Рубрика: Школьная жизнь

определение и свойства. Вычисление детерминантов. Правило Крамера. Метод Гаусса решения системы, страница 2

Из свойства 1 следует равноправность строк и столбцов. Именно, если справедливо какое-либо утверждение о детерминантах, касающееся строк соответствующих матриц, то верно и аналогичное утверждение, касающееся столбцов, и обратно.

Свойство 2. Если элементы одной строки или столбца детерминанта равны нулю, то и детерминант равен нулю.

Доказательство: Доказательство вытекает из доказанной ранее теоремы. Раскроим детерминант по   -й строке

что и требовалось доказать.

Свойство 3. Для того чтобы умножить детерминант на число, достаточно умножить на это число строку (столбец).

Доказательство: Доказательство вытекает из доказанной ранее теоремы. Раскроим детерминант по   -й строке

Таким образом каждый элемент -й строки умножился на , что и требовалось доказать.

Свойство 4. Если одна из строк (столбцов) является суммой двух строк (столбцов), то её детерминант есть сумма детерминантов соответствующих матриц.

Доказательство: Доказательство вытекает из доказанной ранее теоремы. Раскроим детерминант по   -й строке

что и требовалось доказать.

Свойство 5. Если в матрице поменять местами какие-нибудь две строки (столбца), то ее детерминант изменит знак.

Доказательство: Доказательство мы проведем методом полной индукции. Непосредственно очевидно, что для матриц второго порядка она справедлива 

Здесь  матрица, у которой поменяли местами строки.

Допустим, что формула верна для матриц порядка , и докажем ее для матрицы порядка . Детерминант матрицы порядка мы разложим по любому столбцу, отличному от переставляемых столбцов. Переставляемые столбцы входят в каждый дополнительный минор, и если предложение справедливо для матриц порядка , при перестановке столбцов каждый минор меняет знак. Отсюда вытекает, что знак изменится и у детерминанта, что и заканчивает доказательство.

В качестве следствий из свойства 4 мы получим следующие свойство.

Свойство 6.  Если в матрице есть два две одинаковые строки (одинаковых столбца), то .

Доказательство: Действительно, при перестановке одинаковых столбцов мы не изменяем матрицу, а изменим знак у детерминанта. Отсюда  и, следовательно, , что и требовалось доказать.

Свойство 7. Справедливы следующие формулы

,      

Здесь  — символ Кронекера, который определён следующим образом

Доказательство: Если то мы получаем детерминант, раскрытый по -ой строке. Если же то получается детерминант, у которого две строки равные, а он по 5 свойству детерминантов равен нулю, что и требовалось доказать.

Свойство 8. Детерминант матрицы не изменится, если к какой-нибудь строке (какому – нибудь  ее столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов) этой матрицы.

Доказательство: К -й строке прибавим линейную комбинацию остальных строк, а затем раскроем определитель по -й строке.

  По свойству 7 .

Тогда получаем   свойство доказано.

3.  Вычисление детерминантов.

Используя свойства детерминантов, его можно привести к диагональному виду

Полученный детерминант вычисляется по формуле .

Метод сведение детерминанта к диагональному виду называется методом последовательных исключений, который впервые предложил Гаусс.

Опишем его. Пусть , это предположение не ограничивает общность рассуждений, в силу свойств детерминантов (если , то поменяем местами столбцы, поменяв знак на противоположный ). Умножим первую строку на  и сложим со второй строкой, тогда на первом месте во второй строке будет ноль. Умножим первую строку на  и сложим с третей строкой, тогда на первом месте в третей строке будет ноль и так далее. Мы получим детерминант

в котором . Аналогичным образом сделаем нули во втором столбце под элементом  и так далее. Если в процессе вычислений в одной из строк все элементы получатся равные нулю, то и детерминант будет равен нулю.

4. Системы линейных уравнений

Систему уравнений вида

мы будем называть системой  линейных уравнений с  неизвестными . Коэффициенты этих урав­нений мы будем записывать в виде матрицы

называемой матрицей системы. Числа, стоящие в пра­вых частях уравнений, образуют столбец , называемый столбцом свободных членов.

Определение. Совокупность  чисел  называется решением системы, если каждое уравне­ние системы обращается в тождество после подстановки в него чисел  вместо соответствующих неизвестных .

vunivere.ru

Определители

Определители

С понятием определителя мы уже сталкивались при изучении векторного произведения в разделе 10. Там были введены определители матриц второго и третьего порядка. В этом разделе мы дадим определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка. Такое рекуррентное определение и было использовано для введенияопределителя матрицы третьего порядка. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы будем обозначатьили.

Определение 14.6Определителем квадратной матрицывторого порядка называется число. Определителем квадратной матрицыпорядка,, называется число

где — определитель матрицы порядка, полученной из матрицывычеркиванием первой строки и столбца с номером.

Легко проверить, что это определение для определителей второго и третьего порядка совпадает с данным ранее в разделе 10.

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

        Замечание 14.7Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.

        Замечание 14.8Вопределении 14.6было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядкаи принимающая значения в множестве чисел.

        Замечание 14.9В литературе вместо термина «определитель» используется также термин «детерминант», имеющий тот же самый смысл. От слова «детерминант» и появилось обозначение.

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде предложений.

Предложение 14.6При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .

Предложение 14.7Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .

Предложение 14.8Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.

Ввиду ограниченности курса доказательства этих трех свойств мы опускаем. Читатель может найти их в учебниках по линейной алгебре [3],[5]или же может без особых сложностей проверить их на матрицах второго и третьего порядков.

Предложение 14.9Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

        Доказательство.     Поменяем местами две одинаковые строки. В силупредложения 14.8определитель сменит знак. С другой стороны, так как строки были одинаковыми, то матрица не изменилась и, следовательно, не изменился и ее определитель. Получим, что, откуда следует, что.

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.

Предложение 14.10Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

        Доказательство.     Пусть— исходная матрица,— матрица, полученная изумножением первой строки на число:

Тогда

где — определитель матрицы, полученной из матрицыили, что то же самое, из матрицывычеркиванием первой строки и-ого столбца.

Вынесем множитель за знак суммы и получим

Пусть теперь матрица получается из матрицыумножением-ой строки на число. Поменяем местами первую и-ую строки в матрицеи то же самое проделаем в матрице. Получим две новых матрицыи. Попредложению 14.8

Очевидно, что матрица получается из матрицыумножением первой строки на число. Как только что было доказано,. Таким образом, из второго равенства (14.10) находим, отсюда с помощью первого равенства (14.10) получаем.

Предложение 14.11Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

        Доказательство.     Нулевую строку можно рассматривать как строку из единиц, умноженную на число ноль. Попредложению 14.10определитель такой матрицы равен нулю, умноженному на определитель матрицы, содержащей строку из единиц. Результат такого умножения всегда будет ноль.

Предложение 14.12Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

        Доказательство.    Попредложению 14.10определитель исходной матрицы равен числу, умноженному на определитель матрицы, у которой есть две одинаковые строки. Попредложению 14.9определитель последней матрицы равен нулю. Поэтому и определитель исходной матрицы равен нулю.

Предложение 14.13Пусть в матрице -ая строка имеет вид. Тогда, где матрицаполучается из матрицызаменой-ой строки на строку, а матрица— заменой-ой строки на строку.

        Доказательство.     Пусть первая строка матрицыимеет вид. Тогда

Для случая утверждение доказано.

Пусть . Обозначим через,,матрицы,, и, в которых поменяли местами первую и-ую строки. По только что доказанному (для) утверждению. Попредложению 14.8,,. Следовательно,. Умножив обе части последнего равенства на, получим требуемое утверждение.

Предложение 14.14Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

        Доказательство.     Пусть к-ой строке матрицыприбавлена-ая строка, умноженная на число. Новую матрицу обозначим. В матрицеэлементы-ой строки имеют вид. Попредложению 14.13, где— матрица, полученная из матрицызаменой-ой строки на-ую строку, умноженную на число. Попредложению 14.12, то есть.

Предложение 14.15Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

        Доказательство.     Попредложению 14.13определитель исходной матрицы равен сумме определителей матриц, в каждой из которых есть пропорциональные строки. Попредложению 14.12все эти определители равны нулю. Следовательно, и определитель исходной матрицы тоже равен нулю.

Определение 14.7Алгебраическим дополнением к элементуматрицыназывается число, равное, где— определитель матрицы, полученной из матрицывычеркиванием-ой строки и-ого столбца.

Алгебраическое дополнение к элементу матрицыобозначается.

        Пример 14.4Пусть. Тогда

Замечание 14.10Используя алгебраические дополнения,определение 14.6определителя можно записать так:

Предложение 14.16Разложение определителя по произвольной строке. Для определителя матрицы справедлива формула

        Доказательство.     Если, положим. Пусть. Тогда-ую строку поменяем местами со строкой с номером. Определитель сменит знак. Затем строку с номеромпоменяем местами со строкой с номером. Определитель снова сменит знак. Процесс перестановки строк будем продолжать до тех пор, пока-ая строка матрицыне станет первой строкой новой матрицы, которую мы обозначим. Отметим, что в матрице, начиная со второй строки, стоят строки матрицы, причем порядок их следования не изменился.

При переходе от матрицы к матрицеопределитель сменит знакраз (проверьте для случая). Таким образом

Это соотношение верно и при . Поопределению 14.6определителя,

где — определитель матрицы, полученной из матрицывычеркиванием первой строки и-ого столбца. Первая строка матрицысовпадает с-ой строкой матрицы, поэтому. Результат вычеркивания в матрицепервой строки и-ого столбца будет таким же, как при вычеркивании в матрице-ой строки и-ого столбца. Поэтому, где— определитель матрицы, полученной при вычеркивании в матрице-ой строки и-ого столбца. Следовательно,

В силу равенства (14.11) получим

По определению 14.7алгебраического дополнения получим. Тогда из предыдущего равенства вытекает

что и требовалось доказать.     

        Пример 14.5Вычислите.

Решение.Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех — нули. Получим

Предложение 14.17Для квадратной матрицы порядкапривыполнено соотношение

        Доказательство.     Пусть— матрица, полученная из матрицы, в которой-ая строка заменена-ой строкой этой же матрицы, а сама-ая строка осталась без изменения. Таким образом, в матрицеесть две одинаковые строки и в силупредложения 14.9.

С другой стороны, используя разложение определителя по -ой строке (предложение 14.16), получим

где — алгебраическое дополнение к элементу. Так как все строки матрицы, кроме-ой, совпадают со строками матрицы, то. Так как по построению матрицы, то

Так как , то равенство (14.12) доказано.

Предложение 14.18Все свойства определителя, сформулированные для строк ( предложения 14.8—14.17), справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по -ому столбцу

и равенство

при .

        Доказательство.     В силупредложения 14.6определитель не меняется при транспонировании матрицы, а ее столбцы становятся строками транспонированной матрицы, для которой доказываемые свойства имеют место.

Предложение 14.19Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

        Доказательство.     Воспользуемся индукцией по порядку матрицы. Для:

утверждение верно. Предположим, что доказываемое утверждение верно для матриц порядка . Покажем, что оно верно для матрицы порядка.

Если — верхняя треугольная матрица, то используем разложение по первому столбцу (равенство (14.13) при):

Справа стоит определитель треугольной марицы порядка . По предположению индукции этот определитель равен. Поэтому.

Если — нижняя треугольная матрицы, то нужно воспользоваться разложением по первой строке. В остальном рассуждения аналогичны.

Итак, утверждение верно для матрицы порядка . Предложение доказано.

Следствие 14.1Определитель единичной матрицы равен единице, .

Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм вычислений следующий.

Алгоритм создания нулей в столбце.

Пусть требуется вычислить определитель матрицы порядка. Если, то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель, будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрицаимеет нулевой столбец и попредложениям 14.11,14.18ее определитель равен нулю.

Итак, считаем, что уже в исходной матрице . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число. Тогда первый элемент второй строки будет равен

Остальные элементы новой второй строки обозначим ,. Определитель новой матрицы попредложению 14.14равен.

Первую строку умножим на число и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен

Остальные элементы новой третьей строки обозначим ,. Определитель новой матрицы попредложению 14.14равен.

studfiles.net

Вопросы для математиков и всех интересующихся алгеброй

1- матрица в которой m-чилсло столбцов, n-число строк 2-матрица с одинаковым числом строк и столбцов называется определителем 3-обратная матрица, это матрица, в которо стобцы стали строками, а строки столбцами 4-линейное уравнение-это уравнение вида ax+b=y, где x-переменная 5-решить можно методом Гауса, матрицей и определителем 6-не помню)))

Фига у тебя вопросов накопилось. Проще где-нибудь в рамблере ответы поискать.

1. Матрицей порядка m*n на зывают прямоугольную таблицу чисел или буквенных выражений, содержащих mстрок и n столбцов. 2. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. 3. Матрица А (-1) называется обратной к квадратной матрице А, если их произведение равно единичной матрице. 4. Линейное уравнение представляет собой уравнение типа а1х1+а2+х2+…аnхm=b1. 5. Методом Гаусса, методом Крамера, матричным методом. 6. 1) определитель n-го порядка сводится к вычислению определителей (n-1)-го порядка посредством его разложения по какой-либо i-щй строку (k-му столбцу) 2) определитель транспортированной матрицы равен определителю исходной матрицы 3) если все элементы какой-либо строки или столбца определителя равны нулю, то такой определитель равен нулю

touch.otvet.mail.ru

3. Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.

Теорема: Определитель порожденный матрицей не изменится если в ней поменять местами строки со столбцами.

Доказательство: А) Определим вначале знак члена определителя при произвольном порядке сомножителей.

a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αk, βk}… a_{αl, βl}… a_{αn, βn}(*)

α₁, α₂… α_k… α_l…α_n(1) – перестановка номеров строк.

β₁, β₂… β_k… β_l…β_n(1’) – перестановка индексов столбцов.

Обозначим число инверсий в перестановке (1) – S_1, в перестановке (1’) – S₁’. Рассмотрим сумму S₁+ S₁’, и покажем, что четность или нечетность этой суммы не меняется ни при каком изменении порядка множителей. Ясно что от одного порядка множителей к другому можно перейти с помощью конечного числа транспозиций множества. Поэтому достаточно доказать, что характер четности числа S₁+ S₁’ не изменится при одной транспозиции множества в произведении(*).

a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αl, βl}… a_{αk, βk}… a_{αn, βn}(**)

α₁, α₂… α_l… α_k…α_n(2)

β₁, β₂… β_l… β_k…β_n(2’)

Число инверсий в перестановке (2) – S₂, в перестановке(2’) — S₂’. Рассмотрим число S₂+S₂’. S₁ и S₂ имеют разный характер четности. S₁’ и S₂’ имеют разный характер четности следовательно суммы S₁+ S₁’ и S₂+S₂’ имеют одинаковый характер четности. Напишем множители рассматриваемого члена определителя (*) в порядке следования строк: a_{1, j1}, a_{2, j2}…a_{n, jn}(3).

Обозначим число инверсий столбцов через S, число инверсий в перестановке строк =0. Таким образом по доказанному числа 0+S и S₁+S₁’ имеют одинаковый характер четности. Следовательно, знак члена определителя (*):

(-1)^S=(-1)^S1+S1’

В)

Рассмотрим произвольный член определителя D: a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αn, βn}— он будет и членом определителя D₁, т.к. в нем в качестве множителя взят один и только один элемент из каждой строки и столбца матрицы определителя D₁(в D первые индексы – номера строк, вторые – номера столбцов, а в определителе D₁ – наоборот).

Покажем что знаки этого члена, как в D, так и в D₁ будут одинаковы. Это следует из того что знаки этого члена и в Dи в D₁ определяются суммой числа инверсий в перестановках первых и вторых индексов. D=D₁ .(ч.т.д.)

4. Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.

Теорема: Если в матрице определителя поменять местами 2 строки, то определитель изменит знак на противоположный.

Доказательство:

a_{1, γ1}*a_{2, γ2}*…*a_{k, γk}*…*a_{l, γl}*…*a_{n, γn} – член определителя D, он будет и членом определителя D₁, но знак его здесь будет противоположный.

Знак этого члена определителя в D: γ₁,γ₂…γ_k…γ_l…γ_n(1)

А в D₁: a_{1, γ1}*a_{2, γ2}*…* a_{l, γl} *…* a_{k, γk} *…*a_{n, γn}

γ₁,γ₂…γ_l…γ_k…γ_n(2)

Перестановки (1) и (2) отличаются одной транспозицией, значит характер четности этих перестановок разный. Следовательно рассматриваемый член в D и в D₁ имеет разные знаки. Следовательно D= – D₁.(ч.т.д.)

Следствие: Определитель с двумя одинаковыми строками равен 0.

Доказательство: Допустим в матрице определителя D две одинаковые строки. Поменяем местами эти две одинаковые строки. Определитель соответствующий новой матрице обозначим D₁. Согласно доказанной теореме D= – D₁. Но т.к. мы поменяли две одинаковые строки и матрица не изменилась, следовательно, D=D₁. Получаем иD=0.(ч.т.д.)

studfiles.net

Объединить PDF и JPG файлы в один онлайн

В последнее время стал актуальным вопрос про объединение нескольких файлов формата pdf в один. Не менее актуальным является объединение jpg файлов в один pdf онлайн. Кому — то нужно отсканировать договор на нескольких листах, а затем объединить, кто — то делает электронную версию того или иного печатного издания, а кто — то и вовсе объединяет в один pdf файл старые семейные фотографии, сканируя каждую в отдельный файл.

Существует масса способов, как можно это сделать. В том числе и при помощи программ, типа Foxit reader. Но в данной статье мы поговорим как объединить jpg или pdf файлы в один pdf онлайн, без установки каких — либо дополнительных программ и платежей. Все, что вам понадобится это интернет и компьютер.

Сам процесс объединения будет происходить через сайт http://combinepdf.com/ru/.

Заходим на него и попадаем на главную страницу.

Combinepdf.com/ru — сайт для онлайн объединения файлов pdf в один

Объединить pdf файлы в один онлайн

Для объединения pdf файлов в один на панели выбора действия жмем на «Combine PDF».

Выбираем Combine PDF

После этого появится кнопка «Загрузить», нажав на которую будет предложено выбрать pdf файлы на вашем компьютере для объединения в один.

Выбираем файлы pdf, которые нужно объединить

Находим и выбираем зажатой кнопкой «CTRL» на клавиатуре все файлы, которые нужно объединить и жмем кнопку «открыть».

Загружаем их на сайт

После этого выбранные файлы загрузятся на сайт и внизу станет доступна кнопка «объединить», нажав на которую к вам на компьютер скачается один объединенный pdf файл из всех выбранных вами файлов.

Скачиваем объединенный pdf файл

Объединить jpg файлы в один pdf онлайн

С jpg файлами все осуществляется почти точно так же, как и с pdf. С той лишь разницей, что на панели выбора действия нужно выбрать «jpg to pdf».

Выбираем jpg to pdf

Далее жмем кнопку «Загрузить» и в открывшемся окне находим все jpg файлы, которые нужно объединить в один pdf онлайн.

Выбор и загрузка jpg файлов на сайт для объединения

Напоминаем, что для выбора нескольких фалов нужно нажать и удерживать клавишу на клавиатуре «CTRL», которая находится в левой нижней части клавиатуры.

Далее нажимаем кнопку «Открыть» и дожидаемся окончания загрузки фалов на сайт.

Ожидание загрузки файлов на сайт

После чего нажимаем на кнопку «общий файл» и тем самым скачиваем объединенный файл pdf из ваших jpg файлов.

Скачивание объединенного pdf файла из ваших jpg

helpadmins.ru

Как конвертировать и объединить JPG в PDF онлайн

Во многих ситуациях пользователям ПК требуется преобразовать изображения одного формата в другой. Например, конвертировать фото или картинки из JPG в файл PDF. В сети существует множество специальных сервисов, которые позволяют выполнять данную процедуру за несколько нажатий. Сегодня мы поговорим о том, как в онлайне можно конвертировать и объединить JPG в PDF.

IlovePDF

IlovePDF – это многофункциональный сервис для работы с любыми PDF файлами. Сайт позволяет объединять, разделять и сжимать изображения, конвертировать JPG и текстовые файлы в PDF, а также преобразовывать их в обратную сторону. Дополнительно доступен простейший редактор готовых файлов, который позволяет поворачивать или обрезать части документа. Чтобы конвертировать JPG в PDF с помощью данного сервиса, следуйте представленной инструкции:

1. Перейдите по ссылке на сайт.
2. Нажмите на центральную кнопку «Выбрать изображения JPG».
3. После загрузки всех файлов вы увидите редактор. Доступен выбор ориентации страницы, размера, настройка полей. Если вы добавили несколько картинок, то не забудьте поставить галочку в пункте «Объединить все изображения в один PDF-файл».
4. Для начала процедуры нажмите кнопку конвертации. Длительность процесса зависит от количества и размера материалов.
5. После этого кликните по «Скачать PDF». Браузер скачает файл в папку со всеми другими загрузками.

Сервис позволяет загружать материалы и сохранять их в облачные хранилища Google Drive и Dropbox, а также делиться ссылкой на файл.

JPG2PDF

JPG2PDF – это специальный сайт для объединения и конвертации материалов. Сервис создан для работы с PDF файлами: поддерживается конвертирование данного формата в изображения и текстовые документы, а также перевод картинок и текстов в PDF. Воспользоваться сайтом вы можете так:

1. В браузере откройте представленную ссылку на JPG2PDF.
2. Из вкладок выберите вариант «JPG to PDF».
3. Кликните на кнопку загрузки и с помощью проводника укажите местоположение изображений.
4. После этого сервис автоматически конвертирует картинки в PDF. Вы можете загрузить их отдельно друг от друга, кликнув по кнопке «Скачать» под каждым изображением.
5. Если вам нужно объединить несколько картинок, то нажмите на кнопку «Общий файл».

Мнение эксперта

Василий

Руководитель проекта, эксперт по модерированию комментариев.

Данный сервис уступает предыдущему по возможностям – здесь нет встроенного редактора и предпросмотра результата.

Smallpdf

Smallpdf представляет собой большой сервис для конвертации и редактирования PDF. Помимо описываемого в статье конвертера из JPG, на сайте вы сможете делить, объединять и сжимать материалы, редактировать готовые PDF работы, конвертировать PDF в файлы для Microsoft Office и обратно. А воспользоваться сервисом по нашей теме вы можете с помощью представленного руководства:

1. Перейдите на страницу сайта.
2. Перетащите изображения JPG на желтую область страницы или загрузите их с помощью проводника. Также доступна загрузка из Google Drive или
3. С помощью нижней панели редактора выберите формат листа, расположение картинок и размер полей. Вы можете добавить больше изображений прямо в процессе редактирования и с помощью мышки переместить их на нужную позицию в документе.
4. Для конвертирования кликните по кнопке «Создать PDF прямо сейчас!».
5. Остается только скачать готовый документ на компьютер, создать ссылку на файл или загрузить в облако. Также можно сразу перейти к объединению с другим PDF файлом.

