Чему равна мнимая единица i – .

Мнимая единица — Абсурдопедия

Единица — вздор! Единица — ноль!

~ Маяковский про мнимую единицу

Мнимая единица (讠, один с точечкой) — это:

• … мнимое число, которое определяется так: мнимая единица, умноженная на мнимую единицу, умноженная на мнимую единицу ещё раз, и ещё умноженная два раза на мнимую единицу, умноженная на мнимую единицу равна −1. Если то, что говорится в предыдущем предложении истинно, то оно ложно, если ложно — то истинно.
• выше была приведёна упрощённая формулировка для двоечников. Крайне сложная формулировка такова: i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}.

Эта вторая формулировка крайне сложна. Чтобы её понять и привести к простой, нужно разбить одно окно чем-нибудь, другое — головой. И сравнить осколки обоих стёкол и состояние головы и крыши до и после процедуры.

История открытия[править]

История мнимой единицы такова. Математик, напившись, сел за компьютер. Там он открыл блокнот, чтобы напечатать чистый лист из принтера и высморкаться в него. Но из-за пьянки он нечаянно нажал знак i. Шрифт был большим, потому что вчера он учил ребёнка примеру 3−4{\displaystyle 3-4}. Вот он и напечатал этот лист. И высморкался в него. Поэтому лист стал мятым. Он сказал: «Мятая единица с точечкой». А его друг не расслышал и сказал: «Мнимая единица… Эээ… Эх, какая водочка! Козявочкин, к доске! Вот тебе, двоечник, ещё пример. Вот это число в квадрате равно…». А наш математик ответил: «О, да, давай ещё стопочку! Ааа… Ты что, не знаешь отрицательных чисел? Нужно слушать, что говорят на уроке. Ответ равен минус одному». И они стали продолжать пить. Открытие осталось бы незапомненным, если бы не вор, который пробрался украсть компьютер. Он нёс с собой диктофон. И записывал всё, что говорили пьяные учёные. Зачем — неизвестно. Вор украл компьютер. Он хотел включить его, подключив к молниеотводу один провод, а другой — засунув себе в рот. Ударила молния… Дальше понятно. А диктофон нашёл пьяница и бросил его в окно дома учёных с целью разбить его. Он добился своего, но в то же время оказал невообразимое содействие науке. Учёные-математики после отрезвления прочитали запись в диктофоне и поняли, что они совершили открытие! Записав, что они сказали тогда, в математической форме, они получили выражение: i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1} Но оно было очень сложное, и понять его не удалось даже этим двум математикам. Математик, который напечатал мнимую единицу и высморкался в лист, поблагодарил своего друга за исправление. Вскоре, проанализировав осколки разбитого окна, математики решили, что данных для того, чтобы понять их слова, недостаточно. Поэтому они стали думать. Но вдруг один из них понял, что надо делать. И разбил головой другое окно. Сделав записи состояний окон, головы и крыши, он, проведя сложнейшие расчёты, решил, что крыша у него съехала и что мнимая единица, умноженная на мнимую единицу, умноженная на мнимую единицу ещё раз, и ещё умноженная два раза на мнимую единицу, умноженная на мнимую единицу равна −1{\displaystyle -1}.

Основные свойства[править]

После того, как сбрендившие учёные поняли, что такое мнимая единица, стали выводить разные формулы. Например:

i2+1=0{\displaystyle i^{2}+1=0}

i3=−i{\displaystyle i^{3}=-i}

(−i)2=−1=i2{\displaystyle (-i)^{2}=-1=i^{2}}, поэтому −i=i{\displaystyle -i=i}, далее: (−i)/i=−1{\displaystyle (-i)/i=-1}, (−i)/i=i/i=1{\displaystyle (-i)/i=i/i=1}

В итоге доказано, что 1=−1{\displaystyle 1=-1}, т.е отрицательные и положительные числа неотличимы.

