Как найти детерминант матрицы 3 на 3 – Определитель матрицы 3 на 3. Калькулятор

alexxlab / / Школьная жизнь

Содержание

Определитель матрицы 3 на 3. Калькулятор

Найти определитель матрицы 3*3 можно быстро по правилу треугольника

Определители обозначают следующими знаками

Примеры вычисления определителей

Пример 1. Найти определитель матрицы

Решение: Применяем правило треугольника для нахождения определителя

Определитель равен 11.
Приведенная схема пригодиться Вам для вычисления определителя матрицы 3 * 3. Все что Вам нужно — подставить свои значения.

 

Пример 2. Вычислить определитель матрицы

Решение: В целях научить Вас чему-то новому, найдем определитель матрицы по правилу Саррюса.

Схема вычислений приведена выше поэтому копировать ее не будем, а лишь распишем в деталях. Для этого дописываем к стандартному определителю два первых столбца и выполняем следующие расчеты.


В результате вычислений определитель равен нулю.


Пример 3. Найти определитель матрицы 3*3
 Решение: Применяем правило треугольника для нахождения определителя

Определитель равен -161.

Пример 4. Вычислить определитель матрицы

Решение: Находим определитель матрицы 3*3 по правилу треугольников

 

Пример 5. Найти определитель матрицы

Решение: Матрица имеет несколько нулевых элементов. Такие матрицы называют разреженными. Для уменьшения количества операций вычислим определитель через алгебраические дополнения ко второму строки или столбца.


Проще уже не может быть.

 

Пример 6. Доказать что определитель матрицы А равен 3

Решение: Матрица содержит два нулевых элементы, поэтому можем найти определитель через алгебраические дополнения. Разложим определитель по элементам первого столбца.


Определитель равен 3 что и требовалось доказать.

 

Пример 7. Найти определитель матрицы
Решение:По предварительной схеме определитель матрицы вычисляем через алгебраические дополнения первой строки или третьего столбца. выполняем вычисления

Определитель равен 39.


Пример 8. При каких значениях параметра а определитель матрицы равен нулю

Решение: По правилу треугольников находим определитель

По условию приравниваем определитель к нулю и находим параметр


Параметры при которых определитель обращается в нуль уровне a=-3;a=3.

Пример 9. Найти определитель матрицы

Решение: Найдем определитель матрицы по правилу треугольников и через алгебраические дополнения. По первой схеме получим

Теперь разложим с помощью алгебраических дополнений, например, третьим столбцом. Он удобен тем, что содержит самые элементы матрицы. Находим определитель
Сравнением количества расчетов убеждаемся, что в таких случаях целесообразнее использовать правило треугольников. Вычисления проще и меньше вероятность сделать ошибку.

Для разреженных матриц или большего порядка блочных стоит применять расписание определителя по строке или столбцу.
И напоследок бонус от нас — калькулятор YukhymCalc.

С его помощью Вы легко проверите правильность исчисления основных операций с матрицами, а также сможете найти определитель матрицы и обратную матрицу. Для матриц 3*3 используется правило треугольников, для 4*4 — расписание определителя через элементы первой строки. Меню довольно простое и интуитивно понятное.
Определитель 7 задачу через матричный калькулятор иметь следующий вид

Как видите преимущество матричного калькулятора перед другими, в том числе онлайн калькуляторами, в том, что Вы видите все промежуточные операции. А это важно для проверки и контроля ошибок.

Используйте приведенные схемы вычислений определителей в обучении. Если возникают трудности в вычислениях и есть возможность, то можете проверить найдены определители калькулятором. Скачать матричный калькулятор YukhymCalc Вы можете без регистрации по этой ссылке.

yukhym.com

Определитель матрицы 2×2, 3×3, 4×4…

Определитель (детерминант) квадратной матрицы A — это число, обладающее определенными свойствами, которое может быть получено из элементов матрицы рядом методов.

Обозначения

Пусть $ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$det(A) = \left|A\right| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

Свойства определителя

  1. Если матрица имеет строку или столбец, все элементы которого равны нулю, то ее определитель равен 0.

    Пример 12
    $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ или $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0\\ 4 & 2 & 0\\ 3 & 9 & 0 \end{vmatrix}=0$

  2. Если в матрице есть две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то ее определитель равен 0.

