Рубрика: Школьная жизнь

Эконометрика — Лучшее видео смотреть онлайн

Опубликовано: меньше минуты назад

11 674 просмотра

Опубликовано: 50 лет назад

92 174 просмотра

Опубликовано: меньше минуты назад

360 938 просмотров

Опубликовано: 3 часа назад

2 102 просмотра

Опубликовано: 3 часа назад

275 779 просмотров

Опубликовано: меньше минуты назад

5 427 просмотров

Опубликовано: 3 часа назад

5 888 просмотров

Опубликовано: 3 часа назад

1 562 просмотра

Опубликовано: 50 лет назад

5 964 просмотра

Опубликовано: 50 лет назад

6 316 просмотров

Опубликовано: меньше минуты назад

2 857 просмотров

Опубликовано: 50 лет назад

13 963 просмотра

Опубликовано: 3 часа назад

860 просмотров

luchshee-video.ru

Лекции эконометрика (сокращенные) | Файловый клуб FilesClub.net

Как решать задание 13 | LAMPA

О чем задача?

Задачи на решение тригонометрических уравнений, более сложных, чем в задании 5. В большинстве задач требуется не только решить уравнение, но и отобрать корни, принадлежащие определенному отрезку.

а) Решите уравнение sinx(2sinx−3ctgx)=3\sin x(2\sin x-3\text{ctg} x)=3sinx(2sinx−3ctgx)=3.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π2;π2][-\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2}][−23π​;2π​].

Как решать?

Шаг 1. Найдите область определения

В первую очередь найдите .

Функция sinx\sin xsinx определена на всей числовой оси, а функция ctgx\text{ctg} xctgx определена, когда sinx≠0\sin x \neq 0sinx≠0 (поскольку ctgx=cosxsinx\text{ctg} x= \frac{\cos x}{\sin x} ctgx=sinxcosx​), то есть x≠πkx\neq \pi kx≠πk, где kkk — любое целое число. Мы нашли область определения уравнения: x≠πkx\neq \pi kx≠πk, где kkk — любое целое число.

Шаг 2. Приведите уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений

Для того чтобы привести уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений, применяйте следующие стандартные приемы:

• Приведение уравнения к виду квадратного уравнения путем замены переменной;
• Разложение на множители, то есть приведение уравнения к виду (asinx−b)(ccosx−d)=0(a\sin x-b)(c\cos x-d)=0(asinx−b)(ccosx−d)=0 (в таком уравнении может быть сколько угодно множителей, а вместо sinx\sin xsinx и cosx\cos xcosx могут быть и другие тригонометрические функции).

Раскроем скобки: sinx(2sinx−3ctgx)=3⇔sinx(2sinx−3cosxsinx)=3⇔ \sin x(2\sin x-3\text{ctg} x)=3 \,\,\Leftrightarrow \,\,\sin x(2\sin x-3\frac{\cos x}{\sin x})=3 \,\, \Leftrightarrow \,\,sinx(2sinx−3ctgx)=3⇔sinx(2sinx−3sinxcosx​)=3⇔⇔ 2sin2x−3cosx=3.\Leftrightarrow \,\ 2\sin^2 x-3 \cos x=3{.} ⇔ 2sin2x−3cosx=3. Выразим sin2x\sin^2 xsin2x из основного тригонометрического тождества: sin2x=1−cos2x\sin^2 x=1-\cos^2 xsin2x=1−cos2x. Тогда 2−2cos2x−3cosx=3⇔2cos2x+3cosx+1=0.2-2\cos^2 x-3\cos x=3 \,\,\Leftrightarrow \,\,2\cos^2 x+3\cos x+1=0{.}2−2cos2x−3cosx=3⇔2cos2x+3cosx+1=0.
Сделаем замену переменной. Пусть cosx=t\cos x=tcosx=t. Наше уравнение свелось к квадратному уравнению 2t2+3t+1=0.2t^2+3t+1=0{.}2t2+3t+1=0.
Воспользовавшись формулой , получаем два корня: t1=−1t_1=-1t1​=−1 и t2=−12t_2=-\frac{1}{2}t2​=−21​.

Мы свели исходное уравнение к совокупности простейших тригонометрических уравнений [cosx=−1,cosx=−12.\left[\begin{array}{l} \cos x = -1 {,}\\\cos x = -\frac{1}{2} {.}\end{array}\right.[cosx=−1,cosx=−21​.​

Шаг 3. Решите простейшие тригонометрические уравнения

О решении простейших тригонометрических уравнений читайте в отдельной статье.

Убедитесь, что найденные вами корни принадлежат области определения уравнения.

Решим совокупность простейших тригонометрических уравнений, полученную на предыдущем шаге. Заметим, что корни уравнения cosx=−1\cos x =-1cosx=−1 не принадлежат области определения исходного уравнения, потому что при cosx=−1\cos x =-1cosx=−1 имеем sinx=0\sin x=0sinx=0 (а при sinx=0\sin x =0sinx=0 функция ctgx\text{ctg} xctgx в исходном уравнении не определена).

Остается решить уравнение cosx=−12\cos x =-\frac{1}{2}cosx=−21​.

Вспомним, что cosπ3=12\cos \frac{\pi }{3} =\frac{1}{2}cos3π​=21​.

Тогда по cos(π−π3)=cos2π3=−12\cos (\pi -\frac{\pi }{3})=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}cos(π−3π​)=cos32π​=−21​, следовательно arccos(−12)=2π3\text{arccos} (-\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}arccos(−21​)=32π​.

Получим решение уравнения: x=±2π3+2πk,x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k{,}x=±32π​+2πk, где kkk — целое число.

Шаг 4. Выберите корни, принадлежащие отрезку, данному в условии

Корни, принадлежащие данному в условии отрезку, можно найти либо методом перебора, либо путем решения неравенства относительно kkk.

Найдем подходящие корни методом перебора. Для этого рассмотрим две серии корней по отдельности.

Начнем с серии x=2π3+2πkx=\frac{2\pi }{3}+2\pi kx=32π​+2πk. При k=0k=0k=0 корень x=2π3x=\frac{2\pi }{3}x=32π​ не попадает в заданный отрезок, потому что 2π3>π2\frac{2\pi }{3} \gt \frac{\pi }{2}32π​>2π​. При k=−1k=-1k=−1 корень x=2π3−2π=−4π3x=\frac{2\pi }{3}- 2\pi =-\frac{4\pi }{3}x=32π​−2π=−34π​ попадает в заданный отрезок, потому что −3π2<−4π3 -\frac{3\pi }{2} \lt -\frac{4\pi }{3} −23π​<−34π​. Это единственный корень в этой серии, принадлежащий нужному отрезку.

Теперь рассмотрим серию x=−2π3+2πkx=-\frac{2\pi }{3} + 2\pi kx=−32π​+2πk. При k=0k=0k=0 корень x=−2π3x=-\frac{2\pi }{3}x=−32π​ попадает в заданный отрезок. Других корней, принадлежащих нашему отрезку, в этой серии корней нет (это следует из того, что длина отрезка составляет 2π 2\pi2π, а период серии решений также равен 2π 2 \pi2π; значит, если один из корней серии находится внутри отрезка, все остальные корни из этой серии уже не попадают в отрезок).

Итак, отрезку [−3π2;π2][-\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2}][−23π​;2π​] принадлежат корни x=−4π3x=- \frac{4\pi }{3}x=−34π​ и x=−2π3x=- \frac{2\pi }{3}x=−32π​.

lampa.io

Тригонометрические уравнения с засадой. Задание С1

В этой статье мы разберем две задачи из Задания С1   для  подготовки к ЕГЭ  по математике.

Я хочу рассказать вам о двух своих ошибках, которые я сделала при решении несложных тригонометрических уравнений. Ошибки весьма поучительны.

Первое задание:

а)  Решите уравнение:

б) Найдите все корни на промежутке  []

При решении уравнения я попыталась представить тангенс суммы двух углов по формуле

То есть у меня получилось:

И — внимание! — я потеряла корень. Смотрите внимательно: после этого преобразования я получила отдельно стоящий . Но  не определен при . А в исходном уравнении  вполне мог быть равен .

