Рубрика: Школьная жизнь

Как найти область значения функции

Лекция 19. Функция. Область определения и множество значений функции.

Функция — одно из важнейших математических понятий.

Определение: Если каждому числу из некоторого множества x поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на этом множестве задана функция y(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y — зависимой переменной или значением функции или простофункцией.

Говорят также, что переменная y является функцией от переменной x.

Обозначив соответствие некоторой буквой, например f, удобно писать: y=f (x), то есть, значение y получается из аргумента x с помощью соответствия f. (Читают: y равно f от x.) Символом f (x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному x.

Пример 1 Пусть функция задается формулой y=2×2–6. Тогда можно записать, что f(x)=2×2–6. Найдем значения функции для значений х, равных, например, 1; 2,5;–3; т. е. найдем f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2•12–6=–4;
f(2,5)=2•2,52–6=6,5;
f(–3)=2•(–3)2–6= 12.

Заметим, что в записи вида y=f (x) вместо f употребляют и другие буквы: g, и т. п.

Определение: Область определения функции — это все значения x, при которых существует функция.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Другими словами, область определения функции, заданной формулой, является все значения аргумента, за исключением тех, которые приводят к действиям, которые мы не можем выполнить. На данный момент мы знаем только два таких действия. Мы не можем делить на нуль и не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Определение: Все значения, которые принимает зависимая переменная образуют область значения функции.

Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины l железного стержня от температуры нагревания t выражается формулой , где l₀ начальная длина стержня, а —коэффициент линейного расширения. Указанная формула имеет смысл при любых значениях t. Однако, областью определения функцииl=g(t) является промежуток в несколько десятков градусов, для которого справедлив закон линейного расширения.

Пример.

Укажите область значений функции y = arcsinx.

Решение.

Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1]. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Производная положительна для всех x из интервала (-1; 1), то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1, а наибольшее при x = 1.

Мы получили область значений функции арксинуса

Найдите множество значений функции

Решение.

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку [1; 4]:

Вычисляем значения исходной функции на концах отрезка и в точках

Следовательно, множеством значений функции на отрезке является интервал

Сейчас покажем, как находить множество значений непрерывной функции y = f(x) на открытых интервалах (a; b),

Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем односторонние пределы на концах интервала и (или) пределы на бесконечности (то есть, исследуем поведение функции на границах открытого интервала или на бесконечности). Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках.

studopedia.ru>

Область значений функции

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция[1][2][3].

Определение

Пусть на множестве X {\displaystyle X} з

zna4enie.ru

Область определения и область значения

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения

Основные данные о работе

Содержание

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения……………3

Список использованных интернет-ресурсов……………………………………………9

Основная часть

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения

1.Фукция и её свойства.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — это математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Так же можно сказать, что функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной однозначно определяет значение выражения, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, а также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем в 1692 год. В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному.

Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, которое дал Эйлер в 1751 год, затем — Лакруа в 1806 год — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским в 1834 году и Дирихле в 1837 году.

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Функция — это зависимость переменной у от переменной х, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х – это независимая переменная или аргумент.

Переменная у – это зависимая переменная.

Значение функции – это значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции – это все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- это все значения, которые принимает функция.

Функция является четной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(х)=f(-х)

Функция является нечетной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)=-f(х)

Возрастающая функция — если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)

Убывающая функция — если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)

2. Способы задания функции.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее часто употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(х), где f(х) – с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При данном способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами такого табличного задания функции являются: таблица квадратов и таблица кубов.

2. Виды функций и их свойства.

1) Постоянная функция- это функция, заданная формулой у=b, где b- это некоторое число.

Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат.

2) Прямая пропорциональность – это функция, заданная формулой у=kx, где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел;

2. y=kx — нечетная функция;

3. При k>0 функция возрастает, а при k

3)Линейная функция- это функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b- это действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b ; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+

zna4enie.ru

Функция. Область определения и область значений функции

Определение:

Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, называют функцией.

В определении сказано, что только та зависимость является функцией, у которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Рассмотрим первый график. Видим, что одному значению x может соответствовать несколько значений y. Значит, данная зависимость не является функцией.

Обратимся ко второму случаю. Какие бы значения аргумента мы не брали, каждому из них соответствует только одно значение функции. Можно сказать, что эта зависимость является функцией.

В общем виде любую функцию можно записать так:

Например:

Понятно, что функция может принимать различные значения в зависимости от значения аргумента. Найдём значение каждой функции при заданном значении аргумента.

Вы заметили, что в этом задании функции названы разными буквами. Действительно, функцию можно называть любой буквой латинского алфавита.

Ранее вами были изучены несколько важных функций. Вспомним их.

Сейчас попробуем выяснить, как же получается график функции, и дадим определение этому понятию.

Можно записать её в таком виде:

Это линейная функция, графиком как вы помните, является прямая. Для изображения прямой достаточно двух точек.

Получаем точки с координатами (1;3) и (-1;-11).

Проведём прямую через полученные точки.

Мы изобразили график функции.

Определение:

Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — значениям функции, называют графиком функции.

Все значения аргумента, т.е. переменной x образуют область определения функции, а все значения зависимой переменной, т.е. y, — область значений функции.

В данном случае x и y могут быть любыми числами, т.е. областью определения и областью значений является множество всех действительных чисел.

Потренируемся находить область определения и область значений функции по её графику.

Область определения можно находить не только по графику функции, но и по формуле, с помощью которой задана функция.

videouroki.net

Как найти область значений функции?

<a href=»/» rel=»nofollow» title=»10122400:##:http://www.ipo.spb.ru/internet-school/a/bashm/3-7.htm» target=»_blank» >[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a> Область определения — это значения «Х» (т. е. какие значения может принимать Х) А область значения — это «у» (т. е. какие «у» при этом получаются)

Прировнять функцию к нулю и посмотреть при каких значениях есть решения при каких нету.

насколько помню, область значений это те значения, которые может принимать игрек. ну например если у=корень из х, то игрек будет неотрицательным числом. так и искать

Множество всех тех значений, которые принимает сама функция, называется областью значений (изменения) этой функции. Если по графику — то это проекция графика на ось Оу

область значение — это у

touch.otvet.mail.ru

Как находить область определения функции ???

Область определения и область значений функции. Пусть нам дана функция y = f(x). Все значения независимой переменной (х) образуют область определения функции — D( f ). Все значения, которые принимает зависимая переменная (у) , образуют область значений функции – Е ( f ). При нахождении области определения функции надо обращать внимание на следующие моменты: 1. Пусть дана функция в виде многочлена у = Р (х) . (у = ах^n + bx^k + … + c). В этом случае при любом значении х данная функция всегда будет иметь определенное значение. Это значит, что D(f) = (-беск; +беск) 2. Пусть дана функция в виде дроби f(x)/q(x) . В этом случае g(x) не=0. 3. Пусть дана функция вида кор из f(x). В этом случае должно выполняться условие f(x) &gt;= 0. (Подкоренное выражение должно принимать неотрицательные значения) . 4. При нахождении области определения логарифмической функции у = log (осн g(x)) f(x) надо учитывать, что f(x)&gt;0, g(x) &gt; 0, f(x) не=1. А производная находится при другом исследовании функции.

Производная тут вообще не причём. Область определения зависит от значений, которые может принимать аргумент, что бы функция не потеряла смысл. Например для функции у=1/х область определения (-бесконечность, 0)(0,+бесконечность) то есть при х=0 функция не определена.

Нет, это все возможные значения у.

область определения — все возможные значения х. чтобы их найти, нужно найти все х, при которых функция будет иметь смысл, например все х, при которых знаменатель дроби не равен 0, подкоренное выражение неотрицательное и др.

touch.otvet.mail.ru

Упрощение выражений. 5-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (4,1 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний

Цели урока:

• Обучающие — повторить, обобщить и систематизировать знания по данной теме, совершенствовать умения и навыки учащихся упрощать выражения,
• Развивающие — способствовать развитию математического слуха, речи, счетных навыков и мышления; развивать познавательный интерес через использование межпредметных связей, культуру математической речи, логическое мышление;
• Воспитательные — побуждать учащихся к само и взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.

Задачи урока:

• Закрепить навыки умения упрощать выражения;
• Формировать развитие мышления, счетных навыков;
• Возбудить интерес учебными действиями к урокам математики

Основные средства обучения:

• компьютер, проектор, карточки в форме рыбок (приложение 1), тесты (приложение 2), оценочные листы (приложение 3), домашнее задание (приложение 4), презентация

Форма урока: урок-путешествие.

Ход урока

I. Организационный момент.

слайд 1. Здравствуйте, ребята! Садитесь! Сегодня у нас будет необычный урок. Мы с вами совершим путешествие на остров Математики. Каждый из вас поплывет на красивом фрегате. Я думаю, что вам можно доверить командовать кораблем!

Слайд 2

Моей задачей будет помочь капитанам(т.е. вам) не сбиваться с курса и благополучно преодолевать на пути все трудности и подводные течения, и с помощью ваших крепких знаний добраться до конечной цели нашего путешествия- до острова Математики. У каждого из вас имеется оценочный лист, в котором вы будете записывать полученные баллы. В конце урока подсчитаете их и оцените себя (кто приплыл, преодолев все препятствия, а кому пришлось остаться на каком-то острове, а кто-то утонул в морской пучине)

Слайд 3

Прежде, чем начать наше плавание, нужно к нему тщательно подготовиться. Скажите, пожалуйста, когда собирается какая-то группа людей вместе работать, что они должны выработать сначала? (правила, законы, планы). Какие правила общения будут на вашем корабле? (ответы учащихся). Мне бы очень хотелось, чтобы вы работали быстро, дружно, и тогда ваша флотилия успеет благополучно добраться до пункта назначения. Успехов вам!

II. Актуализация знаний.

Слайд 4. 1) Повторение теоретического материала. А какие законы будут на вашем корабле? Кто-то начал их писать, но не дописал. Давайте допишем. Но прежде, чем дописывать, хочу спросить у вас: если вы чего-то не знаете или хотите повторить, где будете искать информацию?(ответы учащихся). Поручаю :: найти лексическое значение некоторых слов толковом словаре Ожегова (упрощение, торф, перегной). С остальными повторение свойств сложения — работа со слайдом:

1. a+b = b+a — переместительное свойство сложения
2. a * b = b * a — переместительное свойство умножения
3. (a+b)+c = a+(b+c) — сочетательное свойство сложения
4. (a * b) * c = a * (b * c) — сочетательное свойство умножения
5. (a+b) * c=ac+bc распределительное свойство умножения относительно сложения
6. (a-b)c=ac-bc распределительное свойство умножения относительно вычитания

Слайд 5. У вас всего лишь несколько минут, чтобы определить направление путешествия.

Слайд 6. 2) Устный счет. Какие трудные примеры? Можно ли их вычислить устно?

Решение каждого примера комментируется (каким свойством вы воспользовались?)

1. 125 * 68 * 8 = 68000 — з
2. 192 * 135 — 92 *135 = (192 — 92)135= 13500 -а
3. 13 * 101 = (100+1)13=1313 — п
4. 199 * 7 = (200-1) 7 = 1393 — д

Едем на запад, а по какому маршруту?

Слайды 7-8. Посмотрим на схему маршрута? Опять проблема — все перепутано. Как нам исправить это? Выполнив следующее задание: (в 1 столбце — задания, во 2 — ответы, найти правильные ответы)

Баллы за устный счет получают:..

Вопрос. Какое слово получилось? — Упрощение - что означает это слово?

III. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

Слайд 9. «Упрощение выражений» - такова тема нашего урока — маршрут следования. Для того, чтобы проследить весь путь нам понадобятся судовые журналы (ваши тетради). Открыли, записали дату отплытия и маршрут. Cкажите, а вы знакомы с этой темой? Как вы думаете, зачем нам нужно упрощать выражения? А какова цель нашего путешествия? (учащиеся отвечают - повторить способы упрощения выражений, закрепить навыки решения уравнений и задач и т.д.)

IV. Подготовка к обобщенной деятельности. Математический диктант

Слайд 10. Перед нами первая преграда - риф Математического слуха. Чтобы обойти его, нужно выполнить задание — математический диктант. Я буду читать задание (на экране тоже высвечивается), вы будете записывать математическими знаками и упрощать. Два человека выйдут к доске (за доской).

Слайд11. Записать выражение и упростить:

1 Сумма 5х и 12х (5х+2х=17х)

2. Произведение 6с и 4 (6с*4=24с)

3 Произведение 8 и разности 3х и 5 (8(3х-5)= 24х — 40)

Записать уравнение и решить

4 Сумма 3у и 5у равна 8 (3у+5у=8; у=1)

5. 6к вдвое меньше, чем 24 (6k* 2 = 24; к=2)

Взаимопроверка. Поменялись тетрадями (у доски поменялись местами), взяли черные ручки и проверяем. (верно — 1балл, неверно -0 баллов). Записываем баллы в оценочный лист соседа. (5 баллов — наивысший). Кто получил высший балл? Молодцы.

V. Применение умений и навыков. Слайд 12.

1. Следующий остров — остров Математической модели.

Слайд 13. Вам предложено несколько математических моделей. Нужно объяснить, что они означают записанные равенства. На вашем корабле а — офицеров, в — матросов.

Что означают следующие равенства?

• а+в=28
• в=2а
• в-а=17
• :в=5

Дополнительные баллы получают::..

2. Рыбалка — Решение уравнений.

Слайд14. Продолжение путешествия под угрозой, закончилось продовольствие. Займемся рыбалкой. У каждого из вас на столе есть задание «Решить уравнение» в виде рыбок. (красная — 3б, желтая — 2б, зеленая — 1б). На решение уравнений - 5 минут. Каждый оценивает свои возможности и выбирает, какая рыбка ему по силам. Лучше получить 1 балл, чем 0 баллов. Если кто-то решает раньше времени, то может решить еще оставшиеся.

3человека, выбравшие разные рыбки, выходят к доске и решают на доске (за доской).

Самопроверка. Затем все проверяем решения (на слайде15)

• Красная 42х-28х-170=600 (х=55)
• Желтая 4m+5m+m=2350 (m=235)
• Зеленая 65y-31y=102 (y=3)

Задайте по одному вопросу ребятам у доски. За правильный ответ получают дополнительный балл.

VI. Физкультминутка.

Слайд 16. Мы попали в быстрое теплое течение. Рыбок поймали, теперь небольшой привал.

Слайд 17. Вы видите примеры с ответами на слайдах, если вы согласны, то поднимаете руки вверх, если нет — опускаете вниз.

• 55+20=75,
• 4 * 25=80,
• 100:25 = 4,
• 60 — 22 = 58

Слайд 18. Если вы согласны, то голову наклоняем вниз, если нет — назад

• 15+15 = 30,
• 12 * 6 = 62,
• 99+ 11=110,
• 28 : 7 = 9

VII. Воспроизведение знаний на новом уровне.

Перед вами пролив «Угадай-ка» — слайд 19

Слайд 20. Встает еще одна проблема. Чтобы проплыть пролив, нужно немного подумать. Угадайте корень уравнения:

• у + у + у = 15 * 3 (у = 15)
• 4(х+2)=4 * 5+4 * 2 (х = 5)

Чем вы воспользовались? Дополнительные баллы получают::.

VIII.  умений и знаний в жизненной(проблемной) ситуации

Приближаемся к самому загадочному острову Задач. — слайд 21

На этом острове плохая почва, практически нет растительности. Сельское хозяйство в упадке. Поможем жителям острова? Наверное, у всех есть комнатные растения. Если они начинают портится, то что предпринимают ваши родители? Вот и мы, чтобы помочь жителям острова, решим практическую задачу.

Слайд 22. Для приготовления смеси для рассады берут 1 часть торфа, 2 части перегноя и 5 частей земли. Сколько килограммов торфа, перегноя и земли надо взять для приготовления 72 кг смеси для рассады?

Составим план решения задачи. Обозначаем массу 1 части за х кг.

Слайд 23. Что нужно иметь, чтобы приготовить данную смесь? Торф, перегной и землю. Сколько частей торфа? 1 часть — ? кг, сколько перегноя — 2 части — ? кг, земли — 5 частей — ? кг. Всего 72кг.

Слайд 24. Как же решить такую задачу? Обозначаем массу 1 части за х кг.

Торфа — х кг, перегноя — 2х кг, земли — 5х кг. Всего (х+2х+5х)кг, что по условию задачи составляет 72 кг. Составим и решим уравнение: Х+2х+5х=72

К доске пойдет::.. решит уравнение и ответит на вопрос задачи (решает за доской). Первые 3 человека, решившие правильно задачу получают дополнительный балл.

Х+2х+5х=72,

9х=72,

х=8 кг — 1 часть — торф

Что нужно еще найти в задаче? Количество земли - 8 * 5 = 40 кг , количество перегноя — 2 * 8=16 кг

Для решения каких практических задач нужны знания сегодняшнего урока? Посмотрите, какую задачу решает кондитер (слайд 25), фармацевт (слайд 26), в химической промышленности(слайд 27), строители (слайд 28) и т.д.

Даю вам творческое задание на дом — спросить у родителей, применяют ли они такие задачи в быту, в профессиональной деятельности, составить их и оформить на листах А4.

IX. Контроль усвоения. Тестирование

И вот перед нами остров Знатоков. — слайд 29

У вас на столах лежат листочки с тестами. Подпишите их. Приступайте к решению. Время истекло. Проверяем (3 балла)

Слайд 30 Выберите верный ответ и обведите его

Вариант 1

1.Укажите верное равенство:

1) (x+4) * 3=x+12;

2) 6(m-10)=6m+60;

3) (2-a) * 8=16-a;

4) 4(k+12)=4k+48

2. Упростить выражение 13 * z * 6

1) 18z

2) 78z,

3) 78,

4) 68

3. Упростить выражение 15х + 12+ 6х:

1) 33х,

2) 15х+ 18,

3) 21х+12,

4) 33

Итог: 423 — шелчок

Вариант 2

1.Укажите верное равенство:

1) (m+7) * 2=m+14;

2) 11(x-10)=11x-110;

3) (15+y) * 3=45+y;

4) 5(12-c)=60+5c

2. Упростить выражение 11 * у * 7

1) 17у

2) 77

3) 77у

4) 117у

3. Упростить выражение 14х- 5+8х:

1) 17х,

2) 22х+5,

3) 27х,

4) 22х-5

Итог: 234 — шелчок

X. Итог урока — слайд31

Мы — у цели. Наш фрегат приближается к острову Математика. Наше путешествие заканчивается. Возвращаемся домой. Подведём итоги нашего путешествия: слайд 32

1. Знания, каких законов математики помогло вам справиться с заданиями?

2. В каких прикладных задачах их можно применять?

Так кто же добрался до острова?

Посчитайте баллы в листочках.- у кого 10-12 и более баллов — настоящие капитаны (подняли руки), 7-9 баллов — остались на островах, меньше 7 баллов - жаль, но ваш корабль пошел ко дну. Ну и наконец, оценили себя — слайд 33

баллы	оценка
12 и более	5
10-11	4
7-9	3
Менее 7	2

Домашнее задание. — слайд 34

Сейчас бросим якорь и получим домашнее задание. У вас на столе имеются карточки с заданиями (задания карточек по уровням сложности ). Решив верно задания, разукрасим лесовика. А также вы получили творческие задания — составить практическую задачу на части.

Остров математики таит в себе немало чудес. «Ум заключается не только в знаниях, но и в умении применять знания на деле» — Аристотель. Помните об этом и тогда никакие подводные рифы вам не будут страшны. Урок закончен. Сдали тетради и листы.

Рефлексия. У вас на столе есть геометрические фигуры. Если вам урок очень понравился, то положите в сундучок круг, если не очень — квадрат, если вам было неуютно - треугольник.

 План проведения урока

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

6.06.2012

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Урок математики в 5-м классе «Упрощение выражений»

Разделы: Математика

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: формировать у учащихся умение упрощать буквенные выражения на основе распределительного свойства умножения, ввести понятия подобных членов, числового множителя; способствовать формированию детского коллектива, воспитывать самостоятельность, развивать у учащихся интерес к предмету, знакомить учащихся с историей развития математики.

Задачи урока
Образовательные: обеспечить в ходе урока умение применять распределительное свойство умножения для упрощения буквенных выражений, ввести понятие подобных членов, числового множителя – коэффициента; формировать умение применять распределительное свойство умножения при решении уравнений; продолжить формирование общих учебных умений и навыков: навыки планирования ответа, навыки самоконтроля.
Воспитательные: воспитывать у учащихся интерес к предмету, умение работать в парах, умение слушать товарища, отстаивать свою точку зрения, самостоятельность, навыки самоконтроля.
Развивающие: развивать восприятие, логическое и математическое мышление, умение связывать изученный материал с новым, анализировать, выделять главное; знакомить учащихся с историей развития математики.

