Как найти область значений функции 10 класс – Область значений функции

Тестирование онлайн

Понятие функции

Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y.

Обозначение:

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y — зависимой. Говорят, что y является функцией от x. Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Все значения, которые принимает x, образуют область определения функции; все значения, которые принимает y, образуют множество значений функции.

Обозначения:

D(f) — значения аргумента. E(f) — значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. Если некоторому значению x=x₀ соответствуют несколько значений (а не одно) y, то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси Оу, пересекалась с графиком не более чем в одной точке.

Способы задания функции

1) Функция может быть задана аналитически в виде формулы. Например,

2) Функция может быть задана таблицей из множества пар (x; y).

3) Функция может быть задана графически. Пары значений (x; y) изображаются на координатной плоскости.

Монотонность функции

Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы «взбираться» вверх по графику.

Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы «скатываться» вниз по графику.

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Значения х, при которых y=0, называется нулями функции. Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

Такие промежутки значений x, на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

Четные и нечетные функции

Четная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

Периодические функции

Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). T — это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

fizmat.by

Область определения и область значения функции.

Тема урока: «Область определения и область значения функции».

Лаврентьева Н. С.

МБОУ «Гимназия»

г. Протвино

Что такое «функция»?

Определение функции:

Функцией называется зависимость между двумя переменными (У и Х) в которой каждому значению независимой переменной (Х) соответствует единственное значение зависимой переменной (У).

Независимую переменную называют — аргумент .

Значения зависимой переменной называют значениями функции .

Запись У=f (X) читается: У – функция от Х.

Область определения и область значений функции

Х

Y

x

y

Е(f) – область значений функции

D(f) – область определения функции

у

12

10

У=f (X)

8

6

4

2

0

х

-12

4

-2

-6

-10

2

-8

-4

6

8

12

10

-2

-4

-6

-8

-10

Область определения и множество значений функции.

• Все значения независимой переменной образуют область определения функции — D (f).

• Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции – E (f).

у

12

10

8

6

4

D (f) = [-9; 11].

2

0

х

-10

4

-2

-12

-6

2

-8

-4

6

8

12

10

-2

-4

-6

-8

-10

у

12

10

8

E (f) = [-5;12].

6

4

2

0

х

-12

4

-2

-10

-6

2

-8

6

-4

8

12

10

-2

-4

-6

-10

у

12

10

8

6

4

2

0

х

-12

-10

-6

4

-2

2

-8

-4

6

8

10

12

-2

E (f).

-4

-6

-8

D (f).

-10

Область определения функции

Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент (х) D(х)

Все действительные числа

Все действительные числа

Х+1 ≠0 ⇒ Х≠-1

2х-6 ≥0 ⇒ 2х≥6 ⇒ х≥3

Множество значений функции

Множеством значений функции называют множество всех значений которые может принимать переменная у Е(у)

Все действительные числа

у ≥0

у ≠0

у≥0

у

у

у=х-2

у= |х|

0 1 х

0 1 х

у

у

у

0 1 х

0 1 х

0 1 х

Тема урока: «Свойства функций».

16.09.2016 г.

1.Возрастание и убывание

функции

Функция называется возрастающей на

множестве Х , если большему значению

аргумента из множества Х соответствует

большее значение функции.

Если

Возрастающая функция.

у

у 2

у 1

х 1

х 2

х

0

Х 2 Х 1 , то У 2 У 1.

-10

Возрастание и убывание

функции

Функция называется убывающей на

множестве Х , если большему значению

аргумента из множества Х соответствует

меньшее значение функции.

Если

Убывающая функция.

у

у 1

х 2

х

0

х 1

у 2

Х 2 Х 1 , то У 2 1.

-10

Возрастание и убывание квадратичной функции

5

у

Х

у

-2

-1

0

1

-3

-4

0

5

Функция убывает

при x

1

0

1

2

4

3

-1

-2

х

Х

у

4

2

1

3

5

-4

-3

0

-3

Функция возрастает

при x 1.

