Рубрика: Школьная жизнь

Решение тригонометрических уравнений | Математика, которая мне нравится

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение при решений не имеет,

при имеет решения ,

при  имеет решения ,

при имеет решения ,

при всех остальных имеет решения .

Уравнение при решений не имеет,

при имеет решения ,

при  имеет решения >,

при имеет решения ,

при всех остальных имеет решения .

Уравнение имеет решения .

Уравнение имеет решения .

Приемы решения тригонометрических уравнений

1. Сведение к одной функции

1. заменяем на , — на .

Пример 1.

Пример 2.

2. заменяем на , — на , — на .

Пример 1.

1) 2) ,
В первом случае решений нет, во втором .

Пример 2.

Пример 3.

3. Однородные уравнения относительно .

Если , то деля обе части уравнения на или на , получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть — корень уравнения и . Подставляя в уравнение, получаем, что и , а это невозможно.

Пример.

4. Уравнения, приводящиеся к однородным

а) Домножение на

Пример.

б) Переход к половинному аргументу

Пример.

5. Использование формулы

Пример.

6. Замена .
Пример.

Разложение на множители

1. Формулы преобразования суммы в произведение

2. Формулы

Пример 1.

Ответ. .

Пример 2.

,  решений нет,

Ответ. , .

Понижение степени

Использование формул

Сравнение левой и правой части

Пример 1.

что невозможно.

Ответ. .
Пример 2.

Ответ. .
Пример 3.

Пусть

Подставляем во второе уравнение:

Ответ. .

Пример 4.

или

Если , то . Если , то .

Ответ. .

hijos.ru

Решение тригонометрических уравнений

Автор Сергей Валерьевич

Пятница, Июнь 15, 2012

В данной статье остановимся кратко на решении задач C1 из ЕГЭ по математике. Эти задания представляют собой уравнения, которые требуется, во-первых, решить (то есть найти их решения, причем все), во-вторых, осуществить отбор решений по тому или иному ограничению. В последние годы на ЕГЭ по математике в заданиях C1 школьникам предлагаются для решения тригонометрические уравнения, поэтому в данной статье разобраны только они. Примеры структурированы по методам решения уравнений, от самых элементарных, до достаточно сложных.

Прежде чем перейти к разбору конкретных тригонометрических уравнений, вспомним основные формулы тригонометрии. Приведем их здесь в справочном виде.

Основные тригонометрические формулы

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

принадлежащие промежутку

Решение. Используем вторую формулу на рисунке. Здесь и далее полагаем (на всякий случай, эта запись означает, что числа и принадлежат множеству целых чисел):

Арккосинус есть число, заключенное в интервале от

yourtutor.info

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Содержание статьи:

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

Таблица арксинусов

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Таблица арккосинусов

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

Таблица арктангенсов

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Таблица арккотангенсов

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2  x/2=0`,

`2sin  x/2 cos  x/2-2sin^2  x/2=0`,

`2sin  x/2 (cos  x/2-sin  x/2)=0`,

1. `sin  x/2 =0`,  `x/2 =\pi n`,  `x_1=2\pi n`.
2. `cos  x/2-sin  x/2=0`, `tg  x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg  x`:  `a  tg  x+b=0` и `a  tg^2 x + b  tg  x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`\frac {sin^2 x}{cos^2 x}+\frac{sin x cos x}{cos^2 x} — \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:

`\frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `\frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos \varphi`, ` \frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin \varphi`, `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:

`\frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `\frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `\frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin  4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin  2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n  arcsin  2/5-` `arcsin  4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin  2/5-` `arcsin  4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}-` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`

`\frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

matemonline.com

Простейшие тригонометрические уравнения и их решение

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида

Решение простейших тригонометрических уравнений

Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений и их решение.

Уравнение вида . Так как для любого x, то при и уравнение не имеет корней. При , корни этого уравнения находятся по формуле

Особые случаи

Примеры решения задач

Уравнение вида . Так как для любого x, то при и уравнение корней не имеет. При , корни этого уравнения находятся по формуле

Особые случаи:

Простейшие тригонометрические уравнения с тангенсами и котангенсами

Уравнение вида . Для любого действительного a на промежутке существует единственный угол , для которого . Это угол . Учитывая периодичность функции , получим формулы для нахождения корней уравнения :

Уравнение вида . Для любого действительного a на промежутке существует единственный угол , для которого . Это угол . Учитывая периодичность функции , получим формулы для нахождения корней уравнения :

Приведение тригонометрических уравнений к простейшим

Примеры тригонометрических уравнений, которые приводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям с помощью элементарных преобразований или тригонометрических формул.

ru.solverbook.com

Тригонометрические уравнения и их решение

Простейшие тригонометрические уравнения

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида

Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений и их решение.

Уравнение вида . При и уравнение корней не имеет. При , корни этого уравнения находятся по формуле

Особые случаи:

Уравнение вида . При и уравнение корней не имеет. При , корни этого уравнения находятся по формуле

Особые случаи:

Замечание. .

Уравнение вида . Корни этого уравнения находятся по формуле

Уравнение вида . Корни этого уравнения находятся по формуле

Тригонометрические уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям

Это тригонометрические уравнения, которые после замены тригонометрической функции, которая входит в уравнение, становится квадратным.

Уравнение вида, где . Такие уравнения решают с помощью введения дополнительного угла. Считая, что , поделим обе части исходного уравнения на , получим

Для полученных коэффициентов при синусе и косинусе справедливы следующие соотношения

Тогда можно утверждать, что существует угол , такой что, например

Таким образом, последнее уравнение примет вид

По формуле суммы для тригонометрических функций, последнее уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению

откуда достаточно легко найти x.

Однородные тригонометрические уравнения

Однородные тригонометрические уравнения – это уравнения вида

где – действительные числа, . Такое уравнение легко приводится к уравнению относительно , если все его члены поделить на . При этом, если , то деление не приведет к потере корней. Действительно, если , то первоначальное уравнение примет вид , откуда , что не возможно, так как и одновременно не могут быть равны нулю.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Основной сложностью решения таких уравнений является отбор корней уравнения для формирования ответа.

ru.solverbook.com

Методы решения сложных тригонометрических уравнений

Методы решения сложных

тригонометрических уравнений

І тип. Двучленные уравнения. Уравнения, содержащие две тригонометрические функции с коэффициентами 1.

Пример 1.

Решение

или

Ответ: ;

Пример 2.

Решение

Ответ: ; .

ІІ тип. Многочленные тригонометрические уравнения. Все функции содержащиеся в этом уравнении, переносят в левую часть и полученный тригонометрический многочлен раскладываю на множители.

Если многочлен уравнения содержит четную степень, то формулам понижают степень и превращают в произведение.

Если тригонометрический многочлен содержит функции таким образом, что этот многочлен будет стандартного вида, то применяют метод подстановки.

1)

2)

ІІІ тип. Однородные тригонометрические уравнения.

1) (уравнение І степени)

2) (уравнение ІІ степени)

3) ( уравнение ІІІ степени)

Эти уравнения решаются делением этого уравнения на старшую степень

или .

1) /: ,

2)

3)

Пример 1.

Решение

Пусть тогда

Ответ:

Пример 2.

Решение

Это уравнение можно свести к однородному третьего порядка относительно или если заменить

Получим

Разделили обе части уравнения на получим

Пусть

Легко проверить, что является корнем этого уравнения.

Поэтому

или

корней нет.

Ответ:

ІV тип. Линейные неоднородные тригонометрические уравнения.

1) если то делим на

2) если тогда применяем метод универсальной подстановки

и так далее.

3) если то неоднородное уравнение приводим к однородному второй степени с помощью тригонометрической единицы.

V тип. Уравнения, содержащие тригонометрические дроби.

Находим ОДЗ ( т.к. знаменатель 0). Либо приводим к общему знаменателю, либо применяем метод подстановки.

Пример 1.

Решение

ОДЗ:

Пусть , тогда

Это уравнение упростим, обозначив тогда

Тогда

корней нет

Ответ:

VІ тип. Иррациональные тригонометрические уравнения.

Содержание тригонометрические функции под знаком радикала.

Указать ОДЗ.

Пример 1. Решить уравнение

Решение

при любых

Сделав замену получим иррациональное уравнение

которое равносильно системе

Поэтому неравенству системы удовлетворяет только

Значит .

Ответ:

VІІ тип. Функциональные.

В качестве аргументов используются другие функции.

Пример 1.

или

при при

Ответ: где при

где при

Пример 2.

Решение

Так как то

Пусть

или

т.к. то не удовлетворяет

условию

Подставив вместо t его значение

Ответ:

VІІІ тип. Уравнения, в которых в качестве коэффициента число перед или, то делают числовую подстановку или .

Пример.1 Решить уравнение

Решение

или

Ответ:

ІX тип. Уравнения вида

решаются с помощью замены или

1) 2)

Пример 1. Решить уравнение

Решение

Пусть

Тогда,

корней нет.

Ответ:

Метод оценок при решении тригонометрических уравнений

Некоторые тригонометрические уравнения удается решить, используя неравенства: верны для всех

Пример 1. Решить уравнение

Решение

Поскольку и то причем

равенство здесь имеет место тогда и только тога, корда одновременно выполняются равенства и Значит исходное уравнение равносильно системе:

Изобразим эти решения соответствующими точками единичной окружности

( решения первого уравнения , решение второго уравнения – точки помеченные крестиком *).

*

Число х будет решением системы тогда и только тогда, когда оно является решением обоих уравнений системы. Из рисунка видно, что такими числами являются числа

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение

Воспользуемся формулой

и , значит

Равенство возможно при и Значит данное неравенство равно системе:

Решениями системы являются те и только те значения для которых при некоторых и выполняются равенства Найдем целые и , для которых Сократив на получим, что но это равенство возможно только при и Таким образом система, а значит , и исходное уравнение имеют единственное решение

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение

или

, данное уравнение равносильно

Решения первого уравнения , решение второго уравнения – точки помеченные крестиком *.

Ответ:

Использование области определения функции при решении уравнений.

К «функциональным» методам решения тригонометрических уравнений и неравенств относится применение основных свойств тригонометрических функций.

Иногда знание областей определения функций, входящих в уравнение или неравенство, дает возможность показать, что уравнение или неравенство не имеет решений. Иногда знание ОДЗ позволяет найти решения уравнения или неравенства непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Решить уравнение:

Решение

ОДЗ этого уравнения состоит из всех , удовлетворяющих условиям:

ОДЗ:

Подставляя эти значения в уравнение, получаем, что его правая и левая части равны нулю, а это означает, что все являются его решением.

Ответ:

Тригонометрические уравнение типа

Решение таких уравнений сводится к группировке, последующему разложению правой части уравнения на множители и переходу к решению эквивалентной совокупности простейших уравнений.

