Теория больших чисел простыми словами – Теория больших чисел простыми словами

it-lenta.ru

БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН • Большая российская энциклопедия

БОЛЬШИ́Х ЧИ́СЕЛ ЗАКО́Н, об­щий прин­цип, со­глас­но ко­то­ро­му со­вме­ст­ное дей­ст­вие боль­шо­го чис­ла слу­чай­ных фак­то­ров при­во­дит при не­ко­то­рых весь­ма об­щих ус­ло­ви­ях к ре­зуль­та­ту, поч­ти не за­ви­ся­ще­му от слу­чая. Сбли­же­ние час­то­ты на­сту­п­ле­ния слу­чай­но­го со­бы­тия с его ве­ро­ят­но­стью при воз­рас­та­нии чис­ла ис­пы­та­ний (т. н. ус­той­чи­вость час­тот) мо­жет слу­жить при­ме­ром дей­ст­вия это­го прин­ци­па.

На ру­бе­же 17 и 18 вв. Я. Бер­нул­ли до­ка­зал тео­ре­му, ут­вер­ждаю­щую, что в по­сле­до­ва­тель­но­сти не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ний, в ка­ж­дом из ко­то­рых ве­ро­ят­ность на­сту­п­ле­ния не­ко­то­ро­го со­бы­тия $A$ име­ет од­но и то же зна­че­ние $p$, $0{<}p{<}1$, вер­но со­от­но­ше­ние $$\mathsf P \left \{ \left | \frac {S_n}{n}-p \right | > ε \right \} \to0 \qquad (1)$$ при лю­бом фик­си­ро­ван­ном $ε>0$ и $n \to \infty$; здесь $S_n$ – чис­ло по­яв­ле­ний со­бы­тия $A$ в пер­вых $n$ ис­пы­та­ни­ях, $S_n/n$ – час­то­та по­яв­ле­ний, $\mathsf P$ – ве­ро­ят­ность со­бы­тия, ука­зан­но­го в скоб­ках. Эта Бер­нул­ли тео­ре­ма бы­ла рас­про­стра­не­на С. Пу­ас­со­ном на слу­чай по­сле­до­ва­тель­но­сти не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ний, где ве­ро­ят­ность по­яв­ле­ния со­бы­тия $A$ мо­жет за­ви­сеть от но­ме­ра ис­пы­та­ния. Пусть эта ве­ро­ят­ность для $k$-го ис­пы­та­ния рав­на $p_k,\ k=1, 2, …,$ и пусть $$p̅_n=\frac{p_1+…p_n}{n}.$$ То­гда Б. ч. з. в фор­ме Пу­ас­со­на ут­вер­жда­ет, что $$\mathsf P \left \{ \left | \frac {S_n}{n}-p̅_n \right | > ε \right \} \to0 \qquad (2)$$ для лю­бо­го фик­си­ро­ван­но­го $ε>0$ при $n→∞$. Стро­гое до­ка­за­тель­ст­во это­го ут­вер­жде­ния бы­ло да­но П. Л. Че­бы­ше­вым (1846). Тер­мин «за­кон боль­ших чи­сел» впер­вые встре­ча­ет­ся у Пу­ас­со­на, так он на­звал вы­ше­ука­зан­ное обоб­ще­ние тео­ре­мы Бер­нул­ли.

Даль­ней­шие обоб­ще­ния ут­вер­жде­ний Бер­нул­ли и Пу­ас­со­на воз­ни­ка­ют, ес­ли за­ме­тить, что слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $S_n$ мож­но пред­ста­вить в ви­де сум­мы $S_n=X_1+…+X_n$ не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин, где $X_k=1$, ес­ли $A$ по­яв­ля­ет­ся в $k$-м ис­пы­та­нии, и $X_k=0$ в про­тив­ном слу­чае, $k=1, .., n$. При этом ма­те­мати­че­ское ожи­да­ние $\mathsf E(S_n/n)$ рав­но $p$ для слу­чая Бер­нул­ли и для слу­чая Пу­ас­со­на. Дру­ги­ми сло­ва­ми, в обо­их слу­ча­ях рас­смат­ри­ва­ет­ся от­кло­не­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го ве­ли­чин $X_1, …, X_n$ от сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го их ма­те­ма­тич. ожи­да­ний.

