Задачи с прямоугольниками, вписанными в треугольники — КиберПедия
Пример 5. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.
Решение. Изобразим Рис. 8. Ясно, что можно построить множество различных прямоугольников, вписанных в прямоугольный треугольник, но выясняется, что их периметры будут одинаковы, покажем это и найдем искомый периметр.
Рис. 8
По условию равнобедренный .
Искомый периметр прямоугольника: .
Рассмотрим прямоугольный : .
Тогда периметр прямоугольника : .
Ответ: 12 см.
Пример 6. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Чему равны стороны и периметр прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?
Решение. Изобразим Рис. 9 и укажем на нем все элементы, которые мы введем в процессе решения задачи.
Рис. 9
По условию равнобедренный и прямоугольный .
Указано, что вписанный прямоугольник имеет заданные пропорции, поэтому его стороны можно ввести, как определенное количество неизвестных нам частей : .
Рассмотрим треугольники и – они прямоугольные и имеют по одному углу , следовательно, второй угол у них тоже по (см. решение предыдущей задачи), т.е. они равнобедренные, и .
Теперь можем выписать длину гипотенузы как сумму длин отрезков, на которые она разбита вписанным прямоугольником (через те части , которые мы ввели): .
Теперь можем посчитать длины сторон прямоугольника и его периметр: .
Ответ: стороны равны .
Сегодня мы рассмотрели прямоугольник, его свойства, признаки и задачи на прямоугольник. На следующем уроке мы познакомимся с такими частными случаями параллелограмма, как ромб и квадрат.
Домашнее задание
1. В прямоугольнике диагональ образует со стороной угол, равный . Определить угол между диагоналями, обращенный к меньшей стороне.
2. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр этого прямоугольника равен 56 см. Определить его стороны.
3. Построить прямоугольник по основанию, равному 2,4 см, и диагонали, равной 3,1 см.
Урок 11: Ромб и квадрат.
На этом уроке пришло время познакомиться с ещё двумя видами параллелограмма: ромбом и квадратом. С этими фигурами каждый из нас знаком с самого детства, однако мало кто ассоциирует их с параллелограммом. А их свойства многие из нас применяли на практике, не зная даже, на чём они основаны. Мы рассмотрим определения и свойства параллелограмма и квадрата, а также решим несколько задач с использованием указанных свойств.
Ромб и его свойства
Ромб – это частный случай параллелограмма, поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма. Однако есть и специфические свойства, о которых пойдёт речь. Но для начала сформулируем одно из определений ромба.
Ромб –это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Сформулируем и докажем теорему о свойствах ромба.
Теорема
Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам (являются биссектрисами углов) (см. Рис. 1).
Дано:
– ромб
Доказать:
.
Доказательство:
Рис. 1
Рассмотрим : – середина (так как ромб является параллелограммом, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам). Кроме того, из определения ромба следует, что . Значит, треугольник – равнобедренный; является медианой этого треугольника, проведённой к основанию, а, значит, и биссектрисой, и высотой. Из этого следует, что:
, то есть диагонали ромба перпендикулярны;
, то есть диагонали ромба являются биссектрисами его углов (равенство остальных углов можно доказать аналогично).
Доказано.
Ещё один частный случай параллелограмма – квадрат.
Квадрат и его свойства
Квадрат –это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. А именно:
· все углы квадрата прямые;
· диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делят углы квадрата пополам.
Задачи на ромб и квадрат
Теперь рассмотрим несколько задач, в которых встречаются ромб и квадрат.
Задача 1.
В ромбе одна из диагоналей равна стороне (см. Рис. 2). Найти:
а) углы ромба;
б) углы между диагоналями и сторонами.
Дано: – ромб; .
Найти: а) ; б) .
Решение:
Рис. 2
а) (так как у ромба все стороны равны). Значит, треугольник – равносторонний. Отсюда следует, что угол . Так как в любом параллелограмме сумма соседних углов равна , то .
Ответ: .
б) По доказанной выше теореме: . Аналогично получаем, что .
Ответ: .
Задача 2.
Найти периметр ромба , в котором , а меньшая диагональ равна . Найти периметр ромба.
Дано: – ромб; .
Найти:
Решение:
Рис. 3
Рассмотрим треугольник , в нём: . Значит, данный треугольник равнобедренный, угол при вершине у него равен , два других угла при основании равны, поэтому данный треугольник – равносторонний. Значит: . Так как в ромбе все стороны равны, то периметр ромба равен: .
Ответ: .
Задача 3.
Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен .
Дано: – ромб, .
Найти:
Решение:
Рис. 4
Вспомним, что в любом параллелограмме противоположные углы, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна . Из этого следует, что: . Теперь воспользуемся доказанной вначале теоремой: .
Ответ:
Задача 4.
Докажите, что параллелограмм является ромбом, если:
а) его диагонали взаимно перпендикулярны;
б) его диагонали являются биссектрисами углов.
а) Дано: – параллелограмм, .
Доказать: – ромб.
Доказательство:
Рис. 5
Рассмотрим треугольник : в нем является одновременно и высотой (так как диагонали перпендикулярны), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит, – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть – ромб.
Доказано.
б) Дано: – параллелограмм, – биссектрисы углов параллелограмма.
Доказать: – ромб.
Доказательство:
Рис. 6
Рассмотрим треугольник : в нем является одновременно и биссектрисой (так как диагонали являются биссектрисами углов), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит, – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть, – ромб.
Доказано.
Задача 5.
Докажите, что ромб, у которого один из углов прямой, является квадратом.
Дано: – ромб,
Доказать: – квадрат.
Доказательство:
Рис. 7
Вспомним, что квадрат – это одновременно прямоугольник и ромб. Если говорить о сформулированном строгом определении, то квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Равенство сторон следует из того, что данный четырёхугольник – ромб. Осталось доказать, что он является ещё и прямоугольником. По условию: (у любого параллелограмма противоположные углы равны). Кроме того, сумма соседних углов параллелограмма равна . Значит: . Отсюда мы получаем, что – прямоугольник, а значит, и квадрат.
Доказано.
На этом уроке мы изучили ромб и квадрат, а также рассмотрели их свойства и решили различные задачи, в которых встречаются ромб и квадрат.
На следующем уроке мы обобщим полученные знания о параллелограммах.
Домашнее задание
1. Найти углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна .
2. Найти углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как .
3. Доказать, что прямоугольник, у которого диагонали перпендикулярны, – квадрат.
Урок 12: Повторение теории и решение задач
На этом уроке мы повторим и обобщим все полученные знания при изучении главы «Четырехугольники. Параллелограммы». Вспомним определения, свойства и признаки таких фигур, как параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Решим несколько примеров, которые демонстрируют применение всех изученных фактов к указанным фигурам.
cyberpedia.su
Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства
найди площадь и периметр закрашенной фигуры нарисован прямоугольник как сапог длина 8 дм потом вниз ширина 2 дм затем длина 7 дм, затем ширина 4 дм. Ответ №1: 2*8+7*4=44 -это площадь. 2*2+8*2+7*2+4*2=42 -это периметр. Ответ №2: 2*8+7*4=44(дм ) — площадь. 2*(2+8+7+4).
Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.
Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
Где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите.
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен. Тогда гипотенуза равна.
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что. Поскольку, получаем, что. Тогда.
В ответ запишем.
. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Получаем, что. Угол — тупой. Значит, он равен.
. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны, основание равно. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем. Тогда.
Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания.
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!
Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика. Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.
Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства
Окружность описанная около прямоугольного треугольника
Окружность описанная около прямоугольного треугольника. В этой публикации мы с вами рассмотрим доказательство одного «математического факта», который широко используется при решении задач по геометрии. В одних источниках сей факт обозначается как теорема, в других как свойство, формулировки имеются разные, но суть их одна:
Любой треугольник построенный на диаметре окружности, третья вершина которого лежит на этой окружности является прямоугольным!
То есть закономерность в этом геометрическом узоре состоит в том, что, куда бы вы ни поместили вершину треугольника, угол при этой вершине всегда будет прямым:
Заданий присутствующих с составе экзамена по математике, в ходе решений которых используется это свойство, достаточно много.