    Пример 13
    $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 1 & 4 & 2\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ или $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 1\\ 4 & 2 & 4\\ 3 & 9 & 3 \end{vmatrix}=0$

  3. Если в матрице есть две пропорциональных строки или два пропорциональных столбца, то ее определитель равен 0.

    Пример 14
    $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 2 & 8 & 4\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ (две первые строки пропорциональны)
    или
    $\begin{vmatrix} 8 & 4 & 7\\ 4 & 2 & 3\\ 18 & 9 & 8 \end{vmatrix}=0$ (два первых столбца пропорциональны)

  4. Если некоторая строка (столбец) является суммой или разностью других строк (столбцов), то определитель равен 0.

    Пример 15
    $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 7 & 2 & 3\\ 8 & 6 & 5 \end{vmatrix}= 0$     $R_{1} +R_{2} =R_{3}$ или

    $ \begin{vmatrix} 9 & 12 & 3\\ 1 & 8 & 7\\ 5 & 7 & 2 \end{vmatrix}=0$     $C_{1}+C_{3}=C_{2}$

  5. При вычислении определителя можно выносить общие множители целых строк или столбцов.

    Пример 16
    В определителе
    $\begin{vmatrix} 3 & 9 & 12\\ 5 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, можно вынести множитель 3 из первой строки $(R_{1})$, тогда получаем:
    $3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4\\ 5 & 1 & 8\\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, затем выносим 2 из третьего столбца $(C_{3})$:
    $6\cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 5 & 1 & 4\\ 7 & 4 & 1 \end{vmatrix}$

  6. При вычислении определителя можно прибавлять (отнимать) строки к другим строкам и столбцы к другим столбцам; определитель матрицы при этом не меняется.

    Пример 17
    $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{R_{1}+R_{2}} \begin{vmatrix} 4 & 13\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$
    Пример 18
    $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{C_{1}+C_{2}} \begin{vmatrix} 6 & 5\\ 11 & 8 \end{vmatrix}$

  7. При вычислении определителя можно прибавлять или отнимать строки и столбцы, умноженные на произвольный коэффициент.

    Пример 19
    $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{2R_{1}+3R_{2}} \begin{vmatrix} 11 & 34\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$

    Пример 20
    $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{5C_{1}-C_{2}} \begin{vmatrix} 0 & 5\\ 7 & 8 \end{vmatrix}$

  8. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
  9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей данных матриц.

Минор матрицы

Определитель матрицы, полученной вычеркиванием некоторых строк и столбцов матрицы, называется минором этой матрицы.

Пример 21
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Один из миноров матрицы A есть $\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 5 & 3 \end{vmatrix}$ (он получается вычеркиванием строки 3 и столбца 3 из матрицы A)

Другим минором является $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 1 \end{vmatrix}$ (получается вычеркиванием строки 2 и столбца 2 из матрицы A)

Пример 22
$B=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7 & 9\\ 6 & 8 & 3 & 2\\ 7 & 8 & 1 & 4 \end{pmatrix} $

Один из миноров матрицы B есть $ \begin{vmatrix} 1 & 7 & 9\\ 8 & 3 & 2\\ 8 & 1 & 4 \end{vmatrix}$ (получается вычеркиванием строки 1 и столбца 1 из матрицы B)

Другим минором является $\begin{vmatrix} 1 & 7 \\ 8 & 3 \end{vmatrix}$ (получается вычеркиванием строк 1 и 4 и столбцов 1 и 4 из матрицы B)

Пусть $A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{pmatrix}$

Можно определить минор $\Delta_{i,j}$, полученный вычеркиванием строки i и столбца j, для любого элемента $a_{i,j}$ квадратной матрицы A. Такой минор называется дополнительным.

Пример 23
$ A =

www.math10.com

Определитель матрицы.

Навигация по странице:

Определитель матрицы или детерминант матрицы — это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определение.

Определителем матрицы n×n будет число:
det(A) = Σ(-1)N(α1,α2,…,αn)·aα11·aα22·…·aαnn
(α1,α2,…,αn)
где (α1,α2,…,αn) — перестановка чисел от 1 до n, N(α1,α2,…,αn) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.

Обозначение

Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

Свойства определителя матрицы

  2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

  3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

  4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

  5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.

  6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

    det(A) = det(AT)

  7. Определитель обратной матрицы:

    det(A-1) = det(A)-1

  8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

  9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

  10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

  11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

    a11a12…a1na21a22…a2n….k·ai1k·ai2…k·ain….an1an2…ann = k·a11a12…a1na21a22…a2n….ai1ai2…ain….an1an2…ann

  12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

    B = k·A   =>   det(B) = kn·det(A)

    где A матрица n×n, k — число.
  13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

    a11a12…a1na21a22…a2n….bi1 + ci1bi2 + ci2…bin + cin….an1an2…ann = a11a12…a1na21a22…a2n….bi1bi2…bin….an1a

    n2…ann + a11a12…a1na21a22…a2n….ci1ci2…cin….an1an2…ann

  14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

  15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

    det(A·B) = det(A)·det(B)


Методы вычисления определителя матрицы

Вычисление определителя матрицы 1×1

Правило:

Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = |a11| = a11


Вычисление определителя матрицы 2×2

Правило:

Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:
∆ =   = a11·a22 — a12·a21

Пример 1.

Найти определитель матрицы A
A = 
57
-41

Решение:

det(A) =   = 5·1 — 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Вычисление определителя матрицы 3×3

Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
+ –

∆ = 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =

=  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 — a13·a22·a31 — a11·a23·a32 — a12·a21·a33

Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:
∆ = 
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
 =

=  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 — a13·a22·a31 — a11·a23·a32 - a12·a21·a33

Пример 2.

Найти определитель матрицы A = 571-410203

Решение:

det(A) = 571-410203 = 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 — 1·1·2 — 5·0·0 — 7·(-4)·3 = 15 + 0 + 0 — 2 — 0 + 84 = 97

Вычисление определителя матрицы произвольного размера

Разложение определителя по строке или столбцу

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:
n
det(A) = Σaij·Aij — разложение по i-той строке
j = 1

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:
n
det(A) = Σaij·Aij — разложение по j-тому столбцу
i = 1

При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3.

Найти определитель матрицы A
A = 
241
021
211

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

= 2·(-1)1+1· 2111 + 0·(-1)2+1· 4111 + 2·(-1)3+1· 4121 =

= 2·(2·1 — 1·1) + 2·(4·1 — 2·1) = 2·(2 — 1) + 2·(4 — 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6


Пример 4.

Найти определитель матрицы A

A = 2411020021134023

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

det(A) = 2411020021134023 = — 0· 411113023 + 2· 211213423 — 0· 241213403 + 0· 241211402 =

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 — 1·1·4 — 2·3·2 — 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 — 4 — 12 — 6) = 2·0 = 0


Приведение определителя к треугольному виду

Правило:

Используя свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами 8 — 11, определитель приводится к треугольному виду, и тогда его значение будет равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример 5.

Найти определитель матрицы A приведением его к треугольному виду

A = 2411021021134023

Решение:

det(A) = 2411021021134023

Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку, умноженную на 2:

det(A) = 241102102 — 21 — 41 — 13 — 14 — 2·20 — 4·22 — 1·23 — 1·2 = 241102100-3020-801

Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбцы (при этом детерминант сменит знак на противоположный):

det(A) = — 2141012000-3200-81

Получим нули в третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец, умноженный на 8:

det(A) = — 214 + 1·81012 + 0·8000-3 + 2·8200-8 + 1·81 = — 211210120001320001 = -2·1·13·1 = -26


Теорема Лапласа

Теорема:

Пусть ∆ — определитель n-ого порядка. Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k < n. Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, которые содержатся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Присоединяйтесь

© 2011-2019 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне [email protected]

ru.onlinemschool.com

Как найти определитель матрицы 3 порядка

Автор КакПросто!

Матрицы существуют для отображения и решения систем линейных уравнений. Одним из шагов в алгоритме поиска решения является нахождение определителя, или детерминанта. Матрица 3 порядка – это квадратная матрица размерностью 3х3.

Статьи по теме:

Инструкция

Диагональ от левого верхнего элемента к правому нижнему называется главной диагональю квадратной матрицы. От правого верхнего элемента к нижнему левому – побочной. Сама матрица 3 порядка имеет вид:a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Для нахождения определителя матрицы третьего порядка существует четкий алгоритм. Сначала просуммируйте элементы главной диагонали: a11+a22+a33. Затем – нижний левый элемент a31 со средними элементами первой строки и третьего столбца: a31+a12+a23 (визуально получается треугольник). Еще один треугольник – правый верхний элемент a13 и срединные элементы третьей строки и первого столбца: a13+a21+a32. Все данные слагаемые перейдут в детерминант со знаком «плюс». Теперь можно перейти к слагаемым со знаком «минус». Во-первых, это побочная диагональ: a13+a22+a31. Во-вторых, два треугольника: a11+a23+a32 и a33+a12+a21. Конечная формула для поиска определителя выглядит так: Δ=a11+a22+a33+a31+a12+a23+a13+a21+a32-(a13+a22+a31)-(a11+a23+a32)-(a33+a12+a21). Формула довольно громоздкая, но после некоторого времени практики она становится привычной и «срабатывает» на автомате.

В ряде случаев нетрудно сразу увидеть, что определитель матрицы равен нулю. Детерминант нулевой, если какие-либо две строки или два столбца совпадают, пропорциональны или линейно зависимы. Если хотя бы одна из строк или один из столбцов полностью состоит из нулей, определитель всей матрицы равен нулю.

Иногда, чтобы найти определитель матрицы, удобнее и проще использовать преобразования матриц: алгебраическое сложение строк и столбцов между собой, вынесение общего множителя строки (столбца) за знак детерминанта, домножение всех элементов строки или столбца на одно и то же число. Для преобразования матриц важно знать их основные свойства.

Видео по теме

Полезный совет

Для вычисления определителя существует множество специфических методов, но, как правило, в случае матриц третьего порядка применять их нецелесообразно.

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Как найти определитель матрицы 3Х3 Как? Так!

Содержимое:

2 метода:

Определители матриц часто используются в вычислениях, в линейной алгебре и аналитической геометрии. Вне академического мира определители матриц постоянно требуются инженерам и программистам, в особенности тем, кто работает с компьютерной графикой. Если вы уже знаете, как найти определитель матрицы размерностью 2×2, то из инструментов для нахождения определителя матрицы 3×3 вам будут необходимы только сложение, вычитание и умножение.

Шаги

Метод 1 Поиск определителя

  1. 1 Запишите матрицу размерностью 3 x 3. Запишем матрицу размерностью 3 x 3, которую обозначим M, и найдем ее определитель |M|. Далее приводится общая форма записи матрицы, которую мы будем использовать, и матрица для нашего примера:
    • M=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(153247462) 2 Выберите строку или столбец матрицы. Эта строка (или столбец) будет опорной. Результат будет одинаков, независимо от того, какую строку или какой столбец вы выберите. В данном примере давайте возьмем первую строку. Чуть позже вы найдете несколько советов касательно того, как выбирать строку или столбец, чтобы упростить вычисления.
      • Давайте выберем первую строку матрицы M в нашем примере. Обведите числа 1 5 3. В общей форме обведите a11 a12 a13.
    • 3 Зачеркните строку или столбец с первым элементом. Обратитесь к опорной строке (или к опорному столбцу) и выберите первый элемент. Проведите горизонтальную и вертикальную черту через этот элемент, вычеркнув таким образом столбец и строку с этим элементом. Должно остаться четыре числа. Будем считать эти элементы новой матрицей размерностью 2 x 2.
      • В нашем примере, опорной строкой будет 1 5 3. Первый элемент находится на пересечении первого столбца и первой строки. Вычеркните строку и столбец с этим элементом, то есть первую сроку и первый столбец. Запишите оставшиеся элементы в виде матрицы 2 x 2:
      •  1  5 3
      •  2  4 7
      •  4  6 2
    • 4 Найдите определитель матрицы 2 x 2. Запомните, что определитель матрицы (abcd) Опираясь на это, вы можете вычислить определитель полученной матрицы 2 x 2, которую, если хотите, можете обозначить как X. Умножьте два числа матрицы X, соединенных по диагонали слева направо (то есть так: ). Затем вычтите результат умножения двух других чисел по диагонали справа налево (то есть так: / ). Используйте эту формулу, чтобы вычислить определитель матрицы, которую вы только что получили.
      • В нашем примере определитель матрицы (4762) Другими словами, мы только что нашли минор a11.
    • 5 Умножьте полученный ответ на выбранный элемент матрицы M. Вспомните, какой элемент из опорной строки (или столбца) мы использовали, когда вычеркивали другие элементы строки и столбца, чтобы получить новую матрицу. Умножьте этот элемент на полученный минор (определитель матрицы 2×2, которую мы обозначили X).
      • В нашем примере мы выбирали элемент a11, который равнялся 1. Умножим его на -34 (определитель матрицы 2×2), и у нас получится 1*-34 = -34.
    • 6 Определите знак полученного результата. Далее вам понадобится умножить полученный результат на 1, либо на -1, чтобы получить алгебраическое дополнение (кофактор) выбранного элемента. Знак кофактора будет зависеть от того, в каком месте матрицы 3×3 стоит элемент. Запомните эту простую схему знаков, чтобы знать знак кофактора:
      • + — +
      • — + —
      • + — +
      • Поскольку мы работали с элементом a11, для которого стоит знак +, то мы будем умножать полученное значение на +1 (то есть оставим его как есть). Алгебраическое дополнение нашего элемента будет равно -34.
      • Вы также можете найти знак алгебраического дополнения по формуле (-1)i+j, где i и j — номер столбца и строки выбранного элемента соответственно.
    • 7 Повторите все вышеописанные действия со вторым элементом опорной строки (или столбца). Вернитесь к исходной матрице размерностью 3×3 и строке, которую мы обвели в самом начале вычислений. Повторите все действия с этим элементом:
      • Вычеркните строку и столбец с этим элементом. В нашем примере мы должны выбрать элемент a12 (равный 5). Вычеркнем первую строку (1 5 3) и второй столбец (546) 8 Повторите с третьим элементом. Далее вам понадобится найти еще одно алгебраическое дополнение. Вычислите его для последнего элемента опорной строки или опорного столбца. Далее приводится краткое описание того, как вычисляется алгебраическое дополнение для a13 в нашем примере:
        • Зачеркните первую строку и третий столбец, чтобы получить матрицу (2446) 9 Сложите полученные результаты. Это последний шаг. Вам необходимо сложить полученные алгебраические дополнения элементов опорной строки (или опорного столбца). Сложите их вместе, и вы получите значение определителя матрицы 3×3.
          • В нашем примере определитель равен -34 + 120 + -12 = 74.

Метод 2 Как упростить задачу

  1. 1 Выбирайте в качестве опорной строки (или столбца) ту, что имеет больше нулей. Помните, что в качестве опорной вы можете выбрать любую строку или столбец. Выбор опорной строки или столбца не влияет на результат. Если вы выберете строку с наибольшим количеством нулей, вам придется выполнять меньше вычислений, поскольку вам будет необходимо вычислить алгебраические дополнения только для ненулевых элементов. Вот почему:
    • Допустим, вы выбрали 2 строку с элементами a21, a22, and a23. Чтобы найти определитель, вам будет необходимо найти определители трех различных матриц размерностью 2×2. Давайте назовем их A21, A22, and A23.
    • То есть определитель матрицы 3×3 равен a21|A21| — a22|A22| + a23|A23|.
    • Если оба элемента a22 и a23 равны 0, то наша формула становится намного короче a21|A21| — 0*|A22| + 0*|A23| = a21|A21| — 0 + 0 = a21|A21|. То есть необходимо вычислить только алгебраическое дополнение одного элемента.
  2. 2 Используйте сложение строк, чтобы упростить матрицу. Если вы возьмете одну строку и прибавите к ней другую, то определитель матрицы не изменится. То же самое верно и для столбцов. Подобные действия можно выполнять несколько раз, кроме того, вы можете умножать значения строки на постоянную (перед сложением) для того, чтобы получить как можно больше нулей. Подобные действия могут сэкономить массу времени.
    • Например, у нас есть матрица из трех строк: (9−1231075−2) 3 Помните, что вычислять определитель треугольных матриц намного проще. Определитель треугольных матриц вычисляется как произведение элементов на главной диагонали, от a11 в верхнем левом углу до a33 в нижнем правом углу. Речь в данном случае идет о треугольных матрицах размерностью 3×3. Треугольные матрицы могут быть следующих видов, в зависимости от расположения ненулевых значений:
      • Верхняя треугольная матрица: Все ненулевые элементы находятся на главной диагонали и выше нее. Все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
      • Нижняя треугольная матрица: Все ненулевые элементы находятся ниже главной диагонали и на ней.
      • Диагональная матрица: Все ненулевые элементы находятся на главной диагонали. Является частным случаем вышеописанных матриц.

Советы

  • Описанный метод распространяется на квадратные матрицы любого ранга. Например, если вы используете его для матрицы 4×4, то после «вычеркивания» будут оставаться матрицы 3×3, для которых определитель будет вычисляться вышеупомянутым способом. Будьте готовы к тому, что вычислять определитель для матриц таких размерностей вручную – очень трудоемкая задача!
  • Если все элементы строки или столбца равны 0, то определитель матрицы тоже равен 0.

Похожие статьи

Прислал: Новикова Ксения . 2017-11-06 17:22:56

kak-otvet.imysite.ru

Обратная матрица 3*3. Калькулятор

Как найти обратную матрицу подробно описано в предыдущих уроках. Напомню лишь последовательность вычислений:

  • находим определитель главной матрицы;
  • дальше вычисляем алгебраические дополнения к матрице;
  • последним шагом нужно транспонировать матрицу алгебраических дополнений и разделить на определитель.

Результатом вычислений и будет обратная матрица.

Ниже приведены примеры пошагового вычисления матрицы 3х3.

Пример 1. Найти обратную матрицу

Решение: Вычисляем определитель матрицы 3 * 3 по правилу треугольников

Определитель отличен от нуля, следовательно матрица А не вырожденная и существует обратная к ней.
Алгебраические дополнения равны минорам умноженным на (-1) в степени суммы номера строки и столбца элемента матрицы.
Для простоты можно использовать приведенную ниже схему знаков миноров

Миноры равны определителю на единицу меньшего порядка чем матрица и образуются вычеркиванием строки и столбца на пересечении которых находится элемент.
Более понятно станет с вычислений алгебраических дополнений









Из найденных значений выписываем матрицу алгебраических дополнений

Транспонирует ее чтобы получить присоединенную (союзное) матрицу

На этом этапе будьте внимательны — можно выполнить правильно приведенные выше вычисления и из-за неумения транспонировать получить неверный результат.
Делим на определитель и получаем обратную матрицу

Найти обратную матрицу Вам поможет калькулятор обратной матрицы YukhymCalc. Для этого заходите в меню калькулятора и выбираете вычисления обратных матриц


Далее задаете размер матрицы

и вводить элементы матрицы.

После вычислений Вы получите элементы матрицы дополнений

союзной матрицы, и обратной, а также определитель.


Все действия расписаны подробно в отдельном окне

и результаты вычислений можно сохранить в текстовый файл

Используйте калькулятор для нахождения обратной матрицы и проверки правильности вычислений.

Пример 2. Найти обратную матрицу
Решение: Вычисляем определитель матрицы разложив его по первой строке. Это довольно удобно так как имеем два элемента которые равны нулю

Алгебраические дополнения находим воспользовавшись приведенной выше схемой знаков миноров




Если в определителе строка или столбец содержит элементы = 0 то он равен 0.





Записываем матрицу алгебраических дополнений

Присоединенную матрицу находим транспонированием найденной

Находим обратную матрицу по известной формуле

Калькулятор обратной матрицы дает следующий результат

Сравнением убеждаемся что обратную матрицу найдено правильно. Используйте приведенную методику в обучении и с опытом у Вас не будет проблем с обратной матрицей.

yukhym.com

Определитель, детерминант матрицы

Способы вычисления определителя матрицы

Определителем матрицы второго порядка называется число, равное

   

Определитель матрицы третьего порядка

Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить, используя правило треугольника или правило Саррюса.

Правило треугольника. Определителем матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле

   

Схематически это правило можно изобразить следующим образом

Правило Саррюса. Для вычисления определителя третьего порядка, допишем два первых столбца и перемножим диагональные элементы, взяв произведение со знаком «плюс», если диагональ является главной или параллельна её и, взяв произведение со знаком «минус», если диагональ является побочной или параллельной ей, получим

Вычисление определителей высших порядков

Для вычисления определителей высших порядков, используется способ разложения определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения. При этом вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению определителей -го порядка.

Свойства определителя матрицы

Определитель любого порядка может быть вычислен с использованием свойств определителя:

  1. определитель не изменяется при элементарных преобразованиях строк или столбцов;
  2. при перестановке строк или столбцов знак определителя меняется на противоположный;
  3. определитель треугольной матрицы равен произведению элементов расположенных на диагонали. Например, для верхнетреугольной матрицы

   

определитель равен

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *