Рубрика: Школьная жизнь

1.2.1. Свойства пределов. Замечательные пределы

Бесконечно малые функции и их свойства

Свойства бесконечно малых

Доказательство.

Если A(х) и B(х) – бесконечно малые при , то существуют D1 и D2 такие,

Что |A(X)|<E/2 и |B(X)|<E/2 для выбранного значения E. Тогда |A(X)+B(X)|≤|A(X)|+|B(X)|<E, то есть |(A(X)+B(X))-0|<E. Следовательно,

То есть A(х)+B(х) – бесконечно малая.

Замечание. Отсюда следует, что сумма любого конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.

Доказательство.

Выберем число М такое, что |F(X)|<M при |X—X0|<D1, и найдем такое D2, что

Тогда, если выбрать в качестве D меньшее из чисел D1 и D2,

То есть A(х)·F(X) – бесконечно малая.

Следствие 1.

Произведение бесконечно малой на конечное число есть бесконечно малая.

Следствие 2.

Произведение двух или нескольких бесконечно малых есть бесконечно малая.

Следствие 3.

Линейная комбинация бесконечно малых есть бесконечно малая.

Доказательство.

1)Пусть A(х) – бесконечно малая при Х→х0. Следовательно, F(X)=A+A(X).

2)Пусть F(X)=A+A(X). Тогда

Значит,

Cледовательно,

Замечание. Тем самым получено еще одно определение предела, эквивалентное двум предыдущим.

matica.org.ua

Замечательные пределы

Математика Замечательные пределы

Количество просмотров публикации Замечательные пределы — 272

В математике важную роль играют два специальных предела, которые ввиду их важности названы ʼʼзамечательнымиʼʼ:

— первый замечательный предел

— второй замечательный предел

Пример 1.

(здесь введена новая переменная ).

Пример 2. . Положим .

Получаем

.

Замечательные пределы — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Замечательные пределы» 2017, 2018.

Читайте также

referatwork.ru

Замечательные пределы

215. Используя замечательные пределы найти предельные значения выражений

;

8) 9) 10)

11) 12)13)14)

15) 16)17)

18) 19)20)21)

216. Используя второй замечательный предел найти предельные значения выражений

217. Вычислить указанные пределы

218. Вычислить указанные пределы:

1) 2)3)

Дифференцирование. Определения. Основные правила.

219. Вычислить приращение функции в точке

220. Используя определение производной функции и соответствующие замечательные пределы, вычислить производные данных функций в точке х=х₀

1) 2)3)4)

220. Написать уравнение касательной и нормальной прямой к функции

в точке :

Найти точки пересечения полученных касательных с осями координат.

220. Найти точку, в которой касательная к графику функции параллельна

прямой

223. Найти угол между касательными, проведенными в точках

к графику функции

224. Найти точку, в которой касательная к графику функции

Перпендикулярна прямой

225 . Найти острый угол между графиками функций в точке

их пересечения

226. По осидвижется точка, абсцисса которой с течением

времени изменяется по закону +2. Определим абсциссу точки и её

скорость и ускорение в моменты времени: . Определить

моменты времени, когда усилие, действующее на точку равно: 1) нулю,

2) максимально.

227. Пусть материальная точка движется вдоль оси ОХ по закону , где

— время:

А. Вычислить среднюю скорость за промежуток времени .

В.вычислить мгновенную скорость точки в моменты времени

228. Найти координаты материальных точек, движущихся по закону

, в момент времени когда

их скорости совпадают.

229. Вычислить производные функций

1)2)3)4)

230. Вычислить производные функций

12) 13) 14) 15)

231. Вычислить производные функций

232 . Используя калькулятор, вычислить производные функций в точке

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

233. Найти функцию по заданной производной. Сделать проверку

234. Проверьте, что данная функция:

обращает соответствующее уравнение в тождество:

235. Найти вторые производные заданных функций

236. Проверьте, что функция обращает уравнение

в тождество.

studfiles.net

Замечательные пределы. | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Первый замечательный предел: .

Второй замечательный предел: .

Пример 1. Вычислить пределы функции при

Решение.В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента.

а) .

Здесь применима теорема о пределе частного.

б) .

При подстановке в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их значения …
равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. В данном случае говорят, что имеется неопределенность вида .

Неопределенность вида при может быть раскрыта сокращением дроби на множитель вида(х–х₀), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на(х+4). Поэтому, следует разложить на множители числитель и знаменатель дроби .

Таким образом,

в)

Здесь применима теорема о пределе частного, так как существуют конечные пределы числителя и знаменателя, и предел знаменателя не равен нулю.

г)

Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

д) .

Пределы числителя и знаменателя дроби равны . В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность». Теорема о пределе частного здесь не применима.

Чтобы раскрыть неопределенность вида при , каждый член числителя и знаменателя дроби делят на x в наивысшей степени (в нашем примере на х²), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.

так как

(по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).

Замечание. Полезно запомнить, что при предел отношения многочленов c одинаковыми наивысшими степенями равен отношению коэффициентов при этих степенях.

В нашем примере, коэффициенты при наивысшей степени х²многочленов равны 3 и 4, поэтому и предел дроби равен .

Ответы.

Пример 2.Найти предел .

Решение. Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

МЕТОДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

8. Дифференцирование функций одной переменной

8.1. Основные определения

8.1.1.Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций, исследуются функции и решаются прикладные задачи (например, задачи на экстремум).

8.1.2.Дифференцирование– операции нахождения производных (частных производных) функций и их дифференциалов.

8.1.3.Дифференцируемая функция– функция одного или нескольких переменных называется дифференцируемой в некоторой точке, если в данной точке существует дифференциал этой функции. Для дифференцируемости функции необходимо и достаточно существование конечной производной для функции одной переменной или чтобы существовали в этой точке непрерывные частные производные для функции нескольких переменных.

8.1.4.Производная– основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции при изменении аргумента x. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Предел отношения приращения функции в этой точке (если он существует) к приращению аргумента, когда , называется производной функции в точке . Обозначения производной: или или или . Таким образом, . Численно производная равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к кривой в данной точке (тангенсу угла наклона касательной к оси Ox). Если существует производная функции , её называют второй производной и пишут: . Аналогично определяется производная любого (целого) порядка n: . Производная называется первой производной или производной первого порядка, вторая, третья производная и т.д. – производными высших порядков. Вычисление производной называется дифференцированием функции.

8.1.5. Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

8.2. Механический смысл производной:скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .

8.3. Геометрический смысл производной:тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е.

Уравнение касательной к графику функции в точке :

Уравнение нормали к графику функции в точке :

Таблица производных

Рассмотрим примеры.

Найти производные функций:

Пример 1:

Решение:

+

Пример 2:

Решение:

Пример 3:

Решение:

refac.ru

Первый замечательные пределы.

Математика Первый замечательные пределы.

Количество просмотров публикации Первый замечательные пределы. — 68

Терема lim (sin(x)/x)=1

^x®0

Доказательство:

S_∆OMN=1/2 sin(x)

S_секOMN=1/2(x)

S_∆OKN=1/2 tg(x)

S_∆OMN<S_секOMN< S_∆OKN

1/2sin(x)<1/2(x)<tg(x)

sin(x)<x<tg(x)

1<x/sin(x)<1/cos(x)

lim (1-cos(1/n))=0

^n®+¥

lim (1-cos(x))=0 Þ lim (cos(x))=1

^{x®0 x®0}

lim (x/sin(x))=0

^x®0

x>0

lim (x/sin(x))=1

^x®0

lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать

^x®0x®0

Определœение бесконечного предела и пределов при х®+¥.

lim (f (x))=+¥ Û «ε>0 $d>0: » xÎO°_d(x₀)Þf(x)ÎO_ε(+¥)

^x®x_°

«(x): 0<|x-x₀|<d

(////////// x

ε

lim (f (x))=-¥ Û «ε>0 $d>0: » xÎO°_d(x₀)Þf(x)ÎO_ε(-¥)

^x®x_°

«(x): 0<|x-x₀|<d

lim (f (x))=¥ Û «ε>0 $d>0: » xÎO°_d(x₀)Þf(x)ÎO_ε(¥)

^x®x_°

|f(x)|>ε

lim (f (x))=b Û «ε>0 $∆>0: » xÎO_∆(+¥)Þf(x)ÎO_ε(b)

^x®+¥

» x: x>∆ |f(x)-b |<ε

lim (f (x))=b Û «ε>0 $∆>0: » xÎO_∆(-¥)Þf(x)ÎO_ε(b)

^x®—¥

» x: x<-∆ |f(x)-b |<ε

Односторонние пределы.

Первый замечательные пределы. — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Первый замечательные пределы.» 2017, 2018.

referatwork.ru

Первый и второй замечательные пределы.

; — первый замечательный предел;

; — второй замечательный предел. Число е≈2,71828.

Пример 1. Вычислить предел

Решение. Если неопределенность представляют тригонометрические функции, то для ее раскрытия используют первый замечательный предел .

Преобразуем числитель дроби по формуле .

Пример 2. Вычислить предел

Решение.Используем второй замечательный предел .

Пример 3. Вычислить предел

В этом примере также используется второй замечательный предел <img …
src=»http://konspekta.net/studopediaru/baza18/388205111199.files/image429.png» /> . Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов.

refac.ru

Замечательные пределы

Предел функции при 0 (Первый замечательный предел).

Для функции в точке имеет место неопределенность . Найдем предел этой функции при0. Будем использовать признак существования предела (а).

Рассмотрим окружность радиуса . Обозначим центральный уголMOB через ,при этом 0 < < .В результате получаем оценку для площадей:

C Площадь _∆MOA < площади сектора MOA < площади _∆COA.

M Площадь _∆MOA = OA MB = 1 MB = .

O B A Площадь сектора MOA = OA = 1.

Площадь _∆COA = OAAC = 1 =.

Из оценки для площадей следует оценка для функций: < < .

Разделим все последнего соотношения на :

1 < <или<< 1.

Это неравенство справедливо в предположении, что > 0. Но в силу четности:

= и =, заключаем, что оно верно и при< 0.

С учетом того, что ,, переменнаязаключена между двумя величинами, имеющими один и тот же предел, равный1. По признаку существования предела = 1.

Второй замечательный предел .

Для последовательности с общим членом приимеет место неопределенность , раскрывая которую получаем предел, заключенный между числами 2 и 3 .

Доказательство основано на признаке существования предела (б). Поэтому требуется установить, что члены последовательности монотонно возрастают, и последовательность ограничена сверху.

Для доказательства монотонности используем формулу бинома Ньютона, и получаем для общего члена последовательности выражение:

= 1 + ++ + +

+

= 1 + 1 + ++ +

+ .

Из последнего равенства видно, что каждый последующий член этой последовательности по сравнению с предыдущимсодержит еще одно положительное слагаемое. Кроме того, каждое слагаемое в выражении длябольше соответствующего слагаемого в выражении:. Следовательно,, то есть последовательность является возрастающей.

Для доказательства ограниченности сверху данной последовательности заметим, что каждое выражение в скобках в соотношении (*) меньше единицы:

; < 1 ….. . Поэтому для общего члена последовательности получаем оценку:

< 1 + 1 + +++;

< ,<,,<;

< 1 + 1 + +++.

Выражение 1 + +++представляет сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем q = и первым членом 1. Используя формулу суммы геометрической прогрессии, приходим к неравенству:

< 1 + = 1 +< 3.

С учетом неравенства 2 ( следует из (*)) получаем оценку

2 < 3.

По признаку существования предела, если последовательность монотонно возрастает и ограничена, то она имеет предел. Этот предел обозначается буквой :

.

Число- иррациональное число, равное= 2,7182818284…

studfiles.net

Постройте график функции y = x^2 – 1

Задание.
Постройте график функции y = x^2 — 1.

Ответ
Выполним необходимый анализ функции для ее построения.
Определим вид функции. Поскольку она содержит квадрат аргумента х, то такая функция является квадратной, а ее графиком будет парабола. Парабола определена на всей числовой прямой. Поскольку перед квадратом х стоит знак «плюс» (условно), то ветви параболы будут направлены вверх.
Чтобы построить график параболы, необходимо вычислить координаты ее вершины, а также определить несколько ключевых точек, через которые она будет проходить.
Определим координаты вершины параболы:

Итак, получили, что вершина параболы находится в точке с координатами (0; —1).
Определим несколько точек, через которые парабола будет проходить. Для этого возьмем четыре значения х и вычислим для них значение функции у.
Первое значение х = 1: —точка с координатами (1; 0).
Второе значение х = 2: —точка с координатами (2; 3).
Третье значение х = —1: —точка с координатами (—1; 0).
Четвертое значение х = —2: —точка с координатами (—2; 0).
Отметим полученные точки на координатной плоскости и проведем через них плавную кривую. Получили график функции y = x^2 — 1.

ru.solverbook.com

Постройте график функции y = 2x – 1

Задание.
Построить график функции y = 2x — 1.
 
Решение.
Рассмотрим саму функцию, поданную в виде , где k равно 2, а b равно —1. Такие функции называют линейными.
О линейных функциях известно, что их аргументы, а также значения самих функций ничем не ограничены, так как графиком этих функций является бесконечная прямая. Очень удобным является то, что для построения графика линейной функции вполне достаточно найти 2 точки, которые будут принадлежать этой функции, и соединить их прямой. График функции будет построен.
Наша задача сводится к тому, что нужно определить эти две точки.
Точки можно находить двумя способами:
первый — определить, в каких точках функция пересекается с осями координат;
второй — определить две любые точки прямой, подставив любые значения аргумента х.
Попробуем воспользоваться первым способом.
Если функция будет пересекать ось Ох, то для нее переменная у будет равна нулю. Подставим данное значение в уравнение функции и решим его:

Итак, первая точка функции имеет координаты .
Когда же функция пересекает ось Оу, то наоборот, переменная х равна нулю. Подставим ее значение ф уравнение функции и найдем вторую координату:

Вторая точка с координатами (0; —1).
Осталось нанести точки на плоскость и соединить прямой.

ru.solverbook.com

Постройте график функции y = 2^x +1

Задание.
Постройте график функции y = 2^х + 1.

Решение.
Построение графика любой функции необходимо начинать с анализа уравнения этой функции.
В уравнении функции видим в качестве одного из слагаемых число в неизвестной степени. Подобные функции называют показательными, к тому же они могут существовать при любом значении в показателе степени.
Обычно показательные функции не являются ни четными, ни нечетными, но, чтобы в этом убедиться, проверим четность данной функции. Для этого подставим в уравнение функции значение —х вместо х и проанализируем полученный результат:

Полученная функция ни четная, а также и не нечетная.
Далее найдем точки, через которые будет проходить функция, и которые помогут построить ее график. Так как говорилось выше, что в показателе степени может быть любое число, то будем брать не только положительные, но и отрицательные числа:

Найденных точек достаточное количество для получения адекватного графика заданной функции.
Найдем точку пересечения с осью Оу:
— точка(0; 2).
Точка пересечения с осью Ох находится немного сложнее:

— уравнение решения не имеет, так как положительное число в любой степени будет положительным.
Следовательно, график функции с осью Ох пересекаться не будет.
Нанесем точки на график и соединим линией.

ru.solverbook.com

3. Формулы полной вероятности и Байеса.

