Уравнения с 2 неизвестными решение – определение, алгоритм и методы решения, примеры

Видео

Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.

liveposts.ru

Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными

Линейные системы уравнений

Системы линейных уравнений. Метод подстановки 

+ показать

• Выражаем одну переменную через другую.

• Выраженную из одного уравнения переменную подставляем во второе уравнение. Получаем уравнение относительно одной переменной, которое и решаем.

• Опираясь на найденное значение одной переменной, находим значение второй, подставляя в оставшееся уравнение.

Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Системы линейных уравнений. Метод сложения 

+ показать

• Добиваемся, путем равносильных преобразований, наличия равных (или противоположных) коэффициентов при одной из неизвестных переменных в уравнениях.

• Вычитаем (или складываем) полученные уравнения с целью выхода на уравнение с одной неизвестной. 

• Решаем  полученное уравнение с одной неизвестной.

• Найденное значение одной переменной подставляем в любое из уравнений системы, находим значение второй.

1. Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:  

2. Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Нелинейные системы уравнений

Системы уравнений, сводящихся к линейным

1. Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Можно сделать замену и Тогда выходим на систему линейных уравнений:

Систему можно решить методом сложения, например.

Но приведем решение без замены.

Умножим первое уравнение системы на , второе – на и произведем сложение полученных уравнений, оставим при этом в системе, например, первое уравнение исходной системы.

Ответ:  

2. Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Можно сделать замену и выйти на систему линейных уравнений:

Приведем решение без замены.

Выражаем из второго уравнения системы и подставляем в первое.

Ответ:  

Нелинейные системы уравнений. Метод подстановки

Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Выражаем из первого уравнения системы и подставляем во второе.

Ответ:  

Нелинейные системы уравнений. Метод сложения

Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:  

Нелинейные системы уравнений. Метод почленного умножения (деления)

1. Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Производим деление первой строки на вторую, оставляем в системе вторую строку без изменений.

Ответ:  

Симметрические системы. Метод введения переменной

Симметрическая система – система, все уравнения которой симметрические. Симметрическое уравнение от двух переменных и – уравнение, которое не изменяется при замене на и на .

Для таких систем удобно использовать замену  

Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

При замене  приходим к следующей системе

 которую будем решать способом подстановки:

Производим обратную замену:

Ответ:

Системы однородных уравнений и приводящиеся к ним системы

Однородным уравнением с двумя неизвестными  будем называть уравнение вида

1. Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

2. Решить систему уравнений: 

Решение: + показать

Применим прежде к системе метод сложения. После чего выйдем на однородное уравнение.

Ответ:

Графический метод решения систем уравнений

1. Решите графически систему уравнений: 

Решение: + показать

Выразим в обеих строках системы через :

Первое уравнение системы задает прямую, второе – гиперболу. Строим графики в одной системе координат, находим координаты точек пересечения графиков.

Ответ: 

2. Решите графически систему уравнений: 

Решение: + показать

3. Решите графически систему уравнений: 

Решение: + показать

——————————————————————————————————

Задания для самостоятельной работы

+ показать

Решите системы уравнений:

1.

Ответ:

2. 

Ответ:

3. 

Ответ:

4. 

Ответ:

5. 

Ответ:

6. 

Ответ:

7. 

Ответ:

8. 

Ответ:

Решите графически системы уравнений:

9. 

Ответ:

10. 

Ответ:

egemaximum.ru

2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными

Видеоурок 1: Системы двух уравнений с двумя неизвестными

Видеоурок 2: Решение систем уравнений

Лекция: Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными

Уравнения с двумя неизвестными

В этой теме мы рассмотрим с Вами уравнения, которые содержат две неизвестных. Зачастую, чтобы решить подобного рода уравнения, нам необходимо иметь столько уравнений, сколько содержится неизвестных.

Уравнения с двумя неизвестными имеют следующий вид:

a, b, c, d — это числа, стоящие рядом в переменными (х, у).

Решить систему уравнения — это означает найти такое значение переменных, которые приведут оба уравнения в верное равенство.

Каждое из уравнений может иметь несколько ответов, однако ответом на систему уравнений будет та пара чисел, которая будет подходить обоим уравнениям.

Трактовать решение системы уравнений можно аналитическим способом, некоторые из которых мы рассмотрим позднее, и графическим способом.

Графический способ решения системы уравнений

Для каждого из заданных уравнений можно построить свой график на плоскости — это может быть любой из известных графиков функции. Решением системы уравнений будет считаться точка, в которой будут пересекаться графики. Данная точка будет иметь свою координату, которой будет соответствовать ордината и абсцисса, которые будут являться решением.

На графике можно получить несколько видов решений:

1. Множество решений. Например, если одно уравнение будет представлять тригонометрическую функцию, а вторая — это прямая, например, параллельная оси ОХ, то данная прямая будет пересекать график второй функции во множестве точек с некой периодичностью.

2. Одно решение. В таком случае графики функций будут пересекаться в одной точке. Обычно такая картина наблюдается, если графиками уравнений являются прямые.

3. Два решения. То есть графики уравнений будут пересекаться в двух точках. Обычно такое наблюдается в том случае, если графиком одной из функций является парабола.

4. Не иметь решений. Некоторые графики функций и вовсе могут не пересекаться, в таком случае решений система иметь не будет.

Основные способы аналитического решения

Решать с помощью графика не всегда удобно, поскольку точка пересечения функций может находиться достаточно далеко от начала координат, или же она будет иметь дробные координаты. Чтобы наиболее точно найти решение системы, лучше воспользоваться аналитическими способами решения.

1. Подстановка

Чтобы решить систему методом подстановки, необходимо в одном из уравнений выразить одну из неизвестных и подставить её во второе уравнение.

 

x = ( c – by ) / a

d ( c – by ) / a + ey = f 

После данной подстановки одно из уравнений будет иметь одну неизвестную, после чего уравнение решается известным способом. Когда одна из переменных найдена, её значение подставляется в первое уравнение и, таким образом, находится и вторая переменная.

2. Метод сложения или вычитание уравнений

Данный метод позволяет избавиться от одной из неизвестных. Итак, давайте представим, что вы желаете избавиться от переменной «х». Чтобы данный способ имел место, Вам необходимо первое уравнение почленно домножить на d, а второе почленно домножить на a. После этого Вы получите одинаковые коэффициенты при переменной «х». Если вычтите одно уравнение из другого, у Вас получится избавиться от одной неизвестной. Дальше уравнение  известными способами.

cknow.ru

Методы решения систем уравнений с двумя неизвестными

Поиск Лекций

---

1. Графический

Можно построить 2 графика, соответствующие данным уравнениям и найти координаты точек пересечения.

Минус этого метода в том, что точки пересечения могут быть не в целых координатах, и по графику точные значения чисел х и у сложно определить.

2. Метод подстановки

Алгоритм:

1) Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы.

2) Подставить полученное выражение в другое уравнение системы.

3) Решить полученное уравнение.

4) Найти соответствующее значение другой переменной.

5) Записать ответ в виде пар значений (х; у).

Пример:

х = 5 — 3у — выразили х через у из первого уравнения системы

(5 — 3у) · у = 2 —подставили полученное выражение вместо х во второе уравнение

5у – 3у² = 2— раскрыли скобки

3у² – 5у + 2 = 0 — перенесли все слагаемые в одну часть

D = 25 — 4·3·2= 25 – 24 = 1 — вычислили дискриминант

у₁ = (5+1):6 = 1; у₂ = (5-1):6 = — нашли корни уравнения

Подставляем поочередно каждое из найденных значений у в выражение х = 5 — 3у

х₁ = 5 – 3·1 = 2; х₂ = 5 – 3· = 3

Ответ: (2; 1), (3; )— не забываем, что сначала записывается х, потом у.

3. Метод алгебраического сложения

Суть метода в том, чтобы путем сложения избавиться от одной из переменных. Для этого перед данной переменной нужно иметь в обоих уравнениях противоположные коэффициенты.

Пример:

– 6у – у = – 10 + 2

–7у = –8

у =

2х = 2

2х = 2

2х =

х = Ответ:

4. Метод введения новой переменной

Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах.

Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы.

Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.

Рассмотрим эти случаи на примерах.

Первый вариант:

Введем новую переменную t = , тогда .

Решим первое уравнение относительно переменной t.

— Все слагаемые перенесли в левую часть, приводим к общему знаменателю

 

ОДЗ: t 0

 

 

— Оба корня удовлетворяют ОДЗ

Обратная замена: => х = 2у или => у = 2х

Подставляем полученные выражения поочередно во второе уравнение.

Тогда х₁ = 2 х₂ = -2

Ответ: (2; 1), (-2; -1)

Второй вариант:

Вводим две новые переменные: Тогда

Решим систему с новыми неизвестными:

— решаем методом алгебраического сложения

Тогда b = 2 – 1 = 1.

Обратная замена:

=> =>

 

Тогда

Ответ:

Системы неравенств

Несколько неравенств с одной переменной х образуют систему неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, при которых каждое из заданных неравенств с переменной обращается в верное числовое неравенство.

Любое такое х называют решением системы неравенств.

Алгоритм решения систем неравенств:

1) Решить каждое неравенство, входящее в систему по отдельности.

Решением каждого неравенства является какое-то числовое множество.

2) Найти общее решение, т.е. найти пересечение найденных числовых множеств.

Пример:

— решим каждое из линейных неравенств отдельно

2х > 4 3x < 9

x > 2 x < 3

Изобразим эти числовые множества на координатных прямых друг под другом:

Ответ: (2; 3)

Рекомендуемые страницы:

poisk-ru.ru

Решение уравнений с двумя неизвестными онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Наверняка многие знают, что уравнение представляет собой некое тождество с неизвестной, которую необходимо определить, чтобы решить уравнение и получить равные значения левой и правой частей. Чтобы решить данного рода уравнения необходимо перенести в левую сторону все известные значения, а в правую все неизвестные. Решить данные уравнения можно с помощью 3 методов:

1) подстановки;

2) сложения;

3) построения графиков.

Выбор метода зависит от целевого уравнения. Решить онлайн уравнение с двумя неизвестными можно на многих сайтах, однако слепо доверять полученному результату не стоит.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнение с 3 неизвестными онлайн»

Ниже приведен пример решения уравнения с 2 неизвестными методом сложения.

\[2x — 5y = 61\]

\[-9x + 5y = -40\]

Первое, с чего стоит начать решение — сложить каждое слагаемое с учетом их знаков:

\[2x + (-9x) = -7x\]

\[-5y + 5y = 0\]

\[61 + (-40) = 21\]

В большинстве случаев, одна из сумм, включающая в себя неизвестную будет содержать величину, равную нулю. На следующем этапе решения уравнения нам необходимо составить уравнение из полученных данных:

\[-7x + 0 = 21\]

Найти неизвестное:

\[-7x = 21, x = 21 \div (-7) = -3\]

Вставить полученное значение в любое из исходных уравнений и получить 2 неизвестное с помощью решения уравнения линейного типа:

\[2x — 5y = 61\]

\[2(-3) — 5y = 61\]

\[-6 — 5y = 61\]

\[-5y = 61 + 6\]

\[-5y = 67\]

\[y = -13,4\]

Конечный результат:

\[x = -3, y = -13,4\]

Где можно решить уравнение с 2 неизвестными онлайн?

Решить уравнение с двумя неизвестными онлайн решателем можно на сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Два уравнения с тремя неизвестными

63. Два уравнения с тремя неизвестными. Пусть имеем уравнения:

3x + 4y – 2z = 11
5x + 4y + 2z = 19,

которые надо решить совместно. Мы умеем решать совместно 2 уравнения с двумя неизвестными, почему прежде всего приходит мысль, что здесь одно неизвестное является лишним и что его, вероятно, можно заменить любым числом. И действительно. Если дадим x произвольное значение, например, возьмем x = 7, то получим

21 + 4y – 2z = 11
35 + 4y + 2z = 19,

т. е. 2 уравнения с двумя неизвестными, которые мы умеем решить.

Упростив эти уравнения, получим:

4y – 2z = –10
4y + 2z = –16.

Сложив из по частям, получим:

8y = –26 и y = –3 ¼.

Вычитая из 2-го первое, получим:

4z = –6 и z = –1 ½.

Взяв x = 0, получим:

4y – 2z = 11
4y + 2z = 19.

Решив (так же, как и выше) эти уравнения, получим:

y = 3 ¾; z = 2

Так же для x = 1, получим y = 2 ¾; z = 1 ½ и т. д.

Эти решения можно записать в таблице, причем, как видим, здесь одно неизвестное (у нас x) является независимым переменным, а два других являются зависимыми переменными.

Вот эта таблица:

Итак,

два уравнения с тремя неизвестными имеют бесконечно много решений, причем для получения их надо одному из неизвестных давать произвольные значения.

Чтобы удобнее получать эти решения, можно заранее из данных уравнений определить зависимые переменные через независимое.

Для этой цели перенесем члены 3x и 5x, имеющиеся в наших уравнениях, в правую часть (эти члены, ведь, приходится считать известными), — получим:

4y – 2z = 11 – 3x
4y + 2z = 19 – 5x.

Сложив эти уравнения по частям, получим:

8y = 30 – 8x и y = (30 – 8x) / 8 = (15 – 4x) / 4.

Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:

4z = 8 – 2x и z = (8 – 2x) / 4 = (4 – x) / 2.

Теперь, взяв для x какое-нибудь значение, например, x = 2, легко в уме найдем: y = 1 ¾ и z = 1.

Вот еще пример. Пусть даны уравнения:

2x + y – z = 7
3x + 2y + 4z = 11.

Определим из них x и y через z. Для этого сначала перенесем члены с z в правую часть уравнения:

2x + y = 7 + z и 3x + 2y = 11 – 4z      (1).

Обе части первого уравнения умножим на 2:

4x + 2y = 14 + 2z
3x + 2y = 11 – 4z.

Вычтем по частям из 1-го уравнения второе:

x = 3 + 6z      (2)

Таким образом мы определили x через z. Затем умножим обе части 1-го уравнения из системы (1) на 3 и обе части 2-го на 2 (чтобы уравнять коэффициенты при x). Получим:

6x + 3y = 21 + 3z
6x + 4y = 22 – 8z.

Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:

y = 1 – 11z      (3)

Таким образом определили y через z.

Пользуясь равенствами (2) и (3), легко найти сколько угодно решений данных двух уравнений, причем надо неизвестному z давать произвольные значения. Вот несколько решений:

maths-public.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

      Определение 1. Пусть   A   – некоторое множество пар чисел   (x ;  y) .   Говорят, что на множестве   A   задана числовая функция   z   от двух переменных   x   и   y ,   если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества   A   ставится в соответствие некоторое число.

      Задание числовой функции   z   от двух переменных   x   и   y   часто обозначают так:

причем в записи (1) числа   x   и   y   называют аргументами функции, а число   z   – значением функции, соответствующим паре аргументов   (x ; y) .

      Определение 2. Нелинейным уравнением с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида

где   f (x , y)   – любая функция, отличная от функции

f (x , y) = ax +by + c ,

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 3. Решением уравнения (2) называют пару чисел   (x ; y) ,   для которых формула (2) является верным равенством.

      Пример 1. Решить уравнение

x2 – 4xy + 6y2 – – 12 y +18 = 0 .

(3)

      Решение. Преобразуем левую часть уравнения (3):

x² – 4xy + 6y² – 12 y +18 =
= (x² – 4xy + 4y²) +
+ (2y²– 12y +18) =
= (x – 2y)² + 2(y – 3)² .

      Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

(x – 2y)2 + 2(y – 3)2 = 0 .

(4)

      Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные   x   и   y   удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел   (6 ; 3) .

      Ответ:   (6 ; 3)

      Пример 2. Решить уравнение

      Решение. Из неравенства

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

      Ответ: Решений нет.

      Пример 3. Решить уравнение

      Решение. В соответствии с определением логарифма из формулы (6) получаем

      Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

(1 + y ; y) ,

где   y   – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

      Определение 4. Решением системы уравнений

называют пару чисел   (x ; y) ,   при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

      Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .  

      Пример 4. Решить систему уравнений

(7)

      Решение. Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное   y   через неизвестное   x   и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

      Решая уравнение

x² – 8x – 9 = 0 ,

находим корни

x₁ = – 1 ,   x₂ = 9 .

      Следовательно,

y₁ = 8 – x₁ = 9 ,  
y₂ = 8 – x₂ = – 1 .

      Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

и    

Ответ:   (– 1 ; 9) ,   (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

      Определение 5. Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида

ax² + bxy + cy² = 0 .

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Пример 5. Решить уравнение

3x2 – 8xy + 5y2 = 0 .

(8)

      Решение. Для каждого значения   y   рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного   x .   Тогда дискриминант   D   квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

D = (8y)² – 60y² = 4y² ,

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

      Ответ. Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y)   или    

где   y   – любое число.

      Следствие. Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

      Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .

      Пример 6. Решить систему уравнений

(9)

      Решение. Решим однородное уравнение

3x² + 2xy – y² = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

.

      В случае, когда   x = – y ,   из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

4y² = 16 ,

корнями которого служат числа   y₁ = 2 ,   y₂ = – 2 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2) .

      В случае, когда

,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

      Пример 7. Решить систему уравнений

(10)

      Решение. Совершим над системой (10) следующие преобразования:

• второе уравнение системы оставим без изменений;
• к первому уравнению, умноженному на   5 ,   прибавим второе уравнение, умноженное на   3 ,   и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

      В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

     Решим однородное уравнение

3x² + 17xy + 10y² = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

.

      В случае, когда   x = – 5y ,   из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

5y² = – 20 ,

которое корней не имеет.

      В случае, когда

,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа   y₁ = 3 ,   y₂ = – 3 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3) .

Ответ:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

      Пример 8. Решить систему уравнений (МФТИ)

(12)

      Решение. Введем новые неизвестные   u   и   v ,   которые выражаются через   x   и   y   по формулам:

(13)

      Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные   x   и   y   через   u   и   v .   Из системы (13) следует, что

(14)

      Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную   x .   С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

(15)

      Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

      У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   u   через неизвестное   v   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

      Решая уравнение

2v² + 3v – 14 = 0 ,

находим корни

      Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

      Из формул (13) вытекает, что   ,  поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае   u₂ = 5,   v₂ = 2   из формул (15) находим значения   x   и   y :

x = 13,   y = – 3 .

      Ответ:   (13 ; – 3)

      Определение 6. Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

      Пример 9. Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

      Решение. У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   z   через неизвестные   x   и   y   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

      Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

      Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае   x = 4,   y = 4 .

      Следовательно,

      Ответ:   (4 ; 4 ; – 4)

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

No related posts.