Найти производная: Производная онлайн с подробным решением

Производная онлайн с подробным решением

Калькулятор решает производные c описанием действий ПОДРОБНО бесплатно!

Найти производную функции он-лайн

Это он-лайн сервис в один шаг:

  • Ввести функцию, для которой надо найти производную

Перейти: Онлайн сервис "Производная функции"

Найти частную производную функции он-лайн

Это он-лайн сервис в один шаг:

  • Ввести функцию, для которой надо найти частные производные

Перейти: Онлайн сервис "Частная производная функции"

Производная функции, заданной параметрически он-лайн

Это он-лайн сервис в три шага:

  • Ввести функцию x = x(t)
  • Ввести функцию y = y(t)

Перейти: Онлайн сервис "Производной параметрической функции"

Таблица производных

Вы также можете воспользоваться таблицей производных, чтобы самостоятельно вычислить любую производную, перейти:

Таблица производных онлайн

Введите функцию, заданную в неявном виде, вы получите соответствующую производную

Производная сложной функции

Производную сложной функции онлайн вы сможете вычислить с помощью калькулятора производных здесь

Найти вторую производную функции онлайн

Это он-лайн сервис в

два шага:

  • Ввести функцию, для которой надо найти производную
  • Ввести найденную первую производную в форму

Перейти: Онлайн сервис "Вторая производная функции"

Найти третью производную функции онлайн Это он-лайн сервис в три шага:
  • Ввести функцию, для которой надо найти производную
  • Ввести найденную первую производную в форму
  • Ввести найденную вторую производную функции в форму
Перейти: Онлайн сервис "Третья производная функции"
Калькулятор онлайн - Найти (с решением) производную функции

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.

Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.

Примеры подробного решения >>

Введите выражение функции

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Сообщение отправлено. Спасибо.

Определение производной

Определение. Пусть функция \( y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \( x_0 \). Дадим аргументу приращение \( \Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \( \Delta y \) (при переходе от точки \( x_0 \) к точке \( x_0 + \Delta x \) ) и составим отношение \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \( \Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \( y=f(x) \) в точке \( x_0 \) и обозначают \( f'(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y'. Отметим, что y' = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так:

производная функции у = f(x).

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\( k = f'(a) \)

Поскольку \( k = tg(a) \), то верно равенство \( f'(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \( y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \( x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f'(x) \), т.е. \( \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. Например, для функции \( y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \( \Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \( x \), найти \( f(x) \)
2. Дать аргументу \( x \) приращение \( \Delta x \), перейти в новую точку \( x+ \Delta x \), найти \( f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \( \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Составить отношение \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \( \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \( \Delta x \) устремить к нулю, то и \( \Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \( y=\sqrt[3]{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \( f'(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

$$ C'=0 $$ $$ x'=1 $$ $$ ( f+g)'=f'+g' $$ $$ (fg)'=f'g + fg' $$ $$ (Cf)'=Cf' $$ $$ \left(\frac{f}{g} \right) ' = \frac{f'g-fg'}{g^2} $$ $$ \left(\frac{C}{g} \right) ' = -\frac{Cg'}{g^2} $$ Производная сложной функции:
$$ f'_x(g(x)) = f'_g \cdot g'_x $$

Таблица производных некоторых функций

$$ \left( \frac{1}{x} \right) ' = -\frac{1}{x^2} $$ $$ ( \sqrt{x} ) ' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ \left( x^a \right) ' = a x^{a-1} $$ $$ \left( a^x \right) ' = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left( e^x \right) ' = e^x $$ $$ ( \ln x )' = \frac{1}{x} $$ $$ ( \log_a x )' = \frac{1}{x\ln a} $$ $$ ( \sin x )' = \cos x $$ $$ ( \cos x )' = -\sin x $$ $$ ( \text{tg} x )' = \frac{1}{\cos^2 x} $$ $$ ( \text{ctg} x )' = -\frac{1}{\sin^2 x} $$ $$ ( \arcsin x )' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ ( \arccos x )' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ ( \text{arctg} x )' = \frac{1}{1+x^2} $$ $$ ( \text{arcctg} x )' = \frac{-1}{1+x^2} $$
Производные высших порядков онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Чтобы вычислить N-ю производную высших порядков (степеней) от какой-либо функции - теперь не надо заниматься рекурсивным копипастом (для 100-й производной пришлось бы 100 раз нажать ctrl+c и ctrl+v) - достаточно указать порядок производной в отдельном поле:

Производная сотой степени онлайн

Приведу примеры производной высших порядков от функции f(x)=x*exp(-x) в таблице (требовалось найти для ряда Тейлора):

Словесное название Числовое название Результат
третья производная производная третьего порядка

(3 - x)*exp(-x)
четвёртая производная производная четвёртого порядка

(-4 + x)*exp(-x)
пятая производная производная пятого порядка

(5 - x)*exp(-x)
шестая производная шестого порядка

(-6 + x)*exp(-x)
седьмая производная седьмого порядка

(7 - x)*exp(-x)
восьмая производная восьмого порядка

(-8 + x)*exp(-x)
девятая производная девятого порядка

(9 - x)*exp(-x)
десятая производная 10го порядка (десятого)

(-10 + x)*exp(-x)
двенадцатая производная двенадцатого порядка

(-12 + x)*exp(-x)
двадцатая производная двадцатого порядка

(-20 + x)*exp(-x)
пятидесятая производная 50го порядка

(-50 + x)*exp(-x)
девяностая производная 90го порядка

(-90 + x)*exp(-x)
сотая производная сотого (100го) порядка

(-100 + x)*exp(-x)
тысяча производная 1000го порядка

(-1000 + x)*exp(-x)
миллион производная 1 млн производная

(-1000000 + x)*exp(-x)
Калькулятор производных. Решение производных онлайн

Оператор

Описание

Простейшие математические операции

+ - * / ()

Сложение, вычитание, умножение, деление и группирующие символы: + - * / () .
Знак умножения * - необязателен: выражение 2sin(3x) эквивалентно 2*sin(3*x).
Cкобки используются для группирования выражений.

0.5

Десятичные дроби записываются через точку:
  • 0.5 - правильная запись;
  • 0,5 - неправильная запись.

Элементарные функции

xn

Возведение в степень: x^n,
например, для ввода x2 используется x^2

√x

Квадратный корень: \sqrt(x) или x^(1/2)

3√x

Кубический корень: x^(1/3)

n√x

Корень n-той степени из x: x^(1/n)

ln(x)

Натуральный логарифм (логарифм c основанием e): log(x)

logax

Логарифм от x по основанию a: log(x)/log(a)

lg(x)

Десятичный логарифм (логарифм по основанию 10): log(x)/log(10)

ex

Экспоненциальная функция: e^x

Тригонометрические функции

sin(x)

Синус от x: sin(x)

cos(x)

Косинус от x: cos(x)

tg(x)

Тангенс от x: tan(x)

ctg(x)

Котангенс от x: 1/tan(x)

arcsin(x)

Арксинус от x: arcsin(x)

arccos(x)

Арккосинус от x: arccos(x)

arctan(x)

Арктангенс от x: arctan(x)

arcctg(x)

Арккотангенс от x: \pi/2 - arctan(x)

Некоторые константы

e

Число Эйлера e: \e

π

Число π: \pi

Найти производную: алгоритм и примеры решений

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

.

Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

                          

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

                              

Правило 2. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

                     

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой. 

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

                          

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

                     

Правило 3. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное

u/v , причём

                  

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций".

Здесь же (далее) - более простые примеры на производную произведения и частного, на которых Вы увереннее освоите алгоритмы вычислений.

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u'v, в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями".

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями".

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций".

Пример 5.

Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Пример 12. Найти производную функции

.

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных - под номером 3), получим

.

Пример 13. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Пример 14. Найти производную функции

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Пример 15.Найти производную функции

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных - номер 5):

Шаг3. В частном знаменатель - также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя - это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:

Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

,

а производная, требуемая в условии задачи:

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Напоминаем, что чуть более сложные примеры на производную произведения и частного - в статьях "Производная произведения и частного функций" и "Производная суммы дробей со степенями и корнями".

Также настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

Поделиться с друзьями

Весь блок "Производная"

Частная производная функции от двух или трех переменных онлайн

Введите функцию, для которой необходимо найти частные производные

Найдем частные производные функции f. Помогает вычислить полный. дифференциал функции

Правила ввода функций

В функции f можно делать следующие операции:

Действительные числа
вводить в виде 7.5, не 7,5
2*x
- умножение
3/x
- деление
x^3
- возведение в степень
x + 7
- сложение
x - 6
- вычитание
Функция f может состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Функция - абсолютное значение x (модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция - арккосинус от x
arccosh(x)
Функция - арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Функция - арксинус от x
arcsinh(x)
Функция - арксинус гиперболический от x
arctan(x)
Функция - арктангенс от x
arctanh(x)
Функция - арктангенс гиперболический от x
e
Функция - e это то, которое примерно равно 2.7
exp(x)
Функция - экспонента от x (тоже самое, что и e^x)
floor(x)
Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
log(x) or ln(x)
Функция - Натуральный логарифм от x (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
pi
Число - "Пи", которое примерно равно 3.14
sign(x)
Функция - Знак x
sin(x)
Функция - Синус от x
cos(x)
Функция - Косинус от x
sinh(x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция - Корень из от x
x^2
Функция - Квадрат x
tan(x)
Функция - Тангенс от x
tanh(x)
Функция - Тангенс гиперболический от x

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную - d/dx квадратный корень x
2 Найти производную - d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную - d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную - d/dx 1/x
7 Найти производную - d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную - d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную - d/dx sin(x)^2
11 Найти производную - d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную - d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную - d/dx x^3
23 Найти производную - d/dx sec(x)^2
24 Найти производную - d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную - d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную - d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную - d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную - d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную - d/dx cos(2x)
41 Найти производную - d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную - d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную - d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную - d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную - d/dx 2e^x
50 Найти производную - d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную - d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную - d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную - d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную - d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную - d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную - d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную - d/dx -cos(x)
67 Найти производную - d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную - d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную - d/dx x^x
76 Найти производную - d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную - d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную - d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную - d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную - d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную - d/dx y=x^2
87 Найти производную - d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную - d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную - d/dx e^2
93 Найти производную - d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную - d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x
90000 Introduction to Derivatives 90001 90002 It is all about slope! 90003 90004 90005 90006 90002 Slope = 90008 Change in Y 90009 90010 Change in X 90011 90003 90013 90006 90013 90006 90013 90018 90019 90002 90003 90004 90005 90006 90002 We can find an 90026 average 90027 slope between two points. 90003 90002 90003 90013 90006 90013 90006 90013 90018 90005 90006 90002 But how do we find the slope 90026 at a point 90027? 90003 90002 There is nothing to measure! 90003 90013 90006 90013 90006 90013 90018 90005 90006 90002 But with derivatives we use a small difference... 90003 90002 ... then have it 90026 shrink towards zero 90027. 90003 90013 90006 90013 90006 90013 90018 90019 90066 Let us Find a Derivative! 90067 90002 To find the derivative of a function y = f (x) we use the slope formula: 90003 90002 Slope = 90008 Change in Y 90009 90010 Change in X 90011 = 90008 Δy 90009 90010 Δx 90011 90003 90002 90003 90002 And (from the diagram) we see that: 90003 90084 90005 90006 x changes from 90013 90006 90013 90090 x 90013 90090 to 90013 90090 x + Δx 90013 90018 90005 90006 y changes from 90013 90006 90013 90090 f (x) 90013 90090 to 90013 90090 f (x + Δx) 90013 90018 90019 90002 Now follow these steps: 90003 90112 90113 Fill in this slope formula: 90008 Δy 90009 90010 Δx 90011 = 90008 f (x + Δx) - f (x) 90009 90010 Δx 90011 90122 90113 Simplify it as best we can 90122 90113 Then make 90026 Δx 90027 shrink towards zero.90122 90129 90002 Like this: 90003 90132 Example: the function 90026 f (x) = x 90134 2 90135 90027 90137 90002 We know 90026 f (x) = x 90134 2 90135 90027, and we can calculate 90026 f (x + Δx) 90027: 90003 90146 90005 90148 Start with: 90013 90006 90013 90006 90026 f (x + Δx) = (x + Δx) 90134 2 90135 90027 90013 90018 90005 90148 Expand (x + Δx) 90134 2 90135: 90013 90006 90013 90006 90026 f (x + Δx) = x 90134 2 90135 + 2x Δx + (Δx) 90134 2 90135 90027 90013 90018 90019 90002 90003 90002 The slope formula is: 90008 f (x + Δx) - f (x) 90009 90010 Δx 90011 90003 90002 Put in 90026 f (x + Δx) 90027 and 90026 f (x) 90027: 90008 x 90134 2 90135 + 2x Δx + (Δx) 90134 2 90135 - x 90134 2 90135 90009 90010 Δx 90011 90003 90002 Simplify (x 90134 2 90135 and -x 90134 2 90135 cancel): 90008 2x Δx + (Δx) 90134 2 90135 90009 90010 Δx 90011 90003 90002 Simplify more (divide through by Δx): = 2x + Δx 90003 90002 Then 90026 as Δx 90027 90026 heads towards 0 90027 we get: = 2x 90003 90002 90003 90002 Result: the derivative of 90026 x 90134 2 90135 90027 is 90026 2x 90027 90003 90002 In other words, the slope at x is 90026 2x 90027 90003 90002 90003 90002 We write 90026 dx 90027 instead of 90026 "Δx 90027 90026 heads towards 0" 90027.90003 90002 And "the derivative of" is commonly written: 90003 90002 x 90134 2 90135 = 2x 90249 90250 "The derivative of 90026 x 90134 2 90135 90027 equals 90026 2x 90027" 90257 90249 or simply 90250 "d dx of 90026 x 90134 2 90135 90027 equals 90026 2x 90027" 90257 90003 90002 90003 90132 What does x 90134 2 90135 = 2x mean? 90137 90002 It means that, for the function x 90134 2 90135, the slope or "rate of change" at any point is 90026 2x 90027. 90003 90002 So when 90026 x = 2 90027 the slope is 90026 2x = 4 90027, as shown here: 90003 90002 Or when 90026 x = 5 90027 the slope is 90026 2x = 10 90027, and so on.90003 90002 Note: sometimes f '(x) is also used for "the derivative of": 90003 90002 f '(x) = 2x 90249 90250 "The derivative of f (x) equals 2x" 90257 90249 or simply 90250 "f-dash of x equals 2x" 90257 90003 90002 90003 90002 Let's try another example. 90003 90132 Example: What is x 90134 3 90135? 90137 90002 We know 90026 f (x) = x 90134 3 90135 90027, and can calculate 90026 f (x + Δx) 90027: 90003 90146 90005 90148 Start with: 90013 90006 90013 90006 90026 f (x + Δx) = (x + Δx) 90134 3 90135 90027 90013 90018 90005 90148 Expand (x + Δx) 90134 3 90135: 90013 90006 90013 90338 90026 f (x + Δx) = x 90134 3 90135 + 3x 90134 2 90135 Δx + 3x (Δx) 90134 2 90135 + (Δx) 90134 3 90135 90027 90013 90018 90019 90002 90003 90002 The slope formula: 90008 f (x + Δx) - f (x) 90009 90010 Δx 90011 90003 90002 Put in 90026 f (x + Δx) 90027 and 90026 f (x) 90027: 90008 x 90134 3 90135 + 3x 90134 2 90135 Δx + 3x (Δx) 90134 2 90135 + (Δx) 90134 3 90135 - x 90134 3 90135 90009 90010 Δx 90011 90003 90002 Simplify (x 90134 3 90135 and -x 90134 3 90135 cancel): 90008 3x 90134 2 90135 Δx + 3x (Δx) 90134 2 90135 + (Δx) 90134 3 90135 90009 90010 Δx 90011 90003 90002 Simplify more (divide through by Δx): = 3x 90134 2 90135 + 3x Δx + (Δx) 90134 2 90135 90003 90002 Then 90026 as Δx 90027 90026 heads towards 0 90027 we get: = 3x 90134 2 90135 90003 90002 90003 90002 Result: the derivative of 90026 x 90134 3 90135 90027 is 90026 3x 90134 2 90135 90027 90003 90002 Have a play with it using the Derivative Plotter.90003 90002 90003 90066 Derivatives of Other Functions 90067 90002 We can use the same method to work out derivatives of other functions (like sine, cosine, logarithms, etc). 90003 90002 90003 90132 Example: what is the derivative of sin (x)? 90137 90002 On Derivative Rules it is listed as being 90026 cos (x) 90027 90003 90002 Done. 90003 90002 Using the rules can be tricky! 90003 90132 Example: what is the derivative of cos (x) sin (x)? 90137 90002 You can not just find the derivative of cos (x) and multiply it by the derivative of sin (x)... you must use the "Product Rule" as explained on the Derivative Rules page. 90003 90002 It actually works out to be 90026 cos 90134 2 90135 (x) - sin 90134 2 90135 (x) 90027 90003 90002 So that is your next step: learn how to use the rules. 90003 90002 90003 90066 Notation 90067 90002 "Shrink towards zero" is actually written as a limit like this: 90003 90002 90249 "The derivative of 90026 f 90027 equals 90026 the limit as Δx goes to zero 90027 of f (x + Δx) - f (x) over Δx" 90249 90003 90002 90003 90002 Or sometimes the derivative is written like this (explained on Derivatives as dy / dx): 90003 90474 90003 90002 90003 90002 The process of finding a derivative is called "differentiation".90003 90002 You 90026 do 90027 differentiation ... to 90026 get 90027 a derivative. 90003 90066 Where to Next? 90067 90002 Go and learn how to find derivatives using Derivative Rules, and get plenty of practice: 90003 90002 90003 .90000 Find a Derivative - WebMath 90001 90002 Quick! I need help with: Choose Math Help Item ... Calculus, Derivatives Calculus, Integration Calculus, Quotient Rule Coins, Counting Combinations, Finding all Complex Numbers, Adding of Complex Numbers, Calculating with Complex Numbers, Multiplying Complex Numbers, Powers of Complex Numbers, Subtracting Conversion, Area Conversion, Lengths Conversion, Mass Conversion, Power Conversion, Speed Conversion, Temperatures Conversion, Volume Data Analysis, Finding the Average Data Analysis, Finding the Standard Deviation Data Analysis, Histograms Decimals, Convert to a fraction Electricity, Cost of Factoring, Integers Factors, Greatest Common Factors, Least Common Fractions, Adding Fractions, Comparing Fractions, Converting Fractions, Convert to a decimal Fractions, Dividing Fractions, Multiplying Fractions, Reducing Fractions, Subtracting Fractions, What are they Geometry, Boxes Geometry, Circles Geometry, Cylinders Geometry, Rectangles Geometry, Right Triangles Geometry, Spheres Geometry, Squares Graphing, Lines Graphing, Any function Graphing, Circles Graphing, Ellipses Graphing, Hyperbolas Graphing, Inequalities Graphing, Polar Plot Graphing, (x, y) point Inequalities, Graphing Inequalities, Solving Interest, Compound Interest, Simple Lines, The Equation from point and slope Lines, The Equation from slope and y-int Lines, The Equation from two points Loan, Payment Schedule Lottery, Finding odds Math, Practicing Polynomials Math, Practicing the Basics Metric system, Converting Numbers, Adding Numbers, Calculating with Numbers, Calculating with variables Numbers, Dividing Numbers, Multiplying Numbers, Number line comparing Numbers, Number line Numbers, Place Value Numbers, Pronouncing Numbers, Rounding Numbers, Subtracting Parabolas, Graphing Polynomials, Adding / Subtracting Polynomials, Completing the Square Polynomials, Dividing Polynomials, Factoring Difference of Squares Polynomials, Factoring Trinomials Polynomials, Factoring with GCF Polynomials, Multiplying Polynomials, Raising to a power Practice, Math problems Proportions, What are they Quadratic Equations, Quadratic Formula Quadratic Equations, Solve by Factoring Radicals, Other Roots Radicals, Square Roots Ratios, What are they Retirement, Saving for Sale Price, Calculating Scientific Notation, Converting Scientific Notation, Dividing Scientific Notation, Multiply Shapes, Rectangles Simplifying, Anything Simplifying, Exponents Simplifying, Like Terms Simplifying, Products Time, Thinking about Tip, Figuring a Trigonometry, Expressions Trigonometry, Right Triangles Windchill, Figuring 90003 .90000 Derivative rules | Math calculus 90001 90002 Derivative rules and laws. Derivatives of functions table. 90003 90004 Derivative definition 90005 90002 The derivative of a function is the ratio of the difference of function value f (x) at points x + Δx and x with Δx, when Δx is infinitesimally small. The derivative is the function slope or slope of the tangent line at point x. 90003 90002 90003 90002 90003 90004 Second derivative 90005 90002 The second derivative is given by: 90003 90002 90003 90002 Or simply derive the first derivative: 90003 90002 90003 90004 Nth derivative 90005 90002 The 90025 n 90026 th derivative is calculated by deriving f (x) n times.90003 90002 The 90025 n 90026 th derivative is equal to the derivative of the (n-1) derivative: 90003 90002 90025 f 90026 90035 (90025 n 90026) 90038 (90025 x 90026) = [90025 f 90026 90035 (90025 n 90026 -1) 90038 (90025 x 90026)] '90003 90050 Example: 90051 90002 Find the fourth derivative of 90003 90002 90025 f 90026 (90025 x 90026) = 2 90025 x 90026 90035 5 90038 90003 90002 90025 f 90026 90035 (4) 90038 (90025 x 90026) = [2 90025 x 90026 90035 5 90038] '' '' = [10 90025 x 90026 90035 4 90038] '' '= [40 90025 x 90026 90035 3 90038]' '= [120 90025 x 90026 90035 2 90038]' = 240 90025 x 90026 90003 90004 Derivative on graph of function 90005 90002 The derivative of a function is the slop of the tangential line.90003 90004 Derivative rules 90005 90004 Derivative sum rule 90005 90002 When 90025 a 90026 and 90025 b 90026 are constants. 90003 90002 (90025 a f 90026 (90025 x 90026) + 90025 bg 90026 (90025 x 90026) ) '= 90025 a f' 90026 (90025 x 90026) + 90025 bg '90026 (90025 x 90026) 90003 90050 Example: 90051 90002 Find the derivative of: 90003 90002 3 90025 x 90026 90035 2 90038 + 4 90025 x. 90026 90003 90002 According to the sum rule: 90003 90002 90025 a 90026 = 3, 90025 b 90026 = 4 90003 90002 90025 f 90026 (90025 x 90026) = 90025 x 90026 90035 2 90038, 90025 g 90026 (90025 x 90026) = 90025 x 90026 90003 90002 90025 f '90026 (90025 x 90026) = 2 90025 x 90026 90035 90038, 90025 g '90026 (90025 x 90026) = 1 90003 90002 (3 90025 x 90026 90035 2 90038 + 4 90025 x 90026) '= 3⋅2 90025 x 90026 + 4⋅1 = 6 90025 x 90026 + 4 90003 90004 Derivative product rule 90005 90002 (90025 f 90026 (90025 x 90026) ∙ 90025 g 90026 (90025 x 90026) ) '= 90025 f' 90026 (90025 x 90026) g (90025 x 90026) + 90025 f 90026 (90025 x 90026) 90025 g '90026 (90025 x 90026) 90003 90004 Derivative quotient rule 90005 90002 90003 90004 Derivative chain rule 90005 90002 90025 f 90026 (90025 g 90026 (90025 x 90026)) '= 90025 f' 90026 (90025 g 90026 (90025 x 90026)) ∙ 90025 g '90026 (90025 x 90026) 90003 90002 This rule can be better understood with Lagrange's notation: 90003 90002 90003 90004 Function linear approximation 90005 90002 For small Δx, we can get an approximation to f (x 90241 0 90242 + Δx), when we know f (x 90241 0 90242) and f '(x 90241 0 90242): 90003 90002 90025 f 90026 (90025 x 90026 90241 0 90242 + Δ 90025 x 90026) ≈ 90025 f 90026 (90025 x 90026 90241 0 90242) + 90025 f 90026 '(90025 x 90026 90241 0 90242) ⋅Δ 90025 x 90026 90003 90004 Derivatives of functions table 90005 90274 90275 90276 Function name 90277 90278 Function 90277 90278 Derivative 90277 90282 90275 90278 90002 90025 f 90026 (90025 x 90026) 90003 90277 90278 90025 f 90026 '(90025 x 90026) 90277 90282 90275 90300 Constant 90301 90300 90002 90025 const 90026 90003 90301 90300 90002 0 90003 90301 90282 90275 90300 Linear 90301 90300 90002 90025 x 90026 90003 90301 90300 90002 1 90003 90301 90282 90275 90300 Power 90301 90300 90002 90025 x 90035 a 90038 90026 90003 90301 90300 90002 90025 a x 90035 a- 90038 90026 90035 1 90038 90003 90301 90282 90275 90300 Exponential 90301 90300 90002 90025 e 90035 x 90038 90026 90003 90301 90300 90002 90025 e 90035 x 90038 90026 90003 90301 90282 90275 90300 Exponential 90301 90300 90002 90025 a 90035 x 90038 90026 90003 90301 90300 90002 90025 a 90035 x 90038 90026 ln 90025 a 90026 90003 90301 90282 90275 90300 Natural logarithm 90301 90300 90002 ln (90025 x 90026) 90003 90301 90300 90002 90003 90301 90282 90275 90300 Logarithm 90301 90300 90002 log 90025 90241 b 90242 90026 (90025 x 90026) 90003 90301 90300 90002 90003 90301 90282 90275 90300 Sine 90301 90300 90002 sin 90025 x 90026 90003 90301 90300 90002 cos 90025 x 90026 90003 90301 90282 90275 90300 Cosine 90301 90300 90002 cos 90025 x 90026 90003 90301 90300 90002 -sin 90025 x 90026 90003 90301 90282 90275 90300 Tangent 90301 90300 90002 tan 90025 x 90026 90003 90301 90300 90002 90003 90301 90282 90275 90300 Arcsine 90301 90300 90002 arcsin 90025 x 90026 90003 90301 90300 90002 90003 90301 90282 90275 90300 Arccosine 90301 90300 90002 arccos 90025 x 90026 90003 90301 90300 90002 90003 90301 90282 90275 90300 Arctangent 90301 90300 90002 arctan 90025 x 90026 90003 90301 90300 90301 90282 90275 90300 Hyperbolic sine 90301 90300 90002 sinh 90025 x 90026 90003 90301 90300 90002 cosh 90025 x 90026 90003 90301 90282 90275 90300 Hyperbolic cosine 90301 90300 90002 cosh 90025 x 90026 90003 90301 90300 90002 sinh 90025 x 90026 90003 90301 90282 90275 90300 Hyperbolic tangent 90301 90300 90002 tanh 90025 x 90026 90003 90301 90300 90002 90003 90301 90282 90275 90300 Inverse hyperbolic sine 90301 90300 90002 sinh 90035 -1 90038 90025 x 90026 90003 90301 90300 90002 90003 90301 90282 90275 90300 Inverse hyperbolic cosine 90301 90300 90002 cosh 90035 -1 90038 90025 x 90026 90003 90301 90300 90002 90003 90301 90282 90275 90300 Inverse hyperbolic tangent 90301 90300 90002 tanh 90035 -1 90038 90025 x 90026 90003 90301 90300 90002 90003 90301 90282 90603 90004 Derivative examples 90005 90050 Example # 1 90051 90002 90025 f 90026 (90025 x 90026) = 90025 x 90026 90035 3 90038 +5 90025 x 90026 90035 2 90038 + 90025 x 90026 +8 90003 90002 90025 f '90026 (90025 x 90026) = 3 90025 x 90026 90035 2 90038 + 2⋅5 90025 x 90026 + 1 + 0 = 3 90025 x 90026 90035 2 90038 +10 90025 x 90026 +1 90003 90050 Example # 2 90051 90002 90025 f 90026 (90025 x 90026) = sin (3 90025 x 90026 90035 2 90038) 90003 90002 When applying the chain rule: 90003 90002 90025 f '90026 (90025 x 90026) = cos (3 90025 x 90026 90035 2 90038) ⋅ [3 90025 x 90026 90035 2 90038] '= cos (3 90025 x 90026 90035 2 90038) ⋅ 6 90025 x 90026 90003 90004 Second derivative test 90005 90002 When the first derivative of a function is zero at point x 90241 0 90242.90003 90002 90025 f 90026 '(90025 x 90026 90241 0 90242) = 0 90003 90002 Then the second derivative at point x 90241 0 90242, f '' (x 90241 0 90242), can indicate the type of that point: 90003 90002 90003 90698 90275 90300 90002 90025 f 90026 '' (90025 x 90026 90241 0 90242)> 0 90003 90301 90300 local minimum 90301 90282 90275 90300 90002 90025 f 90026 '' (90025 x 90026 90241 0 90242) <0 90003 90301 90300 local maximum 90301 90282 90275 90300 90002 90025 f 90026 '' (90025 x 90026 90241 0 90242) = 0 90003 90301 90300 undetermined 90301 90282 90603 90002 90003 90744 90745 See also 90746 .90000 How Do You Find the Partial Derivative of a Function? | by Chi-Feng Wang 90001 90002 For simple functions like 90003 f (x, y) = 3x²y 90004, that is all we need to know. However, if we want to compute partial derivatives of more complicated functions - such as those with nested expressions like 90003 max (0, 90004 90007 90003 w 90004 90010 90003 ∙ 90004 90007 90003 X 90004 90010 90003 + b) 90004 - we need to be able to utilize the multivariate chain rule, known as the 90003 single variable total-derivative chain rule 90004 in the paper.90021 90022 Single Variable Chain Rule 90023 90002 Let's first review the single variable chain rule. Consider the function 90003 y = f (g (x)) = sin (x²). 90004 To get the derivative of this expression, we multiply the derivative of the outer expression with the derivative of the inner expression or 'chain the pieces together'. In other words: 90021 Image 6: Single-variable chain rule where u is the intermediate variable for nested subexpressions 90002 For our example, 90003 u = x² 90004 and 90003 y = sin (u) 90004.Hence: 90021 Image 7: Derivatives // Source 90002 and 90021 Image 8: Derivative of the whole expression // Source 90002 It's nice to think about the single-variable chain rule as a diagram of operations that 90003 x 90004 goes through, like so : 90021 Image 9: Diagram of chain of operations for y = sin (x 90003 ²) 90004 90002 This concept of visualizing equations as diagrams will come in extremely handy when dealing with the multivariable chain rule. Also, if you use Tensorflow (or Keras) and TensorBoard, as you build your model and write your training code, you can see a diagram of operations similar to this.90021 90022 Multivariable Chain Rule 90023 90002 The multivariable chain rule, also known as the 90003 single-variable total-derivative chain rule 90004, as called in the paper, is a variant of the scalar chain rule. Unlike what its name suggests, it can be applied to expressions with only a single variable. However, the expression should have multiple intermediate variables. 90021 90002 To illustrate this point, let us consider the equation 90003 y = f (x) = x + x² 90004. Using the scalar additional derivative rule, we can immediately calculate the derivative: 90021 Image 10: Derivative of x + x 90003 ² 90004 90002 Let's try doing it with the chain rule.First, we introduce intermediate variables: 90003 u₁ (x) = x² 90004 and 90003 u₂ (x, u₁) = x + u₁. 90004 If we apply the single-variable chain rule, we get: 90021 Image 11: Using the single-variable chain rule 90002 Obviously, 2x ≠ 1 + 2x, so something is wrong here. Let's draw out the graph of our equation: 90021 Image 12: Diagram of chain of operations for y = x + x 90003 ² // 90004 // Source 90002 The diagram in Image 12 is no longer linear, so we have to consider 90003 all 90004 the pathways in the diagram that lead to the final result.Since 90003 u₂ 90004 has two parameters, partial derivatives come into play. To calculate the derivative of this function, we have to calculate partial derivative with respect to 90003 x 90004 of 90003 u₂ (x, u₁). 90004 Here, a change in 90003 x 90004 is reflected in 90003 u₂ 90004 in two ways: as an operand of the addition and as an operand of the square operator. In symbols, 90003 ŷ = (x + Δx) + (x + Δx) ² 90004 and 90003 Δy = ŷ-y 90004 and where 90003 ŷ 90004 is the y-value at a tweaked 90003 x.90004 90021 90002 Hence, to computer the partial of 90003 u₂ (x, u₁) 90004, we need to sum up all possible contributions from changes in 90003 x 90004 to the change in 90003 y 90004. The total derivative of 90003 u₂ (x, u₁) 90004 is given by: 90021 Image 13: Derivative of y = x + x 90003 ² 90004 // Source 90002 In simpler terms, you 90007 add up 90010 the effect of a change in x directly to u₂ and the effect of a change in x through u₁ to u₂. I find it easier to visualize it through a graph: 90021 Image 14: Graph of y = x + x 90003 ², with partials included 90004 90002 And that's it! We got the correct answer: 1 + 2x.We can now sum that process up in a single rule, the multivariable chain rule (or the single-variable total-derivative chain rule): 90021 Image 15: Multivariable chain rule // Source 90002 If we introduce an alias for x as x = u (n + 1), then we can rewrite that formula into its final form, which look slightly neater: 90021 Image 16: Multivariable chain rule // Source 90002 That's all to it! To review, let's do another example: 90003 f (x) = sin (x + x²) 90004. Our 3 intermediate variables are: 90003 u₁ (x) = x², u₂ (x, u₁) = x + u₁, 90004 and 90003 u₃ (u₂) = sin (u₂) 90004.Once again, we can draw our graph: 90021 Image 17: Graph of y = sin (x + x 90003 ²), with partials included 90004 90002 and calculate our partials: 90021 Image 18: Partials for the function y = sin (x + x 90003 ²) 90004 90002 Therefore, the derivative of 90003 f (x) = sin (x + x²) 90004 is 90003 cos (x + x²) (1 + 2x) 90004. 90021.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *