Числовые множества N,Z,Q,R
Текст 1. Числовые множества
N = {1; 2; 3; …; n; …} – множество всех натуральных чисел.
Z = {… — 3; — 2; — 1; 0; 1; 2; 3; …} – множество всех целых чисел. Q = { (m∈Z, n∈ N)} – множество всех рациональных чисел.
R – множество всех действительных чисел.
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Задание 1. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте текст 1.
2) Читайте текст. 3) Пишите текст. 4) Выучите текст.
Задание 2. 1)Смотрите, слушайте и повторяйте:
1 – натуральное число.
1, 2, 3, … , n, … – натуральные числа.
N= {1; 2; 3; …; n; …} – множество всех натуральных чисел.
1∈ N, 2∈N, 0∉N, – 2 ∉ N.
2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы:
а) Какой буквой обозначают множество всех натуральных чисел?
б) Какое множество обозначают буквой N? в) Какое самое маленькое натуральное число? г) Какое самое большое натуральное число? д) Сумма двух натуральных чисел – натуральное число? е) Разность двух натуральных чисел – тоже натуральное число?
Задание 3. 1)Смотрите, слушайте и повторяйте:
-2 – целое число.
2; 0; 2 – целые числа.
Z = {… — 3; — 2; — 1; 0; 1; 2; 3; …} – множество всех целых чисел.
1∈ Z, — 1∈Z, 0∈Z, ½∉Z.
2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех целых чисел? б) Какое множество обозначают буквой Z? в) Разность двух целых чисел – целое число? г) Частное двух целых чисел – тоже целое число?
Задание 4. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте:
½ рациональное число.
3½; ⅔; 1,215; 0; — 7 рациональные числа.
Числа вида (m∈Z, n∈N) это рациональные числа. Рациональные числа можно записать в виде (m∈ Z, n∈N). Q = { (m∈Z, n∈N)} – множество всех рациональных чисел.
-1⅔∈Q; 6,723∈Q; 5∈Q; 3 (корень из трёх)∉Q.
2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех рациональных чисел? б) Какое множество обозначают буквой Q? в) Какие числа называют рациональными? г) Почему числа -1⅔; 6,723; 5 – рациональные?
Задание 5. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте:
Если число нельзя записать в виде (m∈Z, n∈N), то это
иррациональное число. 3 = 1, 73205…; — 2 = — 1,41421…;
е = 2,71828…; π (пи) = 3,14159…– иррациональные числа.
Иррациональные числа – бесконечные непериодические
десятичные дроби.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество всех действительных чисел R.
2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех действительных чисел? б) Какое множество обозначают буквой R? в) Какие числа образуют
множество R? г) Какие из следующих чисел действительные: 0; 5⅜;
-9,02; — ; − ; е; 10; 12,5?
Задание 6. Рассмотрите схему и опишите её:
√3
-√2
π
Задание 7. Поставьте знак Ѓ или ∉:
-2 … Z 4 16 … Z π …R – … R
0 … N 3 …Q – … Q 0,175 … Q
100 … N 5,5 …Q − …R е … R
Задание 8. Выпишите: 1) рациональные числа; 2) иррациональные числа:
25 ; 17 ;
3
; 0; – 6; — 2 ; 3,6; 0,6666… ; 0,313131… ;
7
0,272272227… ; 5 .
Задание 9. Выполните действия:
1) N ∩ Z; 2) N U Z; 3) Q ∩ Z; 4) Z U Q; 5) N U R; 6)R∩N;
7) N ∩ Q; 8) R∩ Q; 9) Q U R; 10) Z ∩ Q.
Задание 10. Ответьте на вопросы:
1) Чему равно пересечение множеств рациональных и иррациональных чисел?
2) Чему равно объединение множеств рациональных и иррациональных чисел?
Задание 11. Назовите несколько элементов множества:
1) натуральных чисел; 2) положительных чисел; 3) отрицательных
чисел; 4) целых чисел; 5) рациональных чисел; 6) иррациональных чисел; 7) действительных чисел; 8) недействительных чисел.
Задание 12. Скажите, верны или нет следующие утверждения.
Приведите примеры.
1) Целые числа состоят из натуральных чисел, нуля и чисел,
противоположных натуральным. 2) Рациональные числа состоят из
p
целых чисел и дробей вида
, где р – целое, q – натуральное. q
3) Рациональные числа – это бесконечные периодические десятичные дроби. 4) Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби. 5) Действительные числа – это бесконечные десятичные дроби. 6) Квадратный корень из рационального числа всегда иррациональное число.
Слова и словосочетания:
натуральное число действительное число целое число периодическая дробь рациональное число десятичная дробь иррациональное число
Материал взят из книги Начальный курс по математике для студентов-иностранцев подготовительных факультетов (Т.А. Полевая)
studik.net
Целые числа. Определение целого числа
Латинской буквой \mathbb{Z} обозначается множество целых чисел.
К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)
Латинской буквой \mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел.
К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).
Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … .
Арифметические действия с целыми числами
Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.
Сложение целых чисел
Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:
(+11) + (+9) = +20
Вычитание целых чисел
Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:
(-7) + (+8) = +1
Умножение целых чисел
Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+», если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «−», если исходные числа были с разными знаками:
(-5) \cdot (+3) = -15
(-3) \cdot (-4) = +12
Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел:
+ \cdot + = +
+ \cdot — = —
— \cdot + = —
— \cdot — = +
Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:
Знак произведения будет «+», если количество множителей с отрицательным знаком четное и «−», если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.
(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120
Деление целых чисел
Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+», а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «−».
(-25) : (+5) = -5
Свойства сложения и умножения целых чисел
Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a, b и c:
- a + b = b + a – переместительное свойство сложения;
- (a + b) + c = a + (b + c) – сочетательное свойство сложения;
- a \cdot b = b \cdot a – переместительное свойство умножения;
- (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) – сочетательное свойства умножения;
- a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c – распределительное свойство умножения.
academyege.ru
Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные, комплексные
Тестирование онлайн
Округление чисел
Натуральные числа
Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3… и т.д.
Ноль не является натуральным.
Натуральные числа принято обозначать символом N.
Целые числа. Положительные и отрицательные числа
Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными, например, +1 и -1, +5 и -5. Знак «+» обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит «+». Такие числа называются положительными. Числа, перед которыми стоит знак «-«, называются отрицательными.
Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.
Рациональные числа
Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби . Например,
Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.
Иррациональные числа
Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:
Множество иррациональных чисел обозначается J.
Действительные числа
Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.
Действительные числа обозначаются символом R.
Округление чисел
Рассмотрим число 8,759123… . Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой. Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых — после запятой две цифры; до тысячных — три цифры и т.д.
Округлить 8,759123… с точностью до целой части.
Округлить 8,759123… с точностью до десятой части.
Округлить 8,759123… с точностью до сотой части.
Округлить 8,759123… с точностью до тысячной части.
fizmat.by
Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел
Возьмем какое-нибудь натуральное число, например, 11. Противоположное ему будет число -11. На координатной прямой, оно находится на том же расстоянии от начала отсчета, что и число 11, только 11 находится справа, а -11 — слева. Числа 11 и -11 называются противоположными. Противоположные числа – это числа, отличающиеся только знаком. Понятно, что 0 = -0. Поэтому, число 0 противоположно самому себе.
Целые числа – это натуральные числа, противоположные им числа и 0.
Примеры целых чисел: -8, 111, 0, 1285642, -20051 и т. д.
Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде дроби , где m и n – целые числа, n ? 0. Пример: ; ; ; 1,01; 12 и т.д. Все целые числа являются рациональными.
Действительно, любое целое число n можно представить в виде дроби . Например, целое число
18 – это .
Две дроби считаются равными, если .
Пример: = , так как 3 • 2 = 6 • 1.
Очевидно, что дроби равны. На этом свойстве основано сокращение дробей. Для того чтобы сократить дробь, находим общий делитель числителя и знаменателя и на этот делитель делим числитель и знаменатель — полученная дробь будет равна исходной.
Пример: Сократить дробь .
Над рациональными числами операции сложения, умножения и деления определены следующим образом:
1. Операция сложения:.
Пример: .
2. Операция умножения: .
Пример: .
3. Операция деления:, то есть, делитель «переворачиваем»
Пример: .
При сравнении рациональных чисел применяют следующие правила:
1. Всякое положительное рациональное число всегда больше всякого отрицательного рационального числа.
2. Если два числа положительны, то число больше , если , для отрицательных — наоборот.
Пример: , так как 3 • 6 > 5 • 2.
studyport.ru
Знакомство с комплексными числами на примерах
Тема «Комплексные числа» зачастую вызывает затруднения у учащихся, а ведь на самом деле в них нет ничего страшного, как может показаться на первый взгляд.
Итак, сейчас мы разберем и рассмотрим на простых примерах, что такое комплексное число, как обозначается и из чего состоит. Выражение z = a + bi называется комплексным числом. Это единое число, а не сложение.
Пример 1: z = 6 + 4i
Из чего состоит комплексное число?
Комплексное число имеет действительную и мнимую часть в своем составе.
Число a называется действительной частью комплексного числа и обозначается a = Re (z). А вот то, что стоит вместе с буквой i — т.е. число b называется коэффициентом мнимой части комплексного числа и обозначается b = Im (z). Вместе bi образуют мнимую часть комплексного числа.
Нетрудно догадаться и легко запомнить, что сокращение «Re» происходит от слова «Real» — реальная, действительная часть. Соответственно, «Im» является сокращением слова «Imaginary» — мнимая, воображаемая часть.
Пример 2: z = 0,5 + 9i. Здесь действительная часть a = Re (z) = 0,5, а мнимая часть b = Im (z) = 9i
Пример 3: z = -5 + 19i. Здесь действительная часть
Чисто мнимое комплексное число
Комплексное число, в котором нет действительной части, т.е. Re (z) = 0, называется чисто мнимым.
Пример 4: z = 2i. Действительная часть отсутствует, a = Re (z) = 0, а мнимая часть b = Im (z) = 2.
Пример 5. z = -8i. Здесь мнимая часть b = Im (z) = -8, действительная часть a = Re (z) = 0.
Сопряженные комплексные числа
Комплексно-сопряженное число обозначается «зэт» с чертой и используется, к примеру, для нахождения частного двух комплексных чисел, проще говоря — для реализации деления чисел. Те, кто сейчас задумался, вам сюда — читать про деление комплексных чисел.
Числа называются комплексно-сопряженными, имеют одинаковые действительные части и различаются лишь знаком мнимых частей. Рассмотрим пример:
Пример 6. Комплексно сопряженным к числу z = 7 + 13i является число .
Мнимая единица комплексного числа
И наконец поговорим про букву i. Та самая буква, которая образует в комплексном числе мнимую составляющую. Даже если перед нами выражение z = 5, это просто значит, что мнимая часть данного числа равна нулю, а действительная равна пяти.
Величина i называется мнимой единицей.
Мнимая единица пригодится при решении квадратных уравнений в случае, когда дискриминант меньше нуля. Мы привыкли считать, что если он отрицательный, решения нет, корней нет. Это не совсем корректно. Корни существуют, просто они комплексные. Но об этом позже. А теперь, переходим к следующей статье по изучению комплексных чисел, узнаем же, как посчитать произведение комплексных чисел.
matematyka.ru
Целое число Википедия
Целые числа — расширение множества натуральных чисел[1], получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел[2]. Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью в общем случае вычесть из одного натурального числа другое — можно вычитать только меньшее число из большего. Введение нуля и отрицательных чисел делает вычитание такой же полноценной операцией, как сложение[3].
Вещественное число является целым, если его десятичное представление не содержит дробной части (но может содержать знак). Примеры вещественных чисел:
- Числа 142857; 0; −273 являются целыми.
- Числа 5½; 9,75 не являются целыми.
Множество целых чисел обозначается Z{\displaystyle \mathbb {Z} } (от нем. Zahlen — «числа»[4]). Изучением свойств целых чисел занимается раздел математики, называемый теорией чисел.
Положительные и отрицательные числа[ | ]
Согласно своему построению, множество целых чисел состоит из трёх частей:
- Натуральные числа (или, что то же самое, целые положительные). Они возникают естественным образом при счёте (1, 2, 3, 4, 5…)[5].
- Ноль — число, обозначаемое 0{\displaystyle 0}. Его определяющее свойство: 0+n=n+0=n{\displaystyle 0+n=n+0=n} для любого числа
ru-wiki.ru
Целое число — Википедия
Целые числа — расширение множества натуральных чисел , получаемое добавлением к нуля и отрицательных чисел[1] вида . Множество целых чисел обозначается Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью, в общем случае, вычесть из одного натурального числа другое — можно вычитать только меньшее число из большего.
Сумма, разность и произведение двух целых чисел дают снова целые числа, то есть целые числа образуют кольцо относительно операций сложения и умножения. Впервые отрицательные числа стали использовать в древнем Китае и в Индии, в Европе их ввели в математический обиход Николя Шюке (1484 год) и Михаэль Штифель (1544).
Алгебраические свойства[править]
не замкнуто относительно деления двух целых чисел (например, 1/2). Следующая таблица иллюстрирует несколько основных свойств сложения и умножения для любых целых a, b и c.
На языке общей алгебры первые пять вышеперечисленных свойств сложения говорят о том, что является абелевой группой относительно бинарной операции сложения, и, следовательно, также циклической группой, так как каждый ненулевой элемент может быть записан в виде конечной суммы 1 + 1 + … 1 или (−1) + (−1) + … + (−1). Фактически, является единственной бесконечной циклической группой по сложению в силу того, что любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе .
Первые четыре свойства умножения говорят о том, что — коммутативный моноид по умножению. Однако стоит заметить, что не каждое целое имеет противоположное по умножению, например, нет такого x из , что 2x = 1, так как левая часть уравнения чётна, а правая нечётна. Из этого следует, что не является группой по умножению, а также не является полем. Наименьшее поле, содержащее целые числа, — множество рациональных чисел ().
Совокупность всех свойств таблицы означает, что является коммутативным кольцом с единицей относительно сложения и умножения.
Обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком: для любых целых a и b, , существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + r и , где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b. Здесь a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток. На этой операции основан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.
Теоретико-множественные свойства[править]
— линейно упорядоченное множество без верхней и нижней границ. Порядок в нём задаётся соотношениями:
- … < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < …
Целое число называется положительным, если оно больше нуля, отрицательным, если меньше нуля. Нуль не является положительным или отрицательным.
Для целых чисел справедливы следующие соотношения:
- если a < b и c < d, тогда a + c < b + d.
- если a < b и 0 < c, тогда ac < bc. (Отсюда легко показать, что если c < 0, то ac > bc.)
Целые числа в вычислительной технике[править]
Тип целое число — зачастую один из основных типов данных в языках программирования. Тем не менее эти «целые числа» — лишь имитация класса в математике, так как это множество бесконечно и всегда найдётся целое число, которое данный компьютер не сможет хранить в своей памяти. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор битов, но любые представления в конце концов приведут к тому, что свободное место на носителе (жёстком диске) закончится. С другой стороны, теоретические модели цифровых компьютеров имеют потенциально бесконечное (но счётное) пространство.
Приведение к целому числу[править]
Операция приведения числа к целому числу в математике обозначается — наибольшее целое число, не превосходящее
Примеры.
Округление числа до целого обозначается
Примеры.
Нахождение дробной части числа обозначается
Примеры.
www.wiki-wiki.ru