чтобы найти производную.

y′(x)=(x3−243x+19)′=3×2−243.y'(x)=(x^3-243x+19)’=3x^2-243.y′(x)=(x3−243x+19)′=3×2−243.

Шаг 2. Найдите

  • Решите полученное уравнение, чтобы найти .

3×2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,×2=9.3x^2-243=0 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x^2=81 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x_1=-9, \,\,\,\, x_2=9.3×2−243=0⇔x2=81⇔x1​=−9,×2​=9.

Шаг 3. Найдите точки экстремума

  • Используйте , чтобы определить знаки производной;
  • В равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, а в – с плюса на минус.

Применим этот подход, чтобы решить следующую задачу:

Найдите точку максимума функции y=x3−243x+19y=x^3-243x+19y=x3−243x+19.
1) Найдем производную: y′(x)=(x3−243x+19)′=3×2−243;y'(x)=(x^3-243x+19)’=3x^2-243;y′(x)=(x3−243x+19)′=3×2−243;
2) Решим уравнение y′(x)=0y'(x)=0y′(x)=0: 3×2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,×2=93x^2-243=0 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x^2=81 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x_1=-9, \,\,\,\, x_2=93×2−243=0⇔x2=81⇔x1​=−9,×2​=9
3) Производная положительная при x>9x\gt 9x>9 и x<−9x\lt -9x<−9 и отрицательная при −9<x<9.-9\lt x\lt 9.−9<x<9. Поэтому x=−9x=-9x=−9 — точка максимума.

Как искать наибольшее и наименьшее значение функции

Для решения задачи на поиск наибольших и наименьших значений функции необходимо:

  • Найти функции на отрезке (интервале).
  • Найти значения в концах отрезка и выбрать наибольшее или наименьшее величину из значений в точках экстремума и в концах отрезка.

Во многих задачах помогает теорема:

Если на отрезке только одна , причем это точка минимума, то в ней достигается наименьшее значение функции. Если это точка максимума, то в ней достигается наибольшее значение.

lampa.io

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.