-4

Возрастание и убывание квадратичной функции

у

12

10

8

6

4

2

0

х

4

-12

-2

-6

-10

2

-8

-4

6

8

10

12

-2

-4

-6

-8

-10

Назовите промежутки возрастания и убывания функции

Промежутки знакопостоянства

Промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства.

y 0 (график расположен выше оси ОХ) при х  (- ∞; 1) U

(3; +∞) ,

y (график расположен ниже OX) при х  (1;3)

у

12

У0

10

8

6

4

2

0

х

-12

-2

-10

4

-6

2

-8

-4

6

8

12

10

-2

-4

-6

-8

-10

у

12

У

10

8

6

4

2

0

х

-2

4

-12

-6

-10

2

-8

6

-4

8

12

10

-2

-4

-6

-8

-10

3. Нули функции

Нулем функции y = f (x ) называется такое значение аргумента x 0 , при котором функция обращается в нуль :

f (x 0 ) = 0 . Нули функции — абсциссы точек пересечения с Ох

x 1 ,x 2 — нули функции

у

У=0

Нули

функции

12

10

8

6

4

2

х

0

-6

-12

-10

-2

4

2

-8

6

-4

8

12

10

-2

-4

-6

-8

-10

4. Наибольшее и наименьшее значения

Найдите наименьшее и наибольшее

значения функции

y

y = f(x)

3

x

-1

-3

0

2

1

-1

-2

y наиб = 3

y наим = -2

№ 35

№ 36

Домашняя работа 1) пункт 2 ( Знать определения ) 2) Составить ОК

Спасибо за урок! Всем удачи!

multiurok.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции

      Определение. Пусть   X   – некоторое множество чисел. Говорят, что на множестве   X   задана числовая функция,  если указано правило, с помощью которого каждому числу   x   из множества   X   ставится в соответствие некоторое число.

      Это принято обозначать так:

y = f (x),

причем в этой записи   x   называют аргументом функции  или независимой переменной, а   y   называют значением функции,  соответствующим аргументу   x .

      Множество   X   называют областью определения функции   f   и обозначают   D ( f ) .   Множество   Y   всех возможных значений функции   y = f (x)   называют множеством значений функции   f   и обозначают   E ( f )   (рис. 1).

Рис.1

Примеры решения задач

      Часто в задачах известна формула, задающая функцию   f ,   и требуется найти наиболее широкое множество чисел, к которым данную формулу можно применить. В этом случае указанная задача формулируется так: «Найти область определения функции   y = f (x)». В некоторых задачах требуется найти не только область опредения функции, но и множество ее значений.

      Задача 1. Найти область определения функции

      Решение. Указанная функцию представляет собой результат, полученный при делении числа   x⁴   на число   (3 + x) .   Поскольку единственным ограничением является запрет деления на число   0 ,   то число   (3 + x)   не может равняться   0 ,   то есть   .

      Ответ.   .

      Задача 2. Найти область определения функции

      Решение. Поскольку квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, то область определения данной функции задается неравенством

которое эквивалентно неравенству

и может быть записано в виде

.

      Решая это неравенство с помощью метода интервалов, получим

      Ответ.   .

      Задача 3. Найти область определения функции

      Решение. Исходя из определений логарифма и квадратного корня, область определения данной функции задается следующей системой неравенств

Решая второе неравенство системы с помощью метода интервалов,

получим

      Таким образом, система (1) эквивалентна системе

      Решением этой системы является интервал

      Ответ. .

      Задача 4 . Найти множество значений функции

y = 3sin x + 4cos x

      Решение. Воспользовавшись формулой дополнительного угла (вспомогательного аргумента), получим

y = 5 sin (x + φ) ,

где

      Поскольку множеством значений функции   y = sin (x + φ)   является отрезок   [–1, 1],   то множеством значений функции   y = 5 sin (x +φ)   будет отрезок   [–5, 5].

      Ответ. .

      Задача 5 . Найти множество значений функции

y = x² + 6x + 8

      Решение. Поскольку

и для каждого числа существуют решения уравнения

x² + 6x + 8 = y ,

определяемые формулой

то множеством значений функции   y = x² + 6x + 8   будет множество   .

      Ответ. .

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Понятие функции. Область определения и область значений функции. Свойства функций

Вопросы занятия:

·  вспомнить основные сведения о координатной плоскости, функции;

·  повторить основные свойства функции.

Материал урока

Начнём мы с вами с координатной плоскости.

Таким образом, мы задали на плоскости прямоугольную систему координат.

Определение.

Плоскость, на которой задана система координат, называют координатной плоскостью.

Повторим определение функции.

Определение.

Зависимость одной переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х из определённого множества D соответствует одно определённое значение у, называется функцией от переменной х.

Перед нами графики двух зависимостей.

Мы должны определить, какая из них является функцией, а какая нет. В определении сказано, что только та зависимость является функцией, у которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Давайте посмотрим на первый график.

В общем виде любую функцию можно записать так y = f(x). Например, для функции y= 7x – 14 можно записать, что f(x) = 7x – 14, это одно и тоже. Под буквой f понимают некоторый набор действий над переменной x, в данном случае умножение на 7 и вычитание 14.

Переменную x называют независимой или аргументом функции, а y — зависимой (она зависит от x).

Понятно, что функция может принимать различные значения в зависимости от значения аргумента. Найдём значение каждой функции при заданном значении аргумента.

Вы заметили, что в этом задании функции и аргументы названы разными буквами. Действительно, функцию и аргумент можно называть любой буквой латинского или греческого алфавитов.

Сейчас попробуем выяснить, как же получается график функции, и дадим определение этому понятию.

Возьмём, например, функцию y = 7x – 4. Можно записать f(x) = 7x – 4. Это линейная функция, графиком которой, является прямая. Для изображения прямой достаточно двух точек. Найдём значение этой функции, например, при x = 1 и x = -1. Для этого подставим в функцию вместо x сначала 1, затем -1. Тогда получим, что:

f(1) = 7 · 1 – 4 = 7 – 4 =3

Получаем точку с координатами (1; 3).

f(-1) = 7 · (-1) – 4 = -7 – 4 =-11

Получаем точку с координатами (-1; -11).

Проведём прямую через полученные точки. Мы изобразили график функции y = 7x – 4.

Взяв некоторое x, мы получаем соответствующее y. Эти значения и являются координатами точек графика. Если перебрать все возможные значения x, то мы получим множество точек, изображение которых на координатной плоскости и называют графиком.

Вспомним определение.

Определение.

Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — значениям функции, называют графиком функции.

Существует три способа задания функции.

Функция может быть задана формулой.

Например, f(x) = 5x + 1.

Функция может быть задана таблицей значений аргумента и функции.

Например,

Здесь сразу указаны координаты точек графика функции.

Функция можно задать словесно.

Например, каждому натуральному числу x, из отрезка [10; 20], поставлен в соответствие остаток от деления этого числа на пять. Построить график такой функции не составит труда. Для этого составим таблицу значений аргумента и функции.

Аргументами этой функции будут натуральные числа из отрезка от десяти до двадцати. А значениями функции будут остатки от деления соответствующих аргументов на пять.

Теперь давайте поговорим об основных свойствах функции.

Первое свойство о котором мы поговорим – это область определения.

Все значения аргумента, т.е. переменной x образуют область определения функции (пишут D(f)),

Следующее свойство – область значений функции. Все значения зависимой переменной, т.е. y, — область значений функции (пишут E(f)). В скобках указывают букву, которой названа функция.

Пример.

Область определения можно находить не только по графику функции, но и по формуле, с помощью которой задана функция.

Пример.

Следующее свойство, которое мы рассмотрим – нули функции.

Определение.

Значения аргумента, при которых функция принимает значение, равное нулю, называют нулями функции.

Рассмотрим пример.

Пример.

В данном случае функция задана графически и мы определили нули функции по графику. Нули функции можно находить по формуле, с помощью которой задана функция.

Пример.

Стоит обратить внимание на то, что не каждая функция имеет нули.

Например, функция y = x² + 6.

На графике это будет выглядеть так.

График не пересекает ось икс ни в одной точке.

Теперь поговорим о промежутках знакопостоянства функции.

Определение.

Промежутки знакопостоянства функции — это такие промежутки из области определения, на которых данная функция принимает значения только одного знака, либо положительные, либо отрицательные.

Выполните задание. Запишите промежутки знакопостоянства функции.

Осталось рассмотреть ещё одно свойство. Промежутки монотонности функции.

Определение.

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Определение.

Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Определение.

Промежутками монотонности называют такие промежутки из области определения, на которых функция либо возрастает, либо убывает.

Пример.

Найдём промежутки монотонности данной функции.

Выполним задание, где нужно описать свойства функции.

Пример.

Итоги урока

Сегодня на уроке мы повторили такие понятия как координатная плоскость, функция, график функции, повторили основные свойства функции.

videouroki.net