Пределы с иррациональностью примеры – Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Первая часть.

Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Вторая часть.

Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:

\begin{equation} a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end{equation} \begin{equation} a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end{equation}

Пример №4

Найти $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}}{16-x^2}$.

Решение

Так как $\lim_{x\to 4}\left(\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}\right)=0$ и $\lim_{x\to 4}(16-x^2)=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac{0}{0}$. Чтобы избавиться от иррациональности, вызвавшей эту неопределенность, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю. Формула №1 здесь уже не поможет, ибо домножение на $\sqrt[3]{5x-12}+\sqrt[3]{x+4}$ приведёт к такому результату:

$$ \left(\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}\right)\left(\sqrt[3]{5x-12}+\sqrt[3]{x+4}\right)=\sqrt[3]{(5x-12)^2}-\sqrt[3]{(x+4)^2} $$

Как видите, такое домножение не избавит нас от разности корней, вызывающей неопределённость $\frac{0}{0}$. Нужно домножить на иное выражение. Это выражение должно быть таким, чтобы после домножения на него исчезла разность кубических корней. А кубический корень может "убрать" только третья степень, посему нужно использовать формулу №2. Подставив в правую часть этой формулы $a=\sqrt[3]{5x-12}$, $b=\sqrt[3]{x+4}$, получим:

$$ \left(\sqrt[3]{5x-12}- \sqrt[3]{x+4}\right)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)=\\ =\sqrt[3]{(5x-12)^3}-\sqrt[3]{(x+4)^3}=5x-12-(x+4)=4x-16. $$

Итак, после домножения на $\sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2}$ разность кубических корней исчезла. Именно выражение $\sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2}$ будет сопряжённым к выражению $\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}$. Вернемся к нашему пределу и осуществим умножение числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое числителю $\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}$:

$$ \lim_{x\to 4}\frac{\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}}{16-x^2}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{\left(\sqrt[3]{5x-12}- \sqrt[3]{x+4}\right)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}{(16-x^2)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{4x-16}{(16-x^2)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)} $$

Задача практически решена. Осталось лишь учесть, что $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (см. формулу №1). Кроме того $4x-16=4(x-4)$, поэтому последний предел перепишем в такой форме:

$$ \lim_{x\to 4}\frac{4x-16}{(16-x^2)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{4(x-4)}{-(x-4)(x+4)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}=\\ =-4\cdot\lim_{x\to 4}\frac{1}{(x+4)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}=\\ =-4\cdot\frac{1}{(4+4)\left( \sqrt[3]{(5\cdot4-12)^2}+\sqrt[3]{5\cdot4-12}\cdot \sqrt[3]{4+4}+\sqrt[3]{(4+4)^2} \right)}=-\frac{1}{24}. $$

Ответ: $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}}{16-x^2}=-\frac{1}{24}$.

Рассмотрим ещё один пример (пример №5) в данной части, где применим формулу №4. Принципиально схема решения ничем не отличается от предыдущих примеров, – разве что сопряжённое выражение будет иметь иную структуру. Кстати, стоит отметить, что в типовых расчётах и контрольных работах часто встречаются задачи, когда, например, в числителе размещены выражения с кубическим корнем, а в знаменателе – с корнем квадратным. В этом случае приходится домножать и числитель и знаменатель на различные сопряжённые выражения. Например, для при вычислении предела $\lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{\sqrt{x+1}-3}$, содержащего неопределённость вида $\frac{0}{0}$, домножение будет иметь вид:

$$ \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{\sqrt{x+1}-3}=\left|\frac{0}{0}\right|= \lim_{x\to 8}\frac{\left(\sqrt[3]{x}-2\right)\cdot \left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)}{\left(\sqrt{x+1}-3\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)}=\\= \lim_{x\to 8}\frac{(x-8)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)}{\left(x-8\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)}= \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt{x+1}+3}{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}=\frac{3+3}{4+4+4}=\frac{1}{2}. $$

Все преобразования, применённые выше, уже были рассмотрены ранее, поэтому полагаю, особых неясностей здесь нет. Впрочем, если решение вашего аналогичного примера вызывает вопросы, прошу отписать об этом на форум.

Пример №5

Найти $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}$.