То есть выполняя это невинное преобразование, я сузила ОДЗ. Но узнала я об этом, только когда посмотрела  ответ. Но на ЕГЭ ответов нет, поэтому выполняя преобразование нужно следить за тем, что происходит с областью допустимых значений.

Итак, мы идем другим путем.

Запишем    и через  и :

Используем формулы синуса и косинуса суммы:

Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части уравнения на :

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Перенесем все влево:

Вынесем за скобку общий множитель:

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

Знаменатель дроби не равен нулю, то есть

и 

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю:

или 

1. 

— вот он, потерянный корень!

2. 

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

Итак, мы получили два решения:

б) Найдем корни, принадлежащие промежутку []:

На рисунке красными точками обозначены решения уравнения;

синей дугой обозначен промежуток, которому принадлежат корни;

угловая величина сиреневой дуги равна .

Двигаясь из точки , мы встречаем на пути , ,  — это и есть корни уравнения, принадлежащие промежутку []. Мы видим, что корень  не принадлежит заданному промежутку.

Ответ: а) ;

б) , , 

И второе задание:

а) Решите уравнение:

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку

[]

Засада в этом уравнении такая: когда мы ищем ОДЗ, то записываем

и . Будет ошибкой записать ОДЗ: ,

Нельзя забывать, что  не определен при , то есть в конечном итоге мы получаем такую  ОДЗ: :

Собственно, больше никаких сложностей в этом уравнении нет.

Умножим обе части на :

Отсюда

или 

И вот в этом месте важно не пропустить, что корень уравнения — посторонний корень, так как не входит в ОДЗ исходного уравнения!

Но у нас еще есть корни уравнения :

или 

Осталось выбрать корни, принадлежащие промежутку []

На рисунке красными точками на зеленой окружности обозначены решения уравнения;

красной дугой обозначен промежуток, которому принадлежат корни;

угловая величина сиреневой дуги равна .

Двигаясь из точки , мы встречаем на пути  — это и есть корень уравнения, принадлежащий промежутку .

Ответ: а)  или 

б) 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Нахождение корней уравнения, принадлежащих промежутку — «Шпаргалка ЕГЭ»

а) Решите уравнение: .

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  .

Решение задачи

В данном уроке демонстрируется пример решения тригонометрического уравнения, которым можно с успехом воспользоваться при подготовке к ЕГЭ по математике. В частности, при решении задач вида С1 данное решение станет актуальным.

В ходе решения выполняется преобразование тригонометрической функции левой части уравнения с применением формулы двойного аргумента синус. Функция косинус в правой части также записывается как функция синус с упрощенным до аргументом. При этом знак перед полученной тригонометрической функцией меняется на противоположный. Далее все члены уравнения переносятся в его левую часть, где производится вынесение за скобки общего множителя . В результате, полученное уравнение представляется в виде произведения двух множителей. Каждый множитель поочередно приравнивается к нулю, что и позволяет определить корни уравнения. Затем определяются корни уравнения, принадлежащие заданному промежутку. Применяя метод витков, на построенной единичной окружности отмечается виток от левой границы заданного отрезка до правой. Найденные корни на единичной окружности соединяются отрезками с ее центром, а потом определяются точки, в которых эти отрезки пересекают виток. Данные точки пересечения и являются ответом на часть «б» задачи.

shpargalkaege.ru

Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Практика приемных экзаменов в вузы показывает, что при решении тригонометрических уравнений абитуриенты нередко затрудняются как в выборе способа решения уравнения, так и при отборе его корней.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Надо ли исключать повторяющиеся корни решения или этого можно не делать?

С понятием пересечения множеств связан и еще один важный вопрос: в ответе не должно быть значений переменной, при которых выражения в левой или правой частях уравнения не определены. Такие значения надо исключить. Для этого надо уметь находить пересечение различных серий.

В предлагаемой работе на конкретных примерах рассматриваются различные способы и приемы при выборе ответа. Надеемся, что данная работа поможет учителям старших классов и самим учащимся при подготовке к вступительным экзаменам в вузы.