Задача 3. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет m_i % изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i -го завода n_i % первосортных. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом, если оно оказалось первого сорта.

Решение (для нулевого варианта: m₁ =20, m₂ =30, m₃ =50, n₁ =70, n₂ =70, n₃=90, j=1). Введем обозначения. Событие А – куплено первосортное изделие. События, заключающиеся в том, что купленное изделие выпущено первым, вторым или третьим заводом — Н₁, Н₂, Н₃ (гипотезы, при выполнении которых может произойти событие А). — вероятность событияА, при условии, что произошло, т.е. что изделие оказалось i-ого завода.

В задаче требуется найти — вероятность того, что купленное изделие изготовленоj-тым заводом, если оно оказалось первого сорта.

Воспользуемся формулой Байеса. .

По условию задачи Р(Н₁) = _=,

Р(Н₂) = =0,3;Р(Н₃) = = 0,5.

= 0,7 (70%), = 0,7 (70%),= 0,9 (90%).

Подставляя эти значения в формулу Байеса, получим:

=≈0,175.

Ответ: ≈ 0,175

4. Приближенные вычисления в схеме Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Задача 4. Вероятность получения кредита для одного потенциального заемщика равна р. В течение недели в банк обращаются за получением кредита n человек. Найти: а) наивероятнейшее число лиц, получивших одобрение на получение кредита; б) соответствующую вероятность.

Решение (для нулевого варианта: p=0,3; n=13). Наивероятнейшее число лиц, получивших одобрение на получение кредита k₀ определяется из двойного неравенства np–q ≤ k₀ < np+p, где (q=1–p).

Вероятность того, что из 13 обратившихся в банк, получивших кредит окажется ровно k₀ находится по локальной теореме Лапласа (т.к. n ≥ 10): ,где x=. Подставив значения n и p, заданные для своего варианта, получим:

а). np–q ≤ k₀ < np+p, => 3,9-0,7 ≤ k₀ < 3,9+0,3 => k₀ = 4.

б). ,где =, х==.

Значения функции для вычисленного значения х находятся по специальным справочным таблицам учебников, пособий и справочников по теории вероятности.

Для х=0,06 находим =0,3982. А искомая вероятность =0,24

Ответ: k₀ = 4, Р₁₃(4)=0,24.

Задача 5. Вероятность досрочного погашения ипотечного кредита для каждого из n заемщиков равна р. Определить вероятность того, что число m заемщиков, досрочно погасивших кредит, удовлетворяет следующему неравенству:

Варианты 0-11- k₁≤m≤ k₂; варианты 12-21- m≤ k₂; варианты 22-31- m≥k₁.

Решение (для нулевого варианта: n=400, p=0,8, k₁=300. k₂=350). Вероятность того, что число появлений события А в n независимых испытаниях попадет в некоторый интервал [k₁,k₂] определяется интегральной теоремой Лапласа: Р_n(k₁,k₂)= ½(Ф(X«) – Ф(X‘)), где Ф(X)=— функция Лапласа, X‘=,X«= . Значения функции Лапласа для вычисленных значений X‘ и X» находятся по специальным справочным таблицам теории вероятности. Следует учесть, что Ф(X)— нечетная функция, т.е. Ф(-X)= — Ф(X).

X‘==; Ф(-2,5)= -0,9876;X«==; Ф(1,25)= 0,7888

Р_n(k₁,k₂)= ½(Ф(X«) – Ф(X‘))= ½(0,7888 – (-0,9876))= 0,8882

studfiles.net

Решения-2

Задача 1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:

а) сумма числа очков не превосходит N;

б) произведение числа очков не превосходит N;

в) произведение числа очков делится на N.

N=12

Решение:

а)

-количество возможных исходов.

-количество благоприятных исходов.

б)

-количество возможных исходов

-количество благополучных исходов

в)

Ответ: 1; 0,64; 0,19.

Задача 3. Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных.

, ,,

Решение:

Число возможных исходов:

Число благоприятных исходов:

5 выигрышных из 7 можно взять способами, а ещё 2 невыигрышных из 3 можно выбратьспособами.

Ответ:

Задача 4. В лифт k — этажного дома сели n пассажиров (n<k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что:

а) все вышли на разных этажах;

б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.

а) Количество возможных исходов:

Количество благоприятных исходов:

б) В задаче речь идёт про событие противоположное первому, значит

Ответ: ,.

Задача 5. В отрезке единичной длины на удачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит величину . ()

Решение:

-длина отрезка, где появится точка.

-длина отрезка «благоприятного исхода»

Ответ:

Задача 7. В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны и.

Решение:

Мера вероятности — площадь.

Все варианты попадания точки — в круг.

Благоприятные — в фигурах и

Ответ:

Задача 8. В двух партиях и% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно доброкачественное и одно бракованное?

События:

А-из первой партии достали бракованное.

В-из второй партии достали бракованное.

а) С-хотя бы одно бракованное.

б) D-оба бракованных:

в) Е-одно бракованное и одно качественное.

Ответ:

Задача 9. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком , вторым —. Первый сделал, второй —выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Решение:

События:

Цель не поражена

А — первый стрелок промахнулся 3 раза

В — второй стрелок промахнулся 2 раза

Ответ:

Задача 12. Из 1000 ламп принадлежатй партии,В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.

Решение:

Количество брака в первой партии:

Количество брака во второй партии:

Количество брака в третьей партии:

Ответ:

Задача 15. В магазин поступают однотипные изделия с трёх заводов, причём й завод поставляет% изделий. Среди изделийго завода% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено третьим заводом.

Решение:

Ответ: 59%

Задача 17. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна . Купленобилетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Решение:

Найдём наивероятнейшее число выигравших билетов из неравенства:

Значит, есть два наивероятнейших числа 7 и 8.

Применима формула Бернулли:

Ответ:

Задача 19. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна Поступиловызовов. Определить вероятность«сбоев».

Так как и, то применима формула Пуассона.

Ответ: 13,2%

Задача 20. Вероятность наступления некоторого события в каждом из независимых испытаний равнаОпределить вероятность того, что числонаступлений события удовлетворяют следующему неравенству:.

Решение:

Ответ: 0,994.

Задача 21. Дана плотность распределения случайной величины. Найти параметр, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения случайной величины, вероятность выполнения неравенства

Решение:

а) найдём параметр

б) найдём математическое ожидание :

в) найдём дисперсию :

г) Найдём функцию распределения случайной величины :

При

При

При

д)Найдём вероятность выполнения неравенства

Задача 27. Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей. Найти плотность распределения вероятностейслучайной величины

Так как функция монотонная, то:

Найдём производную:

Найдём интервал для

Проверка в системе MathCAD:

Задача 33. На отрезке случайным образом выбраночисел, точнее, рассматриваютсянезависимых случайных величинравномерно распределённых на отрезке. Найти вероятность того, что их сумма заключена междуит.е.

,

Решение:

Так как распределение равномерное, то

Ответ: 0,43 или 43%

Задача 34. Известно, что случайная величина имеет распределение Пуассона, неизвестным является параметр а. Используя указанный ниже метод получения точечных оценок, найти по реализации выборкизначения оценкинеизвестного параметра а (метод максимального правдоподобия)

Находим производную по а :

Находим вторую производную по а:

При максимум исходной функции. Значит

Ответ:

Задача 36. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием а и неизвестной дисперсией. По выборкеобъёмавычислено выборочное среднее. Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения, отвечающий заданной доверительной вероятности.

Решение:

Ответ:

studfiles.net

Типовой расчёт №1

КГТА

18 Вариант

Студент гр У-103

Проверил: Юлина

Задача 1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:

а) сумма числа очков не превосходит N;

б) произведение числа очков не превосходит N;

в) произведение числа очков делится на N.

N=12

Решение:

а)

-количество возможных исходов.

-количество благоприятных исходов.

б)

-количество возможных исходов

-количество благополучных исходов

в)

Ответ: 1; 0,64; 0,19.

Задача 3. Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных.

, ,,

Решение:

Число возможных исходов:

Число благоприятных исходов:

5 выигрышных из 7 можно взять способами, а ещё 2 невыигрышных из 3 можно выбратьспособами.

Ответ:

Задача 4. В лифт k — этажного дома сели n пассажиров (n<k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что:

а) все вышли на разных этажах;

б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.

а) Количество возможных исходов:

Количество благоприятных исходов:

б) В задаче речь идёт про событие противоположное первому, значит

Ответ: ,.

Задача 5. В отрезке единичной длины на удачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит величину . ()

Решение:

-длина отрезка, где появится точка.

-длина отрезка «благоприятного исхода»

Ответ:

Задача 7. В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны и.

Решение:

Мера вероятности — площадь.

Все варианты попадания точки — в круг.

Благоприятные — в фигурах и

Ответ:

Задача 8. В двух партиях и% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно доброкачественное и одно бракованное?

События:

А-из первой партии достали бракованное.

В-из второй партии достали бракованное.

а) С-хотя бы одно бракованное.

б) D-оба бракованных:

в) Е-одно бракованное и одно качественное.

Ответ:

Задача 9. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком , вторым —. Первый сделал, второй —выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Решение:

События:

Цель не поражена

А — первый стрелок промахнулся 3 раза

В — второй стрелок промахнулся 2 раза

Ответ:

Задача 12. Из 1000 ламп принадлежатй партии,В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.

Решение:

Количество брака в первой партии:

Количество брака во второй партии:

Количество брака в третьей партии:

Ответ:

Задача 15. В магазин поступают однотипные изделия с трёх заводов, причём й завод поставляет% изделий. Среди изделийго завода% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено третьим заводом.

Решение:

Ответ: 59%

Задача 17. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна . Купленобилетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Решение:

Найдём наивероятнейшее число выигравших билетов из неравенства:

Значит, есть два наивероятнейших числа 7 и 8.

Применима формула Бернулли:

Ответ:

Задача 19. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна Поступиловызовов. Определить вероятность«сбоев».

Так как и, то применима формула Пуассона.

Ответ: 13,2%

Задача 20. Вероятность наступления некоторого события в каждом из независимых испытаний равнаОпределить вероятность того, что числонаступлений события удовлетворяют следующему неравенству:.

Решение:

Ответ: 0,994.

Задача 21. Дана плотность распределения случайной величины. Найти параметр, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения случайной величины, вероятность выполнения неравенства

Решение:

а) найдём параметр

б) найдём математическое ожидание :

в) найдём дисперсию :

г) Найдём функцию распределения случайной величины :

При

При

При

д)Найдём вероятность выполнения неравенства

Задача 27. Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей. Найти плотность распределения вероятностейслучайной величины

Так как функция монотонная, то:

Найдём производную:

Найдём интервал для

Проверка в системе MathCAD:

Задача 33. На отрезке случайным образом выбраночисел, точнее, рассматриваютсянезависимых случайных величинравномерно распределённых на отрезке. Найти вероятность того, что их сумма заключена междуит.е.

,

Решение:

Так как распределение равномерное, то

Ответ: 0,43 или 43%

Задача 34. Известно, что случайная величина имеет распределение Пуассона, неизвестным является параметр а. Используя указанный ниже метод получения точечных оценок, найти по реализации выборкизначения оценкинеизвестного параметра а (метод максимального правдоподобия)

Находим производную по а :

Находим вторую производную по а:

При максимум исходной функции. Значит

Ответ:

Задача 36. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием а и неизвестной дисперсией. По выборкеобъёмавычислено выборочное среднее. Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения, отвечающий заданной доверительной вероятности.

Решение:

Ответ:

Задача 37. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием. По выборкеобъёмавычислены оценки:

и

неизвестных параметров. Найти доверительный интервал для математического ожидания а, отвечающей доверительной вероятности .

Решение:

Задача 41. Для контроля взяты 200 узлов, собранных на ученическом конвейере. Число узлов , при сборке которых пропущеноопераций, сведено в таблицу.

Согласуются ли полученные результаты с распределением Пуассона (, гдеслучайное число пропущенных операций) по критериюпри уровне значимости? Решить задачу для заданного значения параметра а, и для случая когда параметр а оценивается по выборке.

Решение:

studfiles.net

Площадь. Нахождение площади. 3-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок закрепления изученных знаний, урок знакомства с новой темой и мультимедиа-ресурсом.

Вид урока: проблемный урок с элементами исследования, с элементами игровой деятельности.

Методы обучения: проектно-исследовательский метод, методы наблюдения, конструирования, беседы, тестирования, контроля и самоконтроля. Метод стимулирования и авансирования, эмоционального воздействия, наглядности.

Материалы и оборудование: Учебник для общеобразовательных учреждений (в двух частях) под редакцией М.И. Моро, М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, С.И. Волковой, С.В. Степановой «Математика», 3 класс, серия «Школа России». Издательство «Просвещение», 2010, С. 55. Рабочие тетради; детские ноутбуки; медиапроектор, компьютер, экран; тесты, карточки с формулами нахождения периметра и площади прямоугольника, индивидуальные геометрические фигуры и картинка с «Карандашом», палетки.

Продолжительность: урок 45 минут.

Авторский медиапродукт: презентация к уроку (25 минут).

Цель урока: Создание условий для становления и развития психических функций, способностей, мотивационных установок, творческого исследовательского мышления через вовлечение учащихся в активную учебно-исследовательскую деятельность на уроке математики.

Межпредметные связи: урок окружающего мира, урок русского языка и технологии.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

3 класс. Математика. Вычисление площади прямоугольника — Площадь прямоугольника

Комментарии преподавателя

Мы уже по­зна­ко­ми­лись с по­ня­ти­ем пло­щадь фи­гу­ры, узна­ли одну из еди­ниц из­ме­ре­ния пло­ща­ди – квад­рат­ный сан­ти­метр. На уроке мы вы­ве­дем пра­ви­ло, как вы­чис­лить пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

Мы уже умеем на­хо­дить пло­щадь фигур, ко­то­рые раз­де­ле­ны на квад­рат­ные сан­ти­мет­ры.

На­при­мер:

Мы можем опре­де­лить, что пло­щадь пер­вой фи­гу­ры 8 см2, пло­щадь вто­рой фи­гу­ры 7 см2.

Как найти пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, длины сто­рон ко­то­ро­го 3 см и 4 см?

Для ре­ше­ния за­да­чи разо­бьём пря­мо­уголь­ник на 4 по­лос­ки по 3 см2 каж­дая.

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка будет равна 3*4=12 см2.

Этот же пря­мо­уголь­ник  можно раз­бить на 3 по­лос­ки по 4 см2.

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка будет равна 4*3=12 см2.

В обоих слу­ча­ях для на­хож­де­ния пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка пе­ре­мно­жа­ют­ся числа, вы­ра­жа­ю­щие длины сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка.

Най­дем пло­щадь каж­до­го пря­мо­уголь­ни­ка.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ник АКМО.

В одной по­лос­ке 6 см2, а таких по­ло­сок в этом пря­мо­уголь­ни­ке 2. Зна­чит, мы можем вы­пол­нить сле­ду­ю­щее дей­ствие:

6*2=12 см2

Число 6 обо­зна­ча­ет длину пря­мо­уголь­ни­ка, а 2 – ши­ри­ну пря­мо­уголь­ни­ка. Таким об­ра­зом, мы пе­ре­мно­жи­ли сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка для того, чтобы найти пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ник KDCO.

В пря­мо­уголь­ни­ке KDCO  в одной по­лос­ке 2см2, а таких по­ло­сок 3. Сле­до­ва­тель­но, мы можем вы­пол­нить дей­ствие

2*3=6см2

Число 3 обо­зна­ча­ет длину пря­мо­уголь­ни­ка, а 2 – ши­ри­ну пря­мо­уголь­ни­ка. Мы их пе­ре­мно­жи­ли и узна­ли пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

Можно сде­лать вывод: чтобы найти пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, не надо каж­дый раз раз­би­вать фи­гу­ру на квад­рат­ные сан­ти­мет­ры.

Чтобы вы­чис­лить пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, нужно найти его длину и ши­ри­ну (длины сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка долж­ны быть вы­ра­же­ны в одних и тех же еди­ни­цах из­ме­ре­ния), а потом вы­чис­лить про­из­ве­де­ние по­лу­чен­ных чисел (пло­щадь будет вы­ра­же­на в со­от­вет­ству­ю­щих еди­ни­цах пло­ща­ди)

Обоб­щим: пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины и ши­ри­ны.

Ре­ши­те за­да­чу.

Вы­чис­ли пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если длина пря­мо­уголь­ни­ка 9см, а ши­ри­на – 2см.

Рас­суж­да­ем так. В дан­ной за­да­че из­вест­ны и длина и ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка. По­это­му дей­ству­ем по пра­ви­лу: пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины и ши­ри­ны.

За­пи­шем ре­ше­ние.

9*2=18см2

Ответ: пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка 18см2

Как вы ду­ма­е­те, ка­ки­ми ещё могут быть длины сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка с такой пло­ща­дью?

Можно рас­суж­дать так. По­сколь­ку пло­щадь – это про­из­ве­д

www.kursoteka.ru

«Площади фигур». 3-й класс

Разделы: Начальная школа, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (1,8 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений

Цель урока: создавать условия для формирования умения решать задачи на нахождение площади фигур через совершенствование вычислительных навыков, знакомство со старинными мерами длины и площади, развитие логического мышления учащихся, кругозора, трудолюбия и аккуратности.

Задачи урока:

Образовательные:

• формировать целостный взгляд на мир средствами междисциплинарных связей на уроке; ориентировать на разнообразие способов решения задач и выбор наиболее рациональных из них; отрабатывать навыки решения задач с применением известных формул.

Развивающие:

• развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся через решение геометрических заданий; формировать навыки самостоятельной и коллективной работы.

Воспитательные:

• прививать учащимся интерес к предмету через решение задач; формировать умение ясно и четко излагать свои мысли, правильно и рационально решать геометрические задачи; воспитывать веру в свои силы.

Методы: практический, частично-поисковый.

Организация пространства: работа фронтальная, групповая, индивидуальная, в парах (учащиеся располагаются за столами по 4 человека).

Оборудование: модели единиц площади (1см², 1дм², 1м²) на стенах класса, модели сложных фигур на листах А2, индивидуальные листы, презентация, листы А4, фломастеры.

Личностные УУД: осваивать новые виды деятельности, участвовать в творческом, созидательном процессе.

Регулятивные УУД: определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок.

Коммуникативные УУД: развивать коммуникативные навыки работы в группе.

Познавательные УУД: ориентироваться в своей системе знаний; понимать информацию, представленную в схематичной, модельной форме; выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; самостоятельно создавать способы решения проблем творческого и поискового характера.

Планируемые результаты:

Метапредметные

• использовать знаково-символические средства представления информации для создания способов решения практических задач.

Предметные результаты

• Уметь вычислять площади простых и сложных фигур разными способами;
• Уметь использовать наглядные модели (план, чертеж, схема), отражающие отношения между предметами для решения задач;
• Овладеть основами пространственного воображения, измерения, наглядного представления периметра и площади фигур.

Ход урока

I. Организационный момент

Как посчитать объем помещения в м3 калькулятор – площадь в метрах кубических

Как посчитать объем помещения

Объем – геометрический термин, позволяющий измерить количественные характеристики жилого и нежилого пространства.

Определить объемы помещения можно, обладая сведениями о его линейных размерах и характеристиками формы. Объем очень тесно переплетается с характеристиками вместимости. Наверняка каждому знакомы такие термины как внутренний объем сосуда или какой-либо тары.

Единица измерения объема классифицируется в соответствии с всемирными стандартами. Существует специальная система измерений – СИ, в соответствии с которой кубический метр, литр или сантиметр выступает метрической единицей объема.

Любое помещение, будь-то жилая комната или производственное помещение – имеет свои характеристики объема. Если рассматривать любое помещение с точки зрения геометрии, то комната сравнима с параллелепипедом. Это шестигранная фигура, в случае с комнатой грани ее – это стены, пол и потолок. Каждая из сторон комнаты – это прямоугольник. Как известно из геометрии, существует формула нахождения объема прямоугольного параллелепипеда. Объем данной фигуры вычисляется посредством умножения трех главных измерений параллелепипеда – длины, ширины и высоты граней. Также вычислить объем помещения можно по более простой формуле – площадь пола умножают на высоту комнаты.

Как узнать объём комнаты

Итак, каким же образом производят вычисления объема конкретной комнаты? Вначале измеряем длину стены, самой длинной в комнате. Затем определяем длину самой короткой стены в комнате. Все эти измерения проводятся на уровне пола, по линии пролегания плинтусов. При измерениях рулеточная лента должна располагаться ровно. Настал черед измерить и высоту потолка. Для этого необходимо провести рулетку от пола до потолка в одном из углов комнаты.

Все измерения необходимо записывать, с точностью до десятых частей. После этого можно приступить непосредственно к вычислению объемов комнаты. Берем длину самой большой стены, умножаем ее на длину самой маленькой стены, затем полученный результат умножаем на высоту комнаты. В итоге получаем необходимые цифры – объем комнаты.

Вычислить объем помещения бывает нужно в самых разных ситуациях. Так, объем комнаты нужно знать при установке секционного радиатора отопления. Количество секций в нем прямо зависит от объемов комнаты. Если устанавливается кондиционер, также нужно знать объемы помещения, поскольку отдельный кондиционер предназначен только для конкретного объема помещения.

Объём помещения сложной формы

В том случае, когда комната имеет неправильную форму, нужно исходить снова же, из фигуры параллелепипеда. В данном случае комната будет представлена большим и маленьким объемным телом. Так вот, объем нужно измерить отдельно у большого параллелепипеда, а затем – у маленького. После этого два объема складываются между собой. Бывает, что строение комнаты совершенно нестандартное, могут присутствовать арки и ниши полукруглой формации. В данном случае объемы нужно вычислять по другой формуле – объем цилиндра. Объем цилиндра всегда вычисляется по единой формуле – площадь его основания умножается на высоту цилиндрического тела. Полукруглые конструкции в комнате можно представить частью цилиндра, исходя из этого делаются расчеты полного объема цилиндра, а затем из них отнимается лишняя часть, в соответствии с размерами полукруглой ниши.

Как найти объем помещения

Оценка объема помещений довольно часто требуется при производстве строительных и ремонтных работ. В большинстве случаев это требуется для уточнения количества материалов, необходимых для проведения ремонта, а также для подбора эффективной системы отопления или кондиционирования воздуха. Количественные характеристики, описывающие пространство, как правило, требуют проведения некоторых измерений и несложных вычислений.

1. Самый простой случай – когда требуется определить объем помещения правильной прямоугольной или квадратной формы. При помощи рулетки измерьте в метрах длину и ширину стен, а также высоту помещения. Удобнее всего проводить измерения по полу, вдоль плинтусов. Перемножьте полученные показатели длинны, ширины, высоты и вы получите искомый объем.

2. Если помещение имеет неправильную или сложную форму, задача немного усложняется. Разбейте площадь помещения на несколько простых фигур и вычислите площадь каждой из них, предварительно произведя замеры. Сложите полученные значения, суммируя площадь. Умножьте сумму на высоту помещения. Измерения необходимо проводить в одних и тех же единицах, например, в метрах.

3. При проведении строительных работ определение объема всего сооружения определяется по стандартам. Так называемый строительный объем наземной части здания с чердаком можно вычислить, умножив площадь горизонтального сечения по внешним обводам на уровне нижнего этажа. Измерьте полную высоту здания от уровня чистого пола до верхней части утеплителя чердачного перекрытия. Перемножьте оба показателя.

4. При наличии разных по площади этажей общий объем помещений в здании определите, сложив объемы всех частей. Таким же образом определяется объем, если помещения имеют разные очертания и конструкцию.

5. Отдельно вычислите объемы веранд, эркеров, тамбуров и иных вспомогательных элементов сооружения. Включите эти данные в общий объем всех помещений здания. Таким образом можно легко найти объем любого помещения или здания, расчеты довольно просты, пробуйте и будьте внимательны.

Формула объема помещения

Как посчитать объем помещения

Объём — количественная черта места. Объём помещения определяется его формой и линейными размерами. С понятием объёма плотно сплетено понятие вместимость, другими словами объём внутреннего места сосуда, упаковочного ящика и т. п. Принятые единицы измерения — в ситме измерений СИ и производных от неё — кубический метр м3, кубический сантиметр, литр. Для вас понадобится Для измерения объема помещения для вас будет нужно рулетка, лист бумаги, калькулятор, ручка. 1 Каждое помещение, например комната, представляет собой, с геометрической точки зрения прямоугольный параллелепипед.

Параллелепипед — это большая фигура, у которой 6 граней. и неважно какая из их есть прямоугольником. Формула нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда: V=abc. Количество прямоугольного параллелепипеда равен произведению 3-х его измерений. Не считая этой формулы может быть измерить количество помещения умножив площадь пола на высоту.

2 Итак приступайте к вычислениям объема помещения. Определите длину одной стены ,позже определите длину 2-ой стены. Измерения проводите по полу, на уровне плинтуса.Ленту рулетки держите ровно.

На данный момент определите высоту помещения, для этого подойдите к одному из его углов, и точно померьте высоту по углу от пола до потолка. Приобретенные данные запишите на листочек, чтоб не запамятовать.

Как посчитать объем в м3 бетона калькулятор

На данный момент приступайте к вычислениям: умножите длину длинноватой стены на длину недлинной стены, приобретенное произведение умножите на высоту и вы получите требуемый итог.

Объемы помещений вычисляют в различных случаях: 1) в случае приобретения кондюка воздуха, так как кондюки рассчитаны на определенный количество помещений; 2) с случае установки радиаторов отопления в комнатах, так как количество секций в радиаторе находится в зависимости от объема помещения. 3 Если у вас комната неверной формы, другими словами складывается из вроде бы огромного параллелепипеда и малеханького. В данном случае необходимо измерить количество каждого из их раздельно, а позже сложить. Если в вашей комнате есть альков. тогда его количество нужно высчитывать по формуле объема цилиндра. Количество всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V=? r2 h, где. – это число «пи» равное 3,14, r2 квадрат радиуса цилиндра, h – высота.

Представьте для себя ваш альков как часть цилиндра, вычислите количество вроде бы всего цилиндра, позже поглядите какую часть этого цилиндра занимает ваш альков,отымите от общего объема лишнюю часть.

Как рассчитать площадь комнаты?

Если комната с четырьмя стенами и имеет стандартную геометрическую фигуру с прямыми углами, тогда необходимо измерить две стенки и умножив полученные две цифры друг на друга мы получим площадь помещения, а для объёма нужно умножить полученный результат на высоту. но это только при правильных геометрических фигурах.

Сложнее находить площадь и размеры, когда форма комнаты неправильного размера, например такого.

Тогда нужно применять все знания геометрии, а именно — разделить комнату на несколько правильных фигур и в соответствии с формулами этих фигур найти их площадь, а потом все результаты сложить вместе, тогда получится общая площадь помещения. Для нахождения высоты необходимо полученный результат общей площади умножить на высоту.

Ещё хуже обстоят дела с нестандартными помещениями с неправильными углами стен и крыши. Тогда придётся переносить все размеры помещения на бумагу, разделять его на правильные фигуры и исходя из каждой фигуры находить её площадь и объём, а потом полученные результаты суммировать.

В площадь помещения не входят выступы окон и прочего, что выше пола, но они входят в расчёт объёма помещения.

Как посчитать площадь помещения

В случае измерения комнаты неправильной формы для более точного подсчета площади рекомендуется разбить ее на прямоугольники. Подсчитав площадь каждого такого участка, можно узнать общую площадь комнаты путем простого суммирования всех полученных результатов.

Если же разбить комнату на прямоугольные участки не представляется возможным, то можно попробовать такие фигуры как треугольник либо сектор круга. Площадь треугольника считается по формуле Герона: S=v**).

Р — полупериметр треугольника, который можно рассчитать таким образом: р=/2

http://denisyakovlev.com

stroyvolga.ru

Как найти объем помещения. Как рассчитать, посчитать объем помещения

Как рассчитать, посчитать объем помещения.

Оценка объема помещений довольно часто требуется при производстве строительных и ремонтных работ. В большинстве случаев это требуется для уточнения количества материалов, необходимых для проведения ремонта, а также для подбора эффективной системы отопления или кондиционирования воздуха. Количественные характеристики, описывающие пространство, как правило, требуют проведения некоторых измерений и несложных вычислений.

1. Самый простой случай – когда требуется определить объем помещения правильной прямоугольной или квадратной формы. При помощи рулетки измерьте в метрах длину и ширину стен, а также высоту помещения. Удобнее всего проводить измерения по полу, вдоль плинтусов. Перемножьте полученные показатели длинны, ширины, высоты и вы получите искомый объем.

2. Если помещение имеет неправильную или сложную форму, задача немного усложняется. Разбейте площадь помещения на несколько простых фигур (прямоугольников, квадратов, полуокружностей и так далее) и вычислите площадь каждой из них, предварительно произведя замеры. Сложите полученные значения, суммируя площадь. Умножьте сумму на высоту помещения. Измерения необходимо проводить в одних и тех же единицах, например, в метрах.

3. При проведении строительных работ определение объема всего сооружения определяется по стандартам. Так называемый строительный объем наземной части здания с чердаком можно вычислить, умножив площадь горизонтального сечения по внешним обводам на уровне нижнего этажа. Измерьте полную высоту здания от уровня чистого пола до верхней части утеплителя чердачного перекрытия. Перемножьте оба показателя.

4. При наличии разных по площади этажей общий объем помещений в здании определите, сложив объемы всех частей. Таким же образом определяется объем, если помещения имеют разные очертания и конструкцию.

5. Отдельно вычислите объемы веранд, эркеров, тамбуров и иных вспомогательных элементов сооружения (за исключением крытых и открытых балконов). Включите эти данные в общий объем всех помещений здания. Таким образом можно легко найти объем любого помещения или здания, расчеты довольно просты, пробуйте и будьте внимательны.

Формула объема помещения

Формула

 

Пример расчета объема помещения по формуле

Калькулятор площади стены или пола

Вставьте размеры помещения и получите результат.

sdelalremont.ru

Как найти объем через площадь

Объем – мера вместимости, выраженная для геометрических фигур в виде формулы V=l*b*h. Где l – длина, b – ширина, h – высота объекта. При наличии только одной либо 2-х колляций вычислить объем в большинстве случаев невозможно. Впрочем при некоторых условиях представляется допустимым сделать это через площадь .

Инструкция

1. Задача первая: вычислить объем, зная высоту и площадь . Это самая простая задача, т.к. площадь (S) – это произведение длинны и ширины (S= l*b), а объем – произведение длины, ширины и высоты. Подставьте в формулу вычисления объема взамен l*b площадь . Вы получите выражение V=S*h.Пример: Площадь одной из сторон параллелепипеда – 36 см?, высота – 10 см. Обнаружьте объем параллелепипеда.V = 36 см? * 10 см = 360 см?.Результат: Объем параллелепипеда равен 360 см?.

2. Задача вторая: вычислить объем, зная только площадь . Это допустимо, если вы вычисляете объем куба, зная площадь одной из его граней. Т.к. ребра куба равны, то извлекая из значения площади квадратный корень, вы получите длину одного ребра. Эта длина будет и высотой, и шириной.Пример: площадь одной грани куба – 36 см?. Вычислите объем.Извлеките квадратный корень из 36 см?. Вы получили длину – 6 см. Для куба формула будет иметь вид: V = a?, где а – ребро куба. Либо V = S*a, где S – площадь одной стороны, а – ребро (высота) куба.V = 36 см? * 6 см = 216 см?. Либо V = 6?см = 216 см?.Результат: Объем куба равен 216 см?.

3. Задача третья: вычислить объем, если вестима площадь и некоторые другие данные. Данные могут быть различные, помимо площади могут быть знамениты другие параметры. Длина либо ширина могут быть равны высоте, огромнее либо поменьше высоты в несколько раз. Также могут даваться добавочные данные о фигурах, которые помогут в вычислениях объема.Пример 1: обнаружьте объем призмы, если знаменито, что площадь одной стороны 60 см?, длина 10 см, а высота равна ширине.S = l * b; l = S : bl = 60 см? : 10 см = 6 см – ширина призмы. Т.к. ширина равна высоте, вычислите объем:V=l*b*hV = 10 см * 6 см *6 см = 360 см?Результат:объем призмы 360 см?

4. Пример 2: обнаружьте объем фигуры, если площадь 28 см?, длина фигуры 7 см. Дополнительное условие: четыре стороны равны между собой, и объединены друг с ином по ширине.Для решения следует возвести параллелепипед. l = S : bl = 28 см? : 7 см = 4 см – ширинаКаждая сторона представляет собой прямоугольник, длина которого 7 см, а ширина 4 см. Если четыре таких прямоугольника объединить между собой по ширине, то получится параллелепипед. Длина и ширина в нем по 7 см, а высота 4 см. V = 7 см * 7 см * 4 см = 196 см?Результат: Объем параллелепипеда = 196 см?.

jprosto.ru

Как рассчитать площадь комнаты? Как посчитать объем помещения?

vitf [2K] 5 лет назад Ну так это напрямую зависит от того, какой формы ваша комната. Если она правильной прямоугольной формы (что чаще всего бывает), то площадь вы найдёте измерив длину и ширину и помножив эти два измерения. Если в вашем помещении присутствуют какие-либо выступы, то их само собой стоит вычесть из блины и ширины. Для подсчёта объёма вам понадобятся уже три измерения: длина, ширина и высота. Перемножив эти три величины вы получите объём вашего помещения, который измеряется в кубических метрах. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим в избранное ссылка отблагодарить Ким Чен Ын [313K] 2 года назад Площадь комнаты высчитывается умножив длину комнаты на её ширину. К примеру длина комнаты 10-ь метров, ширина 3-и метра, умножаем 10-ь на 3-и получаем 30-ь квадратных метров (мера площади, в кв.м). Объём это кубические метры (мера объёма измеряется в м³) к длине и ширине добавляем высоту помещения и перемножаем значения. К примеру, всё та же комната по площади 10х3, рулеткой измеряем высоту от пола до потолка, допустим потолки высокие, три метра. Перемножаем 10х3х3=90-о кубических метров, объём этой комнаты. Если Вам надо высчитать площадь всех стен (к примеру для покупки обоев), то всё тоже самое, но из общей цифры отнимается площадь проёмов (как дверных так и оконных). Площадь проёмов так же высчитывается в квадратных метрах. И ещё не большой совет, строительные материалы лучше брать с не большим запасом, если объём комнаты высчитывается к примеру для покупки сплит-системы (высчитывается мощность кондиционера), то и тут лучше, считать с не большим запасом. в избранное ссылка отблагодарить Irischka [10.1K] 2 года назад Для того, чтобы определить объем комнаты нам понадобится рулетка, лист бумаги, калькулятор. Комнату можно представить в виде геометрической фигуры, а именно прямоугольного параллелепипеда. Как и у параллелепипеда у комнаты 6 граней: стены, потолок, пол. Каждая из сторон — это прямоугольник. Для нахождения площади комнаты необходимо измерить по плинтусу две стены, одна будет являться длиной, другая шириной. Умножит длину на ширину, мы и узнаем площадь. Находим объём прямоугольного параллелепипеда по формуле: V=abc. Для нахождения объема нужно умножить три измерения. Ещё можно найти объем помещения перемножив площадь пола на высоту. Для нахождения объёма нужно измерите длины стен, высоту помещения. Зная эти данные нужно перемножить: длину длинной стены на длину короткой стены, а полученное произведение умножить на высоту помещения — это и будет объёмом помещения. . в избранное ссылка отблагодарить Elden [52.9K] 4 года назад Если комната с четырьмя стенами и имеет стандартную геометрическую фигуру с прямыми углами, тогда необходимо измерить две стенки и умножив полученные две цифры друг на друга мы получим площадь помещения, а для объёма нужно умножить полученный результат на высоту (расстояние от пола до потолка), но это только при правильных геометрических фигурах… Сложнее находить площадь и размеры, когда форма комнаты неправильного размера, например такого. Тогда нужно применять все знания геометрии, а именно — разделить комнату на несколько правильных фигур и в соответствии с формулами этих фигур найти их площадь, а потом все результаты сложить вместе, тогда получится общая площадь помещения. Для нахождения высоты необходимо полученный результат общей площади умножить на высоту… Ещё хуже обстоят дела с нестандартными помещениями с неправильными углами стен и (или) крыши. Тогда придётся переносить все размеры помещения на бумагу, разделять его на правильные фигуры и исходя из каждой фигуры находить её площадь и (или) объём, а потом полученные результаты суммировать… В площадь помещения не входят выступы окон и прочего, что выше пола, но они входят в расчёт объёма помещения… в избранное ссылка отблагодарить Вероника [62.4K] 3 года назад Если комната комната квадратной или прямоугольной формы, то площадь ее найти не сложно. Измеряем ширину и длину стен с помощью обычной рулетки. Полученные цифры между собой переумножаем, полученный результат и будет означать площадь помещения в квадратных метрах. Sкомн. = a х b, а — длина, b — ширина. Если помещение сложной конфигурации, необычной формы, то комнату сначала разделить на несколько геометрических фигур и затем найти площадь каждого и результат сложить. При ремонте, чтобы правильно выбрать мощность вентиляционной системы или кондиционера нужно знать объем помещения. Он находится просто. Представим, что комната геометрическая объемная фигура, например, параллелепипед с 6 гранями: 4 стены, 1 потолок и 1 пол. Формула объема паралеллелепипеда записывается так: Vпаралелл. =a х b х c, т.е. длина, ширина, высота переумножаются. Объем помещения записывается в кубических метрах. в избранное ссылка отблагодарить домовой [29.3K] 4 года назад Площадь помещения (комнаты) вычисляется умножив длину на ширину, если есть повороты, ниши или выступы значит посчитайте их обмер и расчёт площади отдельно и прибавьте или вычтите из производного ширины и длины. Всё что выпуклое в комнату — колоны, выступы, пристенки — вычитаем, а всё что добавляет величину — ниши, повороты, кладовки, чуланчики и расширения прибавляем. Объём комнаты высчитывается при помощи умножения площади (то что получилось по вышеописанному) на высоту помещения, если есть разность высоты потолков, то для более точного выведите среднюю величину. Например при входе высота до потолка 2.75 м, а возле окна 2.85 м (и такое бывает, строили не всегда трезвые!) то берём 2.75+2.85:2=2.80 м — вот это число и умножаем на площадь комнаты, получим более точный объём. в избранное ссылка отблагодарить Rosenbom [4.2K] 3 года назад Если комната стандартная, прямоугольная или квадратная то тут все просто, a*b где a — длина а b — ширина. А вот если комната имеет форму «Г» то при расчете площади следует «разбить комнату на 2 прямоугольника и рассчитав площадь каждого, сложить их. Если же придаток комнаты расположен не под прямым углом к основной части, то следует мысленно представить, что между 2-мя прямоугольниками вписался треугольник. Его площадь будет S=(a*b)/2 a и b — катеты. Если в этом треугольнике нет прямого угла, то площадь рассчитывается по другой формуле: S = √(р . (р – а) . (р – b) . (р – с)), а, b и c — стороны а р — полупериметр, вычисляется по формуле: p = (a + b + c)/2. в избранное ссылка отблагодарить CEHR [8.8K] 5 лет назад Рассчитать размеры, а именно площадь и размер комнаты достаточно просто, это геометрия пятого или шестого класса. Рассчитать площадь комнаты нужно из соображений геометрии, если у вас комната квадратная или прямоугольная, то площадь равна: S=A*B, где S — площадь помещения А — длина помещения В — ширина помещения. Если комната у вас треугольная, то площадь: S=0,5*A*B Если у вас нестандартная комната, то площадь такой комнаты разбивается на элементарные фигуры, потом считаются их площади и суммируются. Объем комнаты считается так: V=S*H=A*B*H где Н — высота потолка. Площадь рассчитывается в метрах квадратных, а объем в метрах кубических. в избранное ссылка отблагодарить krusu [15.2K] 5 лет назад Всё очень просто. Для того, чтобы найти площадь комнаты измерьте ширину и длину комнаты в метрах и помножьте эти два выражения друг на друга. В итоге получите квадратные метры. Если уж нужен и объём, то измерьте ещё и высоту помещения (тоже в метрах) и помножьте её на площадь, получите объём, который выражается в кубических метрах. в избранное ссылка отблагодарить aleandro [508] 3 года назад Площадь комнаты. или квартиры рассчитывают по стандартном значении, а именно в метрах квадратных. Под расчет берут ширину и высоту комнаты и выходит площадь комнаты. Рассчитать площадь можно по специально заданной формуле в избранное ссылка отблагодарить Знаете ответ?

Смотрите также:

www.remotvet.ru

Как найти объем через площадь

Объем – мера вместимости, выраженная для геометрических фигур в виде формулы V=l*b*h. Где l – длина, b – ширина, h – высота объекта. При наличии только одной или двух характеристик вычислить объем в большинстве случаев нельзя. Однако при некоторых условиях представляется возможным сделать это через площадь.

Инструкция

• Задача первая: вычислить объем, зная высоту и площадь. Это самая простая задача, т.к. площадь (S) — это произведение длинны и ширины (S= l*b), а объем – произведение длины, ширины и высоты. Подставьте в формулу вычисления объема вместо l*b площадь. Вы получите выражение V=S*h.Пример: Площадь одной из сторон параллелепипеда — 36 см², высота – 10 см. Найдите объем параллелепипеда.V = 36 см² * 10 см = 360 см³.Ответ: Объем параллелепипеда равен 360 см³.
• Задача вторая: вычислить объем, зная только площадь. Это возможно, если вы вычисляете объем куба, зная площадь одной из его граней. Т.к. ребра куба равны, то извлекая из значения площади квадратный корень, вы получите длину одного ребра. Эта длина будет и высотой, и шириной.Пример: площадь одной грани куба — 36 см². Вычислите объем.Извлеките квадратный корень из 36 см². Вы получили длину – 6 см. Для куба формула будет иметь вид: V = a³, где а – ребро куба. Или V = S*a, где S – площадь одной стороны, а – ребро (высота) куба.V = 36 см² * 6 см = 216 см³. Или V = 6³см = 216 см³.Ответ: Объем куба равен 216 см³.
• Задача третья: вычислить объем, если известна площадь и некоторые другие условия. Условия могут быть разные, помимо площади могут быть известны другие параметры. Длина или ширина могут быть равны высоте, больше или меньше высоты в несколько раз. Также могут даваться дополнительные сведения о фигурах, которые помогут в вычислениях объема.Пример 1: найдите объем призмы, если известно, что площадь одной стороны 60 см², длина 10 см, а высота равна ширине.S = l * b; l = S : b
  l = 60 см² : 10 см = 6 см – ширина призмы. Т.к. ширина равна высоте, вычислите объем:
  V=l*b*h
  V = 10 см * 6 см *6 см = 360 см³Ответ:объем призмы 360 см³
• Пример 2: найдите объем фигуры, если площадь 28 см², длина фигуры 7 см. Дополнительное условие: четыре стороны равны между собой, и соединены друг с другом по ширине.Для решения следует построить параллелепипед. l = S : b
  l = 28 см² : 7 см = 4 см – ширинаКаждая сторона представляет собой прямоугольник, длина которого 7 см, а ширина 4 см. Если четыре таких прямоугольника соединить между собой по ширине, то получится параллелепипед. Длина и ширина в нем по 7 см, а высота 4 см. V = 7 см * 7 см * 4 см = 196 см³Ответ: Объем параллелепипеда = 196 см³.

completerepair.ru

как найти объем комнаты, зная ее высоту и площадь?

перемножить 50 получиться

Умножаешь площадь на высоту и получится объем! В Вашем случае это 50 метров кубических.

Вы смеётесь? :)))))))))))))))

высоту помножить на площадь. 20*2,5=50 куб. метров

Площадь умножить на высоту. 2,5 х 20 =50 куб. м.

Математически корректный ответ — взять интеграл по площади комнаты (от 0 до 2,5 метров) , наиболее популярный — умножить площадь комнаты на её высоту.

Площадь умножить на высоту. 2,5 х 20 =50 куб. м.

