Высшая математика для 1 и 2 курса
Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Конспект лекций
Минск 2010
Высшая математика : конспект лекций. – Минск : БГТУ, 2010. –
197с.
Вконспекте лекций приведена программа по высшей математике, изложены основные теоретические сведения по курсу высшей математики, решения типовых примеров с рекомендациями, задания для самостоятельного решения, также содержится рекомендуемая литература и приложение.
Предназначен для студентов первого и второго курсов.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
| |
Предисловие ………………………………………………………….. | 6 |
|
|
Программа курса «Высшая математика» ..………………………… | 7 |
| |
1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии …….. | 14 | ||
1.1. Элементы линейной алгебры .……………………………….. |
| 14 | |
1.2. Основные сведения из векторной алгебры ..……..…………. 17 |
| ||
1.3. Основные сведения из аналитической геометрии .…………. | 21 | ||
1.4. Полярная система координат…………………………………. |
| 28 | |
2. Введение в математический анализ …..………………………….. | 38 |
| |
2.1. Понятие предела функции и основные теоремы о пределах | 38 | ||
2.2. Непрерывность функции………………………………………. |
| 42 | |
3.Дифференциальное исчисление функции одной переменной …. 47
3.1.Производная. Правила вычисления производных. Таблица
производных …….…………………………………………………. | 47 |
3.2. Логарифмическое дифференцирование………………………..…… | 50 |
3.3. Производные функций, заданных неявно и параметрически | 51 |
3.4. Производные высших порядков………………………………………… | 52 |
4. Приложение производной к исследованию функций и |
|
построению графиков …………………………………………….. | 55 |
4.1. Возрастание и убывание функции …………………………… 55 |
|
4.2. Экстремумы функции ………………………………………… 56 |
|
4.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке | 58 |
4.4.Асимптоты графика функции ……………………………….. 58
4.5.Выпуклость и вогнутость графика функции ……………….. 60
4.6. Общая схема исследования функции и построения графика | 61 |
5. Неопределенный интеграл ……………………………………….. | 68 |
5.1. Первообразная и неопределенный интеграл ………………. | 68 |
5.2. Вычисление неопределенного интеграла методом | 70 |
замены переменной ……………………………………………….. | |
5.3. Вычисление неопределенного интеграла методом |
|
интегрирования по частям ……………………………………….. | 71 |
5.4. Интегрирование рациональных функций ………………….. | 72 |
5.5. Интегрирование простейших иррациональностей ………… | 75 |
5.6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций | 76 |
6. Определенный интеграл ………………………………………… | 78 |
6.1. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона- |
|
Лейбница …………………………..……………………………… | 78 |
3
6.2. Вычисление определенного интеграла методом интегри-
рования по частям и методом замены переменной ……………. | 79 | ||||
6.3. Применение определенного интеграла для вычисления | |||||
площадей плоских фигур …………………………………… |
|
|
|
| 80 |
6.4. Применение определенного | интеграла для | вычисления | |||
|
|
| 84 | ||
6.5. Применение определенного | интеграла | для | вычисления | ||
объемов тел вращения .…………………………………………… |
|
|
| 85 | |
6.6. Несобственные интегралы ………………………………… |
|
| 86 | ||
7. Обыкновенные дифференциальные уравнения ………………. | 88 | ||||
7.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-гопорядка. | |||||
Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися | |||||
переменными, однородных и линейных .……………………….. |
| 88 | |||
7.2. Решение дифференциальных уравнений 2-гопорядка, | до- | ||||
пускающих понижение порядка | …….………………………… |
|
| 91 | |
7.3. Решение линейных дифференциальных | уравнение 2-го | ||||
порядка с постоянными коэффициентами и специальной пра- | |||||
вой частью ……………………………………………………….. |
|
|
|
| 94 |
7.4. Решение систем дифференциальных уравнений ………… | 99 | ||||
8. Функции нескольких переменных | …………………………..…. | 101 |
|
| |
8.1. Частные производные функции двух переменных | 101 | ||||
8.2. Экстремум функции двух переменных……………………… |
| 102 | |||
9. Ряды …………………………………………………………….…. |
|
|
|
| 104 |
9.1. Числовые ряды ……………………….…………………..…. |
|
|
|
| 104 |
9.2. Степенные ряды ………………………………….………….. |
|
|
|
| 110 |
9.3. Ряды Тейлора и Маклорена ..………………………………. |
