В матрице две одинаковые строки – определение и свойства. Вычисление детерминантов. Правило Крамера. Метод Гаусса решения системы, страница 2

определение и свойства. Вычисление детерминантов. Правило Крамера. Метод Гаусса решения системы, страница 2

Из свойства 1 следует равноправность строк и столбцов. Именно, если справедливо какое-либо утверждение о детерминантах, касающееся строк соответствующих матриц, то верно и аналогичное утверждение, касающееся столбцов, и обратно.

Свойство 2. Если элементы одной строки или столбца детерминанта равны нулю, то и детерминант равен нулю.

Доказательство: Доказательство вытекает из доказанной ранее теоремы. Раскроим детерминант по   -й строке

что и требовалось доказать.

Свойство 3. Для того чтобы умножить детерминант на число, достаточно умножить на это число строку (столбец).

Доказательство: Доказательство вытекает из доказанной ранее теоремы. Раскроим детерминант по   -й строке

Таким образом каждый элемент -й строки умножился на , что и требовалось доказать.

Свойство 4. Если одна из строк (столбцов) является суммой двух строк (столбцов), то её детерминант есть сумма детерминантов соответствующих матриц.

Доказательство: Доказательство вытекает из доказанной ранее теоремы. Раскроим детерминант по   -й строке

что и требовалось доказать.

Свойство 5. Если в матрице поменять местами какие-нибудь две строки (столбца), то ее детерминант изменит знак.

Доказательство: Доказательство мы проведем методом полной индукции. Непосредственно очевидно, что для матриц второго порядка она справедлива 

Здесь  матрица, у которой поменяли местами строки.

Допустим, что формула верна для матриц порядка , и докажем ее для матрицы порядка . Детерминант матрицы порядка мы разложим по любому столбцу, отличному от переставляемых столбцов. Переставляемые столбцы входят в каждый дополнительный минор, и если предложение справедливо для матриц порядка , при перестановке столбцов каждый минор меняет знак. Отсюда вытекает, что знак изменится и у детерминанта, что и заканчивает доказательство.

В качестве следствий из свойства 4 мы получим следующие свойство.

Свойство 6.  Если в матрице есть два две одинаковые строки (одинаковых столбца), то .

Доказательство: Действительно, при перестановке одинаковых столбцов мы не изменяем матрицу, а изменим знак у детерминанта. Отсюда  и, следовательно, , что и требовалось доказать.

Свойство 7. Справедливы следующие формулы

,      

Здесь  — символ Кронекера, который определён следующим образом

Доказательство: Если то мы получаем детерминант, раскрытый по -ой строке. Если же то получается детерминант, у которого две строки равные, а он по 5 свойству детерминантов равен нулю, что и требовалось доказать.

Свойство 8. Детерминант матрицы не изменится, если к какой-нибудь строке (какому – нибудь  ее столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов) этой матрицы.

Доказательство: К -й строке прибавим линейную комбинацию остальных строк, а затем раскроем определитель по -й строке.

  По свойству 7 .

Тогда получаем   свойство доказано.

3.  Вычисление детерминантов.

Используя свойства детерминантов, его можно привести к диагональному виду

Полученный детерминант вычисляется по формуле .

Метод сведение детерминанта к диагональному виду называется методом последовательных исключений, который впервые предложил Гаусс.

Опишем его. Пусть , это предположение не ограничивает общность рассуждений, в силу свойств детерминантов (если , то поменяем местами столбцы, поменяв знак на противоположный ). Умножим первую строку на  и сложим со второй строкой, тогда на первом месте во второй строке будет ноль. Умножим первую строку на  и сложим с третей строкой, тогда на первом месте в третей строке будет ноль и так далее. Мы получим детерминант

в котором . Аналогичным образом сделаем нули во втором столбце под элементом  и так далее. Если в процессе вычислений в одной из строк все элементы получатся равные нулю, то и детерминант будет равен нулю.

4. Системы линейных уравнений

Систему уравнений вида

    

мы будем называть системой  линейных уравнений с  неизвестными . Коэффициенты этих урав­нений мы будем записывать в виде матрицы

называемой матрицей системы. Числа, стоящие в пра­вых частях уравнений, образуют столбец , называемый столбцом свободных членов.

Определение. Совокупность  чисел  называется решением системы, если каждое уравне­ние системы обращается в тождество после подстановки в него чисел  вместо соответствующих неизвестных .

vunivere.ru

Определители

Определители

С понятием определителя мы уже сталкивались при изучении векторного произведения в разделе 10. Там были введены определители матриц второго и третьего порядка. В этом разделе мы дадим определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка. Такое рекуррентное определение и было использовано для введенияопределителя матрицы третьего порядка. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы будем обозначатьили.

Определение 14.6Определителем квадратной матрицывторого порядка называется число. Определителем квадратной матрицыпорядка,, называется число

где — определитель матрицы порядка, полученной из матрицывычеркиванием первой строки и столбца с номером.

Легко проверить, что это определение для определителей второго и третьего порядка совпадает с данным ранее в разделе 10.

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

        Замечание 14.7Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.

        Замечание 14.8Вопределении 14.6было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядкаи принимающая значения в множестве чисел.

        Замечание 14.9В литературе вместо термина «определитель» используется также термин «детерминант», имеющий тот же самый смысл. От слова «детерминант» и появилось обозначение.

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде предложений.

Предложение 14.6При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .

Предложение 14.7Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .

Предложение 14.8Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.

Ввиду ограниченности курса доказательства этих трех свойств мы опускаем. Читатель может найти их в учебниках по линейной алгебре [3],[5]или же может без особых сложностей проверить их на матрицах второго и третьего порядков.

Предложение 14.9Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

        Доказательство.     Поменяем местами две одинаковые строки. В силу

предложения 14.8определитель сменит знак. С другой стороны, так как строки были одинаковыми, то матрица не изменилась и, следовательно, не изменился и ее определитель. Получим, что, откуда следует, что.

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.

Предложение 14.10Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

        Доказательство.     Пусть— исходная матрица,— матрица, полученная изумножением первой строки на число:

Тогда

где — определитель матрицы, полученной из матрицыили, что то же самое, из матрицывычеркиванием первой строки и-ого столбца.

Вынесем множитель за знак суммы и получим

Пусть теперь матрица получается из матрицыумножением-ой строки на число. Поменяем местами первую и-ую строки в матрицеи то же самое проделаем в матрице. Получим две новых матрицыи. Попредложению 14.8

(14.10)

Очевидно, что матрица получается из матрицыумножением первой строки на число. Как только что было доказано,. Таким образом, из второго равенства (14.10) находим, отсюда с помощью первого равенства (14.10) получаем.

Предложение 14.11Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

        Доказательство.     Нулевую строку можно рассматривать как строку из единиц, умноженную на число ноль. Попредложению 14.10определитель такой матрицы равен нулю, умноженному на определитель матрицы, содержащей строку из единиц. Результат такого умножения всегда будет ноль.

Предложение 14.12Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

        Доказательство.    Попредложению 14.10определитель исходной матрицы равен числу, умноженному на определитель матрицы, у которой есть две одинаковые строки. Попредложению 14.9определитель последней матрицы равен нулю. Поэтому и определитель исходной матрицы равен нулю.

Предложение 14.13Пусть в матрице -ая строка имеет вид. Тогда, где матрицаполучается из матрицызаменой-ой строки на строку, а матрица— заменой-ой строки на строку.

        Доказательство.     Пусть первая строка матрицыимеет вид. Тогда

Для случая утверждение доказано.

Пусть . Обозначим через,,матрицы,, и, в которых поменяли местами первую и-ую строки. По только что доказанному (для) утверждению. Попредложению 14.8,,. Следовательно,. Умножив обе части последнего равенства на, получим требуемое утверждение.

Предложение 14.14Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

        Доказательство.     Пусть к-ой строке матрицыприбавлена-ая строка, умноженная на число. Новую матрицу обозначим. В матрицеэлементы-ой строки имеют вид. Попредложению 14.13, где— матрица, полученная из матрицызаменой-ой строки на-ую строку, умноженную на число. Попредложению 14.12, то есть.

Предложение 14.15Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

        Доказательство.     Попредложению 14.13определитель исходной матрицы равен сумме определителей матриц, в каждой из которых есть пропорциональные строки. Попредложению 14.12все эти определители равны нулю. Следовательно, и определитель исходной матрицы тоже равен нулю.

Определение 14.7Алгебраическим дополнением к элементуматрицыназывается число, равное, где— определитель матрицы, полученной из матрицывычеркиванием-ой строки и-ого столбца.

Алгебраическое дополнение к элементу матрицыобозначается.

        Пример 14.4Пусть. Тогда

        

Замечание 14.10Используя алгебраические дополнения,определение 14.6определителя можно записать так:

        

Предложение 14.16Разложение определителя по произвольной строке. Для определителя матрицы справедлива формула

        Доказательство.     Если, положим. Пусть. Тогда-ую строку поменяем местами со строкой с номером. Определитель сменит знак. Затем строку с номеромпоменяем местами со строкой с номером. Определитель снова сменит знак. Процесс перестановки строк будем продолжать до тех пор, пока-ая строка матрицыне станет первой строкой новой матрицы, которую мы обозначим. Отметим, что в матрице, начиная со второй строки, стоят строки матрицы, причем порядок их следования не изменился.

При переходе от матрицы к матрицеопределитель сменит знакраз (проверьте для случая). Таким образом

(14.11)

Это соотношение верно и при . Поопределению 14.6определителя,

где — определитель матрицы, полученной из матрицывычеркиванием первой строки и-ого столбца. Первая строка матрицысовпадает с-ой строкой матрицы, поэтому. Результат вычеркивания в матрицепервой строки и-ого столбца будет таким же, как при вычеркивании в матрице-ой строки и-ого столбца. Поэтому, где— определитель матрицы, полученной при вычеркивании в матрице-ой строки и-ого столбца. Следовательно,

В силу равенства (14.11) получим

По определению 14.7алгебраического дополнения получим. Тогда из предыдущего равенства вытекает

что и требовалось доказать.     

        Пример 14.5Вычислите.

Решение.Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех — нули. Получим

        

Предложение 14.17Для квадратной матрицы порядкапривыполнено соотношение

(14.12)

        Доказательство.     Пусть— матрица, полученная из матрицы, в которой-ая строка заменена-ой строкой этой же матрицы, а сама-ая строка осталась без изменения. Таким образом, в матрицеесть две одинаковые строки и в силупредложения 14.9.

С другой стороны, используя разложение определителя по -ой строке (предложение 14.16), получим

где — алгебраическое дополнение к элементу. Так как все строки матрицы, кроме-ой, совпадают со строками матрицы, то. Так как по построению матрицы, то

Так как , то равенство (14.12) доказано.

Предложение 14.18Все свойства определителя, сформулированные для строк ( предложения 14.8—14.17), справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по -ому столбцу

(14.13)

и равенство

при .

        Доказательство.     В силупредложения 14.6определитель не меняется при транспонировании матрицы, а ее столбцы становятся строками транспонированной матрицы, для которой доказываемые свойства имеют место.

Предложение 14.19Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

        Доказательство.     Воспользуемся индукцией по порядку матрицы. Для:

утверждение верно. Предположим, что доказываемое утверждение верно для матриц порядка . Покажем, что оно верно для матрицы порядка.

Если — верхняя треугольная матрица, то используем разложение по первому столбцу (равенство (14.13) при):

Справа стоит определитель треугольной марицы порядка . По предположению индукции этот определитель равен. Поэтому.

Если — нижняя треугольная матрицы, то нужно воспользоваться разложением по первой строке. В остальном рассуждения аналогичны.

Итак, утверждение верно для матрицы порядка . Предложение доказано.

Следствие 14.1Определитель единичной матрицы равен единице, .

Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм вычислений следующий.

Алгоритм создания нулей в столбце.

Пусть требуется вычислить определитель матрицы порядка. Если, то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель, будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрицаимеет нулевой столбец и попредложениям 14.11,14.18ее определитель равен нулю.

Итак, считаем, что уже в исходной матрице . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число. Тогда первый элемент второй строки будет равен

Остальные элементы новой второй строки обозначим ,. Определитель новой матрицы попредложению 14.14равен.

Первую строку умножим на число и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен

Остальные элементы новой третьей строки обозначим ,. Определитель новой матрицы попредложению 14.14равен.

studfiles.net

Вопросы для математиков и всех интересующихся алгеброй

1- матрица в которой m-чилсло столбцов, n-число строк 2-матрица с одинаковым числом строк и столбцов называется определителем 3-обратная матрица, это матрица, в которо стобцы стали строками, а строки столбцами 4-линейное уравнение-это уравнение вида ax+b=y, где x-переменная 5-решить можно методом Гауса, матрицей и определителем 6-не помню)))

Фига у тебя вопросов накопилось. Проще где-нибудь в рамблере ответы поискать.

1. Матрицей порядка m*n на зывают прямоугольную таблицу чисел или буквенных выражений, содержащих mстрок и n столбцов. 2. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. 3. Матрица А (-1) называется обратной к квадратной матрице А, если их произведение равно единичной матрице. 4. Линейное уравнение представляет собой уравнение типа а1х1+а2+х2+…аnхm=b1. 5. Методом Гаусса, методом Крамера, матричным методом. 6. 1) определитель n-го порядка сводится к вычислению определителей (n-1)-го порядка посредством его разложения по какой-либо i-щй строку (k-му столбцу) 2) определитель транспортированной матрицы равен определителю исходной матрицы 3) если все элементы какой-либо строки или столбца определителя равны нулю, то такой определитель равен нулю

touch.otvet.mail.ru

3. Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.

Теорема: Определитель порожденный матрицей не изменится если в ней поменять местами строки со столбцами.

Доказательство: А) Определим вначале знак члена определителя при произвольном порядке сомножителей.

a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αk, βk}… a_{αl, βl}… a_{αn, βn}(*)

α₁, α₂… α_k… α_l…α_n(1) – перестановка номеров строк.

β₁, β₂… β_k… β_l…β_n(1’) – перестановка индексов столбцов.

Обозначим число инверсий в перестановке (1) – S_1, в перестановке (1’) – S₁’. Рассмотрим сумму S₁+ S₁’, и покажем, что четность или нечетность этой суммы не меняется ни при каком изменении порядка множителей. Ясно что от одного порядка множителей к другому можно перейти с помощью конечного числа транспозиций множества. Поэтому достаточно доказать, что характер четности числа S₁+ S₁’ не изменится при одной транспозиции множества в произведении(*).

a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αl, βl}… a_{αk, βk}… a_{αn, βn}(**)

α₁, α₂… α_l… α_k…α_n(2)

β₁, β₂… β_l… β_k…β_n(2’)

Число инверсий в перестановке (2) – S₂, в перестановке(2’) — S₂’. Рассмотрим число S₂+S₂’. S₁ и S₂ имеют разный характер четности. S₁’ и S₂’ имеют разный характер четности следовательно суммы S₁+ S₁’ и S₂+S₂’ имеют одинаковый характер четности. Напишем множители рассматриваемого члена определителя (*) в порядке следования строк: a_{1, j1}, a_{2, j2}…a_{n, jn}(3).

Обозначим число инверсий столбцов через S, число инверсий в перестановке строк =0. Таким образом по доказанному числа 0+S и S₁+S₁’ имеют одинаковый характер четности. Следовательно, знак члена определителя (*):

(-1)^S=(-1)^S1+S1’

В)

Рассмотрим произвольный член определителя D: a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αn, βn}— он будет и членом определителя D₁, т.к. в нем в качестве множителя взят один и только один элемент из каждой строки и столбца матрицы определителя D₁(в D первые индексы – номера строк, вторые – номера столбцов, а в определителе D₁ – наоборот).

Покажем что знаки этого члена, как в D, так и в D₁ будут одинаковы. Это следует из того что знаки этого члена и в Dи в D₁ определяются суммой числа инверсий в перестановках первых и вторых индексов. D=D₁ .(ч.т.д.)

4. Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.

Теорема: Если в матрице определителя поменять местами 2 строки, то определитель изменит знак на противоположный.

Доказательство:

a_{1, γ1}*a_{2, γ2}*…*a_{k, γk}*…*a_{l, γl}*…*a_{n, γn} – член определителя D, он будет и членом определителя D₁, но знак его здесь будет противоположный.

Знак этого члена определителя в D: γ₁,γ₂…γ_k…γ_l…γ_n(1)

А в D₁: a_{1, γ1}*a_{2, γ2}*…* a_{l, γl} *…* a_{k, γk} *…*a_{n, γn}

γ₁,γ₂…γ_l…γ_k…γ_n(2)

Перестановки (1) и (2) отличаются одной транспозицией, значит характер четности этих перестановок разный. Следовательно рассматриваемый член в D и в D₁ имеет разные знаки. Следовательно D= – D₁.(ч.т.д.)

Следствие: Определитель с двумя одинаковыми строками равен 0.

Доказательство: Допустим в матрице определителя D две одинаковые строки. Поменяем местами эти две одинаковые строки. Определитель соответствующий новой матрице обозначим D₁. Согласно доказанной теореме D= – D₁. Но т.к. мы поменяли две одинаковые строки и матрица не изменилась, следовательно, D=D₁. Получаем иD=0.(ч.т.д.)

studfiles.net