Построить график функции x f y – Построение графиков функций онлайн

Содержание

Построение графиков функций геометрическими методами / math5school.ru

 

График функции y=f(x)+a

График функции y=f(x–a)

График функции y=kf(x), k>0

График функции y=f(kx), k>0

График функции y=–f(x)

График функции y=f(–x)

График функции y=|f(x)|

График функции y=f(|x|)

 

График функции y=f(x)+a

Способ построения: параллельный перенос графика функции y=f(x) вдоль оси Oy на а единиц вверх, если a>0, и на |a| единиц вниз, если a<0.

 

       

       

 

 

График функции y=f(x–a)

Способ построения: параллельный перенос графика функции y=f(x) вдоль оси Ox на а единиц вправо, если a>0, и на |a| единиц влево, если a<0.

 

       

       

 

График функции y=kf(x), k>0

Способ построения: растяжение графика функции

y=f(x) вдоль оси Oy относительно оси Ox в k раз, если k>1, и сжатие в 1/k раз, если 0<k<1.

 

       

       

       

  

 

График функции y=f(kx), k>0

Способ построения: сжатие графика функции y=f(x) вдоль оси Ox относительно оси Oy в k раз, если k>1, и растяжение в 1/k раз, если 0<k<1.

 

       

       

        

 

 

График функции y=–f(x)

Способ построения: симметричное отражение графика функции y=f(x) относительно оси Ox.

 

       

       

 

 

График функции y=f(–x)

Способ построения: симметричное отражение графика функции y=f(x) относительно оси Oy.

 

       

       

 

 

График функции y=|f(x)|

Способ построения: часть графика функции y=f(x), расположенная ниже оси Ox, симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остаётся без изменения.

 

       

       

 

 

График функции y=f(|x|)

Способ построения: часть графика функции y=f(x), расположенная правее оси Oy и на ней, остаётся без изменения, а остальная его часть заменяется симметричным отображением относительно оси Oy части графика, расположенной правее оси Oy.

 

       

       

 

      Смотрите также:

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Степени

Арифметический корень n-й степени

Логарифмы 

Графики элементарных функций

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность 

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники 

Тела вращения 

 

math4school.ru

График функции y=f(|x|) | Алгебра

График функции y=f(|x|) может быть получен из графика функции y=f(x).

Для этого ту часть графика, которая лежит левее оси Oy, отбрасываем. Часть графика, расположенную правее оси ординат, сохраняем, и её же отображаем симметрично относительно оси Oy.

Точка, лежащая на оси Oy, при таком преобразовании остаётся на месте.

Примеры.

1) Построить график функции y= -x²+2|x|+8.

Решение:

Так как x²=|x|², запишем формулу функции в виде y= —|x|²+2|x|+8.

График функции y= —|x|²+2|x|+8 можно получить из графика функции y= -x²+2x+8. Для этого часть графика, лежащую слева от оси Oy, отбрасываем. Правее оси ординат график сохраняем и это же часть отображаем симметрично относительно оси Oy:

(1; 9) → (-1; 9),

(2; 8) → (-2; 8),

(3; 5) → (-3; 5),

(4; 0) → (-4; 0).

График y= -|x|²+2|x|+8 из графика y= -x²+2x+8.

2) График функции

   

получен из графика функции y=-4/(x-2).

Всё, что лежит левее оси Oy, отбрасываем, всё, что правее — отображаем симметрично относительно оси ординат:

 

3) График функции

   

получен из графика y=√x.

Отбрасывать здесь нечего, поскольку график полностью расположен правее оси ординат. Весь график сохраняем, и его же отображаем симметрично относительно оси Oy:

Геометрические преобразования — быстрый и удобный способ построения графиков на основе графиков элементарных функций. Поскольку в алгебре строить графики приходится достаточно часто, важно вовремя научиться пользоваться этим инструментом.

www.algebraclass.ru

Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|

Функция $f(x)=|x|$

$|x|$ — модуль. Он определяется следующим образом: Если действительное число будет неотрицательным, то значение модуля совпадает с самим числом. Если же отрицательно, то значение модуля совпадает с абсолютным значением данного числа.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 1

Исследуем и построим её график.

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. По определению модуля действительного числа, получим, что$E\left(f\right)=[0,\infty )$
  3. $f\left(-x\right)=|-x|=|x|=f(x)$. Значит, функция четна.
  4. При $x=0,\ y=0$. Точка $\left(0,0\right)$ — единственное пересечение с координатными осями.
  5. \[f’\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} {1,x >0,} \\ {-1,xФункция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$

    Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$

  6. Значения на концах области определения.

    \[{\mathop{\lim }_{x\to -\infty } y\ }=+\infty \] \[{\mathop{\lim }_{x\to +\infty } y\ }=+\infty \]

    Рисунок 1.

Функция $f(x)=[x]$

Функция $f\left(x\right)=[x]$ — функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».

Пример: $[2,6]=2.$

Пример 2

Исследуем и построим её график.

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
  3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
  4. $(0,0)$ — единственная точка пересечения с осями координат.
  5. $f’\left(x\right)=0$
  6. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.

Рисунок 2.

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ — функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.

$\{2,6\}=0,6$

Пример 3

Исследуем и построим график функции

  1. $D\left(f\right)=R$.

  2. Очевидно, что эта функция никогда не будет отрицательной и никогда не будет больше единицы, то есть $\ E\left(f\right)=[0,1)$

  3. $f\left(-x\right)=\{-x\}$. Следовательно, данная функция будет общего вида.

    Пересечение с осью $Ox$: $\left(z,0\right),\ z\in Z$

    Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

  4. $f’\left(x\right)=0$

  5. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$

    Рисунок 3.

Функция $f(x)=sign(x)$

Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ — сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 4

Исследуем и построим график функции

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. Непосредственно из определения, получим
  3. \[\ E\left(f\right)=\left\{-1\right\}\cup \left\{0\right\}\cup \{1\}\]
  4. $f\left(-x\right)=sign\left(-x\right)=-sign(x)$. Следовательно, данная функция будет нечетной.

    Пересечение с осью $Ox$: $\left(0,0\right)$

    Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

  5. $f’\left(x\right)=0$

  6. Функция имеет точку разрыва (скачка функции) в начале координат.

    Рисунок 4.

spravochnick.ru

Преобразование графиков функций у= f(x) в y=-f(x); y=f(-x); y=-f(-x); y=f(x-a); y=f(x)+b; y=f(ax); y=kf(x); y=|f(x)|; y=f(|x|). Построение графика обратной функции. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)

Преобразование графиков функций у= f(x) в y=-f(x):

  • График функции y=-f(x) получается преобразованием симметрии графика функции у= f(x) относительно оси x
  • Точки пересечения графика с осью x остаются неизменными

Преобразование графиков функций у= f(x) в  y=f(-x):

  • График функции y=f(-x) получается преобразованием симметрии графика функции у= f(x) относительно оси y
  • Точки пересечения графика с осью y остаются неизменными

Преобразование графиков функций у= f(x) в y=-f(-x):

  • График функции y=-f(-x) получается преобразованием симметрии графика функции у= f(x) относительно начала координат

Преобразование графиков функций у= f(x) в y=f(x-a):

  • График функции y=f(x-a) получается параллельным переносом графика функции у= f(x) вдоль оси x на |a| вправо при а>0 и влево при a<0
  • График периодической функции с периодом T не изменяется при параллельных переносах вдоль оси x на πT

dpva.ru

Как построить график функции у = f (x + t) + m, если известен график функции у = f(x)

На этом уроке вы узнаете, как построить график функции у = f (x + t) + m, если известен график функции у = f(x)

Мы умеем строить график функции y = f(x+t), если известен график функции y = f(x).

Правило построения графиков функции y = f(x+t):

y = f(x+t)

y = f(х) сдвигаем:

— при  на  единиц  

— при  на  единиц

Правило построения графиков функции y = f(x) + m:

y = f(x) + m

y = f(х) сдвигаем:

— при  на  единиц

— при  на  единиц

Пример. Построить график функции
Дано:
Решение. 1. Сначала мы должны построить график функции вида  в нашем случае это .

Так как -1 < 0, то, соответственно, график сдвигается вдоль оси Ох вправо на 1 единицу (рис. 1).

Рис. 1. График функции

2. Теперь построим :
Так как , а 2 > 0, то график, полученный в предыдущем действии, мы сдвигаем вверх 2 единицы (рис. 2).

 

Рис. 2. График функции
Этот график и будет графиком требуемой функции. Точка пересечения с осями – (0; 3).

Пример решен.

В данном примере числа -1 и 2 можно заменить на параметр

interneturok.ru

Как построить график функции y=m*f(x), если известен график функции y=f(x)

Дополнительные сочинения

На этом уроке мы обсудим построение модификаций графиков вида у = mf(x). Вначале мы вспомним, как строятся ранее изучаемые модификации графиков вида у = f(x±k) и у = f(x)±k. Далее мы рассмотрим построение графика функции вида у = mf(x) на примере функции синуса и сформулируем общее правило для подобных преобразований. В конце урока мы решим несколько примеров на построение схематического графика.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Как построить график функции y=m∙f(x), если известен график функции y=f(x)

1. Преобразование графиков: напоминание

Вспомним известные нам правила преобразования графиков.

1) Построить графики функций

Например:

получаем сдвигом кривой на 1 вправо по оси x;

получаем сдвигом кривой на 1 влево по оси x.

2) Построить графики функций

Например:

получаем сдвигом кривой на 1 вверх по оси y;

получаем сдвигом кривой на 1 вниз по оси y.

2. Построение графика функции y=m∙f(x) по известному графику y=f(x)

3) Построить график функции

Например:

Поместим значения функций в основных точках в таблицу.

И построим графики функций (рис. 3).

Исходную кривую необходимо растянуть или сжать в m раз. При точки графика остаются без изменения.

Рассмотрим значения функций в основных точках при

       

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

И построим графики функций

График функции симметричен графику функции относительно оси x.

3. Правило получения кривой y=m∙f(x)

Правило получения кривой из кривой

1. Точки пересечения кривой c осью x сохраняются без изменений.

2. В остальных точках области определения ордината изменяется в m раз (рис. 5).

4. Примеры

Используя правило, построим графики функций:

1)

2)

5. Вывод, заключение

Мы вспомнили известные ранее правила преобразования графиков функций и вывели новое правило, по которому из графика функции можно получить график функции , привели несколько примеров.

Правило будет использоваться и в дальнейшем, в частности, при исследовании гармонических колебаний.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 17.1 – 17.6.

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика .

2. Интернет-портал Problems. ru .

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам .

dp-adilet.kz

Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x)

На этом уроке мы рассмотрим построение модификаций графика вида у = f(k∙x). Вначале мы вспомним, как строится график вида у = m*f(x) и общее правило построения таких графиков. Далее мы рассмотрим построение модификаций графиков вида у = f(k∙x) при k>1 на примере функции синуса и сформулируем правило построения. И рассмотрим построение графиков при 0<k<1. В конце урока мы сформулируем общее правило для построения графиков данной модификации при k>0.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x)

Ранее мы рассматривали, как построить график функции  когда на число m умножалась вся функция, при этом необходимо было сжать или растянуть исходную кривую в m раз вдоль оси y.

Теперь вместо аргумента x в функцию подставим аргумент  и исходную кривую необходимо будет в  раз сжать или растянуть вдоль оси x.

Вспомним правило построения графика функции  

Дан график  необходимо получить график функции

           

0

0

0

0

0

0

interneturok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.