Рубрика: Школьная жизнь

Распределительный метод решения транспортной задачи

Наиболее трудоемким этапом в методе потенциалов является этап построения цикла пересчета для переменной, которая имеет отрицательную косвенную стоимость.

Если бы не трудоемкость этого этапа, можно было бы поступить по-другому: сначала для свободной переменной построить цикл пересчета, а после этого принять решение, следует ли эту переменную вводить в состав базисных переменных нового опорного решения или нет. То есть, вообще отказаться от вычисления потенциалов.

На этом построен распределительный метод решения транспортной задачи.

Пусть имеется некоторое опорное решение и — свободная переменная, а— базисная переменная.

Построим цикл пересчета для .

Что касается , возможны следующие ситуации.

1. соответствует положительной вершине;

2. соответствует отрицательной вершине;

3. в цикл не входит.

1. Если соответствуетположительной вершине, то при переходе к новому опорному решениюувеличитсяна ту же величину, что и. То есть, если выразить базисные переменные через свободные, переменнаявойдет в выражение дляс коэффициентом «+1»;

2. Если соответствуетотрицательной вершине, то при переходе к новому опорному решениюуменьшитсяна ту же величину, на которую увеличится. То есть, если выразить базисные переменные через свободные, переменнаявойдет в выражение дляс коэффициентом «-1«;

3. Если не входит в цикл пересчета, то при переходе к новому опорному решению значениене изменится. То есть, если выразить базисные переменные через свободные, переменнаявойдет в выражение дляс коэффициентом «0«.

Схематично эти ситуации можно представить следующим образом:

1. = +1+…….

2. = -1+…….

3. =   0+…….

Выразим теперь ЦФ через свободные переменные.

Как подсчитать, с каким коэффициентом переменная войдет в ЦФ?

Она войдет в соответствующее выражение непосредственно (с коэффициентом ) и через посредство тех и только тех базисных переменных, которые входят в цикл пересчета.

Но входит в выражение длятолько с одним из двух коэффициентов:   +1   или   -1 , в зависимости от того, является ли вершинаположительной или отрицательной. Авходит в ЦФ с коэффициентом. То есть, посредством(входящей в цикл) переменнаявойдет в ЦФ с коэффициентом   +или  —в зависимости от того, является ли вершинаположительной или отрицательной.

Схематично эту ситуацию можно представить следующим образом:

Z=++…

=+…

Z=+(+…)+…

Z=+…

Как видно из этого выражения, в круглых скобках записана алгебраическая сумма всех стоимостей, которым соответствуют вершинам цикла пересчета.

Таким образом, коэффициент, с которым свободная переменная входит в ЦФ, равен алгебраической сумме всех стоимостей, соответствующих вершинам цикла, включая вершину, в которой находится свободная переменная.

То есть, косвенную стоимость свободной переменной можно определить не по формуле, а другим путем. Нужно построить для этой переменной цикл пересчета и подсчитать алгебраическую сумму всех стоимостей, которым соответствуют вершинам цикла пересчета.

Алгоритм распределительного метода

Имеется некоторое опорное решение.

Шаг 1. Для данного опорного решения организуем последовательный просмотр списка свободных клеток (переменных).

Шаг 2. Для очередной свободной клетки (пусть это будет), строим цикл пересчета и подсчитываем алгебраическую сумму стоимостей по всем вершинам цикла ().

Шаг 3. Если< 0, выполняемшаг 4.  В противном случае проверяем, все ли свободные клетки просмотрены. Если да, то очередное решениеоптимальное.Конец. В противном случае выполняемшаг 2.

Шаг 4. Переменнуювводим в состав базисных переменных. Для этого среди отрицательных вершин находим вершину с минимальным значением соответствующей базисной переменной. Пусть это будет. Производим сдвиг по циклу пересчета. Переменнаявыводится из состава базисных переменных. Имеем новое опорное решение. Выполняемшаг 1.

Основной недостаток метода – большое количество циклов пересчета, которые приходится строить на каждой итерации. Достоинство – не нужно специально вычислять потенциалы строк и столбцов.

Если нет эффективной процедуры построения цикла пересчета, предпочтение отдается методу потенциалов.

Пример. Дана транспортная задача и известно ее опорное решение. Определить косвенные стоимости переменных x₃₂,x₃₄, x₄₆.

studfiles.net

7.3. Распределительный метод решения транспортной задачи

Распределительный метод использует исходное базисное решение, полученное методом северо-западного угла или наименьшей стоимости, и заключается в преобразовании матрицы перевозок таким образом, что каждый последующий пересчет таблицы приближается к оптимальному решению.

Для преобразования таблицы используется понятие цикла.

Циклом в матрице называется ломаная с вершинами в клетках и звеньями, лежащими вдоль строк и столбцов матрицы, удовлетворяющая требованиям:

– замкнутости;

– в каждой вершине должно встречаться два звена.

Если в любом цикле вершинам приписать при обходе в одном направлении поочередно знаки «+» и «–», то в каждой строке (столбце) число положительных вершин будет равно числу отрицательных.

При решении задач используется операция сдвига по циклу. Эта операция заключается в увеличении элементов в положительных вершинах и уменьшении в отрицательных на одно и то же число.

Например, для свободной клетки с координатами (3,3) левой матрицы строится цикл, приведенный на рисунке, и осуществляется сдвиг по циклу на величину 8. В результате получаются новые значения перевозок, приведенные на правой матрице. Клетки, не являющиеся вершинами цикла, при этом остаются без изменений.

Для оптимизации решения важно знать, с каким коэффициентом выбранная свободная неизвестная входит в выражение для базисных неизвестных. Это определяется следующим правилом:

– коэффициент равен 0, если соответствующая базисная клетка не является вершиной цикла пересчета данной свободной клетки;

– коэффициент равен 1, если базисная клетка является положительной вершиной цикла пересчета данной свободной клетки;

– коэффициент равен –1, если базисная клетка является отрицательной вершиной пересчета данной свободной клетки.

Например, матрица перевозок имеет 4 пункта отправления и 4 пункта назначения. В ней записано некоторое базисное решение в заштрихованных клетках x₁₁ , x₁₂ , x₂₃ , x₂₄ , x₃₂ , x₄₁ и x₄₃ , число которых должно быть r=m+n—1=7. При этом в каждой строке и каждом столбце таблицы должна быть как минимум одна базисная клетка.

Таким образом, можно по теореме утверждать, что клетка x₁₄ входит в выражение для неизвестных базисных со знаками:

.

Аналогично можно найти коэффициенты для других свободных неизвестных.

У распределительного метода существуют промежуточные базисные решения, каждое из которых постепенно приближается к оптимальному.

Найденное любым методом допустимое базисное решение вносится в матрицу перевозок и занимает r=m+n—1 клеток. Вносятся и нулевые базисные решения. Далее меняются местами базисные и свободные переменные для приближения к оптимальному решению.

Во-первых, определяется свободная неизвестная, переводимая в число базисных.

Рассмотрим способ определения свободных неизвестных, которые целесообразно перевести в число базисных на конкретном примере. Возьмем базисное решение, найденное методом северо-западного угла со стоимостью перевозок

=220 + 310 + 220 + 520 + 210 + 610 = 290.

Теперь необходимо построить циклы пересчета для всех свободных переменных (свободных клеток) и определить сумму стоимостей по циклам пересчета _ij для всех свободных неизвестных, чтобы найти, какую из них перевести в число базисных для уменьшения целевой функции.

Определяем сумму стоимостей по циклу пересчета для каждой свободной клетки, подставляя соответствующие стоимости перевозок из базисных клеток в вершинах цикла:

х₁₃  ₁₃ = с₁₃ — с₂₃ + с₂₂ — с₁₂ = 2 — 5 + 2 — 3 = -4 ,

х₁₄  ₁₄ = с₁₄ — с₂₄ +с₃₃ – с₂₃ + с₂₂ — с₁₂ = 4 – 6 + 2 — 5 + 2 — 3 = -6 ,

х₂₁  ₂₁ = с₂₁ — с₁₁ + с₁₂ — с₂₂ = 3 — 2+ 3 — 2 = 2 ,

аналогично ₂₄ = — 8, ₃₁ = 6, ₃₂ = 4.

Выбираем те из свободных переменных, которые имеют отрицательное значение суммы стоимости по циклу пересчета. В рассматриваемом примере это х₁₃, х₁₄, х₂₄.

Во-вторых, определяется базисная переменная, переводимая в число свободных.

Для этого необходимо проанализировать цикл пересчета, соответствующий выбранной свободной неизвестной. В нашем примере это может быть цикл для переменной х₁₃.

Производя преобразования по циклу, мы должны получить нуль в одной из базисных переменных. Кроме того, необходимо учитывать, что переменные не могут принимать отрицательных значений. Поэтому выбирается та базисная переменная, которая имеет наименьшее значение из всех базисных переменных, расположенных в отрицательных вершинах цикла пересчета. В нашем примере это будет х₁₂=10.

Для получения нового допустимого базисного решения осуществляем сдвиг по циклу пересчета выбранной свободной переменной х₁₃ на величину значений выбранной базисной переменной х₁₂=10, которая после сдвига переводится в свободные.

При этом получим новую таблицу матрицы перевозок.

Сдвиг по циклу привел к новому допустимому базисному решению:

х₁₁=20, х₁₃=10, х₂₂=30, х₂₃=10, х₃₃=10, х₃₄=10, остальные x_ij=0.

Новое решение дает значение целевой функции F=250, меньшее предыдущего, т. е. ближе к оптимальному значению.

Если в отрицательных вершинах с минимальными перевозками окажется две базисных клетки с одинаковыми значениями, то после сдвига по циклу в число свободных переводится только одна из них, а вторая остается в числе базисных с нулевыми перевозками. И в дальнейших расчетах эта клетка фигурирует как базисная со всеми их характеристиками.

Для нового базисного решения также подсчитываются суммы стоимостей по циклам пересчета для каждой свободной неизвестной: ₁₂=4, ₁₄=2, ₁₂=4, ₂₁= — 2,₂₄= — 8, ₃₁= 2, ₂₃= 4.

Выбираются новые свободная и базисная переменные для сдвига по новым циклам, и все повторяется. Операция продолжается до тех пор, пока не получится, что все стоимости по циклам пересчета больше нуля (_ij > 0), что является признаком оптимальности решения, полученного распределительным методом.

Для рассматриваемого примера оптимальным решением является следующее:

х₁₁=20, х₁₃=10, х₂₂=30, х₂₄=10, х₃₃=10, х₁₂=0, остальные x_ij=0. Стоимость оптимальной перевозки F=170, и уменьшить ее дальше невозможно.

studfiles.net

3. Распределительный метод решения транспортной задачи

Распределительный метод использует исходное базисное решение, полученное методом северо-западного угла или наименьшей стоимости, и заключается в преобразовании матрицы перевозок таким образом, что каждый последующий пересчет таблицы приближается к оптимальному решению.

Для преобразования таблицы используется понятие цикла.

Циклом в матрице называется ломаная с вершинами в клетках и звеньями, лежащими вдоль строк и столбцов матрицы, удовлетворяющая требованиям:

– замкнутости;

– в каждой вершине должно встречаться два звена.

Если в любом цикле вершинам приписать при обходе в одном направлении поочередно знаки «+» и «–», то в каждой строке (столбце) число положительных вершин будет равно числу отрицательных.

При решении задач используется операция сдвига по циклу. Эта операция заключается в увеличении элементов в положительных вершинах и уменьшении в отрицательных на одно и то же число.

Например, для свободной клетки с координатами (3,3) левой матрицы строится цикл, приведенный на рисунке, и осуществляется сдвиг по циклу на величину 8. В результате получаются новые значения перевозок, приведенные на правой матрице. Клетки, не являющиеся вершинами цикла, при этом остаются без изменений.

Рис. 2

Для оптимизации решения важно знать, с каким коэффициентом выбранная свободная неизвестная входит в выражение для базисных неизвестных. Это определяется следующим правилом:

– коэффициент равен 0, если соответствующая базисная клетка не является вершиной цикла пересчета данной свободной клетки;

– коэффициент равен 1, если базисная клетка является положительной вершиной цикла пересчета данной свободной клетки;

– коэффициент равен –1, если базисная клетка является отрицательной вершиной пересчета данной свободной клетки.

Например, матрица перевозок имеет 4 пункта отправления и 4 пункта назначения. В ней записано некоторое базисное решение в заштрихованных клетках x₁₁ , x₁₂ , x₂₃ , x₂₄ , x₃₂ , x₄₁ и x₄₃ , число которых должно быть r=m+n-1=7. При этом в каждой строке и каждом столбце таблицы должна быть как минимум одна базисная клетка.

Рис. 3

Построим цикл пересчета для свободной клетки x₁₄ так, чтобы все остальные вершины лежали в базисных клетках. Такой цикл существует только один и приведен в таблице, при этом свободной клетке x₁₄ присваивается знак «+», а знаки всех последующих вершин чередуются при их обходе по циклу в одном направлении.

Таким образом, можно по теореме утверждать, что клетка x₁₄ входит в выражение для неизвестных базисных со знаками:

.

Аналогично можно найти коэффициенты для других свободных неизвестных.

У распределительного метода существуют промежуточные базисные решения, каждое из которых постепенно приближается к оптимальному.

Найденное любым методом допустимое базисное решение вносится в матрицу перевозок и занимает r=m+n-1 клеток. Вносятся и нулевые базисные решения. Далее меняются местами базисные и свободные переменные для приближения к оптимальному решению.

Во-первых, определяется свободная неизвестная, переводимая в число базисных.

Рассмотрим способ определения свободных неизвестных, которые целесообразно перевести в число базисных на конкретном примере. Возьмем базисное решение, найденное методом северо-западного угла со стоимостью перевозок

=220 + 310 + 220 + 520 + 210 + 610 = 290.

Теперь необходимо построить циклы пересчета для всех свободных переменных (свободных клеток) и определить сумму стоимостей по циклам пересчета _ij для всех свободных неизвестных, чтобы найти, какую из них перевести в число базисных для уменьшения целевой функции.

Рис. 4

Определяем сумму стоимостей по циклу пересчета для каждой свободной клетки, подставляя соответствующие стоимости перевозок из базисных клеток в вершинах цикла:

х₁₃  ₁₃ = с₁₃ — с₂₃ + с₂₂ — с₁₂ = 2 — 5 + 2 — 3 = -4 ,

х₁₄  ₁₄ = с₁₄ — с₂₄ +с₃₃ – с₂₃ + с₂₂ — с₁₂ = 4 – 6 + 2 — 5 + 2 — 3 = -6 ,

х₂₁  ₂₁ = с₂₁ — с₁₁ + с₁₂ — с₂₂ = 3 — 2+ 3 — 2 = 2 ,

аналогично ₂₄ = — 8, ₃₁ = 6, ₃₂ = 4.

Выбираем те из свободных переменных, которые имеют отрицательное значение суммы стоимости по циклу пересчета. В рассматриваемом примере это х₁₃, х₁₄, х₂₄.

Во-вторых, определяется базисная переменная, переводимая в число свободных.

Для этого необходимо проанализировать цикл пересчета, соответствующий выбранной свободной неизвестной. В нашем примере это может быть цикл для переменной х₁₃.

Производя преобразования по циклу, мы должны получить нуль в одной из базисных переменных. Кроме того, необходимо учитывать, что переменные не могут принимать отрицательных значений. Поэтому выбирается та базисная переменная, которая имеет наименьшее значение из всех базисных переменных, расположенных в отрицательных вершинах цикла пересчета. В нашем примере это будет х₁₂=10.

Для получения нового допустимого базисного решения осуществляем сдвиг по циклу пересчета выбранной свободной переменной х₁₃ на величину значений выбранной базисной переменной х₁₂=10, которая после сдвига переводится в свободные.

При этом получим новую таблицу матрицы перевозок.

Таблица 7

Сдвиг по циклу привел к новому допустимому базисному решению:

х₁₁=20, х₁₃=10, х₂₂=30, х₂₃=10, х₃₃=10, х₃₄=10, остальные x_ij=0.

Новое решение дает значение целевой функции F=250, меньшее предыдущего, т. е. ближе к оптимальному значению.

Если в отрицательных вершинах с минимальными перевозками окажется две базисных клетки с одинаковыми значениями, то после сдвига по циклу в число свободных переводится только одна из них, а вторая остается в числе базисных с нулевыми перевозками. И в дальнейших расчетах эта клетка фигурирует как базисная со всеми их характеристиками.

Для нового базисного решения также подсчитываются суммы стоимостей по циклам пересчета для каждой свободной неизвестной: ₁₂=4, ₁₄=2, ₁₂=4, ₂₁= — 2,₂₄= — 8, ₃₁= 2, ₂₃= 4.

Выбираются новые свободная и базисная переменные для сдвига по новым циклам, и все повторяется. Операция продолжается до тех пор, пока не получится, что все стоимости по циклам пересчета больше нуля (_ij> 0), что является признаком оптимальности решения, полученного распределительным методом.

Для рассматриваемого примера оптимальным решением является следующее:

х₁₁=20, х₁₃=10, х₂₂=30, х₂₄=10, х₃₃=10, х₁₂=0, остальные x_ij=0. Стоимость оптимальной перевозки F=170, и уменьшить ее дальше невозможно.

studfiles.net

21. Распределительный метод решения транспортной задачи

Решение задачи включает

— предварительный этап,

— проверку на оптимальность

— составление оптимальных планов.

1. Предварительный этап – составляем предварительный опорный план прикрепления.

   1. Способ «северо-западного угла» (диагональный способ).

Распределение поставок производят с верхнего левого угла и далее по строкам по мере исчерпывания плана.

2. Способ двойного предпочтения

Суть данного метода в том, что по строкам отмечается минимальные значения. Далее по столбцам, не обращая внимания на отметки по строкам. Вписывание поставок начинается с клеток отмеченных дважды и далее по принципу от меньшего к большему значению коэффициента.

2. Проверка предварительного плана на оптимальность распределительным методом.

Суть данного метода состоит в том, для каждой свободной слетки проверяемого планом составляются контура (цепочки) по следующим правилам:

1. Начало контура цепочки в свободной клетке

2. Контур представляет собой многоугольник с четным числом вершин.

Первая вершина – свободная клетка, остальные вершины(повороты) в клетках предварительного плана.

Отдельные отрезки контура принадлежат или одной строке или одному столбцу.

3. Отрезки контура могут проходить как через свободные клетки, так и через занятые.

4. Отрезки могут пересекаться

5. Отдельные отрезки (стороны контура) могут пересекаться

По составленным многоугольникам (цепочка, контурам) можно создать цепочку из цифр:

Первая цифра – коэффициент стоящий в свободной клетке

Коэффициенты стоящие в углах многоугольника в углах поворота.

На основании цепочек вычисляются характеристики контуров (свободных клеток). Характеристика представляет собой алгебраическую сумму коэффициентов стоящих в вершинах. Предварительно проставляются знаки: знак + получает коэффициент в свободной клетке, далее знаки чередуются.

После вычисления характеристик незагруженных клеток производиться их анализ, если среди характеристик незагруженных клеток нет отрицательных значений анализируемый план можно считать оптимальным. Наличие хотя бы одной отрицательной характеристики свидетельствует о возможности улучшения плана, причем в план прикрепления поставщиков потребителям должна быть введена клетка имеющая отрицательную характеристику.

Для введения клетки в план прикрепления поставщиков потребителем необходимо в нем сделать перераспределение поставок, для этого контур с отрицательной характеристикой выносим за пределы матрицы и делаем в нем перераспределение: проставляем знаки по тому же принципу: знак плюс – свободная клетка и т.д. После этого из отрицательных клеток выбирается та в которой поставка минимальна.

После внесенных изменений в предварительный план необходимо снова проверить его на оптимальность путем вычисления характеристик не загруженных клеток.

22. Применение метода потенциалов для решения транспортной задачи.

Решение задачи включает

— предварительный этап,

— проверку на оптимальность

— составление оптимальных планов.

3. Предварительный этап – составляем предварительный опорный план прикрепления.

   1. Способ «северо-западного угла» (диагональный способ).

Распределение поставок производят с верхнего левого угла и далее по строкам по мере исчерпывания плана.

2. Способ двойного предпочтения

Суть данного метода в том, что по строкам отмечается минимальные значения. Далее по столбцам, не обращая внимания на отметки по строкам. Вписывание поставок начинается с клеток отмеченных дважды и далее по принципу от меньшего к большему значению коэффициента.

4. Проверка предварительного плана на оптимальность методом потенциалов

Суть данного метода состоит в том, что к строкам и столбцпм матрицы подбираются вспомогательные числа (потенциалы α – потенциал строки и β – потенциал столбца)

Из условия, что для занятых клеток сумма потенциалов строки и столбца равны коэффициенту стоящему в этой клетке.

–для занятых клеток

Составляется система уравнений для занятых клеток и рассчитается значение потенциалов. Задается потенциал равным нулю, вследствие не достаточного количества уравнений в системе.

Далее в качестве проверки рассчитаем характеристики незагруженных клеток по формуле:

–для незагруженных клеток

Наличие отрицательного значения характеризующего пустую клетку свидетельствует о возможности улучшения плана.

Для введения клетки в план прикрепления поставщиков потребителем необходимо для ячейки сделать контур как в распределительном методе и в этом контуре сделать перераспределение поставок, для этого контур с отрицательной характеристикой выносим за пределы матрицы и делаем в нем перераспределение: проставляем знаки по тому же принципу: знак плюс – свободная клетка и т.д. После этого из отрицательных клеток выбирается так в которой поставка минимальна.

После внесенных изменений в предварительный план необходимо снова проверить его на оптимальность путем вычисления характеристик не загруженных клеток.

studfiles.net

РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ Мы научились

РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ

Мы научились находить первоначальный план поставок. Теперь надо выяснить является ли найденный план оптимальным и, если нет то как его оптимизировать. Для этого надо составить матри цу оценок. Оценка клетки (J, j) вычисляется по следующему правилу: оценка i й строки + оценка j-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (i, j) Оценки строки и столбца выбираются таким образом, чтобы оценки всех отмеченных клеток были равны нулю. После этого оценки всех клеток записываются в виде матрицы — матрицы оценок. Если матрица оценок не содержит отрицательных чисел, то получен оптимальный план поставок. Иначе проводится оптимизация плана поставок.

Двигаясь из клетки с отрицательной оценкой по отмеченным клеткам (причем запрещается делать два последовательных шага в одной строке или в одном столбце), строят так называемый цикл пересчета. Внутри этого цикла перераспределяют поставки. Для полученной таблицы находят матрицу оценок и т. д. Рассмотрим подробнее эту схему на конкретном примере.

Допустим, был получен следующих план поставок: По данному плану суммарные затраты на доставку равны 1690.

Начинать можно с любой строки или любого столбца. Начнем с 1 -го столбца, приписав ему ноль (впрочем, на 1 -м шаге можно приписать столбцу любую оценку). В 1 -ом столбце находятся две отмеченные клетки (1, 1) и (2, 1). Их оценки должны быть нулевыми. Из этого условия, зная оценку 1 -ого столбца, найдем оценки 1 -ой и 2 -й строк. Оценка клетки (1, 1) = оценка 1 -й строки + оценка 1 -го столбца + число в верхнем левом углу клетки (1, 1) Оценка 1 -й строки = Оценка клетки (1, 1) – оценка 1 -го столбца – число в верхнем левом углу клетки (1, 1) Оценка 1 -й строки = 0 – 0 — 4= -4

Так же найдем оценку 2 -й строки: Оценка клетки (2, 1) = оценка 2 -й строки + оценка 1 -го столбца + число в верхнем левом углу клетки (2, 1) Оценка 2 -й строки = Оценка клетки (2, 1) – оценка 1 -го столбца – число в верхнем левом углу клетки (2, 1) Оценка 2 -й строки = 0 – 0 — 3= -3

Теперь надо найти отмеченную клетку, для которой известны оценка строки или оценка столбца. Например, это клетка (2, 2). Для нее известна оценка строки. Оценка клетки (2, 2) = оценка 2 -й строки + оценка 2 -го столбца + число в левом верхнем углу клетки (2, 2) = 0 = (-3) + оценка 2 -го столбца + 1 Оценка 2 -го столбца = 2

Для отмеченной клетки (2, 3) мы знаем только оценку строки. Попробуйте найти оценку 3 -го столбца. Оценка клетки (2, 3) = оценка 2 -й строки + оценка 3 -го столбца + 2 = 0 ? ?

Оценка клетки (2, 3) = оценка 2 -й строки + оценка 3 -го столбца + 2 = 0 Оценка 2 -й строки = 1 Получаем следующую таблицу: Попробуйте самостоятельно найти оценку 3 -й строки и оценку 4 -го столбца.

Найдены оценки всех строк и столбцов. Вычислим оценки всех клеток и составим матрицу оценок.

Для упрощения подсчета можно составить таблицу: Попробуйте рассчитать оценки клеток.

Так как матрица оценок содержит отрицательные числа, то наш план является неоптимальным. Проведем его оптимизацию. Выбираем клетку с наименьшей оценкой. Это клетка (1, 4). Ее оценка -4. Наша задача – построить цикл пересчета. Выходя из клетки (1, 4) и двигаясь ТОЛЬКО ПО ОТМЕЧЕННЫМ КЛЕТКАМ, нужно вернуться в стартовую клетку (1, 4). При этом запрещается делать два последовательных шага в одной строке или в одном столбце.

Например, нам подходит цикл (1, 4)-(1, 1)-(2, 3)-(3, 4)-(1, 4). Нарисуем этот цикл. Для каждой клетки указаны ее индексы и объем поставок.

Стартовой клетке (1, 4) припишем знак «+» . Двигаясь по циклу ЧЕРЕДУЕМ знаки. Найдем минимальное значение поставки среди тех клеток, где стоит знак «-» . Это значение = 30. В тех клетках, где стоит знак «-» необходимо уменьшить значение поставки на этот минимум, т. е. На 30, а там, где стоит знак «+» необходимо увеличить на этот минимум.

Если получена одна клетка с нулевой поставкой, то она становится пустой. У нас таких клеток две: (1, 1) и (2, 3). Пустой объем поставим там, где наибольший тариф на доставку, т. е. В клетку (1, 1). Это делается для того, чтобы выполнялось соотношение: число отмеченных клеток = число строк + число столбцов -1 Получаем новый план поставок.

Для нового плана находим оценки строк и столбцов. Начнем с 1 -го столбца, приписав ему ноль. В 1 -ом столбце находится одна отмеченная клетка (2, 1). Ее оценка должны быть нулевая. Из этого условия, зная оценку 1 -ого столбца, найдем оценку 2 -й строки. Оценка клетки (1, 1) = оценка 1 -й строки + оценка 1 -го столбца + число в верхнем левом углу клетки (1, 1) Оценка 2 -й строки = Оценка клетки (2, 1) – оценка 1 -го столбца – число в верхнем левом углу клетки (2, 1) Оценка 2 -й строки = 0 – 0 — 3= -3

Для нового плана находим оценки строк и столбцов. Для клетки (2, 2) известна оценка строки. Оценка клетки (2, 2) = оценка 2 -й строки + оценка 2 -го столбца + число в левом верхнем углу клетки (2, 2) = 0 = (-3) + оценка 2 -го столбца + 1 Оценка 2 -го столбца = 2

Составляем матрицу оценок: План является неоптимальным, т. к. Оценка клетки (2, 4) меньше 0. Строим для него цикл пересчета. Min = 0. Клетка (2. 3) становится пустой, а клетка (2, 4) – ОТМЕЧЕННОЙ (нулевая поставка).

Получаем новый план поставок: Найдите оценки клеток. Оценка клетки (J, j) вычисляется по следующему правилу: оценка i й строки + оценка j-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (i, j)

Оценки клеток: Адрес ячейки Оценка клетки (I, j) Оценка i-ой строки Оценка j-ого Число в столбца верхнем углу 1, 1 2 -2 0 4 1, 2 7 -2 2 7 1, 3 3 -2 3 2 1, 4 0 -2 -1 3 2, 1 0 -3 0 3 2, 2 0 -3 2 1 2, 3 2 -3 3 2 2, 4 0 -3 -1 4 3, 1 -1 -6 0 5 3, 2 2 -6 2 6 3, 3 0 -6 3 3 3, 4 0 -6 -1 7

Получаем следующую матрицу оценок: План является неоптимальным, т. к. Оценка клетки (3, 1) меньше 0. Постройте цикл пересчета. Нам подходит цикл (3, 1)-(2, 4)-(3, 1) Минимум (70, 100) = 70. В клетках со знакам «+» поставки увеличиваются на 70, а в клетках со знаком «-» поставки уменьшаются на 70. Клетка (2, 1) становится пустой.

Поучаем новый план поставок: Составим матрицу оценок: 3 7 3 0 1 0 2 0 0 Матрица оценок не содержит отрицательных чисел. Получен оптимальный план поставок.

Суммарные затраты на перевозку груза равны: Напомню, что суммарные затраты на перевозку груза 1690.

ОКТРЫТАЯ МОДЕЛЬ Открытая модель сводится к закрытой. Если суммарная мощность поставщиков больше суммарного спроса потребителей, то вводится фиктивный потребитель, которому приписывается спрос, равный разнице между суммарной мощностью поставщиков и суммарным спросом потребителей. Полученная закрытая модель решается.

Суммарная мощность поставщиков = 40+60+50=150. Суммарный спрос потребителей = 30+40+60+130. Модель – открытая. Вводим фиктивного потребителя, которому приписываем спрос: 150 -130=20 Стоимость перевозки единицы груза до фиктивного потребителя равна 0. Получаем закрытую модель:

present5.com

3.3. Распределительный метод решения транспортной задачи

Рассмотрим способ определения свободных неизвестных, которые целесообразно перевести в число базисных на конкретном примере. Возьмем базисное решение, найденное методом северо-западного угла со стоимостью перевозок

=250 + 325 + 250 + 550 + 225 + 625 = 725.

Теперь необходимо построить циклы пересчета для всех свободных переменных (свободных клеток) и определить сумму стоимостей по циклам пересчета _ij для всех свободных неизвестных, чтобы найти, какую из них перевести в число базисных для уменьшения целевой функции.

Определяем сумму стоимостей по циклу пересчета для каждой свободной клетки, подставляя соответствующие стоимости перевозок из базисных клеток в вершинах цикла:

х₁₃  ₁₃ = с₁₃ — с₂₃ + с₂₂ — с₁₂ = 2 — 5 + 2 — 3 = — 4 ,

х₁₄  ₁₄ = с₁₄ — с₂₄ +с₃₃ – с₂₃ + с₂₂ — с₁₂ = 1 – 2 + 2 — 5 + 2 — 3 = -5 ,

х₂₁  ₂₁ = с₂₁ — с₁₁ + с₁₂ — с₂₂ = 4 – 2 + 3 — 2 = 3 ,

х₂₄  ₂₄ = с₂₄ — с₁₄ + с₁₂ — с₂₂ = 2 — 1+ 2 — 4 = -1 ,

аналогично ₃₁ = 6, ₃₂ = 4.

Выбираем те из свободных переменных, которые имеют отрицательное значение суммы стоимости по циклу пересчета. В рассматриваемом примере это х₁₃, х₁₄, х₂₄.

Во-вторых, определяется базисная переменная, переводимая в число свободных.

Для этого необходимо проанализировать цикл пересчета, соответствующий выбранной свободной неизвестной. В нашем примере это может быть цикл для переменной х₁₃.

Производя преобразования по циклу, мы должны получить нуль в одной из базисных переменных. Кроме того, необходимо учитывать, что переменные не могут принимать отрицательных значений. Поэтому выбирается та базисная переменная, которая имеет наименьшее значение из всех базисных переменных, расположенных в отрицательных вершинах цикла пересчета. В нашем примере это будет х₁₂=10.

Для получения нового допустимого базисного решения осуществляем сдвиг по циклу пересчета выбранной свободной переменной х₁₃ на величину значений выбранной базисной переменной х₁₂=10, которая после сдвига переводится в свободные.

При этом получим новую таблицу матрицы перевозок.

Сдвиг по циклу привел к новому допустимому базисному решению:

х₁₁=20, х₁₃=10, х₂₂=30, х₂₃=10, х₃₃=10, х₃₄=10, остальные x_ij=0.

Новое решение дает значение целевой функции F=250, меньшее предыдущего, т. е. ближе к оптимальному значению.

studfiles.net

Распределительный метод решения транспортной задачи

После того как получен первоначальный план поставок необходимо выяснить, является ли найденный план оптимальным и, если нет, то оптимизировать его. Для этого надо составить матрицу оценок.

Оценка клетки (i, j) вычисляется по следующему правилу: оценка i-ой строки + оценка j-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (i, j). Оценки строки и столбца выбираются таким образом, чтобы оценки всех отмеченных клеток были равны 0. После этого оценки всех клеток записываются в виде матрицы – матрицы оценок. Если матрица оценок не содержит отрицательных чисел, то получен оптимальный план поставок. Иначе проводится оптимизация плана поставок.

