Решить уравнение с корнем онлайн калькулятор
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Довольно часто в уравнениях встречается знак корня и многие ошибочно считают, что такие уравнения сложные в решении. Для таких уравнений в математике существует специальный термин, которым и именуют уравнения с корнем — иррациональные уравнения.
Главным отличием в решении уравнений с корнем от других уравнений, например, квадратных, логарифмических, линейных, является то, что они не имеют стандартного алгоритма решения. Поэтому чтобы решить иррациональное уравнение необходимо проанализировать исходные данные и выбрать более подходящий вариант решения.
В большинстве случаев для решения данного рода уравнений используют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень
Допустим, дано следующее уравнение:
\[\sqrt{(5x-16)}=x-2\]
Возводим обе части уравнения в квадрат:
\[\sqrt{(5х-16))}^2 =(x-2)^2\], откуда последовательно получаем:
\[5x-16=x^2-4х+4\]
\[x^2-4x+4-5x+16=0\]
\[x^2-9x+20=0\]
Получив квадратное уравнение, находим его корни:
\[x=(9\pm\sqrt{(81-4\cdot1\cdot20)\div(2\cdot1)}\]
\[x=(9\pm1)\div 2\]
Ответ: \[x1=4, x2=5\]
Если выполнить подстановку данных значений в уравнение, то получим верное равенство, что говорит о правильности полученных данных.
Где можно решить уравнение с корнями онлайн решателем?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
www.pocketteacher.ru
Решить квадратное уравнение онлайн
Предлагаем вам удобный бесплатный онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений. Вы сможете быстро получить решение квадратного уравнения онлайн и разобраться, как они решаются, на понятных примерах.Чтобы произвести решение квадратного уравнения онлайн, вначале приведите уравнение к общему виду:
ax2 + bx + c = 0
Заполните соответственно поля формы:
Как решить квадратное уравнение
| Как решить квадратное уравнение: | Виды корней: |
| 1. Привести квадратное уравнение к общему виду: Общий вид Аx2+Bx+C=0 Пример : 3х — 2х2+1=-1 Приводим к -2х2+3х+2=0 2. Находим дискриминант D. x1=(-В+D1/2)/2А . Для нашего случая x1=(-3+5)/(-4)=-0,5 x2=(-В-D1/2)/2А. Для нашего примера x2=(-3-5)/(-4)=2 Если В — четное число, то дискриманант и корни удобнее считать по формулам: D=К2-ac x1=(-K+D1/2)/А x2=(-K-D1/2)/А, Где K=B/2 | 1. Действительные корни. Причем. x1 не равно x2 Ситуация возникает, когда D>0 и A не равно 0. 2. Действительные корни совпадают. x1 равно x2 3. Два комплексных корня. x1=d+ei, x2=d-ei, где i=-(1)1/2 4. Уравнение имеет одно решение. 5. Уравнение имеет бесчисленное множество решений. 6. Уравнение решений не имеет. |
Для закрепления алгоритма, вот еще несколько показательных примеров решений квадратных уравнений.
Пример 1. Решение обычного квадратного уравнения с разными действительными корнями.
x2 + 3x -10 = 0
В этом уравнении
А=1, B = 3, С=-10
D=B2-4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
квадратный корень будем обозначать, как число1/2!
x1=(-В+D1/2)/2А = (-3+7)/2 = 2
x2=(-В-D1/2)/2А = (-3-7)/2 = -5
Для проверки подставим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
Пример 2. Решение квадратного уравнения с совпадением действительных корней.
х2 – 8x + 16 = 0
А=1, B = -8, С=16
D = k2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
Подставим
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X2 – 8x + 16
Пример 3. Решение квадратного уравнения с комплексными корнями.
13х2 – 4x + 1 = 0
А=1, B = -4, С=9
D = b2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 — 52 = -36
Дискриминант отрицательный – корни комплексные.
x1=(-В+D1/2)/2А = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-В-D1/2)/2А = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, где I – это квадратный корень из -1
Вот собственно все возможные случаи решения квадратных уравнений.
Надеемся, что наш онлайн калькулятор окажется весьма полезным для вас.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Решить квадратное уравнение онлайн
Для решения квадратного уравнения онлайн введите коэффициенты квадратного уравнения.
