Знаки неравенств — урок. Алгебра, 8 класс.
Неравенства, произведение или частное которых сравнено с нулем — это, например, (x+3)(x−2)>0;x+3x−5≤0.
Один из методов решения таких неравенств — замена системой неравенств.
Чтобы заменить неравенство системами неравенств, нужно знать свойства знаков:
++=+−−=++−=−−+=−++=+−−=++−=−−+=−
Чтобы произведение было положительным, оба множителя должны иметь одинаковые знаки — или положительные, или отрицательные.
Чтобы произведение было отрицательным, множители должны иметь противоположные знаки.
f(x)⋅g(x)>0только в том случае, еслиf(x)>0g(x)>0илиf(x)<0g(x)<0f(x)⋅g(x)<0только в том случае, еслиf(x)>0g(x)<0илиf(x)<0g(x)>0f(x)⋅g(x)≥0только в том случае, еслиf(x)≥0g(x)≥0илиf(x)≤0g(x)≤0f(x)⋅g(x)≤0только в том случае, еслиf(x)≥0g(x)≤0илиf(x)≤0g(x)≥0
Чтобы частное было положительным, делимое и делитель должны иметь
Чтобы частное было отрицательным, делимое и делитель должны иметь противоположные знаки.
f(x)g(x)>0только в том случае, еслиf(x)>0g(x)>0илиf(x)<0g(x)<0f(x)g(x)<0только в том случае, еслиf(x)>0g(x)<0илиf(x)<0g(x)>0f(x)g(x)≥0только в том случае, еслиf(x)≥0g(x)>0илиf(x)≤0g(x)<0f(x)g(x)≤0только в том случае, еслиf(x)≥0g(x)<0илиf(x)≤0g(x)>0
Обрати внимание!
Обрати внимание — в дробном неравенстве знаменатель не может быть равен \(0\), поэтому используются только знаки строгого неравенства (\(<\) или \(>\)).
Пример:
x+2x−3≥0x+2≥0x−3>0, т. к.x+3≠0 илиx+2≤0x−3<0x≥−2x>31 илиx≤−2x<32
Множества решений системы неравенства отображаются на оси координат:
| (1) | |
| (2) |
Ответ: x∈(−∞;−2]∪(3;+∞).
www.yaklass.ru
Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
Содержание страницы:
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
> больше,
≥ больше или равно,
< меньше,
≤ меньше или равно,
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
ax<bax≤bax>bax≥b
где a и b — любые числа, причем a≠0,x — переменная.
Примеры линейных неравенств:
3x<5x−2≥07−5x<1x≤0
Решить линейное неравенство
x<cx≤cx>cx≥c
где c — некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
- Если знак неравенства строгий >,<, точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
- Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
- Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.
Таблица числовых промежутков
| Неравенство | Графическое решение | Форма записи ответа |
|---|---|---|
| x<c | x∈(−∞;c) | |
| x≤c | x∈(−∞;c] | |
| x>c | x∈(c;+∞) | |
| x≥c | x∈[c;+∞) |
Алгоритм решения линейного неравенства
- Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:
ax<bax≤bax>bax≥b
- Пусть получилось неравенство вида ax≤b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.
- Если a<0, то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x≥ba.
- Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.
Примеры решения линейных неравенств:
№1. Решить неравенство 3(2−x)>18.
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
6−3x>18
−3x>18−6−3x>12|÷(−3)
Делим обе части неравенства на (-3) — коэффициент, который стоит перед x. Так как −3<0, знак неравенства поменяется на противоположный. x<12−3⇒x<−4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).
Ответ: x∈(−∞;−4)
№2. Решить неравество
6x+4≥3(x+1)−14.Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
6x+4≥3x+3−14
6x−3x≥3−14−4
3x≥−15 | ÷3 Делим обе части неравенства на (3) — коэффициент, который стоит перед x. Так как 3>0, знак неравенства после деления меняться не будет.
x≥−153⇒x≥−5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).
Ответ: x∈[−5; +∞)
Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).
Примеры:
№1. Решить неравенство 6x−1≤2(3x−0,5).
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
6x−1≤6x−1
6x−6x≤−1+1
0≤0
Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.
- x — любое число
- x∈(−∞;+∞)
- x∈ℝ
- Решить уравнение ax2+bx+c=0 и найти корни x1 и x2.
- Отметить на числовой прямой корни трехчлена.
- Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение ax2+bx+c вместо x.
- Выбрать подходящие интервалы (или интервал).
- Записать ответ.
- Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):
- Приравнять числитель дроби к нулю f(x)=0. Найти нули числителя.
- Приравнять знаменатель дроби к нулю g(x)=0. Найти нули знаменателя.
- Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x.
- Расставить знаки на интервалах.
- Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.
- Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f(x)g(x)>0.
- Приравниваем числитель к нулю f(x)=0.
- Приравниваем знаменатель к нулю g(x)=0.
- Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.
- Расставляем знаки на интервалах.
- Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.
- Привести неравенство к виду f(x)g(x)≤0.
- Приравнять числитель к нулю f(x)=0.
- Приравнять знаменатель к нулю g(x)=0.
- Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.
- Расставляем знаки на интервалах.
- Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.
- Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f(x)g(x)>0.
- Приравнять числитель к нулю f(x)=0.
- Приравнять знаменатель к нулю g(x)=0.
- Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.
- Расставляем знаки на интервалах.
- Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.
- Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
- Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
- Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.
- Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.
- Решаем первое неравенство системы.
- Решаем второе неравенство системы.
- Наносим оба решения на ось x.
- Выбираем подходящие участки и записываем ответ.
- Решаем первое неравенство системы.
- Решаем второе неравенство системы.
- Наносим оба решения на ось x.
- Выбираем подходящие участки и записываем ответ.
- Решаем первое неравенство системы.
- Решаем второе неравенство системы
- Наносим оба решения на ось x.
- Выбираем подходящие участки и записываем ответ.
- Решаем первое неравенство системы.
- Решаем второе неравенство системы
- Наносим оба решения на ось x.
- Выбираем подходящие участки и записываем ответ.
- запись означает, что a меньше, чем b;
- запись означает, что a больше, чем b.
- запись означает, что a не равно b.
- запись означает, что a меньше либо равно b;
- запись означает, что a больше либо равно b.
- запись означает, что a намного больше b.
- Например является точным, а нет.
- алгебраические
- трансцендентные
- Пример:
- Неравенство — алгебраическое, первой степени.
- Неравенство — алгебраическое, второй степени.
- Неравенство — трансцендентное.
- разбить ось на интервалы знакопостоянства
- поставить в каждом таком интервале знак неравенства на этом интервале (, если больше нуля, если меньше)
- выбрать те интервалы, где стоит знак начального неравенства
- ↑ М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974
- Строгие неравенства
- a<b{\displaystyle a<b} — означает, что a{\displaystyle a} меньше, чем b.{\displaystyle b.}
- a>b{\displaystyle a>b} — означает, что a{\displaystyle a} больше, чем b.{\displaystyle b.}
- Нестрогие неравенства
- a⩽b{\displaystyle a\leqslant b} — означает, что a{\displaystyle a} меньше либо равно b.{\displaystyle b.}
- a⩾b{\displaystyle a\geqslant b} — означает, что a{\displaystyle a} больше либо равно b.{\displaystyle b.}
- Если какое-либо слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
- Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.
- Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
№2. Решить неравенство x+3(2−3x)>−4(2x−12).
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
x+6−9x>−8x+48
−8x+8x>48−6
0>42
Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.
Ответ: x∈∅
Квадратные неравенства
Квадратные неравенства – это неравенства вида: ax2+bx+c>0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c<0ax2+bx+c≤0 где a, b, c — некоторые числа, причем a≠0,x — переменная.
Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.
Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).
Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов
Если знак неравенства строгий >,<, точки будут выколотые.
Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точки будут жирные (заштрихованный).
Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.
Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.
Примеры решения квадратных неравенств:
№1. Решить неравенство x2≥x+12.
Решение:
Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.
x2≥x+12
x2−x−12≥0
x2−x−12=0
a=1,b=−1,c=−12
D=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅(−12)=1+48=49
D>0⇒ будет два различных действительных корня
x1,2=−b±D2a=−(−1)±492⋅1=1±72=[1+72=82=41−72=−62=−3
Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:
x2−x−1=62−6−1=29>0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪.
Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.
Ответ: x∈(−∞;−3]∪[4;+∞)
№2. Решить неравенство −3x−2≥x2.
Решение:
Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.
−3x−2≥x2
−x2−3x−2≥0
−x2−3x−2=0
a=−1,b=−3,c=−2
D=b2−4ac=(−3)2−4⋅(−1)⋅(−2)=9−8=1
D>0⇒ будет два различных действительных корня
x1,2=−b±D2a=−(−3)±12⋅(−1)=3±1−2=[3+1−2=4−2=−23−1−2=2−2=−1
x1=−2,x2=−1
Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:
−x2−3x−2=−(0)2−3⋅0−2=−2<0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет −.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства ≥, выбираем в ответ интервал со знаком +.
Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.
Ответ: x∈[−2;−1]
№3. Решить неравенство 4<x2+3x.
Решение:
Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.
4<x2+3x
−x2−3x+4<0
−x2−3x+4=0
a=−1,b=−3,c=4
D=b2−4ac= (−3)2−4⋅(−1)⋅4=9+16=25
D>0⇒ будет два различных действительных корня
x1,2=−b±D2a=−(−3)±252⋅(−1)=3±5−2=[3+5−2=8−2=−43−5−2=−2−2=1
x1=−4,x2=1
Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:
−x2−3x+4=−(2)2−3⋅2+4=−6<0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет -.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства <, выбираем в ответ интервалы со знаком −.
Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ: x∈(−∞;−4)∪(1;+∞)
№4. Решить неравенство x2−5x<6.
Решение:
Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.
x2−5x<6
x2−5x−6<0
x2−5x−6=0
a=1,b=−5,c=−6
D=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅(−6)=25+25=49
D>0⇒ будет два различных действительных корня
x1,2=−b±D2a=−(−5)±492⋅1=5±72=[5+72=122=65−72=−22=−1
x1=6,x2=−1
Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:
x2−5x−6=102−5⋅10−6=100−50−6= 44>0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства >, выбираем в ответ интервал со знаком -.
Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые
Ответ: x∈(−1;6)
№5. Решить неравенство x2<4.
Решение:
Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.
x2<4
x2−4<0
x2−4=0
(x−2)(x+2)=0⇔[x−2=0x+2=0 [x=2x=−2
x1=2,x2=−2
Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:
x2−4=32−4=9−4=5>0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства <, выбираем в ответ интервал со знаком −.
Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ: x∈(−2;2)
№6. Решить неравенство x2+x≥0.
Решение:
Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x2+x=0.
x2+x≥0
x2+x=0
x(x+1)=0⇔[x=0x+1=0[x=0x=−1
x1=0,x2=−1
Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:
x2+x=12+1=2>0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства ≥, выбираем в ответ интервалы со знаком +.
В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.
Ответ: x∈(−∞;−1]∪[0;+∞)
Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.
Дробно рациональные неравенства
Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:
f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0
Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).
Примеры дробно рациональных неравенств:
x−1x+3<03(x+8)≤5×2−1x>0x+20x≥x+3
Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.
Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:
f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0
В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.
Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось xнули знаменателя всегда выколотые.
Если знак неравенства строгий,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые.
Если знак неравенства нестрогий,
при нанесении на ось x нули числителя жирные.
Примеры решения дробно рациональных неравенств:
№1. Решить неравенство x−1x+3>0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
x−1=0
x=1 — это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.
x+3=0
x=−3 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):x−1x+3 = 2−12+3=15>0,
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства >, выбираем в ответ интервалы со знаком +.
В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.
Ответ: x∈(−∞;−3)∪(1;+∞)
№2. Решить неравенство 3(x+8)≤5.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
3(x+8)≤5
3(x+8)−5\x+8≤0
3x+8−5(x+8)x+8≤0
3−5(x+8)x+8≤0
3−5x−40x+8≤0
−5x−37x+8≤0
−5x−37=0
−5x=37
x=−375=−375=−7,4
x=−7,4 — ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.
x+8=0
x=−8 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):
−5x−37x+8=−5⋅0−370+8=−378<0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства ≤, выбираем в ответ интервалы со знаком -.
В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.
Ответ: x∈(−∞;−8)∪[−7,4;+∞)
№3. Решить неравенство x2−1x>0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
x2−1=0
(x−1)(x+1)=0⇒[x−1=0x+1=0[x=1x=−1
x1=1,x2=−1 — нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.
x=0 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):
x2−1x=22−12=4−12=32>0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства >, выбираем в ответ интервалы со знаком +.
В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ: x∈(−1;0)∪(1;+∞)
Системы неравенств
Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Пример системы неравенств:
{x+4>02x+3≤x2
Алгоритм решения системы неравенств
Примеры решений систем неравенств:
№1. Решить систему неравенств {2x−3≤57−3x≤1
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
2x−3≤5
2x≤8|÷2, поскольку 2>0, знак неравенства после деления сохраняется.
x≤4;
Графическая интерпретация:
Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
7−3x≤1
−3x≤1−7
−3x≤−6|÷(−3), поскольку −3<0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.
x≥2
Графическая интерпретация решения:
Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4. Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.
Ответ: x∈[2;4]
№2. Решить систему неравенств {2x−1≤51<−3x−2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
2x−1≤5
2x≤6|÷2, поскольку 2>0, знак неравенства после деления сохраняется.
x≤3
Графическая интерпретация:
Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
1<−3x−2
3x<−1−2
3x<−3|÷3, поскольку 3>0, знак неравенства после деления сохраняется.
x<−1
Графическая интерпретация решения:
Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.
Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.
Ответ: x∈(−∞;−1)
№3. Решить систему неравенств {3x+1≤2x−1x−7>5−x
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
3x+1≤2x−1
3x−2x≤−1−1
x≤−1
Графическая интерпретация решения:
x−7>5−x
x+x>5+7
2x>12| ÷2, поскольку 2>0, знак неравенства после деления сохраняется.
x>6
Графическая интерпретация решения:
Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.
Ответ: x∈∅
№4. Решить систему неравенств {x+4>02x+3≤x2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
x+4>0
x>−4
Графическая интерпретация решения первого неравенства:
2x+3≤x2
−x2+2x+3≤0
Решаем методом интервалов.
−x2+2x+3=0
a=−1,b=2,c=3
D=b2−4ac=22−4⋅(−1)⋅3=4+12=16
D>0 — два различных действительных корня.
x1,2=−b±D2a=−2±162⋅(−1)=−2±4−2=[−2−4−2=−6−2=3−2+4−2=2−2=−1
Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.
Графическая интерпретация решения второго неравенства:
Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪.
Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.
Ответ: x∈(−4;−1]∪[3;+∞)
Скачать домашнее задание к уроку 8.
epmat.ru
Знак неравенства. Строгие и нестрогие неравенства
Неравенства и их знаки
Знаки «>» были введены английским астрономом, математиком, этнографом и переводчиком Томасом Хэрриотом (1560-1621) в 1631 году, а знаки «» предложил английский математик, один из предшественников математического анализа Джон Валлис (1616-1703) в 1670 году.
Запись означает, что меньше .
Запись означает, что больше .
Запись означает, что меньше или равно .
Запись означает, что больше или равно .
Если , то точка, изображающая число на координатной прямой, лежит правее точки, изображающей число (рис. 1).
Если , то точка, изображающая число на координатной прямой, лежит левее точки, изображающей число (рис. 2).
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Неравенство — это… Что такое Неравенство?
В математике неравенство (≠) есть утверждение об относительной величине или порядке двух объектов, или о том, что они просто не одинаковы (см. также Равенство).
Типы неравенств
Эти математические отношения называются строгим неравенством. В противоположность им нестрогие неравенства означают следующее:
Кроме того, иногда требуется показать, что одна из величин много больше другой, обычно на несколько порядков:
Иногда не требуется знать результат и тогда можно определить формальное неравенство как два числа или алгебраических выражения, соединённые знаками >,<,≠.
Неравенство называется точным если его нельзя улучшить.
Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:[1]
Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.
Решение неравенств второй степени
Решение неравенства второй степени вида или можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения (промежутки знакопостоянства).
Пример 1.
Решить неравенство .
Решение. Рассмотрим функцию . Для того чтобы решить это неравенство методом интервалов нам следует найти нули функции и выбрать соответствующие интервалы, в которых она принимает отрицательные значения.
Итак, корни уравнения , наш искомый интервал: .
Ответ: .
Решение неравенств методом интервалов
Пусть у нас есть неравенство вида Для его решения нам необходимо:
Крайними точками интервалов будут , и нули функций .
Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств
Пример 2.
Решить неравенство .
Решение. Действуем по плану:
Из последней выкладки видно, что наше неравенство решений не имеет.
Ответ: Ø
Знаки неравенства
Русскоязычная традиция начертания знаков и отличается от принятой в англоязычной литературе.
| Символ | Код в Юникоде | Название в Юникоде | Название | HTML шестн. | HTML десят. | HTML обозн. | LaTeX |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| U+2A7D | Less-than or slanted equal to | Меньше либо равно | ⩽ | ⩽ | отсутствует | \leqslant | |
| U+2A7E | Greater-than or slanted equal to | Больше либо равно | ⩾ | ⩾ | отсутствует | \geqslant | |
| U+2264 | Less-than or equal to | Меньше либо равно | ≤ | ≤ | ≤ | \le, \leq | |
| U+2265 | Greater-than or equal to | Больше либо равно | ≥ | ≥ | ≥ | \ge, \geq |
Примечание
См. также
dic.academic.ru
Знаки неравенства Википедия
О неравенствах в социально-экономическом смысле см. Социальное неравенство.Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков[1].
Неравенства a>b{\displaystyle a>b} и b<a{\displaystyle b<a} равносильны. Говорят, что знаки >{\displaystyle >} и <{\displaystyle <} противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что <{\displaystyle <} заменено на >{\displaystyle >} или наоборот.
Русскоязычная традиция начертания знаков
ru-wiki.ru
Простейшие неравенства | Алгебра
Простейшие линейные неравенства — это неравенства вида x>a; x≥a; x<a; x≤a.
Решение простейшего линейного неравенства можно изобразить на числовой прямой в виде числового промежутка и записать в виде интервала.
Неравенства бывают строгие и нестрогие.
Строгие неравенства — это неравенства со знаками больше (>) или меньше (<).
Нестрогие неравенства — это неравенства со знаками больше либо равно(≥) или меньше либо равно(≤).
При изображении на числовой прямой решения строгого неравенства точку выкалываем (она рисуется пустой внутри), точку из нестрогого неравенства закрашиваем (для запоминания можно использовать ассоциацию).
Числовой промежуток, соответствующий решению неравенства x<a или x≤a находится слева от точки a (штриховка идет от точки a влево, к минус бесконечности).
Числовой промежуток — решение неравенства x>a или x≥a — лежит справа от точки a (штриховка идет от точки a вправо, на плюс бесконечность) (для запоминания можно использовать ассоциацию).
Скобка, соответствующая точке a строгого неравенства x>a или x<a — круглая.
В нестрогом неравенстве x≥a или x≤a точка a — с квадратной скобкой.
Бесконечность и минус бесконечность в любом неравенстве всегда записываются с круглой скобкой.
Если обе скобки в записи круглые, числовой промежуток называется открытым. Концы открытого промежутка не являются решением неравенства и не включаются в ответ.
Конец промежутка с квадратной скобкой включается в ответ.
Запись промежутка всегда ведётся слева направо, от меньшего — к большему.
Решение простейших линейных неравенств схематически можно представить в виде схемы:
Рассмотрим примеры решения простейших линейных неравенств.
Читают: «икс больше двенадцати».
Решение:
Неравенство нестрогое, на числовой прямой 12 изображаем выколотой точкой.
К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: —>. Стрелочка указывает, что от 12 штриховка уходит вправо, к плюс бесконечности:
Так как неравенство строгое и точка x=12 выколотая, в ответ 12 записываем с круглой скобкой.
Ответ:
Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от двенадцати до бесконечности».
Читают: «икс больше минус трёх целых семи десятых»
Решение:
Неравенство нестрогое, поэтому -3,7 на числовой прямой изображаем закрашенной точкой. Мысленно пририсовываем к знаку неравенства стрелочку: —≥. Стрелочка направлена вправо, поэтому штриховка от -3,7 идёт вправо, на бесконечность:
Так как неравенство нестрогое и точка x= -3,7 закрашенная, -3,7 в ответ записываем с квадратной скобкой.
Ответ:
Читают: «икс принадлежит промежутку от минус трёх целых семи десятых до бесконечности, включая минус три целых семь десятых».
Читают: «икс меньше нуля целых двух десятых» (или «икс меньше чем нуль целых две десятых»).
Решение:
Неравенство строгое, 0,2 на числовой прямой изображаем выколотой точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: <—. Стрелочка подсказывает, что от 0,2 штриховка уходит влево, к минус бесконечности:
Неравенство строгое, точка выколотая, 0,2 — с круглой скобкой.
Ответ:
Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от минус бесконечности до нуля целых двух десятых».
Читают: «икс меньше либо равен пяти».
Решение:
Неравенство нестрогое, на числовой прямой 5 изображаем закрашенной точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: ≤—. Направление штриховки — влево, к минус бесконечности:
Неравенство нестрогое, точка закрашенная, 5 — с квадратной скобкой.
Ответ:
Читают: «икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до пяти, включая пять».
www.algebraclass.ru
Решение неравенств, все формулы и примеры
Определение и формулы неравенств
Знаки > называются знаками строгого неравенства, а знаки — знаками нестрогого неравенства.
Если в неравенство входят только числовые величины, то такое неравенство называется числовым неравенством.
Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.
Основные правила, применяемые при решении неравенств
В зависимости от того, какие функции входят в неравенство, различают линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические, показательные неравенства, неравенства с параметром.
Если требуется все общие решения двух или нескольких неравенств, то решают систему неравенств. Как и систему уравнений, систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки. Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств.
Одним из основных методов решения неравенств является метод интервалов.
Примеры решения неравенств
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com