Двигаясь из клетки с наименьшей отрицательной оценкой по отмеченным клеткам (причем запрещается делать два последовательных шага в одной строке или столбце), строят так называемый цикл пересчета. Внутри этого цикла перераспределяют поставки. Для полученной таблицы находят матрицу оценок и т. д. Рассмотрим подробнее эту схему на конкретном примере.

Пример. В предыдущем примере методом северо-западного угла был получен следующий план поставок. Исследуем его на оптимальность.

Начинать можно с любой строки или любого столбца. Начнем с 1-го столбца, приписав ему 0. В 1-м столбце находятся две отмеченные клетки (1, 1) и (1, 2). Их оценки должны быть нулевыми. Из этого условия, зная оценку первого столбца, найдем оценки 1-й и 2-й строк.

Оценка клетки (1, 1) = оценка 1-й строки + оценка 1-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (1, 1) = оценка 1-й строки + 0 + 4= 0. Отсюда оценка 1-й строки = -4.

Оценка клетки (2, 1) = оценка 2-й строки + оценка 1-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (2, 1) = оценка 2-й строки + 0 + 3= 0. Отсюда оценка 2-й строки = -3.

Найденные оценки столбцов записываем под таблицей, найденные оценки строк – справа от таблицы.

После этого шага получаем следующую таблицу:

Теперь надо найти отмеченную клетку, для которой известны оценки строки или столбца. Например, это клетка (2, 2). Для нее известна оценка строки. Оценка клетки (2, 2) = оценка 2-й строки + оценка 2-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (2, 2) = = (-3) + оценка 2-го столбца + 1 = 0. Отсюда оценка 2-го столбца = 2.

После этого шага получаем следующую таблицу:

Для отмеченной клетки (2, 3) известна только оценка строки. Оценка клетки (2, 3) = оценка 2-й строки + оценка 3-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (2, 3) = = (-3) + оценка 3-го столбца + 2 = 0. Отсюда оценка 3-го столбца = 1. После этого шага получаем следующую таблицу:

Оценка клетки (3, 3) = оценка 3-й строки + оценка 3-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (3, 3) = оценка 3-й строки + 1 + 3= 0. Отсюда оценка 3-й строки = -4. После этого шага получаем следующую таблицу:

Оценка клетки (3, 4) = оценка 3-й строки + оценка 4-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (3, 4) = (-4) + оценка 4-го столбца + 7 = 0. Отсюда оценка 4-го столбца = -3. После этого шага получаем следующую таблицу:

Найдены оценки всех строк и столбцов. Вычислим оценки всех клеток и составим матрицу оценок.

Оценка клетки (1, 2) = оценка 1-й строки + оценка 2-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (1, 2) = (-4) + 2+ 7 = 5.

Оценка клетки (1, 3) = оценка 1-й строки + оценка 3-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (1, 3) = (-4) + 1+ 2 = -1. И т. д.

Получаем следующую матрицу оценок:

Так как матрица оценок содержит отрицательные числа, то план поставок является неоптимальным. Проведем его оптимизацию. Выберем клетку с наименьшей оценкой. Это клетка (1, 4). Ее оценка равна -4. Наша задача – построить цикл пересчета. Выходя из клетки (1, 4) и двигаясь только по отмеченным клеткам, нужно вернуться в стартовую клетку (1, 4). При этом запрещается делать два последовательных шага в одной строке или в одном столбце. Например, подходит цикл (1, 4) – (1, 1) – (2,1) – (2,3) – (3,3) – (3,4) – (1,4). Нарисуем этот цикл. Для каждой клетки указаны ее индексы и объем поставок.

Стартовой клетке (1, 4) припишем знак «+». Двигаясь по циклу, чередуем знаки. Среди поставок в клетки со знаком «-» найдем минимальную: min (30, 30, 130) = 30. После этого в клетках со знаком «-» уменьшим поставки на этот минимум, а клетках со знаком «+» увеличим на этот минимум. Клетка (1, 4) становится отмеченной. Если получена одна клетка с нулевой поставкой, то она становится пустой. У нас таких клеток две – (1, 1), (2,3). Поэтому пустой объявим одну из них с наибольшим тарифом – клетку (1, 1). В клетку (2, 3) будет сделана нулевая поставка, и она становится отмеченной. Это делается для выполнения соотношения: число отмеченных клеток = число строк+число столбцов-1.

Нужно следить, чтобы суммы поставок по строкам и столбцам были равны мощностям поставщиков и спросу потребителей соответственно.

Для нового плана находим оценки строк и столбцов. Затем получим матрицу оценок:

План является неоптимальным, так как оценка клетки (2, 4) меньше нуля. Строим для нее цикл пересчета: (2, 4) – (3, 4) – (3, 3) – (2, 3) (2, 4).

min (0, 100) = 0. Клетка (2, 3) становится пустой, а клетка (2, 4) – отмеченной (нулевая поставка). Новый план поставок:

Для нового плана находим оценки строк и столбцов. Затем получим матрицу оценок клеток:

План является неоптимальным, так как оценка клетки (3, 1) меньше нуля. Строим для нее цикл пересчета: (3, 1) – (2, 1) – (2, 4) – (3, 4) – (3, 1).

min (70, 100) = 70. В клетках с «+» поставки увеличиваются на 70, а в клетках с «-» поставки уменьшаются на 70. Клетка (2, 1) становится пустой. Новый план поставок:

Находим оценки строк и столбцов. Получаем матрицу оценок:

Матрица оценок не содержит отрицательных чисел. Получен оптимальный план поставок. Суммарные затраты на перевозку груза равны: 3*30+1*120+4*70+5*70+3*150+7*30=1500 (Для первоначального плана эта сумма была равна 1690).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru

Значения функции и точки максимума и минимума

Значения функции и точки максимума и минимума

Наибольшее значение функции 

Наменьшее значение функции 

Точки max 

Точки min

Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!

Статью Как посчитать производные? надеюсь, ты изучил, без этого дальше будет проблематично.

12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.

12 задание бывает двух видов:

1. Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
   
2. Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).

Найти точку максимума / минимума

1. Взять производную от предложенной функции.
2. Приравнять ее к нулю.
3. Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
4. Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.

Задания с ЕГЭ: 

Найдите точку максимума функции 

• Берем производную:

• Приравняем ее к нулю:
• Получили одно значение икса, для нахождения знаков подставим −20 слева от корня и 0 справа от корня в преобразованную производную (последняя строчка с преобразованием):

Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума!
Ответ: −15

Найдите точку минимума функции

• Преобразуем и возьмем производную: 

• Получается один корень «−2», однако не стоит забывать о «−3», она тоже будет влиять на изменение знака.

• Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает — это точка минимума!

Ответ: −2

Найти наибольшее / наименьшее значение функции

1. Взять производную от предложенной функции.
   
2. Приравнять ее к нулю.
   
3. Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
   
4. Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
5. В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.
6. Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции. 

Задания с ЕГЭ: 

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1] 

• Преобразуем и возьмем производную: 
• «3» не вдходит в промежуток [−4; −1]. Значит, остается проверить «−3» — это точка максимума?

• Подходит, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума, и в ней будет наибольшее значение функции. Остается только подставить в первоначальную функцию:

Ответ: −6

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 1,5π]

• Берем производную:
• Находим, чему равняется sin(x):
• Но такое невозможно! Sin(x)…
• Получается, что уравнение не имеет решения, и в таких ситуациях нужно подставлять крайние значения промежутка в первоначальное уравнение:

• Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».
  

Ответ: 11

Выводы:

1. 70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y», а на точку максимума/минимума написать «х».
   
2. Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
3. Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
4. В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку — можно смело писать в ответ.
5. А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.

ik-study.ru

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\). Количество точек экстремума функции – \(5\).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с \(-13\): до \(-13\) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что \(-13\) – точка максимума.

\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.

\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

\(-7\): минимум.

\(3\): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции \(f'(x)\). 
2. Найдите корни уравнения \(f'(x)=0\). 
3. Нарисуйте ось \(x\) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью \(f'(x)\), а под осью \(f(x)\).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(+\)» на «\(-\)», то \(x_1\) – точка максимума;
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(-\)» на «\(+\)», то \(x_3\) – точка минимума;
   — если \(f’(x)\) не изменила знак, то \(x_2\) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции \(y=3x^5-20x^3-54\).
Решение:
1. Найдем производную функции: \(y’=15x^4-60x^2\).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

\(15x^4-60x^2=0\)      \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\)       \(x^2-4=0\)
               \(x=±2\)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).

Ответ. \(-2\).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

cos-cos.ru

Максимум функции · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Максимум функции определяется как экстремум функции, но добавляются дополнительные условия.

Воспользуйтесь калькулятором по нахождению максимума функции:

Получим результат:

Максимум равен y=1/e, в точке x=1

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$$ Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния: $$x_{1} = 1$$ Зн. экстремумы в точках:
-1 (1, e )
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет.
Максимумы функции в точках: $$x_{1} = 1$$ Убывает на промежутках
(-oo, 1]
Возрастает на промежутках
[1, oo)

Определение максимума функции

Максимум функции — это максимальное значение на данном промежутке. Максимум находится так:
Решается уравнение : «Производная функции равна 0» для неизвестной x (если функция зависит от x) и смотрится при найденном x как меняет точка знак производной функции, проходя через эту точку

Другой простой пример максимума функции

Рассмотрим функцию -x^2. Ее производная равна -2*x (Кстати производная функции находится здесь) — решаем уравнение -2*x = 0 — значит x = 0.

Смотрим — производная -2x при x > 0 — меньше 0, а при x < 0 производная больше 0.

Значит при x=0 функция -x^2 имеет максимум. Вот такой простой пример.

www.kontrolnaya-rabota.ru

Экстремумы функции, максимум и минимум

Экстремумами (максимумами и минимумами) функции называются значения функции в точках максимума и минимума.

Точки экстремума функции

Говорят, что в точке максимум (минимум), если существует такая -окрестность точки — , что для всех из этой окрестности, отличных от выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие существования экстремума функции. Пусть функция дифференцируема в промежутке . Если в некоторой точке функция имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю: .

Достаточное условие существования экстремума функции. Если производная функции равна нулю в точке и при переходе через эту точку в сторону возрастания меняет знак с «+» («-») на «-» («+»), то в точке функция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точку производная функции не меняет знак, то в этой точке функция экстремума не имеет.

Для исследования функции на экстремум необходимо:

1. найти критические точки функции;
2. проверить, изменяет ли знак производная функции при переходе через критическую точку;
3. вычислить значения максимума или минимума .

Примеры исследования функции на экстремум

Монотонность функции

Нули функции

Наибольшее и наименьшее значение функции

Точки перегиба функции

Промежутки выпуклости и вогнутости функции

Исследование функции

ru.solverbook.com

матан коллоквиум / 12.Понятие экстренума.Определение максиимума,минимума,понятие критической точки,графическая иллюстрация критических точек

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике —максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определения

Пусть дана функция и— внутренняя точка области определенияТогда

Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

Значение функции называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Достаточные условия существования локальных экстремумов

 является точкой строгого локального максимума. А если

то является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке 

 и 

 является точкой локального максимума. А если

 и 

то является точкой локального минимума.

Если чётно и, то- точка локального максимума. Есличётно и, то- точка локального минимума. Еслинечётно, то экстремума нет.

Максимум и минимум функции.

Приведем точные определения точек экстремума.  Определение. Точка x₀ называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀.  Это наглядно показано на рисунке 1:    рисунок 1  Определение. Точка x₀ называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀.  Это наглядно показано на рисунке 2:    рисунок 2  По определению значение функции f в точке x₀ является наибольшим среди значений функции в окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности x₀ имеет обычно либо вид гладкого холма, либо вид острого пика (рис. 1 а) и б) соответственно).  В окрестности точки минимума графики изображаются в виде загругленной или острой впадины (рис. 2 а) и б) соответственно).  Другие примеры поведения графиков функций в точках максимума и минимума приведены на рисунке ниже:    Слева направо: a — точка максимума; a — точка минимума; каждая точка из промежутка [-1; 0] является как точкой максимума, так и точкой минимума.  Для точек минимума и максимума функции есть общее определение — точки экстремума. Значение функции в этих точках соответственно назывется максимумом или минимумом этой функции. Общее название — экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают x_max, а точки минимума — x_min.

Критической точкой дифференцируемой функции , где  — область в , называется точка, в которой все её частные производные обращаются в ноль. Это условие эквивалентно обращению в ноль дифференциала функции в данной точке, а также равносильно горизонтальности касательной гиперплоскости к графику функции. Это условие является необходимым (но не достаточным) для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума функции.

studfiles.net

Как найти экстремум (точки минимума и максимума) функции

• Находим производную функции
• Приравниваем эту производную к нулю
• Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)
• Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум
• Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.

Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно экстремумы. Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если с минуса на плюс, то минимумом.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.

https://bugaga.net.ru/ege/math/ekstremum.html bugaga.net.ru

Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума.

Смотрите также:

Еще больше материалов для подготовки к ЕГЭ

bugaga.net.ru

МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ — это… Что такое МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ?

МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ

наибольшее и соответственно наименьшее значения функции, принимающей действительные значения. Точку области определения рассматриваемой функции, в к-рой она принимает максимум или минимум, наз. соответственно точкой максимума или точкой минимума (см. Максимума и минимума точки).Если нек-рая точка является точкой абсолютного (локального) максимума или минимума, строгого или нестрогого, то значение функции в этой точке наз. абсолютным (локальным), соответственно строгим или нестрогим максимумом или минимумом. Если функция непрерывна на компакте, то она всегда принимает на нем максимальное и минимальное значения.

М. и м. ф. называется ее экстремумом.

Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

• МАКСИМИННЫИ КРИТЕРИЙ
• МАКСИМУМА И МИНИМУМА ТОЧКИ

Смотреть что такое «МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ» в других словарях:

• МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ — соответственно наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума …   Большая политехническая энциклопедия

• МАКСИМУМ И МИНИМУМ — (от латинского maximum и minimum наибольшее и наименьшее) (математическое), наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с ее значениями в достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума …   Современная энциклопедия

• МАКСИМУМ И МИНИМУМ — (лат. maximum и minimum букв. наибольшее и наименьшее), в математике наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с ее значениями в достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума …   Большой Энциклопедический словарь

• Максимум и минимум — (от латинского maximum и minimum наибольшее и наименьшее) (математическое), наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с ее значениями в достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.   …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

• максимум и минимум — (лат. maximum и minimum, буквально  наибольшее и наименьшее) (матем.), наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с её значениями в достаточно близких точках. На рисунке функция у = f(х) имеет в точках x1 и х3 максимум, а в точке х2 … …   Энциклопедический словарь

• МАКСИМУМ И МИНИМУМ — (лат. maximum и minimum, букв. наибольшее и наименьшее) (матем.), наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с её значениями в достаточно близких точках. На рис. функция y = f(x) имеет в точках х1 и х3 максимум, а в точке х2 минимум.… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• Локальный максимум, локальный минимум — (local maxi­mum, local minimum) см. Экстремум функции …   Экономико-математический словарь

• МИНИМУМ — см. Максимум и минимум функции, Максимума и минимума точки …   Математическая энциклопедия

• МАКСИМУМ — (maximum) самое большое число (величина или ценность), наибольший предел, до которого что либо может достигнуть. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. МАКСИМУМ наибольшая величина из рассматриваемых… …   Словарь иностранных слов русского языка

• МАКСИМУМ — МАКСИМУМ, максимума, муж. (лат. maximum наибольшее). 1. Наибольшее, предельное количество; ант. минимум. Проявить максимум энергии. Максимум знаний. Максимум и минимум (наибольшее и наименьшее значение функции; мат.). 2. в знач. нареч. Самое… …   Толковый словарь Ушакова

Книги

• Математическое просвещение. Выпуск 4, Р. Н. Бончковский, Сборники Математическое просвещение содержат оригинальные статьи по элементарным разделам математики, по методике и истории математики, отделы текущей жизни, задач, библиографии и т. д.… Издатель: Книга по Требованию, Производитель: Книга по Требованию, Подробнее  Купить за 2591 грн (только Украина)
• Математическое просвещение. Выпуск 4, Р. Н. Бончковский, Сборники «Математическое просвещение» содержат оригинальные статьи по элементарным разделам математики, по методике и истории математики, отделы текущей жизни, задач, библиографии и т. д.… Серия: — Издатель: ЁЁ Медиа, Подробнее  Купить за 2003 руб
• чистоПитание. Книга о чистой, простой и сильной пище (подарочное издание), Вадим Зеланд, Роскошное полноцветное издание в бархатном переплете с фотографиями автора — это настоящее воплощение мечты для всех последователей `Трансерфинга реальности` и отличный подарок для вас и… Серия: Трансерфинг реальности Издатель: ИГ Весь, Производитель: ИГ Весь, Подробнее  Купить за 1055 грн (только Украина)

dic.academic.ru

ГОСТ 18848-73 Масла растительные. Показатели качества. Термины и определения, ГОСТ от 30 мая 1973 года №18848-73

МАСЛА РАСТИТЕЛЬНЫЕ. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА

Vegetable oils. Quality indices. Terms and definitions

Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров СССР от 30 мая 1973 г. N 1375 дата введения установлена 01.07.74

ПЕРЕИЗДАНИЕ. Июль 2008 г.


Настоящий стандарт устанавливает применяемые в науке, технике и производстве термины и определения основных показателей качества растительных масел.

Термины, установленные настоящим стандартом, обязательны для применения в документации всех видов, учебниках, учебных пособиях, технической и справочной литературе. В остальных случаях применение этих терминов рекомендуется.

Для каждого понятия установлен один стандартизованный термин. Применение терминов — синонимов стандартизованного термина запрещается. Недопустимые к применению термины-синонимы приведены в стандарте в качестве справочных и обозначены «Ндп».

Для отдельных стандартизованных терминов в стандарте приведены в качестве справочных их краткие формы, которые разрешается применять в случаях, исключающих возможность их различного толкования.

В случаях, когда существенные признаки понятия содержатся в буквальном значении термина, в графе «Определение» поставлен прочерк.

В стандарте приведен алфавитный указатель содержащихся в нем терминов.

В стандарте приведено приложение, в котором содержатся термины и определения дополнительных показателей качества, являющихся специфичными для отдельных видов растительных масел.

Стандартизованные термины набраны полужирным шрифтом, их краткая форма — светлым, а недопустимые синонимы — курсивом.

Электронный текст документа
подготовлен АО «Кодекс» и сверен по:
официальное издание
Масла растительные.
Методы анализа: Сб. ГОСТов. —
М.: Стандартинформ, 2008

docs.cntd.ru

Идентификация масел и жиров

Сырьевую принадлежность возможно установить по комплексу органолептических характеристик, физических показателей, качественных реакций и жирнокислотному составу.

Органолептические показатели значимы при определении сырьевой принадлежности и вида растительных масел, пищевых топленых жиров, кулинарных, кондитерских и хлебопекарных жиров. У очищенных (рафинированных) жировых продуктов они теряют свою актуальность.

Физические показатели. Из физических показателей при идентификации растительных масел определяют показатель преломления, плотность, вязкость, температуру застывания; при идентификации пищевых топленых жиров — температуру плавления, температуру застывания, показатель преломления и плотность; при идентификации кулинарных, кондитерских и хлебопекарных жиров — температуры плавления и застывания.

Для оценки этих показателей используются простые физические приборы. Длительность исследования не превышает 10-20 мин, а методы относят к экспрессным.

Показатель преломления. Жидкие растительные масла и топленые животные жиры в расплавленном состоянии обладают способностью преломлять луч света. Причем преломляющая способность масел, полученных из различных масличных культур, и животных жиров неодинакова (табл. 4.1). 

Преломляющую способность масел характеризуют величиной показателя преломления (и20), определенного при 20 °С (у топленых животных жиров при 40 °С). Показатель преломления равен отношению синуса угла падения луча к синусу угла преломления. Показатель преломления характеризует не только чистоту жиров, но и степень их окисления; он возрастает при наличии оксигрупп, увеличении молекулярного веса и количества непредельных жирных кислот в жирно-кислотных радикалах триглицеридов.

Определение показателя преломления производят с помощью рефрактометра. Это безразмерная величина. 

Температура плавления. Температура плавления характеризует переход жира из твердого состояния в жидкое. Так как жиры не имеют резко выраженной температуры плавления, их характеризуют по двум показателям: по температуре, при которой жир приобретает подвижность и которую называют температурой плавления, и по температуре полного расплавления, когда жир становится совершенно прозрачным. Температура плавления зависит от соотношения жирных кислот в молекуле триглицеридов.

В производстве пищевых жиров температура плавления является характерным показателем. Она отличает тугоплавкие жиры с температурой плавления выше определенного предела от жиров низкоплавких. Последние лучше усваиваются организмом человека.

Температура застывания. Температура застывания жиров зависит от химического состава и служит характеристикой степени чистоты жиров и жирных кислот.

Относительная плотность. Относительная плотность растительного масла может быть определена как отношение массы определенного объема масла к массе равного объема дистиллированной воды при 20 °С или при помощи ареометра. Относительная плотность — величина безразмерная.

В химии жиров плотность (в кг/м3) принято определять как отношение массы жира при 20 °С к массе того же объема воды при 4 °С.

Плотность жиров характеризует состав жирных кислот, входящих в молекулу триглицерида. Плотность жиров уменьшается с увеличением молекулярной массы и увеличивается с повышением степени ненасыщенности жирных кислот, входящих в состав триглицеридов. Кроме этого, наличие гидроксильных групп в жирно-кислотном радикале, образующихся в процессе окисления, приводит к увеличению плотности. При увеличении содержания свободных жирных кислот, образующихся при гидролизе глицеридов, плотность жиров снижается. Плотность нерафинированных жиров выше, чем рафинированных.

Вязкость. Вязкость масел и жиров, как правило, определяют с применением вискозиметра Оствальда. Измерение вязкости при помощи капиллярного вискозиметра основано на определении времени истечения через капилляр определенного объема жидкости из измерительного резервуара.

Вязкость жиров и масел зависит от молекулярной массы жирных кислот, входящих в состав триглицеридов. С увеличением молекулярной массы жирных кислот вязкость увеличивается и снижается с увеличением числа двойных связей. Вязкость натуральных жиров и масел колеблется в относительно узких пределах, однако этот показатель имеет существенное значение при установлении природной чистоты жира.

Из чисел, определяемых в жирах и растительных маслах, значимыми для экспертизы являются число омыления и йодное число, по величине которых можно также судить и о чистоте и природе жиров.

Число омыления. Число омыления представляет собой число миллиграммов едкого кали, необходимое для омыления глицеридов и фосфатидов и для нейтрализации свободных жирных кислот, входящих в состав 1 г жира.

Этот показатель является характеристикой средней молекулярной массы смеси свободных жирных кислот и кислот, входящих в состав глицеридов исследуемого жира. На величину числа омыления оказывают влияние неомыляемые вещества, свободные жирные кислоты, моно- и диглицериды, а также посторонние примеси.

Йодное число. Йодное число жира — условная величина, представляющая собой число граммов йода, эквивалентное галогену, присоединившемуся к 100 г исследуемого жира, выраженное в процентах йода.

При определении йодного числа жира происходит количественное насыщение двойных связей ненасыщенных кислот жира при комнатной температуре, связывание избытка непрореагировавших галогенов йодистым калием с последующим количественным определением выделившегося свободного йода путем титрования его гипосульфитом натрия в присутствии крахмала.

Йодное число является важнейшим химическим показателем жиров. Оно позволяет судить о степени ненасыщенности жирных кислот, входящих в состав жира. По величине йодного числа судят о преобладании в растительном масле или жире насыщенных или ненасыщенных жирных кислот. Чем выше содержание ненасыщенных жирных кислот, тем выше значение йодного числа. Тугоплавкие жиры имеют низкое значение йодного числа, легкоплавкие — высокое. Этот показатель имеет важное значение при идентификации пищевых топленых жиров. По повышенному значению йодного числа бараньего жира можно предположить, что он фальсифицирован легкоплавким жиром (конским или собачьим). Низкое йодное число свиного жира свидетельствует о добавлении к нему тугоплавкого жира (бараньего или говяжьего).

Качественные реакции на жиры и масла. Качественные реакции на жиры и масла позволяют точно и быстро выявить примеси отдельных видов жиров и растительных масел в исследуемых жировых продуктах. Особенно актуальными они становятся при экспертизе дорогостоящих растительных масел, маргаринов и топленых жиров с целью выявления их ассортиментной фальсификации.

Реакции на наличие гидрогенизированных жиров. Основным способом обнаружения гидрогенизированных жиров является выявление остатка никеля химическими методами или спектрографически.

Косвенно можно различить гидрогенизированные жиры от натуральных, определив в них содержание неомыляемых веществ. В гидрогенизированных жирах их в 2-3 раза больше, чем в натуральных.

Реакция на хлопковое масло. Эта реакция основана на восстановлении азотнокислого серебра и обнаруживает в смеси наличие даже 5% хлопкового масла. Для этого 5 мл жирных кислот, выделенных из испытуемого масла, растворяют в 15 мл 90%-ного спирта, прибавляют 2 мл 3%-ного водного раствора азотнокислого серебра и смесь кипятят в течение 1-3 мин. Жирные кислоты хлопкового масла окрашиваются в темный цвет восстановленным металлическим серебром.

Реакция на кунжутное масло. 0,1 г тонко растертого сахара растворяют в 10 мл соляной кислоты плотностью 1,19. К этому раствору приливают 20 мл исследуемого масла и сильно взбалтывают. При наличии кунжутного масла получается красная окраска.

Реакция на жиры морских животных и рыб. Большие примеси жиров морских животных и рыб к другим жирам можно обнаружить по неприятному запаху, а также по сильной красно-бурой окраске, которую дают эти жиры при смешивании с крепкой фосфорной кислотой и с концентрированными спиртовыми растворами едких щелочей. Однако эти признаки оказываются недостаточными, если содержание жиров морских животных и рыб в смеси других жиров незначительно или если испытуемое вещество содержит эти жиры в полимеризованном или гидрогенизированном виде.

Наиболее быстрым способом определения примесей жиров морских животных и рыб является следующий: 5 мл расплавленного жира растворяют в 10 мл хлороформа и 1,5 мл ледяной уксусной кислоты, затем прибавляют 2,5 мл бромного раствора. Жиры рыб и морских животных дают при этом быстро исчезающую розовую окраску, а по истечении 1 мин появляется зеленая окраска, которая держится довольно долго. Растительные и животные жиры при такой обработке дают желтую или красновато-желтую окраску.

Реакция на масла крестоцветных. Рапсовое, рыжиковое, горчичное и другие масла крестоцветных распознают путем открытия серы, которую они содержат. Для качественного определения серы необходимо 25-30 г исследуемого масла нагревать в течение нескольких минут с 20 мл 10%-ного раствора NaOH. Мыльный раствор отфильтровать через бумажный фильтр. Фильтратом смочить фильтровальную бумагу, пропитанную уксусно-кислым свинцом. Если в масле содержится сера, то фильтровальная бумага почернеет вследствие образования сернистого свинца.

Масла крестоцветных также обладают низким числом омыления (около 175, см. табл. 4.1), из-за наличия в них большого количества высокомолекулярной ненасыщенной эруковой кислоты (табл. 4.6). Более или менее значительные примеси этих масел могут быть выявлены после определения числа омыления, которое должно быть ниже характерного для большинства масел.

Кроме этого, одним из признаков масел крестоцветных является способность мыльных растворов, полученных омылением масла 0,5н спиртовым раствором КОН, застывать при комнатной температуре с образованием лучистых агрегатиков.

techob.ru

ГОСТ 18848-73 Масла растительные. Показатели качества. Термины и определения

МАСЛА РАСТИТЕЛЬНЫЕ. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА

Vegetable oils. Quality indices. Terms and definitions

Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров СССР от 30 мая 1973 г. N 1375 дата введения установлена 01.07.74

ПЕРЕИЗДАНИЕ. Июль 2008 г.


Настоящий стандарт устанавливает применяемые в науке, технике и производстве термины и определения основных показателей качества растительных масел.

Термины, установленные настоящим стандартом, обязательны для применения в документации всех видов, учебниках, учебных пособиях, технической и справочной литературе. В остальных случаях применение этих терминов рекомендуется.

Для каждого понятия установлен один стандартизованный термин. Применение терминов — синонимов стандартизованного термина запрещается. Недопустимые к применению термины-синонимы приведены в стандарте в качестве справочных и обозначены «Ндп».

Для отдельных стандартизованных терминов в стандарте приведены в качестве справочных их краткие формы, которые разрешается применять в случаях, исключающих возможность их различного толкования.

В случаях, когда существенные признаки понятия содержатся в буквальном значении термина, в графе «Определение» поставлен прочерк.

В стандарте приведен алфавитный указатель содержащихся в нем терминов.

В стандарте приведено приложение, в котором содержатся термины и определения дополнительных показателей качества, являющихся специфичными для отдельных видов растительных масел.

Стандартизованные термины набраны полужирным шрифтом, их краткая форма — светлым, а недопустимые синонимы — курсивом.

Электронный текст документа
подготовлен АО «Кодекс» и сверен по:
официальное издание
Масла растительные.
Методы анализа: Сб. ГОСТов. —
М.: Стандартинформ, 2008

docs.cntd.ru

Плотность жира, масла и воска

В таблице представлены значения плотности жиров, масла и воска при 15°С по отношению к плотности воды при 15°С. Плотность воды при 15°С составляет величину 999,1 кг/м³.

Дана плотность жиров следующих видов: бараний жир, говяжий, гусиный, дельфина, кашалота, китовый жир, кроличий, костный, конский, свиной (лярд), свиной (жировая ткань), спермацет, тресковой печени, тюлений, человеческий жир.

Представлена плотность воска следующих типов: китайский воск, обыкновенный, миритовый, японский. Минимальной плотностью, по данным таблицы обладает китайский воск, его плотность равна 809 кг/м³.

Указаны значения плотности масел, таких как: масло букового ореха, виноградных зерен, горчицы белой, черной, грецкого ореха, какао, конопляное, коровье, кукурузное, кунжутное, лавровое, льняное, маковое, миндальное, мускатное, оливковое масло, пальмовое, ореховое, персиковое, подсолнечное (растительное), рапсовое, свечного ореха, соевое, тунговое, тыквенное, хлопковое масло, стеарин хлопковый.

Плотность растительных масел при комнатной температуре изменяется в широких пределах: от 911 до 973 кг/м³. Наиболее легким является масло белой горчицы с плотностью 911 кг/м³. К растительным маслам со средней плотностью относится, например, оливковое масло — плотность оливкового масла равна 914…919 кг/м³. Наиболее плотными маслами являются касторовое масло и масло какао. Плотность этих масел может достигать 966… 973 кг/м³.

Источник:
Таблицы физических величин. Справочник. Под ред. акад. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976. — 1008 с.

thermalinfo.ru

Какая плотность подсолнечного масла? Чему равна плотность подсолнечного масла?

Масло подсолнечника создается на основе растительных жиров, которые добывают из семян этого растения. Этот тип продукта считается наиболее распространенным среди жителей России и близлежащих стран.

В составе преимущество отдано жирам, которые составляют примерно 54% продукта. Концентрация углеводов — около 25,5%. Белки и фитин занимают 2,3%. Дубильные вещества – 1,7%. Также в составе присутствуют фосфолипиды, витамины (А, Е), каротиноиды, органические кислоты, такие как винная, лимонная и хлорогеновая.

В подсолнечных маслах имеется немалое число глицеридов, которые в совокупности создают некий барьер для развития или возникновения склеротического процесса в человеческом организме. Потому этот продукт весьма полезен.

Условия и принципы хранения семян перед использованием

Известно, что от системы сберегания зависит напрямую плотность масла. Поэтому, если какие-то условия не будут соблюдены, производители халатно отнесутся к своим обязанностям, то продукт, полученный в результате такого хранения компонентов, попросту будет некачественным. Такие масла, как правило, стоят очень дешево.

Этапы обработки семян

1. Предварительная их очистка от различных примесей перед изготовлением масла.
2. Кондиционирование семян по принципу влажности.
3. Непосредственное хранение.

Поддержание уровня качества семян имеет главную задачу – защиту от порчи, чтобы плотность подсолнечного масла, изготовленного из них, достигала необходимого уровня, а потери оставались минимальными. Эти принципы и пределяют систему хранения первичных продуктов, подготавливаемых к эксплуатации.

Виды и плотность масла растительного (подсолнечного), назначение

1. Сырое.

Такой вид масла только фильтруют, поэтому оно является наиболее полезным. В этом продукте максимально сохранены биологически ценные компоненты. То, какова плотность подсолнечного масла сырого, зависит от температуры его нагревания. Например, если она составляет +10 градусов, тогда получается 922-929 кг/м³.

2. Гидратированное.

Получают данный продукт с помощью механической очистки и гидратации (через масло, подогретое до 60 градусов, пропускают распыленную воду, температура которой достигает +70 градусов). Белки и слизь отходят в осадок, а главная часть отделяется. Плотность — 915-918 кг/м³.

3. Вымороженное.

Добывают путем удаления из подсолнечного масла воскоподобных компонентов природного происхождения, которые придают сырому продукту мутноватый оттенок. Если продукт «вымораживали», тогда в его названии это указывают. Его используют для приготовления жареной пищи или при тушении, т. к. масло такого типа не имеет запаха, который может передаться еде. Идеально подойдет для фритюрницы. Из него производят кулинарные жиры, маргарин, применяют в производстве консервированной продукции, в изготовлении мыла и лакокрасочных товаров. Плотность подсолнечного масла (кг/м3 — единицы измерения данного показателя) составляет 901-905.

Рафинированное и нерафинированное масла

1. Нерафинированное.

Его чистят механическим способом. Есть три сорта: высший, первый, второй. Такой продукт подойдет при готовке салатов, вторых блюд или теста. Ответ на вопрос о том, чему равна плотность подсолнечного масла нерафинированного, будет таким: 914-918 кг/м³.

2. Рафинированное.

Такой тип масла прозрачный со слабым окрасом, т. к. его тщательно очищают от загрязнений (обрабатывают щелочью, извлекают свободные жирные кислоты, отбеливают и пр.). Плотность — 916-919 кг/м³.

3. Рафинированное дезодорированное.

Добывают под воздействием водяного пара в вакууме, полностью уничтожая ароматические составляющее продукта. Есть пара типов: «П» и «Д». Его используют для производства продуктов для малышей или диетических товаров. Типы отличаются лишь тем, что показатели физико-химические и кислотное число отличны. Тип «Д» более мягкий и безвредный. Плотность подсолнечного масла (г/см3) равна 0,904-0,909.

Подбирайте продукт для собственных нужд и целей. То, какая плотность подсолнечного масла, на его качестве отражается не очень сильно. Этот показатель влияет в основном на вязкость и жирность продукта.

Как правильно хранить масло в домашних условиях

У подобных продуктов, как известно, существует три главных злостных врага: кислород, хранение в теплых условиях и свет. Из этого можно сделать логический вывод. Чтобы не избавить вещество от полезных микроэлементов и не понизить плотность подсолнечного масла, нужно спрятать его от световых лучей, поставить в прохладное место и хранить в закупоренной емкости. Температура для хранения продукта составляет примерно +7-21 градус. Сделайте так, чтобы неупотребляемый в настоящий момент продукт не имел никаких контактов с металлами или водой.

Масло нерафинированное хранится около четырех месяцев со дня его производства, а рафинированное – шесть. Опытные хозяйки, для того чтобы продукт дольше сберегался, добавляют к нему, прямо в емкость, несколько щепоток соли и горсточку промытой и высушенной фасоли.

Как нельзя обращаться с подсолнечными маслами

1. Нельзя оставлять продукт в сковороде, на плите без присмотра. Он может сильно раскалиться и самовоспламениться. Если такое произошло, накройте посуду с ним плотной мокрой тряпкой, но не лейте воду.
2. Не стоит обжаривать продукты в перегретом масле, т. к. оно будет выстреливать и испортит запах и вкус еды.
3. Нельзя вливать продукт в раскалившуюся посуду, т. к. температура ее может быть очень высокой, и содержимое может воспылать огнем, что приведет к пожару. Особенно это касается веществ с высокой плотностью.
4. Нельзя хранить масло при световом освещении, которое провоцирует развитие окислительных реакций, разрушающих в продукте все полезные микроэлементы. К слову, нерафинированные вещества быстро лишаются своего цвета и выгорают. Эти процессы, к счастью, никоим образом не отражаются на качестве масла.
5. Нельзя использовать продукт повторно. Масло при повторном использовании не дает пище никаких полезных веществ, т. к. они выгорели при первичном применении. Если не следовать этому правилу употребления, то токсичные соединения мутагенного и канцерогенного характера, образовавшиеся в веществе, попадут в желудок.
6. Нельзя использовать в пищу просроченный продукт, т. к. велик риск нарушений пищеварительного процесса.

Как подготавливать продукты перед жаркой

1. Сырую картошку перед приготовлением нужно очень тщательно промывать под проточной водой, чтобы избавить ее поверхность от крахмала. Если этого не сделать, то при обжарке она станет клейкой (кусочки слипнутся между собой или пристанут ко дну сковороды). Можно еще просушить картофель бумажными полотенцами, такая процедура ускорит возникновение золотистой корочки и все равномерно приготовится.
2. Перед жаркой мясо также нужно высушить, обернув его салфеткой и пр. Проблема та же: вода, оставшаяся в продукте, попадает в масло, и от этого оно дымится и начинает стрелять.
3. Если ингредиент для приготовления представлен в виде мясного фарша, то жидкость, которая в него добавлялась (сливки, молоко и пр.) не должна составлять более 10% от основного содержимого. Все потому, что она будет вытекать из блюд при жарке и скапливаться в виде сгустков, провоцируя «выстрелы».

Витаминная составляющая

Все масла являются кладовой растительных жиров. Они содержат достаточное количество килокалорий, не давая организму впадать в нерабочее состояние, усталость. Энергетический запас пополняется при употреблении с пищей подсолнечного масла любого вида или типа. Особенно это актуально в холодные периоды года и при болезни. Подсолнечное масло не дает фору по содержанию килокалорий животным жирам, т. к. имеет энергетическую ценность 900 на 100 грамм, а сливочное – всего 738 на 100 грамм. Усваивается продукт практически на 100%. Является отличным примером комплекта биологически активных микроэлементов.

Большинство людей соблюдают принципы правильного питания, поддерживают сбалансированное крепкое физическое здоровье как свое, так и близких. Нужно помнить, что при употреблении подсолнечного масла потомство будет здоровым, нервная система — отлично сформированной, а костная ткань — крепкой. Также производится профилактика сердечно-сосудистых болезней.

autogear.ru

Физико-механические свойства растительных масел Текст научной статьи по специальности «Растениеводство»

Библиографический список

1. Коростелев С.А. Снижение НДС резинового элемента РМШ гусеничного движителя путем выбора рациональной формы / С.А. Коростелев // Совершенствование систем автомобилей, тракторов и агрегатов: сб. ст. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2006. С. 30-37.

2. Лавендел Э.Э. Расчеты резинотехнических изделий: монография / Э.Э. Лавендел. М.: Машиностроение, 1976. 232 с.

3. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред / Дж. Мейз. М.: Мир, 1974.

4. Уорд И. Механические свойства твердых полимеров / И. Уорд. М.: Химия, 1975.

5. Коростелев С.А. Определение угловой жесткости РМШ гусеничного движителя комбинированного типа / С.А. Коростелев, Д.Ю. Каширский // Вестник КГТУ. Вып. 39. Серия транспорт. 2005. С. 217-222.

6. Сегерлинд Л. Применение метода

конечных элементов: монография /

Л. Сегерлинд. М.: Мир, 1979.

7. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: монография / Р. Галлагер. М.: Мир, 1984.

+ + +

УДК 633.34.664.0:636.084 Г.М. Харченко

ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РАСТИТЕЛЬНЫХ МАСЕЛ

На масложировых предприятиях страны вырабатывают широкий ассортимент растительных масел из отечественного и импортного сырья: подсолнечное, хлопковое, соевое, горчичное, кукурузное, кокосовое, кунжутное, оливковое, рапсовое, арахисовое, косточковое, льняное, касторовое и др.

В зависимости от способа очистки выпускают следующие виды растительного масла для розничной торговой сети и сети общественного питания: нерафинированное, подвергнутое только механической очистке; гидратированное, подвергнутое механической очистке и гидратации; рафинированное недезодорированное, подвергнутое механической очистке, гидратации и нейтрализации; рафинированное дезодорированное.

Растительные масла на 94-96% состоят из смесей триглицеридов высших жирных кислот. Оставшуюся часть составляют вещества, близкие к жирам (например, фосфолипиды, стерины, витамины), свободные жирные кислоты и др. компоненты. Плотность растительных масел 870980 кг/м3, а приведенных в таблице 2 -910-962 кг/м3; большинство из масел растворимы в бензине, бензоле, дихлорэтане, сероуглероде, ацетоне, диэтиловом эфире4; ограниченно растворяются в этаноле и метаноле, не растворяются в воде. Свойства растительных масел определяются, главным образом, составом и со-

держанием жирных кислот, образующих триглицериды. Обычно это насыщенные и ненасыщенные одноосновные жирные кислоты с неразветвленной углеродной цепью и четным числом атомов углерода (преимущественно С16 и С18). В подавляющем большинстве растительные масла содержат смеси глицеридов различных кислот, в некоторых присутствуют и глицериды одной кислоты. Кроме того, в растительных маслах обнаружены в небольших количествах глицериды жирных кислот с нечетным числом атомов углерода.

В зависимости от состава триглицеридов растительные масла могут быть жидкими (подсолнечное, хлопковое, соевое, рапсовое, кукурузное, льняное и др.) и твердыми (кокосовое, пальмовое, пальмоядровое и др.). У жидких масел, содержащих в основном непредельные кислоты, температура застывания ниже 0°С, у твердых — достигает 40°С. При контакте с О2 воздуха или при нагревании до 250-300°С многие растительные масла подвергаются окислительной полимеризации («высыхают»), образуя пленки.

При анализе состава растительных масел количество высших жирных кислот, образующихся при омылении, характеризуют числом омыления, степень ненасы-щенности — йодным и родановым числами. Компоненты растительных масел, отличные от триглицеридов, подразделяют на омы-

ляемые и неомыляемые. К первым относят свободные жирные кислоты (содержание 1-2%), фосфолипиды (0,5-4%), стери-ны (0,3-1,3%), воски и воскообразные вещества (0,002-0,4%), пигменты (не более 0,16%), ко вторым — белки (0,1-1,5%), витамины (до 0,5%), углеводороды и др. Свободные жирные кислоты могут содержаться в растительном сырье (семена недозревших растений или семена, самосо-зревающиеся при хранении во влажном состоянии) или образовываться в процессе выделения масла в результате частичного гидролиза триглицеридов (высшие жирные кислоты) и их окисления под действием света и при длительном хранении (низкомолекулярные жирные кислоты — масляная, каприновая, капроновая, каприловая, ацетоуксусная, уксусная). Суммарное содержание свободных кислот (в %) по массе в растительных маслах определяет их кислотность и характеризуется кислотным числом. Наличие свободных низкомолекулярных жирных кислот, растворимых в воде и испаряющихся при нагревании, характеризуется числом Рейхарта-Мейсля; наличие кислот, не растворяющихся в воде, но способных испаряться при нагревании, -числом Поленске. Оба этих числа определяются количеством мл 0,1 н. раствора КОН, расходуемого на нейтрализацию 5 г растительных масел в определенных условиях. Содержание нерастворимых кислот и неомыляемых компонентов характеризуется числом Генера (содержание их в % в 100 г растительного масла). Значения этих показателей приведены в таблице 1 [5].

Подсолнечное масло получают из семян подсолнечника методами прессования и экстрагирования. Производство этого масла в нашей стране составляет около 70% выпуска всех растительных масел; в его состав входят незаменимые жирные кислоты, каротины, витамин Е.

Нерафинированное масло имеет выраженный вкус и запах поджаренных подсолнечных семян, светло-желтый цвет, допускается небольшой осадок. По качеству его делят на три сорта — высший, 1-й и 2-й. Масло высшего и 1-го сортов должно быть прозрачным, допускаются лишь отдельные мельчайшие частицы воскоподобных веществ («сетка»), в масле 2го сорта может быть легкое помутнение. Кислотное число (в мг КОН, не более) нерафинированного масла высшего сорта — 1,5, масла 1-го сорта — 2,25, масла 2-го сорта — 6.

Гидратированное масло вырабатывают высшего, 1-го и 2-го сортов. В отличие от нерафинированного такое масло не имеет осадка; во 2-м сорте допускается легкое помутнение.

Рафинированное масло выпускают не-дезодорированным и дезодорированным. Дезодорированное масло по вкусу и запаху является обезличенным, недезодо-рированное имеет слегка выраженные вкус и запах подсолнечных семян, масло прозрачное, не содержит отстоя, кислотное число — не более 0,4. Для поставки в торговую сеть и на предприятия общественного питания предназначается рафинированное дезодорированное подсолнечное масло [1].

Хлопковое масло получают из семян хлопчатника прессовым и экстракционным способами. Выработка хлопкового масла составляет более 20% общего объема производства растительных масел в нашей стране. Особенностью хлопковых семян является содержание в них специфичного пигмента (госсипола), который придает маслу интенсивный коричневый и бурый цвет. Госсипол обладает ядовитыми свойствами, поэтому в пищу хлопковое масло используют только после рафинации.

Рафинированное хлопковое масло подразделяют на рафинированное недезодо-рированное и рафинированное дезодорированное. Рафинированное дезодорированное хлопковое масло подразделяют на высший и 1-й сорта, а рафинированное недезодорированное — на высший, 1-й и 2-й. Для пищевых целей предназначается рафинированное масло высшего и 1-го сортов. Рафинированное хлопковое масло имеет светло-желтый цвет и не содержит отстоя. Масло должно быть без запаха и постороннего привкуса. Кислотное число масла высшего сорта — не более 0,2, масла 1-го сорта — не более 0,3.

В состав глицеридов хлопкового масла входит около 22% пальмитиновой кислоты, которая имеет высокую температуру плавления. При понижении температуры до 10…12°С происходит расслоение масла на фракции с выделением твердых глицеридов. Отделяя жидкую фракцию путем фильтрации или прессования, получают так называемое салатное хлопковое масло. Твердая фракция хлопкового масла используется в составе маргарина, кулинарных и кондитерских жиров [2].

Соевое масло получают из семян сои методами прессования и экстрагирования. Выработка этого масла составляет около 9% общего объема производства расти-

тельных масел в нашей стране. Наряду с маслом важными компонентами семян сои являются белки (30-50%) и фосфати-ды (0,55-0,60%). Белки сои обладают высокой биологической ценностью и используются для пищевых и кормовых целей. Соевое масло выпускают следующих видов: гидратированное, рафинированное

недезодорированное и рафинированное дезодорированное. Гидратированное масло по качеству подразделяют на 1-й и 2-й сорта, рафинированное — на сорта не делят. Для торговой сети и общественного питания предназначается рафинированное дезодорированное соевое масло и гидратированное масло 1-го сорта.

Для соевого масла характерны бурые оттенки цвета. Масло должно быть прозрачным, без отстоя. Кислотное число гидратированного масла 1-го сорта — не более 1, рафинированного — 0,3.

Фильтрующая коническая центрифуга, как показывают исследования [5], обеспечивает очистку соевого масла до следующих показателей: кислотность соевого масла — 0,459 мг КОН/г, массовое содержание механических примесей —

0,089%. При проведении исследований использовалось соевое масло, полученное прессованием. В таблице 2 приведены экспериментальные данные о плотности и кинематической вязкости соевого масла в зависимости от температуры. Соевое масло получено гидростатической очисткой при высоте слоя фильтрующего материала Н = 1,4 м, при температуре масла в процессе очистки в 200С, диаметр частиц фильтрующего материала (цеолита) варьировал и составлял 0,002 и 0,01 м.

В результате обработки получены уравнения:

при диаметре частиц фильтрующего элемента d = 0,002 м:

р( = — 0,33 \ + 939,72, (1)

коэффициент множественной корреляции R2 = 0,83;

при диаметре частиц фильтрующего элемента d = 0,01 м:

р( = -0,8433 \ + 944,32, (2)

коэффициент множественной корреляции R2 = 0, 99.

В полученных уравнениях приняты следующие обозначения:

pf — плотность соевого масла, кг/м3; t — температура соевого масла в процессе эксперимента, 0С.

Зависимость кинематической вязкости масла V (м2/с) от температуры ГС, полученного гидростатическим фильтрованием:

при диаметре частиц фильтрующего элемента d = 0,002 м:

V = —0,0084 \ +0,6871, (3)

коэффициент множественной корреляции R2 = 0,98;

при диаметре частиц фильтрующего элемента d = 0,01 м:

V = —0,0092 \ +0,7003, (4)

коэффициент множественной корреляции R2 = 0,99.

График зависимости плотности этого соевого масла pf (кг/м3) от температуры t 0С приведен на рисунке. Анализ графика показывает, что плотность масла, полученного при фильтровании через слой цеолита с размерами частиц d = 0,002 м снижается с повышением температуры более интенсивно, чем у полученного при диаметре частиц d = 0,01 м. Очевидно, это зависит от количества примесей. Чем больше примесей в масле (при d = 0,01 м), тем меньше интенсивность.