Решение

Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt[4]{5x+6}-2)=0$ и $\lim_{x\to 2}(x^3-8)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. Для раскрытия оной неопределённости используем формулу №4. Сопряжённое выражение к числителю имеет вид

$$\sqrt[4]{(5x+6)^3}+\sqrt[4]{(5x+6)^2}\cdot 2+\sqrt[4]{5x+6}\cdot 2^2+2^3=\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8.$$

Домножая числитель и знаменатель дроби $\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}$ на указанное выше сопряжённое выражение будем иметь:

$$\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{\left(\sqrt[4]{5x+6}-2\right)\cdot \left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5x+6-16}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)} $$

Так как $5x-10=5\cdot(x-2)$ и $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (см. формулу №2), то:

$$ \lim_{x\to 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ \lim_{x\to 2}\frac{5}{(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ \frac{5}{(2^2+2\cdot 2+4)\cdot\left(\sqrt[4]{(5\cdot 2+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5\cdot 2+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5\cdot 2+6}+8\right)}=\frac{5}{384}. $$

Ответ: $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}=\frac{5}{384}$.

Пример №6

Найти $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}$.

Решение

Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt[5]{3x-5}-1)=0$ и $\lim_{x\to 2}(\sqrt[3]{3x-5}-1)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. В таких ситуациях, когда выражения под корнями одинаковы, можно использовать способ замены. Требуется заменить выражение под корнем (т.е. $3x-5$), введя некоторую новую переменную. Однако простое использование новой буквы ничего не даст. Представьте, что мы просто заменили выражение $3x-5$ буквой $t$. Тогда дробь, стоящая под пределом, станет такой: $\frac{\sqrt[5]{t}-1}{\sqrt[3]{t}-1}$. Иррациональность никуда не исчезла, – лишь несколько видоизменилась, что нисколько не облегчило задачу.

Здесь уместно вспомнить, что корень может убрать лишь степень. Но какую именно степень использовать? Вопрос не тривиален, ведь у нас два корня. Один корень пятого, а другой – третьего порядка. Степень должна быть такой, чтобы одновременно убрать оба корня! Нам нужно натуральное число, которое одновременно делилось бы на $3$ и на $5$. Таких чисел бесконечное множество, но наименьшее из них – число $15$. Его называют

наименьшим общим кратным чисел $3$ и $5$. И замена должна быть такой: $t^{15}=3x-5$. Посмотрите, что такая замена сделает с корнями:

$$ \sqrt[5]{3x-5}=\sqrt[5]{t^{15}}=t^{\frac{15}{5}}=t^3;\\ \sqrt[3]{3x-5}=\sqrt[3]{t^{15}}=t^{\frac{15}{3}}=t^5.\\ $$

Корни исчезли, остались лишь степени. И дробь $\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}$ станет такой:

$$ \frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}=\frac{t^3-1}{t^5-1}. $$

Однако это ещё не всё. Переменная $x\to 2$, но к чему стремится переменная $t$? Рассудим так: если $t^{15}=3x-5$, то $t=\sqrt[15]{3x-5}$. Так как $x\to 2$, то ${(3x-5)}\to 1$, $\sqrt[15]{3x-5}\to 1$, посему $t\to 1$. Теперь можем вернуться к нашему пределу:

$$ \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{t\to 1}\frac{t^3-1}{t^5-1} $$

Корни исчезли, – но неопределённость $\frac{0}{0}$ осталась. Чтобы убрать её, нужно учесть, что при $t=1$ имеем $t^3-1=1^3-1=0$ и $t^5-1=1^5-1=0$. Из сказанного следует, что $t=1$ - корень многочленов $t^3-1$ и $t^5-1$. Следовательно, оные многочлены делятся на $t-1$. Разделим многочлен $t^5-1$ на $t-1$ с помощью схемы Горнера:

Результаты применения схемы Горнера можно записать так: $t^5-1=(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)$. К многочлену $t^3-1$ можно также применить схему Горнера, но лучше использовать формулу №2: $t^3-1=t^3-1^3=(t-1)(t^2+t+1)$. Вернёмся к рассматриваемому пределу:

$$ \lim_{t\to 1}\frac{t^3-1}{t^5-1}=\lim_{t\to 1}\frac{(t-1)(t^2+t+1)}{(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)}=\\ =\lim_{t\to 1}\frac{t^2+t+1}{t^4+t^3+t^2+t+1}=\lim_{t\to 1}\frac{1^2+1+1}{1^4+1^3+1^2+1+1}=\frac{3}{5}. $$

Ответ: $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}=\frac{3}{5}$.

math1.ru

Предел функции с корнями

Среди примеров пределов функции часто встречаются функции с корнями, которые не всегда понятно как раскрывать. Проще когда есть пример границе с корневой функцией вида

Решение подобных пределов просто и понятно каждому.
Трудности возникают если есть следующие примеры функций с корнями.

Пример 1. Вычислить предел функции

При прямой подстановке точки x = 1 видно что и числитель и знаменатель функции

превращаются в ноль, то есть имеем неопределенность вида 0/0.
Для раскрытия неопределенности следует умножить выражение, содержащее корень на сопряженное к нему и применить правило разности квадратов. Для заданного примера преобразования будут следующими



Предел функции с корнями равен 6. Без приведенного правила ее трудно было бы найти.
Рассмотрим подобные примеры вычисления границы с данным правилом

Пример 2. Найти предел функции

Убеждаемся что при подстановке x = 3 получаем неопределенность вида 0/0.
Ее раскрываем умножением числителя и знаменателя на сопряженное к числителю.


Далее числитель раскладываем согласно правилу разности квадратов

Вот так просто нашли предел функции с корнями.

Пример 3. Определить предел функции

Видим, что имеем неопределенность вида 0/0.
Избавляемся ирациональносьти в знаменателе

Предел функции равна 8.

 

Теперь рассмотрим другой тип примеров, когда переменная в переделе стремится к бесконечности.

Пример 4. Вычислить предел функции

Много из Вас не знают как найти предел функции. Ниже будет раскрыта методика вычислений.
Имемем предел типа бесконечность минус бесконечность. Умножаем и делим на сопряженный множитель и используем правило разности квадратов

Границ функции равна -2,5.

Вычисление подобных пределов фактически сводится к раскрытию иррациональности , а затем подстановке переменной

Пример 5.

Найти предел функции

Предел эквивалентен - бесконечность минус бесконечность
.
Умножим и разделим на сопряженное выражение и выполним упрощение

Пример 6. Чему равен предел функции?

Имеем неопределенность вида бесконечность минус бесконечность

Выполняем преобразования с корневыми функциями


предел функции равен -2.

Хорошо ознакомьтесь с методикой раскрытия неопределенностей, алгоритм достаточно прост и поможем найти сложную границу функции.

yukhym.com

Вычисление предела рациональных и иррациональных функций без использования правила Лопиталя

В данной статье рассмотрены несколько методов математического анализа без использования правила Лопиталя.

Математический анализ является для студентов самым пугающим предметом на первом курсе. Особенно для студентов-технарей.

Данная статья посвящена практической части математического анализа— мы рассмотрим несколько методов вычисления пределов сложных функций в точке и на бесконечности.

Для того чтобы начать практическую часть, необходимо дать понятие предела функции? Предел функции (предельное значение функции) — одно из основных понятий математического анализа. Предел - это значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.

Задание 1. Вычислить предел функции при .

Решение. Подставим вместо x значение 0 :

  • получили неопределенность из отношения бесконечно малых многочленов.

1 способ.

2 cпособ. Воспользуемся правилом, что предел отношения бесконечно малых многочленов при равен пределу отношения их младших по степени слагаемых. Оставим младшие слагаемые многочленов, выполним сокращение дроби и снова подставим вместо x значение 0:

Ответ:

Задание 2. Вычислить предел функции при .

Решение. Подставим вместо х значение () :

Получили неопределенность из отношения разностей бесконечно больших многочленов под знаком корня. Воспользуемся правилом, что предел отношения бесконечно больших иррациональностей из многочленов при равен пределу отношения их старших по степени слагаемых. Оставим старшие слагаемые по степени и снова подставим вместо х значение ():

Ответ:

Задание 3. Вычислить предел функции при .

Решение. Подставим вместо х значение 1:

Ответ:

novainfo.ru

6.2. Вычисление пределов функций, содержащих

При вычисление пределов вида в случае если числи-

Тель или знаменатель содержит выражение , стремящееся к нулю при часто бывает полезным избавиться от иррациональности в числителе или в знаменателе путём домножения числителя и знаменателя на соответствующий сопряжённый множитель .

Для разности таким множителем является , для выражения таким множителем является .

В самом деле

, где ,

,

Где .

В общем случае для разности сопряжённое выражение . В результате умножения получаем , т. е. . Для сокращения записи можно вычислить отдельно и если он конечен и не равен нулю, вынести за знак предела.

Пример 1

A =

Решение: Т. к. х8, то х-80. Выделим множитель в числителе и знаменателе. Умножим числитель и знаменатель дроби на множитель . Тогда в числителе мы получим

В знаменателе множитель будет стремиться к конечному пределу, не равному 0, а именно к 10 при х8, поэтому по теореме о пределе

Произведения множитель можно вынести за знак предела. Знаменатель представим в виде произведения х2 – 6х – 16 = (х – 8)(х + 2). Таким образом, вычисление данного предела сводиться к следующим действиям:

A =

Пример 2. Вычислить

Решение: Выделим в числителе и знаменателе множитель, стремящийся к нулю, т. е. х.

Числитель:

Знаменатель:

.

Таким образом, предел приобретает вид

A =

Пример 3.

A =

Решение: Выделим в числителе и знаменателе множитель, стремящийся к 0, т. е. (х – 2)

Числитель:

Знаменатель: .

Тогда A = .

Пример 3.

A =

Решение: Как и в предыдущем случае выделим множитель, стремящийся к 0, т. е. (х+1) в числителе и знаменателе. Тогда

Числитель: .

Знаменатель:

Таким образом

A =

При раскрытии неопределенностей вида нужно выполнить тождественные преобразования, позволяющие свести такую неопределенность к виду или . Например, в случае, если выражение содержит иррациональности с невысоким показателем корня, этого можно добиться путем умножения и деления данного выражения на «сопряженное».

Пример 5.

Пример 6.

(Сумма двух бесконечно больших одного знака есть величина бесконечно большая)

Пример 7.

Решение. Данный предел содержит корень с высоким показателем, поэтому умножение и деление на сопряженное выражение нецелесообразно. Преобразуем данное выражение следующим образом:

При выражение , т. е. является бесконечно малой величиной. Если воспользоваться следствием из 2-го замечательного предела , то выражение, стоящее в скобках, можно заменить эквивалентной величиной . Так как величина является бесконечно малой более высокого порядка, чем , то ее можно отбросить, поэтому данная дробь будет эквивалентна выражению

.

Следовательно,

Пример 8.

Решение. Выделим Главную часть в каждом из слагаемых. Очевидно, что при

;

.

Таким образом, оба радикала имеют одинаковую часть . Вычтем ее из каждого радикала. Тогда получим

=

.

Пример 9.

Решение. 1 Способ: Выделим главную часть числителя и знаменателя. Т. к. то главная часть числителя будет совпадать с Аналогично, поэтому главная часть знаменателя совпадает с

Тогда

2 способ: Вынесем из-под каждого корня старшую степень переменной.

При раскрытии неопределенностей вида можно также выделить главную часть числителя и знаменателя.

Пример 10.

Решение. 1 способ:Этот пример можно решить, воспользовавшись для выделения главной части эквивалентными бесконечно большими величинами, а именно:

Значит

2 способ: Этот же предел можно вычислить и непосредственно, а именно вынести за скобки старшую степень переменной в числителе и знаменателе.

Пример 11.

Решение: 1 способ: Как и в предыдущем примере, выделим главную часть числителя и знаменателя.

,

Тогда

2 способ: Вынесем в числителе и знаменателе за скобки старшую степень х.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

пределы с корнями | Математика

Рассмотрим примеры на пределы с корнями, в которых требуется раскрыть неопределенность вида 0 на 0.

   

Чтобы раскрыть неопределенность 0/0, числитель разложим на множители по формуле суммы кубов, затем и числитель, и знаменатель, домножим на выражение, сопряженное знаменателю (чтобы в знаменателе получить формулу разности квадратов, что позволит нам избавиться от квадратного корня):

   

   

   

   

   

   

И числитель, и знаменатель умножаем на выражение, сопряженное знаменателю. Знаменатель раскладываем по теореме о разложении квадратного трехчлена на множители:

   

   

   

   

Домножаем и числитель, и знаменатель на выражения, сопряженные числителю и знаменателю. То есть

   

   

   

   

   

   

Примеры для самопроверки:

   

   

   

Показать решение

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 

adminПредел функции

www.matematika.uznateshe.ru

2.13. Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей

Правило. Для вычисления предела функции

в точкеили принадо применить теоремы о пределах и подставить предельное значение аргумента.

Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

.

Примеры

Найти пределы функций:

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

При вычислении пределов функций формальная подстановка вместо х предельного значения часто приводит к неопределенным выражениям вида:,,,,,

,.

Например, или.

Выражения вида ,,,,,,называютсянеопределенностями.

Вычисление предела функции в этих случаях называют раскрытием неопределенности.

Рассмотрим правила раскрытия таких неопределенностей.

Неопределенность вида

Если ипри(), то говорят, что их частноепредставляет собой неопределенность вида.

Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степеньх.

Например,

.

Рассмотрим дробно−рациональную функцию

(),

представляющую собой отношение двух многочленов относительно х степеней m и n соответственно, и исследуем поведение этой функции при .

При нахождении предела данной функции при могут иметь место три варианта ответа:

1.

, если ;

2.

, если ;

3.

, если .

Из этого следует, что предел отношения двух многочленов при во всех случаях равен пределу отношения их старших членов.

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

3. .

Неопределенность вида

Если требуется найти , гдеи− бесконечно малые функции при(), т.е., то в этом случае вычисление предела называют раскрытием неопределенности вида .

Рассмотрим возможные приемы раскрытия такой неопределенности.

Выделение критического множителя

Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и в числителе и в знаменателе выделить критический множитель и сократить на него дробь.

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

Преобразование иррациональных выражений

Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель, или тот и другой иррациональны, надо:

− перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или из знаменателя в числитель, домножив дробь на сопряженные выражения,

− либо сделать замену переменной.

Замечание.

Если под знаком предела делается замена переменной, то все величины, входящие под знак предела, должны быть выражены через эту новую переменную. Из равенства, выражающего зависимость между старой переменной и новой, должен быть определен предел новой переменной.

Примеры

Найти пределы функций:

1.

;

2.

;

3.

;

4.

.

Применение первого замечательного предела

Правило. Для раскрытия неопределенности вида , содержащей тригонометрические выражения, используют первый замечательный предел:

или ,

где и.

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

4. .

Применение эквивалентных бесконечно малых величин

Правило. Для раскрытия неопределенности вида можно и числитель и знаменатель заменить величинами им эквивалентными (п.2.12).

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4.

.

Неопределенности вида и

Если ипри, то их разностьпредставляет собой неопределенность вида .

Если ипри, то их произведение− это неопределенность вида .

Правило. Неопределенности вида ираскрываются путем их преобразования и сведения к неопределенностям видаили.

Примеры

Найти пределы функций:

.

Неопределенности вида ,,

Пусть функция имеет вид:

.

Если при ,, а, то имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности применяют второй замечательный предел:

; ;

или

; .

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

3. ;

Если при ,, а, то имеем неопределенность вида .

Если ипри, то имеет место неопределенность .

Для раскрытия неопределенностей вида иих преобразуют и сводят к неопределенности видаследующим образом:

.

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

В заключение отметим, что в дальнейшем будут рассмотрены более эффективные методы вычисления пределов функций, основанные на использовании понятия производной.

Упражнения

Односторонние пределы. Найти пределы:

1. ; Ответ:;

; Ответ: ;

2. ; Ответь:;

; Ответ: 0.

Непосредственное вычисление пределов. Найти пределы:

3. ; Ответ: 15;

4. ; Ответ:.

5. ; Ответ: 0.

Раскрытие неопределенности . Найти пределы:

6. ; Ответ: 0;

7. ; Ответ: -2;

8. ; Ответ:;

9. ; Ответ:.

Раскрытие неопределенности . Найти пределы:

10. ; Ответ:;

11. ; Ответ: -2;

12. ; Ответ:;

13. ; Ответ:;

14. ; Ответ: -12;

15. ; Ответ:.

16. ; Ответ:;

17. ; Ответ:;

18. ; Ответ:;

19. ; Ответ:;

20. ; Ответ:.

Раскрытие неопределенностей . Найти пределы:

21. ; Ответ:;

22. ; Ответ:;

23. ; Ответ: 0;

24. ; Ответ: 1.

Раскрытие неопределенности. Найти пределы:

25. ; Ответ:;

26. ; Ответ:;

27. ; Ответ:;

28. ; Ответ:.

studfiles.net

Вычисление пределов, содержащих иррациональность. | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Чтобы избавиться от иррациональности в числителе, умножим числитель и знаменатель дроби на множитель . Далее необходимо воспользоваться формулой . Получим

Пример 3.2. Вычислить .

Имеем

.

Пример 3.3. Вычислить .

.

Пример 3.4. Найти .

Имеет место неопределённость . Под знаком предела стоит выражение, содержащее корни третьей степени. Умножим числитель и знаменатель …
дроби на неполный квадрат суммы, затем воспользуемся формулой

.

Это позволит избавиться от иррациональности в числителе.

.

Пример 3.5. Вычислить .

Убеждаемся, что имеет место неопределённость . Умножим и разделим на выражение .

.

Получили неопределённость вида , рассмотренную в пункте 1. Необходимо выделить в числителе и в знаменателе дроби старшую степень. .

Пример 3.6.

, так как числитель –константа, а знаменатель – б.б. функция.


| следующая страница ==>
Вычисление пределов от рациональной функции в конечной точке. | Первый замечательный предел.

Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 3.


Поделиться с ДРУЗЬЯМИ:

refac.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *