Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия – Площади подобных треугольников | Треугольники

Площади подобных треугольников | Треугольники

Утверждение

Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то есть отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Дано:

   

Доказать:

   

Площадь треугольника ABC может быть найдена, например, по двум сторонам и углу между ними:

   

Аналогично,

   

Так как углы подобных треугольников равны, а стороны — пропорциональны, то ∠A=∠A1,

   

то есть

   

Теперь можем найти, как относятся площади подобных треугольников:

   

   

Так как 

   

то 

   

то есть

   

   

Что и требовалось доказать.

Поскольку отношение любых линейных размеров (высот, медиан, биссектрис, периметров) подобных треугольников равно коэффициенту подобия, площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.

Найти площадь треугольника, Подобие треугольников

www.treugolniki.ru

Отношение площадей подобных треугольников. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

Тема: Подобные треугольники

Урок: Отношение площадей подобных треугольников

Начнем с того, что введем определение подобных треугольников.

Определение. Два треугольника называются подобными, еслиих углы попарно равны, а стороны, лежащие напротив соответственных углов, пропорциональны (см. Рис. 1).

. Отношение длин сторон треугольников называют коэффициентом подобия ().

Рис. 1

Замечание. Пропорциональные стороны подобных треугольников называют еще сходственными сторонами.

Важно понимать, что в подобных треугольниках пропорциональны не только стороны, но и другие соответственные линейные элементы: высоты, медианы, биссектрисы, проведенные к соответственным сторонам, периметры и т.п. Т.е. все эти величины относятся, как коэффициент подобия. Вопрос заключается в том, верно ли аналогичное утверждение и для площадей треугольников. Для того чтобы ответить на этот вопрос, сформулируем теорему.

Теорема 1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Доказательство. Изобразим подобные треугольники  на Рис. 2.

Рис. 2

Из подобия треугольников по определению следует, что .Воспользуемся следующей теоремой, которую мы сформулировали в предыдущей теме «Площадь»: если у двух треугольников равны углы (), то их площади относятся, как произведение сторон, заключающих данные углы. Запишем этот факт в виде формулы:

, что и требовалось доказать.

Доказано.

Замечание. Возможно доказательство этой теоремы не единственным указанным способом, а и с использованием различных формул для вычисления площади треугольника, но мы их указывать не будем.

Рассмотрим ряд примеров, в которых применяется рассмотренная теорема.

Пример 1. Если два треугольника подобны с коэффициентом подобия , то чему равно отношение площадей этих треугольников.

Решение. Задача устная и не требует выполнения чертежа. Воспользуемся изученной теоремой: .

Ответ. 2.

Пример 2. Треугольники  подобны. Площадь  равна , площадь  равна . Сторона  равна 18 см, найти сходственную ей сторону .

Решение. Воспользуемся для удобства готовым Рис. 2. Поскольку отношение площадей треугольников: , то по теореме .

Тогда из подобия треугольников: .

Ответ. 9 см.

Пример 3. Дан треугольник , площадь которого равна  и в нем проведена средняя линия  параллельно . Необходимо найти площадь треугольника, который отсекает средняя линия от треугольника .

Решение. Изобразим Рис. 3.

Рис. 3

Из рисунка видно, что в условии требуется найти площадь треугольника . Треугольники  и  подобны, т.к. равны их углы ( общий, ,  как соответственные углы при параллельных прямых и секущей) и сходственные стороны пропорциональны с коэффициентом пропорциональности  ( и  – середины соответствующих сторон, а  по теореме о средней линии).

Тогда по теореме об отношении площадей подобных треугольников .

Ответ. .

На сегодняшнем уроке была рассмотрена теорема об отношении площадей подобных треугольников и приведен ряд примеров на ее применение.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Antonmart.narod.ru (Источник).
2. Oldskola1.narod.ru (Источник).

         

Домашнее задание

1. Вычислите коэффициент подобия треугольников, площади которых равны: а) , б) , в) .
2. В треугольнике  через точку , лежащую на стороне , проведены прямые, параллельные сторонам  и . Площадь образованного при этом параллелограмма составляет  площади треугольника . Найдите отношение .
3. В треугольнике  через основание  высоты  проведена прямая параллельно стороне до пересечения со стороной  в точке. Найдите отношение , если площадь треугольника  составляет  площади треугольника .
4. На боковых сторонах  и  трапеции  взяты точки  и  так, что отрезок  параллелен основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите длину , если  и .

interneturok.ru

Отношение площадей подобных треугольников

Теорема об отношении площадей подобных треугольников

Для подобных треугольников и с коэффициентом подобия справедлива следующая теорема:

ТЕОРЕМА

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство. Обозначим через и площади треугольников и с коэффициентом подобия . Так как , то

   

Из свойств подобных треугольников следует, что . Тогда

   

Что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Треугольники и подобны. Площадь треугольника равна 100 см, а площадь треугольника равна 25 см. Найти сторону , если см.
Решение	Найдем отношение площадей треугольников и     т.е. . Тогда из подобия треугольников следует
Ответ	см

ПРИМЕР 2

Задание	Треугольники и подобны с коэффициентом подобия . Найти площадь треугольника , если см.
Решение	Найдем площадь треугольника по формуле     Поскольку треугольники и подобные, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, т.е.     откуда см
Ответ	см

Читайте также:

Свойства подобных треугольников

Отношение периметров подобных треугольников

Радиус вписанной окружности треугольника

Гипотенуза прямоугольного треугольника

ru.solverbook.com

Подобные треугольники. Отношение периметров подобных треугольников. Коэффициент подобия

Подобные треугольники

Что такое подобные треугольники?

Подобные треугольники определение

Подобные треугольники определение:

Подобные треугольники имеют соответственно равные углы, а сходственные стороны треугольников пропорциональны.

На рисунке изображены два подобных треугольника, у них углы соответственно равны, т.е. угол A равен углу A₁, угол B равен углу B₁, угол C равен углу C₁.

Сходственные стороны треугольников

Сходственные стороны треугольников пропорциональны:

AB /A₁B₁ = BC /B₁C₁ = AC /A₁C₁ = k

здесь k называется коэффициентом подобия.

Отношение площадей подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

S_ABC / S_A1

_B1C1 = k²

Отношение периметров подобных треугольников

Отношение периметров подобных треугольников:

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Докажем это утверждение. Пусть имеются два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁. По определению подобных треугольников их сходственные стороны пропорциональны:

AB = k * A₁B₁
BC = k * B₁C₁
AC = k * A₁C₁

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его трёх сторон:

AB + BC + AC =
k * (A₁B₁ + B₁C₁ + A₁C₁)

Сумма в скобках в правой части равенства представляет собой периметр треугольника A₁B₁C₁. Разделим обе части равенства на периметр A₁B₁ + B₁C₁ + A

1C₁. Получаем:

AB + BC + AC / (A₁B₁ + B₁C₁ + A₁C₁) = k

что и требовалось доказать. Итак, отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Для установления факта подобия двух треугольников используют признаки подобия треугольников:

www.sbp-program.ru

Подобные треугольники | Треугольники

Два треугольника подобны, если об этом сказано в условии либо если это можно доказать по одному из признаков подобия треугольников.

Определение

Подобные треугольники — это треугольники, у которых углы равны, а стороны пропорциональны.

(или:

Два треугольника подобны, если между их точками можно установить взаимно-однозначное соответствие, при котором отношение расстояний между любыми парами соответствующих точек равно одной и той же постоянной k, k — коэффициент подобия

).

Как и в случае равных треугольников, важно правильно называть подобные треугольники: равные углы должны находиться на соответствующих позициях.

   

   

Определение подобных треугольников предполагает выполнение шести пар равенств (равенство трёх пар углов и пропорциональность трёх пар сторон). Признаки подобия позволяют сократить число равенств до 2-3 (для прямоугольных треугольников — до 1-2).

Свойства подобных треугольников

1) Периметры подобных треугольников относятся как их соответствующие стороны:

   

2) Соответствующие линейные элементы подобных треугольников (медианы, высоты, биссектрисы и т.д.) относятся как их соответствующие стороны.

3) Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров:

   

www.treugolniki.ru

8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников. — Отношение площадей подобных треугольников.

Комментарии преподавателя

От­но­ше­ние пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков

Нач­нем с того, что вве­дем опре­де­ле­ние по­доб­ных тре­уголь­ни­ков.

Опре­де­ле­ние. Два тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми, ес­ли­их углы по­пар­но равны, а сто­ро­ны, ле­жа­щие на­про­тив со­от­вет­ствен­ных углов, про­пор­ци­о­наль­ны (см. Рис. 1).

. От­но­ше­ние длин сто­рон тре­уголь­ни­ков на­зы­ва­ют ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия ().

Рис. 1

За­ме­ча­ние. Про­пор­ци­о­наль­ные сто­ро­ны по­доб­ных тре­уголь­ни­ков на­зы­ва­ют еще сход­ствен­ны­ми сто­ро­на­ми.

Важно по­ни­мать, что в по­доб­ных тре­уголь­ни­ках про­пор­ци­о­наль­ны не толь­ко сто­ро­ны, но и дру­гие со­от­вет­ствен­ные ли­ней­ные эле­мен­ты: вы­со­ты, ме­ди­а­ны, бис­сек­три­сы, про­ве­ден­ные к со­от­вет­ствен­ным сто­ро­нам, пе­ри­мет­ры и т.п. Т.е. все эти ве­ли­чи­ны от­но­сят­ся, как ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия. Во­прос за­клю­ча­ет­ся в том, верно ли ана­ло­гич­ное утвер­жде­ние и для пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков. Для того чтобы от­ве­тить на этот во­прос, сфор­му­ли­ру­ем тео­ре­му.

Тео­ре­ма 1. От­но­ше­ние пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков равно квад­ра­ту ко­эф­фи­ци­ен­та их по­до­бия.

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим по­доб­ные тре­уголь­ни­ки  на Рис. 2.

Рис. 2

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков по опре­де­ле­нию сле­ду­ет, что .Вос­поль­зу­ем­ся сле­ду­ю­щей тео­ре­мой, ко­то­рую мы сфор­му­ли­ро­ва­ли в преды­ду­щей теме «Пло­щадь»: если у двух тре­уголь­ни­ков равны углы (), то их пло­ща­ди от­но­сят­ся, как про­из­ве­де­ние сто­рон, за­клю­ча­ю­щих дан­ные углы. За­пи­шем этот факт в виде фор­му­лы:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но.

За­ме­ча­ние. Воз­мож­но до­ка­за­тель­ство этой тео­ре­мы не един­ствен­ным ука­зан­ным спо­со­бом, а и с ис­поль­зо­ва­ни­ем раз­лич­ных фор­мул для вы­чис­ле­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка, но мы их ука­зы­вать не будем.

Рас­смот­рим ряд при­ме­ров, в ко­то­рых при­ме­ня­ет­ся рас­смот­рен­ная тео­ре­ма.

При­мер 1. Если два тре­уголь­ни­ка по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия , то чему равно от­но­ше­ние пло­ща­дей этих тре­уголь­ни­ков.

Ре­ше­ние. За­да­ча уст­ная и не тре­бу­ет вы­пол­не­ния чер­те­жа. Вос­поль­зу­ем­ся изу­чен­ной тео­ре­мой: .

Ответ. 2.

При­мер 2. Тре­уголь­ни­ки  по­доб­ны. Пло­щадь  равна , пло­щадь  равна . Сто­ро­на  равна 18 см, найти сход­ствен­ную ей сто­ро­ну .

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся для удоб­ства го­то­вым Рис. 2. По­сколь­ку от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков: , то по тео­ре­ме .

Тогда из по­до­бия тре­уголь­ни­ков: .

Ответ. 9 см.

При­мер 3. Дан тре­уголь­ник , пло­щадь ко­то­ро­го равна  и в нем про­ве­де­на сред­няя линия  па­рал­лель­но . Необ­хо­ди­мо найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка, ко­то­рый от­се­ка­ет сред­няя линия от тре­уголь­ни­ка .

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим Рис. 3.

Рис. 3

Из ри­сун­ка видно, что в усло­вии тре­бу­ет­ся найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка . Тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны, т.к. равны их углы ( общий, ,  как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых и се­ку­щей) и сход­ствен­ные сто­ро­ны про­пор­ци­о­наль­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том про­пор­ци­о­наль­но­сти  ( и  – се­ре­ди­ны со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон, а  по тео­ре­ме о сред­ней линии).

www.kursoteka.ru

Определение подобных треугольников

Пропорциональные отрезки

Для введения понятия подобия вначале нам необходимо вспомнить понятие пропорциональных отрезков. Вспомним также определение отношения двух отрезков.

Определение 1

Отношением двух отрезков называется отношение их длин.

Понятие пропорциональности отрезков имеет место и для большего числа отрезков. Пусть, к примеру, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, тогда

То есть отрезки $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ пропорциональны отрезкам $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Подобные треугольники

Вспомним для начала, что вообще представляет себе понятие подобия.

Определение 3

Фигуры называются подобными, если они имеет одинаковую форму, но разные размеры.

Разберемся теперь с понятием подобных треугольников. Рассмотрим рисунок 1.

Рисунок 1. Два треугольника

Пусть у этих треугольников $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Введем следующее определение:

Определение 4

Стороны двух треугольников называются сходственными, если они лежат напротив равных углов этих треугольников.

На рисунке 1, стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$ сходственные. Введем теперь определение подобных треугольников.

Определение 5

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны, то есть

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\]

На рисунке 1 изображены подобные треугольники.

Обозначение: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Для понятия подобия существует также понятие коэффициента подобия.

Определение 6

Число $k$, равное отношению сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия этих фигур.

Площади подобных треугольников

Рассмотрим теперь теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Теорема 1

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\]

Доказательство.

Рассмотрим два подобных треугольника и обозначим их площади, соответственно $S$ и $S_1$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Для доказательства этой теоремы вспомним следующую теорему:

Теорема 2

Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то, по определению,$\angle A=\angle A_1$. Тогда, по теореме 2, получим, что

Так как $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$, получим

Теорема доказана.

Задачи, связанные с понятием подобия треугольника

Пример 1

Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Стороны первого треугольника $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Коэффициент подобия данных треугольников $k=2$. Найти стороны второго треугольника.

Решение.

Данная задача имеет два возможных решения.

1. Пусть $k=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{{B_1C}_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}$.

   Тогда $A_1B_1=kAB,\ {B_1C}_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

   Следовательно, $A_1B_1=4,\ {B_1C}_1=10,\ A_1C_1=12$

2. Пусть $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$

   Тогда $A_1B_1=\frac{AB}{k},\ {B_1C}_1=\frac{BC}{k},\ A_1C_1=\frac{AC}{k}$.

   Следовательно, $A_1B_1=1,\ {B_1C}_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.

Пример 2

Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Сторона первого треугольника $AB=2$, соответствующая сторона второго треугольника $A_1B_1=6$. Высота первого треугольника $CH=4$. Найти площадь второго треугольника.

Решение.

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1}{3}$.

Найдем площадь первого треугольника.

\[S=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4\]

По теореме 1, имеем:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\] \[\frac{4}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{1}{9}\] \[S_{A_1B_1C_1}=36\]

Ответ: $36$.

spravochnick.ru