Найти целые цешения системы неравенств
В алгебре часто требуется не просто решить систему неравенств, но выбрать из полученного множества решений решения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.
Найти целые решения системы неравенств — одно из заданий такого рода.
1) Найти целые решения системы неравенств:
Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:
После упрощения разделим обе части каждого неравенства на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:
Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Решением системы является пересечение решений (то есть та часть, где штриховка есть на обеих прямых).
Оба неравенства строгие, поэтому -4 и 2 изображаются выколотыми точками и в решение не входят:
Из промежутка (-4;2) выбираем целые решения.
Ответ: -3; -2; -1; 0; 1.
2) Какие целые решения имеет система неравенств?
Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком
Упрощаем и делим обе части на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не меняется, второе — на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный:
Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Первое неравенство нестрогое, поэтому -2 изображаем закрашенной точкой. Второе неравенство нестрогое, соответственно, 5 изображается выколотой точкой:
Целые решения на промежутке [-2;5) — это -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Ответ: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
В некоторых примерах не требуется перечислять целые решения, нужно лишь указать их количество.
3) Сколько целых решений имеет система неравенств?
Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую:
Обе части первого неравенства делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Обе части второго неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не меняется:
Решение неравенств отмечаем на числовых прямых. Оба неравенства нестрогие, поэтому -3,5 и 1,7 изображаем закрашенными точками:
Решением системы является промежуток [-3,5; 1,7]. Целые числа, которые входят в данный промежуток — это -3; -2; -1; 0; 1. Всего их 5.
Ответ: 5.
4) Сколько целых чисел являются решениями системы неравенств?
Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:
При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется, при делении на отрицательное число — меняется на противоположный:
Решение неравенств отмечаем на числовых прямых.
Множество решений системы состоит из единственного элемента — {2}. 2 — целое число, следовательно, решением данной системы является одно целое число.
Ответ: 1.
www.algebraclass.ru
Система неравенств с одной переменной
Система неравенств с одной переменной появляется, когда требуется найти общее решение не одного, а сразу двух или более неравенств.
Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство.
Множество решений системы неравенств с одной переменной есть пересечение множеств решений всех входящих в него неравенств.
Если решение каждого из неравенств системы изобразить на числовой прямой штриховкой, решение системы неравенств можно определить как общий для всех прямых заштрихованный промежуток (то есть промежуток, для которого штриховка есть на каждой из числовых прямых).
Решить систему неравенств — значит, найти множество её решений или убедиться, что система не имеет решений.
Изучение систем неравенств с одной переменной в курсе алгебры начинается с рассмотрения систем линейных неравенств.
Система из двух линейных неравенств после упрощения приводится к системе простейших неравенств одного из видов (для определённости, a<b):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
Если одно из неравенств системы не имеет решений, то и система не имеет решений.
18)
Если решением одного из неравенств системы является любое число, решение системы совпадает с решением другого неравенства.
www.algebraclass.ru
Решение систем уравнений и неравенств
Решение систем
УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
(9 класс)
Презентация составлена учителем математики
МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района
Республики Коми Мишариной Альбиной Геннадьевной
Способы решения систем уравнений
Способы решения систем неравенств
- СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ
- СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ
- решаем каждое неравенство системы отдельно и находим общее решение на числовой оси
ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ :
Например: 3х + 2у = 4
х – 4у = 6
1. Из одного уравнения выражают одну переменную через другую
2. Подставляют во второе уравнение найденное выражение;
3. Решают полученное уравнение с одной переменной
4. Находят соответствующее значение другой переменной .
Решение: из второго уравнения
x = 4 y+6
Подставим данное выражение в первое уравнение: 3( 4 y+6) + 2y=4
12y+18+2y=4
14y = -14
y=-1
Найдем х: x=4∙(-1)+6
x=2
Ответ: (2;-1)
ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ СПОСОБОМ СЛОЖЕНИЯ :
1 . умножают левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами;
2. складывают почленно полученные уравнения;
3. решают полученное уравнение с одной переменной;
4. находят соответствующее значение второй
переменной.