В ра­бо­те П. Л. Че­бы­ше­ва «О сред­них ве­ли­чи­нах» (1867) бы­ло ус­та­нов­ле­но, что для не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1, X_2, …,$ со­от­но­ше­ние $$\mathsf P \left \{ \left | \frac {X_1+…+X_n}{n}- \frac {\mathsf EX_1+…+\mathsf EX_n}{n} \right | > ε \right \} \to0 \qquad (3)$$

P{∣∣∣X1+…+Xnn−EX1+…+EXnn∣∣∣>ε}→0(3)

B2n=DX1+…+DXn=o(n2)

при $n→∞$. Та­ким об­ра­зом, Че­бы­шев по­ка­зал воз­мож­ность ши­ро­ко­го обоб­ще­ния тео­ре­мы Бер­нул­ли. А. А. Мар­ков от­ме­тил воз­мож­ность даль­ней­ших обоб­ще­ний и пред­ло­жил при­менять назв. «Б. ч. з.» ко всей со­во­куп­но­сти обоб­ще­ний тео­ре­мы Бер­нул­ли, и в ча­ст­но­сти к (3). Ме­тод Че­бы­ше­ва ос­но­ван на ус­та­нов­ле­нии об­щих свойств ма­те­ма­тич. ожи­да­ний и на ис­поль­зо­ва­нии т. н. Че­бы­ше­ва не­ра­вен­ст­ва. По­сле­дую­щие до­ка­за­тель­ст­ва разл. форм Б. ч. з. в той или иной сте­пе­ни яв­ля­ют­ся раз­ви­ти­ем ме­то­да Че­бы­ше­ва. При­ме­няя над­ле­жа­щее «уре­за­ние» слу­чай­ных ве­ли­чин $X_k$ (за­ме­ну их вспо­мо­га­тель­ны­ми ве­ли­чи­на­ми $X_{k,n}$, рав­ны­ми $X_{n,k}=X_k$, ес­ли $|X_k-\mathsf EX_k|{⩽}t_n$, и рав­ны­ми ну­лю в про­тив­ном слу­чае, где $t_n$ за­ви­сят лишь от $n$), Мар­ков рас­про­стра­нил Б. ч. з. на слу­чаи, ко­гда дис­пер­сии сла­гае­мых не су­ще­ст­ву­ют. Напр., он по­ка­зал, что (3) име­ет ме­сто, ес­ли для не­ко­то­ро­го чис­ла $δ>0$ ве­ли­чи­ны $\mathsf E|X_k-\mathsf EX_k|^{1+δ}$ ог­ра­ни­че­ны од­ной и той же по­сто­ян­ной.

Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся тео­ре­ма Хин­чи­на (1929): ес­ли $X_1, X_2, …$ име­ют оди­на­ко­вые за­ко­ны рас­пре­де­ле­ния и $\mathsf EX_1$ су­ще­ст­ву­ет, то Б. ч. з. (3) вы­пол­ня­ет­ся.

Су­ще­ст­ву­ют при­ме­ры, ко­гда Б. ч. з. не вы­пол­ня­ет­ся. Так, он не вы­пол­ня­ет­ся, ес­ли слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X_1, X_2, …$ име­ют Ко­ши рас­пре­де­ле­ние, т. е. рас­пре­де­ле­ние с плот­но­стью $1/(π(1+x^2))$. Здесь сред­ние ариф­ме­ти­че­ские $(X_1+…+X_n)/n$ пер­вых $n$ слу­чай­ных ве­ли­чин име­ют при лю­бом $n$ то же са­мое рас­пре­де­ле­ние, что и от­дель­ные сла­гае­мые. Для рас­пре­де­ле­ния Ко­ши ма­те­ма­тич. ожи­да­ние не су­ще­ст­ву­ет.

При­ме­ни­мость Б. ч. з. к сум­мам за­ви­си­мых ве­ли­чин свя­за­на в пер­вую оче­редь с убы­ва­ни­ем за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми $X_i$ и $X_j$ при уве­ли­че­нии раз­но­сти их но­ме­ров, т. е. при уве­ли­че­нии $|i-j|$. Впер­вые со­от­вет­ст­вую­щие тео­ре­мы бы­ли до­ка­за­ны А. А. Мар­ко­вым (1907) для ве­ли­чин, свя­зан­ных в Мар­ко­ва цепь.

Пред­став­ле­ние об от­кло­не­ни­ях $S_n/n$ от $A_n=(\mathsf EX_1+…+\mathsf EX_n)/n$, на­ря­ду с нера­вен­ст­вом Че­бы­ше­ва и его уточ­не­ния­ми, да­ёт цен­траль­ная пре­дель­ная тео­ре­ма.