Вводить можно числа: десятичные и обыкновенные дроби, и переменные. Например: 2 или 1/3 или 1.2 или -1/4 или 7a (содержит параметр) и т.д.
x2 + x + = 0
Решить уравнениеДанный калькулятор по решению квадратных уравнений онлайн взят с сайта Mathforyou.net. Все права на его использование принадлежат владельцу!
Воспользуйтесь также:
Инженерный калькулятор (он позволяет решать в том числе и квадратные уравнения)
Решение квадратного уравнения онлайн
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — это уравнение вида: ax^2 + bx + с = 0, где a не равно 0.
Решить квадратное уравнение означает найти все значения xi, при которых будет выполняться равенство ax_{i}^2 + bx_{i} + с = 0.
Для решения квадратного уравнения необходимо посчитать дискриминант многочлена
D = b^2 — 4ac
Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня.
Если D = 0, то уравнение имеет один корень (x1 = x2).
Если D решения квадратного уравнения) находятся по формуле:
D = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}
Если в вашем квадратном уравнении есть знаки вычитания, то перед соответствующими коэффициентами в онлайн калькуляторе нужно поставить знак минус («-«), если отсутствует один из членов уравнения, то рядом с отсутствующим слагаемым поставьте коэффициент ноль («0»). Также вы можете получить ответ, зависящий от параметра (неизвестной). То есть коэффициенты в уравнении могут содержать переменные, которые обозначаются латинскими буквами
matematikam.ru
Калькулятор онлайн — Решение иррациональных уравнений и неравенств
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить иррациональное уравнение или неравенство. Программа для решения иррациональных уравнений и неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Вы можете посмотреть теорию и общие методы решения иррациональных уравнений и неравенств.
Примеры подробного решения >>
sqrt(x) — квадратный корень xx^(1/n) — корень степени n
Введите иррациональное уравнение или неравенство
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Решение иррациональных уравнений и неравенств
1. Иррациональные уравнения
Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Для таких уравнений ищут, как правило, только действительные корни.
Основной метод решения иррациональных уравнений — метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом следует иметь в виду, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечётную степень есть равносильное преобразование уравнения, а в чётную — НЕравносильное. Значит, основные принципиальные трудности связаны с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, когда из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни, а потому обязательна проверка всех найденных корней.
ПРИМЕР 1.
\( \sqrt[\Large6\normalsize]{x^2-5x} = \sqrt[\Large6\normalsize]{2x-6} \)
Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:
\( x^2-5x = 2x-6 \Rightarrow \)
\( x^2-7x +6= 0 \Rightarrow \)
\( x_1=1, \; x_2=6 \)
Проверка. «Хорошие» корни можно проверить непосредственной подстановкой в исходное уравнение. При x = 1 заданное
уравнение принимает вид \( \sqrt[\Large6\normalsize]{-4} = \sqrt[\Large6\normalsize]{-4} \), во множестве действительных чисел
такое «равенство» не имеет смысла. Значит, 1 — посторонний корень, он появился по причине расширения ОДЗ уравнения после
возведения в шестую степень. При х = 6 заданное уравнение принимает вид
\( \sqrt[\Large6\normalsize]{6} = \sqrt[\Large6\normalsize]{6} \) — это верное равенство.
Итак, уравнение имеет единственный корень: х = 6.
Ответ: х = 6
ПРИМЕР 2.
\( \sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2-x+7} = \sqrt{2x^2-2x+21} \)
Введя новую переменную \( u=x^2-x\), получим существенно более простое иррациональное уравнение:
\( \sqrt{u+2}+\sqrt{u+7} = \sqrt{2u+21} \).
Возведём обе части уравнения в квадрат:
\( (\sqrt{u+2}+\sqrt{u+7})^2 = (\sqrt{2u+21})^2 \Rightarrow \)
\( u+2 +2\sqrt{u+2}\sqrt{u+7} +u+7 = 2u+21 \Rightarrow \)
\( \sqrt{(u+2)(u+7)} = 6 \Rightarrow \)
\( u^2+9u+14=36 \Rightarrow \)
\( u^2+9u-22=0 \Rightarrow \)
\( u_1=2, \; u_2=-11 \)
Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение \( \sqrt{u+2}+\sqrt{u+7} = \sqrt{2u+21} \) показывает, что
\( u_1=2 \) — корень уравнения, а \( u_2=-11 \) — посторонний корень.
Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение \( x^2-x=2 \Rightarrow x^2-x-2=0 \), решив которое находим два корня:
\( x_1=2, \; x_2=-1 \)
Ответ: 2; -1.
ПРИМЕР 3.
\( x^2+3-\sqrt{2x^2-3x+2} = 1{,}5(x+4) \)
Уединение корня и возведение обеих частей уравнения в квадрат привело бы к громоздкому уравнению. В то же время, если
проявить некоторую наблюдательность, можно заметить, что уравнение легко сводится к квадратному. Действительно, умножим
обе его части на 2:
\( 2x^2 +6 -2\sqrt{2x^2-3x+2} = 3x+12 \Rightarrow \)
\( 2x^2 -3x +2 -2\sqrt{2x^2-3x+2} -8 = 0 \Rightarrow \)
Введя новую переменную \( y=\sqrt{2x^2-3x+2} \), получим: \( y^2-2y-8=0 \), откуда \( y_1=4, \; y_2=-2 \). Значит, исходное
уравнение равносильно следующей совокупности уравнений:
\( \left[\begin{array}{l} \sqrt{2x^2-3x+2} =4 \\ \sqrt{2x^2-3x+2} = -2 \end{array}\right. \)
Из первого уравнения этой совокупности находим: \( x_1=3{,}5; \; x_2=-2 \). Второе уравнение корней не имеет.
Проверка. Так как совокупность уравнений равносильна исходному уравнению, причём второе уравнение этой совокупности
корней не имеет, то найденные корни можно проверить подстановкой в уравнение \( \sqrt{2x^2-3x+2} =4\). Эта подстановка показывает,
что оба найденных значения x являются корнями этого уравнения, а значит, и исходного уравнения.
Ответ: 3,5; -2.
ПРИМЕР 4.
\( 2x -5 +2\sqrt{x^2-5x} +2\sqrt{x-5} +2\sqrt{x}= 48 \)
Областью определения уравнения является луч \( [5; \; +\infty) \). В этой области выражение \( \sqrt{x^2-5x} \)
можно представить следующим образом: \( \sqrt{x^2-5x} = \sqrt{x}\sqrt{x-5} \). Теперь уравнение можно переписать так:
\( x+x -5 +2\sqrt{x}\sqrt{x-5} +2\sqrt{x-5} +2\sqrt{x} -48 = 0 \Rightarrow \)
\( (\sqrt{x})^2 +2\sqrt{x}\sqrt{x-5} +(\sqrt{x-5})^2 +2(\sqrt{x-5}+\sqrt{x}) -48 = 0 \Rightarrow \)
\( (\sqrt{x-5} +\sqrt{x})^2 +2(\sqrt{x-5}+\sqrt{x}) -48 = 0 \)
Введя новую переменную \( y= \sqrt{x-5} +\sqrt{x} \), получим квадратное уравнение \( y^2+2y-48=0 \), из которого находим:
\( y_1=6, \; y_2=-8 \). Таким образом, задача свелась к решению совокупности уравнений:
\( \left[\begin{array}{l} \sqrt{x-5} +\sqrt{x} =6 \\ \sqrt{x-5} +\sqrt{x} = -8 \end{array}\right. \)
Из первого уравнения совокупности находим \( x= \left( \frac{41}{12} \right)^2 \), второе уравнение совокупности решений явно не
имеет.
Проверка. Нетрудно проверить (подстановкой), что \( x= \left( \frac{41}{12} \right)^2 \) — является корнем уравнения
\( \sqrt{x-5} +\sqrt{x} =6 \). Но это уравнение равносильно исходному уравнению, значит, \( x= \left( \frac{41}{12} \right)^2 \) —
является корнем и исходного уравнения.
Ответ: \( x= \left( \frac{41}{12} \right)^2 \)
Иногда при решении иррациональных уравнений оказывается удобным ввести две новые переменные.
ПРИМЕР 5.
\( \sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} + \sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} =2 \)
Введём новые переменные: \( \left\{\begin{array}{l} u=\sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} \\ v=\sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} \end{array}\right. \)
Тогда уравнение примет вид \(u+v=2\). Но для нахождения значений двух новых переменных одного уравнения недостаточно. Возведя в
четвёртую степень обе части каждого из уравнений системы, получим:
\( \left\{\begin{array}{l} u^4=1-x \\ v^4= 15+x \end{array}\right. \)
Сложим уравнения последней системы: \(u^4 +v^4 =16\). Таким образом, для нахождения u, v мы имеем следующую симметрическую
систему уравнений:
\( \left\{\begin{array}{l} u+v=2 \\ u^4 +v^4 =16 \end{array}\right. \)
Решив её, находим:
\( \left\{\begin{array}{l} u_1=0 \\ v_1 =2; \end{array}\right. \)
\( \left\{\begin{array}{l} u_2=2 \\ v_2 =0 \end{array}\right. \)
Таким образом, исходное уравнение свелось к следующей совокупности систем уравнений:
\( \left\{\begin{array}{l} \sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} =0 \\ \sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} =2; \end{array}\right. \)
\( \left\{\begin{array}{l} \sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} =2 \\ \sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} =0 \end{array}\right. \)
Решив эту совокупность, находим: \(x_1=1, \; x_2=-15 \)
Проверка. Проще всего проверить найденные корни непосредственной подстановкой в заданное уравнение. Проделав это,
убеждаемся, что оба значения являются корнями исходного уравнения.
Ответ: 1; -15.
ПРИМЕР 6.
\( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} = \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} \)
Возведём обе части уравнения в куб:
\( 2x+1 + 3\sqrt[\Large3\normalsize]{(2x+1)^2} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} +
3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{(6x+1)^2} +6x+1 = 2x-1 \Rightarrow \)
\( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \cdot
(3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} ) = -6x-3 \)
Воспользовавшись исходным уравнением, заменим сумму
\( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \) на выражение \( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} \):
\( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} = -6x-3 \Rightarrow \)
\( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{ (2x+1)(6x+1)(2x-1) } = -2x-1 \)
Возведём обе части в куб:
\( (2x+1)(6x+1)(2x-1) = -(2x+1)^3 \Rightarrow \)
\( (2x+1)((6x+1)(2x-1) + (2x+1)^2) =0 \Rightarrow \)
\( 16x^2(2x+1) =0 \Rightarrow \)
\( x_1= -0{,}5; \; x_2=0 \)
Проверка. Подстановкой найденных значений x в исходное уравнение убеждаемся, что его корнем является только x = -0,5.
Ответ: -0,5.
2. Иррациональные неравенства
Рассмотрим иррациональное неравенство вида \( \sqrt{f(x)} Ясно, что его решения должны удовлетворять условию \( f(x) \geq 0 \) и условию \( g(x) > 0 \). Осталось лишь заметить, что при одновременном выполнении указанных выше условий обе части заданного иррационального неравенства неотрицательны, а потому их возведение в квадрат представляет собой равносильное преобразование неравенства.
Таким образом, иррациональное неравенство \( \sqrt{f(x)}
\( \left\{\begin{array}{l} f(x) \geq 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) ПРИМЕР 7.
\( \sqrt{x^2-x-12}
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
\( \left\{\begin{array}{l} x^2-x-12 \geq 0 \\ x > 0 \\ x^2-x-12 0 \\ x > -12 \end{array}\right. \)
Получаем: \( x \geq 4\)
Ответ: \( x \geq 4\)
Рассмотрим теперь неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \).
Ясно, во-первых, что его решения должны удовлетворять условию \( f(x) \geq 0 \).
Во-вторых, замечаем, что при \( g(x) g(x) \) не вызывает сомнений.
В-третьих, замечаем, что если \( g(x) \geq 0 \), то можно возвести в квадрат обе части заданного иррационального неравенства.
Таким образом, иррациональное неравенство \( \sqrt{f(x)} > g(x) \) равносильно совокупности систем неравенств:
\( \left\{\begin{array}{l} f(x) \geq 0 \\ g(x) (g(x))^2 \end{array}\right. \)
Во второй системе первое неравенство является следствием третьего, его можно не писать.
ПРИМЕР 8.
\( \sqrt{x^2-x-12} \geq x \)
Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
\( \left\{\begin{array}{l} x^2-x-12 \geq 0 \\ x
Имеем:
\( \left\{\begin{array}{l} (x-4)(x+3) \geq 0 \\ x
Из первой системы находим: \( x \leq -3\), вторая система не имеет решений.
Ответ: \( x \leq -3\)
ПРИМЕР 9.
\( (x+5)(x-2) +3\sqrt{x(x+3)} >0 \)
Преобразуем неравенство к виду \( x^2+3x-10 +3\sqrt{x^2+3x} >0 \) и введём новую переменную \( y= \sqrt{x^2+3x} \). Тогда
последнее неравенство примет вид \( y^2+3y-10 >0 \), откуда находим, что либо \(y 2\).
Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух неравенств:
\( \left[\begin{array}{l} \sqrt{x^2+3x} 2 \end{array}\right. \)
Первое неравенство не имеет решений, а из второго находим:
\( x^2+3x >4 \Rightarrow \)
\( (x+4)(x-1) >0 \Rightarrow \)
\( x1 \)
Ответ: \( x1 \).
www.math-solution.ru
Как решать квадратные уравнения онлайн с решением
Применение квадратных уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Квадратные уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.
— без корней:
— с 1 корнем;
— с 2 корнями.
Это самое главное отличие квадратных уравнений от линейных. Для определения корней используют дискриминант: \[D=b^2-4ac\]. По знаку дискриминанта определяется количество корней:
— \[D
— \[D = 0\] — 1 корень;
— \[D > 0\] — 2 корня.
Все это позволит быстро найти правильный путь в решении квадратного уравнения, онлайн можно найти огромное количество решенных разными способами примеров.
Так же читайте нашу статью «Решить систему рациональных уравнений онлайн «
Допустим, нам даны следующие квадратные уравнения:
\[1 — x^2-7x = 0;\]
\[2 — 5x^2+ 30 = 0;\]
\[3 — 4x^2- 9 = 0\]
Решение:
\[1: x^2 — 7x = 0\]
\[x · (x — 7) = 0\]
\[x_1 = 0; x_2= -(-7)/1 = 7\]
\[2: 5 x^2 + 30 = 0\]
\[5 x^2 = -30\]
\[x^2 = -6\] — здесь нет корней, поскольку отрицательное число, а квадрат отрицательным быть не может.
\[3: 4 x^2 — 9 = 0 \]
\[4 x^2 = 9 \]
\[x^2 = 9/4 \]
\[x_1 = 3/2 = 1,5; x_2 = -1,5\] — нет корней.
Где можно решить квадратное уравнение онлайн решателем?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
www.pocketteacher.ru
Решение иррациональных уравнений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
Иррациональные уравнения бывают от простых до сложных — и всех их можно решить онлайн и с подробным решением с помощью калькулятора онлайн.
Итак:
Простые иррациональные уравнения
Будем считать, что простые уравнения будут содержат только одну часть иррациональности. Тогда рассмотрим пример:
2*x + sqrt(-x + 3) = 3
Введём это уравнение в форму калькулятора
Тогда, вы получите подробное решение:
Дано уравнение
_______ \/ 3 - x + 2*x = 3
_______ \/ 3 - x = 3 - 2*x
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
x1 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x2 = ----------
2*a где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
, то
(11)^2 - 4 * (-4) * (-6) = 25
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
Т.к.
_______ \/ 3 - x = 3 - 2*x
и
то
или
Тогда, окончательный ответ:
Средние иррациональные уравнения
Средними же будем считать уравнения, которые содержат две иррациональные части в уравнении.
Например,
sqrt(4*x + 1) + sqrt(3*x — 2) = 2
надо ввести в форму в калькуляторе
Результат будет таким:
Дано уравнение
_________ __________ \/ 1 + 4*x + \/ -2 + 3*x = 2
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
2
/ _________ __________\
\\/ 1 + 4*x + \/ -2 + 3*x / = 4или
2 _____________________ 2 1 *(3*x - 2) + 2*\/ (3*x - 2)*(4*x + 1) + 1 *(4*x + 1) = 4
или
__________________
/ 2
-1 + 2*\/ -2 - 5*x + 12*x + 7*x = 4преобразуем:
__________________
/ 2
2*\/ -2 - 5*x + 12*x = 5 - 7*xВозведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
2 2
-8 - 20*x + 48*x = (5 - 7*x)
2 2
-8 - 20*x + 48*x = 25 - 70*x + 49*x Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
x1 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x2 = ----------
2*a где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
, то
(50)^2 - 4 * (-1) * (-33) = 2368
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
Т.к.
__________________
/ 2 5 7*x
\/ -2 - 5*x + 12*x = - - ---
2 2 и
__________________ / 2 \/ -2 - 5*x + 12*x >= 0
то
или
проверяем:
__________ ___________
-2 + \/ 1 + 4*x1 + \/ -2 + 3*x1 = 0=
_______________________ ________________________ / / ____\ / / ____\ \/ 1 + 4*\25 - 4*\/ 37 / + \/ -2 + 3*\25 - 4*\/ 37 / - 2 = 0
=
— тождество
Тогда, окончательный ответ:
Сложные иррациональные уравнения
Самыми сложными же будут уравнения с тремя частями иррациональностями, значит будет такой пример:
sqrt(x + 5) — sqrt(x — 1) = sqrt(2*x + 4)
В форме калькулятора это будет выглядеть так:
Тогда получите подробное объяснение
Дано уравнение
_______ ________ _________ \/ 5 + x - \/ -1 + x = \/ 4 + 2*x
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
2
/ _______ ________\
\\/ 5 + x - \/ -1 + x / = 4 + 2*xили
2 _________________ 2 1 *(x + 5) - 2*\/ (x + 5)*(x - 1) + (-1) *(x - 1) = 4 + 2*x
или
_______________
/ 2
4 - 2*\/ -5 + x + 4*x + 2*x = 4 + 2*xпреобразуем:
_______________
/ 2
-2*\/ -5 + x + 4*x = 0преобразуем
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
x1 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x2 = ----------
2*a где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
, то
(4)^2 - 4 * (1) * (-5) = 36
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
проверяем:
________ _________ __________ \/ 5 + x1 - \/ -1 + x1 - \/ 4 + 2*x1 = 0
=
_______ ________ _______ \/ 5 + 1 - \/ -1 + 1 - \/ 4 + 2 = 0
=
— тождество
________ _________ __________ \/ 5 + x2 - \/ -1 + x2 - \/ 4 + 2*x2 = 0
=
_______ ________ ____________ \/ 5 - 5 - \/ -1 - 5 - \/ 4 + 2*(-5) = 0
=
— Нет
Тогда, окончательный ответ:
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решение квадратных уравнений онлайн калькулятор.
Основные понятия и определения.
Квадратным уравнением называется уравнение следующего вида: ax2+bx+c=0, где a, b, с — любые действительные числа, но a не равно 0, x — неизвестная искомая переменная.
Коэффициенты a, b, c имеют соответственно названия: a— старший коэффициент (коэффициент при ), — второй коэффициент (коэффициент при ), — свободный член.
Если старший коэффициент , то квадратное уравнение является приведенным, если же , то неприведенным.
Квадратное уравнение называется полным, если оно содержит все три слагаемых (то есть коэффициенты и не равны нулю).
Квадратное уравнение называется неполным, если оно содержит не все три слагаемых ( то есть коэффициент или , или и ).
Корнем квадратного уравнения называется такое значение переменной , при подстановке которого квадратный трехчлен обращается в ноль.
Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Теория для школьников.
При решении квадратного уравнения школьникам необходимо придерживаться следующей схемы:
1) Найти так называемый дискриминант по формуле:
2) Найти корни квадратного уравнения или установить их отсутствие, опираясь на следующие рассуждения:
— Если , то квадратное уравнение корней не имеет;
— Если , то квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:
— Если , то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле:
Решение квадратного уравнения также можно получить, используя следующие формулы :
1) Найти значение :
2) Найти дискриминант по формуле:
3) Найти корни квадратного уравнения или установить их отсутствие, опираясь на следующие рассуждения:
— Если , то квадратное уравнение корней не имеет;
— Если , то квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:
— Если , то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле:
Теория для студентов.
При обучении в высшем учебном заведении нередко приходится сталкиваться с таким понятием, как комплексные корни уравнения.
Решение квадратных уравнений студентами – именно такой случай.
Напомним, что комплексное число имеет вид:
Где и — действительные числа, — так называемая мнимая единица. При этом носит название действительной части, а — мнимой части комплексного числа.
Мнимая единица обладает свойством:
Именно свойство мнимой единицы и будет использовано при решении квадратных уравнений.
При решении квадратного уравнения студентам необходимо придерживаться следующей схемы:
1) Найти так называемый дискриминант по формуле:
2) Найти корни квадратного уравнения, опираясь на следующие рассуждения:
— Если , то квадратное уравнение имеет два комплексных корня:
— Если , то квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:
— Если , то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле:
Решение квадратного уравнения также можно получить, используя следующие формулы :
1) Найти значение :
2) Найти дискриминант по формуле:
3) Найти корни квадратного уравнения, опираясь на следующие рассуждения:
— Если , то квадратное уравнение имеет два комплексных корня, которые находятся по формулам:
— Если , то квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:
— Если , то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле:
Примеры решения квадратных уравнений для школьников.
Пример 1: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.
Найдем их:
Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни
Ответ:
Пример 2: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение не имеет корней.
Ответ: Корней нет.
Пример 3: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является полным приведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет один корень.
Найдем его:
Таким образом, решением квадратного уравнения будет корень
Ответ:
Пример 4: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Решим заданное уравнение вторым способом, предложенным в теории:
Тогда .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.
Найдем их:
Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни
Ответ:
Пример 5: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является полным неприведенным.
Для удобства расчетов умножим обе части уравнения на 9 и получим:
Будем решать полученное уравнение. Оно имеет следующие коэффициенты: .
Тогда .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.
Найдем их:
Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни
Ответ:
Пример 6: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Тогда .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет один корень.
Найдем его:
Таким образом, решением квадратного уравнения будет корень
Ответ:
Во всех примерах, рассмотренных выше, были заданы полные квадратные уравнения. Как же решать неполные уравнения? Рассмотрим решения на примерах.
Пример 7: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным.
Можно решать данное квадратное уравнение по представленным выше схемам. Воспользуемся первой из них.
Квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты: .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.
Найдем их:
Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни
Но возможно решить квадратное уравнение следующим, более простым
, образом:Поэтому либо , либо
Ответ:
Пример 8: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным.
Квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты: .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет два корня. Найдем их:
Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни
Но возможно решить квадратное уравнение следующим, более простым, образом:
Ответ:
Пример 9: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Будем решать его следующим образом:
Данное квадратное уравнение корней не имеет.
Ответ: Корней нет.
Пример 10: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Будем решать его следующим образом:
Данное квадратное уравнение имеет один корень .
Ответ: .
Примеры решения квадратных уравнений для студентов.
Пример 1: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.
Найдем их:
Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни
Ответ:
Пример 2: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет два комплексных корня:
Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни
Ответ:
Пример 3: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является полным приведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет один корень.
Найдем его:
Таким образом, решением квадратного уравнения будет корень
Ответ:
Пример 4: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Воспользуемся вторым способом решения квадратных уравнений студентами, описанный в теории:
Тогда .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.
Найдем их:
Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни
Ответ:
Пример 5: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Тогда .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет один корень.
Найдем его:
Таким образом, решением квадратного уравнения будет корень
Ответ:
Пример 6: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является полным приведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Тогда .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет два комплексных корня:
Найдем их:
Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни
Ответ:
Во всех примерах, рассмотренных выше, были заданы полные квадратные уравнения. Как же решать неполные уравнения? Рассмотрим решения на примерах.
Пример 7: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным.
Можно решать данное квадратное уравнение по представленным выше схемам. Воспользуемся первой из них.
Квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты: .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.
Найдем их:
Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни
Но возможно решить квадратное уравнение следующим, более простым, образом:
Поэтому либо , либо
Ответ:
Пример 8: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным.
Квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты: .
Найдем дискриминант: .
Так как , то квадратное уравнение имеет два корня. Найдем их:
Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни
Но возможно решить квадратное уравнение следующим, более простым, образом:
Ответ:
Пример 9: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Будем решать его следующим образом:
Ответ:
Пример 10: Решить квадратное уравнение .
Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Будем решать его следующим образом:
Данное квадратное уравнение имеет один корень .
Ответ: .
ktoreshit.ru