Метод обучения: беседа, самостоятельная работа

Оборудование: иллюстрация, плакат с готовым решением 1 и 2 задания IV этапа, плакат с заданием 2 VI этапа, портрет Франсуа Виета, тесты.

Ход урока

I этап. Организация начала урока.
Цель этапа: подготовка к работе на уроке.
Содержание деятельности: приветствие, определение отсутствующих; проверка готовности учащихся к уроку; готовность наглядных пособий, доски, мела и т.д.
Раскрытие общей цели урока.
II этап. Актуализация знаний учащихся
Цель этапа: подготовить учащихся к изучению нового материала

Содержание деятельности
1) Вычислите:

2) Вычислите, применяя законы арифметических действий:
 а) 372 + 2444 + 1628;
 б) 156 + 1037 + 2063 + 844;
 в) 125 . 53 . 8;
 г) 52 . 138 + 48 . 138;
 д) 67 . 149 + 149 . 33;
 е) 150 . 97 – 57 . 150.

3) Решите уравнение: а) х – 2041 = 3059; б) 289 + у = 301; в) z . 93 = 186; г) 100 : a = 25.
4) Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения и относительно вычитания.

III этап. Изучение нового материала
Цель этапа: объяснить понятие «упрощение выражения», ввести понятие подобных членов, числового множителя.
Содержание деятельности
1) Задача.
На столе стоят три вазы с гвоздиками. В первой вазе х гвоздик, во второй – в 2 раза больше, а в третьей – в 3 раза больше, чем в первой. Сколько гвоздик во второй и третьей вазах?
1 ваза – х;
2 ваза – 2 . х
3 ваза – 3 . х
Всего во второй и третьей вазах — 2 . х + 3 . х
Преобразуем выражение, применяя распределительное свойство умножения
2 . х + 3 . х = х . ( 2 + 3) = х . 5 = 5х
Итак, распределительное свойство умножения позволяет упрощать буквенные выражения
3а + 7а = а(3 + 7) = 10а
27у – 12у = у(27 – 12) = 15у
49х + х = х(49 + 1) = 50х
63b – b = b(63 – 1) = 62b
Таким образом, данные выражения мы записали в более простом виде, или, как говорят математики, упростили. Такие преобразования, в результате которых получаются более простые выражения называют упрощением выражений.
2) Рассмотрим выражение 3у. Это произведение числа 3 и буквы у. Говорят, что число 3 – числовой множитель, а буква у – буквенный множитель. Числовой множитель обычно в таких выражениях называют коэффициентом.
Упрощая выражения, мы складывали коэффициенты, а буквенный множитель мы оставляли без изменения. Обычно промежуточные записи не делают, а просто пишут 8у – 3у = 5у; 17х + х = 18х.
3) Мы рассмотрели буквенные выражения, у которых одинаковая буквенная часть. Такие выражения называют подобными.
А выражение 27х + 7у упростить нельзя, потому что у них буквенная часть разная.
4) Отметим, что распределительный закон умножения верен не только для двух, а для любого числа слагаемых.
Далее учащимся предлагается Рисунок,

на которой множитель за скобкой сравнивается с предупредительным официантом, который обслуживает всех клиентов в ограниченном скобками зале.
5) Примеры.
Упростить выражение:
а) 2(а + 6) + 3(а + 2) = 2а + 12 + 3а + 6 = 5а + 18
б) 3(а + 2b + 4) + 7(2a + 4b +1) = 3a + 6b + 12 + 14a + 28b + 7 = 17a + 34b + 19

IV этап. Первичная проверка понимания новых знаний и способов деятельности.
Цель этапа: установление обратной связи между учителем и учениками по вопросам содержания нового учебного материала.

Содержание деятельности
1. Упростите следующие выражения. Назовите в полученных выражениях числовой и буквенный множитель. Как называются эти слагаемые?
27х + 29х
12у + 78у
103а – 87а
12b – b
13z + 2z + z – 5z

2. Упростите выражения
2а + 1 + а + 11
7b – 5b + 13 + 2b + 10
13у – у + х + 2х

3. Какое свойство мы использовали при упрощении данных выражений? Почему нельзя упростить выражение 17у – 13а? 2у + 1?

V этап. Закрепление полученных знаний и способов деятельности.

Цель этапа: сформировать у учащихся на основе знаний умение упрощать выражения по «образцу»
Содержание деятельности
1. Упростить выражение:
а) 23а + 37а; д) 27р – 27р; и) 3а + 17 + 3а + 14;
б) 4у + 26у; е) 84b – 80b; к) к + 35 + 4к + 26.
в) 48х + х; ж) 32q – q;
г) у + 56у; з) 1000к – к;

 Учащимся дается время для самостоятельного решения для самостоятельного решения этого задания, а затем по готовым ответам проверяют свое решение.

VI этап. Применение знаний и способов деятельности.
Цель этапа: освоение способов деятельности в изменённых условиях
Содержание деятельности
1. Решите уравнение:
а) 4х + 4х = 424;
б) 10к – к = 702;
в) 3х + 7х + 18 = 178;
г) 6у – 2у + 25 = 65.

2. Далее учащимся предлагается самостоятельно решить уравнения и расшифровать слово:

1. 15у – 8у = 714;
2. 9z + z = 900;
3. 4к + 5к + к = 1260;
4. 7z + 6z – 13 = 130.

Учащимся показывают портрет Ф. Виета.
Франсуа Виет – французский математик. Одним из первых стал числа обозначать буквами.
3. Составьте выражение по условию задачи и упростите получившееся выражение:
1) На книжной полке стояли книги. Из них а книг – сказки, а приключенческих повестей в 5 раз больше. Сколько всего книг на книжной полке?
2) В ящике было у кг яблок, а в мешке в 4 раза больше. На сколько яблок в ящике меньше, чем в мешке?
3) Ниф – Ниф, Нуф – Нуф и Наф — Наф собирали желуди. Ниф – Ниф собрал х желудей, Нуф – Нуф в 3 раза больше,а Наф — Наф в 5 раз больше, чем Ниф – Ниф. Сколько всего желудей собрали три поросенка?
4. Чему равны стороны треугольника АВС, если сторона АС в 3 раза больше стороны АВ, а сторона ВС на 4 см меньше АС, а его периметр равен 24 см?

VII этап. Контроль и самоконтроль знаний и способов деятельности.
Цель этапа: получение информации для сравнения достигнутых результатов учебного занятия с первоначально запланированными задачами.

Содержание деятельности: учащимся предлагается тест на 5минут
1. Упростите выражение: 34х – х + 5х
а) 39х; б) 38х; в) 37х

 2. В одном мешке было х кг картофеля, а во втором в 2 раза больше. Сколько
килограммов картофеля было в двух мешках?
а) х; б) 2х; в) 3х; г) 4х.

 3. Вася решил у задач, а Миша – на 4 задачи больше. Сколько задач решили Миша и
Вася всего?
а) 4у; б) 6у; в) 2у + 4; г) у + 4.

 4. Упростите выражение:
4b + 15 + 3b -10 + b
a) 8b + 5; б) 7b + 5; в) 13b; г) 13

 5. Даны два выражения:
9(856 + 342) и 9 .856 + 8 . 856. Какое из выражений больше?
а) равны; б) первое; в) второе.

Далее учащимся предлагается обменяться тетрадями и проверить тесты по готовым ответам на доске. Учащиеся выставляют друг другу оценки.
Ответы.

VII этап. Подведение итогов урока.
VIII этап. Домашнее задание: учащимся раздаются карточки с домашним заданием

1.05.2009

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Упрощение выражений 5 класс

Решение задач по математике 5 класс

Разбор задач на упрощение выражений на примерах

Задача

На полу стоят три корзины с грибами. В первой корзине x грибов, во второй — в 4 раза больше, а в третьей — в 8 раза больше, чем в первой. Сколько грибов во второй и третьей корзинах?

Решение:

в первой корзине — x;

во второй корзине — 4⋅x;

в третьей корзине — 8⋅x.

Всего во второй и третьей корзинах — 4⋅x+8⋅x грибов.

Нужно преобразовать полученное выражение, применив распределительное свойство умножения:

4⋅x+8⋅x=x⋅(4+8)=x⋅12=12⋅x=12x,

Другие примеры:

16a+18a=a(16+18)=34a,

12b –4b=b(12 –4)=8b.

Данные выражения мы записали в более простом виде, или, говоря языком математики, упростили.

Таким образом, чтобы решить задачу для простых вычислений задач для пятого класса, необходимо составить уравнение с одной переменной, после чего методом упрощения вычислить значения этой переменной. Подобные составления уравнений развивают мышление и переводит решение задачи в математическое русло, учит юных пятиклассников обращаться с переменными и уравнениями.

Основной метод решения подобных уравнений – это сложение коэффициентов перед неизвестным x. После сложения коэффициентов получается простое уравнение, после чего найти искомое значение x не составляет никакого труда.

Иногда, вместо того, чтобы сложить нужно вычесть. Вычесть – это такая же операция, как и сложить, с тем отличием, что число будет с отрицательным знаком.

Чтобы проверить себя и своё решение, вы можете воспользоваться онлайн калькулятором. Он быстро даст искомый ответ, который Вы можете сравнить со своим решением.

Также читайте нашу статью «Решить систему уравнений методом сложения онлайн решателем»

Бесплатный онлайн калькулятор

Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Урок по теме «Упрощение выражений», 5 класс

Урок математики в 5-ом классе по теме «Упрощение выражений»

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока: организация деятельности учащихся по изучению нового материала; формирование у учащихся умения упрощать буквенные выражение с применением распределительного свойства умножения; знакомство с понятиями подобных, членов и числового множителя; формирование активной личности; воспитание самостоятельности; развитие у учащихся интереса к предмету.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Устный счет.

3. Математический диктант с самопроверкой.

За правильные ответы ставим +, неправильные –

7+ — оценка «5»

5-6+ — оценка «4»

3-4+ — оценка «3»

1. Изучение нового материала

Распределительное и сочетательное свойства умножения помогают нам решать не только примеры на вычисления, но и различные задачи. Тема нашего урока «Упрощение выражений» при её изучении пригодятся полученные ранее знания и навыки.

Наша цель: научиться упрощать выражения и познакомиться с понятиями «подобные члены» и «коэффициент».

Рассмотри задачу:

На столе лежат три коробки с карандашами. В первой х карандашей. Во второй – в 2 раза больше, а в третьей в 5 раз больше, чем в первой. Сколько карандашей во второй и третьей коробках.

Всего во второй и третьей 2х+5х.

Попробуем преобразовать его, применяя распределительное свойство умножения

2х+3х=(2+3)*х=5х

Из каких множителей состоит это выражение? (5 и х)

5 – числовой множитель

Х – буквенный множитель

Таким образом, распределительное свойство умножения позволяет упрощать буквенные выражения.

3а+7а=а*(3+7)=10а

27y -12y=(27-12)y=15y

49х+х=(49+1)х=50х

63в-в=(63-1)в=62в

Числовые множители о произведении называют коэффициентом.

Упрощая выражения, мы складываем или вычитаем коэффициенты, а буквенный множитель оставляем без изменения. Возможна и такая запись:

7у-2у=5у; 13х+х=14х

Чем отличаются выражения?

12х; 17х; 2у; х; 5у; 8а (Буквенными множителями)

Выражения, у которых одинаковая буквенная часть, называются подобными.

Выражения 13а+18в упростить нельзя, т.к. у произведений разная буквенная часть.

Задание: Упростить выражения и подчеркнуть коэффициент.

1. а) 17х+3х; б) 16а-5а;

2. а) 6х-6х; б) 17в-в;

3. а) 54y-31у; б) 27х+13х+х;

4. а)17у-13а б) 23х-23у;

5. а)2а+1+а+11; б) 7в-5в+13+2в+10

6. а)13у-у+2х+х

Какое свойство мы используем при упрощении данных выражений? Почему нельзя упростить выражения в четвертом задании? Чем отличаются пятое и шестое задание?

1. Закрепление полученных знаний.

1.Упростить выражения и указать коэффициенты:

1)27а-6а;

2)57с-14с;

3)100с+45с-2с;

4)96в+3в;

5)72х-14х;

6)124n-20n+6n;

7)38у-у-у;

8)2к+к+к.

Ответы:

1. 18а;

2. 71с;

3. 143с;

4. 99в;

5. 58х;

6. 110n;

7. 36у;

8. 4к.

Учащимся дается время для самостоятельного решения этого задания, а потом проверяем свое решение по готовым ответам.

2. Решить уравнение и расшифровать слово:

1. 23у-16у=714

2. 5х-х=400

3. 3а+4а+3а=230

4. 5у+8у-13=130

Учащимся показывается портрет Ф. Виета.

Франсуа Виет – французский математик. Одним из первых стал числа обозначать буквами.

1. Контроль и взаимоконтроль знаний.

Учащимся предлагается тест на 5 минут, затем они обмениваются тетрадями и проверяют тесты по готовым ответам. Учащиеся выставляют друг другу оценки.

Тест

1.Упростите выражение: 34х-5х+х

А)37х; Б)30х; В)29х.

2. В одной вазе было х цветов, в другой в 2 раза больше. Сколько цветов в двух вазах?

А)х; Б)2х; в)3х; Г)4х.

3.Аня решила х уравнений, а Диана — на 4 уравнения больше. Сколько уравнений решили подружки.

А)4х; Б)6х; в)2х+4; Г)х+4.

4. Упростите выражение: 4а+10+3а-5+а

А)8а+5; Б)7а+5; в)13а; г)13.

5. Даны два выражения: 9*(856+342) и 9*856+8*342.

Какое из выражений больше?

А)равны; Б)первое; в)второе.

Ответы:

1. Подведение итогов урока.

2. Домашнее задание:

1. Подготовить сообщение о Ф.Виете.

2. №612, №613, №624

multiurok.ru

Урок математики по теме:»Упрощение выражений»,5 класс

Тема: «Упрощение выражений»

5 класс, учебник Виленкина Н.Я.

Цели: развивать умение упрощать выражения, учить решать уравнения, в которых требуется найти два неизвестных числа, учить решать задачи способом составления уравнения, в  которых требуется найти два неизвестных числа.

Оборудование: учебники, тетради, компьютер, презентация, дидактические материалы, раздаточный материал.

Ход урока

I. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Сегодня у нас на уроке присутствуют гости.

Вы не бойтесь, повернитесь,

Им легонько улыбнитесь

И тихонечко садитесь.

Я хочу начать сегодня наш урок словами великого русского писателя Л.Н.Толстого «Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилием свой мысли…». Итак, «включаем» свои мысли и начинаем урок.

II. Устный счет

Внимание на экран.

Упростите выражение – упрощаете выражение и называете какое свойство вы для этого применяете.

1)

Распределительно свойство умножение относительно сложения и вычитания

14х+6х

2)

3)

4)

5)

6)

6й пример вызовет затруднение у учащихся.

III. Формулировка темы и цели урока.

Итак, пять выражений вы упростили, а с 6ым не справились (если кто-то сразу догадался – похвалить и сказать, что большинство не справились).

Почему вы не смогли упростить последнее выражение (новое, мы такое не упрощали), вы хотите справиться с этим заданием (да). Тогда попытайтесь сформулировать тему нашего урока(тема – упрощение выражений) , а цель нашего урока.

Цели: 1) научиться упрощать новые выражения; 2) применять упрощении выражений при решении уравнений и задач, решаемых с помощью уравнений.

IV. Объяснение нового материала.

Откройте тетради и запишите число и тему урока (тема на доске). Обратимся к примеру, который у вас вызвал затруднение. Запишите его в тетрадь.

4t+2t+3 (учитель записывает на доске)

Прочитайте выражение (сумма выражений 4t, 2t и числа 3), назовите слагаемые этой суммы (4t, 2t, 3).

Какие из них  можно объединить по какому-то признаку? (4t и 2t, т.к. у них одинаковая буква). Совершенно верно! Эти слагаемые содержат одинаковую букву, поэтому их называют подобными. Для удобства упрощения подобные слагаемые можно подчеркнуть.

4t+2t+3=6t+3

Что можно сделать с подчеркнутыми слагаемыми (применить распеделительное свойство умножения относительно сложения), можно еще что-нибудь сделать с этим выражением? (нет). Объясните, какую ошибку можно допустить.

V. Закрепление.

А теперь вы сами упростите следующие выражения: (задания на доске 2 ученика закрытые)

1) 9a-5a+17=4a+17

2) 5x+10+7x+3=12x+13

А теперь, ребята, выясним как вы подружились с подобными слагаемыми.

VI. Графический диктант.

Да ^ Нет —

1. x+3x+5x=9x
2. 10y+2y+3=12y+3
3. 5a+6a+7=18a
4. 6b-4b+5=10b+5
5. 3c+2+6c+5=9c+7

^^—^

Обменяйтесь тетрадями и проверьте ответы соседа, пользуясь готовыми ответами.

Кто выполнил задание без ошибок? Поднимите руку.

А кто допустил 1 ошибку? Поставьте себе оценку по количеству «+».

VII. Закрепление материала.

 Где мы можем применять упрощение выражений? (при решении уравнений)

Решаем №574 (а, б*)

а) 3х+7х+18=178

Вызвать по желанию одного ученика. Какое это уравнение? (сложное)

Что неизвестно? (?)

Что можно сделать с левой частью? (упростить)

10х+18=178

10х=178-18

10х=160

х=160:10

х=16

Ответ:16

Учитель ходит по классу и смотрит за выполнением.

б)*  Если кто-то успел решить два уравнения, отметить это. (оценку)

б) 6y-2y+25=65

      4y+25=65

      4y=65-25

      4y=40

      y=40:4

      y=10

Ответ: 10

Молодцы, ребята! А теперь давайте применим знания на практике: решим задачу.

Внимание на экран. Читаем условия задачи. О чем говорится в задаче? (о домах на улице). Что сказано о домах,  расположенных на левой стороне улицы (на правой)? Что еще известно? (построили 12) Сколько всего домов? (99). Прочитайте вопрос (два неизвестных числа).

Повесить памятку.

Запомни!

Обозначай за х то, что требуется найти.

Если в задаче несколько неизвестных, обозначай за х то, что меньше.

Что следует обозначать за х в этой задаче? Почему? Давайте решим задачу. Пишем:

Левая                         х домов

Правая                       2х домов

Построили                 12 домов

Стало                         (х+2х+12) домов

                                   99 домов

Составим и решим уравнение.

х+2х+12=99

Закончите решение задачи самостоятельно.

3х+12=99

3х=99-12

3х=87

х=29

Значит, 29 домов было на левой стороне улицы, а на правой 1) 29*2=58 (домов).

Ответ: 29 домов, 58 домов.

Проверить решение на слайде (дети самостоятельно)

Кто верно решил задачу?

VII. Рефлексия.

А теперь ребята давайте подведем итоги нашего урока.

Попробуйте закончить фразы:

Сегодня на уроке я научился… (упрощать новые выражения, содержащие подобные слагаемые, решать уравнения, в которых нужно упростить выражения)

Теперь я могу

Мне было трудно

Мне было интересно

Мне захотелось… (придумать задачу или пример)

VIII. Домашнее задание.

А теперь запишите домашнее задание: №573, 574 (в,г), придумать задачу по данной теме и оформить с рисунками на листе А4, решение приложить на отдельном листе. 

Просмотр содержимого документа
«Урок математики по теме:»Упрощение выражений»,5 класс »

Тема: «Упрощение выражений»

5 класс, учебник Виленкина Н.Я.

Цели: развивать умение упрощать выражения, учить решать уравнения, в которых требуется найти два неизвестных числа, учить решать задачи способом составления уравнения, в которых требуется найти два неизвестных числа.

Оборудование: учебники, тетради, компьютер, презентация, дидактические материалы, раздаточный материал.

Ход урока

I. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Сегодня у нас на уроке присутствуют гости.

Вы не бойтесь, повернитесь,

Им легонько улыбнитесь

И тихонечко садитесь.

Я хочу начать сегодня наш урок словами великого русского писателя Л.Н.Толстого «Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилием свой мысли…». Итак, «включаем» свои мысли и начинаем урок.

II. Устный счет

Внимание на экран.

Упростите выражение – упрощаете выражение и называете какое свойство вы для этого применяете.

1. 1

   Распределительно свойство умножение относительно сложения и вычитания

   4х+6х

2. m+12m

3. 10y-2y

4. 13n-n

5. 8b+3b-2b

6. 4t+2t+3

6й пример вызовет затруднение у учащихся.

III. Формулировка темы и цели урока.

Итак, пять выражений вы упростили, а с 6ым не справились (если кто-то сразу догадался – похвалить и сказать, что большинство не справились).

Почему вы не смогли упростить последнее выражение (новое, мы такое не упрощали), вы хотите справиться с этим заданием (да). Тогда попытайтесь сформулировать тему нашего урока(тема – упрощение выражений) , а цель нашего урока.

Цели: 1) научиться упрощать новые выражения; 2) применять упрощении выражений при решении уравнений и задач, решаемых с помощью уравнений.

IV. Объяснение нового материала.

Откройте тетради и запишите число и тему урока (тема на доске). Обратимся к примеру, который у вас вызвал затруднение. Запишите его в тетрадь.

4t+2t+3 (учитель записывает на доске)

Прочитайте выражение (сумма выражений 4t, 2t и числа 3), назовите слагаемые этой суммы (4t, 2t, 3).

Какие из них можно объединить по какому-то признаку? (4t и 2t, т.к. у них одинаковая буква). Совершенно верно! Эти слагаемые содержат одинаковую букву, поэтому их называют подобными. Для удобства упрощения подобные слагаемые можно подчеркнуть.

4t+2t+3=6t+3

Что можно сделать с подчеркнутыми слагаемыми (применить распеделительное свойство умножения относительно сложения), можно еще что-нибудь сделать с этим выражением? (нет). Объясните, какую ошибку можно допустить.

V. Закрепление.

А теперь вы сами упростите следующие выражения: (задания на доске 2 ученика закрытые)

1) 9a—5a+17=4a+17

2) 5x+10+7x+3=12x+13

А теперь, ребята, выясним как вы подружились с подобными слагаемыми.

VI. Графический диктант.

Да ^ Нет —

1. x+3x+5x=9x

2. 10y+2y+3=12y+3

3. 5a+6a+7=18a

4. 6b-4b+5=10b+5

5. 3c+2+6c+5=9c+7

^^—^

Обменяйтесь тетрадями и проверьте ответы соседа, пользуясь готовыми ответами.

Кто выполнил задание без ошибок? Поднимите руку.

А кто допустил 1 ошибку? Поставьте себе оценку по количеству «+».

VII. Закрепление материала.

Где мы можем применять упрощение выражений? (при решении уравнений)

Решаем №574 (а, б*)

а) 3х+7х+18=178

Вызвать по желанию одного ученика. Какое это уравнение? (сложное)

Что неизвестно? (?)

Что можно сделать с левой частью? (упростить)

10х+18=178

10х=178-18

10х=160

х=160:10

х=16

Ответ:16

Учитель ходит по классу и смотрит за выполнением.

б)* Если кто-то успел решить два уравнения, отметить это. (оценку)

б) 6y-2y+25=65

4y+25=65

4y=65-25

4y=40

y=40:4

y=10

Ответ: 10

Молодцы, ребята! А теперь давайте применим знания на практике: решим задачу.

Внимание на экран. Читаем условия задачи. О чем говорится в задаче? (о домах на улице). Что сказано о домах, расположенных на левой стороне улицы (на правой)? Что еще известно? (построили 12) Сколько всего домов? (99). Прочитайте вопрос (два неизвестных числа).

Повесить памятку.

Запомни!

Обозначай за х то, что требуется найти.

Если в задаче несколько неизвестных, обозначай за х то, что меньше.

Что следует обозначать за х в этой задаче? Почему? Давайте решим задачу. Пишем:

Левая х домов

Правая 2х домов

Построили 12 домов

Стало (х+2х+12) домов

99 домов

Составим и решим уравнение.

х+2х+12=99

Закончите решение задачи самостоятельно.

3х+12=99

3х=99-12

3х=87

х=29

Значит, 29 домов было на левой стороне улицы, а на правой 1) 29*2=58 (домов).

Ответ: 29 домов, 58 домов.

Проверить решение на слайде (дети самостоятельно)

Кто верно решил задачу?

VII. Рефлексия.

А теперь ребята давайте подведем итоги нашего урока.

Попробуйте закончить фразы:

Сегодня на уроке я научился… (упрощать новые выражения, содержащие подобные слагаемые, решать уравнения, в которых нужно упростить выражения)

Теперь я могу

Мне было трудно

Мне было интересно

Мне захотелось… (придумать задачу или пример)

VIII. Домашнее задание.

А теперь запишите домашнее задание: №573, 574 (в,г), придумать задачу по данной теме и оформить с рисунками на листе А4, решение приложить на отдельном листе.

kopilkaurokov.ru

Упрощение выражений

На этом уроке мы познакомимся с распределительным свойством умножения. А также научимся при помощи него упрощать выражения.

На предыдущих уроках мы с вами изучили переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения.

Давайте запишем эти свойства в буквенной записи.

Переместительное свойство сложения:

Сформулируем его: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Это же свойство, но для действия умножения:

Его формулировка: от перемены мест множителей произведение не меняется.

А теперь запишем буквенные записи сочетательного свойства сложения и умножения.

Для сложения:

Чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, мы можем сначала прибавить к этому числу первое слагаемое, а потом к полученной сумме второе слагаемое.

Это же свойство, но для умножения:

Чтобы число умножить на произведение двух чисел, мы можем сначала умножить это число на первый множитель, а потом полученное произведение на второй множитель.

Не трудно заметить, что эти свойства одинаковые, но каждое из них закреплено за определённым действием. Сегодня мы познакомимся со свойством, которое одновременно относится и к умножению и к сложению.

Задача

В магазин привезли 4 коробки с карандашами. В каждой коробке по 16 упаковок цветных карандашей и по 12 упаковок простых карандашей. Сколько всего упаковок карандашей привезли в магазин?

Решение: Эту задачу можно решить несколькими способами.

1-ый способ:

А можно решить вторым способом:

Так как количество упаковок карандашей не зависит от способа, каким оно подсчитывается, то выражения, которые мы получили для решения задачи, равны:

Если вместо чисел 16, 12 и 4 мы возьмём любые натуральные числа a, b и c, то получим равенство:

Свойство чисел, выраженное этим равенством, называется распределительным свойством умножения относительно сложения.

Его можно сформулировать так: для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения.

Распределительное свойство верно и не только для двух слагаемых, но и для любого количества слагаемых.

Пример

Распределительное свойство умножения действует и относительно вычитания. В буквенном виде записывают его так:

А звучит оно так: для того чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

Пример

Когда мы читаем равенство слева на право, т.е. переходим от произведения к сумме, то говорим, что раскрываем скобки.

Перепишем это равенство справа налево. Когда мы переходим от суммы к произведению, то говорим, что выносим общий множитель за скобки. Аналогично и для распределительного свойства умножения относительно вычитания.

С помощью распределительного свойства очень удобно упрощать выражения. Переместительное свойство умножения позволяет менять местами множители. Поэтому безразлично, где стоит множитель с – перед скобкой или после неё.

Примеры

Также удобно пользоваться распределительным свойством умножения при решении уравнений.

Пример

Решим уравнение:

При упрощении выражений используют и сочетательное свойство умножения.

Пример

Итоги

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с распределительным свойством умножения относительно сложения и вычитания, а также научились при помощи их упрощать выражения.

videouroki.net

Упрощение выражений — Математика — 5 класс

Задания для домашней работы:

• Запишите, какие остатки могут получиться при делении на 7.

1, 2, 3, 4, 5, 6

2. Проверьте, правильно ли выполнены вычисления:

а) 312 : 6 = 52 ; Верно

б) 319 : 6 = 52 (ост.7). Неверно, т.к. 319:6=53(ост. 1)

• Число m разделили на 8. В частном получили 13, а в остатке 6. Найдите делимое m .

m= 13*8+6=110

Упрощение выражений

5 класс

Найдите значения выражений удобным способом

15*83+15*17 =

79*21-69*21=

А я знаю, нужно использовать распределительный закон умножения.

аb + ac = а(в + с)

аb — ac = а(в — с)

15(83+17)=

15*83+15*17 =

15*100 =

1500

79*21-69*21=

21(79-69)=

21*10 =

210

А как проще записать выражение?

2x + 3x =

8y – 5y =

Используем

распределительный закон

ab + аc = а(b + c)

ab — аc = а(b — c)

5x

5*x =

(2 + 3)*x =

2x + 3x =

3*y =

8y – 5y =

(8 – 5)*y =

3y

2x + 3x =

5x

8y – 5y =

3y

Тренируемся…

Упростите выражения:

12а + 7а =

19а

24т + m =

25т

16b -5b =

11b

18n — n =

17n

13а + 2b =

?

?

14а — 4b =

13а + 2b

15ab

14x – 2y

10xy

Эти выражения не упрощаются, так как буквенная часть не одинакова.

Слагаемые, у которых буквенная часть одинаковая, называются подобными .

Тренируемся…

Подчеркните подобные слагаемые:

2a + 3a + 7b

= 5а +7b

7c + 3d + 5c

= 12с +3d

15x — 6x + 23

= 9x +23

= 25y +8

17y +8y + 8

Упростите выражения.

А как преобразовать выражение?

Обратное преобразование называется вынесением общего множителя за скобки.

ab + аc = а(b + c)

9а

а(4 + 5) =

4а + 5а =

3а + 9 =

3(а + 3)

Какие выражения можно упростить?

6m + 6n

15x + 4y ,

8a – 4b,

Слагаемые в первом выражении не имеют одинаковых множителей, использовать распределительный закон невозможно. Второе выражение преобразуем и вынесем за скобки общий множитель .

В третьем выражении можно

вынести за скобки число 6 .

4 (2a – b)

8a – 4b =

4 *2a – 4 *b =

6(m + n)

6m + 6n =

Тренируемся.

Вынесите общий множитель за скобки.

2а + 2b =

2(а + b)

4а — 4c =

4(а — c)

а(2 + 3) = 5a

2а + 3a =

m(8 — 5) = 3m

8m — 5m =

x(3 + 1) = 4x

3x + x =

Определите, что пропущено в данных выражениях:

6а

9а — … = 3а

9

6х + … +13х = 19х + 9

22x

9

3х + … +15х + 1 + 4х = … +10

Определите, что пропущено в данных выражениях.

b

5(а — … ) = 5а — 5b

2

5(а — … ) = 5а — 10

a

8

4( … + 2) = 4а + …

Задача.

В столовую привезли картофеля в 2 раза больше мешка, чем капусты.

Всего привезли 9 мешков картофеля и капусты. Сколько привезли мешков картофеля и сколько капусты?

? мешков

? мешков

Пусть капусты привезли х мешков.

Тогда картофеля 2х мешков.

Всего привезли 9 мешков.

x + 2x = 9

3x = 9

x = 9 : 3

x = 3 (мешка) капусты

2 * 3 = 6 ( мешков)картофеля

Составить и решить уравнение на доске.

Ответ: 3 мешка капусты

и 6 мешков картофеля.

6 мешков

3 мешка

14

Решение уравнений:

14y – 9y = 100

5x + 3x = 16

5y = 100

8x = 16

y = 100:5

8x = 16:8

y = 20

х = 2

13a – 8a + a = 36

7b + 3b — 10b = 3

6a = 36

0*b = 3

a = 36:6

Нет решений

a = 6

Самостоятельная работа

с последующей проверкой учителем.

• Упростить выражение

и найти значение :

18x + 23 x — x при х = 37

2. Решить уравнение:

5y + 12y = 3553

3.Вынести общий множитель за скобки :

8x – 16 y + 80

20a — 28b

multiurok.ru

Как написать дату рождения (Год, Месяц, День) римскими цифрами?

Формат записи даты рождения ДЕНЬ.МЕСЯЦ.ГОД

Пример Если Вам посчастливилось родится 8 апреля 1991 года. То найдя нужные ячейки в ниже приведённых табличках, у Вас в итоге должна получится такая запись: VIII.IV.MCMXCI

Как правильно записать год рождения римскими цифрами?

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часамин. срок

Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

calcsbox.com

Соответствия годов в арабской и римской записи

Оставьте заявку на сайте и получите скидку на памятник.     Подробнее…

Перевод арабских чисел в римские

Принцип перевода арабских чисел в римские.

Калькулятор

Перевод любых чисел от 1 до 3999 в римские числа и определение века для указанного года.

Века римскими цифрами

Таблица соответствия года и века римскими цифрами в диапазоне от 1 до 2100 года.

Года римскими цифрами. Таблица

trimstroy.com

Как составить дату рождения из римских цифр

Одна из популярных направлений в мире татуировок – дата рождения, написанная римскими цифрами. Надпись бросается в глаза и человеку не знакомому с основами написания римских чисел, будет не очень понятна. Таким образом дата шифруется и становиться доступна для восприятия только тем, кто знаком с элементарными числовыми выражениями латинского языка.

Итак, все по порядку:

Дата рождения составляется в 3 этапа.

• 1 этап – день рождения.
• 2 этап – месяц рождения.
• 3 этап – год рождения.

Все этапы строго следуют друг за другом и разделяются между собой точками. В качестве примера возьмем дат, рожденного 28 августа 1999 года.

В обычном формате эта дата будет выглядеть так: 28.08.1999. Месяц август сменился на свой порядковый номер периода года, а именно на 08. Можно так же записать как 28.8.1999, разницы никакой. Римскими цифрами дата поменяет свой вид на: XXVIII.VIII.MCMXCIX.

1 этап. Выбор дня.

Максимальное количество дней в месяце — 31. Поэтому проще выбрать из таблицы свой день, чем заниматься вычислениями правильного написания числа:

2 этап. Выбор месяца.

В году 12 месяцев и все они имеют свой порядковый номер.

3 этап. Выбор года.

Самый сложный этап, так как имеет множество вариантов написания.

1 вариант – сокращенный. Число состоит из двух последних цифр года рождения. Например, число 99 или римскими XCIX, будет обозначать 1999 год, а 18 – сокращение от 2018 года (XVIII). Единственный год не поддающийся сокращению – 2000 год, его римская версия всегда будет MM, как в сокращенном, так и в полном варианте.

2 вариант – полный год. Год состоит из 4 цифр.

А). 20 век — период с 1900 по 1999 года. Перед римской цифрой из третей таблицы ставиться MCM. Пример MCMXXX – 1930.

Б). 21 век — период 2001 по настоящее время. Ставиться MM. Пример MMXVIII – 2018.

Составляем дату

Теперь из данных полученных выбором из трех таблиц, можно составить свою дату рождения в двух вариантах:

1 вариант: 28.08.99 — XXVIII.VIII.XCIX.

2 вариант: 28.08.1999 — XXVIII.VIII.MCMXCIX.

Источник: tattoofresh.ru

intrends.ru

Календарь-2019 — Федерация спортивной борьбы России

9-10 февраля — рейтинговый турнир UWW по греко-римской борьбе Zagreb Open, Загреб, Хорватия
15-17 февраля — международный турнир по женской борьбе Klippan Lady Open, Клиппан, Швеция
22-24 февраля – международный турнир по женской борьбе Гран-при Германии, Дормаген, Германия
23-24 февраля — рейтинговый турнир UWW по греко-римской борьбе — Мемориал Имре Поляка, Дьёр, Венгрия
28 февраля — 3 марта — рейтинговый турнир по трем стилям борьбы «Дан Колов и Никола Петров», Руза, Болгария

4-10 марта — первенство Европы U-23 по трем стилям борьбы, Нови-Сад, Сербия
7-10 марта — международный турнир по вольной борьбе памяти Романа Дмитриева среди юниоров, Якутск
15-17 марта — Чемпионат России по женской борьбе, Улан-Удэ, Бурятия
15-19 марта — Кубок мира по вольной борьбе, Якутск
21-24 марта – Первенство России среди девушек, Мытищи, Московская область
Март — первенство России по греко-римской борьбе среди юниоров, по назначению

4-8 апреля — первенство России по вольной борьбе среди юниоров, Наро-Фоминск
5-7 апреля — международный турнир по греко-римской борьбе среди юниоров памяти Сураката Асиятилова, Каспийск
8-14 апреля — чемпионат Европы по трем стилям борьбы, Бухарест, Румыния
11-14 апреля — Первенство России среди юниорок, Орехово-Зуево, Московская область
Апрель — первенство России по вольной борьбе среди юношей, по назначению
Апрель — первенство России по греко-римской борьбе среди юношей, по назначению

9-13 мая — международный турнир по вольной борьбе памяти Али Алиева, Каспийск
16-19 мая — Приз Главы Бурятии по вольной и женской борьбе, Улан-Удэ
23-26 мая – Первенство России U-15 по женской борьбе, по назначению
24-25 мая — рейтинговый турнир UWW по трем стилям борьбы в Италии, Сассари-Сити, Италия
Май — первенство России U-15, по назначению

3-9 июня — первенство Европы по трем стилям борьбы среди юниоров, Понтаведра, Испания
17-23 июня — первенство Европы по трем стилям борьбы среди юношей, Фаенца, Италия
25-30 июня — II Европейские игры по трем стилям борьбы, Минск, Белоруссия
28-30 июня — первенство Европы U-15 по трем стилям борьбы, Краков, Польша
30 июня – международный турнир по женской борьбе Кубок Канады, Калгари, Канада

3-9 июля — чемпионат России по вольной борьбе, по назначению
5 – 7 июля — международный турнир по трем стилям борьбы Гран-при Испании, Мадрид, Испания
12-14 июля — рейтинговый турнир UWW по вольной и женской борьбе»Яшар Догу», Стамбул, Турция
17-21 июля — международный турнир памяти Ивана Поддубного, Москва
19-21 июля — международный турнир по вольной борьбе на призы Степана Саргсяна, Ереван, Армения.
25-26 июля — международный турнир по греко-римской борьбе среди юношей на призы братьев Самургашевых, Ростов-на-Дону.
26-28 июля — рейтинговый турнир UWW по греко-римской борьбе Кубок Олега Караваева, Минск, Белоруссия.
29 июля — 4 августа — первенство мира по трем стилям борьбы среди юношей, София, Болгария.

2-4 августа — международный турнир памяти Циолковского и Пытлясинского, Варшава, Польша
2-4 августа – международный турнир по женской борьбе Poland Open, Варшава, Польша
9-11 августа — международный турнир по вольной и женской борьбе на призы Александра Медведя, Минск, Белоруссия
12-18 августа — первенство мира по трем стилям борьбы среди юниоров, Таллин, Эстония.

14-22 сентября — чемпионат мира по трем стилям борьбы, Алматы, Казахстан

3-5 октября – тестовый турнир Токио-2020 по женской борьбе, Токио, Япония
4-7 октября — Кубок Ахамата Кадырова по вольной борьбе, Грозный
8-13 октября — чемпионат мира по вольной и греко-римской борьбе среди ветеранов, Тбилиси, Грузия.
17-20 октября — международный турнир памяти Дмитрия Коркина по вольной борьбе, Якутск
18-21 октября — международный турнир по вольной борьбе среди юношей на призы Бувайсара Сайтиева, Красноярск
24-28 октября — международный турнир по вольной борьбе на призы Владимира Семенова — Кубок Югры, Нефтеюганск
28 октября — 3 ноября — первенство мира U-23 по трем стилям борьбы, Будапешт, Венгрия

14-17 ноября — международный турнир по вольной борьбе памяти Д.Кунаева, Тараз, Казахстан
29 ноября – 2 декабря – Кубок России по женской борьбе, Чебоксары, Чувашия

5-6 декабря — чемпионат мира по греко-римской борьбе среди клубок, Тегеран, Иран
19-20 декабря — чемпионат мира по вольной борьбе среди клубов, Тегеран, Иран
25-28 декабря — Третий Рождественский турнир по трем стилям борьбы среди юношей, Москва

wrestrus.ru

Мордовия без Мишина, Суркова и Емелина – Новости Саранска и Мордовии «Столица С»

Более 20 воспитанников мордовской СДЮСШОР выступят на чемпионате России по греко-римской борьбе, который пройдет 17-21 января в Калининграде. Но в их числе не будет Алексея Мишина, Артема Суркова и Сергея Емелина. 39-летний покоритель Игр в Афинах завершил карьеру, а прошлогодние чемпионы мира и Европы пропустят турнир по другой причине.

«По итогам заседания исполнительного комитета федерации спортивной борьбы России принято решение освободить от чемпионата страны всех победителей прошлогоднего чемпионата мира, — сказал главный тренер сборной Гоги Когуашвили. — Емелин, Марянян, Сурков, Чехиркин, Евлоев и Семёнов впервые в новом сезоне выступят 23-24 февраля на международном турнире в Дьёре (Венгрия). Туда отправятся и победители чемпионата в Калининграде. Затем по итогам сборов мы определим кандидатов на чемпионат Европы и Европейские игры».

Но даже в отсутствие Алексея Мишина, Сергея Емелина и Артема Суркова в составе мордовской команды есть ребята, которые способны побороться за призовые места на чемпионате России. В отдельных категориях есть претенденты на золотые медали.

В наилегчайшем весе до 55 кг надежды республики связаны с Виталием Кабалоевым. На прошлогоднем чемпионате страны 22-летний борец сотворил небольшое чудо, неожиданно завоевав золотую медаль.В Калининграде ему будет значительно тяжелее. Теперь соперники знают возможности спортсмена и настраиваются против него весьма серьезно. Тем не менее, Мордовия ждет от Виталия медали.

В категории 60 кг поборется Жамболат Локъяев, занявший второе место на прошлом чемпионате страны. В финале он проиграл призеру чемпионата мира и олимпийских игр Мингияну Семенову, с которым рузаевец Сергей Емелин расправился на Мемориале Поддубного и на международном турнире за границей.

В весе до 63 кг предстанет Руслан Бичурин, достойно проявивший себя на декабрьском Кубке страны, где команда Мордовия выиграла золотые медали. На чемпионате страны 2018 года Бичурин дошел до четвертьфинала, где уступил участнику Олимпиады-2016 Ибрагиму Лабазанову.

67 кг — вовсе специфически мордовская категория. В ней представители республики остаются основными претендентами на золото даже в отсутствии Артема Суркова. Главный фаворит — Заур Кабалоев, Алексей Киянкин тоже считается соискателем чемпионского звания. Они встретились в финале прошлого чемпионата России, победу одержал Кабалоев. Может покорить призовую ступень брат-близнец чемпиона мира Максим Сурков. В этом весе он представлял саранский «Легион» на клубном чемпионате мира в Иране.

В категории 72 кг надежды мордовской школы борьбы в основном связаны с Денисом Муртазиным, который представлял республику на командном Кубке страны в Саранске и клубном чемпионате мира. На прошлом чемпионате России он немного не дотянул до призовой ступени, заняв пятое место. Кроме того в минувшем году весьма серьезно заявил о себе молодой борец Егор Депцов, завоевавший бронзовую медаль на Мемориале Ивана Поддубного.

В весе 77 кг соискателями призовых мест считаются уроженец Саранска Дмитрий Петайкин и рузаевец Руслан Варданян. Последний поднялся на бронзовую ступень пьедестала прошлогоднего Мемориала Поддубного. Петайкин отличился на международных турнирах.

В категории 82 кг честь Мордовии будет отстаивать серебряный призер прошлого Мемориала Поддубного — Гаджимурат Джалалов.

В весе 87 кг после завершения карьеры Алексея Мишина надежды возлагаются на вице-чемпиона мира Евгения Салеева, которому в декабре вручили удостоверение и знак заслуженного мастера спорта России.

В категории до 97 кг навязать конкуренцию лидерам сборной страны способен Мурат Локъяев. В супертяжелой категории до 130 кг фаворитом остается Василий Паршин.

Чемпионат России по греко-римской борьбе. Калининград, 17-21 января.
Программа соревнований

18 января
08.00-8.30. Взвешивание, весовые категории до 55, 60, 63, 67 кг
10.00. Начало соревнований
15.00-16.00. Перерыв
16.00-17.00. Жеребьевка и медицинский контроль весовых категорий до 72, 77, 97 кг
17.00. Полуфиналы в весовых категориях до 55, 60, 63, 67 кг

19 января
08.00-8.15. Второе взвешивание для весовых категорий до 55, 60, 63, 67 кг
08.15-8.45. Взвешивание, весовые категории до 72,77,97 кг
10.00. Начало соревнований
15.00-16.00. Перерыв
16.00-17.00. Жеребьевка и медицинский контроль для весовых категорий до 82,87,130 кг
17.00. Открытие
17.00. Полуфиналы в весовых категориях до 72,77,97 кг
18.00. Финалы в весовых категориях до 55,60,63,67 кг

20 января
08.00-8.15. Второе взвешивание для весовых категорий до 60,77,97 кг
08.15-8.45 Взвешивание, весовые категории до 82,87,130 кг
10.00 Начало соревнований
15.00-17.00 Перерыв
17.00 Полуфиналы в весовых категориях до 82,87,130 кг
18.00 Финалы в весовых категориях до 72,77,97 кг.

21 января
08.00-8.15 Второе взвешивание для весовых категорий до 82,87,130 кг
10.00 Начало соревнований
12.00-14.00 Финалы в весовых категориях до 82,87,130 кг.

stolica-s.su

Прямая трансляция Чемпионата России по греко-римской борьбе 2019 — 19 января

Смотреть онлайн. Борьба. Прямая трансляция Чемпионата России по греко-римской борьбе 2019. Прямой эфир. 2 день. 19.01.2019

19-го января продолжается Чемпионат России по греко-римской борьбе 2019, который состоится в Калининграде. Во второй день чемпионата, утром в борьбу вступят борцы весовых категорий до 72, 77 и 97 кг, а вечером спортсмены будут сражаться за первые медали в весовых категориях до 55, 60, 63 и 67 кг. Ожидается участие ведущих борцов греко-римского стиля, для которых калининградский старт будет одним из решающих в отборах на континентальные и мировые чемпионаты.
Напомним, что шесть действующих чемпионов мира по греко-римской борьбе освобождены от чемпионата России, но это не сделает турнир менее интересным.

В прямой эфир трансляция выйдет 19 января в 11:30 по МСК

Ковёр А

Ковёр Б


Ковёр С

Расписание второго дня Чемпионата России по греко-римской борьбе 2019 по МСК:

11:30 Начало соревнований в весовых категориях до 72,77,97 кг
18:00 Открытие
19:00 Полуфиналы в весовых категориях до 72,77,97 кг
20:00 Финалы в весовых категориях до 55,60,63,67 кг

Мнимая единица — Абсурдопедия

Единица — вздор! Единица — ноль!

~ Маяковский про мнимую единицу

Мнимая единица (讠, один с точечкой) — это:

• … мнимое число, которое определяется так: мнимая единица, умноженная на мнимую единицу, умноженная на мнимую единицу ещё раз, и ещё умноженная два раза на мнимую единицу, умноженная на мнимую единицу равна −1. Если то, что говорится в предыдущем предложении истинно, то оно ложно, если ложно — то истинно.
• выше была приведёна упрощённая формулировка для двоечников. Крайне сложная формулировка такова: i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}.

Эта вторая формулировка крайне сложна. Чтобы её понять и привести к простой, нужно разбить одно окно чем-нибудь, другое — головой. И сравнить осколки обоих стёкол и состояние головы и крыши до и после процедуры.

История открытия[править]

История мнимой единицы такова. Математик, напившись, сел за компьютер. Там он открыл блокнот, чтобы напечатать чистый лист из принтера и высморкаться в него. Но из-за пьянки он нечаянно нажал знак i. Шрифт был большим, потому что вчера он учил ребёнка примеру 3−4{\displaystyle 3-4}. Вот он и напечатал этот лист. И высморкался в него. Поэтому лист стал мятым. Он сказал: «Мятая единица с точечкой». А его друг не расслышал и сказал: «Мнимая единица… Эээ… Эх, какая водочка! Козявочкин, к доске! Вот тебе, двоечник, ещё пример. Вот это число в квадрате равно…». А наш математик ответил: «О, да, давай ещё стопочку! Ааа… Ты что, не знаешь отрицательных чисел? Нужно слушать, что говорят на уроке. Ответ равен минус одному». И они стали продолжать пить. Открытие осталось бы незапомненным, если бы не вор, который пробрался украсть компьютер. Он нёс с собой диктофон. И записывал всё, что говорили пьяные учёные. Зачем — неизвестно. Вор украл компьютер. Он хотел включить его, подключив к молниеотводу один провод, а другой — засунув себе в рот. Ударила молния… Дальше понятно. А диктофон нашёл пьяница и бросил его в окно дома учёных с целью разбить его. Он добился своего, но в то же время оказал невообразимое содействие науке. Учёные-математики после отрезвления прочитали запись в диктофоне и поняли, что они совершили открытие! Записав, что они сказали тогда, в математической форме, они получили выражение: i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1} Но оно было очень сложное, и понять его не удалось даже этим двум математикам. Математик, который напечатал мнимую единицу и высморкался в лист, поблагодарил своего друга за исправление. Вскоре, проанализировав осколки разбитого окна, математики решили, что данных для того, чтобы понять их слова, недостаточно. Поэтому они стали думать. Но вдруг один из них понял, что надо делать. И разбил головой другое окно. Сделав записи состояний окон, головы и крыши, он, проведя сложнейшие расчёты, решил, что крыша у него съехала и что мнимая единица, умноженная на мнимую единицу, умноженная на мнимую единицу ещё раз, и ещё умноженная два раза на мнимую единицу, умноженная на мнимую единицу равна −1{\displaystyle -1}.

Основные свойства[править]

После того, как сбрендившие учёные поняли, что такое мнимая единица, стали выводить разные формулы. Например:

i2+1=0{\displaystyle i^{2}+1=0}

i3=−i{\displaystyle i^{3}=-i}

(−i)2=−1=i2{\displaystyle (-i)^{2}=-1=i^{2}}, поэтому −i=i{\displaystyle -i=i}, далее: (−i)/i=−1{\displaystyle (-i)/i=-1}, (−i)/i=i/i=1{\displaystyle (-i)/i=i/i=1}

В итоге доказано, что 1=−1{\displaystyle 1=-1}, т.е отрицательные и положительные числа неотличимы.

Теперь докажем одно из самых важных свойств мнимой единицы — то, что в любом выражении её можно заменить на 1⋅{\displaystyle 1\cdot }. Точку можно поставить и справа, содержание от этого не изменится. Действительно, ведь мнимая единица — это единица с точечкой, то есть со знаком умножения, что и требовалось доказать.

Далее:

2i=2iee=21⋅ee=21{\displaystyle 2i={\frac {2ie}{e}}={\frac {21\cdot e}{e}}=21}

В итоге мы получили e-нное представление числа 2i{\displaystyle 2i} — это 2i=21{\displaystyle 2i=21}

Тождество Эйлера[править]

Существует следующее тождество:

eiπ+1=0{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

Его высказал Эйлер во сне. Поэтому его называют тождеством Эйлера. До сих пор учёные всего мира не понимают смысл этой формулы и удивляются её странностью. Не меньше удивления вызывает то, что этот великий математик подарил открытие миру в спящем состоянии. Он, проснувшись, показывал, что ничего не помнит, что ему «опять снились эти формулы бессмысленные». Но никто и не подумал пренебрегать великим открытием. Все без исключения должны верить тому, что сказал Эйлер. Он просто не захотел раскрывать строгого доказательства. Известны несколько доказательств, но известны и их опровержения.

Доказательство[править]

Т.к i=−i{\displaystyle i=-i}, данную формулу можно переписать в виде: e−iπ=−1{\displaystyle e^{-i\pi }=-1}. Первую формулу также перепишем: eiπ=−1{\displaystyle e^{i\pi }=-1}. Перемножим эти формулы:

e−iπ∗eiπ=(−1)∗(−1){\displaystyle e^{-i\pi }*e^{i\pi }=(-1)*(-1)}

eiπ−iπ=1{\displaystyle e^{i\pi -i\pi }=1}

1=1{\displaystyle 1=1}

В итоге мы получили верное равенство, которое вытекает из исходного, поэтому тождество Эйлера доказано!

Опровержение[править]

Т.к мнимая единица — это 1 с точечкой, или проще говоря, i=1⋅{\displaystyle i=1\cdot }. Поэтому:

eiπ+1=e1⋅π+1=eπ+1≠0{\displaystyle e^{i\pi }+1=e^{1\cdot \pi }+1=e^{\pi }+1\neq 0}

Тождество опровергнуто.

Опровержение опровержения[править]

Не верьте этому опровержению, Эйлер говорил правду!!! (остальные 54 308 428 790 203 478 762 340 052 723 346 983 453 487 023 489 987 231 275 412 390 872 348 472 восклицательных знака были удалены автоматическим фильтром)

Следствие[править]

Из тождества Эйлера следует нечто совсем уж парадоксальное. Перепишем тождество Эйлера в таком виде:

eiπ=−1{\displaystyle e^{i\pi }=-1}

Поскольку в правой части равенства стоит действительное число, значит и в левой части тоже действительное число. В таком случае мы можем смело возвести обе части этого равенства в квадрат:

e2iπ=1{\displaystyle e^{2i\pi }=1}

Отсюда неминуемо следует, что 2iπ=0{\displaystyle 2i\pi =0}, а значит, i=0{\displaystyle i=0}. Говорят, когда Эйлер это обнаружил, он свернулся в ленту Мёбиуса и укатился в Соловецкий монастырь, где и закончил свои дни в полном безумии.

Интересные факты[править]

• Если пользоваться мнимой единицей, то существует вероятность 65 % сдать ЕГЭ по математике на 95 баллов путем выноса мозга проверяющим.
• Вполне возможно, что успех компании Apple принесла именно мнимая единица, подсознательно влияющая на моск и вызывающая мнимое представление о реальных вещах.
• Поделить мнимую единицу на ноль можно: получается Мнимая бесконечность.
• Кроме мнимой единицы существуют и мнимая двойка, тройка, четверка и т. д. Однако ими не пользуются, ибо нефиг!
• Британские ученые доказали, что если выйти в плоскость комплексных чисел, то по замкнутому контуру можно проходить сквозь двери. Однако всех, кто пытался доказать это на практике, засосало в нуль-телепорт.
• Исходя из вышеописаного явления, можно предположить, что черная дыра может существовать только в плоскости комплексных чисел.
• Существует мнение, что изображение мнимой единицы получилось путем банального переворачивания знака !. Возможно это сделали для того, чтобы показать, насколько это число опасно и таинственно, и лучше глубоко не лезть в эти дебри. Скорее всего так и есть: в последнее время почти никто не занимается изучением мнимой единицы, особенно после экспериментов британских ученых. И только безумные ученые изредка решаются рискнуть своими задницами ради очередного, никому не нужного, мнимого открытия.

Человекам далеко не сведущим в математике, физике и алгебре, да что уж там — геометрии, рассуждения о мнимой единице представляется полным бредом. Прежде чем о ней рассуждать необходимо определиться, что такое отрицательные числа в природе. Дак, вот их НЕТ. Также как не может быть отрицательной скорости. Отрицательные числа прибывают в нашем воображении из-за того, что мы принимаем какое-либо значение за НОЛЬ. К примеру рассмотрим температуру вещества, а именно абсолютный ноль по Цельсию, это −273,15 °C (-459,67° по Фаренгейту), то есть полный покой вещества, когда его атомы «обездвижены» — вот это и есть НОЛЬ. Отсюда следует отрицательные числа, которые кажутся таковыми, следует записывать в скобках, например так:(-1). Физический смысл отрицательной степени — отсутствует. i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1} далее

i2+1=0{\displaystyle i^{2}+1=0} в нормальном виде (−1)2+1=0{\displaystyle (-1)^{2}+1=0}

i3=−i{\displaystyle i^{3}=-i} приведем в нормальный вид ((−1)2+1)∗(−1)=0{\displaystyle ((-1)^{2}+1)*(-1)=0}, раскроем скобки и получим (−1)3+(−1)=0{\displaystyle (-1)^{3}+(-1)=0}, именно так должна выглядеть формула,МЫ ЖЕ ЗНАЕМ со школы «При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом!»(кстати, никто не может объяснить этого правила в физическом смысле!) отсюда следует вывод в физическом смысле ВСЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА = 0 Их не существует!

В итоге Эйлером доказано, что 1=-1, такой же единице только по другую сторону шкалы!!!

absurdopedia.net

Мнимая единица — это… Что такое Мнимая единица?

Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксона или в рамках алгебр по Клиффорду.

Для комплексных чисел

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская или . Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами, имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «-i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» и на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для через радикал (как ).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е.  — это одно из решений уравнения

  или  

И тогда его вторым решением уравнения будет , что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени i повторяются в цикле:

Что может быть записано для любой степени в виде:

где n — любое целое число.

Отсюда: где mod 4 это остаток от деления на 4.

Число является вещественным :

^[1]

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

Также,

^[2]

Корни из мнимой единицы

В поле комплексных чисел корень n-ой степени имеет n решений. На комплексной плоскости эти корни находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

В частности, и

Также корни мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

Иные мнимые единицы

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть =«+1» или даже =«0». Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «».

См.также

Ссылки

dic.academic.ru

Мнимая единица — Википедия

Мни́мая едини́ца — обычно комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду.

Для комплексных чисел[править]

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская или . Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для через радикал (как ).

Определение[править]

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е.   — это одно из решений уравнения

  или  

И тогда его вторым решением уравнения будет , что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы[править]

Степени  повторяются в цикле:

Что может быть записано для любой степени в виде:

где n — любое целое число.

Отсюда: где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Число является вещественным:

^[1]

Факториал[править]

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

Также

^[2]

Корни из мнимой единицы[править]

Корни квадратные из мнимой единицы Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

В частности, и

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

Иные мнимые единицы[править]

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть =»+1″ или даже =»0″. Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «».

К вопросу об интерпретации и названии[править]

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i. Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

www.wikiznanie.ru

Мнимая единица — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Мни́мая едини́ца — обычно комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду.

Для комплексных чисел

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская <math>i</math> или <math>j</math>. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение <math>f(x)=0</math> с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение <math>x^2 + 1 = 0</math> не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для <math>i</math> через радикал (как <math>\sqrt{-1}</math>).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. <math>i</math>  — это одно из решений уравнения

<math>x^2 + 1 = 0, </math>   или   <math>x^2 = -1. </math>

И тогда его вторым решением уравнения будет <math>-i</math>, что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени <math>i</math> повторяются в цикле:

<math>\ldots</math>

<math>i^{-3} = i</math>

<math>i^{-2} = -1</math>

<math>i^{-1} = -i</math>

<math>i^0 = 1</math>

<math>i^1 = i</math>

<math>i^2 = -1</math>

<math>i^3 = -i</math>

<math>i^4 = 1</math>

<math>\ldots</math>

Что может быть записано для любой степени в виде:

<math>i^{4n} = 1</math>

<math>i^{4n+1} = i</math>

<math>i^{4n+2} = -1</math>

<math>i^{4n+3} = -i.</math>

где n — любое целое число.

Отсюда: <math>i^n = i^{n \bmod 4}</math> где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Число <math>i^i</math> является вещественным:

<math>i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots</math>^[1]

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

<math>i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 — 0.1549i.</math>

Также

<math>|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh(\pi)} \approx 0.521564… .</math>^[2]

Корни из мнимой единицы

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

<math>u_k=\cos {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,…,n-1</math>

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

<math>i=\cos\ {\frac{\pi}{2}} + i\ \sin\ {\frac{\pi}{2}}</math>

В частности, <math>\sqrt{i } = \left\{\frac{1 + i}{\sqrt{2}};\ \frac{-1 — i}{\sqrt{2}} \right\}</math> и <math>\sqrt[3]{i } = \left\{-i;\ \frac{i + {\sqrt{3}}}{2};\ \frac{i — {\sqrt{3}}}{2} \right\}</math>

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

<math>u_k=e^{\frac{(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) i}{n} }, \quad k=0,1,…,n-1</math>

Иные мнимые единицы

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть =»+1″ или даже =»0″. Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «<math>x^2 = -1</math>».

К вопросу об интерпретации и названии

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i. Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

Обозначения

Обычное обозначение <math>i</math>, но в радиотехнике мнимую единицу принято обозначать <math>j</math>, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: <math>i = i (t)</math>.

См.также

Напишите отзыв о статье «Мнимая единица»

Примечания

Ссылки

Отрывок, характеризующий Мнимая единица

Несколько купцов столпилось около офицера.
– Э! попусту брехать то! – сказал один из них, худощавый, с строгим лицом. – Снявши голову, по волосам не плачут. Бери, что кому любо! – И он энергическим жестом махнул рукой и боком повернулся к офицеру.
– Тебе, Иван Сидорыч, хорошо говорить, – сердито заговорил первый купец. – Вы пожалуйте, ваше благородие.
– Что говорить! – крикнул худощавый. – У меня тут в трех лавках на сто тысяч товару. Разве убережешь, когда войско ушло. Эх, народ, божью власть не руками скласть!
– Пожалуйте, ваше благородие, – говорил первый купец, кланяясь. Офицер стоял в недоумении, и на лице его видна была нерешительность.
– Да мне что за дело! – крикнул он вдруг и пошел быстрыми шагами вперед по ряду. В одной отпертой лавке слышались удары и ругательства, и в то время как офицер подходил к ней, из двери выскочил вытолкнутый человек в сером армяке и с бритой головой.
Человек этот, согнувшись, проскочил мимо купцов и офицера. Офицер напустился на солдат, бывших в лавке. Но в это время страшные крики огромной толпы послышались на Москворецком мосту, и офицер выбежал на площадь.
– Что такое? Что такое? – спрашивал он, но товарищ его уже скакал по направлению к крикам, мимо Василия Блаженного. Офицер сел верхом и поехал за ним. Когда он подъехал к мосту, он увидал снятые с передков две пушки, пехоту, идущую по мосту, несколько поваленных телег, несколько испуганных лиц и смеющиеся лица солдат. Подле пушек стояла одна повозка, запряженная парой. За повозкой сзади колес жались четыре борзые собаки в ошейниках. На повозке была гора вещей, и на самом верху, рядом с детским, кверху ножками перевернутым стульчиком сидела баба, пронзительно и отчаянно визжавшая. Товарищи рассказывали офицеру, что крик толпы и визги бабы произошли оттого, что наехавший на эту толпу генерал Ермолов, узнав, что солдаты разбредаются по лавкам, а толпы жителей запружают мост, приказал снять орудия с передков и сделать пример, что он будет стрелять по мосту. Толпа, валя повозки, давя друг друга, отчаянно кричала, теснясь, расчистила мост, и войска двинулись вперед.

В самом городе между тем было пусто. По улицам никого почти не было. Ворота и лавки все были заперты; кое где около кабаков слышались одинокие крики или пьяное пенье. Никто не ездил по улицам, и редко слышались шаги пешеходов. На Поварской было совершенно тихо и пустынно. На огромном дворе дома Ростовых валялись объедки сена, помет съехавшего обоза и не было видно ни одного человека. В оставшемся со всем своим добром доме Ростовых два человека были в большой гостиной. Это были дворник Игнат и казачок Мишка, внук Васильича, оставшийся в Москве с дедом. Мишка, открыв клавикорды, играл на них одним пальцем. Дворник, подбоченившись и радостно улыбаясь, стоял пред большим зеркалом.
– Вот ловко то! А? Дядюшка Игнат! – говорил мальчик, вдруг начиная хлопать обеими руками по клавишам.
– Ишь ты! – отвечал Игнат, дивуясь на то, как все более и более улыбалось его лицо в зеркале.
– Бессовестные! Право, бессовестные! – заговорил сзади их голос тихо вошедшей Мавры Кузминишны. – Эка, толсторожий, зубы то скалит. На это вас взять! Там все не прибрано, Васильич с ног сбился. Дай срок!
Игнат, поправляя поясок, перестав улыбаться и покорно опустив глаза, пошел вон из комнаты.
– Тетенька, я полегоньку, – сказал мальчик.
– Я те дам полегоньку. Постреленок! – крикнула Мавра Кузминишна, замахиваясь на него рукой. – Иди деду самовар ставь.
Мавра Кузминишна, смахнув пыль, закрыла клавикорды и, тяжело вздохнув, вышла из гостиной и заперла входную дверь.
Выйдя на двор, Мавра Кузминишна задумалась о том, куда ей идти теперь: пить ли чай к Васильичу во флигель или в кладовую прибрать то, что еще не было прибрано?
В тихой улице послышались быстрые шаги. Шаги остановились у калитки; щеколда стала стучать под рукой, старавшейся отпереть ее.
Мавра Кузминишна подошла к калитке.
– Кого надо?
– Графа, графа Илью Андреича Ростова.
– Да вы кто?
– Я офицер. Мне бы видеть нужно, – сказал русский приятный и барский голос.
Мавра Кузминишна отперла калитку. И на двор вошел лет восемнадцати круглолицый офицер, типом лица похожий на Ростовых.
– Уехали, батюшка. Вчерашнего числа в вечерни изволили уехать, – ласково сказала Мавра Кузмипишна.
Молодой офицер, стоя в калитке, как бы в нерешительности войти или не войти ему, пощелкал языком.
– Ах, какая досада!.. – проговорил он. – Мне бы вчера… Ах, как жалко!..
Мавра Кузминишна между тем внимательно и сочувственно разглядывала знакомые ей черты ростовской породы в лице молодого человека, и изорванную шинель, и стоптанные сапоги, которые были на нем.
– Вам зачем же графа надо было? – спросила она.
– Да уж… что делать! – с досадой проговорил офицер и взялся за калитку, как бы намереваясь уйти. Он опять остановился в нерешительности.
– Видите ли? – вдруг сказал он. – Я родственник графу, и он всегда очень добр был ко мне. Так вот, видите ли (он с доброй и веселой улыбкой посмотрел на свой плащ и сапоги), и обносился, и денег ничего нет; так я хотел попросить графа…
Мавра Кузминишна не дала договорить ему.

wiki-org.ru

Мнимая единица — Википедия. Что такое Мнимая единица

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Термин употребляется также в обобщённом смысле в конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду.

Для комплексных чисел

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i{\displaystyle i} или j{\displaystyle j}. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f(x)=0{\displaystyle f(x)=0} с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение x2+1=0{\displaystyle x^{2}+1=0} не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для i{\displaystyle i} через радикал (как −1{\displaystyle {\sqrt {-1}}}).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. i{\displaystyle i}  — это одно из решений уравнения

x2+1=0,{\displaystyle x^{2}+1=0,}   или   x2=−1.{\displaystyle x^{2}=-1.}

И тогда его вторым решением уравнения будет −i{\displaystyle -i}, что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени i{\displaystyle i} повторяются в цикле:

…{\displaystyle \ldots }

i−3=i{\displaystyle i^{-3}=i}

i−2=−1{\displaystyle i^{-2}=-1}

i−1=−i{\displaystyle i^{-1}=-i}

i0=1{\displaystyle i^{0}=1}

i1=i{\displaystyle i^{1}=i}

i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}

i3=−i{\displaystyle i^{3}=-i}

i4=1{\displaystyle i^{4}=1}

…{\displaystyle \ldots }

Что может быть записано для любой степени в виде:

i4n=1{\displaystyle i^{4n}=1}

i4n+1=i{\displaystyle i^{4n+1}=i}

i4n+2=−1{\displaystyle i^{4n+2}=-1}

i4n+3=−i.{\displaystyle i^{4n+3}=-i.}

где n — любое целое число.

Отсюда: in=inmod4{\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}} где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Из тождества Эйлера следует, что число ii{\displaystyle i^{i}} является вещественным:

ii=e(iπ/2)i=ei2π/2=e−π/2=0,20787957635…{\displaystyle i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots }.

Точнее, в комплексном анализе возведение в степень: xy=exp⁡(y⋅Ln⁡x){\displaystyle x^{y}=\exp(y\cdot \operatorname {Ln} x)} является многозначной функцией, поэтому

ii=e−π(1+4n)2{\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi (1+4n)}{2}}}}, где n∈Z{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }.

Также верно, что (−i)(−i)=ii{\displaystyle (-i)^{(-i)}=i^{i}}.

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

i!=Γ(1+i)≈0.4980−0.1549i.{\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}

Также

|i!|=πsinh⁡(π)≈0.521564….{\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564….}^[1]

Корни из мнимой единицы

Корни квадратные из мнимой единицы Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

uk=cos⁡π2+2πkn+i sin⁡π2+2πkn,k=0,1,…,n−1{\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,…,n-1}

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

i=cos⁡ π2+i sin⁡ π2{\displaystyle i=\cos \ {\frac {\pi }{2}}+i\ \sin \ {\frac {\pi }{2}}}

В частности, i={1+i2; −1−i2}{\displaystyle {\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}} и i3={−i; i+32; i−32}{\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

uk=e(π2+2πk)in,k=0,1,…,n−1{\displaystyle u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,…,n-1}

Иные мнимые единицы

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть = «+1» или даже = «0». Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «x2=−1{\displaystyle x^{2}=-1}».

К вопросу об интерпретации и названии

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i. Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

Обозначения

Обычное обозначение i{\displaystyle i}, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать j{\displaystyle j}, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: i=i(t){\displaystyle i=i(t)}.

В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.

См.также

Примечания

Ссылки

wiki.sc

Мнимая единица Википедия

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Термин может употребляться также в обобщённом смысле не только для комплексных чисел^[⇨].

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i{\displaystyle i} или j{\displaystyle j}. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f(x)=0{\displaystyle f(x)=0} с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение x2+1=0{\displaystyle x^{2}+1=0} не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для i{\displaystyle i} через радикал (как −1{\displaystyle {\sqrt {-1}}}).

Определение[

ru-wiki.ru

Мнимая единица Википедия

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Термин может употребляться также в обобщённом смысле не только для комплексных чисел^[⇨].

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i{\displaystyle i} или j{\displaystyle j}. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f(x)=0{\displaystyle f(x)=0} с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение x2+1=0{\displaystyle x^{2}+1=0} не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для i{\displaystyle i} через радикал (как −1{\displaystyle {\sqrt {-1}}}).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. i{\displaystyle i}  — это одно из решений уравнения

x2+1=0,{\displaystyle x^{2}+1=0,}   или   x2=−1.{\displaystyle x^{2}=-1.}

И тогда его вторым решением будет −i{\displaystyle -i}, что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени i{\displaystyle i} повторяются в цикле:

…{\displaystyle \ldots }

i−3=i{\displaystyle i^{-3}=i}

i−2=−1{\displaystyle i^{-2}=-1}

i−1=−i{\displaystyle i^{-1}=-i}

i0=1{\displaystyle i^{0}=1}

i1=i{\displaystyle i^{1}=i}

i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}

i3=−i{\displaystyle i^{3}=-i}

i4=1{\displaystyle i^{4}=1}

…{\displaystyle \ldots }

Что может быть записано для любой степени в виде:

i4n=1{\displaystyle i^{4n}=1}

i4n+1=i{\displaystyle i^{4n+1}=i}

i4n+2=−1{\displaystyle i^{4n+2}=-1}

i4n+3=−i.{\displaystyle i^{4n+3}=-i.}

где n — любое целое число.

Отсюда: in=inmod4{\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}} где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Из тождества Эйлера следует, что число ii{\displaystyle i^{i}} является вещественным:

ii=e(iπ/2)i=ei2π/2=e−π/2=0,20787957635…{\displaystyle i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots }.

Точнее, в комплексном анализе возведение в степень: xy=exp⁡(y⋅Ln⁡x){\displaystyle x^{y}=\exp(y\cdot \operatorname {Ln} x)} является многозначной функцией, поэтому

ii=e−π(1+4n)2{\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi (1+4n)}{2}}}}, где n∈Z{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }.

Также верно, что (−i)(−i)=ii{\displaystyle (-i)^{(-i)}=i^{i}}.

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

i!=Γ(1+i)≈0.4980−0.1549i.{\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}

Также

|i!|=πsinh⁡(π)≈0.521564….{\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564….}^[1]

Корни из мнимой единицы

Корни квадратные из мнимой единицы Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

uk=cos⁡π2+2πkn+i sin⁡π2+2πkn,k=0,1,…,n−1{\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,…,n-1}

В частности, i={1+i2; −1−i2}{\displaystyle {\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}} и i3={−i; i+32; i−32}{\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

uk=e(π2+2πk)in,k=0,1,…,n−1{\displaystyle u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,…,n-1}

Иные мнимые единицы

В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «x2=−1{\displaystyle x^{2}=-1}».

К вопросу об интерпретации и названии

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i. Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

Обозначения

Обычное обозначение i{\displaystyle i}, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать j{\displaystyle j}, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: i=i(t){\displaystyle i=i(t)}.

В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.

В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как I.

См.также

Примечания

Ссылки

wikiredia.ru

Производная корня

См. также: 

Ниже приведены преобразования, поясняющие, почему формулы нахождения производной квадратного и кубического корня именно такие, как приведены на рисунке. 

Разумеется, данные формулы можно вообще не запоминать, если принять во внимание, что извлечение корня производной степени — это то же самое, что возведение в степень дроби, знаменатель которой равен той же степени. Тогда нахождение производной корня сводится к применению формулы нахождения производной степени соответствующей дроби.

 
Пояснение:
( √x )’ = ( х^1/2 )’   

Квадратный корень — это точно то же самое действие, что и возведение в степень 1/2, значит для нахождения производной корня можно применить формулу из правила нахождения производной от переменной в произвольной степени:

( х^1/2 )’ = 1/2 х^-1/2 = 1 / (2√х)  

Производная кубического корня  (производная корня третьей степени)

Производная кубического корня находится точно по такому же принципу, что и квадратного.

Представим себе кубический корень как степень 1/3 и найдем производную по общим правилам дифференцирования. Краткую формулу можно посмотреть на картинке выше, а ниже расписано пояснение, почему именно так.

Степень -2/3 получается в следствие вычитания единицы из 1/3

Производная переменной под корнем произвольной степени 

Данная формула пригодна для нахождения производной корня любой степени:

( ⁿ√x )’ = 1 / ( n ⁿ√x^n-1 ) 

В более удобном для глаза виде она представлена на картинке выше.

Здесь:

n — степень корня, для которой находится производная

x — переменная, для которой находится производная

profmeter.com.ua

производная корня | математика-повторение

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x⁷+x⁵-x⁴+x³-x²+x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. Получаем:

y’=7x⁶+5x⁴-4x³+3x²-2x+1.

2. y=3x⁶-2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x⁵-2=18x⁵-2.

Применяем правило I,  формулы 3, 5 и 6 и 1.

 

 Применяем правило IV, формулы 5 и 1.

 

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных,  а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4), поэтому, будем находить производные  2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4. Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну  формулу.

Используем правило IV и формулу 4. Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

 

www.mathematics-repetition.com

Производная степенной функции (степени и корни)

Производная от x в степени a равна a, умноженному на x в степени a минус один:
(1)   .

Производная от корня степени n из x в степени m равна:
(2)   .

Вывод формулы производной степенной функции

Случай x > 0

Рассмотрим степенную функцию от переменной x с показателем степени a:
(3)   .
Здесь a является произвольным действительным числом. Сначала рассмотрим случай .

Чтобы найти производную функции (3), воспользуемся свойствами степенной функции и преобразуем ее к следующему виду:
.

Теперь находим производную, применяя правило дифференцирования сложной функции:
;
.
Здесь .

Формула (1) доказана.

Вывод формулы производной от корня степени n из x в степени m

Теперь рассмотрим функцию, являющуюся корнем следующего вида:
(4)   .

Чтобы найти производную, преобразуем корень к степенной функции:
.
Сравнивая с формулой (3) мы видим, что
.
Тогда
.

По формуле (1) находим производную:
(1)   ;
;
(2)   .

На практике нет необходимости запоминать формулу (2). Гораздо удобнее сначала преобразовать корни к степенным функциям, а затем находить их производные, применяя формулу (1) (см. примеры в конце страницы).

Случай x = 0

Если , то степенная функция определена и при значении переменной x = 0. Найдем производную функции (3) при x = 0. Для этого воспользуемся определением производной:
.

Подставим x = 0:
.
При этом под производной мы понимаем правосторонний предел, для которого .

Итак, мы нашли:
.
Отсюда видно, что при , .
При , .
При , .
Этот результат получается и по формуле (1):
(1)   .
Поэтому формула (1) справедлива и при x = 0.

Случай x < 0

Снова рассмотрим функцию (3):
(3)   .
При некоторых значениях постоянной a, она определена и при отрицательных значениях переменной x. А именно, пусть a будет рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
,
где m и n – целые числа, не имеющие общего делителя.

Если n нечетное, то степенная функция определена и при отрицательных значениях переменной x. Например, при n = 3 и m = 1 мы имеем кубический корень из x:
.
Он определен и при отрицательных значениях переменной x.

Найдем производную степенной функции (3) при и при рациональных значениях постоянной a, для которых она определена. Для этого представим x в следующем виде:
.
Тогда ,
.
Находим производную, вынося постоянную за знак производной и применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь . Но
.
Поскольку , то
.
Тогда
.
То есть формула (1) справедлива и при :
(1)   .

Производные высших порядков

Теперь найдем производные высших порядков от степенной функции
(3)   .
Производную первого порядка мы уже нашли:
.

Вынося постоянную a за знак производной, находим производную второго порядка:
.
Аналогичным образом находим производные третьего и четвертого порядков:
;

.

Отсюда видно, что производная произвольного n-го порядка имеет следующий вид:
.

Заметим, что если a является натуральным числом, , то n-я производная является постоянной:
.
Тогда все последующие производные равны нулю:
,
при .

Примеры вычисления производных

Пример

Найдите производную функции:
.

Решение

Преобразуем корни к степеням:
;
.
Тогда исходная функция приобретает вид:
.

Находим производные степеней:
;
.
Производная постоянной равна нулю:
.

Применяем правило дифференцирования суммы и выносим постоянные за знак производной:

.

Применяем правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь .

Преобразуем степени в корни:
;
;
;
;
;
.

Ответ

Еще примеры

Найти производные следующих функций, зависящих от переменной x:
    Решение > > >           Решение > > >           Решение > > >           Решение > > >           Решение > > >      

Найти производную шестого порядка следующей функции:
.
Решение > > >

Все примеры > > >

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 09-04-2017

1cov-edu.ru

Производная корня икс — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная корня икс равна единице, деленной на два таких же корня.

Данную формулу можно получить из формулы производной степенной функции , представив корень в виде дробного показателя:

Примеры решения задач по теме «Производная корня»

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции

Решение

Искомая производная

По правилам дифференцирования производная суммы равна сумме производных. То есть тогда

Производная первого слагаемого, как константы, равна 0:

Найдем производную второго слагаемого

Вначале по правилу дифференцирования вынесем константу за знак производной:

Далее находим производную от корня по формуле . И так как подкоренное выражение есть сложная функция (оно отлично от просто x), то еще дробь нужно будет умножить на производную от подкоренного выражения:

Производная от суммы равна сумме производных:

Первая производная от независимой переменной равна единице, а производная от константы 2 равна нулю, то есть имеем:

Итак,

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции

Решение

Искомая производная

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня. Но так как подкоренное выражение является сложной функцией (под корнем стоит не просто x, а sin x ), то еще надо домножить на производную от подкоренного выражения, то есть синуса. Производная от синуса равна косинусу . Тогда имеем:

Ответ

sciterm.ru

Как найти производную корня

В задачах по математическому анализу иногда требуется найти производную корня. В зависимости от условий задачи, производная от функции «корень квадратный» (кубический) находится непосредственно или путем преобразования «корня» в степенную функцию с дробным показателем.

Вам понадобится

• — карандаш;
• — бумага.

Инструкция

• Перед тем как находить производную корня, обратите внимание на остальные функции, присутствующие в решаемом примере. Если в задаче имеется много подкоренных выражений, то воспользуйтесь следующим правилом нахождения производной квадратного корня:(√х)’ = 1 / 2√х.
• А для нахождения производной кубического корня примените формулу:(³√х)’ = 1 / 3(³√х)²,где через ³√х обозначен кубический корень из х.
• Если в примере, предназначенном для дифференцирования, встречается переменная в дробных степенях, то переведите обозначение корня в степенную функцию с соответствующим показателем. Для квадратного корня это будет степень ½, а для кубического корня – ⅓:√х = х ^ ½,
  ³√х = x ^ ⅓,где символ ^ обозначает возведение в степень.
• Для нахождения производной степенной функции вообще и х^½, x^⅓, в частности, воспользуйтесь следующим правилом:(х ^ n)’ = n * x^(n-1).Для производной корня из этого соотношения вытекает:(х^½)’ = ½ x ^ (-½) и
  (x^⅓)’ = ⅓ x ^ (-⅔).
• Продифференцировав все корни, внимательно посмотрите на остальные части примера. Если в ответе у вас получилось очень громоздкое выражение, то наверняка его можно упростить. Большинство школьных примеров составлено таким образом, чтобы в итоге получилось небольшое число или компактное выражение.
• Во многих задачах на нахождение производной, корни (квадратные и кубические) встречаются вместе с другими функциями. Чтобы найти производную корня в этом случае, применяйте следующие правила:
  • производная константы (постоянного числа, C) равняется нулю: C’ = 0;
  • постоянный множитель выносится за знак производной: (k*f)’ = k * (f)’ (f – произвольная функция) ;
  • производная суммы нескольких функций равняется сумме производных: (f + g)’ = (f)’ + (g)’;
  • производная произведения двух функций равняется… нет, не произведению производных, а следующему выражению: (fg)’ = (f)’g + f (g)’;
  • производная частного также равняется не частному производных, а находится согласно следующего правила: (f/g)’ = ((f)’g – f(g)’) / g².

completerepair.ru

Решение квадратных уравнений через производные / Habr

Здравствуйте, уважаемые читатели. После прочтения статьи у вас, вероятно, возникнет закономерный вопрос: «А зачем, собственно, это надо?». В силу этого сперва считаю необходимым заблаговременно сообщить, что искомый метод решения квадратных уравнений представлен скорее с морально-эстетической стороны математики, нежели со стороны практического сухого применения. Также заранее извиняюсь перед теми читателями, которые посчитают мои дилетантские изречения неприемлемыми. Итак, начнем забивать гвозди микроскопом.

Имеем алгебраическое уравнение второй степени (оно же квадратное) в общем виде:

Перейдем от квадратного уравнения к квадратичной функции:

Где, очевидно, необходимо найти такие значения аргумента функции, в которых оная возвратила бы ноль.

Кажется, нужно просто решить квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Но мы ведь собрались здесь не для этого. Давайте-ка лучше возьмем производную!

Исходя из определения физического смысла производной первого порядка ясно, что подставляя аргумент в получившуюся выше функцию мы (в частности) получим скорость изменения функции в заданной этим аргументом точке.

Что же дальше делать? Непонятно. А в любом непонятном случае нужно брать производную ещё раз:

На этот раз мы получили «скорость скорости» изменения функции (то бишь ускорение) в конкретной точке. Немного проанализировав полученное, можно сделать вывод, что «ускорением» является константа, которая не зависит от аргумента функции — запомним это.

Сейчас вспомним немного физику и равноускоренное движение (РУД). Что у нас есть в арсенале? Верно, имеется формула для определения координаты перемещения по оси при искомом движении:

Где — время, — начальная скорость, — ускорение.
Нетрудно заметить, что наша изначальная функция как раз представляет из себя РУД.

Разве формула перемещения для РУД не является следствием решения квадратного уравнения?Нет. Формула для РУД выше по факту есть результат взятия интеграла от формулы скорости при ПРУД. Или из графика можно найти площадь фигуры. Там вылезет трапеция.
Формула перемещения при РУД не вытекает из решения каких-либо квадратных уравнений. Это очень важно, иначе не было бы смысла статьи.

Теперь осталось разобраться что есть что, и чего нам не хватает.

«Ускорение» у нас уже есть — им является производная второго порядка , выведенная выше. А вот чтобы получить начальную скорость , нам нужно взять в общем-то любой (обозначим его как ) и подставить его в производную теперь уже первого порядка — ибо она и будет искомым.

В таком случае возникает вопрос, какой же нужно взять? Очевидно, такой, чтобы начальная скорость была равна нулю, чтобы формула «перемещения при РУД» стала иметь вид:

В таком случае составим уравнение для поиска :

[подставили в производную первого порядка ]

Корнем такого уравнения относительно будет:

А значением исходной функции при таком аргументе будет:

Вспомним, какой целью мы задались в самом начале: «необходимо найти такие значения аргумента функции, в которых оная возвратила бы ноль». Иными словами, нам от положения необходимо «дойти до нуля».

Так как теперь нам известна начальная скорость, ускорение и какой путь необходимо пройти, то настало время отметить следующее:

, также как и

Тогда, подставив все известные величины, получим:

Поделим все на :

Теперь становится очевидно, что:

Соединим все «детали пазла» воедино:

Вот мы и получили окончательное решение поставленной задачи. Вообще Америку мы не открыли — мы просто пришли к формуле решения квадратного уравнения через дискриминант окольными путями. Практического смысла это не несет (примерно таким же образом можно решать уравнения первой/второй степени любого (не обязательно общего) вида).

Целью этой статьи является, в частности, подогрев интереса к анализу мат. функций и вообще к математике.

С вами был Петр, спасибо за внимание!

habr.com

Длина (норма) вектора: формула | Как находить длину вектора?

Примеры на нахождения нормы вектора

Пример:

Даны точки А(0;1), B(1;0), C(1;2) и D(2;1). Доказать, что .

Решение:

Вектора равны тогда, когда они сонаправлены и равны их длины, т.е.

Координаты векторов: и

Длины векторов соответственно равны: и

Соответсвенно , что и требовалось доказать.

Пример:

Дан вектор . Найти вектор одинаково направленный с вектором и имеющий в 2 раза большую длину.

Решение:

Длина вектора равна .

И по условию задачи: .

Пусть , тогда .

Так как вектора и одинаково направлены, то они коллинеарны, значит, соответствующие координаты векторов пропорциональны:

Таким образом:

Т.е. .

Откуда получаем: , а значит .

Вектор — противоположно направлен вектору , следовательно — искомый вектор.

shkolnaiapora.ru

Как найти длину вектора?

Здравствуйте! Не понимаю, почему же эти векторы вызывают такие трудности. Но мы поможем разобраться! Давайте начнём!
Сначала разберёмся с тем, что такое длина. Длина — числовая характеристика того, какую протяжённость имеет данная линия, а длина вектора  — неотрицательное число, которое будет равно длине AB. Так же следует правильно обозначать длину вектора:  ||.
Хорошо, с этим разобрались. У нас существует конкретная формула на то, как находить длину вектора (для плоских задач): (формула 1).
А для решения задач в пространстве:   (формула 2).

В этих формулах  обозначают соответствующие значения, что подробней разбиралось в теме сумма векторов.
У нас вектор  задан в пространстве, по-этому будем решать по второй формуле. И так, приступим к более подробному вопросу как найти длину вектора  :




И так, мы получили Ответ:  
Надеюсь, Вам это поможет!

ru.solverbook.com

Длина (норма) вектора: формула | Как находить длину вектора?

Примеры на нахождения нормы вектора

Пример:

Даны точки А(0;1), B(1;0), C(1;2) и D(2;1). Доказать, что \(\vec{AB}=\vec{CD}\).

Решение:

Вектора равны тогда, когда они сонаправлены и равны их длины, т.е. $$ \vec{AB}=\vec{CD}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\vec{AB}\uparrow\uparrow\vec{CD} \\\left | \vec{AB} \right |=\left |\vec{CD} \right | \end{matrix}\right. $$

Координаты векторов: \( \vec{AB}=\left \{ 1;-1 \right \} \) и \( \vec{CD}=\left \{ 1;-1 \right \} \)

Длины векторов соответственно равны: \( \left |\vec{AB} \right |=\sqrt{2} \) и \( \left |\vec{СВ} \right |=\sqrt{2} \)

Соответсвенно \(\vec{AB}=\vec{CD}\), что и требовалось доказать.

Пример:

Дан вектор \( \vec{x}=\left \{ 1;3 \right \} \). Найти вектор \( \vec{y} \) одинаково направленный с вектором \( \vec{x} \) и имеющий в 2 раза большую длину.

Решение:

Длина вектора \( \vec{x} \) равна \( \left |\vec{x} \right | =\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\).

И по условию задачи: \( \left |\vec{y} \right | =2\sqrt{10}\).

Пусть \( \vec{y}=\left \{ a;b \right \} \), тогда \( \left |\vec{y} \right | =\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{10}\).

Так как вектора \( \vec{x} \) и \( \vec{y} \) одинаково направлены, то они коллинеарны, значит, соответствующие координаты векторов пропорциональны: \( \frac{a}{1}=\frac{b}{3}\Rightarrow b=3a \)

Таким образом: $$ \left | \vec{y} \right | = \sqrt{a^2+b^2}= \sqrt{a^2+9a^2}=\sqrt{10a^2}=2\sqrt{10}$$

Т.е. \( \sqrt{10a^2}=\sqrt{40} \).

Откуда получаем: \( a^2=4 \), а значит \( a=\pm 2 \Rightarrow b=\pm6 \).

Вектор \( \vec{y}=\left \{ -2;-6 \right \} \) — противоположно направлен вектору \( \vec{x} \), следовательно \( \vec{y}=\left \{ 2;6 \right \} \) — искомый вектор.

all-math.ru

Модуль вектора. Длина вектора.

Навигация по странице:

Определение длины вектора

Определение.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Основное соотношение. Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {a_x ; a_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = {a_x ; a_y ; a_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства модуль вектора a = {a₁ ; a₂; … ; a_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = (	n	ai2)1/2
	Σ
	i=1

Примеры задач на вычисление длины вектора

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Пример 1. Найти длину вектора a = {2; 4}.

Решение: |a| = √2² + 4² = √4 + 16 = √20 = 2√5.

Пример 2. Найти длину вектора a = {3; -4}.

Решение: |a| = √3² + (-4)² = √9 + 16 = √25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Пример 3. Найти длину вектора a = {2; 4; 4}.

Решение: |a| = √2² + 4² + 4² = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Пример 4. Найти длину вектора a = {-1; 0; -3}.

Решение: |a| = √(-1)² + 0² + (-3)² = √1 + 0 + 9 = √10.

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Пример 5. Найти длину вектора a = {1; -3; 3; -1}.

Решение: |a| = √1² + (-3)² + 3² + (-1)² = √1 + 9 + 9 + 1 = √20 = 2√5

Пример 6. Найти длину вектора a = {2; 4; 4; 6 ; 2}.

Решение: |a| = √2² + 4² + 4² + 6² + 2² = √4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √76 = 2√19.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0oq.ru

длина суммы векторов и теорема косинусов

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

.

Перейдём к примерам.

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

---

Пример 3. Даны длины векторов и длина их суммы . Найти длину их разности .

Решение.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Пример 4. Даны длины векторов и длина их разности . Найти длину их суммы .

Решение.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между и :

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. ,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. ,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. ?

Решение.

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Поделиться с друзьями

Начало темы «Векторы»

Продолжение темы «Векторы»

function-x.ru

Векторы и операции над векторами

Векторы занимают особое место среди объектов, рассматриваемых в высшей математике, поскольку каждый вектор имеет не только числовое значение — длину, но и физическое и геометрическое — направленность. Вектор, представленный направленным отрезком, идущим от точки A к точке B, обозначается так: .

Вектор — это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (х, y, z). Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.

Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в конечной точке.

Все остальные термины — это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.

---

Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.

---

Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка. Это отрезок, у которого различают начало и конец.

Если A — начало вектора, а B — его конец, то вектор обозначается символом или одной строчной буквой . На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)

---

Длиной (или модулем) геометрического вектора называется длина порождающего его отрезка

---

Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.

---

В физике часто рассматриваются закреплённые векторы, заданные точкой приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным. Мы договоримся рассматривать только свободные векторы.

Умножение вектора на число

---

Сложение и вычитание векторов

Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило — правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

Пример 1. Упростить выражение:

.

Решение:

,

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат — требуемые в условии задачи векторы:

Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:

Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .

Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать — в уроке «Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов«.

А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе онлайн «Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)».

А где произведения векторов?

Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки «Скалярное произведение векторов» и «Векторное и смешанное произведения векторов».

Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).

Пусть — произвольный вектор (Рис. 5), а и — проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.

Составляющей вектора на оси l называется такой вектор , лежащий на этой оси, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец — с проекцией конца вектора .

Проекцией вектора на ось l называется число

,

равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Основные свойства проекций вектора на ось:

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.

4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Пример 5. Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l, если , а углы —

.

Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:

Находим окончательную проекцию суммы векторов:

.

Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось в соответствующем уроке, желательно открыть его в новом окне.

В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, и ось 0z – осью аппликат.

С произвольной точкой М  пространства свяжем вектор

,

называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через

Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz

---

Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:

        (2)

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.

После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме

              (3)

Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.

Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением

.

Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

,

то есть, координаты векторов пропорциональны.

Пример 6. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:

.

Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора

равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах

и выражается равенством

                       (4)

Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.

Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке

а конец – в точке

(рис.8).

Тогда

Из равенства

следует, что

Отсюда

или в координатной форме

          (5)

Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид

          (6)

Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам

,

,

.

Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким образом, орт вектора

или

.

Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть

,

получаем следующее равенство для направляющих косинусов:

.

Пример 7. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).

Решение. Длина вектора равна

Пример 8. Даны точки:

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:

Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.

Пример 9. Найти длину вектора и его направляющие косинусы, если .

Решение. Координаты вектора даны:

.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:

.

Находим направляющие косинусы:

Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:

или

или 

Укажем действия над этими векторами.

1.Сложение:

или, что то же

(при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются).

2.Вычитание:

или, что то же

,

(при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются).

3.Умножение вектора на число:

или, что то же

,

(при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число).

Пример 11. Даны два вектора, заданные координатами:

.

Найти заданный координатами вектор, являющийся суммой этих векторов: .

Решение:

.

Решить задачи на координаты векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

При изучении многих вопросов, в частности, экономических, оказалось удобным обобщить рассмотренные приёмы установления соответствия между числами и точками двумерного и трёхмерного пространства и рассматривать последовательности n действительных чисел как «точки» некоторого абстрактного «n-мерного пространства», а сами числа — как «координаты» этих точек. За составляющие n-мерного вектора можно принимать такие данные, как урожайность различных культур, объёмы продаж товаров, технические коэффициенты, номенклатура товаров на складах и т.д.

n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде

,

где  - i – й элемент (или i – я координата) вектора x.

Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:

Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, (2; 5) – двухмерный вектор, (2; -3; 0) – трёхмерный, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимерный,

—

n – мерный вектор.

Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:

0 = (0; 0; …; 0).

Введём операции над n-мерными векторами.

Произведением вектора

на действительное число  называется вектор

(при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число).

Зная вектор

можно получить противоположный вектор

Суммой векторов

и

называется вектор

,

(при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются).

Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж

,

где

—

продажи (затраты) k – м предприятием товара i, а k = 1, 2, 3,…, m .

Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:

Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:

При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:

Операции над n-мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.

Свойство 1.

Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4.

Свойство 5.

Свойство 6.

Поделиться с друзьями

Весь блок «Аналитическая геометрия»

• Векторы
• Плоскость
• Прямая на плоскости

function-x.ru

Сумма векторов, длина вектора

    Сумма векторов. Длина вектора. Дорогие друзья, в составе типов задний экзамена присутствует группа задач с векторами. Задания довольно широкого спектра (важно знать теоретические основы). Большинство решается устно. Вопросы связаны с нахождением длины вектора, суммы (разности) векторов, скалярного произведения. Так же много заданий, при решении которых необходимо осуществить действия с координатами векторов.

Теория касающаяся темы векторов несложная, и её необходимо хорошо усвоить. В этой статье разберём задачи связанные с нахождением длины вектора, также суммы (разности) векторов. Некоторые теоретические моменты:

Понятие вектора

Вектор — это направленный отрезок.

Все векторы, имеющие одинаковое направление и равные по длине являются равными.

*Все представленные выше четыре вектора равны!  

То есть, если мы будем при помощи параллельного переноса перемещать данный нам вектор, то всегда получим вектор равный исходному. Таким  образом, равных векторов может быть бесчисленное множество.

Обозначение векторов

Вектор может быть обозначен латинскими заглавными буквами, например:

При данной форме записи сначала записывается буква обозначающая начало вектора, затем буква обозначающая конец вектора.

Ещё вектор обозначается одной буквой латинского алфавита (прописной):

Возможно также обозначение без стрелок:

Сумма векторов

Суммой двух векторов АВ и ВС будет являться вектор АС.

Записывается как АВ+ВС=АС.

Это правило называется – правилом треугольника.

То есть, если мы имеем два вектора – назовём их условно (1) и (2), и конец вектора (1) совпадает с началом вектора (2), то  суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом вектора (1), а конец совпадает с концом вектора (2).

Вывод: если мы имеем на плоскости два вектора, то всегда сможем найти их сумму. При помощи параллельного переноса можно переместить любой из данных векторов и соединить его начало с концом другого. Например:

Перенесём вектор b, или по-другому – построим равный ему:

Как находится сумма нескольких векторов? По тому же принципу:

* * *

Правило параллелограмма

Это правило является следствием изложенного выше.

Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Построим вектор равный вектору b так, чтобы его начало совпадало с концом вектора a, и мы можем построить вектор, который будет являться их суммой:

Ещё немного важной информации, необходимой для решения задач.

Вектор, равный по длине исходному, но противоположно направленный, обозначается также но имеет противоположный знак:

Эта информация крайне полезна для решения задач, в которых стоит вопрос о нахождении разности векторов. Как видите, разность векторов это та же сумма  в изменнёном виде.

Пусть даны два вектора, найдём их разность:

Мы построили  вектор противоположный вектору b, и нашли  разность.

Координаты вектора

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала:

То есть,  координаты вектора представляют собой пару чисел.

Если

И координаты векторов имеют вид:

То   c₁= a₁+ b₁     c₂= a₂+ b₂

Если

То   c₁= a₁– b₁      c₂= a₂– b₂

Модуль вектора

Модулем вектора называется его длина, определяется по формуле:

Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:

Рассмотрим задачи:

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину разности векторов АО и ВО.

Найдём вектор, который будет являться результатом АО–ВО:

АО–ВО=АО+(–ВО)=АВ

То есть разность векторов  АО и ВО будет являться вектор АВ. А его длина равна восьми.

Ответ: 8

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ+AD.

Найдём вектор, который будет являться суммой векторов AD и AB. Вектор BC равен вектору AD. Значит AB+AD=AB+BC=AC

Длина вектора AC это длина диагонали ромба АС, она равна 16.

Ответ: 16

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО+ВО.

Найдём вектор, который будет являться суммой векторов АО и ВО. Вектор ВО равен вектору OD, значит

Длина вектора AD это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы в прямоугольном треугольнике AOD. Вычислим катеты:

По теореме Пифагора:

Ответ: 10

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО–ВО.

Найдём вектор, который будет являться результатом АО–ВО:

Длина вектора АВ это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы АВ в прямоугольном  треугольнике AOB. вычислим катеты:

По теореме Пифагора:

Ответ: 10

Стороны правильного треугольника ABC равны 3.

Найдите длину вектора АВ–АС.

Найдём результат разности векторов:

Длина вектора СВ равна трём, так как в условии сказано, что треугольник равносторонний и его стороны равны 3.

Ответ: 3

27663. Найдите длину вектора а(6;8).

Посмотреть решение

27664. Найдите квадрат длины вектора АВ.

Посмотреть решение

27707. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину вектора АС.

Посмотреть решение

27708. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину суммы векторов AB и AD.

Посмотреть решение

27709. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов AB и AD.

Посмотреть решение

27711. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов АО и ВО.

Посмотреть решение

27713. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ.

Посмотреть решение

27715. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16.

Найдите длину вектора АВ–AD.

Посмотреть решение

27716. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16.

Найдите длину вектора АВ–АС.

Посмотреть решение

Стороны правильного треугольника ABC равны 2√3. Найдите длину вектора АВ+АС.

Посмотреть решение

В будущем мы продолжим рассматривать задачи с векторами, не пропустите!  Задания будут связаны с координатами векторов, скалярным произведением.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр

Вступительный экзамен по математике. Преподаватели приглашают первого абитуриента:
— Сколько будет два плюс два?
— Три! — Нет! — Пять! — Нет! — Шесть!
— Неправильно! Да… дурак, но ищущий… берем!
Заходит второй абитуриент:
— Сколько будет два плюс два?
— Три! — Нет! — Три! — Нет! — Три!
— Неправильно! Да… дурак, но настырный… берем!
Заходит третий абитуриент:
— Сколько будет два плюс два?
— Четыре, конечно!
— Да… умный. Но мест уже нет!

P.S: Буду благодарен, если расскажете о статье в социальных сетях.

matematikalegko.ru

что это такое? Как отмечать точки и строить фигуры на координатной плоскости?

Математика – наука довольно сложная. Изучая ее, приходится не только решать примеры и задачи, но и работать с различными фигурами, и даже плоскостями. Одной из наиболее используемых в математике является система координат на плоскости. Правильной работе с ней детей учат не один год. Поэтому важно знать, что это такое и как правильно с ней работать.

Давайте же разберемся, что представляет собой данная система, какие действия можно выполнять с ее помощью, а также узнаем ее основные характеристики и особенности.

Определение понятия

Координатная плоскость — это плоскость, на которой задана определенная система координат. Такая плоскость задается двумя прямыми, пересекающимися под прямым углом. В точке пересечения этих прямых находится начало координат. Каждая точка на координатной плоскости задается парой чисел, которые называют координатами.

В школьном курсе математики школьникам приходится довольно тесно работать с системой координат – строить на ней фигуры и точки, определять, какой плоскости принадлежит та или иная координата, а также определять координаты точки и записывать или называть их. Поэтому поговорим подробнее обо всех особенностях координат. Но прежде коснемся истории создания, а затем уже поговорим о том, как работать на координатной плоскости.

Историческая справка

Идеи о создании системы координат были еще во времена Птоломея. Уже тогда астрономы и математики думали о том, как научиться задавать положение точки на плоскости. К сожалению, в то время еще не было известной нам системы координат, и ученым приходилось пользоваться другими системами.

Изначально они задавали точки с помощью указания широты и долготы. Долгое время это был один из наиболее используемых способов нанесения на карту той или иной информации. Но в 1637 году Рене Декарт создал собственную систему координат, названную впоследствии в честь великого математика «декартовой».

После опубликования труда «Геометрия» система координат Рене Декарта завоевала признание в научных кругах.

Уже в конце XVII в. понятие «координатная плоскость» стало широко использоваться в мире математики. Несмотря на то что с момента создания данной системы прошло уже несколько веков, она до сих пор широко используется в математике и даже в жизни.

Примеры координатной плоскости

Прежде чем говорить о теории, приведем несколько наглядных примеров координатной плоскости, чтобы вы смогли представить ее себе. В первую очередь координатная система используется в шахматах. На доске каждый квадрат имеет свои координаты – одну координату буквенную, вторую – цифровую. С ее помощью можно определить положение той или иной фигуры на доске.

Вторым наиболее ярким примером может служить любимая многими игра «Морской бой». Вспомните, как, играя, вы называете координату, например, В3, таким образом указывая, куда именно целитесь. При этом, расставляя корабли, вы задаете точки на координатной плоскости.

Данная система координат широко применяется не только в математике, логических играх, но и в военном деле, астрономии, физике и многих других науках.

Оси координат

Как уже говорилось, в системе координат выделяют две оси. Поговорим немного о них, так как они имеют немалое значение.

Первая ось — абсцисс — горизонтальная. Она обозначается как (Ox). Вторая ось — ординат, которая проходит вертикально через точку отсчета и обозначается как (Oy). Именно эти две оси образуют систему координат, разбивая плоскость на четыре четверти. Начало отсчета находится в точке пересечения этих двух осей и принимает значение 0. Только в случае если плоскость образована двумя пересекающимися перпендикулярно осями, имеющими точку отсчета, это координатная плоскость.

Также отметим, что каждая из осей имеет свое направление. Обычно при построении системы координат принято указывать направление оси в виде стрелочки. Кроме того, при построении координатной плоскости каждая из осей подписывается.

Четверти

Теперь скажем пару слов о таком понятии, как четверти координатной плоскости. Плоскость разбивается двумя осями на четыре четверти. Каждая из них имеет свой номер, при этом нумерация плоскостей ведется против часовой стрелки.

Каждая из четвертей имеет свои особенности. Так, в первой четверти абсцисса и ордината положительная, во второй четверти абсцисса отрицательная, ордината — положительная, в третьей и абсцисса, и ордината отрицательные, в четвертой же положительной является абсцисса, а отрицательной — ордината.

Запомнив эти особенности, можно с легкостью определить, к какой четверти относится та или иная точка. Кроме того, эта информация может пригодиться вам и в том случае, если придется делать вычисления, используя декартову систему.

Работа с координатной плоскостью

Когда мы разобрались с понятием плоскости и поговорили о ее четвертях, можно перейти к такой проблеме, как работа с данной системой, а также поговорить о том, как наносить на нее точки, координаты фигур. На координатной плоскости сделать это не так тяжело, как может показаться на первый взгляд.

В первую очередь строится сама система, на нее наносятся все важные обозначения. Затем уже идет работа непосредственно с точками или фигурами. При этом даже при построении фигур сначала на плоскость наносятся точки, а затем уже прорисовываются фигуры.

Далее мы поговорим подробнее о построении системы и непосредственно нанесении точек и фигур.

Правила построения плоскости

Если вы решили начать отмечать на бумаге фигуры и точки, вам понадобится координатная плоскость. Координаты точек наносятся именно на нее. Для того чтобы построить координатную плоскость, понадобится только линейка и ручка или карандаш. Сначала рисуется горизонтальная ось абсцисс, затем вертикальная — ординат. При этом важно помнить, что оси пересекаются под прямым углом.

Далее на каждой оси указывают направление и подписывают их с помощью общепринятых обозначений x и y. Также отмечается точка пересечения осей и подписывается цифрой 0.

Следующим обязательным пунктом является нанесение разметки. На каждой из осей в обоих направлениях отмечаются и подписываются единицы-отрезки. Это делается для того, чтобы затем можно было работать с плоскостью с максимальным удобством.

Отмечаем точку

Теперь поговорим о том, как нанести координаты точек на координатной плоскости. Это основа, которую следует знать, чтобы успешно размещать на плоскости разнообразные фигуры, и даже отмечать уравнения.

При построении точек следует помнить, как правильно записываются их координаты. Так, обычно задавая точку, в скобках пишут две цифры. Первая цифра обозначает координату точки по оси абсцисс, вторая — по оси ординат.

Строить точку следует таким образом. Сначала отметить на оси Ox заданную точку, затем отметить точку на оси Oy. Далее провести воображаемые линии от данных обозначений и найти место их пересечения — это и будет заданная точка.

Вам останется только отметить ее и подписать. Как видите, все довольно просто и не требует особых навыков.

Размещаем фигуру

Теперь перейдем к такому вопросу, как построение фигур на координатной плоскости. Для того чтобы построить на координатной плоскости любую фигуру, следует знать, как размещать на ней точки. Если вы умеете это делать, то разместить фигуру на плоскости не так уж и сложно.

В первую очередь вам понадобятся координаты точек фигуры. Именно по ним мы и будем наносить на нашу систему координат выбранные вами геометрические фигуры. Рассмотрим нанесение прямоугольника, треугольника и окружности.

Начнем с прямоугольника. Наносить его довольно просто. Сначала на плоскость наносятся четыре точки, обозначающие углы прямоугольника. Затем все точки последовательно соединяются между собой.

Нанесение треугольника ничем не отличается. Единственное – углов у него три, а значит, на плоскость наносятся три точки, обозначающие его вершины.

Касательно окружности тут следует знать координаты двух точек. Первая точка – центр окружности, вторая – точка, обозначающая ее радиус. Эти две точки наносятся на плоскость. Затем берется циркуль, измеряется расстояние между двумя точками. Острие циркуля ставится в точку, обозначающую центр, и описывается круг.

Как видите, тут также нет ничего сложного, главное, чтобы под рукой всегда были линейка и циркуль.

Теперь вы знаете, как наносить координаты фигур. На координатной плоскости это делать не так уж и сложно, как может показаться на первый взгляд.

Выводы

Итак, мы рассмотрели с вами одно из наиболее интересных и базовых для математики понятий, с которым приходится сталкиваться каждому школьнику.

Мы с вами выяснили, что координатная плоскость – это плоскость, образованная пересечением двух осей. С ее помощью можно задавать координаты точек, наносить на нее фигуры. Плоскость разделена на четверти, каждая из которых имеет свои особенности.

Основной навык, который следует выработать при работе с координатной плоскостью, – умение правильно наносить на нее заданные точки. Для этого следует знать правильное расположение осей, особенности четвертей, а также правила, по которым задаются координаты точек.

Надеемся, что изложенная нами информация была доступна и понятна, а также была полезна для вас и помогла лучше разобраться в данной теме.

fb.ru

Координатная плоскость. Видеоурок. Математика 6 Класс

Как известно, на каждом доме указаны его номер и название улицы – это адрес дома. На билете в любой зрительный зал написаны номер ряда и номер места – это адрес кресла. Для определения положения точки на глобусе надо знать долготу и широту – это адрес географической точки (географические координаты). Каждый объект имеет свой упорядоченный адрес (координаты). Таким образом, адрес или координаты – это числовое или буквенное обозначение того места, где находится объект.

Математиками была разработана модель, которая, в частности, позволяет описать любой зрительный зал (расположение мест в зале). Такая модель получила название координатная плоскость.

Чтобы из обычной плоскости получить координатную, необходимо начертить две перпендикулярные прямые, отмечая стрелками направления «вправо» и «вверх» (см. Рис. 1). На прямые наносят деления, как на линейку, причем точка пересечения прямых – это нулевая отметка для обеих шкал. Горизонтальную прямую обозначают  и называют осью абсцисс, вертикальную прямую обозначают  и называют осью ординат.

Две перпендикулярные оси  и  с разметкой называют прямоугольной, или декартовой, системой координат. Название «декартова» происходит от фамилии французского философа и математика Рене Декарта, который ее придумал.

Рис. 1. Координатная плоскость

Для любой точки на координатной плоскости можно указать два числа (координаты). На рисунке 2 показана точка  на координатной плоскости. Для получения координат этой точки необходимо через точку провести две прямые, параллельные координатным осям (обозначены пунктирной линией). Пересечение одной из прямых с осью абсцисс – это координата  точки , пересечение другой прямой с осью ординат – это координата  точки . Сначала указывают координату , потом . Точка  имеет координаты . Аналогично находим координаты точки , она имеет координаты  (см. Рис. 2).

Рис. 2. Определение координат точек на координатной плоскости

Можно сделать все и в обратном порядке. То есть изобразить точку на плоскости по известным координатам.

Пример

1. Построить точки по заданным координатам ,

Для построения точки  необходимо отложить число 2 на оси  и провести перпендикулярную прямую; на оси  откладываем число 5 и проводим перпендикулярную оси  прямую (см. Рис. 3). На пересечении перпендикуляров получим точку  с координатами .

Для построения точки  необходимо отложить на оси  число 3 и провести перпендикулярную оси   прямую; на оси  откладываем число (–1) и проводим перпендикулярную оси  прямую. На пересечении перпендикуляров получим точку  с координатами . (см. Рис. 3).

Рис. 3. Построение точек на координатной плоскости по заданным координатам

2. Построить точки по заданным координатам ,

Для построения точки  необходимо отложить число 3 на оси . Координата  равна нулю, следовательно, точка  лежит на оси  (см. Рис. 4).

Для построения точки  необходимо отложить число 2 на оси . Координата  равна нулю, следовательно, точка  лежит на оси  (см. Рис. 4).

Рис. 4. Построение точек на координатной плоскости по заданным координатам

Таким образом, если нулю равна координата , то точка лежит на оси , а если нулю равна координата , то точка лежит на оси .

1. Выписать координаты точек , , ,  (см. Рис. 5).

2. Изобразить точки , , , , .

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Решение

1. Для определения координат точки  проведем через нее две прямые, параллельные координатным осям. Пересечение одной из прямых с осью абсцисс – это координата , пересечение другой прямой с осью ординат – это координата . Следовательно, точка  имеет координаты  (см. Рис. 6).

Для определения координат точки  проведем через нее две прямые, параллельные координатным осям. Пересечение одной из прямых с осью абсцисс – это координата , пересечение другой прямой с осью ординат – это координата . Следовательно, точка  имеет координаты .

Точка  находится на оси , поэтому координата  равна нулю. Координата  этой точки равна (–2). Следовательно, точка  имеет координаты .

Точка  находится на оси , поэтому координата  равна нулю. Координата  этой точки равна –5. Следовательно, точка  имеет координаты .

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

2. Для построения точки  откладываем число (–3) на оси  и проводим перпендикулярную прямую; на оси  откладываем число (–2) и проводим перпендикулярную оси  прямую (см. Рис. 7). На пересечении перпендикуляров получим точку  с координатами .

Координата  точки  равна нулю, поэтому эта точка лежит на оси . Отложим на оси  число 5 и получим точку  с координатами .

Для построения точки  откладываем число 3 на оси  и проводим перпендикулярную оси  прямую; на оси  откладываем число 4 и проводим перпендикулярную оси  прямую. На пересечении перпендикуляров получим точку  с координатами .

Координата  точки  равна нулю, поэтому эта точка лежит на оси . Отложим на оси  число (–4) и получим точку  с координатами .

Две координаты точки  равны нулю, следовательно, эта точка лежит на оси  и на оси , то есть является точкой пересечения двух осей (начало координат).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Координатные оси разбивают координатную плоскость на четыре части – четверти. Порядковые номера четвертей принято считать  против часовой стрелки (см. Рис. 8).

Рис. 8. Нумерация четвертей координатной плоскости

Если точка имеет положительную координату  и положительную координату , то она лежит в первой четверти.

Если точка имеет отрицательную координату  и положительную координату , то она лежит во второй четверти.

Если точка имеет отрицательную координату  и отрицательную координату , то она лежит в третьей четверти.

Если точка имеет положительную координату  и отрицательную координату , то она лежит в четвертой четверти.

Например, у точки  координата  положительная, а координата  отрицательная, следовательно, эта точка находится в четвертой четверти.

 

---

Другие системы координат

Чтобы присвоить точке числовой «адрес» (координаты), используются и другие системы координат.

Причины использования различных систем координат:

1. Размерность.

На этом уроке мы рассматривали прямоугольную систему координат на плоскости. Размерность такого пространства равна 2, то есть точка задавалась двумя координатами. Однако пространство может иметь другую размерность, например равную единице, когда точка может менять свое положение только в одном направлении (двигаться вперед-назад или вверх-вниз). В качестве примера можно привести движение автомобиля по ровной дороге или движение лифта. Для указания местоположения точки нужна только одна координата. Эта координата будет означать то расстояние, которое проехал автомобиль (см. Рис. 9), или этаж, на котором находится лифт (см. Рис. 10).

Рис. 9. Координата в данном случае – это расстояние, на которое отъехал автомобиль

Рис. 10. Координата в данном случае – этаж, на котором находится лифт

В математике такая система координат представлена числовой или координатной осью. Чтобы из любой прямой получить координатную ось, необходимо отметить на прямой начало отсчета, масштаб и направление отсчета (см. Рис. 11). По одной координате можно однозначно понять, где находится точка.

Рис. 11. Координатная ось

Размерность пространства может быть равной трем (пространство, в котором мы живем, имеет три измерения). Для указания места положения точки в этом случае нужны три координаты. Например, если в высотном здании на каждом этаже находится кинотеатр, то для указания места в билете должны быть указаны три координаты – этаж, ряд, номер кресла. В математике такая система координат строится точно так же, как на п

interneturok.ru

Координатная плоскость. Координаты точки на плоскости

Если построить на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси: OX и OY, то они будут называться осями координат. Горизонтальная ось OX называется осью абсцисс (осью x), вертикальная ось OY – осью ординат (осью y).

Точка O, стоящая на пересечении осей, называется началом координат. Она является нулевой точкой для обеих осей. Положительные числа изображаются на оси абсцисс точками вправо, а на оси ординат – точками вверх от нулевой точки. Отрицательные числа изображаются точками влево и вниз от начала координат (точки O). Плоскость, на которой лежат оси координат, называется координатной плоскостью.

Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами. Принято эти четверти нумеровать римскими цифрами в том порядке, в котором они пронумерованы на чертеже.

Координаты точки на плоскости

Если взять на координатной плоскости произвольную точку A и провести от неё перпендикуляры к осям координат, то основания перпендикуляров лягут на два числа. Число, на которое указывает вертикальный перпендикуляр, называется абсциссой точки A. Число, на которое указывает горизонтальный перпендикуляр, – ординатой точки A.

На чертеже абсцисса точки A равна 3, а ордината 5.

Абсцисса и ордината называются координатами данной точки на плоскости.

Координаты точки записываются в скобках справа от обозначения точки. Первой записывается абсцисса, а за ней ордината. Так запись A(3; 5) обозначает, что абсцисса точки A равна трём, а ордината – пяти.

Координаты точки – это числа, определяющие её положение на плоскости.

Если точка лежит на оси абсцисс, то её ордината равна нулю (например, точка B с координатами -2 и 0). Если точка лежит на оси ординат, то её абсцисса равна нулю (например, точка C с координатами 0 и -4).

Начало координат – точка O – имеет и абсциссу и ординату равные нулю: O (0; 0).

Данная система координат называется прямоугольной или декартовой.

naobumium.info

Координаты на плоскости

Основные сведения о координатной плоскости

Каждый объект (например, дом, место в зрительном зале, точка на карте) имеет свой упорядоченный адрес (координаты), который имеет числовое или буквенное обозначение.

Математики разработали модель, которая позволяет определять положение объекта и называется координатной плоскостью.

Чтобы построить координатную плоскость нужно провести $2$ перпендикулярные прямые, на конце которых указываются с помощью стрелок направления «вправо» и «вверх». На прямые наносятся деления, а точка пересечения прямых является нулевой отметкой для обеих шкал.

Определение 1

Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается х, а вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается у.

Две перпендикулярные оси х и у с делениями составляют прямоугольную, или декартовую, систему координат, которую предложил французский философ и математик Рене Декарт.

Координатная плоскость

Координаты точки

Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.

Чтобы определить координаты точки $A$ на координатной плоскости нужно через нее провести прямые, которые будут параллельны координатным осям (на рисунке выделены пунктирной линией). Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ точки $A$, а пересечение с осью ординат дает координату у точки $A$. При записи координат точки сначала записывается координата $x$, а затем координата $y$.

Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.

Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.

Построение точки по заданным координатам

Пример 1

На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$

Решение.

Построение точки $A$:

• отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
• на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.

Построение точки $B$:

• отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
• на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.

Пример 2

Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.

Решение.

Построение точки $C$:

• отложим число $3$ на оси $x$;
• координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.

Построение точки $D$:

• отложим число $2$ на оси $y$;
• координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.

Замечание 1

Следовательно, при координате $x=0$ точка будет лежать на оси $y$, а при координате $y=0$ точка будет лежать на оси $x$.

Пример 3

Определить координаты точек A, B, C, D.$

Решение.

Определим координаты точки $A$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Таким образом, получаем, что точка $A (1; 3).$

Определим координаты точки $B$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Получаем, что точка $B (–2; 4).$

Определим координаты точки $C$. Т.к. она расположена на оси $y$, то координата $x$ этой точки равна нулю. Координата у равна $–2$. Таким образом, точка $C (0; –2)$.

Определим координаты точки $D$. Т.к. она находится на оси $x$, то координата $y$ равна нулю. Координата $x$ этой точки равна $–5$. Таким образом, точка $D (5; 0).$

Пример 4

Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Решение.

Построение точки $E$:

• отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
• на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
• на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$

Построение точки $F$:

• координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
• отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$

Построение точки $G$:

• отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
• на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
• на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4).$

Построение точки $H$:

• координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
• отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$

Построение точки $O$:

• обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).

spravochnick.ru

Координаты точки. Координатная плоскость — урок. Математика, 6 класс.

Во многих ситуациях реальной жизни мы используем два числа (или другие символы), чтобы точно описать нужный нам объект.

 

Место в зрительном зале задаётся номером ряда и номером кресла в ряду.

 

 

На шахматной доске позиция шахматной фигуры задаётся названием столбца и номером ряда.

 

 

Любая карта (или глобус) разделена на квадраты, и, подобно шахматной доске, каждый квадрат задаётся двумя номерами.

 

 

 

На экране компьютера каждая точка задаётся двумя номерами.

 

Система координат

 

Французский философ и математик Рене Декарт (\(1596\)–\(1650\)) уже в XVII веке предложил метод двух координат для нахождения точки на плоскости. Поэтому система координат названа его именем.

 

Декартовую систему координат образуют:

 

1. две перпендикулярные прямые, на которых указано направление возрастания чисел. Горизонтальная прямая называется осью Ox, или осью абсцисс. Вертикальная прямая называется осью Oy, или осью ординат.

 

2. Точка пересечения прямых — начало координатной системы, она часто обозначается через букву O.

 

3. Отрезки на каждой оси длиной в одну единицу измерения.

 

 

Для любой точки находят две координаты \(x\) и \(y\) (абсциссу и ординату) и записывают как AxA;yA.

На рисунке показаны координаты A2;4, то есть абсцисса точки \(A\) равна \(2\), а ордината точки \(A\) равна \(4\).

  

Если на плоскости выбрана система координат, то такую плоскость называют координатной  плоскостью. 

  

Так как оси координат делят плоскость на \(4\) части, каждая из них имеет номер и называется квадрантом.

  

В I квадранте находится положительная часть оси абсцисс и оси ординат.

Во II квадранте находится положительная часть оси ординат и отрицательная часть оси абсцисс.

В III квадранте находится отрицательная часть оси абсцисс и оси ординат.

В IV квадранте находится положительная часть оси абсцисс и отрицательная часть оси ординат.

  

www.yaklass.ru

что это такое? Как отмечать точки и строить фигуры на координатной плоскости?

Математика – наука довольно сложная. Изучая ее, приходится не только решать примеры и задачи, но и работать с различными фигурами, и даже плоскостями. Одной из наиболее используемых в математике является система координат на плоскости. Правильной работе с ней детей учат не один год. Поэтому важно знать, что это такое и как правильно с ней работать.

Давайте же разберемся, что представляет собой данная система, какие действия можно выполнять с ее помощью, а также узнаем ее основные характеристики и особенности.

Определение понятия

Координатная плоскость — это плоскость, на которой задана определенная система координат. Такая плоскость задается двумя прямыми, пересекающимися под прямым углом. В точке пересечения этих прямых находится начало координат. Каждая точка на координатной плоскости задается парой чисел, которые называют координатами.

В школьном курсе математики школьникам приходится довольно тесно работать с системой координат – строить на ней фигуры и точки, определять, какой плоскости принадлежит та или иная координата, а также определять координаты точки и записывать или называть их. Поэтому поговорим подробнее обо всех особенностях координат. Но прежде коснемся истории создания, а затем уже поговорим о том, как работать на координатной плоскости.

Историческая справка

Идеи о создании системы координат были еще во времена Птоломея. Уже тогда астрономы и математики думали о том, как научиться задавать положение точки на плоскости. К сожалению, в то время еще не было известной нам системы координат, и ученым приходилось пользоваться другими системами.

Изначально они задавали точки с помощью указания широты и долготы. Долгое время это был один из наиболее используемых способов нанесения на карту той или иной информации. Но в 1637 году Рене Декарт создал собственную систему координат, названную впоследствии в честь великого математика «декартовой».

После опубликования труда «Геометрия» система координат Рене Декарта завоевала признание в научных кругах.

Уже в конце XVII в. понятие «координатная плоскость» стало широко использоваться в мире математики. Несмотря на то что с момента создания данной системы прошло уже несколько веков, она до сих пор широко используется в математике и даже в жизни.

Примеры координатной плоскости

Прежде чем говорить о теории, приведем несколько наглядных примеров координатной плоскости, чтобы вы смогли представить ее себе. В первую очередь координатная система используется в шахматах. На доске каждый квадрат имеет свои координаты – одну координату буквенную, вторую – цифровую. С ее помощью можно определить положение той или иной фигуры на доске.

Вторым наиболее ярким примером может служить любимая многими игра «Морской бой». Вспомните, как, играя, вы называете координату, например, В3, таким образом указывая, куда именно целитесь. При этом, расставляя корабли, вы задаете точки на координатной плоскости.

Данная система координат широко применяется не только в математике, логических играх, но и в военном деле, астрономии, физике и многих других науках.

Оси координат

Как уже говорилось, в системе координат выделяют две оси. Поговорим немного о них, так как они имеют немалое значение.

Первая ось — абсцисс — горизонтальная. Она обозначается как (Ox). Вторая ось — ординат, которая проходит вертикально через точку отсчета и обозначается как (Oy). Именно эти две оси образуют систему координат, разбивая плоскость на четыре четверти. Начало отсчета находится в точке пересечения этих двух осей и принимает значение 0. Только в случае если плоскость образована двумя пересекающимися перпендикулярно осями, имеющими точку отсчета, это координатная плоскость.

Также отметим, что каждая из осей имеет свое направление. Обычно при построении системы координат принято указывать направление оси в виде стрелочки. Кроме того, при построении координатной плоскости каждая из осей подписывается.

Четверти

Теперь скажем пару слов о таком понятии, как четверти координатной плоскости. Плоскость разбивается двумя осями на четыре четверти. Каждая из них имеет свой номер, при этом нумерация плоскостей ведется против часовой стрелки.

Каждая из четвертей имеет свои особенности. Так, в первой четверти абсцисса и ордината положительная, во второй четверти абсцисса отрицательная, ордината — положительная, в третьей и абсцисса, и ордината отрицательные, в четвертой же положительной является абсцисса, а отрицательной — ордината.

Запомнив эти особенности, можно с легкостью определить, к какой четверти относится та или иная точка. Кроме того, эта информация может пригодиться вам и в том случае, если придется делать вычисления, используя декартову систему.

Работа с координатной плоскостью

Когда мы разобрались с понятием плоскости и поговорили о ее четвертях, можно перейти к такой проблеме, как работа с данной системой, а также поговорить о том, как наносить на нее точки, координаты фигур. На координатной плоскости сделать это не так тяжело, как может показаться на первый взгляд.

В первую очередь строится сама система, на нее наносятся все важные обозначения. Затем уже идет работа непосредственно с точками или фигурами. При этом даже при построении фигур сначала на плоскость наносятся точки, а затем уже прорисовываются фигуры.

Далее мы поговорим подробнее о построении системы и непосредственно нанесении точек и фигур.

Правила построения плоскости

Если вы решили начать отмечать на бумаге фигуры и точки, вам понадобится координатная плоскость. Координаты точек наносятся именно на нее. Для того чтобы построить координатную плоскость, понадобится только линейка и ручка или карандаш. Сначала рисуется горизонтальная ось абсцисс, затем вертикальная — ординат. При этом важно помнить, что оси пересекаются под прямым углом.

Далее на каждой оси указывают направление и подписывают их с помощью общепринятых обозначений x и y. Также отмечается точка пересечения осей и подписывается цифрой 0.

Следующим обязательным пунктом является нанесение разметки. На каждой из осей в обоих направлениях отмечаются и подписываются единицы-отрезки. Это делается для того, чтобы затем можно было работать с плоскостью с максимальным удобством.

Отмечаем точку

Теперь поговорим о том, как нанести координаты точек на координатной плоскости. Это основа, которую следует знать, чтобы успешно размещать на плоскости разнообразные фигуры, и даже отмечать уравнения.

При построении точек следует помнить, как правильно записываются их координаты. Так, обычно задавая точку, в скобках пишут две цифры. Первая цифра обозначает координату точки по оси абсцисс, вторая — по оси ординат.

Строить точку следует таким образом. Сначала отметить на оси Ox заданную точку, затем отметить точку на оси Oy. Далее провести воображаемые линии от данных обозначений и найти место их пересечения — это и будет заданная точка.

Вам останется только отметить ее и подписать. Как видите, все довольно просто и не требует особых навыков.

Размещаем фигуру

Теперь перейдем к такому вопросу, как построение фигур на координатной плоскости. Для того чтобы построить на координатной плоскости любую фигуру, следует знать, как размещать на ней точки. Если вы умеете это делать, то разместить фигуру на плоскости не так уж и сложно.

В первую очередь вам понадобятся координаты точек фигуры. Именно по ним мы и будем наносить на нашу систему координат выбранные вами геометрические фигуры. Рассмотрим нанесение прямоугольника, треугольника и окружности.

Начнем с прямоугольника. Наносить его довольно просто. Сначала на плоскость наносятся четыре точки, обозначающие углы прямоугольника. Затем все точки последовательно соединяются между собой.

Нанесение треугольника ничем не отличается. Единственное – углов у него три, а значит, на плоскость наносятся три точки, обозначающие его вершины.

Касательно окружности тут следует знать координаты двух точек. Первая точка – центр окружности, вторая – точка, обозначающая ее радиус. Эти две точки наносятся на плоскость. Затем берется циркуль, измеряется расстояние между двумя точками. Острие циркуля ставится в точку, обозначающую центр, и описывается круг.

Как видите, тут также нет ничего сложного, главное, чтобы под рукой всегда были линейка и циркуль.

Теперь вы знаете, как наносить координаты фигур. На координатной плоскости это делать не так уж и сложно, как может показаться на первый взгляд.

Выводы

Итак, мы рассмотрели с вами одно из наиболее интересных и базовых для математики понятий, с которым приходится сталкиваться каждому школьнику.

Мы с вами выяснили, что координатная плоскость – это плоскость, образованная пересечением двух осей. С ее помощью можно задавать координаты точек, наносить на нее фигуры. Плоскость разделена на четверти, каждая из которых имеет свои особенности.

Основной навык, который следует выработать при работе с координатной плоскостью, – умение правильно наносить на нее заданные точки. Для этого следует знать правильное расположение осей, особенности четвертей, а также правила, по которым задаются координаты точек.

Надеемся, что изложенная нами информация была доступна и понятна, а также была полезна для вас и помогла лучше разобраться в данной теме.

autogear.ru

Координатная плоскость

Координатная плоскость.

Возьмем две координатные прямые на плоскости. Пусть одна будет x, другая – y. И пусть эти прямые будут взаимно перпендикулярны (то есть пересекаются под прямым углом). Причем точка их пересечения будет началом координат для обеих прямых, а единичный отрезок одинаков (рис. 1).

Таким образом, мы получили прямоугольную систему координат, а наша плоскость стала координатной. Прямые x и y называют осями координат. Причем, ось x – осью абсцисс, а ось y – осью ординат. Обозначается подобная плоскость обычно по названию осей и точке отсчета – xOy. Прямоугольную систему координат также называют декартовой системой координат, так как впервые ее начал активно использовать французский математик и философ — Рене Декарт.

Прямоугольные углы, образованные прямыми x и y, называют координатными углами. Каждый угол имеет свой номер как показано на рис. 2.

Итак, когда мы говорили про координатную прямую у всякой точки этой прямой была одна координата. Теперь, когда идет речь о координатной плоскости, то у каждой точки этой плоскости уже будут две координаты. Одна соответствует прямой x (эту координату называют абсциссой), другая соответствует прямой y (эту координату называют ординатой). Записывается это таким образом: M(x;y), где x – абсцисса, а y – ордината. Читается как: «Точка M с координатами x, y».

Как определить координаты точки на плоскости?
Теперь мы знаем, что у каждой точки на плоскости есть две координаты. Для того чтобы узнать ее координаты нам достаточно через эту точку провести две прямые, перпендикулярные осям координат. Точки пересечения этих прямых с координатными осями и будут искомыми координатами. Так, например, на рис. 3 мы определили, что координатами точки M являются 5 и 3.

 

Как построить точку на плоскости по ее координатам?
Бывает и так, что мы уже знаем координаты точки на плоскости. И нам нужно найти ее расположение. Допустим у нас координаты точки (-2;5). То есть, абцисса равна -2, а ордината равна 5. Возьмем на прямой x (оси абсцисс) точку с координатой -2 и проведем через нее прямую a, параллельную оси y. Заметим, что любая точка на этой прямой будет иметь абсциссу равную -2. Теперь найдем на прямой y (оси ординат) точку с координатой 5 и проведем через нее прямую b, параллельную оси x. Заметим, что любая точка на этой прямой будет иметь ординату равную 5. На пересечении прямых a и b как раз и будет находиться точка с координатами (-2;5). Обозначим ее буквой P (рис. 4).

Добавим также, что прямая a, все точки которой имеют абсциссу -2, задается уравнением
x = -2 или что x = -2 – уравнение прямой a. Можно для удобства говорить не «прямая, которая задается уравнением x = -2», а просто «прямая x = -2». Действительно, для любой точки прямой a справедливо равенство x = -2. А прямая b, все точки которой имеют ординату 5, в свою очередь задается уравнением y = 5 или что y = 5 – уравнение прямой b.

Дата публикации: 06.09.2014 10:59 UTC

Теги: алгебра :: 7 класс :: геометрия :: координатная плоскость

---

Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:

Следующие учебники и книги:

• Методика обучения математике в начальной школе, Зайцева С.А., Румянцева И.Б., Целищева И.И., 2008
• Алгебра и начала математического анализа, книга для учителя, 11 класс, базовый и профил. уровни, Потапов М.К., Шевкин А.В., 2009
• Алгебра и начала математического анализа, книга для учителя, 10 класс, Потапов, Шевкин, 2008
• Линейное уравнение первой степени с двумя переменными

Предыдущие статьи:

---

nashol.com

Задача №139. Построение КПВ

На одном поле фермер может произвести 500 т картофеля или 100 т пшеницы, а на другом альтернативная стоимость выращивания 2 т пшеницы равна 5 т картофеля при максимальном производстве картофеля, равном 1000 т. Построить кривую производственных возможностей фермера.

Решение:

Кривая производственных возможностей (КПВ) – это кривая, каждая точка которой показывает максимальные количества двух экономических благ, которые способна произвести экономика страны при полном и эффективном использовании имеющихся ресурсов и текущем уровне технологий.

Из условия задачи известно, что на первом поле фермер может произвести либо 500 т картофеля, либо 100 т пшеницы.

Для построения кривой производственных возможностей первого поля откладываем по оси ординат (пшеница) максимальное количество выращенной пшеницы, которое производилось бы в экономике, если бы все имеющиеся ресурсы были направлены на производство пшеницы, то есть 100 т. Производство картофеля в этом случае равно нулю.

И наоборот, если все имеющиеся ресурсы направлены на производство картофеля, то максимальное количество – 500 т, которое может быть произведено при полном и эффективном использовании имеющихся ресурсов, мы откладываем по оси абсцисс (картофель). Производство пшеницы в этом случае равно нулю.

Соединив две эти точки, получим КПВ первого поля.

При этом альтернативные издержки (АИ) производства 1 т картофеля – это то количество пшеницы, от выращивания которого фермер вынужден отказаться:
100 / 500 = 0,2 т пшеницы.

На втором поле фермер может произвести максимально 1000 т картофеля или 400 т пшеницы, так как альтернативная стоимость выращивания 2 т пшеницы равна 5 т картофеля. Или альтернативные издержки 1 т картофеля равны 2 / 5 = 0,4 т пшеницы.

Построим суммарную КПВ для этого фермера.

Максимально возможный объём выращиваемой пшеницы – 500 тонн (на первом поле он может вырастить 100 тонн, на втором – 400 тонн). При этом объём картофеля будет нулевым. Отметим соответствующую точку на графике (точка А).

Далее определим, на каком из двух полей следует начать выращивать картофель, если фермер решит выращивать хотя бы небольшое его количество.

Для этой цели выберем из двух полей то, на котором выращивание каждой единицы картофеля приведёт к наименьшим потерям объёма пшеницы. То есть выберем то поле, где альтернативные издержки выращивания картофеля наименьшие.

На первом поле альтернативные издержки 1 т картофеля равны 0,2 т пшеницы.

А на втором поле альтернативные издержки 1 т картофеля равны 0,4 т пшеницы.

0,2 меньше чем 0,4, значит, для производства первых тонн картофеля выгоднее использовать первое поле.

Максимально на первом поле можно вырастить 500 т картофеля, пожертвовав при этом 100 тонн пшеницы.

Координаты точки перелома (точки В) – 500 тонн картофеля, 400 тонн пшеницы.

Максимальное количество картофеля, которое можно вырастить на двух полях равно 1500 тонн (500 тонн на первом поле и 1000 тонн на втором). При этом объём пшеницы будет нулевым. Обозначим точку С на оси абсцисс.

Соединив последовательно три точки А, В и С получим суммарную кривую производственных возможностей нашего фермера.

ecson.ru

Задача № 143. Построение КПВ

Дедушка, отец и сын организовали семейный бизнес по изготовлению столов и стульев. За год отец может изготовить 50 столов или 100 стульев, дедушка — 40 столов или 100 стульев, сын 100 столов или 150 стульев. Постройте кривую производственных возможностей семьи.

Решение:

Найдём оптимальную структуру производства столов и стульев. Выпуск стульев должен быть поручен тому члену семьи, чьи альтернативные издержки (альтернативная стоимость) выраженные в количестве столов минимальные.

Рассчитаем альтернативную стоимость производства одного стула для каждого члена семьи.

Для дедушки  альтернативная стоимость производства одного стула:

40 / 100 = 0,4 стола ← альтернативные издержки минимальные!!!

Для отца альтернативная стоимость производства одного стула:

50 / 100 = 0,5 стола

Для сына альтернативная стоимость производства одного стула:

100 / 150 = 2/3 стола

Если все члены семьи будут производить только столы, они изготовят 190 столов и 0 стульев.

Допустим, они пожелают начать производство стульев. Значит дедушка, у которого альтернативная стоимость производства стульев минимальная, должен производить стулья в количестве 100 штук. Тогда производством столов будут заниматься отец и сын. Они произведут 50 + 100 = 150 штук столов. Координаты точки перелома кривой производственных возможностей: (100 стульев, 150 столов).

Если спрос по стульям не будет удовлетворён, то к их производству подключится отец. Он следующий по возрастанию значения альтернативной стоимости стульев. Вместе с дедушкой отец произведёт 200 штук стульев.

Тогда сын будет один производить столы. И произведёт их в количестве 100 штук.

Координаты ещё одной точки перелома КПВ: (200 стульев, 100 столов).

И наконец, если все участники производства будут изготавливать только стулья, будет произведено 350 стульев и 0 столов.

Изобразим КПВ на графике:

ecson.ru

Задача № 144. Построение КПВ

Иван может получить на своем поле либо 400 т пшеницы, либо 1000 т картофеля. Для Петра альтернативной стоимостью выращивания одной тонны картофеля будет производство 0,25 т пшеницы при максимальном урожае картофеля, равном 1200 т. Два фермера – Иван и Петр – решили объединить свои усилия. Это не увеличит их производительности.

а) Построить кривую производственных возможностей «коллективного» хозяйства.

б) Верно ли, что альтернативной стоимостью производства первых 1200 т картофеля является производство 400 т пшеницы?

в) Верно ли, нельзя произвести 600 т картофеля и 550 т пшеницы?

г) Верно ли, что при производстве 1700 т картофеля альтернативной стоимостью увеличения производства картофеля на 20 т является отказ от 8 т пшеницы?

д) Верно ли, что для увеличения производства пшеницы с 200 т на 550 т нужно пожертвовать снижением урожая картофеля на 1100 т.

Решение:

а) Кривая производственных возможностей — это кривая, каждая точка которой показывает все возможные сочетания максимального производства двух экономических благ,  в условиях  полной занятости ресурсов и неизменной технологии.

Найдём координаты точек перелома:

А: Максимальное производство пшеницы обоих фермеров – 700 тонн. На поле Ивана можно вырастить 400 тонн, на поле Петра – 300 тонн:

1200 × 0,25 = 300.

При этом объём картофеля будет нулевым.

В: Далее определим, на каком из двух полей следует начать выращивать картофель, если фермер решит выращивать хотя бы небольшое его количество.

Для этой цели выберем из двух полей то, на котором выращивание каждой единицы картофеля приведёт к наименьшим потерям объёма пшеницы. То есть выберем то поле, где альтернативные издержки выращивания картофеля наименьшие.

На поле Ивана альтернативные издержки 1 т картофеля равны 0,4 т пшеницы.

А на поле Петра альтернативные издержки 1 т картофеля равны 0,25 т пшеницы.

0,25 меньше чем 0,4, значит, для производства первых тонн картофеля выгоднее использовать поле Петра.

Максимально на его поле можно вырастить 1200 т картофеля, пожертвовав при этом 300 тонн пшеницы.

Точка В будет иметь координаты: 1200 тонн картофеля, 400 тонн пшеницы.

С: Максимальное количество картофеля, которое можно вырастить на двух полях равно 2200 тонн (1000 тонн на поле Ивана и 1200 тонн на поле Петра). При этом объём пшеницы будет нулевым.

б) Неверно, так как альтернативной стоимостью производства первых 1200 т картофеля является производство 300 т пшеницы.

в) Точка, в которой производится 600 тонн картофеля, соответствует верхнему участку КПВ, отражающему производственные возможности поля Петра.

КПВ поля Петра является линейной функцией вида:

Y = a — b × X,

где а — максимально возможный объём пшеницы, когда все ресурсы используются только в производстве пшеницы,

b — коэффициент, характеризующий наклон КПВ и отражающий величину альтернативных издержек выращивания 1 т картофеля.

Итак, КПВ поля Петра описывается уравнением:

Y = 700 — 0,25 × X,

При производстве 600 тонн картофеля можно максимально вырастить:

Y = 700 — 0,25 × 600 = 550 тонн пшеницы.

Таким образом, можно произвести 600 т картофеля и 550 т пшеницы.

г) Точка, в которой производится 1700 т картофеля соответствует нижнему участку КПВ, отражающему производственные возможности поля Ивана.

На поле его поле альтернативные издержки 1 т картофеля равны 0,4 т пшеницы.

Альтернативной стоимостью увеличения производства картофеля на 20 т является отказ от 8 т пшеницы:

8 / 20  = 0,4 т пшеницы — верно.

д) Да, это так.

1700 — 600 = 1100

ecson.ru

Кривая производственных возможностей — 14 Августа 2015 — Примеры решений задач

www.reshim.su

Учимся решать экономические задачи

Контрольная работа «Предел функции» для студентов 1 курса

Контрольная работа

«Предел функции»

Найти предел функции

1

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Найти предел функции

2

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Найти предел функции

3

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Контрольная работа № 5

Найти предел функции

4

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Найти предел функции

5

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Найти предел функции

6

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Контрольная работа № 5

Найти предел функции

7

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Найти предел функции

8

а)

б)

в)

г)

д)