ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ чисел, кратность чисел с примерами
Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.
Основные признаки делимости
Приведем основные признаки делимости чисел:
- Признак делимости числа на «2»
Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3. - Признак делимости числа на «3»
Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3. - Признак делимости числа на «4»
Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится. - Признак делимости числа на «5»
Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1. - Признак делимости числа на «6»
Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело. - Признак делимости числа на «8»
Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8. - Признак делимости числа на «9»
Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9
Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9. - Признак делимости числа на «10»
Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0
Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0. - Признак делимости числа на «11»
Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11
Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7. - Признак делимости числа на «25»
Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75
Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.
Признаки делимости на составное число
Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители, признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа — это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.
Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.
Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.
worksbase.ru
Признаки делимости, делится ли число | Формулы и расчеты онлайн
Признак делимости на 2
Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях — не делится.
Например:
Число 52 738 делится на 2 так, как последняя цифра 8 — четная.
7 691 не делится на 2, так 1 — цифра нечетная.
1 250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.
Признаки делимости на 3
На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3
Например:
Число 17 835 делится на 3, так как сумма его цифр
\[ 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 \]
делится на 3.
Признак делимости на 4
Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях — не делится.
Примеры:
31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями.
4 215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4.
16 608 делится на 4, так как последние две цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.
Признак делимости на 5
На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие — не делятся.
Пример:240 делится на 5 (последняя цифра 0).
554 не делится на 5 (последняя цифра 4).
Признак делимости на 6
Число делится на 6, если оно делится одновременно и на 2 и на 3. В противном случае — не делится.
Например:
126 делится на 6, так как оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на 8
Подобен признаку делимости на 4. Число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях — не делится.
Примеры:
125 000 делится на 8 (три нуля в конце).
170 004 не делится на 8 (три последние цифры дают число 4, не делящееся на 8).
111 120 делится на 8 (три последние цифры дают число 120, делящееся на 8).
Признак делимости на 9
На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.
Примеры:
Число 106 499 не делится на 9, так как сумма его цифр (29) не делится на 9. Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.
Признаки делимости на 10, 100 и 1000
На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 — только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 — только те, у которых три последние цифры нули.
Примеры:
8200 делится на 10 и на 100.
542 000 делится на 10, 100, 1000.
Признак делимости на 11
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумма цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.
Примеры:
Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места,
\[ 1 + 3 + 8 = 12 \]
равна сумме цифр, занимающих четные места
\[ 0 + 7 + 5 = 12 \]
Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть
\[ 9 + 6 + 6 + 7 = 28 \]
а сумма цифр, занимающих четные места
\[ 1 + 3 + 2 = 6 \]
разность между числами 28 и 6 есть 22, а это числи делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа
\[ 4 + 1 + 2 = 7 \]
и
\[ 6 + 0 + 5 = 11 \]
не равны друг другу, а их разность
\[ 11 — 7 = 4 \]
на 11 не делится.
Признак делимости на 25
На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.
Примеры:
7 150 делится на 25 (оканчивается на 50). 4855 не делится на 25.
Делится ли число?
В помощь студенту
Признаки делимости, делится ли число |
стр. 16 |
|---|
Признаки делимости чисел | umath.ru
Содержание
- Таблица признаков делимости чисел
- Доказательство признаков делимости чисел
- Признаки делимости по последним цифрам [2, 4, 5, 8, 10, 25]
- Признаки делимости по сумме цифр [3, 9, 11]
- Признаки делимости по сумме граней [7, 11, 13, 37]
Признаки делимости — особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое. Знание этих признаков необходимо при решении многих арифметических задач. Кроме того, умение пользоваться признаками делимости часто пригождается при решении задач ЕГЭ, особенно задания С6.
Таблица признаков делимости чисел
*Грани числа – числа, полученные при разбиении исходного числа на двузначные или трёхзначные числа, взятые справа налево. Например, разбиение числа 1234567 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67, а на трёхзначные так: 1|234|567.
Признаки делимости чисел и их доказательство
Пусть натуральное число имеет десятичную запись
где — цифры этого числа,
Разобьём признаки делимости на три группы. Доказательства признаков делимости в каждой группе основаны на одной и той же идее.
