Рубрика: Школьная жизнь

Сокращение обыкновенных дробей.

Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Чтобы сократить обыкновенную дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

Это число является наибольшим общим делителем числителя и знаменателя данной дроби.

Возможны следующие формы записи решения примеров на сокращение обыкновенных дробей.

Учащийся вправе выбрать любую форму записи.

Примеры. Упростить дроби.

Сократим дробь на 3 (делим числитель на 3;

делим знаменатель на 3).

Сокращаем дробь на 7.

Выполняем указанные действия в числителе и знаменателе дроби.

Полученную дробь сокращаем на 5.

Сократим данную дробь 4) на 5·7³ — наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, который состоит из общих множителей числителя и знаменателя, взятых в степени с наименьшим показателем.

Разложим числитель и знаменатель этой дроби на простые множители.

Получаем: 756=2²·3³·7 и 1176=2³·3·7².

Определяем НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя дроби 5).

Это произведение общих множителей, взятых с наименьшими показателями.

НОД(756; 1176)=2²·3·7.

Делим числитель и знаменатель данной дроби на их НОД, т. е. на 2²·3·7 получаем несократимую дробь 9/14.

А можно было записать разложения числителя и знаменателя  в виде произведения простых множителей, не применяя понятие степени, а затем произвести сокращение дроби, зачеркивая одинаковые множители в числителе и знаменателе. Когда одинаковых множителей не останется — перемножаем оставшиеся множители отдельно в числителе и отдельно в знаменателе и выписываем получившуюся дробь 9/14.

И, наконец, можно было сокращать данную дробь 5) постепенно, применяя признаки деления чисел и к числителю и к знаменателю дроби. Рассуждаем так: числа 756 и 1176 оканчиваются четной цифрой, значит, оба делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. Числитель и знаменатель новой дроби — числа 378 и 588 также делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. Замечаем, что число 294 — четное, а 189 — нечетное, и сокращение на 2 уже невозможно. Проверим признак делимости чисел 189 и 294 на 3.

(1+8+9)=18 делится на 3 и (2+9+4)=15 делится на 3, следовательно, и сами числа 189 и 294 делятся на 3. Сокращаем дробь на 3.  Далее, 63 делится на 3, а 98 — нет. Перебираем другие простые множители. Оба числа делятся на 7. Сокращаем дробь на 7 и получаем несократимую дробь 9/14.

www.mathematics-repetition.com

Как упрощать составные дроби Как? Так!

Содержимое:

2 метода:

Составная дробь – это дробь, у которой в числителе или в знаменателе или и в числителе, и в знаменателе находится дробь. По этой причине составные дроби еще называют многоэтажными дробями. Процесс упрощения составных дробей варьируется от простого к сложному — в зависимости от числа членов выражений, находящихся в числителе и в знаменателе, или от наличия переменных в числителе и в знаменателе.

Шаги

Метод 1 Упрощение составных дробей через умножение на обратную величину

1. 1 При необходимости упростите и числитель, и знаменатель до одной обыкновенной дроби. Легко упростить составную дробь, у которой и в числителе, и в знаменателе находится одна обыкновенная дробь. Поэтому, если в числителе или в знаменателе данной вам составной дроби находятся несколько дробей или дроби и целые числа, упростите их, чтобы получить по одной дроби и в числителе, и в знаменателе. Для этого потребуется найти наименьший общий знаменатель (НОЗ).
   • Например, дана составная дробь: (3/5 + 2/15)/(5/7 — 3/10). Во-первых, упростим и числитель, и знаменатель этой дроби до одной дроби.
     • Для дробей, находящихся в числителе, НОЗ=15. Поэтому приведем дробь 3/5 к общему знаменателю: 3/5 * 3/3 = 9/15. Перепишем числитель как: 9/15 + 2/15 = 11/15.
     • Для дробей, находящихся в знаменателе, НОЗ=70. Поэтому приведем обе дроби к общему знаменателю: 5/7 * 10/10 = 50/70 и 3/10 * 7/7 = 21/70. Перепишем знаменатель как: 50/70 — 21/70 = 29/70.
     • Таким образом, перепишем составную дробь как: (11/15)/(29/70).
2. 2 Для получения обратной дроби поменяйте местами числитель и знаменатель. Правило: деление первого числа на второе равно умножению первого числа на обратную величину второго числа. Теперь, когда и в числителе, и в знаменателе составной дроби находится по одной дроби, можно воспользоваться этим правилом для упрощения составной дроби. Во-первых, найдите обратную дробь для дроби, находящейся в знаменателе сложной дроби. Для этого поменяйте местами числитель и знаменатель дроби.
   • В нашем примере дробь в знаменателе — это 29/70. Обратная ей дробь – это 70/29.
     • Обратите внимание, что если в знаменателе составной дроби находится целое число, то его обратная величина находится по тем же правилам. Например, если дана составная дробь (11/15)/(29), то обратная величина целого числа 29 (его можно записать как дробь 29/1) есть дробь 1/29.
3. 3 Перемножьте две дроби. Умножьте дробь, находящуюся в числителе составной дроби, на полученную обратную дробь. Для этого отдельно перемножьте их числители и отдельно – знаменатели.
   • В нашем примере: 11/15*70/29. 11*70=770 и 15*29= 435. Итак, результат умножения: 770/435.
4. 4 Упростите полученную дробь, найдя наибольший общий делитель (НОД). НОД – это наибольшее число, на которое делятся и числитель, и знаменатель. Найдите НОД и разделите на него и числитель, и знаменатель.
   • В нашем примере НОД= 5. Таким образом, 770/5=154 и 435/5=87. Упрощенная дробь (и окончательный ответ): 154/87.

Метод 2 Упрощение составных дробей, содержащих переменную

1. 1 По возможности используйте правило умножения на обратную величину (приведенное выше). Числитель и знаменатель практически любой составной дроби может быть упрощен до одной дроби. Составные дроби, содержащие переменную, не являются исключением; однако, чем сложнее выражение с переменной, тем сложнее его упростить. В случае сложных выражений с переменной (содержащих несколько членов) воспользуйтесь методами упрощения, описанными ниже.
   • Например, составную дробь (1/х)/(х/6) легко упростить через умножение на обратную величину: (1/х)*(6/х)=6/х².
   • Другой пример: дробь (((1)/(x+3)) + x — 10)/(x +4 +((1)/(x — 5))) трудно упростить через умножение на обратную величину. То есть выражения в числителе и в знаменателе будет сложно упростить до одной дроби. Поэтому воспользуйтесь методами упрощения, описанными ниже.
2. 2 Начните с поиска наименьшего общего знаменателя дробей, находящихся и в числителе, и в знаменателе составной дроби. Для этого, как правило, просто перемножьте знаменатели этих дробей.
   • Это легче понять на примере. Попробуем упростить составную дробь: (((1)/(x+3)) + x — 10)/(x +4 +((1)/(x — 5))). В этой составной дроби есть дроби (1)/(х +3) и (1)/(х-5). Их наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен (х +3)(х-5).
3. 3 Умножьте и числитель, и знаменатель составной дроби на найденный НОЗ. Другими словами, вы умножите составную дробь на НОЗ/НОЗ (то есть на 1, что не влияет на исходное значение дроби).
   • В нашем примере вы умножите составную дробь (((1)/(х +3)) + х — 10)/(х +4 + ((1)/(х — 5))) на ((х +3)(х-5))/((х +3)(х-5)).
   • Умножьте числитель: (((1)/(x+3)) + x — 10) × (x+3)(x-5)
     • = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) — 10((x+3)(x-5))
     • = (x-5) + (x(x² — 2x — 15)) — (10(x² — 2x — 15))
     • = (x-5) + (x³ — 2x² — 15x) — (10x² — 20x — 150)
     • = (x-5) + x³ — 12x² + 5x + 150
     • = x³ — 12x² + 6x + 145
4. 4 Умножьте знаменатель так же, как вы умножили числитель.
   • Умножьте знаменатель: (x +4 +((1)/(x — 5))) × (x+3)(x-5)
     • = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).
     • = x(x² — 2x — 15) + 4(x² — 2x — 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
     • = x³ — 2x² — 15x + 4x² — 8x — 60 + (x+3)
     • = x³ + 2x² — 23x — 60 + (x+3)
     • = x³ + 2x² — 22x — 57
5. 5 Запишите новую упрощенную дробь. После умножения исходной составной дроби на НОЗ/НОЗ и приведения подобных членов вы получите обыкновенную дробь. Таким образом, умножив на НОЗ исходную составную дробь, вы избавились от дробей и в числителе, и знаменателе, в которых теперь находятся только целые числа и переменные.
   • Итак, в числитель запишите выражение: x³ — 12x² + 6x + 145, а в знаменатель — выражение: x³ + 2x² — 22x — 57. Упрощенная дробь: (x³ — 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² — 22x — 57)

Советы

• Записывайте каждый шаг вычислений. Вы можете легко запутаться в дробях, если не записываете каждый шаг вычислений или делаете их в голове.
• В интернете или в учебнике найдите составные дроби и попрактикуйтесь в их упрощении.

Прислал: Волкова Александра . 2017-11-12 13:15:01

kak-otvet.imysite.ru

Ответы@Mail.Ru: Упростите смешанную дробь — 5 26/39

26 и 39 сократи на 13

Сокращаем дробную часть на 13 и получим 5 2/3

и числитель и знаменатель делим на 13 => получаем 2/3 всё)

сократить на 13 — 5 2/3

touch.otvet.mail.ru

Как упростить неправильную дробь Как? Так!

Содержимое:

2 метода:

Дробь – это число, которое представляет собой часть целого числа (целой величины). Если числитель дроби больше знаменателя, она называется неправильной дробью и может быть упрощена до смешанного числа, которое включает целую и дробную части. Нет ничего необычного в неправильной дроби, а в некоторых случаях с такой дробью легче работать, чем со смешанным числом. Но в повседневной жизни смешанными числами мы пользуемся чаще, чем неправильными дробями^{, поэтому полезно знать, как превратить неправильную дробь в смешанное число.}

Шаги

Метод 1 С помощью диаграммы

1. 1 Выясните, является ли дробь неправильной. У неправильной дроби числитель больше знаменателя.
   • Например, дробь 104 2 Найдите знаменатель. Знаменатель – это число, которое находится под дробной чертой. Он указывает, на сколько равных частей поделена целая величина.
     • Например, в дроби 104 3 Найдите числитель. Числитель – это число, которое находится над дробной чертой. Он указывает, сколько дано частей целой величины.
       • Например, в дроби 104 4 Нарисуйте круги, которые будут символизировать целую величину. Каждый круг разделите на одинаковые части (сектора), количество которых равно знаменателю дроби.
         • Например, если знаменатель равен 4, каждый круг разделите на четыре равные части.
       • 5 Заштрихуйте сектора. Количество заштрихованных секторов должно быть равно числителю дроби.
         • Например, если дана дробь 104 6 Посчитайте, сколько полных кругов вы заштриховали. Чтобы упростить неправильную дробь, необходимо превратить ее в смешанное число, которое включает как целое число, так и дробь. Количество полных заштрихованных кругов представляет собой целую часть смешанного числа.
           • Например, в случае дроби 104 7 Посчитайте количество оставшихся заштрихованных частей круга. Оно будет представлять дробную часть смешанного числа. Дробная часть записывается непосредственно после целой части смешанного числа.
             • В случае дроби 104 8 Упростите ответ, если необходимо. Иногда дробную часть смешанного числа можно упростить, чтобы получить окончательный ответ.
               • В нашем примере смешанное число 224

                 Метод 2 С помощью деления

                 1. 1 Выясните, является ли дробь неправильной. У неправильной дроби числитель больше знаменателя.
                    • Например, дробь 104 2 Разделите числитель на знаменатель. Помните, что дробная черта обозначает операцию деления. Чтобы упростить неправильную дробь, нужно превратить ее в смешанное число, которое включает целое число и дробь. Целое количество раз, на которое числитель делится на знаменатель, представляет собой целую часть смешанного числа. Запишите это число и обратите внимание на остаток.
                      • Знаменатель не будет делиться на числитель без остатка, который представляет собой дробную часть смешанного числа.
                      • Например, в случае дроби 104 3 Превратите остаток в дробь. Для этого остаток запишите в числителе новой дроби, а в знаменателе напишите число, стоящее в знаменателе исходной неправильной дроби. Запишите полученную дробь после найденной целой части. Так вы получите смешанное число.
                        • Например, 10÷4=2R2 4 Упростите ответ, если необходимо. Иногда дробную часть смешанного числа можно упростить, чтобы получить окончательный ответ.
                          • В нашем примере смешанное число 224{displaystyle 2{frac {2}{4}}} упрощается до 212{displaystyle 2{frac {1}{2}}}.

                 Советы

                 • Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте целую часть на знаменатель дробной части, а затем полученный результат прибавьте к числителю дробной части.
                 • Знаменатель не меняйте. Например, 212{displaystyle 2{frac {1}{2}}} можно преобразовать в 52{displaystyle {frac {5}{2}}}, потому что 2×2+1=5{displaystyle 2 imes 2+1=5}.
                 • Некоторые неправильные дроби можно преобразовать в целые числа. Например, 243{displaystyle {frac {24}{3}}} = 8.

Прислал: Васильева Светлана . 2017-11-12 13:14:56

kak-otvet.imysite.ru

Как упростить неправильную дробь

ves-mir.3dn.ru

Высшая математика для 1 и 2 курса

Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Конспект лекций

Минск 2010

Высшая математика : конспект лекций. – Минск : БГТУ, 2010. –

197с.

Вконспекте лекций приведена программа по высшей математике, изложены основные теоретические сведения по курсу высшей математики, решения типовых примеров с рекомендациями, задания для самостоятельного решения, также содержится рекомендуемая литература и приложение.

Предназначен для студентов первого и второго курсов.

2

3.Дифференциальное исчисление функции одной переменной …. 47

3.1.Производная. Правила вычисления производных. Таблица

4.4.Асимптоты графика функции ……………………………….. 58

4.5.Выпуклость и вогнутость графика функции ……………….. 60

3

6.2. Вычисление определенного интеграла методом интегри-

4

5

ВВЕДЕНИЕ

Электронный конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» предназначен для оказания помощи студентам первого и второго курсов при выполнений домашних заданий и при подготовке к экзаменам

Издание полностью соответствует образовательному стандарту и программе вышеуказанной дисциплины, содержит программу, изложение теоретических вопросов программы, решение типовых задач с подробными пояснениями и рекомендациями, задачи для самостоятельного решения по 13-тиосновным разделам высшей математики, приложение и список рекомендуемой литературы. По каждой теме в теоретическом разделе приведены основные понятия и определения, теоремы и формулы, необходимые для выполнения контрольных работ. Затем приведены образцы решения задач, аналогичных задачам контрольных работ. Структураучебно-методическогопособия позволит студенту самостоятельно проработать материал и выполнить контрольные работы, не прибегая к посторонней помощи.

Содержание рукописи соответствует уровню современных образовательных технологий, служит рационализации учебного процесса, позволяет студентам самостоятельно усваивать учебный материал, способствует повышению качества подготовки специалистов в высших учебных заведениях.

Предлагаемый материал излагается в логической последовательности, что позволяет при изучении определенной темы использовать усвоенные знания по предыдущим разделам. Работа написана ясным математическим языком. Удачно сочетается строгость изложения и доступность материала. Многие примеры для наглядности усвоения иллюстрируются рисунками.

6

ВВЕДЕНИЕ

Учебно-методическоепособие по дисциплине «Высшая математика» предназначено для оказания помощи студентам заочной формы обученияхимико-технологическихспециальностей при выполнении контрольных работ и при подготовке к экзаменам, для которых на изучение курса высшей математики типовыми учебными планами предусмотрено524–570часов.

Издание полностью соответствует образовательному стандарту и программе вышеуказанной дисциплины, содержит программу, изложение теоретических вопросов программы, решение типовых задач с подробными пояснениями и рекомендациями, контрольные задания по 13-тиосновным разделам высшей математики, приложение и список рекомендуемой литературы. По каждой теме в теоретическом разделе приведены основные понятия и определения, теоремы и формулы, необходимые для выполнения контрольных работ. Затем приведены образцы решения задач, аналогичных задачам контрольных работ. Структураучебно-методическогопособия позволит студенту самостоятельно проработать материал и выполнить контрольные работы, не прибегая к посторонней помощи.

Содержание рукописи соответствует уровню современных образовательных технологий, служит рационализации учебного процесса, позволяет студентам самостоятельно усваивать учебный материал, способствует повышению качества подготовки специалистов в высших учебных заведениях.

Предлагаемый материал излагается в логической последовательности, что позволяет при изучении определенной темы использовать усвоенные знания по предыдущим разделам. Работа написана ясным математическим языком. Удачно сочетается строгость изложения и доступность материала. Многие примеры для наглядности усвоения иллюстрируются рисунками.

В процессе подготовки к выполнению контрольной работы рекомендуется изучить теоретические сведения, разобраться с решениями предложенных типовых задач, решить несколько аналогичных задач, ответы на которые известны, и только после этого переходить к выполнению контрольной работы.

7

ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1.Матрицы. Действия над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица.

2.Определители второго и третьего порядков, их свойства и вычисление. Определители n-гопорядка.

3.Обратная матрица. Ранг матрицы.

4.Системы линейных уравнений. Матричная форма записи. Совместность и несовместность систем. Теорема Кронекера– Капелли. Решение систем методами Крамера, Гаусса и обратной матрицы.

5.Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.

6.Проекция вектора на ось. Прямоугольная система координат в пространстве. Ортонормированная тройка векторов. Координаты вектора. Направляющие косинусы и длина вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме.

7.Линейно независимые системы векторов. Базис. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису.

8.Скалярное произведение векторов и его свойства.

9.Векторное произведение двух векторов и его свойства. Вычисление площади треугольника, построенного на двух векторах.

10.Смешанное произведение векторов и его свойства. Вычисление объема пирамиды, построенной на трех векторах.

11.Взаимное расположение векторов: перпендикулярность, параллельность, компланарность, угол между векторами.

12.Декартовая и полярная системы координат на плоскости. Уравнение линий на плоскости.

13.Различные формы уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости.

14.Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, па-

рабола.

15.Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение плоскостей, прямых, прямой и плоскости.

Тема 2. Введение в математический анализ

1. Множества и функции. Области определения и изменения функции. Способы задания. Классификация функций. Основные эле-

8

ментарные и элементарные функции. Сложная функция. Функции, заданные параметрически и неявно.

2.Окрестность конечной и бесконечно удаленной точки. Конечный и бесконечный пределы функции. Односторонние пределы.

3.Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

4.Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей.

5.Определение касательной к графику функции. Число e. Натуральные логарифмы. Первый и второй замечательные пределы.

6.Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые. Использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.

7.Непрерывность функции в точке и на отрезке. Критерий непрерывности функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1.Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференцируемость и непрерывность.

2.Основные правила дифференцирования. Производная сложной

иобратной функций.

3.Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

4.Дифференциал функции и его геометрический смысл. Основные свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

5.Производные и дифференциалы высших порядков.

6.Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Коши, Лагранжа). Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

Тема 4. Исследование функций с помощью производных

1.Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания дифференцируемой функции.

2.Понятие о локальном экстремуме функции. Необходимые условия экстремума дифференцируемой и непрерывной функций.

3.Достаточные условия экстремума по первой и второй производной. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функций на замкнутом промежутке.

9

4.Асимптоты графика функции. Вертикальные и наклонные асимптоты и их нахождение.

5.Выпуклые и вогнутые функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости функций. Точки перегиба.

6.Общая схема исследования функции и построение ее графика.

Тема 5. Неопределенный интеграл

1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов.

2.Методы нахождения неопределенных интегралов: интегрирование по частям и заменой переменной.

3.Интегрирование рациональных функций.

4.Интегрирование простейших иррациональных функций и тригонометрических выражений.

Тема 6. Определенный интеграл, несобственные интегралы

1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (о площади криволинейной трапеции, о нахождении пути, пройденного материальной точкой). Определенный интеграл и его основные свойства.

2.Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница.

3.Замена переменной в определенном интеграле.

4.Интегрирование по частям в определенном интеграле.

5.Приложение определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. Физические приложения определенного интеграла.

6.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.

Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.Дифференциальные уравнения. Основные понятия и определения.

2.Дифференциальные уравнения первого порядка (решение, общее решение, начальные условия, частное решение). Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

10

studfiles.net

Высшая математика 1 курс 1 семестр

4

дисциплина «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

1 курс, I семестр

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Тема 1. Матрицы

Понятие матрицы. Операции над матрицами. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Понятие определителя n-го порядка. Ранг матрицы. Обратная матрица. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Понятие о квадратичных формах и их преобразовании к каноническому виду.

Тема 2. Системы линейных уравнений и неравенств

Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Системы линейных неравенств. Графический метод решения системы линейных неравенств с двумя переменными. Смешанные системы линейных уравнений и неравенств. Применение элементов линейной алгебры в экономике.