Кукурузное масло получают из зародышей семян кукурузы, которые содержат от 30 до 50% жира. При производстве маисового крахмала и муки зародыш отделяется от остальной части зерна, так как большое содержание в нем жира отрицательно влияет на качество этих продуктов.

Вырабатывают кукурузное масло нерафинированное, рафинированное дезодорированное и рафинированное недезодо-рированное. В торговую сеть и на предприятия общественного питания направляется рафинированное дезодорированное масло. Это масло без запаха, имеет желтый цвет, не содержит осадка, вкус обезличенный, кислотное число — не более 0,4. На сорта его не подразделяют.

Биологическая ценность кукурузного масла обусловлена высоким содержанием в нем биологически активной линолевой кислоты, а также витамина Е (75 мг на 100 г масла) [6].

Горчичное масло вырабатывают из семян горчицы методом прессования: жмых используют для получения горчичного порошка. Горчица содержит вещества, которые придают маслу специфические вкус и аромат. К таким веществам относят тиогли-козиды и продукты их гидролиза.

Выпускают горчичное масло нерафинированным, высшего, 1-го и 2-го сортов. Для непосредственного употребления в пищу предназначается масло высшего и 1-го сортов с кислотным числом, соответственно, не более 1,5 и 2,3. Масло имеет светло-коричневый цвет. Ввиду выраженных вкуса и аромата горчичное масло применяется в консервном производстве [3].

Таблица 2

Зависимость плотности и кинематической вязкости соевого масла, полученного при температуре 20°С гидростатической фильтрацией через слой цеолита Н = 1,4 м, от температуры

№ опыта Температура t, °C Плотность pf, кг/м3 Кинематическая вязкость V, с м2/с

d = 0,002 м d = 0,01 м d = 0,002 м d = 0,01 м

1 20 928,1 934,4 0,5236 0,5271

2 35 913,5 925,6 0,3684 0,3749

3 50 902,8 924,5 0,2487 0,2742

Температура

Рис. Зависимость плотности соевого масла р1 (кг/м3), очищенного при температуре 20°С гидростатическим фильтрованием через слой цеолита высотой Н = 1,4 м и диаметре частиц цеолита 0,002 и 0,01 м, от температуры 1°С

Оливковое масло получают из мякоти плодов оливкового дерева, произрастающего на Кавказском побережье. Масло прессового способа имеет золотистожелтый цвет, иногда с зеленоватым оттенком. Рафинированное оливковое масло почти бесцветно, имеет едва уловимый запах, приятный вкус. Оливковое масло содержит от 55 до 85% ценной олеиновой кислоты.

Льняное масло вырабатывают из семян льна методами прессования и экстрагирования. Оно содержит около 50% линоле-новой кислоты, поэтому нестойко при хранении, быстро окисляется на воздухе, приобретая специфический запах олифы. Льняное масло используется главным образом для технических целей и лишь частично как пищевое [4].

Приведенные данные о свойствах растительных масел необходимы при исследовании и проектировании фильтрующих машин для очистки конкретных растительных масел, в частности, конических фильтрующих центрифуг. Необходимы такие данные, как плотность масел, со-

держание сухого вещества, требования к уровню качественных показателей и др. Плотность масел колеблется от 910 (абрикосовое) до 962 (касторовое) кг/м3, содержание масла (в % от сухого вещества) колеблется от 13% в соевом масле до 72% в кокосовом.

Библиографический список

1. Тютюнников Б.Н. Химия жиров / Б.Н. Тютюнников. М., 1974.

2. Беззубов Л.П. Химия жиров / Л.П. Беззубов. 3-е изд. М., 1975.

3. Щербаков В.Г. Биохимия и товароведение масличного сырья / В.Г. Щербаков. 3-е изд. М., 1979.

4. Паронян В.Х. Моделирование и оптимизация процессов рафинации жиров / В.Х. Паронян, Ю.И. Новокшонов. М., 1985.

5. Davies J.T. Turbulence phenomena / J.T. Davies. N.Y.-L., 1972.

6. Smits G. Losses in alkali neutralization of edible oils / G. Smits. Groningen, 1977.

cyberleninka.ru

Какая плотность подсолнечного масла? Чему равна плотность подсолнечного масла?

Масло подсолнечника создается на основе растительных жиров, которые добывают из семян этого растения. Этот тип продукта считается наиболее распространенным среди жителей России и близлежащих стран.

Химический состав подсолнечных масел

В составе преимущество отдано жирам, которые составляют примерно 54% продукта. Концентрация углеводов — около 25,5%. Белки и фитин занимают 2,3%. Дубильные вещества – 1,7%. Также в составе присутствуют фосфолипиды, витамины (А, Е), каротиноиды, органические кислоты, такие как винная, лимонная и хлорогеновая.

В подсолнечных маслах имеется немалое число глицеридов, которые в совокупности создают некий барьер для развития или возникновения склеротического процесса в человеческом организме. Потому этот продукт весьма полезен.

Плотность подсолнечного масла составляет примерно 921-928 килограмм на один кубический метр при температуре примерно в 10 градусов. Данный продукт в сыром виде имеет насыщенный приятный вкус и запах.

Условия и принципы хранения семян перед использованием

Известно, что от системы сберегания зависит напрямую плотность масла. Поэтому, если какие-то условия не будут соблюдены, производители халатно отнесутся к своим обязанностям, то продукт, полученный в результате такого хранения компонентов, попросту будет некачественным. Такие масла, как правило, стоят очень дешево.

Этапы обработки семян

1. Предварительная их очистка от различных примесей перед изготовлением масла.
2. Кондиционирование семян по принципу влажности.
3. Непосредственное хранение.

Поддержание уровня качества семян имеет главную задачу – защиту от порчи, чтобы плотность подсолнечного масла, изготовленного из них, достигала необходимого уровня, а потери оставались минимальными. Эти принципы и пределяют систему хранения первичных продуктов, подготавливаемых к эксплуатации.

Виды и плотность масла растительного (подсолнечного), назначение

1. Сырое.

Такой вид масла только фильтруют, поэтому оно является наиболее полезным. В этом продукте максимально сохранены биологически ценные компоненты. То, какова плотность подсолнечного масла сырого, зависит от температуры его нагревания. Например, если она составляет +10 градусов, тогда получается 922-929 кг/м³.

2. Гидратированное.

Получают данный продукт с помощью механической очистки и гидратации (через масло, подогретое до 60 градусов, пропускают распыленную воду, температура которой достигает +70 градусов). Белки и слизь отходят в осадок, а главная часть отделяется. Плотность — 915-918 кг/м³.

3. Вымороженное.

Добывают путем удаления из подсолнечного масла воскоподобных компонентов природного происхождения, которые придают сырому продукту мутноватый оттенок. Если продукт «вымораживали», тогда в его названии это указывают. Его используют для приготовления жареной пищи или при тушении, т. к. масло такого типа не имеет запаха, который может передаться еде. Идеально подойдет для фритюрницы. Из него производят кулинарные жиры, маргарин, применяют в производстве консервированной продукции, в изготовлении мыла и лакокрасочных товаров. Плотность подсолнечного масла (кг/м3 — единицы измерения данного показателя) составляет 901-905.

Рафинированное и нерафинированное масла

1. Нерафинированное.

Его чистят механическим способом. Есть три сорта: высший, первый, второй. Такой продукт подойдет при готовке салатов, вторых блюд или теста. Ответ на вопрос о том, чему равна плотность подсолнечного масла нерафинированного, будет таким: 914-918 кг/м³.

2. Рафинированное.

Такой тип масла прозрачный со слабым окрасом, т. к. его тщательно очищают от загрязнений (обрабатывают щелочью, извлекают свободные жирные кислоты, отбеливают и пр.). Плотность — 916-919 кг/м³.

3. Рафинированное дезодорированное.

Добывают под воздействием водяного пара в вакууме, полностью уничтожая ароматические составляющее продукта. Есть пара типов: «П» и «Д». Его используют для производства продуктов для малышей или диетических товаров. Типы отличаются лишь тем, что показатели физико-химические и кислотное число отличны. Тип «Д» более мягкий и безвредный. Плотность подсолнечного масла (г/см3) равна 0,904-0,909.

Подбирайте продукт для собственных нужд и целей. То, какая плотность подсолнечного масла, на его качестве отражается не очень сильно. Этот показатель влияет в основном на вязкость и жирность продукта.

Как правильно хранить масло в домашних условиях

У подобных продуктов, как известно, существует три главных злостных врага: кислород, хранение в теплых условиях и свет. Из этого можно сделать логический вывод. Чтобы не избавить вещество от полезных микроэлементов и не понизить плотность подсолнечного масла, нужно спрятать его от световых лучей, поставить в прохладное место и хранить в закупоренной емкости. Температура для хранения продукта составляет примерно +7-21 градус. Сделайте так, чтобы неупотребляемый в настоящий момент продукт не имел никаких контактов с металлами или водой.

Масло нерафинированное хранится около четырех месяцев со дня его производства, а рафинированное – шесть. Опытные хозяйки, для того чтобы продукт дольше сберегался, добавляют к нему, прямо в емкость, несколько щепоток соли и горсточку промытой и высушенной фасоли.

Как нельзя обращаться с подсолнечными маслами

1. Нельзя оставлять продукт в сковороде, на плите без присмотра. Он может сильно раскалиться и самовоспламениться. Если такое произошло, накройте посуду с ним плотной мокрой тряпкой, но не лейте воду.
2. Не стоит обжаривать продукты в перегретом масле, т. к. оно будет выстреливать и испортит запах и вкус еды.
3. Нельзя вливать продукт в раскалившуюся посуду, т. к. температура ее может быть очень высокой, и содержимое может воспылать огнем, что приведет к пожару. Особенно это касается веществ с высокой плотностью.
4. Нельзя хранить масло при световом освещении, которое провоцирует развитие окислительных реакций, разрушающих в продукте все полезные микроэлементы. К слову, нерафинированные вещества быстро лишаются своего цвета и выгорают. Эти процессы, к счастью, никоим образом не отражаются на качестве масла.
5. Нельзя использовать продукт повторно. Масло при повторном использовании не дает пище никаких полезных веществ, т. к. они выгорели при первичном применении. Если не следовать этому правилу употребления, то токсичные соединения мутагенного и канцерогенного характера, образовавшиеся в веществе, попадут в желудок.
6. Нельзя использовать в пищу просроченный продукт, т. к. велик риск нарушений пищеварительного процесса.

Как подготавливать продукты перед жаркой

1. Сырую картошку перед приготовлением нужно очень тщательно промывать под проточной водой, чтобы избавить ее поверхность от крахмала. Если этого не сделать, то при обжарке она станет клейкой (кусочки слипнутся между собой или пристанут ко дну сковороды). Можно еще просушить картофель бумажными полотенцами, такая процедура ускорит возникновение золотистой корочки и все равномерно приготовится.
2. Перед жаркой мясо также нужно высушить, обернув его салфеткой и пр. Проблема та же: вода, оставшаяся в продукте, попадает в масло, и от этого оно дымится и начинает стрелять.
3. Если ингредиент для приготовления представлен в виде мясного фарша, то жидкость, которая в него добавлялась (сливки, молоко и пр.) не должна составлять более 10% от основного содержимого. Все потому, что она будет вытекать из блюд при жарке и скапливаться в виде сгустков, провоцируя «выстрелы».

Витаминная составляющая

Все масла являются кладовой растительных жиров. Они содержат достаточное количество килокалорий, не давая организму впадать в нерабочее состояние, усталость. Энергетический запас пополняется при употреблении с пищей подсолнечного масла любого вида или типа. Особенно это актуально в холодные периоды года и при болезни. Подсолнечное масло не дает фору по содержанию килокалорий животным жирам, т. к. имеет энергетическую ценность 900 на 100 грамм, а сливочное – всего 738 на 100 грамм. Усваивается продукт практически на 100%. Является отличным примером комплекта биологически активных микроэлементов.

Большинство людей соблюдают принципы правильного питания, поддерживают сбалансированное крепкое физическое здоровье как свое, так и близких. Нужно помнить, что при употреблении подсолнечного масла потомство будет здоровым, нервная система — отлично сформированной, а костная ткань — крепкой. Также производится профилактика сердечно-сосудистых болезней.

monateka.com

Найти целые цешения системы неравенств

В алгебре часто требуется не просто решить систему неравенств, но выбрать из полученного множества решений решения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Найти целые решения системы неравенств — одно из заданий такого рода.

1) Найти целые решения системы неравенств:

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

После упрощения разделим обе части каждого неравенства на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Решением системы является пересечение решений (то есть та часть, где штриховка есть на обеих прямых).

Оба неравенства строгие, поэтому -4 и 2 изображаются выколотыми точками и в решение не входят:

Из промежутка (-4;2) выбираем целые решения.

Ответ: -3; -2; -1; 0; 1.

2) Какие целые решения имеет система неравенств?

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком

Упрощаем и делим обе части на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не меняется, второе — на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный:

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Первое неравенство нестрогое, поэтому -2 изображаем закрашенной точкой. Второе неравенство нестрогое, соответственно, 5 изображается выколотой точкой:

Целые решения на промежутке  [-2;5) — это -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Ответ: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

В некоторых примерах не требуется перечислять целые решения, нужно лишь указать их количество.

3) Сколько целых решений имеет система неравенств?

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую:

Обе части первого неравенства делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Обе части второго неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не меняется:

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых. Оба неравенства нестрогие, поэтому -3,5 и 1,7 изображаем закрашенными точками:

Решением системы является промежуток [-3,5; 1,7]. Целые числа, которые входят в данный промежуток — это -3; -2; -1; 0; 1. Всего их 5.

Ответ: 5.

4) Сколько целых чисел являются решениями системы неравенств?

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется, при делении на отрицательное число — меняется на противоположный:

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых.

Множество решений системы состоит из единственного элемента — {2}. 2 — целое число, следовательно, решением данной системы является одно целое число.

Ответ: 1.

www.algebraclass.ru

Система неравенств с одной переменной

Система неравенств с одной переменной появляется, когда требуется найти общее решение не одного, а сразу двух или более неравенств.

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство.

Множество решений системы неравенств с одной переменной есть пересечение множеств решений всех входящих в него неравенств.

Если решение каждого из неравенств системы изобразить на числовой прямой штриховкой, решение системы неравенств можно определить как общий для всех прямых заштрихованный промежуток (то есть промежуток, для которого штриховка есть на каждой из числовых прямых).

Решить систему неравенств — значит, найти множество её решений или убедиться, что система не имеет решений.

Изучение систем неравенств с одной переменной в курсе алгебры начинается с рассмотрения систем линейных неравенств.

Система из двух линейных неравенств после упрощения приводится к системе простейших неравенств одного из видов (для определённости, a<b):

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

Если одно из неравенств системы не имеет решений, то и система не имеет решений.

18)

Если решением одного из неравенств системы является любое число, решение системы совпадает с решением другого неравенства.

www.algebraclass.ru

Решение систем уравнений и неравенств

Решение систем

УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

(9 класс)

Презентация составлена учителем математики

МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района

Республики Коми Мишариной Альбиной Геннадьевной

Способы решения систем уравнений

Способы решения систем неравенств

• СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ
• СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ

• решаем каждое неравенство системы отдельно и находим общее решение на числовой оси

ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ :

Например: 3х + 2у = 4

х – 4у = 6

1. Из одного уравнения выражают одну переменную через другую

2. Подставляют во второе уравнение найденное выражение;

3. Решают полученное уравнение с одной переменной

4. Находят соответствующее значение другой переменной .

Решение: из второго уравнения

x = 4 y+6

Подставим данное выражение в первое уравнение: 3( 4 y+6) + 2y=4

12y+18+2y=4

14y = -14

y=-1

Найдем х: x=4∙(-1)+6

x=2

Ответ: (2;-1)

ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ СПОСОБОМ СЛОЖЕНИЯ :

1 . умножают левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами;

2. складывают почленно полученные уравнения;

3. решают полученное уравнение с одной переменной;

4. находят соответствующее значение второй

переменной.

Например: 2х – 3у = 11

3х + 7у = 5

Решение: первое уравнение умножим на (-3), а второе — на 2

— 6х + 9у = — 33

6х + 14у = 10

23 y =-23

y=-1

Найдем х: 2x — 3· (-1) =11

2 x + 3 = 11

2х = -3 +11

2х = 8

х = 4

ОТВЕТ: ( 4 ;- 1 )

Если надо решить систему неравенств, то :

Например 5х + 1 6

2х – 4 3

Решение: решим каждое неравенство отдельно

5х + 1 6 2х – 4 3

5х 6 -1 2х

5х 5 2х

х 1 х 3,5

1 3,5 х

Ответ: (1; 3,5)

• решаем каждое неравенство системы отдельно

• изображаем полученные решения на числовой прямой и смотрим пересечения этих решений.