Признаки делимости по последним цифрам
Доказательство этих признаков основано на одной и той же идее. Приведём её на примере признака делимости на 25.Распишем число так:
Число 100 делится на 25, поэтому если число делится на 25, то и делится на 25. Заметим, что обратное утверждение тоже верно.
Признаки делимости по сумме цифр
| Если | то делится на |
| Сумма цифр числа делится на 3 или 9 | 3 или 9 соответственно |
| Знакочередующаяся сумма цифр числа делится на 11 | 11 |
Докажем признаки делимости на 3 и 9.
Выражение под первыми скобками делится на 9. Поэтому число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда число делится на 3 или 9 соответственно.
Признаки делимости по сумме граней
Введём такое определение:
Определение.
Двузначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа. Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89 являются двузначными гранями числа 123456789.
Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.
Перейдём к признакам делимости.
| Если | то делится на |
| Сумма двузначных граней делится на 11 | 11 |
| Сумма трёхзначных граней делится на 37 | 37 |
| Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней делится на 7, 11, 13 | 7, 11, 13 соответственно |
Докажем признак делимости на 11 по сумме двузначных граней
В левых скобках все числа делятся на 11, поэтому число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его двузначных граней делится на 11.
Остальные признаки доказываются аналогично.
umath.ru
Признаки делимости | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU
Числа от 2 до 10 имеют признаки делимости, позволяющие определить, если число делится на них без остатка.
Как определить делится ли число на 2: последняя цифра числа должна быть четной. Пример: 1864 делится на 2, так как 4 – четная цифра; 2593 не делится на 2, так как 3 – нечетная цифра.
Как определить делится ли число на 3: сумма всех цифр в числе должна делиться на 3. Пример: 243 делится на 3, так как 2+4+3=9 и 9 делится на 3 без остатка; 760 не делится на 3, так как 7+6+0=13 и 13 не делится на три полностью.
Как определить делится ли число на 4: две последние цифры в числе должны делиться на 4 (00 принимается за 100). Пример: 87524 делится на 4, так как последние цифры 24 делятся 4; 6500 делится на 4, так как последние цифры – 00, а 100 делится на 4; 59431 не делится на 4, так как 31 не делится на 4 без остатка.
Как определить делится ли число на 5: последняя цифра числа должна быть 0 или 5. Пример: 58 не делится на 5, так как последняя цифра 8; 1580 делится на 5, так как последняя цифра числа – 0.
Как определить делится ли число на 6: число должно делится одновременно на 2 и на 3, согласно вышеописанным признакам. Пример: 81 не делится на 6, так как оно делится на 3, но не делится на 2; 100 не делится на 6, так как оно делится на 2, но не делится на 3; 72 делится на 6, так как оно делится и на 2, и на 3.
Как определить делится ли число на 7: число десятков, умноженное на 3, в сумме с числом единиц должно делиться на 7. Пример: 511 делится на 7, так как 51*3+1=154 и 154 делится на 7; 635 не делится на 7, так как 63*3+5=194 и 194 не делится на 7.
Как определить делится ли число на 8: последние три цифры числа должны делится на 8 (000 берутся за 1000, которая делится на 8). Пример: 86240 делится на 8, так как 240 делится на 8; 56343 не делится на 8, так как 343 не делится на 8.
Как определить делится ли число на 9: сумма всех цифр в числе должна быть кратна 9. Пример: 243 делится на 9 без остатка, так как 2+4+3=9 и 9 делится на 9; 5081 не делится на 9, так как 5+0+8+1=14 и 14 не делится на 9
Как определить, что число делится на 10: последняя цифра числа должна быть 0. Пример: 1530 делится на 10, так как последняя цифра 0; 6572 не делится на 10, так как последняя цифра 2.
geleot.ru
Делимость чисел. Признак делимости
Определение 1. Пусть число a 1) есть произведение двух чисел b и q так, что a=bq. Тогда a называется кратным b.
1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.
Можно сказать также a делится на b, или b есть делитель a, или b делит a, или b входит множителем в a.
Из определения 1 вытекают следующие утверждения:
Утверждение 1. Если a -кратное b, b-кратное c, то a кратное c.
Действительно. Так как
a=bm, b=nc,
где m и n какие то числа, то
a=(nc)m=(nm)c.
Следовательно a делится на c.
Если в ряду чисел, каждое делится на следующее за ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.
Утверждение 2. Если числа a и b — кратные числа c, то их сумма и разность также кратные числа c.
Действительно. Так как
a=mc, b=nc,
тогда
a+b=mc+nc=(m+n)c,
a−b=mc−nc=(m−n)c.
Следовательно a+b делится на c и a−b делится на c .
Признаки делимости
Выведем общую формулу для определения признака делимости чисел на некоторое натуральное число m, которое называется признаком делимости Паскаля.
Найдем остатки деления на m следующей последовательностью. Пусть остаток от деления 10 на m будет r1, 10·r1 на m будет r2, и т.д. Тогда можно записать:
| (1) |
Так как при делении любого числа на m остатки могут быть 0,1,…,m-1, то через m шагов остатки от деления на m будут повторяться (следовательно пересчитать их не нужно).
Любое натуральное число A в десятичной системе счисления можно представить в виде
| (2) |
Докажем, что остаток деления числа A на m равна остатку деления числа
| (3) |
на m.
Как известно, если два числа при делении на какое то число m дают одинаковый остаток, то из разность делится на m без остатка.
Рассмотрим разность A−A’
Покажем, что 10i−ri делиться на m при всех i=1,2,…m−1.
10−ri=mk1 делится на m (т.к. mk1 кратно m),
Каждый член правой части (5) делится на m следовательно левая часть уравнения также делится на m. Рассуждая аналогично, получим — правая часть (6) делится на m, следовательно левая часть (6) также делится на m, правая часть (7) делится на m, следовательно левая часть (7) также делится на m. Получили, что правая часть уравнения (4) делится на m. Следовательно A и A’ имеют одинаковый остаток при делении на m. В этом случае говорят, что A и A’ равноостаточные или сравнимыми по модулю m.
Таким образом, если A’ делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m) , то A также делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m). Мы показали что для определения делимости A можно определить делимость более простого числа A’.
Исходя из выражения (3), можно получить признаки делимости для конкретных чисел.
Признаки делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Признак делимости на 2.
Следуя процедуре (1) для m=2, получим:
| 10=2·5+0, 10·0=2·5+0, и т.д. |
Все остатки от деления на 2 равняются нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делиться на 2 (т.е. когда число является четным).
Признак делимости на 3.
Следуя процедуре (1) для m=3, получим:
Все остатки от деления на 3 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4.
Следуя процедуре (1) для m=4, получим:
Все остатки от деления на 4 кроме первого равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков сложенное с числом единиц делится на 4. Число делится на 4, если последние две цифры составляют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 5.
Следуя процедуре (1) для m=5, получим:
Все остатки равны нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 5, т.е. число оканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 6.
Следуя процедуре (1) для m=6, получим:
Все остатки равны 4. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.
Пример. 2742 делится на 6, т.к. 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 делится на 6.
Более простой признак делимости. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 (т.е. если оно четное число и если сумма цифр делится на 3). Число 2742 делится на 6, т.к. число четное и 2+7+4+2=15 делится на 3.
Признак делимости на 7.
Следуя процедуре (1) для m=7, получим:
Все остатки разные и повторяются через 7 шагов. Тогда, из уравнения (3) имеем
| (8) |
Следовательно число делится на 7 тогда и только тогда, когда (8) делится на 7.
Пример. 3801 делится на 7, т.к. 1+0*3+8*2+3*6=1+16+18=35 делится на 7.
Другой признак делимости. Для определения, делится ли число на 7, из числа отбрасываем последнюю с права цифру, далее умножаем полученное число на 3 и добавляем и добавляет отброшенное число. Если данное число делится на 7, то исходное число делится на 6. 380*3+1=1141, 114*3+1=343, 34*3+3=105, 10*3+5=35 делится на 7, следовательно 3801 делится на 7.
Признак делимости на 8.
Следуя процедуре (1) для m=8, получим:
Все остатки все остатки нулевые, кроме первых двух. Тогда, из уравнения (3) имеем
| (9) |
Следовательно число делится на 8 тогда и только тогда, когда (9) делится на 8.
Пример. 4328 делится на 8, т.к. 8+2*2+4*3=24 делится на 8.
Признак делимости на 9.
Следуя процедуре (1) для m=9, получим:
Все остатки от деления на 9 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10.
Следуя процедуре (1) для m=10, получим:
Все остатки от деления на 10 равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 10 (то есть последняя цифра нулевая).
matworld.ru
Признаки делимости чисел
Из школьной программы многие помнят, что существуют признаки делимости. Под данным словосочетанием понимают правила, которые позволяют достаточно быстро определить, является ли число кратным заданному, не совершая при этом непосредственную арифметическую операцию. Данный способ основан на действиях, совершаемых с частью цифр из записи в позиционной системе счисления.
Самые простые признаки делимости многие помнят из школьной программы. Например, то, что на 2 делятся все числа, последняя цифра в записи которых четная. Данный признак наиболее легко запомнить и применять на практике. Если говорить о способе деления на 3, то для многозначных чисел применяется следующее правило, которое можно показать на таком примере. Необходимо узнать, будет ли 273 кратно трем. Для этого выполняем следующую операцию: 2+7+3=12. Полученная сумма делится на 3, следовательно, и 273 будет делиться на 3 таким образом, что в результате получится целое число.
Признаки делимости на 5 и 10 будут следующие. В первом случае запись будет оканчиваться на цифры 5 или 0, во втором случае только на 0. Для того чтобы узнать, кратно ли делимое четырем, следует поступить следующим образом. Необходимо вычленить две последние цифры. Если это два нуля или число, которое делится на 4 без остатка, то и все делимое будет кратно делителю. Нужно отметить, что перечисленные признаки используются только в десятичной системе. Они не применяются в других способах счисления. В таких случаях выводятся свои правила, которые зависят от основания системы.
Признаки деления на 6 следующие. Число кратно 6 в том случае, если оно кратно и 2, и 3. Для того чтобы определить, делится ли число на 7, нужно удвоить последнюю цифру в его записи. Полученный результат вычитается из первоначального числа, в котором не учитывается последняя цифра. Данное правило можно рассмотреть на следующем примере. Необходимо узнать, кратно ли семи число 364. Для этого 4 умножается на 2, получается 8. Далее выполняется следующее действие: 36-8=28. Полученный результат кратен 7, а, следовательно, и первоначальное число 364 можно разделить на 7.
Признаки делимости на 8 звучат следующим образом. Если три последних цифры в записи числа образуют число, которое кратно восьми, то и само число будет делиться на заданный делитель.
Узнать, делится ли многозначное число на 12, можно следующим образом. По перечисленным выше признакам делимости необходимо узнать, кратно ли число 3 и 4. Если они могут выступать одновременно делителями для числа, то с заданным делимым можно проводить и операцию деления на 12. Подобное правило применяется и для других сложных чисел, например, пятнадцати. При этом делителями должны выступать 5 и 3. Чтобы узнать, делится ли число на 14, следует посмотреть, кратно ли оно 7 и 2. Так, можно рассмотреть это на следующем примере. Необходимо определить, можно ли 658 разделить на 14. Последняя цифра в записи четная, следовательно, число кратно двум. Далее мы 8 умножаем на 2, получаем 16. Из 65 нужно вычесть 16. Результат 49 делится на 7, как и все число. Следовательно, 658 можно разделить и на 14.
Если две последние цифры в заданном числе делятся на 25, то и все оно будет кратно этому делителю. Для многозначных чисел признак делимости на 11 будет звучать следующим образом. Необходимо узнать, кратна ли заданному делителю разность сумм цифр, которые стоят на нечетных и четных местах в его записи.
Нужно отметить, что признаки делимости чисел и их знание очень часто значительно упрощает многие задачи, которые встречаются не только в математике, но и в повседневной жизни. Благодаря умению определить, кратно ли число другому, можно быстро выполнять различные задания. Помимо этого, применение данных способов на занятиях математики поможет развивать логическое мышление у студентов или школьников, будет способствовать развитию определенных способностей.
fb.ru
Свойства делимости чисел
Признак делимости на 2Чётное число – это число, которое делится на 2.
Нечётное число – не делится на 2.
Число делится на два, в том случае если его последняя цифра является чётной или нуль. Во всех остальных случаях – не делится.
Число 52 738 делится на 2, так как у него последняя цифра 8 которая является чётной.
Число 7691 не делится на 2, так как цифра 1 находящаяся в конце нечетная.
Число 1250 делится на 2, так как цифра, которая находится в конце нуль.
Число делится на 4, при условии, если две последние его цифры нули либо образуют число, которое делится на 4. В остальных случаях – не делится.
Число 31 800 делится на 4, так как в его окончании находятся два нуля.
Число 325 734 не делится на 4, так как крайние две цифры дают число 34, которое не делится на 4.
Число 15 608 делится на 4, так как две конечные цифры 0 и 8 дают число 8, которое делится на 4.
Число делится на 8, в случае, когда три последние цифры его нули или формируют число, делящееся на 8. В остальных случаях – не делится.
Число 225 000 делится на 8, так как оканчивается тремя нулями.
Число 180 004 не делится на 8, так как три крайние цифры дают число 4, которое не делится на 8.
Число 112 120 делится на 8 так как три цифры находящиеся в конце дают число 120, которое делится на 8.
Можно указать аналогичные признаки и делимости на 16, 32, 64 и т. п., но это не будет иметь практического значения.
На число 3 делятся числа, сумма составляющих цифр которых делится на 3.
На число 9 делятся числа, сумма составляющих цифр которых делится на 9.
Число 17 835 делится на 3 и не может быть разделено на 9, так как сумма его цифровых значений 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 может быть разделено на 3 и не делится на 9.
Число 106 499 не может быть разделено ни на 3, ни на 9, так как составляющие его цифры в сумме даёт число 29 которое не делится как на 3, так и на 9.
Число 52 632 может быть разделено на 9, так как сумма цифр входящих его состав 18 которое делится на 9.
Число делится на 6, когда оно может быть разделено одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится.
Число 126 может быть разделено на 6, в виду того, что оно делится и на 2 и на 3.
На 5 делятся те числа, у которых последняя цифра 0 или 5. Другие – не делятся.
Число 240 может быть разделено на 5, так как последняя цифра 0.
Число 554 не делится на 5, так как последняя цифра 4.
На 25 можно разделит только те числа, у которых две крайние цифры нули либо формируют число, которое может быть разделено на 25, например числа оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75. Другие — не делятся.
Число 7150 можно разделить на 25, так как оканчивается на 50.
Число 4855 не получится разделить на 25.
Числа делятся на 10, когда последняя цифра является нулём.
Числа делятся на 100, если две последние цифры этих чисел нули.
Числа делятся на 1000, если три конечные цифры у них нули.
8200 можно разделить на 10 и на 100.
542 000 можно разделить на 10, 100 и 1000.
На 11 можно разделить только те числа, у которых сумма цифр, находящихся на нечётных местах, или равна сумме цифр, находящихся на чётных местах, либо отличны от нее на число, которое делится на 11.
103 785 можно разделить на 11, так как 1 + 3 + 8 = 12 и 0 + 7 + 5 = 12
9 163 627 можно разделить на 11, так как при вычитании из 28 числа 6 получается 22, которое делится на 11. ( 9 + 6 + 6 + 7 = 28 ) ( 1 + 3 + 2 = 6 )
461 025 не может разделено на 11, в виду того что числа 7 и 11 взаимно не ровны, а их разность 4 на 11 не разделить. ( 11 – 7 = 4 ),( 4 + 1 + 2 = 7 ), ( 6 + 0 + 5 = 11).
Существуют признаки делимости так же и на другие числа, но эти признаки гораздо сложнее.
simple-math.ru