Рубрика: Школьная жизнь

FeO + HCl = ? уравнение реакции

В результате растворения навески оксида железа (II) в растворе разбавленной соляной кислоты (FeO + HCl = ?) произошло образование средней соли – хлорида железа (II) и воды. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

Запишем ионные уравнения, учитывая, что оксиды и вода не диссоциируют, т.е. не разлагаются на ионы:

Первое уравнение называют полным ионным, а второе – сокращенным ионным.
Безводный хлорид железа (II) представляет собой кристаллы белого цвета (в виде кристаллогидрата – зеленые), которые плавятся и кипят без разложения. Летуч в потоке НС1 при нагревании, в газе — димер . На воздухе желтеет вследствие окисления. Хорошо растворяется в холодной воде (гидролизуется по катиону) и хлороводородной кислоте. Разлагается кипящей водой, кислотами, щелочами, гидратом аммиака. Типичный восстановитель, при стоянии раствора окисляется растворенным в воде кислородом. Восстанавливается водородом. Вступает в реакции обмена и комплексообразования.
Хлорид железа (II) получают растворением железа в соляной кислоте, а также по нижеперечисленным реакциям:

ru.solverbook.com

K2FeO4 + HCl = ? уравнение реакции

В ходе взаимодействия феррата калия и соляной кислотой (K2FeO4 + HCl = ?) образуются средние соли хлорида калия и железа (III), вода и выделяется газообразный хлор. Степень окисления хлора повышается, а железа понижается.

Учитывая отношение чисел электронов, принятых при восстановлении железа и отданных при окислении хлора (равно 1:1), запишем уравнение в молекулярной форме с расставленными стехиометрическими коэффициентами:

Основным промышленным способом получения хлора является электролиз концентрированного раствора . При электролизе на аноде выделяется хлор, а в прикатодном пространстве выделяется водород и образуется .
Для лабораторного получения хлора обычно пользуются действием или на соляную кислоту:

Свободный хлор представляет собой желто-зеленый газ, состоящий из двухатомных молекул. Под обычным давлением он сжижается при и затвердевает при . Обладает резким запахом.
По своей характерной химической функции хлор подобен фтору – он также является одновалентным металлоидом. Однако активность его меньше, чем у фтора. Поэтому последний способен вытеснять хлор из соединений.
Тем не менее химическая активность хлора очень велика – он соединяется почти со всеми металлами (иногда лишь в присутствии следов воды или при нагревании) и со всеми металлоидными элементами, кроме C, N и O.

ru.solverbook.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Нормальные формы: ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ

Нормальные формы формул алгебры высказываний бывают двух типов: дизъюктивные и конъюктивные, в каждом из этих типов выделен класс совершенных форм.

Алгоритм построения ДНФ:

1. Перейти к булевым операциям.

2. Перейти к формуле с тесными отрицаниями, т.е. к формуле, в которой отрицания находятся не выше, чем над переменными.

3. Раскрыть скобки.

4. Повторяющейся слагаемые взять по одному разу.

5. Применить законы поглощения и полупоглощения.

Пример.Найти ДНФ формулы

►

◄

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – двойственное для ДНФ понятие, поэтому ее легко построить по схеме:

.

Пример.Найти КНФ формулы

► ~ ~

.◄

Совершенную дизъюнктивную нормальную форму СДНФ можно строить, используя следующий алгоритм:

1. = 1. алгоритма ДНФ

2. = 2. алгоритма ДНФ

3. = 3. алгоритма ДНФ

4. = 4. алгоритма ДНФ

5. Опустить тождественно ложные слагаемые, т. е. слагаемые вида

.

6. Пополнить оставшиеся слагаемые недостающими переменными

7. Повторить пункт 4.

Пример.Найти СДНФ формулы.

► ~

.◄

Для построения СКНФ можно пользоваться следующей схемой:

Пример.Найти СДНФ формулы.

► ~

.◄

Известно (теоремы 2.11, 2.12), что СДНФ и СКНФ определены формулой однозначно и, значит, их можно строить по таблице истинности формулы [1].

►Схема построения СДНФ и СКНФ по таблице истинности приведена ниже, для формулы ~ :

2.2. Задание.

2.2.1 Ниже приведены логические выражения. Максимально упростите выражения своего варианта, воспользовавшись законами логики Буля. Затем с помощью таблиц истинности сравните ваше упрощенное выражение с исходным.

2.2.2. Выяснить вопрос о равносильности f₁ и f ₂ путем сведения их к СДНФ (табл. 1).

2.2.3. Найти двойственную функцию для f₃ по обобщенному и булевому принципу (табл.1). Сравнить полученные результаты.

2.3. Контрольные вопросы.

2.3.1. Дайте определение высказывания.

2.3.2. Перечислите основные операции над высказыванием.

2.3.3. Что такое таблица истинности?

2.3.4. Составить таблицы истинности для следующих формул:

~ ~ ;

~ ;

~ ~ ~ ;

~ ~ ~ ~ .

2.3.5. Учитывая соглашения о порядке выполнения операций, опустить «лишние» скобки и знак « » в формулах:

;

;

;

;

~ .

2.3.6. Применяя равносильные преобразования, доказать тождественную истинность формул:

;

;

;

.

2.3.7.Найти двойственные формулы:

)

.

2.3.8. Привести к совершенной ДНФ (СДНФ) форме следующие формулы:

~

2.3.9. Привести к совершенной КНФ (СКНФ) форме следующие формулы:

~

~

Лабораторная работа № 3

Тема: «Минимизация булевых функций. Логические схемы»

Цель: Приобретение практических навыков работы с методами минимизации булевых функций.

3.1. Теоретические сведения [1].

Минимальные формы

Как было показано в [1], любая булева функция представима в совершенной нормальной форме (дизъюнктивной или конъюнктивной). Более того, такое представление является первым шагом перехода от табличного задания функции к ее аналитическому выражению. В дальнейшем будем исходить из дизъюнктивной формы, а соответствующие результаты для конъюнктивной формы получается на основе принципа двойственности [1].

Каноническая задача синтеза логических схем в булевом базисе сводится к минимизации булевых функций, т.е. к представлению их в дизъюнктивной нормальной форме, которая содержит наименьшее число букв (переменных и их отрицаний). Такие формы называют минимальными. При каноническом синтезе предполагается, что на входы схемы подаются как сигналы , так и их инверсий .

Формула, представленная в дизъюнктивной нормальной форме, упрощается многократными применением операции склеивания и операции поглощения и (дуальные тождества для конъюнктивной нормальной формы имеют вид: и ). Здесь под и можно понимать любую формулу булевой алгебры. В результате приходим к такому аналитическому выражению, когда дальнейшие преобразования оказываются уже невозможными, т.е. получаем тупиковую форму.

Среди тупиковых форм находится и минимальная дизъюнктивная форма, причем она может быть неединственной. Чтобы убедиться в том, что данная тупиковая форма является минимальной, необходимо найти все тупиковые формы и сравнить их по числу входящих в них букв.

Пусть, например, функция задана в совершенной нормальной дизъюнктивной форме:

.

Группируя члены и применяя операцию склеивания, имеем .

При другом способе группировки получим:

.

Обе тупиковые формы не являются минимальными. Чтобы получить минимальную форму, нужно догадаться повторить в исходной формуле один член (это всегда можно сделать, так как ). В первом случае таким членом может быть . Тогда . Добавив член , получим: . Перебрав все возможные варианты, можно убедиться, что две последние формы являются минимальными.

Работа с формулами на таком уровне подобна блужданию в потемках. Процесс поиска минимальных форм становится более наглядным и целеустремленным, если использовать некоторые графические и аналитические представления и специально разработанную для этой цели символику.

Многомерный куб

Каждой вершине -мерного куба можно поставить в соответствие конституенту единицы. Следовательно, подмножество отмеченных вершин является отображением на -мерном кубе булевой функции от переменных в совершенной дизъюнктивной нормальной форме. На рис. 3.1 показано такое отображение для функции из п.3.7.

Рис.3.1 Отображение на трехмерном кубе функции, представленной в СДНФ

Для отображения функции от переменных, представленной в любой дизъюнктивной нормальной форме, необходимо установить соответствие между ее минитермами и элементами -мерного куба.

Минитерм ( -1)-го ранга можно рассматривать как результат склеивания двух минитермов -го ранга (конституент единицы), т.е. , На -мерном кубе это соответствует замене двух вершин, которые отличаются только значениями координаты , соединяющим эти вершины, ребром (говорят, что ребро покрывает инцидентные ему вершины). Таким образом, минитермам ( -1)-го порядка соответствуют ребра -мерного куба. Аналогично устанавливается соответствие минитермов ( -2)-го порядка — граням -мерного куба, каждая из которых покрывает четыре вершины (и четыре ребра).

Элементы -мерного куба, характеризующиеся измерениями, называют -кубами. Так, вершины являются 0-кубами, ребра – 1-кубами, грани – 2-кубами и т.д. Обобщая приведенные рассуждения, можно считать, что минитерм ( )-го ранга в дизъюнктивной нормальной форме для функции переменных отображается -кубом, причем каждый -куб покрывает все те -кубы низшей размерности, которые связаны с его вершинами. В качестве примера на рис. 3.2 дано отображение функции трех переменных. Здесь минитермы и соответствуют 1-кубам ( ), а минитерм отображается 2-кубом ( ).

Рис.3.2 Покрытие функции

Итак, любая дизъюнктивная нормальная форма отображается на -мерном кубе совокупностью -кубов, которые покрывают все вершины, соответствующие конституентам единицы (0-кубы). Справедливо и обратное утверждение: если некоторая совокупность -кубов покрывает множество всех вершин, соответствующих единичным значениям функции, то дизъюнкция соответствующих этим -кубам минитермов является выражение данной функции в дизъюнктивной нормальной форме. Говорят, что такая совокупность -кубов (или соответствующих им минитермов) образует покрытие функции.

Стремление к минимальной форме интуитивно понимается как поиск такого покрытия, число -кубов которого было бы поменьше, а их размерность — побольше. Покрытие, соответствующее минимальной форме, называют минимальным покрытием. Например, для функции покрытие на рис. 3.3 соответствует минимальным формам и .

Рис. 3.3 Покрытия функции .

слева – ; справа –

Отображение функции на -мерном кубе наглядно и просто при . Четырехмерный куб можно изобразить, как показано на рис. 3.4, где отображены функция четырех переменных и ее минимальное покрытие, соответствующее выражению . Использование этого метода при требует настолько сложных построений, что теряется все его преимущества.

Рис. 3.4 Отображение функции на четырехмерном кубе

Карты Карно

В другом методе графического отображения булевых функций используются карты Карно, которые представляют собой специально организованные таблицы соответствия. Столбцы и строки таблицы соответствуют всевозможным наборам значений не более двух переменных, причем эти наборы расположены в таком порядке, что каждый последующий отличается от предыдущего значением только одной из переменных. Благодаря этому и соседние клетки таблицы по горизонтали и вертикали отличаются значением только одной переменной. Клетки, расположенные по краям таблицы, также считаются соседними и обладают этим свойством. На рис. 3.5 показаны карты Карно для двух, трех, четырех переменных.

Рис. 3.5 Карты Карно для двух, трех и четырех переменных

Как и в обычных таблицах истинности, клетки наборов, на которых функция принимает значение 1, заполняются единицами (нули обычно не вписываются, им соответствуют пустые клетки). Например, на рис. 3.6, а показана карта Карно для функции, отображение которой на четырехмерном кубе дано на рис. 3.4. Для упрощения строки и столбцы, соответствующие значениям 1 для некоторой переменной, выделяются фигурной скобкой с обозначением этой переменной.

а б

Рис. 3.6 Отображение на карте Карно функции четырех переменных

(а) и ее минимального покрытия (б)

Между отображениями функции на n-мерном кубе и на карте Карно имеет место взаимно-однозначное соответствие. На карте Карно s-кубу соответствует совокупность 2 соседних клеток, размещенных в строке, столбце, квадрате или прямоугольнике (с учетом соседства противоположных краев карты). Поэтому все положения, изложенные в выше (см. п. многомерный куб), справедливы для карт Карно. Так, на рис. 3.6, б показано покрытие единиц карты, соответствующее минимальной дизъюнктивной форме рассматриваемой функции.

Считывание минитермов с карты Карно осуществляется по простому правилу. Клетки, образующие s-куб, дают минитер (n–s)-го ранга, в который входят те (n–s) переменные, которые сохраняют одинаковые значения на этом s-кубе, причем значении 1 соответствуют сами переменные, а значениям 0 – их отрицания. Переменные, которые не сохраняют свои значения на s-кубе, в минитерме отсутствуют. Различные способы считывания приводят к различным представлениям функции в дизъюнктивной нормальной форме (крайняя правая является минимальной) (рис. 3.7).

Рис. 3.7 Способы считывания с карты Карно дизъюнктивной нормальной формы булевой функции (слева направо: ; ;

Пример.Получить минимальные формы для функции

Пример.Получить минимальную форму для функции, заданной на карте.

Использование карт Карно требует более простых построений по сравнению с отображением на n-мерном кубе, особенно в случае четырех переменных. Для отображения функций пяти переменных используется две карты Карно на четыре переменные, а для функции шести переменных – четыре таких карты. При дальнейшем увеличении числа переменных карты Карно становятся практически непригодными.

Известные в литературе карты Вейча отличаются только другим порядком следования наборов значений переменных и обладают теми же свойствами, что и карты Карно.

Комплекс кубов

Несостоятельность графических методов при большом числе переменных компенсируется различными аналитическими методами представления булевых функций. Одним из таких представлений является комплекс кубов, использующий терминологию многомерного логического пространства в сочетании со специально разработанной символикой.

Комплекс кубов К(у) функции определяется как объединение множеств К^s(у) всех ее s-кубов (s=0.1,…,n), т. е. , причем некоторые из К^s(у) могут быть пустыми. Для записи s-кубов и минитермов функции от n переменных используются слова длины n, буквы которых соответствуют всем n переменным. Входящие в минитерм переменные называются связанными и представляются значениями, при которых минитерм равен единице (1 для и 0 для ). Не входящие в минитерм переменные являются свободными и обозначаются через . Например, 2-куб функции пяти переменных, соответствующий минитерму запишем как ( ). 0-кубы, соответствующие конституентам единицы, представляются наборами значений переменных, на которых функция равна единице. Очевидно, в записи s-куба всегда имеется s свободных переменных. Если все n переменных свободны, что соответствует n-кубу, то это означает тождественность единице рассматриваемой функции. Таким образом, для функций, не равных тождественно единице Ø.

Множество всех s-кубов записывается как совокупность слов, соответствующих каждому s-кубу. Для удобства будем располагать слова s-кубов в столбцы, а их совокупность заключать в фигурные скобки. Например, комплекс кубов, соответствующий представлению функции на трехмерном кубе (рис. 3,10а), выражается как , где

; ; .

Для сравнения на рис. 3.8 изображен комплекс кубов в принятых обозначениях.

Рис. 3.8 Комплекс кубов функции трех переменных (а) и его символическое представление (б)

Комплекс кубов образует максимальное покрытие функции. Исключая из него все те s-кубы, которые покрываются кубами высшей размерности, получаем покрытия, соответствующие тупиковым формам. Так, для рассматриваемого примера (рис. 3.8) имеем тупиковое покрытие

,

которое соответствует функции . В данном случае это покрытие является и минимальным.

Для двух булевых функций операция дизъюнкции соответствует объединению их комплексов кубов , а операция конъюнкции — пересечению комплексов кубов . Отрицанию функции соответствует дополнение комплекса кубов, т. е. , причем определяется всеми вершинами, на которых функция принимает значение 0. Таким образом, имеет место взаимно-однозначное соответствие (изоморфизм) между алгеброй булевых функций и булевых множеств, представляющих комплексы кубов.

Представление функции в виде комплексов кубов менее наглядно, однако его важнейшие достоинства состоят в том, что снимаются ограничения по числу переменных и облегчается кодирование информации при использовании вычислительных машин.

Минимизация булевых функций

Постановка задачи. Минимизация схемы в булевом базисе сводится к поиску минимальной дизъюнктивной формы, которой соответствует минимальное покрытие. Общее число букв, вхо­дящих в нормальную форму, выражается ценой покрытия , где — число — кубов, образующих покрытие данной функции от п переменных. Минимальное покрытие характеризуется наименьшим значением его цены.

Обычно задача минимизации решается в два шага. Сначала ищут сокращенное покрытие, которое включает все -кубы максимальной размерности, но не содержит ни одного куба, покрывающегося каким-либо кубом этого покрытия. Соответствующею дизъюнктивную нормальную форму называют сокращенной, а ее минитермы — простыми импликантами. Для данной функции сокращенное покрытие является единственным, но оно может быть избыточным вследствие того, что некоторые из кубов покрываются совокупностями других кубов.

На втором шаге осуществляется переход от сокращенной к тупиковым дизъюнктивным нормальным формам, из которых выбираются минимальные формы. Тупиковые формы образуются путем исключения из сокращенного покрытия всех избыточных кубов, без которых оставшаяся совокупность кубов еще образует покрытие данной функции, но при дальнейшем исключении любого из кубов она уже не покрывает множества всех вершин, соответствующих единичным значениям функции, т. е. перестает быть покрытием.

Куб сокращенного покрытия, который покрывает вершины данной функции, не покрываемые никакими другими кубами, не может оказаться избыточным и всегда войдет в минимальное покрытие. Такой куб, как и соответствующая ему импликанта, называют экстремалью (существенной импликантой), а покрываемые им вершины — отмененными вершинами. Множество экстремалей образует ядро покрытия, ясно, что при переходе от сокращенного покрытия к минимальному прежде всего следует выделить все экстремали. Если множество экстремалей не образует покрытия, то оно дополняется до покрытия кубами из сокращенного покрытия.

Приведенные определения иллюстрируются на рис. 3.9, где сокращенное покрытие (см. рис. 3.9а,) и минимальные покрытия (рис. 3.9б) и (см. рис. 3.9, б) выражаются следующим образом:

Рис. 3.9 Сокращенное ( ) и минимальные покрытия ( , ) функции (а – сокращенное, б, в — минимальные)

Сокращенная форма представляет собой дизъюнкцию четырех простых импликант, т. е. Экстремалями являются простые импликанты и ,которым соответствуют 1-кубы (

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru

Алгоритм построения днф

1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

A→B= ךAvB A⇔B=(A^B)v(ךAvךB)

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

ך(AvB)= ךA^ךB ך(A^B)= ךAvךB

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

Пример построения днф

Приведем к ДНФ формулу :F=((X→Y)↓ ך(Y→Z))

Выразим логические операции → и ↓ через :v ^ ך

F=(( ךXvY)↓ ך(ךYvZ))= ך ((ךXvY)v ך (ךYvZ))

В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:

F= ך ((ךXvY)v ך (ךYvZ))=( ך ךX^ ךY)^( ךYvZ)=(X^ ךY)^( ךYvZ)

Используя закон дистрибутивности, приводим формулу к ДНФ:

F=(X^ ךY^ ךY)v(X^ ךY^Z)

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкцийлитералов. Конъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем. Любая булева формула может быть приведена к КНФ. Для этого можно использовать: Закон двойного отрицания, Закон де Моргана, Дистрибутивность.

Примеры и контр примеры

Формулы в КНФ:

ך A^(BvC) (AvB)^( ך BvCv ך D)^(Dv ך E)A^B

Формулы не в КНФ:

ך (BvC) (A^B)vC A^(Bv(D^E))

Но эти 3 формулы не в КНФ эквивалентны следующим формулам в КНФ:

ך B^ ך C (AvC)^(BvC) A^(BvD)^(BvE)

Построение КНФ

Алгоритм построения КНФ

1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

A→B= ך AvB A↔B=(A^B)v(ך A^ ך B)

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

ך (AvB)= ך A^ ך B ך (A^B)= ך Av ך B

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

Пример построения КНФ

Приведем к КНФ формулу

F=(X→Y)^(( ך Y→Z) → ך X)

Преобразуем формулу F к формуле не содержащей → :

F=( ך XvY)^( ך (ך Y→Z)v ך X)=( ך XvY)^( ך (ך ך YvZ)v ך X)

В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:

F=( ך XvY)^(( ך Y^ ך Zv ך X)=( ך XvY)^(( ך Y^ ך Z)v ך X)

По закону дистрибутивности получим КНФ:

F=( ך XvY)^( ך Xv ך Y)^( ך Xv ך Z)

k-конъюнктивной нормальной формой называют конъюнктивную нормальную форму, в которой каждая дизъюнкция содержит ровно kлитералов.

Например, следующая формула записана в 2-КНФ:

(AvB)^( ך BvC)^(Bv ך C)

Переход от КНФ к СКНФ

Если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной (например, z), то добавляем в нее выражение : (это не меняет самой дизъюнкции), после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона:

(XvY)^(Xv ך Yv ך Z)=(XvYv(Z^ ך Z))^(Xv ך Yv ך Z)=(XvYvZ)^(XvY vך Z)^(Xv ךYv ךZ)

Таким образом, из КНФ получена СКНФ.

Переход от КНФ к СКНФ

Если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной (например, z), то добавляем в нее выражение :Z^ ך Z=0 (это не меняет самой дизъюнкции), после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона:

(XvY)^(Xv ךY ךZ)=(XvYv(Zv ךZ))^(Xv ךYv ךZ)=(XvYvZ)^(XvYv ךZ)^(Xv ךYv ךZ) Таким образом, из КНФ получена СКНФ.

25. Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы и алгоритмы приведения к ним. Примеры.

Соверше́нная конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СКНФ) — это такая конъюнктивная нормальная форма, которая удовлетворяет трём условиям:

в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций

в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных переменных

каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.

k-конъюнктивной нормальной формой называют конъюнктивную нормальную форму, в которой каждая дизъюнкция содержит ровно k литералов.

Например, следующая формула записана в 2-КНФ:

Соверше́нная дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СДНФ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций

в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв

каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.

Для любой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.

Для того, чтобы получить СДНФ функции, требуется составить её таблицу истинности. К примеру, возьмём одну из таблиц истинности:

Совершенная ДНФэтой функции:

studfiles.net

Учебник по дискретной математике ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ

Простой конъюнкцией называется конъюнкция одной или нескольких переменных, при этом каждая переменная встречается не более одного раза (либо сама, либо ее отрицание).

Например,     является простой конъюнкцией,

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция простых конъюнкций.

Например, выражение         является ДНФ.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется такая дизъюнктивная нормальная форма, у которой в каждую конъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одном и том жепорядке.

Например, выражение       является ДНФ, но не СДНФ. Выражение        является СДНФ.

Аналогичные определения (с заменой конъюнкции на дизъюнкцию и наоборот) верны для КНФ и СКНФ. Приведем точные формулировки.

Простой дизъюнкцией называется дизъюнкция одной или нескольких переменных, при этом каждая переменная входит не более одного раза (либо сама, либо ее отрицание).Например, выражение        – простая дизъюнкция,

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция простых дизъюнкций (например выражение             – КНФ).

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется такая КНФ, у которой в каждую простую дизъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одинаковом порядке.

Например, выражение               является СКНФ.

Приведем алгоритмы переходов от одной формы к другой. Естественно, что в конкретных случаях (при определенном творческом подходе) применение алгоритмов бывает более трудоемким, чем простые преобразования, использующие конкретный вид данной формы:

а) переход от ДНФ к КНФ

Алгоритм этого перехода следующий: ставим над ДНФ два отрицания и с помощью правил де Моргана (не трогая верхнее отрицание) приводим отрицание ДНФ снова к ДНФ. При этом приходится раскрывать скобки с использованием правила поглощения (или правила Блейка). Отрицание (верхнее) полученной ДНФ (снова по правилу де Моргана) сразу дает нам КНФ:

Заметим, что КНФ можно получить и из первоначального выражения, если вынести у за скобки;

б) переход от КНФ к ДНФ

Этот переход осуществляется простым раскрытием скобок (при этом опять-таки используется правило поглощения)

Таким образом, получили ДНФ.

Обратный переход (от СДНФ к ДНФ) связан с проблемой минимизации ДНФ. Подробнее об этом будет рассказано в разд. 5, здесь же мы покажем, как упростить ДНФ (или СДНФ) по правилу Блейка. Такая ДНФ называется сокращенной ДНФ;

в) сокращение ДНФ (или СДНФ) по правилу Блейка

Применение этого правила состоит из двух частей:

— если среди дизъюнктных слагаемых в ДНФ имеются слагаемые       , то ко всей дизъюнкции добавляем слагаемое К₁К₂. Проделываем эту операцию несколько раз (можно последовательно, можно одновременно) для всех возможных пар слагаемых, а затем, применяем обычное поглощение;

— если добавляемое слагаемое уже содержалось в ДНФ, то его можно отбросить совсем, например, 

или

Разумеется, сокращенная ДНФ не определяется единственным образом, но все они содержат одинаковое число букв (например, имеется ДНФ     , после применения к ней правила Блейка можно прийти к ДНФ, равносильной данной):

в) переход от ДНФ к СДНФ

Если в какой-то простой конъюнкции недостает переменной, например, z, вставляем в нее выражение       ,после чего раскрываем скобки (при этом повторяющиеся дизъюнктные слагаемые не пишем). Например:

г) переход от КНФ к СКНФ

Этот переход осуществляется способом, аналогичным предыдущему: если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной (например, z, то добавляем в нее выражение     (это не меняет самой дизъюнкции), после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона):

Таким образом, из КНФ получена СКНФ.

Заметим, что минимальную или сокращенную КНФ обычно получают из соответствующей ДНФ.

www.mini-soft.ru

Построение СКНФ и СДНФ по таблице истинности

Нормальная форма логической формулы не содержит знаков импликации, эквивалентности и отрицания неэлементарных формул.

Нормальная форма существует в двух видах:

1. конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — конъюнкция нескольких дизъюнкций, например, $\left(A\vee \overline{B}\vee C\right)\wedge \left(A\vee C\right)$;

2. дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — дизъюнкция нескольких конъюнкций, например, $\left(A\wedge \overline{B}\wedge C\right)\vee \left(B\wedge C\right)$.

СКНФ

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — это КНФ, удовлетворяющая трем условиям:

• не содержит одинаковых элементарных дизъюнкций;

• ни одна из дизъюнкций не содержит одинаковых переменных;

• каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую переменную из входящих в данную КНФ.

Любая булева формула, которая не является тождественно истинной, может быть представлена в СКНФ.

Правила построения СКНФ по таблице истинности

Для каждого набора переменных, при котором функция равна 0, записывается сумма, причем переменные, которые имеют значение 1, берутся с отрицанием.

СДНФ

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это ДНФ, удовлетворяющая трем условиям:

• не содержит одинаковых элементарных конъюнкций;

• ни одна из конъюнкций не содержит одинаковых переменных;

• каждая элементарная конъюнкция содержит каждую переменную из входящих в данную ДНФ, к тому же в одинаковом порядке.

Любая булева формула, которая не является тождественно ложной, может быть представлена в СДНФ, к тому же единственным образом.

Правила построения СДНФ по таблице истинности

Для каждого набора переменных, при котором функция равна 1, записывается произведение, причем переменные, которые имеют значение 0 берут с отрицанием.

Примеры нахождения СКНФ и СДНФ

Пример 1

Записать логическую функцию по ее таблице истинности:

Рисунок 1.

Решение:

Воспользуемся правилом построения СДНФ:

Рисунок 2.

Получим СДНФ:

Воспользуемся правилом построения СКНФ:

Рисунок 3.

Получим СКНФ:

Пример 2

Функция задана таблицей истинности:

Рисунок 4.

Представить эту функцию в виде СДНФ и СКНФ.

Решение:

1. Запишем логическую функцию в СДНФ. Для удобства решения добавим к таблице вспомогательный столбец.

   Используя правило составления СДНФ не забываем вводить знак отрицания для переменных со значением 0. Инвертировать нулевые значения переменных обязательно, т.к. иначе они превратят значения конъюнкций в нули основной функции.

   

   Рисунок 5.

   Полученные во вспомогательном столбце конъюнкции соединим знаком дизъюнкции и получим искомую логическую функцию в виде СДНФ:

   \[F\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(\overline{x}\wedge \overline{y}\wedge z\wedge f\right)\vee \left(\overline{x_1}\wedge x_2\wedge \overline{x_3}\wedge \overline{x_4}\right)\vee \left(\overline{x_1}\wedge x_2\wedge x_3\wedge x_4\right)\vee \left(x_1\wedge \overline{x_2}\wedge \overline{x_3}\wedge \overline{x_4}\right).\]

2. Запишем логическую функцию в СКНФ.

   Используя правило составления СКНФ не забываем вводить знак отрицания для переменных со значением 1. Инвертировать единичные значения переменных обязательно, т.к. иначе они превратят значения дизъюнкций в единицы основной функции.

   

   Рисунок 6.

   Полученные во вспомогательном столбце дизъюнкции соединим знаком конъюнкции и получим искомую логическую функцию в виде СКНФ:

   \[F\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(x_1\vee x_2\vee x_3\vee x_4\right)\wedge \left(x_1\vee x_2\vee x_3\vee \overline{x_4}\right)\wedge \left(x_1\vee x_2\vee \overline{x_3}\vee x_4\right)\wedge \left(x_1\vee \overline{x_2}\vee x_3\vee \overline{x_4}\right)\wedge \left(x_1\vee \overline{x_2}\vee \overline{x_3}\vee x_4\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee x_2\vee x_3\vee \overline{x_4}\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee x_2\vee \overline{x_3}\vee x_4\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee x_2\vee \overline{x_3}\vee \overline{x_4}\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee \overline{x_2}\vee x_3\vee x_4\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee \overline{x_2}\vee x_3\vee \overline{x_4}\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee \overline{x_2}\vee \overline{x_3}\vee x_4\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee \overline{x_2}\vee \overline{x_3}\vee \overline{x_4}\right).\]

spravochnick.ru

32. Минимальные , кратчайшие и тупиковые днф.

Элементарную конъюнкцию К будем называть импликантой функции f , если для ∀ã , K(ã)=1 влечет за собой выполнение условия f(ã)=1.

Импликант К –простой, если выражение получающееся из его выбрасывания любых их множителей не является импликантой f.

ДНФ называют минимальной, если она содержит наименьшее число литералов, среди всех ДНФ, эквивалентных ей.

Длиной ДНФ называют число входящих в нее элементарных конъюнкций.

ДНФ называют кратчайшей, если она имеет наименьшую длину среди всех эквивалентных ей ДНФ.

Заметим, что кратчайшая ДНФ не обязана быть в то же время минимальной среди всех ДНФ, эквивалентных исходной функции. Но поиск минимальных ДНФ проводится среди кратчайших ДНФ.

Тупиковой ДНФ функции f(ⁿ) называется такая ДНФ её простых импликант из которой нельзя выбросить ни одного импликанта не изменив функцию f.

Следовательно для получения минимальной ДНФ необходимо построить все её тупиковые ДНФ и выбрать те из них которые содержат наименьшее количество переменных.

Алгоритм построения тупиковой ДНФ:

Пусть f(ⁿ) – функция алгебры логики (булевая).

1)находим табличные значения функции f(ⁿ)=(101…01)

2)по табличным значениям строим СДНФ

3)строим СДНФ функции f в виде: f=K₁˅ K₂˅….˅K_{m ,} где K_i – простые импликанты.

4)строим матрицу покрытий простых импликант функции f

5)для каждого столбца j (1jK) находим множество E_j номеров строк для которых a_j=1.

Cоставляем множество E_jтаких элементов, E_j= (e_j1 ,e_j2 ,…, e_ji), где e_ji– импликанты соответствующие значению 1.

Полученное выражение A=˅(j=1,k)E_j– называется решёточным покрытием ДНФ функции f.

Удаляя все дублирующиеся символы получаем тупиковую ДНФ.

33. Сокращённые днф. Построение сокращённых днф булевых функций методом Блейка.Пример.

Элементарную конъюнкцию К будем называть импликантой функции f , если для ∀ ã, K(ã)=1 влечет за собой выполнение условия f(ã)=1.

Импликант К –простой, если выражение получающееся из его выбрасывания любых их множителей не является импликантой f.

Теорема: Всякая функция реализуется дизъюнкцией своих простых импликант. Сокращённая –дизъюнкция всех простых импликант функции f.

Любая функция f реализуется своей СДНФ.

Для преобразования ДНФ в СДНФ:

1. (полное склеивание)

2. (неполное склеивание)

3. (обобщенное склеивание)

4. A˅A*B=A (поглощение)

5. A˅A=A ; A&A=A (удаление дублирующих членов)

Метод Блейка: получение СДНФ состоит в применении правил обобщенного склеивания и поглощения, причем правила применяются слева направо.

На первом этапе производится операция обобщенного склеивания, до тех пор пока это возможно. На втором этапе операция поглощения.

Пример: D=x*y˅⌐x*z˅⌐y*z;

D₁=x*y˅⌐x*z˅⌐y*z˅y*z˅x*z˅z=x*y˅z˅z˅z=x*y˅z

34. Построение сокращённых днф булевых функций методом Квайна.Пример.

Теорема Квайна: Если в ДНФ функции f провести все операции неполного склеивания, после чего все операции поглощения и удаления дублирующих членов, то в результате получится СДНФ функции f.

Пример:f( ⁴)=(0101101001101001) ;

ДНФ=⌐x₁⌐ x₂⌐ x₃ x₄ ˅⌐x₁⌐x₂ x₃ x₄ ˅⌐x₁ x₂⌐x₃ ⌐ x₄ ˅⌐x₁ x₂ x₃ x₄ ˅x₁⌐x₂⌐ x₃ x₄ ˅x₁⌐x₂ x₃ ⌐ x₄ ˅x₁ x₂⌐x₃ ⌐ x₄ ˅x₁ x₂ x₃ x₄

⌐x₁⌐x₂x₄ ˅⌐x₁x₂⌐x₃ x₄ ˅x₁⌐x₂⌐x₃ x₄

studfiles.net

П. 2.2. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальная форма. ?????

Определение 2.2. Формула, в которую входят только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, причем операция отрицания относится непосредственно к высказывательным переменным, называетсяприведенной.

Пример:

1) — является приведенной;

2) — не является приведенной, так как содержит операцию импликации;

3) — не является приведенной, так как операция отрицания отнесена к формуле, а не к высказывательной переменной.

Для любой формулы алгебры высказываний путем равносильных преобразований можно получить приведенную формулу, например, .

Пусть задана система высказывательных переменных (1).

Определение 2.3. Элементарной дизъюнкциейвысказывательных переменных из системы (1) называется дизъюнкция некоторых переменных этой системы или их отрицаний.

Определение 2.4. Элементарной конъюнкциейназывается конъюнкция некоторых переменных этой системы или их отрицаний.

Например:

1) Пусть задана система . Формулыявляются элементарными дизъюнкциями; первые две из них – одночленными.

2) – элементарными конъюнкциями.

Теорема 2.1. Элементарная дизъюнкция (элементарная конъюнкция) является тождественно истинной (тождественно явной) тогда и только тогда, когда она наряду с некоторой высказывательной переменнойсодержит отрицание этой переменной.

Доказательство.(э. стр. 37).

Определение 2.5.Формула называетсядизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), если она является дизъюнкцией некоторого числа элементарных конъюнкций.

ДНФ можно записать в виде , где каждое— элементарная дизъюнкция.

Например: ;– являются ДНФ.

Определение 2.6.Формула называетсяконъюнктивной нормальной формой (КНФ), если она является конъюнкцией некоторого числа элементарных дизъюнкций.

Например: – является КНФ.

Теорема 2.2. КНФ (ДНФ) является тождественно истинной (тождественно ложной) тогда и только тогда, когда каждая составляющая её элементарная дизъюнкция (элементарная конъюнкция) содержит некоторую высказывательную переменнуювместе с ее отрицанием.

Доказательствовытекает из Т. 2.1.

Теорема 2.3. Для любой формулы алгебры высказываний существует эквивалентная ей КНФ (ДНФ).

Доказательствопроведем для случая КНФ. Пусть задана формула А. Вначале получим для данной формулы А эквивалентную ей приведенную формулу В. Применяя к В дистрибутивный закон, получим КНФ.

Схема приведения формулы к КНФ и ДНФ:

Для облегчения процедуры раскрытия скобок (дистрибутивный закон) можно воспользоваться формальной заменой логических операций на арифметические. Если формула приводится к КНФ, то меняется на, ана, к ДНФ ––, и–. На последнем шаге нужно совершить обратную замену.

Например:

1) Приведите к конъюнктивной нормальной форме (КНФ) .

Решение:

. Заменим в приве-денной формулена,наи раскроем скобки:.

Сделав обратную замену, получим КНФ формулы А:

.

2) Привести к ДНФ формулу .

Решение:

– приведенная формула.

Заменим в приведенной формуле на,наи раскроем скобки:

.

Сделав обратную замену, получим ДНФ формулы А:.

Определение 2.7.Элементарная конъюнкция (дизъюнкция) называется полной, если каждая переменная входит в нее один и только один раз.

Например:

Пусть задана система переменных .,являются, а,– полными элементарными конъюнкциями.

Определение 2.8.Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется конъюнкция различных полных элементарных дизъюнкций.

Определение 2.9.Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется дизъюнкция различных полных элементарных конъюнкций.

Например:

Пусть задана система переменных .

Формула – СКНФ, а– СДНФ.

Теорема 2.4. Для любой не тождественно истинной (тождественно ложной) формулы алгебры высказываний существует эквивалентная ей СКНФ (СДНФ).

Доказательство: (э. стр.40).

Алгоритм получения СДНФ:

1. Для формулы Аполучаем любую ДНФ.

2. Если в ДНФ есть слагаемое, не содержащее , то заменяем.

3. Если в ДНФ два одинаковых слагаемых В, то лишнее можно отбросить, так как.

4. Если в некоторое слагаемое ВДНФАвходит дважды, то лишнююможно отбросить, так как.

5. Если слагаемое Вв ДНФАсодержит конъюнкцию, тои, и это слагаемое можно отбросить.

Например: привести к СДНФ формулу .

Решение:

Алгоритм получения СКНФ путем равносильных преобразований похож на алгоритм получения СДНФ:

1. Для формулы Аполучаем любую КНФ.

2. Если элементарная дизъюнкция В, входящая в КНФ, не содержит, то.

3. если в некоторую элементарную дизъюнкцию Ввходит дважды, то лишнюю переменнуюможно отбросить, так как.

4. Если КНФ содержит два одинаковых сомножителя В, то лишнюю элементарную дизъюнкцию можно отбросить, так как.

5. Если в элементарную дизъюнкцию Ввходит пара, то ее можно отбросить, так как, а.

Например: привести к СКНФ .

Если же будет задана таблица истинности формулы, то алгоритм построения СДНФ следующий:

1. В таблице истинности отмечаем наборы переменных, для которых значение формулы равно 1.

2. Записываем для каждого отмеченного набора конъюнкцию всех переменных следующим образом: если , то конъюнкция включает саму переменную, а противном случае – ее отрицание.

3. Все полученные конъюнкции связываем операциями дизъюнкции. Получив СДНФ можно восстановить формулы алгебры высказываний.

Например: Задана таблица истинности функции .

Эту формулу можно упростить. Для удобства обозначим –.

Алгоритм получения СКНФ по таблице истинности:

1. В таблице истинности отмечаем наборы переменных, для которых значение формулы равно 0.

2. Записываем для каждого отмеченного набора дизъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в этом наборе равно 0, то в дизъюнкцию включаем саму переменную, а противном случае – ее отрицание.

3. Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.

Например: Построить формулу по данной таблице истинности

.

studfiles.net

6.2. Сокращённая днф. Метод Квайна.

Определение 1. Элементарным произведением называется конъюнкт, в который любая переменная входит не более одного раза. Формула (х₁, х₂, … х_п) называется импликантой формулы (х₁, х₂, … х_п), если   элементарное произведение и для соответствующих формулам  и  функций f_ и f_ справедливо неравенство f_f_. Формула (х₁, х₂, … х_п) называется импликантой функции f, если   импликанта совершенной ДНФ, представляющей функцию f. Импликанта (х₁, х₂, … х_п)=формулы называется простой, если после отбрасывания любой литеры из  не получается формула, являющаяся импликантой формулы . Дизъюнкция всех простых импликант данной формулы (функции) называется сокращённой ДНФ.

Пример 6.1. Найдем все импликанты, простые импликанты и сокращённую ДНФ функции ху. Всевозможные элементарные произведения от переменных х и у  это в точности следующие: х, у, ,,ху, у, х,. Построим для самой функции и для этих элементарных произведений таблицу истинности:

Сравнивая значения элементарных произведений со значениями функции ху, заключаем, что импликантами этой функции являются в точности х, у, ху, у, х, так как для всех них выполнено условиехуf_, где f_  одна из х, у, ху, у, х(например,хух). Из этих импликант простыми являются толькох и у. Действительно, удаление одной из литеры в импликантах ху, у, хведёт к получению других, а именно х или у. Таким образом, сокращённой ДНФ функции является ху (что, впрочем, следует из определения самой функции).

В качестве другого примера отметим, что всевозможными импликантами функции ху являются у, х, из которых все являются простыми, и, следовательно, сокращённой ДНФ являетсяух.

Ясно, что с помощью таблицы истинности при большом числе переменных построение сокращённой ДНФ становится проблематичной. Существуют специальные методы, позволяющие избегать работы с таблицами истинности. Они основаны на следующих операциях замены подформул, формул, выражающих функции, им эквивалентными подформулами:

АхАА  операция полного склеивания;

АхАААхА операция неполного склеивания;

Ах^АА  операция элементарного поглощения (0, 1)

Упражнение 6.1.Найти сокращённые ДНФ функций из упражнения 5.1.

Решение. а) Применим к СДНФ функции сначала операцию неполного склеивания, а затемэлементарного поглощения:

zyxzzzyxzzy.

В результате получили сокращённую ДНФ функции.

(1) К паре конъюнктов zиxz(точнее, к их дизъюнкции) применили операцию неполного склеивания:zxzz. Больше пар, к которым можно применить эту операцию, нет.

(2) К парам (z,z) и (z,xz) применили операцию элементарного поглощения: zzzи zxzz..

Ответ: zy.

6.3. Минимальная ДНФ. Таблица Квайна. Рассмотрим ещё

Пример 6.2. Пусть функция f(x, y, z) задана совершенной ДНФ f(x, y, z)=zxxy. Производя над ней операции склеивания и элементарного поглощения, получаем её сокращённую ДНФf(x, y, z)=x. Построив её таблицу истинности, можно убедиться, что импликантуможно удалить, то естьf(x, y, z)=x, и сокращённую ДНФ функции можно упрощать дальше, удаляя лишние импликанты.

Определение 2. Тупиковой ДНФ называется ДНФ, которая получается из сокращённой ДНФ удалением всех лишних импликант, не меняя таблицу истинности. Минимальной ДНФ функции называется её тупиковая ДНФ с наименьшим числом вхождений переменных.

Одним из способов получения минимальной ДНФ из сокращённой ДНФ является использование так называемой таблицы Квайна (ТК). Заголовками столбцов ТК являются конституенты единицы СДНФ, а заголовками строк  простые импликанты из сокращённой ДНФ. Таблица заполняется знаками «+» на пересечениях тех строк и столбцов, для которых конъюнкт, стоящий в заголовке строки, входит в конституенту единицы, являющейся заголовком столбца. В тупиковую ДНФ выбирается минимальное число тех простых импликант, знаки «+» при которых охватывают все столбцы ТК.

ТК для функции примера 6.2 имеет вид

Минимальное число простых импликант, знаки «+» при которых охватывают все столбцы, образуют импликанты первой и третьей строки, то есть иx. Поэтомуxявляется МДНФ функции.

Упражнение 6.2.Найти все тупиковые и минимальные ДНФ функций упражнения 5.1.

6.4. Метод Квайна-Мак-Класки. При больших п (порядка 4) метод Квайна становится громоздким. Существует ряд модификаций метода, позволяющих технически упростить данный метод. Опишем один из методов, называемых методом Квайна-Мак-Класки.

Сначала заметим, что при операции склеивания склеиваются элементарные произведения, отличающиеся только одной литерой. Это и положено в основу модификации. Алгоритм метода  следующий:

1. Представим каждую конституенту булевой функции в виде двоичного набора длины п.

2. Сгруппируем наборы так, чтобы в каждую группу попали те и только те наборы, которые имеют одинаковое число единиц, располагая их в порядке возрастания числа единиц.

3. Сравнивая наборы из соседних групп, выделяем пары, отличающиеся только в одной позиции (тем самым выделяем конституенты, отличающиеся только одной литерой).

4. В обоих выделенных наборах пар заменяем отличающиеся символы (0 и 1) на «-» (тем самым из двух различных наборов получаем один и тот же набор из 0, 1 и «-», что соответствует тому, что два одинаковых элементарных произведения склеили по отличающейся литере, при этом знак «-» соответствует тому, что соответствующая литера в полученном элементарном произведении будет отсутствовать).

Если в результате склеивания получается уже имеющийся набор, то результат склеивания (то есть полученный набор) опускается (это соответствует тому, что согласно закона идемпотентности одинаковые элементарные произведения сливаются в одну). Если в результате склеивания получаются наборы, отличающиеся только в одной позиции, причём в соответствующей позиции одного стоит знак «-» (у других  0 или 1), то остальные опускаются (что соответствует элементарному поглощению)

5. После всевозможных склеиваний на очередном этапе, переходим к пункту 2.

Процесс продолжается до тех пор, пока склеивать будет нечего. Простыми импликантами являются те элементарные произведения, которые не участвовали в процессе склейки на очередном шаге.

Пример 6.3. Проиллюстируем метод на примере функции, имеющей систему равенств f(0, 1, 0)=f(0, 1, 1)=f(1, 0, 1)=f(1, 1, 0)=f(1, 1, 1)=1 примера 6.2. Располагать группы и результаты всех шагов удобно в таблице. Кроме того, наборы, участвующие при склейке на очередном шаге, будем как-то помечать, например, знаком «*». Тогда после конечного шага все наборы, не участвовавшие при склейке на очередном шаге, останутся непомеченными.

В

Заметим, что для удобства в таблице Квайна при обозначении элементарных произведений также удобно использование наборов из 0 и 1. Так, таблица Квайна для нашего примера выглядит следующим образом:

	010	011	101	110	111
-1-	+	+		+	+
1-1			+		+

Из таблицы видим, что полученная сокращённая ДНФ является минимальной, и даже тупиковой.

Упражнение 6.3.Найти все тупиковые и минимальные ДНФ функций упражнения 5.2.

Решение. б) Применяя модификацию метода Квайна, находим сокращённую ДНФ.

	Iшаг	IIшаг
0000*	-000 000-
0001* 1000*	10-0* 1-00*	1—0
0110* 1010* 1100*	011-* -110* 1-10* 11-0*	-11-
0111* 1110*	-111* 111-*
1111*

Она же оказыется тупиковой и минимальной, в чем легко убедиться, построив таблицу Квайна:

studfiles.net

8.2. Каноническое уравнение эллипса и его характеристики

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек , называемых фокусами, есть величина постояннаяРасстояние между фокусами эллипсаназывается фокусным расстоянием и обозначается

Общее уравнение эллипса

где большая полуось,малая полуось,координаты центра эллипса.

Если центр эллипса находится в начале координат и фокусы эллипса находятся на оси на равных расстояниях от начала координат, то уравнение примет вид

причем,

Рис. 13

Эллипс с центром в начале координат

Отношение фокусного расстояния к большой оси, т.е. называетсяэксцентриситетом (мера сжатия)

Эксцентриситет и коэффициент сжатия эллипсасвязаны соотношением

Директрисы эллипса.

Пусть дан эллипс

Рис. 14

Дирректрисы эллипса

с большой осью и эксцентриситетом

Отложим от центра эллипса на его большой оси отрезки

Прямые, проходящие через точки ипараллельно малой осиназываютсядиректрисами эллипса.

Для любой точки эллипса отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситетут.е.

Рассмотрим пример. На эллипсе

найти точку, разность фокальных радиус-векторов которой равна 6,4.

Рис. 15

Согласно уравнению эллипса определим расстояние от цента эллипса до фокусов

тогда

Кроме того,

Составим систему и решим ее

Получим

так как

Вывод: таких точек может быть две

8.3. Каноническое уравнение гиперболы и ее характеристики

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами. Если поместить фокусы гиперболы в точкахто получается каноническое уравнение гиперболы

где Вершинами гиперболы являются точкитогдадействительная ось гиперболы,мнимая ось гиперболы.

Рис. 16

Гипербола

Гипербола имеет две асимптоты

Эксцентриситет гиперболы

Фокальные радиус-векторы левой ветви гиперболы:

Фокальные радиус-векторы правой ветви гиперболы:

Рассмотрим пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса

Найдем координаты фокусов, в которых лежат вершины гиперболы

следовательно

Рис. 17

Вершины гиперболы лежат в фокусах эллипса, следовательно

фокусы гиперболы, т.е.

Тогда

— уравнение гиперболы.

8.4. Каноническое уравнение параболы и ее характеристики

Парабола – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Если директрисой параболы является прямая а фокусом является точкато уравнение параболы имеет вид

Парабола симметрична относительно оси абсцисс

Рис. 18

Парабола

Рассмотрим пример. Составить простейшее уравнение параболы, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой и осью

В точке пересечения с осью координататогда

следовательно, фокус параболы.

Рис. 19

Парабола

Парабола симметрична Так как

Тогда искомое уравнение параболы.

studfiles.net

Кривые второго порядка. Эллипс

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b, то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a, а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a, если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy.

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5, меньшая полуось — это b = 4. Получаем каноническое уравнение эллипса:

.

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

,

называются фокусами.

Число

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение эллипса:

.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13. Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

,

так как из исходного уравнения эллипса .

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Поделиться с друзьями

Другие материалы по теме Кривые второго порядка

function-x.ru

(5) – Каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

– Каноническое уравнение эллипса с центром в точке

Числа а и называются соответственнобольшой и малой полуосями эллипса. Заметим, что а > , еслиа < , то фокусы эллипса будут на осиОу, если а = , то эллипс превращается в окружность.

Точки ,называютсявершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника:

Так как

(6)

Эксцентриситетом эллипса  называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.

(7)

Следовательно, причемкогдат. е. имеем окружность.

При стремящемся к 1 эллипс становится более вытянутым вдоль осиОх.

Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из (4):

(8)

Из (3):

Значит, подставив координаты точки эллипса в уравнения (8), получаем фокальные радиусы точкиМ.

Прямые называютсядиректрисами эллипса.

–левая директриса,

–правая директриса.

Заметим, что директрисы эллипса обладают следующим важным свойством:

(9)

т. е. отношение расстояния r_i от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию d_i от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.

2. Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величинаменьшая, чем расстояние между фокусами

Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох, причем т. е.Заметим, что

Пусть – произвольная точка гиперболы. Как и ранее,–фокальные радиусы точки М.

По определению гиперболы:

где

Следовательно,

(10)

Умножим (10) на

(11)

Сложим уравнения (10) и (11):

(12)

Возведем (12) в квадрат:

Пусть

(13)

(13) – каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

– каноническое уравнение гиперболы с центром в точке

Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид:

Точки называются вершинами гиперболы.

Заметим, что если уравнение гиперболы имеет вид

(14)

то фокусы гиперболы находятся на оси Оу, а ветви гиперболы будут направлены не влево и вправо, а вверх и вниз.

Так как , то(15)

Как и в случае с эллипсом, эксцентриситетом гиперболы называется отношение межфокусного расстоянияк длине действительной оси:

(16)

Следовательно,

Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из (12)

(17)

Прямые называются директрисами гиперболы. –левая директриса,

–правая директриса.

Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса

(18)

т. е. отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстояниюот нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Для гиперболы важную роль играют также прямые

(19)

которые являются ее асимптотами, т. е. прямыми к которым график гиперболы неограниченно близко приближается, но не пересекает их. Заметим, что асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника (если их продолжить)

Следует отметить, что если уравнение гиперболы имеет вид (14), т. е. ее фокусы находятся на оси Оу, то изменятся формулы для вычисления фокальных радиусов, эксцентриситета, директрис. Так – эксцентриситет,– уравнения директрис.

studfiles.net

42. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.

Определение: Эллипсом называется множество точек на плоскости сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек постоянна.

М – произвольная точка эллипса. О – середина F₁F₂. F₁F₂=2с. Сумма расстояний – 2a.Систему координат выберем таким образом чтобы Ох проходило через F_1, F₂ , а Оуделило пополам 2с.

F₁M+ F₂M=2a. — ур-е эллипса.

Преобразуем: ; 2a>2c, a>c,a²-c²=b²

Очевидно что каждая точка эллипса удовлетворяет этому уравнению. Но т.к. в процессе преобразований мы дважды возводили в квадрат обе части то необходимо проверить не получены ли лишние точки. Иначе говоря нужно проверить что каждая точка уравнения (4) принадлежит эллипсу. Предварительно сделаем несколько замечаний о форме линии, соответствующей уравнению (4). . Из уравнений видно что прямая симметрична относительно начала координат. С возрастаниемот 0 до а,убывает отb до 0. Точки кривой лежат в прямоугольнике

Проверим теперь что каждая точка линии определяемая полученным уравнением принадлежит эллипсу. Для этого надо показать что если координаты точки М(х₀,у₀) удовлетворяют (4) то F₁M+ F₂M=2a.

Таким образом лишних точекне появилось.

Числа и— большая и малая полуоси эллипса.F_1, F₂ – фокусы эллипса.

При получаем- уравнение окружности.

Параметрические уравнения эллипса: Построим две окружности радиусом ис центром в начале координат. Из точки О проведем луч наклоненный к Ох под угломt. Проведем горизонтальную прямую через В и вертикальную через А. Изменяя t от 0 до 2 π точка М опишет эллипс. — парам-е уравнения эллипса. При а=b получим — параметрические уравнения окружности.

Определение. Эксцентриситет эллипса – отношение половины расстояния между фокусами к длине его большей оси: .

Так как , следовательно< 1., следовательно,

Замечание: Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру его вытянутости. Чем больше эксцентриситет тем меньше отношение (малой оси эллипса к его большой полуоси).

ксцентриситет гиперболы.

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и не равная 0.

Выберем опять оси координат и начало координат посередине отрезка F₁F₂. Расстояние F₁F₂ равно 2с. А разность расстояний обозначим через 2а.

Из определения имеем: . 2а<2c, а<c

Имеем:

возведем в квадрат.

еще раз в квадрат. После простых преобразований получим:

Поделив обе части на получим:.

Как и в случае эллипса необходимо проверить что несмотря на двукратное возведение в квадрат мы не получим лишних точек. И следовательно уравнение (1) – уравнение гиперболы.

Предварительно отметим некоторые свойства линии определяемой уравнением (1). Из уравнения (1) следует что .

Линия (1) симметрична относительно осей координат и относительно начала координат. Видно что . Значит в полосеточек кривой нет. Следовательно кривая состоит из двух отдельных ветвей, одна из которых расположена в полуплоскости(правая ветвь), а вторая – в полуплоскости —(левая ветвь).

Пусть М(х₀,у₀) – произвольная точка линии, определяемая уравнением (1). . Если мы докажем что, то тем самым мы докажем что уравнение (1) является уравнением гиперболы.

далее в эту формулу подставляем у_0, раскрываем скобки, приводим подобные и учитывая что выделим под каждым корнем полные квадраты. В результате получим:. Пусть(для точек правой ветви), тогда.

При (для точек левой ветви) тогда.

Таким образом . Получаем что. Значит уравнение (1) – это уравнение гиперболы. Лишних точек не получилось.

Число а называется вещественной полуосью гиперболы, число b – мнимой полуосью. Точки пересечения гиперболы с ее осью симметрии называются вершинами гиперболы. Точки F₁ и F₂ фокусы гиперболы.

Отметим еще одну особенность формулы гиперболы. Рассмотрим вместе с гиперболой пару прямых . В первой четверти при одной и той же абсциссе ординаты точек гиперболы меньше соответствующих ординат соответствующих точек прямой, т.к. . , т.к. . Т.е. точки гиперболы при неограниченном увеличении абсцисс как угодно близко подходят к соответствующим точкам прямой . В силу симметрии точки гиперболы в других четвертях неограниченно приближаются к точкам прямых, когда .

Прямые — асимптоты гиперболы. Асимптоты гиперболы направлены по диагоналям прямоугольника со сторонами 2а и 2b, расположенного симметрично относительно осей симметрии гиперболы.

Если а=b то уравнение гиперболы принимает вид . Такая гипербола называется равнобочной.

Эксцентриситет гиперболы. Пусть с- половина расстояния между фокусами гиперболы, а – действительная полуось гиперболы.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется величина .

Учитывая связь между c,a,b получим: . Эксцентриситет гиперболы больше 1.

Замечание: Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как величину раствора угла между его асимптотами, т.к. , где φ – величина угла между асимптотами гиперболы.

studfiles.net

23. Каноническое уравнение эллипса.

Теорема. В канонической для эллипса системе координат уравнение эллипса имеет вид:

                                   .                                     (4)

   Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на эллипсе удовлетворяют уравнению (4). На втором этапе мы докажем, что любоерешение уравнения (4) дает координаты точки, лежащей на эллипсе. Отсюда будет следовать, что уравнению (4) удовлетворяют те и только те точки координатной плоскости, которые лежат на эллипсе. Отсюда и изопределения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (4) является уравнением эллипса.

1) Пусть точка М(х, у) является точкой эллипса, т.е. сумма ее фокальных радиусов равна 2а:

                                   .

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками накоординатной плоскости и найдем по этой формуле фокальные радиусы данной точки М:

, , откуда получаем:

                 .

Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:

.

Сокращая, получаем:

                     .

Приводим подобные, сокращаем на 4 и уединяем радикал:

                      .

Возводим в квадрат

               .

Раскрываем скобки и сокращаем на :

                  ,

откуда получаем:

                .

Используя равенство (2), получаем:

                                .

Разделив последнее равенство на , получаем равенство (4), ч.т.д.

2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (4) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.

   Тогда из (4) следует:

                               .

Подставляем это равенство в выражение для фокальных радиусов точки М:

.

Здесь мы воспользовались равенством (2) и (3).

Таким образом, . Аналогично, .

Теперь заметим, что из равенства (4) следует, что

 или  и т.к. , то отсюда следует неравенство:

                              .

Отсюда, в свою очередь, следует, что

 или  и

                               , .                          (5)

Из равенств (5) следует, что , т.е. точка М(х, у) является точкой эллипса, ч.т.д.

Теорема доказана.

24. Каноническое уравнение гиперболы.

Теорема. В канонической для гиперболы системе координат уравнение гиперболы имеет вид:

                                   .                                     (4)

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы

докажем, что координаты любой точки, лежащей на гиперболе, удовлетворяют

уравнению (4). На втором этапе мы докажем, что любое решение уравнения

(4) дает координаты точки, лежащей на гиперболе. Отсюда будет

следовать, что уравнению (4) удовлетворяют координаты тех и только тех

точек координатной плоскости, которые лежат на гиперболе. Отсюда и из

определения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (4)

является уравнением гиперболы.

1) Пусть точка М(х, у) является точкой гиперболы, т.е. модуль разности ее фокальных радиусов равен 2а:

                    или 

Воспользуемся

формулой расстояния между двумя точками на координатной плоскости и

найдем по этой формуле фокальные радиусы данной точки М:

, , откуда получаем:

                 .

Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:

.

Сокращая, получаем:

                     .

Приводим подобные, сокращаем на 4 и уединяем радикал:

                      .

Возводим в квадрат

               .

Раскрываем скобки и сокращаем на :

                  ,

откуда получаем:

                .

Используя равенство (2), получаем:

                                .

Разделив последнее равенство на , получаем равенство (4), ч.т.д.

2)

Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (4) и пусть М(х,

у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.

   Тогда из (4) следует:

                               .

Подставляем это равенство в выражение для фокального радиуса точки М:

.

Здесь мы воспользовались равенством (2) и (3).

   Таким образом,

                                .

 Аналогично,

                                .

   Теперь заметим, что из равенства (4) следует, что

 или . Умножим неравенство

на :

                                 ,

                          .

Получаем:                             

               или .

Отсюда следует, что числа х,  и  имеют одинаковые знаки, т.е. при  и ,

а при  и , а значит

 и .

, т.е. , что означает принадлежность точки М(х, у) гиперболе, ч.т.д.

Теорема доказана.

studfiles.net

Лекция 2. Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями.

§ 102. Эллипс и его каноническое уравнение

Эллипсом называется геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное число 2а, большее, чем расстояние 2с между фокусами.

Пусть М – произвольная точка эллипса, а и— его фокусы. Отрезкиитак же, как и длины этих отрезков, называются фокальными радиусами точкиМ эллипса. В силу данного определения эллипса (см. рис.1)

(1)

Из определения эллипса вытекает следующий способ его вычерчивания. Воткнем в чертежную доску две булавки и накинем на них замкнутую нить, длина которой равна . Натянем нить карандашом и будем передвигать его, держа нить все время натянутой. Карандаш опишет эллипс, так как суммарасстояний от острияМ карандаша до точек и, в которые воткнуты булавки, во время движения острия карандаша по бумаге не будет изменяться, оставаясь равной.

Введем на плоскости прямоугольную систему координат, принимая середину отрезка за начало координат, а за осьОх прямую , ориентированную от точкик точке. В выбранной системе координат фокусбудет иметь координаты (с, 0), а фокус — координаты (-с, 0). Обозначая координаты точки М эллипса через х и у, будем иметь

и соотношении (1) принимает вид:,

или . (2)

Возводя обе части (2) в квадрат, получим

или .

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получим

,

или .

Так как по условию , то. Обозначаячерез

, (3)

получим

или . (4)

Мы доказали, что координаты любой токи М(х,у) эллипса удовлетворяют уравнению (4). Однако уравнение (4) еще нельзя назвать уравнением эллипса, так как не доказано обратное предложение, а именно: если числа х и у удовлетворяют уравнению (4), то точка М с координатами х и у удовлетворяет соотношению , т.е. лежит на эллипсе.

Докажем это. Пусть координаты точки М(х,у) удовлетворяют уравнению (4). Тогда

и, аналогично, .

Далее, поскольку

то , а так кактоиследовательно,

, (5)

откуда .

Таким образом, (4) есть уравнение эллипса, так как доказано, что координаты любой точки М эллипса, т. е. любой точки, для которой

,

удовлетворяют уравнению (4), и, обратно, если два числа х и у удовлетворяют уравнению (4), то точка М с этими координатами х и у удовлетворяет соотношению ,

т. е. лежит на эллипсе.

Уравнение

называется каноническим уравнение эллипса.

§ 103. Исследование формы эллипса

Так как в каноническое уравнение эллипса координаты х и у входят в четной степени (именно во второй), то если на эллипсе

(1)

лежит точка М(х,у), т. е. координаты этой точки удовлетворяют уравнению (1), то на том же эллипсе лежат точки и, симметричные с точкойМ относительно осей Ох и Оу, и точка , симметричная с точкойМ относительно начала координат. Поэтому оси координат Ох и Оу для

эллипса, заданного каноническим уравнением (1) являются осями симметрии, а начало координат – центром симметрии. Из уравнения эллипсаследует, что для координат любой его точки имеют место соотношения

Геометрически это значит, что эллипс расположен внутри прямоугольника, сторонами которого являются прямые

Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса. Таким образом, эллипс (1) имеет 4 вершины: ,,,.

Полуосью эллипса называется отрезок (а также длина этого отрезка), одним концом которого является центр симметрии эллипса, а другим – одна из его вершин; а называется большей полуосью эллипса, а b – меньшей полуосью.

Отрезок — большая ось эллипса.

Отрезок — меньшая ось эллипса.

Замкнутая линия является выпуклой, если любая прямая пересекает ее не более чем в двух точках. Эллипс есть выпуклая замкнутая линия, так как, решая уравнение (1) эллипса совместно с уравнением прямой или, получим уравнение второй степени относительнох или у, значит, любая прямая пересекает эллипс не более чем в двух точках.

Итак, эллипс – замкнутая выпуклая линия, имеющая центр симметрии и две (взаимно перпендикулярные) оси симметрии.

Условимся уравнение называть каноническим уравнением эллипса и в том случае, когдаа = b и когда a < b.

В случае а = b уравнение примет вид

,

т.е. является уравнением окружности радиуса а с центром в начале координат. Таким образом, мы рассматриваем окружность как частный случай эллипса. Этот частный случай соответствует совпадению фокусов ис центром окружности.

В случае а < b большей полуосью будет b, а меньшей — а. Фокусы будут расположены на оси Оу на расстоянии от центра эллипса.

Отношение половины расстояния между фокусами эллипса (фокальное расстояние) к большей полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой е:

Так как тот. е. эксцентриситет эллипса есть неотрицательное число, меньшее единицы.

Отметим, что (поскольку).

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением полуосей эллипса, и, обратно, отношение полуосей эллипса определяет его эксцентриситет.

Если эксцентриситет равен нулю е = 0, то а = b и эллипс является окружностью. Чем ближе эксцентриситет е к 1, тем меньше и, значит, тем меньше отношение меньшей полуоси к большей. Таким образом, эксцентриситет характеризует степень «вытянутости» эллипса.

Вспоминая формулы:

studfiles.net

Уравнение эллипса, формулы и примеры

Определение и уравнение эллипса

Каноническое (или простейшее) уравнение эллипса с центром в начале координат

Здесь — длина большей полуоси эллипса, — длина малой полуоси эллипса. Фокальным расстоянием называется расстояние между фокусами рассматриваемого эллипса.

Примеры решения задач

Величина

Величины и эллипса связаны соотношением:

Эксцентриситетом эллипса называется величина

Для эллипса

ru.solverbook.com

Математика онлайн: Обучение и практика бесплатно

Математика онлайн для начальной школы

Задачи и примеры по математике расчитаны на ученико срених школ начальных классов. Задачи включают в себя счет до 100, таблицу умножения и деления, задачи с картинками и основы действий с дробями.

Математика онлайн состоит из 5 уровней сложности по 9 виду задач в каждом уровне. Каждый вид задач генерируется случайным образом.

После практики решения задач и примеров, можете проверить свои знания посетив раздел тестов.

После прохождения теста по математике, Вам будет выставлена оценка.

• 
  Бесплатный IQ тест
  IQ тест длится 30 минут и содержит 40 простых вопросов !
• 
  Материки и континенты
  База данных содержит подробную информацию о 199 странах мира!
• 
  IQ тест бесплатно онлайн
  Значение IQ менее 70 часто квалифицируется как умственная отсталость. А как насчет вас?
• 
  Тест медиума
  Попробуйте пройти наш тест а узнайте больше о своих способностях!
• 
  Тест по географии
  Расположение, площадь, флаги, реки, горы, моря, столица, города, население, площадь, денежная екдиница
• 
  Флаги государств
  Вы знаете флаг своей страны? А флаг страны куда собираетесь поехать на отдых?
• 
  Дорожные знаки РФ
  Тест выполняет исключительно функцию самообучения и служит как полезный инструмент подготовки для сдачи настоящего экзамена!
• 
  Тест: граничащие страны
  Чем больше количесво вопросов, тем сильнее будут Ваши знания по географии и странам мира!
• 
  Тест визуальной памяти человека
  Наш тест оценит уровень Вашей визуальной памяти. Постарайтесь сосредоточиться и не отвлекаться.

Free games online · Eng · CZ Hry · Игры онлайн бесплатно · Иконка на Ваш Web · Книга посетителей  · RoboStav
Copyright (c) 2019 by Topglobus.ru. Все права защищены!

www.topglobus.ru

Тренажеры по математике онлайн для любого класса, игры по математике онлайн | Клуб любителей математики

Мы рады видеть Вас на сайте Клуба любителей математики! Здесь Вы сможете быстро и легко выучить Таблицу Умножения, «прокачать» свои навыки устного счета, либо просто с интересом и пользой провести время.

Умеете с ходу разбираться в любых вещах? Тогда начните свое знакомство с сайтом сразу в приложениях:

Простой онлайн тренажер поможет легко и эффективно выучить таблицу умножения за счет плавного увеличения сложности и подсказок в трудных местах.

Удобный интерфейс приложения поможет быстро и легко развить навыки счета. А наличие игровой формы превратит скучные занятия в увлекательную игру.

32 режима счета с разными дробями — простыми, неправильными, смешанными и десятичными. Ведение протокола примеров, подсказка с решением примера.

Считаете себя профессионалом, готовым показать мастер класс, быстро и правильно решая любые примеры?
Значит докажи это!

Подробнее о сайте

Matematika.Club – это активно развивающийся интернет-ресурс, включающий в себя разнообразие онлайн тренажеров по математике, обладающих удобным интерфейсом, подходящим под большинство современных устройств.

Наши онлайн тренажеры по математике позволяют в виде игры эффективно учить Таблицу Умножения и совершенствовать навыки устного счета при помощи специальных алгоритмов генерации математических примеров различных уровней сложности.

Сайт обладает средствами сбора персональной статистики, формирования подробных протоколов решения, анализа ошибок, наглядного отображения процесса и результатов собственного обучения.

Наша группа ВКонтакте

Если вас интересуют все новости связанные с данным проектом, то предлагаем вступить в нашу группу «ВКонтакте». Присоединяйтесь!

matematika.club

Решение математики онлайн

www.matcabi.net используется для решения математики онлайн, и позволяет решать задачи любой сложности. На сайте www.matcabi.net в режиме онлайн решаются задачи по математике: сложение и вычитание матриц, умножение матриц, транспонирование и определение ранга матрицы, нахождение определителя, а также обратной матрицы, определение характеристического уравнения для матрицы, вычисление пределов функций и числовых последовательностей, вычисление производных высших порядков от функций, нахождение суммы ряда онлайн числовых последовательностей и функциональных рядов, решение определенного и неопределенного интеграла онлайн, решение обыкновенных дифференциальных уравнений онлайн. Используя решение математики онлайн, можно найти ответ на любую поставленную задачу в режиме онлайн. Необходимо выбрать раздел математики, ввести данные задачи, и www.matcabi.net решит задачу онлайн. В разделе пределы можно решать математические задачи на определение конечного предела числовой последовательности онлайн, а также вычисление предела функции в точке и на бесконечности. Решение математики онлайн доступно для всех пользователей сайта. В разделе сумма ряда можно найти решение задач на сходимость числовой последовательности онлайн и математического функционального ряда. В решении математики онлайн сайт www.matcabi.net является лучшим среди аналогичных ресурсов. В раздел производная доступно дифференцирование функций в математике и решение производной онлайн высших порядков. Предлагая решение математики онлайн на сайте www.matcabi.net, своим пользователям мы гарантируем точность вычислений, быстроту вычислений и большие возможности для решения математики онлайн, не ограничивая в постановке задач. Разделы для интегрирования математических функций, такие как вычисление неопределенного интеграла и определенного интеграла, являются универсальными при решении математики онлайн и занимают особое место в изучении высшей математики. Сайт www.matcabi.net позволяет вычислить точное значение интеграла, решая математику онлайн. Используя наш ресурс, мы надеемся, что он поможет вам в изучении математики, особенно в практической её части, так как решение математики онлайн на www.matcabi.net — это быстрое, надежное и точное решение математических задач в режиме онлайн.

www.matcabi.net

Математика онлайн — Трансляции, онлайн уроки и инструменты математика для работы в онлайн

Исходный код игры представлен ниже

#!/usr/bin/python3

# -*- coding: utf-8 -*-

import sys, random

from PyQt5.QtWidgets import QMainWindow, QFrame, QDesktopWidget, QApplication

from PyQt5.QtCore import Qt, QBasicTimer, pyqtSignal

from PyQt5.QtGui import QPainter, QColor

class Tetris(QMainWindow):

    def __init__(self):

        super().__init__()

        self.initUI()

    def initUI(self):   

        self.tboard = Board(self)

        self.setCentralWidget(self.tboard)

        self.statusbar = self.statusBar()       

        self.tboard.msg2Statusbar[str].connect(self.statusbar.showMessage)

        self.tboard.start()

        self.resize(180, 380)

        self.center()

        self.setWindowTitle(‘Tetris’)       

        self.show()

    def center(self):

        screen = QDesktopWidget().screenGeometry()

        size = self.geometry()

        self.move((screen.width()-size.width())/2,

            (screen.height()-size.height())/2)

class Board(QFrame):

    msg2Statusbar = pyqtSignal(str)

    BoardWidth = 10

    BoardHeight = 22

    Speed = 300

    def __init__(self, parent):

        super().__init__(parent)

        self.initBoard()

    def initBoard(self):    

        self.timer = QBasicTimer()

        self.isWaitingAfterLine = False

        self.curX = 0

        self.curY = 0

        self.numLinesRemoved = 0

        self.board = []

        self.setFocusPolicy(Qt.StrongFocus)

        self.isStarted = False

        self.isPaused = False

        self.clearBoard()

    def shapeAt(self, x, y):

        return self.board[(y * Board.BoardWidth) + x]

    def setShapeAt(self, x, y, shape):

        self.board[(y * Board.BoardWidth) + x] = shape

    def squareWidth(self):

        return self.contentsRect().width() // Board.BoardWidth

    def squareHeight(self):

        return self.contentsRect().height() // Board.BoardHeight

    def start(self):

        if self.isPaused:

            return

        self.isStarted = True

        self.isWaitingAfterLine = False

        self.numLinesRemoved = 0

        self.clearBoard()

        self.msg2Statusbar.emit(str(self.numLinesRemoved))

        self.newPiece()

        self.timer.start(Board.Speed, self)

    def pause(self):

        if not self.isStarted:

            return

        self.isPaused = not self.isPaused

        if self.isPaused:

            self.timer.stop()

            self.msg2Statusbar.emit(«paused»)

        else:

            self.timer.start(Board.Speed, self)

            self.msg2Statusbar.emit(str(self.numLinesRemoved))

        self.update()

    def paintEvent(self, event):

        painter = QPainter(self)

        rect = self.contentsRect()

        boardTop = rect.bottom() — Board.BoardHeight * self.squareHeight()

        for i in range(Board.BoardHeight):

            for j in range(Board.BoardWidth):

                shape = self.shapeAt(j, Board.BoardHeight — i — 1)

                if shape != Tetrominoe.NoShape:

                    self.drawSquare(painter,

                        rect.left() + j * self.squareWidth(),

                        boardTop + i * self.squareHeight(), shape)

        if self.curPiece.shape() != Tetrominoe.NoShape:

            for i in range(4):

                x = self.curX + self.curPiece.x(i)

                y = self.curY — self.curPiece.y(i)

                self.drawSquare(painter, rect.left() + x * self.squareWidth(),

                    boardTop + (Board.BoardHeight — y — 1) * self.squareHeight(),

                    self.curPiece.shape())

    def keyPressEvent(self, event):

        if not self.isStarted or self.curPiece.shape() == Tetrominoe.NoShape:

            super(Board, self).keyPressEvent(event)

            return

        key = event.key()

        if key == Qt.Key_P:

            self.pause()

            return

        if self.isPaused:

            return

        elif key == Qt.Key_Left:

            self.tryMove(self.curPiece, self.curX — 1, self.curY)

        elif key == Qt.Key_Right:

            self.tryMove(self.curPiece, self.curX + 1, self.curY)

        elif key == Qt.Key_Down:

            self.dropDown()

        elif key == Qt.Key_Up:

            self.tryMove(self.curPiece.rotateLeft(), self.curX, self.curY)

        elif key == Qt.Key_Space:

            self.tryMove(self.curPiece.rotateRight(), self.curX, self.curY)

        elif key == Qt.Key_D:

            self.oneLineDown()

        else:

            super(Board, self).keyPressEvent(event)

    def timerEvent(self, event):

        if event.timerId() == self.timer.timerId():

            if self.isWaitingAfterLine:

                self.isWaitingAfterLine = False

                self.newPiece()

            else:

                self.oneLineDown()

        else:

            super(Board, self).timerEvent(event)

    def clearBoard(self):

        for i in range(Board.BoardHeight * Board.BoardWidth):

            self.board.append(Tetrominoe.NoShape)

    def dropDown(self):

        newY = self.curY

        while newY > 0:

            if not self.tryMove(self.curPiece, self.curX, newY — 1):

                break

            newY -= 1

        self.pieceDropped()

    def oneLineDown(self):

        if not self.tryMove(self.curPiece, self.curX, self.curY — 1):

            self.pieceDropped()

    def pieceDropped(self):

        for i in range(4):

            x = self.curX + self.curPiece.x(i)

            y = self.curY — self.curPiece.y(i)

            self.setShapeAt(x, y, self.curPiece.shape())

        self.removeFullLines()

        if not self.isWaitingAfterLine:

            self.newPiece()

    def removeFullLines(self):

        numFullLines = 0

        rowsToRemove = []

        for i in range(Board.BoardHeight):

            n = 0

            for j in range(Board.BoardWidth):

                if not self.shapeAt(j, i) == Tetrominoe.NoShape:

                    n = n + 1

            if n == 10:

                rowsToRemove.append(i)

        rowsToRemove.reverse()

        for m in rowsToRemove:

            for k in range(m, Board.BoardHeight):

                for l in range(Board.BoardWidth):

                        self.setShapeAt(l, k, self.shapeAt(l, k + 1))

        numFullLines = numFullLines + len(rowsToRemove)

        if numFullLines > 0:

            self.numLinesRemoved = self.numLinesRemoved + numFullLines

            self.msg2Statusbar.emit(str(self.numLinesRemoved))

            self.isWaitingAfterLine = True

            self.curPiece.setShape(Tetrominoe.NoShape)

            self.update()

    def newPiece(self):

        self.curPiece = Shape()

        self.curPiece.setRandomShape()

        self.curX = Board.BoardWidth // 2 + 1

        self.curY = Board.BoardHeight — 1 + self.curPiece.minY()

        if not self.tryMove(self.curPiece, self.curX, self.curY):

            self.curPiece.setShape(Tetrominoe.NoShape)

            self.timer.stop()

            self.isStarted = False

            self.msg2Statusbar.emit(«Game over»)

    def tryMove(self, newPiece, newX, newY):

        for i in range(4):

            x = newX + newPiece.x(i)

            y = newY — newPiece.y(i)

            if x < 0 or x >= Board.BoardWidth or y < 0 or y >= Board.BoardHeight:

                return False

            if self.shapeAt(x, y) != Tetrominoe.NoShape:

                return False

        self.curPiece = newPiece

        self.curX = newX

        self.curY = newY

        self.update()

        return True

    def drawSquare(self, painter, x, y, shape):

        colorTable = [0x000000, 0xCC6666, 0x66CC66, 0x6666CC,

                      0xCCCC66, 0xCC66CC, 0x66CCCC, 0xDAAA00]

        color = QColor(colorTable[shape])

        painter.fillRect(x + 1, y + 1, self.squareWidth() — 2,

            self.squareHeight() — 2, color)

        painter.setPen(color.lighter())

        painter.drawLine(x, y + self.squareHeight() — 1, x, y)

        painter.drawLine(x, y, x + self.squareWidth() — 1, y)

        painter.setPen(color.darker())

        painter.drawLine(x + 1, y + self.squareHeight() — 1,

            x + self.squareWidth() — 1, y + self.squareHeight() — 1)

        painter.drawLine(x + self.squareWidth() — 1,

            y + self.squareHeight() — 1, x + self.squareWidth() — 1, y + 1)

class Tetrominoe(object):

    NoShape = 0

    ZShape = 1

    SShape = 2

    LineShape = 3

    TShape = 4

    SquareShape = 5

    LShape = 6

    MirroredLShape = 7

class Shape(object):

    coordsTable = (

        ((0, 0),     (0, 0),     (0, 0),     (0, 0)),

        ((0, -1),    (0, 0),     (-1, 0),    (-1, 1)),

        ((0, -1),    (0, 0),     (1, 0),     (1, 1)),

        ((0, -1),    (0, 0),     (0, 1),     (0, 2)),

        ((-1, 0),    (0, 0),     (1, 0),     (0, 1)),

        ((0, 0),     (1, 0),     (0, 1),     (1, 1)),

        ((-1, -1),   (0, -1),    (0, 0),     (0, 1)),

        ((1, -1),    (0, -1),    (0, 0),     (0, 1))

    )

    def __init__(self):

        self.coords = [[0,0] for i in range(4)]

        self.pieceShape = Tetrominoe.NoShape

        self.setShape(Tetrominoe.NoShape)

    def shape(self):

        return self.pieceShape

    def setShape(self, shape):

        table = Shape.coordsTable[shape]

        for i in range(4):

            for j in range(2):

                self.coords[i][j] = table[i][j]

        self.pieceShape = shape

    def setRandomShape(self):

        self.setShape(random.randint(1, 7))

    def x(self, index):

        return self.coords[index][0]

    def y(self, index):

        return self.coords[index][1]

    def setX(self, index, x):

        self.coords[index][0] = x

    def setY(self, index, y):

        self.coords[index][1] = y

    def minX(self):

        m = self.coords[0][0]

        for i in range(4):

            m = min(m, self.coords[i][0])

        return m

    def maxX(self):

        m = self.coords[0][0]

        for i in range(4):

            m = max(m, self.coords[i][0])

        return m

    def minY(self):

        m = self.coords[0][1]

        for i in range(4):

            m = min(m, self.coords[i][1])

        return m

    def maxY(self):

        m = self.coords[0][1]

        for i in range(4):

            m = max(m, self.coords[i][1])

        return m

    def rotateLeft(self):

        if self.pieceShape == Tetrominoe.SquareShape:

            return self

        result = Shape()

        result.pieceShape = self.pieceShape

        for i in range(4):

            result.setX(i, self.y(i))

            result.setY(i, -self.x(i))

        return result

    def rotateRight(self):

        if self.pieceShape == Tetrominoe.SquareShape:

            return self

        result = Shape()

        result.pieceShape = self.pieceShape

        for i in range(4):

            result.setX(i, -self.y(i))

            result.setY(i, self.x(i))

        return result

if __name__ == ‘__main__’:

    app = QApplication([])

    tetris = Tetris()   

    sys.exit(app.exec_())

Подробное описание игры тетрис (Классы, методы, события, перехват клавишь, графика)

 Игра начинается сразу же после её запуска. Мы можем приостановить игру, нажав клавишу p. Клавиша Space будет немедленно бросать блок тетриса вниз. Игра идёт на постоянной скорости, ускорение не реализуется. Очки – это число линий, который мы удалили.

self.tboard = Board(self)
self.setCentralWidget(self.tboard)

Экземпляр класса Board создаётся и устанавливается центральным виджетом приложения.

self.statusbar = self.statusBar()
self.tboard.msg2Statusbar[str].connect(self.statusbar.showMessage)

Мы создаём строку состояния, где мы будем отображать сообщения. Мы будем отображать три возможных сообщения: количество уже удалённых линий, сообщение паузы, или сообщение «Игра окончена». msgStatusbar – это пользовательский сигнал, который реализуется в классе Board. showMessage() – это встроенный метод, который отображает сообщение в строке состояния.

self.tboard.start()

Эта строка инициирует игру.

class Board(QFrame):

    msg2Statusbar = pyqtSignal(str)
    ...

Создаётся пользовательский сигнал. msgStatusbar – это сигнал, который срабатывает, когда мы хотим написать сообщение или количество очков в строку состояния.

BoardWidth = 10
BoardHeight = 22
Speed = 300

Это переменные класса Board. BoardWidth и BoardHeight определяют размер доски в блоках. Speed определяет скорость игры. Каждые 300 мс будет начинаться цикл новой игры.

...
self.curX = 0
self.curY = 0
self.numLinesRemoved = 0
self.board = []
...

В методе initBoard() мы инициализируем несколько важных переменных. Переменная self.board – это список чисел от 0 до 7. Она представляет местоположение различных фигур и оставляет фигуры на доске.

def shapeAt(self, x, y):
    return self.board[(y * Board.BoardWidth) + x]

Метод shapeAt() определяет тип фигуры в данном блоке.

def squareWidth(self):
    return self.contentsRect().width() // Board.BoardWidth

Доска может динамически менять размер (например, при изменении размера окна). Как следствие, размер блока может меняться. squareWidth() вычисляет ширину простого квадратика в пикселях и возвращает её. Board.BoardWidth – это размер доски в блоках.

for i in range(Board.BoardHeight):
    for j in range(Board.BoardWidth):
        shape = self.shapeAt(j, Board.BoardHeight - i - 1)

        if shape != Tetrominoe.NoShape:
            self.drawSquare(painter,
                rect.left() + j * self.squareWidth(),
                boardTop + i * self.squareHeight(), shape)

Рисование игры разделяется на два шага. Первым шагом, мы рисуем все фигуры, или оставляем фигуры, которые были сброшены вниз доски. Все квадратики запоминаются в списке переменных self.board. Доступ к переменной получают, используя метод shapeAt().

if self.curPiece.shape() != Tetrominoe.NoShape:

    for i in range(4):

        x = self.curX + self.curPiece.x(i)
        y = self.curY - self.curPiece.y(i)
        self.drawSquare(painter, rect.left() + x * self.squareWidth(),
            boardTop + (Board.BoardHeight - y - 1) * self.squareHeight(),
            self.curPiece.shape())

Следующий шаг – это рисование упавших вниз частей.

elif key == Qt.Key_Right:
    self.tryMove(self.curPiece, self.curX + 1, self.curY)

В методе keyPressEvent(), мы проверяем нажатые клавиши. Если мы нажали клавишу правой стрелки, мы пробуем передвинуть часть вправо. Мы говорим «пробуем», поскольку часть может быть на правом крае.

elif key == Qt.Key_Up:
    self.tryMove(self.curPiece.rotateLeft(), self.curX, self.curY)

Клавиша стрелки вверх будет поворачивать падающую часть влево.

elif key == Qt.Key_Space:
    self.dropDown()

Клавиша «Пробел» будет немедленно бросать падающую часть.

elif key == Qt.Key_D:
    self.oneLineDown()

Нажимая клавишу «d», часть спустится вниз на один блок. Это может быть использовано, чтобы слегка ускорить падение части.

def tryMove(self, newPiece, newX, newY):

    for i in range(4):

        x = newX + newPiece.x(i)
        y = newY - newPiece.y(i)

        if x < 0 or x >= Board.BoardWidth or y < 0 or y >= Board.BoardHeight:
            return False

        if self.shapeAt(x, y) != Tetrominoe.NoShape:
            return False

    self.curPiece = newPiece
    self.curX = newX
    self.curY = newY
    self.update()
    return True

В методе tryMove(), мы пробуем переместить наши фигуры. Если фигура находится на краю доски или примыкает к некоторой другой части, мы возвращаем значение «Ложь». В противном случае, мы перемещаем текущую падающую часть в новую позицию.

def timerEvent(self, event):

    if event.timerId() == self.timer.timerId():

        if self.isWaitingAfterLine:
            self.isWaitingAfterLine = False
            self.newPiece()
        else:
            self.oneLineDown()

    else:
        super(Board, self).timerEvent(event)

В timerEvent (событии таймера), мы либо создаём новую фигуру после предыдущей, которая упала, либо мы передвигаем падающую часть на одну линию вниз.

def clearBoard(self):

    for i in range(Board.BoardHeight * Board.BoardWidth):
        self.board.append(Tetrominoe.NoShape)

Метод clearBoard() очищает доску путём установки Tetrominoe.Noshape на каждый блок доски.

def removeFullLines(self):

    numFullLines = 0
    rowsToRemove = []

    for i in range(Board.BoardHeight):

        n = 0
        for j in range(Board.BoardWidth):
            if not self.shapeAt(j, i) == Tetrominoe.NoShape:
                n = n + 1

        if n == 10:
            rowsToRemove.append(i)

    rowsToRemove.reverse()


    for m in rowsToRemove:

        for k in range(m, Board.BoardHeight):
            for l in range(Board.BoardWidth):
                    self.setShapeAt(l, k, self.shapeAt(l, k + 1))

    numFullLines = numFullLines + len(rowsToRemove)
    ...

Когда фигура падает, мы вызываем метод removeFullLines(). Мы обнаруживаем все полные линии и удаляем их. Обратите внимание, что мы развернули порядок удаляемых линий. В противном случае, это не будет работать правильно. В нашем случае, мы используем «никакую» гравитацию. Это означает, что части могут парить над пустыми промежутками.

def newPiece(self):

    self.curPiece = Shape()
    self.curPiece.setRandomShape()
    self.curX = Board.BoardWidth // 2 + 1
    self.curY = Board.BoardHeight - 1 + self.curPiece.minY()

    if not self.tryMove(self.curPiece, self.curX, self.curY):

        self.curPiece.setShape(Tetrominoe.NoShape)
        self.timer.stop()
        self.isStarted = False
        self.msg2Statusbar.emit("Game over")

Метод newPiece() случайным образом создаёт новую часть тетриса. Если часть не может прийти в свою начальную позицию, игра заканчивается.

class Tetrominoe(object):
    NoShape = 0
    ZShape = 1
    SShape = 2
    LineShape = 3
    TShape = 4
    SquareShape = 5
    LShape = 6
    MirroredLShape = 7

Класс Tetrominoe содержит в себе имена всех возможных фигур. Мы также имеем NoShape для пустого пространства.

class Shape(object):

    coordsTable = (
        ((0, 0),     (0, 0),     (0, 0),     (0, 0)),
        ((0, -1),    (0, 0),     (-1, 0),    (-1, 1)),
        ...
    )
    ...

Класс Shape хранит информацию о частях тетриса.

Набор coordsTable содержит в себе всевозможные значения координат наших частей тетриса. Это шаблон, из которого все части берут свои значения координат.

self.coords = [[0,0] for i in range(4)]

После создания, мы создаём пустой список координат. Список будет хранить координаты частей тетриса.

Изображение выше поможет понять значения координат. Для примера, набор (0, -1), (0, 0), (-1, 0), (-1, -1) представляет S-фигуру. Схема иллюстрирует фигуру.

def rotateLeft(self):

    if self.pieceShape == Tetrominoe.SquareShape:
        return self

    result = Shape()
    result.pieceShape = self.pieceShape

    for i in range(4):

        result.setX(i, self.y(i))
        result.setY(i, -self.x(i))

    return result

Метод rotateLeft() поворачивает часть влево. Квадрат не должен поворачиваться. Вот почему мы просто возвращаем ссылку на текущий объект. Новая часть создаётся и её координаты устанавливаются в одну из повернутых частей.

Это была игра Тетрис в PyQt5 (а также перевод последней части туториала от zetcode).

matem.online

Математика онлайн — школьная программа и пдоготовка к ЕГЭ/ОГЭ

Меню

• Обучение
  • Закрыть
  • • Вебинары
      • Закрыть
      • Все вебинары
        • Вебинар#1.ЕГЭ №9,13,18
        • Вебинар#2. ЕГЭ №14
        • Вебинар#3. ЕГЭ №16
        • Вебинар#4.ЕГЭ №17
        • Вебинар#5.ЕГЭ №13,18
        • Вебинар#6.ЕГЭ №13,18
        • Вебинар#7. ЕГЭ №15,18
        • Вебинар#8. ЕГЭ. № 13,15
        • Вебинар#9. ЕГЭ. №15
        • Вебинар#10. ЕГЭ. №14
        • Вебинар #11. ЕГЭ №14
        • Вебинар#12 .ЕГЭ №16
        • Вебинар#13. ЕГЭ №16
        • Вебинар#14. ЕГЭ №18
        • Вебинар#15. ЕГЭ №18
        • Вебинар#16. ЕГЭ №18
        • Вебинар#17. ЕГЭ №13
        • Вебинар#18. ЕГЭ №15
        • Вебинар#19. ЕГЭ №14
      • Закрыть
    • Пути обучения и темы
      • Закрыть
      • Пути обучения
        • Что такое пути обучения
        • Ваш первый учебный путь
        • Все пути обучения
      • Доступные темы
        • Список бесплатных тем
        • Полный список доступных тем
      • Закрыть
    • Подготовка к ЕГЭ
      • Закрыть
      • ЕГЭ Профиль
        • Задание №4
        • Задание №5
        • Задание №6
        • Задание №8
        • Задание №9
        • Задание №11
        • Задание №13
        • Задание №14
        • Задание №17
        • Задание №18
      • ЕГЭ База
        • Задание №7
        • Задание №10
      • Пути обучения
        • Не помню как работают формулы приведения
        • Хочу вспомнить как решать тригонометрические ур.
        • Как отбирать корни тригонометрических ур.
        • Учимся решать комбинированные ур.
        • Учимся решать тригонометрические ур. с параметром
        • Объем пирамиды. От простого к сложному.
      • Вебинары
        • Вебинар#1.ЕГЭ №9,13,18
        • Вебинар #2.ЕГЭ №14
        • Вебинар#3. ЕГЭ №16
        • Вебинар#4.ЕГЭ №17
        • Вебинар#5.ЕГЭ №13,18
        • Вебинар#6.ЕГЭ №13,18
        • Вебинар#7. ЕГЭ №15,18
        • Вебинар#8.ЕГЭ № 13,15
        • Вебинар#9.ЕГЭ. №15
        • Вебинар#10. ЕГЭ. №14
        • Вебинар #11. ЕГЭ №14
        • Вебинар#12. ЕГЭ №16
        • Вебинар#13. ЕГЭ №16
        • Вебинар#14. ЕГЭ №18
        • Вебинар#15. ЕГЭ №18
        • Вебинар#16. ЕГЭ №18
        • Вебинар#17. ЕГЭ №13
        • Вебинар#18. ЕГЭ №15
        • Вебинар#19. ЕГЭ №14
      • Закрыть
    • 11 класс
      • Закрыть
      • Алгебра
        • Уравнения
          • Показательные уравнения
          • Комбинированные уравнения
      • Геометрия
        • Многогранники
      • Пути обучения
      • Закрыть
    • 10 Класс
      • Закрыть
      • Алгебра
        • Повторение 7-9
        • Числовые функции
        • Тригонометрические уравнения
        • Преобразование тригонометрических выражений
      • Геометрия
        • Введение
        • Параллельность прямых и плоскостей
        • Перпендикулярность прямых и плоскостей
      • Подготовка к ЕГЭ
        • Задание №13
        • Задание №18
      • Пути обучения
      • Закрыть
    • ОГЭ
      • Закрыть
      • ОГЭ
        • Задание №4
        • Задание №9
        • Задание №17
        • Задание №21
        • Задание №22
      • Пути обучения
      • Закрыть
    • 9 Класс
      • Закрыть
      • Алгебра
        • Текстовые задачи
      • Геометрия
      • Факультатив
        • Уравнения
          • Уравнения повышенной сложности
      • Пути обучения
      • Закрыть
    • 8 Класс
      • Закрыть
      • Алгебра
        • Уравнения
          • Квадратные уравнения
          • Рациональные уравнения
        • Текстовые задачи
      • Геометрия
        • Окружности
      • Факультатив
        • Уравнения
          • Рациональные уравнения с параметром
      • Пути обучения
      • Закрыть
    • 7 Класс
      • Закрыть
      • Алгебра
        • Текстовые задачи
        • Уравнения
          • Линейные уравнения
      • Геометрия
      • Факультатив
        • Уравнения
          • Линейные уравнения с параметром
      • Пути обучения
      • Закрыть
    • Для учителя
      • Закрыть
      • Алгебра
        • Вероятность и статистика
        • Повторение 7-9
        • Числовые функции
        • Текстовые задачи
        • Алгебраические уравнения
        • Тригонометрические уравнения
        • Показательные уравнения
        • Иррациональные уравнения
        • Комбинированные уравнения
        • Преобразование тригонометрических выражений
      • Геометрия
        • 10 класс Стереометрия
        • Многогранники
        • Планиметрия
      • Закрыть
  • Закрыть
• Информация
  • Закрыть
  • • Учителям и школам
      • Для учителей и школ
  • • Ученикам и родителям
      • Для родителей
      • Родительский доступ
      • Руководство учащегося
  • • Общая информация
      • Новости
      • Как это работает
      • Отзывы
      • Акции
      • Список слушателей
  • Закрыть
• Вебинары
• • Закрыть
  • Закрыть

• Вход
• Регистрация

• Как это работает
• Новости
• Поддержка

ВХОД НА САЙТ

Забыл пароль

Запомнить

• Регистрация

‹ back to login Получить ссылку на смену пароля

Меню

• Обучение
  • Закрыть
  • • Вебинары
      • Закрыть
      • Все вебинары
        • Вебинар#1.ЕГЭ №9,13,18
        • Вебинар#2. ЕГЭ №14
        • Вебинар#3. ЕГЭ №16
        • Вебинар#4.ЕГЭ №17
        • Вебинар#5.ЕГЭ №13,18
        • Вебинар#6.ЕГЭ №13,18
        • Вебинар#7. ЕГЭ №15,18
        • Вебинар#8. ЕГЭ. № 13,15
        • Вебинар#9. ЕГЭ. №15
        • Вебинар#10. ЕГЭ. №14
        • Вебинар #11. ЕГЭ №14
        • Вебинар#12 .ЕГЭ №16
        • Вебинар#13. ЕГЭ №16
        • Вебинар#14. ЕГЭ №18
        • Вебинар#15. ЕГЭ №18
        • Вебинар#16. ЕГЭ №18
        • Вебинар#17. ЕГЭ №13
        • Вебинар#18. ЕГЭ №15
        • Вебинар#19. ЕГЭ №14
      • Закрыть
    • Пути обучения и темы
      • Закрыть
      • Пути обучения
        • Что такое пути обучения
        • Ваш первый учебный путь
        • Все пути обучения
      • Доступные темы
        • Список бесплатных тем
        • Полный список доступных тем
      • Закрыть
    • Подготовка к ЕГЭ
      • Закрыть
      • ЕГЭ Профиль
        • Задание №4
        • Задание №5
        • Задание №6
        • Задание №8
        • Задание №9
        • Задание №11
        • Задание №13
        • Задание №14
        • Задание №17
        • Задание №18
      • ЕГЭ База
        • Задание №7
        • Задание №10
      • Пути обучения
        • Не помню как работают формулы приведения
        • Хочу вспомнить как решать тригонометрические ур.
        • Как отбирать корни тригонометрических ур.
        • Учимся решать комбинированные ур.
        • Учимся решать тригонометрические ур. с параметром
        • Объем пирамиды. От простого к сложному.
      • Вебинары
        • Вебинар#1.ЕГЭ №9,13,18
        • Вебинар #2.ЕГЭ №14
        • Вебинар#3. ЕГЭ №16
        • Вебинар#4.ЕГЭ №17
        • Вебинар#5.ЕГЭ №13,18
        • Вебинар#6.ЕГЭ №13,18
        • Вебинар#7. ЕГЭ №15,18
        • Вебинар#8.ЕГЭ № 13,15
        • Вебинар#9.ЕГЭ. №15
        • Вебинар#10. ЕГЭ. №14
        • Вебинар #11. ЕГЭ №14
        • Вебинар#12. ЕГЭ №16
        • Вебинар#13. ЕГЭ №16
        • Вебинар#14. ЕГЭ №18
        • Вебинар#15. ЕГЭ №18
        • Вебинар#16. ЕГЭ №18
        • Вебинар#17. ЕГЭ №13
        • Вебинар#18. ЕГЭ №15
        • Вебинар#19. ЕГЭ №14
      • Закрыть
    • 11 класс
      • Закрыть
      • Алгебра
        • Уравнения
          • Показательные уравнения
          • Комбинированные уравнения
      • Геометрия
        • Многогранники
      • Пути обучения
      • Закрыть
    • 10 Класс

  mathcourse.ru

  Репетитор по математике онлайн

  Укажите ваш часовой пояс:

  Выберите из списка(UTC-12:00) Линия перемены дат(UTC-11:00) Время в формате UTC -11(UTC-10:00) Алеутские острова(UTC-10:00) Гавайи(UTC-09:30) Маркизские острова(UTC-09:00) Аляска(UTC-09:00) Время в формате UTC -09(UTC-08:00) Нижняя Калифорния(UTC-08:00) Время в формате UTC -08(UTC-08:00) Тихоокеанское время (США и Канада)(UTC-07:00) Аризона(UTC-07:00) Ла-Пас, Мазатлан, Чихуахуа(UTC-07:00) Горное время (США и Канада)(UTC-06:00) Центральная Америка(UTC-06:00) Центральное время (США и Канада)(UTC-06:00) о. Пасхи(UTC-06:00) Гвадалахара, Мехико, Монтеррей(UTC-06:00) Саскачеван(UTC-05:00) Богота, Кито, Лима, Рио-Бранко(UTC-05:00) Четумаль(UTC-05:00) Восточное время (США и Канада)(UTC-05:00) Гаити(UTC-05:00) Гавана(UTC-05:00) Индиана (восток)(UTC-04:00) Острова Теркс и Кайкос(UTC-04:00) Асунсьон(UTC-04:00) Атлантическое время (Канада)(UTC-04:30) Каракас(UTC-04:00) Куяба(UTC-04:00) Джорджтаун, Ла-Пас, Манаус, Сан-Хуан(UTC-04:00) Сантьяго(UTC-03:30) Ньюфаундленд(UTC-03:00) Арагуаяна(UTC-03:00) Бразилия(UTC-03:00) Кайенна, Форталеза(UTC-03:00) Буэнос-Айрес(UTC-03:00) Гренландия(UTC-03:00) Монтевидео(UTC-03:00) Пунта-Аренас(UTC-03:00) Сен-Пьер и Микелон(UTC-03:00) Сальвадор(UTC-02:00) Время в формате UTC -02(UTC-02:00) Среднеатлантическое время — старое(UTC-01:00) Азорские о-ва(UTC-01:00) О-ва Зеленого Мыса(UTC) Время в формате UTC(UTC) Дублин, Лиссабон, Лондон, Эдинбург(UTC) Монровия, Рейкьявик(UTC+01:00) Сан-Томе и Принсипи(UTC+01:00) Амстердам, Берлин, Берн, Вена, Рим, Стокгольм(UTC+01:00) Белград, Братислава, Будапешт, Любляна, Прага(UTC+01:00) Брюссель, Копенгаген, Мадрид, Париж(UTC) Касабланка(UTC+01:00) Варшава, Загреб, Сараево, Скопье(UTC+01:00) Западная Центральная Африка(UTC+02:00) Амман(UTC+02:00) Афины, Бухарест(UTC+02:00) Бейрут(UTC+02:00) Каир(UTC+02:00) Восточная Европа(UTC+02:00) Дамаск(UTC+02:00) Сектор Газа, Хеврон(UTC+02:00) Хараре, Претория(UTC+02:00) Вильнюс, Киев, Рига, София, Таллин, Хельсинки(UTC+02:00) Иерусалим(UTC+02:00) Калининград (RTZ 1)(UTC+02:00) Khartoum(UTC+02:00) Триполи(UTC+01:00) Виндхук(UTC+03:00) Багдад(UTC+02:00) Стамбул(UTC+03:00) Кувейт, Эр-Рияд(UTC+03:00) Минск(UTC+03:00) Волгоград, Москва, Санкт-Петербург (RTZ 2)(UTC+03:00) Найроби(UTC+03:30) Тегеран(UTC+04:00) Абу-Даби, Мускат(UTC+04:00) Астрахань, Ульяновск(UTC+04:00) Баку(UTC+04:00) Ижевск, Самара (RTZ 3)(UTC+04:00) Порт-Луи(UTC+04:00) Саратов(UTC+04:00) ТбилисиVolgograd Standard Time(UTC+04:00) Ереван(UTC+04:30) Кабул(UTC+05:00) Ашхабад, Ташкент(UTC+05:00) Екатеринбург (RTZ 4)(UTC+05:00) Исламабад, КарачиQyzylorda Standard Time(UTC+05:30) Колката, Мумбаи, Нью-Дели, Ченнай(UTC+05:30) Шри-Джаявардене-пура-Котте(UTC+05:45) Катманду(UTC+06:00) Астана(UTC+06:00) Дакка(UTC+06:00) Омск(UTC+06:30) Янгон(UTC+07:00) Бангкок, Джакарта, Ханой(UTC+07:00) Барнаул, Горно-Алтайск(UTC+07:00) Ховд(UTC+07:00) Красноярск (RTZ 6)(UTC+06:00) Новосибирск (RTZ 5)(UTC+07:00) Томск(UTC+08:00) Гонконг, Пекин, Урумчи, Чунцин(UTC+08:00) Иркутск (RTZ 7)(UTC+08:00) Куала-Лумпур, Сингапур(UTC+08:00) Перт(UTC+08:00) Тайбэй(UTC+08:00) Улан-Батор(UTC+08:45) Юкла(UTC+09:00) Чита(UTC+09:00) Осака, Саппоро, Токио(UTC+08:30) Пхеньян(UTC+09:00) Сеул(UTC+09:00) Якутск (RTZ 8)(UTC+09:30) Аделаида(UTC+09:30) Дарвин(UTC+10:00) Брисбен(UTC+10:00) Канберра, Мельбурн, Сидней(UTC+10:00) Гуам, Порт-Морсби(UTC+10:00) Хобарт(UTC+10:00) Владивосток, Магадан (RTZ 9)(UTC+10:30) Лорд-Хау(UTC+11:00) Остров Бугенвиль(UTC+11:00) Чокурдах (RTZ 10)(UTC+10:00) Магадан(UTC+11:00) Остров Норфолк(UTC+11:00) Сахалин(UTC+11:00) Соломоновы о-ва, Нов. Каледония(UTC+12:00) Анадырь, Петропавловск-Камчатский (RTZ 11)(UTC+12:00) Веллингтон, Окленд(UTC+12:00) Время в формате UTC +12(UTC+12:00) Фиджи(UTC+12:00) Петропавловск-Камчатский — устаревшее(UTC+12:45) Чатем(UTC+13:00) Время в формате UTC +13(UTC+13:00) Нукуалофа(UTC+13:00) Самоа(UTC+14:00) О-в Киритимати

  www.tutoronline.ru

Плотность газов при нормальных условиях (Таблица)

infotables.ru

Кислород плотность — Справочник химика 21

Формулы сокращённого умножения | Алгебра

При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения – это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.

a² + b² = (a + b)² — 2ab  –  сумма квадратов

a² — b² = (a + b)(a — b)  –  разность квадратов

(a + b)² = a² + 2ab + b²  –  квадрат суммы

(a — b)² = a² — 2ab + b²  –  квадрат разности

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)  –  сумма кубов

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)  –  разность кубов

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  –  куб суммы

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³  –  куб разности

Обратите внимание, что a и b в формулах сокращённого умножения могут быть как числами так и выражениями.

Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения:

• Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:

  a² + b² = (a + b)² — 2ab

  Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

  (a + b)² — 2ab = (a + b)(a + b) — 2ab =

  = a² + ab + ab + b² — 2ab = a² + b²

• Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

  a² — b² = (a + b)(a — b)

  Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

  (a + b)(a — b) = a² — ab + ab — b² = a² — b²

• Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

  (a + b)² = a² + 2ab + b²

  Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

  (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

• Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:

  (a — b)² = a² — 2ab + b²

  Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

  (a — b)² = (a — b)(a — b) = a² — ab — ab + b² = a² — 2ab + b²

• Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:

  a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)

  Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

  (a + b)(a² — ab + b²) = a³ — a²b + ab² + a²b — ab² + b³ = a³ + b³

• Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:

  a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)

  Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

  (a — b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² — a²b — ab² — b³ = a³ — b³

• Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:

  (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

  Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

  (a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) =

  = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

• Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа:

  (a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

  Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

  (a — b)³ = (a — b)(a — b)² = (a — b)(a² — 2ab + b²) =

  = a³ — 2a²b + ab² — a²b + 2ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

Неполный квадрат суммы

Выражение:

a² + 2ab + b²

это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:

a² + ab + b²

которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы – это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Неполный квадрат разности

Выражение:

a² — 2ab + b²

это квадрат разности, которое также называется полным квадратом разности, относительно выражения:

a² — ab + b²

которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

naobumium.info

Все формулы сокращенного умножения, объяснения, примеры

Формулы сокращённого умножения позволяют производить тождественные преобразования выражений — многочленов. С их помощью многочлены можно разложить на множители, а применяя формулы в обратном порядке — представлять произведения двучленов, квадраты и кубы в виде многочленов. Рассмотрим все общепринятые формулы сокращённого умножения, их вывод, распространённые задачи на тождественные преобразования выражений с помощью этих формул, а также домашние задания (ответы к ним открываются по ссылкам).

Формулой квадрата суммы называется равенство

(квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Вместо a и b в эту формулу могут быть подставлены любые числа.

Формула квадрата суммы часто применяется для упрощения вычислений. Например,

.

С помощью формулы квадрата суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Формула следует из правила умножения многчлена на многочлен:

Пример 1. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Пример 2. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой квадрата разности называется равенство

(квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Формула квадрата разности часто применяется для упрощения вычислений. Например,

.

С помощью формулы квадрата разности многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Формула следует из правила умножения многчлена на многочлен:

Пример 5. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата разности получаем

.

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Часто в многочлене второй степени содержится квадрат суммы или разности, но содержится в скрытом виде. Чтобы получить полный квадрат в явном виде, нужно преобразовать многочлен. Для этого, как правило, одно из слагаемых многочлена представляется в виде удвоенного произведения, а затем к многочлену прибавляется и из него вычитается одно и то же число.

Пример 7. Рассмотрим многочлен второй степени

.

Решение. Этот многочлен можно преобразовать следующим образом:

Здесь мы представили 5x в виде удвоенного произведения 5/2 на x, прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число , далее применили формулу квадрата суммы для двучлена .

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату плюс число .

Пример 8. Рассмотрим многочлен второй степени

.

Решение. Проведём над ним следующие преобразования:

.

Здесь мы представили 8x в виде удвоенного произведения x на 4, прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число 4², применили формулу квадрата разности для двучлена x − 4.

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату плюс число −16.

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой куба суммы называется равенство

(куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго и плюс куб второго числа).

С помощью формулы куба суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения трёх одинаковых множителей .

Формула куба суммы выводится так:

Пример 10. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле куба суммы получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой куба разности называется равенство

(куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа).

С помощью формулы куба суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения трёх одинаковых множителей .

Формула куба разности выводится так:

Пример 12. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле куба разности получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой разности квадратов называется равенство

(разность квадратов двух чисел равна произведению суммы эти чисел на их разность).

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Доказательство формулы получено с применением правила умножения многочленов:

Пример 14. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. По формуле разности квадратов получаем

Пример 15. Разложить на множители

.

Решение. Это выражение в явной форме ни под одно тождество не подходит. Но число 16 можно представить в виде степени с основанием 4: 16=4². Тогда исходное выражение примет иной вид:

,

а это уже формула разности квадратов, и, применив эту формулу, получим

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой суммы кубов называется равенство

(сумма кубов двух чисел равна произведению суммы эти чисел на неполный квадрат разности этих чисел).

Неполным квадратом разности a и b называется многочлен .

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Доказательство формулы получено с применением правила умножения многочленов:

Пример 17. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. Возводим в третью степень слагаемые в первых скобках и получаем их сумму:

.

Тот же результат получаем, выполняя умножение выражений в скобках по правилам умножения многочленов:

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой разности кубов называется равенство

(разность кубов двух чисел равна произведению разности эти чисел на неполный квадрат суммы этих чисел).

Неполным квадратом разности a и b называется многочлен .

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Пример 19. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. Возводим в третью степень слагаемые в первых скобках:

Получаем разность этих кубов:

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Другие темы в блоке «Школьная математика»

function-x.ru

Правила и формулы сокращенного умножения

Записи с меткой «Правила и формулы сокращенного умножения»