Пример 1.

Решение

ОДЗ:

или или

В общем случае предположим, что серия решений содержит параметр

а серия решений — параметр Чтобы выяснить, содержится ли одна из этих серий в другой, нужно приравнять эти решения и найти зависимость от

Если эта зависимость линейна и то серия решений содержится в серии решения Если хотя бы один из коэффициентов ( или ) не целый, то нужно найти зависимость от Если эта зависимость имеет вид где то серия решений содержится в серии решений При условии, что либо либо не целое, серии решений и не содержат одно другое.

Выясним, не содержатся ли какие – либо из полученных серий решений в других:

1) следовательно решение содержится в

решении поэтому исключают из решения.

2) что невозможно

при

Ответ:

Пример 2.

Решение

или

или

Сравним полученные решения

Следовательно серия решения содержится в серии решений

что невозможно при

Ответ:

Пример 3.

Решение

или

Сравним решения

Серия не содержится в серии

Значит и серия не содержится в серии

Ответ:

gigabaza.ru

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

\(\blacktriangleright\) Стандартные (простейшие) тригонометричекие уравнения — это уравнения вида
\(\sin x=a,\quad \cos x=a,\quad \mathrm{tg}\,x=b,\quad \mathrm{ctg}\,x=b\), которые имеют смысл при \(-1\leq a\leq 1,\quad b\in \mathbb{R}\).

Для решения данных уравнения удобно пользоваться единичной окружностью (радиус равен \(1\)).

\[{\color{red}{\text{Решение простейших тригонометрических уравнений}}}\]

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Решить уравнение \(\sin x=\dfrac12\).

Найдем на оси синусов точку \(\dfrac12\) и проведем прямую параллельно оси \(Ox\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, синус которых равен \(\dfrac12\). Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(\dfrac{5\pi}6\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным углам \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число (т.е. поворотом от данных на целое число полных кругов).

Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac{\pi}6+2\pi n,\ x_2=\dfrac{5\pi}6+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

Пример 2. Решить уравнение \(\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\).

Найдем на оси косинусов точку \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\) и проведем прямую параллельно оси \(Oy\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, косинус которых равен \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\). Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{3\pi}4\) и \(-\dfrac{3\pi}4\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число.

Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac{3\pi}4+2\pi n,\ x_2=-\dfrac{3\pi}4+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sqrt3}3\).

Найдем на оси тангенсов точку \(\dfrac{\sqrt3}3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, тангенс которых равен \(\dfrac{\sqrt3}3\).Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(-\dfrac{5\pi}6\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pi n\).

Таким образом, решением являются \(x=\dfrac{\pi}6+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

Пример 4. Решить уравнение \(\mathrm{ctg}\,x=\sqrt3\).

Найдем на оси котангенсов точку \(\sqrt3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, котангенс которых равен \(\sqrt3\). Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(-\dfrac{5\pi}6\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pi n\).

Таким образом, решением являются \(x=\dfrac{\pi}6+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

\(\blacktriangleright\) Решения для любого стандартного тригонометрического уравнения выглядят следующим образом: \[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=b & b\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, b+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=b & b\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, b+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\] Иногда для более короткой записи решение для \(\sin x=a\) записывают как \(x=(-1)^k\cdot \arcsin a+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}\).

\(\blacktriangleright\) Любые уравнения вида \(\mathrm{G}\,\big(f(x)\big)=a\), (где \(\mathrm{G}\) — одна из функций \(\sin, \ \cos, \ \mathrm{tg},\ \mathrm{ctg}\), а аргумент \(f(x)\) — некоторая функция) сводятся к стандартным уравнениям путем замены \(t=f(x)\).

Пример 5. Решить уравнение \(\sin{(\pi x+\dfrac{\pi}3)}=1\).

Сделав замену \(t=\pi x+\dfrac{\pi}3\), мы сведем уравнение к виду \(\sin t=1\). Решением данного уравнения являются \(t=\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).

Теперь сделаем обратную замену и получим: \(\pi x+\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}2+2\pi n\), откуда \(x=\dfrac16+2n,\ n\in\mathbb{Z}\).

\[{\color{red}{\text{Объединение корней}}}\]

Если \(n\) точек, являющихся решением уравнения или системы, разбивают окружность на \(n\) равных частей, то их можно объединить в одну формулу: \(x=\alpha+\dfrac{2\pi}n,\ n\in\mathbb{Z}\), где \(\alpha\) — один из этих углов.

Рассмотрим данную ситуацию на примере:

Пример 6. Допустим, решением системы являются \(x_1=\pm \dfrac{\pi}4+2\pi n, \ x_2=\pm \dfrac{3\pi}4+2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\). Отметим эти точки на окружности:

Заметим, что длины дуг \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{BC}, \buildrel\smile\over{CD}, \buildrel\smile\over{DA}\) равны \(\dfrac{\pi}2\), то есть эти точки разбили окружность на \(4\) равных части. Таким образом, ответ можно записать в виде одной формулы: \(x=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2n, \ n\in\mathbb{Z}\).

\[{\color{red}{\text{Геометрическая интерпретация решений неравенств вида }\mathrm{G}\,(x) \lor a,}}\]

где \(\lor\) — один из знаков \(\leq,\ <,\ >,\ \geq\).

Пример 7. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\sin x >\dfrac12\).

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\sin x =\dfrac12\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, синус которых больше \(\dfrac12\), находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\), а конец — \(B\).

Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac{\pi}6\). Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac{\pi}6\), но ближайший к нему, и чтобы синус этого угла также был равен \(\dfrac12\). Это угол \(\dfrac{5\pi}6\). Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac{\pi}6;\dfrac{5\pi}6\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(\dfrac{\pi}6+2\pi n;\dfrac{5\pi}6+2\pi n\right), n\in\mathbb{Z}\), т.к. у синуса период \(2\pi\).

Пример 8. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\cos x <\dfrac12\).

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\cos x =\dfrac12\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, косинус которых меньше \(\dfrac12\), находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\), а конец — \(B\).

Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac{\pi}3\). Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac{\pi}3\), но ближайший к нему, и чтобы косинус этого угла также был равен \(\dfrac12\). Это угол \(\dfrac{5\pi}3\). Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac{\pi}3;\dfrac{5\pi}3\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(-\dfrac{5\pi}3+2\pi n;-\dfrac{\pi}3+2\pi n\right), n\in\mathbb{Z}\), т.к. у косинуса период \(2\pi\).

Пример 9. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\mathrm{tg}\, x \geq \dfrac{\sqrt{3}}3\).

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\mathrm{tg}\, x = \dfrac{\sqrt{3}}3\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, тангенс которых больше или равен \(\dfrac{\sqrt{3}}3\), находятся на выделенных дугах, причем точки \(C\) и \(D\) выколоты, т.к. в них тангенс не определен.

Рассмотрим одну из дуг, например, \(\buildrel\smile\over{AC}\). Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то за конец дуги можно принять угол \(\dfrac{\pi}2\), тогда начало дуги — это угол \(\dfrac{\pi}6\) (угол должен быть меньше \(\dfrac{\pi}2\), но ближайший к нему). Значит, частным решением данного неравенства является полуинтервал \(\Big[\dfrac{\pi}6;\dfrac{\pi}2\Big)\). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\Big[\dfrac{\pi}6+\pi n;\dfrac{\pi}2+\pi n\Big), n\in\mathbb{Z}\), т.к. у тангенса период \(\pi\).

Пример 10. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\mathrm{ctg}\, x \leq \sqrt{3}\).

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\mathrm{ctg}\, x = \sqrt{3}\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, котангенс которых меньше или равен \(\sqrt{3}\), находятся на выделенных дугах, причем точки \(C\) и \(D\) выколоты, т.к. в них котангенс не определен.

Рассмотрим одну из дуг, например, \(\buildrel\smile\over{AC}\). Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то за конец дуги можно принять угол \(\pi\), тогда начало дуги — это угол \(\dfrac{\pi}6\) (угол должен быть меньше \(\pi\), но ближайший к нему). Значит, частным решением данного неравенства является полуинтервал \(\Big[\dfrac{\pi}6;\pi\Big)\). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\Big[\dfrac{\pi}6+\pi n;\pi+\pi n\Big), n\in\mathbb{Z}\), т.к. период котангенса \(\pi\).

\[{\color{red}{\text{Отбор корней}}}\]

Геометрический способ (по окружности).
Этот способ заключается в том, что мы отмечаем решения всех уравнений (неравенств) на единичной окружности и пересекаем (объединяем) их.

Пример 11. Найти корни уравнения \(\sin x=-\dfrac12\), если \(\cos x\ne \dfrac{\sqrt3}2\).

В данном случае необходимо пересечь решения первого уравнения с решением второго уравнения.

Решением первого уравнения являются \(x_1=-\dfrac{\pi}6+2\pi n,\ x_2=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\), решением второго являются \(x\ne \pm \dfrac{\pi}6+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\). Отметим эти точки на окружности:

Видим, что из двух точек, удовлетворяющих первому уравнению, одна точка \(x= -\dfrac{\pi}6+2\pi n\)  не подходит. Следовательно, ответом будут только \(x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in \mathbb{Z}\).

Вычислительный способ.
Этот способ заключается в подстановке решений уравнения (системы) в имеющиеся ограничения. Для данного способа будут полезны некоторые частные случаи формул приведения: \[\begin{aligned} &\sin{(\alpha+\pi n)}=\begin{cases} \sin \alpha, \text{при } n — \text{ четном}\\ -\sin \alpha, \text{при } n — \text{ нечетном} \end{cases}\\ &\cos{(\alpha+\pi n)}=\begin{cases} \cos \alpha, \text{при } n — \text{ четном}\\ -\cos \alpha, \text{при } n — \text {нечетном} \end{cases}\\ &\mathrm{tg}\,(\alpha+\pi n)=\mathrm{tg}\,\alpha\\ &\mathrm{ctg}\,(\alpha+\pi n)=\mathrm{ctg}\,\alpha\\ &\sin{\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)}=\cos\alpha\\ &\cos{\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)}=-\sin \alpha\\ &\,\mathrm{tg}\,\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)=-\,\mathrm{ctg}\,\alpha\\ &\,\mathrm{ctg}\,\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)=-\,\mathrm{tg}\,\alpha \end{aligned}\]

Пример 12. Решить систему \(\begin{cases} \cos x=\dfrac12\\ \sin x+\cos x>0\end{cases}\)

Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac{\pi}3+2\pi n,\ x_2=-\dfrac{\pi}3+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\). Подставим в неравенство \(\sin x+\cos x>0\) по очереди оба корня:

\(\sin x_1+\cos x_1=\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12>0\), следовательно, корень \(x_1\) нам подходит;
\(\sin x x_2+\cos x_2=-\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12<0\), следовательно, корень \(x_2\) нам не подходит.

Таким образом, решением системы являются только \(x=\dfrac{\pi}3+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\).

Алгебраический способ.

Пример 13. Найти корни уравнения \(\sin x=\dfrac{\sqrt2}2\), принадлежащие отрезку \([0;\pi]\).

Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n, \ x_2=\dfrac{3\pi}4 +2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\). Для того, чтобы отобрать корни, решим два неравенства: \(0\leq x_1\leq\pi\) и \(0\leq x_2\leq\pi\):

\(0\leq \dfrac{\pi}4+2\pi n\leq\pi \Leftrightarrow -\dfrac18\leq n\leq\dfrac38\). Таким образом, единственное целое значение \(n\), удовлетворяющее этому неравенству, это \(n=0\). При \(n=0\) \(x_1=\dfrac{\pi}4\) — входит в отрезок \([0;\pi]\).

Аналогично решаем неравенство \(0\leq x_2\leq\pi\) и получаем \(n=0\) и \(x_2=\dfrac{3\pi}4\).  

Для следующего примера рассмотрим алгоритм решения линейных уравнений в целых числах:

\[ax+by=c, \quad a,b,c — \text{целые числа}\]

Уравнение будет иметь решение в целых числах относительно \(x\) и \(y\) тогда и только тогда, когда \(c\) делится на \(НОД(a,b)\).

Пример: Уравнение \(2x+4y=3\) не имеет решений в целых числах, потому что \(3\) не делится на \(НОД(2,4)=2\). Действительно, слева стоит сумма двух четных чисел, то есть четное число, а справа — \(3\), то есть нечетное число.

Пример: Решить уравнение \(3x+5y=2\). Т.к. \(НОД(3,5)=1\), то уравнение имеет решение в целых числах. Выразим \(x\) через \(y\):

\[x=\dfrac{2-5y}3=\dfrac{2-2y}3-y\]

Число \(\dfrac{2-2y}3\) должно быть целым. Рассмотрим остатки при делении на \(3\) числа \(y\): \(0\), \(1\) или \(2\).
Если \(y\) при делении на \(3\) имеет остаток \(0\), то оно записывается как \(y=3p+0\). Тогда \[\dfrac{2-2y}3=\dfrac{2-2\cdot 3p}3=\dfrac23-2p\ne \text{целому числу}\]

Если \(y\) при делении на \(3\) имеет остаток \(1\), то оно записывается как \(y=3p+1\). Тогда \[\dfrac{2-2y}3=\dfrac{2-2(3p+1)}3=-2p=\text{целому числу}\]

Значит, этот случай нам подходит. Тогда \(y=3p+1\), а \(x=\dfrac{2-2y}3-y=-5p-1\).

Ответ: \((-5p-1; 3p+1), p\in\mathbb{Z}\).

Перейдем к примеру:

Пример 14. Решить систему \[\begin{cases} \sin \dfrac x3=\dfrac{\sqrt3}2\\[3pt] \cos \dfrac x2=1 \end{cases}\]

Решим первое уравнение системы:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac x3=\dfrac{\pi}3+2\pi n\\[3pt] &\dfrac x3=\dfrac{2\pi}3 +2\pi m \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad n,m\in\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\pi+6\pi n\\ &x=2\pi +6\pi m \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad n,m\in\mathbb{Z}\]

Решим второе уравнение системы:

\[\dfrac x2=2\pi k, k\in\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad x=4\pi k, k\in\mathbb{Z}\]

Необходимо найти корни, которые удовлетворяют и первому, и второму уравнению системы, то есть пересечь решения первого и второго уравнений.
Найдем целые \(n\) и \(k\), при которых совпадают решения в сериях \(\pi+6\pi n\) и \(4\pi k\):

\[\pi + 6\pi n=4\pi k \quad \Rightarrow \quad 4k-6n=1\]

Т.к. \(НОД(4,6)=2\) и \(1\) не делится на \(2\), то данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Найдем целые \(m\) и \(k\), при которых совпадают решения в сериях \(2\pi +6\pi m\) и \(4\pi k\):

\[2\pi +6\pi m=4\pi k \quad \Rightarrow \quad 2k-3m=1\]

Данное уравнение имеет решение в целых числах. Выразим \(k=\frac{3m+1}2=m+\frac{m+1}2\).

Возможные остатки при делении \(m\) на \(2\) — это \(0\) или \(1\).
Если \(m=2p+0\), то \(\frac{m+1}2=\frac{2p+1}2=p+\frac12\ne \) целому числу.
Если \(m=2p+1\), то \(\frac{m+1}2=\frac{2p+1+1}2=p+1= \) целому числу.

Значит, \(m=2p+1\), тогда \(k=3p+2\), \(p\in\mathbb{Z}\).

Подставим либо \(m\), либо \(k\) в соответствующую ему серию и получим окончательный ответ: \(x=4\pi k=4\pi (3p+2)=8\pi+12\pi p, p\in\mathbb{Z}\).

shkolkovo.net

Разложение числа на простые множители онлайн

Натуральное число называется делителем целого числа если для подходящего целого числа верно равенство . В этом случае говорят, что делится на или что число кратно числу .

Простым числом называют натуральное число , делящееся только на себя и на единицу. Составным числом называют число, имеющее больше двух различных делителей (любое натуральное число не равное имеет как минимум два делителя: и ). Например, числа – простые, а числа – составные.

Данная программа раскладывает число в произведение простых множителей онлайн. Разложить число на множители онлайн с её помощью очень просто.

Как разложить число на множители?

В школе на уроках математики разложение числа на множители обычно записывают столбиком (в две колонки). Делается это так: в левую колонку выписываем исходное число, затем

• Берём самое маленькое простое число — 2 и по признакам делимости или обычным делением проверяем, делится ли исходное число на 2.
• Если делится, то в правую колонку выписываем 2. Далее делим исходное число на 2 и записываем результат в левую колонку под исходным числом.
• Если не делится, то берём следующее простое число — 3.

Повторяем эти шаги, при этом работаем уже с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение заканчивается, когда в левой колонке будет записано число 1.

Чтобы лучше понять алгоритм, разберём несколько примеров.

Решение. Записываем число 84 в левую колонку:

Берём первое простое число — два и проверяем, делится ли 84 на 2. Так как 84 оканчивается на 4, а 4 делится на 2, то и 84 делится на 2 по признаку делимости. Записываем 2 в правую колонку. 84:2 = 42, число 42 записываем в левую колонку. Получили вот что:

Теперь работаем уже с числом 42. Число 42 делится на 2, поэтому записываем 2 в правую колонку, 42:2 = 21, число 21 записываем в левую колонку.

Число 21 на 2 не делится, поэтому проверяем его делимость на следующее простое число — 3. Число 21 делится на 3, 21:3 = 7. Записали 3 в правую колонку, 7 — в левую. Получили

Число 7 — простое число, поэтому в правой колонке записываем 7, в левую пишем 1. В итоге получили:

Всё, число разложено!

В результате в правой колонке оказались записаны все простые множители числа 84. То есть 84=2∙2∙3∙7.

О калькуляторе

Программа раскладывает числа на множители методом перебора делителей. Для вычислений используется длинная арифметика, поэтому раскладывать можно даже большие числа. Однако если число простое или имеет большие простые делители, разложение его на множители происходит очень медленно.

umath.ru

Разложение чисел на простые множители

Онлайн-калькулятор «Разложение числа на простые множители» позволит вам разложить любое составное число на простые множители. Для этого вам нужно ввести число в поле и нажать кнопку «Вычислить». Особенностью данного калькулятора является то, что он не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение. С помощью нашего калькулятора Вы сможете быстро получить результат, а подробное решение поможет вам разобраться, как был произведен расчет.

Введите число:

Вычислить

Все натуральные числа можно разделить на две группы чисел: простые и составные.

Простое число – это число, которые имеют только два делителя (единица и само это число), т.е. делится без остатка только на единицу и на само себя. Принято считать, что единица (1) не является простым числом. Пример простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и т.д. Простых чисел бесконечное множество, ниже в таблице представлены простые числа до 1000.

Составное число – это число, которые имеют более двух делителей. Любое составное число может быть представлено в виде произведенения простых чисел, например: 84 = 2 · 2 ·3 ·7.

Таблица простых чисел до 1000

calc.by

Разложение чисел на простые множители

Натуральное число n называется делителем целого числа m, если для подходящего целого числа k верно равенство m = n ∙ k. В этом случае говорят, что m делится на n или что число m кратно числу n.

Простым числом называют натуральное число p ≥ 2, делящееся только на себя и на единицу. Составным числом называют число, имеющее больше двух различных делителей (любое целое число m, не равное 0 и 1, имеет как минимум два делителя: 1 и |m|; делителями нуля являются все натуральные числа). Например, числа 2, 3, 5, 7, 11 – простые, а числа 9 = 3∙3, 26 = 2∙13 – составные.

Любое натуральное число n, большее единицы, можно разложить в произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Данная программа раскладывает заданное число в произведение простых множителей

Как разложить число на множители?

В школе на уроках математики разложение числа на множители обычно записывают столбиком (в две колонки). Делается это так: в левую колонку выписываем исходное число, затем

• Берём самое маленькое простое число — 2 и по признакам делимости или обычным делением проверяем, делится ли наше число на 2.
• Если делится, то в правую колонку выписываем 2. Далее делим исходное число на 2 и записываем результат в левую колонку под исходным числом.
• Если не делится, то берём следующее простое число — 3.

Повторяем эти шаги, при этом работаем уже с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение заканчивается, когда в левой колонке будет записано число 1.

Чтобы лучше это понять, разберём несколько примеров.

Пример. Разложить на множители число 84.

Решение. Записываем число 84 в левую колонку:

Берём первое простое число — два и проверяем, делится ли 84 на 2. Так как 84 оканчивается на 4, а 4 делится на 2, то и 84 делится на 2 по признаку делимости. Записываем 2 в правую колонку. 84:2 = 42, число 42 записываем в левую колонку. Получили вот что:

Теперь работаем уже с числом 42. Число 42 делится на 2, поэтому записываем 2 в правую колонку, 42:2 = 21, число 21 записываем в левую колонку.

Число 21 на 2 не делится, поэтому проверяем его делимость на следующее простое число — 3. Число 21 делится на 3, 21:3 = 7. Записали 3 в правую колонку, 7 — в левую. Получили

Число 7 — простое число, поэтому в правой колонке записываем 7, в левую пишем 1. В итоге получили:

Всё, число разложено!

В результате в правой колонке оказались записаны все простые множители числа 84. То есть 84=2∙2∙3∙7.

calcs.ucoz.ru

помогите разложить число 13 на простые множители!

Займитесь этим сами, на досуге

4.3333 i esche chislo piiiiiiiiiiii

корень из 13 умножить на корень из 13, 13 умножить на 1.

13 — Это т.н. «простое число», которое разлагается только на 2 простых множителя — 1 и само себя. <br>Таких чисел — целый ряд: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23 и т.д.

типа озадачил? или нет понятия что есть простые числа?

Число 13 имеет только два делителя:1 и 13

Ну Вы даете…Оскорбление какое-то.

ti v kakom klasse uchishsya dvoechnik?

touch.otvet.mail.ru

Сложение и вычитание целых чисел с разными знаками

Сложение

При сложении двух целых чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится их общий знак.

Примеры:

(+3) + (+7) = 10

(-3) + (-7) = -10

Из данных примеров следует, что в результате сложения двух положительных чисел получится положительное число, а в результате сложения двух отрицательных чисел – отрицательное число.

При сложении двух целых чисел с разными знаками нужно взять их абсолютные величины и из большей вычесть меньшую, в результате ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше.

Другими словами, можно просто, не обращая внимания на знаки, вычесть из большего числа меньшее и у получившегося результата поставить знак большего числа:

Примеры:

(-4) + (+11) = 7,   так как   11 — 4 = 7

(-5) + (+2) = -3,   так как   5 — 2 = 3

Из данных примеров следует, что в результате сложения двух чисел с разными знаками может получится как положительное, так и отрицательное число.

Сумма двух противоположных чисел равна нулю:

(-7) + 7 = 0

Вычитание

Вычитание одного целого числа из другого можно заменить сложением, при этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое с противоположным:

(+6) — (+5) = (+6) + (-5) = 1

(+6) — (-5) = (+6) + (+5) = 11

(-6) — (-5) = (-6) + (+5) = -1

(-6) — (+5) = (-6) + (-5) = -11

Из данных примеров следует, что чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

При решении выражений, содержащих и сложение и вычитание, можно сначала заменить вычитание сложением, затем отдельно сложить положительные и отрицательные слагаемые, а потом найти сумму получившихся чисел.

Пример:

12 — 18 + 41 — 9

Заменим вычитание на сложение:

12 + (-18) + 41 + (-9)

сгруппируем слагаемые по их знакам и сложим отдельно положительные и отрицательные числа:

(12 + 41) + ((-18) + (-9)) = 53 + (-27)

Теперь осталось только найти сумму двух получившихся результатов:

53 + (-27) = 26, значит   12 — 18 + 41 — 9 = 26

naobumium.info

Арифметические действия с числами разных знаков.

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ

СТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ №30

Предметная (цикловая) комиссия

«Общеобразовательная подготовка»

Арифметические действия

с числами разных знаков

У Ч Е Б Н О Е П О С О Б И Е — П Р А К Т И К У М

Рекомендуется для использования в качестве учебного пособия по учебной дисциплине «Математика» для обучающихся первых курсов

Москва 2015

22.130я722

Х24

Арифметические действия с числами разных знаков:учеб. пособие/ сост. Т. Г. Хасянова . – М: Изд-во ГБПОУ Строительный техникум №30, 2015 . – 15 с.

Учебное пособие-практикум «Арифметические действия с числами разных знаков» составлено Хасяновой Т.Г., преподавателем математики.

Учебное пособие-практикум рассмотрено и одобрено на заседании предметной (цикловой) комиссии «Общеобразовательная подготовка», протокол № 8 от 28 мая 2015 г.

Настоящее издание представляет собой часть базового курса дисциплины «Математика», который изучается обучающимися первых курсов техникума

 ГБПОУ Строительный техникум №30, 2015

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение …………………………………………………………………

3

1 Основные понятия, правила и действия с отрицательными и положительными числами…………………………………….………………

6

2 Практикум ……………………………………………………………….

8

3. Рефлексия ………………………………………………………………

13

4. Список использованных источников …………………………………

14

Введение

Современный уровень развития науки и техники требует глубоких и прочных математических знаний. Математические расчеты, основанные на использовании алгоритмов основных математических действий, являются составной частью трудовой деятельности рабочего, инженера и других. Одним из важнейших умений, которые обязано дать математическое образование, является сознательное, быстрое и безошибочное выполнение действий над числами. Однако, учение о действиях с отрицательными числами вызывает затруднения у учащихся. И не потому, что устанавливаемые правила действий сложны.

Напротив, они очень просты. Но неясными остаются два вопроса.

1. Зачем вводятся отрицательные числа?

2. Почему над ними совершаются действия по таким правилам, а не по иным? В частности, очень плохо понимается, почему при умножении и делении отрицательного числа на отрицательное результат есть положительное число.

Все эти вопросы возникают потому, что с отрицательными числами учащихся обычно знакомят до того, как они начали решать уравнения, и больше не возвращаются к правилам действий с отрицательными числами. Между тем лишь в связи с решением уравнений выясняется ответ на оба поставленных выше вопроса. Исторически отрицательные числа возникли именно в этой связи. Не будь уравнений, не было бы нужды и в отрицательных числах.

На два выше поставленных вопроса нужно ответить следующим образом:

1. Отрицательные числа вводятся затем, чтобы устранить ряд трудностей, возникающих прежде всего при решении уравнений.

2. Правила действий над ними вытекают из необходимости согласовать результаты, полученные с помощью отрицательных чисел, с теми результатами, которые могли быть получены и без них.

Опираясь на свой многолетний опыт, в учебном пособии-практикуме предельно просто изложена задача изучения этой темы: в примерах использованы только целые числа с целью сознательного усвоения именно законов и свойств арифметических действий с числами разных знаков, не отвлекая внимание на сложную работу с самими числами.

Особое внимание уделено необходимости применять теоретические знания (правила) в практике вычислений.

Первое время рекомендуется проговаривать выполняемое действие , так как это позволяет не торопиться и помогает добиться осознанных умений рациональной организации вычислений. Таким образом, у обучающихся быстрее развивается числовая наблюдательность, помогающая им проникнуть в особенности чисел и правил действий над ними. Сами приемы должны быть как можно однообразнее.

Полезно напомнить обучающимся, что цифры надо писать четко, располагать при соответствующих вычислениях по вертикали одну под другой, не пропускать математические знаки. Обучающимся следует напоминать о том, что скорость и точность вычисления зависят от того, как ведется оформление вычислительных работ на бумаге. Письменные вычисления являются основным видом вычислительной работы на уроках физики, химии и других учебных дисциплин.

В настоящем учебном пособии-практикуме изложены рекомендации, разработанные автором в помощь преподавателям математики, родителям и обучающимся с целью повышения вычислительной культуры и формирования сознательных и прочных навыков вычисления чисел с разными знаками.

1.Основные понятия, правила и действия с отрицательными и положительными числами

1.1.Абсолютная величина (модуль)

Абсолютная величина (модуль ). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на  « + »;  для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.

П р и м е р ы :     | – 5 | = 5,    | 7 | = 7,    | 0 | = 0.

1.2. Сложение

1. при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.

П р и м е р ы :

                                           ( + 6 ) + ( + 5 ) = 11 ;

                                           ( – 6 ) + ( – 5 ) = – 11 .

2. при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак числа с большей абсолютной величиной.

     П р и м е р ы :

                                           ( – 6 ) + ( + 9 ) = 3 ;

                                           ( – 6 ) + ( + 3 ) = – 3 .

1.3. Вычитание

Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с противоположным знаком.

П р и м е р ы :

                                           ( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;

                                           ( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;

                                           ( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;

                                           ( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13;

 1.4. Умножение

При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак  « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак  « – » , если знаки сомножителей разные.

Полезна следующая схема (правила знаков при умножении):

                                            +   ·   +   =   +

                                            +   ·   –   =   –

                                            –   ·   +   =   –

                                            –   ·   –   =   +

 При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.

П р и м е р :

 1.5. Деление 

При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак  « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак  « – » , если знаки делимого и делителя разные.

Здесь действуют те же правила знаков, что и при умножении:

                                       +   :   +   =   +

                                       +   :   –   =   –

                                       –   :   +   =   –

                                       –   :   –   =   +

П р и м е р :    ( – 12 ) : ( + 4 ) = – 3 .

2. Практикум

2.1. Сложение отрицательных чисел

2.2. Сложение чисел с разными знаками

2.3. Вычитание чисел с разными знаками

2.4. Умножение и деление чисел с разными знаками

2.5. Примеры на все действия

3. Рефлексия

Для закрепления данной темы, рекомендуется ответить на вопросы:

1. Что называют модулем числа?

2. Какие числа называют противоположными?

3. Сформулируйте правило сложения чисел с разными знаками.

4. Сформулируйте правило сложения отрицательных чисел.

5. Сформулируйте правило умножения отрицательных чисел.

6. Сформулируйте правило умножения чисел с разными знаками.

7. Чему равна сумма противоположных чисел?

8. Какое число противоположно нулю?

9. Какие числа называют взаимно обратными?

10. Как умножить смешанные числа?

11. Сформулируйте правило деления отрицательных чисел.

12. Сформулируйте правило деления чисел, имеющих разные знаки

Список используемых источников

1.http://www.bymath.net/ «Средняя математическая интернет школа»

2. «Справочник по элементарной математике», Москва, 1986г.

Учебное издание

Арифметические действия

с числами разных знаков

Ответственный за выпуск С.В. Михайлов

Верстка – А. Фадеев

______________________________

Подписано в печать 22.06.2015.

Формат 60х90/16. Бумага офсетная мелованная.

Печ. л. 1,8. Тираж 60 экз.

infourok.ru

Сложение и вычитание отрицательных и положительных чисел. Решение примеров.

Существуют разные типы чисел — четные числа, нечетные числа, простые числа, составные числа. Также на основе знака числа могут быть двух видов — положительные числа и отрицательные числа. Эти числа могут быть представлены на числовой линией. Среднее число в этой строке равно нулю. С левой стороны от нуля находятся отрицательные числа, а с правой стороны — положительные.

Ноль — это нейтральный элемент относительно сложения целых чисел. В основном в этой статье мы будем изучать операции сложения и вычитания с отрицательными числами. Существуют определенные правила для знаков при сложении и вычитании:

• Для того чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить два числа и поставить знак минус.

\((-2)+(-3)=-5\)

• Если первое число положительное, а второе отрицательное, смотрим, какое число по модулю больше, отнимаем от большего меньшее число и ставим знак большего числа:

\((-8)+4=4-8=-4\)

\(9+(-4)=9-4=5\)

Для каждого числа кроме \(0\) существует противоположный элемент, при сумме с ним образуется ноль:

\(-9+9=0\)     \(7,1+(-7,1)=0\)

• При вычитания двух чисел, в которых оба отрицательные, следует знать правило: минус на минус дает плюс. То есть, если стоят рядом два минуса, в сумме получается плюс.

\((-7)-(-6)=(-7)+6=(-1)\)

• Если первое число положительное, а второе отрицательное, вычитаем по тому же принципу, что и складываем: смотрим, какое число по модулю больше, отнимаем от большего меньшее число и ставим знак большего числа.

\(7-9=-2\) так как \(9>7\)

• Также не стоит забывать минус на минус дает плюс:

\(7-(-9)=7+9=16\)

Задача 1. Вычислите:

1.  \(4+(-5)\)
2.  \(-36+15\)
3. \((-17)+(-45)\)
4. \(-9+(-1)\)

Решение:

1.  \(4+(-5)=4-5=-1\)
2.  \(-36+15=-21\)
3. \((-17)+(-45)\) \(=-17-45=-62\)
4. \(-9+(-1)=-9-1=-10\)

Задача 2. Вычислите:

1. \(3-(-6)\)
2.  \(-16-35\)
3. \(-27-(-5)\)
4.  \(-94-(-61)\)

Решение:

1.  \(3-(-6)=3+6=9\)
2. \(-16-35=-51\)
3.  \(-27-(-5)=-27+5=-22\)
4.  \(-94-(-61)=-94+61=-33\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Сложение и вычитание чисел с разными знаками

На действиях с положительными и отрицательными числами основан практически весь курс математики. Ведь как только мы приступаем к изучению координатной прямой, числа со знаками «плюс» и «минус» начинают встречаться нам повсеместно, в каждой новой теме. Нет ничего проще, чем сложить между собой обычные положительные числа, нетрудно и вычесть одно из другого. Даже арифметические действия с двумя отрицательными числами редко становятся проблемой.

Однако многие путаются в сложении и вычитании чисел с разными знаками. Напомним правила, по которым происходят эти действия.

Сложение чисел с разными знаками

Если для решения задачи нам требуется прибавить к некоторому числу «а» отрицательное число «-b», то действовать нужно следующим образом.

• Возьмем модули обоих чисел — |a| и |b| — и сравним эти абсолютные значения между собой.
• Отметим, какой из модулей больше, а какой меньше, и вычтем из большего значения меньшее.
• Поставим перед получившимся числом знак того числа, модуль которого больше.

Это и будет ответом. Можно выразиться проще: если в выражении a + (-b) модуль числа «b» больше, чем модуль «а», то мы отнимаем «а» из «b» и ставим «минус» перед результатом. Если больше модуль «а», то «b» вычитается из «а» — а решение получается со знаком «плюс».

Бывает и так, что модули оказываются равны. Если так, то на этом месте можно остановиться — речь идет о противоположных числах, и их сумма всегда будет равна нулю.

Вычитание чисел с разными знаками

Со сложением мы разобрались, теперь рассмотрим правило для вычитания. Оно тоже довольно простое — и кроме того, полностью повторяет аналогичное правило для вычитания двух отрицательных чисел.

Для того, чтобы вычесть из некоего числа «а» — произвольного, то есть с любым знаком — отрицательное число «с», нужно прибавить к нашему произвольному числу «а» число, противоположное «с». Например:

• Если «а» — положительное число, а «с» — отрицательное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем так: а – (-с) = а + с.
• Если «а» — отрицательное число, а «с» — положительное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем следующим образом: (- а )– с = — а+ (-с).

Таким образом, при вычитании чисел с разными знаками в итоге мы возвращаемся к правилам сложения, а при сложении чисел с разными знаками — к правилам вычитания. Запоминание данных правил позволяет решать задачи быстро и без труда.

Примеры сложения и вычитания чисел с разными знаками

Похожие статьи

Таблица умножения и игра, чтобы быстро выучить

С лучшей бесплатной игрой таблица умножения учится очень быстро. Проверьте это сами!

Учить таблицу умножения — игра

Попробуйте нашу обучающую электронную игру. Используя её, вы уже завтра сможете решать математические задачи в классе у доски без ответов, не прибегая к табличке, чтобы умножить числа. Стоит только начать играть, и уже минут через 40 будет отличный результат. А для закрепления результата тренируйтесь несколько раз, не забывая о перерывах. В идеале – каждый день (сохраните страницу, чтобы не потерять). Игровая форма тренажера подходит как для мальчиков, так и для девочек.

Таблица умножения – таблица, где строки и столбцы озаглавлены множителями (1, 2, 3, 4, 5…), а ячейки таблицы содержат их произведение. Применяется таблица для обучения умножению. Здесь есть игра и картинка для печати. Для скачивания игры с таблицей на компьютер, сохраните страницу (Ctrl+S). Также посмотрите таблицу деления.

Смотрите ниже шпаргалки в полной форме.

Распечатать таблицу умножения

Умножение прямо на сайте (онлайн)

https://uchim.org/matematika/tablica-umnozheniya — uchim.org

Как умножать числа столбиком (видео по математике)

Чтобы потренироваться и быстро выучить, можно также попробовать умножать числа столбиком.

Нужно распечатать таблицу умножения? Просто нажмите на ссылку печать таблицы умножения. Либо скопируйте картинку (первая таблица) в Ворд (Microsoft Office Word) и распечатайте с помощью сочетания клавиш Ctrl+P. Смотрите также таблицу квадратов.

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица умножения и игра, чтобы быстро выучить

uchim.org

Умножение на 4 | Таблица умножения

    На этой странице представлены примеры, описывающие умножение на 4 и умножение числа 4, деление, некоторые способы произношения и записи, таблица умножения на 4 без ответов, в конце статьи — картинки для скачивания, с помощью которых можно распечатать часть таблицы. Умножение на 4:
1 x 4 = 4
2 x 4 = 8
3 x 4 = 12
4 x 4 = 16
5 x 4 = 20
6 x 4 = 24
7 x 4 = 28
8 x 4 = 32
9 x 4 = 36
10 x 4 = 40

Первый вариант произношения:
1 x 4 = 4 (1 умножить на 4, равно 4)
2 x 4 = 8 (2 умножить на 4, равно 8)
3 x 4 = 12 (3 умножить на 4, равно 12)
4 x 4 = 16 (4 умножить на 4, равно 16)
5 x 4 = 20 (5 умножить на 4, равно 20)
6 x 4 = 24 (6 умножить на 4, равно 24)
7 x 4 = 28 (7 умножить на 4, равно 28)
8 x 4 = 32 (8 умножить на 4, равно 32)
9 x 4 = 36 (9 умножить на 4, равно 36)
10 x 4 = 40 (10 умножить на 4, равно 40)

Второй вариант произношения:
1 x 4 = 4 ( по 1 взять 4 раза, получится 4)
2 x 4 = 8 ( по 2 взять 4 раза, получится 8)
3 x 4 = 12 ( по 3 взять 4 раза, получится 12)
4 x 4 = 16 ( по 4 взять 4 раза, получится 16)
5 x 4 = 20 ( по 5 взять 4 раза, получится 20)
6 x 4 = 24 ( по 6 взять 4 раза, получится 24)
7 x 4 = 28 ( по 7 взять 4 раза, получится 28)
8 x 4 = 32 ( по 8 взять 4 раза, получится 32)
9 x 4 = 36 ( по 9 взять 4 раза, получится 36)
10 x 4 = 40 ( по 10 взять 4 раза, получится 40)

От перемены мест множителей значение произведения не меняется, поэтому, зная результаты умножения на 4, можно легко найти результаты умножения числа 4. В качестве знака умножения в разных источниках используют разные символы. Выше был показан пример с (x), в этот раз сделаем запись с помощью приподнятой точки ( ∙ )

Умножение числа 4:

4 ∙ 1 = 4
4 ∙ 2 = 8
4 ∙ 3 = 12
4 ∙ 4 = 16
4 ∙ 5 = 20
4 ∙ 6 = 24
4 ∙ 7 = 28
4 ∙ 8 = 32
4 ∙ 9 = 36
4 ∙ 10 = 40

Варианты произношения:
4 ∙ 1 = 4 (по 4 взять 1 раз, получится 4)
4 ∙ 2 = 8 (по 4 взять 2 раза, получится 8)
4 ∙ 3 = 12 (по 4 взять 3 раза, получится 12)
4 ∙ 4 = 16 (по 4 взять 4 раза, получится 16)
4 ∙ 5 = 20 (по 4 взять 5 раз, получится 20)
4 ∙ 6 = 24 (по 4 взять 6 раз, получится 24)
4 ∙ 7 = 28 (по 4 взять 7 раз, получится 28)
4 ∙ 8 = 32 (по 4 взять 8 раз, получится 32)
4 ∙ 9 = 36 (по 4 взять 9 раз, получится 36)
4 ∙ 10 = 40 (по 4 взять 10 раз, получится 40)

4 ∙ 1 = 4 (4 умножить на 1, равно 4)
4 ∙ 2 = 8 (4 умножить на 2, равно 8)
4 ∙ 3 = 12 (4 умножить на 3, равно 12)
4 ∙ 4 = 16 (4 умножить на 4, равно 16)
4 ∙ 5 = 20 (4 умножить на 5, равно 20)
4 ∙ 6 = 24 (4 умножить на 6, равно 24)
4 ∙ 7 = 28 (4 умножить на 7, равно 28)
4 ∙ 8 = 32 (4 умножить на 8, равно 32)
4 ∙ 9 = 36 (4 умножить на 9, равно 36)
4 ∙ 10 = 40 (4 умножить на 10, равно 40)

Деление на 4:

4 ÷ 4 = 1
8 ÷ 4 = 2
12 ÷ 4 = 3
16 ÷ 4 = 4
20 ÷ 4 = 5
24 ÷ 4 = 6
28 ÷ 4 = 7
32 ÷ 4 = 8
36 ÷ 4 = 9
40 ÷ 4 = 10

4 ÷ 4 = 1 (4 разделить на 4, равно 1)
8 ÷ 4 = 2 (8 разделить на 4, равно 2)
12 ÷ 4 = 3 (12 разделить на 4, равно 3)
16 ÷ 4 = 4 (16 разделить на 4, равно 4)
20 ÷ 4 = 5 (20 разделить на 4, равно 5)
24 ÷ 4 = 6 (24 разделить на 4, равно 6)
28 ÷ 4 = 7 (28 разделить на 4, равно 7)
32 ÷ 4 = 8 (32 разделить на 4, равно 8)
36 ÷ 4 = 9 (36 разделить на 4, равно 9)
40 ÷ 4 = 10 (40 разделить на 4, равно 10)

tablica-umnozheniya.ru

Таблица умножения на 12

Автор: Bill4iam

kvn201.com.ua

Таблица умножения на 4

Автор: Bill4iam

kvn201.com.ua

Как легко запомнить таблицу умножения

На первый взгляд таблица умножения кажется громоздкой. 100 элементов! Ребенок, наверное, даже не ожидает, что такое придется учить. Но есть несколько способов, как можно выучить данную таблицу быстрее, чем зубрежка. Некоторые из них сложные и мало результативные, другие же наоборот очень эффективные.

Таблица умножения

И одним из таких эффективных методов я поделюсь. Он основан на последовательности изучения отдельных таблиц для отдельных чисел и знания их некоторых закономерностей.

Как быстро запомнить таблицу умножения

Половину таблицы умножения даже нет смысла учить.

Умножение на 1, 2, 10. Это очевидно, как умножать цифры на 1 и на 10. А умножение на 2 это очень простое сложение числа с самим собой.

2 x 2 = 2 + 2 = 4
6 x 2 = 6 + 6 = 12
9 x 2 = 9 + 9 = 18

Умножение на 1 и 10

Соответственно к тому времени, как учить таблицу умножения ребенок должен знать, что такое сложение чисел. Теперь когда мы разобрались с умножением на 1, 2, 10 остается таблица всего лишь из 49 элементов.

Оставшаяся таблица

Умножение на 3, 4. Основные сложности, замеченные мной, при запоминании таблицы умножения —  это умножения на 3 и на 4. Когда вы изучите это, останется совсем немного.

Я предлагаю выучить последовательность (результаты произведения чисел при умножении на 3) : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 так, чтобы научиться достаточно быстро называть данную последовательность.

Далее предлагаю последовательно задавать вопрос
«3 умножить на 1»  — 3!
«3 умножить на 2»  — 6!
«3 умножить на 3» — 9!
«3 умножить на 4» — 12!
…..
«3 умножить на 10» — 30!

Таким образом, мы сопоставляем ту последовательность (результаты умножения на 3), которую выучили ранее с множителями цифры 3. Далее предлагаю делать это в произвольном порядке:

«3 умножить на 3»  — 9!
«3 умножить на 1» — 3!
«3 умножить на 7» — 21!

До тех пор, пока не усвоится умножение на 3.

То же самое мы делаем и с умножением на 4. Учим последовательность 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.

Последовательно проходим
«4 умножить на 1» — 4!
«4 умножить на 2» — 8!
«4 умножить на 3» — 12!
«4 умножить на 4» — 16!
…..
«4 умножить на 10» — 40!

И далее в случайном порядке
«4 умножить на 7» — 28!
«4 умножить на 3» — 12!
«4 умножить на 6» — 24!

Умножение на 5. Умножение на 5 учится легко, т.к. произведении любого числа на 5 заканчивается либо на 0, либо на 5.

Умножение на 9. Для умножения на 9 есть интересный прием

9 x 1  = 09
9 x 2  = 18
9 x 3  = 27
9 x 4  = 36
9 x 5  = 45
9 x 6  = 54
9 x 7  = 63
9 x 8  = 72
9 x 9  = 81
9 x 10  = 90

Во-первых, сумма цифр произведения дает нам 9.

9 x 2  = 18 (1 + 8 = 9)
9 x 3  = 27 (2 + 7 = 9)
9 x 4  = 36 (3 + 6 = 9)
9 x 5  = 45 (4 + 5 = 9)

Во-вторых, число множителя 9 на 1 больше, чем первая цифра в результате произведения

9 x 2  = 18 (9 умножить на 2 результат начинается с единицы)
9 x 3  = 27 (9 умножить на 3 результат начинается с двойки)
9 x 4  = 36 (9 умножить на 4 результат начинается с тройки)
9 x 5  = 45 (9 умножить на 5 результат начинается с четверки)

Используя 2 этих факта, можно значительно упростить задачу запоминания умножения на 9.

Теперь, когда мы знаем таблицу умножения на 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10. Остается небольшой кусочек:

Легко запомнить

Многие находят достаточно легким выучить умножение числа на само себя (квадрат числа)

6 x 6  = 36
7 x 7  = 49
8 x 8  = 64

И тогда остается 3 «сложных» факта:

7 x 6 = 6 x 7 = 42
8 x 6 = 6 x 8 = 48
8 x 7 = 7 x 8 = 56

Их нужно просто выучить.

В итоге разложив всё на поэтапные шаги, понимаем, что запомнить таблицу умножения не так уж и сложно.

Для повторения таблицы умножения советую использовать карточки, но именно для повторения!

Просто пройдите последовательно по всем шагам  и повторяйте запомненную таблицу по карточкам и быстрые результаты не заставят себя ждать!

zapomnivse.com

Помогите с примером!!! 12,7 умножить на 0,5-9,4 умножить на 0,8

первый делом действия с умножением, а потом вычитание 12,7*0,5=6,35 9,4*0,8=7,52 6,35-7,52=-1,17 Это если в примере нет скобок

<a rel=»nofollow» href=»http://umal.me/0t1″ target=»_blank»>Леся Посмотри, тут было</a>

2162356288372 неправильно

помогите решить пример 12 умножить на A + 12 уумножить на B пж срочно!

touch.otvet.mail.ru

Калькулятор дробей — сложить, умножить, разделить, найти разность дробей

Сложение и вычитание

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями необходимо: привести дробные части к наименьшему общему знаменателю; затем сложить их числители. Рассмотрим на примере как сложить две дроби с разными знаменателями.

Пример Сложить дроби и

.

Наименьшее общее кратное знаменателей (8 и 6) равно 24.

Для нахождения разности дробей необходимо: привести дробные части к наименьшему общему знаменателю; затем выполнить вычитание числителей.

Пример Найти разность дробей и

.

Общее кратное знаменателей НОК(16, 20)=80. Для вычисления наименьшего общего кратного можно воспользоваться калькулятором. Калькулятор вычислит НОК автоматически.

Умножение и деление

Для умножения двух дробей нужно: перемножить их числители и знаменатели .

Пример Найти произведение дробей и

.

Чтобы разделить дробь на другую нужно: умножить первую дробь на дробь, обратную второй: .

Пример Разделить дробь на

.

calcs.su

Площадь трапеции | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу. Высотой трапеции называют линию, перпендикулярную основаниями, для удобства ее часто проводят из тупого угла трапеции на большее основание. Средняя линия трапеции – это линия, которая параллельна основаниям, и разделяет боковые стороны ровно пополам. Среднюю линию трапеции можно найти средним арифметическим оснований – сложив их и разделив на два.

Площадь трапеции в самом простом виде – это произведение средней линии на высоту, или если раскрыть формулу средней линии, то произведение полусуммы оснований на высоту.

Доказательством этой формулы будет служить представление площади трапеции, как суммы площадей двух треугольников полученных при проведении диагонали.

Площади этих треугольников будут равны соответственно и (для того, чтобы нарисовать высоту во втором треугольнике, необходимо будет продлить основание b). Площадь трапеции будет равна сумме полученных выражений, где мы вынесем высоту за скобку, и получим искомую формулу:

Вывести формулу, для того чтобы вычислить площадь трапеции через стороны, можно с помощью метода подстановки.

Проведя две высоты в трапеции, получаем по бокам прямоугольные треугольники с известными гипотенузами и неизвестными катетами x и y. Таким образом x+y=d-b, y=d-b-x.
Одинаковый катет у обоих треугольников – высота, которую мы ищем. Через теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках выражаем высоту и . Приравнивая, получаем a²-x²=c²-y² или x²-y²=a²-c².
x²-(d-b-x)²=a²-c² — Подставляем вместо х полученное выше выражение d-b-y.
x²-d²+bd+dx-b²+bd-bx-x²+dx-bx=a²-c² — Раскрываем скобки.
x²-d²+2bd+2dx-b²-2bx-x²=a²-c² — Приводим подобные слагаемые.
2dx-2bx=a²-c²+d²+b²-2bd — Переносим все вправо, оставляя слева только y.
2x(d-b)=a²-c²+(d-b)² — Выносим общие множители.

Подставляем обратно y в формулу высоты .
Формула площади трапеции через стороны будет выглядеть так:

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними считается условным делением трапеции на четыре треугольника, точно также как и площадь любого произвольного четырехугольника.

Площадь равнобедренной трапеции можно найти еще одним способом, если даны угол при основании и радиус вписанной окружности. Дело в том, что центр вписанной окружности, откуда берет свое начало радиус, находится точно в центре трапеции, таким образом, приравнивая высоту и диаметр окружности (либо удвоенный радиус). Также одно из свойств трапеции, описанной вокруг окружности – это равенство суммы оснований и суммы боковых сторон, значит, мы сможем найти среднюю линию, зная боковые стороны. Проведя высоту, из прямоугольного треугольника получаем боковую сторону и среднюю линию
Тогда площадь трапеции равна

geleot.ru

Калькулятор площади трапеции онлайн

Похожее

kalkulyator.life

Площадь трапеции

Площадь трапеции, формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн. Приведены формулы для всех типов трапеций и частные случаи для равнобедренных трапеций.

Площадь для всех видов трапеции

Площадь трапеции по высоте и двум основаниям

a — основание

b — основание

h — высота

… подготовка …

Площадь трапеции по высоте и средней линии

m — средняя линия

h — высота

… подготовка …

Площадь трапеции по четырем сторонам

a — основание

b — основание

c — сторона

d — сторона

… подготовка …

Площадь трапеции по диагонали и углу между диагоналями

d₁ — диагональ

d₂ — диагональ

α° — угол между диагоналями

… подготовка …

Площадь трапеции через ее основания и углы при основании

a — основание

b — основание

α° — угол при основании

β° — угол при основании

… подготовка …

Площадь равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через ее стороны

a — сторона

b — сторона

c — сторона

… подготовка …

Площадь равнобедренной трапеции через малое основание, боковую сторону и угол при большем основании

a — основание

c — сторона

α° — угол при основании

… подготовка …

Площадь равнобедренной трапеции через большее основание, боковую сторону и угол при большем основании

b — основание

c — сторона

α° — угол при основании

… подготовка …

Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол при основании

a — основание

b — основание

α° — угол при основании

… подготовка …

Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между диагоналями

d — диагональ

α° — угол между диагоналями

… подготовка …

Площадь равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

m — средняя линия

c — сторона

α° — угол между сторонами

… подготовка …

Площадь равнобедренной трапеции по радиусу вписанной окружности и углу между сторонами

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

r — радиус вписанной окружности

α° — угол между сторонами

… подготовка …

Площадь равнобедренной трапеции через два ее основания и радиус вписанной окружности

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

a — основание

b — основание

r — радиус вписанной окружности

… подготовка …

Площадь равнобедренной трапеции через ее основания и угол при большем основании

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

a — основание

b — основание

α° — угол при основании

… подготовка …

Площадь равнобедренной трапеции через стороны

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

a — основание

b — основание

c — сторона

… подготовка …

Площадь равнобедренной трапеции через основания и среднюю линию

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

a — основание

b — основание

m — средняя линия

… подготовка …

Определения

Площадь трапеции – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), два из которых параллельны друг другу

Трапеция – это геометрическая фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), два из которых параллельны друг другу.

Основания трапеции – это параллельные стороны трапеции. Трапеция имеет большое и малое основание.

Средняя линия трапеции – это отрезок соединяющий середины боковых сторон трапеции и при этом всегда параллельный основаниям трапеции.

Высота трапеции – это отрезок проведенный между основаниями трапеции под углом 90 градусов к каждому из снований.

Сумма углов трапеции равна 360 градусов.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км², м², см², мм² и т.д.

doza.pro

Калькулятор для расчета площади

Данный онлайн-калькулятор позволяет рассчитать площадь различных геометрических фигур, таких как:

Для удобства расчетов вы можете выбрать единицу измерения (миллиметр, сантиметр, метр, километр, фут, ярд, дюйм, миля). Также полученный результат можно конвертировать в другую единицу измерения путем выбора её из выпадающего списка.

Расчет площади прямоугольника

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади треугольника

Способ нахождения площади треугольника: По трем сторонамПо одной стороне и высоте, опущенной на эту сторонуПо двум сторонам и углу между ними

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади круга

Рассчитать площадь круга, если известен:

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади параллелограмма

Способ нахождения площади параллелограмма:
По основанию и высоте параллелограммаПо двум сторонам и углу между нимиПо двум диагоналям и углу между ними

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади правильного многоугольника

Многоугольник с числом сторон n и длиной стороны аМногоугольник с числом сторон n, вписанный в окружность радиуса RМногоугольник с числом сторон n, описанный вокруг окружности радиуса r

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади эллипса

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади сектора круга

Рассчитать площадь сектора круга, если известен:

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади трапеции

Способ нахождения площади трапеции: По двум основаниям a,b и высоте hПо двум основаниям a,b и боковым сторонам c,d

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры.

Данный онлайн-калькулятор удобен при расчете площадей помещений и земельных участков.

calc.by

Все формулы площади трапеции. Найти онлайн

Формулы площади трапеции

Внимание! Десятичную дробь надо писать с точкой, а не с запятой!

Трапеция — четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

Площадь трапеции через основания и высоту

\(a\) — основание

\(b\) — основание

\(h\) — высота

\(a =\)    \(b =\)    \(h =\)

Площадь трапеции через высоту и среднюю линию

\(h\) — высота

\(m\) — средняя линия трапеции

\(h =\)    \(m =\)

Площадь трапеции через четыре стороны

\(a, b, c, d\) — стороны

\(a =\)   \(b =\)  

\(c =\)   \(d =\)

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

\(d_1, d_2\) — диагонали

\(\alpha\) — угол между диагоналями \(d_1\) и \(d_2\)

\(d_1 =\)    \(d_2 =\)    \(\alpha = \)

Для равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол

\(r\) — радиус вписанной окружности

\(\alpha\) — угол

\(r =\)    \(\alpha =\)

www.100formul.ru

Площадь трапеции, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор позволяет вычислить площадь трапеции двумя способами: через основания и высоту или через среднюю линию и высоту. Для того чтобы найти площадь трапеции выберите подходящий способ, заполните соответствующие поля и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор покажет ответ и пошаговое решение!

Выберите cпособ расчета площади:

через основания и высоту через среднюю линию и высоту

Как найти площадь трапеции

Данный онлайн калькулятор дает возможность быстро и без проблем высчитать площадь любой трапеции. Вам надо знать только один из наборов параметров:

1. Основание и высоту, что чаще всего и применяется;
2. Среднюю линию и высоту.

Справка: средняя линия – это линия разделяющая трапецию поперек ровно по центру. Разделите боковые стороны пополам и проведите между ними линию. Это и будет та самая средняя линия, которая потребуется для того, чтобы узнать площадь всей трапеции.

Введите имеющиеся параметры в отдельные окошки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теперь вы знаете, как имея на руках 2 значения всего за 2 клика легко и быстро посчитать площадь трапеции.

ru.solverbook.com

Найти площадь трапеции онлайн калькулятор.

Общая теория для вычисления площади трапеции.

Трапеция – это плоская фигура, состоящая из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, и четырех отрезков (сторон), соединяющих попарно эти четыре точки,  у которой две противоположные стороны параллельны (лежат на параллельных прямых), а две другие  не параллельны.

Точки называются вершинами трапеции и обозначаются заглавными латинскими буквами.

Отрезки называются сторонами трапеции и обозначаются парой заглавных латинских букв соответственно вершинам, которые  отрезки соединяют.

Две параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции.

Две не параллельные стороны трапеции называются боковыми сторонами трапеции.

Рисунок №1: Трапеция ABCD

На рисунке №1 представлена трапеция ABCD с вершинами A,B ,C, D и сторонами AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC – основания трапеции ABCD.

AD, BC – боковые стороны трапеции ABCD.

Угол, образованный лучами AB и AD, называется углом при вершине A. Обозначается он как ÐA или ÐBAD, или ÐDAB.

Угол, образованный лучами BA и BC, называется углом при вершине B. Обозначается он как ÐB или ÐABC, или ÐCBA.

Угол, образованный лучами CB и CD, называется углом при вершине C. Обозначается он как ÐC или ÐDCB, или ÐBCD.

Угол, образованный лучами AD и CD, называется углом при вершине D. Обозначается он как ÐD или ÐADC, или ÐCDA.

Рисунок №2: Трапеция ABCD

На рисунке №2 отрезок MN, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. То есть,.

Рисунок №3: Равнобедренная трапеция ABCD

На Рисунке №3, AD=BC.

Трапеция называется равнобедренной (равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Рисунок №4: Прямоугольная трапеция ABCD

На Рисунке №4 угол D – прямой (равен 90^о).

Трапеция называется прямоугольной, если угол при боковой стороне прямой.

Площадью S плоской фигуры, к которым относится и трапеция, называется ограниченное замкнутое пространство на плоскости. Площадь плоской фигуры показывает величину этой фигуры.

Площадь обладает несколькими свойствами:

1.      Она не может быть отрицательной.

2.      Если дана некоторая замкнутая область на плоскости, которая составлена из нескольких фигур, не пересекающихся друг с другом (то есть, фигуры не имеют общих внутренних точек, но вполне могут касаться друг друга), то площадь такой области равна сумме площадей составляющих ее фигур.

3.      Если две фигуры равны, то и площади их равны.

4.      Площадь квадрата, который построен на единичном отрезке, равна единице.

За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков.

При решении задач часто используются следующие формулы вычисления площади трапеции:

1.      Площадь трапеции равна полусумме ее оснований умноженной на высоту: 

2.      Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту: 

3.      При известных длинах оснований и боковых сторон трапеции её площадь можно вычислить по формуле: 

4.      Возможно вычислить площадь равнобедренной трапеции при известной длине радиуса вписанной в трапецию окружности и известном значении угла при основании по следующей формуле: 

Пример 1: Вычислить площадь трапеции с основаниями a=7, b=3 и высотой h=15.

Решение:

Для нахождения площади трапеции воспользуемся следующей формулой вычисления площади:

 Таким образом, имеем следующее:

Ответ: 

Пример 2: Найти сторону основания трапеции с площадью S=35 см², высотой h=7см и вторым основанием b = 2 см.

Решение:

Для нахождения стороны основания трапеции воспользуемся формулой вычисления площади:  

Выразим из данной формулы сторону основания трапеции:

 Таким образом, имеем следующее:

Ответ: 

Пример 3: Найти высоту трапеции с площадью S=17 см² и основаниями a=30 см, b = 4 см.

Решение:

Для нахождения высоты трапеции воспользуемся формулой вычисления площади: 

Выразим из данной формулы высоту трапеции:

 Таким образом, имеем следующее:

Ответ: 

Пример 4: Вычислить площадь трапеции с высотой  h=24 и средней линией m=5.

Решение:

Для нахождения площади трапеции воспользуемся следующей формулой вычисления площади:

 Таким образом, имеем следующее:

Ответ: 

Пример 5: Найти высоту трапеции с площадью S = 48 см² и средней линией m=6 см.

Решение:

Для нахождения высоты трапеции воспользуемся формулой вычисления площади трапеции: 

Выразим из данной формулы высоту трапеции:

 Таким образом, имеем следующее:

Ответ: 

Пример 6: Найти среднюю линию трапеции с площадью S = 56 и высотой h=4.

Решение:

Для нахождения средней линии трапеции воспользуемся формулой вычисления площади трапеции: 

Выразим из данной формулы среднюю линию трапеции:

 Таким образом, имеем следующее:

Ответ: 

Пример 7: Вычислить площадь трапеции с основаниями a=2, b=6 и боковыми сторонами c=3, d=5.

Решение:

Для нахождения площади трапеции воспользуемся следующей формулой вычисления площади:

 Таким образом, имеем следующее:

Ответ: 

Пример 8: Вычислить площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности r=9 и углом при основании трапеции α=30^о.

Решение:

Для нахождения площади равнобедренной трапеции воспользуемся следующей формулой вычисления площади:

 Таким образом, имеем следующее:

Ответ: 

Пример 9: Вычислить радиус вписанной в равнобедренную трапецию окружности, если площадь трапеции S=200 и углом при основании трапеции α=30^о.

Решение:

Для нахождения радиуса вписанной в равнобедренную трапецию окружности воспользуемся следующей формулой вычисления площади:

 Выразим из данной формулы радиус:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ: 

Пример 9: Вычислить угол при основании трапеции, считая, что он острый. Если радиус вписанной в равнобедренную трапецию окружности r = и площадь трапеции S=.

Решение:

Для нахождения угла при основании трапеции воспользуемся следующей формулой вычисления площади:

 Выразим из данной формулы угол при основании трапеции:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ: 

ktoreshit.ru

Урок по теме «Решение квадратных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Рассмотрим стандартные (изучаемые в школьном курсе математики) и нестандартные приёмы решения квадратных уравнений.

3. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма.

Известно два способа задания логических функций: с помощью формулы и с помощью таблицы истинности. По формуле легко составляется таблица. На практике при конструировании различных электронных устройств часто возникает обратная задача – от таблицы истинности перейти к формуле, чтобы на ее основе построить функциональную схему.

Введем следующие определения:

Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция нескольких переменных, взятых с отрицанием или без отрицания, причем среди переменных могут быть одинаковые.

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция нескольких переменных, взятых с отрицанием или без отрицания, причем среди переменных могут быть одинаковые.

Всякую дизъюнкцию элементарных конъюнкций назовем дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Всякую конъюнкцию элементарных дизъюнкций назовем конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется ДНФ, в которой нет одинаковых элементарных конъюнкций и все конъюнкции состоят из одного и того же набора переменных, в который каждая переменная входит только один раз (возможно, с отрицанием).

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется КНФ, в которой нет одинаковых элементарных дизъюнкций и все дизъюнкции состоят из одного и того же набора переменных, в который каждая переменная входит только один раз (возможно, с отрицанием).

Приведем примеры формул, соответствующих и не соответствующих этим определениям:

Любую функцию, кроме констант 0 и 1, можно представить в виде как СДНФ, так и СКНФ.

Этот факт является теоремой алгебры логики. Из него следует, что любая формула (кроме констант 0 и 1) может быть преобразован к виду как СДНФ, так и СКНФ. Константа 0 может быть представлена только СКНФ (), а константа 1 – только СДНФ (). Из вышесказанного следует, что если надо построить формулу некоторой функции по таблице истинности этой функции, то всегда можно получить СКНФ или СДНФ этой функции.

Алгоритм получения СДНФ по таблице истинности:

1. Отметить те строчки таблицы истинности, в последнем столбце которых стоят 1:

X	Y	F(X,Y)
0	0	0
0	1	1*
1	0	1*
1	1	0

2. Выписать для каждой отмеченной строки конъюнкциювсех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в данной строкеравно 1, то в конъюнкцию включатьсаму эту переменную, еслиравно 0, то ееотрицание:

– для 2-й строки;

– для 3-й строки.

3. Все полученные конъюнкции связать в дизъюнкцию: .

Алгоритм получения СКНФ по таблице истинности:

1. Отметить те строки таблицы истинности, в последнем столбце которых стоит 0:

X	Y	F(X,Y)
0	0	0*
0	1	1
1	0	1
1	1	0*

2. Выписать для каждой отмеченной строки дизъюнкциювсех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в данной строкеравно 0, то в дизъюнкцию включатьсаму эту переменную, еслиравно 1, то ееотрицание:

– для 1-й строки;

– для 4-й строки.

3. Все полученные дизъюнкции связать в конъюнкцию: .

Покажем, что полученные по двум алгоритмам СДНФ и СКНФ эквивалентны. Преобразуем СКНФ по правилам алгебры логики: .

Примечание: для нахождения формулы по таблице истинности рекомендуется использовать тот из двух алгоритмов, в котором в таблице помечается меньше строк.

4. ТИПОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА ЭВМ.

К типовым логическим устройствам ЭВМ относятся сумматоры, полусумматоры, триггеры, счетчики, регистры, шифраторы, дешифраторы.

1. СУММАТОРЫ.

Сумматор является основным узлом арифметико-логического устройства ЭВМ и служит для суммирования чисел посредством поразрядного сложения.

Сумматор выполняет сложение многозначных двоичных чисел. Он представляет собой последовательное соединение одноразрядных двоичных сумматоров, каждый из которых осуществляет сложение в одном разряде. При этом если сумма двух цифр в данном разряде больше или равна основанию используемой системы счисления, то возникает перенос старшего разряда в соседний сумматор.

Одноразрядный сумматор должен иметь два выхода: для суммы и для переносимого значения. У него может быть два или три (для складываемых значений и значения переноса) входа.

Одноразрядный двоичный сумматор на два входа и два выхода называется одноразрядным полусумматором.

Одноразрядный двоичный сумматор на три входа и два выхода называется одноразрядным сумматором на три входа.

studfiles.net

2.5. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы булевых функций

Определение 1. Конъюнктивным одночленом (элементарной конъюнкцией) от переменных называется конъюнкция этих переменных или их отрицаний.

Например, – элементарная конъюнкция.

Определение 2. Дизъюнктивным одночленом (элементарной дизъюнкцией) от переменных называется дизъюнкция этих переменных или их отрицаний.

Например, – элементарнаядизъюнкция.

Определение 3. Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся дизъюнкцией элементарных конъюнктивных одночленов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) данной формулы.

Например, – ДНФ.

Определение 4. Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся конъюнкцией элементарных дизъюнктивных одночленов, называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ) данной формулы.

Например, – КНФ.

Для каждой формулы алгебры высказываний можно найти множество дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм.

Алгоритм построения нормальных форм

1. С помощью равносильностей алгебры логики заменить все имеющиеся в формуле операции основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием:

;

;

.

2. Заменить знак отрицания, относящийся к выражениям типа или, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

; .

3. Избавиться от знаков двойного отрицания.

4. Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

2.6. Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы

Любая булева функция может иметь много представлений в виде ДНФ и КНФ. Особое место среди этих представлений занимают совершенные ДНФ (СДНФ) и совершенные КНФ (СКНФ).

Определение 1. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – это ДНФ, в которой в каждый конъюнктивный одночлен каждая переменная из наборавходит ровно один раз, причем входит либо сама, либо ее отрицание.

Конструктивно СДНФ для каждой формулы алгебры высказываний, приведенной к ДНФ, можно определить следующим образом:

Определение 2. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) формулы алгебры высказываний называется ее ДНФ, обладающая следующими свойствами:

1. ДНФ не содержит двух одинаковых конъюнкций;

2. ни одна конъюнкция не содержит одновременно двух одинаковых переменных;

3. ни одна конъюнкция не содержит одновременно некоторую переменную и ее отрицание;

4. каждая конъюнкция содержит либо переменную , либо ее отрицаниедля всех переменных, входящих в формулу.

Определение 3. Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) – это КНФ, в которой в каждый дизъюнктивный одночлен каждая переменная из наборавходит ровно один раз, причем входит либо сама, либо ее отрицание.

Конструктивно СКНФ для каждой формулы алгебры высказываний, приведенной к КНФ, можно определить следующим образом.

Определение 4. Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) данной формулы алгебры высказываний называется такая ее КНФ, которая удовлетворяет следующим свойствам.

1. КНФ не содержит двух одинаковых дизъюнкций.

2. Ни одна конъюнкция не содержит одновременно двух одинаковых переменных.

3. Ни одна из дизъюнкций не содержит одновременно некоторую переменную и ее отрицание.

4. Каждая дизъюнкция СКНФ содержит либо переменную , либо ее отрицаниедля всех переменных, входящих в формулу.

Теорема 1. Каждая булева функция от переменных, не являющаяся тождественно ложной, может быть представлена в СДНФ, и притом единственным образом.

Способы нахождения СДНФ

1-й способ – с помощью равносильных преобразований:

• получаем одну из ДНФ;

• если в полученной ДНФ входящая в нее элементарная конъюнкция не содержит переменную, то используем равносильностьи получаем две элементарных конъюнкции;

• если в ДНФ входят две элементарные конъюнкции, то лишнюю можно отбросить.

2-й способ – с помощью таблиц истинности:

• выделяем строки, где формула принимает значение 1;

• составляем дизъюнкцию конъюнкций при условии, что если переменная входит в конъюнкцию со значением 1, то записываем эту переменную, если со значением 0, то ее отрицание. Получаем СДНФ.

Теорема 2. Каждая булева функция от переменных, не являющаяся тождественно истинной, может быть представлена в СКНФ, и притом единственным образом.

Способы нахождения СКНФ

1-й способ – с помощью равносильных преобразований:

• получаем одну из КНФ;

• если в полученной КНФ входящая в нее элементарная дизъюнкция не содержит переменную, то используем равносильностьи получаем две элементарных дизъюнкции;

• если в КНФ входят две элементарные дизъюнкции, то лишнюю можно отбросить.

2-й способ – с помощью таблиц истинности:

• выделяем строки, где формула принимает значение 0;

• составляем конъюнкцию дизъюнкций при условии, что если переменная входит в дизъюнкцию со значением 0, то записываем эту переменную, если со значением 1, то ее отрицание. Получаем СКНФ.

Пример 1. Постройте КНФ функции .

Решение

Исключим связку «» с помощью законов преобразования переменных:

= /законы де Моргана и двойного отрицания/ =

/дистрибутивные законы/ =

.

Пример 2. Приведите к ДНФ формулу .

Решение

Выразим логические операции ичерез,и:

= /отнесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания/ =

= /закон дистрибутивности/ .

Пример 3. Запишите формулу в ДНФ и СДНФ.

Решение

Используя законы логики, приведем данную формулу к виду, содержащему только дизъюнкции элементарных конъюнкций. Полученная формула и будет искомой ДНФ:

Для построения СДНФ составим таблицу истинности для данной формулы:

Помечаем те строки таблицы, в которых формула (последний столбец) принимает значение 1. Для каждой такой строки выпишем формулу, истинную на наборе переменных ,,данной строки:

строка 1: ;

строка 3: ;

строка 5: .

Дизъюнкция этих трех формул будет принимать значение 1 только на наборах переменных в строках 1, 3, 5, а следовательно, и будет искомой совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ):

.

Пример 4. Приведите формулу к СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

Решение:

a)

Преобразуем вторую элементарную дизъюнкцию:

.

Формула имеет вид:

б) составим таблицу истинности для данной формулы:

Помечаем те строки таблицы, в которых формула (последний столбец) принимает значение 0. Для каждой такой строки выпишем формулу, истинную на наборе переменных ,,данной строки:

строка 2: ;

строка 6: .

Конъюнкция этих двух формул будет принимать значение 0 только на наборах переменных в строках 2 и 6, а следовательно, и будет искомой совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ):

.

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. С помощью равносильных преобразований приведите к ДНФ формулы:

а) ;

б) ;

в) .

2. С помощью равносильных преобразований приведите к КНФ формулы:

а) ;

б) ;

в) .

3. С помощью второго дистрибутивного закона преобразуйте ДНФ в КНФ:

а) ;

б) .

4. Преобразуйте заданные ДНФ в СДНФ:

а) ;

б) ;

в) .

5. Преобразуйте заданные КНФ в СКНФ:

а) ;

б) ;

в) .

6. Для заданных логических формул постройте СДНФ и СКНФ двумя способами: с помощью равносильных преобразований и с помощью таблицы истинности.

а) ;

б) ;

^в).

studfiles.net

4.2. Конъюнктивная нормальная форма. Совершенная конъюнктивная нормальная форма.

Определение 5. Дизъюнкция

(4.2)

называется элементарной дизъюнкцией или дизъюнктом.

Как и в случае конъюнктов, существует 2ⁿ различных элементарных дизюъюнкций от n переменных. При этом значение элементарной дизюъюнкции вида (4.2) равно 0 тогда и только тогда, когда x_i=1_i для всех i=1, 2, …, n.