Например: 2х – 3у = 11
3х + 7у = 5
Решение: первое уравнение умножим на (-3), а второе — на 2
— 6х + 9у = — 33
6х + 14у = 10
23 y =-23
y=-1
Найдем х: 2x — 3· (-1) =11
2 x + 3 = 11
2х = -3 +11
2х = 8
х = 4
ОТВЕТ: ( 4 ;- 1 )
6 2х – 4 3 Решение: решим каждое неравенство отдельно 5х + 1 6 2х – 4 3 5х 6 -1 2х 5х 5 2х х 1 х 3,5 1 3,5 х Ответ: (1; 3,5) решаем каждое неравенство системы отдельно изображаем полученные решения на числовой прямой и смотрим пересечения этих решений. Эта общая часть и является решением данной системы неравенств. «
Если надо решить систему неравенств, то :
Например 5х + 1 6
2х – 4 3
Решение: решим каждое неравенство отдельно
5х + 1 6 2х – 4 3
5х 6 -1 2х
5х 5 2х
х 1 х 3,5
1 3,5 х
Ответ: (1; 3,5)
- решаем каждое неравенство системы отдельно
- изображаем полученные решения на числовой прямой и смотрим пересечения этих решений.
Эта общая часть
1) Решают соответсвующее квадратное уравнение
2) Полученные корни отмечают на числовой оси (закрашивая точку или нет)
3) Делят числовую ось на интервалы
4) Определяют знак в одном из интервалов (при х=0)
5) Ставят знаки в других интервалах (чередуя + и — )
6) Выбирают интервал(ы) с нужным знаком
При решении систем неравенств, содержащих квадратное(ные) неравенство(а) применяют
метод интервалов
0 Решение: решим каждое неравенство отдельно х ² — 3х + 2 0 2х ² — 3х – 5 0 Найдем корни соответствующих квадратных уравнений х ² — 3х + 2 = 0 2х ² — 3х – 5 = 0 По свойствам коэффициентов имеем: х 1 = 1 х 2 = 2 х 1 = -1 х 2 = 5/2= 2,5 Изобразим метод интервала на числовой оси: -1 1 2 2,5 х Ответ: (-1;1) υ (2;2,5) «
Решим систему неравенств:х ² — 3х + 2 0
2х ² — 3х – 5 0
Решение: решим каждое неравенство отдельно
х ² — 3х + 2 0 2х ² — 3х – 5 0
Найдем корни соответствующих квадратных уравнений
х ² — 3х + 2 = 0 2х ² — 3х – 5 = 0
По свойствам коэффициентов имеем:
х 1 = 1 х 2 = 2 х 1 = -1 х 2 = 5/2= 2,5
Изобразим метод интервала на числовой оси:
-1 1 2 2,5 х
Ответ: (-1;1) υ (2;2,5)
0 2) х-3у =6 2у-5х = -4 3) 5(х+у)-7(х-у) = 54 4(х+у)+3(х-у) = 51 «
Системы уравнений
1) 2х +у =6
-4х +3у =8
1) 3х – 2 ≥ х + 1
4 – 2х ≤ х – 2
2) х ² — 5х + 4 ≤ 0
9 — 4х 0
3) х ² — 3х + 2 0
2х ² — 3х – 5 0
2) х-3у =6
2у-5х = -4
3) 5(х+у)-7(х-у) = 54
4(х+у)+3(х-у) = 51
1) 3(х+у)+1=х+4у
Проверим ответы:
1) (-1;-1)
2) ( -3; 4 ]
3) любое число (-∞;+∞)
4) [ — 1,5; — 1)
7-2(х-у)=х-8у
2) 5х + 12 ≤ 3х+ 20
х
2х + 7 ≥ 0
3) 4х -6у =2
3у -2х =1
4) -2 ≤ 6х + 7
0 «
5) 5(х+у)-7(х-у) = 54
Проверим ответы:
5) (9; 6)
6) (- ∞; 1 )
7)
4(х+у)+3(х-у) = 51
6) 2х ² — 7х + 5 0
2 – х ≥ 0
7) 3х ² — 2х – 1 0
х ² — х – 6 0
videouroki.net