Полином лежандра это – Полином Лежандра — это… Что такое Полином Лежандра?

Полином Лежандра — это… Что такое Полином Лежандра?



Полином Лежандра

Многочлены Лежандра — определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

часто записываемой в виде

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

которую также можно представить в виде

При m = 0 функция совпадает с P_n.

Примеры

Первые четыре многочлена Лежандра равны:

1. P ₀(x) = 1
2. P₁(x) = x

Свойства

• При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в L₂( − 1,1).
• В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра P_n,m(x)) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах r,θ,φ) вида

  и   ,

где  — присоединённые многочлены Лежандра. Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в (при n < 0 — всюду, кроме нуля) и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

• В.С. Владимиров, В.В. Жаринов.
  Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5

Wikimedia Foundation. 2010.

• Полином Лагранжа
• Полином Чебышева

Смотреть что такое «Полином Лежандра» в других словарях:

• полином Лежандра — Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Legendre polynomial vok. Legendresches Polynom, n rus. многочлен Лежандра, m; полином Лежандра, m pranc. polynôme de Legendre, m …   Fizikos terminų žodynas

• присоединённый полином Лежандра — prijungtinis Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. associated Legendre polynomial vok. Legendresches zugeordnetes Polynom, n; zugeordnetes Legendresches Polynom, n rus. присоединённый многочлен Лежандра, m;… …   Fizikos terminų žodynas

• Многочлены Лежандра — Многочлен Лежандра  многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов… …   Википедия

• многочлен Лежандра — Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Legendre polynomial vok. Legendresches Polynom, n rus. многочлен Лежандра, m; полином Лежандра, m pranc. polynôme de Legendre, m …   Fizikos terminų žodynas

• присоединённый многочлен Лежандра — prijungtinis Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. associated Legendre polynomial vok. Legendresches zugeordnetes Polynom, n; zugeordnetes Legendresches Polynom, n rus. присоединённый многочлен Лежандра, m;… …   Fizikos terminų žodynas

• РАССЕЯНИЕ МИКРОЧАСТИЦ — процесс столкновения ч ц, в результате к рого меняются импульсы ч ц (у п р у г о е р а с с е я н и е) или наряду с изменением импульсов меняются также внутр. состояния ч ц (к в а з и у п р у г и е п р о ц е с с ы) либо образуются др. ч цы (н е у… …   Физическая энциклопедия

• СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — (сферические гармоники) спец. функции, возникающие, напр., при отыскании ограниченных решений ур ния Лапласа Du = 0 в сферич. координатах (r, q, j) методом разделения переменных. Введены в кон. 18 в. А. Лежандром и П. Лапласом. Полагая и = и(r,q …   Физическая энциклопедия

• Юпитер — У этого термина существуют и другие значения, см. Юпитер (значения). Юпитер …   Википедия

• Гипергеометрическая функция — (функция Гаусса) определяется внутри круга как сумма гипергеометрического ряда а при   как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого… …   Википедия

• Legendre polynomial

  — Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Legendre polynomial vok. Legendresches Polynom, n rus. многочлен Лежандра, m; полином Лежандра, m pranc. polynôme de Legendre, m …   Fizikos terminų žodynas

dic.academic.ru

Многочлены Лежандра — это… Что такое Многочлены Лежандра?

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(УравнПолЛеж)

где  — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра

. Полином Лежандра степени можно представить через формулу Родрига в виде^[1]

Часто вместо записывают косинус полярного угла:

Уравнение (УравнПолЛеж) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

(УравнЛеж)

где ,  — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при (в частности, при действительных ) или когда действительная часть числа больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или шаровыми функциями. Подстановка вида в (УравнЛеж) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области принимает вид

где F — гипергеометрическая функция. Подстановка в (УравнЛеж) приводит к решению вида

определённым на . Функции и называют функциями Лежандра первого

и второго рода.^[2]

Справедливы соотношения^[3]

и

Формулы с

• Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:

, если ;

, если .

Рекуррентная формула

Формулы с разложениями

• Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

для ± :

и для ± :

Следовательно,

Присоединённые многочлены Лежандра

• Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При функция совпадает с .

Матрица функции многочлена Лежандра

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны , где .

Примеры

Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

Поскольку , то

Свойства

Что также можно записать как:

где  — символ Кронекера.

• Для , норма равна:

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой следующим соотношением:

•  — четная функция;
•  — нечетная функция.

Ряды многочленов Лежандра

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция является функцией со свойством:

, где .

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

1. , где

Липшецевую функцию можно записать следующим образом:

Разложение голоморфной функции

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

Теорема сложения

Для величин, удовлетворяющих условиям , , , — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:^[4]

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как^[5]

при условиях , , ,

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах ) вида (с точностью до константы)

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра;

а точнее вида , где  — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в .

Примечания

1. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1039
2. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 126—127
3. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 140
4. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1027
5. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1028

Литература

• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
• Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
• Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.

dic.academic.ru

Присоединённые многочлены Лежандра — это… Что такое Присоединённые многочлены Лежандра?



Присоединённые многочлены Лежандра

Многочлены Лежандра — определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

часто записываемой в виде

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

которую также можно представить в виде

При m = 0 функция совпадает с P_n.

Примеры

Первые четыре многочлена Лежандра равны:

1. P₀(x) = 1
2. P₁(x) = x

Свойства

• При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в L₂( − 1,1).
• В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра P_n,m(x)) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах r,θ,φ) вида

  и   ,

где  — присоединённые многочлены Лежандра. Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в (при n < 0 — всюду, кроме нуля) и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

• В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5

Wikimedia Foundation. 2010.

• Присоединённое представление лиевой алгебры
• Присосконоги

Смотреть что такое «Присоединённые многочлены Лежандра» в других словарях:

• Многочлены Лежандра — Многочлен Лежандра  многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов… …   Википедия

• Многочлен Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

• Полином Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

• Полиномы Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

• Функция Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

• C++ Technical Report 1 — (TR1) является общим названием для стандарта ISO / IEC TR 19768, библиотеки расширений C++  это документ с предложением дополнений в стандарт библиотеки С++. Дополнения включают регулярные выражения, умные указатели, хэш таблицы, и… …   Википедия

• Сферические функции — представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями …   Википедия

dic.academic.ru

Реферат Многочлены Лежандра

скачать

Реферат на тему:

План:

Введение

• 1 Определение
  • 1.1 Формула Родрига
  • 1.2 Формулы с Σ
  • 1.3 Рекуррентная формула
  • 1.4 Формулы с разложениями
  • 1.5 Присоединённые многочлены Лежандра
• 2 Матрица функции многочлена Лежандра
• 3 Примеры
• 4 Свойства
• 5 Ряды многочленов Лежандра
  • 5.1 Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра
  • 5.2 Разложение голоморфной функции
• 6 Функции Лежандра
Литература

Введение

Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

1. Определение

1.1. Формула Родрига

• Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

часто записываемой в виде:

1.2. Формулы с Σ

• Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:

, если ;

, если .

1.3. Рекуррентная формула

• Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:

1.4. Формулы с разложениями

• Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

для ± :

и для ± :

Следовательно,

1.5. Присоединённые многочлены Лежандра

• Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При m = 0 функция совпадает с P_n.

2. Матрица функции многочлена Лежандра

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны k(k + 1), где .

3. Примеры

Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

Поскольку P_n(1) = 1,

4. Свойства

• Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

Что также можно записать как:

• Производящая функция для многочленов Лежандра равна:

• Условие ортогональности этих полиномов на отрезке :

где δ_kl — символ Кронекера.

• Для , норма P_n равна:

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой P_n следующим соотношением:

• При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в .
• В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

•  — четная функция;
•  — нечетная функция.

5. Ряды многочленов Лежандра

5.1. Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция f является функцией со свойством:

, где L > 0.

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

1. , где

Липшецевую функцию f можно записать следующим образом:

5.2. Разложение голоморфной функции

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами -1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

6. Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах ) вида

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра.

Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
• Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
• Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.

wreferat.baza-referat.ru

1.4. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма

Докажем что полиномам Лежандра различных порядков ортогональны на отрезке . Согласно общей теореме присоединенные функцииобразуют ортогональную систему. Вычислим нормуприсоединенных функций. Попутно будет доказана их ортогональность.

, (1)

, (2)

где ,.Домножим (1) на(x), а (2) на (x), а затем вычтем (1) из (2):

,

, (3)

Доказать ортогональность если . Если , то полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой:

. (4)

1.5. Норма полиномов Лежандра

Вычислим норму полиномов Лежандра

(5)

Применим рекуррентную формулу (11) (§1.1) дважды: сначала выразим из нее (предварительно заменив в (11) n+1 на n) черези, а затемчерези. Учитывая ортогональность полиномов,,, получим:

(6)

Рекуррентная формула для нормы:

(7)

Полиномы Лежандра образуют замкнутую систему функций. Поэтому произвольная функция может быть разложена в ряд

,

который домножим наи проинтегрируем:

.

Система ортогональных функций называют замкнутой если не существует непрерывных функции тождественно равных 0 и ортогональных ко всем функциям системы.

Система ортогональных функций называется полной в (a,b) если любую непрерывную функцию можно аппроксимировать с любой степенью точности при помощи линейной комбинации .

Замкнутость есть условие полноты, а полнота есть следствие замкнутости.

Упражнения

1. Получить полиномы Лежандра, используя производящую функцию, для n=0,1,2.

2. Получить полиномы Лежандра, используя формулу Родрига, для n=0,1,2,3,4,5.

3. Получить полиномы Лежандра, используя рекуррентную формулу для коэффициентов, для n=0,1,2,3,4,5,6.

Ответ:

4. Построить и исследовать (найти точки перегибов, максимумов и минимумов) полиномов Лежандра для n=0,1,2,3,4,5.

5. Получить присоединенные функции Лежандра для n, m=0,1,2,3,4. Выразить данные функции через тригонометрические функции.

6. Получить сферические функции для l=0,1,2.

7. Показать, что сферические функции ортонормированны. Ограничиться l=0,1.

8. Выполнить визуализацию сферических функций.

Ответ:

§2 Присоединенные функции Лежандра

2.1. Присоединенные функции

Рассмотрим следующую задачу:

Найдем собственные значения и собственные функции следующего уравнения

(1)

-1<x<1 при условии ограниченности

(2)

Будем искать решение в виде:

(3)

Подставим (3) в (1), найдем

,

,

. (4)

Это же уравнение получается для производной решения уравнения Лежандра (17) из §1, если продифференцироватьm раз.

, (4а)

,

Продифференцируем соотношение (4) n раз, тогда получим

,

,(5)

. (6)

Нетривиальное и ограниченное решение решении уравнения Лежандра существует при , гдеm>0. Решение Соотношение (6) является решением уравнения (3)

,

есть собственная функция исходной задачи (1) для собственных значений ,где m-целые числа (7). — присоединенная функция Лежандра

,

Если n=0, то

при .

2.2. Норма присоединенной функции

Согласно общей теоремы присоединенные функции образуют ортогональную систему. Вычислим норму и докажем ортогональность

(8)

Уменьшим n на 1:

(9)

, (10)

Введем обозначение:

Подстановка обращается в нуль, а интеграл в силу (8) и (7) преобразуется к виду

,

, (11)

, (12)

Нетрудно показать, что

,

.

studfiles.net

Многочлены Лежандра — Википедия

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке в пространстве . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода[править]

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(УравнПолЛеж)

где  — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени можно представить через формулу Родрига в виде^[1]

Часто вместо записывают косинус полярного угла:

Уравнение (УравнПолЛеж) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

(УравнЛеж)

где ,  — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при (в частности, при действительных ) или когда действительная часть числа больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или шаровыми функциями. Подстановка вида в (УравнЛеж) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области принимает вид

где F — гипергеометрическая функция. Подстановка в (УравнЛеж) приводит к решению вида

определённым на . Функции и называют функциями Лежандра первого и второго рода.^[2]

Справедливы соотношения^[3]

и

Выражение через суммы[править]

• Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:

, если ;

, если .

Рекуррентная формула[править]

(РекуррЛеж)

причем первые две функции имеют вид

Производная полинома Лежандра[править]

• Вычисляется по формуле^[5]:

(ПроизвЛеж)

Корни полинома Лежандра[править]

• Вычисляются итеративно по методу Ньютона^[5]:

,

причем, начальное приближение для i-го корня (i = 1, 2, …, n) берется по формуле^[5]

Значение полинома можно вычислять используя рекуррентную формулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной.

Формулы с разложениями[править]

• Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

для ± :

и для ± :

Следовательно,

Присоединённые многочлены Лежандра[править]

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При функция совпадает с .

Нормировка по правилу Шмидта[править]

Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом^[6]:

Сдвинутые многочлены Лежандра[править]

Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как , где сдвигающая функция (это аффинное преобразование) — выбрана так чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов на интервал в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены :

Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как:

Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является:

Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:

Матрица функции многочлена Лежандра[править]

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны , где .

Первые многочлены Лежандра равны:

Поскольку , то

При уравнение принимает вид

где  — символ Кронекера.

• Для , норма равна:

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой следующим соотношением:

•  — четная функция;
•  — нечетная функция.

Ряды многочленов Лежандра[править]

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра[править]

Липшицевая функция является функцией со свойством:

, где .

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

1. , где

Липшецевую функцию можно записать следующим образом:

Разложение голоморфной функции[править]

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

Теорема сложения[править]

Для величин, удовлетворяющих условиям , , ,  — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:^[7]

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как^[8]

при условиях , , ,

Функции Лежандра[править]

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах ) вида (с точностью до константы)

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра;

а точнее вида , где  — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в .

1. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1039
2. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 126—127
3. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 140
4. ↑ Цимринг, 1988, с. 196
5. ↑ ^5,05,15,2 Цимринг, 1988, с. 197
6. ↑ John W. Eaton, David Bateman, Søren Hauberg, Rik Wehbring. GNU Octave. — 2011. — С. 455-456.
7. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1027
8. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1028

• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
• Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
• Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.
• Цимринг Ш.Е. Специальные функции и определенные интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1988.

wp.wiki-wiki.ru

Реферат Полином Лежандра

скачать

Реферат на тему:

План:

Введение

• 1 Определение
  • 1.1 Формула Родрига
  • 1.2 Формулы с Σ
  • 1.3 Рекуррентная формула
  • 1.4 Формулы с разложениями
  • 1.5 Присоединённые многочлены Лежандра
• 2 Матрица функции многочлена Лежандра
• 3 Примеры
• 4 Свойства
• 5 Ряды многочленов Лежандра
  • 5.1 Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра
  • 5.2 Разложение голоморфной функции
• 6 Функции Лежандра
Литература

Введение

Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

1. Определение

1.1. Формула Родрига

• Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

часто записываемой в виде:

1.2. Формулы с Σ

• Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:

, если ;

, если .

1.3. Рекуррентная формула

• Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:

1.4. Формулы с разложениями

• Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

для ± :

и для ± :

Следовательно,

1.5. Присоединённые многочлены Лежандра

• Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При m = 0 функция совпадает с P_n.

2. Матрица функции многочлена Лежандра

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны k(k + 1), где .

3. Примеры

Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

Поскольку P_n(1) = 1,

4. Свойства

• Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

Что также можно записать как:

• Производящая функция для многочленов Лежандра равна:

• Условие ортогональности этих полиномов на отрезке :

где δ_kl — символ Кронекера.

• Для , норма P_n равна:

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой P_n следующим соотношением:

• При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в .
• В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

•  — четная функция;
•  — нечетная функция.

5. Ряды многочленов Лежандра

5.1. Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция f является функцией со свойством:

, где L > 0.

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

1. , где

Липшецевую функцию f можно записать следующим образом:

5.2. Разложение голоморфной функции

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами -1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

6. Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах ) вида

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра.

Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
• Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
• Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.

wreferat.baza-referat.ru