|
| 112 | ||
10. Кратные интегралы ……………………………………………… |
|
|
|
| 115 |
10.1. Двойные интегралы, их вычисление в декартовой и по- | |||||
лярной системах координатах …………………………………. |
|
| 115 | ||
10.2. Тройные интегралы, их вычисление в декартовых и ци- | |||||
линдрических системах координат …..………………………… |
|
| 119 | ||
10.3. Криволинейные интегралы …..…………………………… |
|
| 122 | ||
11. Теория поля ……………………………………………………… 125 |
|
|
|
|
|
11.1. Скалярное поле …..………………………………………… | 125 |
|
|
| |
11.2. Векторное поле …………………………………………… | 127 |
|
|
| |
12. Теория вероятностей …………………………………………… | 131 |
|
|
| |
131 | |||||
4
12.2. Классическое определение вероятности. Свойства веро- |
|
ятности ………………………………………………………….. | 133 |
12.3. Элементы комбинаторики ………………………………… | 133 |
12.4. Основные теоремы вероятностей случайных событий …. | 135 |
12.5. Схема испытаний Бернулли ……………………………… | 139 |
12.6. Случайные величины …..…………………………………. | 142 |
12.7. Числовые характеристики случайных величин .………… | 145 |
12.8. Некоторые законы распределения случайных величин … | 149 |
13. Математическая статистика …………………………………… 153 |
|
13.1. Статистический ряд и его описание ……………………… | 153 |
13.2. Статистическая оценка параметров распределения …….. | 154 |
13.3. Эмпирические зависимости. Метод наименьших квадра- | 160 |
тов ..……………………………………………………………….. | |
Задачи для контрольных работ ..….……………………………….. | 164 |
Приложение ………………………………………………………….. | 194 |
Литература ………………………………………………………….. | 197 |
5
ВВЕДЕНИЕ
Электронный конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» предназначен для оказания помощи студентам первого и второго курсов при выполнений домашних заданий и при подготовке к экзаменам
Издание полностью соответствует образовательному стандарту и программе вышеуказанной дисциплины, содержит программу, изложение теоретических вопросов программы, решение типовых задач с подробными пояснениями и рекомендациями, задачи для самостоятельного решения по 13-тиосновным разделам высшей математики, приложение и список рекомендуемой литературы. По каждой теме в теоретическом разделе приведены основные понятия и определения, теоремы и формулы, необходимые для выполнения контрольных работ. Затем приведены образцы решения задач, аналогичных задачам контрольных работ. Структураучебно-методическогопособия позволит студенту самостоятельно проработать материал и выполнить контрольные работы, не прибегая к посторонней помощи.
Содержание рукописи соответствует уровню современных образовательных технологий, служит рационализации учебного процесса, позволяет студентам самостоятельно усваивать учебный материал, способствует повышению качества подготовки специалистов в высших учебных заведениях.
Предлагаемый материал излагается в логической последовательности, что позволяет при изучении определенной темы использовать усвоенные знания по предыдущим разделам. Работа написана ясным математическим языком. Удачно сочетается строгость изложения и доступность материала. Многие примеры для наглядности усвоения иллюстрируются рисунками.
6
ВВЕДЕНИЕ
Учебно-методическоепособие по дисциплине «Высшая математика» предназначено для оказания помощи студентам заочной формы обученияхимико-технологическихспециальностей при выполнении контрольных работ и при подготовке к экзаменам, для которых на изучение курса высшей математики типовыми учебными планами предусмотрено524–570часов.
Издание полностью соответствует образовательному стандарту и программе вышеуказанной дисциплины, содержит программу, изложение теоретических вопросов программы, решение типовых задач с подробными пояснениями и рекомендациями, контрольные задания по 13-тиосновным разделам высшей математики, приложение и список рекомендуемой литературы. По каждой теме в теоретическом разделе приведены основные понятия и определения, теоремы и формулы, необходимые для выполнения контрольных работ. Затем приведены образцы решения задач, аналогичных задачам контрольных работ. Структураучебно-методическогопособия позволит студенту самостоятельно проработать материал и выполнить контрольные работы, не прибегая к посторонней помощи.
Содержание рукописи соответствует уровню современных образовательных технологий, служит рационализации учебного процесса, позволяет студентам самостоятельно усваивать учебный материал, способствует повышению качества подготовки специалистов в высших учебных заведениях.
Предлагаемый материал излагается в логической последовательности, что позволяет при изучении определенной темы использовать усвоенные знания по предыдущим разделам. Работа написана ясным математическим языком. Удачно сочетается строгость изложения и доступность материала. Многие примеры для наглядности усвоения иллюстрируются рисунками.
В процессе подготовки к выполнению контрольной работы рекомендуется изучить теоретические сведения, разобраться с решениями предложенных типовых задач, решить несколько аналогичных задач, ответы на которые известны, и только после этого переходить к выполнению контрольной работы.
7
ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1.Матрицы. Действия над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица.
2.Определители второго и третьего порядков, их свойства и вычисление. Определители n-гопорядка.
3.Обратная матрица. Ранг матрицы.
4.Системы линейных уравнений. Матричная форма записи. Совместность и несовместность систем. Теорема Кронекера– Капелли. Решение систем методами Крамера, Гаусса и обратной матрицы.
5.Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.
6.Проекция вектора на ось. Прямоугольная система координат в пространстве. Ортонормированная тройка векторов. Координаты вектора. Направляющие косинусы и длина вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме.
7.Линейно независимые системы векторов. Базис. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису.
8.Скалярное произведение векторов и его свойства.
9.Векторное произведение двух векторов и его свойства. Вычисление площади треугольника, построенного на двух векторах.
10.Смешанное произведение векторов и его свойства. Вычисление объема пирамиды, построенной на трех векторах.
11.Взаимное расположение векторов: перпендикулярность, параллельность, компланарность, угол между векторами.
12.Декартовая и полярная системы координат на плоскости. Уравнение линий на плоскости.
13.Различные формы уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости.
14.Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, па-
рабола.
15.Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение плоскостей, прямых, прямой и плоскости.
Тема 2. Введение в математический анализ
1. Множества и функции. Области определения и изменения функции. Способы задания. Классификация функций. Основные эле-
8
ментарные и элементарные функции. Сложная функция. Функции, заданные параметрически и неявно.
2.Окрестность конечной и бесконечно удаленной точки. Конечный и бесконечный пределы функции. Односторонние пределы.
3.Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
4.Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей.
5.Определение касательной к графику функции. Число e. Натуральные логарифмы. Первый и второй замечательные пределы.
6.Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые. Использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.
7.Непрерывность функции в точке и на отрезке. Критерий непрерывности функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференцируемость и непрерывность.
2.Основные правила дифференцирования. Производная сложной
иобратной функций.
3.Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
4.Дифференциал функции и его геометрический смысл. Основные свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
5.Производные и дифференциалы высших порядков.
6.Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Коши, Лагранжа). Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
Тема 4. Исследование функций с помощью производных
1.Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания дифференцируемой функции.
2.Понятие о локальном экстремуме функции. Необходимые условия экстремума дифференцируемой и непрерывной функций.
3.Достаточные условия экстремума по первой и второй производной. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функций на замкнутом промежутке.
9
4.Асимптоты графика функции. Вертикальные и наклонные асимптоты и их нахождение.
5.Выпуклые и вогнутые функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости функций. Точки перегиба.
6.Общая схема исследования функции и построение ее графика.
Тема 5. Неопределенный интеграл
1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов.
2.Методы нахождения неопределенных интегралов: интегрирование по частям и заменой переменной.
3.Интегрирование рациональных функций.
4.Интегрирование простейших иррациональных функций и тригонометрических выражений.
Тема 6. Определенный интеграл, несобственные интегралы
1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (о площади криволинейной трапеции, о нахождении пути, пройденного материальной точкой). Определенный интеграл и его основные свойства.
2.Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница.
3.Замена переменной в определенном интеграле.
4.Интегрирование по частям в определенном интеграле.
5.Приложение определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. Физические приложения определенного интеграла.
6.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.
Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.Дифференциальные уравнения. Основные понятия и определения.
2.Дифференциальные уравнения первого порядка (решение, общее решение, начальные условия, частное решение). Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
10
studfiles.net
Высшая математика 1 курс 1 семестр
4
дисциплина «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
1 курс, I семестр
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
Тема 1. Матрицы
Понятие матрицы. Операции над матрицами. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Понятие определителя n-го порядка. Ранг матрицы. Обратная матрица. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Понятие о квадратичных формах и их преобразовании к каноническому виду.
Тема 2. Системы линейных уравнений и неравенств
Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Системы линейных неравенств. Графический метод решения системы линейных неравенств с двумя переменными. Смешанные системы линейных уравнений и неравенств. Применение элементов линейной алгебры в экономике.
Тема 3. Векторная алгебра
Понятие вектора на плоскости и в трехмерном пространстве. Основные операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Векторы в n-мерном пространстве. Линейная зависимость векторов. Базис системы векторов. Разложение вектора по базису. Размерность и базис пространства. Понятие о векторных пространствах. Евклидово пространство.
Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости
Предмет аналитической геометрии. Метод координат. Декартова и полярная системы координат. Основные виды уравнения прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола. Параметрическое и полярное представления линий.
Тема 5. Элементы аналитической геометрии в пространстве
Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве. Основные виды уравнений плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Понятие о поверхностях второго порядка и их классификации.
Тема 6. Комплексные числа.
Комплексная плоскость. Формы представления комплексных чисел. Действия над комплексными числами. Формулы Эйлера.
Тема 7. Числовая последовательность и ее предел
Действительные числа. Числовые множества. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности. Экономическая интерпретация числа e.
Тема 8. Предел функции одной переменной
Функции и отображения, их области определения и значений, способы задания и
график функции. Основные элементарные функции. Сложная функция. Предел
функции в точке. Основные теоремы о пределах функций. Замечательные преде-
лы. Односторонние пределы. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности.
Тема 9. Непрерывные функции одной переменной
Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва. Непрерывность сложной функции и обратной функции. Непрерывность элементарных функций. Непрерывность функции на множестве. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства.
Тема 10. Производная и дифференциал функции одной переменной
Производная функции. Геометрический, механический и экономический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций. Логарифмическая производная. Дифференцируемость функции одной переменной. Дифференциал, его геометрический и экономический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Примеры применения производной в экономике. Производные высших порядков. Неявные функции.
Тема 11. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Стационарные точки. Теоремы Ферма и Ролля. Теорема Лагранжа и формула конечных приращений. Теорема Коши. Правило Лопиталя.
Тема 12. Приложения дифференциального исчисления
Условие постоянства функций. Условия монотонности функций. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Наибольшее и наименьшее значение функции. Достаточные условия экстремума. Условия выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. Асимптоты. Построение графиков функций. Предельные показатели в экономике. Эластичность экономических показателей. Максимизация прибыли.
Л И Т Е Р А Т У Р А
Учебники
1. Высшая математика: Общий курс: учеб. для вузов / А.В. Кузнецов [и др.]; под ред. А.И. Яблонского. − Мн.: Выш. шк., 1993. − 349 с.
2. Карасев, А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. Основы высшей математики: учеб. пособие для студ. экон. спец. вузов /
А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева. − М.: Высш. шк., 1982. − 272 с.
3. Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для естеств. спец. ун-тов / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. − М.: Наука, 1989. −
656 с.
4. Марков, Л.Н. Высшая математика. Ч. 1. Элементы линейной и векторной алгебры. Основы аналитической геометрии: учеб. пособие для вузов / Л.Н. Марков, Г.П. Размыслович. − Мн.: Амалфея, 1999. − 208 с.
5. Минюк, С.А. Высшая математика: учеб. пособие для вузов / С.А. Минюк, Е.А. Ровба. − Гродно: ГрГУ, 2000. − 394 с.
6. Шипачев, В.С. Высшая математика: учеб. для немат. спец. вузов /
В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. − М.: Высш. шк., 1990. − 479 с.
7. Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов / Н.Ш. Кремер [и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ, 2002. − 471 с.
8. Гусак, А.А. Высшая математика. В 2 т. Т. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: ТетраСистемс, 1998. − 544 с.
9. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. − М.: Оникс, 2002. − 304 с.
10. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников. − М.: ООО «Изд. дом «Оникс 21 век», 2003. − 416 с.
11. Красс, М.С. Математика для экономических специальностей: учеб. для вузов / М.С. Красс. − М.: Дело, 2002. − 704с.
12. Шипачев, В. С. Высшая математика: учеб. для вузов / В.С. Шипачев. − М.: Высш. шк., 1998. − 479 с.
13. Общий курс высшей математик для экономистов: учебник / под ред.
В.И. Ермакова. − М.: ИНФРА-М, 2001.
14. Натансон, И.П. Краткий курс высшей математики / И.П. Натансон. − СПб, Издательство «Лань», 2001.
15. Малыхин, В. И. Математика в экономике / В.И. Малыхин. − М.: ИНФРА-М, 2002. − 352 с.
16. Красс, М.С. Математика для экономистов / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. − М.: ООО «Питер пресс», 2008. − 464 с.
17. Высшая математика / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1993.
18. Математический словарь высшей школы / В.Т. Воднев [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1984.
19. Кастрица, О.А. Высшая математика: учебное пособие / О.А. Кастрица. − Мн.: Новое знание, 2005.
20. Плющ, О.Б. Высшая математика. Часть 1. Элементарная математика, аналитическая геометрия, высшая алгебра / О.Б. Плющ. − Мн.: Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2004. − 168 с.
Задачники
21. Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: Выш. шк., 1988. − 246 с.
22. Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 кн. Кн. 2: учеб. пособие для вузов / А А. Гусак. − Мн.: Выш. шк., 1988. − 228с.
23. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов / В.П. Минорский. − М.: Наука, 1987. − 349 с.
24. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: учеб. пособие / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Выш. шк., 1994. − 284 с.
25. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.П. Рябушко [и др.]; под ред. А.П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 1990. − 269 с.
26. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3 ч. Ч. 2: учеб. пособие для вузов / А.П. Рябушко [и др.]; под ред. А.П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 1991. − 351 с.
27. Гусак, А.А. Справочник по высшей математике: учеб. для вузов /
А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричкова. − Мн.: ТетраСистемс, 2000. − 640 с.
28. Практикум по высшей математике для экономистов: учеб. пособие для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. − 423 с.
Наглядные и методические пособия
29. Черняк, А.А. Сборник задач по высшей математике с демонстрационными примерами: Учебно-методическое пособие. / А.А. Черняк, Ю.А. Доманова. − Мн.: МИТСО, 2002. − 98 с.
30. Буснюк, Н.Н. Основы высшей математики и информатики: метод. Пособие для студ. юрид. спец. / Н.Н. Буснюк, Н.О. Берестнева. − Мн.: МИТСО, 2007. − 72 с.
31. Методика решения задач по высшей математике: метод. пособие /
Н.А. Докукова, Е.Н. Кафтайкина. − Мн.: МИТСО, 2008. − 63 c.
studfiles.net
Курс лекций по высшей математике. 1 часть
Следствие 2. Если элементыкакого-либоряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.
Пусть, например, элементы первой и второй строк определителя пропорциональны. Тогда имеем
a11 | a12 | a13 |
| a11 | a12 | a13 |
|
K a11 | K a12 | K a13 | K | a11 | a12 | a13 | 0 . |
a31 | a32 | a33 |
| a31 | a32 | a33 |
|
4.Если элементы какого-либоряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.
Допустим, что элементы первой строки определителя являются суммами двух слагаемых. Тогда имеем:
a11 | b11a12 | b12a13 | b13 |
|
|
|
|
|
|
|
| ||
a21 | a22 | a23 |
|
|
|
|
|
|
|
| |||
a31 | a32 | a33 |
|
|
|
|
|
|
|
| |||
(a11 | b11) | A11 | (a12 | b12) A12 |
| (a13 | b13) | A13 | |||||
(a11 | A11 | a12 | A12 | a13A13) | (b11A11 | b12 | A12b13A13) | ||||||
|
|
| a11 | a12 | a13 |
|
| b11 | b12 | b13 |
| ||
|
|
| a21 | a22 | a23 |
|
| a21 | a22 | a23 | , | ||
|
|
| a31 | a32 | a33 |
|
| a31 | a32 | a33 |
| ||
так как в первых скобках записано разложение по первой строке определителя с элементами a11 ,a12 ,a13 , а во вторых – разложение опреде-
лителя с элементами b11 ,b12 ,b13 .
5.Величина определителя не изменится, если к элементам какоголибо ряда определителя прибавить или отнять элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число, то есть составить линейную комбинацию строк или столбцов.
Для доказательства этого рассмотрим определитель
a11a12a13 a21a22a23.
a31a32a33
Составим определитель, полученный из данного прибавлением к элементам его первой строки элементов второй строки, умноженных на число K.
studfiles.net
Шпоры по математике. 1 курс (1, 2 семестр) [DOC]
61 вопрос. Векторы. Действия над векторами. Декартова прямоугольная система координат. Базис. Действия над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение 2-х векторов. Смешанное произведение векторов и его свойства. Уравнение линии и поверхности. Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение плоскостей….
- 349,24 КБ
- дата добавления неизвестна
- изменен
Для студентов БГУИР (Минск, Беларусь) Содержание: Многочлены. Рациональные дроби. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл Функции нескольких переменных. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля
- 534,36 КБ
- дата добавления неизвестна
- изменен
Вопросы для самопроверки по дисциплине Математический анализ и линейная алгебра. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца….
- 1,25 МБ
- дата добавления неизвестна
- изменен
Линейные пространства, элементы теории множеств, матрица, система линейных алгебраических уравнений, метод Гаусса, векторы, уравнения прямой, уравнения плоскости, канонические поверхности 2-го порядка, числовая последовательность, функции, замечательные пределы, производные функций, производные и дифференциалы выс. порядков, теорема Ролля, криволинейный интеграл.
- 1,77 МБ
- дата добавления неизвестна
- изменен
В этой шпаргалке собраны все темы высшей математике, которую проходят в первом семестре технического института. Всего она охватывает 42 темы, и они довольно хорошо описываются. Объем 2 листа А4, 4 шрифтом, можно уменьшить еще больше.
- 79,14 КБ
- дата добавления неизвестна
- изменен
www.twirpx.com
Онлайн-уроки по высшей математике 1 курс
Точки перегиба функции и интервалы выпуклости (вогнутости) графиков следующих функций. Асимптоты. Исследуйте функции и их графики.
Приближенное значение функции. Интервал возрастания и убывания функции. Нахождение пределов по правилу Лопиталя. Экстремум функции.
Подготовка к итоговой кр. Теория множеств, Бином Ньютона, Область определения функции и т.д.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной (решение задач индивидуальной практической работы).
Дифференцирование функций (неявные функции, функции, заданные параметрически).
Дифференцирование функций.
Метод интегрирования по частям. Учить теорию.
На пробном занятии хочет проконсультироваться по поводу учебника по которому занимается. Также показать примеры, с которыми возникают сложности.
Тейлор. Лопиталь.
Пробный урок, тема векторы.
Первый замечательный предел.
Числовая последовательность. Теория пределов.
Исследовать ряд на сходимость
Непрерывность функции, устойчивое продолжение функции, пределы и предельное значение
Сходимость рядов
Нахождение производной сложные примеры.
Нормальный вектор, линейная зависимость/независимость векторов, поворот вектора, отображения.
Область определения функций. Исследование на четность и нечетность функций с синусами, косинусами, тангенсами. Наименьший и наибольший периоды функций с синусами, косинусами, тангенсами.
Пределы, бином ньютона
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.непрерывность функций
Бином Ньютона, пределы, предел по Коши.
Решение пределов методом с эквивалентными величинами.
Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям. Внесение под знак дифференциала.
Высшая математика. Программа 1 курса, 2 полугодия. Мне нужно изучить все темы для успешной пересдачи экзамена.
Метод Гаусса, проверьте задачу по ОБЖ, пожалуйста.
www.tutoronline.ru
Полный курс лекций по математике
МАТЕМАТИКА
Тема 1. Роль математики в современном мире. Основные этапы становления математики.
Тема 2. Аксиоматический метод построения научной теории. «Начала» Евклида – образец научного метода. История создания неевклидовой геометрии.
Тема 3. История развития науки о числе . Комплексные числа и действия с ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Тема 4. Аналитическая геометрия. Координатный метод. Прямая линия на плоскости.
Тема 5. Кривые второго порядка.
Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы вычисления определителей. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.
Тема 7. Матрицы. Алгебра матриц .
Тема 8. Понятие множества. Пересечение множеств, объединение множеств, множества на числовой прямой.
Тема 9. Математический анализ. Функция. Классификация функций.
Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах функций. Замечательные пределы. Понятие о непрерывности функции.
Тема 11. Производная и дифференциал.
Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
Тема 13. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона – Лейбница.
Тема 14. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от разрывных функций .
Тесты.
Литература
Базовая учебная литература к курсу :
1.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. — М.: Наука, 1975г.
2.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике – М.:Наука, 1975г
Тема 1. Роль математики в современном мире. Основные этапы становления математики.
Целью изучения математики является – повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.
Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики: зарождение математики, элементарная математика, математика переменных величин, современная математика.
Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. Был накоплен к этому времени достаточно большой фактический материал. Понимание математики, как самостоятельной науки возникло впервые в Древней Греции.
В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика – наука о числе.
В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии – геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге «Начала» (300 лет до н. э.).
В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создание дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин . Великим открытиям XVII века является введенная Ньютоном и Лейбницем понятие «бесконечно малой величины», создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа).
На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.
К этому времени относятся и появление гениальной идеи Р. Декарта – метода координат. Создается аналитическая геометрия, которая позволяет изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны метод координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.
Дальнейшее развитие математики привело в начале ХIX века к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения.
Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы. Возникают новые теории. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности математики. Замечательным примером такой теории является «воображаемая геометрия» Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики . Развитие самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.
В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические следствия аксиом.
Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства – строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция .
В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.
В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция.
Индукция – метод исследования, в котором общий вывод строится не основе частных посылок.
Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера.
Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.
Тема 2. Аксиоматический метод построения научной теории. «Начала» Евклида – образец аксиоматического построения научной теории. История создания неевклидовой геометрии.
Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколений ученых.
Основные черты дедуктивного метода.
Замечательной чертой дедуктивной системы изложения является простота этого построения, позволяющая описать его в немногих словах.
Дедуктивная система изложения сводится:
1) к перечислению основных понятий,
2) к изложению определений,
3) к изложению аксиом,
4) к изложению теорем,
5) к доказательству этих теорем.
Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательств.
Теорема – утверждение, вытекающее из аксиом.
Доказательство – составная часть дедуктивной системы, это есть рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теорем или аксиом.
Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса: 1) О смысле основных понятий, 2) об истинности аксиом. Но это не значит, что эти вопросы вообще неразрешимы.
История естествознания свидетельствует, что возможность аксиоматического построения той или иной науки появляется лишь на довольно высоком уровне развития этой науки, на базе большого фактического материала, позволяет отчетливо выявить те основные связи и соотношения, которые существуют между объектами, изучаемыми данной наукой.
Образцом аксиоматического построения математической науки является элементарная геометрия. Система аксиом геометрии были изложены Евклидом (около 300 г. до н. э.) в непревзойденном по своей значимости труде – «Начала». Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день.
Основные понятия : точка, прямая, плоскость – основные образы; лежать между, принадлежать, движение – основные отношения.
Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп. В пятой группе одна аксиома – аксиома о параллельных (V постулат Евклида). Через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность доказательства. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более 2-х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века, т.е. до того момента, когда Николай Иванович Лобачевский доказал в своих трудах полную безнадежность этих попыток. В настоящее время недоказуемость пятого постулата является строго доказанным математическим фактом.
mirznanii.com
ТОМ 1. Курс высшей математики в примерах и задачах | Высшая математика
ТОМ 1. Курс высшей математики в примерах и задачах
Глава 1ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
1.1. Определители. Способы вычисления.
1.2 Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
1.3. Основные определения теории матриц. Сложение и умножение матриц.
1.4. Транспонирование матрицы.
1.5. Обратная матрица.
1.6. Матричный метод решения системы линейных уравнений.
1.7. Решение системы линейных уравнений методом исключения (метод Гаусса).
1.8. Ранг матрицы.
1.9. Решение системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Глава 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1. Векторные и сг.алярные величины. Линейные операции над векторами.
2.2. Разложение вектора по координатным осям.
2.3. Скалярное произведение.
2.4. Векторное произведение.
2.5. Смешанное произведение векторов.
Глава 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
3.1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Длина и направление отрезка.
3.2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника. Центр тяжести.
3.3. Уравнения прямой линии. Геометрическое истолкование неравенства и системы неравенств первой степени.
3.4. Задачи на прямую линию.
3.5. Уравнение линии как геометрического места точек.
3.6. Кривые второго порядка.
3.7. Преобразование декартовых координат.
3.8. Полярная система координат. Уравнения кривых.
3.9. Параметрические уравнения плоских кривых.
Глава 4
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
4.1. Системы координат.
4.2. Плоскость.
4.3. Прямая линия.
4.4. Прямая и плоскость.
4.5. Поверхности второго порядка.
4.6. Геометрический смысл уравнений. с тремя неизвестными в пространстве.
4.7. Параметрические уравнения пространственных кривых.
Глава 5
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
5.1. Линейные преобразования.
5.2. Разложение векторов по базису. Арифметические векторы.
5.3. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
5.4. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду.
Глава 6
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
6.1. Множества и операции над ними.
6.2. Логическая символика.
6.3. Понятие о функции.
6.4. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей.
6.5. Непрерывность и точки разрыва функции.
Глава 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
7.1. Вычисление производных.
7.2. Производные функций, не являющихся явно заданными.
7.3. Производные высших порядков.
7.4. Дифференциал функции.
7.5. Приложения производной к задачам геометрии и физики.
7.6. Теоремы о среднем.
7.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
7.8. Возрастание и убывание функций.
7.9. Максимум и минимум функции.
7.10. Наибольшее и наименьшее значение функции.
7.11. Решение задач на максимум и минимум.
7.12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба.
7.13. Асимптоты кривой.
7.14. Исследование функции и построение графиков.
7.15. Формула Тейлора и Маклорена.
Глава 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
8.1. Понятие о функции нескольких переменных. Область определения.
8.2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.
8.3. Частные производные первого порядка.
8.4. Дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям.
8.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
8.6. Дифференцирование сложных функций.
8.7. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.
8.8. Замена переменных в дифференциальных выражениях.
8.9. Экстремум функции.
8.10. Наибольшие и наименьшие значения функций.
8.11. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Глава 9
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ
9.1. Касательная и нормаль к плоской кривой.
9.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
9.3. Кривизна плоской кривой.
9.4. Особые точки плоских кривых.
9.5. Касание кривых между собой.
9.6. Производная вектор-функции.
9.7. Естественный трёхгранник пространственной кривой. Касательная и нормальная плоскость к пространственной кривой.
9.8. Кривизна и кручение пространственной кривой.
Глава 10
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
10.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов и простейшие примеры.
10.2. Непосредственное интегрирование.
10.3. Интегрирование методом замены переменной.
10.4. Интегрирование по частям.
10.5. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен.
10.6. Интегрирование рациональных дробей.
10.7. Интегралы от иррациональных функций.
10.8. Интегрирование тригонометрических функций.
10.9. Интегрирование гиперболических функций.
Глава 11
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
11.1. Определение определенного интеграла. Свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
11.2. Замена переменной в определенном интеграле.
11.3. Интерирование по частям.
11.4. Теоремы об оценке определенного интеграла.
11.5. Определенный интеграл как функция верхнего предела.
11.6. Несобственные интегралы.
10.7. Задачи, приводящие к понятию неопределенного интеграла.
Глава 12
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К ЗАДАЧАМ ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
12.1. Общая схема применения определенного интеграла к вычислению различных величин.
12.2. Площадь плоской фигуры.
12.3. Объем тела.
12.4. Длина дуги кривой.
12.5. Площадь поверхности вращения.
12.6. Вычисление статических моментов и моментов инерции.
12.7. Координаты центра тяжести.
12.8. Приложение определенного интеграла к задачам механики и физики.
Порядок вывода комментариев: По умолчаниюСначала новыеСначала старые
testent.ru