Доказательства модуля свойств – Модуль числа — Youclever.org

Дать определение модуля комплексного числа. Доказать свойства модуля.

Определение.Комплексным числомz=x+iy называется упорядоченная пара действительных чисел : .

Действительные числа х и у называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются:

Определение.Вещественное неотрицательное число:

называют модулем комплексного числа .

Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.)

Пусть , где и , где – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

.

Теорема. (Свойства модуля комплексного числа.)

Пусть – произвольные комплексные числа и соответствующие точки на комплексной плоскости. Тогда:

1) и . Т.е. модульпроизведения комплексных чисел равен произведению их модулей и модули противоположных чисел равны;

2) расстояниемеждуточками и комплексной плоскости равно модулю разности соответствующих комплексных чисел: ;

3) ;

4) ;

Доказательство. 1) По предыдущей теореме имеем:

, где и ,

т.е. .

Таким образом, равенства и есть тригонометрическаяформа записи числа , следовательно, по теореме о равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме записи, имеем , ч.т.д.

Далее, т.к. , то по только что доказанному свойству , ч.т.д.

Заметим, что последнее равенство можно получить и из других соображений.

Противоположные числа на комплекснойплоскости изображаютсяточками симметричными относительно начала координат. Действительно, пусть . Тогда и точки , имеют противоположные декартовые координаты. Значит, в силу симметрии, расстояния от этих точек до начала координат равны, т.е. , ч.т.д. Заметим, также, что такой же результат можно получить с

помощью формулы (12) вычисления модуля комплексного числа.

2). Пусть , . Тогда и по формуле (12) имеем:

. (14)

С другой стороны, рассмотрим числа и как точки на комплексной плоскости. Тогда точка имеет декартовыекоординаты , а и искомое расстояниемежду ними вычисляется по формуле (14), ч.т.д.

3) Рассмотрим на комплекснойплоскости точки , и начало координат О. В общем случае эти три точки являются вершинами треугольника :

рис.6.

Воспользуемся известным свойством треугольника: длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух его других сторон.

Мы только что доказали, что длина стороны этого треугольника равна , а длины сторон и равны по определению модулям чисел и : , . Отсюда и получаем, что .

Заменим в последнем неравенстве число на противоположное число , тогда получаем:

, ч.т.д.



Заметим, что равенство в этих неравенствах достигается тогда и только тогда, когда треугольник вырождается в отрезок прямой, т.е. когда все три точки О, и лежат на одной прямой.

4) , откуда следует

. Поменяв местами и , получаем

, откуда и следует доказываемое неравенство.

Теорема доказана.

cyberpedia.su

доказательство свойств модуля. : Чулан (М)

здравствуйте, многоуважаемые участники форума!
вот собрала свое доказательство воедино…
если тут что-то не так скажите, пожалуйста, об этом!
Свойство 1.

Доказательство.
Известно что

И

Сложив эти неравенства получим:

Рассмотрим два случая:
1.
Тогда

И

Так как модули равных величин равны.
Из

Подставив
вместо

(из выше преведенного равенства) получим:

2.
Тогда

И из неравенства

Следует

Объединяя оба случая, получим что

при любом числе
заранее спасибо!
с уважением,
sandrachka.

dxdy.ru

доказательство основных свойств модуля. : Школьная алгебра

здравствуйте, многоуважаемые!
надеюсь, что на этот раз мои формулы будут читаемы.
и вы сможете дать мне свой дельный совет.
нужно доказать что
1)
Известно что


Сложив эти неравенства получим:

Проблема состоит в том, что я не могу понять как из последнего неравенства получить

2)
Известно что

Отсюда:

Отсюда:

Также известно что

А значит:

Отсюда:

И теперь нужно как-то соединить неравенства

И

И получить что

Но я не пойму как это сделать.
Надеюсь на отзывы.
С уважением,
Sandrachka.

dxdy.ru

Раздел 8. Теория сравнений Определения и простейшие свойства.

Определение 1. Пусть a, bZ, mN. Говорят, что число а сравнимо с b по модулю m, если а и b при делении на m дают одинаковые остатки. Запись этого факта выглядит так: ab(mod m).

Определение 2. Два целых числа a и b называются сравнимыми по модулю

m, если их разность делится нацело на m. (ab) ⋮ m

Определение 3. Два целых числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если a = b + mt, где t Z.

Очевидно, что бинарное отношение сравнимости m (неважно, по какому модулю) есть отношение эквивалентности на множестве целых чисел.

Ясно, что число а сравнимо с b по модулю m тогда и только тогда, когда аb делится на m нацело. Очевидно, это, в свою очередь, бывает тогда и только тогда, когда найдется такое целое число t , что a = b + mt.

Понять процесс собирания целых чисел в классы сравнимых между собой по модулю m (классы эквивалентности m) поможет следующая картинка:

На рисунке 6 изображен процесс наматывания цепочки целых чисел на колечко с

m делениями, при этом на одно деление автоматически попадают сравнимые между собой числа. Кстати, эта картинка неплохо объясняет и термин «кольцо».

Перечислим, далее, свойства сравнений, похожие на свойства отношения равенства.

Свойство 1. Сравнения по одинаковому модулю можно почленно складывать.

Доказательство. Пусть a1= b1(mod m), a2= b2(mod m). Это означает, что a1 = b1 +mt1, a 2 = b 2 +mt 2. После сложения последних двух равенств получим a1 + a2 =b1 +b2 +m(t1 +t2), что означает a1 + a2 = b1 + b2(mod m).

Свойство 2. Слагаемое, стоящее в какой-либо части сравнения, можно переносить в другую часть, изменив его знак на обратный.

Доказательство.

Свойство 3. К любой части сравнения можно прибавить любое число, кратное модулю.

Доказательство.

Свойство 4. Сравнения по одинаковому модулю можно почленно перемножать и, следовательно,

Свойство 5. Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же степень.

Доказательство.

Как следствие из вышеперечисленных свойств, получаем

Свойство 6. Если a0b0 (mod m), a1b1 (mod m) ,…, anbn (mod m) , xy (mod m), то a0xn + a1xn-1 +…+ a

nb0yn + b1yn-1 +…+ bn (mod m).

Свойство 7. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, взаимно простой с модулем.

Доказательство. Пусть a b(mod m), a = a1 d, b = b1 d. Тогда (a1 – b1)d делится на m.

Поскольку d и m взаимно просты, то на m делится именно (a1 – b1), что означает a1 b1(mod m).

Свойство 8. Обе части сравнения и его модуль можно умножить на одно и то же целое число или разделить на их общий делитель.

Доказательство. a b(mod m) a = b + mt ak = bk + mkt ak bk(mod mk).

Свойство 9. Если сравнение a b имеет место по нескольким разным модулям, то оно имеет место и по модулю, равному наименьшему общему кратному этих модулей.

Доказательство. Если a b(mod m1) и a b(mod m2), то a-b делится на m1 и на m2, значит a-b делится на наименьшее общее кратное m1 и m2.

Свойство 10. Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по модулю

d, равному любому делителю числа m.

Доказательство очевидно следует из транзитивности отношения делимости: если a b(mod m), то a-b делится на m, значит a-b делится на d, где d|m.

Свойство 11. Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое число, то и другая часть сравнения должна делиться на то же число.

Доказательство. a b(mod m) a=b+mt.

Пример. Доказать, что при любом натуральном n число 37п+2 +16п+1 + 23п делится на 7.

Решение. Очевидно, что 37 ≡ 2(mod 7), 16 ≡ 2(mod 7), 23 ≡ 2(mod 7)

Возведем первое сравнение в степень n+2, второе – в степень n+1, третье – в степень n и сложим:

т.е. 37п+2 + 16п+1 + 23п делится на 7. Как видите, ровным счетом ничего сложного в решении подобных школьных задач «повышенной трудности» нет.

С удовольствием заканчиваю настоящий пункт, чтобы устремиться к следующему, то есть устремиться из прошлого в будущее.

studfiles.net

доказательство основных свойств модуля. : Школьная алгебра

здравствуйте, многоуважаемые!
надеюсь, что на этот раз мои формулы будут читаемы.
и вы сможете дать мне свой дельный совет.
нужно доказать что
1)
Известно что


Сложив эти неравенства получим:

Проблема состоит в том, что я не могу понять как из последнего неравенства получить

2)
Известно что

Отсюда:

Отсюда:

Также известно что

А значит:

Отсюда:

И теперь нужно как-то соединить неравенства

И

И получить что

Но я не пойму как это сделать.
Надеюсь на отзывы.
С уважением,
Sandrachka.

dxdy.ru

Уравнения с модулями начинают изучать с 6-го 7-го класса, где проходят азы операций с модулями

Введение

Уравнения с модулями начинают изучать с 6-го – 7-го класса, где проходят азы операций с модулями. Однако свойств абсолютной величины не знает даже старшеклассник. Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах. Мой диплом будет посвящен изучению свойств модуля, алгебраическому и графическому решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Я считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, заданий ЕГЭ и экзаменов при поступлении в вузы.

В своей работе я собираюсь проанализировать некоторые учебники и задачники по математике и выяснить, в каких из них присутствуют задания на свойства абсолютной величины и на графическое решение уравнений и неравенств со знаком модуля.

Основная цель работы — получение расширенной информации о модуле числа, его применении и о различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Также будет создано небольшое пособие, которое будет включать в себя определение модуля, его свойства, упражнения с решениями и задания для практики. Все это поможет учащимся в решении подобных уравнений и неравенств.

Данный диплом основан на следующих работах: учебно-методические материалы П.Ф. Севрюкова и А.Н. Смолякова «Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения», задачник Е.Г. Андреева «Сборник задач по математике».

Моя работа разделена на две главы. В первой главе представлены определение модуля, его свойства с доказательствами, а также примеры уравнений и неравенств, где применяются эти свойства. Вторая глава посвящена графическому решению уравнений и неравенств с модулями, а также краткий список учебников, задачников и пособий, в которых можно найти задания на свойства модуля и графическое решение уравнений с модулями.

Глава 1

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия (в физике) — отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:

Модуль — абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.

Доказательство теорем

Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа a,

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа  равна большему из двух чисел a или -a.

Доказательство:

1. Если число a положительно, то -a отрицательно, т. е. -a < 0 < a. Отсюда следует, что -a < a.

Например, число 5 положительно, тогда -5 — отрицательно и -5 < 0 < 5, отсюда -5 < 5.

В этом случае |a| = a, т. е. |a| совпадает с большим из двух чисел a и — a.

2. Если a отрицательно, тогда -a положительно и a < — a, т. е. большим числом является -a. По определению, в этом случае, |a| = -a — снова, равно большему из двух чисел -a и a.

Следствие 1. Из теоремы следует, что |-a| = |a|.

В самом деле, как , так и  равны большему из чисел -a и a, а значит равны между собой.

Следствие 2. Для любого действительного числа a справедливы неравенства

Умножая второе равенство  на -1 (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства:  справедливые для любого действительного числа a. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем:

Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из  

В самом деле, если  то, по определению модуля числа, будем иметь  С другой стороны, при   значит |a| =

Если a < 0, тогда |a| = -a и  и в этом случае |a| =

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если  то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 (см. рис.)

Свойства модуля

1.|ab|=|a|*|b|

При a0, b0 ab0 по определению модуля =ab . =a, =b =ab.

При а<0, b<0 ab>0 по определению модуля =ab. =-a, =-b =-a*(-b)=ab.

При a>0, b<0 ab<0 по определению модуля =-ab.=a, =-b =a*(-b)=-ab.

Аналогично при a<0, b>0 =-ab, =-ab.

2.=

Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому знак числа роли играть не будет.

При a<0 =-a =

При a0 =a =

3. =, b0

Если а и b положительны, то и дробь в левой части будет положительна, а в правой части и числитель и знаменатель будут положительны. Модуль из положительного числа ­­­­– само число, значит =, но чтобы дробь имела смысл, b должна быть не равна нулю.

Если a и b отрицательны, то дробь в левой части все равно будет положительна, так как минус на минус дает плюс, а в правой части при вынесении переменных из-под модуля и числитель и знаменатель будут положительны, значит и сама дробь будет положительна.

Если а и b разных знаков, например, a>0, b<0, то в левой части дробь будет отрицательна, но при вынесении из-под модуля станет положительна, а в правой части при вынесении переменных из-под модуля и числитель и знаменатель будут положительны, значит и сама дробь будет положительна.

4.

При a0, b0 . , .

При a<0, b<0 . ,

При a<0, b>0 –a>0 . , .

Аналогично при a>0, b<0 –b>0, , .

5.

При a0, b0 . , .

При a<0, b<0 . , .

При a<0, b>0 –a>0 .

.

.

refdb.ru

«Модуль действительного числа и его свойства» (8 класс)

Урок на тему: Модуль действительного числа и его свойства

Цели: сформулировать определение и свойства модуля, научиться применять их на практике.

Форма проведения: лекция, новая тема

План урока:

  1. Организационные моменты

  2. Изучение нового материала

  3. Разбор примеров

  4. Итоги урока

  5. Домашнее задание

  6. Заключительное слово

Ход урока

1. Организационные моменты

Учитель: Здравствуйте, сегодня на урок нужно было принести новые тетради. Открываем их и пишем число, классная работа и первую тему: Модуль действительного числа и его свойства. Это тема для вас не совсем новая. С понятием модуля мы уже встречались раньше. Сегодня наша цель – это изучить это понятие более подробно, записать точное определение и словами и формулой, разобрать свойства модуля и некоторые из них доказать.

2. Изучение нового материала

Учитель: Пишем определение понятия «Модуль». Модулем или абсолютной величиной действительного числа называется само число , если оно неотрицательно, или противоположное ему число –, если оно отрицательно.

А ниже напишем:

Пишем небольшой заголовок в центре: Свойства модуля. Смотрим на экран и записываем.

1. Для любого Доказательство: Если Если же То есть в любом случае

2. Модули противоположных чисел равны: .

3. Модуль положительного числа равен самому числу:

4. Каково бы ни было a,

5. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: Доказательство: Если Если То есть

6. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа: .

7. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: . Доказательство:

1) Пусть

2) Пусть

Для 3) и 4) случая докажите самостоятельно. (Ребята доказывают самостоятельно).

8. Модуль частного двух (и более) чисел равен частному их модулей:

9. Модуль суммы не превышает суммы модулей:

3. Разбор примеров

Учитель: Давайте сейчас приведем примеры в тетрадях, которые будут подтверждать верность свойств. (Работа в тетрадях самостоятельно). Если есть вопросы, то задавайте.

Примеры:

, т.к. 3,4>0;

, т.к. –7<0;

, т.к. <0;

, т.к. <0.

4. Итоги урока

Учитель: Сегодня мы изучили понятие «Модуль» и разобрали его свойства. Свойства нужно знать наизусть, чтобы пользоваться имя для решения уравнений, которые мы будем изучать на следующем уроке.

5. Домашнее задание

Учитель: Домашним заданием будет – выучить определение «Модуль», знать свойства и постараться доказать еще хотя бы одно свойство самостоятельно.

6. Заключительное слово

Учитель: Темы, связанные с модулем, не сложные, если учить свойства вовремя, а не тянуть до того, когда их нужно будет уже применять при решении уравнений.

infourok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.