Тема 3. Векторная алгебра

Понятие вектора на плоскости и в трехмерном пространстве. Основные операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Векторы в n-мерном пространстве. Линейная зависимость векторов. Базис системы векторов. Разложение вектора по базису. Размерность и базис пространства. Понятие о векторных пространствах. Евклидово пространство.

Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости

Предмет аналитической геометрии. Метод координат. Декартова и полярная системы координат. Основные виды уравнения прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола. Параметрическое и полярное представления линий.

Тема 5. Элементы аналитической геометрии в пространстве

Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве. Основные виды уравнений плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Понятие о поверхностях второго порядка и их классификации.

Тема 6. Комплексные числа.

Комплексная плоскость. Формы представления комплексных чисел. Действия над комплексными числами. Формулы Эйлера.

Тема 7. Числовая последовательность и ее предел

Действительные числа. Числовые множества. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности. Экономическая интерпретация числа e.

Тема 8. Предел функции одной переменной

Функции и отображения, их области определения и значений, способы задания и

график функции. Основные элементарные функции. Сложная функция. Предел

функции в точке. Основные теоремы о пределах функций. Замечательные преде-

лы. Односторонние пределы. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности.

Тема 9. Непрерывные функции одной переменной

Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва. Непрерывность сложной функции и обратной функции. Непрерывность элементарных функций. Непрерывность функции на множестве. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства.

Тема 10. Производная и дифференциал функции одной переменной

Производная функции. Геометрический, механический и экономический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций. Логарифмическая производная. Дифференцируемость функции одной переменной. Дифференциал, его геометрический и экономический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Примеры применения производной в экономике. Производные высших порядков. Неявные функции.

Тема 11. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Стационарные точки. Теоремы Ферма и Ролля. Теорема Лагранжа и формула конечных приращений. Теорема Коши. Правило Лопиталя.

Тема 12. Приложения дифференциального исчисления

Условие постоянства функций. Условия монотонности функций. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Наибольшее и наименьшее значение функции. Достаточные условия экстремума. Условия выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. Асимптоты. Построение графиков функций. Предельные показатели в экономике. Эластичность экономических показателей. Максимизация прибыли.

Л И Т Е Р А Т У Р А

Учебники

1. Высшая математика: Общий курс: учеб. для вузов / А.В. Кузнецов [и др.]; под ред. А.И. Яблонского. − Мн.: Выш. шк., 1993. − 349 с.

2. Карасев, А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. Основы высшей математики: учеб. пособие для студ. экон. спец. вузов /

А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева. − М.: Высш. шк., 1982. − 272 с.

3. Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для естеств. спец. ун-тов / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. − М.: Наука, 1989. −

656 с.

4. Марков, Л.Н. Высшая математика. Ч. 1. Элементы линейной и векторной алгебры. Основы аналитической геометрии: учеб. пособие для вузов / Л.Н. Марков, Г.П. Размыслович. − Мн.: Амалфея, 1999. − 208 с.

5. Минюк, С.А. Высшая математика: учеб. пособие для вузов / С.А. Минюк, Е.А. Ровба. − Гродно: ГрГУ, 2000. − 394 с.

6. Шипачев, В.С. Высшая математика: учеб. для немат. спец. вузов /

В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. − М.: Высш. шк., 1990. − 479 с.

7. Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов / Н.Ш. Кремер [и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ, 2002. − 471 с.

8. Гусак, А.А. Высшая математика. В 2 т. Т. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: ТетраСистемс, 1998. − 544 с.

9. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. − М.: Оникс, 2002. − 304 с.

10. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников. − М.: ООО «Изд. дом «Оникс 21 век», 2003. − 416 с.

11. Красс, М.С. Математика для экономических специальностей: учеб. для вузов / М.С. Красс. − М.: Дело, 2002. − 704с.

12. Шипачев, В. С. Высшая математика: учеб. для вузов / В.С. Шипачев. − М.: Высш. шк., 1998. − 479 с.

13. Общий курс высшей математик для экономистов: учебник / под ред.

В.И. Ермакова. − М.: ИНФРА-М, 2001.

14. Натансон, И.П. Краткий курс высшей математики / И.П. Натансон. − СПб, Издательство «Лань», 2001.

15. Малыхин, В. И. Математика в экономике / В.И. Малыхин. − М.: ИНФРА-М, 2002. − 352 с.

16. Красс, М.С. Математика для экономистов / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. − М.: ООО «Питер пресс», 2008. − 464 с.

17. Высшая математика / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1993.

18. Математический словарь высшей школы / В.Т. Воднев [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1984.

19. Кастрица, О.А. Высшая математика: учебное пособие / О.А. Кастрица. − Мн.: Новое знание, 2005.

20. Плющ, О.Б. Высшая математика. Часть 1. Элементарная математика, аналитическая геометрия, высшая алгебра / О.Б. Плющ. − Мн.: Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2004. − 168 с.

Задачники

21. Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: Выш. шк., 1988. − 246 с.

22. Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 кн. Кн. 2: учеб. пособие для вузов / А А. Гусак. − Мн.: Выш. шк., 1988. − 228с.

23. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов / В.П. Минорский. − М.: Наука, 1987. − 349 с.

24. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: учеб. пособие / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Выш. шк., 1994. − 284 с.

25. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.П. Рябушко [и др.]; под ред. А.П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 1990. − 269 с.

26. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3 ч. Ч. 2: учеб. пособие для вузов / А.П. Рябушко [и др.]; под ред. А.П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 1991. − 351 с.

27. Гусак, А.А. Справочник по высшей математике: учеб. для вузов /

А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричкова. − Мн.: ТетраСистемс, 2000. − 640 с.

28. Практикум по высшей математике для экономистов: учеб. пособие для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. − 423 с.

Наглядные и методические пособия

29. Черняк, А.А. Сборник задач по высшей математике с демонстрационными примерами: Учебно-методическое пособие. / А.А. Черняк, Ю.А. Доманова. − Мн.: МИТСО, 2002. − 98 с.

30. Буснюк, Н.Н. Основы высшей математики и информатики: метод. Пособие для студ. юрид. спец. / Н.Н. Буснюк, Н.О. Берестнева. − Мн.: МИТСО, 2007. − 72 с.

31. Методика решения задач по высшей математике: метод. пособие /

Н.А. Докукова, Е.Н. Кафтайкина. − Мн.: МИТСО, 2008. − 63 c.

studfiles.net

Курс лекций по высшей математике. 1 часть

Следствие 2. Если элементыкакого-либоряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.

Пусть, например, элементы первой и второй строк определителя пропорциональны. Тогда имеем

4.Если элементы какого-либоряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.

Допустим, что элементы первой строки определителя являются суммами двух слагаемых. Тогда имеем:

так как в первых скобках записано разложение по первой строке определителя с элементами a11 ,a12 ,a13 , а во вторых – разложение опреде-

лителя с элементами b11 ,b12 ,b13 .

5.Величина определителя не изменится, если к элементам какоголибо ряда определителя прибавить или отнять элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число, то есть составить линейную комбинацию строк или столбцов.

Для доказательства этого рассмотрим определитель

a11a12a13 a21a22a23.

a31a32a33

Составим определитель, полученный из данного прибавлением к элементам его первой строки элементов второй строки, умноженных на число K.

studfiles.net

Шпоры по математике. 1 курс (1, 2 семестр) [DOC]

61 вопрос. Векторы. Действия над векторами. Декартова прямоугольная система координат. Базис. Действия над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение 2-х векторов. Смешанное произведение векторов и его свойства. Уравнение линии и поверхности. Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение плоскостей….

• 349,24 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 19.10.2016 23:13

Для студентов БГУИР (Минск, Беларусь) Содержание: Многочлены. Рациональные дроби. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл Функции нескольких переменных. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля

• 534,36 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 11.12.2009 00:57

Вопросы для самопроверки по дисциплине Математический анализ и линейная алгебра. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца….

• 1,25 МБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 20.10.2016 02:00

Линейные пространства, элементы теории множеств, матрица, система линейных алгебраических уравнений, метод Гаусса, векторы, уравнения прямой, уравнения плоскости, канонические поверхности 2-го порядка, числовая последовательность, функции, замечательные пределы, производные функций, производные и дифференциалы выс. порядков, теорема Ролля, криволинейный интеграл.

• 1,77 МБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 20.10.2016 18:30

В этой шпаргалке собраны все темы высшей математике, которую проходят в первом семестре технического института. Всего она охватывает 42 темы, и они довольно хорошо описываются. Объем 2 листа А4, 4 шрифтом, можно уменьшить еще больше.

• 79,14 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 15.01.2011 02:36

www.twirpx.com

Онлайн-уроки по высшей математике 1 курс

Точки перегиба функции и интервалы выпуклости (вогнутости) графиков следующих функций. Асимптоты. Исследуйте функции и их графики.

Приближенное значение функции. Интервал возрастания и убывания функции. Нахождение пределов по правилу Лопиталя. Экстремум функции.

Подготовка к итоговой кр. Теория множеств, Бином Ньютона, Область определения функции и т.д.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной (решение задач индивидуальной практической работы).

Дифференцирование функций (неявные функции, функции, заданные параметрически).

Дифференцирование функций.

Метод интегрирования по частям. Учить теорию.

На пробном занятии хочет проконсультироваться по поводу учебника по которому занимается. Также показать примеры, с которыми возникают сложности.

Тейлор. Лопиталь.

Пробный урок, тема векторы.

Первый замечательный предел.

Числовая последовательность. Теория пределов.

Исследовать ряд на сходимость

Непрерывность функции, устойчивое продолжение функции, пределы и предельное значение

Сходимость рядов

Нахождение производной сложные примеры.

Нормальный вектор, линейная зависимость/независимость векторов, поворот вектора, отображения.

Область определения функций. Исследование на четность и нечетность функций с синусами, косинусами, тангенсами. Наименьший и наибольший периоды функций с синусами, косинусами, тангенсами.

Пределы, бином ньютона

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.непрерывность функций

Бином Ньютона, пределы, предел по Коши.

Решение пределов методом с эквивалентными величинами.

Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям. Внесение под знак дифференциала.

Высшая математика. Программа 1 курса, 2 полугодия. Мне нужно изучить все темы для успешной пересдачи экзамена.

Метод Гаусса, проверьте задачу по ОБЖ, пожалуйста.

www.tutoronline.ru

Полный курс лекций по математике

МАТЕМАТИКА

Тема 1. Роль математики в современном мире. Основные этапы становления математики.

Тема 2. Аксиоматический метод построения научной теории. «Начала» Евклида – образец научного метода. История создания неевклидовой геометрии.

Тема 3. История развития науки о числе . Комплексные числа и действия с ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Тема 4. Аналитическая геометрия. Координатный метод. Прямая линия на плоскости.

Тема 5. Кривые второго порядка.

Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы вычисления определителей. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.

Тема 7. Матрицы. Алгебра матриц .

Тема 8. Понятие множества. Пересечение множеств, объединение множеств, множества на числовой прямой.

Тема 9. Математический анализ. Функция. Классификация функций.

Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах функций. Замечательные пределы. Понятие о непрерывности функции.

Тема 11. Производная и дифференциал.

Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.

Тема 13. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона – Лейбница.

Тема 14. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от разрывных функций .

Тесты.

Литература

Базовая учебная литература к курсу :

1.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. — М.: Наука, 1975г.

2.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике – М.:Наука, 1975г
Тема 1. Роль математики в современном мире. Основные этапы становления математики.

Целью изучения математики является – повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики: зарождение математики, элементарная математика, математика переменных величин, современная математика.

Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. Был накоплен к этому времени достаточно большой фактический материал. Понимание математики, как самостоятельной науки возникло впервые в Древней Греции.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика – наука о числе.

В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии – геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге «Начала» (300 лет до н. э.).

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создание дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин . Великим открытиям XVII века является введенная Ньютоном и Лейбницем понятие «бесконечно малой величины», создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа).

На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.

К этому времени относятся и появление гениальной идеи Р. Декарта – метода координат. Создается аналитическая геометрия, которая позволяет изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны метод координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.

Дальнейшее развитие математики привело в начале ХIX века к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения.

Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы. Возникают новые теории. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности математики. Замечательным примером такой теории является «воображаемая геометрия» Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики . Развитие самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические следствия аксиом.

Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства – строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция .

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция.

Индукция – метод исследования, в котором общий вывод строится не основе частных посылок.

Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера.

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

Тема 2. Аксиоматический метод построения научной теории. «Начала» Евклида – образец аксиоматического построения научной теории. История создания неевклидовой геометрии.

Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколений ученых.

Основные черты дедуктивного метода.

Замечательной чертой дедуктивной системы изложения является простота этого построения, позволяющая описать его в немногих словах.

Дедуктивная система изложения сводится:

1) к перечислению основных понятий,

2) к изложению определений,

3) к изложению аксиом,

4) к изложению теорем,

5) к доказательству этих теорем.

Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательств.

Теорема – утверждение, вытекающее из аксиом.

Доказательство – составная часть дедуктивной системы, это есть рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теорем или аксиом.

Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса: 1) О смысле основных понятий, 2) об истинности аксиом. Но это не значит, что эти вопросы вообще неразрешимы.

История естествознания свидетельствует, что возможность аксиоматического построения той или иной науки появляется лишь на довольно высоком уровне развития этой науки, на базе большого фактического материала, позволяет отчетливо выявить те основные связи и соотношения, которые существуют между объектами, изучаемыми данной наукой.

Образцом аксиоматического построения математической науки является элементарная геометрия. Система аксиом геометрии были изложены Евклидом (около 300 г. до н. э.) в непревзойденном по своей значимости труде – «Начала». Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день.

Основные понятия : точка, прямая, плоскость – основные образы; лежать между, принадлежать, движение – основные отношения.

Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп. В пятой группе одна аксиома – аксиома о параллельных (V постулат Евклида). Через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность доказательства. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более 2-х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века, т.е. до того момента, когда Николай Иванович Лобачевский доказал в своих трудах полную безнадежность этих попыток. В настоящее время недоказуемость пятого постулата является строго доказанным математическим фактом.

mirznanii.com

ТОМ 1. Курс высшей математики в примерах и задачах | Высшая математика

ТОМ 1. Курс высшей математики в примерах и задачах

Глава 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1. Векторные и сг.алярные величины. Линейные операции над векторами.
2.2. Разложение вектора по координатным осям.
2.3. Скалярное произведение.
2.4. Векторное произведение.
2.5. Смешанное произведение векторов.

Глава 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
3.1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Длина и направление отрезка.
3.2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника. Центр тяжести.
3.3. Уравнения прямой линии. Геометрическое истолкование неравенства и системы неравенств первой степени.
3.4. Задачи на прямую линию.
3.5. Уравнение линии как геометрического места точек.
3.6. Кривые второго порядка.
3.7. Преобразование декартовых координат.
3.8. Полярная система координат. Уравнения кривых.
3.9. Параметрические уравнения плоских кривых.

Глава 4
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
4.1. Системы координат.
4.2. Плоскость.
4.3. Прямая линия.
4.4. Прямая и плоскость.
4.5. Поверхности второго порядка.
4.6. Геометрический смысл уравнений. с тремя неизвестными в пространстве.
4.7. Параметрические уравнения пространственных кривых.

Глава 5
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
5.1. Линейные преобразования.
5.2. Разложение векторов по базису. Арифметические векторы.
5.3. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
5.4. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду.

Глава 6
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
6.1. Множества и операции над ними.
6.2. Логическая символика.
6.3. Понятие о функции.
6.4. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей.
6.5. Непрерывность и точки разрыва функции.

Глава 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
7.1. Вычисление производных.
7.2. Производные функций, не являющихся явно заданными.
7.3. Производные высших порядков.
7.4. Дифференциал функции.
7.5. Приложения производной к задачам геометрии и физики.
7.6. Теоремы о среднем.
7.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
7.8. Возрастание и убывание функций.
7.9. Максимум и минимум функции.
7.10. Наибольшее и наименьшее значение функции.
7.11. Решение задач на максимум и минимум.
7.12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба.
7.13. Асимптоты кривой.
7.14. Исследование функции и построение графиков.
7.15. Формула Тейлора и Маклорена.

Глава 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
8.1. Понятие о функции нескольких переменных. Область определения.
8.2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.
8.3. Частные производные первого порядка.
8.4. Дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям.
8.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
8.6. Дифференцирование сложных функций.
8.7. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.
8.8. Замена переменных в дифференциальных выражениях.
8.9. Экстремум функции.
8.10. Наибольшие и наименьшие значения функций.
8.11. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Глава 9
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ
9.1. Касательная и нормаль к плоской кривой.
9.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
9.3. Кривизна плоской кривой.
9.4. Особые точки плоских кривых.
9.5. Касание кривых между собой.
9.6. Производная вектор-функции.
9.7. Естественный трёхгранник пространственной кривой. Касательная и нормальная плоскость к пространственной кривой.
9.8. Кривизна и кручение пространственной кривой.

Глава 10
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
10.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов и простейшие примеры.
10.2. Непосредственное интегрирование.
10.3. Интегрирование методом замены переменной.
10.4. Интегрирование по частям.
10.5. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен.
10.6. Интегрирование рациональных дробей.
10.7. Интегралы от иррациональных функций.
10.8. Интегрирование тригонометрических функций.
10.9. Интегрирование гиперболических функций.

Глава 11
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
11.1. Определение определенного интеграла. Свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
11.2. Замена переменной в определенном интеграле.
11.3. Интерирование по частям.
11.4. Теоремы об оценке определенного интеграла.
11.5. Определенный интеграл как функция верхнего предела.
11.6. Несобственные интегралы.
10.7. Задачи, приводящие к понятию неопределенного интеграла.

Глава 12
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К ЗАДАЧАМ ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
12.1. Общая схема применения определенного интеграла к вычислению различных величин.
12.2. Площадь плоской фигуры.
12.3. Объем тела.
12.4. Длина дуги кривой.
12.5. Площадь поверхности вращения.
12.6. Вычисление статических моментов и моментов инерции.
12.7. Координаты центра тяжести.
12.8. Приложение определенного интеграла к задачам механики и физики.

Порядок вывода комментариев: По умолчаниюСначала новыеСначала старые

testent.ru

Нахождение дискриминанта, формула, сравнение с нулём

Дискриминант — многозначный термин. В данной статье речь пойдёт о дискриминанте многочлена, который позволяет определить, есть ли у данного многочлена действительные решения. Формула для квадратного многочлена встречается в школьном курсе алгебры и анализа. Как найти дискриминант? Что нужно для решения уравнения?

Квадратный многочлен, как искать его корни

Квадратным многочленом или уравнением второй степени называется i * w ^ 2 + j * w + k равный 0, где «i» и «j» — первый и второй коэффициент соответственно, «k» — константа, которую иногда именуют «свободным членом», а «w» — переменная. Его корнями окажутся все значения переменной, при которых оно превращается в тождество. Такое равенство допустимо переписать, как произведение i, (w — w1) и (w — w2) равное 0. В этом случае очевидно, что если коэффициент «i» не обращается в ноль, то функция в левой части станет нулевой только в случае, если x принимает значение w1 или w2. Эти значения являются результатом приравнивания многочлена к нулю.

Для нахождения значения переменной, при котором квадратный многочлен обращается в ноль, используется вспомогательная конструкция, построенная на его коэффициентах и названная дискриминантом. Эта конструкция рассчитывается согласно формуле D равняется j * j — 4 * i * k. Зачем она используется?

1. Она говорит, имеются ли действительные результаты.
2. Она помогает их высчитать.

Как это значение показывает наличие вещественных корней:

• Если оно положительное, то можно найти два корня в области действительных чисел.
• Если дискриминант равен нулю, то оба решения совпадают. Можно сказать, что есть всего одно решение, и оно из области вещественных чисел.
• Если дискриминант меньше нуля, то у многочлена отсутствуют вещественные корни.

Варианты расчётов для закрепления материала

Для суммы {7 * w ^ 2; 3 * w; 1} равной 0 рассчитываем D по формуле 3 * 3 — 4 * 7 * 1 = 9 — 28 получаем -19. Значение дискриминанта ниже нуля говорит об отсутствии результатов на действительной прямой.

Если рассмотреть 2 * w ^ 2 — 3 * w + 1 эквивалентный 0, то D рассчитывается как (-3) в квадрате за вычетом произведения чисел {4; 2; 1} и равняется 9 — 8, то есть 1. Положительное значение говорит о двух результатах на вещественной прямой.

Если взять сумму {w ^ 2; 2 * w; 1} и прировнять к 0, D рассчитается, как два в квадрате минус произведение чисел {4; 1; 1}. Это выражение упростится до 4 — 4 и обратится в ноль. Выходит, что результаты совпадают. Если внимательно вглядеться в данную формулу, то станет понятно, что это «полный квадрат». Значит, равенство можно переписать в форме (w + 1) ^ 2 = 0. Стало очевидно, что результат в этой задаче «-1». В ситуации если D равен 0, левую часть равенства всегда получится свернуть по формуле «квадрат суммы».

2 sin x корень из 3

Вы искали 2 sin x корень из 3? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и sin 2 корень из 3, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «2 sin x корень из 3».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 2 sin x корень из 3,sin 2 корень из 3,sin x 3 корень из 2 на 2,sin x корень из 3 2,sin x корень из 3 на 2,sin x корень из 3 на 3. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 sin x корень из 3. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, sin x 3 корень из 2 на 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 sin x корень из 3 Онлайн?

Решить задачу 2 sin x корень из 3 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

www.pocketteacher.ru

(2sin^2 x – sinx) / (2cosx – корень из 3)

Задача.
Найти решение уравнения .

Решение.
Если любая дробь равна нулю, даже если она не содержит тригонометрических функций, то решение разбивается на два условия:
Первое: ;
Второе: .
Они должны выполняться одновременно.
Действительно, если дробь равна нулю, но при этом на ноль делить нельзя, следовательно, числитель будет равняться нулю. Вот эти два условия и описаны уравнениями.

Решим сначала первое уравнение.
Вынесем общий множитель обоих слагаемых на скобки:

Получили произведение, равное нулю. В этом случае или первый, или второй множитель будет равен нулю.
Решением первого уравнения будет , l может быть любым целым числом.
Второе ур-ние преобразуем к более простому виду:

Запишем его решение:
либо , l может быть любым целым числом.

Вернемся ко второму уравнению (вернее неравенству) и найдем, каким углам не может быть равно решение заданного уравнения в условии:

Решение данного уравнения:

Итак, запишем наши решения:
либо либо
и
, l может быть любым целым числом.
Получается, что один из полученных корней не подходит для того, чтобы быть корнем заданного уравнения. Тогда окончательное решение:
либо , l может быть любым целым числом.

Ответ. либо , l может быть любым целым числом.

ru.solverbook.com

sin x равняется корень из 3 делённый на 2

Доброй ночи!
Уравнения вида, которое вы предоставили, не такое трудное, как Вам могло показаться на первый взгляд. Давайте попробуем решить Ваше уравнение sin х равняется корень из 3 делённый на 2. Но первым делом нам следует подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать.
Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке: 

, то есть Ваш вариант — правильный.
Чтоб решать такие уравнения, надо использовать известное правило, которое выглядит так (думаю, что Вы его просто-напросто забыли, по-этому и возникла трудность): 

Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения: 

Значение  мы найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получаем, что 
Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение: 

Ответ: 

ru.solverbook.com

2.1.6 Логарифмические уравнения

Видеоурок 1: Логарифмические уравнения

Видеоурок 2: Логарифмические уравнения с заменой переменных

Лекция: Логарифмические уравнения

Если Вам попалось выражение, функция или уравнение, содержащее логарифмы, то для их упрощения или решения необходимо четко знать и использовать определение и свойства логарифмов.

Следует помнить, что логарифм любого положительного числа b по основанию положительного числа а, не равного единице, называется некоторый показатель степени с, в который возводят число а, для получения b.

log_ab = c <=> a^c = b.

Также следует помнить основное тождество:

Свойства логарифмов

1. Если имеется логарифм произведения двух чисел больших нуля, то данный логарифм можно записать в виде суммы:

Данное свойство вытекает из основного свойства степени — при умножении степеней их показатели складываются.

2. Логарифм частного двух чисел равен разности двух логарифмов:

Данное свойство было получено из свойства деления степеней — при делении степеней, показатели вычитаются.

3. Если некоторое число в степени находится под знаком логарифма, то показатель степени можно вынести вперед, тем самым, умножив логарифм на показатель:

Данное свойство вытекает из одного из основных свойств степенной функции — при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.

4. Если число и основание логарифма совпадает, то значение такого логарифма равно единице:

5. Логарифм по любому основанию равен нулю, если число равно единице:

6. При любом логарифме можно перейти от одного основания к другому. Для этого необходимо просто воспользоваться формулами:

Основная ошибка, которую допускают большинство — использование некоторого логарифма суммы. Запомните, не существует данной формулы: log_a(b±c) ≠ log_ab ± log_ac.

Для любой логарифмической функции с положительным основанием, не равным единице, справедливы следующие свойства:

• Областью определения данной функции являются все положительные числа.

• Значением логарифмической функции является множество действительных чисел.

• Для основания степени, большего единицы, функция возрастает на всем промежутке рассмотрения.

• Если основание находится в пределах от нуля до единицы, то функция убывает на всем рассматриваемом промежутке.

• Данная функция не является парной или непарной.

• Если переменная равна единице, то функция превращается в ноль, то есть точка, в которой график функции пересекает ось ОХ — это (1;0).

Так как логарифмические функции являются обратными к показательны, то и решения логарифмических уравнений сводится по аналогии к решению показательных уравнений.

Существует три основных вида простейших логарифмических уравнений. Ниже представлены способы их решения:

cknow.ru

Логарифмические уравнения

Факт 1.
\(\bullet\) Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\):\[{\color{blue}{a^t=b \quad\Leftrightarrow\quad \log_a{b}=t}}\]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in \mathbb{R}\).
Примеры:

1) \(\log_24\) – степень, в которую нужно возвести \(2\), чтобы получить \(4\). Следовательно, \(\log_24=2\).

2) \(\log_3\frac13\) – степень, в которую нужно возвести \(3\), чтобы получить \(\dfrac13\). Следовательно, \(\log_3\frac13=-1\).   \(\bullet\) Некоторые важные формулы:

(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[a^{\log_ab}=b\]

(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[\log_a1=0, \qquad \log_aa=1\]

(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[\log_{a}{b^m}= m\log_ab\]
\[\log_{a^n}{b}=\frac 1n\log_ab\]
\[\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab\]

при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}\]

(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[b^{\log_ac}=c^{\log_ab}\]

(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\]

(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \quad\Leftrightarrow\quad \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\]
\[\log_ab\cdot \log_ba=1 \quad\Leftrightarrow\quad \log_ba=\dfrac{1}{\log_ab}\]
\(\bullet\) Частный случай формул (2): \[m=\log_a{a^m}\]
С помощью нее нагляднее видно, как заменить число на логарифм по нужному основанию:
\(4=\log_2{2^4}=\log_2{16}\).   \(\bullet\) Формулу (0) удобно использовать, чтобы заменить число на степень с нужным основанием:
\(4=3^{\log_34}\).   \(\bullet\) С помощью формулы \(\log_ba=\dfrac1{\log_ab}\) из (5) можно “менять” основание и аргумент логарифма местами:
\(\log_52=\dfrac1{\log_25}\).

\(\bullet\) Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.
Простейшее логарифмическое уравнение:

\[\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}\] где \(a>0, a\ne 1\).
Неравенства \(f(x)>0\) и \(g(x)>0\) составляют ОДЗ данного уравнения.  

Примеры решения уравнений:
1) Решить уравнение \(\log_{\frac13}(4x+1)=-3\).
Решение.
ОДЗ уравнения: \(4x+1>0\).
Пользуясь определением логарифма, уравнение можно переписать в виде \(\left(\frac13\right)^{-3}=4x+1\). Так как \(\left(\frac13\right)^{-1}=3\), то \(\left(\frac13\right)^{-3}=3^3=27\). Следовательно, получаем уравнение \(27=4x+1\), откуда \(x=6,5\). Данный корень подходит по ОДЗ.   2) Решить уравнение \(\log_{\sqrt5}(2x+15)=4\log_{\sqrt5}2\).
Решение.
ОДЗ уравнения: \(2x+15>0\).
Так как \(m\log_ab=\log_ab^m\), то \(4\log_{\sqrt5}2=\log_{\sqrt5}2^4=\log_{\sqrt5}16\). Следовательно, получаем уравнение \(\log_{\sqrt5}(2x+15)=\log_{\sqrt5}16\). Получили простейшее логарифмические уравнение, которое преобразуется в \(2x+15=16\), откуда \(x=0,5\). Данный корень подходит по ОДЗ.   3) Решить уравнение \(\log_3(2x+1)=\log_3(3-x)+1\).
Решение.
ОДЗ уравнения: \(2x+1>0\) и \(3-x>0\).
Так как \(1=\log_33\), то правая часть равна \(\log_3(3-x)+\log_33=\log_3(3(3-x))\), следовательно, уравнение примет вид \(\log_3(2x+1)=\log_3(9-3x)\). Данное уравнение преобразуется в \(2x+1=9-3x\), откуда \(x=1,6\). Данный корень подходит по ОДЗ.  

Факт 2.
\(\bullet\) Объясним, зачем нужны модули в формулах (2) и (4).

1) Рассмотрим частный случай формулы (2) при четном \(m\): \(\log_a{b^m}=m\log_a{|b|}\) на примере.
Рассмотрим: \(\log_3{b^2}=2\log_3{|b|}\).
Зачем модуль? Заметим, что в левую часть равенства можно подставлять вместо \(b\) все числа \(b\ne 0\). Если в правой части не поставить модуль (т.е. \(\log_3b\)), то вместо \(b\) можно подставлять только \(b>0\). Таким образом, теряется часть возможных значений числа \(b\).

2) В формулах (4): \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\] аналогичная причина: в левую часть равенств можно подставлять как одновременно положительные \(b\) и \(c\), так и одновременно отрицательные (так как произведение двух отрицательных чисел является положительным числом). А вот в правые части, если в них убрать модули, отрицательные \(b\) и \(c\) уже подставлять будет нельзя (так как аргумент логарифма – всегда положительное выражение). Таким образом, не поставив модули, мы значительно сузим возможные значения для \(b\) и \(c\).
Пример:
Если не поставить модули, а записать, например, \(\log_2{bc}=\log_2b+\log_2c\), то значения \(b=-1\) и \(c=-1\) не удовлетворяют равенству. Тогда как с модулями числа \(b\) и \(c\) могут одновременно быть отрицательными.

shkolkovo.net

Логарифмические уравнения

Главный принцип решения логарифмических уравнений состоит в том, чтобы избавиться от этих самых логарифмов:

Если логарифмы обоих чисел по одному и тому же основанию равны, то их подлогарифмические выражения тоже равны:

Также следует помнить основные логарифмические свойства:

Пример 1.

Решите уравнение:

Число 8 обозначает показатель степени, в который нужно возвести основание (2), чтобы получить число (х)

Ответ: x=256..

Пример 2.

Решите уравнение:

Число  обозначает показатель степени, в которой нужно возвести основание (3), чтобы получить число (x)

По свойству логарифмов: получаем:

Ответ: x=9.

Пример 3.

Решите уравнение:

Число  обозначает показатель степени, в которой нужно возвести основание (3), чтобы получить число

По свойству логарифмов:  получаем:

— по Т Виета

Ответ: .

Пример 4.

Решите уравнение:

Воспользуемся формулой :

Приводим к общему знаменателю:

Приводим к общему знаменателю:

Число 3 обозначает показатель степени, в который нужно возвести основание (3), чтобы получить число (х)

Ответ: x=27.

Пример 5.

Решите уравнение:

Приведём логарифмы к общему основанию (5) с помощью формулы :

Сокращаем:

Раскроем  по формуле суммы логарифмов

По свойству логарифмов :

Замена:

Ответ: .

Пример 6.

Решите уравнение:

По формуле  преобразуем левую часть:

Число 0 обозначает показатель степени, в который нужно возвести основание (4), чтобы получить число

Вычислим корень из правой и из левой части:

Ответ: .

Пример 7.

Решите уравнение:

Замена:

Обратная замена:

Число -1 обозначает показатель степени, в который нужно возвести основание (10), чтобы получить число (x)

Ответ: .

Пример 8.

Решите уравнение:

О.Д.З:

3)  – это условие выполняется при любом x, т.к. число в чётной степени. Остаётся только учесть строгость неравенства:

Если дробь равна 0, значит её числитель равен 0:

Произведение равно 0, когда один из его множителей равен 0:

По О.Д.З нам подходят корни:

Ответ:

Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

www.teslalab.ru

Логарифмические уравнения — Мои файлы — Каталог файлов

1.  Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся внутри логарифмов. И только там! Это важно.

Вот вам примеры логарифмических уравнений:

log₂х = 32

log₃х = log₃9

log₃(х²-3) = log₃(2х)

log_х+1(х²+3х-7) = 2

lg²(x+1)+10 = 11lg(x+1)

Обратите внимание! Самые разнообразные выражения с иксами располагаются исключительно внутри логарифмов. Если, вдруг, в уравнении обнаружится икс где-нибудь снаружи, например:

log₂х = 3+х ,

это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Кстати, попадаются уравнения, где внутри логарифмов только числа. Например:

х+1 = lg4+lg25

Что тут сказать? Повезло вам, если попалось такое! Логарифм с числами — это какое-то число. И всё. Достаточно знать свойства логарифмов, чтобы решить такое уравнение. Знания специальных правил, приёмов, приспособленных именно для решения логарифмических уравнений, здесь не требуется.

Итак, что такое логарифмическое уравнение — разобрались.

2. Решение логарифмических уравнений — штука, вообще-то, не очень простая.Требуется приличный запас знаний по всяким смежным темам. Кроме того, существует в этих уравнениях особая фишка. И фишка это настолько важная, что её смело можно назвать ОДЗ!

Начнём с самых элементарных, простейших уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения.

Это уравнения вида:

1.   log₃х = log₃9

2.   log₇(2х-3) = log₇х

3.   log₇(50х-1) = 2

4.   log_х-18 = 1

И так далее.

Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них. В простейших уравнениях этот переход осуществляется в один шаг. Потому и простейшие.)

И решаются такие логарифмические уравнения на удивление просто. Смотрите сами.

Решаем первый пример:

log₃х = log₃9

Для решения этого примера почти ничего знать и не надо, да… Чисто интуиция!) Что нам особо не нравится в этом примере? Что-что… Логарифмы не нравятся! Правильно. Вот и избавимся от них. Пристально смотрим на пример, и у нас возникает естественное желание… Прямо-таки непреодолимое! Взять и выкинуть логарифмы вообще. И, что радует, это можно сделать! Математика позволяет. Логарифмы исчезают, получается ответ:

х = 9

Здорово, правда? Так можно (и нужно) делать всегда. Ликвидация логарифмов подобным образом — один из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция называется потенцирование. Есть, конечно, свои правила на такую ликвидацию, но их мало. Запоминаем:

Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:

а) одинаковые числовые основания

в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве.

Поясню последний пункт. В уравнении, скажем,

log₃х = 2log₃(3х-1)

убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет. Коэффициент, понимаешь… В примере

log₃х+log₃(х+1) = log₃(3+х)

тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два.

Короче, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так:

log_а(…..) = log_а(…..)

Теперь легко можно решить второй пример:

log₇(2х-3) = log₇х

Собственно, в уме решается. Потенцируем, получаем:

2х-3 = х

х=3

Ну что, очень сложно?) Как видите, логарифмическая часть решения уравнения заключается только в ликвидации логарифмов… А дальше идёт решение оставшегося уравнения уже без них. Пустяшное дело.

Последующие примеры уже так не решить… Тут уже надо знать, что такое логарифм.

Решаем третий пример:

log₇(50х-1) = 2

Видим, что слева стоит логарифм:

log₇(50х-1)

Вспоминаем, что этот логарифм — какое-то число, в которое надо возвести основание (т.е. семь), чтобы получить подлогарифменное выражение, т.е. (50х-1).

Но это число равно двум! По уравнению. Стало быть:

7² = 50х-1

Вот, в сущности, и всё. Логарифм исчез, осталось безобидное уравнение:

50х-1 = 49.

х = 1.

Мы решили это логарифмическое уравнение исходя только из смысла логарифма. Что, ликвидировать логарифмы всё-таки проще?) Согласен. Между прочим, если из двойки логарифм сделать, можно этот пример и через ликвидацию решить. Из любого числа можно логарифм сделать. Причём, такой, какой нам надо. Очень полезный приём в решении логарифмических уравнений и (особо!) неравенств.

Совершенно аналогично (по определению) решается и четвёртое уравнение:

log_х-18 = 1

(х-1)¹ = 8

х-1 = 8

х = 9

Вот и все дела.

Подведём итоги этого урока. Мы рассмотрели на примерах решение простейших логарифмических уравнений. Это очень важно. И не только потому, что такие уравнения бывают на контрольных-экзаменах. Дело в том, что даже самые злые и замороченные уравнения обязательно сводятся к простейшим!

Собственно, простейшие уравнения — это финишная часть решения любых уравнений. И эту финишную часть надо понимать железно! И ещё. Обязательно дочитайте эту страничку до конца. 

Решаем теперь самостоятельно. Набиваем руку, так сказать…)

Найти корень (или сумму корней, если их несколько) уравнений:

ln(7х+2) = ln(5х+20)

log_{2(х²+32) = log2(12x)}

log₂х = 4

log₁₆(0,5х-1,5) = 0,25

log_0,2(3х-1) = -3

ln(е²+2х-3) = 2

log_х5 = 0,5

log_{2(14х) = log27 + 2}

Ответы (в беспорядке, разумеется): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Всё получилось!? Все примеры «одной левой»?) Поздравляю!

Но…

Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение этих примеров вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных логарифмических уравнений. Даже простейших, подобных этим. Увы.

Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения (даже самого элементарного!) состоит из двух равноценных частей. Решение уравнения, и работа с ОДЗ. Одну часть — решение самого уравнения — мы освоили. Не так уж и трудно, верно?

Для этого урока я специально подобрал такие примеры, в которых ОДЗ никак на ответе не сказывается. Но не все такие добрые, как я, правда?…)

Посему надо обязательно освоить и другую часть. ОДЗ. Это и есть главная проблема в решении логарифмических уравнений. И не потому, что трудная — эта часть ещё проще первой. А потому, что про ОДЗ просто забывают. Или не знают. Или и то, и другое). И падают на ровном месте…

В следующем уроке мы расправимся с этой проблемой. Вот тогда можно будет уверенно решать любые несложные логарифмические уравнения и подбираться к вполне солидным заданиям.

u4ilki.ucoz.ru

Лекция по математике тема: «Логарифмические уравнения»

Лекция

Тема: Логарифмические уравнения

План

1. Определение логарифмического уравнения

2. Решение простейших уравнений

3. Потенцирование.

4. Cведение уравнений к виду log _a f(x) = log _a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

5. Уравнения вида Alog _a f(x) + Blog _b g(x) + C = 0.

6. Введение новой переменной

Определение логарифмического уравнения

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение вида log_a x = b (где а>0, и а ≠1).

Функция у=log _a x является возрастающей (или убывающей) на промежутке

(0; +∞) и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне) для любого b это уравнение имеет корень, и только один.

Решение простейших уравнений

Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

log _a x = b, a > 0, a  1.

log _a f(x) = b, a > 0, a  1.

log _f(x) b = c, b > 0.

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма:

если log_b a = c, то a = b^c.

Пример 2.1.

Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 2³, x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Ответ: x = 8.

Уравнения вида log_a f(x) = b, a > 0, a ≠ 1.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе

Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = a^b проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

Пример 2.2. log₃(5х – 1) = 2.

Решение: ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5. log₃(5х– 1) = 2, log₃(5х – 1) = log₃3², 5х — 1 =9,
х = 2. Ответ: 2.

Пример 2.3.

Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х² – 2х – 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:

Применим правила действий со степенями, получим 2х² – 2х – 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = –1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х² – 2х – 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

Ответ. х₁ = –1, х₂ = 2.

Уравнения вида log_f(x) b = с, b > 0.

Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе

Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x))^c = b или равносильного уравнения

проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Пример 2.4. log_x–19 = 2.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Ответ. x = 4.

Потенцирование.

Суть метода заключается в переходе от уравнения

log _a f(x) = log _a g(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно

не равносильно исходному.

Уравнения вида log_a f(x) = log_a g(x) , а > 0, а  1.

На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).

Переход от уравнения log_a f(x) = log_a g(x) к уравнению f(x) = g(x) называется потенцированием.

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Пример 3.1 log₃ (x² – 3x – 5) = log₃ (7 – 2x).

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств

Потенцируя данное уравнение, получаем х² – 3х – 5 = 7 – 2х,

х² – х – 12 = 0, откуда х₁ = –3, х₂ = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств. Ответ. х = –3.

Cведение уравнений к виду log _a f(x) = log _a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log _a f(x) = log _a g(x) используются следующие свойства логарифмов:

• log_b a + log_b c = log_b (ac), где a > 0; c > 0; b > 0, b  1,

• log_b a – log_b c = log_b (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b  1,

• m log_b a = log_b a ^m, где a > 0; b > 0, b  1; mR.

  Пример 4. 1. log₆ (x – 1) = 2 – log₆ (5x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств

Применяя преобразования, приходим к уравнению

log₆ (x – 1) + log₆ (5x + 3) = 2,

log₆ ((x – 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

(х – 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3. Ответ. х = 3.

  Пример 4.2.

Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство

(3x – 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log₅ (x + 3) ² = 0. По определению логарифма

(х + 3) ² = 1, х = –4, х = –2. Число х = –2 посторонний корень.

Ответ. х = –4.

  Пример 4. 3. log₂ (6 – x) = 2log₆ x.

Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение равносильно уравнению 6 – x = x², откуда х = –3, х = 2. Число х = –3 посторонний корень.

Ответ. х = 2.

Уравнения вида Alog _a f(x) + Blog _b g(x) + C = 0.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

Пример 5.1.

Решение. Область определения уравнения 1 < x < 2. Используя формулу (3), получим

Так как 3 = log₂8, то на области определения получим равносильное уравнение (2–x)/(x–1) = 8, откуда x = 10/9. Ответ. x = 10/9.

  Пример 5.2.

Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).Ответ. х = 6.

  Пример 5. 3.

Решение. Область определения уравнения x > –1, x  0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

Умножим обе части уравнения на log ₃(x + 1)  0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log ₃(x + 1)–1)² = 0, откуда log ₃(x + 1) = 1 и

x = 2. Ответ. x = 2..

Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

Уравнения видагде a > 0, a  1, A, В, С – действительные числа.

Пусть t = log_a f(x), tR. Уравнение примет вид t² + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = log_a f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 6. 1. lg ² x – lg x – 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, tR.

Уравнение примет вид t ² – t – 6 = 0. Его корни t₁ = –2, t₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,

х = 10 ^–2 или х = 10 ³. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 6. 2.

Решение. Найдём область определения уравнения

Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно

Введём новую переменную t = log₃ (–x), tR. Квадратное уравнение

t ² – 4t + 4 = 0имеет два равных корня t_1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log₃ (–x) = 2, отсюда –х = 9, х = –9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения. Ответ. х = –9.

 Уравнения вида где a > 0, a  1, A, В, С – действительные числа , A0, В0.

Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на log_a f(x) 0. Учитывая, что log_a f(x) log_f(x) a=1

(свойство log_b a = 1/ log_a b), получим уравнение

Замена log_a f(x)=t, tR приводит его к квадратному At² + Ct + B = 0.

Из уравнений log_a f(x)= t₁ , log_b f(x)= t₂ найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения: f(x) > 0, f(x) 1.

 Пример.6.3

Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2  1, т.е. x >–2, x  –1.Умножим обе части уравнения на log₅ (x+2) 0, получим

или, заменив log₅ (x+2) = t, придем к квадратному уравнению t ² – t – 2 = 0, t₁ = –1, t₂ =2.

Возвращаемся к первоначальной переменной:

log₅ (x+2) = –1, x+2 = 1/5, x = –9/5,

log₅ (x+2) = 2, x+2 = 25, x = 23.

Оба корня принадлежат области определения уравнения.

Ответ: x = –9/5, x = 23.

Упражнения для закрепления материала

Решить уравнения

1); 2); 3);

4); 5);

Контрольные вопросы

1. Сформулировать определение логарифмического уравнения.

2. Назвать основные методы решения логарифмических уравнений

Литература

1.Ш.А.Алимов, стр.105-111 2 О.Н.Афанасьева, стор.2753-279 3.А.Г.Мерзляк, стор.202-2

infourok.ru

Примеры решения простейших логарифмических уравнений

Рассмотрим примеры решения простейших логарифмических уравнений.

ОДЗ: 3x-2>0.

Пока её не ищем.

Далее,

Возведём 0,5 в степень -2:

Так как 3x-2=4>0, то условие 3x-2>0 выполняется автоматически, то есть посторонние корни в ходе решения данного уравнения не появятся, и неравенство из ОДЗ можно не решать.

Ответ:2.

Запишем ОДЗ, но искать её пока не будем:

ОДЗ: x²+15x>0.

Так как x²+15x=16>0, то условие x²+15x>0 выполняется автоматически и ОДЗ можно не искать.

Корни уравнения можно найти по теореме, обратной теореме Виета:

Ответ: -16;1.

ОДЗ записываем, но пока не решаем:

Далее

Так как x+1>0, то и (x+1)²>0, поэтому условие 2x²+5x-3>0 выполняется автоматически и первое неравенство можно не решать. Таким образом, для нахождения ОДЗ решаем систему из двух неравенств:

Возвращаемся к уравнению. Правая часть — квадрат суммы:

Первый корень не входит в ОДЗ.

Ответ:1.

ОДЗ:

По определению логарифма,

Ответ: 2.

ОДЗ:

ОДЗ удовлетворяет только x=1.

Ответ: 1.

www.logarifmy.ru

Решение логарифмических уравнений. Часть 1.

Решение логарифмических уравнений. Часть 1.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма ( в частности, в основании логарифма).

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов. Однако это действие расширяет область допустимых значений уравнения и может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать появления посторонних корней, можно поступить одним из трех способов:

1. Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения:

или

,

в зависимости от того, какое неравенство  или проще.

Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:

,

то мы переходим к системе:

2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.

3. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.

Логарифмическое уравнение любого уровня сложности в конечном итоге всегда сводится к простейшему логарифмическому уравнению.

Все логарифмические уравнения можно  условно разделить на четыре типа:

1. Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью  преобразований и использования свойств логарифмов  приводятся к виду

или

Пример. Решим уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ уравнения:

Внимание! Мы всегда ищем ОДЗ исходного уравнения, а не того, которое получится в процессе преобразований. То есть ОДЗ записываем перед тем, как переходим к решению уравнения. 

Для упрощения вычислений давайте перенесем логарифмы с отрицательными коэффициентами в противоположную часть уравнения — из соображений, что умножать проще, чем делить:

Представим число 2 в виде логарифма по основанию 4:

Получим уравнение:  

Воспользуемся свойствами логарифмов:

Приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма:

Проверим, удовлетворяет ли наш корень ОДЗ уравнения:

Да, удовлетворяет.

Ответ: х=5

2. Уравнения, которые содержат логарифмы в степени, отличной от 1 (в частности, в знаменателе дроби). Такие уравнения решаются с помощью введения замены переменной.

Пример. Решим уравнение:

Решение.

Найдем ОДЗ уравнения:

Уравнение содержит логарифмы в квадрате, поэтому решается с помощью замены переменной.

Важно! Прежде чем вводить замену, нужно «растащить» логарифмы, входящие в состав уравнения на «кирпичики», используя свойства логарифмов.

При «растаскивании» логарифмов важно очень аккуратно применять свойства логарифмов:

Кроме того, здесь есть еще одно тонкое место, и, чтобы избежать распространенной ошибки, воспользуемся промежуточным равенством: запишем степень логарифма в таком виде:

Аналогично,

.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение. Получим:

Теперь мы видим, что неизвестное  содержится в уравнении в составе . Введем замену: . Так как может принимать любое действительное значение, на переменную мы никаких ограничений не накладываем.

Получили уравнение:

Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение:

,

Вернемся к исходной переменной:

,  

Отсюда:

,  

Ответ: ,  

Решение  логарифмических уравнений остальных типов мы рассмотрим здесь и здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Решить систему ДУ

$\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =3\cdot y_{1} -y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} -y_{2} } \end{array}\right. $.

Систему решаем исключением неизвестной функции $y_{2} $.

Шаг 1. Из первого уравнения находим $y_{2} $: $y_{2} =-\frac{dy_{1} }{dx} +3\cdot y_{1} $.

Шаг 2. Подставляем $y_{2} $ во второе уравнение:

Шаг 3. Дифференцируем первое уравнение по $x$: $\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =3\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -\frac{dy_{2} }{dx} $.

Шаг 4. Подставляем выражение, полученное на шаге 2, в выражение, полученное на шаге 3:

Шаг 5. Решаем линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

1. характеристическое уравнение $k^{2} -2\cdot k+1=0$;
2. корни характеристического уравнения $k_{1} =1$, $k_{2} =1$ — действительные, равные;
3. искомая функция $y_{1} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot x\cdot e^{x} $.

Шаг 6. Находим функцию $y_{2} $:

1. производная $\frac{dy_{1} }{dx} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot \left(e^{x} +x\cdot e^{x} \right)$;
2. результат подстановки в выражение, полученное на шаге 1:

Общее решение данной системы:

spravochnick.ru

§6. Системы линейных ду с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему линейных, однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида

Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями y₁, у₂и у₃.

(6.1)

где все коэффициенты a_ij(i,j = 1,2,3) — постоянные.

Будем искать частное решение системы (6.1) в виде

(6.2)

где α, β, γ, k — постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (6.2) удовлетворяли системе (6.1).

Подставив эти функции в систему (6.1) и сократив на множитель e^kx≠ 0, получим:

или

(6.3)

Систему (6.3) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными α, β, γ. Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

(6.4)

Уравнение (6.4) называется характеристическим уравнением системы (6.2). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно. Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1.Корни характеристического уравнения действительны и различны: k₁, k₂, k₃. Для каждого корня k_i(i = 1, 2, 3) напишем систему (6.3) и определим коэффициенты α_i, β_i, γ_i(один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получаем:

для корня k₁частное решение системы (6.1):

для корня k₂—

для корня k₃—

Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему общее решение системы (6.1) записывается в виде

(6.5)

Пример 6.3. Решить систему уравнений:

Решение:Характеристическое уравнение (6.4) данной системы имеет вид

или 1 — 2k + k²— 4 = 0, k²– 2k — 3 = 0, k₁= -1, k₂= 3. Частные решения данной системы ищем в видеНайдем α_iи β_i(i = 1, 2).

При k₁= –1 система (6.3) имеет вид

т. е.

Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим α₁= 1, тогда- β₁= 2. Получаем частные решения

При k₂= 3 система (6.3) имеет вид

Положим α₂= 1, тогда β₂= -2. Значит, корню k₂= 3 соответствуют частные решения:

Общее решение исходной системы, согласно формуле (6.5), запишется в виде:

Случай 2.Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: k₁= a + ib, k₂= a — ib, k₃. Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.

Замечание.Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации (п. 4.1, случай 3), применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида е^αx∙cosbx, e^αx∙sinbx. Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень k₂= а — ib не даст новых линейно независимых действительных решений.

Вопросы

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется решением дифференциального уравнения?

3. Что такое интегральная кривая?

4. Почему при решении дифференциальных уравнений в них возникают произвольные постоянные константы?

5. Что такое начальные условия?

6. Решить дифференциальное уравнение первого порядка методом разделения переменных.

7. Сформулировать теорему Коши.

8. Что такое особые решения дифференциального уравнения первого порядка?

9. Привести пример дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

10. Что такое линейное, однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами?

11. Какой вид имеют решения однородного, дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

12. Какой вид имеют решения неоднородного, дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью?

17

studfiles.net

16. Структура общего решения линейных систем ду

Структура общего решения линейных однородных систем ДУ: линейная комбинация _j x_j n – линейно независимых решений X₁ , X₂ , … , X_n линейной однородной системы L [X] = 0 с непрерывными на отрезке a ≤ t ≤ b коэффициентами a_ij (t) является общим решением этой линейной однородной системы на отрезке a ≤ t ≤ b.

Структура общего решения линейных неоднородных систем ДУ: общее решение на отрезке a ≤ t ≤ b линейной неоднородной системы ДУ с непрерывными на этом отрезке правыми частями равно сумме общего решения соответствующей линейной однородной системы ДУ и частного решения неоднородной системы ДУ.

17. Линейные однородные и неоднородные системы ду с постоянными коэффициентами

Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами имеют вид:

В векторной форме: dY/dx = AY, где

Характеристическое уравнение:

или det (A – λE) = 0.

Общее решение этой системы имеет вид

если все корни характеристического уравнения простые, а решениями, соответствующими этим корням λ_k , будут

Линейные неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами имеют вид:

dY/dx = AY + F, где

Общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы. Для нахождения общего решения неоднородной системы можно применить метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

18. Числовые ряды. Основные свойства

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

_n = u₁ + u₂ + … + u_n + … , (1) где u₁ , u₂ , … , u_n , … — действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, u_n – общим членом ряда.

Суммой первых n членов ряда (1) называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через S_n , т.е. S_n = u₁ + u₂ + … + u_n.

Рассмотрим частичные суммы S₁ = u₁, S₂ = u₁ + u₂, S₃ = u₁ + u₂ + u₃, … Если существует конечный предел S = _n последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: S = _n.

Если _nне существует или _n = ∞, то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Ряд u_{n + 1} + u_{n + 2} + … = _kназывается n-м остатком ряда (1). Он получается из ряда (1) отбрасыванием n первых его членов. Ряд (1) получается из остатка добавлением конечного числа членов.

Свойства:

1) Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд

_n = cu₁ + cu₂ + … + cu_n + … , (2) где c – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1) расходится и c ≠ 0, то и ряд (2) расходится.

2) Если сходится ряд (1) и сходится ряд _n, а их суммы равны S₁ и S₂ соответственно, то сходятся и ряды

_n ± υ_n), причем сумма каждого равна соответственно S₁ ± S₂ .

3) Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.

studfiles.net

I. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Федеральное агентство по образованию

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«МАТИ» – Российский государственный технологический

университет им. К.Э. Циолковского

Кафедра «Высшая математика»

Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Устойчивость решений

Методические указания для студентов и преподавателей

Составитель: Заварзина И.Ф.

Кулакова Р.Д.

Москва 2008

Методические указания предназначены для студентов второго курса, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В них рассматривается решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Кроме того, рассматривается устойчивость по Ляпунову, исследуются точки покоя. Приводятся примеры решения задач. Для закрепления материала студентам предлагается выполнить самостоятельную работу.

1. Общие понятия.

Во многих задачах математики, физики и техники требуется определить сразу несколько функций, связанных между собой дифференциальными уравнениями. Совокупность таких уравнений называется системой дифференциальных уравнений.

Рассмотрим неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которую называют нормальной системой:

(1.1),

где , – искомые функции; , ; – постоянные действительные коэффициенты, , – заданные непрерывные функции.

Если , то система называется однородной.

Систему (1.1) можно зависать в векторной форме.

Введем обозначения:

; ; (1.2).

Система (1.1) принимает вид:

(1.3).

Однородная система линейных уравнений в векторной форме имеет вид:

(1.4).

Решение системы линейных дифференциальных уравнений представляется совокупностью функций: (1.5).

Система функций (1.5) называется фундаментальной системой решений. Линейная комбинация фундаментальной системы решений позволяет записать общее решение системы (1.4) в виде:

(1.6).

Если при решении системы дифференциальных уравнений задаются начальные условия, которые в векторной форме имеют вид: (1.7), тогда определяется единственное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

В курсе лекций доказывается, что общее решение системы (1.3) представляется в виде суммы общего решения однородной системы дифференциальных уравнений (1.4), записанного в виде (1.6) и какого-нибудь частного решения неоднородной системы.

Рассмотрим получение решения однородной системы (1.4).

Будем искать частное решение системы в следующем виде:

(1.8),

, – константы, которые подлежат определению.

Подставим (1.8) в систему (1.4) и получим:

(1.9)

Упростим систему (1.9):

(1.10)

Система (1.4) – однородная система дифференциальных уравнений. Эта система имеет тривиальное решение:, если определитель системы (1.10)

(1.11)

отличен от нуля, а нас интересует частное решение системы (1.4), представленное в виде (1.8) и отличное от тривиального.

Нетривиальное решение (1.8) будет получено при условии равенства нулю определителя (1.11).

Приравнивая определитель (1.11) нулю, получим уравнение относительно , которое называется характеристическим уравнением:

(1.12)

корни характеристического уравнения (1.12) определяют вид решения (1.8).

2. Получение фундаментальной системы решений.

Характеристическое уравнение (1.12) системы (1.4) является уравнением -ой степени относительно.

Предположим, что характеристическое уравнение имеет различных корней, которые являются характеристическими числами матрицы. Каждому характеристическому числу соответствует свой собственный вектор. Для каждого характеристического числанапишем систему (1.10) и определим собственный вектор.

Тогда система дифференциальных уравнений имеет решений:

1-е решение, соответствующее корню :

2-е решение, соответствующее корню :

;

…………………………………………………

-е решение, соответствующее корню :

.

Мы получили фундаментальную систему решений. Общее решение системы (1.4) таково:

,

где – произвольные постоянные.

Случаи комплексных и кратных корней рассмотрим на примерах.

studfiles.net

16 Системы линейных дифференциальных уравнений » СтудИзба

Лекция 16. Системы линейных дифференциальных уравнений.

Неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать в виде

.

Однородную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать в виде

.

Все теоремы для линейных систем аналогичны соответствующим теоремам для линейных дифференциальных уравнений высших порядков. Этого и следовало ожидать, так как система дифференциальных уравнений сводится к дифференциальному уравнению высшего порядка.

Теоремы о свойствах решений однородной и неоднородной системы.

Если — решения однородной системы, то — решения однородной системы.

Если  — решения однородной и неоднородной систем, то — решение  неоднородной системы.

Если — решения неоднородной системы, то — решение однородной системы.

Доказательство.

,

Теорема. Множество решений линейной однородной системы есть линейное пространство.

Из теорем о свойствах решений видно, что операции сложения и умножения на число на решениях однородной системы определены корректно.

Легко проверяется ассоциативность по сложению, существования «нуля» – тривиального решения , существование «противоположного элемента» , коммутативность по сложению. Отсюда следует, что решения однородной системы образуют коммутативную группу по сложению (абелев модуль) (4 аксиомы линейного пространства). Существует единица – число, справедлива ассоциативность по умножению на число (еще 2 аксиомы).

Наконец, справедлива дистрибутивность по сложению решений и чисел (последние 2 аксиомы). Таким образом, выполнены все 8 аксиом для корректно введенных операций сложения решений и умножения решения на число. Следовательно, множество решений однородной системы образует линейное пространство. Заметим, что точно так же доказывалась аналогичная теорема для дифференциального уравнения n-ого порядка.

Функции  называются линейно независимыми, если

.

Функции  называются линейно зависимыми, если

.

Введем определитель Вронского , по столбцам которого расположены векторы , введем также матрицу .

Теорема. Если функции  линейно зависимы, то .

Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то одна из них линейно выражается (тождественно) через остальные, поэтому соответствующий столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные. Тогда по свойству определителя .

Теорема. Пусть  — решения однородной системы и , тогда решения  линейно зависимы.

Доказательство. Т.к. , то его столбцы в  линейно зависимы, т.е. .

Рассмотрим решение  (с теми же коэффициентами).

 — решение однородной системы как линейная комбинация решений однородной системы (теоремы о свойствах решений). Начальные условия для этого решения в точке , как показано выше, нулевые. Но есть решение однородной системы (тривиальное решение ), имеющее те же начальные условия. Следовательно, по теореме Коши решение  и есть тривиальное решение. Тогда , следовательно, решения   линейно зависимы.

Следствие. Равенство определителя Вронского нулю  для решений однородной системы хотя бы в одной точке – критерий линейной зависимости решений, отличие определителя Вронского от нуля  для решений однородной системы хотя бы в одной точке – критерий линейной независимости решений.

Доказательство. Пусть , тогда решения  линейно зависимы. Если решения  линейно зависимы, то  по теореме о равенстве определителя Вронского нулю для системы линейно зависимых функций. Заметим, что тогда .

Пусть , если решения  линейно зависимы, то  (противоречие). Пусть решения линейно независимы. Если , тогда решения  линейно зависимы (противоречие).

Теорема. Размерность пространства решений однородной системы равна n.

Доказательство. Надо доказать 1) существуют n линейно независимых решений однородной системы, 2) любое решение однородной системы линейно выражается через эти линейно независимые решения.

1)      В любой точке  для однородной системы выполнены условия теоремы Коши, следовательно, через любую такую точку пройдет единственная интегральная кривая – график решения  однородной системы. Зададим такие точки – начальные условия, которые по теореме Коши определят решения .

Эти решения линейно независимы, так как .

Существование n линейно независимых решений однородной системы доказано.

2) Рассмотрим произвольное решение однородной системы . В точке  вектор  разлагается по естественному базису

.Поэтому  

Рассмотрим решение  — линейную комбинацию этих линейно независимых решений. Оно имеет те же начальные условия, что и выбранное произвольное решение . Следовательно, по теореме Коши выбранное произвольное решение  и есть (тождественно равно) . Поэтому произвольное решение линейно выражается через выбранные линейно независимые решения. Теорема доказана.

Любые n линейно независимых решений однородной системы представляют собой базис в пространстве решений и называются фундаментальной системой решений однородной системы.

Матрица , составленная из этих решений , называется фундаментальной матрицей однородной системы.

Теорема о структуре общего решения однородной системы.

Общее решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию решений фундаментальной системы решений.

.

Доказательство.  Проверим, что  является общим решением, исходя из определения общего решения.

1)       — решение однородной системы как линейная комбинация ее решений (теорема о свойствах решений).

2)      Зададим произвольные начальные условия  и покажем, что можно единственным образом выбрать набор констант , при котором  . Запишем это соотношение покоординатно как систему уравнений относительно .

  ……………………………………

Определитель этой системы равен , так как решения линейно независимы. Поэтому набор констант  определяется из системы уравнений единственным образом. Теорема доказана.

Следствие. Общее решение однородной системы можно записать в виде

.

Матрица Коши (матрициант).

Пусть надо записать решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям .

Матрица  называется матрицей Коши. .

Теорема. Фундаментальная матрица удовлетворяет однородной системе, .

Доказательство. Столбцы фундаментальной матрицы являются решениями однородной системы. Объединяя запись в матрицу, получим утверждение теоремы.

Формула Остроградского – Лиувилля.

Выведем формулу Остроградского – Лиувилля.

Фундаментальная матрица системы является решением однородной системы. Запишем уравнение для k –го столбца фундаментальной матрицы – координат решения :

.

Отсюда .

Запишем определитель Вронского и продифференцируем его, подставляя вместо производных координат решений полученное соотношение.

 ,+…

++ =

+…+   +

=

(расписывая в сумму определителей, учитывая равенство нулю определителей с одинаковыми строками)

  …+=

.

Получено соотношение , где  — след матрицы системы. Отсюда имеем формулу Остроградского – Лиувилля.

.

Заметим, что эту формулу можно получить как следствие из теоремы Лиувилля о фазовом объеме.

Теорема о структуре общего решения неоднородной системы.

Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы.

Доказательство. 1)  — решение неоднородной системы по теореме о свойствах решений.

2) Зададим произвольные начальные условия . Выберем какое-либо частное решение неоднородное системы и вычислим для него начальные условия в  . Составим систему уравнений  и запишем ее покоординатно.

………………………………………..

Определитель этой системы – определитель Вронского, он не равен нулю, так как составлен из линейно независимых решений, составляющих фундаментальную систему решений. Следовательно, набор констант из этой системы уравнений определяется однозначно. Теорема доказана.

Метод вариации произвольной постоянной.

Общее решение однородной системы можно записать в виде

, где — фундаментальная матрица системы, — вектор произвольных постоянных.

Будем искать решение неоднородной системы в том же виде, варьируя вектор произвольных постоянных:

.

Вычисляем производную и подставляем в уравнение неоднородной системы:

,    

,    

Так как фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению однородной системы, то . Поэтому в предыдущем уравнении (как и всегда в методе вариации) сокращается пара слагаемых. Получаем уравнение

. Так как фундаментальная матрица не вырождена (), то отсюда получаем уравнение для определения вектора : 

.

Интегрируя, получаем

 (здесь предполагается, что при вычислении интеграла вектор констант не добавляется, он уже добавлен в виде вектора  ).

Подставляя в , имеем

().

Здесь в полном соответствии с теоремой о структуре общего решения неоднородной системы первое слагаемое представляет собой общее решение однородной системы, а второе слагаемое – частное решение неоднородной системы.

studizba.com

35.1. Нормальная система дифференциальных уравнений

Система вида

где функции определены в некотороймерной области переменныхназываетсянормальной системой дифференциальных уравнений первого порядкас неизвестными функциями

Число уравнений, входящих в систему, называется порядком нормальной системы. Решением нормальной системы в интервале называется совокупность функций

непрерывно дифференцируемых в интервале и обращающих вместе со своими производными каждое уравнение нормальной системы в тождество.

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка имеет следующую формулировку. Найти решение нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка, удовлетворяющее начальным условиямгдезаданные числа,

Теорема Коши о существовании и единственности решение задачи. Если функции непрерывны в окрестности точкии имеют непрерывные частные производныето всегда найдется некоторый интеграл с центромв котором существует единственное решение нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Общим решением нормальной системы называется совокупность функций

зависящих от произвольных постоянныхи удовлетворяющих следующим условиям:

1. функции определены в некоторой области изменения переменных и имеют непрерывные частные производные

2. совокупность является решением нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка при любых значениях

3. для любых начальных условий из области где выполняются условия теоремы Коши, всегда найдутся такие значения произвольных постоянныхчто будут справедливы равенства

Частным решением нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка называется решение, полученное из общего при некоторых частных значениях произвольных постоянных.

Одним из методов решения нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка является сведение ее к решению одного или нескольких дифференциальных уравнений высших порядков – метод исключения.

35.2. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Все сказанное выше верно и для частного случая нормальной системы дифференциальных уравнений, которая имеет вид

где функции предполагаются непрерывными в некотором интервалеЕсли всето рассматриваемая система называется однородной, в противном случае неоднородной. Еслито рассматриваемая системаназывается линейной с постоянными коэффициентами. Существуют методы, позволяющие проинтегрировать такую систему. Рассмотрим два из них.

Первый метод. Составляем характеристическое уравнение

где Раскрывая определитель, приходим к алгебраическому уравнению степениотносительнос действительными постоянными коэффициентами, которое имееткорней.

Если корни характеристического уравнения действительные и различные то каждому корню соответствует частное решение вида

где коэффициенты определяются из системы линейных алгебраических уравнений

Все частные решения вида

образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение однородной системы с постоянными коэффициентами, получаемой из системы

при представляет собой следующую совокупность функций, являющихся линейной комбинацией решений

где произвольные постоянные.

Рассмотрим пример. Найти общее решение однородной системы

Характеристическое уравнение данной системы

имеет различные действительные корни Для каждого из них составляем систему

Так как определители этих систем равны нулю, то каждая из них имеет бесчисленное множество решений. В данном случае можно выбрать те решения, для которых Тогда получим следующие решения систем: еслито

если то

если то

Это приводит к фундаментальной системе решений

Линейная комбинация этих решений с учетом совокупности функций

дает общее решение исходной системы

Второй случай. Корни характеристического уравнения

различные, но среди них имеются комплексные. Известно, что в этом случае каждой паре комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения соответствует пара частных решений

где Коэффициентыопределяются из системы

соответственно для иКоэффициентыоказываются, как правило, комплексными числами, а соответствующие им функциикомплексными функциями. Выделяя мнимую и действительную части функцийи пользуясь тем, что для линейных уравнений с действительными коэффициентами и мнимая, и действительная части решения также являются решениями, получаем пару частных действительных решений однородной системы.

Рассмотрим пример. Найти общее решение системы

Характеристическое уравнение системы

имеет корни Получаем

Корню соответствует система для вычисления

Согласно формуле получаем частное решение

Взяв в отдельности действительные и мнимые части в решении, получим два решения в действительной форме, образующих фундаментальную систему решений системы

Тогда общее решение системы имеет вид

Третий случай. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. В этом случае поступаем следующим образом. Пустькорень кратностихарактеристического уравнения. Тогда решение системы, для которойсоответствующее этомукратному корню, ищем в виде

……………………………………………………………………………

Числа находим, подставляя функциии их производныев исходную систему при указанных ограничениях наиа затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степеняхв левых и правых частях полученных равенств. В результате проведенных действий из всех чиселвсегда остаются в качестве свободных параметров, которые принимаются за произвольные постоянные.

Рассмотрим пример. Найти общее решение системы

Характеристическое уравнение системы

имеет двукратный и однократныйкорни. Двукратному корнюсоответствует решение вида

Коэффициенты определяются из системы, полученной подстановкой выражений дляв исходную систему. После сокращения наимеем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, получаем систему

из которой находим, что

Числа можно считать произвольными параметрами. Обозначим их черезисоответственно. Тогда решение запишется в виде

Корню соответствует решение

где числа определяется из системы

Ее решение Следовательно, соответствующее корню

решение исходной системы имеет вид

где произвольная постоянная.

Общее решение исходной систему записывается в виде

Если система неоднородная, то, зная общее решение вида

соответствующей однородной системы, можно найти общее решение исходной неоднородной системы методом вариации произвольных постоянных в решении

Общее решение неоднородной системы всегда можно записать в данном виде, заменив произвольные постоянные соответственно функциямиЭти функции определяются с помощью данной неоднородной системы. В систему подставляютполучают линейную системуалгебраических уравнений относительнорешение которой всегда существует и представимо в виде

где известные функции. Интегрируя эти равенства, находим

где произвольные постоянные.

Рассмотрим пример. Решить задачу Коши

заданы начальные условия

Найдем общее решение соответствующей однородной системы

Корни ее характеристического уравнения общее решение ищем в виде

Пусть в данном решении иявляются неизвестными функциямииПотребуем, чтобыибыли решением исходной системы. Находим

Подставляем выражения для в исходную систему, приводим подобные члены и получаем систему

откуда

Проинтегрируем последние равенства

Подставляя ив равенствавместоиполучаем общее решение исходной неоднородной системы

Используя начальные условия, получим систему для определения постоянных и:

откуда

Решением задачи Коши будет следующее частное решение

Контрольные вопросы

1. Что называют порядком нормальной системы?

2. Дать определение решению нормальной системы в заданном интервале?

3. Дать формулировку Задачи Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка.

4. Что называют общим решением нормальной системы?

5. Дать определение частного решения нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Лекция №36. Применение аппарата дифференциальных уравнений в механике

36.1. Особенности составления дифференциальных уравнений в прикладных задачах.

36.2. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений.

studfiles.net

Нормальные системы линейных однородных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами.

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.

Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:

(2)

Решения системы (2) обладают следующими свойствами:

1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются решениями этой системы.

2) Если y₁, z₁, u₁ и y₂, z₂, u₂ – решения системы, то y₁ + y₂, z₁ + z₂, u₁ + u₂ – тоже являются решениями системы.

Решения системы ищутся в виде:

Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на e^kx, получаем:

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:

В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k₁, k₂, k₃. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):

Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2):

Пример. Найти общее решение системы уравнений:

Составим характеристическое уравнение:

Решим систему уравнений:

Для k₁:

Полагая (принимается любое значение), получаем:

Для k₂:

Полагая(принимается любое значение), получаем:

Общее решение системы:

Этот пример может быть решен другим способом:

Продифференцируем первое уравнение:

Подставим в это выражение производную у =2x + 2y из второго уравнения.

Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:

Обозначив , получаем решение системы:

Пример. Найти решение системы уравнений

Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х).

Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:

Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: .

С учетом первого уравнения, получаем:

Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общее решение однородного уравнения:

Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле

Общее решение неоднородного уравнения:

Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:

Пример. Найти решение системы уравнений:

Составим характеристическое уравнение:

1. k = -1.

Если принять  = 1, то решения в этом случае получаем:

2. k₂ = -2.

Если принять  = 1, то получаем:

3. k₃ = 3.

Если принять  = 3, то получаем:

Общее решение имеет вид:

Элементы теории устойчивости.

Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена не нахождению какого – либо решения уравнения, а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента.

Этот метод особенно важен, т.к. позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически.

Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных уравнений:

(1)

и начальные условия:

Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны.

Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий)

Если правая часть дифференциального уравнения непрерывна и по переменной у имеет ограниченную частную производнуюна области прямоугольника, ограниченного, то решение

, удовлетворяющее начальным условиям , непрерывно зависит от начальных данных, т.е. для любого, при котором если

то при условии, что

где

Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и для системы уравнений.

Определение. Если — решение системы дифференциальных уравнений, то это решение называетсяустойчивым по Ляпунову, если для любого , такое, что для любого решениятой же системы, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам

справедливы неравенства

(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН)

Т.е. можно сказать, что решение (t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t  t₀.

Если , то решение(t) называется асимптотически устойчивым.

Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения системы можно свести к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:

Тогда:

(2)

Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение

Теорема. Решение системы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение системы (2).

Это тривиальное решение называется положением равновесия или точкой покоя.

Определение. Точка покоя системы (2) устойчива по Ляпунову, если для любоготакое, что из неравенства

следует

.

Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система

имеющая тривиальное решение .

Пусть существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая условиям:

1) 0 и v = 0 только при у₁ = у₂ = … = у_n =0, т.е. функция v имеет минимум в начале координат.

2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль решения y_i(t) системы (1)) удовлетворяет условию:

при

Тогда точка покоя устойчива по Ляпунову.

Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой окрестности начала координат выполнялось условие

где  — постоянная величина, то точка покоя асимптотически устойчива.

Функция v называется функцией Ляпунова.

Классификация точек покоя.

Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

Рассмотрим следующие возможные случаи:

1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные.

Точка покоя будет устойчива. Такая точка покоя называетсяустойчивым узлом.

2) Корни характеристического уравнения действительны и

или .

В этом случае точка покоя также будет устойчива.

3) Хотя бы один из корней положителен.

В этом случае точка покоя неустойчива, и такую точку называютнеустойчивым седлом.

4) Оба корня характеристического уравнения положительны .

В этом случае точка покоя неустойчива, и такую точку называютнеустойчивым узлом.

Если полученного решения системы исключить параметрt, то полученная функция дает траекторию движения в системе координатXOY.

Возможны следующие случаи:

 

 

Устойчивый узел. Неустойчивый узел. Седло.

5) Корни характеристического уравнения комплексные .

Если р = 0, т.е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по Ляпунову.

Такая точка покоя называется центром.

Если p< 0, то точка покоя устойчива и называется устойчивым фокусом.

Если p > 0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом.

Уравнения математической физики.

Уравнения в частных производных.

Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения будет некоторая функция , которая обращает уравнение в тождество.

studfiles.net

По своему объему гипотезы могут быть простыми и сложными — Мегаобучалка

ПРОСТАЯесли в ней изложено одно обстоятельство, при наличии или отсутствии которого норма вступает в силу. Примером может послужить статья 674 Гражданского кодекса РФ: «Договор найма жилого помещения заключается в письменной форме».

СЛОЖНАЯ гипотеза включает в себя перечисление нескольких обстоятельств. (Например, ст. 126 ГПК РФ определяет перечень условий, которым должно соответствовать исковое заявление. К числу таких условий, в частности, относятся: письменная форма; обязательное отражение в исковом заявлении ряда моментов (реквизитов) – наименование суда, наименование истца, наименование ответчика, доказательства, подтверждающие позицию истца и т. п.; подпись истца. В данном примере для того, чтобы иск был принят судом к рассмотрению, он должен соответствовать всем перечисленным условиям).

По степени определенности изложения гипотезы бывают: абсолютно-определённые и относительно-определенные, альтернативные.

В абсолютно-определенной гипотезе условия ее реализации очевидны и достаточно констатировать их наличие.

Относительно-определенная гипотеза считается тогда, когда условия изложенные в ней, являются очевидными и определяются компетентными органами. То есть, этому органу предоставляется право выбора: применять или не применять данную норму.

Существует и альтернативная гипотеза. В этом случае действие нормы права зависит от обстоятельства или ряда обстоятельств, перечисленных в гипотезе. (Например, ст. 129 ГПК РФ гласит: «судья единолично разрешает вопрос о принятии заявления по гражданскому делу. Судья отказывает в принятии заявления: 1) если заявление не подлежит рассмотрению в судах; … 7) если дело неподсудно данному суду; 8) если заявление подано недееспособным лицом и др.». В данном примере каждого из перечисленных условий достаточно для отказа судьи в принятии заявления).

Так, статья 14 Семейного кодекса РФ перечисляет препятствия к заключению брака, наличие даже одного из которых, вводит в действие данную норму, запрещающую заключение брака.

Диспозиция— сердцевина юридической нормы, котораяуказывает дозволенное поведение субъекта, обязательное (не­обходимое) или запрещенное (недопустимое). Диспозиция — основной элемент нормы права, в котором формируется мо­дель самого правила поведения, т.е. заключено предписание о том, как следует действовать в ситуации, в условиях, пре­дусмотренных в гипотезе данной нормы.

Абсолютно-определенная диспозиция— диспозиция, которая четко определяет права и обязанности участников отношений, точно называет вариант поведения. Например, в уголовно-про­цессуальном праве абсолютно определенной диспозицией явля­ется предписание суду удалять из зала судебного заседания всех свидетелей, явившихся до начала их допроса.

Относительно-определенная диспозиция— диспозиция, ко­торая не содержит существенных признаков поведения участ­ников отношений, достаточно полных сведений об их правах и обязанностях.

Альтернативная диспозиция— диспозиция, которая характе­ризуется тем, что указывает на несколько правовых последствий, но предполагает наступление только одного из них.

Например, в уголовно-процессуальном кодексе есть норма, которой предусматривается, что в результате рассмотрения дела в кассационном порядке суд принимает одно из следующих ре­шений: (1) оставляет приговор без изменения; (2) отменяет при­говор и направляет дело на новое расследование или новое рас­смотрение; (3) отменяет приговор и прекращает дело; (4) изме­няет приговор.

Санкция— часть правовой нормы, которая обеспечивает осуществление ее диспозиции. В санкции выражается неодоб­рительное отношение общества, государства, личности к на­рушителям правовой нормы (охранительная санкция). В санк­ции может выражаться одобрительное отношение в виде по­ощрения — премии, повышения в должности к лицам, выполняющим диспозицию (полезные варианты поведения) на уровне, превышающем общие требования (поощрительная санкция). Мы ведём речь о санкциях охранительного характера.

По степени определенности санкции подразделяются:

Абсолютно-определенная санкция— санкция, в которой точ­но указаны вид и мера юридической ответственности за нару­шение нормы права. Санкции норм об имущественной ответ­ственности в подавляющем большинстве абсолютно определён­ны. Абсолютно определенными могут быть санкции и других норм, например, административных — штраф в 20-кратном раз­мере за безбилетный проезд в трамвае.

Относительно-определенная санкция— санкция, в которой границы юридической ответственности за нарушения нормы права указаны от минимальной до максимальной или только до максимальной. Правоприменительным органам предоставляет­ся возможность решать дело с учетом конкретных обстоятельств. Относительно-определенный характер имеет большинство санк­ций уголовного права, которые устанавливают низшие и выс­шие пределы наказания (напр., лишение свободы от 1 до 5 лет).

Альтернативная санкция— санкция, в которой названы или перечислены через соединительно-разъединительный союз «или» («либо») несколько видов юридической ответственности, из ко­торых правоприменитель выбирает только один — наиболее це­лесообразный для решаемого случая. Например, умышленная потрава посевов и повреждение полезащитных и иных насажде­ний наказывается исправительными работами на срок до одного года.

По характеру последствий для правонарушителя различают санкции:

• штрафные (или карательные)— предусматривают лишение свободы, штраф, выговор, взыскание материального ущерба и др. Основная задача карательных санкций — общая и частная превенция (предупреждение) правонарушения, исправление и перевоспитание правонарушителей.

Штрафные санкции характерны для запрещающих норм;

•восстановительные (компенсационные) —предусматривают устранение причиненного человеку вреда и восстановление его прав: восстановление на прежнем месте работы незаконно уво­ленного; взыскание алиментов и другие. Их основная задача — восстановление нарушенного права.

Каждый из названных элементов имеет в структуре правовой нормы свое место и играет особую роль, вследствие чего, по справедливому суждению, сложившемуся в юридической науке, без гипотезы норма бессмысленна, без диспозиции немыслима, без санкции бессильна.

Вопрос о структуре правовой нормы является дискуссионным. Одни авторы считают, что норма права состоит из двух частей — гипотезы и диспозиции или диспозиции и санкции. Большинство же ученых-юристов придерживаются трехзвенной структуры правовой нормы, состоящей из вышерассмотренных элементов — гипотезы, диспозиции, санкции.

ВЫВОД: Таким образом, структура норм права, с точки зрения логики, представляет собой совокупность трёх элементов: гипотезы, диспозиции, санкции. Каждый из этих элементов может быть классифицирован далее по различным основаниям. Проведение такого деления важно, так как позволяет более детально рассмотреть структуру самого права. Вопрос о структуре норм права является дискуссионным, но, на наш взгляд именно трехчленная структура имеет наибольшее значение для теории права, так как позволяет охарактеризовать каждый её элемент как в отдельности, так и в взаимосвязи. На практике же структура, называемая логической, встречается довольно редко: не все нормы имеют по три элемента. Но, тем не менее, именно трехчленный состав нормы позволяет рассматривать в ней условия для её действия, саму модель необходимого поведения и последствия, наступающие при ее нарушении. А это имеет большое значение, как для правотворческой, так и для правоприменительной деятельности.

megaobuchalka.ru

Пример гипотезы научного исследования в курсовой, дипломной работе

Гипотеза исследования – это составная часть введения в студенческой работе. Она располагается после цели с задачами и перед методами исследования. Несмотря на её скромный объём (не больше абзаца), разработка данного элемента очень важна, поскольку она является опорой всего исследования, его движущей силой. Курсовая или дипломная работа создаётся для того, чтобы в процессе исследования подтвердить или опровергнуть сформулированную гипотезу.

Гипотеза дипломного исследования – это его прогнозируемый результат, предположение, достоверность которого проверяется опытным путём в ходе работы. Ради её подтверждения или опровержения вы выбираете библиографические источники, выполняете теоретические и практические изыскания, оформляете свой труд. В заключении диплома или курсовой вы даёте оценку, соответствует ли выдвинутая гипотеза истине. Если так, то она станет теорией, которую вы доказали своей работой. Если нет – она отвергается, ведь опровержение – тоже ценный вывод.

Подготовка гипотезы

По большому счёту, принято выдвигать 2 гипотезы исследования, которые противоречат друг другу.  В дальнейшем с первой вы согласитесь, а вторую отвергнете, как ошибочную.

Ещё на этапе поиска опорного материала гипотеза должна уже находиться у вас в голове, однако окончательно оформить её рекомендуется по завершении основной части, когда написаны теоретический и практический разделы. Ведь в процессе подготовки научной работы, например, при написании магистерской диссертации, вы тщательно изучите объект и предмет, продвинетесь к намеченной цели, внимательно проанализируете используемые источники и сможете лучше ориентироваться в выбранной сфере исследования. Даже если у вас совершенно нет каких-либо мыслей по поводу гипотезы, смело приступайте к написанию работы. Вы сами не заметите, как вожделенная гипотеза сама окажется у вас в сознании.

Важно помнить, что в процессе написания курсовой работы  или дипломной работы гипотеза – это не каменное изваяние, не константа. При подготовке практического раздела вы будете выполнять различные эмпирические исследования, в ходе которых, возможно, изменятся намеченные гипотезы. Например, если вы начали писать дипломную работу с целью доказательства или опровержения идеи о том, что колбасные изделия определённой фирмы значительно превосходят по качеству всех своих конкурентов, то в результате анализа данных можете обнаружить некий секретный ингредиент, ради изучения которого гипотезу придётся перефразировать, смещая фокус исследования.

Получается, что гипотеза не создаётся из воздуха, а опирается на разнообразные догадки, которые давно высказывались, но при этом не были официально оформлены. Нужно лишь выбрать то или иное предположение, подвести под неё логическое обоснование и грамотно воплотить в слова. Так и рождаются гипотезы.

Формулировка гипотезы исследования

Следующие советы помогут вам грамотно и красиво очертить гипотезу.

• Гипотеза обычно касается объекта или предмета исследования, поэтому находится в непосредственной связи с этими разделами введения. Также на неё существенно влияют цель, задачи и проблематика.
• Важно корректно сформулировать гипотезу, не выдавая за неё очевидные вещи, известные всем. Воздержитесь от спорных или размытых понятий, проследите, чтобы гипотезу можно было проверить различными методами, включая анализ, синтез, сопоставление и т.д.
• Опирайтесь на ключевые слова темы, объекта и цели вашего научного труда. Поскольку эти разделы находятся в непосредственной логической связи, формулировка у них совпадает.
• Обязательно применяйте речевые обороты, которые бы подчеркнули субъективность выдвигаемой идеи. Например, начните с фразы «следует ожидать…», «можно допустить, что…» или «предполагается, что…». При наличии у вас достаточной смелости чётко пишите, что гипотеза принадлежит вам, начиная со фразы: «я думаю» или «я полагаю».

Признаки правильной гипотезы

Приведённые ниже пункты помогут вам проверить, насколько корректно вы выбрали и сформулировали гипотезу.

• Прочная логическая связь с темой, целью, задачами и проблематикой исследования.
• Отсутствие острого противоречия между уже проведёнными исследованиями по вашей теме и вашим умозаключением.
• Открытость для проверки различными методами исследования.
• Грамотная формулировка без логических конфликтов и речевых ошибок.
• Соблюдение баланса между высоким полётом мысли и банальными фактами

Пример выделения гипотезы исследования в дипломной работе

Место гипотезы в структуре введения

Примеры гипотезы

Итак, как же правильно оформляется гипотеза в курсовой работе? Примеры из разных областей науки наведут вас на нужные мысли.

Направление курсовой работы: бизнес, предпринимательство.

Тема: Мотивация деятельности сотрудников организации.

Гипотеза: Можно предположить, что мотивация сотрудников тесно связана с их осознанием собственной успешности на рабочем месте, а также с ожиданием немедленного поощрения.

Направление: Производственный менеджмент.

Тема: Документооборот в организации.

Гипотеза. Следует ожидать, что при более глубоком внедрении новейших компьютерных технологий в фирме существенно поднимется уровень организованности её документооборота при доведении количества потерь важных документов до нуля.

Направление: Педагогика.

Тема: Повышение любознательности детей младшего школьного возраста.

Гипотеза: Можно ожидать, что уровень любознательности младших школьников повысится при должной мотивации со стороны педагогического состава и повышении заинтересованности самих преподавателей в учебном процессе.

Работа с гипотезой

От введения до заключения гипотеза будет неотступно направлять ход вашего научного труда. В первом разделе основной части доказывать или отвергать гипотезы вы будете на основе собранных фактов. Анализируйте их, сопровождайте собственным мнением. Второй раздел вбирает в себя результаты проведённых вами опытов и исследований, выполненные расчёты.

Всё взаимодействие с гипотезой делится на следующие этапы.

1. Зарождение. Выявление фактов и предположений, которые не укладываются ни в одну известную теорию по вашей теме. Эти умозаключения должны вызывать горячие споры в обществе и остро требовать объяснения, доказательства или опровержения.
2. Формулировка на основе этих умозаключений.
3. Теоретическое исследование. Поиск мнений, имеющих отношение к гипотезе, в разных источниках. Сравнение высказанных идей с собственными представлениями, их анализ и цитирование.
4. Практическое исследование. Осуществление тематических опытов, связанных с гипотезой. Анализ полученных результатов. Выполнение расчётов, подготовка всевозможных итоговых диаграмм и графиков.
5. Сравнение полученных результатов изысканий с гипотезой, её последующее опровержение или подтверждение.

Не забудьте коснуться гипотезы в заключении, поделитесь мнением, насколько она соответствует действительности, может ли стать теорией и получить широкое распространение в общественном мнении. Возможно, вы выдвинете и докажете такую гипотезу, которая станет поворотным пунктом в развитии вашей области знаний.

kursach37.com

Гипотеза и задачи исследования.

Дать определение модуля комплексного числа. Доказать свойства модуля.

Определение.Комплексным числомz=x+iy называется упорядоченная пара действительных чисел : .

Действительные числа х и у называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются:

Определение.Вещественное неотрицательное число:

называют модулем комплексного числа .

Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.)

Пусть , где и , где – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

.

Теорема. (Свойства модуля комплексного числа.)

Пусть – произвольные комплексные числа и соответствующие точки на комплексной плоскости. Тогда:

1) и . Т.е. модульпроизведения комплексных чисел равен произведению их модулей и модули противоположных чисел равны;

2) расстояниемеждуточками и комплексной плоскости равно модулю разности соответствующих комплексных чисел: ;

3) ;

4) ;

Доказательство. 1) По предыдущей теореме имеем:

, где и ,

т.е. .

Таким образом, равенства и есть тригонометрическаяформа записи числа , следовательно, по теореме о равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме записи, имеем , ч.т.д.

Далее, т.к. , то по только что доказанному свойству , ч.т.д.

Заметим, что последнее равенство можно получить и из других соображений.

Противоположные числа на комплекснойплоскости изображаютсяточками симметричными относительно начала координат. Действительно, пусть . Тогда и точки , имеют противоположные декартовые координаты. Значит, в силу симметрии, расстояния от этих точек до начала координат равны, т.е. , ч.т.д. Заметим, также, что такой же результат можно получить с помощью формулы (12) вычисления модуля комплексного числа.

2). Пусть , . Тогда и по формуле (12) имеем:

. (14)

С другой стороны, рассмотрим числа и как точки на комплексной плоскости. Тогда точка имеет декартовыекоординаты , а и искомое расстояниемежду ними вычисляется по формуле (14), ч.т.д.

3) Рассмотрим на комплекснойплоскости точки , и начало координат О. В общем случае эти три точки являются вершинами треугольника :

рис.6.

Воспользуемся известным свойством треугольника: длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух его других сторон.

Мы только что доказали, что длина стороны этого треугольника равна , а длины сторон и равны по определению модулям чисел и : , . Отсюда и получаем, что .

Заменим в последнем неравенстве число на противоположное число , тогда получаем:

, ч.т.д.

Заметим, что равенство в этих неравенствах достигается тогда и только тогда, когда треугольник вырождается в отрезок прямой, т.е. когда все три точки О, и лежат на одной прямой.

4) , откуда следует

. Поменяв местами и , получаем

, откуда и следует доказываемое неравенство.

Теорема доказана.

cyberpedia.su

доказательство свойств модуля. : Чулан (М)

dxdy.ru

доказательство основных свойств модуля. : Школьная алгебра

dxdy.ru

Раздел 8. Теория сравнений Определения и простейшие свойства.

Определение 1. Пусть a, b  Z, m  N. Говорят, что число а сравнимо с b по модулю m, если а и b при делении на m дают одинаковые остатки. Запись этого факта выглядит так: a  b(mod m).

Определение 2. Два целых числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если их разность делится нацело на m. (ab) ⋮ m

Определение 3. Два целых числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если a = b + mt, где t  Z.

Очевидно, что бинарное отношение сравнимости _m (неважно, по какому модулю) есть отношение эквивалентности на множестве целых чисел.

Ясно, что число а сравнимо с b по модулю m тогда и только тогда, когда а—b делится на m нацело. Очевидно, это, в свою очередь, бывает тогда и только тогда, когда найдется такое целое число t , что a = b + mt.

Понять процесс собирания целых чисел в классы сравнимых между собой по модулю m (классы эквивалентности _m) поможет следующая картинка:

На рисунке 6 изображен процесс наматывания цепочки целых чисел на колечко с m делениями, при этом на одно деление автоматически попадают сравнимые между собой числа. Кстати, эта картинка неплохо объясняет и термин «кольцо».

Перечислим, далее, свойства сравнений, похожие на свойства отношения равенства.

Свойство 1. Сравнения по одинаковому модулю можно почленно складывать.

Доказательство. Пусть a₁= b₁(mod m), a₂= b₂(mod m). Это означает, что a₁ = b₁ +mt₁, a ₂ = b ₂ +mt ₂. После сложения последних двух равенств получим a₁ + a₂ =b₁ +b₂ +m(t₁ +t₂), что означает a₁ + a₂ = b₁ + b₂(mod m).

Свойство 2. Слагаемое, стоящее в какой-либо части сравнения, можно переносить в другую часть, изменив его знак на обратный.

Доказательство.

Свойство 3. К любой части сравнения можно прибавить любое число, кратное модулю.

Доказательство.

Свойство 4. Сравнения по одинаковому модулю можно почленно перемножать и, следовательно,

Свойство 5. Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же степень.

Доказательство.

Как следствие из вышеперечисленных свойств, получаем

Свойство 6. Если a₀ ≡ b₀ (mod m), a₁ ≡ b₁ (mod m) ,…, a_n ≡ b_n (mod m) , x ≡ y (mod m), то a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n ≡ b₀yⁿ + b₁y^n-1 +…+ b_n (mod m).

Свойство 7. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, взаимно простой с модулем.

Доказательство. Пусть a ≡ b(mod m), a = a₁ d, b = b₁ d. Тогда (a₁ – b₁)d делится на m.

Поскольку d и m взаимно просты, то на m делится именно (a₁ – b₁), что означает a₁ ≡ b₁(mod m).

Свойство 8. Обе части сравнения и его модуль можно умножить на одно и то же целое число или разделить на их общий делитель.

Доказательство. a ≡ b(mod m)  a = b + mt  ak = bk + mkt  ak ≡ bk(mod mk).

Свойство 9. Если сравнение a ≡ b имеет место по нескольким разным модулям, то оно имеет место и по модулю, равному наименьшему общему кратному этих модулей.

Доказательство. Если a ≡ b(mod m₁) и a ≡ b(mod m₂), то a-b делится на m₁ и на m₂, значит a-b делится на наименьшее общее кратное m₁ и m₂.

Свойство 10. Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по модулю d, равному любому делителю числа m.

Доказательство очевидно следует из транзитивности отношения делимости: если a ≡ b(mod m), то a-b делится на m, значит a-b делится на d, где d|m.

Свойство 11. Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое число, то и другая часть сравнения должна делиться на то же число.

Доказательство. a ≡ b(mod m)  a=b+mt.

Пример. Доказать, что при любом натуральном n число 37^п+2 +16^п+1 + 23^п делится на 7.

Решение. Очевидно, что 37 ≡ 2(mod 7), 16 ≡ 2(mod 7), 23 ≡ 2(mod 7)

Возведем первое сравнение в степень n+2, второе – в степень n+1, третье – в степень n и сложим:

т.е. 37^п+2 + 16^п+1 + 23^п делится на 7. Как видите, ровным счетом ничего сложного в решении подобных школьных задач «повышенной трудности» нет.

С удовольствием заканчиваю настоящий пункт, чтобы устремиться к следующему, то есть устремиться из прошлого в будущее.

studfiles.net

доказательство основных свойств модуля. : Школьная алгебра

dxdy.ru

Уравнения с модулями начинают изучать с 6-го 7-го класса, где проходят азы операций с модулями

Введение

Уравнения с модулями начинают изучать с 6-го – 7-го класса, где проходят азы операций с модулями. Однако свойств абсолютной величины не знает даже старшеклассник. Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах. Мой диплом будет посвящен изучению свойств модуля, алгебраическому и графическому решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Я считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, заданий ЕГЭ и экзаменов при поступлении в вузы.

В своей работе я собираюсь проанализировать некоторые учебники и задачники по математике и выяснить, в каких из них присутствуют задания на свойства абсолютной величины и на графическое решение уравнений и неравенств со знаком модуля.

Основная цель работы — получение расширенной информации о модуле числа, его применении и о различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Также будет создано небольшое пособие, которое будет включать в себя определение модуля, его свойства, упражнения с решениями и задания для практики. Все это поможет учащимся в решении подобных уравнений и неравенств.

Данный диплом основан на следующих работах: учебно-методические материалы П.Ф. Севрюкова и А.Н. Смолякова «Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения», задачник Е.Г. Андреева «Сборник задач по математике».

Моя работа разделена на две главы. В первой главе представлены определение модуля, его свойства с доказательствами, а также примеры уравнений и неравенств, где применяются эти свойства. Вторая глава посвящена графическому решению уравнений и неравенств с модулями, а также краткий список учебников, задачников и пособий, в которых можно найти задания на свойства модуля и графическое решение уравнений с модулями.

Глава 1

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия (в физике) — отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:

Модуль — абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.

Доказательство теорем

Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа a,

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа  равна большему из двух чисел a или -a.

Доказательство:

1. Если число a положительно, то -a отрицательно, т. е. -a < 0 < a. Отсюда следует, что -a < a.

Например, число 5 положительно, тогда -5 — отрицательно и -5 < 0 < 5, отсюда -5 < 5.

В этом случае |a| = a, т. е. |a| совпадает с большим из двух чисел a и — a.

2. Если a отрицательно, тогда -a положительно и a < — a, т. е. большим числом является -a. По определению, в этом случае, |a| = -a — снова, равно большему из двух чисел -a и a.

Следствие 1. Из теоремы следует, что |-a| = |a|.

В самом деле, как , так и  равны большему из чисел -a и a, а значит равны между собой.

Следствие 2. Для любого действительного числа a справедливы неравенства

Умножая второе равенство  на -1 (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства:  справедливые для любого действительного числа a. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем:

Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из  

В самом деле, если  то, по определению модуля числа, будем иметь  С другой стороны, при   значит |a| =

Если a < 0, тогда |a| = -a и  и в этом случае |a| =

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если  то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 (см. рис.)

Свойства модуля

1.|ab|=|a|*|b|

При a0, b0 ab0 по определению модуля =ab . =a, =b =ab.

При а<0, b<0 ab>0 по определению модуля =ab. =-a, =-b =-a*(-b)=ab.

При a>0, b<0 ab<0 по определению модуля =-ab.=a, =-b =a*(-b)=-ab.

Аналогично при a<0, b>0 =-ab, =-ab.

2.=

Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому знак числа роли играть не будет.

При a<0 =-a =

При a0 =a =

3. =, b0

Если а и b положительны, то и дробь в левой части будет положительна, а в правой части и числитель и знаменатель будут положительны. Модуль из положительного числа ­­­­– само число, значит =, но чтобы дробь имела смысл, b должна быть не равна нулю.

Если a и b отрицательны, то дробь в левой части все равно будет положительна, так как минус на минус дает плюс, а в правой части при вынесении переменных из-под модуля и числитель и знаменатель будут положительны, значит и сама дробь будет положительна.

Если а и b разных знаков, например, a>0, b<0, то в левой части дробь будет отрицательна, но при вынесении из-под модуля станет положительна, а в правой части при вынесении переменных из-под модуля и числитель и знаменатель будут положительны, значит и сама дробь будет положительна.

4.

При a0, b0 . , .

При a<0, b<0 . ,

При a<0, b>0 –a>0 . , .

Аналогично при a>0, b<0 –b>0, , .

5.

При a0, b0 . , .

При a<0, b<0 . , .

При a<0, b>0 –a>0 .

.

.

refdb.ru

«Модуль действительного числа и его свойства» (8 класс)

Урок на тему: Модуль действительного числа и его свойства

Цели: сформулировать определение и свойства модуля, научиться применять их на практике.

Форма проведения: лекция, новая тема

План урока:

1. Организационные моменты

2. Изучение нового материала

3. Разбор примеров

4. Итоги урока

5. Домашнее задание

6. Заключительное слово

Ход урока

1. Организационные моменты

Учитель: Здравствуйте, сегодня на урок нужно было принести новые тетради. Открываем их и пишем число, классная работа и первую тему: Модуль действительного числа и его свойства. Это тема для вас не совсем новая. С понятием модуля мы уже встречались раньше. Сегодня наша цель – это изучить это понятие более подробно, записать точное определение и словами и формулой, разобрать свойства модуля и некоторые из них доказать.

2. Изучение нового материала

Учитель: Пишем определение понятия «Модуль». Модулем или абсолютной величиной действительного числа называется само число , если оно неотрицательно, или противоположное ему число –, если оно отрицательно.

А ниже напишем:

Пишем небольшой заголовок в центре: Свойства модуля. Смотрим на экран и записываем.

1. Для любого Доказательство: Если Если же То есть в любом случае

2. Модули противоположных чисел равны: .

3. Модуль положительного числа равен самому числу:

4. Каково бы ни было a,

5. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: Доказательство: Если Если То есть

6. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа: .

7. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: . Доказательство:

1) Пусть

2) Пусть

Для 3) и 4) случая докажите самостоятельно. (Ребята доказывают самостоятельно).

8. Модуль частного двух (и более) чисел равен частному их модулей:

9. Модуль суммы не превышает суммы модулей:

3. Разбор примеров

Учитель: Давайте сейчас приведем примеры в тетрадях, которые будут подтверждать верность свойств. (Работа в тетрадях самостоятельно). Если есть вопросы, то задавайте.

Примеры:

, т.к. 3,4>0;

, т.к. –7<0;

, т.к. <0;

, т.к. <0.

4. Итоги урока

Учитель: Сегодня мы изучили понятие «Модуль» и разобрали его свойства. Свойства нужно знать наизусть, чтобы пользоваться имя для решения уравнений, которые мы будем изучать на следующем уроке.

5. Домашнее задание

Учитель: Домашним заданием будет – выучить определение «Модуль», знать свойства и постараться доказать еще хотя бы одно свойство самостоятельно.

6. Заключительное слово

Учитель: Темы, связанные с модулем, не сложные, если учить свойства вовремя, а не тянуть до того, когда их нужно будет уже применять при решении уравнений.

infourok.ru

Как определить функцию системы

До сих пор мы говорили так, будто функция любой системы управления поведением настолько очевидна, что ее можно воспринимать, как нечто само собой разумеющееся. Действительно, ни у ко не возникает вопрос, в чем состоит функция потребления пищи, высиживания яиц или миграции. Тем не менее имеется ряд поведенческих систем, функции которых, как давно признано, остаются неясными. Одна из известных систем такого рода — это территориальное поведение многих видов птиц и млекопитающих. Никто не сомневается, что такое поведение попадает в общую категорию, называемую нами инстинктивным поведением, однако какое именно преимущество (или преимущества) оно дает биологическому виду часто остается неясным. В современной биологической науке утвердилось мнение, что любое инстинктивное поведение обладает своей специфической функцией (или функциями), способствующей выживанию вида. (Несмотря на разные точки зрения относительно сущности данной функции.)

Задача точного определения функции какого-то компонента инстинктивного поведения может быть достаточно трудной. Во-первых, необходимо установить, что в зоне эволюционной адаптированности вида особи, обладающие таким поведением, имеют более многочисленное потомство, чем те, у которых оно отсутствует, и, во-вторых, должна быть раскрыта причина такого поведения. Лучше всего необходимое исследование проводить в естественных условиях. Его метод связан с экспериментальным вмешательством: необходимо сделать так, чтобы одни представители вида не могли бы вести себя привычным образом, а затем сравнить успешность их выживания и размножения с такими же данными об особях, в жизнь которых не вмешивались. В последние годы Тинберген (Tinbergen, 1963) проводил такие эксперименты. Он исследовал некоторые особенности поведения чаек, связанного с выведением птенцов. Без таких экспериментов с интересующим нас (или, по крайней мере, с близким к нему) видом любая дискуссия о том, какой именно из многих обычно получаемых результатов определенного компонента инстинктивного поведения является его функциональным результатом, будет бесплодной и умозрительной.

В гл. 12 утверждается, во-первых, что поведение маленького ребенка, направленное на то, чтобы находиться рядом с матерью (оно называется поведением привязанности), является примером инстинктивного поведения и, во-вторых, что его функция обсуждалась совершенно недостаточно и все еще остается спорной. При этом выдвигается гипотеза, которая до настоящего момента мало рассматривалась в кругах клиницистов.

Проблемы терминологии

Теперь, когда мы в основных чертах обрисовали альтернативную теорию инстинктивного поведения, пора кратко обсудить полезность или, напротив, бесполезность некоторых традиционно используемых понятий.

Во вступлении к гл. 3 отмечалось, что пока слово «инстинктивный» используется описательно, в качестве прилагательного, оно приемлемо и полезно, но как только мы обращаемся к существительному «инстинкт», возникают трудности. Рассмотрим, почему так происходит.

Выдвигаемая нами теория инстинктивного поведения подразумевает, что такое поведение является результатом активации особых условиях внешней среды систем управления поведением, которые интегрированы или в цепи, или в иерархии, или в сочетания того и другого; и что любая система управления поведением и любой комплекс таких систем устроены так, что их активация, как правило, приводит к достижению результата, имеющего значение для выживания. Возникает вопрос, к чему же конкретно; относится субстантивное существительное «инстинкт»? Должно ли оно относиться к самому поведению? Или к системе, управляющей поведением? Или к причинным условиям, которые активизируют систему управления поведением? Или к его прогнозируемому результату? Или, может быть, к функции, которую оно выполняет?

Дело в том, что известные исследователи использовали термин «инстинкт» во всех этих значениях. С одной стороны, он употреблялся в довольно узком значении — применительно к паттернам фиксированного (в большей или меньшей степени) действия, таким, как «поворачивание головы», и к таким движениям, как схватывание добычи, т.е. к конечному звену целой цепочки движений, образующих какую-либо форму инстинктивного поведения. С другой стороны, этот термин использовался в очень широком значении — применительно к силам, которые рассматриваются как причинные факторы и связаны с такими общими состояниями, как жизнь или смерть. Иногда этим термином обозначают прогнозируемый результат последовательных реакций, образующих инстинктивное поведение, например, «инстинкт сооружения гнезда» и «половой инстинкт», или же его относят к биологической функции — «инстинкт воспроизведения». Иногда этот термин используется применительно к эмоции, которая сопровождает поведение, например «инстинкт страха».

Ясно, что такое неупорядоченное использование термина приводит только к путанице. Возникает вопрос: нельзя ли прийти к какому-то общепринятому употреблению этого термина. Существуют две веские причины, по которым это невозможно. Во-первых, термину, который использовался так широко, нелегко дать новое определение и начать употреблять в точном соответствии с новым значением. Во-вторых, из-за интегративного характера систем управления поведением любого уровня сложности чрезвычайно трудно провести границу и решить, что все комплексы управляющих систем, находящиеся по сложности ниже нее, следует называть инстинктами, а все комплексы систем, находящиеся выше нее, так называть не следует. Это было бы похоже на разделение промышленных концернов по уровню их организационной сложности на две группы и присвоение менее сложным специального названия. Нет необходимости подчеркивать трудность этой задачи, но главный вопрос в том, будет ли от этого польза?

Выделение неких управляющих систем поведения — по каким бы критериям оно ни проводилось — и обозначение их термином «инстинкт» не достигло бы никакой практической цели. А кроме того, оно закрепило бы широко распространенную ошибку, связанную с предположением, будто системы, входящие в единый комплекс, имеют общие причины, которые можно представить в качестве «влечений».

В гл. 6 было описано взаимодействие различных факторов, активизирующих управляющие системы, ведущие к сооружению гнезда у канареек. Это исследование также может проиллюстрировать положение, которое мы будем сейчас обсуждать. В сооружении гнезда канарейками выделяются следующие действия: сбор материала для устройства гнезда; доставка материала в гнездо; строительство гнезда (последним птица занимается, сидя в самом гнезде). Поскольку все эти действия варьируются более или менее согласованно, можно было бы посчитать, что ими управляет некое «влечение к сооружению гнезда». Анализ факторов, приводящих в действие три названных компонента активности, показывает, что они имеют общие причинные факторы: все компоненты находятся под влиянием уровня эстрогенов и тормозятся раздражителями, находящимися в гнезде. Тем не менее соотношение между тремя компонентами активности подвержено и другим воздействиям: у каждого имеются свои специфические факторы, а последовательность их выполнения, по-видимому, соблюдается благодаря эффекту самоподавления при завершении каждого вида деятельности. Поэтому представление о неком едином влечении к сооружению гнезда совершенно неадекватно. То же самое было бы и в случае, если бы мы утверждали, что каждому компоненту деятельности по сооружению гнезда соответствует отдельное влечение, поскольку каждое действие можно разложить на отдельные составляющие его движения, варьирующиеся относительно независимо друг от друга.

На самом деле, чем лучше мы начинаем понимать причинные факторы инстинктивного поведения, тем менее состоятельной становится концепция влечения. Пока побудительные причины действия неизвестны, легко предположить, что какая-то особая сила движет поведением, причем не только инициирует его, но и таинственным образом направляет по правильному пути. Но если мы правы, считая, что поведение является результатом активации систем управления поведением и что активация вызвана описанными причинами, тайна раскрывается и необходимость в постулировании влечений отпадает. Инженерам не нужно постулировать специальное «влечение к уничтожению самолетов», чтобы объяснить действие самонаводящегося орудия, а физиологам — «влечение к кровоснабжению» для объяснения деятельности сердечно-сосудистой системы.

Поэтому в нашем дальнейшем изложении не используется ни понятие «инстинкт» (как отдельная форма поведения), ни понятие; «влечение».

Описательный термин «инстинктивное поведение» может использоваться, однако, применительно к такому поведению, которое в среде эволюционной адаптированности дает важные для выживания вида результаты и управляется системами, в этой среде обычно довольно стабильными. В то же время нужно признать, что даже если слово «инстинктивный» используется исключительно в качестве прилагательного, оно несет две опасности. Первая связана с тем, что может возникать предположение, будто все виды инстинктивного поведения управляются системами только одного типа. Вторая опасность — создание ложной дихотомии между инстинктивным поведением и всеми другими видами поведения. На самом деле поведение, традиционно описываемое как инстинктивное, управляется множеством систем различных типов, и эти системы образуют непрерывные ряды — от самых стабильных до самых лабильных систем и от наиболее необходимых для выживания вида систем до вносящих в него минимальный вклад. Поэтому между тем, что мы называем инстинктивным поведением, и тем, что так называть нельзя, четкая граница может отсутствовать.

В некоторых психоаналитических теориях (Schur, 1960а, 1960b) прилагательные «инстинктивный» (instinctive) и «инстинктуальный» (instinctual) используются в разных значениях: термин «инстинктивный» сохраняется за поведением, которое в данной работе также называется инстинктивным, а термин «инстинктуальный» применяется по отношению к постулируемой автором «психической энергии влечения», которая, как он полагает, разряжается посредством инстинктивного поведения. Поскольку в теории, выдвигаемой в нашей работе, никакой психической энергии влечения не предполагается, прилагательное «инстинктуальный» не используется совсем¹. Прилагательное «инстинктивный» используется как в отношении такого рода поведения, так и в отношении поведенческих систем, управляющих этим поведением.

__________

¹В опубликованном ранее исследовании по проблеме страха и печали термин «системы инстинктуальных реакций» по существу использовался применительно к системам управления, отвечающим за инстинктивное поведение. По изложенным выше причинам в переработанных вариантах этого материала (он будет включен в том II и том III трилогии) терминология была изменена.

Также требует рассмотрения ряд других терминов, используемых при обсуждении инстинктивного поведения и психопатологии. К ним относятся такие термины, как «потребность», «желание», «цель», «намерение» и многие другие. Возникает вопрос: какое место занимает каждый из них в данной схеме и как они соотносятся с такими понятиями, как «прогнозируемый результат», «установочная цель» и «функциональный результат»?

Во избежание пристрастного отношения к какой-либо определенной теории инстинктивного поведения, а также для указания на явно целевой характер систем управления поведением иногда используют термин «потребность» или «система потребности». Однако это неправильно, во-первых, потому, что этим термином часто пользуются для обозначения того, что необходимо для выживания, например «витальная потребность». Во-вторых, он может увести в сферу телеологического рассуждения. Рассмотрим эти трудности более внимательно.

В этой главе подчеркивалось, что наличие у животного определенного вида какой-либо стабильной (в отношении условий внешней среды) системы управления поведением объясняется тем, что деятельность этой системы обычно приводит к результату, имеющему значение для выживания вида. Результатом активности системы, ответственной за пищевое поведение, как правило, является прием пищи. Системы управления, ответственные за поведение спаривания, обычно в качестве результата приводят к воспроизведению потомства. Поскольку деятельность этих систем столь очевидным образом служит удовлетворению биологических потребностей, почему бы не назвать их «системами потребностей» («need systems»)?

Однако имеется, по крайней мере, три веские причины не делать это. Во-первых, в каждом конкретном случае деятельность системы управления поведением, о которой идет речь, может иметь совершенно другие результаты. Например, система, прямо связанная с потреблением пищи, может в качестве результата приводить к сосанию большого пальца или трубки¹. В другом случае система, прямо направленная на спаривание, может в качестве основного результата приводить к сексуальной активности, направленной на фетиш или на представителя того же пола. В этих примерах деятельность системы не представляет никакой ценности с точки зрения выживания. Поэтому назвать такую систему системой потребности нельзя — это вызовет путаницу, которая лишь усилится, если (ради ее избежания) станут постулировать новые потребности, например потребность сосать палец. Во-вторых, как уже отмечалось, существует ряд видоспецифичных систем управления поведением, биологические функции которых еще неясны. Это обстоятельство маскируется, если каждую систему управления поведением называть системой потребности, поскольку термин «потребность» обычно подразумевает, что полезность системы самоочевидна. И в-третьих, термин «система потребности» может легко привести к предположению, что потребность способна выступать в качестве причины активации системы, — давнее заблуждение телеологии.

____________

¹Однако в некоторых случаях сосание может быть по своей сути не связано с питанием; см. гл. 13 и 14.

При правильном использовании термин «потребность» должен ограничиться обозначением того, что необходимо для выживания вида. Можно сказать, что для сохранения вида животному необходима пища, тепло, место для выращивания потомства, самец или самка и так далее. Очевидно, ни одна из этих потребностей не является системой управления поведением, и ни одна из них не вызывает активацию системы управления поведением. В то же время функция многих систем управления поведением состоит в удовлетворении той или иной из этих потребностей; именно ради реализации этих функций, необходимых для выживания вида, и происходила эволюция систем управления конкретными формами поведения. Потребности, следовательно, не являются причинами инстинктивного поведения. Их задача — определять те функции, которые должна выполнять система управления поведением. Таким образом, они как бы заключают в себе требования естественного отбора, в условиях которого происходит эволюция систем управления поведением.

Так же как потребности не являются причинами инстинктивного поведения, так же ими не являются желания (wishes) и хотения (desires). Термины «желание» и «хотение» относятся к осознанию человеком установочной цели какой-либо системы управления поведением или комплекса таких систем, которые уже находятся в состоянии активации либо, по крайней мере, готовы к действию. Высказывание «У меня есть желание поесть» или «Мне хочется есть» означает активацию комплекса систем управления поведением, установочной целью которых является прием пищи (возможно, только его начальная стадия), а также то, что человек ее осознает. Обычно подобные высказывания верны, но психоаналитики знают, что так бывает далеко не всегда. На самом деле субъект может неправильно идентифицировать установочную цель системы управления поведением, находящейся в активном состоянии. В свою очередь ошибочная идентификация сама может быть результатом вмешательства со стороны действующей системы, имеющей установочную цель, несовместимую с первой. Это приводит нас к понятию бессознательного желания.

Когда мы говорим, что желание неосознанно, это означает, что у человека, о котором идет речь, система управления поведением или комплекс систем, имеющих такую-то установочную цель, находятся в состоянии активации, но сам человек об этом не знает.

В то время как термин «желание» относится к установочной цели системы управления поведением, термин «намерение» обычно относится к какой-то стадии на пути к достижению установочной цели. Когда я говорю, что намеренсделать то-то и то-то, это обычно означает, что «то-то и то-то» является частью плана, направляющего в данный момент мое поведение (это положение разработано Миллером, Галантером и Прибрамом [Miller, Galanter, Pribram, I960]).

Существует целый ряд различных терминов для обозначения того, что в этой главе называется «прогнозируемым результатом» и его частным случаем — «установочной целью». Сюда входят понятия «цель как намерение» (purpose), «цель как стремление» (aim) и просто «цель» (goal). О недостатках термина «цель» мы уже говорили (см. гл. 5).

С употреблением терминов «цель-намерение» и «цель-стремление» имеются определенные трудности, так как каждый из них несет в себе оттенок телеологического представления о причинной обусловленности. Более серьезные трудности связаны с тем, что их привычное использование не позволяет провести различие между прогнозируемым результатом системы и ее функцией — возникает неустранимая путаница. По этой причине ни тот, ни другой термин в этой книге не используются. Интересно, что хотя английское слово «aim» обычно применяется в обоих этих значениях, Фрейд почувствовал при его использовании некоторые трудности, когда формулировал определение цели инстинкта. Например, в своей работе «Влечения и судьбы влечений» (Freud, 1915а) он признавал фундаментальное различие между завершающими стимулами, с одной стороны, и функцией, с другой стороны, и использовал термин «цель-стремление» только в том значении, которое в терминах; принятых в данной работе, передается как «достижение завершающих условий рассматриваемой системы управления поведением».

Для обозначения того, что в нашей работе называется прогнозируемым результатом или установочной целью, в литературе вводились специальные термины. Термин «основное условие» (focal condition) Зоммерхоффа — очень близкий моему термину «прогнозируемый результат», хотя он может не распространяться на прогнозируемый результат наиболее простых форм поведения, например перекатывание яйца. Немецкий термин «золльверт» (sollwert), введенный Миттельштадтом и используемый Хайндом, обозначает определенного вида установочные цели, т.е. состояние, которое» «должно быть», или состояние, которого должна достигнуть и/или поддерживать система. Один недостаток этого термина может быть в том, что он был введен применительно к установочным целям, для достижения которых требуется учет характеристик только одного вида, например, положение конечности или пение ноты, их; невозможно так легко применить к более сложным установочным целям, для достижения которых необходим учет двух и более характеристик. Другой возможный недостаток термина «золльверта» в том, что состояние, которое «должно быть», может ошибочно быть принято за норму, которая способствует выживанию. На самом деле, как уже неоднократно подчеркивалось, установочная цель (или золльверт системы управления поведением), у каждой отдельной особи может быть атипичной и даже неблагоприятной для выживания.

Иногда нами использовалось прилагательное «целевой» для описания системы, обладающей установочной целью. Однако здесь существует опасность истолкования его в духе телеологической причинной обусловленности (еще большая опасность возникает в отношении близкого ему по значению прилагательного «целенаправленный» (purposeful). Питтендрай (Pittendrigh, 1958) противопоставил этому термин «телеономический». Его можно использовать для обозначения любой живой или механической системы, которая, активизируясь в зоне адаптированности, достигает прогнозируемого результата. По этой причине все системы управления поведением, о которых мы ведем речь, можно назвать телеономическими.

Возвращаясь еще раз к понятию «установочная цель», нужно заметить, что установочная цель системы управления поведением (как и в случае любой другой системы управления) может быть двух основных типов. Первый — это поддержание постоянного значения некой характеристики. Например, некоторые простейшие организмы снабжены системами управления поведения, имеющими в качестве установочной цели задачу удерживать организм в среде, температура которой не выходит за узкие рамки допустимого диапазона. Задача таких систем управления поведением никогда не снимается с повестки дня: у нее нет высшей точки их деятельности и нет драмы. Это однообразная рутинная задача. Другим типом установочной цели является акт, ограниченный по времени осуществления и служащий финальным аккордом деятельности. Яркими примерами этого типа являются сексуальное совокупление и перехват добычи. Для некоторых систем управления поведением характерно расположение установочной цели между этими крайними точками.

В отношении человека явно прослеживалась тенденция придавать неоправданно большое значение системам управления поведением, у которых имеются конечные установочные цели (например, оргазм), и слишком мало уделять внимания системам, имеющим установочные цели постоянного характера (например, близость как нахождение рядом или в пределах досягаемости какого-то объекта во внешней среде). Поведение привязанности может рассматриваться как результат деятельности систем управления поведением, имеющих постоянную установочную цель, особенностью которой служат определенного рода отношения с другим индивидом.

studfiles.net

Как проверить функцию на четность и нечетность 🚩 как исследовать функцию на четность и нечетность 🚩 Математика

20 февраля 2012

Автор КакПросто!

Большую часть школьной программы математики занимает исследование функций, в частности, проверка на четность и нечетность. Этот метод является важной составляющей процесса изучения характера поведения функции и построения ее графика.

Статьи по теме:

Инструкция

Свойства четности и нечетности функции определяется исходя из влияния знака аргумента на ее значение. Это влияние отображается на графике функции в определенной симметрии. Иными словами, выполняется свойство четности, если f(-x) = f(x), т.е. знак аргумента не влияет на значение функции, и нечетности, если справедливо равенство f(-x) = -f(x).

Нечетная функция графически выглядит симметричной относительно точки пересечения координатных осей, четная – относительно оси ординат. Примером четной функции может служить парабола x², нечетной – f = x³.

Пример № 1Исследовать на четность функцию x²/(4·x² — 1).Решение:Подставьте в данную функцию –x вместо x. Вы увидите, что знак функции не изменится, поскольку аргумент в обоих случаях присутствует в четной степени, которая нейтрализует отрицательный знак. Следовательно, исследуемая функция является четной.

Чётные и нечётные функции – это числовые функции, области определения которых (и в первом, и во втором случае) симметричны относительно системы координат. Как же определить, какая из двух представленных числовых функций является чётной?

Вам понадобится

• лист бумаги, функция, ручка

Инструкция

Если точка (a; b) принадлежит графику чётной функции, то и симметричная ей относительно оси ординат точка
(-a; b) также принадлежит данному графику, из чего следует, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Помните, что не каждая функция обязательно является либо чётной, либо нечётной. Некоторые из функций могут быть суммой чётной и нечётной функций (примером может служить функция f (x) = 0).

При исследований функции на чётность, запомните и оперируйте следующими утверждениями: а) сумма чётных (нечётных) функций также является чётной (нечётной) функцией; б) произведение двух чётных или нечётных фунций является чётной функцией; в) произведение нечётной и чётной функций является нечётной функцией; г) если функция f чётна (либо нечётна), то и функция 1/f также является чётной (либо нечётной).

Функция называется чётной, если при изменении знака аргумента значение функции остаётся неизменным. f (x) = f (-x). Используйте этот простой способ для определения чётности функции: если значение останется неизменным при умножении на -1, то функция – чётная.

Видео по теме

Исследование функции на четность или нечетность — один из шагов общего алгоритма исследования функции, необходимого для построения графика функции и изучения её свойств. В этом шаге необходимо определить, является ли функция четной или нечетной. Если про функцию нельзя сказать, что она является четной или нечетной, то говорят, что это функция общего вида.

Инструкция

Переходите к следующему шагу исследования функции, используя стандартный алгоритм.

Исследование функции на четность и нечетность помогает строить график функции и изучать характер ее поведения. Для этого исследования необходимо сравнить данную функцию, записанную для аргумента «х» и для аргумента «-х».

Инструкция

Запишите функцию, исследование над которой необходимо провести, в виде y=y(x).

Упростите выражение.

Запишите сделанные вами выводы. Теперь вы можете их использовать в построении графика функции или же в дальнейшем аналитическом исследовании свойств функции.

Исследование функции на четность и нечетность коррелирует с нахождением множества значений функции. Для нахождения множества значений четной функции достаточно рассмотреть половину функции, правее либо левее нуля. Если при x>0 четная функция y(x) принимает значения от А до В, то те же значения она будет принимать и при x<0.
Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже достаточно рассмотреть только одну часть функции. Если при x>0 нечетная функция y(x) принимает диапазон значений от А до В, то при x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

www.kakprosto.ru

Как определить функцию по графику

completerepair.ru

Как определить периодичность функции 🚩 периодичность функций 🚩 Математика

26 сентября 2011

Автор КакПросто!

По школьным урокам математики каждый помнит график синуса, равномерными волнами уходящий вдаль. Аналогичным свойством — повторяться через определенный промежуток — обладают и многие другие функции. Они называются периодическими. Периодичность — очень важное свойство функции, часто встречающееся в различных задачах. Поэтому полезно уметь определять, является ли функция периодической.

Статьи по теме:

Инструкция

Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.

Обычно математика интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.

Классический пример периодических функций — тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период одинаков и равен 2π, то есть sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и так далее. Однако, разумеется, тригонометрические функции — не единственные периодические.

Относительно простых, базовых функций единственный способ установить их периодичность или непериодичность — вычисления. Но для сложных функций уже есть несколько простых правил.

Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C — нет.

Если F(x) — периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k — константы и k не равно нулю — тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Например sin(2x) — периодическая функция, и ее период равен π. Наглядно это можно представить так: умножая x на какое-нибудь число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз

Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или поздно (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.

Однако если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической вовсе. Например, пусть F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 здесь будет равен 2, а T2 равен 2π. Соотношение периодов равняется π — иррациональному числу. Следовательно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.

Периодической функцией называется функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период. Периодом функции называется число, при добавление которого к аргументу функции значение функции не меняется.

Вам понадобится

• Знания по элементарной математике и началам анализа.

Инструкция

Если K=0 — то функция f(x) не является периодической.

Если решение уравнения f(x+K)=f(x) не существует ни при каком K не равном нулю, то такая функция называется апериодической и у неё тоже нет периода.

Видео по теме

Обратите внимание

Все тригонометрические функции являются периодическими, а все полиномиальные со степенью больше 2 — апериодическими.

Полезный совет

Периодом функции, состоящей из двух периодический функций, является Наименьшее общее кратное периодов этих функций.

Если рассматривать точки на окружности, то точки x, x + 2π, x + 4π и т.д. совпадают друг с другом. Таким образом, тригонометрические функции на прямой периодически повторяют свое значение. Если известен период функции, можно построить функцию на этом периоде и повторить ее на других.

Инструкция

Пусть дана функция f(x) = sin^2(10x). Рассмотрите выражение sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Воспользуйтесь формулой для понижения степени: sin^2(x) = (1 — cos 2x)/2. Тогда получите 1 — cos 20x = 1 — cos 20(x+T) или cos 20x = cos (20x+20T). Зная, что период косинуса равен 2π, 20T = 2&#960. Значит, T = π/10. Т — наименьший положительный период, а функция будет повторяться и через 2Т, и через 3Т, и в другую сторону по оси: -T, -2T и т.д.

Полезный совет

Пользуйтесь формулами для понижения степени функции. Если вам уже известны периоды каких-либо функций, пробуйте свести имеющуюся функцию к известным.

Функция, значения которой повторяются через определенное число, называется периодической. То есть сколько бы периодов вы ни прибавили к значению х, функция будет равна одному и тому же числу. Любое исследование периодических функций начинается с поиска наименьшего периода, чтобы не выполнять лишнюю работу: достаточно изучить все свойства на отрезке, равном периоду.

Инструкция

В результате вы получите некое тождество, из него попробуйте подобрать минимальный период. Например, если получилось равенство sin(2T)=0,5, следовательно, 2Т=П/6, то есть Т=П/12.

Чтобы найти наименьший период функции при том, что угол х умножен на какое либо число, действуете так: определите стандартный период этой функции (например, для cos это 2П). Затем разделите его на множитель перед переменной. Это и будет искомый наименьший период. Уменьшение периода хорошо видно на графике: он сжимается ровно во столько раз, на сколько умножен угол под знаком тригонометрической функции.

Обратите внимание, если перед х стоит дробное число меньше 1, период увеличивается, то есть график, напротив, растягивается.

Если в вашем выражении две периодические функции умножены друг на друга, найдите наименьший период для каждой по отдельности. Затем определите наименьший общий множитель для них. Например, для периодов П и 2/3П наименьший общий множитель будет 3П (он делится без остатка как на П, так и на 2/3П).

www.kakprosto.ru

Модуль числа в Python 3 — Функция abs библиотеки math

Очень часто возникает необходимость вычисления модуля числа в Python. Рассмотрим, что такое модуль числа, какие есть способы его вычисления. Так же отдельно коснемся комплексных чисел.

Модуль числа

Часто в программировании требуется вычислить абсолютное значение числа. Иначе говоря, отбросить знак.

При вычислении модуля возможны 3 ситуации:

• Когда число больше 0. Если взять его по модулю — не изменится.
• Модуль нуля так же равен нулю.
• У отрицательного числа отбрасываем знак. То есть умножаем его на -1.

Но это все справедливо только для действительных чисел. Чему же тогда будет равен модуль комплексных?

Комплексное число состоит из действительной составляющей и мнимой. Геометрически это можно представить как 2 ортогональные оси: действительную и мнимую. Отмечаем на координатных осях требуемую точку. Модулем будет длина отрезка, проведенного из начала координат в эту точку.

Исходя из теоремы Пифагора получаем, что модуль комплексного числа это корень квадратный из суммы квадратов мнимой и действительной частей.

Вычисление

Вычислять модуль можно следующими способами:

• Используя стандартную функцию abs.
• С помощью функции fabs библиотеки math.
• При помощи самостоятельно написанной функции.

Все эти функции работают как в Python 2, так и в Python 3.

abs

Для вычисления в Python модуля числа используется функция abs. Результат функции того же типа, которого был аргумент.

a = -10
b = abs(a)
print(b)
print(type(b))

10
<class 'int'>

fabs

Можно так же воспользоваться функцией fabs из библиотеки math. Библиотеку можно подключить с помощью from math import fabs.

from math import fabs
a = -10
b = fabs(a)
print(b)
print(type(b))

10.0
<class 'float'>

Отличие abs от fabs заключается в том, что функция abs возвращает значение того же типа, что и аргумент. Функция же fabs вначале преобразует тип аргумента к вещественному числу.

Свое решение

Если по каким то причинам нет возможности или желания использовать стандартные функции, то можно написать свое решение.

Например, можно вычислить воспользоваться тернарным оператором.

a = -10
b = a if a > 0 else -a
print(b)

10

На основе такого условия сделаем свою функцию.

def my_abs(a):
    return a if a > 0 else -a
print(my_abs(-3))

3

Модуль комплексного числа

Мы разобрались как происходит вычисление с действительными числами. Теперь посмотрим, как в языке программирования Python можно получить модуль комплексного.

Функцией fabs мы не сможем воспользоваться. Если попытаемся это сделать, то получим ошибку приведения комплексного числа к действительному (TypeError).

from math import fabs
a = -10-2j
b = fabs(a)
print(b)

Traceback (most recent call last):
  File "main.py", line 3, in <module>
    b = fabs(a)
TypeError: can't convert complex to float

А вот с помощью abs преобразование удается.

a = -10-2j
b = abs(a)
print(b)

10.19803902718557

Или же напишем свою функцию:

from math import sqrt
def my_abs_complex(c):
    return sqrt(c.real**2 + c.imag**2)
a = -10-2j
b = my_abs_complex(a)
print(b)

10.198039027185569

Результаты получились одинаковыми. Но нам все равно пришлось подключить библиотеку math для вычисления квадратного корня.

all-python.ru

Модуль числа в Excel | TutorExcel.Ru

Выясним как посчитать модуль числа в Excel с помощью функции ABS, а также дополнительно рассмотрим несколько различных вариантов вычисления формулы модуля.

Модуль (или абсолютная величина) числа в математике — это неотрицательное число, значение которого зависит от типа числа.
Если число a неотрицательное, то модуль равняется самому числу (a при a ≥ 0), если отрицательное, то модуль равняется его положительному значению (-a при a < 0):

Для нахождения значения по модулю в Excel существует стандартная функция ABS.
В общем и целом поиск абсолютного значения является достаточно простой операцией для вычисления, поэтому данная функция является стандартной во многих языках программирования, к примеру, на языке VBA (Visual Basic for Applications) формула модуля также записывается как Abs.

Функция модуля в Excel

Синтаксис и описание функции ABS:

ABS(число)
Возвращает модуль (абсолютную величину) числа.

• Число (обязательный аргумент) — действительное число, модуль которого требуется посчитать.

В качестве аргумента функции задаем произвольное действительное число, в результате получаем его абсолютную величину:

Несмотря на то, что знак модуля в математике обозначается как вертикальная черта |, попытка поставить знак модуля в Excel для поиска значения по модулю приведет к ошибке, например, при вводе формулы =|-29| Excel выдаст ошибку.

Альтернативные способы расчета

Если вдруг формула ABS вылетела из головы, и Вы забыли как посчитать модуль в Excel с ее помощью, то рассмотрим несколько способов поиска абсолютной величины числа без использования данной формулы.

С помощью функции ЗНАК

Согласно определению, модуль — это неотрицательное значение исходного числа, поэтому умножая число на 1 или -1 в зависимости от знака числа (то есть положительное умножаем на 1, отрицательное умножаем на -1), мы в итоге получим абсолютную величину:

С помощью функции КОРЕНЬ

Чтобы найти модуль мы также можем воспользоваться свойством вычисления квадратного корня в Excel.
Напомним, что в Excel используется понятие арифметического корня для вычисления корней четных степеней.
Другими словами, корень четной степени в Excel всегда принимает неотрицательное значение, поэтому при извлечении квадратного корня от числа возведенного в квадрат, мы опять в результате получим абсолютную величину:

Удачи вам и до скорых встреч на страницах блога Tutorexcel.ru!

Поделиться с друзьями:

Поиск по сайту:

tutorexcel.ru

Функция модуль в Excel

Модуль – это абсолютная положительная величина любого числа. Даже у отрицательного числа модуль будет всегда положительным. Давайте выясним, как рассчитать величину модуля в приложении Microsoft Excel.

Функция ABS

Для расчета величины модуля в приложении Excel существует специальная функция под названием ABS. Синтаксис этой функции очень простой: «ABS(число)». Либо, формула может принимать такой вид «ABS(адрес_ячейки_с_числом)».

Для того, чтобы рассчитать, например, модуль от числа -8, нужно вбить в строку формул или в любую ячейку на листе, следующую формулу: «=ABS(-8)».

Чтобы произвести расчет, жмем на кнопку ENTER. Как видим, программа выдает в ответ положительное значение числа 8.

Существует ещё один способ расчета модуля. Он подойдет для тех пользователей, которые не привыкли держать в голове различные формулы. Кликаем по ячейке, в которой хотим, чтобы хранился результат. Жмем на кнопку «Вставить функцию», размещенную слева от строки формул.

Запускается окно Мастера функций. В списке, который расположен в нем, нужно найти функцию ABS, и выделить её. Затем нажимаем на кнопку «OK».

Открывается окно аргументов функции. Функция ABS имеет всего один аргумент — число. Вводим его. Если же вы хотите взять число из данных, которые хранятся в какой-либо ячейке документа, то нажмите на кнопку, размещенную справа от формы ввода.

После этого, окно сворачивается, а вам нужно кликнуть по ячейке, где содержится число, от которого хотите рассчитать модуль. После того, как число добавлено, опять жмите на кнопку справа от поля ввода.

Снова запускается окно с аргументами функции. Как видим, поле «Число» заполнено значением. Жмем на кнопку «OK».

Вслед за этим, в ранее указанной вами ячейке выводится значение модуля того числа, которое вы выбрали.

Если значение расположено в таблице, то формулу модуля можно скопировать и на другие ячейки. Для этого, нужно стать на нижний левый угол ячейки, в которой уже есть формула, зажать кнопку мыши, и провести ею вниз до конца таблицы. Таким образом, в данном столбце в ячейках появятся значение по модулю исходных данных.

Важно заметить, что некоторые пользователи пытаются записать модуль, как это принято в математике, то есть |(число)|, например |-48|. Но, в ответ они получают ошибку, так как Excel не понимает подобный синтаксис.

Как видим, в расчете модуля из числа в приложении Microsoft Excel нет ничего сложного, так как данное действие выполняется с помощью простой функции. Единственное условие состоит в том, что данную функцию нужно просто знать.

Помогла ли вам эта статья?

lumpics.ru

Модуль числа Вики

Абсолю́тная величина́, или мо́дуль числа x{\displaystyle x} (в математике) — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x{\displaystyle x}. Обозначается: |x|{\displaystyle |x|}.

В случае вещественного x{\displaystyle x} абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

 |x|={  x,x⩾0−x, x<0{\displaystyle \ |x|={\begin{cases}\ \ x,&x\geqslant 0\\-x,&\ x<0\end{cases}}}

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа z=x+iy,{\displaystyle z=x+iy,} также иногда называемый абсолютной величиной^[1]. Он определяется по формуле:

|z|=|x+iy|=x2+y2{\displaystyle |z|=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}

Основные свойства[ | код]

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина |x1−x2|{\displaystyle |x_{1}-x_{2}|} означает расстояние между точками x1{\displaystyle x_{1}} и x2{\displaystyle x_{2}} и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа[ | код]

• Область определения: (−∞;+∞){\displaystyle (-\infty ;+\infty )}.
• Область значений: [0;+∞){\displaystyle [0;+\infty )}.
• Функция чётная.
• Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке x=0{\displaystyle x=0} функция претерпевает излом.

Комплексные числа[ | код]

Алгебраические свойства[ | код]

Для любых вещественных чисел a,b{\displaystyle a,b} имеют место следующие соотношения:

•  |x|=x2=x⋅sgn⁡x=max{x,−x}{\displaystyle \ |x|={\sqrt {x^{2}}}=x\cdot \operatorname {sgn} x={\rm {max}}\,\{x,\,-x\}} (см. Функция sgn(x)).
• a⩽|a|{\displaystyle a\leqslant |a|}
• −|a|⩽a{\displaystyle -|a|\leqslant a}.
• Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: |a|2=a2{\displaystyle |a|^{2}=a^{2}}

Как для вещественных, так и для комплексных a,b{\displaystyle a,b} имеют место соотношения:

История[ | код]

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования[ | код]

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica Abs[x].

Обобщение[ | код]

Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведенным выше.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую ‖x‖{\displaystyle \|x\|}. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также[ | код]

Примечания[ | код]

ru.wikibedia.ru

Модуль действительного числа, функция модуля

Работа устно

Работа устно

Работа устно

• Решить уравнения:

Построение графика функции

у= |x+m|+t

Домашнее задание

№ 16.15

№ 16.16 (г)

№ 16.19

№ 16.36 (а)

Повторение теории

Определение : модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число.

| x | — расстояние от 0 до х

Геометрический смысл модуля

x

5

-5

0

|5| = 5 , т.к. расстояние от 0 до 5 равно 5

| — 5| = 5 , т.к. расстояние от 0 до -5 равно 5

Каждый график соотнесите с соответствующей ему формулой:

k

y = 2 x + 2

y = 2 x

y = x²

y =

x

Каждую прямую соотнесите с её уравнением:

Какой из графиков не является графиком функции?

Повторение

формула

график

название

Прямая, 2 точки

Линейная

Парабола, 5 точек, в середине вершина

Квадратичная

Ветка параболы относительно оси Ох, 4 точки

Квадратный корень

Кубическая парабола

Степенная

y = | х |

Модуль

«Галочка»

Функция

График функции у = |x|

y

4

3

2

1

x

5

6

4

7

3

2

-5

1

-1

-2

-3

-4

-6

-7

0

-1

-2

-3

-4

С помощью графика функции y = |x|

можно построить график функции

y = |x + m| методом движения вдоль оси Ох на m единиц:

влево , если m 0

вправо , если m

y

y = |x+ 3 |

y = |x-3|

4

3

2

1

-2

-3

7

0

6

5

4

-4

3

2

1

-7

-6

-1

-5

x

-1

-2

-3

-4

1

2

-4

Постройте график функции

-2

С помощью графика функции y = |x| можно построить график функции

y = |x|+t методом движения вдоль оси Оу на t единиц:

вверх , если t 0

вниз , если t

y

y = |x| + 1

y = |x| -1

1

-1

x

0

1

-1

График функции y = | x+ m| +t получаем методом движения графика y = |x| сначала вдоль оси O х, затем вдоль оси O у

y = |x+3|+2

y

y = |x-3|-2

3

2

1

x

4

1

-2

2

-3

3

-1

-4

5

-5

0

-1

-2

у

Построить график функции:

Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-4;-3)

х

0

— 4

— 3

Самостоятельная работа

В самостоятельной работе 6 заданий . Вам необходимо определить каким уравнением задаётся график функции.

Найти его среди предложенных ответов.

Записать себе в тетрадь номер задания и вариант ответа.

№ 1

y

1

x

0

-1

1

A y = |x|+1

B y = |x|-1

C y = |x+1|

D y = |x-1|

-1

№ 2

y

2

1

0

x

1

-1

A y = |x+2|

B y = |x|+2

C y = |x|-2

D y = |x-2|

№ 3

y

1

0

1

x

-1

-2

A y = |x- 2 |

B y = |x|- 2

C y = |x|+ 2

D y = |x+ 2 |

№ 4

y

1

0

1

x

-1

A y = |x|- 2

B y = |x- 2 |

C y = |x|+ 2

D y = |x+ 2 |

-2

y

№ 5

2

1

0

x

-1

1

A y = |x -1 |+ 2

B y = |x -1 | — 2

C y = |x +1 |+ 2

D y = |x+ 1 |-2

№ 6

y

3

2

1

0

1

2

x

-1

-1

A y = |x+1|+2

B y = |x-1|+2

C y = |x-1|-2

D y = |x-2|+1

-2

Проверьте свои ответы по ключу

• Задание 1 – D
• Задание 2 – B
• Задание 3 – D
• Задание 4 – A
• Задание 5 – A
• Задание 6 – С

Оценка самостоятельной работы

• Нет ошибок — 5 (пять) .
• Одна ошибка — 4 (четыре).
• Две ошибки — 3 (удовлетворительно)

videouroki.net

Модуль числа Википедия

Абсолю́тная величина́, или мо́дуль числа x{\displaystyle x} (в математике) — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x{\displaystyle x}. Обозначается: |x|{\displaystyle |x|}.

В случае вещественного x{\displaystyle x} абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

 |x|={  x,x⩾0−x, x<0{\displaystyle \ |x|={\begin{cases}\ \ x,&x\geqslant 0\\-x,&\ x<0\end{cases}}}

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа z=x+iy,{\displaystyle z=x+iy,} также иногда называемый абсолютной величиной^[1]. Он определяется по формуле:

|z|=|x+iy|=x2+y2{\displaystyle |z|=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина |x1−x2|{\displaystyle |x_{1}-x_{2}|} означает расстояние между точками x1{\displaystyle x_{1}} и x2{\displaystyle x_{2}} и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа

• Область определения: (−∞;+∞){\displaystyle (-\infty ;+\infty )}.
• Область значений: [0;+∞){\displaystyle [0;+\infty )}.
• Функция чётная.
• Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке x=0{\displaystyle x=0} функция претерпевает излом.

Комплексные числа

Алгебраические свойства

Для любых вещественных чисел a,b{\displaystyle a,b} имеют место следующие соотношения:

•  |x|=x2=x⋅sgn⁡x=max{x,−x}{\displaystyle \ |x|={\sqrt {x^{2}}}=x\cdot \operatorname {sgn} x={\rm {max}}\,\{x,\,-x\}} (см. Функция sgn(x)).
• a⩽|a|{\displaystyle a\leqslant |a|}
• −|a|⩽a{\displaystyle -|a|\leqslant a}.
• Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: |a|2=a2{\displaystyle |a|^{2}=a^{2}}

Как для вещественных, так и для комплексных a,b{\displaystyle a,b} имеют место соотношения:

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica Abs[x].

Обобщение

Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведенным выше.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую ‖x‖{\displaystyle \|x\|}. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также

Примечания

wikiredia.ru

Модуль в Excel. Модуль в Эксель. Функция ABS. Формула модуля в таблицах

Продолжаем серию статей о математических формулах в Excel. Сегодня разберем формулу записи «модуль в Excel». Модуль числа применяется для определения абсолютной величины числа, например длины отрезка. Ниже мы приводим несколько способов расчета модуля числа в Эксель, основная функция — ABS, а дополнительный расчет при помощи функций ЕСЛИ и КОРЕНЬ.

Как следует из определения, модуль числа — это неотрицательное число, значение самого числа. Т.е. если у нас есть отрицательное число -7, то по модулю оно будет равняться 7. Записывается модуль как две вертикальные линии:

|-7| = 7

Для чего применяется? Если у нас есть значение вектора равное -7, где минус обозначает его обратное направление, то чтобы найти длину самого вектора, нам необходимо высчитать модуль числа (т.к. длина не может быть отрицательной величиной).

Так же довольно часто, использование модуля можно встретить при расчете отрицательного значения времени, но про это у нас есть отдельная статья.

=ABS()

=ЕСЛИ(A1<0;A1*-1;A1)

=КОРЕНЬ(A1*A1)

A=Abs(-7)