Полином лежандра это – Полином Лежандра — это… Что такое Полином Лежандра?

Содержание

Полином Лежандра - это... Что такое Полином Лежандра?


Полином Лежандра

Многочлены Лежандра — определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

часто записываемой в виде

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

которую также можно представить в виде

При m = 0 функция совпадает с Pn.

Примеры

Первые четыре многочлена Лежандра равны:

  1. P0(x) = 1
  2. P1(x) = x

Свойства

  • При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в L2( − 1,1).
  • В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра Pn,m(x)) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах r,θ,φ) вида

  и   ,

где  — присоединённые многочлены Лежандра. Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в (при n < 0 — всюду, кроме нуля) и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

  • В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Полином Лагранжа
  • Полином Чебышева

Смотреть что такое "Полином Лежандра" в других словарях:

  • полином Лежандра — Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Legendre polynomial vok. Legendresches Polynom, n rus. многочлен Лежандра, m; полином Лежандра, m pranc. polynôme de Legendre, m …   Fizikos terminų žodynas

  • присоединённый полином Лежандра — prijungtinis Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. associated Legendre polynomial vok. Legendresches zugeordnetes Polynom, n; zugeordnetes Legendresches Polynom, n rus. присоединённый многочлен Лежандра, m;… …   Fizikos terminų žodynas

  • Многочлены Лежандра — Многочлен Лежандра  многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов… …   Википедия

  • многочлен Лежандра — Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Legendre polynomial vok. Legendresches Polynom, n rus. многочлен Лежандра, m; полином Лежандра, m pranc. polynôme de Legendre, m …   Fizikos terminų žodynas

  • присоединённый многочлен Лежандра — prijungtinis Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. associated Legendre polynomial vok. Legendresches zugeordnetes Polynom, n; zugeordnetes Legendresches Polynom, n rus. присоединённый многочлен Лежандра, m;… …   Fizikos terminų žodynas

  • РАССЕЯНИЕ МИКРОЧАСТИЦ — процесс столкновения ч ц, в результате к рого меняются импульсы ч ц (у п р у г о е р а с с е я н и е) или наряду с изменением импульсов меняются также внутр. состояния ч ц (к в а з и у п р у г и е п р о ц е с с ы) либо образуются др. ч цы (н е у… …   Физическая энциклопедия

  • СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — (сферические гармоники) спец. функции, возникающие, напр., при отыскании ограниченных решений ур ния Лапласа Du = 0 в сферич. координатах (r, q, j) методом разделения переменных. Введены в кон. 18 в. А. Лежандром и П. Лапласом. Полагая и = и(r,q …   Физическая энциклопедия

  • Юпитер — У этого термина существуют и другие значения, см. Юпитер (значения). Юпитер …   Википедия

  • Гипергеометрическая функция — (функция Гаусса) определяется внутри круга как сумма гипергеометрического ряда а при   как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого… …   Википедия

  • Legendre polynomial — Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Legendre polynomial vok. Legendresches Polynom, n rus. многочлен Лежандра, m; полином Лежандра, m pranc. polynôme de Legendre, m …   Fizikos terminų žodynas

dic.academic.ru

Многочлены Лежандра - это... Что такое Многочлены Лежандра?

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(УравнПолЛеж)

где  — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени можно представить через формулу Родрига в виде[1]

Часто вместо записывают косинус полярного угла:

Уравнение (УравнПолЛеж) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

(УравнЛеж)

где ,  — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при (в частности, при действительных ) или когда действительная часть числа больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или шаровыми функциями. Подстановка вида в (УравнЛеж) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области принимает вид

где F — гипергеометрическая функция. Подстановка в (УравнЛеж) приводит к решению вида

определённым на . Функции и называют функциями Лежандра первого и второго рода.[2]

Справедливы соотношения[3]

и

Формулы с

  • Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:
, если ;
, если .

Рекуррентная формула

Формулы с разложениями

  • Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:


для ± :


и для ± :

Следовательно,

Присоединённые многочлены Лежандра

  • Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При функция совпадает с .

Матрица функции многочлена Лежандра

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны , где .

