В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов причем – В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет mi % изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i-го завода ni % первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом.

3. Формулы полной вероятности и Байеса.

Задача 3. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет m_i % изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i -го завода n_i % первосортных. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом, если оно оказалось первого сорта.

Решение (для нулевого варианта: m₁ =20, m₂ =30, m₃ =50, n₁ =70, n₂ =70, n₃=90, j=1). Введем обозначения. Событие А – куплено первосортное изделие. События, заключающиеся в том, что купленное изделие выпущено первым, вторым или третьим заводом — Н₁, Н

2, Н₃ (гипотезы, при выполнении которых может произойти событие А). — вероятность событияА, при условии, что произошло, т.е. что изделие оказалось i-ого завода.

В задаче требуется найти — вероятность того, что купленное изделие изготовленоj-тым заводом, если оно оказалось первого сорта.

Воспользуемся формулой Байеса. .

По условию задачи Р(Н₁) = _=,

Р(Н₂) = =0,3;Р(Н₃) = = 0,5.

= 0,7 (70%), = 0,7 (70%),= 0,9 (90%).

Подставляя эти значения в формулу Байеса, получим:

=≈0,175.

Ответ: ≈ 0,175

4. Приближенные вычисления в схеме Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Задача 4. Вероятность получения кредита для одного потенциального заемщика равна р. В течение недели в банк обращаются за получением кредита n человек. Найти: а) наивероятнейшее число лиц, получивших одобрение на получение кредита; б) соответствующую вероятность.

Решение (для нулевого варианта: p=0,3; n=13). Наивероятнейшее число лиц, получивших одобрение на получение кредита k₀ определяется из двойного неравенства np–q ≤ k₀ < np+p, где (q=1–p).

Вероятность того, что из 13 обратившихся в банк, получивших кредит окажется ровно k₀ находится по локальной теореме Лапласа (т.к. n ≥ 10): ,где x=. Подставив значения n

и p, заданные для своего варианта, получим:

а). np–q ≤ k₀ < np+p, => 3,9-0,7 ≤ k₀ < 3,9+0,3 => k₀ = 4.

б). ,где =, х==.

Значения функции для вычисленного значения х находятся по специальным справочным таблицам учебников, пособий и справочников по теории вероятности.

Для х=0,06 находим =0,3982. А искомая вероятность =0,24

Ответ: k₀ = 4, Р₁₃(4)=0,24.

Задача 5. Вероятность досрочного погашения ипотечного кредита для каждого из n заемщиков равна р. Определить вероятность того, что число

m заемщиков, досрочно погасивших кредит, удовлетворяет следующему неравенству:

Варианты 0-11- k₁≤m≤ k₂; варианты 12-21- m≤ k₂; варианты 22-31- m≥k₁.

Решение (для нулевого варианта: n=400, p=0,8, k₁=300. k₂=350). Вероятность того, что число появлений события А в n независимых испытаниях попадет в некоторый интервал [k₁,k₂] определяется интегральной теоремой Лапласа: Р_n(k₁,k₂)= ½(Ф(X«) – Ф(X‘)), где Ф(X)=— функция Лапласа, X‘=,X

«= . Значения функции Лапласа для вычисленных значений X‘ и X» находятся по специальным справочным таблицам теории вероятности. Следует учесть, что Ф(X)— нечетная функция, т.е. Ф(-X)= — Ф(X).

X‘==; Ф(-2,5)= -0,9876;X«==; Ф(1,25)= 0,7888

Р_n(k₁,k₂)= ½(Ф(X«) – Ф(X‘))= ½(0,7888 – (-0,9876))= 0,8882

studfiles.net

Решения-2

Задача 1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:

а) сумма числа очков не превосходит N;

б) произведение числа очков не превосходит N;

в) произведение числа очков делится на N.

N=12

Решение:

а)

-количество возможных исходов.

-количество благоприятных исходов.

б)

-количество возможных исходов

-количество благополучных исходов

в)

Ответ: 1; 0,64; 0,19.

Задача 3. Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных.

, ,,

Решение:

Число возможных исходов:

Число благоприятных исходов:

5 выигрышных из 7 можно взять

способами, а ещё 2 невыигрышных из 3 можно выбратьспособами.

Ответ:

Задача 4. В лифт k — этажного дома сели n пассажиров (n<k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что:

а) все вышли на разных этажах;

б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.

а) Количество возможных исходов:

Количество благоприятных исходов:

б) В задаче речь идёт про событие противоположное первому, значит

Ответ: ,.

Задача 5. В отрезке единичной длины на удачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит величину

. ()

Решение:

-длина отрезка, где появится точка.

-длина отрезка «благоприятного исхода»

Ответ:

Задача 7. В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны

и.

Решение:

Мера вероятности — площадь.

Все варианты попадания точки — в круг.

Благоприятные — в фигурах и

Ответ:

Задача 8. В двух партиях и% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно доброкачественное и одно бракованное?

События:

А-из первой партии достали бракованное.

В-из второй партии достали бракованное.

а) С-хотя бы одно бракованное.

б) D-оба бракованных:

в) Е-одно бракованное и одно качественное.

Ответ:

Задача 9. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком , вторым —. Первый сделал, второй —выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Решение:

События:

Цель не поражена

А — первый стрелок промахнулся 3 раза

В — второй стрелок промахнулся 2 раза

Ответ:

Задача 12. Из 1000 ламп принадлежатй партии,В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.

Решение:

Количество брака в первой партии:

Количество брака во второй партии:

Количество брака в третьей партии:

Ответ:

Задача 15. В магазин поступают однотипные изделия с трёх заводов, причём й завод поставляет% изделий. Среди изделийго завода% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено третьим заводом.

Решение:

Ответ: 59%

Задача 17. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна . Купленобилетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Решение:

Найдём наивероятнейшее число выигравших билетов из неравенства:

Значит, есть два наивероятнейших числа 7 и 8.

Применима формула Бернулли:

Ответ:

Задача 19. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна Поступиловызовов. Определить вероятность«сбоев».

Так как и, то применима формула Пуассона.

Ответ: 13,2%

Задача 20. Вероятность наступления некоторого события в каждом из независимых испытаний равнаОпределить вероятность того, что числонаступлений события удовлетворяют следующему неравенству:.

Решение:

Ответ: 0,994.

Задача 21. Дана плотность распределения случайной величины. Найти параметр, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения случайной величины, вероятность выполнения неравенства

Решение:

а) найдём параметр

б) найдём математическое ожидание :

в) найдём дисперсию :

г) Найдём функцию распределения случайной величины :

При

При

При

д)Найдём вероятность выполнения неравенства

Задача 27. Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей. Найти плотность распределения вероятностейслучайной величины

Так как функция монотонная, то:

Найдём производную:

Найдём интервал для

Проверка в системе MathCAD:

Задача 33. На отрезке случайным образом выбраночисел, точнее, рассматриваютсянезависимых случайных величинравномерно распределённых на отрезке. Найти вероятность того, что их сумма заключена междуит.е.

,

Решение:

Так как распределение равномерное, то

Ответ: 0,43 или 43%

Задача 34. Известно, что случайная величина имеет распределение Пуассона, неизвестным является параметр а. Используя указанный ниже метод получения точечных оценок, найти по реализации выборкизначения оценкинеизвестного параметра а (метод максимального правдоподобия)

Находим производную по а :

Находим вторую производную по а:

При максимум исходной функции. Значит

Ответ:

Задача 36. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием а и неизвестной дисперсией. По выборкеобъёмавычислено выборочное среднее. Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения, отвечающий заданной доверительной вероятности.

Решение:

Ответ:

studfiles.net

Типовой расчёт №1

КГТА

18 Вариант

Студент гр У-103

Проверил: Юлина

Задача 1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:

а) сумма числа очков не превосходит N;

б) произведение числа очков не превосходит N;

в) произведение числа очков делится на N.

N=12

Решение:

а)

-количество возможных исходов.

-количество благоприятных исходов.

б)

-количество возможных исходов

-количество благополучных исходов

в)

Ответ: 1; 0,64; 0,19.

Задача 3. Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных.

, ,,

Решение:

Число возможных исходов:

Число благоприятных исходов:

5 выигрышных из 7 можно взять способами, а ещё 2 невыигрышных из 3 можно выбратьспособами.

Ответ:

Задача 4. В лифт k — этажного дома сели n пассажиров (n<k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что:

а) все вышли на разных этажах;

б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.

а) Количество возможных исходов:

Количество благоприятных исходов:

б) В задаче речь идёт про событие противоположное первому, значит

Ответ: ,.

Задача 5. В отрезке единичной длины на удачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит величину . ()

Решение:

-длина отрезка, где появится точка.

-длина отрезка «благоприятного исхода»

Ответ:

Задача 7. В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны и.

Решение:

Мера вероятности — площадь.

Все варианты попадания точки — в круг.

Благоприятные — в фигурах и

Ответ:

Задача 8. В двух партиях и% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно доброкачественное и одно бракованное?

События:

А-из первой партии достали бракованное.

В-из второй партии достали бракованное.

а) С-хотя бы одно бракованное.

б) D-оба бракованных:

в) Е-одно бракованное и одно качественное.

Ответ:

Задача 9. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком , вторым —. Первый сделал, второй —выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Решение:

События:

Цель не поражена

А — первый стрелок промахнулся 3 раза

В — второй стрелок промахнулся 2 раза

Ответ:

Задача 12. Из 1000 ламп принадлежатй партии,В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.

Решение:

Количество брака в первой партии:

Количество брака во второй партии:

Количество брака в третьей партии:

Ответ:

Задача 15. В магазин поступают однотипные изделия с трёх заводов, причём й завод поставляет% изделий. Среди изделийго завода% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено третьим заводом.

Решение:

Ответ: 59%

Задача 17. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна . Купленобилетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Решение:

Найдём наивероятнейшее число выигравших билетов из неравенства:

Значит, есть два наивероятнейших числа 7 и 8.

Применима формула Бернулли:

Ответ:

Задача 19. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна Поступиловызовов. Определить вероятность«сбоев».

Так как и, то применима формула Пуассона.

Ответ: 13,2%

Задача 20. Вероятность наступления некоторого события в каждом из независимых испытаний равнаОпределить вероятность того, что числонаступлений события удовлетворяют следующему неравенству:.

Решение:

Ответ: 0,994.

Задача 21. Дана плотность распределения случайной величины. Найти параметр, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения случайной величины, вероятность выполнения неравенства

Решение:

а) найдём параметр

б) найдём математическое ожидание :

в) найдём дисперсию :

г) Найдём функцию распределения случайной величины :

При

При

При

д)Найдём вероятность выполнения неравенства

Задача 27. Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей. Найти плотность распределения вероятностейслучайной величины

Так как функция монотонная, то:

Найдём производную:

Найдём интервал для

Проверка в системе MathCAD:

Задача 33. На отрезке случайным образом выбраночисел, точнее, рассматриваютсянезависимых случайных величинравномерно распределённых на отрезке. Найти вероятность того, что их сумма заключена междуит.е.

,

Решение:

Так как распределение равномерное, то

Ответ: 0,43 или 43%

Задача 34. Известно, что случайная величина имеет распределение Пуассона, неизвестным является параметр а. Используя указанный ниже метод получения точечных оценок, найти по реализации выборкизначения оценкинеизвестного параметра а (метод максимального правдоподобия)

Находим производную по а :

Находим вторую производную по а:

При максимум исходной функции. Значит

Ответ:

Задача 36. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием а и неизвестной дисперсией. По выборкеобъёмавычислено выборочное среднее. Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения, отвечающий заданной доверительной вероятности.

Решение:

Ответ:

Задача 37. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием. По выборкеобъёмавычислены оценки:

и

неизвестных параметров. Найти доверительный интервал для математического ожидания а, отвечающей доверительной вероятности .

Решение:

Задача 41. Для контроля взяты 200 узлов, собранных на ученическом конвейере. Число узлов , при сборке которых пропущеноопераций, сведено в таблицу.

	0	1	2	3	4	5	6	>7
	41	62	45	22	16	8	4	0

Согласуются ли полученные результаты с распределением Пуассона (, гдеслучайное число пропущенных операций) по критериюпри уровне значимости? Решить задачу для заданного значения параметра а, и для случая когда параметр а оценивается по выборке.

Решение:

studfiles.net