Пре­ды­ду­щие ре­зуль­та­ты мож­но обоб­щать в разл. на­прав­ле­ни­ях. Так, всю­ду вы­ше рас­смат­ри­ва­лась т. н. схо­ди­мость по ве­ро­ят­но­сти. Рас­смат­ри­ва­ют и др. ви­ды схо­ди­мо­сти, напр. схо­ди­мость в сред­нем квад­ра­тич­ном и схо­ди­мость с ве­ро­ят­но­стью 1 (схо­ди­мость поч­ти на­вер­ное). Обоб­ще­ния Б. ч. з. на слу­чай схо­ди­мо­сти с ве­ро­ят­но­стью 1 на­зы­ва­ют уси­лен­ны­ми Б. ч. з.

Пусть $X_1, X_2, …$ – по­сле­до­ва­тель­ность слу­чай­ных ве­ли­чин и, как и рань­ше, $S_n=X_1+ …+X_n$. Го­во­рят, что по­сле­до­ва­тель­ность $X_1, X_2, …$ удов­ле­тво­ря­ет уси­лен­но­му Б. ч. з., ес­ли су­ще­ст­ву­ет та­кая по­сле­до­ва­тель­ность по­сто­ян­ных $A_n$, что ве­ро­ят­ность со­от­но­ше­ния $S_n/n-A_n→0$ при $n→∞$ рав­на 1. По­сле­до­ва­тель­ность $X_1, X_2, …$ удов­ле­тво­ря­ет уси­лен­но­му Б. ч. з. то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда при лю­бом фик­си­ро­ван­ном $ε>0$ ве­ро­ят­ность од­но­вре­мен­но­го вы­пол­не­ния не­ра­венств $$\left | \frac {S_n}{n}-A_n \right |{⩽}ε,  \ \left | \frac {S_{n+1}}{n+1}-A_{n+1} \right |{⩽}ε, \ …$$ стре­мит­ся к 1 при $ n→∞$. Т. о., здесь рас­смат­ри­ва­ет­ся по­ве­де­ние всей по­сле­до­ватель­но­сти сумм в це­лом, в то вре­мя как в обыч­ном Б. ч. з. речь идёт лишь об отд. сум­мах. Ес­ли по­сле­до­ва­тель­ность $X_1, X_2, …$ удов­ле­тво­ря­ет уси­лен­но­му Б. ч. з., то она удов­ле­тво­ря­ет и обыч­но­му Б. ч. з. с те­ми же са­мы­ми $A_n$, т. е. $$\mathsf P \left \{ \left | \frac {S_n}{n}-A_n \right |≤ ε \right \} \to1$$ при лю­бом фик­си­ро­ван­ном $ε>0$ и $n\to\infty$. Об­рат­ное, во­об­ще го­во­ря, не­вер­но.

Уси­лен­ный Б. ч. з. был впер­вые сфор­му­ли­ро­ван и до­ка­зан Э. Бо­ре­лем (1909) для схе­мы Бер­нул­ли. Ча­ст­ные слу­чаи схе­мы Бер­нул­ли воз­ни­ка­ют, напр., при раз­ло­же­нии взя­то­го нау­да­чу (т. е. с рав­но­мер­ным рас­пре­де­ле­ни­ем) дей­ст­ви­тель­но­го чис­ла из от­рез­ка [0, 1] в бес­ко­нечную дробь по к.-л. ос­но­ва­нию. Так, в дво­ич­ном раз­ло­же­нии $$ω=\sum\nolimits_{n=1}^\infty\frac{X_n(ω)}{2^n}$$ слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X_1(ω), X_2(ω),…$ при­ни­ма­ют два зна­че­ния 0 и 1 с ве­ро­ятно­стью ¹/₂ ка­ж­дое и яв­ля­ют­ся не­за­виси­мы­ми. Сум­ма $S_n(ω)=\sum\nolimits_{k-1}^nX_k(ω)$ рав­на чис­лу еди­ниц сре­ди пер­вых $n$ зна­ков дво­ич­но­го раз­ло­же­ния $ω$, а $S_n(ω )/n$ – их до­ле. В то же вре­мя слу­чай­ную ве­личи­ну $S_n$ мож­но рас­смат­ри­вать как чис­ло «ус­пе­хов» в схе­ме Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью «ус­пе­ха» (по­яв­ле­ния 1), рав­ной ¹/₂. Бо­рель до­ка­зал, что до­ля еди­ниц $S_n(ω)/n$ стре­мит­ся к ¹/₂ при $n→∞$ для поч­ти всех $ω$ из от­рез­ка [0, 1] (т. е. ле­бе­го­ва ме­ра мно­же­ст­ва тех то­чек $ω∈$ [0, 1], для ко­то­рых $\lim\limits_{n\to\infty}S_n(ω )/n=$ ¹/₂, рав­на 1). Ана­ло­гич­но, при раз­ло­же­нии $ω$ по ос­но­ва­нию 10 мож­но на­звать «ус­пехом» по­яв­ле­ние к.-л. од­ной из цифр 0, 1, …, 9 (напр., циф­ры 3). При этом по­лу­ча­ет­ся схе­ма Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью ус­пе­ха ¹/₁₀, и час­то­та по­яв­ле­ния вы­бран­ной циф­ры сре­ди пер­вых $n$ зна­ков де­ся­тич­но­го раз­ло­же­ния $ω$ стре­мит­ся к ¹/₁₀ для поч­ти всех $ω$ из от­рез­ка [0, 1] (та­кие чис­ла $ω$ ино­гда на­зы­ва­ют нор­маль­ны­ми). Бо­рель от­ме­тил так­же, что час­то­та по­яв­ле­ния лю­бой фик­си­ро­ван­ной груп­пы из $r$ цифр стре­мит­ся к ¹/₁₀ r для поч­ти всех $ω$.

В слу­чае не­за­ви­си­мых сла­гае­мых наи­бо­лее из­вест­ны­ми яв­ля­ют­ся ус­ло­вия спра­вед­ли­во­сти уси­лен­но­го Б. ч. з., ус­та­нов­лен­ные А. Н. Кол­мо­го­ро­вым: дос­та­точ­ное (1930) – для ве­ли­чин с ко­нечны­ми дис­пер­сия­ми и не­об­хо­ди­мое и дос­та­точ­ное (1933) – для оди­на­ко­во рас­пре­де­лён­ных ве­ли­чин (за­клю­чаю­щее­ся в су­ще­ст­во­ва­нии ма­те­ма­тич. ожи­да­ния этих ве­ли­чин). Тео­ре­ма Кол­мо­го­ро­ва для не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1, X_2, …$ с ко­неч­ны­ми дис­пер­сия­ми ут­вер­жда­ет, что из ус­ло­вия $$\sum\nolimits_{n=1}^\infty\frac{\mathsf DX_n}{n^2}<\infty$$ вы­те­ка­ет спра­вед­ли­вость уси­лен­но­го Б. ч. з. с $A_n=\mathsf E(S_n/n)$.

Пред­став­ле­ние об от­кло­не­ни­ях $S_n/n$ от $A_n$ да­ёт по­втор­но­го ло­га­риф­ма за­кон.

bigenc.ru

Закон больших чисел

Слова о больших числах относятся к числу испытаний – рассматривается большое число значений случайной величины или совокупное действие большого числа случайных величин. Суть этого закона состоит в следующем: хотя невозможно предсказать, какое значение в единичном эксперименте примет отдельная случайная величина, однако, суммарный результат действия большого числа независимых случайных величин утрачивает случайный характер и может быть предсказан практически достоверно (т.е. с большой вероятностью). Например, невозможно предсказать, какой стороной упадет одна монета. Однако если подбросить 2 тонны монет, то с большой уверенностью можно утверждать, что вес монет, упавших гербом вверх, равен 1 тонне.

К закону больших чисел прежде всего относится так называемое неравенство Чебышева, которое оценивает в отдельном испытании вероятность принятия случайной величиной значения, уклоняющееся от среднего значения не более, чем на заданное значение.

Неравенство Чебышева. Пусть Х – произвольная случайная величина, а=М(Х), а D(X) – ее дисперсия. Тогда

.

Пример. Номинальное (т.е. требуемое) значение диаметра вытачиваемой на станке втулки равно 5мм , а дисперсия не более 0.01 (таков допуск точности станка). Оценить вероятность того, что при изготовлении одной втулки отклонение ее диаметра от номинального окажется менее 0.5мм .

Решение. Пусть с.в. Х – диаметр изготовленной втулки. По условию ее математическое ожидание равно номинальному диаметру (если нет систематического сбоя в настройке станка) : а=М(Х)=5 , а дисперсия D(Х)≤0.01. Применяя неравенство Чебышева при ε = 0.5, получим:

.

Таким образом, вероятность такого отклонения достаточно велика, а потому можно сделать вывод о том, что при единичном изготовлении детали практически наверняка отклонение диаметра от номинального не превзойдет 0.5мм .

По своему смыслу среднее квадратическое отклонение σ характеризует среднее отклонение случайной величины от своего центра (т.е. от своего математического ожидания). Поскольку это среднее отклонение, то при испытании возможны и большие (ударение на о) отклонения. Насколько же большие отклонения практически возможны? При изучении нормально распределенных случайных величин мы вывели правило «трех сигм»: нормально распределенная случайная величина Х при единичном испытании практически не отклоняется от своего среднего далее, чем на 3σ, где σ= σ(Х) – среднее квадратическое отклонение с.в. Х. Такое правило мы вывели из того, что получили неравенство

.

Оценим теперь вероятность для произвольной случайной величины Х принять значение, отличающееся от среднего не более чем на утроенное среднее квадратическое отклонение. Применяя неравенство Чебышева при ε =3σ и учитывая, что D(Х)= σ², получаем:

.

Таким образом, в общем случае вероятность отклонения случайной величины от своего среднего не более чем на три средних квадратичных отклонения мы можем оценить числом 0.89, в то время как для именно нормального распределения можно гарантировать это с вероятностью 0.997 .

Неравенство Чебышева может быть обобщено на систему независимых одинаково распределенных случайных величин.

Обобщенное неравенство Чебышева. Если независимые случайные величины Х₁, Х₂, … , Х_n имеют одинаковое распределение с математическими ожиданиями M(X_i)=a и дисперсиями D(X_i)=D, то

.

При n=1 это неравенство переходит в неравенство Чебышева, сформулированное выше.

Неравенство Чебышева, имея самостоятельное значение для решения соответствующих задач, применяется для доказательства так называемой теоремы Чебышева. Мы с начала расскажем о сути этой теоремы, а затем дадим ее формальную формулировку.

Пусть Х₁, Х₂, … , Х_n – большое число независимых случайных величин с математическими ожиданиями М(Х₁)=а₁, … , М(Х_n)=а_n . Хотя каждая из них в результате эксперимента может принять значение, далекое от своего среднего (т.е. математического ожидания), однако, случайная величина , равная их среднему арифметическому, с большой вероятностью примет значение, близкое к фиксированному числу(это среднее всех математических ожиданий). Это означает следующее. Пусть в результате испытания независимые случайные величиныХ₁, Х₂, … , Х_n (их много!) приняли значения соответственно х₁, х₂, … , х_n соответственно. Тогда если сами эти значения могут оказаться далекими от средних значений соответствующих случайных величин, их среднее значение с большой вероятностью окажется близким к числу. Таким образом, среднее арифметическое большого числа случайных величин уже теряет случайный характер и может быть предсказано с большой точностью. Это можно объяснить тем, что случайные отклонения значенийХ_i от a_i могут быть разных знаков, а потому в в сумме эти отклонения с большой вероятностью компенсируются.

Терема Чебышева (закон больших чисел в форме Чебышева). Пусть Х₁, Х₂, … , Х_n … – последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены одним и тем же числом. Тогда, какое бы малое число ε мы ни взяли, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число n случайных величин взять достаточно большим. Формально это означает, что в условиях теоремы

.

Такой вид сходимости называется сходимостью по вероятности и обозначается:

.

Таким образом, теорема Чебышева говорит о том, что если есть достаточно большое число независимых случайных величин, то их среднее арифметическое при единичным испытании практически достоверно примет значение, близкое к среднему их математических ожиданий.

Чаще всего теорема Чебышева применяется в ситуации, когда случайные величины Х₁, Х₂, … , Х_n … имеют одинаковое распределение (т.е. один и тот же закон распределения или одну и ту же плотность вероятности). Фактически это просто большое число экземпляров одной и той же случайной величины.

Следствие (обобщенного неравенства Чебышева). Если независимые случайные величины Х₁, Х₂, … , Х_n … имеют одинаковое распределение с математическими ожиданиями M(X_i)=a и дисперсиями D(X_i)=D, то

, т.е. .

Доказательство следует из обобщенного неравенства Чебышева переходом к пределу при n→∞ .

Отметим еще раз, что выписанные выше равенства не гарантируют, что значение величины стремится ка при n→∞. Эта величина по-прежнему остается случайной величиной, а ее отдельные значения могут быть достаточно далекими от а. Но вероятность таких (далеких от

Замечание. Заключение следствия, очевидно, справедливо и в более общем случае, когда независимые случайные величины Х₁, Х₂, … , Х_n … имеют различное распределение, но одинаковые математические ожидания (равные а) и ограниченные в совокупности дисперсии. Это позволяет предсказывать точность измерения некоторой величины, даже если эти измерения выполнены разными приборами.

Рассмотрим подробнее применение этого следствия при измерении величин. Проведем некоторым прибором n измерений одной и той же величины, истинное значение которой равно а и нам неизвестно. Результаты таких измерений х₁, х₂, … , х_n могут значительно отличаться друг от друга (и от истинного значения а) в силу различных случайных факторов (перепады давления, температуры, случайная вибрация и т.д.). Рассмотрим с.в.

.

При большом числе измерений практически достоверна хорошая точность вычисления по этой формуле. Это является обоснованием того практического принципа, что при большом числе измерений их среднее арифметическое практически почти не отличается от истинного значения измеряемой величины.

На законе больших чисел основан широко применяемый в математической статистике «выборочный» метод, который позволяет по сравнительно небольшой выборке значений случайной величины получать ее объективные характеристики с приемлемой точностью. Но об этом будет рассказано в следующем разделе.

Пример. На измерительном приборе, не делающем систематических искажений, измерена некоторая величина а один раз (получено значение х₁), а потом еще 99 раз (получены значения х₂, … , х₁₀₀). За истинное значение измерения а сначала взят результат первого измерения , а затем среднее арифметическое всех измерений. Точность измерения прибора такова, что среднее квадратическое отклонение измерения σ не более 1 (потому дисперсияD=σ² тоже не превосходит 1). Для каждого из способов измерения оценить вероятность, что ошибка измерения не превзойдет 2.

Решение. Пусть с.в. Х – показание прибора при единичном измерении. Тогда по условию М(Х)=а. Для ответа на поставленные вопросы применим обобщенное неравенство Чебышева

при ε=2 сначала для n=1, а затем для n=100. В первом случае получим , а во втором. Таким образом, второй случай практически гарантирует задаваемую точность измерения, тогда как первый оставляет в этом смысле большие сомнения.

Применим приведенные выше утверждения к случайным величинам, возникающим в схеме Бернулли. Напомним суть этой схемы. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью р, а q=1–р (по смыслу это вероятность противоположного события – не появления события А) . Проведем некоторое число n таких испытаний. Рассмотрим случайные величины: Х₁ – число появлений события А в 1-ом испытании, …, Х_n – число появлений события А в n-ом испытании . Все введенные с.в. могут принимать значения 0 или 1 (событие А в испытании может появиться или нет), причем значение 1 по условию принимается в каждом испытании с вероятностью p (вероятность появления события А в каждом испытании), а значение 0 с вероятностью q=1– p . Поэтому эти величины имеют одинаковые законы распределения:

, … ,

Поэтому средние значения этих величин и их дисперсии тоже одинаковы: М(Х₁)=0∙q+1∙ р= р , …, М(Х_n)= р ; D(X₁)=(0²∙q+1²∙p)−p²=p∙(1−p)= p ∙q, … , D(X_n)=p ∙q . Подставляя эти значения в обобщенное неравенство Чебышева, получим

.

Ясно, что с.в. Х=Х₁+…+Х_n – это число появлений события А во всех n испытаниях (как говорят – «число успехов» в n испытаниях). Пусть в проведенных n испытаниях событие А появилось в k из них. Тогда предыдущее неравенство может быть записано в виде

.

Но величина , равная отношению числа появлений событияА в n независимых испытаниях, к общему числу испытаний , ранее была названа относительной частотой события А в n испытаниях . Поэтому имеет место неравенство

.

Переходя теперь к пределу при n→∞, получим , т.е.(по вероятности). Это составляет содержание закона больших чисел в форме Бернулли. Из него следует, что при достаточно большом числе испытанийn сколь угодно малые отклонения относительной частоты события от его вероятностир − почти достоверные события, а большие отклонения − почти невозможные. Полученный вывод о такой устойчивости относительных частот (о которой мы ранее говорили как об экспериментальном факте) оправдывает введенное ранее статистическое определение вероятности события как числа, около которого колеблется относительная частота события.

Учитывая, что выражение p∙q=p∙(1−p)=p−p² не превосходит на интервале изменения(в этом легко убедиться, найдя минимум этой функции на этом отрезке), из приведенного выше неравенствалегко получить, что

,

которое применяется при решении соответствующих задач (одна из них будет приведена ниже).

Пример. Монету подбросили 1000 раз. Оценить вероятность того, что отклонение относительной частоты появления герба от его вероятности будет меньше 0.1.

Решение. Применяя неравенство приp=q=1/2, n=1000, ε=0.1, получим .

Пример. Оценить вероятность того, что в условиях предыдущего примера число k выпавших гербов окажется в пределах от 400 до 600.

Решение. Условие 400<k<600 означает, что 400/1000<k/n<600/1000, т.е. 0.4<W_n(A)<0.6 или . Как мы только что убедились из предыдущего примера, вероятность такого события не менее0.975.

Пример. Для вычисления вероятности некоторого события А проведено 1000 экспериментов, в которых событие А появилось 300 раз. Оценить вероятность того, что относительная частота (равная 300/1000=0.3) отстоит от истиной вероятности р не далее, чем на 0.1 .

Решение. Применяя выписанное выше неравенство дляn=1000, ε=0.1 , получим .

79

studfiles.net

Закон больших чисел в Достижение Цели

Позвольте закону больших чисел работать на вас в достижении цели. Позвольте перефразировать знаменитую фразу о гениальности — чтоб добиться успеха нужно: 10 процентов умения и 90 процентов настойчивости. Итак, о всем этом и более, по порядку…

Закон больших чисел в достижении успеха

Если вы читали труды Роберта Кийосаки (миллионер, мастер-тренер по финансовому благополучию, автор «Бедны Папа, Богатый Папа»), то вы, наверное, как и я, удивлялись его упорству, большой мотивации к деланию денег, хорошему трудоголизму (трудоголизм может быть плохим – когда применяешь силу не к месту).

Но, что самое интересное, он никогда не называл себя умным, способным, т.е. как-то уже расположенным к богатству.

Я прочитал около 6-ти его книг, Р. Кийосаки часто рассказывает о себе, о том как он хотел заработать. И главный секрет того, что он смог достигнуть желанной цели – его настойчивость и усердие в этом.

Этот человек на виду, и выше сказанное легко проверить, прочитав его книги. НО, что интересно, все спортсмены, многие мульти миллиардеры, известные авторы бестселлеров достигали успеха согласно такой формуле:  10% умения и 90% настойчивости.

О чем утверждает закон больших чисел? (это математическая модель, но в контексте о успехе можно выделить следующее)

Большое количество определенных действий приводит к необходимому результату, не зависящего от воли случая.

Т.е. чем более вы пытаетесь и что-то делаете, чтоб преуспеть в определенном деле – тем ближе вы к успеху! Это Закон!

Формула достижения цели, согласно закону больших чисел

Достижение цели = 10 процентов знания того, как добиться цели + Nmax произведенных действий.

Nmax — количество попыток, или целенаправленных действий, работы

P.S. Число Nmax  хотелось, чтоб было поменьше…На самом деле оно не так уж и велико. Его можно даже подсчитать, хорошо изучив автобиографию великих людей. Но проще воспринять закон – как аксиому, внушить себе, что это ЗАКОН и действовать соответственно ему!

Хоть раз, да попадете в Цель?! Конечно, по закону больших чисел, если Вы стрелять будете много раз!

www.iaim.ru

Тема 7. Закон больших чисел

Заканчивается раздел «Теория вероятностей» темой 7 – «Закон больших чисел» . Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Так, в теореме Чебышева утверждается, что средняя арифметическая п независимых случайных величин – величина случайная – при приближается (точнее сходится по вероятности) к средней арифметической их математических ожиданий – величине неслучайной, т.е. практически перестает быть случайной. А втеореме Бернулли доказывается, что случайная величина – статистическая вероятность или частость события в п повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа п приближается (сходится по вероятности) к вероятности р этого события в отдельном испытании – величине неслучайной. Так, например, если вероятность рождения мальчика нам не известна, то в качестве ее значения на основании теоремы Бернулли мы можем принять частость (статистическую вероятность) этого события, которая, как известно по многолетним статистическим данным, составляет приближенно 0,515.

Обратите внимание на понятиеcxo димости по вероятности , под которой понимается стремление случайной величины к постоянной величине с вероятностью, как угодно близкой к единице при

Прежде чем доказать указанные основные теоремы, в теме рассматриваются неравенство Маркова или лемма Чебышева, (применяемое для неотрицательных случайных величин), и неравенство Чебышева, (применимое для любых случайных величин). При использовании этих неравенств следует учесть, что они дают лишь верхнюю или нижнюю границы вероятности рассматриваемого события.

Завершая обзор учебного материала по разделу «Теория вероятностей» следует отметить, что усвоение этого материала предполагает решение достаточно большого числа задач, в частности, с помощью компьютерной программы «КОПР2».

Раздел 2. Математическая статистика

Второй раздел «Математическая статистика»включает в себя четыре темы:

8. Вариационные ряды

9. Основы выборочного метода

10. Элементы проверки статистических гипотез

11. Элементы теории корреляции

Математическая статистика – раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.

Тема 8. Вариационные ряды

В теме 8 «Вариационные ряды» Вы познакомитесь с простейшей статистической обработкой опытных данных — построением вариационных рядов и вычислением их числовых характеристик.

Вариационным рядом называется ранжированный (т.е. упорядоченный) ряд значений изучаемого признакаX или вариантов с соответствующими им частотами (или частостями). Частоты (или частости) указывают число (долю) соответствующих вариантов. Обратите внимание на графическое изображение вариационного ряда – на полигон и гистограмму, а также эмпирическую функцию распределения.

Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализацией) распределения признака (случайной величиныX ). В этом смысле полигон (гистограмма) вариационного ряда аналогична кривой распределения, эмпирическая функция распределения – функции распределения случайной величины. А числовые характеристики вариационного ряда – средняя арифметическая (обозначается ) и дисперсияs ²являются аналогами соответствующих числовых характеристик случайнойвеличины – математического ожидания М(X ) и дисперсии Г ². Точно так же понятие частости (относительной частоты)w для вариационного ряда аналогично понятию вероятности р для случайной величины.

Необходимо знать формулы средней арифметической и дисперсииs ²вариационного ряда, их свойства. Учтите, что более сложные формулы их вычисления, используемые в упрощенном способе расчета (учебник [1], §8.4) носят технический, вспомогательный характер, и их сложность объясняется переходом в расчетах от рассматриваемых вариантов к условным.

studfiles.net

Древний закон средних чисел. Теория больших чисел простыми словами

greecehist.ru

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — это… Что такое ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ?

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

(law of large numbers) В том случае, когда поведение отдельных представителей населения отличается большим своеобразием, поведение группы в среднем более предсказуемо, чем поведение любого ее члена. Тенденция, в соответствии с которой группы ведут себя более определенно по сравнению с отдельными индивидами, усиливается с увеличением размера группы. Этот закон подчеркивает способность специалистов страховых компаний прогнозировать коэффициенты смертности, а статистиков – определять воздействие ценовых изменений на спрос.

Экономика. Толковый словарь. — М.: «ИНФРА-М», Издательство «Весь Мир». Дж. Блэк. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И.М.. 2000.

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

(англ. law of large numbers)

принцип, согласно которому частота финансовых потерь определенного вида может быть предсказана с высокой точностью тогда, когда есть большое количество потерь аналогичных видов.

Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б.. Современный экономический словарь. — 2-е изд., испр. М.: ИНФРА-М. 479 с.. 1999.

Экономический словарь. 2000.

• ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ОБОРОТЫ
• ЗАКОН ГРЭШАМА

Смотреть что такое «ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ» в других словарях:

• ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — см. БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 …   Энциклопедия социологии

• Закон Больших Чисел — принцип, согласно которому количественные закономерности, присущие массовым общественным явлениям, наиболее явным образом проявляются при достаточно большом числе наблюдений. Единичные явления в большей степени подвержены воздействию случайных и… …   Словарь бизнес-терминов

• ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — утверждает, что с вероятностью, близкой к единице, среднее арифметическое большого числа случайных величин примерно одного порядка будет мало отличаться от константы, равной среднему арифметическому из математических ожиданий этих величин. Разл.… …   Геологическая энциклопедия

• закон больших чисел — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN law of averageslaw of large numbers …   Справочник технического переводчика

• Закон больших чисел — в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости …   Википедия

• закон больших чисел — didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. law of large numbers vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. закон больших чисел, m pranc. loi des grands nombres, f …   Fizikos terminų žodynas

• ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — общий принцип, в силу к рого совместное действие случайных факторов приводит при нек рых весьма общих условиях к рез ту, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа… …   Российская социологическая энциклопедия

• Закон больших чисел — закон, гласящий, что совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая …   Социология: словарь

• ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — статистический закон, выражающий связь статистических показателей (параметров) выборочной и генеральной совокупности . Фактические значения статистических показателей, полученные по некоторой выборке, всегда отличаются от т.н. теоретических… …   Социология: Энциклопедия

• ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — принцип, по которому частота финансовых потерь определенного вида может быть предсказана с высокой точностью тогда, когда есть большое количество потерь аналогичных видов …   Энциклопедический словарь экономики и права

dic.academic.ru