Примеры

Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

Поскольку , то

Свойства

Что также можно записать как:

где  — символ Кронекера.

  • Для , норма равна:
  • Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой следующим соотношением:
  •  — четная функция;
  •  — нечетная функция.

Ряды многочленов Лежандра

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция является функцией со свойством:

, где .

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

  1. , где

Липшецевую функцию можно записать следующим образом:

Разложение голоморфной функции

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

Теорема сложения

Для величин, удовлетворяющих условиям , , , — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:[4]

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как[5]

при условиях , , ,

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах ) вида (с точностью до константы)

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра;

а точнее вида , где  — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в .

Примечания

  1. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1039
  2. Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 126—127
  3. Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 140
  4. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1027
  5. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1028

Литература

  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
  • Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
  • Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
  • Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.

dic.academic.ru

Присоединённые многочлены Лежандра - это... Что такое Присоединённые многочлены Лежандра?


Присоединённые многочлены Лежандра

Многочлены Лежандра — определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

часто записываемой в виде

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

которую также можно представить в виде

При m = 0 функция совпадает с Pn.

Примеры

Первые четыре многочлена Лежандра равны:

  1. P0(x) = 1
  2. P1(x) = x

Свойства

  • При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в L2( − 1,1).
  • В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра Pn,m(x)) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах r,θ,φ) вида

  и   ,

где  — присоединённые многочлены Лежандра. Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в (при n < 0 — всюду, кроме нуля) и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

  • В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Присоединённое представление лиевой алгебры
  • Присосконоги

Смотреть что такое "Присоединённые многочлены Лежандра" в других словарях:

  • Многочлены Лежандра — Многочлен Лежандра  многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов… …   Википедия

  • Многочлен Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

  • Полином Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

  • Полиномы Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

  • Функция Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

  • C++ Technical Report 1 — (TR1) является общим названием для стандарта ISO / IEC TR 19768, библиотеки расширений C++  это документ с предложением дополнений в стандарт библиотеки С++. Дополнения включают регулярные выражения, умные указатели, хэш таблицы, и… …   Википедия

  • Сферические функции — представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями …   Википедия

dic.academic.ru

Реферат Многочлены Лежандра

скачать

Реферат на тему:

План:

    Введение
  • 1 Определение
    • 1.1 Формула Родрига
    • 1.2 Формулы с Σ
    • 1.3 Рекуррентная формула
    • 1.4 Формулы с разложениями
    • 1.5 Присоединённые многочлены Лежандра
  • 2 Матрица функции многочлена Лежандра
  • 3 Примеры
  • 4 Свойства
  • 5 Ряды многочленов Лежандра
    • 5.1 Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра
    • 5.2 Разложение голоморфной функции
  • 6 Функции Лежандра
  • Литература

Введение

Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.


1. Определение

1.1. Формула Родрига

  • Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

часто записываемой в виде:

1.2. Формулы с Σ

  • Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:
, если ;
, если .

1.3. Рекуррентная формула

  • Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:

1.4. Формулы с разложениями

  • Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:


для ± :


и для ± :

Следовательно,


1.5. Присоединённые многочлены Лежандра

  • Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При m = 0 функция совпадает с Pn.

2. Матрица функции многочлена Лежандра

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны k(k + 1), где .


3. Примеры

Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

Поскольку Pn(1) = 1,


4. Свойства

  • Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения
Что также можно записать как:
  • Производящая функция для многочленов Лежандра равна:
  • Условие ортогональности этих полиномов на отрезке :

где δkl — символ Кронекера.

  • Для , норма Pn равна:
  • Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой Pn следующим соотношением:
  • При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в .
  • В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:
  •  — четная функция;
  •  — нечетная функция.

5. Ряды многочленов Лежандра

5.1. Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция f является функцией со свойством:

, где L > 0.

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

  1. , где

Липшецевую функцию f можно записать следующим образом:


5.2. Разложение голоморфной функции

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами -1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

6. Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах ) вида

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра.

Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в и служат ортогональным базисом для функций.


Литература

  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
  • Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
  • Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.

wreferat.baza-referat.ru

1.4. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма

Докажем что полиномам Лежандра различных порядков ортогональны на отрезке . Согласно общей теореме присоединенные функцииобразуют ортогональную систему. Вычислим нормуприсоединенных функций. Попутно будет доказана их ортогональность.

, (1)

, (2)

где ,.Домножим (1) на(x), а (2) на (x), а затем вычтем (1) из (2):

,

, (3)

Доказать ортогональность если . Если , то полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой:

. (4)

1.5. Норма полиномов Лежандра

Вычислим норму полиномов Лежандра

(5)

Применим рекуррентную формулу (11) (§1.1) дважды: сначала выразим из нее (предварительно заменив в (11) n+1 на n) черези, а затемчерези. Учитывая ортогональность полиномов,,, получим:

(6)

Рекуррентная формула для нормы:

(7)

Полиномы Лежандра образуют замкнутую систему функций. Поэтому произвольная функция может быть разложена в ряд

,

который домножим наи проинтегрируем:

.

Система ортогональных функций называют замкнутой если не существует непрерывных функции тождественно равных 0 и ортогональных ко всем функциям системы.

Система ортогональных функций называется полной в (a,b) если любую непрерывную функцию можно аппроксимировать с любой степенью точности при помощи линейной комбинации .

Замкнутость есть условие полноты, а полнота есть следствие замкнутости.

Упражнения

  1. Получить полиномы Лежандра, используя производящую функцию, для n=0,1,2.

  2. Получить полиномы Лежандра, используя формулу Родрига, для n=0,1,2,3,4,5.

  3. Получить полиномы Лежандра, используя рекуррентную формулу для коэффициентов, для n=0,1,2,3,4,5,6.

Ответ:

  1. Построить и исследовать (найти точки перегибов, максимумов и минимумов) полиномов Лежандра для n=0,1,2,3,4,5.

  2. Получить присоединенные функции Лежандра для n, m=0,1,2,3,4. Выразить данные функции через тригонометрические функции.

  3. Получить сферические функции для l=0,1,2.

  4. Показать, что сферические функции ортонормированны. Ограничиться l=0,1.

  5. Выполнить визуализацию сферических функций.

Ответ:

§2 Присоединенные функции Лежандра

2.1. Присоединенные функции

Рассмотрим следующую задачу:

Найдем собственные значения и собственные функции следующего уравнения

(1)

-1<x<1 при условии ограниченности

(2)

Будем искать решение в виде:

(3)

Подставим (3) в (1), найдем

,

,

. (4)

Это же уравнение получается для производной решения уравнения Лежандра (17) из §1, если продифференцироватьm раз.

, (4а)

,

Продифференцируем соотношение (4) n раз, тогда получим

,

,(5)

. (6)

Нетривиальное и ограниченное решение решении уравнения Лежандра существует при , гдеm>0. Решение Соотношение (6) является решением уравнения (3)

,

есть собственная функция исходной задачи (1) для собственных значений ,где m-целые числа (7). - присоединенная функция Лежандра

,

Если n=0, то

при .

2.2. Норма присоединенной функции

Согласно общей теоремы присоединенные функции образуют ортогональную систему. Вычислим норму и докажем ортогональность

(8)

Уменьшим n на 1:

(9)

, (10)

Введем обозначение:

Подстановка обращается в нуль, а интеграл в силу (8) и (7) преобразуется к виду

,

, (11)

, (12)

Нетрудно показать, что

,

.

studfiles.net

Многочлены Лежандра — Википедия

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке в пространстве . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода[править]

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(УравнПолЛеж)

где  — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени можно представить через формулу Родрига в виде[1]

Часто вместо записывают косинус полярного угла:

Уравнение (УравнПолЛеж) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

(УравнЛеж)

где ,  — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при (в частности, при действительных ) или когда действительная часть числа больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или шаровыми функциями. Подстановка вида в (УравнЛеж) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области принимает вид

где F — гипергеометрическая функция. Подстановка в (УравнЛеж) приводит к решению вида

определённым на . Функции и называют функциями Лежандра первого и второго рода.[2]

Справедливы соотношения[3]

и

Выражение через суммы[править]

  • Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:
, если ;
, если .

Рекуррентная формула[править]

(РекуррЛеж)
причем первые две функции имеют вид

Производная полинома Лежандра[править]

  • Вычисляется по формуле[5]:
(ПроизвЛеж)

Корни полинома Лежандра[править]

  • Вычисляются итеративно по методу Ньютона[5]:
,
причем, начальное приближение для i-го корня (i = 1, 2, …, n) берется по формуле[5]

Значение полинома можно вычислять используя рекуррентную формулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной.

Формулы с разложениями[править]

  • Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:


для ± :


и для ± :

Следовательно,

Присоединённые многочлены Лежандра[править]

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При функция совпадает с .

Нормировка по правилу Шмидта[править]

Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом[6]:

Сдвинутые многочлены Лежандра[править]

Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как , где сдвигающая функция (это аффинное преобразование) - выбрана так чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов на интервал в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены :

Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как:

Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является:

Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:

Матрица функции многочлена Лежандра[править]

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны , где .

Первые многочлены Лежандра равны:

Поскольку , то

При уравнение принимает вид

где  — символ Кронекера.

  • Для , норма равна:
  • Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой следующим соотношением:
  •  — четная функция;
  •  — нечетная функция.

Ряды многочленов Лежандра[править]

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра[править]

Липшицевая функция является функцией со свойством:

, где .

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

  1. , где

Липшецевую функцию можно записать следующим образом:

Разложение голоморфной функции[править]

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

Теорема сложения[править]

Для величин, удовлетворяющих условиям , , ,  — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:[7]

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как[8]

при условиях , , ,

Функции Лежандра[править]

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах ) вида (с точностью до константы)

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра;

а точнее вида , где  — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в .

  1. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1039
  2. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 126—127
  3. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 140
  4. ↑ Цимринг, 1988, с. 196
  5. 5,05,15,2 Цимринг, 1988, с. 197
  6. John W. Eaton, David Bateman, Søren Hauberg, Rik Wehbring. GNU Octave. — 2011. — С. 455-456.
  7. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1027
  8. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1028
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
  • Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
  • Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
  • Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.
  • Цимринг Ш.Е. Специальные функции и определенные интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1988.

wp.wiki-wiki.ru

Реферат Полином Лежандра

скачать

Реферат на тему:

План:

    Введение
  • 1 Определение
    • 1.1 Формула Родрига
    • 1.2 Формулы с Σ
    • 1.3 Рекуррентная формула
    • 1.4 Формулы с разложениями
    • 1.5 Присоединённые многочлены Лежандра
  • 2 Матрица функции многочлена Лежандра
  • 3 Примеры
  • 4 Свойства
  • 5 Ряды многочленов Лежандра
    • 5.1 Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра
    • 5.2 Разложение голоморфной функции
  • 6 Функции Лежандра
  • Литература

Введение

Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.


1. Определение

1.1. Формула Родрига

  • Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

часто записываемой в виде:

1.2. Формулы с Σ

  • Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:
, если ;
, если .

1.3. Рекуррентная формула

  • Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:

1.4. Формулы с разложениями

  • Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:


для ± :


и для ± :

Следовательно,


1.5. Присоединённые многочлены Лежандра

  • Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При m = 0 функция совпадает с Pn.

2. Матрица функции многочлена Лежандра

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны k(k + 1), где .


3. Примеры

Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

Поскольку Pn(1) = 1,


4. Свойства

  • Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения
Что также можно записать как:
  • Производящая функция для многочленов Лежандра равна:
  • Условие ортогональности этих полиномов на отрезке :

где δkl — символ Кронекера.

  • Для , норма Pn равна:
  • Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой Pn следующим соотношением:
  • При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в .
  • В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:
  •  — четная функция;
  •  — нечетная функция.

5. Ряды многочленов Лежандра

5.1. Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция f является функцией со свойством:

, где L > 0.

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

  1. , где

Липшецевую функцию f можно записать следующим образом:


5.2. Разложение голоморфной функции

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами -1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

6. Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах ) вида

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра.

Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в и служат ортогональным базисом для функций.


Литература

  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
  • Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
  • Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.

wreferat.baza-referat.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *