Рубрика: Школьная жизнь

Тема: Эксцентриситет гиперболы

1)

Полуось — Действительная

Полуось b – мнимая

Ветви гиперболы все ближе приближаются к

2)

Ветви отодвигаются от

Парабола – множество точек в плоскости для которых расстояние до данной точки называемой фокусом и данной прямой называемой директриса равны.

N y

M – точка параболы

P⁰/2 P/2 F –фокус х

, -расстояние от директрисы до фокуса

Можно доказать, что последнее равенство равносильно первому. Оно называется каноническим уравнением параболы.

Тема: Исследование формы параболы.

1. т.к. координата у входит в уравнение во второй степени, то кривая симметрична относительно оси

2. может быть только больше или равным нулю. Значит, параболы существуют только в правой полуплоскости.

3. при,

4. из уравнения видно, что парабола проходит из начала координат, т.е. при

5. так как парабола симметрично относительно , то достаточно построить ее часть лежащую в I четверти.

у

0 х

Замечание:

К числу канонических следует отнести также следующие уравнения параболы

Эксцентриситет параболы =1

Тема: Матрица. Понятие матрицы. Основные определения.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел или функций расположенных по строкам и столбцам.

— размерность матрицы

Матрица называется квадратной, если m=n

Если матрица имеет размерность , такая матрица называется матрица — трока.

Если матрица имеет размерность , такая матрица называется матрица – столбец

Матрица размерностью , называется матрицей n-ого порядка.

А,В,С

Две матрицы одинаковой размерности равны друг другу, если равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Элементы матрицы, у которых номер строки равен номеру столбца, образуют главную диагональ матрицы.

Тема: Действие над матрицами

1. Пусть даны две матрицы одинаковой размерности. Их суммой (или разностью) называется такая матрица той же размерности, все элементы которой получены сложением (или вычитанием) соответствующих элементов данных матриц.

2. Умножение матрицы на число

Произволением матрицы на число является матрица той же размерности, все элементы которой получены умножением соответствующих элементов данной матрицы на это число.

3. Транспонирование матриц.

Перемена местами строк и столбцов матрицы таким образом, что строка № i становится столбцом № I, и наоборот, называется транспонированием матрицы.

4. Умножение матриц друг на друга.

Произведением матрицы А размерности на матрицу B размерностью называется такая матрица с размерностью , каждый элемент которой получен из элементов матриц А и В по правилу «строка на столбец».

Из определения следует, что нельзя перемножать матрицы произвольных размерностей.

Условие перемножаемости: число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы.

Правило «Строка на столбец»

Рассмотрим его на примере:

Замечание:

Из определения произведения матриц следует, что умножение матриц не перестановочно, потому что после перемены местами сомножителей может оказаться, что такое умножение не возможно.

studfiles.net

1 Тема: Матрицы и определители

Таблицу вида

называют прямоугольной матрицей размера . Элементыназыаются элементами матрицы. m – число строк, n- число столбцов. Матрица размера называется квадратной матрицей.

Операции над матрицами определяются с помощью операции над их элементами.

1. Две матрицы А и В размера равны, если равны их элементы.

2. Суммой матриц А и В размера есть матрица размера, каждый ее элемент равен сумме соответствующих элементов.

3. Произведение матрицы А размера на число есть матрица размера, каждый элемент которой равен произведениюна число.

4. Произведение матрицы А размера на матрицу В размераесть матрица С размера.

Матрицей обратной для А называется матрица , для которой.

Квадратная матрица называется невырожденной, если она имеет обратную матрицу.

Число линейно независимых строк(или столбцов) матрицы называют ее рангом.

Определителем квадратной матрицы А n-го порядка называют число

(2)

Минором элемента в определителе n-го порядка (2) есть определитель

(n—1)-го порядка, получающийся из определителя (2), если из него вычеркнуть i-строку и j-й столбец.

Алгебраическое дополнение элемента есть коэффициент прив разложении определителя или. Определитель можно выразить через элементы его строки или столбца и их алгебраические дополнения следующим образом:(разложение Лапласа).

Определитель второго порядка .

Определитель третьего порядка .

Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании

2. При перемене местами двух строк(столбцов) определитель меняет знак.

3. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столца), то ее определитель равен нулю.

4. Если все элементы какой –либо строки (столбца) определителя умножить на число с, то на это число умножится и сам определитель.

5. Если элементы любой строки(столбца) представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны первым слагаемым, во втором –вторым.

6. Определитель не меняется при строчном (столбцевом) перобразовании

7. Сумма произведении элементов любой строки(столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки(столбца) равна нулю.

Если все элементы определителя n-го порядка расположенные выше (или ниже) главной диагонали равны 0, то определитель равен произведению элементов расположенных на главной диагонали.

2 Тема: Система линейных уравнений.

Система n линейных уравнений c n неизвестными имеет вид:

(1)

Решением системы уравнений называется всякая совокупность чисел a_1, a_2, a_n, которая, будучи поставлена в систему на место неизвестных X _1,X _{2 ,…,}X _n, обращает все уравнения системы в тождество.

Система уравнений называется совместной, если она имеет одно единственное решение, и несовместной, если не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет, по крайней мере, два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Определителем системы называется определитель, составленный из коэффициентов a_ij.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю.

Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в неё уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель её равен нулю.

Для нахождения решения системы линейных уравнений применяют метод Гаусса и правило Крамера.

Метод Гаусса решения системы заключается в последовательном исключении переменных.

Теорема: Для того, чтобы система линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу её основной матрицы.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Тогда:

1. если r = R =0, т.е. если все коэффициенты a₁ ,a ₂, b₁ ,b ₂, c _1, c₂ равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы.

2. если r =0, R =1, т.е. a₁ =a ₂=b₁ =b ₂=0 и c +c≠0, то система не имеет решений.

3. если r =1, R =1, то система имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение.

4. если r =1, R =2, то система не имеет решений.

5. если r =2, R =2, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

Формулы Крамера имеют вид: .

studfiles.net

Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы

3.1. Основные виды матриц

Определение 1. Матрицей называется совокупность чисел, располо-женных в т строках и п столбцах и обозначается

Число, стоящее на пересечении -ой строки и-го столбца, обозначаетсяи называется элементом матрицы;размерность матрицы.

Существуют следующие виды матриц:

1. Матрица – строка

2. Матрица – столбец

3. Нулевая матрица  все ее элементы нули.

4. Единичная матрица

5. Диагональная матрица .

6. Симметрическая матрица – для ее элементов выполняется равенство для всех

Важной характеристикой квадратной матрицы А является её опреде-литель, который обозначается Если, то матрицаА назы-вается невырожденной. В противном случае – вырожденной.

Определение 2. Две матрицы и одинаковой раз-мерности называются равными, если равны все их соответствующие эле-менты для всех

3.2. Действия над матрицами

1. Транспонирование матриц.

Определение 3. Транспонированием матрицы называется замена её строк столбцами с сохранением их номеров.

Транспонированная матрица обозначается А ^Т.

Пример 1. Найти А ^Т, если матрица

Тогда

2. Сложение матриц.

Определение 4. Суммой двух матриц и одинаковой размерности называется матрица С той же размерности, элементы которой определяются равенствами и обозначается.

3. Умножение матрицы на число.

Определение 5. Произведением матрицы на некоторое число называется матрица , элементы которой равны элементам матрицы А, умноженным на это число , т.е.и обозначается.

Пример 2. Найти матрицу , если

4. Умножение матриц.

Определение 6. Произведением матрицы размерности и матрицы размерности ,называется матрица , размерности , элементы которой удовлетворяют равенству

и обозначается .

Замечание 1. Как видно из определения, произведение двух матриц будет определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пример 3. Найти произведение матриц

Тогда

Замечание 2. Легко убедиться в том, что в общем случае произведение матриц не обладает коммутативным свойством, т.е. что видно из следующего примера.

Пример 4. Найти произведение матриц

Тогда имеем

3.3. Обратная матрица

Определение 7. Обратной матрицей матрицы А называется матрица , для которой выполняется равенство

Из этого определения следует, что понятие обратной матрицы является взаимообратным и определено только для квадратных матриц. При этом для существования обратной матрицы необходимо, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. .

Покажем, что обратной матрицей для случая матрицыА размер-ности будет матрица

где  алгебраические дополнения элемента .

Тогда

Например,

и т.д.

Так же можно проверить и равенство

Замечание 4. Аналогично для матрицы А размерности обратная матрицаимеет вид

3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

(1)

Введем следующие матрицы

Тогда, используя правило умножения матриц, систему (1) можно пред-ставить в следующем виде (матричная форма системы уравнений (1))

(2)

Пусть тогда для матрицыА существует обратная

Умножая обе части равенства (2) слева на ,получим

(3)

В силу равенств иформула (3) принимает вид

(4)

Не трудно убедиться в том, что выражение (4), полученное для Х, действительно является решением уравнения (1). Подставляя это выражение в уравнение (2), имеем

Замечание 5. Решение, полученное по формуле (4), то же самое, что было получено по формулам Крамера. Этот факт, вытекающий из единственности решения системы (1), можно непосредственно проверить, если подставить в формулу (4) выражение для обратной матрицы.

Пример 5. Матричным методом решить систему уравнений

Здесь

Тогда

следовательно, обратная матрица существует.

Вычисляем алгебраические дополнения

аналогично далее

Таким образом, получим окончательное решение

studfiles.net

Тема 1. Матрицы. Определители

1. Матрицы и их виды

Определение 1.1 Матрицейразмера называется прямоугольная таблица чисел, состоящая изmстрок иnстолбцов. Число в соответствующей позиции называется элементом матрицы.

В общем виде матрица записывается:

— матрица размера ,

или коротко ,;

– элемент матрицы, стоящий в– той строке и– том столбце.

Пример.

— матрица размера. Элемент.

— матрица размера. Элемент.

Матрица характеризуется:

1) размером,

2) элементами.

Определение 1.2 Две матрицы одного размера называютсяравными, если все их соответствующие элементы равны.

Пусть даны матрицы иодного размера.

Тогда , если=, где,.

Пример.

1) , 2)., так как размеры матриц не совпадают.

3) ., так как.

Виды матриц

1.2 Операции над матрицами

Определение 1.3 Суммойдвух матриц размераназывается матрица того же размера, каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е.

,,

где ,,.

Пример.

Сложение матриц производится поэлементно.

Определение 1.4 Разностью двух матриц размера называется матрица , каждый элемент которой есть разность соответствующих элементов двух матриц т.е.

,

где

Пример.

.

Определение 1.5. Произведениемматрицы на число называется матрица того же размера, каждый элемент которой является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на это число, т.е.

,.

Пример. .

Умножение матрицы на число производится поэлементно.

Матрица называетсяпротивоположной матрице A.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами.

Свойства линейных операций над матрицами

Пусть A,B,C– матрицы,и β – действительные числа.

1) Коммутативность сложения	5)
2) Ассоциативность сложения	6)
3) Дистрибутивность относительно суммы матриц	7)
4) Дистрибутивность относительно суммы чисел	8)

Определение 1.6 Произведением двух матриц, первая из которых имеет размер, а втораяназывается матрица размером, каждый элемент которой, стоящий в позицииявляется суммой произведений элементовтой строки 1-го сомножителя и соответствующих элементовj-того столбца 2-го множителя. (Правило: строка на столбец).

где

Пример.

1) ,.матрица-столбец

2) ;— умножение невозможно, из-за несоответствия размеров матриц.

3) Найти

4) Найти и.

,

;

Таким образом, получили, что .

Умножение матриц не обладает свойством коммутативности, т.е. в общем случае.

Две матрицы А и В, для которых выполняется равенствоназываютсякоммутативными.

Легко показать, что где А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера.

Если для заданных матриц операция умножения определена, то справедливы следующие свойства:

Определение 1.7 Матрица называетсятранспонированной по отношению к данной, если ее строки являются столбцами данной матрицы, т.е.

,.

Пример.

,.

studfiles.net

«Матрицы, матричный метод решения СЛУ».

Матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

A =

или сокращенно в виде A = (a_{i j}) (i = ; j = ). Числа a_{i j}, составляющие данную матрицу, называются ееэлементами; первый индекс указывает на номер строки, второй – на номер столбца. Две матрицы A = (a_{i j}) и B = (b_{i j}) одинакового размера называютсяравными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a_{i j} = b_{i j}.

 

Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

Виды матриц.

 

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой иливектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m´n, все элементы которой равны нулю, называютсянулевой матрицей и обозначается через 0.

Элементы матрицы с одинаковыми индексами называютэлементамиглавной диагонали.

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратнойпорядка n.

Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы a_{i i} диагональной матрицы равны 1, то матрица называетсяединичнойи обозначается буквой Е:

E = .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.

Транспонированиемназывается такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу

A^T = ,

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

 

Действие над матрицами.

Произведением матрицы А на число lназывается матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число l: l A = (l a_{i j}).

Т.е. для того чтобы умножить матрицу A на число l нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число.

 

Суммойдвух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_{i j}) одного размера называется матрица C = (c_{i j}) того же размера, элементы которой определяются по формуле c_{i j} = a_{i j} + b_{i j}.

Т.е. чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.

Или:

=

ПроизведениеАВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

 

Произведением двух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_{j k}), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c _{i k}), элементы которой определяются по следующему правилу:

c _{i k} = a_{i 1} b_{1 k} + a_{i 2} b_{2 k} +… + a_{i m} b_{m k} = a_{i s} b_{s k}.

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

 

Т.е. перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы.

 

Обратная матрица.

Квадратная матрица А называется невырожденной, илинеособенной, если ее определитель отличен от нуля, ивырожденной,или особенной, если D = 0.

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A^-1 и удовлетворяющая условию .

Справедлива следующая теорема:

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

находится следующим образом

,

где A_ij – алгебраические дополнения элементов a_ij данной матрицы A.

 

Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:

1. Найти определитель матрицы A.

2. Найти алгебраические дополнения A_ij всех элементов матрицы A и составить матрицу, элементами которой являются числа A_ij.

3. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице А, и умножить её на – это и будет обратная матрица.

Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица .

 

Матричный метод решения СЛУ

Рассмотрим систему, состоящую из n линейных уравнений с n неизвестными:

 

Вводя матрицу коэффициентов перед неизвестными А, матрицу-столбец неизвестных Х и матрицу-столбец свободных членов В, систему можно переписать в матричной форме:

 

Предположим, что матрица А — неособенная, т.е. ‌ А ‌ ≠ 0. Решим матричное уравнение, а следовательно и систему (4) с помощью обратной матрицы А,

 

где, А = * Ặ =>

X = * Ặ =>

 

Для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

 

 

решение запишется в виде:

 

Лекция №3.

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Тема «Матрицы и действия над ними» Тема «Матрицы и действия над ними»

Тема 1. «Матрицы и действия над ними» Тема 1. «Матрицы и действия над ними» Основные понятия: Определение матрицы Виды матриц Действия над матрицами Перестановочные матрицы завершить 1. Определение матрицы 1. Определение матрицы Прямоугольная таблица чисел вида называется матрицей. — элементы матрицы. Размер матрицы Главная диагональ матрицы Побочная диагональ матрицы назад 2. Виды матриц 2. Виды матриц Прямоугольная Квадратная Нулевая Единичная Диагональная Симметричная Вырожденная Равные Треугольная Квазитреугольная (ступенчатая или трапециевидная) Матрица-строка или строчная матрица Матрица-столбец или столбцевая матриц назад Матрица называется прямоугольной, если количество ее строк не совпадает с количеством столбцов: Матрица называется квадратной, если количество ее строк совпадает с количеством столбцов: назад Матрица называется нулевой, если все ее элементы нулевые : Квадратная матрица называется единичной, если элементы по главной диагонали единицы, а остальные элементы нулевые : назад Квадратная матрица называется диагональной, если элементы по главной диагонали отличны от нуля, а остальные элементы нулевые: Квадратная матрица называется диагональной, если элементы по главной диагонали отличны от нуля, а остальные элементы нулевые: Квадратная матрица называется симметричной, если относительно главной диагонали для всех ее элементов выполняется условие : назад Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Матрицы А и В (одинаковых размерностей) называются равными, если : назад Квадратные матрицы вида Квадратные матрицы вида или называются треугольными. назад Прямоугольная матрица вида Прямоугольная матрица вида называется квазитреугольной (ступенчатая или трапециевидная) назад Матрица, состоящая из одной строки называется матрицей-строкой или строчной матрицей. Матрица, состоящая из одной строки называется матрицей-строкой или строчной матрицей. Матрица, состоящая из одного столбца называется матрицей-столбцом или столбцевой матрицей назад Суммой (разностью) двух матриц одинаковой размерности называется матрица, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц слагаемых. Суммой (разностью) двух матриц одинаковой размерности называется матрица, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц слагаемых. Например: Пример назад Пример Пример Ответ назад Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число. Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число. Например: Пример назад Линейные операции обладают следующими свойствами: Линейные операции обладают следующими свойствами: Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной относительно данной. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной относительно данной. Например: Свойства назад Умножение матриц определяется для согласованных матриц. Умножение матриц определяется для согласованных матриц. Произведением матрицы на матрицу называется матрица , для которой , т.е. каждый элемент матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. Например Свойства назад Например: Например: Пример назад В случае, когда АВ=ВА, матрицы А и В называют перестановочными или коммутативными. В случае, когда АВ=ВА, матрицы А и В называют перестановочными или коммутативными. Пример 1. Найти все перестановочные матрицы к матрице Пример 2. Найти все перестановочные матрицы к матрице назад Ответ: Пример Пример Ответ назад Ответ: Свойства операции транспонирования: Свойства операции транспонирования: назад Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В: Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В: Например: назад Пример Пример Ответ назад Ответ: Свойства операции умножение матриц: Свойства операции умножение матриц: 1. Свойство сочетательности или ассоциативности 2. Свойство распределительности (дистрибутивности) справа и слева относительно сложения матриц назад Решение (Пример 1): Решение (Пример 1): 1) общий вид всех перестановочных матриц 2) Применим определение перестановочных матриц AB=BA: Получаем: Получаем: 3) По определению равных матриц 4) Общий вид всех перестановочных матриц 5) Проверка назад Ответ: Ответ: или или назад Спасибо за внимание! Спасибо за внимание! Не забывайте готовиться к лекциям и семинарам! (Тема следующей лекции «Определители») Удачи!

rpp.nashaucheba.ru

Презентация по математике «Матрицы и действия с ними»

Презентация по математике «Матрицы и действия с ними» — скачать бесплатно

53335531463039513235404944384142294843374734365045565452

X

Скопируйте код и вставьте его на свой сайт.

Матрицы и действия с ними

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Тема 1. «Матрицы и действия над ними» Основные понятия: Определение матрицы Виды матриц Действия над матрицами

2 слайд

1. Определение матрицы Прямоугольная таблица чисел вида называется матрицей. — элементы матрицы. Размер матрицы Главная диагональ матрицы Побочная диагональ матрицы

3 слайд

2. Виды матриц Прямоугольная Квадратная Нулевая Единичная Диагональная Симметричная Вырожденная Равные Треугольная Квазитреугольная (ступенчатая или трапециевидная) Матрица-строка или строчная матрица Матрица-столбец или столбцевая матриц

4 слайд

Матрица называется прямоугольной, если количество ее строк не совпадает с количеством столбцов: Матрица называется квадратной, если количество ее строк совпадает с количеством столбцов:

5 слайд

Матрица называется нулевой, если все ее элементы нулевые : Квадратная матрица называется единичной, если элементы по главной диагонали единицы, а остальные элементы нулевые :

6 слайд

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы по главной диагонали отличны от нуля, а остальные элементы нулевые: Квадратная матрица называется симметричной, если относительно главной диагонали для всех ее элементов выполняется условие :

7 слайд

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Матрицы А и В (одинаковых размерностей) называются равными, если :

8 слайд

Квадратные матрицы вида или называются треугольными.

9 слайд

Прямоугольная матрица вида называется квазитреугольной (ступенчатая или трапециевидная)

10 слайд

Матрица, состоящая из одной строки называется матрицей-строкой или строчной матрицей. Матрица, состоящая из одного столбца называется матрицей-столбцом или столбцевой матрицей

12 слайд

Суммой (разностью) двух матриц одинаковой размерности называется матрица, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц слагаемых. Например: Пример

13 слайд

Пример Ответ

14 слайд

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число. Например: Пример

15 слайд

Линейные операции обладают следующими свойствами:

16 слайд

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной относительно данной. Например: Свойства

17 слайд

Умножение матриц определяется для согласованных матриц. Произведением матрицы на матрицу называется матрица , для которой , т.е. каждый элемент матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

18 слайд

Спасибо за внимание! Презентацию подготовил студент группы СО-11 Бирюков Владислав

Чтобы скачать материал, введите свой email, укажите, кто Вы, и нажмите кнопку

Нажимая кнопку, Вы соглашаетесь получать от нас email-рассылку

Если скачивание материала не началось, нажмите еще раз «Скачать материал».

84468461854286128646885588729033

337313373733750338143391134093341513416634179342413425334268

У вас есть презентация, загружайте:

Для того чтобы загрузить презентацию на сайт, необходимо зарегистрироваться.

uslide.ru

помогите определить валентность и степень окисление атомоф углевода в веществах с формулами С2Н6 и С2Н4

второе -ЭТИЛЕН (этен) . ацетилен С2Н2 валентность — способность образовывать связи. считаешь сколько их что СН3-СН3 — у каждого углерода по одной связи друг с другом и по три с водородами, итого 4 что СН2=СН2 — по 2 связи друг с другом и по 2 с водородами, итого 4 что СН (тройнаясвязь) СН — по 3 связи друг с другом и по 1 с водородом, итого 4. в органике углерод всегда четырёхвалентен Степень окисления — это условная величина. она будет определяться числом связей с более и/или менее электроотрицательными атомами. более электроотрицателен атом элемента, стоящего правее в таблице менделеева. углерод электроотрицательнее водорода, кислород электроотрицательнее углерода и т. д. считаешь связи с атомами неуглерода. СН3-СН3 — по три связи с водородом. каждый атом водорода имеет заряд +1. их трое — суммарный заряд +3. значит, у атома углерода, чтобы суммарный заряд стал 0, должно быть минус 3. СН2=СН2 — по две связи с водородом. каждый водород имеет заряд +1. их двое — суммарный заряд +2. значит, у углерода — минус 2. СН (тройная связь) СН — по одной связи с водородом. значит, у углерода — минус 1. например, в метане степень окисления углерода будет минус 4. а в метаноле СН3ОН получится плюс 3 от трёх водородов, минус 1 от связи с кислородом, итого суммарный заряд и степень окисления углерода будет минус 2

Углерода наверно? Я хз. Первое это этан, второе ацетилен. Помоему так. В этане углероды соеденины одной связью, остальные ушли на водород. В ацетилене углероды соеденены двумя связями. валентность у углерода вроде всегда 4. а вот про степень окисления я хз. гугли

touch.otvet.mail.ru

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Степень окисления h3 Степень окисления h3

Не тяжело отличать атомы от ионов, понимая что это вообще такое. h3 — это молекула, состоящая из двух атомов. Ион же не имеет индексов, то есть количества атомов. И тут стоит уже раз и навсегда запомнить: Атомы (ну, или молекулы) электронейтральны, то есть, они не имеют заряда, степени окисления. Ионы имеют заряд, в отличие от атомов. Примеры: h3 — заряд 0, т. к. это молекула их двух атомов. Cu — в данном случае атом — заряд 0 N — в данном случае атом — заряд 0 , А вот ионы часто стоит упоминать в соединениях, так как сам знаешь, что по вашим задания и дают ее определить. Na + -ион натрия с зарядом +1 H+ — ион водорода с тем же зарядом. Cu +2 — ион меди +2 N -3 — ион азота -3 (нитрид-ион) (Na+) + (Cl -) —ионы пищевой соли NaCl (при диссоциации будут требоваться ионы ) (NaCl) 0 — молекула пищевой соли, состоящая из атомов. Заряд всегда у них равен нулю. И да, стоит заметить, что ионы при письме разделяются.

Степень окисления определяется количеством атомов кислорода. В данном случае их нет, значит 0.

Не верь отвечавшим выше. Степень окисления h3 — 26. Это давно было сказано Эйнштейном и недавно доведено Хокингом.

touch.otvet.mail.ru

Опрделите степень окисления: c5h20o Опрделите степень окисления: c5h20o

Римские цифры — WiKi

Римские обозначения чисел известны ныне лучше, чем любая другая древняя система счисления. Объясняется это не столько какими-то особыми достоинствами римской системы, сколько тем огромным влиянием, которым пользовалась римская империя в сравнительно недавнем прошлом. Этруски, завоевавшие Рим в 7 в. до н. э., испытали на себе влияние восточно-средиземноморских культур. Этим отчасти объясняется сходство основных принципов Римской и аттической систем счисления. Обе системы были десятичными, хотя в обеих системах счисления особую роль играло число пять. Обе системы использовали при записи чисел повторяющиеся символы.

Старыми римскими символами для обозначения чисел 1, 5, 10, 100 и 1000 были, соответственно, символы I, V, X, Θ (или ⊕, или ⊗) и Φ (или ↀ , или CIƆ). Хотя о первоначальном значении этих символов было написано много, их удовлетворительного объяснения у нас нет до сих пор. Согласно одной из распространенных теорий, римская цифра V изображает раскрытую руку с четырьмя прижатыми друг к другу пальцами и отставленным большим пальцем; символ X, согласно той же теории, изображает две скрещенные руки или сдвоенную цифру V. Символы чисел 100 и 1000, возможно, берут начало от греческих букв Θ и φ. Неизвестно, произошли ли более поздние обозначения C и M от старых римских символов или они акрофонически связаны с начальными буквами латинских слов, означавших 100 (центум) и 1000 (милле). Полагают, что римский символ числа 500, буква D, возник из половинки старого символа, обозначавшего 1000. Если не считать, что большинство римских символов скорее всего не были акрофоническими и что промежуточные символы для обозначения чисел 50 и 500 не были комбинациями символов чисел 5 и 10 или 5 и 100, то в остальном римская система счисления напоминала аттическую. Разумеется, в деталях они отличались. Римляне часто использовали принцип вычитания, поэтому иногда вместо VIIII использовали IX ,а XC вместо LXXXX; сравнительно позднее символ IV вместо IIII.

В целом римляне не были склонны заниматься математикой, поэтому не испытывали особой потребности в больших числах. Тем не менее для обозначения 10000 они эпизодически использовали символ CCIƆƆ , а для числа 100000 — символ CCCIƆƆƆ. Половинки этих символов иногда использовались для обозначения чисел 5000 (IƆƆ) и 50000 (IƆƆƆ).

Дробей римляне избегали так же упорно, как и больших чисел. В практических задачах, связанных с измерениями, они не использовали дроби, подразделяя единицу измерения обычно на 12 частей, с тем чтобы результат измерения представить в виде составного числа, суммы кратных различных единиц, как это делается сегодня, когда длину выражают в ярдах, футах и дюймах. Английские слова «ounce» (унция) и «inch» (дюйм) происходят от латинского слова лат. uncia (унция), обозначавшего одну двенадцатую основной единицы длины.^[1][2]

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

В системе римских цифр отсутствует ноль, но ранее использовалось обозначение нуля как nulla (нет), nihil (ничто) и N (первая буква этих слов).

При этом некоторые из цифр (I, X, C, M) могут повторяться, но не более трёх раз подряд; таким образом, с их помощью можно записать любое целое число не более 3999 (MMMCMXCIX). В ранние периоды существовали знаки для обозначения бо́льших цифр — 5000, 10 000, 50 000 и 100 000^{[источник не указан 2981 день]} (тогда максимальное число по упомянутому правилу равно 399 999). При записи чисел в римской системе счисления меньшая цифра может стоять справа от большей; в этом случае она прибавляется к ней. Например, число 283 по-римски записывается как CCLXXXIII, то есть 100+100+50+30+3=283. Здесь цифра, изображающая сотню, повторена два раза, а цифры, изображающие соответственно десяток и единицу, повторены по три раза.

Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемь десятков LXXX, восемь единиц VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: V = 5000.

Числительные в арабском языке

Обновлено: 20 ноября 2018

Цифры на арабском языке на транспортных билетах, ценниках на рынке, на рекламных листовках.

Количественные числительные от 1 до 10 (разговорный счет)

Слова в арабском языке пишутся справа налево, а вот числа — как и привычно нам — слева направо.

Количественные числительные от 11 до 19

Числительные круглых десятков

Сотни

Египетский фунт — названия бумажных денег и монет

Добавить комментарий

www.travel2change.ru

История возникновения цифр — древние числа и цифры Руси, Рима, Китая, Египта, Вавилона и Греции

Всматриваясь в причудливые знаки, не сразу поймешь, что символизируют древние числа и цифры. Мешки с крупами, орудия труда. В хвостатых, изогнутых знаках читается менталитет древнего народа, уровень его развития, навыки, экономическая обстановка. Обозначения цифр сотканы из глубоких абстракций и художественных представлений о мире. Рождение цифр неразрывно связано с возникновением письменности, но узелковое письмо шумерских народов появилось даже раньше. Оно было создано для счета. О чем это говорит? Уметь считать было важно во II в. до н.э., и в высокотехнологичном ХХI столетии.

Числа и бизнес пребывают в прочном тандеме. Числа нужны для основания и раскрутки бизнеса (для вычисления рентабельности, расчета конверсии, КПД), а бизнес нужен для хороших цифр на счету в банке. Счет стал неотъемлемой частью человеческого мышления и настолько влился в повседневную жизнь, что мы даже не замечаем его. Предприниматель должен числа не просто видеть, считать и предполагать, а читать. Созерцать не глазами, а разумом.

Вернуться к оглавлению

Как мир учился считать

Цифры и числа – это разные понятия. В обиходе мы их путаем, но существенная разница в сути слов от этого не исчезла. Цифра служит для условного обозначения числа. Число выражает количественную характеристику в цифрах, и представляет собой более обобщенное понятие.

Если проанализировать, какими были первые цифры, можно увидеть обширную историю культуры отдельного народа. Составление обозначений для чисел потребовало более высокого интеллектуального уровня. Поэтому наши предки оставляли тысячи зарубок на твердых материалах. Столько, сколько требовалось. Так, наивно, но достоверно, заполнялись древние отчетные документы, «чеки» и т.п. Первые цифры представляли собой примитивные засечки и значки.

Пример древних чисел и цифр

Генезис цифр останется для ученых неизведанной Марианской впадиной. Витиеватая история возникновения вызывает замешательство. Точно известно, что первые попытки письменной фиксации цифр были в Египте и Месопотамии: найденные древние математические записи тому свидетельство. Эти государства располагались далеко друг от друга, письменность и культура в каждом из них уникальна.

В Древнем Египте сформировалось скорописное иероглифическое письмо, месопотамские писцы использовали клинопись. Поэтому египетские первые цифры своей формой передавали природу всех окружающих предметов: животные, растения, предметы быта и т.д. Папирус Ринда (1650 г. до н.э.) и папирус Голенищева (1850 г. до н.э.) – числовые древнеегипетские документы — свидетельствуют о высоком культурном развитии народа. Месопотамская клинопись запечатлена на глиняных табличках, на которых цифры представлены небольшими клиньями, повернутыми в разные стороны соответственно своему значению.

И в египетских, и в месопотамских системах счисления есть цифры от 1 до 10, особые метки для обозначения десятков, сотен и тысяч, и ноль, который обозначали выделенным пустым местом.

Числа древнего Египта построены грамотно и логично. Рационализм и четкость отличают эти системы счисления от аналогичных попыток других народов. Цифры значением меньше десяти обозначались ׀. Например, цифра 6 выглядела как ׀׀׀׀׀׀. Число 10 обозначалось перевернутой подковой в иероглифической системе и особым символом – в иератической. Сколько десятков в числе, столько и «подков». Иератическая система письменности предполагала для каждого числа, на десяток выше предыдущего, отдельный символ. Начиная от 100, это была стилизованная клюшка, над которой с каждой новой сотней ставили крохотную пометку.

В иероглифах все проще. Число 100 выглядело почти как арабская цифра 9, но египтяне назвали ее лотосом. Далее все аналогично — 200 – 2 «лотоса», 300 – 3 и т.д.

Египетские числа и цифры

Вы заметили, что в древнем Египте с самого начала сформировалась десятичная система? Однако Месопотамия все же превзошла Египет, когда на ее территории обрел независимость и возвысился Вавилон. Там вырастала отдельная культура, вскормленная достижениями соседних завоеванных государств.

Достижение Вавилона

Числа древнего Вавилона мало отличались от месопотамских: те же клиновидные знаки служили для обозначения единиц — ˅, и десятков — ˃. Комбинация этих знаков применялась для обозначения чисел 11-59. Число 60 в письме выглядело как зеркальное отражение буквы «Г». 70 – Г˃, 80 — Г˃˃ и так далее, принцип ясен, клинопись не отличается гениальностью.

Вавилонская система счисления

Основная ценность заключается в том, что один и тот же знак – обратите внимание – в зависимости от того, где он расположен в записи числа, имеет разное значение. Речь идет о поместном размещении знаков в системе счисления. Те же клиновидные знаки, указанные в разных разрядах, обладают разной значимостью. Поэтому Вавилонскую систему счисления с нулем принято называть позиционной. Математики могут с этим поспорить, потому что не найдено ни одного источника, в которой ноль располагался бы в конце числовой записи, что говорит об относительной позиционности.

Вавилонская система стала своеобразным трамплином, с которого человечество совершило прыжок на новый этап своего развития. Идея со временем попала в руки индусов. Они внесли свои коррективы, усовершенствовав систему счисления. Переняли идею итальянские торговцы, которые привезли ее в Европу вместе с товаром. Позиционная система счисления облетела весь мир, обогатив своим появлением не только математические науки, но и современный счет.

Знаете, откуда взялось деление часа на 60 минут, а минут – на 60 секунд? Из рассмотренной выше шестидесятеричной системы чисел. Взгляните, как обозначали числа древние вавилоняне, и в клиновидных значках увидите сакральный смысл современного, привычного для всех счисления.

Вернуться к оглавлению

История цифр разных народов

Цифры древней Греции

Под плеядой легендарных античных математиков и философов сформировалось две системы счисления. Каждая из них приносила свои преимущества, но они не были открыты или доработаны в связи с политико-культурными переменами.

Аттическую систему можно было бы назвать десятичной, если бы в ней не была выделена цифра 5. Аттическая запись чисел использовала повторы коллективных символов, что напоминало месопотамский метод. Единицу обозначала черта, написанная нужное количество раз. Таким образом записывались числа до 4. Цифра 5 была под первой буквой слова «пента», 10 – под первой буквой слова «дека» («десять») и т.д.

История чисел и цифр:

Алфавитная (или ионическая) система достигла своего расцвета в преддверии Александрийской эпохи. По сути, объединила десятеричную систему счисления и древневавилонский способ позиционности. Цифры записывались буквами и черточками. Система счисления довольно перспективна, но греки с их фанатичным стремлением к совершенству так и не довели ее до ума. Пытаясь достигнуть максимальной строгости и четкости в числовых записях, математики внесли существенные трудности в работу с ней.

Числа древнего Рима

Легкоузнаваемые, четкие, строгие и ясные обозначения стали весьма удачным изобретением римлян. Пройдя сквозь века, символы остались практически неизменными еще и потому, что Рим пользовался влиянием на древней государственной арене. А также перенимал некоторые культурные особенности у завоеванных народов. Бросается в глаза алфавитное обозначение цифр – главная «изюминка» аттической системы. Цифра V (5) – прототип ладони с раскрытыми пятью пальцами. Стало быть, Х (10) – две ладони. Палочками указывали единицы, а для сотен и тысяч предназначены прописные буквы алфавита.

Числа и цифры древнего Рима

Цифры древнего Китая

Система сложных, абстрактных иероглифов, в которую превратились невинные зарубки на гадальных костях, мало где применяется. Впрочем, иероглифы используются для формальных записей, а упрощенный набор символов применяется в повседневной жизни.

Числа в древней Руси

Как ни странно, Русь повторила алфавитную систему счисления. Каждая цифра была названа соответствующей ее рангу буквой алфавита. Цифра 1 выглядела как «А», 2 – «Б», 3 – «В» и т.д. Десятки и сотни также были подписаны соответствующими буквами славянского алфавита. Чтобы не путать в тексте слова с цифрами, над числовыми записями рисовали титло – горизонтальную волнистую линию.

числа и цифры Древней Руси

Древнеиндийские цифры

Сколько бы ни спорили ученые, сколько бы изменений ни претерпевала форма цифр, но возникновение арабских, «наших» цифр приписывают древней Индии. Возможно, арабы позаимствовали древнеиндийскую систему счисления или изобрели ее сами. Причиной научных мытарств стал фундаментальный математический труд Аль-Хорезми «Об индийском счете». Книга стала своеобразной «рекламой» десятичной позиционной системы. Иначе как объяснить внедрение индийской системы счисления на территории всего Халифата?

Эволюция индийских чисел и цифр

Полноценность позиционной системы укрепилась возникновением «нуля». В целом запись чисел не ушла далеко от аттической: для цифр 5, 10, 20… использовались коллективные символы, повторяющиеся нужное количество раз.

При таком подходе из древнеиндийских цифр не могли «вырасти» арабские. Это утверждение кажется логичным на первый взгляд, но история цифр загадочна, и демонстрирует непричастность древней Индии к возникновению знакомых нам символов.

Вернуться к оглавлению

Самые распространенные системы счисления

Арабские цифры значительно экономили время и материалы для письма. Один арабский ученый предложил обозначать цифру символом с определенным количеством углов. Количество углов должно равняться значению цифры. Например, «0» — «ничто», углов нет; 1 – 1 угол; 2 – 2 угла и т.д. Слово «цифра» также позаимствовано из арабских языков, где оно звучало как «сыфр», и обозначало «ничто», «пустота». У «сыфр» был синоним – «шунья». На протяжении веков «0» называли именно так. До тех пор, пока не появилось латинское «нуллум» («ничто»), как мы и называем «ноль».

Современный вариант символьного обозначения цифр выражен плавными, округлыми линиями. Это результат эволюции. В первозданном виде обозначения угловаты. Время действительно способно сглаживать углы – в прямом и переносном значениях. Неважно, откуда берет истоки история возникновения чисел, главное, они стали достоянием всего мира. Цифры легко пишутся и запоминаются, что облегчает и смысловое восприятие. Ведь перед вами не длинная вереница закорючек и букв.

Несмотря на то, что латынь называют «мертвым» языком, ее значимость в научной сфере подтверждена изучением в ВУЗах. Латинские цифры также нашли применение в документоведении, деловодстве, оформлении научных работ. Доступность, понятность и четкость сделали их завсегдатаями учебников и рефератов.

Как сделать латинскую запись числа? У вас есть 7 знаков, комбинируя которые вы составите необходимое обозначение. Эти знаки легко запомнить: I – 1, V – 5, Х – 10, L – 50, D – 500, M – 1000.

• Если знак, обозначающий меньшее число, расположен за большим числом, меньшее прибавляется к большему. Например, ХI – 11.
• Если символ меньшего числа стоит впереди, т.е. слева, нужно вычесть его от большего числа. Например, ХIХ – 19, а не 21.

Проанализировав указанные факты и взаимосвязь между ними, вы поймете, что история чисел и системы счисления не могут рассматриваться раздельно. Системы счисления формировались одновременно с числами. Культурная, экономическая, политическая ситуация каждого государства подготовила почву для их формирования, что объясняет различия между системами счисления.

Вернуться к оглавлению

«Биография» арабской цифры

История цифры 1.

Не только первая цифра в ряду, но и символ единства, совершенной целостности, как бог или космос. Смысл числительного «первый» семантически связано с именем Адама («первый человек»), а также с именами мифических персонажей Атум (созвучно со словом «атом», а мы знаем, что он неделимый), Один (от сканд. «первый», «верховный», «главенствующий»). Чувствуется фонетическое подобие слова «один» с «ЕДИНый», «жАДИНа». Улавливаете сходство?

История цифры 2

В названии цифры чувствуется парность, бинарное противопоставление, антонимичность, дуальность, четность. 2 – это защита от небытия и одиночества, противостояние единому. Вспомним, что Адам значит «первый», но после него не землю пришла Ева, она была «вторая». Ева значит «дева», а поскольку в древней Руси буквы «о» и «е» отсутствовали, то слово «дева» в письменном варианте выглядело как «дъва». Учитывая глубокую религиозную приверженность наших предков, имя «два» могло произойти из христианской мифологии.

История цифры 3

Недаром китайский цифровой ряд начинается с «тройки». Это совершенное число, за которым стоит ряд русских традиций – трижды постучать по дереву, трижды произнести «аминь» по окончанию молитвы, бог в православной вере существует в трех ипостасях. Цифра 3 обозначает крайнюю степень какой-либо характеристики. Например, «треклятый», «трисвятый». «Тройка» пишется практически одинаково с буквой «з», с которой начинается слово «земля». Как одна из стихий (1 – огонь, 2 – вода), земля вполне может оказаться третьей.

История цифры 4

Сравните русское слово «веер» с немецким словом «vier» («четыре»). Четвертая стихия – ветер — прячется под «четверкой». Кроме того, это четное число, «четыр». Оттуда и название.

История цифры 5

Одна из важнейших характеристик микро- и макрокосма. Ничего загадочного в этом нет. Вспомните, сколько у нас чувств, сколько классов животных, сколько элементов в буддийских упанишадах? Их пять. Цифра 5 находится у истоков навыков счета. В древней Руси считали «на пятках», то есть на пальцах руки. Выражение «знать, как пять своих пальцев», родом из той эпохи.

История цифры 6

На Руси цифру записывали под буквой «зело», пока не были введены арабские цифры. Сравните слова «зело» и «зло». Ведь 666 – три «зело» — обозначает абсолютное зло, треклятое (см. историю цифры 3).

История цифры 7

Цифра 7 начертанием и произношением сходна с латинской буквой Z («zet»). «Семь» созвучно с «земь», то есть «опора», «центр».

История цифры 8

Сразу слышится «осемь», т.е. «ось». Цифра 8 напоминает букву «В», с которой начинается ее буквенная запись.

История цифры 9

Мы слышим троекратное повторение триады. «Девятка» — это обобщение всего цифрового ряда и ее превосходство одновременно.

Зная историю возникновения чисел, вы будете смотреть на них через призму своих знаний, будучи осведомленным о том смысле, который они таят под своим начертанием. Может, вы интуитивно догадывались об этих смыслах?

dengivsetakipahnyt.com

Русско-арабский разговорник. Учим арабский язык: Считаем по арабски

0 — сыфр
1 — уахэд
2 — этнин
3 — тэлета
4- арба
5- хамса
6 — сэтта
7 — саба
8 — тамания
9 — тэса
10 — ашара
11 — хидашр
12 — эснашар
13 — саласашр
14 — арбааташр
15 — хамасташр
16 — ситташр
17 — сабааташр
18 — саманташр
19- тисааташр
20 — ишрин
Далее цифры у арабов произносятся несколько иначе, чем по русски. Например тридцать пять по арабски говорится «пять тридцать». Иными словами – десятки и единицы менять местами. Например двадцать один – уа̀хэд уа ашрин.
повторяем единичные номера до 9 приставляя после числа уа(и) ашрин(двадцать)

21-уа̀хэд уа ашрин
22 — эснэйн уа ашрин

тоже самое делаем с о следующими десятичными номерами:
30 – талятѝн
40-арбаѝн
50-хамсѝн
60-сеттѝн
70-сабаѝн
80-таманѝн
90-тэсаѝн
100 — мийя

Далее цифры образуются так сто двадцать пять – это сто пять двадцать, т.е. меняются местами только единицы и десятки.
101 — мия уа уа̀хэд
сначала слово мия(100) а потом приставляем уа(и) и следующие любые цифры.

200 — митэйн
300 — саласа мийя
310 — саласа мийя ва ашара
425 — арбаа мийя хамса ва ашриин
500 — хамсаа мийя
1000 — альф
____________________________________________

Забавная особенность арабских числительных. Для образования названий десятков к арабскому названию цифры приделывается окончание «-ин» или «-тин», — почти точно такое же, какое приделывется в английском языке для образования числительных от 13 до 19 — «-teen». Поэтому плохо говорящие по-английски арабы, однако знающие английские названия цифр первого десятка, образуют от них новые числительные на арабский манер.
Таким образом, они комбинируют английскую 5 («five») и арабскую 50 («хамсин»), и переводят 50 на английский язык как «fifteen». Разумеется, слушатель на слух воспринимает это слово, как 15. Когда речь идет о деньгах, это часто приводит к недоразумениям.

Еще одна особенность. В отличие от подавляющего большинства языков, в арабском языке кроме единственного и множественного числа существительных, имеется еще и двойственное число, означающее ровно два предмета. В этом случае, вместо употребления числительного «два» перед существительным, взамен к нему приделывается окончание «-тейн».

russianarabicphrasebook.blogspot.com

Миф про связь арабских чисел и углов.

В очередной раз узнаю про возникновение арабских чисел. Обычно мне эту историю рассказывают, но сегодня прочел.

Вот ссылка на статью:
Почему числа такие, какими мы их видим.

Наверняка читая, многие споткнулись и задумались о качестве материала увидев например это:

 

Первый звоночек – это когда не понимаешь или сомневаешься в своих знаниях, но решаешь читать дальше приняв это.
Нужно ловить такие моменты и дальше читать еще более придирчиво и внимательно.

Например «… имейте ввиду, что арабы писали и пишут слева направо.», думаешь «вроде я пишу слева направо. А у них всегда было на оборот», тут нужно остановиться, и если сомневаешься узнать как на самом деле, иначе дальше не будешь уверен в том как на самом деле. И так далее.

Короче – история про количество углов ерунда.

Есть книга «История математических обозначений» (Florian Cajori. A History of Mathematical Notations) из которой становится понятно откуда появился этот миф.

Но как выглядели арабские цифры с первого их упоминания и изображения найти не составляет никакого труда.

 

wiki/Arabic_numerals

Становиться понятно что ничего общего с историей про углы нет.
Не доверяйте всему что слышите и видите. Думайте и проверяйте.

Недавно попадался пост про существующую разницу между бордюром и поребриком, автор придумавший эту ерунду опрометчиво сослался на ГОСТ, в котором естественно ничего подобного нет. Но лайков жулик нормально собрал. 🙂

nikitaefremov.ru

Число 517

aboutnumber.ru

Число 517, 0x000205, пятьсот семнадцать

Треугольники. Видеоурок. Геометрия 7 Класс

Определение:  Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

Рис. 1. Треугольник АВС

На данном рисунке изображен треугольник АВС. Обозначение выглядит так: .

Точка С не принадлежит отрезку АВ. Точки А, В, С называются вершинами треугольника, а отрезки АВ, АС, ВС называются его сторонами. Логично, что треугольник имеет три угла: ∠А, ∠В, ∠С, или ∠ВАС, ∠АВС, ∠ВСА. В геометрии принято, что угол А обозначается греческой буквой α, а сторона, лежащая напротив этого угла, обозначается а, поэтому ∠А = α, ВС = а. Аналогично, ∠В = β, АС = b, ∠С = γ, АВ = c.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

Вспомним, какие фигуры называются равными. Фигура F1 и фигура F2 называются равными, если их можно совместить наложением.

Рис. 2. Равные треугольники АВС и А₁В₁С₁

Треугольники АВС и А₁В₁С₁ являются равными, так как их можно совместить наложением. Из этого факта следует, что у равных фигур равны их соответствующие элементы. Таким образом, если стороны , то и углы .

Как же доказать равенство треугольников? Первый способ – по определению. Необходимо совместить наложением два треугольника. Если их элементы совпадают, треугольники равны. Однако данный процесс трудоемкий. Второй способ – сравнить части элементов, но с гарантией совмещения всех остальных элементов, то есть разработать признаки равенства.

Рассмотрим следующий пример:

Пример 1: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Назовите стороны, лежащие против соответствующих вершин.

Решение:

Рис. 3. Рисунок к примеру 1

Ответ: сторона DF лежит напротив угла Е, сторона EF лежит напротив угла D, сторона DE лежит напротив угла F.

Пример 2: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Назовите углы, лежащие против соответствующих сторон.

Решение:

Рис. 4. Рисунок к примеру 2

Ответ: Угол Е лежит напротив стороны DF, угол D лежит напротив стороны EF, угол F лежит напротив стороны DE.

Пример 3: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Укажите углы, которые прилежат к соответствующим сторонам.

Решение:

Рис. 5. Рисунок к примеру 3

Ответ: Углы D и F прилежат к стороне DF, углы Е и F прилежат к стороне EF, углы Е и D прилежат к стороне ED.

Пример 4: Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок.

Рис. 6. Рисунок к примеру 4

Известно, что периметр (сумма всех сторон треугольника) равен 48 см. Запишем это равенство: , также известно, что сторона a = 18 см, а . Выразим из соотношения периметра сумму .

. Выразим из соотношения разности двух сторон любую сторону:  и подставим в соотношение . Получим и решим уравнение.  Следовательно,

Ответ: 12,7 см и 17,3 см.

Пример 5: Сторона АВ треугольника АВС равна 17 см. Сторона АС вдвое больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 7. Рисунок к примеру 5

Поскольку сторона АС вдвое больше стороны АВ, то АС = 2 · AB = 2 · 17 = 34 см. Далее найдем сторону ВС, по условию она меньше стороны АС на 10 см, то есть BC = AC – 10 = 34 – 10 = 24 см.

Периметр мы можем найти, сложив длины всех сторон треугольника Р = АС + ВС + АС = 34 + 24 + 17 = 75 см.

Ответ: 75 см.

Пример 6: Отрезок BD = DC. Сравните периметры треугольников АВС и ABD.

Решение:

Рис. 8. Рисунок к примеру 6

Выразим периметры соответствующих треугольников:

 Чтобы сравнить, какой периметр больше, мы воспользуемся стандартным методом в математике – методом вычитания. Вычтем периметры треугольников. Учитываем также, что BD = DC.

Таким образом, мы получили положительное число (длина стороны ВС), поэтому .

Ответ: .

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Треугольник (Источник).
2. Треугольник. Справочник (Источник).
3. Прямая линия, отрезок (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1.  Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2.  Вычислите периметр треугольника со сторонами 1 дм, 12 см и 30 мм.

3.  Запишите прилежащие и противолежащие углы к сторонам треугольника КМР.

4.  *Периметр треугольника равен 27 см. Сторона АВ вдвое больше стороны ВС, а сторона АС втрое больше стороны АВ. Найдите длины сторон треугольника.

interneturok.ru

Все о треугольниках ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС Треугольник

Все о треугольниках ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС

Треугольник – геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, последовательно соединенных отрезками

Виды треугольников: l остроугольные l Тупоугольные l прямоугольные

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны А АВ = АС B = В С C

Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Первый признак равенства треугольников: l Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников: l Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников: l Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Медиана — А отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной В стороны ВД = ДС, АД – медиана Д С

Биссектриса — отрезок биссектрисы А угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной В стороны ВАК = САК, АК — биссектриса К С

Высота перпендикуляр, В проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную А сторону ВД АС, ВД — высота С Д

В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким – нибудь углом этого треугольника Внешний Угол Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним

Прямоугольный треугольник к г и а п о т т е н е у з т к а т е т а

Некоторые свойства прямоугольных треугольников • сумма двух острых углов прямо- угольного треугольника равна 90° • катет 30 о • прямоугольного треуголь ника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°

Признаки равенства прямоугольных треугольников • Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны • Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны

Признаки равенства прямоугольных треугольников • если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны • если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны

Соотношение между сторонами и углами треугольника • В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона • В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета • Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный

Неравенство треугольника Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ

Построение треугольника по трем сторонам C • A • • B

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними C A • • • B a

Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам C A B

Докажите, что треугольник АОД равен треугольнику СОВ

Докажите, что треугольник АВД равен треугольнику СДВ

Докажите, что треугольник АВД равен треугольнику СДВ

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

present5.com

Треугольники в геометрии. Равные треугольники. Высота треугольника. Медиана треугольника

Треугольник

Треугольник в геометрии

Треугольник в геометрии.

На рисунке показан треугольник ABC:

Отрезки AB, BC, CA называют сторонами треугольника. Точки A, B, C называют вершинами треугольника.

Периметр треугольника

Периметр треугольника:

Периметр треугольника – это сумма длин его сторон.

В нашем примере периметр треугольника ABC равен сумме длин сторон AB, BC, CA.

Биссектриса треугольника

Биссектриса треугольника:

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, связывающий вершину данного угла с точкой на противоположной стороне.

У треугольника три угла и, соответственно, три биссектрисы.

Свойство биссектрис треугольника

Свойством биссектрис треугольника является то, что все они пересекаются в одной точке.

Медиана треугольника

Медиана треугольника:

Медиана треугольника – это отрезок, связывающий вершину данного угла с серединой противоположной стороны.

У треугольника три угла и, соответственно, три медианы.

Свойство медиан треугольника

Свойством медиан треугольника является то, что все они пересекаются в одной точке.

Высота треугольника

Высота треугольника:

Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которой принадлежит противоположная сторона.

У треугольника три угла и, соответственно, три высоты.

Свойство высот треугольника

Свойством высот треугольника является то, что все они пересекаются в одной точке.

Признаки равенства треугольников

Для установления факта равенства двух треугольников используют признаки равенства треугольников:

www.sbp-program.ru

Геометрия треугольника | Lonskaya’s Blog

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки попарно. Точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.

A, B и С – вершины треугольника. AB, BC и CA — стороны треугольника.
Треугольник обозначается указанием его вершин: треугольник ABC.
Вместо слова треугольник употребляется символ Δ. т.е. Δ ABC.
Углом треугольника ABC при вершине A (или углом между сторонами AB и AC) называется угол, образованный лучами AB и AC; ∠A = ∠BAC = ∠CAB.

Треугольником также называют часть плоскости,  ограниченную отрезками АВ, ВС, АС (плоский треугольник). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС, АС — стороны треугольника. Сумма длин трех сторон треугольника  называется его периметром.

P = AB + BC + AC

Углом (или внутренним углом) треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный лучами АВ и АС. Так же определяются углы треугольника при  вершинах В и С.

Углы CAB, ABC и ВСА треугольника ABC часто  обозначают одной буквой (А, В, С соответственно) или  греческими буквами α, β, γ (при этом внутри углов рисуют дуги).

Говорят, что угол А противолежит стороне ВС или сторона ВС противолежит углу А; так же угол В и сторона АС, угол С и сторона АВ противолежат (друг другу).

Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника,  называется внешним углом этого треугольника. Таков,  например, угол BCD (рис. 2). При каждом угле треугольника можно построить по два внешних угла (продолжив одну или другую сторону угла). Эти два угла равны как углы  вертикальные.

рисунок 2

Медиана и биссектриса треугольника

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называется биссектрисой треугольника.

Определение 2: Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам.
Любой треугольник имеет три биссектрисы. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с  серединой противолежащей стороны, называется медианой треугольника (см. рис. ).

Любой треугольник имеет три медианы.

Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 2 : 1 (считая от вершины).

• Три медианы пересекаются в одной точке, которая всегда находится внутри треугольника (центр масс треугольника) и делят треугольник на 6 равновеликих треугольника.
• Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника (одинаковой площади)

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Перпендикуляр, проведенный из вершины  треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону,  называется высотой треугольника (см. рис. ).

Любой треугольник имеет три высоты.  Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

 

Рассмотрим некоторые теоремы и свойства, связанные с медианой и биссектрисой

Скачать:  mediana_bissektrisa

Рассмотрим одно дополнительное построение, которое помогает при решении многих задач.

Пусть дан треугольник АВС и точка М находится на стороне ВС. Допустим дано, что АС = 20, АМ = 12 и ВМ : МС = 1 : 4, т.е. условия соответствуют следующему рисунку (рис.1).  Построим прямую , проходящую через вершину В параллельно стороне АС и продолжим АМ до пересечения с прямой  в точке F. Ясно, что треугольники АМС и ВМF подобны (коэффициент подобия равен 4). Получаем, что BF = 5, MF = 3, т.е. появились новые данные, которые помогут решить задачу. Обратим внимание на два частных случая для прямой .  Если АМ – медиана (ВМ : МС = 1 : 1), то BF = AC и MF = AM (происходит продолжение медианы на свою длину) (рис.2).

Если АМ – биссектриса, то треугольник АBF – равнобедренный(по углам). И «новый» отрезок ВF равен стороне AВ. Продолжение биссектрисы – отрезок MF равен (рис.3).   Прямую  будем называть «суперпрямой».

Задача 1. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, между которыми она заключена.

Решение. Пусть AB = с, (рис.4)  АС = b и CM = m_c. Пусть F – точка пересечения прямой СМ и прямой, проходящей через А параллельно прямой ВС.  Ясно, что ΔMAF = ΔMBC  (по стороне c/2 и двум прилежащим углам)

Понравилось это:

Нравится Загрузка…

lonskaya.wordpress.com

СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ | Энциклопедия Кругосвет

Содержание статьи

СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ – математическая дисциплина, изучающая геометрические образы (точки, линии, фигуры), находящиеся на сфере, и соотношения между ними.

По-видимому, первым обращением человечества к тому, что потом получит название сферической геометрии, была планетарная теория греческого математика Евдокса (ок. 408–355), одного из участников Академии Платона. Это была попытка объяснить движение планет вокруг Земли с помощью четырех вращающихся концентрических сфер, каждая из которых имела особую ось вращения с концами, закрепленными на охватывающей сфере, к которой, в свою очередь, были «прибиты» звезды. Таким образом объяснялись замысловатые траектории планет (в переводе с греческого «планета» – блуждающая). Именно благодаря такой модели древнегреческие ученые умели достаточно точно описывать и предсказывать движения планет. Это было необходимо, например, в мореплавании, а так же во многих других «земных» задачах, где нужно было учитывать, что Земля – не плоский блин, покоящийся на трех китах. Значительный вклад в сферическую геометрию внес Менелай из Александрии (ок. 100 н.э.). Его труд Сферика стал вершиной достижений греков в этой области. В Сферике рассматриваются сферические треугольники – предмет, которого нет у Евклида. Менелай перенес на сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая, причем, в отличие от Птолемея (ок. 150), у которого в работах немало вычислений, трактат Менелая геометричен строго в духе евклидовой традиции.

Основные положения сферической геометрии.

Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении окружность. Если плоскость проходит через центр сферы, то в сечении получается так называемый большой круг. Через любые две точки на сфере, кроме диаметрально противоположных, можно провести единственный большой круг. (На глобусе примером большого круга служит экватор и все меридианы.) Через диаметрально противоположные точки проходит же бесконечное количество больших кругов. Меньшая дуга AmB (рис. 1) большого круга является кратчайшей из всех линий на сфере, соединяющих заданные точки. Такая линия называется геодезической. Геодезические линии играют на сфере ту же роль, что и прямые в планиметрии. Многие положения геометрии на плоскости справедливы и на сфере, но, в отличие от плоскости, две сферические прямые пересекаются в двух диаметрально противоположных точках. Таким образом, в сферической геометрии просто не существует понятия параллельности. Еще одно отличие – сферическая прямая замкнута, т.е. двигаясь по ней в одном и том же направлении, мы вернемся в исходную точку, точка не разбивает прямую на две части. И еще один удивительный с точки зрения планиметрии факт – треугольник на сфере может иметь все три прямых угла.

Прямые, отрезки, расстояния и углы на сфере.

Прямыми на сфере считаются большие окружности. Если две точки принадлежат большой окружности, то длина меньшей из дуг, соединяющих эти точки, определяется как сферическое расстояние между этими точками, а сама дуга – как сферический отрезок. Диаметрально противоположные точки соединены бесконечным числом сферических отрезков – больших полуокружностей. Длина сферического отрезка определяется через радианную меру центрального угла a и радиус сферы R (рис. 2), по формуле длины дуги она равна R a. Любая точка С сферического отрезка АВ разбивает его на два, и сумма их сферических длин, как и в планиметрии, равна длине всего отрезка, т.е. РАОС + РСОВ = РАОВ. Для любой же точки D вне отрезка АВ имеет место «сферическое неравенство треугольника»: сумма сферических расстояний от D до А и от D до В больше АВ, т.е. РAOD + РDOB > РAOB, – полное соответствие между сферической и плоской геометриями. Неравенство треугольника – одно из основополагающих в сферической геометрии, из него следует, что, как и в планиметрии, сферический отрезок короче любой сферической ломаной, а значит, и любой кривой на сфере, соединяющей его концы.

Таким же образом на сферу можно перенести и многие другие понятия планиметрии, в частности те, которые можно выразить через расстояния. Например, сферическая окружность – множество точек сферы, равноудаленных от заданной точки Р. Легко показать, что окружность лежит в плоскости, перпендикулярной диаметру сферы РР` (рис. 3), т.е. это обычная плоская окружность с центром на диаметре РР`. Но сферических центров у нее два: Р и Р`. Эти центры принято называть полюсами. Если обратиться к глобусу, то можно видеть, что идет речь именно о таких окружностях, как параллели, и сферическими центрами всех параллелей являются Северный и Южный полюса. Если диаметр r сферической окружности равен p/2, то сферическая окружность превращается в сферическую прямую. (На глобусе – экватор). В этом случае такую окружность называют полярой каждой из точек Р и P`.

Одним из важнейших понятий в геометрии является равенство фигур. Фигуры считаются равными, если одну на другую можно отобразить таким образом (поворотом и переносом), что сохранятся расстояния. Это верно и для сферической геометрии.

Углы на сфере определяются следующим образом. При пересечении двух сферических прямых a и b на сфере образуются четыре сферических двуугольника, подобно тому, как две пересекающиеся прямые на плоскости разбивают ее на четыре плоских угла (рис. 4). Каждому из двуугольников соответствует двугранный угол, образованный диаметральными плоскостями, содержащими a и b. А угол между сферическими прямыми равен меньшему из углов образуемых ими двуугольников.

Отметим так же, что угол РABC, образованный на сфере двумя дугами большого круга, измеряют углом РA`BC` между касательными к соответствующим дугам в точке В (рис. 5) или двугранным углом, образованным диаметральными плоскостями, содержащими сферические отрезки АВ и ВС.

Точно так же, как и в стереометрии, каждой точке сферы сопоставляется луч, проведенный из центра сферы в эту точку, а любой фигуре на сфере – объединение всех пересекающих ее лучей. Так, сферической прямой соответствует содержащая ее диаметральная плоскость, сферическому отрезку – плоский угол, двуугольнику – двугранный угол, сферической окружности – коническая поверхность, ось которой проходит через полюсы окружности.

Многогранный угол с вершиной в центре сферы пересекает сферу по сферическому многоугольнику (рис. 6). Это область на сфере, ограниченная ломаной из сферических отрезков. Звенья ломаной – стороны сферического многоугольника. Их длины равны величинам соответствующих плоских углов многогранного угла, а величина угла при любой вершине А равна величине двугранного угла при ребре ОА.

Сферический треугольник.

Среди всех сферических многоугольников наибольший интерес представляет сферический треугольник. Три больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере восемь сферических треугольников. Зная элементы (стороны и углы) одного из них, можно определить элементы все остальных, поэтому рассматривают соотношения между элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой окружности. Стороны треугольника измеряются плоскими углами трехгранного угла ОАВС, углы треугольника – двугранными углами того же трехгранного угла (рис. 7).

Многие свойства сферического треугольника (а они одновременно являются и свойствами трехгранных углов) почти полностью повторяют свойства обычного треугольника. Среди них – неравенство треугольника, которое на языке трехгранных углов гласит, что любой плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других. Или, например, три признака равенства треугольников. Все планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их доказательствами остаются справедливыми на сфере. Так, множество точек, равноудаленных от концов отрезка, будет и на сфере перпендикулярной к нему прямой, проходящей через его середину, откуда следует, что серединные перпендикуляры к сторонам сферического треугольника AВС имеют общую точку, точнее, две диаметрально противоположные общие точки Р и Р`, являющиеся полюсами его единственной описанной окружности (рис. 8). В стереометрии это означает, что около любого трёхгранного угла можно описать конус. Легко перенести на сферу и теорему о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.

Теоремы о пересечении высот и медиан также остаются верными, но их обычные доказательства в планиметрии прямо или косвенно используют параллельность, которой, на сфере нет, и потому проще доказать их заново, на языке стереометрии. Рис. 9 иллюстрирует доказательство сферической теоремы о медианах: плоскости, содержащие медианы сферического треугольника АВС, пересекают плоский треугольник с теми же вершинами по его обычным медианам, следовательно, все они содержат радиус сферы, проходящий через точку пересечения плоских медиан. Конец радиуса и будет общей точкой трех «сферических» медиан.

Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости. Так, к известным трем случаям равенства прямолинейных треугольников добавляется еще и четвертый: два треугольника АВС и А`В`С` равны, если равны соответственно три угла РА = РА`, РВ = РВ`, РС = РС`. Таким образом, на сфере не существует подобных треугольников, более того, в сферической геометрии нет самого понятия подобия, т.к. не существует преобразований, изменяющих все расстояния в одинаковое (не равное 1) число раз. Эти особенности связаны с нарушением евклидовой аксиомы о параллельных прямых и также присущи геометрии Лобачевского. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными, таковы, например, треугольники АС`С и ВСС` (рис. 10).

Сумма углов всякого сферического треугольника всегда больше 180°. Разность РА+РВ +РС – p = d (измеряемая в радианах) – величина положительная и называется сферическим избытком данного сферического треугольника. Площадь сферического треугольника: S = R2 d где R – радиус сферы, а d – сферический избыток. Эта формула впервые была опубликована голландцем А.Жираром в 1629 и названа его именем.

Если рассматривать двуугольник с углом a, то при 226 = 2p/n (n – целое число) сферу можно разрезать ровно на п копий такого двуугольника, а площадь сферы равна 4пR² = 4p при R = 1, поэтому площадь двуугольника равна 4p/n = 2a. Эта формула верна и при a = 2pт/п и, следовательно, верна для всех a. Если продолжить стороны сферического треугольника АВС и выразить площадь сферы через площади образующихся при этом двуугольников с углами А, В, С и его собственную площадь, то можно прийти к вышеприведенной формуле Жирара.

Координаты на сфере.

Каждая точка на сфере вполне определяется заданием двух чисел; эти числа (координаты) определяются следующим образом (рис. 11). Фиксируется некоторый большой круг QQ` (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра сферы PP`, перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью сферы, например Р (полюс), и один из больших полукругов PAP`, выходящих из полюса (первый меридиан). Большие полукруги, выходящие из P, называются меридианами, малые круги, параллельные экватору, такие, как LL`, – параллелями. В качестве одной из координат точки M на сфере принимается угол q = POM (высота точки), в качестве второй – угол j = AON между первым меридианом и меридианом, проходящим через точку M (долгота точки, отсчитываемая против часовой стрелки).

В географии (на глобусе) в качестве первого меридиана принято использовать Гринвичский меридиан, проходящий через главный зал Гринвичской обсерватории (Гринвич – городской округ Лондона), он разделяет Землю на Восточное и Западное полушария, соответственно и долгота бывает восточной либо западной и измеряется от 0 до 180° в обе стороны от Гринвича. А вместо высоты точки в географии принято использовать широту, т.е. угол NOM = 90° – q, отсчитываемый от экватора. Т.к. экватор делит Землю на Северное и Южное полушария, то и широта бывает северной либо южной и изменяется от 0 до 90°.

Марина Федосова

www.krugosvet.ru

Треугольник (в геометрии) — это… Что такое Треугольник (в геометрии)?



Треугольник (в геометрии)

Треугольник прямолинейный, часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (стороны Т.), имеющими попарно по одному общему концу (вершины Т.). Т., у которого длины всех сторон равны, называется равносторонним, или правильным (рис., 1), Т. с двумя равными сторонами ‒ равнобедренным (рис., 2). Т. называется остроугольным (рис., 3), если все углы его острые; прямоугольным (рис., 4) ‒ если один из его углов прямой; тупоугольным (рис., 5) ‒ если один из его углов тупой. Более одного прямого или тупого угла Т. иметь не может, так как сумма всех трёх углов равна двум прямым углам (180° или, в радианах, p). Площадь Т. равна ah/2, где а ‒ любая из сторон Т., принимаемая за его основание, a h ‒ соответствующая высота (рис., 6). Стороны Т. подчинены условию: длина каждой из них меньше суммы и больше разности длин двух других сторон. Два Т. конгруэнтны (равны), если они имеют равными (попарно) все стороны или две стороны и угол между ними, или сторону и два прилежащих угла. Числовые соотношения между углами и сторонами Т. изучаются в тригонометрии. О Т. на сфере см. Сферическая геометрия. Сферическая тригонометрия.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

• Третьяковы
• Треугольник (муз. инструмент)

Смотреть что такое «Треугольник (в геометрии)» в других словарях:

• ТРЕУГОЛЬНИК (в геометрии) — ТРЕУГОЛЬНИК, часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (сторонами треугольника), имеющими попарно по одному общему концу (вершины треугольника). Сумма всех углов треугольника равна двум прямым (180°). Площадь треугольника S=1/2 ah, где …   Энциклопедический словарь

• ТРЕУГОЛЬНИК — (1) простейшая плоская геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами Т., а отрезки его сторонами. Углами Т. (точнее, его внутренними углами)… …   Большая политехническая энциклопедия

• Треугольник — Предположим, что на какой нибудь поверхности даны триточки А, В и С, не лежащие на одной и той же кратчайшей (геодезической)линии. Соединив эти точки кратчайшими линиями, получим фигуру,называемую треугольником. Точки А, В и С наз. вершинами, а… …   Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

• Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве)  это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… …   Википедия

• ТРЕУГОЛЬНИК — в евклидовой плоскости три точки (вершины) и три отрезка прямых (стороны) с концами в этих точках. Иногда при определении Т. к нему относят и выпуклую часть плоскости, к рая ограничена сторонами Т. Понятие Т. вводится и в многообразиях, отличных… …   Математическая энциклопедия

• Треугольник — Предположим, что на какой нибудь поверхности даны три точки А, В и С, не лежащие на одной и той же кратчайшей (геодезической) линии. Соединив эти точки кратчайшими линиями, получим фигуру, называемую треугольником. Точки А, В и С наз. вершинами,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• Пятая аксиома в евклидовой геометрии — Пересечения прямых (анимация) Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида [1]: И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и …   Википедия

• Полярный треугольник — понятие сферической геометрии. Полярным для данного сферического треугольника называется такой сферический треугольник, по отношению к сторонам которого вершины данного треугольника являются полюсами. Полюсом называется одна из двух точек… …   Википедия

• ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК — фигура, состоящая из трех различных точек и попарно соединяющих их геодезических линий. Точки наз. вершинами, геодезические сторонами. Г. т. может рассматриваться в любом пространстве, где есть геодезические. Если стороны Г. т., лежащего в… …   Математическая энциклопедия

• СФЕРИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК — СФЕРИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ТРЕУГОЛЬНИК, образованный пересечением на поверхности СФЕРЫ дуг трех больших ОКРУЖНОСТЕЙ (имеющих тот же РАДИУС, что и сфера). Стороны сферических треугольников измеряются в углах, которым эти дуги противолежат из центра… …   Научно-технический энциклопедический словарь

dic.academic.ru

Геометрия прямоугольного треугольника. | Геометрия

Геометрия прямоугольного треугольника. | Геометрия — просто!

Добрый день, друзья! Сегодня из «Сборника задач для поступающих во ВТУЗы» мы будем решать задачи по геометрии прямоугольного треугольника.
Такие треугольники примечательны тем, что у них присутствуют некоторые особенности,  которых нет у простых треугольников, а именно.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º равен половине гипотенузы.
Это правило вообще-то необходимо запомнить накрепко, особенно тем ученикам, которые собираются в 10-11 классы.
Поскольку с помощью него  будут рассчитаны  многие значения углов в тригонометрии.
Ещё правило — медиана прямоугольного треугольника, проведённая  из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Т.е. она образует два равнобедренных треугольника.
Пока на этом остановимся и перейдём к задачам.

Задача 1. Медиана гипотенузы прямоугольного треугольника равна m и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти стороны треугольника.
Решение: Поскольку медиана делит прямой угол в отношении 2:1, то принимая  1 за Х, а 2 за 2Х получим 3Х=90, или Х=30.
Медиана разделила прямой угол на 2 угла: 60º и 30º.
 Так как ВЕ=ЕС=m, то треугольник АВЕ — равнобедренный с углом при основании 60º.
Но если один угол при основании  равнобедренного треугольника равен 60º, то и другой тоже будет 60º.
А так как сумма внутренних углов треугольника равна 180º, то на третий угол приходится 180-60-60=60º.
Т.е. треугольник АВЕ — равносторонний, а это значит, что АВ=m.
Нам осталось найти второй катет АС.
Из треугольника АЕС мы видим, что АЕ=ЕС=m.
Треугольник равнобедренный, а это значит, что угол при вершине С равен 30º.
Теперь рассмотрим треугольник EDC.
ED — перпендикуляр, а также медиана угла при вершине равнобедренного треугольника АЕС.
ED = m/2, как катет, лежащий против угла в 30º.
По теореме Пифагора из треугольника EDC находим DC.
DC² = m² — (m/2)² = 3m²/4.
Или DC = m√3/2.  А вся сторона треугольника АС = m√3.
Ответ: Стороны треугольника равны АВ = m, ВС = 2m, АС =m√3.

Задача 2. В прямоугольный треугольник с углом 60º вписан ромб со стороной, равной 6 см так, что угол 60° у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника.
Найти стороны треугольника.
Решение: Нам дано, что в прямоугольном треугольнике один угол равен 60°. Значит, второй угол равен 30°.
Ведь сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.
Так как BDKM ромб, то его противоположные стороны параллельны.
BM параллельна DK. А это значит, что при пересечении двух параллельных секущей ВС, образуются соответственные углы MBD и KDC.
Так как прямые параллельны, то углы равны по 60°.
Получилось, что в треугольнике DKC два угла равны соответственно 60° и 30°.
А это значит, что третий угол равен 90°.
Т.е. треугольник DKC прямоугольный.
Поскольку в ромбе все стороны равны, то BD=BM,  равно 6 см.
Сторона DK в треугольнике DKC тоже равна 6 см.
Но она лежит против угла в 30°.
Значит, гипотенуза DC треугольника равна  12 см.
А вся гипотенуза треугольника АВС равна 6+12 = 18 см.
Из прямоугольного треугольника АМК, в котором острые углы так же равны 30° и 60°находим катет АМ.
Он равен половине гипотенузы МК или 6:2 = 3 см.
А всего катет АВ треугольника АВС равен 6+3 = 9 см.
Остаётся найти второй катет  треугольника АВС.
Его мы находим по теореме Пифагора.
АС² = ВС² — АВ² = 18² — 9² = 324 — 81 = 243.  Отсюда, АС = √243 = 9√3.
Ответ: Стороны треугольника равны 9 см, 9√3 см и 18 см.

Задача 3. Точка на гипотенузе, равноудалённая от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 3 и 4 см.
Найти катеты треугольника.
Решение: Так как как точка М равноудалена от катетов, а кратчайшее расстояние между точкой и прямой есть перпендикуляр,
то углы К и М — прямые.
Образовались прямоугольные треугольники ВКМ и MNC.
Эти треугольники подобны друг другу и треугольнику АВС.
Из подобия треугольников мы можем составить пропорцию:
МС так относится к  Х, как ВМ относится к ВК. Или 4/Х = 3/ВК.
Отсюда, ВК = 3Х/4.
Составляем другую пропорцию:
4/NC = 3/X, отсюда NC = 4Х/3.
Получается, что катет АВ равен Х + 3Х/4= 7Х/4,
а катет АС равен Х + 4Х/3 = 7Х/3.
По теореме Пифагора имеем:
(7Х/4)² + (7Х/3)² = 7²
49х²/16 + 49х²/9 = 49, или
Х²(1/16 + 1/9) = 1
25Х² = 16*9
Х = 4*3/5 = 12/5 = 2,4 см
АС = 2,4 + 2,4 * 4/3 = 2,4 + 3,2 = 5,6 см.
АВ = 2,4 + 2,4 * 3/4 = 2,4 + 1,8 = 4,2 см.
Ответ: 5,6 см; 4,2 см.

Задача 4. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны BE = √52 и CD =√73.
Найти гипотенузу треугольника.
Решение: Примем АЕ = АС = m.
BD = AD = k.
Из прямоугольного треугольника АВЕ имеем:
(2k)² + m² = (√52)²
Из прямоугольного треугольника ADC  имеем:
k² + (2m)² = (√73)².
Решаем совместно систему двух уравнений с двумя неизвестными:
4k² + m² = 52
k² + 4m² = 73
Домножаем второе уравнение на 4 и вычитаем из первого уравнения второе:
4k² + m² -4k² — 16m² = 52 — 292
-15m² = — 240
m² = 16
m=4 см   k² + 4*4² = 73   k² = 9  k = 3 см.
Катеты треугольника АВС равны 6 см и 8 см,
По теореме Пифагора гипотенуза равна 10 см.
Ответ: гипотенуза ВС = 10 см.

На сегодня всё. В следующий раз мы продолжим решение геометрических задач для подготовки к ОГЭ.

Вам так же будет интересно:

Оставить комментарий

geometriyaprosto.ru

Задачи с треугольниками

Задачи по треугольникам с решениями.

Задачи по теме — соотношение между элементами и площадь треугольников.

Пример решения синтетическим методом

Задача: Биссектриса угла прямоугольника делит большую сторону на два отрезка длиной 7 и 9 см. Найти периметр прямоугольника.

Дано: ABCD – прямоугольник; AK – биссектриса; ; BK = 7 см, KC = 9 см (либо BK = 9 см, KC = 7 см).

Решение задачи:

Дальнейшее решение зависит от того, какой из отрезков равен 7 см, а какой – 9 см.

Если BK = 7 см, KC = 9 см, то AB = BK = 7 см, и периметр равен P = 2∙(7 + 7 + 9) = 46см.

Если BK = 9 см, KC = 7 см, то AB = BK = 9 см, и периметр равен P = 2∙(9 + 9 + 7) = 50 см.

**********************************

Обратите внимание: при решении этой задачи собирались воедино сведения из разных областей геометрии. Результат одного рассуждения использовался для построения следующего.

Примеры решения аналитическим методом

Пример 1. Найти градусные меры смежных углов, если разность их градусных мер равна 50°

1. Решение. Обозначим градусные меры смежных углов x и Тогда по теореме о сумме смежных углов , а по условию . Получили систему уравнений

Отсюда находим x = 115°, y = 65°.

Пример 2. Доказать, что середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

1. Пусть AC и BD – диагонали четырехугольника. В треугольнике ABC: KL – средняя линия, следовательно, KL||В треугольнике ADC: PQ – средняя линия, следовательно, PQ||AC.
2. Тогда по признаку параллельных прямых имеем: KL||AC, PQ||AC, отсюда KL|| PQ. Аналогично доказывается параллельность KP и Следовательно, четырехугольник KLPQ – параллелограмм, ч.т.д. (quod erat demonstrandum).

Примеры решения задач по треугольникам алгебраическими методами

Сведение решения задачи к решению уравнения

Периметр прямоугольного треугольника равен 36 см. Гипотенуза AB относится к катету AC как 5:3. Найти стороны треугольника.

Решение задачи.

Дано : ∆ACB; C = 90°; P = 36 см, AB:AC = 5:3. Найти AB, AC, BC.

1. Обозначим коэффициент пропорциональности через Тогда , . Так как , то . Отсюда

Тогда k = 36/12 = 3 см, и стороны треугольника равны:

AB = 3∙5 = 15 см; AС = 3∙3 = 9 см; BC = 3∙4 = 12 см.

Комбинирование геометрического и аналитического методов

1. Решение. Построим рисунок. Из рисунка видно, что образованные треугольники подобны исходному треугольнику Следовательно,

Тогда

отсюда

Задачи по треугольникам для закрепления знаний

1. н

**********************************************************

22.

Указание. Использовать формулу (2)

**********************************************************

6.

**********************************************************

**********************************************************

**********************************************************

**********************************************************

19.

**********************************************************

18.

**********************************************************

23.

**********************************************************

24.

**********************************************************

28.

**********************************************************

29.

**********************************************************

4.

**********************************************************

**********************************************************

**********************************************************

9.

**********************************************************

zadachi-ru.com.ua

Решение задач на подобие. Подобные треугольники.

 

Рассмотрим задачи, при решении которых мы будем использовать подобие треугольников.  Уделим внимание как базовым задачам, так и задачам посложней. В конце статье вы найдете задачи для самостоятельной работы.

Задача 1. 

Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4 и АС = 9.

Решение: + показать

Задача 2.

Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

Решение: + показать

Задача 3.

Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.

Решение: + показать

Задача 4.

Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 156, а расстояние между точками касания равно 120. Найдите радиус круга.

Решение: + показать

Задача 5.

В трапеции меньшая диагональ , равная 6, перпендикулярна основаниям и . Найдите сумму тупых углов и .

Решение:+ показать

Задача 6.

Основания трапеции равны a и b. Определите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.

Решение: + показать

Задачи для самостоятельной работы

 

1. Через точки E и F, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая EF, параллельная стороне АС. Найдите длину BС, если EF = 10, AC = 15 и FC = 9. (Ответ: 27).

2. В прямоугольном треугольнике проведена высота к гипотенузе. , Найдите катет . (Ответ: 20/3).

3. Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник, площадь которого в 8 раз меньше площади оставшейся части. Периметр большего треугольника равен 27. Найдите периметр меньшего треугольника. (Ответ: 9).

4. Основание треугольника 15 см, а боковые стороны 13 и 14 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от вершины) и через точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Найдите площадь образовавшейся при этом трапеции. (Ответ: 70,56 (возможно, вам потребуется формула Герона)).

5. В трапеции с основаниями и диагонали пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 4, площадь треугольника равна 9. Найдите площадь трапеции. (Ответ: 25).

6. Трапеция разделена диагоналями на четыре части. Определить ее площадь, если известны площади ее частей, прилежащих к основаниям и . (Ответ: ).

egemaximum.ru

Решение треугольников, все формулы и примеры

Определение и формулы для решения треугольников

Стороны треугольника обычно обозначают буквами , а противолежащие углы – .

Решение треугольников заключается в отыскании всех неизвестных сторон и всех неизвестных углов треугольника по известным данным.

При решении задач используют теорему косинусов или теорему синусов.

Теоремы для решения треугольников

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

   

   

   

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной вокруг треугольника окружности:

   

Также используют условия, которым удовлетворяют стороны треугольника (неравенство треугольника):

   

   

   

и углы

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Решение треугольников | Геометрия 9 класс | Примеры решения задач

Содержание страницы:

• – задачи 76 — 77 представлены с примерами решений и ответами по теме «Решение треугольников»;
• – онлайн задания, как найти решение треугольника через синус и косинус угла, рассматриваются в тестах 78 — 81;
• – решения, как найти угол, сторону треугольника, объясняются в контрольных работах 82 — 85.

Задача 76.

Дано:

Треугольник ΔABC,

стороны треугольника a=10, b=7

Угол A = 60°

Решить треугольник: Угол по сторонам треугольника B, C, сторону c

Решение:

Известно, что формула синуса

, получаем выражение

Sin B = = = = ≈ 0,6062

Используя Sin B ≈ 0,6062, находим из тригонометрической таблицы («Четырехзначные математические таблицы» Владимира Модестовича Брадиса)

B = 37°19’

Тогда C = 180° — (60° + 37°19’) = 82°41’

Используя теорему синусов

, получаем равенство

с=≈ 11

 

Ответ: B = 37°19’; C = 82°41’; c ≈ 11

***

 

Задача 77.

Дано:

Треугольник ΔABC, стороны треугольника

a=6,3

b=6,3

C = 54°

Найти: Угол по сторонам треугольника A, B, сторону c

Решение:

Т.к. a=b=6,3, то треугольник ΔABC — равнобедренный.

Тогда A =B = (180° — 54°): 2 = 63°

Используя теорему синусов

, получаем равенство

с = = ≈ 5,7

Ответ: A =B = 63°; с ≈ 5,7

***

 

Наверх

Решение треугольников через синус и косинус угла

Задача 78.

Дано:

Треугольник ΔABC

A = 60°

B = 40°

c=14

Найти: угол треугольника C, стороны a,b

Решение:

C = 180° — (40° + 60°) = 80°

Используя теорему синусов

, получаем выражение

a = ≈ 12

b = ≈ 9

Ответ: C = 80°; a ≈ 12; b ≈ 9

***

 

Задача 79.

Дано:

Треугольник ΔABC

BC=a=6

AC=b=7,3

AB=c=4,8

 

Найти: углы треугольника A, B, C по сторонам

Решение:

Известно, что формула косинуса

, находим косинус угла B

Cos B = = = = ≈ 0,0998263

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим значение угла B

B = 84°16’

Используя формулу теоремы косинусов, находим косинус угла C

Cos C = = =

= ≈ 0,7562785

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим значение угла C

C = 40°52’

Тогда угол A равен A =180° — (40°52’ + 84°16’) = 54°52’

Ответ: A = 54°52’ ; C = 40°52’ ; B = 84°16’

***

 

Задача 80.

Дано:

Треугольник ΔABC

A = 30°

C = 75°

b = 4,5

 

Найти: угол B, стороны треугольника a,c

Решение:

B = 180° — (30° + 75°) = 75°

Т.к. два угла в треугольнике равны B =C = 75°, тогда треугольник ΔABC — равнобедренный.

Значит, две стороны равны AC=AB=b=c=4,5

Используя теорему синусов

,

находим сторону BC=a

a = ≈ 2,3

Ответ: B = 75°; a ≈ 2,3 ; c = 4,5

***

 

Задача 81.

Дано:

Треугольник ΔABC, длины трех его сторон

 

1) a=5 , b=c=4

2) a=5 , b=9 , c=6

3) a=17 , b=15 , c=8

 

Найти: является ли треугольник тупоугольным, прямоугольным, остроугольным

Решение:

1) Т.к. b=c=4, то треугольник ΔABC — равнобедренный, и, значит, остроугольный.

 

2) Используя формулу теоремы косинусов

, находим косинус угла A

Cos A =

= =0

Тогда угол A равен A = 90°. Следовательно, треугольник ΔABC — прямоугольный.

 

3) Используя формулу теоремы косинусов

, находим косинус угла B

Cos B = == -< 0.

Т.к. значение косинуса угла B меньше нуля, следовательно, угол B — тупой, а треугольник ΔABC — тупоугольный.

***

 

Наверх

Решение треугольника через угол по сторонам

Задача 82.

Дано:

Треугольник ΔABC, два угла и сторона

A = 45°

C = 30°

AD = 3 м

Найти: длину всех сторон треугольника ΔABC = ?

Решение:

Зная размер двух углов в треугольнике ΔABC, находим третий уголB = 180° — (30° + 45°) = 105°

Найдем угол DAB и рассмотрим ΔADC

DAB = 180° — (90° + 45 + 30°) = 15°

DAC = 15° + 45° = 60°

Используя теорему синусов

, находим сторону AC

AC = (3 • 1) • 2 = 6 (м)

Используя теорему синусов

, находим сторону AB

AB = ≈ 3 (м)

Используя теорему синусов

, находим сторону BC

BC =≈ 4 (м)

Ответ: AB ≈ 3 м, AC = 6 м, BC ≈ 4 м.

***

 

Задача 83.

Дано:

Треугольник ΔABC

Три стороны a = 14, b = 18,

c = 20

Найти:

все углы треугольника ΔABC = ?

Решение:

Т.к. против большего угла лежит большая сторона, то используя формулу теоремы косинусов

Cos C =, находим косинус угла C

Cos C = = ≈ 0,24

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла C

C ≈ 76°07’

Используя формулу теоремы косинусов

Cos B =, находим косинус угла B

 

Cos B = ==≈ 0,4857

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла B

B ≈ 60,941 ≈ 60°57’

Следовательно, A = 180° — (76°13’ + 60°57’) ≈ 42°56’

Ответ: A ≈ 42°56’ ; B ≈ 60°57’ ; C ≈ 76°07’

***

Задача 84.

Дано:

Треугольник ΔEKP, сторона и два угла

EP = 0,75

P = 40°

K = 25°

 

Найти: сторону треугольника PK = ?

Решение:

Используя теорему синусов

, находим сторону PK

E = 180° — (40° + 25°) =115°

Sin 115° = Sin (180° — 65°) = Sin 65°

Тогда

 

PK = ≈ 1,61

Ответ: PK ≈ 1,61.

***

 

Задача 85.

Дано:

Треугольник ΔABC, две стороны и угол

b = 18, c = 12

A = 50°

 

Найти: решить треугольник — определить значение стороны и двух углов

(a, B, C ) = ?

Решение:

Используя формулу теоремы косинусов

, получаем

a = = ≈ 13,8

Используя формулу теоремы косинусов

Cos C =, находим косинус угла C

Cos C == ≈ 0,7457

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла C

C ≈ 41°47’

Следовательно, B = 180° — (50° + 41°47’) ≈ 88°13’

Ответ: a ≈ 13,8 ; B ≈ 88°13’ ; C ≈ 41°47’

***

 

www.petrovskov.ru

Решение задач по теме «Равнобедренный треугольник» . Видеоурок. Геометрия 7 Класс

Данный видеоурок предназначен для самостоятельного изучения темы «Решение задач по теме “Равнобедренный треугольник”». Вы вспомните определение равнобедренного треугольника и повторите его свойства. Разберете несколько задач на треугольники, для решения которых понадобятся полученные ранее знания.

Вспомним предварительно определение равнобедренного треугольника.     

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

Определение: Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.                                                                                                     

АВ = АС,  треугольник АВС – равнобедренный. АВ и АС – боковые стороны, ВС – основание.

Определение: Треугольник называется равносторонним, если у него все три стороны равны.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

АВ = АС = ВС, треугольник АВС – равносторонний.

Следует повторить следующие свойства равнобедренного треугольника:

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ∠В = ∠С.

2. Пусть точка D – середина ВС. Отрезок AD является медианой, биссектрисой и высотой треугольника.

Рис. 3. Свойства равнобедренного треугольника

Рассмотрим следующие задачи:

Пример 1: На рисунке АВ = ВС, ∠1 = . Найдите ∠2.

Решение: Выполним пояснительный рисунок:

 

Рис. 4. Чертеж к примеру 1

1. ∠АСВ = – = (по свойству смежных углов). Значит, угол при основании равнобедренного треугольника равен .

2. ∠ВАС = ∠АСВ = (поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны).

3. ∠2 = ∠ВАС (как вертикальные), значит, ∠2 = ∠ВАС = .

Ответ:.

Пример 2: Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника ВСD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС.

Дано: АВ = АС, ВС = СD = DB. = 40 см. = 45 см.

Найти: АВ и ВС.

Решение: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 5. Чертеж к примеру 2

Решение: Пусть ВС = х, тогда все стороны равностороннего треугольника тоже равны х. Пусть АВ = у, тогда обе боковые стороны треугольника равны у. Следуя условию, 3х = 45. Найдем х. х = 45 : 3 = 15. Используем факт, что = 40 см. 15 + 2у = 40, 2у = 25, у = 25 : 2 = 12,5.

Ответ: АВ = 12,5 см, ВС = 15 см.

Пример 3: Медиана АМ в  треугольнике АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что ∠ВАС = ∠В + ∠С.

Дано: ВМ = МС, АМ = ВМ.

Доказать: ∠ВАС = ∠В + ∠С.

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 6. Чертеж к примеру 3

Треугольник АМВ – равнобедренный, углы при основании равны, значит, ∠1 = ∠2.  треугольник АМС – равнобедренный, значит, углы при основании равны, ∠4 = ∠3.

∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3

∠ВАС = ∠В + ∠С

Ответ: Доказано.

На сегодняшнем уроке мы решили задачи по теме «Равнобедренный треугольник». На следующем уроке мы изучим второй и третий признаки равенства треугольников.

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Фестиваль педагогической идеи «Открытый урок» (Источник).
2. Кaknauchit.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.
2. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.
3. Точки А и В лежат по одну сторону от прямой . Перпендикуляры АС и ВЕ, проведенные к прямой , равны. Точка О – середина отрезка СЕ. Докажите, что углы ОАВ и ОВА равны.
4. Медиана равнобедренного треугольника делит его периметр на части, которые равны 12 см и 9 см. Найдите стороны треугольника.

interneturok.ru

Задачи на комбинацию окружности и треугольника

Продолжаем решать простейшие геометрические задачки.

Разбираем Задачи №6  ЕГЭ по математике.

Сегодня работаем с окружностью, вписанной в треугольник и описанной около треугольника. 

Вы можете пройти автотренинг «Планиметрия»

В категорию «Задачи №6» входят  также задачи следующих типов + показать

 
 

Окружность, вписанная в треугольник

Задача 1.

Площадь треугольника равна 800, а радиус вписанной окружности равен 16. Найдите периметр этого треугольника.

Решение: + показать

Задача 2.

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 66.

Решение: + показать

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник – есть высоты (), так в правильном треугольнике высоты совпадают с медианами, а медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Итак,

Ответ: 22. 

Задача 3.

Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение: + показать

Задача 4.

В треугольнике ABC  . Найдите радиус вписанной окружности.

Решение: + показать

Найдем гипотенузу по т. Пифагора:

Найдем площадь и периметр треугольника, чтобы воспользоваться затем формулой :

Тогда

Ответ: 1. 

Задача 5.

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 11. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Решение: + показать

Задача 6.

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 181, основание равно 38. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение: + показать

Задача 7.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 13 и 5, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Решение: + показать

Задача 8.

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 10, 18, 33. Найдите периметр данного треугольника.

Решение: + показать

Окружность, описанная около треугольника

 

Задача 1.

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника , если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение: + показать

Задача 2.

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 50, основание равно 60. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение: + показать

Воспользуемся следующей формулой:

Площадь будем искать по формуле Герона:

Тогда  

Ответ: 31,25. 

Задача 3.

Сторона AB треугольника ABC равна 28. Противолежащий ей угол C равен 150˚. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение: + показать

Согласно т. Синусов

Ответ: 28. 

Задача 4.

Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 47, равен 30˚. Найдите сторону AB этого треугольника.

 

Решение: + показать

Задача 5.

В треугольнике ABC BC, угол C равен 90°. Радиус описанной окружности этого треугольника равен 17,5. Найдите AC.

Решение: + показать

В прямоугольном треугольнике гипотенуза – диаметр описанной окружности.

Значит,

По теореме Пифагора

Ответ: 30. 

Задача 6.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен Найдите сторону этого треугольника.

Решение: + показать

Задача 7.

Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:6:11. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Объемный раздел получился… Отдохнем немножко? –>+ показать

Вы может пройти тест «Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник»

egemaximum.ru

Решение треугольников. Более сложная задача. Видеоурок. Геометрия 9 Класс

На этом уроке мы будем находить элементы треугольника, используя основные теоремы синусов и косинусов и теоремы о площади.

Рассмотрим задачу, в которой заданы две стороны треугольника и угол не между ними, в этом случае число решений зависит от конкретных числовых данных.

Число решений может быть два:

предположим, что . В треугольнике может быть угол  или  (рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Дано: треугольник ABC, a = 6, b =8,  (рис. 2)

Найти: углы , γ; сторону с

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов

 

 

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

 

Видим, что , следовательно, угол β существует и существует два угла.

Рисунок 3 иллюстрирует наличие двух углов β.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

 

 

    

Треугольник ABC (рис. 2) имеет определённый радиус описанной окружности.

По теореме синусов:

 

 

 

Рассмотрим два случая:

1.  (рис. 4) 

Тогда угол :

interneturok.ru

Задачники по линейной алгебре — Все для студента

The Mathematical Association of America, 1996. — 453 p. Can one learn linear algebra solely by solving problems? Paul Halmos thinks so, and you will too once you read this book. The Linear Algebra Problem Book is an ideal text for a course in linear algebra. It takes the student step by step from the basic axioms of a field through the notion of vector spaces, on to advanced…

• №1
• 8,91 МБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 24.06.2011 23:59

The Johns Hopkins University Press, 2009. — 264 pages. Linear algebra is a prerequisite for students majoring in mathematics and is required of many undergraduate and first-year graduate students in statistics, engineering, and related areas. This fully updated and revised text defines the discipline’s main terms, explains its key theorems, and provides over 425 example…

• №2
• 3,40 МБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 28.03.2011 20:27

Сборник заданий. — Красноярск: Красноярский государственный аграрный университет, 2016. — 19 с. Сборник заданий является дополнением к видеокурсу «Линейная алгебра» и может быть использован для самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Линейная алгебра». Предназначено для студентов всех форм и направлений обучения бакалавриата.

• №3
• 737,82 КБ
• добавлен 24.05.2019 17:11
• изменен 24.05.2019 18:14

Москва: Высшая Школа, 2005. — 591 с. — ISBN: 5-06-004138-7 Изложены основные понятия, теоремы и методы решения задач по всем разделам курса: матрицы и определители, системы линейных алгебраических уравнений, функциональные матрицы и функции векторного аргумента, многочленные матрицы н функции от матриц, линейные пространства и линейные отображения, численные методы. В каждом…

• №4
• 4,62 МБ
• добавлен 26.04.2012 22:49
• изменен 26.04.2012 22:54

2-е изд., испр., М.: Физматлит , 2002. — 248 с. Пособие охватывает все разделы курса линейной алгебры. По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения и предлагаются контрольные вопросы; приводятся решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответами и указаниями. Первое издание — 2001 год. Для студентов…

• №5
• 1,56 МБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 18.05.2019 22:24

www.twirpx.com

Задачник-практикум по линейной алгебре

Министерство транспорта российской федерации

Федеральное агенство железнодорожного транспорта

Гоу впо «дальневосточный государственный

университет путей сообщения»

Кафедра «Высшая математика»

А.Г. Ереклинцев

Рекомендовано

Методическим советом ДВГУПС

в качестве учебного пособия

Хабаровск

Издательство ДВГУПС

2009

УДК 512.64(075.8)

ББК В143я73

Е 700

Рецензенты:

Кафедра математики

Дальневосточного государственного гуманитарного университета

(заведующая кафедрой кандидат педагогических наук, доцент

И.В. Карпова)

Кандидат педагогических наук,

доцент кафедры «Высшая математика»

Тихоокеанского государственного университета

Т.В. Сясина

Ереклинцев, А. Г.

Учебное пособие разработано в соответствии ГОС ВПО направления подготовки дипломированных специалистов всех специальностей.

Рассматриваются следующие разделы линейной алгебры: теория матриц, подстановки, определитель квадратной матрицы, системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения.

Предназначено для студентов 1-го курса, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов, изучающих дисциплины «Алгебра», «Алгебра и геометрия», «Высшая математика».

УДК 512.64(075.8)

ББК В143я73

© ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный

университет путей сообщения» (ДВГУПС), 2009

Введение

Алгебра – один из самых больших разделов математики, принадле-жащих наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности, исходя из различных аспектов практической деятельности человека. Развитие алгебры, её методов и символики оказало существенное влияние на науку, подготовив серьёзный фундамент и способствуя появлению многочисленных областей математики. Наиболее важная в приложениях часть алгебры – линейная алгебра. Первым по времени возникновения вопросом, относящимся к линейной алгебре, была теория линейных уравнений, развитие которой привело к созданию теории определителей, а затем теории матриц и связанной с ней теории векторных пространств и линейных преобразований в них.

Предлагаемое учебное пособие должно оказать помощь в овладении основными понятиями, утверждениями и методами линейной алгебры, а также в умении применять их при решении различных математических задач.

Весь материал пособия разбит на разделы и подразделы, в которых приведены основные теоретические сведения (определения, утверждения и правила), примеры и задачи с подробными решениями, а также варианты для самостоятельного решения типовых задач. Такое изложение материала позволит студентам, изучающим вопросы линейной алгебры, овладеть стандартными приёмами и навыками и впоследствии творчески применять их в решении сложных задач.

Представленный в учебном пособии материал может быть использован преподавателями кафедры «Высшая математика» на лекционных и практических занятиях, консультациях и экзаменах при составлении вариантов расчётно–графических заданий, контрольных работ и экзаменационных билетов.

studfiles.net

Задачник-практикум по линейной алгебре

Министерство транспорта российской федерации

Федеральное агенство железнодорожного транспорта

Гоу впо «дальневосточный государственный

университет путей сообщения»

Кафедра «Высшая математика»

А.Г. Ереклинцев

Рекомендовано

Методическим советом ДВГУПС

в качестве учебного пособия

Хабаровск

Издательство ДВГУПС

2009

УДК 512.64(075.8)

ББК В143я73

Е 700

Рецензенты:

Кафедра математики

Дальневосточного государственного гуманитарного университета

(заведующая кафедрой кандидат педагогических наук, доцент

И.В. Карпова)

Кандидат педагогических наук,

доцент кафедры «Высшая математика»

Тихоокеанского государственного университета

Т.В. Сясина

Ереклинцев, А. Г.

Учебное пособие разработано в соответствии ГОС ВПО направления подготовки дипломированных специалистов всех специальностей.

Рассматриваются следующие разделы линейной алгебры: теория матриц, подстановки, определитель квадратной матрицы, системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения.

Предназначено для студентов 1-го курса, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов, изучающих дисциплины «Алгебра», «Алгебра и геометрия», «Высшая математика».

УДК 512.64(075.8)

ББК В143я73

© ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный

университет путей сообщения» (ДВГУПС), 2009

Введение

Алгебра – один из самых больших разделов математики, принадле-жащих наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности, исходя из различных аспектов практической деятельности человека. Развитие алгебры, её методов и символики оказало существенное влияние на науку, подготовив серьёзный фундамент и способствуя появлению многочисленных областей математики. Наиболее важная в приложениях часть алгебры – линейная алгебра. Первым по времени возникновения вопросом, относящимся к линейной алгебре, была теория линейных уравнений, развитие которой привело к созданию теории определителей, а затем теории матриц и связанной с ней теории векторных пространств и линейных преобразований в них.

Предлагаемое учебное пособие должно оказать помощь в овладении основными понятиями, утверждениями и методами линейной алгебры, а также в умении применять их при решении различных математических задач.

Весь материал пособия разбит на разделы и подразделы, в которых приведены основные теоретические сведения (определения, утверждения и правила), примеры и задачи с подробными решениями, а также варианты для самостоятельного решения типовых задач. Такое изложение материала позволит студентам, изучающим вопросы линейной алгебры, овладеть стандартными приёмами и навыками и впоследствии творчески применять их в решении сложных задач.

Представленный в учебном пособии материал может быть использован преподавателями кафедры «Высшая математика» на лекционных и практических занятиях, консультациях и экзаменах при составлении вариантов расчётно–графических заданий, контрольных работ и экзаменационных билетов.

studfiles.net

масштаб — Перевод на английский — примеры русский

Масштабы чертежей

Масштаб — это отношение размеров изображенного на чертеже предмета к его действительным размерам. Масштабы чертежей должны быть только по ГОСТ 2.302-68.

Слово «масштаб», происходит от немецкого слова «Masstab» – размер, мерило, масштаб.

Для удобства использования рекомендуют изображать элементы на чертежах в натуральную величину. В масштабе 1:1. Такой чертеж дает правильное представление, читающему его инженеру, о реальных размерах предмета.

Если размеры объекта больше формата чертежа , то изображение уменьшают на точную величину по стандарту.

При изображении зданий или других крупных объектов можно использовать масштабы 1 : 2000, 1 : 5000, 1 : 10000, 1 : 20000, 1 : 25000, 1 : 50000.

Соотвествено, если размеры объекта меньше формата чертежа, то изображение увеличивают на точную величину по стандарту.

На чертежах масштаб указывается в графе основной надписи «Масштаб» (рис. 1).

рис. 1

8-art.ru

Масштаб Автокад — как масштабировать в AutoCAD

Очень часто на чертежах необходимо увеличивать или уменьшать объекты. Как раз для того, чтобы изменить масштаб объекта в Автокаде (AutoCAD) предназначена команда «Масштаб». Про масштаб чертежа (например, 1:100, 1:50 и т.д.) читайте в этой статье.

Давайте познакомимся с тем, как в Автокаде изменить масштаб. Масштабирование в AutoCAD, выполняемое с помощью команды «Масштаб», приводит к изменению размеров построенных объектов. При этом пропорции масштабируемых объектов не меняются.

Необходимо ответить на вопрос — как настроить масштаб в Автокаде? Есть несколько способов вызова данной команды:

1. Вкладка «Главная» → панель «Редактирование». После чего Вам необходимо указать щелчком ЛКМ объект масштабирования. Чтобы закончить выбор, нажмите «Enter» или правую кнопку мыши.

2. Выберите объекты для масштабирования. Нажмите правую кнопку мыши в области чертежа и из контекстного меню выберите «Масштаб» в Автокаде (Аutocad).

Теперь необходимо указать точку, относительно которой будет производиться операция масштабирования. Т.е. это точка, которая после масштабирования должна остаться на том же месте, где и была. Сейчас я ее укажу в левом нижнем углу прямоугольника.

Теперь нужно указать масштабный коэффициент. Т.е. то число, во сколько раз надо увеличить или уменьшить объект. Думаю здесь все понятно. Если ввести 2, о объект увеличится в 2 раза. А если ввести 0.5, то объект уменьшится в 2 раза. Только обязательно используйте точку при введение нецелого числа.

Результат проделанных операций позволяет изменять масштаб в Автокаде (Аutocad). У команды «Масштаб» в AutoCAD есть несколько опций. Их нужно знать и уметь применять. Так как они иногда бывают полезными.

Опция «Копия».

Покажем как задать масштаб в Автокаде. В Автокад масштаб чертежа можно установить таким образом. Например, Вам надо увеличить объект в Х раза, но при этом надо, чтобы в итоге на чертеже появились исходный объект и его увеличенная копия.

Тогда после указания базовой точки, введите с клавиатуры ключевую букву опции «К». А затем введите коэффициент. Его можно задать выражением деления, например 1/8 (или 0.125).

Опция «Опорный отрезок».

Действие этой опции я покажу на примере. Чтобы понять как в Автокаде изменить масштаб необходимо следовать таким этапам. Допустим, Вам надо изменить масштаб в Автокаде (Аutocad) прямоуголька на чертеже в AutoCAD таким образом, чтобы его длина стала равна диаметру окружности.

Для этого мы можем графически на чертеже показать нужные нам размеры. Для начала соединим нужные точки прямоугольника и окружности, как показано на рисунке. Теперь выбираем прямоугольник, так как масштабировать мы будем его. Вызываем команду «Масштаб» в AutoCAD. Базовую точку указываем в точке, в которой мы соединили объекты.

Выбираем опцию «Опорный отрезок». Можно просто ввести с клавиатуры ключевик «О». Программа AutoCAD просит нас указать длину опорного отрезка. Мы ее покажем графически на чертеже. Опорный отрезок — это то расстояние, которое мы хотим отмасштабировать. В нашем случае это длина прямоуголька. Указываем ее щелчками левой кнопки мыши в углах прямоугольника. См. рис.

Теперь если мы начнем отводить курсор , то увидим, что прямоугольник масштабируется относительно базовой точки. Сейчас, чтобы сделать длину прямоугольника, равной диаметру окружности, просто щелкаем ЛКМ по правой точке диаметра окружности.

Итак, мы с Вами рассмотрели команду «Масштаб» в AutoCAD и научились изменять масштаб объектов и задавать в Автокад масштаб чертежа. Также рассмотрели полезные опции команды масштабирования в AutoCAD, таки как «Копия» и «Опорный отрезок».

Видео курсы по AutoCAD:

1. Использование AutoCAD на 100%
2. 3D моделирование в AutoCAD
3. Адаптация AutoCAD под стандарты предприятия
4. Советы и хитрости
5. Блоки и поля в AutoCAD

autocad-specialist.ru

Масштабы чертежей | Новости в строительстве

Масштабы чертежей это отношение между натуральными размерами объекта или предмета к линейными размерами изображенного на чертеже.Масштабы чертежей могут выражаться числом,в таком случае их называют числовыми масштабами и графически -линейными масштабами.

Числовой масштаб обозначается дробью и показывает кратность уменьшения а также увеличения размеров изображенных объектов  на чертеже.В зависимости от назначения чертежей а также от сложности форм изображенных предметов и сооружений на чертеже,при составлении чертежных документов используют масштабы:

 Уменьшения 1:2; 1:2.5; 1:4; 1: 10; 1:15; 1:20; 1:25; 1: 40; 1:50; 1:75; 1: 100; 1:200; 1:400; 1:500; 1:800; 1:1000;

 Увеличения : 2:1; 2.5:1;4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100:1;

Изображение в натуральную величину 1:1.В процессе проектирования генеральных планов больших объектов используют следующие масштабы: 1:2000; 1: 5000; 1:10000; 1:20000; 1: 25000; 1:50000.

Если выполняется чертеж в одном масштабе, то указывают его значение в  графе основной надписи чертежа  по типу 1:1; 1:2; 1:100 и так далее.Если же на чертеже какое либо изображение выполнено в масштабе, который отличается от указанного масштаба в основной надписи чертежа,то в таком случае указывают масштаб типа М 1:1; М1:2 и так далее под соответствующим наименованием изображения.

Читай также чертежные шрифты

При составлении строительных чертежей и используя числовой масштаб, необходимо производить вычисления,для определения размеров отрезков линий,которые наносятся на чертеже. Например, если длина изображаемого предмета составляет 4000 миллиметров,а числовой масштаб 1: 50, для того чтобы вычислить на чертеже длину отрезка,необходимо 4000 миллиметров разделить на (степень уменьшения) 50, а полученную величину в 80 миллиметров отложить на чертеже.

Для того чтобы сократить вычисления используют масштабную линейку или строят линейный масштаб (смотри рисунок 4 а) в числовом масштабе 1:50. Проводят в начале прямую линию на чертеже и на ней несколько раз  откладывают основание масштаба. Основание масштаба -это величина которую получают путем деления принятой в данном случае единицы измерения( 1 м = 1000 мм.) на размер уменьшения 1000:50=20 миллиметров.

Читай также форматы чертежей

С левой стороны первый отрезок разделяют на  несколько равных частей, таким образом, чтобы каждому делению соответствовало целое число.Если разделить этот отрезок на десять равных частей, то каждому делению будет соответствовать 0.1 метра, если на пять частей разделить то 0.2 метра.

Для того чтобы использовать построенный линейный масштаб, например чтобы взять размер 4650 миллиметров, необходимо одну ножку измерительного циркуля поставить на четыре метра, а другую положить на шестое с половиной  слева от нуля дробное деление. В случае когда точность будет недостаточной, используют поперечный  масштаб.

Масштабы чертежей-поперечный и угловой(пропорциональный)

Поперечный масштаб позволяет определить размер с определенной погрешностью. Погрешность может быть до сотых долей основной единицы измерения. На рисунке 4б показан пример определения размера,равного 4.65 м. Сотые доли берут на вертикальном отрезке а десятые доли на горизонтальном.

В случае когда используют произвольный масштаб и необходимо построить уменьшенное или увеличенное изображение объекта выполняемого по заданному формату чертежа используют угловой масштаб или как его еще называют пропорциональный. Угловой масштаб можно строить в виде прямоугольного треугольника.

Отношение катетов такого прямоугольного треугольника равняется кратностью изменения масштаба изображения (h : H).Если необходимо изменяют масштаб изображения с помощью углового масштаба, пользуясь только отвлеченными величинами и при этом не вычисляют размеры изображаемого предмета. Например,когда необходимо заданный чертеж изобразить в увеличенном масштабе.

Строим для этого прямоугольный треугольник(смотри рисунок 4 в) АВС. У такого треугольника вертикальный катет ВС равен отрезку какой нибудь прямой , которая взята на заданном чертеже. Горизонтальный катет АВ равен длине отрезка в масштабе увеличенного чертежа. Для того чтобы увеличить нужный какой-то отрезок прямой на заданном чертеже, например отрезок h, нужно его отложить параллельно катету ВС углового масштаба (по вертикали), между гипотенузой АС и катетом АВ.

В таком случае увеличенный размер нужного отрезка будет равен размеру H, взятому (по горизонтали) на стороне АВ углового масштаба.Угловой масштаб также используют при переводе величин из одного числового масштаба в другой.

stroivagon.ru

Применение масштабов при изображении чертежей.

Применение масштабов при изображении чертежей.

Масштабом называется отношение, показывающее, во сколько раз величина отрезка линии на чертеже меньше или больше величины соответствующего отрезка линии в натуре.

Масштабы бывают численные и графические. Последние разделяются на линейные, поперечные и угловые.

При вычерчивании чертежей, пользуясь численным масштабом, приходится производить арифметические вычисления для определения величин отрезков линий, наносимых на чертеже.

Для сокращения вычислений и для быстроты получения величины отрезков линий, наносимых на чертеже в определенном масштабе, пользуются масштабной линейкой или строят соответствующий численному масштабу линейный масштаб.

Поперечный масштаб дает возможность выразить или определить размер с погрешностью до сотых долей основной единицы измерения.

В тех случаях когда требуется построить увеличенное или уменьшенное изображение, выполняемое по заданному чертежу, масштаб которого может быть произвольным, применяют угловой масштаб.

Выбор масштаба чертежа зависит от назначения чертежа. А также от сложности форм предмета и сооружения, их размеров.

Согласно ГОСТ 2.302-68 при выполнении чертежей применяют следующие масштабы:

масштабы уменьшения:

1:2; 1:2.5; 1:4; 1:5; 1:10; 1:15; 1:20; 1:25; 1:40; 1:50; 1:75; 1:100; 1:200; 1;400; 1:500; 1:800; 1:1000; для изображения в натуральную величину М 1:1;

масштабы увеличения:

2:1; 2.5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100:1.

При проектирование генеральных планов крупных объектов рекомендуется применять масштабы 1:2000; 1:5000; 1:10000; 1:20000; 1:25000; 1:50000.

Масштаб, указываемый в предназначенной для этого графе основной надписи чертежа, обозначается по типу 1:1; 1:2 и т.д., а в остальных случаях – по типу М 1:1; М 1:2 и т.д.

Основные линии чертежа, особенности их начертания в соответствии с ГОСТом.

Чтобы чертеж был выразительным и легко читался, он должен быть оформлен линиями различной толщины и начертания. Линии и их назначения установлены ГОСТ 2.303-68*.

Основной линией чертежа является линия видимого контура. Толщина сплошной основной линии s должна быть в пределах от 0,5 до 1,4 мм в зависимости от величины и сложности изображения, а также от формата и назначения чертежа.

Линии чертежа.

Наименование		Толщина линии	Основное назначение
Сплошная основная		s (0,5 до 1,4)	Линия видимого контура; линии перехода видимые; линии контура сечения (вынесенного и входящего в состав разреза).
Сплошная тонкая		От s/3 до s/2 (от 0,2-0,5 до 0,3-0,75)	Линии контура наложенного сечения; линии размерные и выносные; линии штриховки; линии выноски; полки линий-выносок и подчеркивание надписей; линии для изображения пограничных деталей; линии ограничения выносных элементов на видах, разрезах и сечениях; линии перехода изображаемые; линии сгиба на развертках; ось проекций, следы плоскостей, линии построения характерных точек при специальных построениях.
Сплошная волнистая		Линии обрыва; линии разграничения вида и разреза
Штриховая		Линии невидимого контура; линии перехода невидимые.
Штрих-пунктирная тонкая		Линии осевые и центровые; линии сечений, являющиеся осями симметрии для наложенных или вынесенных сечений; линии для изображения частей изделий в крайних или промежуточных положениях; линии для изображения развертки, совмещенной с видом.
Штрих-пунктирная утолщенная		От s/2 до 2/3s (от 0,3-0,75 до 0,4-1)	Линии, обозначающие поверхности, подлежащие термообработке или покрытию; лини для изображения элементов, расположенных перед секущей плоскостью.
Разомкнутая		От s до 1,5s (от 0,6-1,5 до 0,9-2,25)	Линии сечений
Сплошная тонкая с изломами		От s/3 до s/2 (от 0,2-0,5 до 0,3-0,75)	Длинные линии обрыва
Штрихпунктирная с двумя точками тонкая		От s/3 до s/2	Линии сгиба на развертках; линии для изображения частей изделий в крайних или промежуточных положениях и для изображения развертки, совмещенной с видом

Штрих-пунктирные линии должны заканчиваться штрихами, а не точками. Центр окружности должен отмечаться пересечением штрихов. В окружностях диаметром меньше 12 мм штрих-пунктирные линии, применяемые в качестве центровых, следует заменить сплошными тонкими линиями. Размерные числа и надписи не должны пересекаться линиями чертежа.

Для рамок чертежей, таблиц, основных надписей и спецификаций следует применять сплошные линии толщиной s.

Чертежные шрифты

На чертежах и других технических документах помимо размерных чисел наносят различные надписи как в графах основной надписи, так и на поле чертежа – надписи с обозначением изображений, а также относящиеся к отдельным элементам изображаемого изделия или здания. Надписи должны быть ясными и четкими.

ГОСТ 2.304-81* устанавливает чертежные шрифты для надписей, наносимых от руки на чертежах и технических документах всех отраслей промышленности и строительства.

Наклон букв и цифр этого шрифта к основанию строки равен примерно 75 градусов.

Помимо основного шрифта с наклоном рекомендуется также широкий шрифт. В этом случае ширина букв и цифр увеличивается на 1/7 высоты.

Основные надписи, заголовки, наименования допускается писать прямыми буквами. Надписи могут выполняться только из прописных букв или в сочетании прописных со строчными.

Размер шрифта определяется высотой h прописных букв (в миллиметрах).

Устанавливаются следующие размеры шрифта: 2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 40.

При написании цифр и букв следует иметь в виду следующее:

для всего текста толщина линий обводки должна быть одинакова;

нижние отростки буквы Д и верхний знак буквы Й должны выполняться за счет промежутков между строками, а нижние и боковые отростки букв Ц и Щ – за счет промежутков между строками и буквами;

прописная буква в слове со строчными буквами должна иметь ту же толщину линий, что и у строчных букв;

высота строчных букв составляет 7/10 от высоты прописных;

ширина большинства прописных букв равна 6/10 h

ширина букв А, Д, М, Х, Ы, Ю – 7/10h, а букв Ж, Ф,Щ,Ъ – 8/10h

ширина строчных букв и арабских цифр, кроме цифры 1, составляет 5/10h

Цифра 1 должна помещаться на нормальном расстоянии от смежных цифр и букв.

расстояние между строками должно быть не менее высоты строчных букв

при кажущем увеличении промежутков между смежными буквами, например Г и А, Г и а, Р и Д, Т и Л и т.п., следует уменьшать эти промежутки.

Выбор главного вида детали.

Выполнение чертежа начинают с выбора главного изображения.

Основное требование к главному изображению оно должно передавать наиболее полное представление о форме и размерах детали.

В качестве главного изображения (вида спереди) может быть использован как фронтальный разрез, так и сочетание вида и разреза.

Плоские детали из листового материала изображают в одной проекции, показывающей их контурные изображения, толщина детали указывается условной записью.

Для изготовления фасонных деталей из листового материала требуются точные развертки или приближенные заготовки для штампованных деталей с вытяжкой — это плоские детали из листового материала.

Количество изображений (видов, разрезов, сечений) предмета на чертеже должно быть наименьшим, но достаточным для выявления его внешней и внутренней формы и должно давать возможность рационально нанести размеры.

В некоторых случаях одна проекция с соответствующим условным знаком, поставленным у размерного числа, дает полное представление о форме изображенного предмета. Так, например, знак диаметра говорит о том, что изображенный предмет является телом вращения; знак квадрата обозначает, что изображенный предмет имеет форму призмы с нормальным сечением в виде квадрата; слово «сфера», написанное перед значком диаметра говорит о том, что поверхность сферическая; символ «S» (толщина) перед размерным числом заменяет вторую проекцию детали, имеющую форму параллелепипеда и т.д.

После анализа формы детали, можно определить, какие изображения необходимы для исчерпывающей передачи внешних и внутренних форм этой детали. Для большинства деталей машин и механизмов достаточно выполнить 3 изображения, учитывая, что для изображения невидимых контуров изделия можно пользоваться штриховыми линиями, можно совмещать части видов с частями соответствующих разрезов, применять сложные разрезы и т.п.

Выбор главного изображения (особенно для чертежа детали) — важнейший этап работы над чертежом. Если на этом этапе допустить ошибку, то ничто другое ее не компенсирует. Чертеж будет понят правильно опытным человеком, но чтение отнимет много времени. Менее опытный не только потратит еще больше времени, но и может неверно понять содержание чертежа, что приведет к производственному браку.

Рассмотрим порядок выбора главного изображения, условно разделив его на три этапа.

1.Определение направления взгляда (направления проецирования) для образования главного изображения.

2.Определение содержания главного изображения.

3.Выбор положения главного изображения.

На сборочных чертежах главное изображение должно отображать относительное положение основных частей изделия, обычно скрытых от взгляда наблюдателя. Поэтому данное изображение является разрезом, как и большинство других изображений, помещаемых на чертеже.

Сложные разрезы.

Разрез, выполненный несколькими секущими плоскостями, называется сложным.

Если сложный разрез получен при помощи параллельных плоскостей, то он называется ступенчатым, если секущие плоскости пересекаются, то ломанным.

Положение секущей плоскости указывают на чертеже линией сечения. Для линии сечения должна применятся разомкнутая линия. При сложном разрезе штрихи также проводят у перегибов линии сечения.

При ломанных разрезах секущие плоскости условно повертывают до совмещения в одну плоскость, при этом направление поворота может не совпадать с направлением взгляда. Если совмещенные плоскости окажутся параллельными одной из основных плоскостей проекции, то ломанный разрез допускается помещать на месте соответствующего вида. При повороте секущей плоскости элементы предмета, расположенные за ней, следует вычерчивать так, как они проецируются на соответствующую плоскость, до которой происходит совмещение.

(Разрезы можно располагать в любом месте чертежа, а также с поворотом до положения, соответствующего принятом для данного предмета на главном изображении. В последнем случае к надписи должно быть добавлено слово «Повернуто».

Допускается также разделение разреза и вида штрих-пунктирной тонкой линией, совпадающей со следом плоскости симметрии не всего предмета, а лишь его части если она представляется собой тело вращения.)

Тонкие стенки типа ребер жесткости, а также спицы маховиков показывают незаштрихованными, если секущая плоскость направленна вдоль оси или длинной стороны этого элемента.

Также детали, как болты, винты, заклепки и т.п., при продольном разрезе показывают не рассеченными. Если в подобных деталях имеется отверстие или иная плоскость, необходимо выполнить местный разрез.

Местный разрез

Если требуется выявить форму элемента на небольшом участке детали, разрез всей детали можно не делать. В этом случае показывают только часть соответствующего разреза. Разрез, служащий для выяснения устройства предмета только в отдельном ограниченном месте, называется местным. Местный разрез выделяют на виде сплошной волнистой линией, которая не должна совпадать с какими-либо другими линиями изображения.

 

Сечение.

Сечением называется изображение плоской фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета плоскостью или несколькими плоскостями.

На сечении показывается только то, что получается непосредственно в секущей плоскости.

В соответствии с ГОСТ 2.303-68 для линии сечения применятся разомкнутая утолщенная линия с указанием стрелками направления взгляда и обозначением ее одинаковыми прописными буквами русского алфавита, а само сечение сопровождается надписью по типу А-А. В строительных чертежах у линии сечения взамен букв допускается применять цифры, а также надписывать название разреза. Длина стрелки выбирается в пределах 10-25 мм. Стрелки наносятся на расстоянии 2-3 мм от конца утолщенного штриха. Начальный и конечный утолщенные штрихи не должны пересекать контур изображения. Для сложных сечений допускается концы разомкнутой линии соединять тонкой штрих-пунктирной линией. В строительных чертежах при симметричных сечениях применяют разомкнутую линию с обозначением ее, но без стрелок.

(Сечения, не входящие в состав разреза, разделяются на вынесенные и наложенные. Вынесенное сечение изображается на свободном месте чертежа, по возможности недалеко от того вида, к которому оно относится. Допускается изображать это сечение в разрыве между частями одного и того же вида.

Наложенное сечение располагается непосредственно на виде предмета.

Вынесенным сечением следует отдавать предпочтения перед наложенными. Контур вынесенного сечения следует изображать сплошными основными линиями, а контур наложенного сечения – сплошными тонкими линиями, причем линии изображения предмета в месте расположения наложенного сечения не прерываются.

Ось симметрии вынесенного или наложенного сечения указывается штрих-пунктирной тонкой линией без обозначения буквами и стрелками. Допускается располагать сечение на любом месте поля чертежа, а также с поворотом. В последнем случае к надписи должно быть добавлено слово «Повернуто».

ГОСТ 2.306-68* предусматривает особый вид штриховки для различных материалов, из которых делаются детали.)

15.Разновидности сечений, их оформление на чертеже.

Сечением называется изображение плоской фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета плоскостью или несколькими плоскостями.

На сечении показывается только то, что получается непосредственно в секущей плоскости.

В соответствии с ГОСТ 2.303-68 для линии сечения применятся разомкнутая утолщенная линия с указанием стрелками направления взгляда и обозначением ее одинаковыми прописными буквами русского алфавита, а само сечение сопровождается надписью по типу А-А. В строительных чертежах у линии сечения взамен букв допускается применять цифры, а также надписывать название разреза. Длина стрелки выбирается в пределах 10-25 мм. Стрелки наносятся на расстоянии 2-3 мм от конца утолщенного штриха. Начальный и конечный утолщенные штрихи не должны пересекать контур изображения. Для сложных сечений допускается концы разомкнутой линии соединять тонкой штрих-пунктирной линией. В строительных чертежах при симметричных сечениях применяют разомкнутую линию с обозначением ее, но без стрелок.

Сечения, не входящие в состав разреза, разделяются на вынесенные и наложенные. Вынесенное сечение изображается на свободном месте чертежа, по возможности недалеко от того вида, к которому оно относится. Допускается изображать это сечение в разрыве между частями одного и того же вида.

Наложенное сечение располагается непосредственно на виде предмета.

Вынесенным сечением следует отдавать предпочтения перед наложенными. Контур вынесенного сечения следует изображать сплошными основными линиями, а контур наложенного сечения – сплошными тонкими линиями, причем линии изображения предмета в месте расположения наложенного сечения не прерываются.

Ось симметрии вынесенного или наложенного сечения указывается штрих-пунктирной тонкой линией без обозначения буквами и стрелками. Допускается располагать сечение на любом месте поля чертежа, а также с поворотом. В последнем случае к надписи должно быть добавлено слово «Повернуто». Для несимметричных сечений, расположенных в разрыве или наложенных, линию сечения проводят со стрелками, но буквами не обозначают.

На видах и разрезах допускается упрощенно изображать проекции линий пересечения поверхностей, если не требуется точного их построения.

ГОСТ 2.306-68 предусматривает особый вид штриховки для различных материалов, из которых делаются детали.

Отличие разреза от сечения.

Если предмет условно рассечь плоскостью, мысленно отбросить отсеченную часть его, расположенную перед секущей плоскостью, и спроецировать на плоскость проекций оставшуюся часть со стороны секущей плоскости, то такая проекция называется разрезом.

Следовательно, разрез представляет собой изображение предмета, мысленно рассеченного одной или несколькими плоскостями, при этом мысленное рассечение предмета относится только к данному разрезу и не влечет за собой изменение других изображений того же предмета. На разрезе показывается то, что лежит в секущей плоскости (сечение) и что расположено за ней.

Сечением называется изображение плоской фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета плоскостью или несколькими плоскостями.

На сечении показывается только то, что получается непосредственно в секущей плоскости.

Разрез отличается от сечения тем, что на нём показывают не только то, что находится в секущей плоскости, но и то, что наводится за ней.

Применение масштабов при изображении чертежей.

Масштабом называется отношение, показывающее, во сколько раз величина отрезка линии на чертеже меньше или больше величины соответствующего отрезка линии в натуре.

Масштабы бывают численные и графические. Последние разделяются на линейные, поперечные и угловые.

При вычерчивании чертежей, пользуясь численным масштабом, приходится производить арифметические вычисления для определения величин отрезков линий, наносимых на чертеже.

Для сокращения вычислений и для быстроты получения величины отрезков линий, наносимых на чертеже в определенном масштабе, пользуются масштабной линейкой или строят соответствующий численному масштабу линейный масштаб.

Поперечный масштаб дает возможность выразить или определить размер с погрешностью до сотых долей основной единицы измерения.

В тех случаях когда требуется построить увеличенное или уменьшенное изображение, выполняемое по заданному чертежу, масштаб которого может быть произвольным, применяют угловой масштаб.

Выбор масштаба чертежа зависит от назначения чертежа. А также от сложности форм предмета и сооружения, их размеров.

Согласно ГОСТ 2.302-68 при выполнении чертежей применяют следующие масштабы:

масштабы уменьшения:

1:2; 1:2.5; 1:4; 1:5; 1:10; 1:15; 1:20; 1:25; 1:40; 1:50; 1:75; 1:100; 1:200; 1;400; 1:500; 1:800; 1:1000; для изображения в натуральную величину М 1:1;

масштабы увеличения:

2:1; 2.5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100:1.

При проектирование генеральных планов крупных объектов рекомендуется применять масштабы 1:2000; 1:5000; 1:10000; 1:20000; 1:25000; 1:50000.

Масштаб, указываемый в предназначенной для этого графе основной надписи чертежа, обозначается по типу 1:1; 1:2 и т.д., а в остальных случаях – по типу М 1:1; М 1:2 и т.д.



infopedia.su

Масштабы изображений на чертежах и схемах. Допустимые масштабы чертежей.

	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Технологии и чертежи / / Символы и обозначения оборудования на чертежах и схемах.  / / Масштабы изображений на чертежах и схемах. Допустимые масштабы чертежей. Масштабы изображений на чертежах и схемах должны выбираться из следующего ряда (по ГОСТ 2.302-68): Масштабы уменьшения 1:2; 1:2,5; 1:4; 1:5; 1:10; 1:15; 1:20; 1:25; 1:40; 1:50; 1:75; 1:100; 1:200; 1:400; 1:500; 1:800; 1:1 000 Натуральная величина 1:1 Масштабы увеличения 2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100:1 + Дополнительно: При проектировании генеральных планов больших объектов допускается применять масштабы 1:2 000; 1:5 000; 1:10 000; 1:20 000; 1:25 000; 1:50 000. В необходимых случаях допускается применять масштабы увеличения (100n):1, где n — целое число. Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

dpva.ru

Масштаб чертежа и размеров в AutoCAD

---

В этом видео и этой статье я разобрал больную для многих тему – масштабирование в Автокаде, в том числе следующие фишки:

– Как изменять масштаб объектов в Автокаде
– как увеличивать масштаб размеров в Автокад
– как уменьшить масштаб в AutoCAD
– Как настраивать масштаб вида на Листе в Автокаде
– Как менять масштаб размеров, текстов и т.д.
– как выставлять для чертежа масштаб 1:1, 1:100, 1:200 и 1:500
– как менять масштаб в листе

Приятного просмотра 🙂

Видео версия урока:

---

 

Пройдите базовый курс “AutoCAD за 40 минут” от автора, который Вы найдете по этой ссылке.

Текстовая версия урока:

Масштаб в Автокаде – тема, затрагивающая как чертежи, так и размеры и тексты. Также в уроке разобрано масштабирование Видов в пространстве Лист (Layout по-английски).

Многие проектировщики по сей день совершают ошибку – выполняют чертеж сразу в масштабе в бесконечном пространстве, которое находится на вкладке “Модель”:

 

 

Правильно же и рационально работать намного проще. 

Выполняем наш чертеж в самом легком и “неприхотливом” масштабе – 1:1, на бесконечном рабочем полотне (пространство “Модель” как раз), и затем переходим на вкладку “Лист1”, и там уже задаем легко масштаб нашему виду, в так называемом Видовом экране:

 

Далее для задания масштаба нашему видовому экрану (ВЭ) в Автокаде поступают так:

1. Активируют видовой экран двойным щелчком левой кнопки мыши внутри него, т.е. в любом месте внутри прямоугольного контура ВЭ.
2. “Находят” нужный чертеж из пространства Модель, то есть двигаем-двигаем-двигаем чертеж в Видовом экране, чтобы в его поле зрения разместить нужный чертеж. На примере это – план первого этажа коттеджа.
3. Жмут по кнопке справа внизу на панели Режимов – см. картинку ниже.
4. Выбирают масштаб из списка
5. Центрируют чертеж в видовом экране БЕЗ зуммирования (без приближения и отдаления).
6. Блокируют, т.е. фиксируют ВЭ, щелкнув опять же левой кнопкой мыши дважды, но уже за пределами его границ.

 

 

Теперь о масштабе размеров в Автокаде.

На огромных чертежах, выполненных в Модели в масштабе 1:1, размерные числа высотой в 2,5 мм и даже 5 мм превращаются зрительно в точку либо вообще их не видно. Ведь всё логично – чертеж имеет габаритные размеры по 5 – 10 метров. Что такое 3,5 миллиметра по сравнению с 5-ю метрами? незаметная штука 🙂

Так вот, для того чтобы в модели при масштабе чертежа 1:1 все размеры чисто визуально были больше (для читаемости), все ваши тексты и размеры должны быть выполнены в аннотативных стилях.

То сначала настраивается текстовый стиль и там задается Аннотативность, затем размерному стилю тоже задается аннотативность, для того чтобы и текст, и засечки и стрелки тоже визуально увеличивались на огромном строительном чертеже.

 

 

О настройке текстов и размеров у меня есть соответствующие видеоуроки.

Теперь и в Листах размеры у Вас будут всегда иметь размерные числа заранее заданной высоты (например 2,5 или 3,5 мм), при любом масштабе самого чертежа. В этом еще один бесспорный плюс Аннотативности.

Важно: не забудьте включить 2 опции, как показано на картинке ниже, чтобы не было такой оплошности: в Модели и в Листе у Вас, допустим, разные масштабы аннотаций выставлены, и Вы в Листе просто не видите такие размеры. Включите эти 2 режима, и всё будет всегда отображаются в Листах:

 

 

Обязательно получите мой более развернутый базовый Видео курс “AutoCAD за 40 минут”, нажав по картинке ниже:

 

Поделиться с друзьями этой статьей

---

---

---

---

Другие уроки по теме

autocad-prosto.ru