У сервиса Smallpdf имеется собственное расширение для Google Chrome. После установки вы сможете быстро переходить к нужной странице сайта с помощью иконки плагина на верхней панели браузера.

Видеоинструкция

Больше подробностей вы сможете узнать, если внимательно посмотрите представленный ролик.

Заключение

Мы познакомили вас с рядом сервисов, которые позволяют конвертировать и объединять JPG в PDF. Также большинство из представленных сайтов имеют дополнительный функционал, который обязательно пригодится постоянным пользователям конвертеров.

Обязательно пишите в комментариях о том, какие трудности и проблемы возникают у вас при использовании описанных сервисов! Мы ознакомимся с каждым отзывом и поможем советом!

os-helper.ru

Объединить файлы JPG в один PDF онлайн — Rusadmin

Конвертация нескольких изображений в один PDF-файл может понадобиться в разных ситуациях. При создании конспекта из отсканированных лекций или виртуальной версии книги, объединении фотографий в один файл для удобной отправки по E-Mail или через мессенджер и т.д. Для того, чтобы объединить два файла JPG в PDF, не нужно скачивать и устанавливать программы — можно использовать онлайн-сервисы, которые позволяют настроить сжатие изображений, ориентацию страниц, размеры и расположение картинок, а также установить пароль на открытие PDF.

Содержание статьи:

JPG 2 PDF позволяет конвертировать JPG-изображения в один PDF-документ

Бесплатный онлайн-сервис, расположенный по адресу jpg2pdf.com. Самый простой вариант, позволяющий создать PDF из двух или более (до 20) изображений в один клик. Ограничений на размеры файлов нет, регистрироваться не нужно. Из-за простоты у сервиса есть недостаток: невозможность тонко настроить создаваемый PDF-файл — выбор ориентации, разрешения, размера JPG-файлов и их обработка производится автоматически.

Конвертация осуществляется в два шага:

1. JPG-файлы выбираются при помощи кнопки «Upload Files» или просто перетаскиваются на область с текстом «Drop Your Files Here».
2. Когда загрузка и обработка изображений завершится, нажимается кнопка «Combined». Создастся и автоматически откроется PDF, который можно сохранить на компьютер.

Сервис также предоставляет услуги по сжатию PDF-файлов, конвертации текстовых файлов в PDF и обратно.

PDF2GO — онлайн сервис склеивания JPG

Еще один бесплатный сервис для быстрого создания PDF из JPG. Расположен по адресу pdf2go.com, полностью переведен на русский язык.

По набору функций он схож с предыдущим сайтом, только имеет более красочный дизайн. Предварительные ручные настройки недоступны.

1. Для создания PDF нужно выбрать изображения, нажав на кнопку «Загрузить локальные файлы».
2. Можно также выбрать файлы из облачного сервиса (One Drive, Google Drive, Dropbox) или указать ссылки на JPG-изображения.
3. Когда файлы загрузятся, их можно поменять местами.
4. Затем нужно нажать кнопку «Объединить PDF».
5. Конвертация происходит очень быстро — у меня получилось объединить несколько JPG в единый документ PDF в режиме онлайн буквально за пару секунд.

Полученный файл перестанет быть доступным по истечении 24 часов или после 10 загрузок. Сохранить его можно на жесткий диск или в облачный сервис. Предварительно его можно обработать: сжать, отредактировать, изменить ориентацию или размер файла. Такая постобработка выгодно отличает PDF2GO от JPG2PDF.

SmallPDF — конвертируем JPG в PDF

Еще один простой русскоязычный сервис, находящийся по адресу http://smallpdf.com/ru/jpg-to-pdf. Не имеет ограничений: можно соединить в PDF два или несколько изображений в формате JPG, BMP, TIFF, TIF или PNG, размеры и количество файлов могут быть любыми.

Порядок работы с сервисом таков:

1. Выбираются изображения с жесткого диска или из облака (One Drive, Google Drive).
2. Настраивается порядок отображения, размер страниц PDF-файла, их ориентация и ширина полей.
3. Нажимается кнопка «Создать PDF».

Процесс происходит еще быстрее, чем в сервисе PDF2GO — объединение трех файлов заняло меньше секунды. После завершения конвертации на документ можно поставить электронную подпись. Это полностью безопасно — файл хранится в облаке, где к нему никто не имеет доступа, а через час навсегда удаляется с сервера.

ILovePDF — онлайн ПДФ инструмент

Быстрый и бесплатный сервис с удобным, интуитивно понятным интерфейсом. Адрес: http://www.ilovepdf.com/ru/jpg_to_pdf. Доступны основные настройки (ориентация страниц и размер полей), а также сжатие PDF, добавление номеров страниц и водяных знаков.

Используется сервис следующим образом:

1. Нажатием кнопки «Выбрать изображения JPG» выбираются файлы для конвертации. Вместо жесткого диска файлы можно взять из облака Google или Dropbox.
2. Загруженные файлы можно повернуть и поменять местами.
3. Выбирается ориентация страниц, отступы от краев.

Завершив настройку, склеиваем два изображения в один файл PDF нажатием на кнопку «Конвертация в PDF». Созданный файл автоматически скачается; также его можно сохранить в облако. На сервере он хранится в течение 1 часа.

Кроме объединения изображений в PDF, можно конвертировать некоторые файлы Microsoft Office — тексты, таблицы и презентации. Полный обзор функций сервиса:

PDF Candy

PDF Candy предоставляет несколько инструментов для работы с файлами PDF. Один из них — конвертер JPG в PDF, расположенный по адресу https://pdfcandy.com/ru/jpg-to-pdf.html.

Преимущества сервиса: полная конфиденциальность и отсутствие ограничений. Работает он медленнее аналогов, а из настроек доступны только защита и сжатие файла.

Объединение изображений осуществляется в два клика:

1. Выбираются файлы на жестком диске или в облаке.
2. Создается PDF нажатием на «Конвертировать файлы».

Дополнительно с помощью сервиса можно преобразовать графические файлы других форматов, текстовые и табличные документы.

Заключение

Таким образом, все сервисы для объединения изображений в PDF-файл имеют более-менее одинаковый набор функций. Выбрать можно любой — какой больше понравится внешне.

Вконтакте

Facebook

Twitter

Одноклассники

Pinterest

rusadmin.biz

Объединить в JPG — Объединение файлов онлайн

Объединить несколько изображений JPG в одно изображение формата JPG

О формате JPG
Полное имя JPEG — Объединенная группа экспертов по фотографии, a Общий формат изображения, разработанный Объединенной группой экспертов по фотографии и получивший название ISO 10918-1.
Технология сжатия файлов JPEG очень продвинута, она удаляет избыточные изображения и данные о цвете, а также обеспечивает чрезвычайно высокую степень сжатия. время, он может отображать очень богатые и яркие изображения, и может получить лучшее качество изображения с минимальным размером изображения.
В настоящее время все виды браузеров и операционных систем поддерживают формат изображения JPEG, размер файла формата JPEG небольшой, скачать быстро Таким образом, страница веб-сайта может за короткое время загрузить множество красивых изображений.
JPEG также является самым популярным форматом изображений в Интернете.

Входной формат: JPG,JPEG

Выходной формат: JPG

Выберите файл с компьютера

Настройки объединения:

Есть три режима для параметров слияния JPG
Первый — вертикальное слияние, изображения JPG объединяются в одно изображение сверху вниз по порядку. Второе объединяется по горизонтали, изображения объединяются в одно изображение слева направо по порядку. Третье — это фиксированный номер столбца, объединяемый слева направо в определенное количество, затем объедините слева направо в нижнюю строку. Наконец, оно станет прямоугольной картинкой.

Наш веб-сайт использует протокол безопасности HTTPS, HTTPS — это зашифрованный транспортный протокол. Итак, передача вашего файла Зашифрован и надежен. Ваша работа, ваши данные также в безопасности. Другие не могут перехватить информацию о вашем файле.

Объедините JPG одним щелчком мыши, операция очень проста и легка. Не громоздко настройки, нет дополнительного времени на изучение.

filesmerge.com

Как из нескольких JPG сделать один PDF

Довольно часто пользователи персональных компьютеров работают с самыми различными типами данных и форматами документов. Одними из наиболее популярных форматов на сегодняшний день считаются изображения в jpg и документы в pdf. Иногда возникает необходимость объединить несколько jpg в один pdf-файл, о чем мы и расскажем ниже.

Как из нескольких jpg собрать единый документ pdf

Похожий вопрос разбирался, когда рассматривалась проблема конвертации из jpg в pdf. Поэтому сейчас стоит лишь рассмотреть один очень хороший способ, который поможет быстро сделать из множества изображений jpg единый документ.

Все изображения, которые будут собираться в один документ, были получены при помощи конвертации pdf в jpg, об этом важно прочитать всем, кто часто имеет дело с такими форматами.

Урок: Получаем из pdf файлы jpg

Итак, разберем решение задачи объединения jpg в pdf на примере программы Имэйдж ту ПДФ, которую можно скачать по ссылке.

1. После скачивания программы можно сразу ей пользоваться, так как она не требует установки и запускается прямо из архива, что очень удобно, когда нет времени, а преобразовать большое количество изображений надо в кратчайшие сроки.
2. Сразу после открытия приложения можно добавлять нужные изображения. Для этого необходимо нажать на кнопку «Add Files».



3. Итак, изображения добавлены, но можно заметить, что не все они стоят в правильном порядке (все зависит от их названия). Из-за этого придется их немного упорядочить, нажав на соответствующие клавиши прямо под окном с названиями файлов.



4. Теперь надо выбрать, в каком формате необходимо создать новый файл. Это может быть PDF или XPS.



5. Следующим шагом надо выбрать какое количество файлов нам требуется. Так как нашей целью поставлено объединить несколько jpg в один документ, то необходимо поставить флажок на пункте «Single PDF…» и сразу ввести название нового документа.



6. Естественно, теперь можно выбирать место для сохранения документа.



7. После всех основных действий можно немного изменить параметры выходного файла. Image to PDF предлагает изменить размеры изображений, увеличить их до максимума, изменить их расположение и еще несколько полезных настроек.
8. Завершить конвертацию и соединение jpg в единый файл pdf можно нажатием на кнопку «Save Output».

Вот и все. Программа может обрабатывать очень много изображений, каждые 1-2 секунды она обрабатывает примерно по 18 графических файлов, так что огромный семейный альбом превратится в pdf документ за считанные минуты. А знаете ли вы еще такие же быстрые способы для объединения jpg в pdf документ?

Помогла ли вам эта статья?

lumpics.ru

Как конвертировать jpg в pdf онлайн

Если так случилось, что вам понадобилось конвертировать jpg в pdf онлайн, сделать это очень легко. В этой статье всё покажу.

Как конвертировать jpg в pdf онлайн

Рассмотрим два из них. Больше смысла нет, поскольку у всех одинаковый принцип работы: загрузил исходники и скачал готовый результат. Эти сайты позволят легко соединить jpg в pdf.

Не стоит доверять онлайн-сервисам свои приватные фото. Можете считать это паранойей, но береженого бог бережет.

jpg2pdf.com

Данный сервис русифицирован. Интерфейс очень простой. Конвертирование из jpg в pdf не отнимет у вас много времени. Позволяет переводить между собой файлы jpg, pdf, text и doc (docx).

Действуем по алгоритму:

• Выбираем в рабочем окне нужный нам вариант конвертации — JPG to PDF.
• Жмём кнопку «Загрузить».
• На своём компьютере выбираем нужные картинки. Сервис загрузит их к себе. На этом этапе можно дозагрузить дополнительно или удалить лишние. При необходимости в рабочем поле есть возможность выстроить изображения в нужном порядке. Для этого просто перетаскивайте их мышкой на нужной место.
• Для получения готового файла pdf жмем кнопку «Общий файл» и скачиваем себе результат конвертирования.

Это был первый сервис. Теперь переходим к следующему сайту, чтобы перевести фото в пдф онлайн.

smallpdf.com

Следующий сервис, позволяющий конвертировать jpg в pdf онлайн способом — smallpdf.com. Также русифицирован. Имеет немного настроек (ориентация страницы, размер полей, размер страницы).

Ограничение бесплатного использования — можно сконвертировать jpg в pdf только два раза в час. Ваши исходники и результат работы будут храниться у них в течение часа.

Алгоритм действий аналогичен сайту smallpdf.com.

• Жмём «Выберите файл» и выбираем нужные изображения.
• На этом этапе можете отсортировать порядок файлов (перетаскивайте мышкой) и выбрать небольшие настройки внизу рабочего поля.
• Жмем ссылку «Создать pdf прямо сейчас» и кнопкой «Сохранить файл» скачиваем готовый файл на компьютер.

Как видите, нет ничего сложного в том, чтобы конвертировать jpg в pdf онлайн способом. Нет необходимости скачивать и устанавливать на свой компьютер программы. Загрузили исходники — получили результат. Быстро и удобно.

Статья помогла? Поблагодари автора, он ведь старался

Нашли ошибку? Покажите автору блога. Выделите мышкой и нажмите shift+enter на клавиатуре.

dendrblog.ru

Объединить в PDF — Объединение файлов онлайн

Объединить несколько файлов PDF или файлы других форматов в один файл формата PDF

О PDF
PDF полное имя Portable Document Format, Adobe Systems A Формат файла, разработанный в 1993 году для обмена файлами.
Этот формат имеет функции, не зависящие от операционной системы и платформы, поэтому вы можете получить то же самое на Windows, Mac или Linux. Таким образом, PDF стал де-факто стандарт для электронного обмена документами, имеет широкий спектр применения в электронных книгах, брошюрах о продуктах, объявлениях компаний, веб-материалах, электронных письмах и т. д.
PDF можно хранить в тексте, изображениях, формах и даже видео. Расширенные функции такие формы также могут быть сохранены.
Стандарт документа для PDF является стандартом ISO ISO 32000-1. В 2008 году Adobe объявила, что не будет публиковать формат PDF в будущем. PDF становится своего рода стандартами открытых документов. Будущее PDF-версии будут предоставлены Технологической ассоциацией ISO.

Входной формат: PDF,DOC,DOCX,XLS,XLSX,JPG,JPEG,GIF,PNG,BMP,RTF,TXT,PPT,PPTX

Выходной формат: PDF

Выберите файл с компьютера

Настройки объединения:

О параметрах PDF
Параметры не заданы, они будут объединены по умолчанию.

поддерживает много форматного ввода, включая Word, Excel, JPG, PNG, TEXT и т. д. Объединение в файл PDF. Перед объединением не требуется никакой дополнительной обработки. Это экономит много времени. PDF — очень популярный и распространенный формат файла. Word, Excel не будут отображаться на некоторых компьютерах. Если вы хотите просматривать Word Контент Необходимо установить программное обеспечение OFFICE, это сложная задача, и это также стоит больших денег. Файл TEXT из-за проблем с кодированием и языком, проблемы с отображением в разных системах, PDF может решить эту проблему. Если вы отправите письмо по электронной почте Вашим клиентам рекомендуется отправлять файлы PDF вместо файлов в других форматах.

зашифрованная передача файлов. Сайт использует протокол HTTPS, не нужно беспокоиться о данных, файлы перехватываются, подслушано, утечка. HTTPS использует алгоритмы шифрования для обеспечения безопасности ваших данных.

filesmerge.com

Чему равен квадратный корень из 3 целых 1/16???плиз!!!!

Семь четвертых!! =))

сначала переводишь в неправильную дробь, будет 49/16,а потом выводишь будет 7/4

Н-да…. уж преврати это смешанное число в неправильную дробь. получится 49/16 .А корень из этого равен 7/4. Учебник-то хоть иногда открывайте…

переведи в неправильную дробь и увидишь 49/16 49-кв кор-7 16-кв кор4 значит 7/4 или 1 3/4

7/4 что тут думать то

touch.otvet.mail.ru

Корень из 3 делить на 3-получится один.Почему?

может потому что корень из 3 = 3?

Домножь числитель и знаменатель этого отношения на корень из 3. Само отношение не изменится. А в числителе станет корень из 3. В знаменателе будет произведение (корень из 3)*(корень из 3) = 3. Вот и получилось в итоге (корень из 3)/3 =1

Тут все дело в записи. Если извлечь корень из 3:3, то действительно получится 1. Если же поделить на три корень из трех, будет приблизительно 0,57

Ты права, не 1, а тот же корень из 3.

три делить на три будет один и что из единицы корень один и так понятно что еще надо

<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/8149a06087121c1c16c3f28b0a9d1198_i-231.jpg» >

<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/148f91516b986aefa084b9f9d5c326cd_i-7.jpg» > Не будет 1 тут:)

touch.otvet.mail.ru

Как решить ? (Корень из 3,5 * Корень из 1,5) / Корень из 0,21

правила: произведение корней = корню из произведения и то же про частное. те можно спокойно записать все одной дробью:: 3,5*1,5 ———-умножить на 100 и получить: 0,21 5*7*5*3 ———-7 и 3 посокращать и затем взять корень из 25…. 7*3 <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/45720838_45ad3408f9594e6200faefe8ec722ab9_800.jpg» data-big=»1″ data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/45720838_45ad3408f9594e6200faefe8ec722ab9_120x120.jpg»>

Калькулятор. Вычислить корень из 3,5. Вычислить корень из 1,5. Вычислить корень из 0,21. Выполнить простые действия на калькуляторе (умножение и деление). Итого ответ 5.

= все под один корень и сокращай= корень 35*15*10 в -2/21*10 -2= десятки убери и 7*5*5*3/7*3= корень 25=5

нужно взять один корень из того, что в скобках (3,5*1,5 / 0,21).

Корень квадратный из 3,5= 1,87; из 1,5= 1,22; из 0,21= 0,458.

touch.otvet.mail.ru

arctg (1 / корень из 3)

Разберемся, как находить обратные функции, в частности как найти arctg 1 / корень из 3.
Далее будем использовать более математическую запись тригонометрической функции:

Как уже было сказано, функция арктангенс является противоположной к функции тангенс. То есть, если тангенс Пи/4 равен единице, то арктангенс единицы равен Пи/4.
Разберем теперь наш пример.
Будем использовать таблицу значений основных тригонометрических функций. Нам нужна функция тангенс. Обратим внимание, при каком аргументе эта функция будет равна . Из таблицы получаем, что тангенс равен при аргументе, который равен Пи/6.
Следовательно, арктангенс равен Пи/6. Но такое значение он будет иметь только на одном промежутке, от —Пи/2 до Пи/2.
Если внимательно посмотреть на другие значения тангенса, то можно обратить внимание, что тангенс равен не только в одной точке Пи/6, а еще и в точке 7Пи/6, 13Пи/6 и т.д., а также при отрицательных значениях аргумента.
Несмотря на это функция арктангенс определена лишь на промежутке от —Пи / 2 до Пи / 2, поэтому арктангенс от 1 на корень из 3 будет иметь только одно значение. При этом аргумент арктангенса может охватывать всю числовую прямую.

ru.solverbook.com

Корень квадратного уравнения Вики

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

где x{\displaystyle x} — неизвестное, a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} — коэффициенты, причём a≠0.{\displaystyle \quad a\neq 0.}

Выражение ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} называют квадратным трёхчленом^[1].

Корень — это значение переменной x{\displaystyle x}, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия^[1]:

• a{\displaystyle a} называют первым или старшим коэффициентом,
• b{\displaystyle b} называют вторым, средним или коэффициентом при x{\displaystyle x},
• c{\displaystyle c} называют свободным членом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице^[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a{\displaystyle a}:

x2+px+q=0,p=ba,q=ca.{\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.}

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Исторические сведения о квадратных уравнениях[ | код]

Древний Вавилон[ | код]

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения^[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

x2+x=34; x2−x=1412.{\displaystyle x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.}

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия[ | код]

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)^[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ax2+bx=c{\displaystyle ax^{2}+bx=c}; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме a,{\displaystyle a,} могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

I способ. Общая формула для вычисления корней[ | код]

Для нахождения корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

Выведение формулы

Формулу можно получить следующим образом:

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

ax2+bx=−c{\displaystyle ax^{2}+bx=-c}

Умножаем каждую часть на 4a{\displaystyle 4a} и прибавляем b2{\displaystyle b^{2}}:

4a2x2+4abx+b2=−4ac+b2{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}}

(2ax+b)2=−4ac+b2{\displaystyle (2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}}

2ax+b=±−4ac+b2{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}}

2ax=−b±−4ac+b2{\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}}

x1,2=−b±b2−4ac2a.{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

Примечание: очевидно, что формула для корня кратности 2 является частным случаем общей формулы, получается при подстановке в неё равенства D=0, а вывод о отсутствии вещественных корней при D<0 следует также сделать, учтя, что в этом случае -D>0, а −1=i{\displaystyle {\sqrt {-1}}=i}.

Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b[ | код]

Для уравнений вида ax2+2kx+c=0{\displaystyle ax^{2}+2kx+c=0}, то есть при чётном b{\displaystyle b}, где

k=12b,{\displaystyle k={\frac {1}{2}}b,}

вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать более простые выражения^[1].

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b=2k и совершив при этом несложные преобразования.

III способ. Решение неполных квадратных уравнений[ | код]

К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов[ | код]

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту[ | код]

Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: a+c=b{\displaystyle a+c=b}, то его корнями являются −1{\displaystyle -1} и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту (−ca{\displaystyle -{\frac {c}{a}}}).

Доказательство

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

D=b2−4ac=(a+c)2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2{\displaystyle D=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}}.

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов (a−c)2⩾0{\displaystyle (a-c)^{2}\geqslant 0}, а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если a≠c{\displaystyle a\not =c}, то уравнение имеет два корня, если же a=c{\displaystyle a=c}, то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

x1,2=−b±D2a=−(a+c)±(a−c)22a=−a−c±|a−c|2a=−a−c±a∓c2a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-(a+c)\pm {\sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={\frac {-a-c\pm |a-c|}{2a}}={\frac {-a-c\pm a\mp c}{2a}}}.

x1=−a−c−a+c2a=−2a2a=−1;{\displaystyle x_{1}={\frac {-a-c-a+c}{2a}}={\frac {-2a}{2a}}=-1;}

x2=−a−c+a−c2a=−2c2a=−ca.{\displaystyle x_{2}={\frac {-a-c+a-c}{2a}}={\frac {-2c}{2a}}=-{\frac {c}{a}}.}

В частности, если a=c{\displaystyle a=c}, то корень будет один: −1.{\displaystyle -1.}

Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы y=ax2+bx+c{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего её выражения является фигурой, симметричной относительно прямой x=−b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}. Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: −b2a+ρ(x1;−b2a)=x2{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+\rho (x_{1};-{\frac {b}{2a}})=x_{2}} (если x1<x2{\displaystyle x_{1}<x_{2}}) или −b2a−ρ(−b2a;x1)=x2{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}-\rho (-{\frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}} (если верно неравенство противоположного смысла). Используя тождество ρ(a;b)=|a−b|{\displaystyle \rho (a;b)=|a-b|}, выражающее геометрический смысл модуля, а также принимая, что x1=−1{\displaystyle x_{1}=-1} (это можно доказать, подставив равенство в квадратный трёхчлен: a⋅(−1)2+b⋅(−1)+c=(a+c)−b=0{\displaystyle a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=(a+c)-b=0}, поэтому -1 — корень такого уравнения) , приходим к следующему равенству: −b2a±|−b2a−(−1)|=x2.{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}\pm |-{\frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.} Если учитывать, что разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем — отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о равенстве b−a=c{\displaystyle b-a=c}, раскрываем модуль: x2=−b2a−b2a+1=−2b−2a2a=−b−aa=−ca{\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b}{2a}}+1=-{\frac {2b-2a}{2a}}=-{\frac {b-a}{a}}=-{\frac {c}{a}}}. Во втором случае,совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч.т.д.

Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю[ | код]

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (a+b+c=0{\displaystyle a+b+c=0}), то корнями такого уравнения являются 1{\displaystyle 1} и отношение свободного члена к старшему коэффициенту (ca{\displaystyle {\frac {c}{a}}}).

Доказательство

Способ 1. Прежде всего заметим, что из равенства a+b+c=0{\displaystyle a+b+c=0} следует, что b=−(a+c){\displaystyle b=-(a+c)} Установим количество корней:

D=b2−4ac=(−(a+c))2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2.{\displaystyle D=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}.}

При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентов (a−c)2⩾0{\displaystyle (a-c)^{2}\geqslant 0}, а значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что если a≠c{\displaystyle a\not =c}, то уравнение имеет два корня, если же a=c{\displaystyle a=c}, то только один. Найдём эти корни:

x1,2=−b±D2a=a+c±(a−c)22a=a+c±|a−c|2a=a+c±a∓c2a;{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {a+c\pm {\sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={\frac {a+c\pm |a-c|}{2a}}={\frac {a+c\pm a\mp c}{2a}};}

x1=a+c+a−c2a=2a2a=1;{\displaystyle x_{1}={\frac {a+c+a-c}{2a}}={\frac {2a}{2a}}=1;}

x2=a+c−a+c2a=2c2a=ca,{\displaystyle x_{2}={\frac {a+c-a+c}{2a}}={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}},}

что и требовалось доказать.

В частности, если a=c{\displaystyle a=c}, то уравнение имеет только один корень, которым является число 1{\displaystyle 1}.

Способ 2. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: a⋅12+b⋅1+c=0{\displaystyle a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c=0} — верное равенство, следовательно, единица — корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту — x1x2=ca⇒x2=cax1=ca⋅1=ca{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\Rightarrow x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}={\frac {c}{a\cdot 1}}={\frac {c}{a}}}, ч.т.д.

Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители[ | код]

Если трёхчлен вида ax2+bx+c(a≠0){\displaystyle ax^{2}+bx+c(a\not =0)} удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей (kx+m)(lx+n)=0{\displaystyle (kx+m)(lx+n)=0}, то можно найти корни уравнения ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} — ими будут −mk{\displaystyle -{\frac {m}{k}}} и −nl{\displaystyle -{\frac {n}{l}}}, действительно, ведь (kx+m)(lx+n)=0⟺kx+m=0∪lx+n=0{\displaystyle (kx+m)(lx+n)=0\Longleftrightarrow kx+m=0\cup lx+n=0}, а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Отметим, что квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)[ | код]

Если квадратный трёхчлен имеет вид (ax)2+2abx+b2{\displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}}, то применив к нему названную формулу, мы сможем разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

(ax)2+2abx+b2=(ax+b)2;{\displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2};}

(ax+b)2=0;{\displaystyle (ax+b)^{2}=0;}

x=−ba.{\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}.}

Выделение полного квадрата суммы (разности)[ | код]

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

1. прибавляют и отнимают одно и то же число
   x2+px+(p2)2−(p2)2+q=0;{\displaystyle x^{2}+px+({\frac {p}{2}})^{2}-({\frac {p}{2}})^{2}+q=0;}.
2. применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть
   (x2+2p2x+(p2)2)+(−(p2)2+q)=0;{\displaystyle (x^{2}+2{\frac {p}{2}}x+({\frac {p}{2}})^{2})+(-({\frac {p}{2}})^{2}+q)=0;}
   (x+p2)2=p24−q;{\displaystyle (x+{\frac {p}{2}})^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q;}
3. извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную
   x+p2=±p24−q;{\displaystyle x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}};}
   x1,2=−p2±p24−q.{\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}.}

Примечание: если вы заметили, данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a=1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета[ | код]

Прямая теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) x1,x2{\displaystyle x_{1},x_{2}}, будучи решением нижеприведённой системы уравнений, являются корнями уравнения x2+px+q=0{\displaystyle x^{2}+px+q=0}:

{x1+x2=−p;x1x2=q;{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p;\\x_{1}x_{2}=q;\end{cases}}}

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»[ | код]

Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:

1) умножаем обе части на выражение:

ax2+bx+c=0|⋅a{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0|\cdot a}

(ax)2+b(ax)+ac=0{\displaystyle (ax)^{2}+b(ax)+ac=0}

2) вводим новую переменную y=ax:

y2+by+ac{\displaystyle y^{2}+by+ac}.

Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений y1=ax1{\displaystyle y_{1}=ax_{1}} и y2=ax2{\displaystyle y_{2}=ax_{2}}.

Пример

Допустим, мы желаем решить с использованием обратной теоремы Виета уравнение 8×2+2x−1=0{\displaystyle 8x^{2}+2x-1=0}. Если мы попробуем разделить обе его части на 8, то получим приведённое уравнение с дробными коэффициентами, поэтому применить к нему теорему будет трудно. Однако, воспользовавшись методом переброски, мы сумеем получить приведённое с целыми коэффициентами:

8×2+2x−1=0|⋅8;{\displaystyle 8x^{2}+2x-1=0|\cdot 8;}

(8x)2+2(8x)−8=0;{\displaystyle (8x)^{2}+2(8x)-8=0;}.

Совершив замену переменной по формуле y=8x, придём к уравнению:

y2+2y−8=0{\displaystyle y^{2}+2y-8=0}.

Очевидно, что его корнями будут числа -4 и 2. Произведём обратную замену:

8×1=−4; 8×2=2;{\displaystyle 8x_{1}=-4;\ 8x_{2}=2;}

x1=−0,5; x2=0,25.{\displaystyle x_{1}=-0,5;\ x_{2}=0,25.}

Геометрический смысл[ | код]

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если параб

ru.wikibedia.ru

как решить квадратное уравнение в комплексных корнях?

Любой учебник по высшей математике открой.

решаешь для начала как простое квадратное уровнение….под корнем получается -36….корень из -1-это и есть i-комплексное число…тогда расписываешь…как (2-+6*i)/2….или просто 1+-3*i….помоему так

Дина, не забивай дурным голову! Займись-ка лучше чем-то приятным и ненавязчивым…

это уравнение можно преобразовать в вид (x-1)^2 = — 9<br>решаем x — 1 = 3i x — 1 = — 3i<br>корни х = 1 + 3i и х = 1 — 3i<br>в случае, если дискриминант получился отрицательным, надо извлечь квадратный корень из его модуля и умножить его на число i, дальше решать, как обычное квадратное уравнение. решение данного уравнения через дискриминант даст тот же результат.

touch.otvet.mail.ru

Как найти корни квадратного уравнения

ves-mir.3dn.ru

решение задач с помощью алгебры логики.

        Одним из мощных методов решения логических задач является решение с помощью законов алгебры логики.

Алгоритм решения логических задач с помощью алгебры логики: 1) внимательно изучить условие; 2) выделить простые высказывания и обозначить их латинскими буквами; 3) записать условие задачи на языке алгебры логики; 4) составить конечную формулу, для этого объединить логическим умножением формулы каждого утверждения, приравнять произведение единице; 5) упростить формулу, проанализировать полученный результат или составить таблицу истинности, найти по таблице значения переменных, для которых F = 1, проанализировать результаты.

Задача1 » Кто преступник»

  Определить участника преступления, исходя из двух 

посылок:

     1) «Если Иванов не участвовал или Петров участвовал, 

то Сидоров участвовал»;

     2) «Если Иванов не участвовал, то Сидоров не 

участвовал».

  
 Рассмотрим решение  этой несложной задачи двумя способами: с помощью таблиц истинности и с помощью алгебраических преобразований.

1 способ

     Составим выражения:

     I — «Иванов участвовал в преступлении»;

 P — «Петров участвовал в преступлении»;

     S — «Сидоров участвовал в преступлении»

.
    Запишем посылки в виде формул:

¬I˅P→S и ¬I→¬S

Из таблицы видно, что совершил преступление Иванов

Способ 2

Применим для решения этой же задачи преобразования с

 помощью законов алгебры логики:

( ¬I˅P→S) &( ¬I→¬S)=(¬(¬I˅P)˅S) & (I˅¬S) =

= (I & ¬P ˅S) &(I ˅¬S) =  I&¬P˅ I & S˅  I &¬P &¬S ˅0= 

= I&¬P ˅ I & S =I & (¬P˅S)

Из последнего выражения видно, что выражение верно, если I=1, значит преступник — Иванов.

Задача 2 «Прогноз погоды»

     На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил: 1.              Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя. 2.              Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра. 3.              Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра. Так какая же погода будет завтра? 

Решим эту задачу средствами алгебры логики.

  1.         Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:

       A – «Ветра нет»

       B – «Пасмурно»

   С – «Дождь»    2.          Запишем логические функции (сложные высказывания) через введенные переменные:

     Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя: 

     A → B & C 
     Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра:
     С → B & A 
     Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра
     B → C & 

     в) Запишем произведение указанных функций:
    F=(A→ B & C) & (C→B & A) & (B→ C & A) 
    Упростим формулу (используются законы де Моргана, переместительный закон, закон противоречия):

F=(A→ B & ¬C) & (C→B & A) & (B→ C & A)

 = (¬A v B & ¬C) & (¬C v B&A) & (¬B v C&A) =

= (¬A v B & ¬C) & (¬B v C&A) & (¬C v B&A) =

= (¬A &¬ B v B&¬C&¬B v ¬A&C&A v B&¬C&C&A) &
 (C v B&A)=

= ¬A & ¬B &(C v B&¬A) =A&¬B&C v¬ A&¬B&B&¬A = 3.         Приравняем результат  единице, т.е. наше выражение должно быть истинным:F = ¬A &¬ B & ¬C = 1 и проанализируем результат: Логическое произведение равно 1, если каждый множитель равен 1. ¬A = 1; ¬B = 1; ¬C = 1.значит: A = 0; B = 0; C = 0;

Ответ: погода будет ясная, без дождя, но ветреная.

 Задача 3 «История с амфорой».
Алеша, Боря и Гриша нашли в земле сосуд. Рассматри­вая удивительную находку, каждый высказал по два предположения.

Алеша: «Это сосуд греческий и изготовлен в V веке». Боря: «Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке». Гриша: «Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке». Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

Введем следующие обозначения:

«Это сосуд греческий» — G; 
«Это сосуд финикийский» — F; 
«Сосуд изготовлен в III веке» — V₃;
«Сосуд изготовлен в IV веке» — V₄;
«Сосуд изготовлен в V веке» — V₅. Формализуем задачу, записав в данных обозначениях условия задачи. Со слов учителя следует, что Алеша прав только в чем-то одном: или G = 1, или V₅ = 1. Таким образом, тождественно истинным будет высказывание: G¬V₅ v ¬GV₅.=1 Аналогично, из слов Бори и учителя следует: F¬V₃ v ¬FV₃ = 1, а из слов Гриши и учителя: ¬G¬V₄ v GV₄ = 1. Кроме того, ясно, что сосуд может быть изготовлен только в одном из веков и только в одной из стран. Эти условия можно записать так: V3¬V4¬V₅  ˅ ¬V3V4¬V5  ˅ ¬V3¬V4V5 = 1, Итак, мы получили пять тождественно истинных высказываний. Их нужно логически перемножить. Резуль­тат должен быть также тождественно истинным высказыванием: 1 = (G¬V₅ v ¬GV₅) & (F¬V₃ v ¬FV₃) & (¬G¬V₄ v GV₄) & (F¬G v ¬FG) & (V3¬V4¬V₅  ˅ ¬V3V4¬V5  ˅ ¬V3¬V4V5) =  (упростим: сначала перемножим первую и третью скобки и вторую и четвертую скобки) =(G¬V₅¬G¬V₄˅¬GV₅¬G¬V₄  ˅ G¬V₅GV₄  ˅ ¬GV₅ GV₄)&( F¬V₃ F¬G˅¬FV₃ F¬G˅ F¬V₃ ¬FG  ˅ ¬FV₃¬FG) & (V3¬V4¬V₅  ˅ ¬V3V4¬V5  ˅ ¬V3¬V4V5) = учитывая, что, G¬G = 0, GG = G,¬ G¬G =¬ G, упростим выражения в первой и второй скобках: =(¬GV₅¬V₄  ˅ ¬V₅GV₄ ) &( ¬FV₃G ˅¬V₃ F¬G)& (V3¬V4¬V₅  ˅ ¬V3V4¬V5  ˅ ¬V3¬V4V5) = (перемножим первую и вторую скобки и упростим полученное выражение) (¬GV₅¬V₄  ¬FV₃G˅¬V₅GV₄¬FV₃G˅¬GV₅¬V₄  ¬V₃ F¬G ˅ ¬V₅GV₄¬V₃ F¬G) & (V3¬V4¬V₅  ˅ ¬V3V4¬V5  ˅ (¬V3¬V4V5)= (¬V₅V₄¬FV₃G˅¬GV₅¬V₄  ¬V₃ F) & (V3¬V4¬V₅  ˅ ¬V3V4¬V5  ˅ ¬V3¬V4V5)= ¬GV₅¬V₄  ¬V₃ F ¬GV₅¬V₄  ¬V₃ F=1, если ¬G=1, V₅=1, ¬V₄ =1_, ¬V₃=1, F=1 Итак, сосуд финикийский и изготовлен в V веке.

Задача 4  «Поход в кино».
Андрей, Аня и Маша решили пойти в кино. Каждый из них высказал свои пожелания по поводу выбора фильма. Андрей сказал: «Я хочу посмотреть французский боевик». Маша сказала: «Я не хочу смотреть французскую комедию». Аня сказала: «Я хочу посмотреть американскую мелодраму». Каждый из них слукавил в одном из двух пожеланий. На какой фильм пошли ребята? 1.         Выделим простые высказывания и запишем их через переменные: А — «Французский фильм» С — «Комедия» 2. Запишем логические функции (сложные высказывания). Учтем условие о том, что каждый из ребят оказался прав в одном предположении: а) «Французский боевик» ¬A&B˅A&¬B б) «Американскую мелодраму» ¬¬A&¬B˅¬ А &¬¬В

в) «Нефранцузская комедия» ¬¬A&C˅¬A&¬C

3. Запишем произведение :
  (¬A&B˅A&¬B) & (¬¬A&¬B˅¬ А&¬¬В)&( ¬¬A&C˅¬A&¬C)=1. Упростим формулу: (¬A&B˅A&¬B) & (¬¬A&¬B˅¬ А&¬¬В)&( ¬¬A&C˅¬A&¬C)= (¬A&B˅A&¬B) & (A&¬B˅¬ А&В)&( A&C˅¬A&¬C)= =(¬A&B& A&¬B˅ A&¬B& A&¬B˅¬A&B &¬А&В˅ A&¬B&¬A&B)&( A&C˅¬A&¬C)= =(A&¬B ˅¬A&B)&( A&C˅¬A&¬C)= A&¬B& A&C˅¬A&B& A&C˅ A&¬B&¬A&¬C˅¬A&B&¬A&¬C= = ¬A&B&¬C˅ A&¬B&C =1 6. Составим таблицу истинности для выражения:
 ¬A&B&¬C˅ A&¬B&C: 7. Найдем по таблице значения переменных, для которых F=1. 8. Проанализируем результат:  Результат Б) не является решением, т.к. в ответе Маши оба утверждения оказываются неверными, что проти­воречит условию задачи.  Результат А) полностью удовлетворяет усло­вию задачи и поэтому является верным решением.

Ответ: ребята выбрали американский боевик.
А

Решите самостоятельно задачи уровня 3

inf61.blogspot.com

Применение инструмента алгебры логики при решении логических задач

История с амфорой

Антон, Борис и Григорий нашли в земле сосуд, о котором каждый высказал по два предположения:

• Антон: «Сосуд греческий и изготовлен в V столетии»;

• Борис: «Сосуд финикийский и изготовлен в III столетии»;

• Григорий: «Сосуд не греческий и изготовлен в IV столетии».

Специалист сказал ученикам, что каждый из них не ошибся только в одном из двух предположений. Определить место и столетие изготовления сосуда.

Решение:

Введем следующие обозначения:

$G$ — «Сосуд греческий»;

$F$ — «Сосуд финикийский»;

$S_3$ — «Сосуд изготовлен в $III$ столетии»;

$S_4$ — «Сосуд изготовлен в $IV$ столетии»;

$S_5$ — «Сосуд изготовлен в $V$ столетии».

Запишем условие задачи с помощью обозначений:

Антон прав только в одном предположении: $G = 1$ или $S_5 = 1$. Тогда $G\overline{S_5}\vee \overline{G}S_5=1$.

Аналогично для слов Бориса: $F\overline{S_3}\vee \overline{F}S_3=1$.

Для слов Григория: $\overline{G}\overline{S_4}\vee GS_4=1$.

Т.к. сосуд может быть изготовлен только в одном из столетий и только в одной из стран, запишем условия:

\[S_3\overline{S_4}\overline{S_5}\vee \overline{S_3}S_4\overline{S_5}\vee \overline{S_3}\overline{S_4}S_5=1,\] \[F\overline{G}\vee \overline{F}G=1.\]

Применим операцию логического умножения к полученным тождественно истинным высказываниям, результат которого также должен быть тождественно истинным:

\[\left(G\overline{S_5}\vee \overline{G}S_5\right)\wedge \left(F\overline{S_3}\vee \overline{F}S_3\right)\wedge \left(\overline{G}\overline{S_4}\vee GS_4\right)\wedge \left(F\overline{G}\vee \overline{F}G\right)\wedge \] \[\wedge \left(S_3\overline{S_4}\overline{S_5}\vee \overline{S_3}S_4\overline{S_5}\vee \overline{S_3}\overline{S_4}S_5\right)=\]

Перемножим первую на третью скобку и вторую на четвертую:

\[=\left(G\overline{S_5}\overline{G}\overline{S_4}\vee \overline{G}S_5\overline{G}\overline{S_4}\vee G\overline{S_5}GS_4\vee \overline{G}S_5GS_4\right)\wedge \] \[\wedge \left(F\overline{S_3}F\overline{G}\vee \overline{F}S_3F\overline{G}\vee F\overline{S_3}\overline{F}G\vee \overline{F}S_3\overline{F}G\right)\wedge \left(S_3\overline{S_4}\overline{S_5}\vee \overline{S_3}S_4\overline{S_5}\vee \overline{S_3}\overline{S_4}S_5\right)=\]

Т.к. $G\overline{G}=0$, $GG=G$, $\overline{G}\overline{G}=\overline{G}$, упростим выражения:

\[=\left(\overline{G}S_5\overline{S_4}\vee G\overline{S_5}S_4\right)\wedge \left(F\overline{S_3}\overline{G}\vee \overline{F}S_3G\right)\wedge \left(S_3\overline{S_4}\overline{S_5}\vee \overline{S_3}S_4\overline{S_5}\vee \overline{S_3}\overline{S_4}S_5\right)=\]

Перемножим первые две скобки и упростим выражение:

\[=\left(\overline{G}S_5\overline{S_4}\overline{F}S_3G\vee G\overline{S_5}S_4\overline{F}S_3G\vee \overline{G}S_5\overline{S_4}F\overline{S_3}\overline{G}\vee G\overline{S_5}S_4F\overline{S_3}\overline{G}\right)\wedge \] \[\wedge \left(S_3\overline{S_4}\overline{S_5}\vee \overline{S_3}S_4\overline{S_5}\vee \overline{S_3}\overline{S_4}S_5\right)=\] \[=\left(G\overline{S_5}S_4\overline{F}S_3\vee \overline{G}S_5\overline{S_4}F\overline{S_3}\right)\wedge \left(S_3\overline{S_4}\overline{S_5}\vee \overline{S_3}S_4\overline{S_5}\vee \overline{S_3}\overline{S_4}S_5\right)=\] \[=\left(G\overline{S_5}S_4\overline{F}S_3\vee \overline{G}S_5\overline{S_4}F\overline{S_3}\right)\wedge \left(S_3\overline{S_4}\overline{S_5}\vee \overline{S_3}S_4\overline{S_5}\vee \overline{S_3}\overline{S_4}S_5\right)=\overline{G}S_5\overline{S_4}F\overline{S_3};\]

$\overline{G}S_5\overline{S_4}F\overline{S_3}=1$, что возможно только в случае:

\[\overline{G}=1, S_5=1, \overline{S_4}=1, F=1, \overline{S_3}=1.\]

Ответ: сосуд финикийский и изготовлен в $V$ столетии.

spravochnick.ru

Решение логических задач средствами алгебры логики

Обычно используется следующая схема решения:

• изучается условие задачи;
• вводится система обозначений для логических высказываний;
• конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
• определяются значения истинности этой логической формулы;
• из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

Задача.
Три свидетеля дорожного происшествия сообщили сведения о скрывшемся нарушителе. Боб утверждает, что тот был на красном «Рено», Джон сказал, что нарушитель уехал на синей «Тойоте», а Сэм показал, что машина была точно не красная, и по всей видимости, это был «Форд».
Когда удалось отыскать машину, выяснилось, что каждый из свидетелей точно определил только один из параметров автомобиля. А в другом ошибся, какая и какого цвета была машина у нарушителя?
Ответ записать в виде двух слов, разделенных пробелом: МАРКА, ЦВЕТ.
Решение.
Обозначим высказывания:

A = «машина красного цвета»;
B = «машина была «Рено»;
C = «машина синего цвета»;
D = «машина была «Тойота»;
E = «машина была «Форд».

Согласно условию:

из показаний Боба следует, что A \/ B истинно;
из показаний Джона следует, что C \/ D истинно;
из показаний Сэма следует, что ¬A \/ E истинно.

Следовательно, истинна конъюнкция (A \/ B) /\ (C \/ D) /\ (¬A \/ E) = 1
Раскрывая скобки, получаем:
(A \/ B) /\ (C \/ D) /\ (¬A \/ E) = (A /\ C \/ A /\ D \/ B /\ C \/ B /\ D) /\ ( ¬A \/ E) =
A /\ C /\ ¬A \/ A /\ D /\ ¬A \/ B /\ C /\ ¬A \/ B /\ D /\ ¬A \/ A /\ C /\ E \/ A /\ D /\ E \/ B /\ C /\ E \/ B /\ D /\ E = 1.
Из полученных восьми слагаемых семь (согласно условию) являются ложными. Остается единственное истинное слагаемое:
B /\ C /\ ¬A = 1.
Значит, нарушитель скрылся на автомобиле «Рено» синего цвета.
Ответ: РЕНО, СИНИЙ.

Пример.

Трое друзей, болельщиков автогонок «Формула-1», спорили о результатах предстоящего этапа гонок.
— Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл.
— Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.
Питер, к которому обратился Ник, возмутился:
— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.
По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

Решение.

Введем обозначения для логических высказываний:
Ш — победит Шумахер;
Х — победит Хилл;
А — победит Алези.
Реплика Ника «Алези пилотирует самую мощную машину» не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.
Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание

Высказывание истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.

Ответ.

Победителем этапа гонок стал Шумахер.

Задача для самопроверки:
На перемене в кабинете биологии 8 ребят баловались и разбили дорогой микроскоп. Их всех вызвали к директору и выслушали:
Ира: Это Антон разбил.
Наташа: Нет, Антон не бил!
Сергей: А я тоже знаю, что это Наташа разбила!
Антон: Нет, ни Наташа, ни Сергей этого не делали!
Оля: А я видела, что разбил Сергей!
Максим: Это кто-то чужой!
Костя: Это либо Наташа, либо Сергей – больше некому!
Кто разбил микроскоп, если известно, что из этих восьми высказываний истинны только два?
Ответ записать в виде первой буквы имени.
 

logikinformatik.blogspot.com

Презентация и конспект урока на тему «Решение задач по информатике с использованием элементов алгебры логики»

План- конспект урока

на тему: решение задач по информатике с использованием элементов алгебры логики

Цели урока:

Формирование умения применять полученные знания на практике;

Развитие умения построения таблиц истинности по заданным формулам;

Развитие умения решать текстовые задачи с использованием законов логики.

Задачи урока:

Воспитательная – развитие познавательного интереса, логического мышления.

Образовательная – повторение основ математической логики, выполнение практических заданий.

Развивающая – развитие логического мышления, внимательности.

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин)

2. Актуализация знаний. Повторение логических операций и законов. (5 мин)

3. Решение задач. Применение логических операций и законов на практике + задача модуль ЭОР(15 мин)

4. Практическая работа (модуль 31 ЭОР «Решение логических задач») (12 мин)

5. Физкультминутка (2 мин)

6. Работа с тренажером Логика (5 мин)

7. Итоги урока (2 мин)

8. Домашнее задание (1 мин)

9. Выставление оценок (1 мин)

1. Организационный момент

Сегодня мы с вами завершаем тему “Основы логики” и применим основные логические операции, законы преобразования для решения задач по информатике.

Урок идет параллельно с презентацией. <Приложение1>

2. Актуализация знаний. Повторение логических операций и законов.

Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Вопросы:

1. Основоположник формальной логики? (Аристотель.)

2. Основоположник алгебры логики? (Джордж Буль. (сообщение))

3. Перечислите логические операции:

¬ отрицание (инверсия)

&, /\ конъюнкция (“И”)

V дизъюнкция (“ИЛИ”)

логическое следование (импликация)

4. В чем смысл закона двойного отрицания?

Двойное отрицание исключает отрицание.

5. Законы де Моргана (законы общей инверсии).

Отрицание дизъюнкции является конъюнкцией отрицаний:

¬(A V B) = ¬A /\ ¬B

Отрицание конъюнкции является дизъюнкцией отрицаний:

¬(A /\B) = ¬A V ¬B

6. Как выразить импликацию через дизъюнкцию?

А В = ¬A V В

3. Решение задач. Применение логических операций и законов на практике

Пример 1.

Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Первая буква имени гласная -> Четвертая буква имени согласная)?

1) ЕЛЕНА

2) ВАДИМ

3) АНТОН

4) ФЕДОР

Решение. Сложное высказывание состоит из двух простых высказываний:

А – первая буква имени гласная,

В – четвертая буква имени согласная.

¬ (А В) = ¬ (¬A V В) = (¬ (¬А) /\ ¬B) = A /\ ¬B

Применяемые формулы:

1. Импликация через дизъюнкцию А В = ¬A V В

2. Закон де Моргана ¬(A V B) = ¬A /\ ¬B

3. Закон двойного отрицания.

(Первая буква имени гласная /\ Четвертая буква имени гласная)

Ответ: 3

Пример 2.

Какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (А \/ ¬B)?

1) A \/ B

2) A /\ B

3) ¬A \/ ¬B

4) ¬A /\ B

Решение. ¬ (А \/ ¬B)= ¬ А /\ ¬ (¬B)= ¬ А /\ B

Ответ: 4

Пример 3.

Составить таблицу истинности для формулы

¬ (B /\ C) V (A/\C B)

Порядок выполнения логических операций:

¬ (B /\ C) V (A/\C B)

2 1 5 3 4

Составить таблицу истинности.

Сколько строк будет в вашей таблице? 3 переменных: А, В, С; 2³=8

Сколько столбцов? 5 операций + 3 переменных = 8

Решение:

A

B

C

(B /\ C)

¬ (B /\ C)

A/\C

(A/\C B)

¬ (B /\ C) V (A/\C B)

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

Какие ответы получились в последнем столбце?

Ответ: 1

Логическое выражение называется тождественно-истинным, если оно принимает значения 1 на всех наборах входящих в него простых высказываний. Тождественно-истинные формулы называют тавтологиями.

Пример 4.

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдёт поисковый сервер по каждому запросу.

Для обозначения логической операции “ИЛИ” в запросе используется символ I, а для логической операции “И” – символ &.

А

Законы & Физика

Б

Законы I (Физика & Биология)

В

Законы & Физика & Биология & Химия

Г

Законы I Физика I Биология

Решение:

Первый способ основан на рассуждении. Рассуждая логически, мы видим, что больше всего будет найдено страниц по запросу Г, так как при его исполнении будут найдены и страницы со словом “законы”, и страницы, со словом “физика”, и страницы со словом “биология”. Меньше всего будет найдено страниц по запросу В, так как в нем присутствие всех четырех слов на искомой странице. Осталось сравнить запросы А и Б. По запросу Б будут найдены все страницы, соответствующие запросу А, (так как в последних обязательно присутствует слово “законы”), а также страницы, содержащие одновременно слова “физика” и “биология”. Следовательно по запросу Б будет найдено больше страниц, чем по запросу А. Итак, упорядочив запросы по возрастанию страниц, получаем ВАБГ.

Ответ: ВАБГ.

Второй способ предполагает использование графического представления операций над множествами. (Смотри презентацию)

Пример 5.

4. Практическая работа (модуль 31 ЭОР «Решение логических задач»)

Загрузить модуль ЭОР- задание 31

5. Физкультминутка

6. Работа с тренажером Логика

7. Итоги урока

Для чего мы изучаем логику?

8. Домашнее задание (задачи)

Задание 1.

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.

Для обозначения логической операции “ИЛИ” в запросе используется символ |, а для логической операции “И” – &.

А

волейбол | баскетбол | подача

Б

волейбол | баскетбол | подача | блок

В

волейбол | баскетбол

Г

волейбол & баскетбол & подача

Задание 2

Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров:

A) Макс победит, Билл – второй;

B) Билл – третий. Ник – первый;

C) Макс – последний, а первый – Джон.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.

Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс?

(В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен.)

9. Выставление оценок

infourok.ru

Алгебра логики. Решение упражнений — информатика, уроки

Вариант 1

1. Выбрать пример, не являющийся высказыванием:

А) «Приезжайте в Белгород»

Б) «Белгород – областной центр»

В) «Экономика Белгорода развивается»

Г) «Некоторые области больше Белгородской»

2. Высказывание «Все растения съедобны»:

А) простое и истинное

Б) сложное и истинное

В) простое и ложное

Г) сложное и ложное

3. Отрицанием высказывания «Для каждого из нас учить второй иностранный язык легче, чем первый» является высказывание:

А) «Не для каждого из нас учить второй иностранный язык легче, чем первый»

Б) «Для каждого из нас не учить второй иностранный язык легче, чем первый»

В) «Неверно, что для каждого из нас учить второй иностранный язык легче, чем первый»

Г) «Неверно, что для каждого из нас учить второй иностранный язык не легче, чем первый»

4. Формулой логического высказывания «Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на дискотеку» является:

А) (АΛ)→()

Б)

В)

Г)

5. С = «Меркурий – спутник Марса». Установить истинность высказывания .

А) 1

Б) 0

В) не определено, т.к. недостаточно данных

Г) предложение С высказыванием не является

6. А = «Сегодня воскресенье», В = «Воробей – перелетная птица». Предложение

А) истинно

Б) ложно

В) не определено, т.к. недостаточно данных

Г) высказыванием не является

7. А = «Сегодня воскресенье», В = «Воробей – перелетная птица». Предложение

А) истинно

Б) ложно

В) не определено, т.к. недостаточно данных

Г) высказыванием не является

Вариант 2

1. Выбрать пример, не являющийся высказыванием:

А) «Герб является важнейшим государственным символом»

Б) «В Белгород приезжать приятно»

В) «Где ты живешь?»

Г) «Все птицы зимой улетают на юг»

2. Высказывание «Прозвенел звонок и закончился урок»:

А) простое и истинное

Б) сложное и истинное

В) простое и ложное

Г) сложное и ложное

3. Отрицанием высказывания «Некоторые школьники предпочитают изучать испанский язык» является высказывание:

А) «Некоторые школьники не предпочитают изучать испанский язык»

Б) «Некоторые школьники предпочитают изучать не испанский язык»

В) «Неверно, что некоторые школьники предпочитают изучать испанский язык»

Г) «Неверно, что школьники предпочитают не изучать испанский язык»

4. Формулой логического высказывания «Если не будет дождя и будет светить солнце, то мы не останемся дома, а пойдем за грибами» является:

А) ()→()

Б)

В)

Г)

5. С = «Луна – спутник Земли». Установить истинность высказывания .

А) 1

Б) 0

В) не определено, т.к. недостаточно данных

Г) предложение С высказыванием не является

6. А = «Идет урок информатики», В = «Все грибы съедобны». Предложение

А) истинно

Б) ложно

В) не определено, т.к. недостаточно данных

Г) высказыванием не является

7. А = «Идет урок информатики», В = «Все грибы съедобны». Предложение

А) истинно

Б) ложно

В) не определено, т.к. недостаточно данных

Г) высказыванием не является

kopilkaurokov.ru

ОГЭ — вопрос 02 (Алгебра логики) — 9 класс — Каталог статей

Темы для которых создаются проверочные задания №2 основного государственного экзамена (ОГЭ) по информатике
Обработка информации: логические значения, операции, выражения

ОГЭ — 2 (А) Часть 1, базовый уровень, задание подразумевает выбор и запись ответа в виде одной цифры, время выполнения – 3 мин, максимальный балл за выполнение задания — 1. Требования к уровню подготовки, освоение которых проверяется в ходе экзамена при ответе на данное задание: выполнять базовые операции над объектами: цепочками символов, числами, списками, деревьями; проверять свойства этих объектов; выполнять и строить простые алгоритмы;

Что нужно знать

Теоретическая справка

Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

Высказывания делятся на три типа: общие, частные или единичные. Общее высказывание начинается со слов: все, всякий, каждый, ни один. Частное высказывание начинается со слов: некоторые, большинство и т.п. во всех других случаях высказывание является единичным.

Логическое высказывание – это повествовательное предложение, про которое однозначно можно сказать: истинно (1) оно или ложно (0).

Составные (сложные) высказывания строятся из простых с помощью базовых логических связок (операций) «и», «или», «не».

Операция И (логическое умножение, конъюнкция) А ^ В	Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция) А v В	Операция НЕ (инверсия, отрицание)  ¬А	Импликация (следование («если …, то …»)) A → B = ¬А v В	Эквивалентность (тождество, равносильность («тогда и только тогда, …»)) A = B = А ^В v ¬А ^ ¬В
Высказывание «A и B» истинно тогда и только тогда, когда А и B одновременно истинны.	Высказывание «A и B» истинно тогда и только тогда, когда А и B одновременно истинны.	Если высказывание A истинно, то «не А» ложно, и наоборот.	Высказывание «A → B» истинно, если не исключено, что из А следует B	Высказывание «A = B» истинно тогда и только тогда, когда А и B равны
А В  А и В 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1	А В  А или В 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1		А В  А → В 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1	А В  А = В 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Приоритет выполнения операций:

1. Выражение в скобках
2. Инверсия
3. Конъюнкция
4. Дизъюнкция
5. Импликация
6. Эквивалентность

Ссылки на ресурсы Интернета:

Для дополнительного изучения темы можно воспользоваться материалом Шабалдиной Натальи Владимировны: основы логики.pptx 

Пример задания

Для какого из названий животных ложно высказывание:
В слове 4 гласных буквы и не (пятая буква гласная) или в слове 5 согласных букв?
 1) Шиншилла   2) Кенгуру   3) Антилопа   4) Крокодил

Решение:

Введем обозначения:
   А = «В слове 4 гласных буквы»;
   В = «пятая буква гласная»;
   С = «в слове 5 согласных букв».
Составим логическое выражение: А и не В или С.
Определим порядок действий и заполним таблицу:

	А	В	С	не В	А и (не В)	(А и (не В)) или С
Шиншилла	0	1	1	0	0	1
Кенгуру	0	1	0	0	0	0
Антилопа	1	0	0	1	1	1
Крокодил	0	1	1	0	0	1

Из таблицы истинности видно, что высказывание ложно только для слова «Кенгуру».
Ответ: 2

Задачи для тренировки

1. Для какого из указанных значений числа X ложно выражение
   (X > 2) ИЛИ НЕ (X > 1)?

2. Для какого числа X истинно высказывание (X > 2)v(X > 5)→(X < 3)

1) 5             2) 2                 3) 3                  4) 4

3. Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
   (X > 2) И НЕ (X > 3)?

1)   1

2)   2

3)   3

4)   4

4. Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
   (X < 3) И ((X < 2) ИЛИ (Х > 2))?

1)   1

2)   2

3)   3

4)   4

5. Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
   (X < 4) И (X > 1) И (Х ≠ 2)?

1)   1

2)   2

3)   3

4)   4

6. Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
   (X > 4) ИЛИ (X < 7) И (Х < 6)?

1)   1

2)   2

3)   3

4)   4

7. Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
   (X > 1) И (X > 2) И (Х ≠ 3)?

1)   1

2)   2

3)   3

4)   4

8. Для какого из приведенных чисел истинно высказывание:

НЕ(Первая цифра четная) И НЕ(Вторая цифра нечетная)?

1) 4562

2) 6843

3) 3561

4) 1234

9) Для какого из приведенных слов истинно логическое выражение

НЕ(первая буква гласная) И НЕ (третья буква согласная)?

1) модем

2) адрес

3) связь

4) канал

10. Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Первая буква имени гласная  → Четвертая буква имени согласная)?

1) ЕЛЕНА    2) ВАДИМ      3) АНТОН        4) ФЕДОР

11. Для какого символьного выражения неверно высказывание:

Первая буква гласная → ¬ (Третья буква согласная)?

1) abedc      2) becde           3) babas     4) abcab

12. Для какого символьного набора истинно высказывание:

Вторая буква согласная ^ (В слове 3 гласных буквы v Первая буква согласная)?

1) УББОШТ                        2) ТУИОШШ           3) ШУБВОИ                  4) ИТТРАО

13. Для какого имени ложно высказывание:

(Первая буква гласная  ^  Последняя буква согласная)  →   ¬(Третья буква согласная)?

1) ДМИТРИЙ                     2) АНТОН               3) ЕКАТЕРИНА       4) АНАТОЛИЙ

14. Для какого имени истинно высказывание:

Первая буква гласная ^ Четвертая буква согласная v В слове четыре буквы?

1) Сергей                          2) Вадим               3) Антон                4) Илья

15. Для какого имени истинно высказывание:

(Первая буква согласная → Вторая буква гласная) ^ Последняя буква согласная?

1) АЛИСА                           2) МАКСИМ          3) СТЕПАН             4) ЕЛЕНА

16. Для какого имени истинно высказывание:

(Вторая буква гласная → Первая буква гласная) ^ Последняя буква согласная?

1) АЛИСА                           2) МАКСИМ          3) СТЕПАН             4) ЕЛЕНА

17. Для какого названия реки ложно высказывание:

(Вторая буква гласная → Предпоследняя буква согласная) ^ Первая буква стоит в алфавите раньше третьей?

1) ДУНАЙ                           2) МОСКВА           3) ДВИНА               4) ВОЛГА

18) Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение (X<3) & ((X<2) V (X>2))?

19) Для какого из указанных значений X истинно высказывание ((X<5) & ((X>5)) → (X>15))?

20) Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение (X>1) & (X>2) & (X≠3)?

21) Для какого числа истинно высказывание ((X > 3)v(X < 3)) →(X < 1)

1) 1             2) 2                 3) 3                  4) 4

22) Для какого числа истинно высказывание (X > 1) ^ ((X < 5)→(X < 3))

1) 1             2) 2                 3) 3                  4) 4

 

Литература:

1. кодификатор элементов содержания и требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по ИНФОРМАТИКЕ, 2015 — 2019 г.одов;
2. спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2015 — 2019 году основного государственного экзамена по ИНФОРМАТИКЕ и ИКТ;
3. открытый банк заданий по информатике и ИКТ: http://oge.fipi.ru/os/xmodules/qprint/index.php?proj=74676951F093A0754D74F2D6E7955F06.

latnatbron.ucoz.net

Урок по информатике «Основы логики»

Разделы: Информатика

---

Цели:

1. Введение в предмет “Алгебра логики”.
2. Сформировать у учащихся понятия: формы мышления, алгебра высказываний, логическое высказывание, логические величины, логические операции.
3. Способствовать формированию логического мышления, интереса к разделу информатики - алгебре логики.
4. Закрепить полученные ЗУН.

Формы организации урока: объяснительно-иллюстративный, диалогический.

Ход урока.

I. Изложение нового материала.

1. Этапы развития логики.

Логика очень древняя наука.

1-й этап связан с работами ученого и философа Аристотеля (384-322 г.г. до н.э.). Он пытался найти ответ на вопрос “Как мы рассуждаем”, изучал правила мышления. Аристотель впервые дал систематическое изложение логики. Он подверг анализу человеческое мышление, его формы – понятие, суждение, умозаключение. Так возникла формальная логика.

2-й этап – появление математической, или символической, логики. Основы ее заложил немецкий ученый и философ Г.В. Лейбниц (1646-1716). Он сделал попытку построить первые логические исчисления, считал, что можно заменит простые рассуждения действиями со знаками, и привел соответствующие правила. Но он выдвинул только идею, а развил её окончательно англичанин Д. Буль (1815-1864). Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику.

2. Формы мышления.

Опр.1 Логика – эта наука, изучающая законы и формы мышления; учение о способах рассуждений и доказательств.

Основными формами мышления являются понятие, суждение, умозаключение.

Опр.2 Понятие – это форма мышления, выделяющая существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющих отличить их от других.

Например: компьютер, трапеция, портфель, ураганный ветер.

Упражнение 1 (устно). Приведите свои примеры.

Понятие имеет две стороны: содержание и объем.

Содержание понятия – совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии. Например, содержание понятия персональный компьютер-это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя.

Объем понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятий.

Например:

1. Объем понятия город – это множество, состоящее из городов, носящих имя Москва, Одесса, Казань, Уфа, Нижнекамск и др.
2. Объем понятия персональный компьютер – совокупность существующих в мире персональных компьютеров.

Упражнение 2 (устно)

1. Перечислите существенные признаки, составляющие содержание понятий: добродетель, истинна, ложь.
2. Определите объем понятий: столица России, столица, река.

Опр.3 Суждение (высказывание, утверждение) – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, и может быть либо простым, либо составным (сложным).

Например:

1. Истинное и простое высказывание: Буква “т” - согласная.
2. Ложное и сложное высказывание: Осень наступила, и грачи прилетели.

Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями, так как в них ни чего не утверждается и не отрицается.

Например:

1. Уходя, гасите свет!
2. Кто хочет быть счастливым?

Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков. Например: 5>3, H₂O+SO₂=H₂SO₄.

Упражнение 3 (устно). Объясните, почему следующие высказывания не являются высказываниями:

1. Какого цвета твой велосипед?
2. Число Х больше пяти?
3. 5Х-2
4. Посмотрите в окно.
5. Пейте томатный сок!
6. Вы были в музее?
7. Разность чисел 12 и Х равна 6.

Упражнение 4 (устно). Какие из следующих высказываний являются истинными, а какие ложными?

1. Город Москва – столица России.
2. Число 12 – простое.
3. 7*3=1.
4. 12<15.
5. Сканер – устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера.
6. Клавиатура – устройство ввода информации.

Упражнение 5 (устно). Приведите свои примеры истинных и ложных высказываний.

Опр.4 Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение.

Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.

Например:

1. Все металлы – простые вещества. Литий – металл. Литий – простое вещество.

2. Все школьники – отличники. Вовочка – школьник. Вовочка – отличник.

Упражнение 6.

1. Дано высказывание “Все углы равнобедренного треугольника равны”. Путем умозаключений получить высказывание “Этот треугольник равносторонний”.
2. Оцените правильность следующего рассуждения: сидящий встал; кто встал, тот стоит; значит, сидящий стоит.

3. Алгебра высказываний.

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составного высказывания, не вникая в их содержание.

Опр.5 Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно или ложно.

В алгебре высказываний простым высказываниям ставятся в соответствии логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.

Например:

А= “Листва на деревьях опадает осенью”.
В= “Земля прямоугольная”.

Высказывания, как говорилось уже ранее, могут быть истинными или ложными. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному – значение 0 .

Например:

А=1
В=0

Опр.6 В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: “истинна” (1) и “ложь” (0).

В алгебре высказываний над высказываниями можно производить логические операции, в результате которых получаются новые, составные (сложные) высказывания.

Опр.7 Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Рассмотрим три базовых логических операций – инверсию, конъюнкцию, дизъюнкцию и дополнительные – импликацию и эквивалентность.

Логическая операция	Название	Соответствует союзу	Обозначение знаками	Таблица истинности	Логическая операция
Инверсия (от лат. inversion – переворачиваю)	отрицание	не А		А 1 0 0 1	Опр. 8 Инверсия логической переменной истина, если переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.
Конъюнкция (от лат. conjunction – связываю)	Логическое умножение	А и В		А В 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0	Опр.9Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания, истинны.
Дизъюнкция (от лат. disjunction – различаю)	Логическое сложение	А или В		А В 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0	Опр. 10 Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Импликация (от лат. implication – тесно связывать)	Логическое следование	Если А, то В; Когда А, тогда В	А–условие В-следствие	А В 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1	Опр. 11 Импликация двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда из истинного основания следует ложное следствие.
Эквивалентность (от лат. equivalents — равноценность)	Логическое равенство	А тогда и только тогда, когда В		А В 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1	Опр. 12 Эквивалентность двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны

Упражнение 7. Даны два простых высказывания:

А= “Щука – рыба”;
В=“Ворона – певчая птица”.

Составьте из них все возможные составные (сложные) высказывания и определите их истинность.

При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:

1. инверсия,
2. конъюнкция,
3. дизъюнкция,
4. импликация и эквивалентность.

Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.

Например: дана формула

Порядок вычисления:

— инверсия
— конъюнкция
— дизъюнкция
— импликация
- эквивалентность.

Упражнение 8.

Дана формула . Определите порядок вычисления.

II. Закрепление изученного материала.

1. Среди следующих высказываний укажите составные, выделите в них простые, обозначьте их каждое из них буквой. Запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание.

1. Число 456 трехзначное и четное.
2. Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
3. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
4. Луна – спутник Земли.
5. На уроке химии ученики выполняли лабораторную работу, и результаты исследований записывали в тетрадь.
6. Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10.
7. Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя.
8. Если у меня будет свободное время и не будет дождя, тоя не буду писать сочинения, а пойду на дискотеку.
9. Без Вас хочу сказать Вам много
   При Вас я слушать Вас хочу.
10. Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны.

2. Постройте отрицания следующих высказываний.

1. На улице сухо.
2. Сегодня выходной день.
3. Ваня не был готов сегодня к урокам.
4. Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.
5. Некоторые млекопитающие не живут на суше.
6. Неверно, что число 17 – простое.

3. Из каждых трех выберите пару высказываний, являющихся отрицаниями друг друга.

1. “Луна – спутник Земли”, “Неверно, что Луна спутник Земли”, “Неверно, что Луна не является спутником Земли”;
2. “2007 < 2008”, “2007 > 2008”, “2007 ? 2008”;
3. “Прямая а перпендикулярна прямой с”; “Прямая а не параллельна прямой с”; “Прямая а не пересекается с прямой с”.

4. По данным формам сложных высказываний запишите высказывания на русском языке.

1.
2.
3.
4.
5.

5. Найдите значения логических выражений:

6. Даны два высказывания: А = “2 х 2 = 4”, В = “2 х 2 = 5”. Очевидно, что А=1, В=0. Какие из высказываний истинны?

а)
б)
в) А
г)
д)
е)

7. Даны простые высказывания: А= {15>13}, В={4=5}, C= {7<4}. Определите истинность составных высказываний:

8. При каких значениях числа Х логическое выражение не ((Х>15) или (Х<-5)) примет значение:

1. ложь,
2. истинна.

9. Какие из высказываний А, В должны быть истинны и какие ложны, чтобы было ложное высказывание ?

III. Итог урока.

Обобщить пройденный материал, оценить работу активных учеников.

IV. Домашнее задание.

1. Выучить определения, знать обозначения.
2. Даны высказывания:

А = {На улице светит солнце},
В = {На улице дождь},
С = {На улице пасмурная погода},
В = {На улице идет снег}.

Составьте два сложных высказывания, одно из которых в любой ситуации всегда будет ложным, а другое истинным.

3. Переведите сложное высказывание на русский язык.
4. Какое логическое выражение описывает условие: “Точка Х не принадлежит отрезку [А; В]”?

1. не (Х А) или Х < B,
2. X < A и X > B,
3. не (X B и X A),
4. X A или X В.

Литература:

1. Информатика и информационные технологии. Учебник для учащихся 10-11 классов. / Угринович Н.Д., — М. Лаборатория Базовых Знаний, 2004.
2. Практикум по информатике и информационным технологиям. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений. / Угринович Н.Д., Босова Л.Л., Михайлова Н.И. — М. Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
3. Логика в информатике. / Лыскова В.Ю., Ракитина Е.А. — М. Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
4. Информатика. Элементы Алгебры логики. Еженедельное приложение к газете “Первое сентября”. №27, 1998.
5. Информатика. Логика. Еженедельное приложение к газете “Первое сентября”. №26, 1997.

25.03.2008

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Округление чисел

В практической деятельности человека бывают числа двух видов: точные и приближённые. Часто знание лишь о приближённом числе достаточно для понимания сути дела. Иногда употребляют приближённые числа, так как точное не требуется, а иногда точное число невозможно найти в принципе.

Приближённые значения

Иногда в вычисления нет необходимости использовать точные числовые значения. Для ускорения или упрощения расчётов очень часто достаточно получения приближенного результата. Для этого производят округления чисел, которые участвуют в расчетах а также и конечный результат вычислений. Приближённые значения используют тогда, когда точное значение чего-либо найти невозможно, или же это значение не важно для исследуемого предмета.

Например можно сказать, что дорога до дома занимает полчаса. Это прибличительное значение, поскольку точно сказать сколько времени займет путь до дома или слишком сложно или в большинстве случаев не так важно. Главное обозначить порядок чисел и этого бывает вполне достаточно.

В математике приближенные значения указываются с помощью специального знака.

\[ \LARGE \approx \]

Чтобы указать приблизительное значение чего-либо, используют округление чисел.

Округление чисел

Суть округления заключается в том, чтобы найти ближайшее значение от исходного. При этом, число может быть округлено до определённого разряда — до разряда десятков, разряда сотен, разряда тысяч.

Первое правило округления:

Если при округлении чисел первая из отделяемых цифр меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4), то последняя из оставляемых цифр остаётся без изменений (усиления или увеличения не производится).

Число 47,271 округлённо записывается как – 47,3. В данном случае цифра 2 будет усилена до 3, так как первая отсекаемая цифра 7, больше чем 5.

Второе правило округления:

Если при округлении чисел первая из отделяемых цифр больше 5 (5, 6, 7, 8, 9), то последняя из оставляемых цифр увеличивается на единицу (производится усиление).

Число 64,28 округлённо записывается как – 64. Число 64 наиболее близко к округляемому числу, чем 65.

Третье правило округления:

Если отсекается цифра 5, а за ней не имеется значащих цифр, то округление выполняется на ближайшее четное число, другими словами, последняя оставляемая цифра остаётся неизменной, если она четная, и усиливается в случае, если она нечетная.

Число 0,0465 округлённо записывается как – 0,046. В данном случае усиления не делается, так как последняя оставляемая цифра 6 является чётной. Число 0,935 округлённо записывается как – 0,94. Последняя оставляемая цифра 3 усиливается, так как она является нечётной.

Как округлить число до целого

Правило округления числа до целого

Чтобы округлить число до целого (или округлить число до единиц), надо отбросить запятую и все числа, стоящие после запятой.

Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то число не изменится.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, предыдущую цифру нужно увеличить на единицу.

Примеры округления числа до целого:

\[ 86,\underline 2 4 \approx 86 \]
Чтобы округлить число до целого, отбрасываем запятую и все стоящие после нее числа. Так как первая отброшенная цифра 2, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «восемьдесят шесть целых двадцать четыре сотых приближенно равно восьмидесяти шести целым».

\[ 274,\underline 8 39 \approx 275 \]
Округляя число до целого, отбрасываем запятую и все следующие за ней цифры. Так как первая из отброшенных цифр равна 8, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Двести семьдесят четыре целых восемьсот тридцать девять тысячных приближенно равно двести семидесяти пяти целым».

\[ 0,\underline 5 2 \approx 1 \]
При округлении числа до целого запятую и все стоящие за ней цифры отбрасываем. Поскольку первая из отброшенных цифр — 5, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Нуль целых пятьдесят две сотых приближенно равно одной целой».

\[ 0,\underline 3 97 \approx 0 \]
Запятую и все стоящие после нее цифры отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 3, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Нуль целых триста девяносто семь тысячных приближенно равно нуль целых».

\[ 39,\underline 7 04 \approx 40 \]
Первая из отброшенных цифр — 7, значит, стоящую перед ней цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать девять целых семьсот четыре тысячных приближенно равно сорока целым». И еще пара примеров на округление числа до целых:

Как округлить до десятых

Правило округления числа до десятых.

Чтобы округлить десятичную дробь до десятых, надо оставить после запятой только одну цифру, а все остальные следующие за ней цифры отбросить.

Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.

Примеры округления до десятых числа:

\[ 23,7\underline 5 \approx 23,8 \]
Чтобы округлить число до десятых, оставляем после запятой первую цифру, а остальное отбрасываем. Так как первая отброшенная цифра 5, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Двадцать три целых семьдесят пять сотых приближенно равно двадцать три целых восемь десятых».

\[ 348,3\underline 1 \approx 348,3 \]
Чтобы округлить до десятых данное число, оставляем после запятой лишь первую цифру, остальное — отбрасываем. Первая отброшенная цифра 1, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Триста сорок восемь целых тридцать одна сотая приближенно равно триста сорок одна целая три десятых».

\[ 49,9\underline 6 2 \approx 50,0 \]
Округляя до десятых, оставляем после запятой одну цифру, а остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 6, значит, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Сорок девять целых, девятьсот шестьдесят две тысячных приближенно равно пятьдесят целых, нуль десятых».

\[ 7,0\underline 2 8 \approx 7,0 \]
Округляем до десятых, поэтому после запятой оставляем только первую из цифр, остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 4, значит предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Семь целых двадцать восемь тысячных приближенно равно семь целых нуль десятых».

\[ 56,8\underline 7 06 \approx 56,9 \]
Чтобы округлить до десятых данное число, после запятой оставляет одну цифру, а все следующие за ней — отбрасываем. Так как первая отброшенная цифра — 7, следовательно, к предыдущей прибавляем единицу. Читают: «Пятьдесят шесть целых восемь тысяч семьсот шесть десятитысячных приближенно равно пятьдесят шесть целых, девять десятых».

Как округлить число до сотых

Правило округления числа до сотых

Чтобы округлить число до сотых, надо оставить после запятой две цифры, а остальные отбросить.

Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.

Пример округления числа до сотых:

\[ 32,78\underline 6 \approx 32,79 \]
Чтобы округлить число до сотых, оставляем после запятой две цифры, а следующую за ними цифру отбрасываем. Поскольку эта цифра — 9, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать две целых семьсот восемьдесят шесть тысячных приближенно равно тридцать две целых семьдесят девять сотых».

\[ 6,96\underline 1 \approx 6,96 \]
Округляя данное число до сотых, оставляем после запятой две цифры, а третью — отбрасываем. Так как отброшенная цифра — 1, предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Шесть целых девятьсот шестьдесят одна тысячная приближенно равно шесть целых девяносто шесть сотых».

\[ 17,48\underline 3 9 \approx 17,48 \]
При округлении до сотых оставляем после запятой две цифры, остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 3, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Семнадцать целых четыре тысячи тридцать девять десятитысячных приближенно равно семнадцать целых сорок восемь сотых».

\[ 0,12\underline 5 4 \approx 0,13 \]
Чтобы округлить данное число до сотых, после запятой оставим лишь две цифры, а остальные — отбросим. Первая из отброшенных цифр равна 5, поэтому предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Нуль целых тысяча двести пятьдесят четыре тысячных приближенно равно нуль целых тринадцать сотых».

\[ 549,30\underline 7 3 \approx 549,31 \]
При округлении числа до сотых оставляем после запятой две цифры, остальные — отбрасываем. Поскольку первая из отброшенных цифр — 7, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читаем: «Пятьсот сорок девять целых, три тысячи семьдесят три десятитысячных приближенно равно пятьсот сорок девять целых, тридцать одна сотая».

Как округлить число до тысячных

Правило округления числа до тысячных

Чтобы округлить десятичную дробь до тысячных, надо оставить после запятой только три цифры, а остальные следующие за ней цифры отбросить.

Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.

Пример кругления числа до тысячных:

\[ 3,785\underline 4 \approx 3,785 \]
Чтобы округлить число до тысячных, после запятой нужно оставить лишь три цифры, а четвертую — отбросить. Поскольку отброшенная цифра — 4, предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Три целых, семь тысяч восемьсот пятьдесят четыре десятитысячных приближенно равно три целых, семьсот восемьдесят пять тысячных».

\[ 37,207\underline 6 \approx 37,208 \]
Чтобы округлить это число до тысячных, после запятой оставляем три цифры, а четвертую — отбрасываем. Отброшенная цифра — 6, значит предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать семь целых две тысячи семьдесят шесть десятитысячных приближенно равно тридцать семь целых двести восемь тысячных».

\[ 69,999\underline 8 1 \approx 70,000 \]
Округляя число до тысячных, оставляем после запятой три цифры, а все остальные — отбрасываем. Так как первая из отброшенных цифр — 8, к предыдущей прибавляем единицу. Читают: «Шестьдесят девять целых девяносто девять тысяч девятьсот восемьдесят одна стотысячная приближенно равно семьдесят целых нуль тысячных».

\[ 863,124\underline 2 3 \approx 863,124 \]
Округляем число до тысячных, поэтому после запятой оставляем первые три цифры, а следующие за ними — отбрасываем. Так как первая из отброшенных цифр — 2, то предыдущую цифру не меняем. Читают: «Восемьсот шестьдесят три целых двенадцать тысяч четыреста двадцать три стотысячных приближенно равно восемьсот шестьдесят три целых сто двадцать четыре тысячных».

\[ 0,003\underline 5 9 \approx 0,004 \]
Чтобы округлить данное число до тысячных, первые три цифры, стоящие после запятой, оставляем, а все остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр равна 5, а это означает, что предыдущую цифру следует увеличить на единицу. Читают: «Нуль целых триста пятьдесят девять стотысячных приближенно равно нуль целых четыре тысячных».

Как округлить число до десятков

Правило округления числа до десятков

Чтобы округлить число до десятков, нужно цифру в разряде единиц заменить нулем, а если в записи числа есть цифры после запятой, то их следует отбросить.

Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.

Примеры округления числа до десятков:

\[ 58\underline 3 \approx 580 \]
Чтобы округлить число до десятков, цифру в разряде единиц (то есть последнюю цифру в записи натурального числа) заменяем нулем. Так как эта цифра равна 3, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Пятьсот восемьдесят три приближенно равно пятьсот восемьдесят».

\[ 103\underline 7 \approx 1040 \]
Округляем до десятков, поэтому цифру в разряде единиц заменяем на нуль. Поскольку эта цифра — 7, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Тысяча тридцать семь приближенно равно тысяча сорок».

\[ 35\underline 2 ,78 \approx 350 \]
Округляя десятичную дробь до десятков, цифру в разряде единиц (то есть последнюю цифру перед запятой) заменяем нулем, а запятую и все стоящие после нее цифры отбрасываем. Замененная на нуль цифра — 2, значит предыдущую цифру изменять не надо. Читают: «Триста пятьдесят две целых семьдесят восемь сотых приближенно равно триста пятьдесят».

\[ 247\underline 6 ,05 \approx 2480 \]
Чтобы округлить данную десятичную дробь до десятков, цифру в разряде единиц заменяем нулем, а цифры, стоящие после запятой, отбрасываем. Так как замененная нулем цифра равна 6, к предыдущей цифре прибавляем единицу. Читают: «Две тысячи четыреста семьдесят шесть целых пять сотых приближенно равно две тысячи четыреста восемьдесят».

\[ 79\underline 9 ,1 \approx 800 \]
Округляя десятичную дробь до десятков, в разряде единиц заменяем цифру нулем, а запятую и все, что стоит после запятой, отбрасываем. Поскольку на нуль заменили 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Семьсот девяносто девять целых, одна десятая приближенно равно восемьсот».

Как округлить число до сотен

Правило округления числа до сотен

Чтобы округлить число до сотен, надо цифры в разряде единиц и десятков заменить нулями. При округлении до сотен десятичной дроби запятую и все стоящие после нее цифры отбрасывают.

Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.

Примеры округления числа до сотен:

\[ 23\underline 1 7 \approx 2300 \]
Чтобы округлить до сотен это число, цифры в разряде единиц и десятков (то есть две последние цифры в записи) заменяем нулями. Так как первая из замененных на нуль цифр равна 1, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Две тысячи триста семнадцать приближенно равно две тысячи триста».

\[ 45\underline 8 1 \approx 4600 \]
Округляя данное число до сотен, две последние цифры в его записи заменяем на нули. Поскольку первая из замененных нулем цифр равна 8, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Четыре тысячи пятьсот восемьдесят один приближенно равно четыре тысячи шестьсот».

\[ 785\underline 0 9 \approx 78500 \]
Округляем число до сотен, значит две последние цифры в записи числа — десятки и единицы — заменяем нулями. Первая из замененных нулем цифр равна нулю, поэтому предыдущую переписываем без изменений. Читают: «Семьдесят восемь тысяч пятьсот девять приближенно равно семьдесят восемь тысяч пятьсот».

\[ 939\underline 5 2 \approx 94000 \]
Чтобы округлить до сотен данное число, в разрядах десятков и единиц цифры заменяем на нули. Так как первая из замененных на нуль цифр — 9, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Девяносто три тысячи девятьсот пятьдесят два приближенно равно девяносто четыре тысячи».

\[ 14\underline 7 3,12 \approx 1500 \]
Чтобы округлить до сотен десятичную дробь, запятую и все стоящие после запятой цифры необходимо отбросить, а две последние цифры целой части (единицы и десятки) — заменить нулями. Первая из замененных на нуль цифр равна 7, поэтому к предыдущей цифре прибавляем единицу. Читают: «Тысяча четыреста семьдесят три целых двенадцать сотых приближенно равно тысяча пятьсот».

Как округлить число до тысяч

Правило округления числа до тысяч

Чтобы округлить число до тысяч, надо цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменить нулями. При округлении до тысяч десятичной дроби запятую и все стоящие после нее цифры нужно отбросить.

Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.

Примеры округления числа до тысяч :

\[ 82\underline 3 71 \approx 82000 \]
Чтобы округлить до тысяч это число, надо цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменить нулями (у тысяч три нуля в конце записи, столько же нулей в конце числа должно получиться и при округлении до тысяч). Так как первая из цифр, которую мы заменили на нуль, равна 3, то предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Восемьдесят две тысячи триста семьдесят один приближенно равно восемьдесят две тысячи».

\[ 40\underline 6 28 \approx 41000 \]
При округлении до тысяч три последних цифры — в разрядах сотен, десятков и единиц — заменяем на нули. Так как первая из замененных нулем цифр равна 6, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Сорок тысяч шестьсот двадцать восемь приближенно равно сорок одна тысяча».

\[ 159\underline 7 32 \approx 160000 \]
Округляя до тысяч данное число, цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменяем нулями. Первая из замененных нулем цифр равна 7, поэтому к предыдущей цифре прибавляем единицу. Читают: «Сто пятьдесят девять тысяч семьсот тридцать два приближенно равно сто шестьдесят тысяч».

\[ 238\underline 1 97 \approx 238000 \]
Округляем число до тысяч, поэтому цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменяем на нули. Так как первая из цифр, которую мы заменили нулем, равна 1, то предыдущую цифру переписываем без изменений. Читают: «Двести тридцать восемь тысяч сто девяносто семь приближенно равно двести тридцать восемь тысяч».

\[ 457\underline 2 49,83 \approx 457000 \]
Чтобы округлить десятичную дробь до тысяч, запятую и все цифры после запятой отбрасываем, а цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменяем нулями. Так как первая из замененных нулем цифр — 2, то предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Четыреста пятьдесят семь тысяч двести сорок девять целых, восемьдесят три сотых приближенно равно четыреста пятьдесят тысяч».

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

calcsbox.com

Округление чисел | СПАДИЛО.РУ

---

---

Округление – распространенная математическая операция, обеспечивающая расширение возможностей для различного рода вычислений. Округление часто используется при решении физических, химических и других расчетных задач.

Приближенные числа

Одна из классификаций чисел, которые используют для решения прикладных задач, подразумевает их разделение на точные и приближенные. Необходимость такого деления понятна, ведь далеко не всегда в результате вычислений можно получить точный ответ. Приближенные числа нередко получаются при извлечении корней. Кроме того, многие обыкновенные дроби при переводе в десятичную форму записи тоже оказываются приближенными.

Пример №1:

Записать такие числа в точном виде не представляется возможным. Поэтому их «обрезают», отображая только их часть. Но обрезают так, чтобы это не имело ощутимого влияние на их величину.

Приближенные числа зачастую используются при обозначении конкретных практических данных. Так, указывая расстояния между населенными пунктами и другими удаленными объектами, как правило, далеко не всегда требуется называть точные их величины.

Пример №2:

Известно, что расстояние между С-Петербургом и Москвой по прямой равно 635 км. Однако в печатных источниках (в справочниках или информационных статьях) можно прочесть, что это расстояние составляет 630 км. В большинстве ситуаций реальной жизни «хвостик» в виде нескольких километров здесь не принципиален. Между тем, полученное «обрезанное» число как минимум легче запомнить, Да и более весомые преимущества от такого обрезания тут однозначно возникают.

Такого рода «обрезание» чисел и называют округлением. Востребованность округленных данных связана, в том числе, с тем, что круглые числа более удобны для сравнений и подсчетов. Нужно понимать, что они во многих случаях позволяют избавиться от выкладок, которые не имеют принципиального значения для точности результатов. В итоге расчеты упрощаются (рационализируются), а результат все равно получается вполне удовлетворительным.

Правила округления

Округление является одним из основных источников и способов получения приближенных числовых данных. Однако достаточно часто округляют и точные числа. Именно такое округление было рассмотрено в Примере №2.

Процесс округления таков:

1. Рассматривается число с точки зрения рациональности содержания в нем тех или иных разрядов. Скажем, для удобства вычислений может быть удобно избавиться от дробной части десятичного числа, если она несоизмеримо мала по сравнению с его целой частью. К примеру, в числе 3862,002 две тысячных явно не могут существенно повлиять на результат.
2. В числе фиксируется последний значимый разряд. Все остальные разряды, расположенные справа от него, будет необходимо ликвидировать. Так, в примере 2 последним значимым разрядом числа был разряд сотен.
3. Все разряды (цифры), которые решено считать незначимыми, отбрасываются либо заменяются нулями. При этом действует правило: если незначимыми являются разряды целой части числа, то они заменяются нулями; если это цифры дробной части десят.числа, то они отбрасываются.
4. Последняя значимая цифра числа либо остается неизменной, либо увеличивается на 1. Увеличение на единицу выполняется в том случае, если первая незначимая цифра равна 5 или больше. Если 1-я незначимая цифра меньше 5, то последняя значимая не увеличивается. В 1-м случае говорят об округлении с избытком, во 2-м – об округлении с недостатком.

Между исходным числом и округленным ставится знак «приблизительно равно». Выглядит он как знак равенства, составленный не из прямых, а из волнистых линий, а именно: «≈».

Примеры округления:

Пример №3: Округлить до сотых число 3,2564. 3,2564≈3,26.

Пример №4: Округлить до тысяч число 31257. 31257≈31000.

Пример №5: Округлить до целой части число 12,34. 12,34≈12.

Пример №6: Округлить до десятков число 91368. 91368≈91370.

Погрешность округленных чисел

Различают 2 вида погрешностей – абсолютную и относительную.

Абсолютной погрешностью называют разницу между точным значением числа и приближенным его значением.

Пример №7:

Имеется число 1,214. Требуется округлить его до сотых и оценить абсолютную погрешность после такого приближения. Решение: 1,214≈1,21; абсолютная погрешность при этом составляет 1,214–1,21=0,004.

В реальности нередки ситуации, когда известно только приближенное число, а точное – нет. Тогда определить конкретную величину абс.погрешности не представляется возможным. Но можно найти граничную абс.погрешность. Под этой величиной понимают максимальное значение, которое ограничивает допустимую погрешность вычислений; причем погрешность обязательно должна быть меньше этой границы. В этом случае говорят: «число Х является приближенным для числа Y с точностью ∆х». Значение ∆х здесь и является граничной абс.погрешностью.

Записывается это так: Y≈Х(±∆х). Т.е. здесь имеется 2 границы – верхняя, соответствующая предельному значению (Х+∆х), и нижняя, соответствующая (Х–∆х). Это означает, что для округляемого числа вводится «вилка» допустимых отклонений от точного значения.

Пример №8:

Дано Z=3,82(±0,01). Это означает, что число Z может варьироваться в диапазоне 3,81<Z<3,83. И наоборот: если имеется диапазон вариативности для заданного числа, то это дает возможность оценить погрешность вычислений. Так, если дано 6,3<X<6,4, то Х=6,35(±0,05).

Пояснение: для определения Х в последнем примере было найдено среднее арифметическое для 6,3 и 6,4 ((6,3+6,4)/2), а для величины абс.погрешности их полуразность ((6,4–6.3)/2).

Особо нужно отметить, что величина абс.погрешности ничего не говорит о качестве произведенных измерений. Соотносить ее – и определять ее значительность или незначительность – нужно с самим числом, для которого осуществляются измерения.

Пример №9:

При измерении расстояний между городами приемлемой является абс.погрешность в 1 км. Если же измеряются расстояния между улицами города, то нормальной можно считать погрешность до нескольких метров.

Относительная погрешность является мерой точности вычислений. Относит.погрешность определяют как отношение абс.погрешности к округленному (приближенному) числу. Т.е., пользуясь обозначениями, использованными выше, относит.погрешность – это .

Выражают относит.погрешность обычно в процентах. Поэтому более справедлива иная формула для ее определения: . В таком виде относит.погрешность показывает процент отклонения округленного значения числа от его точной величины.

Пример №10:

Дано х≈15,2(±0,3). Требуется определить относит.погрешность этого значения.

Решение: относит.погрешность в данном случае составляет .

spadilo.ru

Как округлить число до сотых 🚩 Округление чисел до сотых 🚩 Математика

8 мая 2011

Автор КакПросто!

Задача округления до сотых иногда появляется у программистов. Происходит это в двух случаях. Во-первых, в используемом языке может отсутствовать соответствующая функция округления. Во-вторых, неопытный программист может не знать языковых тонкостей. В том и другом случае выручает 4-х шаговый алгоритм округления.

Статьи по теме:

Инструкция

Умножьте число на 100. В качестве примера округлим до сотых число 23,429. После умножения на 100 имеем 2342,9. Прибавьте число 0,5. В нашем случае получаем 2343,4. Возьмите целую часть числа. Цифру после запятой отбросьте, она не понадобится. Получаем число 2343.

Разделите число на 100. На этом шаге имеем 23,43 — это и есть результат округления до сотых.

Видео по теме

Обратите внимание

В рассмотренном алгоритме есть «тонкое место». Он корректно округляет до сотых числа с тремя знаками после запятой. Для чисел же с 4-мя знаками после запятой на 2-м шаге надо прибавлять число 0,55. Для чисел с 5-ю знаками — прибавлять число 0,555, и т.д. Тогда результат будет математически верным.

Полезный совет

Используя алгоритм, обязательно делайте проверку вычислений с помощью разных чисел. Например, вы проверяете число 23,4276 — по указанному алгоритму, с прибавлением на 2-м шаге числа 0,5. Все получается правильно. Если на этом успокоиться, потом возникнут ошибки. Ведь число 23,4246 проверку не проходит. При его округлении алгоритм выдает результат 23,42. Поэтому проверять вычисления надо с разными числами.

Источники:

• округление чисел до сотых

www.kakprosto.ru

Округление чисел онлайн: калькулятор вам в помощь!

Ева Спилберг Автор:
25 августа 2017 01:35

Вы замечали, что на большей части калькуляторов размещены особые переключатели? Никогда не задумывались, зачем они нужны? Например, ползунок со стрелками вверх, вниз и цифрой 5/4. Он определяет округление чисел. Онлайн калькулятор иногда тоже имеет такую функцию.

Источник:

Поместив ползунок на стрелку вверх, вы будете округлять в большую сторону. Цифра 5/4 применит математические правила. Если число, которое вы отбрасываете, больше 5, округление пойдет в большую сторону, если меньше 5 – то в меньшую. Стрелка вниз означает неизменное округление в меньшую сторону.

Есть еще один ползунок: А, 0, 2, 3, F

Источник:

Буква «А» ставит число вторым разрядом после запятой. Например, в этом режиме, 2 + 3 = 0,05.
«0» заставит работать в целочисленном формате. Например, 0,1 + 0,2 = 0.
«2» отделит пару последних разрядов запятой: 3 + 2 = 5,00.
Чувствуете разницу между режимами А и 2?
Режим F назван так от английского слова float. Он заставляет калькулятор работать с плавающей запятой. Примеры: 5/2 = 2,5; 1/3 = 0,33333333… Можно сказать, что запятая плавает по разрядам, отделяя нужное их количество.

Надеемся, что вопросов не осталось. Теперь можно использовать все доступные функции настольного калькулятора.

Источник:

Ссылки по теме:

Понравился пост? Поддержи Фишки, нажми:

Новости партнёров

fishki.net

Округлить до сотен | Математика

Рассмотрим, как округлить до сотен число, пользуясь правилом округления.

Правило округления числа до сотен

Чтобы округлить число до сотен, надо цифры в разряде единиц и десятков заменить нулями. При округлении до сотен десятичной дроби запятую и все стоящие после нее цифры отбрасывают.

Если первая из замененных нулем цифр равна 0, 1, 2, 3 или 4, предыдущую цифру не изменяют.

Если первая из замененных нулем цифр — 5, 6, 7, 8 или 9, предыдущую цифру нужно увеличить на единицу.

Примеры.

Округлить число до сотен:

   

Чтобы округлить до сотен это число, цифры в разряде единиц и десятков (то есть две последние цифры в записи) заменяем нулями. Так как первая из замененных на нуль цифр равна 1, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Две тысячи триста семнадцать приближенно равно две тысячи триста».

   

Округляя данное число до сотен, две последние цифры в его записи заменяем на нули. Поскольку первая из замененных нулем цифр равна 8, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Четыре тысячи пятьсот восемьдесят один приближенно равно четыре тысячи шестьсот».

   

Округляем число до сотен, значит две последние цифры в записи числа — десятки и единицы — заменяем нулями. Первая из замененных нулем цифр равна нулю, поэтому предыдущую переписываем без изменений. Читают: «Семьдесят восемь тысяч пятьсот девять приближенно равно семьдесят восемь тысяч пятьсот».

   

Чтобы округлить до сотен данное число, в разрядах десятков и единиц цифры заменяем на нули. Так как первая из замененных на нуль цифр — 9, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Девяносто три тысячи девятьсот пятьдесят два приближенно равно девяносто четыре тысячи».

   

Чтобы округлить до сотен десятичную дробь, запятую и все стоящие после запятой цифры необходимо отбросить, а две последние цифры целой части (единицы и десятки) — заменить нулями. Первая из замененных на нуль цифр равна 7, поэтому к предыдущей цифре прибавляем единицу. Читают: «Тысяча четыреста семьдесят три целых двенадцать сотых приближенно равно тысяча пятьсот».

И еще пара примеров на округление чисел до сотен:

   

   

www.for6cl.uznateshe.ru

как округлить число до сотых

В математике округлением называют операцию, которая позволяет уменьшить в числе количество знаков при помощи их замены, учитывая определенные правила. Если вас интересует вопрос о том, как округлить число до сотых, то для начала следует разобраться со всеми существующими правилами округления. Существует несколько вариантов того, как можно округлять числа:

1. Статистический — используют при уточнении численности жителей города. Говоря о количестве граждан, называют лишь приближенное значение, а не точную цифру.
2. Половинный – округление половины происходит до ближайшего четного числа.
3. Округление до меньшего числа (округление к нулю) – это самое легкое округление, при котором происходит отбрасывание всех «лишних» цифр.
4. Округление до большего числа – если знаки, которые хотят округлить, не равны нулю, то число округляют в большую сторону. Такой способ используют провайдеры или операторы сотовой связи.
5. Ненулевое округление – числа округляются по всем правилам, но когда результатом должен стать 0, то округление совершается «от нуля».
6. Чередующееся округление – когда N+1 равняется 5-ти, число поочередно округляют то в меньшую, то в большую сторону.

К примеру, вам нужно округлить число 21,837 до сотых. После округления вашим правильным ответом должно стать 21,84. Объясним, почему. Цифра 8 входит в разряд десятых, следовательно, 3 в разряд сотых, а 7 – тысячных. 7 больше 5-ти, поэтому мы увеличиваем 3-ку на 1, то есть до 4-х. Это совсем несложно, если знать несколько правил:

1. Последняя сохраняемая цифра увеличивается на один в том случае, если первая отбрасываемая перед ней — больше чем 5. Если же эта цифра равняется 5-ти и за ней имеются еще какие-либо другие цифры, то предыдущая также увеличивается на 1.

Например, нам нужно округлить до десятых: 54,69=54,7, или 7,357=7,4.

Если вам задали вопрос о том, как округлить число до сотых, действуйте аналогично представленному выше варианту.

2. Последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если первая из отбрасываемых, которая стоит перед ней меньше чем 5.

Пример: 96,71=96,7.

3. Последняя из сохраняемых цифр остается неизменной при условии, что она четная, и если первая из отбрасываемых – это число 5, и за ним нет больше никаких цифр. Если же оставляемая цифра – нечетная, то она увеличивается на 1.

Примеры: 84,45=84,4 или 63,75=63,8.

Примечание. Во многих школах ученикам дают упрощенную версию правил округления, так что стоит иметь это в виду. В них все цифры остаются неизменными, если после них идут числа от 0 до 4 и увеличиваются на 1 при условии, что после стоит число от 5 до 9. Грамотно решать задачи с округлением по строгим правилам, но если в школе заведен упрощенный вариант, то во избежание недоразумений стоит придерживаться его. Надеемся, вы поняли, как округлить число до сотых.

Округление в жизни необходимо для удобства работы с числами и указания точности измерений. В настоящее время появилось такое определение, как анти-округление. Например, при подсчете голосов какого-либо исследования круглые числа считаются дурным тоном. Магазины тоже используют анти-округление для создания у покупателей впечатления более выгодной цены (к примеру, пишут 199, а не 200). Надеемся, что на вопрос о том, как округлить число до сотых или десятых, теперь вы сможете ответить и сами.

fb.ru

как округлить число 195,432 до сотых

Вас в школе совсем не учат, что ли? Или вы настолько ленивы, что даже думать не хотите? А потом ноют, что 60 баллов в ЕГЭ это слишком много. Сразу слова Лаврова на ум приходят….

Округление чисел — это математическое действие, которое позволяет уменьшить количество цифр в числе, заменяя его приближенным значением. Существует несколько правил округления чисел: 1 Если первая цифра, которую вы хотите отбросить, больше или равна 5, то последняя цифра, которая остается — увеличивается на единицу. Например: 8,679 = ~ 8,7 2 Если первая цифра, которую вы собираетесь отбросить, меньше 5, то увеличение последней сохраняемой цифры не происходит. В данном задании нужно округлить до сотых. Значит сотые оставляем, а остальные отбрасываем. Но после сотых отбрасывается цифра 2&lt;5. Значит число сотых не увеличивается: 195,432 = ~ 195,43

touch.otvet.mail.ru

Как переконвертировать .djvu в .doc

Знать особенности конвертирования одного формата в другой очень важно, в том числе и для преобразования файлов в формате djvu в doc. Это связано с тем, что большинство популярных книг сегодня можно найти именно в формате djvu, а переделать их в doc с помощью обычного копирования и вставки просто невозможно.

Проблема конвертирования формата djvu, в первую очередь, связана с тем, что по своей сути формат djvu представляет собой картинку, а изображение переделать в текстовый формат не так просто. Конвертировать формат djvu в doc можно с помощью программы ABBYY Finereader. Необходимо скачать и установить девятую версию данного продукта, тогда процесс конвертирования будет завершен в считанные секунды. Для того, чтобы произвести конвертирование djvu в doc, необходимо осуществить распознавание текста на изображении (файле djvu). На выходе получится готовая информация в текстовом варианте.

Можно использовать и другое программное обеспечение, но в данном случае, процедура конвертирования файла одного формата в другой, будет занимать больше времени. Например, можно установить программу DJVU JPEG. Это программное обеспечение осуществляет преобразование djvu файла в jpeg, а уже потом и в формат doc. Вся процедура преобразования производится в три шага. Сперва нужно установить эту программу и переделать с ее помощью файл в формате djvu в jpeg. Затем необходимо запустить процесс распознавания изображения как текст, и потом сохранить получившийся текстовый файл.

Существует еще один вариант распознавания. В данном случае понадобится установить две программы — конвертер DJVU PDF и конвертер PDF DOC. Для того чтобы перевести файл из формата djvu в формат doc, необходимо исходный файл конвертировать в формат pdf. Это расширение достаточно распространено, а значит может подойти практически любой конвертер. После того как пользователь получит файл с расширением pdf, нужно с помощью второго конвертера всего лишь изменить расширение в текстовый формат.

В итоге получается, что способов конвертирования файлов в формате djvu в doc существует довольно много. Каким из них воспользоваться — может решить самостоятельно каждый пользователь. Единственное, чем все конвертеры отличаются друг от друга — затраченным на преобразование временем.

www.kakprosto.ru

обзор программ > Тест/обзор > Программы > Компьютерный портал F1CD.ru

04 апреля 2011, Однокрылов Владимир

Преобразование документов PDF и DjVu в файлы, поддающиеся редактированию неспециализированным ПО, является довольно востребованной задачей. И сегодня мы поговорим о некоторых способах и программах конвертации этих форматов в один из самых распространенных типов файлов – документ Microsoft Word (DOC), а также о подводных камнях, ожидающих пользователей на этом поприще.

Итак, что же такое PDF? Так как с лета 2008 года данный формат стал открытым стандартом, то в сети есть достаточно точные определения, что из себя представляет наш предмет обсуждения – это кроссплатформенный формат файлов (Portable Document Format), введенный компанией Adobe еще в далеком 1993 и позволяющий включать в состав документа как сам текст, так и используемые шрифты, растровые и даже векторные изображения. А в последнее время, используя инструмент Acrobat 3D, можно внедрять и трехмерную графику в форматах U3D, PRC и некоторых других.

Теперь – зачем это нужно: компания Adobe в результате этой нехитрой манипуляции – создания документа с использованием возможностей PostScript, поддерживаемого в любой ОС безотносительно к программной среде или «железу» – фактически удалось «подмять» часть полиграфической индустрии и распространения полностью оформленных электронных документов, например, журналов и иллюстрированных книг. Напомним, что формат PDF появился в 1993, а стал открытым лишь в 2008 году (в спецификации версии 1.7) – а до этого он был проприетарным (закрытым коммерческим) и с полными возможностями редактировался только продуктами компании Adobe, что позволило ей стать лидером в этой области. Разумеется, есть альтернативы, но их немного, возможности редко превышают удобство PDF и они намного менее популярны.

Теперь обратимся к другому формату распространения печатной продукции во всемирной сети – DjVu. По сути, это скорее файл, созданный при помощи технологий сжатия изображений с потерями, в основном с применением алгоритма JB2 – в нем используется словарь изображений, позволяющим заменять повторяющиеся символы на нескольких страницах одним изображением. Строго говоря, в спецификации используется три слоя изображения – передний слой, задний слой и маска, и именно маска сжимается по алгоритмы JB2, и для большего выигрыша в размере получаемого документа два других слоя исключают из получаемого файла.

Боле того, DjVu позволяет хранить специальный OCR-слой, иначе называемый текстовым слоем, который содержит дублирующий изображение текст. Он позволяет быстро копировать текстовые данные из документа в любом просмотрщике DjVu-файлов. Если же текстового слоя нет – то де-факто остается только путь распознавания изображений в стороннем ПО, но об этом далее в нашей статье.

Исходя из сказанного выше, полноценные редакторы PDF – довольно редкое явление по причине того, что формат только недавно стал открытым и де-факто продукты компании Adobe заняли лидирующие позиции как в просмотре, так и редактировании PDF-файлов. К тому же большинство редакторов стоит более $200, и человеку, не работающему с такими документами часто, накладно покупать такое ПО ради одного-двух документов.

Тут на помощь приходят программы-конвертеры, позволяющие перенести содержимое PDF-документа в более распространенный и просто редактируемый формат – Microsoft Word или DOC. Почему именно DOC? Во-первых, Microsoft Office – достаточно популярный офисный пакет с широкими возможностями, очень распространенный как в России, так и за рубежом, а функционал его позволяет в широких пределах изменять оформление документа. Во-вторых, существует большое количество альтернативного свободного ПО, работающих с данным форматом, наиболее известным из которых является кроссплатформенный пакет OpenOffice.

Сегодня мы пройдем по данной цепочке и рассмотрим несколько программ-конвертеров. Однако вначале маленькое отступление – создавая PDF-файл, его можно защитить паролем от редактирования, и для открытия такого файла Вам скорее всего понадобится либо пароль, либо программа для снятия защиты – их великое множество в сети. Скачав первый попавшийся документ, мы обнаружили что он защищен именно таким образом – скачать тестовый PDF-файл.

Мы воспользовались trial-версией программы VeryPDF PDF Password Remover. Ограничения версии – всплывающее окошко при открытии получившегося документа и расшифровывается только половина страниц исходного документа.

Для наших целей этого было достаточно. Получившийся файл – скачать тестовый PDF-файл без пароля, как видно на снимке, изменений в структуре нет.

Также мы проверяли обработку программами и английского документа – с альбомным расположением страницы, рисунками и без защиты, скачать английский тестовый PDF.

Все представленные в тесте конвертеры были бесплатными или trial-версиями, скаченными с официальных сайтов разработчиков и предназначены для работы в операционной системе Windows (мы тестировали в Windows 7).

Free PDF to Word Doc Converter #

Для начала мы взяли бесплатный конвертер Free PDF to Word Doc Converter, который позиционируется как простое и быстрое решение для преобразования документов. Сразу можно сказать, что решение действительно простое – никаких особых дополнительных настроек, все в одном окошке программы, доступной только на английском языке.

Нам можно задать исходный документ, куда сохранить результат конвертирования, сколько страниц конвертировать, шрифт и пару опций, относящихся к форматированию, а также чем открыть получившийся документ. Free PDF to Word Doc Converter запросто открыл документ с защитой, а процесс прошел действительно быстро, и, полные надежд, мы открыли наш документ после конвертирования.

Что тут можно сказать – оформление он конечно сохранил, и даже попытался сделать формулы похожими на оригинал, но потеря всего русского текста непростительна – для конвертирования русскоязычных документов Free PDF to Word Doc Converter совершенно не годится. Посмотрим, как он справился с английским PDF.

Потеряны все изображения, сноски превратились в нечто невразумительное, словом, и тут Free PDF to Word Doc Converter не блещет. Что же, годится данная программа только для быстрого конвертирования английских текстовых PDF без графики и особого оформления, всего только и достоинств, что бесплатна и не требует для работы снятие защиты.

Solid Converter PDF #

Следующий участник – Solid Converter PDF, комммерческая программа от компании Solid Documents.

Сразу после запуска видно – простым конвертирование PDF в Word тут не обходится, набор функций весьма широк. Но в принципе интерфейс прост (благодаря хорошо оформленным иконкам) и нужную функцию нам найти не сложно.

Интерфейс на русском языке без видимых ошибок в переводе – словом, неплохая локализация. Правда, попытка скормить программе защищенный PDF успехом не увенчалась – потребовался пароль. Поэтому для тестов мы воспользовались разблокированный версией.

Строго говоря, несмотря на обширный набор опций, мы решили не останавливатся на подробностях.

Причина сего поступка проста – нас интересовал функционал сразу «из коробки», обычный пользователь коммерческих продуктов как правило не заинтересован в «допиливании напильником». Поэтому сразу после открытия мы перешли к конвертированию тестового файла. Ждать пришлось лишь чуть-чуть больше, чем в случае с Free PDF to Word Doc Converter.

А вот результат конвертирования получился очень неплох – практически все формулы, за исключением сложных дробей, сохранены в исходном виде, а текст полностью повторяет структуру такового в PDF. Одно печалит – пробная версия оставляет здоровенный штамп по диагонали каждой страницы получающегося документа. После результата с русским PDF мы нисколько не сомневались в положительном результате при конвертировании английского PDF, но тестирование есть тестирование, и все участники должны пройти одинаковый набор тестов. Итак, загрузили файл, кликнули, подождали пару секунд – и вот результат.

Практически 100% редактируемая копия исходного документа. Аплодисменты, занавес. Итого – отличный функционал, быстрая и качественная работа: пока что Solid Converter PDF является лидером в данном тесте.

VeryPDF PDF2WORD #

Третий участник нашего блиц-тестирования – VeryPDF PDF2WORD, продукт от компании VeryPDF, автора использованной при подготовке к тестированию программы для снятия защиты с PDF-файлов.

Главное окно программы довольно простое – из меню есть доступ к открытию файлов, а главное окно оказывает информацию о задании.

Есть и некоторый набор дополнительных опций.

Итак, первый мы загрузили нашу защищенную методичку и конвертер спокойно ее принял. Впрочем это неудивительно – была высока вероятность, что в свой конвертер VeryPDF PDF2Word компания также встроит механизм дешифровки. Немного ожидания, и сконвертированный файл готов.

Немного нарушено форматирование текста, сложные формулы нечитаемы, простые формулы несколько искажены, оценка – удовлетворительно. Посмотрим, что у нас получается при конвертировании английского PDF.

Оформление немного искажено, часть элементов «перескочила» на следующую страницу, но картинки сохранены. Однако размер получающегося файла – 3,28 Мбайта – все всякой критики, программа каждый рисунок разделила на отдельные элементы, что и привело к неоправданному росту объема. Оценка – удовлетворительно с минусом.

ABBYY PDF Transformer #

Программа ABBYY PDF Transformer является по сути урезанным ABBYY FineReader – из входных файлов оставлена только поддержка PDF, а вывод – в ограниченный объем форматов. Защищенные файлы PDF программа не открывает.

В пробной версии мы также имеем набор довольно жестких ограничений.

Негусто. Но тем не менее попробуем воспользоватся тем функционалом, что дают, к слову говоря, конвертация PDF в ABBYY PDF Transformer происходит путем простого распознавания – как и любого другого файла изображений в ABBYY FineReader.

Итак, мы распознали исходный русский PDF в автоматическом режиме и сохранили результат.

Драконовские ограничения пробной версии даже не дали выбрать страницы для сохранения и получаем мы в итоге лишь первые две страницы, качество неплохое, но на результат в сложных врядли можно рассчитывать более высокий, чем у самого ABBYY FineReader. Закинули в ABBYY PDF Transformer одностраничный английский тестовый PDF.

На выходе получили обычную картину для ABBYY FineReader – без ручного редактирования видимо невозможно обойтись, а форматирование получившегося документа похоже на содержимое блендера после первой секунды измельчения.

Adobe Acrobat X #

Ну и как же мы могли обойти вниманием «родной» для формата PDF редактор — Adobe Acrobat. Тестировали мы пробную версию Adobe Acrobat Х Pro, которая доступна после регистрации для свободного скачивания на официальном сайте компании Adobe.

Программа имеет английский интерфейс, при запуске сразу предлагает выбрать задачу, которой Вы намерены занятся.

Открыть защищенный файл нам не удалось, поэтому мы перешли к «беззащитному» варианту. Разумеется, файл открылся без каких-либо проблем – к слову сказать, в отличие от всех программ в этом обзоре Adobe Acrobat не является конвертером – это полноценный коммерческий продукт от разработчиков pdf-формата, предназначенный для создания и редактирования любых (естественно, кроме защищенных) PDF-файлов.

Но мы редактировать файл не стали – просто попробовали сохранить его в формате MS Word. И вот что из этого получилось в итоге.

Простые формулы и форматирование текста переданы с минимальными искажениями, а вот ситуация со сложными формулами хуже, чем в Solid Converter PDF. Посмотрим, что получится из английского PDF.

Недостатки лишь в мелких искажениях заметок, изображения и текст переданы практически без искажений, здесь Adobe Acrobat нисколько не уступает Solid Converter PDF.

Файлы DjVu открываются любым, даже самым простым просмотрщиком – примеры приложений Вы можете найти в нашей статье «Что такое DjVu и как с ним работать?», мы воспользовались WinDjView (самую новую версию Вы всегда можете скачать в нашем файловом архиве на странице программы).

А вообще у содержимого любого DjVu-документа есть три пути стать файлом формата DOC:

• Непосредственно перенестить из текстового слоя посредством буфера обмена в Microsoft Word – в этом случае какой либо намек на форматирование теряется, ровно как и изображения. Результат – мы получаем просто кучу обычного текста.

• Быть распознанным специальным ПО сразу – примером этого случая станет наш эксперимент с ABBYY FineReader, который с версии 9 стал поддерживать такой тип входных изображений.
• Посредством виртуального (программного) принтера стать PDF-файлом и далее отправится в вышеописанные программы-конвертеры или тот же самый ABBYY FineReader.

Но сначала тестовые условия: нашей лабораторной мышкой стал данный файл – 374-х страничный учебник по механике двухфазных систем размером 5,28 Мбайта (присутствует текстовый слой, чистый текст занимает 588 Кбайт). Конвертация документа производится без каких-либо изменений в тексте, все настройки используемых программ – изначальные.

ABBYY FineReader #

Итак, первым делом попробуем распознать документ в ABBYY FineReader. Ограничения пробной версии оказались еще более жесткие, чем в ABBYY PDF Transformer.

Одна радость – функционал намного больше.

Программа открыла документ как изображение, тестовый слой был проигнорирован – страница распознавалась с нуля. Мы ограничили тестовый объем одной страницей – все равно сохранить нельзя больше.

Результаты теста: пример №1 и пример №2 мало чем смогли порадовать – без ручной подстройки распознаваемых блоков ABBYY FineReader опознает не ахти.

В целом разница здесь между просто текстом и данными результатами невелика – сложные формулы выглядят кашей. Ручное же редактирование, в данном случае, 174 страниц – задача нетривиальная.

Экспорт в PDF при помощи Adobe Acrobat #

В задаче использования виртуального принтера мы решили обратится к Adobe Acrobat — кто может лучше всего подготовить PDF, как не редактор, созданный для этого? Открыв просмотрщик DjVu, мы в качестве принтера выбрали Adobe PDF.

Немного ожидания и в редакторе наконец открылся результат – однако его размер составил 26,43 Мбайта.

Очевидно, что все содержимое исходного документа было преобразовано в графику. Дальнейший путь файла – в наш раздел конвертеров и вышеуказанный ABBYY FineReader. В обоих случаях несложно догадаться, что 100% соотвествие исходному документу нас не ожидает.

В заключение мы можем отметить, что среди всех программ, протестированный нами и способных к конвертации PDF, наилучший результат дают Solid Converter PDF и Adobe Acrobat, остальные же программы способны удовлетворить нужды лишь непритязательных пользователей. Что касается DjVu, то путей превращения таких документов в 100%-похожую редактируемую копию пока нет – либо придется преобразовывать сложные места в изображения, либо оформлять утерянные участки до исходного состояния вручную.

www.f1cd.ru

Как djvu перевести в word и pdf.

Файлы в формате DjVu довольно часто встречаются в электронных книгах, но изначально он предусматривался для хранения изображений. Книги, имеющие формат DjVu, представляют отсканированные изображения, которые собраны в один файл. Такие книги имеют малый вес и очень удобны для хранения.

Обычно отсканированные изображения занимают довольно значительный объем памяти. Поэтому если возникает необходимость отсканировать книгу, то целесообразно хранить ее именно в формате DjVu. Но возникают такие вопросы:

— как djvu перевести в word,

— как djvu перевести в pdf.

Перевод формата DjVu в Word

Итак, как djvu перевести в word. Файл в формате DjVu является по своей сути изображением, даже если оно подразумевает книгу. Извлечь текст из такой книги является довольно трудной задачей.

Встречаются файлы, на которые текстовый слой накладывается сверху. В данном случае для его извлечения нужно несколько простых шагов:

1. Скачать на компьютер подходящую программу, например, DjVu Reader, которая предназначается для просмотра документов, выполненных в программе DjVu.
2. Откройте документ DjVu. В том случае, если в файле есть кнопка, которая помогает выделять фрагменты текста, то это означает присутствие поверхностного текстового слоя, который легко можно скопировать в Word.

Довольно часто текстовый наложенный слой не предусматривается. В данном случае нужно скачать программу DjVu Сor. Установленная программа дает возможность сохранить файл в любом подходящем графическом формате. На компьютер также нужно установить программу, позволяющую распознавать текст. И как djvu перевести в word получится после этого? После распознавания текста файл сохраняется в формате Word. Нужно знать, что такие тексты требуют проведения корректировки. Качество текстов во многом зависит от числа скан-копий, которые были сделаны с документа.

Как преобразовать DjVu в PDF

Теперь рассмотрим, Как djvu перевести в pdf. Технология сжатия изображения DjVu очень сильно сжимает файл со значительным снижением качества. Формат же PDF был специально создан для отображения в электронной форме полиграфических материалов. Этот формат обладает множеством опций, позволяющих объединить в едином документе текст и графические объекты.

PDF широко распространенный формат, функциональный и удобный. Поэтому способы как djvu перевести в pdf интересуют многих пользователей.

Распознавание текста в файлах DjVu можно делать либо вручную, либо применяя конвертер.

Для распознавания документа вручную необходимо получить его Djvu изображение, в чем может помочь программа DjVu Editor PRO. После этого нужно использовать программное обеспечение ABBYY Fine Reader, служащее для распознавания текста. Этот способ более сложный и занимает больше времени, чем конвертация. Но он более эффективный, поскольку дает уверенность в том, что картинка будет переведена в текст, а не будет получен PDF файл с изображениями страниц.

Если редактирование текста не является для вас принципиальной процедурой, то можно применять конвертеры или экспортирование файла в документ PDF в интерфейсе DjView.

Конвертационная программа UDC устанавливается в качестве расширения к Internet Explorer. После ее установления любой DjVu файл можно открывать с помощью браузера. Для этого выбираете «Печать» и в списке принтеров отмечаете UDC. «Свойства» — «Загрузить настройки», затем выбирается шаблон – «Text Document to PDF». После этого в окне «Печать» нужно нажать «Ок».

Еще одной возможностью преобразования файлов DjVu в PDF является использование приложения Solid PDF Creator. Это программное обеспечение позволяет трансформировать в PDF файлы любого исходного формата. Создание конечного документа достигается всего несколькими щелчками клавишей мыши и использованием  редактора WYSIWYG.

Преобразование документа из DjVu в PDF позволяет избавиться от некоторых недостатков, присущих исходному формату и получить книгу, совместимую со всеми видами устройств для чтения.

Так вы узнали и запомнили, как djvu перевести в word и pdf. Пользуйтесь этими советами, и не забывайте о них, это пригодится вам не только сейчас, но и, возможно, в будущем.

kakznatok.ru

Как конвертировать djvu в doc — Финансовая жизнь

Как преобразовать DJVU в DOC(WORD)?

Как преобразовать DJVU в DOC(WORD)?

Я бы заявил, что формат DJVU идет вторым по популярности по окончании PDF, в случае если сказать о форматах хранения электронных книг. У этого формата имеется минусы и свои плюсы.

на данный момент мы поболтаем о том, как возможно преобразовать DJVU в DOC. Дело в том, что по сути, говоря несложными словами, DJVU – это комплект картин либо слоев. Исходя из этого, дабы трудиться с этим файлом в WORD, нам нужно преобразовать документ в текст, а для этого необходимо решить задачу распознавания образов.

В действительности, это сверхсложный и трудоемкий процесс, но, эта задача уже решена.

Все, что нам потребуется, это скачать необходимый конвертер, что может преобразовать DJVU в DOC .

Конвертер DJVU в WORD

В данной статье я предоставлю Вам на выбор пара альтернатив разных конвертеров DJVU. Любой из них имеет собственные хорошие стороны.

Итак, начнем!

DJView – конвертер DJVU

На мой взор, это самый несложный и эргономичный

конвертер, что разрешает преобразовать отечественный исходный файл DJVU в DOC (WORD) .

Ниже на рисунке продемонстрирован внешний вид DJView.

djview – конвертер DJVU

лично мне, весьма понравилось наименование этого конвертера: в случае если сказать его вслух, то окажется что-то наподобие “джвю”. Совершенно верно кроме этого произносится и наименование формата DJVU. Весьма созвучно.

Иначе, наименование DJView говорит о том, что эта программу может трудиться с файлами DJVU. Слово View возможно перевести как просмотр.

Я пологаю, что Вы увидели – посредством DJView возможно преобразовать DJVU в разные форматы, в том числе и в WORD.

Все, что Вам необходимо – это скачать конвертер DJView.

Скачать DJView возможно с отечественного сайта. Данный конвертер полностью бесплатный.

Второй метод конвертирования DJVU в DOC

Предлагаю Вашему вниманию второй метод конвертирования DJVU в DOC. Он будет складываться из нескольких этапов:

Чтобы преобразовать DJVU в TXT, Вы имеете возможность скачать любой из предложенных конвертеров в статье о преобразовании DJVU в текст .

Источник: krukover000.blogspot.co.il

Формат djvu — чем открыть? Три способа конвертации djvu в pdf

Интересные записи

Похожие статьи, которые вам, наверника будут интересны:

• Как конвертировать или перевести файл pdf в документ word

  Во глобальной паутине, огромное множество текстовой информации представлено в формате PDF (см. что такое формат PDF ). Просмотреть его весьма легко,…

• Как конвертировать xls в pdf

  на данный момент на сайте Как сохранить Excel в PDF. Дабы преобразовать документ Excel в PDF. необходимо сохранить его в этом формате. Формат PDF…

• Как конвертировать в dvd любые фильмы?

  В наши дни конвертируют в DVD по большей части лишь домашнее видео, любительскую съемку собственных путешествий либо видео выступлений собственных детей….

• Как djvu перевести в word

  Частенько у пользователей появляется вопрос о том, как djvu перевести в word. DjVu – это формат электронных книг. один из многих, не смотря на то, что…

• Как конвертировать djvu в pdf

  Это также возможно Вам весьма интересно: Сейчас взялся писать о том, как преобразовать djvu в pdf, в замыслах было обрисовать пара бесплатных онлайн…

• Конвертируем файл vcard (.vcf) в csv

  Тот, кто хотя бы в один раз терял, топил либо разламывал собственный любимый смартфон, знает, что громаднейшее огорчение доставляет не потеря гаджета, а…

kbrbank.ru

Как djvu перевести в word и pdf — Полезные Советы

Содержание:
Перевод формата DjVu в Word
Как преобразовать DjVu в PDF
Файлы в формате DjVu довольно часто встречаются в электронных книгах, но изначально он предусматривался для хранения изображений. Книги, имеющие формат DjVu, представляют отсканированные изображения, которые собраны в один файл. Такие книги имеют малый вес и очень удобны для хранения. (См. также: Как pdf перевести в djvu. Как pdf перевести в dwg.)
Обычно отсканированные изображения занимают довольно значительный объем памяти. Поэтому если возникает необходимость отсканировать книгу, то целесообразно хранить ее именно в формате DjVu. Но возникают такие вопросы:
– как djvu перевести в word,
– как djvu перевести в pdf.

Содержание страницы

Перевод формата DjVu в Word

Итак, как djvu перевести в word. Файл в формате DjVu является по своей сути изображением, даже если оно подразумевает книгу. Извлечь текст из такой книги является довольно трудной задачей. (См. также: Как pdf перевести в word. Как word перевести в pdf.)
Встречаются файлы, на которые текстовый слой накладывается сверху. В данном случае для его извлечения нужно несколько простых шагов:
Скачать на компьютер подходящую программу, например, DjVu Reader, которая предназначается для просмотра документов, выполненных в программе DjVu.
Откройте документ DjVu. В том случае, если в файле есть кнопка, которая помогает выделять фрагменты текста, то это означает присутствие поверхностного текстового слоя, который легко можно скопировать в Word.
Довольно часто текстовый наложенный слой не предусматривается. В данном случае нужно скачать программу DjVu Сor. Установленная программа дает возможность сохранить файл в любом подходящем графическом формате. На компьютер также нужно установить программу, позволяющую распознавать текст. И как djvu перевести в word получится после этого? После распознавания текста файл сохраняется в формате Word. Нужно знать, что такие тексты требуют проведения корректировки. Качество текстов во многом зависит от числа скан-копий, которые были сделаны с документа.

Как преобразовать DjVu в PDF

Теперь рассмотрим, Как djvu перевести в pdf. Технология сжатия изображения DjVu очень сильно сжимает файл со значительным снижением качества. Формат же PDF был специально создан для отображения в электронной форме полиграфических материалов. Этот формат обладает множеством опций, позволяющих объединить в едином документе текст и графические объекты.
PDF широко распространенный формат, функциональный и удобный. Поэтому способы как djvu перевести в pdf интересуют многих пользователей. (См. также: Как pdf перевести в fb2)
Распознавание текста в файлах DjVu можно делать либо вручную, либо применяя конвертер.
Для распознавания документа вручную необходимо получить его Djvu изображение, в чем может помочь программа DjVu Editor PRO. После этого нужно использовать программное обеспечение ABBYY Fine Reader, служащее для распознавания текста. Этот способ более сложный и занимает больше времени, чем конвертация. Но он более эффективный, поскольку дает уверенность в том, что картинка будет переведена в текст, а не будет получен PDF файл с изображениями страниц.
Если редактирование текста не является для вас принципиальной процедурой, то можно применять конвертеры или экспортирование файла в документ PDF в интерфейсе DjView.
Конвертационная программа UDC устанавливается в качестве расширения к Internet Explorer. После ее установления любой DjVu файл можно открывать с помощью браузера. Для этого выбираете «Печать» и в списке принтеров отмечаете UDC. «Свойства» – «Загрузить настройки», затем выбирается шаблон – «Text Document to PDF». После этого в окне «Печать» нужно нажать «Ок».
Еще одной возможностью преобразования файлов DjVu в PDF является использование приложения Solid PDF Creator. Это программное обеспечение позволяет трансформировать в PDF файлы любого исходного формата. Создание конечного документа достигается всего несколькими щелчками клавишей мыши и использованием  редактора WYSIWYG.
Преобразование документа из DjVu в PDF позволяет избавиться от некоторых недостатков, присущих исходному формату и получить книгу, совместимую со всеми видами устройств для чтения.
Так вы узнали и запомнили, как djvu перевести в word и pdf. Пользуйтесь этими советами, и не забывайте о них, это пригодится вам не только сейчас, но и, возможно, в будущем.

xn--c1ajbfpvv.xn--p1ai

Задача №24. Расчёт показателей вариации по несгруппированным данным

По имеющимся данным о ценах товара в различных магазинах города определить:

1) среднюю цену,

2) моду и медиану,

3) размах вариации,

4) среднее линейное отклонение,

5) дисперсию,

6) среднее квадратическое отклонение,

7) коэффициент осцилляции,

8) коэффициент вариации.

Решение:

1) Расчёт средней цены произведём по формуле средней арифметической простой:

  ден. ед.

2) Найдём моду и медиану.

Мода — это величина признака наиболее часто встречающегося в совокупности.

В данной задаче все цены индивидуальны, и нельзя сказать какая из цен встречается наиболее часто. Поэтому мода в данном ряду распределения отсутствует.

Для нахождения медианы варианты дискретного ряда ранжируем, например, по возрастанию и выберем вариант, стоящий в середине полученного ряда.

18,14
26,92
39,32
39,36
42,13
44,72
44,87
50,38
52,75
58,27
62,51
64,46
65,85
69,68
70,05
70,48
73,24
73,95
79,25
90,71

Так как ряд распределения состоит из чётного числа вариантов, середина приходится на среднее значение 10-го и 11-го варианта.

3) Размах вариации определяется как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

ден. ед.

4) Среднее линейное отклонение вычиляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант х_i от среднего значения. Для удобства вычислений воспользуемся таблицей:

Варианты цен отклоняются от их средней величины  в среднем на 15,3078 ден. ед.

5) Расчёт дисперсии произведём по формуле:

6) Извлекая из дисперсии корень второй степени получаем среднее квадратическое отклонение.

Значения цен в ряду распределения могут отличаться от среднего значения на 18,0005 ден. ед.

7) Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней и определяется по формуле:

8) Коэффициент вариации рассчитывается по формуле

Поскольку  V < 33%, следовательно, вариация умеренная, а совокупность однородна.

ecson.ru

Правило сложения дисперсий — внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии

Условие задачи

Имеются данные о фонде месячной заработной платы и средней зарплаты одного рабочего по трем цехам согласно табл. 10

Таблица 10

Требуется:

• Определить среднюю зарплату одного рабочего по предприятию в целом.
• Общую дисперсию по зарплате.

Задали объемную контрольную работу? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение контрольной работы или онлайн-помощь на зачете/экзамене 〉〉

Решение задачи

Вычисление средней

Среднюю заработную плату вычислим по формуле средней гармонической:

где  – фонд заработной платы в  цехе

 – средняя заработная плата в  цехе

Вычисление средней внутригрупповой и межгрупповой дисперсий

Вычислим общую дисперсию, пользуясь правилом сложения дисперсий:

Внутригрупповые дисперсии найдем как квадрат среднего квадратического отклонения (СКО) по зарплате:

Вычислим количество рабочих в цеху, разделив фонд заработной платы на среднюю месячную заработную плату по цеху:

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Согласно правилу сложения дисперсий:

Выводы к задаче

Таким образом средняя заработная плата по трем цехам составила 149,685 у.е. при общей дисперсии заработной платы .

К оглавлению решебника по статистике 〉

100task.ru

Образцы решения типовых задач

Пример 1. Найти выборочное среднее, несмещенную выборочную дисперсию и несмещенное выборочное среднее квадратическое отклонение для статистического ряда

Решение. Объем выборки . Находим выборочное среднее по формуле (2.1):

Для вычисления несмещенной выборочной дисперсии используем формулу (2.4):

Несмещенное выборочное среднее квадратичное отклонение рассчитывается по формуле (2.6):

Пример 2. Найти выборочное среднее, исправленную выборочную дисперсию и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение для интервального статистического ряда:

Решение. Объем выборки Выборка разбита на шесть интервалов (). Найдем середины интервалов и добавим их в исходную таблицу:

Выборочное среднее, находим по формуле (2.3):

Несмещенная выборочная дисперсия, определяется по формуле (2.5):

Несмещенное выборочное среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле (2.6):

Пример 3. Найти выборочное среднее по выборке объема

Решение. Для упрощения расчетов перейдем к условным вариантам

и_i = х_i – 2620:

Тогда и

Замечание. В качестве числа, которое вычитается при пе­реходе к условным вариантам (условный нуль), обычно выбирается варианта, стоящая в середине ряда, либо та, для которой частота максимальна (выборочная мода). В данном примере они совпа­дают.

Пример 4. Найти неисправленную выборочную дисперсию по выборке объема :

Решение. Перейдем к условным вариантам и_i = 10(х_i – 19,3). Тогда

Dи_i = D(10 — 193) = 100 Dх_i

и

Найдем выборочную дисперсию для новой варианты и_i:

Переходя к первоначальной варианте х_i, получаем

Пример 5. По выборке объема найдена смещенная оцен­ка теоретической дисперсии. Найти исправленную оцен­ку дисперсии генеральной совокупности.

Решение. Несмещенная оценка дисперсии связана со сме­щенной следующей формулой:

Пример 6. Вычислите коэффициенты асимметрии и эксцесса распределения числа проданных цветных телевизоров по данным примера 5 подмодуля 1.1 (табл. 1.1).

Решение.  и интервального вариационного ряда, приведенного в таблице 1.1 подмодуля 1.1, найдем по формулам

и

По аналогии, с приведенными выше примерами, найдем и

Для нахождения μ₃ и μ₄ составим вспомогательную расчетную таблицу 2.1.

Таблица 2.1

= = = =

= 1,4299.

= – 3 = = 5,5022 – 3= = 2,5022.

Таким образом, рассматриваемое распределение числа проданных цветных телевизоров обнаруживает не только некоторую правосторон­нюю асимметрию, но и положительный эксцесс.

Пример 7. В течение недели регистрировались пропуски занятий сту­дентами одной группы. В результате регистрации получили статистиче­ские данные:

2, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 4, 3, 5, 3, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 0, 0, 0, 2, 3, 1, 4.

Вычислите числовые характеристики выборки: выборочное среднее, выборочную дисперсию, моду, медиану, коэффициенты асиммет­рии и эксцесса, коэффициент вариации.

Решение. Воспользуемся средствами MS Excel.

1. Сформируем таблицу исходных данных:

2. Для подсчета выборочного среднего выберем ячейку А5 и перейдем на вкладку Формулы – Другие функции – Статистические и выберем из раскрывающегося списка СРЗНАЧ. В появившемся окне в поле Число1 вводим диапазон исходных данных (А1:J3). После нажатия кнопки ОК, в ячейке А5 появится результат вычисления: 2.

3. Для подсчета выборочной дисперсии выберем ячейку А6 и перейдем на вкладку Формулы – Другие функции – Статистические и выберем из раскрывающегося списка ДИСП.В. В появившемся окне в поле Число1 вводим диапазон исходных данных (А1:J3). После нажатия кнопки ОК, в ячейке А6 появится результат вычисления: ≈1,67

4. Для подсчета моды выберем ячейку А7 и перейдем на вкладку Формулы – Другие функции – Статистические и выберем из раскрывающегося списка МОДА.ОДН. В появившемся окне в поле Число1 вводим диапазон исходных данных (А1:J3). После нажатия кнопки ОК, в ячейке А7 появится результат вычисления: 2.

5. Для подсчета медианы выберем ячейку А8 и перейдем на вкладку Формулы – Другие функции – Статистические и выберем из раскрывающегося списка МЕДИАНА. В появившемся окне в поле Число1 вводим диапазон исходных данных (А1:J3). После нажатия кнопки ОК, в ячейке А8 появится результат вычисления: 2.

6. Для подсчета коэффициента асимметрии выберем ячейку А9 и перейдем на вкладку Формулы – Другие функции – Статистические и выберем из раскрывающегося списка СКОС. В появившемся окне в поле Число1 вводим диапазон исходных данных (А1:J3). После нажатия кнопки ОК, в ячейке А9 появится результат вычисления: ≈0,38.

7. Для подсчета коэффициента эксцесса выберем ячейку А10 и перейдем на вкладку Формулы – Другие функции – Статистические и выберем из раскрывающегося списка ЭКСЦЕСС. В появившемся окне в поле Число1 вводим диапазон исходных данных (А1:J3). После нажатия кнопки ОК, в ячейке А10 появится результат вычисления: ≈-0,1.

8. Для подсчета коэффициента вариации сначала найдем значение среднего квадратического отклонения для выборки, так как коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому. Для этого выберем ячейку А11 и перейдем на вкладку Формулы – Другие функции – Статистические и выберем из раскрывающегося списка СТАНДОТКЛОН.В. В появившемся окне в поле Число1 вводим диапазон исходных данных (А1:J3). После нажатия кнопки ОК, в ячейке А11 появится результат вычисления: ≈1,3.

9. Теперь для вычисления коэффициента вариации есть все необходимые величины. Выберем ячейку А12 и введем в неё формулу: =(A11/A5)*100 (Коэффициент вариации обычно выражается в процентах). После нажатия кнопки Enter в ячейке А12 появится результат вычисления: ≈ 64,55.

Пример 8.  По данным выборки

1, 5, 2, 4, 3, 4, 6, 4, 5,1,2, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 2, 1,

4, 5, 5, 4, 3, 4, 6, 1, 2, 4,4, 3, 5, 6, 4, 3, 3, 1, 3, 4,

3, 4, 3, 1, 2, 4, 4, 5, 6, 1,3, 4, 5, 4, 4, 3, 2, 6, 1, 2,

4, 5, 3, 3, 2, 3, 6, 4, 3, 4,5, 4, 3, 3, 2, 6, 3, 3, 5, 4,

4, 3, 3, 2, 1, 2, 1, 6, 5, 4,3, 2, 3, 4, 4, 3, 5, 6, 1, 5.

Определить средний разряд рабочего, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Решение. 1. Для начала сформируем таблицу исходных данных в программе MS Excel:

2. Для нахождения среднего разряда воспользуемся функцией МОДА.ОДН:

а) Необходимо выбрать ячейку, в которую будет помещен результат (А11)

б) Перейти на вкладку ФОРМУЛЫ – Другие функции – Статистические и из выпадающего списка выбрать МОДА.ОДН

в) В поле Число1 указать диапазон исходных данных (А1:К10)

г) Нажать кнопку ОК. В ячейке А11 появится результат вычисления = 4.

3. Для нахождения выборочной дисперсии воспользуемся функцией ДИСП.В:

а) Необходимо выбрать ячейку, в которую будет помещен результат (А12)

б) Перейти на вкладку ФОРМУЛЫ – Другие функции – Статистические и из выпадающего списка выбрать ДИСП.В

в) В поле Число1 указать диапазон исходных данных (А1:К10).

г) Нажать кнопку ОК. В ячейке А12 появится результат вычисления ≈ 2,03.

4. Чтобы найти выборочное среднее квадратическое отклонение будем использовать функцию СТАНДОТКЛОН.В:

а) Необходимо выбрать ячейку, в которую будет помещен результат (А13)

б) Перейти на вкладку ФОРМУЛЫ – Другие функции – Статистические и из выпадающего списка выбрать СТАНДОТКЛОН.В

в) В поле Число1 указать диапазон исходных данных (А1:К10)

г) Нажать кнопку ОК. В ячейке А13 появится результат вычисления ≈ 1,42.

studfiles.net

Решение задач на нахождение дисперсии дискретной случайной величины X

Задача 4

1)Случайная величина X может принимать два значения: x1 с вероятностью 0,3 и x2 с вероятностью 0,7. Найти значение выражения если дисперсия  D(x)=3/5

Ответ 2.85714

2) Найти дисперсию дискретной случайной величины X, имеющей закон распределения:

Ответ: 3.45

3) Найти дисперсию дискретной случайной величины X, имеющей закон распределения:

Ответ 4.45

4) Случайная величина X может принимать два значения: x1с вероятностью 0,7 и x2 с вероятностью 0,3. Найти значение выражения если дисперсия  D(x)=18/25

     Ответ 3.4286

6) Случайная величина X может принимать два значения: x1 с вероятностью 0,2 и с вероятностью 0,8. Найти значение выражения если дисперсия D(x)= 9/20

Ответ:2.8125

7) Найти дисперсию дискретной случайной величины X, имеющей закон распределения:

Ответ 3.21

8) Случайная величина X может принимать два значения: c x1 с вероятностью 0,2 и с вероятностью 0,8. Найти значение выражения если дисперсия D(x)=11/20

Ответ 3.4375

9) Случайная величина X может принимать два значения: x 1с вероятностью 0,8 и x2 с вероятностью 0,2. Найти значение выражения если дисперсия

Ответ 1.31578

10) Случайная величина X может принимать два значения: x1с вероятностью 0,6 и с вероятностью 0,4. Найти значение выражения если дисперсия D(x)= 6/11

Ответ 2.2727

11) Случайная величина X может принимать два значения: x1 с вероятностью 0,6 и x2 с вероятностью 0,4. Найти значение выражения если дисперсия

Ответ 3.88889

12) Найти дисперсию дискретной случайной величины X, имеющей закон распределения:

Ответ 7.21

13) Случайная величина X может принимать два значения: x1 с вероятностью 0,4 и x2 с вероятностью 0,6. Найти значение выражения если дисперсия D(x)=7/20

Ответ 1.458333333

14) Случайная величина X может принимать два значения: x1 с вероятностью 0,8 и x2 с вероятностью 0,2. Найти значение выражения если дисперсия D(x)=3/8

Ответ 2.34375

15) Случайная величина X может принимать два значения: x1 с вероятностью 0,6 и x2 с вероятностью 0,4. Найти значение выражения если дисперсия D(x)=13/5

Ответ 10.833

16) Случайная величина X может принимать два значения: x1с вероятностью 0,8 и x2 с вероятностью 0,2. Найти значение выражения если дисперсия D(x)=4/19

Ответ 1.3157

17) Случайная величина X может принимать два значения: x1 с вероятностью 0,2 и x2 с вероятностью 0,8. Найти значение выражения если дисперсия D(x)=8/17

Ответ 2.9412

 18) Найти дисперсию дискретной случайной величины X, имеющей закон распределения:

Ответ 7.61

19) Случайная величина X может принимать два значения: x1 с вероятностью 0,7 и x2 с вероятностью 0,3. Найти значение выражения если дисперсия D(x)=17/20

Ответ 4.0476

vunivere.ru

Несмещенная оценка дисперсии — исправленная выборочная дисперсия

Условие задачи

Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки.

Решение задачи

Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение или онлайн-помощь на зачете/экзамене 〉〉

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, поэтому в статистике применяют также исправленную выборочную дисперсию, которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Сумма частот:

Вычислим среднюю:

Средняя квадратов:

Несмещенная выборочная дисперсия:

Ответ

Кроме этой задачи на другой странице сайта есть пример расчета исправленной выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения для интервального вариационного ряда

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике 〉

100task.ru

Дисперсия дискретной случайной величины

Как уже говорилось выше, математическое ожидание яв­ляется средней характеристикой случайной величины. Однако оно не характеризует случайную величину достаточно полно, и по этой причине рассматриваются и другие числовые ха­рактеристики. Пусть Х — случайная величина, а М(Х) — ее математическое ожидание.

Определение 2. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением.

Пусть закон распределения случайной величины Х дается формулой (18.1), тогда отклонение X — M(X) имеет следующий закон распределения:

Отклонение имеет важное свойство, которое устанавливается непосредственно из свойств математического ожидания:

т.е. математическое ожидание отклонения равно нулю.

Пример 5. По данным примера 3 найти закон распределения отклонения числа проданных за день автомашин.

Решение. Как было подсчитано в примере 3, М(Х) = 2,675. Тогда, согласно (18.8), искомый закон определяется следующей таблицей:

На практике важной характеристикой является рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Среднее значение отклонения, соглас­но (18.9), равно нулю, так как суммируются отрицательные и положительные отклонения (см. пример 5), поэтому целесооб­разно ввести в рассмотрение абсолютные значения отклонений или их квадраты.

Определение 3. Математическое ожидание квадрата откло­нения называется дисперсией, или рассеянием:

Пусть случайная величина задана законом распределения (18.1), тогда квадрат отклонения этой случайной величины имеет следующий закон распределения:

Отсюда, согласно формуле (18.10), получаем формулу диспер­сии в развернутом виде:

При вычислении дисперсии часто бывает удобно воспользо­ваться формулой, которая непосредственно выводится из фор­мулы (18.10):

Пример 6. Найти дисперсию ежедневной продажи числа ав­томашин по данным примера 3.

Решение. Закон распределения случайной величины X² имеет вид

Математическое ожидание М(Х²) подсчитывается из этой таб­лицы:

Математическое ожидание М(Х) = 2,675. Следовательно, со­гласно формуле (18.11), получаем искомую величину диспер­сии:

Свойства дисперсии

Приведем здесь основные свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Перечисленные свойства дисперсии используются при вы­числениях, когда мы имеем дело с несколькими случайными ве­личинами. Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D(X + C) = D(X), где С — постоянная величина. Кроме того, справед­лива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Дисперсия числа появления события А в п не­зависимых испытаниях с вероятностью появления р в каж­дом из них этого события вычисляется по формуле

Приведем здесь еще два важных результата: для случай­ной величины, распределенной по закону Пуассона (18.4), ма­тематическое ожидание и дисперсия равны параметру данного распределения.

Пример 7. Найти дисперсию числа выигрышных лотерейных билетов по данным примера 4.

Решение. Имеем 200 независимых испытаний с вероятнос­тью появления выигрышного билета р = 0,015. Стало быть, q = 1 — 0,015 = 0,985, откуда и получаем искомую дисперсию:

Пример 8. Банк выдал ссуды п разным заемщикам в размере S р. каждому под ставку ссудного процента r. Найти матема­тическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также усло­вие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата ссуды заемщиком равна р.

Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери ссуды для банка в каждом испытании рав­на q = 1 — р. Пусть Х — число заемщиков, возвративших ссуду с ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется фор­мулой

где Х является случайной величиной с биномиальным зако­ном распределения. Тогда, согласно теореме 18.1, математи­ческое ожидание прибыли определяется с использованием фор­мулы (18.7):

Поскольку выдача ссуды имеет смысл лишь при положитель­ном математическом ожидании прибыли (положительная сред­няя величина прибыли), то из условия М(П) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента:

Дисперсия прибыли банка находится, согласно теореме 18.2, с использованием формулы (18.14) и свойств 1-3:

studfiles.net

4.2.1. Дисперсия случайной величины

Дисперсией(рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для вычисления дисперсии можно использовать слегка преобразованную формулу

,

так как М(Х), 2 и– постоянные величины. Таким образом,

.

4.2.2. Свойства дисперсии

Свойство 1.Дисперсия постоянной величины равна нулю. Действительно, по определению

Свойство 2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии с возведением его в квадрат.

Доказательство

Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:

Центрированная величина обладает двумя удобными для преобразования свойствами:

Свойство 3.Если случайные величины Х иYнезависимы, то

Доказательство. Обозначим. Тогдаи.

Поэтому

Во втором слагаемом в силу независимости случайных величин и свойств центрированных случайных величин

,

поэтому

.

Пример 4.5. Еслиaиb– постоянные, тоD(aХ+b)=D(aХ)+D(b)=.

4.2.3. Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия, как характеристика разброса случайной величины, имеет один недостаток. Если, например, Х – ошибка измерения имеет размерность ММ, то дисперсия имеет размерность . Поэтому часто предпочитают пользоваться другой характеристикой разброса –средним квадратическим отклонением, которое равно корню квадратному из дисперсии

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Пример 4.6. Дисперсия числа появления события в схеме независимых испытаний

Производится nнезависимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равнар. Выразим, как и прежде, число появления событияХчерез число появления события в отдельных опытах:

Так как опыты независимы, то и связанные с опытами случайные величины независимы. А в силу независимостиимеем

Но каждая из случайных величин имеет закон распределения (пример 3.2)

и (пример 4.4). Поэтому, по определению дисперсии:

,

где q=1-p.

В итоге имеем ,

Среднее квадратическое отклонение числа появлений события в nнезависимых опытах равно.

4.3. Моменты случайных величин

Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х () называется математическое ожиданиеk-й степени этой случайной величины.

Центральным моментомk-го порядка случайной величиныХназывается математическое ожиданиеk-ой степени соответствующей центрированной величины.

Легко видеть, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю, центральный момент второго порядка равен дисперсии, так как .

Центральный момент третьего порядка дает представление об асимметрии распределения случайной величины. Моменты порядка выше второго употребляются сравнительно редко, поэтому мы ограничимся только самими понятиями о них.

4.4. Примеры нахождения законов распределения

Рассмотрим примеры нахождения законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.

Пример 4.7.

Составить закон распределения числа попаданий в цель при трех выстрелах по мишени, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Найти интегральную функцию F(х)для полученного распределения дискретной случайной величиныХи начертить ее график. Найти математическое ожиданиеM(X), дисперсиюD(X)и среднее квадратическое отклонение (Х) случайной величиныX.

Решение

1) Дискретная случайная величина Х– число попаданий в цель при трех выстрелах – может принимать четыре значения:0, 1, 2, 3. Вероятность того, что она примет каждое из них, найдем по формуле Бернулли при:n=3,p=0,4,q=1-p=0,6 иm=0, 1, 2, 3:

.

Получим вероятности возможных значений Х:;

;

.

Составим искомый закон распределения случайной величины Х:

Контроль: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.

Построим многоугольник распределения полученной случайной величины Х. Для этого в прямоугольной системе координат отметим точки (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Соединим эти точки отрезками прямых, полученная ломаная и есть искомый многоугольник распределения (рис. 4.1).

х

Рис. 4.1.

2) Если х0, то F(х)=0. Действительно, значений, меньших нуля, величина Х не принимает. Следовательно, при всех х0 , пользуясь определениемF(х), получим F(х)=P(X<x)=0 (как вероятность невозможного события).

Если 0<x, тоF(X)=0,216. Действительно, в этом случаеF(х)=P(X<x)= =P(-<X0)+P( 0<X<x)=0,216+0=0,216.

Если взять, например, х=0,2, тоF(0,2)=P(X<0,2). Но вероятность событияХ<0,2 равна 0,216, так как случайная величинаХлишь в одном случае принимает значение меньшее 0,2, а именно0с вероятностью 0,216.

Если 1<x, то

Действительно, Хможет принять значение 0 с вероятностью 0,216 и значение 1 с вероятностью 0,432; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое,Хможет принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,648.

Если 2<x, то рассуждая аналогично, получимF(х)=0,216+0,432 + + 0,288=0,936. Действительно, пусть, например,х=3. ТогдаF(3)=P(X<3)выражает вероятность событияX<3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииF(х).

Если x>3, тоF(х)=0,216+0,432+0,288+0,064=1. Действительно, событиеXявляется достоверным и вероятность его равна единице, аX>3 – невозможным. Учитывая, что

F(х)=P(X<x)=P(X3) + P(3<X<x), получим указанный результат.

Итак, получена искомая интегральная функция распределения случайной величины Х:

F(x)=

график которой изображен на рис. 4.2.

Рис. 4.2

3) Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений Хна их вероятности:

М(Х)=0=1,2.

То есть, в среднем происходит одно попадание в цель при трех выстрелах.

Дисперсию можно вычислить, исходя из определения дисперсии D(X)=M(X—M(X))или воспользоваться формулойD(X)=M(X, которая ведет к цели быстрее.

Напишем закон распределения случайной величины Х:

Найдем математическое ожидание для Х:

М(Х)= 04= 2,16.

Вычислим искомую дисперсию:

D(X) = M(X) – (M(X))= 2,16 – (1,2)= 0,72.

Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле

(X) = = 0,848.

Интервал (M—; M+) = (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) – интервал наиболее вероятных значений случайной величиныХ, в него попадают значения 1 и 2.

Пример 4.8.

Дана дифференциальная функция распределения (функция плотности) непрерывной случайной величины Х:

f(x)=

1) Определить постоянный параметр a.

2) Найти интегральную функцию F(x).

3) Построить графики функций f(x)иF(x).

4) Найти двумя способами вероятности Р(0,5<X1,5)иP(1,5<X<3,5).

5). Найти математическое ожидание М(Х), дисперсиюD(Х)и среднее квадратическое отклонение случайной величиныХ.

Решение

1) Дифференциальная функция по свойству f(x)должна удовлетворять условию.

Вычислим этот несобственный интеграл для данной функции f(x):

Подставляя этот результат в левую часть равенства, получим, что а=1. В условии дляf(x)заменим параметрана 1:

2) Для нахождения F(x)воспользуемся формулой

.

Если х, то, следовательно,

Если 1то

Если x>2, то

Итак, искомая интегральная функция F(x)имеет вид:

3) Построим графики функций f(x)иF(x) (рис. 4.3 и 4.4).

Рис. 4.3

Рис. 4.4.

4) Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (а,b)вычисляется по формуле , если известнафункция f(x), и по формуле P(a < X <b) = F(b) – F(a), если известна функция F(x).

Найдем по двум формулам и сравним результаты. По условиюа=0,5; b=1,5; функцияf(X) задана в пункте 1). Следовательно, искомая вероятность по формуле равна:

Та же вероятность может быть вычислена по формуле b) через приращение полученной в п.2). интегральной функцииF(x)на этом интервале:

, так какF(0,5)=0.

Аналогично находим

,

или

,

так как F(3,5)=1.

5) Для нахождения математического ожидания М(Х)воспользуемся формулой Функцияf(x) задана в решении пункта 1), она равна нулю вне интервала (1,2]:

Дисперсия непрерывной случайной величиныD(Х)определяется равенством

, или равносильным равенством

.

ДлянахожденияD(X)воспользуемся последней формулой и учтем, что все возможные значенияf(x)принадлежат интервалу (1,2]:

Среднее квадратическое отклонение ==0,276.

Интервал наиболее вероятных значений случайной величины Хравен

(М-,М+) = (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).

studfiles.net

Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1 — Павел Данко

itexts.net

Высшая математика в упражнениях и задачах (П.Е. Данко и др. ) — в 2-томах

Высшая математика в упражнениях и задачах (П.Е. Данко и др. ) — в 2-томах