умножить надоооо

Площадь умножить на высоту. 2,5 х 20 =50 куб. м.

touch.otvet.mail.ru

Как посчитать площадь комнаты, стены, пола, потолка

Главная » Разное » Как посчитать квадратуру комнаты, стен, потолка, пола

Периодически нам требуется знать площадь и объем комнаты. Эти данные могут понадобиться при проектировании отопления и вентиляции, при закупке стройматериалов и еще во многих других ситуациях. Также периодически требуется знать площадь стен. Все эти данные вычисляются легко, но предварительно придется поработать рулеткой — измерять все требуемые габариты.  О том, как посчитать площадь комнаты и стен, объем помещения и пойдет речь дальше.  

Часто требуется посчитать кубатуру комнаты, ее объем

Площадь комнаты в квадратных метрах

Содержание статьи

Посчитать несложно, требуется только вспомнить простейшие формулы а также провести измерения. Для этого нужны будут:

• Рулетка. Лучше — с фиксатором, но подойдет и обычная.
• Бумага и карандаш или ручка.
• Калькулятор (или считайте в столбик или в уме).

Набор инструментов нехитрый, найдется в каждом хозяйстве. Проще измерения проводить с помощником, но можно справиться и самостоятельно.

Для начала надо измерить длину стен. Делать это желательно вдоль стен, но если все они заставлены тяжелой мебелью, можно проводить измерения и посередине. Только в этом случае следите чтобы лента рулетки лежала вдоль стен, а не наискосок — погрешность измерений будет меньше.

Прямоугольная комната

Если помещение правильной формы, без выступающих частей, вычислить площадь комнаты просто. Измеряете длину и ширину, записываете на бумажке. Цифры пишите в метрах, после запятой ставите сантиметры. Например, длина 4,35 м (430 см), ширина 3,25 м (325 см).

Как высчитать площадь комнаты

Найденные цифры перемножаем, получаем площадь комнаты в квадратных метрах. Если обратимся к нашему примеру, то получится следующее: 4,35 м * 3,25 м = 14,1375 кв. м.  В данной величине оставляют обычно две цифры после запятой, значит округляем. Итого, рассчитанная квадратура комнаты 14,14 квадратных метров.

Помещение неправильной формы

Если надо высчитать площадь комнаты неправильной формы, ее разбивают на простые фигуры — квадраты, прямоугольники, треугольники. Потом измеряют все нужные размеры, производят расчеты по известным формулам (есть в таблице чуть ниже).

Перед тем как посчитать площадь комнаты, тоже проводим изменения. Только в этом случае цифр будет не две, а четыре: добавится еще длина и ширина выступа. Габариты обоих кусков считаются отдельно.

Один из примеров — на фото. Так как и то, и другое — прямоугольник, площадь считается по той же формуле: длину умножаем на ширину. Найденную цифру надо отнять или прибавить к размеру помещения — в зависимости от конфигурации.

Площадь комнаты сложной формы

Покажем на этом примере как посчитать площадь комнаты с выступом (изображена на фото выше):

1. Считаем квадратуру без выступа: 3,6 м * 8,5 м = 30,6 кв. м.
2. Считаем габариты выступающей части: 3,25 м * 0,8 м = 2,6 кв. м.
3. Складываем две величины: 30,6 кв. м. + 2,6 кв. м. = 33,2 кв. м.

Еще бывают помещения со скошенными стенами. В этом случае разбиваем ее так, чтобы получились прямоугольники и треугольник (как на рисунке ниже). Как видите, для данного случая требуется иметь пять размеров. Разбить можно было по-другому, поставив вертикальную, а не горизонтальную черту. Это не важно. Просто требуется набор простых фигур, а способ их выделения произвольный.

Как посчитать площадь комнаты неправильной формы

В этом случае порядок вычислений такой:

1. Считаем большую прямоугольную часть: 6,4 м * 1,4 м = 8,96 кв. м. Если округлить, получим 9, 0 кв.м.
2. Высчитываем малый прямоугольник: 2,7 м * 1,9 м = 5,13 кв. м. Округляем, получаем 5,1 кв. м.
3. Считаем площадь треугольника. Так как он с прямым углом, то равен половине площади прямоугольника с такими же размерами. (1,3 м * 1,9 м) / 2 = 1,235 кв. м. После округления получаем 1,2 кв. м.
4. Теперь все складываем чтобы найти общую площадь комнаты: 9,0 + 5,1 + 1,2 = 15,3 кв. м.

Планировка помещений может быть очень разнообразной, но общий принцип вы поняли: делим на простые фигуры, измеряем все требуемые размеры, высчитываем квадратуру каждого фрагмента, потом все складываем.

Формулы расчета площади и периметра простых геометрических фигур

Еще одно важное замечание: площадь комнаты, пола и потолка — это все одинаковые величины. Отличия могут быть если есть какие-то полу-колоны, не доходящие до потолка. Тогда из общей квадратуры вычитается квадратура этих элементов. В результате получаем площадь пола.

Как рассчитать квадратуру стен

Определение площади стен часто требуется при закупке отделочных материалов — обоев, штукатурки и т.п. Для этого расчета нужны дополнительные измерения. К имеющимся уже ширине и длине комнаты нужны будут:

• высота потолков;
• высота и ширина дверных проемов;
• высота и ширина оконных проемов.

Все измерения — в метрах, так как квадратуру стен тоже принято измерять в квадратных метрах.

Удобнее всего размеры наносить на план

Так как стены прямоугольные, то и площадь считается как для прямоугольника: длину умножаем на ширину. Таким же образом вычисляем размеры окон и дверных проемов, их габариты вычитаем. Для примера рассчитаем площадь стен, изображенных на схеме выше.

1. Стена с дверью:
   • 2,5 м * 5,6 м = 14 кв. м. — общая площадь длинной стены
   • сколько занимает дверной проем: 2,1 м *0,9 м = 1,89 кв.м.
   • стена без учета дверного проема — 14 кв.м — 1,89 кв. м = 12,11 кв. м
2. Стена с окном:
   1. квадратура маленьких стен: 2,5 м * 3,2 м = 8 кв.м.
   2. сколько занимает окно: 1,3 м * 1,42 м = 1,846 кв. м, округляем, получаем 1,75 кв.м.
   3. стена без оконного проема: 8 кв. м — 1,75 кв.м = 6,25 кв.м.

Найти общую площадь стен не составит труда. Складываем все четыре цифры: 14 кв.м + 12,11 кв.м. + 8 кв.м + 6,25 кв.м. = 40,36 кв. м.

Объем комнаты

Формула расчета объема комнаты

Для некоторых расчетов требуется объем комнаты. В этом случае перемножаются три величины: ширина, длинна и высота помещения. Измеряется данная величина в кубических метрах (кубометрах), называется еще кубатурой. Для примера используем данные из предыдущего пункта:

• длинна — 5,6 м;
• ширина — 3,2 м;
• высота — 2,5 м.

Если все перемножить, получаем: 5,6 м * 3,2 м * 2,5 м = 44,8 м³. Итак, объем помещения 44,8 куба.

 

stroychik.ru

Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида:

,

где называются коэффициентами степенного ряда.

Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, так как любой степенной ряд сходится при .

Очевидно, что частичная сумма степенного ряда

является функцией переменной х. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной х, определенной в области сходимости ряда: .

Рассмотрим теорему, имеющую важное значение в теории степенных рядов и касающуюся области сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. (Абель Нильс Хенрик (1802—1829) — норвежский математик).

1) Если степенной ряд сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию ;

2) если степенной ряд расходится при , то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию .

Теорема Абеля утверждает, что если — точка сходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных на интервале () этот ряд сходится абсолютно, а если —точка расходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных вне интервала () ряд расходится.

Отсюда вытекает следующая теорема:

Если ряд сходится не при всех значениях х и не только при , то существует числотакое, что ряд абсолютно сходится при и расходится npu .

Интервал называетсяинтервалом сходимости степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Отметим, что интервал сходимости у некоторых рядов охватывает всю числовую прямую (в этом случае пишут ), у других вырождается в одну точку ().

Итак, всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R. При ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда.

Приведем способ определения радиуса сходимости степенного ряда по признаку Даламбера.

Если существует предел ,то радиус сходимости ряда равен .

Свойства степенных рядов.

Пусть функция является суммой степенного ряда

,

интервал сходимости которого .

В этом случае говорят, что на интервале функция разлагается в степенной ряд (или в ряд по степеням х).

Имеют место две теоремы о свойствах степенных рядов.

8. Если функция на интервале разлагается в степенной ряд, то она дифференцируема на этом интервале и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда, т.е.:

.

Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка функции . При этом соответствующие ряды имеют тот же интервал сходимости, что и степенной ряд.

9. Если функция на интервале разлагается в степенной ряд, то она интегрируема в интервале и интеграл от нее может быть вычислен почленным интегрированием степенного ряда, т.е., если , то:

+

++ … ++….

Теорема. Если функция на интервале разлагается в степенной ряд:

,

то это разложение единственно.

Пусть функция бесконечное число раз дифференцируема в точке, тогда в окрестности этой точки функция раскладывается в степенной ряд:

,

называемый рядом Тейлора.

При функцияразлагается в степенной ряд:

,

называемый рядом Маклорена.

Для того чтобы ряд Маклорена сходился на и имел своей суммой функцию, необходимо и достаточно, чтобы на остаточный член формулы Маклорена стремился к нулю при ,т.е. для любого .

Рассмотрим разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

;

;

;

studfiles.net

Степенные ряды. Интервал сходимости | Primer.by

Четырехугольник является параллелограммом, если

Теорема: Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. противоположные его углы равны;
2. противоположные его стороны попарно равны;
3. его диагонали точкой пересечения делятся пополам;
4. две его противоположные стороны параллельны и равны.

Доказательство:

A. Пусть в четырехугольнике KLMN углы К и М равны друг другу и равны а, пусть также равны друг другу и равны р углы L и N (рисунок). Учитывая, что сумма углов четырехугольника равна 360°, получаем, что 2α + 2β = 360°, или α + β = 180°. Учитывая, что углы К и L, равные соответственно аир, являются внутренними односторонними углами при прямых KN и LM, пересеченных прямой KL, заключаем, что стороны KN и LM параллельны. Также по углам К и N заключаем, что стороны KL и NM параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник KLMN — параллелограмм.

B.  Пусть в четырехугольнике CDEF стороны CD и FE, а также CF и DE попарно равны (рисунок). Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например СЕ. Треугольники CDE и EFC равны по трем сторонам. Поэтому углы DEC и FCE равны. Поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых DE и CF, пересеченных прямой СЕ, то стороны DE и CF параллельны. Также из равенства углов DCE и FEC получаем, что стороны CD и FE параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник CDEF — параллелограмм.

C. Пусть точка В пересечения диагоналей IL и КМ четырехугольника IKLM делит эти диагонали пополам: IB = BL и KB = ВМ (рисунок). Тогда треугольники KBL и MBI равны по двум сторонам и углу между ними. Это позволяет утверждать, что углы 1MB и LKB равны, а значит, стороны IM и KL параллельны. Аналогично из равенства треугольников KBI и MBL делаем вывод о параллельности сторон IK и LM. Теперь по определению параллелограмма можем утверждать, что четырехугольник IKLM — параллелограмм. Очень часто это надо знать при решении олимпиадных задачах на школьных олимпиадах.

D. Пусть в четырехугольнике OPQR противоположные стороны ОР и RQ параллельны и равны (рисунок). Проведем диагональ OQ. Полученные углы POQ и RQO равны, так как они являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых ОР и RQ, пересеченных прямой OQ. Поэтому треугольники OPQ и RQO равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их соответствующие углы PQO и ROQ равны.

А поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PQ и OR, пересеченных прямой OQ, то стороны PQ и OR параллельны. Учитывая параллельность сторон ОР и RQ, по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник OPQR — параллелограмм.

belmathematics.by

Признаки параллелограмма: доказательства и рисунки

Столица 135 служба такси Минск – Тарифы

Все для праздника

• Свадебные салоны
• Праздничные агентства
• Подарки
• Подарочные сертификаты
• ЗАГСы
• Прокат авто
• Фотографы
• Видеосъемка
• Стилисты-визажисты, парикмахеры
• Карнавальные костюмы
• Фейерверки
• Фотоцентры
• Прокат оборудования
• Кейтеринг
• Банкетные залы
• Торты на заказ
• Украшение зала
• Кондитерские

• Доставка цветов
• Ведущие, тамада
• Ди-джеи
• Шоу-программа
• Свадебные платья напрокат
• Свадебные платья на продажу
• Свадебные аксессуары
• Вечерние платья

taxi135-minsk.relax.by

Калькулятор процентов. Рассчитать процент от числа, вычислить отношение двух чисел.

Частное двух чисел называют отношением этих чисел.

Рассмотрим на примерах как находить отношение двух чисел.

Пример Найдем отношение чисел 4 и 20

Число 4 составляет 20% от числа 20. Для вычисления разделим 4 на 20 и умножим на 100, получим 4 &div; 20 × 100 = 20%

Число 20 составляет 500% от числа 4. Для вычисления разделим 20 на 4 и умножим на 100, получим 20 &div; 4 × 100 = 500%

Из числа 4 получим 20 увеличив на 400%. Для вычисления разделим 20 на 4, умножим на 100 и отнимем 100%, получим 20 &div; 4 × 100 — 100 = 400%

Из числа 20 получим 4 уменьшив число на 80%. Для вычисления разделим 4 на 20, умножим на 100 и отнимем 100%, получим 4 &div; 20 × 100 — 100 = -80%. Если в результате получается отрицательное значение, то число надо уменьшать, если положительно то увеличивать.

Найдем отношение двух вещественных чисел.

Пример Найдем отношение чисел 0.3 и 0.6

Число 0.3 составляет 50% от числа 0.6. Для вычисления разделим 0.3 на 0.6 и умножим на 100, получим 0.3 &div; 0.6 × 100 = 50%

Число 0.6 составляет 200% от числа 0.3. Для вычисления разделим 0.6 на 0.3 и умножим на 100, получим 0.6 &div; 0.3 × 100 = 200%

Из числа 0.3 получим 0.6 увеличив на 100%. Для вычисления разделим 0.6 на 0.3, умножим на 100 и отнимем 100, получим 0.6 &div; 0.3 × 100 — 100 = 100%

Из числа 0.6 получим 0.3 уменьшив число на 50%. Для вычисления разделим 0.3 на 0.6, умножим на 100 и отнимем 100, получим 0.3 &div; 0.6 × 100 — 100 = -50%.

calcs.su

Шинный калькулятор онлайн — визуальный калькулятор шин.

Визуальный шинный калькулятор

Когда изнашиваются заводские шины или просто хочется поставить другие колеса, то возникает вопрос: а какие размеры шин подойдут моей машине? Дело в том, что каждый автомобиль рассчитан под определенный диаметр колес и ширину протектора. Обычно, данная информация содержится на оборотной стороне крышки бензобака или в документах по эксплуатации. Если отклониться от этих типоразмеров больше чем на 2-3 процента, то расход бензина вырастет, спидометр начнет врать, а в случае большой разницы вождение может стать просто опасным.

Но как подобрать шины правильного размера, если на профиле написаны какие-то непонятные цифры? Не измерять же их линейкой, ей богу. Именно для этих целей и создан данный шинный калькулятор. Он позволяет определить разницу между шинами в сантиметрах, дюймах и процентах. В частности, с помощью шинного калькулятора вы можете рассчитать и сравнить диаметр шины, ширину протектора, высоту профиля и окружность. Дополнительно, калькулятор определяет потенциальные различия в показателях скорости на спидометре, изменения клиренса и разницу в количестве оборотов на один километр (или милю).

Калькулятор отображает визуальную разницу в диаметре, профиле, клиренсе и ширине шины. В правой части генерируется динамический рисунок колес, с пунктирной схемой и параметрами. В верхней части находится визуальное представление старой шины (оригинального типоразмера), а в нижней части отрисовывается ваша потенциальная новая шина. Рисунок отображается в двух проекциях: боковой и фронтальной. И ту и другую можно скачать на компьютер в формате png. Для этого нажмите на картинку правой кнопкой и выберите «Сохранить как…».

Как пользоваться онлайн калькулятором шин?

Пользоваться виртуальным шинным калькулятором очень просто. В левом верхнем углу приложения находятся выпадающие поля. В верхнем ряду вам необходимо выбрать типоразмер вашей оригинальной заводской шины (или просто тех шин, которые стоят на вашей машине в данный момент). Эти показатели вы можете просто посмотреть на профиле шины (боковой поверхности). Первое поле — это ширина шины в милиметрах. Второе поле — это отношение высоты профиля к ширине шины в процентах. Третье поле — это диаметр диска в дюймах.

Во втором ряду вам необходимо указать типоразмер новых шин, т.е. тех шины, которые вы собираетесь купить или уже купили. После этого нажмите на зеленую кнопку «Рассчитать». Шинный калькулятор моментально вычислит различия между шинами и отобразит их в таблице. А именно: диаметр, ширина, длина окружности и высота профиля шины, количество оборотов на километр и изменения клиренса. В первых двух колонках таблицы будут отбражаться параметры старых и новых шин, а в третьей колонке номинальная и процентная разница между ними. В самом низу таблицы будет отображаться наша рекомендация. Если разница в диаметрах превышает 3%, то мы крайне не рекомендуем ставить такие шины, поскольку это может быть опасно.

В самом низу, вы можете видеть два спидометра, которые показывают различия между отображаемой и реальной скоростью в случае смены шин. Вы можете вводить другие значения в левый спидометр с помощью стрелочек или прямо с клавиатуры. Изменения моментально будут отображаться на правом. По умолчанию, рассчитывается разница при скорости 60 километров в час.

Если вам требуется вычислить в дюймах, то просто нажмите на надпись «Дюймы» в переключателе, который находится под зеленой кнопкой.

shina-calc.ru

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Калькулятор перевода кВт в л.с.

ru.woodmizer-planet.com

Логарифмы: примеры и решения

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a^b*a^c = a^b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: log_ab=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b». Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log₂8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
2. Десятичный логарифм lg a, где основанием служит число 10.
3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

• основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
• если а > 0, то и а^b>0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10^х= 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, квадратичная степень! 10²=100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log₁₀100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a^c=b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3⁴=81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log₃81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2^-5= 1/32 запишем в виде логарифма, получим log₂ (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log₂(x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм₂x = √9)_{подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.}

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

1. Основное тождество выглядит так: а^logaB=B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log_d(s₁*s_{2) =} log_ds₁ + log_ds_2. При этом обязательным условием является: d, s₁ и s₂ > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log_as₁ = f₁ и log_as₂ = f₂, тогда a^f1= s₁, a^f2= s_2. Получаем, что s₁*s₂ = a^f1*a^f2= a^f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log_a(s₁*s₂)= f₁+ f₂ = log_as1 + log_as_2, что и требовалось доказать.
3. Логарифм частного выглядит так: log_a(s_1/s₂) = log_as₁— log_as_2.
4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log_a^q_{bⁿ = n/q logab.}

Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log_ab = t, получается a^t=b. Если возвести обе части в степень m: a^tn = bⁿ;

но так как a^tn= (a^q)^nt/q = bⁿ, следовательно log_a^q_{bⁿ = (n*t)/t, тогда loga^qbⁿ = n/q logab. Теорема доказана.}

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры десятичных логарифмов: ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log₂4 + log₂128 = log₂(4*128) = log₂512. Ответ равен 9.
2. log₄8 = log_2² 2³ = 3/2 log₂2 = 1,5 — как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log₂(2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log₂(2x-1) = 2², по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2⁴, следовательно 2x = 17; x = 8,5.

Ниже даны несколько рекомендаций, следуя которым можно с легкостью решать все уравнения, содержащие выражения, которые стоят под знаком логарифма.

• Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
• Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

fb.ru

Логарифмы. Свойства логарифмов. Формулы с логарифмами. Десятичные, натуральные логарифмы, основное логарифмическое тождество

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a^c = b: logab=c⇔ac=b(a>0,a≠1,b>0)&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

alogab=b(a>0,a≠1) (2)

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

logaa=1(a>0,a≠1) (3)
loga1=0(a>0,a≠1) (4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень — единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

loga(bc)=logab+logac(a>0,a≠1,b>0,c>0) (5)

logabc=logab−logac(a>0,a≠1,b>0,c>0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.

Действительно, выражение loga(f(x)g(x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму logaf(x)+logag(x), мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

logabp=plogab(a>0,a≠1,b>0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

loga(f(x)2=2logaf(x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

logab=logcblogca(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

logab=1logba(a>0,a≠1,b>0,b≠1) (9)

Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log₁₀x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например, lg(xy)=lgx+lgy(x>0,y>0).

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e — иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам: logab=lgblga=lnblna(a>0,a≠1,b>0)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log₅125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

Таблица формул, связанных с логарифмами

alogab=b(a>0,a≠1)

logaa=1(a>0,a≠1)

loga1=0(a>0,a≠1)

loga(bc)=logab+logac(a>0,a≠1,b>0,c>0)

logabc=logab−logac(a>0,a≠1,b>0,c>0)

logabp=plogab(a>0,a≠1,b>0)

logab=logcblogca(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1)

logab=1logba(a>0,a≠1,b>0,b≠1)

Возможно, вас заинтересуют также:

www.repetitor2000.ru

Логарифм. Свойства логарифмов

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство . Пусть нам известны значения  и и мы хотим найти значение .

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .

Пусть переменная  может принимать любое действительное значение, тогда на переменные  и накладываются такие ограничения: ,  ,  

Если нам известны значения  и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое  действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа  по основанию :

Итак,

Логарифмом числа  по основанию  называется показатель степени, в которую надо возвести  , чтобы получить .

То есть основное логарифмическое тождество:

            ,  ,  

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция  логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

(,  ,   ,  ,  

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Следующая группа свойств позволяет представить  показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента  перед знаком логарифма:

6. 

7. 

8. 

9. 

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

10. 

11. 

12. (следствие из свойства 11)

Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13. 

14. 

15. 

 

Частные случаи:

— десятичный логарифм

 —  натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы  применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

==(по свойству 7)=(по свойству 6) =

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

Ответ: 5,25

 

Пример 2. Вычислить:

Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби «перекочуют» в числитель):

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

Применим свойства 4 и 6:

Введем замену  

Получим:

Ответ:  1 

 

Скачать таблицу логарифм и его свойства

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Свойства логарифма. Примеры решения логарифма

ЛЕКЦИЯ 2 Свойства логарифма

Вспомним полученные знания из лекции1 по данной теме и ответим на вопросы (устно):

1. Дайте определение логарифма числа.

2. Дайте определение десятичного логарифма.

3. Сформулируйте основное логарифмическое тождество

4. Перечислите изученные свойства логарифмов.

Вычислите (в тетрадях):

1. 5 10. 2+

2. 11.

3. 2 12. —

4. 13. 2

5. 14.

9. ()

Если возникли трудности, то вспомни свойства степеней и корней:

Введем новые свойства логарифмов, с помощью которых вы должны научиться решать и упрощать выражения, содержащие логарифмы

В тетради оформляем таблицу (переписываем и разбираемся по каждому свойству!)

log _a1 = 0, a > 0, a  1.

log₃₂1 =0

2.

Логарифм основания.

log _aa = 1, a > 0, a  1.

Log₃₂8 + Log₃₂4

Логарифм произведения.

log _a(xy) = log _ax + log_ay,

a > 0, a  1, x > 0, y > 0.

log₃₂8 + log₃₂4 = =log₃₂32 =1

4.

Логарифм дроби.

log _a  = log _ax – log_ay,

a > 0, a ? 1, x > 0, y > 0.

 

log₃ 54-log₃2 = =log₃27 =3

5.

Логарифм степени.

log _ax =  log _ax,
x > 0, a > 0, a  1,   R.

  log₃ 27⁶⁷ = 67log₃ 27=

67*3 = 201

 log₃ (-27)⁸ = 8 log_{3 | —}27|=

8*3 = 24(под логарифмом не может быть отрицательного числа !!!)

Замечание.

log _ax^2k = 2k log _a  |x| , 
a > 0, a  1, k N , x  R, 
x  0.

6.

Логарифм выражения по основанию, которое является степенью.

log _a x =  log _ax, a > 0, 
a  1, x > 0,   R,   0 .

 Этого свойства в учебнике нет, но оно важное!

=¹/₄log₂ 2 = ¼₌ 0,25

(т.о, показатель основания «выходит» из логарифма обратным числом)

Лишний раз проверь при вынесения показателя – под логарифмом должно остаться положительное число!!!

= ⁷/₄log₂ 2 = ⁷/₄=1,75

(если сразу использовать свойства 5 и 6)

Замечание:

1. log _a^2kx =  log  _|a|x,
a  0, a  1, x > 0, k  N.
2. log _a x  =  log_ax, a > 0,
a  1,   R, R,   0 , x > 0.

7.

Переход к новому основанию.

=

a > 0, a  1, c > 0, c  1, b > 0.

 

= ; =

= (это свойство используется когда основание надо поменять местами с подлогарифмируемым выражением)

Замечание.

log _ab = , 
a > 0, a  1, b > 0, b  1.

Вся теория логарифмов строится на определении и свойствах. Определение надо выучить, а свойства отработать на упражнениях. Приступим!

Из учебника в тетради выполнить задания №488, №489, №490, №495, 496.

У многих из вас возникает вопрос «А где же эти логарифмы встречаются и применяются в жизни?»

Историческая справка по теме.

«Зачем и где применяются логарифмы»

Знания логарифмов и основных логарифмических свойств необходимы для людей многих профессий: физиков, химиков, астрономов, психологов, географов и экологии.

Логарифмы по основанию 10 до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки

Логарифмическая линейка хорошо знакома нашим родителям. Она позволяет выполнять умножение и деление чисел, возведение в степень и вычисление квадратных и кубических корней.

Шкала Рихтера— классификация силы землетрясений, созданная и представленная в 1935 г. геологом Чарльзом Рихтером. Шкала основана на принципе логарифма: каждое деление увеличивается в 10 раз, и его основанием является общая энергия, выделяемая при землетрясении.

В 1858 году немецкий физик и психолог Густав Фехнер доказал, основной психофизический закон, в котором говорится,что интенсивность воспринимаемого нами ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения. Его формулируют так: «При изменении силы раздражителя в геометрической прогрессии, интенсивность ощущения меняется в арифметической прогрессии».

Логарифмы применяются и в психических явлениях. «Шкала Ландау» самый яркий пример.Знаменитый физик по ней оценивал заслуги своих коллег. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков имел класс 0,5, Бор, Дирак, Гейзенберг имели класс 1

Астрономы измеряют «блеск» небесных светил в звездных величинах. Блеск в астрономии — величина пропорциональная логарифмусветового потока. Её направление обратное: чем больше значение звездной величины, тем слабее блеск объекта.

Xимическая шкала кислотности очень близка к шкале звездных величин. Чем выше кислотность, тем ниже значение индекса, основанием логарифма служит число 10.

Играя на рояле, пианист играет на логарифмах. Ступени темперированной хроматической гаммы представляют логарифмы этих величин с основанием

Логарифмическая спираль часто встречается в природе. Впервые логарифмическая спираль описана Декартом, а потом была исследована Бернулли.

Паук Эпейра сплетая паутину, закручивает паутину, скручивая нити вокруг центра по логарифмической спирали.

Живые существа обычно растут во всех направлениях , сохраняя общее начертание своей формы. Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину им приходится скручиваться.

Многие Галактики закручены по логарифмической спирали. Солнечная система, как одна из Галактик тоже закручена по такой спирали.

Предлагаю творческую работу — презентацию по данной теме (можно объединиться в творческую группу)

Вы сегодня погрузились в логарифмы,

Безошибочно их надо вычислять,

На экзамене, конечно, вы их встретите,

Остаётся вам успехов пожелать.

На следующем занятии продолжим изучать свойства логарифмов на более сложном уровне.

infourok.ru

их решение, что есть основание, виды и примеры

При изучении математики приходится решать такие интересные выражения, как логарифмы. Но для начала необходимо тщательно разобраться с основаниями и произвести подсчеты, которые дадут правильный ответ. Разберем подробнее, как решать логарифмы разной сложности.

Для начала рассмотрим уравнение вида 3^x=8. На первый взгляд, может показаться, что данное выражение не имеет решения. Но если разобраться, то решение такого примера становится несложным. Число 3 является основанием, в которое надо возвести x, чтобы получить в результате 8. Именно это и есть логарифмическим выражением, которое нередко встречается в математических задачах, особенно на экзаменах.

Виды

Логарифмы бывают следущих видов:

1. Десятичные. К таким относят равенства, в основании которых заложено число 10. Запись уравнения производится в виде log10а. Означает следующее: для получения нужного числа необходимо возвести в десятую степень неизвестное число. Это простые выражение, не требующих значительных математических манипуляций. В качестве варианта записи иногда выступает lg а.
2. Натуральные — выражения, где в качестве основания выступает константа e. Ее называют числом Эйлера, оно составляет 2,7. Эти равенства записываются в виде ln x, что является общепринятым обозначением в математической литературе.
3. Другие логарифмы. Например, уравнения с двойкой в основании называются двоичными, а если внизу располагается цифра 16, то это шестнадцатеричный тип выражения. А если он имеет основание 64, то его сложность достаточно высока. Решением будет искаться как адаптивное управление по геометрической точности под названием ACG.

Остальные подобные равенства попадают в ту или иную группу. Их объединяет одинаковый способ решения, а именно возведение числа в степень основания для получения правильного результата.

Свойства

Они применяются при решении логарифмов и показательных уравнений. Причем верны они только в том случае, когда и основание, и аргумент равенства имеют положительный знак. Также есть небольшой нюанс: основание не может иметь степень 0 и 1.

1. Свойство 1. Loga (xy)=logaX+logaY. Расшифровка этой записи: логарифм произведения числа x и y равен сумме каждого из них или сумма логарифмов равна произведению их аргументов. В качестве примера приведем следующее выражение: log2 (16)=log2 (8)+log2 (2).
2. Свойство 2. Loga (x/y)=loga (x)-loga (y). В этом выражении логарифм от деления двух аргументов равен разности одного уравнения от другого. Пример: loga (5/3)=loga (5)-loga (3).
3. Свойства 3. loga (x^r)=r*loga (x). Показатель аргумента может быть вынесен за скобки.
4. Свойство 4. loga (1/x)=-loga (x). Поскольку (1/x)=x^-1, то можно вынести -1 за скобки по аналогии с предыдущим свойством.
5. Свойство 5. loga (a)=1. Если основание и аргумент равны между собой, то такой пример равняется 1, то есть число a в первой степени остается таким же. Сюда же можно отнести и такое свойство, согласно которому число в степени ноль равняется единице.
6. Свойство 6. (logb (x)/logb (a))=loga (x). Это особенное свойство, согласно которому уравнения с одинаковыми основаниями заменяются одним, где основание равняется аргументу делителя, аргумент такой же, как у делимого. То есть, аргумент нижнего логарифма идет вниз, а верхнего располагается наверху.

С помощью вышеописанных свойств можно решать равенства любой степени сложности. Они не очень сложные в применении, но их нужно уметь грамотно использовать и понимать, когда возможно использовать и что для этого следует сделать. Имеются и другие, особые свойства логарифмов, которые можно отыскать в специализированной математической литературе.

Логарифмы — интересный тип равенств. Несмотря на то, что поначалу все кажется сложным и не особенно понятным, при углубленном изучении они превращаются в довольно простые. Главное запомнить: внизу располагается основание, в которое возводится число для получения ответа. Также стоит хорошо изучить свойства логарифмов, потому что они значительно облегчают решение, особенно сложных примеров.

Видео

В этом видео рассматриваются свойства логарифмов.

liveposts.ru

Свойства логарифмов, формулы | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: Справочные материалы

Елена Репина 2013-02-18 2013-07-07

Логарифм числа по основанию определяется как показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .

Обозначение читается как логарифм по основанию .

Например, , так как  (2 – основание степени, 3 – показатель степени).

 

Логарифмы

Определение

Основное логарифмическое тождество

Свойства логарифмов

Чаще всего используют логарифмы с основаниями (натуральный логарифм, например, ), (десятичный, например, ) и (двоичный).

 

Автор: egeMax | комментариев 12 | Метки: Логарифмы, шпаргалки-таблицы

egemaximum.ru

Логарифмические уравнения и неравенства

Автор Сергей Валерьевич

Суббота, Февраль 18, 2012

Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3. Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.

Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств, которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.

Логарифмическая функция

Определение

Функцию вида

   

называют логарифмической функцией.

Основные свойства

Основные свойства логарифмической функции y = log_a x:

	a > 1	0 < a < 1
Область определения	D(f) = (0; +∞)	D(f) = (0; +∞)
Область значений	E(f) = (-∞; +∞)	E(f) = (-∞; +∞)
Монотонность	Возрастает на (0; +∞)	Убывает на (0; +∞)
Непрерывность	Непрерывная	Непрерывная
Выпуклость	Выпукла вверх	Выпукла вниз

График логарифмической функции

Графиком логарифмической функции является логарифмическая кривая:

Свойства логарифмов

• Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

   

• Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

   

• Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:

   

•  Равенство log _a t = log _a s, где a > 0, a ≠ 1, t > 0, s > 0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

• Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма):

   

yourtutor.info

Что такое тригонометрическая окружность? | Александр Будников

        Итак, друзья, я вас поздравляю! Начальный этап знакомства с тригонометрией благополучно пройден. Подытожим его. Теперь мы с вами:

        1. Знаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике.

        2. Знаем, как устроена связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла и умеем находить полный набор функций, если известна хотя бы одна из них. Кроме того, ещё мы умеем (надеюсь) пользоваться основными тригонометрическими формулами. А чего? Зря, что ли, примеры разбирали?)

        Это – самые азы тригонометрии. Без этих элементарных знаний и навыков – дальше никуда. Так что, прошу прогуляться и почитать, пока не поздно. Тем более там всё очень просто и доступно.)

        Идём дальше.

        Как мы уже с вами знаем, у каждого острого угла в прямоугольном треугольнике имеется свой джентльменский набор тригонометрических функций. Знаем длины катетов и гипотенузу, делим друг на друга и считаем себе. И так для любого острого угла. Всё элементарно.

        Вопрос: а если угол сделать тупым? Скажем, вот таким:

        Что делать? Развалился наш прямоугольный треугольник. Ни катетов больше нет, ни гипотенузы… А тригонометрические функции тоже ушли в небытие, да?

        Если бы древние математики не нашли выход из этой ситуации, то, возможно, вы бы сейчас и не читали этот сайт. Ибо не было бы у нас тогда ни планшетов, ни компьютеров, ни смартфонов, ни многих других полезных штучек…

        Так как можно определять любые тригонометрические функции любых углов без прямоугольного треугольника? Что ж, пришла пора взрослеть дальше. Знакомимся!

Тригонометрическая окружность. Единичная окружность. Числовая окружность. Что всё это значит?

        Это очень простые понятия. Более того, эти понятия – верный друг и надёжный помощник во всех разделах тригонометрии! От простой работы с углами в градусах или в радианах до тригонометрических уравнений и неравенств. Почему? А потому, что эта штука – своего рода шпаргалка! Причём совершенно законная! Обычно ведь что бывает: за шпоры выгоняют, двойки ставят…  А тут нарисовал окружность, угол, функцию – и сразу увидел всё что тебя интересует.

        Например, такое простое задание:

        Что больше – sin200° или sin(-100°)?

        Кто не в теме, тот отдыхает в сторонке. А кто в теме, тот нацарапает что-то типа вот такого наскального рисунка:

        и сразу же увидит всю необходимую информацию!

        И никто слова не скажет! Даже суровая комиссия в боевой обстановке ЕГЭ. Так зачем же такой шанс упускать, правда?

        Чуть позже, в соответствующем уроке, мы разберём эту страшную задачку. И про злые углы типа -100 градусов тоже поговорим.)

        А пока начнём. Для начала нарисуем самый обычный привычный нам острый угол. Назовём его, как обычно, «альфа». Вот так:

        Угол как угол, пока ничего выдающегося, но… Раз есть угол (пока что острый), то у него должны быть и свои тригонометрические функции! Косинус там или тангенс… А где их взять? Ни гипотенузы, ни катетов больше нет, только угол. Тупик?

        Спокойствие! Сейчас всё увидите.)

        Для начала нарисуем самые обычные и знакомые нам координатные оси. OX по горизонтали, OY – по вертикали, всё чин-чинарём… Нарисуем и… приколотим горизонтальную сторону угла к положительной полуоси OX. Приколотим покрепче, дабы не оторвать ненароком.) Вершину угла поместим в начало координат, точку О. А вот вторую сторону угла прибивать не будем и оставим подвижной. Зачем? А чтобы угол менять можно было. Хотим побольше, хотим поменьше. Хотим острый, хотим тупой – любой! Раздвижной у нас угол будет. Как угол раствора циркуля, только одна из его ножек будет прибитой.) Конец подвижной стороны обозначим буквой А.

        Получим вот такой незамысловатый рисунок:

        Итак, угол у нас пристроен, это хорошо. А где же его синус и косинус – спросите вы? Потерпите минутку, торопыги, сейчас всё увидите! Я же только начал.)

        Введём теперь координаты x и y конца подвижной стороны угла (точки А) и отметим их на осях. Это будут точки В и С соответственно. Ясное дело, что ОВ и ОС – какие-то числа. Длины отрезков. Или координаты точки А.

        ОВ = х

        ОС = у

        Так вот, оказывается, иксовая координата точки А (отрезок ОВ) будет косинусом угла альфа, а игрековая координата (отрезок ОС) – его синусом!

        Смотрим на рисунок:

        Стоп-стоп! С какого такого перепугу-то? Ведь мы же чётко зарубили себе на носу из прошлых двух уроков, что синус и косинус – это отношения сторон в прямоугольном треугольнике! Которые от длин этих самых сторон никак не зависят. А у нас тут координаты точки А присутствуют. Которые могут быть любыми!

        Всё верно. Любыми. Но! Давайте посмотрим внимательнее на треугольник АВО. Прямоугольный, между прочим.) Ибо координаты точки, они обычно перпендикулярами отмечаются на осях, да… По нашему заклинанию косинус угла альфа – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Или ОВ/ОА. Синус альфа – соответственно ОС/ОА. Причём мы с вами помним, что синус/косинус никак не зависят от длин сторон. А это совсем прекрасно! Почему? А потому, что мы имеем полное право выбирать длины сторон как хотим. Как нам удобно, так и выберем. В частности, мы имеем полное право принять длину гипотенузы ОА за единичку (ОА=1)! Причём единицы измерения нас вообще не волнуют – миллиметр, километр, миля, дюйм… Синус и косинус от этого всё равно не изменятся.)

        Почему именно гипотенуза (а не катеты) и именно единичка (а не 2, 10, 157 и т.д)? Потому, что так нам (и древним людям) очень удобно! Именно при таком выборе у нас достигаются максимальные упрощения. Смотрите, что получается:

        Вот и все дела.) Косинус – иксовая координата точки А, а синус – игрековая (если гипотенуза ОА – единичка). Да, ненаучно, да нестрого, но зато понятно. И запоминается проще. А запомнить очень важно. Причём, запомнить надёжно!

        Запоминаем:

        Косинус – по Х, синус – по Y.

        Именно в таком порядке. Не путаемся!

        Как видите, всё просто. Пока что всё идёт в рамках геометрии восьмого класса. С той лишь разницей, что катеты превратились у нас в координаты х и у точки А, а гипотенуза – та и вовсе превратилась в единичку. Очень удобное число.) Однако… Тема урока называется «Тригонометрическая окружность», не так ли? Пока ни слова про окружность не было!

        Всё правильно. Но остались совсем пустяки. Сейчас мы с вами резко повзрослеем и колоссально расширим наши возможности всего одним движением руки! Как? Очень просто. Берём подвижную сторону угла (т.е. ОА) и… проворачиваем её вокруг точки О на полный оборот! Как вы думаете, какую линию при этом опишет точка А? Ну, конечно! Окружность!

        Вот так:

        Вот и всё. Это и есть тригонометрическая окружность!

        Это научное название. А на математическом сленге обычно говорят «тригонометрический круг». Или совсем коротко — просто «круг». Или — «радар» :).

        Ну хорошо, окружность начертили. Но почему – тригонометрическая? Окружность как окружность… Вскрою тайну. Любой точке на окружности соответствуют два числа – координаты этой точки по X и координаты этой точки по Y. То есть, А(х; у). А икс и игрек у нас что? Только что разбирались… Да! Косинус и синус угла альфа. То есть, не что иное, как его тригонометрические функции. Вот и весь смысл.

        А теперь, вспомнив, что ОА = 1 и что ОА – радиус окружности, можно сообразить, что это же самое понятие – и единичная окружность тоже.

        А если вспомнить самый первый урок по тригонометрии (а чуть конкретнее – то, что синус и косинус – просто какие-то числа), то наша с вами тригонометрическая окружность будет ещё и числовой окружностью.

        Вот так. Сразу три термина в одном. Очень удобно и практично.

        Запоминаем:

        Тригонометрическая, единичная и числовая окружности – это всё одно и то же понятие. В рамках тригонометрии.

        Так, ну хорошо. Окружность изобразили. Угол у нас крутящийся, меняющийся. А раз крутящийся, то нам уже ничто не запрещает прокрутить подвижную сторону ОА куда угодно. Например, так, чтобы угол альфа стал каким-нибудь тупым!

        Хотя бы вот так:

        А как увидеть его синус и косинус? Не вопрос! Всё точно так же. Опускаем перпендикуляры из точки А на оси OX и OY и всё видим:

        Самые глазастые, возможно, уже заметили, что синус угла альфа у нас положительный (точка С лежит на положительной полуоси OY). А вот косинус альфа – отрицательный! Ибо точка В, иксовая координата точки А (т.е. не что иное, как косинус альфа!), лежит на отрицательной полуоси OХ. Значит, у любого тупого угла синус положительный, а косинус – отрицательный. Чего, кстати, принципиально не бывает в прямоугольном треугольнике: там все тригонометрические функции – синус, косинус, тангенс, котангенс – положительные.

        А здесь – пожалуйста! Не зря же мы с вами расширили наши возможности!) Ну а коли так, раз уж мы столкнулись с отрицательным косинусом у тупого угла, то пришла пора разобраться и с такой важной штукой, как знаки синуса/косинуса по четвертям. До кучи и знаки тангенса/котангенса разберём сразу же.

Знаки синуса и косинуса, тангенса и котангенса по четвертям.

        Всё проще простого. Для начала напомню, что координатные четверти (или по-другому квадранты) в тригонометрии нумеруются точно так же, как и при работе с обычными задачами на координаты точек – против часовой стрелки.

        Вот так:

        А что же со знаками синуса/косинуса по четвертям? Тоже всё элементарно, Ватсон.) С первой и второй четвертями мы уже разобрались выше. Незаметно для себя.) С первой четвертью вообще вопросов нет. Там только острые углы, у которых все функции (в том числе и синус с косинусом) – положительные. Со второй четвертью тоже всё ясно: синус положительный, а косинус – отрицательный. Это мы уже выяснили, когда тупой угол рисовали.

        Осталось лишь разобраться с третьей и четвёртой четвертями. Как? Точно так же! Не зря же мы с вами тут углы мотать учимся потихоньку.)

        Мы же знаем, что ОА – подвижная сторона нашего угла альфа. Вот и продолжим её крутить от положительной полуоси ОХ в нужную нам сторону! В третью четверть. Получим вот такую картинку:

        Как видно из рисунка, для любого угла в третьей четверти уже станет отрицательным не только косинус, но и синус тоже:

        Для четвёртой четверти тоже ничего хитрого. Крутим и рисуем:

        И видим, что синус в четвёртой четверти остаётся по-прежнему отрицательным. А косинус? Да! Косинус снова становится положительным:

        Так, по всем четвертям пробежались. Как видите, всё просто. Для лучшего запоминания можно нарисовать знаки синуса/косинуса прямо на нашем круге.

        Запоминаются обе картинки достаточно просто и быстро. Особенно если железно помнить наше секретное заклинание: «Косинус – по икс, синус – по игрек.» Кстати, сопоставьте заклинание с картинками! Очень полезно.)

        Ну хорошо, с синусом/косинусом всё понятно. А тангенс и котангенс? Тоже никаких проблем. Если, конечно, помнить из второго урока, что тангенс – это синус поделить на косинус:

        А котангенс – наоборот.