Эта общая часть и является решением данной системы неравенств.

1) Решают соответсвующее квадратное уравнение

2) Полученные корни отмечают на числовой оси (закрашивая точку или нет)

3) Делят числовую ось на интервалы

4) Определяют знак в одном из интервалов (при х=0)

5) Ставят знаки в других интервалах (чередуя + и — )

6) Выбирают интервал(ы) с нужным знаком

При решении систем неравенств, содержащих квадратное(ные) неравенство(а) применяют

метод интервалов

0 Решение: решим каждое неравенство отдельно х ² — 3х + 2 0 2х ² — 3х – 5 0 Найдем корни соответствующих квадратных уравнений х ² — 3х + 2 = 0 2х ² — 3х – 5 = 0 По свойствам коэффициентов имеем: х 1 = 1 х 2 = 2 х 1 = -1 х 2 = 5/2= 2,5 Изобразим метод интервала на числовой оси: -1 1 2 2,5 х Ответ: (-1;1) υ (2;2,5) «

Решим систему неравенств:

х ² — 3х + 2 0

2х ² — 3х – 5 0

Решение: решим каждое неравенство отдельно

х ² — 3х + 2 0 2х ² — 3х – 5 0

Найдем корни соответствующих квадратных уравнений

х ² — 3х + 2 = 0 2х ² — 3х – 5 = 0

По свойствам коэффициентов имеем:

х 1 = 1 х 2 = 2 х 1 = -1 х 2 = 5/2= 2,5

Изобразим метод интервала на числовой оси:

-1 1 2 2,5 х

Ответ: (-1;1) υ (2;2,5)

0 2) х-3у =6 2у-5х = -4 3) 5(х+у)-7(х-у) = 54 4(х+у)+3(х-у) = 51 «

Системы уравнений

1) 2х +у =6

-4х +3у =8

Системы неравенств

1) 3х – 2 ≥ х + 1

4 – 2х ≤ х – 2

2) х ² — 5х + 4 ≤ 0

9 — 4х 0

3) х ² — 3х + 2 0

2х ² — 3х – 5 0

2) х-3у =6

2у-5х = -4

3) 5(х+у)-7(х-у) = 54

4(х+у)+3(х-у) = 51

1) 3(х+у)+1=х+4у

Проверим ответы:

1) (-1;-1)

2) ( -3; 4 ]

3) любое число (-∞;+∞)

4) [ — 1,5; — 1)

7-2(х-у)=х-8у

2) 5х + 12 ≤ 3х+ 20

х

2х + 7 ≥ 0

3) 4х -6у =2

3у -2х =1

4) -2 ≤ 6х + 7

0 «

5) 5(х+у)-7(х-у) = 54

Проверим ответы:

5) (9; 6)

6) (- ∞; 1 )

7)

4(х+у)+3(х-у) = 51

6) 2х ² — 7х + 5 0

2 – х ≥ 0

7) 3х ² — 2х – 1 0

х ² — х – 6 0

videouroki.net

Смешанное произведение векторов, формула и примеры

Определение и формула смешанного произведения векторов

Пружинный маятник, формулы и примеры

Определения и формулы пружинного маятника

Рис.1. Пружинный маятник: а) в положении равновесия; б) в состоянии колебаний

Когда пружина не деформирована, тело находится в положении равновесия (рис.1,а). Если растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, на него будет действовать сила упругости со стороны деформированной пружины. Эта сила направлена к положению равновесия и в данном случае является возвращающей силой.

Сила упругости в пружинном маятнике

Сила упругости пропорциональна смещению тела (удлинению пружины):

здесь — коэффициент жесткости пружины.

В положении, соответствующем максимальному отклонению тела от положения равновесия (смещение тела равно амплитуде колебаний) сила упругости максимальна, поэтому максимально и ускорение тела. По мере приближения тела к положению равновесия удлинение пружины уменьшается, и, следовательно, уменьшается ускорение тела, которое обусловлено силой упругости. Достигнув положения равновесия, тело не остановится, хотя в этот момент сила упругости равна нулю. Скорость тела в момент прохождения им положения равновесия имеет максимальное значение, и тело по инерции будет двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости будет тормозить тело, так как теперь она направлена в сторону, противоположную движению тела. Дойдя до крайнего положения, тело остановится и начнет движение в противоположном направлении. Движение тела будет повторяться в описанной последовательности.

Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника является сила упругости деформированной пружины (возвращающая сила) и инертность тела.

Период свободных колебаний пружинного маятника

Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Пружинные маятники: графики, скорости, пути.

В этой статье все задачи связаны с пружинным маятником. Мы научимся читать информацию о колебаниях по графику смещения, находить скорость по зависимости смещения от времени, записывать закон колебаний.

Задача 1. Во сколько раз отличаются периоды колебаний пружинных маятников одинаковой массы, составленных из двух пружин жесткостью и , соединенных один раз последовательно, а другой раз параллельно?

При последовательном соединении определим жесткость такого соединения:

Если на последовательное соединение воздействует сила , то первая пружина удлинится на , а вторая на , а вместе их удлинение составит величину

Тогда

Тогда период колебаний равен

При параллельном соединении пружин их жесткости складываются, поэтому период будет равен

Теперь определим отношение периодов:

Ответ:

Задача 2. На пружине жесткостью Н/м подвешен груз массой г. Построить график зависимости смещения этого груза, если амплитуда А = 10 см, а в начальный момент времени груз проходил положение равновесия.

Определим период колебаний такой системы:

Тогда угловая частота будет равна

Теперь можно записать закон колебаний (колебания будут происходить по синусоидальному закону, так как если бы это был косинус – то тело бы находилось в начальный момент в самой дальней от положения равновесия точке):

Начальная фаза колебаний равна нулю – это следует из условия, что груз проходил положение равновесия в начальный момент времени.

Теперь можно и график построить:

К задаче 2

 

 

Задача 3. Груз массой 2 кг подвешен на пружине и совершает колебания, график которых приведен на рисунке . Определить жесткость пружины.

К задаче 3

Из графика определяем: м, с. Тогда

   

   

Откуда жесткость пружины равна

   

Ответ: Н/м.

 

Задача 4. Телу массой , подвешенному на пружине жесткостью , в положении равновесия сообщают скорость , направленную вертикально вниз. Определить путь, пройденный телом, за промежуток времени от  до , считая возникающие колебания гармоническими.

Закон колебаний может быть записан:

   

Начальная фаза равна нулю, так как указано, что скорость сообщили телу в положении равновесия.

Скорость является производной координаты:

   

Так как скорость максимальна  именно при прохождении телом положения равновесия, то . Следовательно, амплитуда колебаний

   

Путь – это разность координат и – это справедливо, так как движение от до происходит в одну сторону (на первой четверти периода).

   

   

Ответ: .
Задача 5. Тело, подвешенное на пружине, смещают из положения равновесия вертикально вниз на расстояние и отпускают. Определить путь, пройденный телом за промежуток времени от  до , считая возникающие колебания гармоническими.
Максимальное смещение тела – амплитуда колебаний – равно .

   

Путь – это разность координат и – это справедливо, так как движение от до происходит в одну сторону (на второй четверти периода) Но на второй четверти тело уже возвращается обратно к положению равновесия, следовательно, координата его первоначального положения больше, чем координата последующего положения, тогда:

   

   

Ответ: .

easy-physic.ru

период и амплитуда колебани1, формула, жесткость

Работа большинства механизмов основана на простейших законах физики и математики. Довольно большое распространение получило понятие пружинного маятника. Подобный механизм получил весьма широкое распространение, так как пружина обеспечивает требуемую функциональность, может быть элементом автоматических устройств. Рассмотрим подробнее подобное устройство, принцип действия и многие другие моменты подробнее.

 

Определения пружинного маятника

Как ранее было отмечено, пружинный маятник получил весьма широкое распространение. Среди особенностей можно отметить следующее:

1. Устройство представлено сочетанием груза и пружины, масса которой может не учитываться. В качестве груза может выступать самый различный объект. При этом на него может оказываться воздействие со стороны внешней силы. Распространенным примером можно назвать создание предохранительного клапана, который устанавливается в системе трубопровода. Крепление груза к пружине проводится самым различным образом. При этом используется исключительно классический винтовой вариант исполнения, который получил наиболее широкое распространение. Основные свойства во многом зависят от типа применяемого материала при изготовлении, диаметра витка, правильности центровки и многих других моментов. Крайние витки часто изготавливаются таким образом, чтобы могли воспринимать большую нагрузку при эксплуатации.
2. До начала деформации полная механическая энергия отсутствует. При этом на тело не влияет сила упругости. Каждая пружина имеет исходное положение, которое она сохраняет на протяжении длительного периода. Однако, за счет определенной жесткости происходит фиксация тела в начальном положении. Имеет значение то, каким образом прикладывается усилие. Примером назовем то, что она должна быть направлена вдоль оси пружины, так как в противном случае есть вероятность появления деформации и многих других проблем. У каждой пружины есть свои определенный придел сжатия и растяжения. При этом максимальное сжатие представлено отсутствием зазора между отдельными витками, при растяжении есть момент, когда происходит невозвратная деформация изделия. При слишком сильном удлинении проволоки происходит изменение основных свойств, после чего изделие не возвращается в свое первоначальное положение.
3. В рассматриваемом случае колебания совершаются за счет действия силы упругости. Она характеризуется довольно большим количество особенностей, которые должны учитываться. Воздействие упругости достигается за счет определенного расположения витков и типа применяемого материала при изготовлении. При этом сила упругости может действовать в обе стороны. Чаще всего происходит сжатие, но также может проводится растяжение – все зависит от особенностей конкретного случая.
4. Скорость перемещения тела может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от того, какое оказывается воздействие. К примеру, пружинный маятник может перемещать подвешенный груз в горизонтальной и вертикальной плоскости. Действие направленного усилия во многом зависит от вертикальной или горизонтальной установки.

В целом можно сказать, что пружинный маятник определение довольно обобщенное. При этом скорость перемещения объекта зависит от различных параметров, к примеру, величины приложенного усилия и других моментов. Перед непосредственным проведением расчетов проводится создание схемы:

1. Указывается опора, к которой крепится пружина. Зачастую для ее отображения рисуется линия с обратной штриховкой.
2. Схематически отображается пружина. Она часта представлена волнистой линией. При схематическом отображении не имеет значение длина и диаметральный показатель.
3. Также изображается тело. Оно не должно соответствовать размерам, однако имеет значение место непосредственного крепления.

Схема требуется для схематического отображения всех сил, которые оказывают влияние на устройство. Только в этом случае можно учесть все, что влияет на скорость перемещения, инерцию и многие другие моменты.

Пружинные маятники применяются не только при расчетах ил решении различных задач, но также и на практике. Однако, не все свойства подобного механизма применимы.

Примером можно назвать случай, когда колебательные движения не требуются:

1. Создание запорных элементов.
2. Пружинные механизмы, связанные с транспортировкой различных материалов и объектов.

Проводимые расчеты пружинного маятника позволяют подобрать наиболее подходящий вес тела, а также тип пружины. Она характеризуется следующими особенностями:

1. Диаметр витков. Он может быть самым различным. От показателя диаметра во многом зависит то, сколько требуется материала для производства. Диаметр витков также определяет то, какое усилие должно прикладываться для полного сжатия или частичного растяжения. Однако, увеличение размеров может создать существенные трудности с установкой изделия.
2. Диаметр проволоки. Еще одним важным параметром можно назвать диаметральный размер проволоки. Он может варьировать в широком диапазоне, зависит прочность и степень упругости.
3. Длина изделия. Этот показатель определяет то, какое усилие требуется для полного сжатия, а также какой упругостью может обладать изделие.
4. Тип применяемого материала также определяет основные свойства. Чаще всего пружина изготавливается при применении специального сплава, который обладает соответствующие свойствами.

При математических расчетах многие моменты не учитываются. Усилие упругости и многие другие показатели выявляются путем расчета.

Виды пружинного маятника

Выделяют несколько различных видов пружинного маятника. Стоит учитывать, что классификация может проводится по типу устанавливаемой пружины. Среди особенностей отметим:

1. Довольно большое распространение получили вертикальные колебания, так как в этом случае на груз не оказывается сила трения и другое воздействие. При вертикальном расположении груза существенно увеличивается степень воздействия силы тяжести. Распространен этот вариант исполнения при проведении самых различных расчетов. За счет силы тяжести есть вероятность того, что тело в исходной точке будет совершать большое количество инерционных движений. Этому также способствует упругость и инерция движения тела в конце хода.
2. Также применяется горизонтальный пружинный маятник. В этом случае груз находится на опорной поверхности и на момент перемещения также возникает трение. При горизонтальном расположении сила тяжести работает несколько иначе. Горизонтальное расположение тела получило широкое распространение в различных задачах.

Рассчитывается движение пружинного маятника можно при использовании достаточно большого количества различных формул, который должны учитывать воздействие всех сил. В большинстве случаев устанавливается классическая пружина. Среди особенностей отметим следующее:

1. Классическая витая пружина сжатия сегодня получила весьма широкое распространение. В этом случае между витками есть пространство, которое называется шагом. Пружина сжатия может и растягиваться, но зачастую она для этого не устанавливается. Отличительной особенностью можно назвать то, что последние витки выполнены в виде плоскости, за счет чего обеспечивается равномерное распределения усилия.
2. Может устанавливаться вариант исполнения для растяжения. Он рассчитан на установку в случае, когда приложенное усилие становится причиной увеличения длины. Для крепления проводится размещение крючков.

Распространены оба варианта исполнения. При этом важно уделить внимание тому, чтобы сила прикладывалась параллельно оси. В противном случае есть вероятность смещения витков, что становится причиной возникновения серьезных проблем, к примеру, деформации.

Сила упругости в пружинном маятнике

Следует учитывать тот момент, что до деформирования пружины она находится в положении равновесия. Приложенная сила может приводить к ее растягиванию и сжиманию. Сила упругости в пружинном маятнике рассчитывается в соответствии с тем, как воздействует закон сохранения энергии. Согласно принятым нормам возникающая упругость пропорциональна смещению тела. В этом случае кинетическая энергия рассчитывается по формуле: F=-kx. В данном случае применяется коэффициент жесткости пружины.

Выделяют довольно большое количество особенностей воздействия силы упругости в пружинном маятнике. Среди особенностей отметим:

1. Максимальная сила упругости возникает на момент, когда тело находится на максимальном расстоянии от положения равновесия. При этом в подобном положении отмечается максимальное значение ускорение тела. Не следует забывать о том, что может проводится растягивание и сжатие пружины, оба варианта несколько отличается. При сжатии минимальная длина изделия ограничивается. Как правило, она имеет длину, равную диаметру витка умноженное на количество. Слишком большое усилие может стать причиной смещения витков, а также деформации проволоки. При растяжении есть момент удлинения, после которого происходит деформация. Сильное удлинение приводит к тому, что возникающей силы упругости недостаточно для возврата изделия в первоначальное состояние.
2. При сближении тела к месту равновесия происходит существенное уменьшение длины пружины. За счет этого наблюдается постоянное снижение показателя ускорения. Все это происходит за счет воздействия усилия упругости, которая связано с типом применяемого материала при изготовлении пружины и ее особенностями. Длина уменьшается за счет того, что расстояние между витками снижается. Особенностью можно назвать равномерное распределение витков, лишь только в случае дефектов есть вероятность нарушения подобного правила.
3. На момент достижения точки равновесия сила упругости снижается до нуля. Однако, скорость не снижается, так как тело движется по инерции. Точка равновесия характеризуется тем, что длина изделия в ней сохраняется на протяжении длительного периода при условии отсутствия внешнего деформирующего усилия. Точка равновесия определяется в случае построения схемы.
4. После достижения точки равновесия возникающая упругость начинает снижать скорость перемещения тела. Она действует в противоположном направлении. При этом возникает усилие, которое направлено в обратную сторону.
5. Дойдя крайней точки тело начинает двигаться в противоположную сторону. В зависимости от жесткости установленной пружины подобное действие будет повторятся неоднократно. Протяженность этого цикла зависит от самых различных моментов. Примером можно назвать массу тела, а также максимальное приложенное усилие для возникновения деформации. В некоторых случаях колебательные движения практически незаметны, но они все же возникают.

Приведенная выше информация указывает на то, что колебательные движения совершаются за счет воздействия упругости. Деформация происходит за счет приложенного усилия, которое может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от конкретного случая.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Колебания пружинного маятника совершаются по гармоническому закону. Формула, по которой проводится расчет, выглядит следующим образом: F(t)=ma(t)=-mw2x(t).

В приведенной выше формуле указывается (w) радиальная частота гармонического колебания. Она свойственна силе, которая распространяется в границах применимости закона Гука. Уравнение движения может существенно отличаться, все зависит от конкретного случая.

Если рассматривать колебательное движение, то следует уделить внимание следующим моментам:

1. Колебательные движения наблюдаются только в конце перемещения тела. Изначально оно прямолинейное до полного освобождения усилия. При этом сила упругости сохраняется на протяжении всего времени, пока тело находится в максимально отдаленном положении от нуля координат.
2. После растяжения тело возвращается в исходное положение. Возникающая инерция становится причиной, по которой может оказываться воздействие на пружину. Инерция во многом зависит от массы тела, развитой скорости и многих других моментов.

В результате этого возникает колебание, которое может длиться в течение длительного периода. Приведенная выше формула позволяет провести расчет с учетом всех моментов.

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

При проектировании и вычислении основных показателей также уделяется довольно много внимания частоте и периоду колебания. Косинус – периодическая функция, в которой применяется значение, неизменяемое через определенный промежуток времени. Именно этот показатель называют период колебаний пружинного маятника. Для обозначения этого показателя применяется буква Т, также часто используется понятие, характеризующее значение, обратное периоду колебания (v). В большинстве случаев при расчетах применяется формула T=1/v.

Период колебаний вычисляется по несколько усложненной формуле. Она следующая: T=2п√m/k. Для определения частоты колебания используется формула: v=1/2п√k/m.

Рассматриваемая циклическая частота колебаний пружинного маятника зависит от следующих моментов:

1. Масса груза, который прикреплен к пружине. Этот показатель считается наиболее важным, так как оказывает влияние на самые различные параметры. От массы зависит сила инерции, скорость и многие другие показатели. Кроме этого, масса груза – величина, с измерением которой не возникает проблем из-за наличия специального измерительного оборудования.
2. Коэффициент упругости. Для каждой пружины этот показатель существенно отличается. Коэффициент упругости указывается для определения основных параметров пружины. Зависит этот параметр от количества витков, длины изделия, расстояние между витками, их диаметра и многого другого. Определяется он самым различным образом, зачастую при применении специального оборудования.

Не стоит забывать о том, что при сильном растяжении пружины закон Гука прекращает действовать. При этом период пружинного колебания начинает зависеть от амплитуды.

Для измерения периода применяется всемирная единица времени, в большинстве случаев секунды. В большинстве случаев амплитуда колебаний вычисляется при решении самых различных задач. Для упрощения процесса проводится построение упрощенной схемы, на которой отображаются основные силы.

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Определившись с особенностями проходимых процессов и зная уравнение колебаний пружинного маятника, а также начальные значения можно провести расчет амплитуды и начальной фазы пружинного маятника. Для определения начальной фазы применяется значение f, амплитуда обозначается символом A.

Для определения амплитуды может использоваться формула: А=√x²+v²/w². Начальная фаза высчитывается по формуле: tgf=-v/xw.

Применяя эти формулы можно провести определение основных параметров, которые применяются при расчетах.

Энергия колебаний пружинного маятника

Рассматривая колебание груза на пружине нужно учитывать тот момент, что при движение маятника может описываться двумя точками, то есть оно носит прямолинейный характер. Этот момент определяет выполнение условий, касающихся рассматриваемой силы. Можно сказать, что полная энергия потенциальная.

Провести расчет энергии колебаний пружинного маятника можно при учете всех особенностей. Основными моментами назовем следующее:

1. Колебания могут проходить в горизонтальной и вертикальной плоскости.
2. Ноль потенциальной энергии выбирается в качестве положения равновесия. Именно в этом месте устанавливается начало координат. Как правило, в этом положении пружина сохраняет свою форму при условии отсутствия деформирующей силы.
3. В рассматриваемом случае рассчитываемая энергия пружинного маятника не учитывает силу трения. При вертикальном расположении груза сила трения несущественна, при горизонтальном тело находится на поверхности и при движении может возникнуть трение.
4. Для расчета энергии колебания применяется следующая формула: E=-dF/dx.

Приведенная выше информация указывают на то, что закон сохранения энергии выглядит следующим образом: mx²/2+mw²x²/2=const. Применяемая формула говорит о следующем:

1. Максимальная кинетическая энергия установленного маятника прямо пропорциональна максимальному значению потенциальной.
2. На момент осциллятора среднее значение обоих сил равны.

Провести определение энергии колебания пружинного маятника можно при решении самых различных задач.

Свободные колебания пружинного маятника

Рассматривая то, чем вызваны свободные колебания пружинного маятника следует уделить внимание действию внутренних сил. Они начинают формироваться практически сразу после того, как телу было передано движение. Особенности гармонических колебаний заключаются в нижеприведенных моментах:

1. Могут также возникать и другие типы сил воздействующего характера, который удовлетворяют все нормы закона, называются квазиупругими.
2. Основными причинами действия закона могут быть внутренние силы, которые формируются непосредственно на момент изменения положения тела в пространстве. При этом груз обладает определенной массой, усилие создается за счет фиксации одного конца за неподвижный объект с достаточной прочностью, второго за сам груз. При условии отсутствия трения тело может совершать колебательные движения. В этом случае закрепленный груз называется линейным.

Не стоит забывать о том, что существует просто огромное количество различных видов систем, в которых осуществляется движение колебательного характера. В них также возникает упругая деформация, которая становится причиной применения для выполнения какой-либо работы.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

stankiexpert.ru

Формулы пружинного маятника в физике

Определение и формулы пружинного маятника

Определение

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(1\right),\]

где ${щu}^2_0=\frac{k}{m}$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)=A{\sin \left({\omega }_0t+{\varphi }_1\right)\ }\ }\left(2\right),\]

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi )$ — фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ — начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

\[Re\ \tilde{x}=Re\left(A\cdot exp\ \left(i\left({\omega }_0t+\varphi \right)\right)\right)\left(3\right).\]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\left(4\right).\]

Так как частота колебаний ($\nu $) — величина обратная к периоду, то:

\[\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\left(5\right).\]

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($\varphi $).

Амплитуду можно найти как:

\[A=\sqrt{x^2_0+\frac{v^2_0}{{\omega }^2_0}}\left(6\right),\]

начальная фаза при этом:

\[tg\ \varphi =-\frac{v_0}{x_0{\omega }_0}\left(7\right),\]

где $v_0$ — скорость груза при $t=0\ c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

\[E_p=-\frac{dF}{dx}(8)\]

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

\[E_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{m{{\omega }_0}^2x^2}{2}\left(9\right).\]

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

\[\frac{m{\dot{x}}^2}{2}+\frac{m{{\omega }_0}^2x^2}{2}=const\ \left(10\right),\]

где $\dot{x}=v$ — скорость движения груза; $E_k=\frac{m{\dot{x}}^2}{2}$ — кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

• Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
• Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600\ \frac{Н}{м}$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1\ \frac{м}{с}$?

Решение. Сделаем рисунок.

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

\[E_{pmax}=E_{kmax\ }\left(1.1\right),\]

где $E_{pmax}$ — потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_{kmax\ }$ — кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

\[E_{kmax\ }=\frac{mv^2}{2}\left(1.2\right).\]

Потенциальная энергия равна:

\[E_{pmax}=\frac{k{x_0}^2}{2}\left(1.3\right).\]

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

\[\frac{mv^2}{2}=\frac{k{x_0}^2}{2}\left(1.4\right).\]

Из (1.4) выразим искомую величину:

\[x_0=v\sqrt{\frac{m}{k}}.\]

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

\[x_0=1\cdot \sqrt{\frac{0,36}{1600}}=1,5\ \cdot {10}^{-3}(м).\]

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Пример 2

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A{\cos \left(\omega t\right),\ \ }\ $где $A$ и $\omega $ — постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_{p0}$. В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

\[F=-kx=-kA{cos \left(\omega t\right)\left(2.1\right).\ \ }\]

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

\[E_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{kA^2{{\cos }^2 \left(\omega t\right)\ }}{2}\left(2.2\right).\]

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_{p0}$, значит:

\[\frac{E_{p0}}{F_0}=-\frac{A}{2}{\cos \left(\omega t\right)\ }\to t=\frac{1}{\omega }\ arc{\cos \left(-\frac{2E_{p0}}{AF_0}\right)\ }.\]

Ответ. $t=\frac{1}{\omega }\ arc{\cos \left(-\frac{2E_{p0}}{AF_0}\right)\ }$

Читать дальше: формулы равноускоренного прямолинейного движения.

www.webmath.ru

как найти скорость и ускорение пружинного маятника

Вы искали как найти скорость и ускорение пружинного маятника? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и колебания пружинного маятника, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как найти скорость и ускорение пружинного маятника».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как найти скорость и ускорение пружинного маятника,колебания пружинного маятника,период колебания пружинного маятника формула,период пружинного маятника формула,пружинного маятника формулы,пружинный маятник,пружинный маятник формулы,формула амплитуды колебаний пружинного маятника,формула периода колебаний пружинного маятника,формула периода колебания пружинного маятника,формула периода пружинного маятника,формула пружинного маятника,формула частоты колебаний пружинного маятника,частота колебаний пружинного маятника формула,частота пружинного маятника формула. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как найти скорость и ускорение пружинного маятника. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, период колебания пружинного маятника формула).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как найти скорость и ускорение пружинного маятника Онлайн?

Решить задачу как найти скорость и ускорение пружинного маятника вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.

www.pocketteacher.ru

1.2. Скорость, ускорение, энергия колеблющейся точки

Скорость колеблющейся точки – это первая производная от смещения точки по времени (за основу возьмем второе из пары уравнений (1.1)):

. (1.4)

Здесь _max = Aω₀—максимальнаяскорость,илиамплитуда скорости.

Ускорение – это втоpая пpоизводная от смещения точки по времени:

(1.5)

где a_max = Aω₀² —максимальное ускорение,илиамплитуда ускорения.

Из формул (1.1), (1.4) и (1.5) видно, что смещение, скорость и ускорение не совпадают по фазе (pис. 1.2). В моменты вpемени, когда смещение максимально, скоpость pавна нулю, а ускоpение пpинимает максимальное отpицательное значение. Смещение и ускоpение находятся впpотивофазе— так говоpят, когда pазность фаз pавна. Ускоpение всегда напpавлено в стоpону, пpотивоположную смещению.

Полная энергия колебаний равна сумме кинетической и потенциальной энеpгий колеблющейся точки:

W = W_к + W_п = m ² / 2 + kx² / 2.

Подставим в это выражение формулы (1.4) и (1.1) с учетом k = mω₀²(как будет показано ниже), получим

W = k A² / 2 =m A² ω₀² /2. (1.6)

Из сопоставления графиков функций х(t), W_к(t) и W_п(t) (рис.1.3) видно, что частота колебаний энергии в два раза больше частоты колебаний смещения.

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Cреднее значение потенциальной и кинетической энергии за периодТравно половине полной энергии (рис. 1.3):

П р и м е р 1. Материальная точка массой 5 г совершает колебания согласно уравнению гдеx – смещение, см. Определить максимальную силу и полную энергию.

Р е ш е н и е. Максимальная сила выражается формулойгде(см. формулу (1.5)). ТогдаF_max=mAω₀². Из уравнения колебания следует, чтоПодставим числовые значения:F_max=5∙10^-3 0,1∙4 = 2∙10^-3Н = 2мН.

Полная энергия В итогеE= 0,5∙5∙10^-3∙4∙10^-2= 10^-4Дж.

1.3. Диффеpенциальное уpавнение

Свободных незатухающих колебаний. Маятники

Система, состоящая из тела массой m, подвешенного к пружине, второй конец которой закреплён, называютпружинным маятником(рис. 1.4). Такая система служит модельюлинейного осциллятора.

Если растянуть (сжать) пружину на величину х, то возникнет упругая сила, которая стремится вернуть тело в положение равновесия. При небольших деформациях справедлив закон Гука:F = — kx, гдеk— коэффициент жесткости пpужины. Запишем второй закон Ньютона:

ma = — kx. (1.7)

Знак «минус» означает, что сила упругости направлена в сторону, противоположную смещению x.Подставим в это уpавнение ускоpениеaколеблющейся точки из уpавнения (1.5), получим — m ω₀² x = — k x, откудаk = m ω₀², Пеpиод колебаний

(1.8)

Таким образом, период колебаний не зависит от амплитуды.

П р и м е р 2. Под действием силы тяжести груза пружина растянулась на 5 см. После вывода ее из состояния покоя груз совершает гармонические колебания. Определить период этих колебаний.

Р е ш е н и е. Период колебаний пружинного маятника находим по формуле (1.8). Коэффициент жесткости пружины рассчитаем по закону Гука, исходя из того, что пружина растягивается под действием силы тяжести:mg = — kx, откуда модульk = mg/x. Подставимkв формулу (1.8):

Выполним вычисления и вывод единицы измерения:

Из формулы (1.7) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

или

Заменив отношение k/m = ω₀² , получимдифференциальное уравнениесобственных незатухающих колебаний в виде

(1.9)

Его решениями являются выражения (1.1).

П р и м е р 3. Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний имеет вид. Найти частоту и период этих колебаний.

Р е ш е н и е. Запишем уравнение в виде:.

Отсюда следует, чтоаПериод колебаний определяется по формуле:Следовательно,Т= 2∙3,14/2 = 3,14 с.

Физическим маятникомназывают твёрдое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси (рис. 1.5), проходящей через точкуО, не совпадающую с центром массС тела.

Момент силы тяжести mgотносительно оси вращенияО

,

где — длина физическогомаятника(pасстояние от точки подвеса до центpа масс маятника = OC).

По основному закону динамики вpащательного движения I = M, ЗдесьI– момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвесаО, — угловое ускорение.

Для малых отклонений sin = , тогда

(1.10)

Из сравнения уравнений (1.9) и (1.10) следует, что и пеpиод колебаний

(1.11)

Математический маятникпредставляет собой материальную точку массойm, подвешенную на абсолютно упругой нерастяжимой нити и совершающую колебания под действием силы тяжести (рис. 1.6).

В формулу (1.11) подставим момент инерции материальной точки относительно оси, проходящей через точку подвеса, , получим

Рис. 1.6

. (1.12)

Из выражений (1.11) и (1.12) следует, что физический маятник имеет такой же период колебаний, как и математический с длиной

.

Эту величину называют приведённой длинойфизического маятника. Отметим, чтоI— момент инеpцииотносительнооси, пpоходящей чеpез точку подвесаO. По теоpеме Штейнеpа

где I_C — момент инеpцииотносительно оси,пpоходящей чеpез центp массмаятника. Пpедставим пpиведенную длину маятника в виде

откуда видно, что пpиведенная длина физического маятника больше его длины

Если от точки подвеса О отложить(см. рис. 1.5), то найдём точкуО₁, которая называетсяцентром качания. Точка подвеса и центр качания являются сопряженными. Это значит, что маятник, подвешенный за центр качанияО₁, не изменит периода колебаний, а точкаOсделается новым центром качания.

П р и м е р 4. Однородный стержень длинойb совершает колебания в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов (рис.1.7). Определить период колебаний.

Ре ш е н и е. Воспользуемся формулой для определения периода колебаний физического маятника (1.11), гдеℓ=ОС– расстояние от оси вращения до центра масс. Это расстояниеℓ=b/2 (рис. 1.7). Момент инерции стержня относительно его концаI=1/3mb². Следовательно,

Сила, возвpащающая маятник в положение pавновесия (рис. 1.6), т. е. пpопоpциональна смещениюx, но эта сила не упpугая по своей пpиpоде, поэтому она называетсяквазиупругой.

Таким образом, механические гармонические колебания возникают в системах под действием сил, пропорциональных смещению.

studfiles.net

Пружинный маятник | Объединение учителей Санкт-Петербурга

Колебания пружинного маятника.
В вертикальном положении на груз на пружине действуют сила тяжести и сила упругости пружины. Под действием силы тяжести пружина растягивается на х1, а затем мы отклоняем его от этого положения на х.
Тогда согласно второму закону Ньютона, учитывая знаки проекций, получим: . Но , тогда: . Или  — ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к изменению положения равновесия.
Выразим ускорение:.
Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения . Видно, что  или  — циклическая частота при колебаниях пружинного маятника.
Период колебаний  или  (формула Гюйгенса).	Формула Гюйгенса:
Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна, а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической.
Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения:. Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то . Производная суммы равна сумме производных:  и . Следовательно:,  а значит .
В данном случае этот способ более трудоемкий, но он более общий.

www.eduspb.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи