Как найти комплексные корни квадратного уравнения – . . .

Содержание

Корень квадратного уравнения Вики

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

где x{\displaystyle x} — неизвестное, a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} — коэффициенты, причём a≠0.{\displaystyle \quad a\neq 0.}

Выражение ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} называют квадратным трёхчленом[1].

Корень — это значение переменной x{\displaystyle x}, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия[1]:

  • a{\displaystyle a} называют первым или старшим коэффициентом,
  • b{\displaystyle b} называют вторым, средним или коэффициентом при x{\displaystyle x},
  • c{\displaystyle c} называют свободным членом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a{\displaystyle a}:

x2+px+q=0,p=ba,q=ca.{\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.}

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Исторические сведения о квадратных уравнениях[ | код]

Древний Вавилон[ | код]

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

x2+x=34; x2−x=1412.{\displaystyle x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.}

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия[ | код]

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ax2+bx=c{\displaystyle ax^{2}+bx=c}; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме a,{\displaystyle a,} могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

I способ. Общая формула для вычисления корней[ | код]

Для нахождения корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

Выведение формулы

Формулу можно получить следующим образом:

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}
ax2+bx=−c{\displaystyle ax^{2}+bx=-c}

Умножаем каждую часть на 4a{\displaystyle 4a} и прибавляем b2{\displaystyle b^{2}}:

4a2x2+4abx+b2=−4ac+b2{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}}
(2ax+b)2=−4ac+b2{\displaystyle (2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}}
2ax+b=±−4ac+b2{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}}
2ax=−b±−4ac+b2{\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}}
x1,2=−b±b2−4ac2a.{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

Примечание: очевидно, что формула для корня кратности 2 является частным случаем общей формулы, получается при подстановке в неё равенства D=0, а вывод о отсутствии вещественных корней при D<0 следует также сделать, учтя, что в этом случае -D>0, а −1=i{\displaystyle {\sqrt {-1}}=i}.

Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b[ | код]

Для уравнений вида ax2+2kx+c=0{\displaystyle ax^{2}+2kx+c=0}, то есть при чётном b{\displaystyle b}, где

k=12b,{\displaystyle k={\frac {1}{2}}b,}

вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать более простые выражения[1].

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b=2k и совершив при этом несложные преобразования.

III способ. Решение неполных квадратных уравнений[ | код]

К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов[ | код]

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту[ | код]

Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: a+c=b{\displaystyle a+c=b}, то его корнями являются −1{\displaystyle -1} и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту (−ca{\displaystyle -{\frac {c}{a}}}).

Доказательство

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

D=b2−4ac=(a+c)2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2{\displaystyle D=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}}.

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов (a−c)2⩾0{\displaystyle (a-c)^{2}\geqslant 0}, а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если a≠c{\displaystyle a\not =c}, то уравнение имеет два корня, если же a=c{\displaystyle a=c}, то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

x1,2=−b±D2a=−(a+c)±(a−c)22a=−a−c±|a−c|2a=−a−c±a∓c2a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-(a+c)\pm {\sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={\frac {-a-c\pm |a-c|}{2a}}={\frac {-a-c\pm a\mp c}{2a}}}.
x1=−a−c−a+c2a=−2a2a=−1;{\displaystyle x_{1}={\frac {-a-c-a+c}{2a}}={\frac {-2a}{2a}}=-1;}
x2=−a−c+a−c2a=−2c2a=−ca.{\displaystyle x_{2}={\frac {-a-c+a-c}{2a}}={\frac {-2c}{2a}}=-{\frac {c}{a}}.}

В частности, если a=c{\displaystyle a=c}, то корень будет один: −1.{\displaystyle -1.}

Способ 2. Геометрическая интерпретация: парабола, заданная аналитически указанной формулой, пересекает ось x в двух точках, абсциссами которых и являются корни, хотя бы один из которых равен -1

Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы y=ax2+bx+c{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего её выражения является фигурой, симметричной относительно прямой x=−b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}. Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: −b2a+ρ(x1;−b2a)=x2{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+\rho (x_{1};-{\frac {b}{2a}})=x_{2}} (если x1<x2{\displaystyle x_{1}<x_{2}}) или −b2a−ρ(−b2a;x1)=x2{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}-\rho (-{\frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}} (если верно неравенство противоположного смысла). Используя тождество ρ(a;b)=|a−b|{\displaystyle \rho (a;b)=|a-b|}, выражающее геометрический смысл модуля, а также принимая, что x1=−1{\displaystyle x_{1}=-1} (это можно доказать, подставив равенство в квадратный трёхчлен: a⋅(−1)2+b⋅(−1)+c=(a+c)−b=0{\displaystyle a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=(a+c)-b=0}, поэтому -1 — корень такого уравнения) , приходим к следующему равенству: −b2a±|−b2a−(−1)|=x2.{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}\pm |-{\frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.} Если учитывать, что разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем — отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о равенстве b−a=c{\displaystyle b-a=c}, раскрываем модуль: x2=−b2a−b2a+1=−2b−2a2a=−b−aa=−ca{\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b}{2a}}+1=-{\frac {2b-2a}{2a}}=-{\frac {b-a}{a}}=-{\frac {c}{a}}}. Во втором случае,совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч.т.д.

Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.
Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю[ | код]

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (a+b+c=0{\displaystyle a+b+c=0}), то корнями такого уравнения являются 1{\displaystyle 1} и отношение свободного члена к старшему коэффициенту (ca{\displaystyle {\frac {c}{a}}}).

Доказательство

Способ 1. Прежде всего заметим, что из равенства a+b+c=0{\displaystyle a+b+c=0} следует, что b=−(a+c){\displaystyle b=-(a+c)} Установим количество корней:

D=b2−4ac=(−(a+c))2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2.{\displaystyle D=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}.}

При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентов (a−c)2⩾0{\displaystyle (a-c)^{2}\geqslant 0}, а значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что если a≠c{\displaystyle a\not =c}, то уравнение имеет два корня, если же a=c{\displaystyle a=c}, то только один. Найдём эти корни:

x1,2=−b±D2a=a+c±(a−c)22a=a+c±|a−c|2a=a+c±a∓c2a;{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {a+c\pm {\sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={\frac {a+c\pm |a-c|}{2a}}={\frac {a+c\pm a\mp c}{2a}};}
x1=a+c+a−c2a=2a2a=1;{\displaystyle x_{1}={\frac {a+c+a-c}{2a}}={\frac {2a}{2a}}=1;}
x2=a+c−a+c2a=2c2a=ca,{\displaystyle x_{2}={\frac {a+c-a+c}{2a}}={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}},}

что и требовалось доказать.

В частности, если a=c{\displaystyle a=c}, то уравнение имеет только один корень, которым является число 1{\displaystyle 1}.

Способ 2. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: a⋅12+b⋅1+c=0{\displaystyle a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c=0} — верное равенство, следовательно, единица — корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту — x1x2=ca⇒x2=cax1=ca⋅1=ca{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\Rightarrow x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}={\frac {c}{a\cdot 1}}={\frac {c}{a}}}, ч.т.д.

Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители[ | код]

Если трёхчлен вида ax2+bx+c(a≠0){\displaystyle ax^{2}+bx+c(a\not =0)} удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей (kx+m)(lx+n)=0{\displaystyle (kx+m)(lx+n)=0}, то можно найти корни уравнения ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} — ими будут −mk{\displaystyle -{\frac {m}{k}}} и −nl{\displaystyle -{\frac {n}{l}}}, действительно, ведь (kx+m)(lx+n)=0⟺kx+m=0∪lx+n=0{\displaystyle (kx+m)(lx+n)=0\Longleftrightarrow kx+m=0\cup lx+n=0}, а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Отметим, что квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)[ | код]

Если квадратный трёхчлен имеет вид (ax)2+2abx+b2{\displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}}, то применив к нему названную формулу, мы сможем разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

(ax)2+2abx+b2=(ax+b)2;{\displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2};}
(ax+b)2=0;{\displaystyle (ax+b)^{2}=0;}
x=−ba.{\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}.}
Выделение полного квадрата суммы (разности)[ | код]

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

  1. прибавляют и отнимают одно и то же число
    x2+px+(p2)2−(p2)2+q=0;{\displaystyle x^{2}+px+({\frac {p}{2}})^{2}-({\frac {p}{2}})^{2}+q=0;}.
  2. применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть
    (x2+2p2x+(p2)2)+(−(p2)2+q)=0;{\displaystyle (x^{2}+2{\frac {p}{2}}x+({\frac {p}{2}})^{2})+(-({\frac {p}{2}})^{2}+q)=0;}
    (x+p2)2=p24−q;{\displaystyle (x+{\frac {p}{2}})^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q;}
  3. извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную
    x+p2=±p24−q;{\displaystyle x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}};}
    x1,2=−p2±p24−q.{\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}.}

Примечание: если вы заметили, данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a=1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета[ | код]

Прямая теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) x1,x2{\displaystyle x_{1},x_{2}}, будучи решением нижеприведённой системы уравнений, являются корнями уравнения x2+px+q=0{\displaystyle x^{2}+px+q=0}:

{x1+x2=−p;x1x2=q;{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p;\\x_{1}x_{2}=q;\end{cases}}}

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;
2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»[ | код]

Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:

1) умножаем обе части на выражение:
ax2+bx+c=0|⋅a{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0|\cdot a}
(ax)2+b(ax)+ac=0{\displaystyle (ax)^{2}+b(ax)+ac=0}
2) вводим новую переменную y=ax:
y2+by+ac{\displaystyle y^{2}+by+ac}.

Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений y1=ax1{\displaystyle y_{1}=ax_{1}} и y2=ax2{\displaystyle y_{2}=ax_{2}}.

Пример

Допустим, мы желаем решить с использованием обратной теоремы Виета уравнение 8×2+2x−1=0{\displaystyle 8x^{2}+2x-1=0}. Если мы попробуем разделить обе его части на 8, то получим приведённое уравнение с дробными коэффициентами, поэтому применить к нему теорему будет трудно. Однако, воспользовавшись методом переброски, мы сумеем получить приведённое с целыми коэффициентами:

8×2+2x−1=0|⋅8;{\displaystyle 8x^{2}+2x-1=0|\cdot 8;}
(8x)2+2(8x)−8=0;{\displaystyle (8x)^{2}+2(8x)-8=0;}.

Совершив замену переменной по формуле y=8x, придём к уравнению:

y2+2y−8=0{\displaystyle y^{2}+2y-8=0}.

Очевидно, что его корнями будут числа -4 и 2. Произведём обратную замену:

8×1=−4; 8×2=2;{\displaystyle 8x_{1}=-4;\ 8x_{2}=2;}
x1=−0,5; x2=0,25.{\displaystyle x_{1}=-0,5;\ x_{2}=0,25.}

Геометрический смысл[ | код]

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если параб

ru.wikibedia.ru

как решить квадратное уравнение в комплексных корнях?

Любой учебник по высшей математике открой.

решаешь для начала как простое квадратное уровнение….под корнем получается -36….корень из -1-это и есть i-комплексное число…тогда расписываешь…как (2-+6*i)/2….или просто 1+-3*i….помоему так

Дина, не забивай дурным голову! Займись-ка лучше чем-то приятным и ненавязчивым…

это уравнение можно преобразовать в вид (x-1)^2 = — 9<br>решаем x — 1 = 3i x — 1 = — 3i<br>корни х = 1 + 3i и х = 1 — 3i<br>в случае, если дискриминант получился отрицательным, надо извлечь квадратный корень из его модуля и умножить его на число i, дальше решать, как обычное квадратное уравнение. решение данного уравнения через дискриминант даст тот же результат.

touch.otvet.mail.ru

Как найти корни квадратного уравнения

2 методика:Использование формулыНахождение корней через разложение на множители

Квадратное уравнение – это любое уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0. Нахождение корней квадратного уравнения – это то же самое, что и решение уравнения, то есть нахождение значений «х». Любое квадратное уравнение можно решить с помощью формулы x = (-b +/-√(b2 — 4ac))/2a. Кроме того, в зависимости от данного вам уравнения, вы можете воспользоваться некоторыми приемами, которые упростят нахождение корней.

Шаги

Метод 1 из 2: Использование формулы

  1. 1 Запишите данное вам уравнение в форме квадратного уравнения. Квадратное уравнение – это полином второго порядка с одной переменной «х» и а ≠ 0.[1] Другими словами, это уравнение с одной переменной (обычно «х»), самый высокий показатель степени которой равен 2: ax2 + bx + c = 0
  2. Чтобы записать данное вам уравнение в форме квадратного уравнения, перенесите все его члены на левую сторону, чтобы на правой стороне остался 0. Например, дано уравнение 2×2 + 8x = -5×2 — 11.
  3. 2×2 + 8x = -5×2 + 11
  4. 2×2 + 5×2 + 8x = + 11
  5. 2×2 + 5×2 + 8x — 11 = 0
  6. 7×2 + 8x — 11 = 0. Обратите внимание, что данное уравнение приняло вид ax2+ bx + c = 0.
  7. 2 Подставьте значения коэффициентов a, b, c в формулу x = (-b +/-√(b2 — 4ac))/2a, чтобы найти значения «х» (то есть решить уравнение или найти корни). Так как квадратное уравнения имеет вид ax2+ bx + c = 0, то число, стоящее перед x2, равно «а», перед «х» равно «b», а свободный член равен «с».
  8. В нашем примере: 7×2 + 8x — 11 = 0, a = 7, b = 8, c = -11.
  9. Подставив эти значения в формулу, вы получите x = (-8 +/-√(82 — 4(7)(-11)))/2(7).
  10. 3 Найдите значения «х» (с положительным и отрицательным знаком), выполнив основные алгебраические операции.
  11. В нашем примере:
  12. x = (-8 +/-√(82 — 4(7)(-11)))/2(7)
  13. x = (-8 +/-√(64 — (28)(-11)))/(14)
  14. x = (-8 +/-√(64 — (-308)))/(14)
  15. x = (-8 +/-√(372))/(14)
  16. x = (-8 +/- 19,29/(14)
  17. 4 Для получения двух значений «х» необходимо прибавить и вычесть некоторое значение. Это обусловлено тем, что при извлечении корня из числа вы получаете два значения, которые равны по модулю, но противоположны по знаку.
  18. Прибавьте и получите:
  19. x = (-8 + 19,29)/(14)
  20. x = 11.29/14
  21. x = 0,81
  22. Вычтите и получите:
  23. x = (-8 — 19.29)/(14)
  24. x = (-27.29)/(14)
  25. x = -1,95 .
  26. Таким образом, х1 = 0,81 и х2 = -1,95.
  27. 5 Проверьте найденные корни, так как нахождение корней включает длинный ряд алгебраических операций и поэтому здесь легко допустить ошибку.
  28. Быстрый и простой способ проверить корни уравнения – это подставить значения постоянных a, b, с в онлайн калькулятор квадратных уравнений, например, сюда.[2]
  29. 6 Также вы можете проверить ответ вручную. Для этого подставьте найденные значения «х» в исходное уравнение. Если соблюдается равенство, то корни верные (из-за округлений чисел равенство может соблюдаться приблизительно).
  30. Подставьте найденные значения «х» в исходное уравнение 7×2 + 8x — 11 = 0:
  31. 7(-1,95)2 + 8(-1,95) — 11
  32. 26,62 – 15,6 — 11
  33. 26,62 – 26,5 = 0,02; 0,02 примерно равно 0, то есть равенство соблюдено и х1 – это корень данного уравнения.
  34. 7(0,81)2 + 8(0,81) — 11
  35. 4,59 + 6,48 — 11 = 0,07; 0,07 примерно равно 0, то есть равенство соблюдено и х2 – это корень данного уравнения.

Метод 2 из 2: Нахождение корней через разложение на множители

Разложение на множители при а = 1
  1. 1 Запишите данное вам уравнение в форме квадратного уравнения. Вы можете найти корни уравнения и без использования формулы, например, некоторые квадратные уравнения можно переписать так, что найти корни будет очень легко. Но сначала запишите данное вам уравнение в форме квадратного уравнения: ax2 + bx + c = 0.
  2. В этом разделе мы будем рассматривать только те квадратные уравнения, у которых а = 1 (уравнения с а ≠ 1 рассмотрены в следующем разделе). Например: x2 + 7x + 12 = 0.
  3. 2
    Запишите уравнение в виде (х + _)(х + _) = 0.
    Разложение квадратного уравнения на множители – это нахождение двух двучленов, при перемножении которых получается исходное уравнение. Так как x2 = х * х, то каждый двучлен начинается с «х»: (х + _) (х + _) = 0.
  4. Обратите внимание на пробелы (обозначены символом подчеркивания; далее мы объясним, как найти числа, которые подставляются в эти пробелы).
  5. 3 Разложите на множители коэффициент «с». То есть надо найти пары чисел, при перемножении которых получится значение «с».
  6. В нашем уравнении с = 12. Множителями 12 являются пары чисел 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4.
  7. 4 Найдите такую пару множителей «с», которая при суммировании дает значение коэффициента «b» (не перепутайте – искать множители «b» не нужно).
  8. В нашем уравнении b = 7. Множителями «с» являются пары чисел 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Выбираем пару чисел 3 и 4, так как 3 + 4 = 7 (и b = 7).
  9. Если нет такой пары множителей «с», которая при суммировании дает значение коэффициента «b», то уравнение разложить на множители описанным способом нельзя.[3] В этом случае воспользуйтесь другим методом нахождения корней квадратного уравнения.
  10. 5 Теперь вместо пробелов в двух двучленах (см. выше) подставьте найденные числа (то есть подходящую пару множителей коэффициента «с»). Таким образом, вы разложите исходное уравнение на множители.
  11. В нашем примере: (х + 3)(х + 4) = 0.
  12. 6 Найдите два значения «х». Для этого приравняйте каждый из двучленов к 0 и решите их (это верно, так как даже если один из двучленов равен 0, то произведение двух двучленов равно 0).
  13. В нашем примере: (х + 3) = 0 и (х + 4) = 0.
  14. x + 3 = 0: x = -3
  15. x + 4 = 0: x = -4
  16. Обратите внимание, что эти ответы могут быть проверены теми же способами, которые описаны в предыдущем разделе.
Разложение на множители при а ≠ 1
  1. 1 Разложите коэффициент «а» на множители.
    Так как «а» стоит перед x2, то каждый множитель будет включать переменную «х».
  2. Например: 2×2 + 14x + 12 = 0. Здесь а = 2 и раскладывается на одну пару множителей 2 и 1. То есть первый член уравнения 2×2 = 2х * х.
  3. Обратите внимание, что бывают случаи, когда у коэффициента «а» несколько пар множителей. Например, член 8×2 можно разложить на следующие множители: 8x * х и 2x * 4x. В этом случае необходимо проверить, какая пара множителей подходит для разложения данного уравнения.
  4. 2 Запишите уравнение в виде ((множитель1) + _) ((множитель2) + _). Мы не начинаем двучлены с «х», как в предыдущем разделе, так как здесь перед «х» могут стоять некоторые коэффициенты.[4]
  5. В нашем примере запишите уравнение в виде (2x + _)(х + _).
  6. 3 Разложите на множители коэффициент «с». То есть надо найти пары чисел, при перемножении которых получится значение «с».
  7. В нашем примере с = 12; множителями 12 являются пары чисел 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4.
  8. 4 Вместо пробелов в произведении двух двучленов (см. выше) подставьте пары множителей «с» и найдите такую пару, которая при перемножении и суммировании членов двучленов даст значение «b». Помните, что здесь двучлены начинаются не с «х», а с некоторых членов, содержащих коэффициент и переменную «х».
  9. В нашем примере b = 14, а второй член уравнения равен 14х. Это означает, что мы хотим найти два числа (пару множителей «с»), одно из которых умножим на 2х, другое на х, а затем сложим результаты произведения; полученная сумма должна равняться 14x.
  10. Рассмотрим пару множителей 3 и 4: 3 * 2x = 6х; 4 * х = 4x; 4x + 6x = 10x. Не подходит. Поменяем местами числа: 4 * 2x = 8х; 3 * х = 3x; 8x + 3x = 11x. Не подходит.
  11. Рассмотрим пару множителей 6 и 2: 6 * 2x = 12х; 2 * х = 2x; 12x + 2x = 14x. Подходит! Вместо пробелов подставьте числа 6 и 2.
  12. 5 Теперь вместо пробелов в двух двучленах (см.
    выше) подставьте найденные числа (то есть подходящую пару множителей коэффициента «с»). Таким образом, вы разложите исходное уравнение на множители. Имейте в виду, что каждое число нужно ставить на свое место (не перепутайте!), чтобы в итоге получить правильный коэффициент «b». После этого приравняйте каждый из двучленов к 0 и решите их.
  13. В нашем примере: (2x + 2)(х + 6) = 0.
  14. 2x + 2 = 0
  15. 2x = -2: x = -1
  16. x + 6 = 0: x = -6

Советы

  • Помните, что квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому у квадратного уравнения всегда два корня.
  • Обратите внимание, что корни некоторых квадратных уравнений можно найти, дополнив уравнение до полного квадрата.
  • Разложение на множители и дополнение до полного квадрата – это два обходных пути решения квадратного уравнения при помощи формулы. Если вам интересно, прочитайте статью о том, как вывести формулу для корней квадратного уравнения.

ves-mir.3dn.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.