Теперь докажем одно из самых важных свойств мнимой единицы — то, что в любом выражении её можно заменить на 1⋅{\displaystyle 1\cdot }. Точку можно поставить и справа, содержание от этого не изменится. Действительно, ведь мнимая единица — это единица с точечкой, то есть со знаком умножения, что и требовалось доказать.

Далее:

2i=2iee=21⋅ee=21{\displaystyle 2i={\frac {2ie}{e}}={\frac {21\cdot e}{e}}=21}

В итоге мы получили e-нное представление числа 2i{\displaystyle 2i} — это 2i=21{\displaystyle 2i=21}

Тождество Эйлера[править]

Существует следующее тождество:

eiπ+1=0{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

Его высказал Эйлер во сне. Поэтому его называют тождеством Эйлера. До сих пор учёные всего мира не понимают смысл этой формулы и удивляются её странностью. Не меньше удивления вызывает то, что этот великий математик подарил открытие миру в спящем состоянии. Он, проснувшись, показывал, что ничего не помнит, что ему «опять снились эти формулы бессмысленные». Но никто и не подумал пренебрегать великим открытием. Все без исключения должны верить тому, что сказал Эйлер. Он просто не захотел раскрывать строгого доказательства. Известны несколько доказательств, но известны и их опровержения.

Доказательство[править]

Т.к i=−i{\displaystyle i=-i}, данную формулу можно переписать в виде: e−iπ=−1{\displaystyle e^{-i\pi }=-1}. Первую формулу также перепишем: eiπ=−1{\displaystyle e^{i\pi }=-1}. Перемножим эти формулы:

e−iπ∗eiπ=(−1)∗(−1){\displaystyle e^{-i\pi }*e^{i\pi }=(-1)*(-1)}

eiπ−iπ=1{\displaystyle e^{i\pi -i\pi }=1}

1=1{\displaystyle 1=1}

В итоге мы получили верное равенство, которое вытекает из исходного, поэтому тождество Эйлера доказано!

Опровержение[править]

Т.к мнимая единица — это 1 с точечкой, или проще говоря, i=1⋅{\displaystyle i=1\cdot }. Поэтому:

eiπ+1=e1⋅π+1=eπ+1≠0{\displaystyle e^{i\pi }+1=e^{1\cdot \pi }+1=e^{\pi }+1\neq 0}

Тождество опровергнуто.

Опровержение опровержения[править]

Не верьте этому опровержению, Эйлер говорил правду!!! (остальные 54 308 428 790 203 478 762 340 052 723 346 983 453 487 023 489 987 231 275 412 390 872 348 472 восклицательных знака были удалены автоматическим фильтром)

Следствие[править]

Из тождества Эйлера следует нечто совсем уж парадоксальное. Перепишем тождество Эйлера в таком виде:

eiπ=−1{\displaystyle e^{i\pi }=-1}

Поскольку в правой части равенства стоит действительное число, значит и в левой части тоже действительное число. В таком случае мы можем смело возвести обе части этого равенства в квадрат:

e2iπ=1{\displaystyle e^{2i\pi }=1}

Отсюда неминуемо следует, что 2iπ=0{\displaystyle 2i\pi =0}, а значит, i=0{\displaystyle i=0}. Говорят, когда Эйлер это обнаружил, он свернулся в ленту Мёбиуса и укатился в Соловецкий монастырь, где и закончил свои дни в полном безумии.

Интересные факты[править]

• Если пользоваться мнимой единицей, то существует вероятность 65 % сдать ЕГЭ по математике на 95 баллов путем выноса мозга проверяющим.
• Вполне возможно, что успех компании Apple принесла именно мнимая единица, подсознательно влияющая на моск и вызывающая мнимое представление о реальных вещах.
• Поделить мнимую единицу на ноль можно: получается Мнимая бесконечность.
• Кроме мнимой единицы существуют и мнимая двойка, тройка, четверка и т. д. Однако ими не пользуются, ибо нефиг!
• Британские ученые доказали, что если выйти в плоскость комплексных чисел, то по замкнутому контуру можно проходить сквозь двери. Однако всех, кто пытался доказать это на практике, засосало в нуль-телепорт.
• Исходя из вышеописаного явления, можно предположить, что черная дыра может существовать только в плоскости комплексных чисел.
• Существует мнение, что изображение мнимой единицы получилось путем банального переворачивания знака !. Возможно это сделали для того, чтобы показать, насколько это число опасно и таинственно, и лучше глубоко не лезть в эти дебри. Скорее всего так и есть: в последнее время почти никто не занимается изучением мнимой единицы, особенно после экспериментов британских ученых. И только безумные ученые изредка решаются рискнуть своими задницами ради очередного, никому не нужного, мнимого открытия.

Человекам далеко не сведущим в математике, физике и алгебре, да что уж там — геометрии, рассуждения о мнимой единице представляется полным бредом. Прежде чем о ней рассуждать необходимо определиться, что такое отрицательные числа в природе. Дак, вот их НЕТ. Также как не может быть отрицательной скорости. Отрицательные числа прибывают в нашем воображении из-за того, что мы принимаем какое-либо значение за НОЛЬ. К примеру рассмотрим температуру вещества, а именно абсолютный ноль по Цельсию, это −273,15 °C (-459,67° по Фаренгейту), то есть полный покой вещества, когда его атомы «обездвижены» — вот это и есть НОЛЬ. Отсюда следует отрицательные числа, которые кажутся таковыми, следует записывать в скобках, например так:(-1). Физический смысл отрицательной степени — отсутствует. i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1} далее

i2+1=0{\displaystyle i^{2}+1=0} в нормальном виде (−1)2+1=0{\displaystyle (-1)^{2}+1=0}

i3=−i{\displaystyle i^{3}=-i} приведем в нормальный вид ((−1)2+1)∗(−1)=0{\displaystyle ((-1)^{2}+1)*(-1)=0}, раскроем скобки и получим (−1)3+(−1)=0{\displaystyle (-1)^{3}+(-1)=0}, именно так должна выглядеть формула,МЫ ЖЕ ЗНАЕМ со школы «При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом!»(кстати, никто не может объяснить этого правила в физическом смысле!) отсюда следует вывод в физическом смысле ВСЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА = 0 Их не существует!

В итоге Эйлером доказано, что 1=-1, такой же единице только по другую сторону шкалы!!!

absurdopedia.net

Мнимая единица — это… Что такое Мнимая единица?

Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксона или в рамках алгебр по Клиффорду.

Для комплексных чисел

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская или . Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами, имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «-i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» и на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для через радикал (как ).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е.  — это одно из решений уравнения

  или  

И тогда его вторым решением уравнения будет , что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени i повторяются в цикле:

Что может быть записано для любой степени в виде:

где n — любое целое число.

Отсюда: где mod 4 это остаток от деления на 4.

Число является вещественным :

^[1]

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

Также,

^[2]

Корни из мнимой единицы

В поле комплексных чисел корень n-ой степени имеет n решений. На комплексной плоскости эти корни находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

В частности, и

Также корни мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

Иные мнимые единицы

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть =«+1» или даже =«0». Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «».

См.также

Ссылки

dic.academic.ru

Мнимая единица — Википедия

Мни́мая едини́ца — обычно комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду.

Для комплексных чисел[править]

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская или . Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для через радикал (как ).

Определение[править]

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е.   — это одно из решений уравнения

  или  

И тогда его вторым решением уравнения будет , что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы[править]

Степени  повторяются в цикле:

Что может быть записано для любой степени в виде:

где n — любое целое число.

Отсюда: где

mod 4 — это остаток от деления на 4.

Число является вещественным:

^[1]

Факториал[править]

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

Также

^[2]

Корни из мнимой единицы[править]

Корни квадратные из мнимой единицы Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

В частности, и

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

Иные мнимые единицы[править]

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть =»+1″ или даже =»0″. Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «».

К вопросу об интерпретации и названии[править]

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i. Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

www.wikiznanie.ru

Мнимая единица — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Мни́мая едини́ца — обычно комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду.

Для комплексных чисел

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская <math>i</math> или <math>j</math>. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение <math>f(x)=0</math> с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение <math>x^2 + 1 = 0</math> не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для <math>i</math> через радикал (как <math>\sqrt{-1}</math>).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. <math>i</math>  — это одно из решений уравнения

<math>x^2 + 1 = 0, </math>   или   <math>x^2 = -1. </math>

И тогда его вторым решением уравнения будет <math>-i</math>, что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени <math>i</math> повторяются в цикле:

<math>\ldots</math>

<math>i^{-3} = i</math>

<math>i^{-2} = -1</math>

<math>i^{-1} = -i</math>

<math>i^0 = 1</math>

<math>i^1 = i</math>

<math>i^2 = -1</math>

<math>i^3 = -i</math>

<math>i^4 = 1</math>

<math>\ldots</math>

Что может быть записано для любой степени в виде:

<math>i^{4n} = 1</math>

<math>i^{4n+1} = i</math>

<math>i^{4n+2} = -1</math>

<math>i^{4n+3} = -i.</math>

где n — любое целое число.

Отсюда: <math>i^n = i^{n \bmod 4}</math> где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Число <math>i^i</math> является вещественным:

<math>i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots</math>^[1]

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

<math>i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 — 0.1549i.</math>

Также

<math>|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh(\pi)} \approx 0.521564… .</math>^[2]

Корни из мнимой единицы

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

<math>u_k=\cos {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,…,n-1</math>

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

<math>i=\cos\ {\frac{\pi}{2}} + i\ \sin\ {\frac{\pi}{2}}</math>

В частности, <math>\sqrt{i } = \left\{\frac{1 + i}{\sqrt{2}};\ \frac{-1 — i}{\sqrt{2}} \right\}</math> и <math>\sqrt[3]{i } = \left\{-i;\ \frac{i + {\sqrt{3}}}{2};\ \frac{i — {\sqrt{3}}}{2} \right\}</math>

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

<math>u_k=e^{\frac{(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) i}{n} }, \quad k=0,1,…,n-1</math>

Иные мнимые единицы

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть =»+1″ или даже =»0″. Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «<math>x^2 = -1</math>».

К вопросу об интерпретации и названии

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i. Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

Обозначения

Обычное обозначение <math>i</math>, но в радиотехнике мнимую единицу принято обозначать <math>j</math>, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: <math>i = i (t)</math>.

См.также

Напишите отзыв о статье «Мнимая единица»

Примечания

Ссылки

Отрывок, характеризующий Мнимая единица

Несколько купцов столпилось около офицера.
– Э! попусту брехать то! – сказал один из них, худощавый, с строгим лицом. – Снявши голову, по волосам не плачут. Бери, что кому любо! – И он энергическим жестом махнул рукой и боком повернулся к офицеру.
– Тебе, Иван Сидорыч, хорошо говорить, – сердито заговорил первый купец. – Вы пожалуйте, ваше благородие.
– Что говорить! – крикнул худощавый. – У меня тут в трех лавках на сто тысяч товару. Разве убережешь, когда войско ушло. Эх, народ, божью власть не руками скласть!
– Пожалуйте, ваше благородие, – говорил первый купец, кланяясь. Офицер стоял в недоумении, и на лице его видна была нерешительность.
– Да мне что за дело! – крикнул он вдруг и пошел быстрыми шагами вперед по ряду. В одной отпертой лавке слышались удары и ругательства, и в то время как офицер подходил к ней, из двери выскочил вытолкнутый человек в сером армяке и с бритой головой.
Человек этот, согнувшись, проскочил мимо купцов и офицера. Офицер напустился на солдат, бывших в лавке. Но в это время страшные крики огромной толпы послышались на Москворецком мосту, и офицер выбежал на площадь.
– Что такое? Что такое? – спрашивал он, но товарищ его уже скакал по направлению к крикам, мимо Василия Блаженного. Офицер сел верхом и поехал за ним. Когда он подъехал к мосту, он увидал снятые с передков две пушки, пехоту, идущую по мосту, несколько поваленных телег, несколько испуганных лиц и смеющиеся лица солдат. Подле пушек стояла одна повозка, запряженная парой. За повозкой сзади колес жались четыре борзые собаки в ошейниках. На повозке была гора вещей, и на самом верху, рядом с детским, кверху ножками перевернутым стульчиком сидела баба, пронзительно и отчаянно визжавшая. Товарищи рассказывали офицеру, что крик толпы и визги бабы произошли оттого, что наехавший на эту толпу генерал Ермолов, узнав, что солдаты разбредаются по лавкам, а толпы жителей запружают мост, приказал снять орудия с передков и сделать пример, что он будет стрелять по мосту. Толпа, валя повозки, давя друг друга, отчаянно кричала, теснясь, расчистила мост, и войска двинулись вперед.

В самом городе между тем было пусто. По улицам никого почти не было. Ворота и лавки все были заперты; кое где около кабаков слышались одинокие крики или пьяное пенье. Никто не ездил по улицам, и редко слышались шаги пешеходов. На Поварской было совершенно тихо и пустынно. На огромном дворе дома Ростовых валялись объедки сена, помет съехавшего обоза и не было видно ни одного человека. В оставшемся со всем своим добром доме Ростовых два человека были в большой гостиной. Это были дворник Игнат и казачок Мишка, внук Васильича, оставшийся в Москве с дедом. Мишка, открыв клавикорды, играл на них одним пальцем. Дворник, подбоченившись и радостно улыбаясь, стоял пред большим зеркалом.
– Вот ловко то! А? Дядюшка Игнат! – говорил мальчик, вдруг начиная хлопать обеими руками по клавишам.
– Ишь ты! – отвечал Игнат, дивуясь на то, как все более и более улыбалось его лицо в зеркале.
– Бессовестные! Право, бессовестные! – заговорил сзади их голос тихо вошедшей Мавры Кузминишны. – Эка, толсторожий, зубы то скалит. На это вас взять! Там все не прибрано, Васильич с ног сбился. Дай срок!
Игнат, поправляя поясок, перестав улыбаться и покорно опустив глаза, пошел вон из комнаты.
– Тетенька, я полегоньку, – сказал мальчик.
– Я те дам полегоньку. Постреленок! – крикнула Мавра Кузминишна, замахиваясь на него рукой. – Иди деду самовар ставь.
Мавра Кузминишна, смахнув пыль, закрыла клавикорды и, тяжело вздохнув, вышла из гостиной и заперла входную дверь.
Выйдя на двор, Мавра Кузминишна задумалась о том, куда ей идти теперь: пить ли чай к Васильичу во флигель или в кладовую прибрать то, что еще не было прибрано?
В тихой улице послышались быстрые шаги. Шаги остановились у калитки; щеколда стала стучать под рукой, старавшейся отпереть ее.
Мавра Кузминишна подошла к калитке.
– Кого надо?
– Графа, графа Илью Андреича Ростова.
– Да вы кто?
– Я офицер. Мне бы видеть нужно, – сказал русский приятный и барский голос.
Мавра Кузминишна отперла калитку. И на двор вошел лет восемнадцати круглолицый офицер, типом лица похожий на Ростовых.
– Уехали, батюшка. Вчерашнего числа в вечерни изволили уехать, – ласково сказала Мавра Кузмипишна.
Молодой офицер, стоя в калитке, как бы в нерешительности войти или не войти ему, пощелкал языком.
– Ах, какая досада!.. – проговорил он. – Мне бы вчера… Ах, как жалко!..
Мавра Кузминишна между тем внимательно и сочувственно разглядывала знакомые ей черты ростовской породы в лице молодого человека, и изорванную шинель, и стоптанные сапоги, которые были на нем.
– Вам зачем же графа надо было? – спросила она.
– Да уж… что делать! – с досадой проговорил офицер и взялся за калитку, как бы намереваясь уйти. Он опять остановился в нерешительности.
– Видите ли? – вдруг сказал он. – Я родственник графу, и он всегда очень добр был ко мне. Так вот, видите ли (он с доброй и веселой улыбкой посмотрел на свой плащ и сапоги), и обносился, и денег ничего нет; так я хотел попросить графа…
Мавра Кузминишна не дала договорить ему.

wiki-org.ru

Мнимая единица — Википедия. Что такое Мнимая единица

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Термин употребляется также в обобщённом смысле в конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду.

Для комплексных чисел

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i{\displaystyle i} или j{\displaystyle j}. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f(x)=0{\displaystyle f(x)=0} с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение x2+1=0{\displaystyle x^{2}+1=0} не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для i{\displaystyle i} через радикал (как −1{\displaystyle {\sqrt {-1}}}).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. i{\displaystyle i}  — это одно из решений уравнения

x2+1=0,{\displaystyle x^{2}+1=0,}   или   x2=−1.{\displaystyle x^{2}=-1.}

И тогда его вторым решением уравнения будет −i{\displaystyle -i}, что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени i{\displaystyle i} повторяются в цикле:

…{\displaystyle \ldots }

i−3=i{\displaystyle i^{-3}=i}

i−2=−1{\displaystyle i^{-2}=-1}

i−1=−i{\displaystyle i^{-1}=-i}

i0=1{\displaystyle i^{0}=1}

i1=i{\displaystyle i^{1}=i}

i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}

i3=−i{\displaystyle i^{3}=-i}

i4=1{\displaystyle i^{4}=1}

…{\displaystyle \ldots }

Что может быть записано для любой степени в виде:

i4n=1{\displaystyle i^{4n}=1}

i4n+1=i{\displaystyle i^{4n+1}=i}

i4n+2=−1{\displaystyle i^{4n+2}=-1}

i4n+3=−i.{\displaystyle i^{4n+3}=-i.}

где n — любое целое число.

Отсюда: in=inmod4{\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}} где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Из тождества Эйлера следует, что число ii{\displaystyle i^{i}} является вещественным:

ii=e(iπ/2)i=ei2π/2=e−π/2=0,20787957635…{\displaystyle i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots }.

Точнее, в комплексном анализе возведение в степень: xy=exp⁡(y⋅Ln⁡x){\displaystyle x^{y}=\exp(y\cdot \operatorname {Ln} x)} является многозначной функцией, поэтому

ii=e−π(1+4n)2{\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi (1+4n)}{2}}}}, где n∈Z{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }.

Также верно, что (−i)(−i)=ii{\displaystyle (-i)^{(-i)}=i^{i}}.

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

i!=Γ(1+i)≈0.4980−0.1549i.{\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}

Также

|i!|=πsinh⁡(π)≈0.521564….{\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564….}^[1]

Корни из мнимой единицы

Корни квадратные из мнимой единицы Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

uk=cos⁡π2+2πkn+i sin⁡π2+2πkn,k=0,1,…,n−1{\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,…,n-1}

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

i=cos⁡ π2+i sin⁡ π2{\displaystyle i=\cos \ {\frac {\pi }{2}}+i\ \sin \ {\frac {\pi }{2}}}

В частности, i={1+i2; −1−i2}{\displaystyle {\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}} и i3={−i; i+32; i−32}{\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

uk=e(π2+2πk)in,k=0,1,…,n−1{\displaystyle u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,…,n-1}

Иные мнимые единицы

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть = «+1» или даже = «0». Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «x2=−1{\displaystyle x^{2}=-1}».

К вопросу об интерпретации и названии

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i. Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

Обозначения

Обычное обозначение i{\displaystyle i}, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать j{\displaystyle j}, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: i=i(t){\displaystyle i=i(t)}.

В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.

См.также

Примечания

Ссылки

wiki.sc

Мнимая единица Википедия

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Термин может употребляться также в обобщённом смысле не только для комплексных чисел^[⇨].

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i{\displaystyle i} или j{\displaystyle j}. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f(x)=0{\displaystyle f(x)=0} с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение x2+1=0{\displaystyle x^{2}+1=0} не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для i{\displaystyle i} через радикал (как −1{\displaystyle {\sqrt {-1}}}).

Определение[

ru-wiki.ru

Мнимая единица Википедия

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Термин может употребляться также в обобщённом смысле не только для комплексных чисел^[⇨].

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i{\displaystyle i} или j{\displaystyle j}. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f(x)=0{\displaystyle f(x)=0} с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение x2+1=0{\displaystyle x^{2}+1=0} не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для i{\displaystyle i} через радикал (как −1{\displaystyle {\sqrt {-1}}}).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. i{\displaystyle i}  — это одно из решений уравнения

x2+1=0,{\displaystyle x^{2}+1=0,}   или   x2=−1.{\displaystyle x^{2}=-1.}

И тогда его вторым решением будет −i{\displaystyle -i}, что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени i{\displaystyle i} повторяются в цикле:

…{\displaystyle \ldots }

i−3=i{\displaystyle i^{-3}=i}

i−2=−1{\displaystyle i^{-2}=-1}

i−1=−i{\displaystyle i^{-1}=-i}

i0=1{\displaystyle i^{0}=1}

i1=i{\displaystyle i^{1}=i}

i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}

i3=−i{\displaystyle i^{3}=-i}

i4=1{\displaystyle i^{4}=1}

…{\displaystyle \ldots }

Что может быть записано для любой степени в виде:

i4n=1{\displaystyle i^{4n}=1}

i4n+1=i{\displaystyle i^{4n+1}=i}

i4n+2=−1{\displaystyle i^{4n+2}=-1}

i4n+3=−i.{\displaystyle i^{4n+3}=-i.}

где n — любое целое число.

Отсюда: in=inmod4{\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}} где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Из тождества Эйлера следует, что число ii{\displaystyle i^{i}} является вещественным:

ii=e(iπ/2)i=ei2π/2=e−π/2=0,20787957635…{\displaystyle i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots }.

Точнее, в комплексном анализе возведение в степень: xy=exp⁡(y⋅Ln⁡x){\displaystyle x^{y}=\exp(y\cdot \operatorname {Ln} x)} является многозначной функцией, поэтому

ii=e−π(1+4n)2{\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi (1+4n)}{2}}}}, где n∈Z{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }.

Также верно, что (−i)(−i)=ii{\displaystyle (-i)^{(-i)}=i^{i}}.

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

i!=Γ(1+i)≈0.4980−0.1549i.{\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}

Также

|i!|=πsinh⁡(π)≈0.521564….{\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564….}^[1]

Корни из мнимой единицы

Корни квадратные из мнимой единицы Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

uk=cos⁡π2+2πkn+i sin⁡π2+2πkn,k=0,1,…,n−1{\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,…,n-1}

В частности, i={1+i2; −1−i2}{\displaystyle {\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}} и i3={−i; i+32; i−32}{\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

uk=e(π2+2πk)in,k=0,1,…,n−1{\displaystyle u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,…,n-1}

Иные мнимые единицы

В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «x2=−1{\displaystyle x^{2}=-1}».

К вопросу об интерпретации и названии

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i. Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

Обозначения

Обычное обозначение i{\displaystyle i}, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать j{\displaystyle j}, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: i=i(t){\displaystyle i=i(t)}.

В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.

В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как I.

См.также

Примечания

Ссылки

wikiredia.ru