        Вот теперь и прикинем. В первой четверти у нас всё шоколадно. Всё с плюсом – и синус и косинус. А плюс поделить на плюс – что будет? Конечно же, плюс! Во второй четверти знаки синуса и косинуса – разные. Плюс и минус. А это значит, что их отношение (что синуса к косинусу, что наоборот) будет всегда отрицательным. Ибо в борьбе минуса с плюсом всегда выигрывает минус. Так уж повелось в математике.) В третьей четверти как синус, так и косинус имеют знак «минус». А их отношение? Минус на минус – будет… будет… плюс! А в четвёртой четверти знаки синуса/косинуса опять разные. Стало быть, их отношение (тангенс с котангенсом) снова будет с минусом! Вот и все дела.)

        Получаем для тангенса/котангенса вот такую картинку:

        Запомнить знаки тоже проще простого: плюс-минус-плюс-минус. Простое чередование знаков.)

        И вот тут у некоторых назревает закономерный вопрос:

        А можно ли увидеть тангенс и котангенс на круге? Синус – по игрек, косинус – по икс. Это понятно.) А тангенс и котангенс???

        Ух, какие вы любопытные, оказывается! Все-то секреты вам раскрой сразу же! Да, можно! Можно увидеть тангенс и котангенс на числовой окружности! Любого угла. Только для этого на нашем рисунке необходим ещё один дополнительный взмах пера. Всего один. Какой именно – в спецтеме «Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности».

        Итак, полдела сделали. Нарисовали угол, с его помощью начертили окружность. Осталась вторая половина дела. А именно – научиться проделывать обратную операцию. По любой произвольной точке на окружности научиться определять сам угол! А вот эта задачка та ещё…

        Об этом – в следующей теме: «Как отсчитывать углы на тригонометрической окружности?».

abudnikov.ru

Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность. Что это такое?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…» )

 

Очень часто термины тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность плохо понимаются учащимся народом. И совершенно зря. Эти понятия – мощный и универсальный помощник во всех разделах тригонометрии. Фактически, это легальная шпаргалка! Нарисовал тригонометрический круг – и сразу увидел ответы! Заманчиво? Так давайте освоим, грех такой вещью не воспользоваться. Тем более, это совсем несложно.

Для успешной работы с тригонометрическим кругом нужно знать всего три вещи.

Первое. Надо знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в применении к прямоугольному треугольнику. Сходите по ссылке, кто ещё не был. Тогда и здесь всё ясно будет.

Второе. Надо знать, что такое тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность. Это я расскажу прямо здесь и сейчас.

Третье. Надо знать, как отсчитывать углы на тригонометрическом круге, и что такое градусная и радианная меры углов. Это будет в следующих уроках.

Всё. Разобравшись с этими тремя китами, получим надёжную, безотказную и совершенно законную шпаргалку для всей тригонометрии сразу.

А то в школьных учебниках с этой самым тригонометрическим кругом как-то не очень…

Начнём, помаленьку.

В предыдущем уроке вы усвоили, что синус, косинус, тангенс и котангенс (т.е. тригонометрические функции) зависят только от угла. И не зависят от длин сторон в прямоугольном треугольнике. Отсюда интересный вопрос. Пусть у нас есть вот такой угол. Назовём его угол β. Буква красивая.)

Раз есть угол, у него должны быть тригонометрические функции! Синус, скажем, или котангенс… А где их взять? Нет ни гипотенузы, ни катетов…

Как определить тригонометрические функции угла без прямоугольного треугольника? Задачка… Придётся опять лезть в сокровищницу мировых знаний. К средневековым людям. Те всё умели…

Первым делом возьмём координатную плоскость. Это самые обычные координатные оси, ОХ – по горизонтали, ОY – по вертикали. И… прибьём одну сторону угла к положительной полуоси ОХ. Вершина угла, естественно, в точке О. Крепко прибьём, чтобы не оторвать! Вторую сторону оставим подвижной, чтобы угол менять можно было. Раздвижной у нас угол будет. Конец неприбитой стороны угла обозначим точкой А. Получим вот такую картинку:

 

 

Так, угол пристроили. А где его синус, где косинус? Спокойно! Сейчас всё будет.

Отметим координаты точки А на осях. Наведите курсор мышки на картинку и всё увидите. На ОХ это будет точка В, на ОY — точка С. Понятно, что В и С — это какие-то числа. Координаты точки А.

Так вот, число В будет косинусом угла β, а число С – его синусом!

С чего бы это? Древние люди учили нас, что синус и косинус – это отношения сторон! Которые от длин сторон не зависят. А мы тут координаты точки придумали… Но! Посмотрите на треугольник ОАВ. Прямоугольный, кстати… По древнему определению косинус угла β равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Т.е. ОВ/ОА. Ладно, не возражаем. Причём косинус и синус не зависят от длин сторон. А это вообще отлично! Это значит, что длины сторон можно брать какие угодно. Имеем полное право взять длину ОА за единицу! Неважно чего. Хоть метр, хоть километр, всё равно синус не меняется. А в этом случае

Вот так. Если провести такие же рассуждения для синуса, получим, что синус угла β равен АВ. Но АБ = ОС. Следовательно,

Можно сказать совсем просто. Синусом угла β будет игрековая координата точки А, а косинусом – иксовая. Слова нестандартные, но тем лучше. Запоминается надёжнее! А запомнить это надо. Железно запомнить. Косинус – по иксу, синус – по игреку.

Нет, не обидели средневековые люди древних! Сберегли наследие! И отношение сторон сохранили, и возможности расширили чрезвычайно!

Однако, а где тригонометрический круг!? Где единичная окружность!? Ни слова про круги не было!

Верно. Но осталось всего ничего. Взять подвижную сторону ОА и повернуть её вокруг точки О на полный оборот. Как вы думаете, какую фигуру нарисует при этом точка А? Совершенно верно! Окружность! Вот она.

Вот это и будет тригонометрический круг.

Вот так. А почему круг — тригонометрический? Круг и круг… Вопрос резонный. Поясняю. Каждой точке окружности соответствуют два числа. Координата этой точки по Х и координата этой точки по Y. А координаты у нас что? Наведите курсор на рисунок. Координаты у нас — точки В и С. Т.е. косинус и синус угла β. Т.е. тригонометрические функции. Поэтому круг и называется тригонометрическим.

Вспомнив, что ОА = 1, а ОА – радиус, сообразим, что это же – и единичная окружность тоже.

А так как синус и косинус — просто какие-то числа — этот тригонометрический круг будет ещё и числовой окружностью.

Три термина в одном флаконе.)

В данной теме эти понятия: тригонометрический круг, единичная окружность и числовая окружность – одно и то же. В более широком смысле, единичная окружность – это любая окружность с радиусом, равным единице. Тригонометрический круг – практический термин, как раз для работы с единичной окружностью в тригонометрии. Чем мы сейчас и позанимаемся. Работой с тригонометрическим кругом.

Первую половину работы мы уже выполнили. Нарисовали тригонометрический круг с помощью угла (классно звучит, правда?).

Теперь выполним вторую половину работы. Сделаем то же самое, только наоборот. Пройдём путь от тригонометрического круга к углу.

Пусть нам дана единичная окружность. Т.е. просто окружность, нарисованная на координатной плоскости, с радиусом, равным единице. Возьмём произвольно точку А на окружности. Отметим её координаты точками В и С на осях. Как нам помнится, её координаты — это cosβ (по иксу) и sinβ (по игреку). И синус с косинусом отметим. Получим вот такую картинку:

Всё понятно? Внимание, вопрос!

Где β!? Где угол β, без которого синуса и косинуса не бывает!?

Наводим курсор на картинку, и… вот он, вот он угол β! Именно его синус и косинус являются координатами точки А.

Кстати, здесь не нарисована прибитая сторона угла. Она и в предыдущих рисунках не нужна, только так, для понимания… Угол всегда отсчитывается от положительного направления оси ОХ. От направления стрелки.

А если точку А взять в другом месте? Окружность — она круглая… Да пожалуйста! Где угодно! Поместим, к примеру, точку А во вторую четверть, отметим её координаты, синус, косинус, как полагается. Вот так:

Самые наблюдательные заметят, что синус угла β – положительный (точка С – на положительной полуоси OY), а вот косинус – отрицательный! Точка В лежит на отрицательной полуоси ОХ.

Наводим курсор на картинку и видим угол β. Угол β здесь – тупой. Чего, кстати, решительно не бывет в прямоугольном треугольнике. А зря, что ли, мы возможности расширяли?

Уловили суть тригонометрического круга? Если взять точку в любом месте окружности, её координатами будут косинус и синус угла. Угол отсчитывается от положительного направления оси ОХ и до прямой, соединяющей центр координат с этой самой точкой на окружности.

Вот и всё. Проще хотелось бы, да некуда. Кстати, мой вам совет. Работая с тригонометрическим кругом, рисуйте не только точки на окружности, но и сам угол! Как на этих рисунках. Понятнее будет.

Рисовать вам этот круг в тригонометрии постоянно придётся. Это не обязаловка, это и есть та легальная шпаргалка, которой пользуются умные люди. Сомневаетсь? Тогда назовите мне по памяти знаки вот таких выражений, к примеру: sin130⁰, cos150⁰, sin250⁰, cos330⁰? Я уж не спрашиваю про cos1050⁰ или sin(-145⁰)… Про такие углы в следующем уроке написано.

И нигде-то вы подсказку не найдёте. Только на тригонометрическом круге. Рисуем примерный угол в правильной четверти и сразу видим, куда попадают его синус и косинус. На положительные полуоси, или отрицательные. Кстати, определение знаков тригонометрических функций постоянно требуется в самых различных заданиях…

Или ещё, чисто для примера… Надо вам, например, узнать, что больше, sin130⁰, или sin155⁰? Попробуй-ка, сообрази просто так…

А мы умные, мы нарисуем тригонометрический круг. И нарисуем на нём угол примерно 130 градусов. Исходя только из того, что он больше 90 и меньше 180 градусов. Ориентируемся на угол, а не на окружность! Уж где пересечёт подвижная сторона угла окружность, там и пересечёт. Отмечаем игрековую координату точки пересечения. Это будет sin130⁰. Как на этом рисунке:

А затем, здесь же, нарисуем угол 155 градусов. Примерно нарисуем, зная, что он больше 130 градусов. И меньше 180. Отметим и его синус. Наведите курсор на картинку, всё увидите. Ну и что, какой синус больше? Тут уж совсем трудно ошибиться! Конечно sin130⁰ больше, чем sin155⁰!

Долго? Да ну?! Никто не требует от вас тщательно прорисовывать картину и обеспечивать мультипликацию! Поработаете с этим сайтом, и по этой задаче будете за 10 секунд рисовать вот такую картинку:

Другой и не сообразит, что это за каракули, да… А вы спокойно и уверенно дадите правильный ответ! Хотя, аккуратность и не мешает… А то можно такую «окружность» нарисовать, что ответ обратный получится…

Эта задачка — только один пример широких возможностей тригонометрического круга. Освоить эти возможности вполне реально. Чем мы и займёмся далее.

Чаще всего вам придётся иметь с тригонометрическими функциями в обычной, алгебраической записи. Типа sin45⁰, tg(-3), cos(x+y) и так далее. Безо всяких картинок и тригонометрических кругов! Рисовать этот самый круг надо самим. Руками. Если, конечно, хотите легко и правильно решать задания по тригонометрии. В том числе и самые продвинутые. Но особо не волнуйтесь. Уж на этом сайте, в тригонометрии, я вам обеспечу рисование кругов! И вы освоите этот крайне полезный приём. Однозначно.

Подведём итоги урока.

В этой теме мы плавно перешли от тригонометрических функций угла в прямоугольном треугольнике к тригонометрическим функциям любого угла. Для этого нам понадобилось освоить понятия «тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность». Это очень полезно.)

Здесь я рассказывал о тригонометрическом круге в применении к синусу и косинусу. Но тангенс и котангенс тоже можно увидеть на круге! Одно движение ручкой, и вы легко и правильно определяете знак тангенса — котангенса любого угла, решаете тригонометрические неравенства и вообще потрясаете окружающих своими тригонометрическими способностями.)

Если вас интересуют такие перспективы — можно посетить урок «Тангенс и котангенс на тригонометрическом круге» в Особом разделе 555.

Далее мы разберёмся со следующими вопросами.

Как выглядят углы в 1000 градусов? Как выглядят отрицательные углы? Что за загадочное число «Пи», на которое неизбежно наталкиваешься в любом разделе тригонометрии? И каким боком это «Пи» к углам пристраивается? Всё это – в следующих уроках.

---

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

Круг синусов косинусов тангенсов и котангенсов

Какое из данных ниже выражений при любых значениях n равно произведению 125·5?n? 1) 5^3n 2)5^n+3 3)625^n 4)625^n+1 (Напишите,пожалуйста,с решением). Попроси больше объяснений; Следить ? Отметить нарушение ? Alinka1446 10.12.2015. Войти чтобы добавить комментарий.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Тригонометрический круг

История тригонометрии

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.

В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

Основные величины тригонометрии

Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.

В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:

Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

Тригонометрический круг

Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:

Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.

Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.

Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.

Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.

Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

Основные свойства котангенсоиды:

Y = tg x. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел. Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их. Наименьший положительный период тангенсоиды равен π. Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная. Tg x = 0, при x = πk. Функция является возрастающей. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk). Tg x ‹ 0, при x ϵ ( — π/2 + πk, πk). Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоиды:

Y = ctg x. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел. Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их. Наименьший положительный период котангенсоиды равен π. Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk. Функция является убывающей. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk). Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk). Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Исправить

Кр

poiskvstavropole.ru

Тригонометрические функции. Числовая окружность. Синус и косинус

Определение. Числовой окружностью называется окружность на координатной плоскости с центром в начале координат и единичным радиусом.

Числовая окружность изображена на рис. 37:

Рис. 37

Иначе говоря, это множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению .

Представим себе, что точка равномерно движется по числовой окружности против часовой стрелки со скоростью 1.

Будем предполагать, что это движение обладает следующими свойствами ( — положение точки в момент времени ):

1. — точка числовой окружности.
2. .
3. .
4. имеет положительные координаты.
5. , где .
6. расстояние между точками и равно расстоянию между точками и .

Примечание. Расстояние между точками и вычисляется по формуле

   

Определение синуса и косинуса

Определение. Предположим, что точка равномерно движется по числовой окружности так, что выполняются свойства 1–6. Абсцисса точки называется косинусом числа , ордината — синусом числа .

   

Задачи.

1) Найдите координаты точек .

2) Изобразите на числовой окружности дугу, описываемую движущейся точкой в течение промежутков времени

1. .

2. .

3) Отметьте на числовой окружности положения, которые занимает движущаяся точка в моменты времени

1. , где — целое число.

2. , где — целое число.

4) Расположите в порядке возрастания числа

   

5) Решите уравнения и неравенства (для этого не нужно знать тригонометрические формулы):

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

hijos.ru