Стандартное доказательство считаю весьма путанным и перегруженным математическими символами, его вы найдёте в учебнике. Мы же рассмотрим простое и интуитивно понятное. Его я обнаружил в одном замечательном эссе под названием » Плач математика «, рекомендую к прочтению учителям и ученикам.
Сначала вспомним некоторые теоретические моменты:
Признак параллелограмма. У параллелограмма противолежащие стороны равны. Т
poiskvstavropole.ru
Вписанный и описанный треугольник — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.
Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
,
где — полупериметр,
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .
В ответ запишем .
Ответ: .
. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .
Ответ: .
. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .
Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
ege-study.ru
Окружность описанная около прямоугольного треугольника
Окружность описанная около прямоугольного треугольника. В этой публикации мы с вами рассмотрим доказательство одного «математического факта», который широко используется при решении задач по геометрии. В одних источниках сей факт обозначается как теорема, в других как свойство, формулировки имеются разные, но суть их одна:
Любой треугольник построенный на диаметре окружности, третья вершина которого лежит на этой окружности является прямоугольным!
То есть закономерность в этом геометрическом узоре состоит в том, что, куда бы вы ни поместили вершину треугольника, угол при этой вершине всегда будет прямым:
Заданий присутствующих с составе экзамена по математике, в ходе решений которых используется это свойство, достаточно много.
Стандартное доказательство считаю весьма путанным и перегруженным математическими символами, его вы найдёте в учебнике. Мы же рассмотрим простое и интуитивно понятное. Его я обнаружил в одном замечательном эссе под названием «Плач математика», рекомендую к прочтению учителям и ученикам.
Сначала вспомним некоторые теоретические моменты:
Признак параллелограмма. У параллелограмма противолежащие стороны равны. То есть если у четырехугольника обе пары противолежащих сторон равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Признак прямоугольника. Прямоугольник является параллелограммом, и его диагонали равны. То есть если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
*Прямоугольник является параллелограммом, это его частный случай.
Итак, приступим:
Возьмем треугольник и относительно центра окружности повернем его на 1800 (перевернём его). У нас получится четырехугольник, вписанный в окружность:
Поскольку мы просто повернули треугольник, то противолежащие стороны четырехугольника равны, значит это параллелограмм. Поскольку треугольник повернут ровно на 180 градусов, значит его вершина диаметрально противоположна вершине «исходного» треугольника.
Получается, что диагонали четырёхугольника равны, так они являются диаметрами. Имеем четырёхугольник у которого противолежащие стороны равны и диагонали равны, следовательно это есть прямоугольник, а у него все углы прямые.
Вот и всё доказательство!
Можно рассмотреть и такое, тоже простое и понятное:
Посмотреть ещё одно доказательство =>>
Из точки С построим отрезок проходящий через центр окружности, другой конец которого будет лежать на противоположной точке окружности (точка D). Точку D соединим с вершинами А и В:
Получили четырёхугольник. Треугольник АОD равен треугольнику СОВ по двум сторонам и углу между ними:
Из равенства треугольников следует, что AD = CB.
Аналогично и АС = DB.
Можем сделать вывод, что четырёхугольник является параллелограммом. Кроме того, его диагонали равны – АВ изначально дан как диаметр, СD также диаметр (проходит через точку О).
Таким образом, АСВD прямоугольник, значит все его углы прямые. Доказано!
Ещё один примечательный подход, который ярко и «красиво» говорит нам о том, что рассматриваемый угол всегда прямой.
Посмотрите и вспомните информацию про вписанный угол. А теперь посмотрите на эскиз:
Угол АОВ не что иное как центральный угол опирающийся на дугу АDB, и равен он 180 градусам. Да, АВ это диаметр окружности, но ничто нам не мешает считать АОВ центральным углом (это развёрнутый угол). Угол же АСВ является вписанным для него, он опирается также же дугу на АDB.
А мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то есть как бы мы не разместили точку С на окружности, угол АСВ всегда будет равен 90 градусам, то является прямым.
Какие выводы можно сделать применительно к решению задач, в частности включённых в экзамен?
Если в условии речь идёт о треугольнике вписанном в окружность и построенном на диаметре этой окружности, то однозначно этот треугольник является прямоугольным.
Если сказано, что прямоугольный треугольник вписан в окружность, то это означает, что его гипотенуза является совпадает с её диаметром (равна ему) и центр гипотенузы совпадает с центром окружности.
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
*Делитесь информацией в социальных сетях.
matematikalegko.ru
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.
Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле
где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.
Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.
Задача 1.
Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.
Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,
окружность (O, r) — вписанная,
K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,
BM=4 см, AM=6 см.
Найти:
Решение:
1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,
AK=AM=6 см,
BF=BM=4 см,
CK=CF=x см.
2) AB=AM+BM=6+4=10 см,
AC=AK+CK=(6+x) см,
BC=BF+CF=(4+x) см.
3) По теореме Пифагора:
По теореме Виета,
Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.
4)
Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.
Задача 2.
Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.
Дано:∆ ABC, ∠C=90º,
окружность (O, r) — вписанная,
K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,
AB=26 см, r=4 см.
Найти:
Решение:
1) Проведем отрезки OK и OF.
(как радиусы, проведенные в точки касания).
Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).
А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.
2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,
AM=AK=x см,
BF=BM=(26-x) см,
CF=CK=r=4 см.
3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.
По теореме Пифагора,
Если AM=20 см, то AC=24 см, BC=10 см.
Если AM=6 см, то AC=10 см, BC=24 см.
Ответ: 120 см².
www.uznateshe.ru
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Планиметрия
Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Напомним определение биссектрисы угла.
Определение 1. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.
Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).
Рис. 1
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на биссектрисе угла BAC, и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
DF = DE,
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).
Рис. 2
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
что и требовалось доказать.
Определение 2. Окружность называют окружностью, вписанной в угол, если она касается касается сторон этого угла.
Теорема 3. Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.
Доказательство. Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC, а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).
Рис.3
Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности), а гипотенуза AD – общая. Следовательно
AF = AE,
что и требовалось доказать.
Замечание. Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Напомним определение биссектрисы треугольника.
Определение 3. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
Теорема 4. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).
Рис. 4
Опустим из точки O перпендикуляры OD, OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
OD = OE,
Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
OD = OF,
Следовательно, справедливо равенство:
OE = OF,
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC. Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать
Определение 4. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.
Рис. 5
Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.
| Фигура | Рисунок | Формула | Обозначения |
| Произвольный треугольник | Посмотреть вывод формулы | a, b, c – стороны треугольника, . | |
Посмотреть вывод формулы | |||
| Равнобедренный треугольник | Посмотреть вывод формулы | a – боковая сторона равнобедренного треугольника, | |
| Равносторонний треугольник | Посмотреть вывод формулы | a – сторона равностороннего треугольника, | |
| Прямоугольный треугольник | Посмотреть вывод формул | a, b – катеты прямоугольного треугольника, |
| Произвольный треугольник | |
где Посмотреть вывод формулы | |
где Посмотреть вывод формулы | |
| Равнобедренный треугольник | |
где Посмотреть вывод формулы | |
| Равносторонний треугольник | |
где Посмотреть вывод формулы | |
| Прямоугольный треугольник | |
где Посмотреть вывод формул | |
| Произвольный треугольник |
где Посмотреть вывод формулы |
где Посмотреть вывод формулы |
| Равнобедренный треугольник |
где Посмотреть вывод формулы |
| Равносторонний треугольник |
где Посмотреть вывод формулы |
| Прямоугольный треугольник |
где Посмотреть вывод формулы |
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство
где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).
Рис. 6
Доказательство. Из формулы
с помощью формулы Герона получаем:
что и требовалось.
Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство
где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).
Рис. 7
Доказательство. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула
где
то, в случае равнобедренного треугольника, когда
получаем
что и требовалось.
Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство
где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).
Рис. 8
Доказательство. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула
то, в случае равностороннего треугольника, когда
b = a,
получаем
что и требовалось.
Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.
Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство
где a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.
Рис. 9
Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольникомпрямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадратквадрат. Следовательно,
СD = СF= r,
В силу теоремы 3 справедливы равенства
Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем
что и требовалось.
Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru