Функции уравнения – Функциональные уравнения

Функциональные уравнения

Мы с наслаждением познаем математику… Она восхищает нас, как цветок лотоса.

    К числу наиболее сложных задач школьной математики относятся задачи, связанные с решением функциональных уравнений. В настоящей статье приводятся определение и методы решения таких уравнений, а  также рассматриваются примеры решения соответствующих задач.

Основные понятия и свойства

    Функциональные уравнения являются уравнениями повышенной сложности и записываются в общем виде следующим образом:

           (1)

и

,               (2)

где  . При решении функциональных уравнений (1) и (2), как правило,  необходимо использовать следующие теоремы.   

    Теорема 1. Если функция возрастает на отрезке , то на этом отрезке уравнение (1) будет равносильно уравнению  

.

    Теорема 2. Если функция убывает на отрезке и при этом  нечетное, то на этом отрезке уравнение (1) будет равносильно уравнению  

    Отметим, что в этом случае функциональное уравнение (1) будет иметь не более одного корня. Это утверждение вытекает из того факта, что  уравнение (1) равносильно уравнению , левая часть которой представляет собой возрастающую функцию, а правая часть – убывающую функцию. Известно, что в таком случае, если уравнение имеет корень, то этот корень будет единственным.       

    Необходимо заметить, если функция

на отрезке убывает и при этом  четное число, то в таком случае для решения уравнений вида (1) необходимо привлекать другие методы   

    Теорема 3. Если функция возрастает (или убывает) на всей области определения переменной в уравнении (2), то уравнение будет равносильно уравнению .   

    Доказательство приведенных выше теорем приводится во втором учебном пособии из списка рекомендованной литературы.

Решение функциональных уравнений   

Пример 1. Решить уравнение   .               (3)

Решение. Из уравнения (3) следует, что . Введем в рассмотрение функцию . Тогда уравнение (3) принимает вид функционального уравнения . Поскольку функция

на области определения является возрастающей, то согласно теореме 1 уравнение (3) будет равносильно уравнению . Решая квадратное уравнение , получаем . Следовательно, уравнение (3) имеет корень  .

Ответ:  .

Пример 2.  Решить уравнение   .               (4)

Решение. Поскольку областью допустимых значений переменной   в уравнении (4) являются  , то из данного уравнения получаем функциональное уравнение

.               (5)

Так как функция    является возрастающей на области определения, то уравнение (5)  равносильно уравнениям   или    . Решая уравнение  , получаем

и  .

Ответ:  , .  

Пример 3.  Решить уравнение    .               (6)

Решение. Перепишем уравнение (6) в виде функционального уравнения . Так как функция возрастает на всей числовой оси , то уравнение будет равносильно уравнениям    или  .

Первый корень уравнения легко найти подбором. Этим корнем является  .

Так как  , то для поиска остальных корней уравнения (6) рассмотрим квадратное уравнение  .  Отсюда получаем    и   

.

Ответ:  , , .

    При решении следующего функционального уравнения нельзя использовать теорему 2, поэтому здесь применяется другой метод.

Пример 4.  Решить уравнение    .               (7)

Решение. Если обозначить , то  из уравнения (7) получим  систему уравнений

               (8)

Отсюда следует, что и . Если оба уравнения системы (8) возвести в квадрат, а затем из первого уравнения вычесть второе, то получим .

Рассмотрим два случая.

1. Пусть  , тогда или . Квадратное уравнение имеет единственный положительный корень  .

Нетрудно убедиться в том, что  .

2. Пусть  . Тогда , где  . После возведения в квадрат обеих частей данного уравнения получаем уравнение , корнями которого являются    и  .

Ответ:  ,  , .

Пример 5.  Решить уравнение   .               (9)

Решение. Уравнение (9) равносильно функциональному уравнению   

.               (10)

Так как функция является возрастающей на всей числовой оси , то уравнение (10) равносильно уравнению .  Первый корень уравнения   находим подбором, т.е.

.

Поскольку и , то уравнение (9) других корней не имеет.

Ответ:  .

Пример 6.  Решить систему уравнений                  (11)   

Решение. Введем в рассмотрение функцию  . В таком случае из системы (11) получаем совокупность двух уравнений и , т.е. здесь имеем функциональное уравнение .    

Так как для функции  выполняется условие теоремы 1, то уравнение равносильно уравнению , т.е. для решения заданной системы уравнений необходимо рассмотреть уравнения    или  ,  где  .  

Корень

уравнения находим подбором. Так как   и , то является единственным корнем кубического уравнения. Так как    и  , то  .

Поскольку система уравнений (11) является симметрической (относительно вхождения переменных и ) и найденный корень является единственным, то .

Ответ:  , .   

Пример 7.  Решить систему уравнений 

                                                                  (12)

Решение. Введем в рассмотрение функцию  ,  где  .  В таком случае система уравнений (12) принимает вид

Из данной системы уравнений вытекает функциональное уравнение вида . Так как функция  является убывающей и выполняется условие теоремы 2, то уравнение равносильно уравнению ,  т.е.    или  .

Так как функция   возрастает на области определения, то уравнение имеет не более одного корня. Этот единственный корень    нетрудно найти подбором.   

Однако в систему уравнений (12) все переменные входят симметрично и известно, что

является единственным корнем этой системы уравнений, 

поэтому    и  .

Ответ:  , , .   

Пример 8.  Решить уравнение   .               (13) 

Решение.  Так как уравнение (13) равносильно уравнению   ,   (14)

то положим и представим уравнение (14) в виде функционального уравнения (2), в котором   ,    и  .

Поскольку функция является возрастающей на положительной полуоси , то при решении уравнения можно воспользоваться теоремой 3. Согласно этой теореме уравнение (2) равносильно уравнению , т.е. решение уравнения (14) сводится к решению уравнения  . Отсюда получаем  

.

Ответ:  .   

Пример 9.  Решить систему уравнений                  (15)   

Решение. Первое уравнение системы (15) принимает вид функционального уравнения . Так как функция   всегда является возрастающей, то из уравнения    получаем  .     В таком случае из второго уравнения системы (15) следует  .   

Ответ:  , , , .  

    Для более глубокого изучения методов решения задач, связанных с решением функциональных уравнений, можно использовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы.

Рекомендуемая литература

1. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2017. – 200 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2017. – 296 с. 

Остались вопросы? 

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Функциональные уравнения

Разделы: Математика


Общепризнано, что решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе учения математики, является одним из основных средств их математического развития.

Ориентируя школьников на поиски красивых, изящных решений математических задач, учитель тем самым способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры. И всё же главная цель задач — развить творческое и математическое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к “открытию” математических фактов.

Достичь этой цели с помощью одних стандартных задач невозможно. Необходимы задачи, направленные на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера. Необходимы специальные упражнения для обучения школьников способам самостоятельной деятельности, для овладения ими методами научного познания реальной действительности и приемами умственной деятельности, которыми пользуются ученые-математики, решая ту или иную задачу.

В данной статье речь идет о функциональных уравнениях, о методах их решения. Функциональным уравнением называется соотношение, выражающее определённое свойство, которым обладает некоторый класс функций (некоторая функция).

Простейшими примерами функциональных уравнений могут служить : f(x) =f(- x) – уравнение чётности, f(x+Т) = f(x) – уравнение периодичности и др.

Функция f(x) называется решением данного функционального уравнения, если она удовлетворяет ему при всех значениях аргумента в области её определения.

Например, функции f(x) = ax2,f(x)=sin2x, где aR, являются частными решениями приведённых соответственно выше уравнений, в чём убедимся подстановкой ах2= а (-х)2.

Решить функциональное уравнение – значит установить, имеет ли оно решения, и найти их, если они имеются.

Приведем примеры решения функциональных уравнений методом подстановки. Этот метод заключается в том, что, применяя вместо х (или у) различные подстановки и комбинируя полученные уравнения с исходным, получаем (обычно путём исключения) алгебраическое уравнение относительно искомой функции.

Пример 1.

1) Пусть

2) Подставим в исходное уравнение, получим

3)Заменим z на получим или после преобразований в правой части уравнения:

4)Итак, получили два уравнения:

5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением, получим:

 Пример 2. 2

1)Заменим в уравнении на , получим 2 .

2) Умножим обе части исходного уравнения 2 на (-2) и сложим с уравнением 2 ,

получим:

.

Пример 3.

  1. Пусть тогда уравнение принимает вид:.
  2. Заменим в уравнении на , получим .
  3. Умножим уравнение на (-2) и сложим с уравнением , получим Таким образом,

Пример 4.

1) Заменим в уравнение на , .

2)Умножим уравнение на и вычтем из уравнения ,получим —

, где

Пример 5. ,

1)Заменим в уравнении на получим .

2)Выразим из исходного уравнения , получим

или .

3)Подставим в уравнение , получим .

Выполним преобразования

Пример 6. .

  1. Заменим на , получим
  2. Умножим обе части уравнения на и вычтем из уравнения

получим

Пример 7.

1)Пусть , тогда уравнение принимает вид:

2)Пусть тогда исходноеуравнение принимает вид:

3)Умножим обе части уравнения из п.1 на 2, а обе части уравнения из п.2 на (-3) и почленно сложим получившиеся уравнения:

Пример 8.

1) Заменим на , получим или .

2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим с исходным уравнением:

получаем :

Литература

  1. Кострикина Н.П. “Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов” — М: “Просвещение”, 1991г.
  2. Смышляев В.К.. Практикум по решению задач школьной математики. – М: “Просвещение”, 1978г.

 

20.01.2005

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Функциональные уравнения. Методы их решения

Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики

БОУ ДПО (ПК) С «Чувашский республиканский институт образования»

Минобразования Чувашии

Кафедра математики и информационных технологий

Курсовая работа на тему:

« Функциональные уравнения. Методы их решения»

Выполнил (а): учитель математики МБОУ «СОШ № 60»

г. Чебоксары

Флегентова А.А.

Чебоксары, 2014

Содержание

Введение……………………………………………………….……………..……3

Глава 1. Понятие функционального уравнения …………………………………5

Глава 2. Практическая часть. Методы решения функционального уравнения.9

Заключение……………………………………………………………………….24

Список литературы………………………………………………………………25

Приложения………………………………………………………………………26

Введение

Одно из важнейших математических умений, которым должны овладеть учащиеся школы, — умение решать уравнения. Корень уравнения находят в одно или более действий, многие текстовые задачи решаются алгебраическим способом, в уравнении могут участвовать целые, рациональные и другие числа, то есть уравнения одновременно сами по себе являются задачами и способами решения задач, умение, решать, которые необходимы всем учащимся школы. Но во время решения тренировочных заданий мне попалось уравнение, которое я решить не смогла. Как я узнала позже от учителя, это было функциональное уравнение.

Что же такое функциональные уравнения? И какие способы их решения существуют? Эти вопросы заинтересовали меня, и я решила провести исследование. функциональный уравнение коши

Функциональными уравнениями занимаются с очень давних пор, этому курсу так и не нашлось достойного места в математических программах. А жаль. Ведь решение отдельных функциональных уравнений требует достаточно глубокого понимания предмета и прививает любовь к самостоятельной творческой работе. Так как эта тема в школьном курсе не изучается в виду её сложности, при поступлении в престижные ВУЗы, на олимпиадах, в части С ЕГЭ такие задачи встречаются.

В настоящее время практически нет никаких пособий, обучающих решению функциональных уравнений.

Поэтому ощущается потребность в пособии, которое на простых и конкретных примерах способно показать читателю со скромной математической подготовкой весь арсенал современных методов решения функциональных уравнений.

Цель работы — выяснить, что является функциональным уравнением их системами, найти способы решения и составить сборник задач для использования математическими классами.

Задачи исследования:

1. изучение и анализ литературы;

2. поиск способов решения функциональных уравнений и их систем;

3. решение функциональных уравнений

4. составление сборника

Объект исследования: функциональные уравнения

Предмет исследования: изучение свойств и способов решения функциональных уравнений.

Структура: введение, понятие функционального уравнения, сборник задач, заключение.

Глава 1. Понятие функционального уравнения

Функциональное уравнение – это уравнение, которое содержит одну или несколько неизвестных функций (с заданными областями определения и значений). Решить функциональное уравнение – это, значит, найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют. Функциональные уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них. Часто встречаются на различных математических соревнованиях.

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это

f(x) = f(-x), f(-x) = — f(x), f(x+T) = f(x),

которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

(1)

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения

этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x).

Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности

была получена Н. И. Лобачевским (1792 – 1856) из функционального уравнения

, (2)

которое он решил методом, аналогичным методу Коши. Это уравнение можно привести к уравнению

.

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х); (х, f(х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,

(3)

Функциональному уравнению (3) удовлетворяют, в частности, функции:

,

Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши

f(x+y) = f(x)+f(y), (4)

f(x+y) = f(x)·f(y), (5)

f(xy) = f(x)+f(y), (6)

f(xy) = f(x)·f(y), (7)

Эти уравнения Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид

, , ,

В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.

Функциональное уравнение (4) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение — значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши (4) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax. Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax. Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (4)), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В ходе работы мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значени

infourok.ru

Функциональный метод решения уравнений — HintFox

Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где g(x) — элементарные функции, определенные на множествах D1, D2. Обозначим область изменения этих функций соответственно E1 и E2. Если х1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x1) = g(x1), где f(x1) значение функции f(x) при х = х1, а g(x1) — значение функции g(x) при х = х1. Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функций f(x) и g(x) имеют общие элементы (Е1∩Е2 !=∅). Если же таких общих элементов множества Е1 и Е2 не содержат, то уравнение решений не имеет.

Для оценки выражений используются базовые неравенства. (Приложение №2).

Примеры:

Пусть дано уравнение f(x) = g(x). Если f(x)>=0 и g(x)

Примеры.

1. x2+2xsinxy+1=0.

Решение. В левой части есть единица, значит, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: x2+ 2xsinxy+ sin2xy+cos2xy=0.

Сумма первых трех членов представляет собой полный квадрат:

(x+sinxy)2+cos2xy =0.

Следовательно, в левой части сумма квадратов, она равна нулю тогда, когда одновременно равны нулю выражения, стоящие в квадратах. Запишем систему: cosxy=0,x+sinxy=0.

Если cosxy=0, то sinxy= +-1, поэтому эта система равносильна совокупности двух систем: x+1=0,cosxy=0 или x-1=0,cosxy=0.

Их решениями являются пары чисел х=1, у = PI 2 + PIm, m∈Z, и x=-1, y = = PI 2 + PIm, m∈Z.

Ответ: х=1, у = PI 2 + PIm, m∈Z, и x=-1, y = = PI 2 + PIm, m∈Z.

Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций y = f(x), y = g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений fx=А,gx=А.

Примеры.

1. Найдите все значения a, при которых имеет решение уравнение

2cos222x-x2=a+3sin(22x-x2+1).

Решение.

После замены t= 22x-x2 приходим к уравнению cos(2t+PI3)=a-12.

Функция t=2mвозрастает, значит, она достигает своего наибольшего значения при наибольшем значении m. Но m=2х — х[2] имеет наибольшее значение, равное 1. Тогда tнаиб = 22·1-1=2. Таким образом, множеством значений функции t= 22x-x2является промежуток (0;2, а функции cos(2t+PI3)- промежуток -1;0,5). Следовательно, исходное уравнение имеет решение для тех и только тех значений a, которые удовлетворяют неравенствам -1

Ответ: -1

2. Решить уравнение (log23)x+a+2 = (log94)x2+a2-6a-5.

Решение.

Воспользовавшись очевидными неравенствами

1

Ответ: x= — 5+32, если a=1+32 и x=-5+32, если a= 1-32.

Можно подробнее рассмотреть и другие уравнения. (Приложение №3).

Глава 3. Использование свойства монотонности функции.

Функцию y = f(x) называют возрастающей (соответственно убывающей) на множестве Х, если на этом множестве при увеличении аргумента увеличиваются (соответственно уменьшаются) значения функции.

Иными словами, функция y = f(x) возрастает на множестве Х, если из х1∈Х, х2∈Х и х1

Она убывает на этом множестве, если из х1∈Х, х2∈Х и х1 f(x2).

Функцию y = f(x) называют нестрого возрастающей (соответственно нестрого убывающей) на Х, если из х1∈Х, х2∈Х и х1=f(x2)).

Функции, возрастающие и убывающие на Х, называют монотонными на Х, а функции, нестрого возрастающие или нестрого убывающие на Х, называют нестрого монотонными на Х.

Для доказательства монотонности функций используются следующие утверждения:

1. Если функция f возрастает на множестве Х, то для любого числа С функция f+С тоже возрастает на Х.

2. Если функция f возрастает на множестве Х и С > 0, то функция Сf тоже возрастает на Х.

3. Если функция f возрастает на множестве Х, то функция — f убывает на этом множестве.

4. Если функция f возрастает на множестве Х и сохраняет знак на множестве Х, то функция 1f убывает на этом множестве.

5. Если функции f и g возрастают на множестве Х, то их сумма f+g тоже возрастает на этом множестве.

6. Если функции f и g возрастают и неотрицательны на множестве Х, то их произведение fg тоже возрастает на Х.

7. Если функция f возрастает и неотрицательна на множестве Х и n — натуральное число, то функция fn тоже возрастает на Х.

8. Если обе функции f(x) и g(x) возрастающие или обе убывающие, то функция h(x) = f(g(x)) — возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая. А другая убывающая, то h(x) = f(g(x)) — убывающая функция.

Сформулируем теоремы об уравнениях.

Теорема 1.

Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(x) = С имеет на промежутке Х не более одного корня.

Теорема 2.

Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(g(x)) = f(h(x)) равносильно на промежутке Х уравнению g(x) = h(x).

Теорема 3.

Если функция f(x) возрастает на промежутке Х, а g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение g(x) = f(x) имеет на промежутке Х не более одного корня.

Теорема 4.

Если функция f(x) возрастает на промежутке Х, то уравнение f(f(x)) = x равносильно на промежутке Х уравнению f(x) = х.

Примеры.

1. Найдите все значения a, при которых имеет ровно три корня уравнение

4-x-alog3(x2-2x+3)+2-x2+2xlog13(2x-a+2)=0.

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду

2×2-2xlog3(x2-2x+3)= 22x-a-1log3(2x-a+2).

Если положить u = x2-2x, v=2x-a-1, то придем к уравнению

2ulog3(u+3)= 2vlog3(v+3).

Функция f (t) = 2tlog3(t+3) монотонно возрастает при t >-2, поэтому от последнего уравнения можно перейти к равносильному u = v, x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1)2=2x-a.

Это уравнение, как видно из рисунка, имеет ровно три корня в следующих случаях:

1. Вершина графика функции у = 2x-a располагается в вершине параболы у = (x-1)2, что соответствует a = 1;

2. Левый луч графика у = 2x-a касается параболы, а правый пересекает ее в двух точках; это возможно при a=12;

3. Правый луч касается, а левый — пересекает параболу, что имеет место при a=32.

Поясним второй случай. Уравнение левого луча у = 2a-2x, его угловой коэффициент равен -2. Следовательно, угловой коэффициент касательной к параболе равен

2(х -1) = -2 ⇒ х = 0 и точка касания имеет координаты (0; 1). Из условия принадлежности этой точки лучу находим a=12.

Третий случай можно рассмотреть аналогично или привлечь соображения симметрии.

Ответ: 0,5; 1;1,5.

Можно рассмотреть подробнее и другие уравнения. (Приложение №4).

Глава 4. Использование свойств выпуклости.

Пусть функция f(x) определена на промежутке Х она называется строго выпуклой вниз (вверх) на Х, если для любых u и v из Х, u!=v и 0λf(u) + (1 — λ)f(v)).

Геометрически это означает, что любая точка хорды ВС (то есть отрезка с концами в точках B(u;f(u)) и C(v;f(v)), отличная от точек В и С, лежит выше (ниже) точки А графика функции f(x), соответствующей тому же значению аргумента. (Приложение №5).

Функции строго выпуклые вверх и вниз называются строго выпуклыми.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.

Пусть функция f(x) является строго выпуклой вниз на промежутке Х, u ,v ∈X, u

Из теоремы 1 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2.

Если функция f(x) является строго выпуклой на промежутке Х, функции u = u(x), v = v(x), u1=u1(x), v1 = v1(x) такие, что при всех х из ОДЗ уравнения f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (1) их значения u(x), v(x), u1(x), v1(x) содержатся в Х и выполнено условие u+v = u1 +v1, то уравнение f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (2) на ОДЗ равносильно совокупности уравнений u (x) = u1(x), u(x) = v1(x) (3).

Примеры.

1. 41-sin4x+41-cos4x=412.

Решение. Если положим fx= 41-x2, u=cos2x, v=sin2x, u1=v1=12, то данное уравнение запишется в виде (1). Поскольку f’x= -x24(1-x2)3, f»x=-2+x244(1-x2)7, то функция fx является строго выпуклой вверх на сегменте -1;1. Очевидно, что выполнены остальные условия теоремы 2 и, следовательно, уравнение равносильно уравнению cos2x = 0,5, х = PI4 +PIk2, где k∈Z.

Ответ: х = PI4 +PIk2, где k∈Z.

Теорема 3.

Пусть функция fx является строго выпуклой на промежутке Х и u,v, λv+(1-λ)u∈X. Тогда равенство f (λv+(1-λ)u) = λf(v)+(1-λ)f(u) (4) справедливо в том и только и том случае, если либо u=v, либо λ=0, либо λ=1.

Примеры: sin2xcos3x+cos2xsin3x∙1+sin2xcos3x+cos2xsin3x= sin2xcos3x1+cos3x+cos2xsin3x1+sin3x.

Решение.

Уравнение имеет вид (4), если fx=x1+x= x+x2, u=sin3x, v= cos3x, λ=sin2x.

Очевидно, что функция fx является строго выпуклой вниз на R. Следовательно, по теореме 3 исходное уравнение равносильно совокупности уравнений sinx=0, sin2x=1, cos3x=sin3x.

Отсюда получаем, что его решениями будут PIk2, PI12+PIn3, где k,n∈Z.

Ответ: PIk2, PI12+PIn3, где k,n∈Z.

Использование свойств выпуклости применяется при решении и более сложных уравнений. (Приложение № 6).

Глава 5. Использование свойств четности или нечетности функций.

Функция fx называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение — х также принадлежит области определения и выполняется равенство f-x= fx. Функция fx называется нечетной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение — х также принадлежит области определения и выполняется равенство f-x=- fx.

Из определения следует, что области определения четной и нечетной функций симметричны относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная — равные по абсолютной величине, но противоположного знака.

Теорема 1.

Сумма, разность, произведение и частное двух четных функций являются четными функциями.

Теорема 2.

Произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции.

Пусть имеем уравнение F(x)=0, где F(x) — четная или нечетная функция.

Чтобы решить уравнение F(x) = 0, где F(x) — четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, симметричные полученным, и для нечетной функции корнем будет х = 0, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение х = 0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.

Примеры.

1. 8x=2x+2+x-2.

Решение.

В обеих частях уравнения имеем четные функции. Поэтому достаточно найти решения для x>=0. Так как x=0 не является корнем уравнения, рассмотрим два промежутка: (0;2, 2;infinity.

а) На промежутке (0;2 имеем:

8x= 2x+2-x+2, 23x=24, x= 43.

b) На промежутке 2;infinity имеем:

8x= 2x+2+x-2,23x=22x, x=0.

Но так как х = 0 не является корнем уравнения, то для х>0 данное уравнение имеет корень x= 43. Тогда x=- 43 также является корнем уравнения.

Ответ: 43; — 43.

Автор полагает, что работа может быть использована учителями и учащимися общеобразовательных типов на факультативных занятиях, при подготовке к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ, вступительным экзаменам в технические учебные заведения.

www.hintfox.com

I. Понятие функционального уравнения — МегаЛекции

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Автор работы: Багаутдинова Альбина,

ученица 11 «А» класса СОШ № 11

Научный руководитель: Петрова Ирина Владимировна,

учитель математики

Г. Зеленодольск

Содержание

 

Введение……………………………………………………………………………………………. 3

I. Понятие функционального уравнения……………………………………………… 4

II. Способы решения функциональных уравнений……………………………… 6

1.Простейшие функциональные уравнения……………………………………….. 6

2.Решение функциональных уравнений методом подстановки………… 7

3.Решение функциональных уравнений методом Коши……………………. 16

4.Использование значений функции в некоторых точках………………….. 18

5.Уравнение относительно f(x)…………………………………………………………… 19

6.Графическое решение функциональных уравнений……………………….. 19

Заключение………………………………………………………………………………………….. 21

Список использованной литературы…………………………………..….. 22

Приложения…………………………………………………………………. 23

Введение

Одно из важнейших математических умений, которым должны овладеть учащиеся средней школы, − умение решать уравнения. Корень уравнения находят в одно или более действий, многие текстовые задачи решаются алгебраическим способом, то есть уравнения одновременно сами по себе являются задачами и способами решения задач, умение решать которые необходимы всем учащимся школы. Но во время решения тренировочных заданий мне попалось уравнение, которое я решить не смогла. Как я узнала позже от учителя, это было функциональное уравнение.

Что же такое функциональные уравнения? И какие способы их решения существуют? Эти вопросы заинтересовали меня, и я решила провести исследование.

Актуальность работы заключается в том, что эта тема в школьном курсе математики не изучается в виду её сложности, а при поступлении в престижные ВУЗы, на олимпиадах, в заданиях части С ЕГЭ такие задачи встречаются.

Цель работы — выяснить, что является функциональным уравнением, найти способы решения и научиться применять их на практике.



Задачи исследования:

1. Изучение и анализ литературы;

2. Поиск способов решения функциональных уравнений;

3.Применение полученных знаний при решении функциональных уравнений.

Структура работы: введение, понятие функционального уравнения, способы решения функциональных уравнений, примеры решения функциональных уравнений, заключение.

 

I. Понятие функционального уравнения

Функциональное уравнение – это уравнение, которое содержит одну или несколько неизвестных функций (с заданными областями определения и значений).

Функция f(x) называется решением данного функционального уравнения, если она удовлетворяет ему при всех значениях аргумента в области её определения.

Решить функциональное уравнение – это, значит, найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют.

Функциональные уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса. Это уравнения f(x) = f(-x), f(-x) = — f(x), f(x+T) = f(x), которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность. Простым видом функциональных уравнений является реккурентное соотношение, знакомое нам по теме Последовательности, которое , говоря формально, содержит неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига. ( пример реккурентного соотношения: ).

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

(1)

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x):

.

Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности

была получена Н. И. Лобачевским (1792 – 1856) из функционального уравнения

(2)

которое он решил методом, аналогичным методу Коши. Это уравнение можно привести к уравнению

.

Решение — .

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х); (х, f(х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,

(3)

 

Функциональному уравнению (3) удовлетворяют, в частности, функции:

,

Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши

f(x+y) = f(x)+f(y), (4)

f(x+y) = f(x)·f(y), (5)

f(xy) = f(x)+f(y), (6)

f(xy) = f(x)·f(y), (7)

Эти уравнения Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид

, , ,

В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.

Функциональное уравнение (4) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение − значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши (4) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax. Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax. Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (4)), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В ходе работы мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции, т. е. f(x) = ax для x Q. Казалось бы, что тогда f(x) = ax для всех действительных x. Если f(x) — непрерывна, то это действительно так, если же данное предположение отбросить — то нет. Первый пример отличного от f(x) = ax разрывного решения функционального уравнения (4) построил в 1905 году немецкий математик Г. Гамель с помощью введённого им базиса действительных чисел.

Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение f(x+1) = f(x) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f(1+x) = f(1-x) — класс функций, симметричных относительно прямой x = 1, и т. д.


Рекомендуемые страницы:


Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

Решить функциональное уравнение онлайн | UpByte.Net

Это не тривиальная задача и обычным студентам скорее всего наш калькулятор не пригодится. Решают функциональные уравнения или студенты-математики или те, кто занимается наукой. Но мы не могли пройти мимо возможности облегчить жизнь и тем и другим. Обычно и те и другие уже хорошо знают что такое функциональное уравнение, но на всякий случай ликбез:
Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.
А теперь по сути. Самый простой способ решить функциональное уравнение с помощью нашего калькулятора — ввести в строку решателя это уравнения. Вот первый пример (чтобы попробовать пример — кликните на пиктограмму «вставить в калькулятор» и нажмите кнопку»Решить»):
2f(x)-f(x/2)=3x^2
Следующий пример, показывает как можно использовать команду solve (если использовать такую команду, то решение будет выдано в более компактной форме).
solve 2f(x)-f(x/2)=3x^2
В некоторых случаях потребуется указывать функцию, для которой надо получить решение в явном виде. Сделать это можно так как показано в примере ниже:
solve f(x)-1/2f(x/2)=x^2 for f(x)
А еще можно получить частное решение функционального уравнения. Для этого следует указать начальное условие (значение неизвестной функции в конкретной точке). Следует просто дописать через запятую это условие. Пример ниже:
f(x)-1/2f(x/2)=x, f(1)=2
Но и это еще не все. С помощью калькулятора можно, например, решать и более интересные задачи (математики поймут, а остальным и не надо) — можно проверить какие функции обладают свойством: $$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ Чтобы найти такие функции, достаточно ввести функциональное соотношение в калькулятор:
f(x+y)=f(x)+f(y)

upbyte.net

Функциональное уравнение — это… Что такое Функциональное уравнение?

В математике функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Примеры

  • Функциональному уравнению
где  — Гамма-функция Эйлера, удовлетворяет Дзета-функция Римана ζ.
  • Следующим трём уравнениям удовлетворяет Гамма-функция. Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:
      (формула дополнения Эйлера)
  • Функциональное уравнение
где a, b, c, d являются целыми числами, удовлетворяющими равенству adbc = 1, то есть , определяет f как модулярную форму порядка k.
  • Различные примеры, не обязательно связанные со «знаменитыми» функциями:
 — удовлетворяют все показательные функции,
 — удовлетворяют все логарифмические функции,
 — уравнение Коши,
 — квадратичное уравнение или закон параллелограмма, удовлетворяет ,
 — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции, и его версия
 — уравнение Лобачевского, решение — ,
 — уравнение Даламбера,
 — уравнение Абеля  (англ.),
 — уравнение Шрёдера  (англ.), решением является функция Кёнигса, связанная с функцией .
  • Простым видом функциональных уравнений является реккурентное соотношение. Говоря формально, оно содержит неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.
Пример реккурентного соотношения:
  • Коммутативный и ассоциативный законы функциональных уравнений. Когда ассоциативный закон выражается в виде его знакомой формы, что позволяет некоторым символом между двумя переменными представляет собой бинарную операцию[стиль!]:

Но если мы напишем вместо то ассоциативный закон будет выглядеть как то, что обычно называют функциональным уравнением:

Решение функциональных уравнений

Решение функциональных уравнений может быть очень трудным, но существуют некоторые общие методы их решения.

Обсуждение инволюции функции полезно. Например, рассмотрим функцию

.

Затем рассмотрим

,

если мы продолжим схему мы в конце получим x при четном количестве композиций и f(x) при нечетном. Эта же идея распространяется на многие другие функции, например,

и многие другие.

Пример 1

Решить для всех где f принимает вещественные значения.

Положим : . Тогда и .

Теперь, положим :

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит для всех x и является единственным решением этого уравнения.

См. также

Примечания

Литература

  • Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
  • Kuczma M. Functional equations in a single variable. Polska Akademia Nauk. Monografie matematyczne, t. 46. Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1968.
  • Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
  • Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
  • Kuczma M. (with B. Choczewski and R. Ger). Iterative functional equations. Cambridge — New-York — Port Chester — Melburn — Sydney: Cambridge Univ. Press, 1990.
  • Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

Ссылки

dal.academic.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.