 1. Отбор чисел на тригонометрическом круге

Иррациональные числа — ALL

Иррациональными называются числа, которые представимы в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Введём обозначения:

N — множество натуральных чисел;

Z — множество целых чисел;

Q — множество рациональных чисел;

I — множество иррациональных чисел;

R — множество действительных (вещественных) чисел;

a₀ — целая часть числа;

a_j — цифра дробной части (мантиссы) числа, j>0;

a₀,a₁…a_n… — бесконечная непериодическая десятичная дробь.

,

где

Введём обозначения:

r, r₁, r₂ — рациональные числа;

Q₁ — подмножество рациональных чисел — нижний класс сечения;

Q₂ — подмножество рациональных чисел — верхний класс сечения;

supQ₁ — верхняя граница множества Q₁;

infQ₂ — нижняя граница множества Q₂;

Q₁|Q₂ — сечение множества рациональных чисел Q.

g=supQ₁=infQ₂ — действительное число — граница сечения;

Разбиением будем считать разделение множества всех рациональных чисел на два непустых подмножества. ,

Сечением будем считать разбиение, имеющее следующие свойства: ,

Иррациональные числа можно определить как подмножество не рациональных границ множества всех сечений множества рациональных чисел.

• Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1, М.: Физматлит, 207, стр.20.
• Участник:Logic-samara

allll.net

Объясните на пальцах, какие числа называются иррациональными?

Иррациональные числа в отличие от рациональных (см. “Рациональные числа”) не могут быть представлены в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n, где m и n – целые числа. Это числа нового типа, которые могут быть вычислены с любой точностью, но не могут быть заменены рациональным числом. Они могут появиться как результат геометрических измерений, например: — отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны равно, V2 — отношение длины окружности к длине её диаметра равно иррациональному числу =3,14…. <a rel=»nofollow» href=»http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg18.html» target=»_blank»>http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg18.html</a> читай — там хорошо написано. или слазь в ВИКИПЕДИЮ

Те в которых есть корни. Например корень из 5 или корень из 10 Ну нам так наш препод по математике объяснял.

ЧИСЛО, ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ, число, которое не может быть выражено в виде дроби. Следовательно, иррациональные числа — это числа с бесконечным числом (непериодических) знаков после запятой

ИРРАЦИОН? АЛЬНОЕ ЧИСЛ? О — действительное число, не являющееся рациональным, то есть которое не может быть точно выражено дробью m/n, где m и n — целые числа. Действительные иррациональные числа могут быть представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями. Иррациональные числа подразделяются на нерациональные алгебраические числа и трансцендентные числа

touch.otvet.mail.ru

Иррациональное число — Википедия. Что такое Иррациональное число

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} — целое число, n{\displaystyle n} — натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Таким образом множество иррациональных чисел есть разность R∖Q{\displaystyle \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}.^[1]

Свойства

• Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
• Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.^{[источник не указан 155 дней]}

Алгебраические и трансцендентные числа

Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Множество алгебраических чисел является счётным множеством. Так как множество вещественных чисел несчётно, то множество иррациональных чисел несчётно.

Множество иррациональных чисел является множеством второй категории.^[2]

Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.

Иррациональные числа и непрерывные дроби

Иррациональное число представляются бесконечной непрерывной дробью. Пример, число e:

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,…,1,2n,1,…].{\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].}

Квадратичным иррациональностям соответствуют периодические непрерывные дроби.

ϕ=1+52=[1;1,1,1,1,…].{\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=[1;1,1,1,1,\dots ].}

Примеры

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален, то есть представляется в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} — целое число, а n{\displaystyle n} — натуральное число.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

2=mn⇒2=m2n2⇒m2=2n2{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}}.

В каноническое разложение левой части равенства число 2{\displaystyle 2} входит в чётной степени, а в разложение 2n2{\displaystyle 2n^{2}} — в нечётной. Поэтому равенство m2=2n2{\displaystyle m^{2}=2n^{2}} невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: log2⁡3{\displaystyle \log _{2}3} рационален, то есть представляется в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} — целые числа. Поскольку log2⁡3>0{\displaystyle \log _{2}3>0}, m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} могут быть выбраны положительными. Тогда

log2⁡3=mn⇒m=nlog2⁡3⇒2m=2nlog2⁡3⇒2m=3n{\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}\Rightarrow m=n\log _{2}3\Rightarrow 2^{m}=2^{n\log _{2}3}\Rightarrow 2^{m}=3^{n}}

Но 2m{\displaystyle 2^{m}} чётно, а правая часть получившегося равенства нечётна. Получаем противоречие.

e

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

История

Античность

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (приблизительно 750—690 года до нашей эры) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены^{[источник не указан 1083 дня]}.

Первое доказательство существования иррациональных чисел, а точнее существование несоизмеримых отрезков, обычно приписывается пифагорейцу Гиппасу из Метапонта (приблизительно 470 год до нашей эры). Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок^{[источник не указан 1083 дня]}.

Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его, изучая длины сторон пентаграммы.^[3] Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение так как это и есть отношение диагонали к стороне в правильном пятиугольнике.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал^[4] иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному^[5] предположению Жана Итара^[fr], оно было основано на теореме о том, что нечётное квадратное число делится на восемь с остатком один^[6].

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. Десятая книга «Начал» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге «Йуктибхаза».

Новое время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с работами Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемыми) дедекиндовыми сечениями множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей. В 1761 году Ламберт с помощю цепных дробей показал, что π{\displaystyle \pi } не является рациональным числом, а также что ex{\displaystyle e^{x}} и tg⁡x{\displaystyle \operatorname {tg} x} иррациональны при любом ненулевом рациональном x{\displaystyle x}. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя — Клиффорда, показал, что π2{\displaystyle \pi ^{2}} иррационально, откуда иррациональность π{\displaystyle \pi } следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное).

Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π{\displaystyle \pi }. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

См. также

Примечания

Литература

wiki.sc

Что такое иррациональное число

Иррациональное число является действительным числом, которое невозможно представить как рациональную дробь .
Иррациональное число можно представить как бесконечную непериодическую дробь. Существует множество иррациональных чисел, которое обозначается буквой I.
К примеру, к иррациональным числам относятся следующие виды чисел:

Над иррациональными числами можно выполнить 4 основные арифметические операции. При выполнении этих операций можно получить не обязательно иррациональное число. Результат может быть, например, рациональным.

К примеру, при умножении двух иррациональных чисел можно получить рациональное число.
Рассмотрим подобный случай на примере.

Пример.
Найти результат умножения двух иррациональных чисел и .

Решение.
Умножим числа:

Ответ. .

Таким образом, произведение двух иррациональных чисел является числом 6, которое относится к целым, или даже натуральным числам.
Это то, что можно коротко рассказать об иррациональных числах.

ru.solverbook.com

Подскажите, пожалуйста, что такое рациональные и иррациональные дроби ?

не дроби, а числа.

Q — рациональные числа. Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m — целое, а n — натуральное число. Z ( Q. Пример : 5 = 5/1 ; 8,377 = 8377/1000 ; 0,3(18) = 0,318181818…= 7/22 : Квадратный корень из 5 — иррациональное число. 0,2378425…. Иррациональным числом — называют бесконечную, десятичную, не переодическую дробь. Множество рациональных и иррациональных чисел. <a rel=»nofollow» href=»http://vixodest.ru/study_mathematic/194-racionalnye-i-irracionalnye-chisla.html» target=»_blank»>http://vixodest.ru/study_mathematic/194-racionalnye-i-irracionalnye-chisla.html</a>

Рациональное число может быть выражено конечным числом знаков ( 9/3=3) Иррациональное число не может быть выражено конечным числом знаков (1/3=0,33333….)

Посмотрите лучше в Википедии иррациональные и рациональные числа. Потому что предыдущие ответы с ошибками — понятие рационального/иррационального числа не связано напрямую с конечными и бесконечными десятичными дробями. Число 1/3 — рациональное, а множество всех вещественных чисел строится немного сложнее, чем просто «бесконечная, десятичная, не переодическая дробь».

touch.otvet.mail.ru

Иррациональное число — Википедия РУ

Античность

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (приблизительно 750—690 года до нашей эры) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены^{[источник не указан 1321 день]}.

Первое доказательство существования иррациональных чисел, а точнее существование несоизмеримых отрезков, обычно приписывается пифагорейцу Гиппасу из Метапонта (приблизительно 470 год до нашей эры). Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок^{[источник не указан 1321 день]}.

Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его, изучая длины сторон пентаграммы.^[3] Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение так как это и есть отношение диагонали к стороне в правильном пятиугольнике.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал^[4] иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному^[5] предположению Жана Итара^[fr], оно было основано на теореме о том, что нечётное квадратное число делится на восемь с остатком один^[6].

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. Десятая книга «Начал» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге «Йуктибхаза».

Новое время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с работами Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемыми) дедекиндовыми сечениями множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей. В 1761 году Ламберт с помощю цепных дробей показал, что π{\displaystyle \pi }  не является рациональным числом, а также что ex{\displaystyle e^{x}}  и tg⁡x{\displaystyle \operatorname {tg} x}  иррациональны при любом ненулевом рациональном x{\displaystyle x} . Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя — Клиффорда, показал, что π2{\displaystyle \pi ^{2}}  иррационально, откуда иррациональность π{\displaystyle \pi }  следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное).

Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π{\displaystyle \pi } . Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

www.http-wikipediya.ru

Ответы@Mail.Ru: что такое иррациональные числа?

Это _не_ рациональные — то есть такие, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Само собой, это должны быть числа с бесконечным числом знаков после запятой: Например 1/3 = 0,3333333… -это рациональное число, ибо 1 / 3. квадратный корень из 2 = 1,414… -это уже иррациональное — в виде отношения двух целых чисел не представимо. Числа пи и e — тоже иррациональные, но эти уже навываются трансцендентными.

Бесконечная десятичная непереодическая дробь и есть иррациональное число.

Иррациональное число — число, которое нельзя представить в виде отношения двух целых чисел — то есть просто дроби. <br>Необходимость их ведения в математику была вызвана необходимостью измерения длин в геометрии. <br>Иначе, например, не понятно, как работает Теорема Пифагора, когда длины катетов в прямоугольном треугольнике равны по 1см. Чему равна гипотенуза? На множестве дробей такого ответа нет. Пришлось вводить новые числа… <br>Строгое введение иррациональных чисел — достаточно сложно и изучается только на первых курсах математических факультетов.

На пальцах так Числа, которые возникли в результате натурального счета — НАТУРАЛЬНЫЕ Числа, которые возникли путем расширения операции вычитании введения нуля — ЦЕЛЫЕ числа, которые возникают в результате деления целого числа на целое — РАЦИОНАЛЬНЫЕ (то есть они представимы в виде дроби целое/целое) числа, которые не представимы в виде дроби — ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ Иррациональные числа бывают АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ (являются корнями многочленов, например, квадратного уравнения, с рациональными коэффициентами) , например корень из двух, и ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМИ, которые не являются решениями никакого алгебраического уравнения, пример — число пи. Рациональные и иррациоанльные числа в совокупности образуют множество ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ (или вещественных) чисел, которые описывают все точки числовой прямой.

Бесконечная десятичная непереодическая дробь и есть иррациональное число.

touch.otvet.mail.ru

Свойства средней линии треугольника — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Средняя линия треугольника — это сегмент, соединяющий середины двух сторон.

Свойства треугольника треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равна половине ее. Например, на картинке

В любом треугольнике есть три средние линии, на пересечении которых образуются 4 равных треугольника, аналогичные исходным с коэффициентом 1/2.

Средняя линия обрезает треугольник, который похож на этот, и его площадь равна одной четверти исходного треугольника.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

sciterm.ru

Средняя линия треугольника

СТРУКТУРА УРОКА.

1.

2.

3.

4.

6.

7.

Организационный этап. Мотивация.

— Здравствуйте ребята! Давайте начнем наш сегодняшний урок с доброжелательности. Повернемся к друг другу, улыбнемся. И с хорошим настроением отправимся в очередной путь по дороге к знаниям.

— А сопутствующими словами нам сегодня будут слова древнего мыслителя Конфуция:

Три пути ведут к знанию:
Путь размышления – это путь самый благородный,
Путь подражания – это путь самый легкий,
И путь опыта – это путь самый горький.

— Сегодня мы продолжим знакомство с самой популярной в школьном курсе геометрической фигурой. Это самая простая замкнутая прямолинейная фигура, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как она имела широкое применение в практической жизни. Вы догадались, что это за фигура?

Актуализация опорных знаний.

— По каким признакам треугольники бывают подобными?
— Как связаны соответствующие стороны и углы подобных треугольников?
— Что такое коэффициент подобия, чему он равен?
— Какие прямые называются параллельными?
— Назовите признаки параллельности прямых

Выполнение заданий на экране.

«Открытие» нового знания. Создание проблемной ситуации.

а) построить в тетради треугольник: первому варианту – тупоугольный; второму варианту – прямоугольный; третьему варианту – остроугольный;
б) ввести обозначение этого треугольника;
в) отметить середины двух любых его сторон и обозначить их;
г) соединить полученные точки отрезками.

Учитель объясняет ученикам, что полученный ими отрезок называют средней линией треугольника и задает вопросы :

– Почему она так названа?

— Используя принцип построения, попробуйте сформулировать определение средней линии.

– Сколько средних линий можно построить в треугольнике?

— Ребята, сейчас поработаем в парах: на каждой парте лежит заготовка треугольника. Отметьте середины двух любых его сторон и проведите среднюю линию. Давайте посмотрим на расположение средней линии треугольника относительно третьей стороны.

— Какие результаты вы получили? Какой вывод можно сделать?

А теперь измерьте среднюю линию треугольника и его основание и найдите их отношение.

— А теперь попробуйте сами сформулировать свойство средней линии треугольника.

— Откройте учебники на странице 141 и давайте проверим к правильному ли выводу мы пришли.

А теперь оформим в тетради данное утверждение в виде теоремы .

— Вы, наверное, уже привыкли, что геометрия — это наука, в которой необходимо все обосновывать и доказывать.

— Мы сейчас докажем теорему. Разобраться в логике доказательства вам помогут печатные заготовки, которые есть у каждого из вас, возьмите их.

— Итак, что нам дано? Что необходимо доказать?

— Доказываем (опираясь на доску и печатные заготовки).

— Давайте еще раз пройдемся по доказательству.

Первичное усвоение нового знания.

— Вот ребята мы прошли с вами по пути размышления и пора перейти к пути опыта.

— Посмотрите на экран и давайте выполним задания по готовым чертежам.

Первичное закрепление.

Решение задачи №566

Информация о домашнем задании.

Формулировка теоремы, доказательство по опорному конспекту. ТПО №

Рефлексия

Подведем итоги сегодняшнего урока.

— Полностью ли реализован составленный нами план?

– Соответствовала ли наша работа целям урока?

— Что вы ожидали от сегодняшнего урока?

— Что вызвало трудности?

— Были ли задания, которые ты делал с удовольствием?

— Какие знания, полученные ранее, нужны были для изучения новой темы?

— А как вы считаете, знания, полученные сегодня на уроке, будут вам необходимы на следующих уроках.

— Как вы оцените свою работу сегодня на уроке?

А теперь я оценю вашу работу на уроке.

Ребята приветствуют друг друга.

— Треугольник.

Называют ответы.

Выполняют задания на экране.

Строят в тетрадях треугольники и поводят средние линии. Отвечают на вопросы.

Свойства.

Отличительная особенность.

Отвечают на вопросы.

Формулируют свойство

Заполняют заготовки под руководством учителя.

Работа по готовым чертежам

Решение задачи у доски и в тетради

Записывают домашнее задание в дневники.

Отвечают на вопросы

— сформировать доброжелательный рабочий настрой, проверить готовность класса к уроку

На этом этапе урока учителю необходимо сформировать осознание предела имеющихся знаний (моих знаний не хватает, чтобы ответить на вопрос).

— актуализировать опорные знания о равнобедренном треугольнике, высотах, медианах и биссектрисах треугольника;

— формировать осознание предела имеющихся знаний и потребность в изучении нового материала;

— развивать умения анализировать информацию;

— умение выстраивать освоение учебного материала как совместную деятельность;

— умение общаться с учащимися и вести диалог.

Необходимо целенаправленно организовать слушание, предлагая специальные задания.

Выслушиваются все варианты ответов учащихся. Важно выделить учеников, давших правильный ответ, поддержать того, кто не смог дать верный ответ.

Учителю желательно проявить свои чувства (радость, удивление) по поводу того, что дети сумели найти ответы на предложенные вопросы.

— закрепить свойство средней линии треугольника в ходе решения задач.

— организовать целостное осмысление и обобщение полученной информации, проведение оценки и самооценки учениками работы на уроке.

— обеспечить понимание цели,

содержания и способов выполнения домашнего задания.

infourok.ru

8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Средняя линия треугольника. — Средняя линия треугольника.

Комментарии преподавателя

Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка

По­вто­рим вто­рой при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Тео­ре­ма 1. Вто­рой при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков (по двум сто­ро­нам и углу между ними). Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка и углы между этими сто­ро­на­ми равны, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны (см. Рис. 1).

.

Рис. 1

Опре­де­ле­ние. Два тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми, ес­ли­их углы по­пар­но равны, а сто­ро­ны, ле­жа­щие на­про­тив со­от­вет­ствен­ных углов, про­пор­ци­о­наль­ны.

.

Тео­ре­ма 2. Свой­ство и при­знак па­рал­лель­но­сти пря­мых. Если пря­мые па­рал­лель­ны, то их со­от­вет­ствен­ные углы равны; если со­от­вет­ствен­ные углы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны (см. Рис. 2).

.

Рис. 2

Опре­де­ле­ние. Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка – это от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны сто­рон тре­уголь­ни­ка. На Рис. 3  сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ,  ос­но­ва­ние.

Тео­ре­ма 3. Тео­ре­ма о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка. Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка па­рал­лель­на ос­но­ва­нию и равна его по­ло­вине (Рис. 3).

.

До­ка­за­тель­ство.

По усло­вию из­вест­но, что .

Рис. 3

Рас­смот­рим  и :

 по вто­ро­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков. Сле­до­ва­тель­но,  как со­от­вет­ствен­ные, а по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мых: . Па­рал­лель­ность сред­ней линии и со­от­вет­ству­ю­ще­го ей ос­но­ва­ния до­ка­за­на.

Кроме того, из по­до­бия тре­уголь­ни­ков  можно вы­пи­сать и от­но­ше­ние их тре­тьих сто­рон . То, что сред­няя линия равна по­ло­вине со­от­вет­ству­ю­ще­го ос­но­ва­ния, до­ка&shy

www.kursoteka.ru

Средняя линия треугольника — это… Что такое Средняя линия треугольника?



Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.^[1]

Свойства средней линии треугольника:

1. средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине;
2. при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции.

Свойство средней линии трапеции: средняя линия параллельна основаниям трапециии равна их полусумме.

Примечания

Wikimedia Foundation. 2010.

• Реддлы
• Бег на длинные дистанции

Смотреть что такое «Средняя линия треугольника» в других словарях:

• Средняя линия — фигур в планиметрии отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырехугольник, трапеция. Содержание 1 Средняя линия треугольника 1.1 Свойства …   Википедия

• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — (1) трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме; (2) треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника: третья сторона при этом… …   Большая политехническая энциклопедия

• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника (трапеции) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) …   Большой Энциклопедический словарь

• средняя линия — треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции). * * * СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) …   Энциклопедический словарь

• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Третья сторона треугольника при этом наз. основанием треугольника. С. л. треугольника параллельна основанию и равна половине его длины. Во всяком треугольнике С. л. отсекает от… …   Математическая энциклопедия

• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• Средняя линия —         1) С. л. треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (третью сторону называют основанием). С. л. треугольника параллельна основанию и равна его половине; площади частей треугольника, на которые делит его с. л.,… …   Большая советская энциклопедия

• Площадь треугольника — Стандартные обозначения Треугольник  простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Вершины треугольника …   Википедия

• Словарь терминов планиметрии — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С …   Википедия

• Коллинеарные точки — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф …   Википедия

veter.academic.ru

Дать определение средней линии треугольника. Доказать теорему о средней линии треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. ТЕОРЕМА: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть дан &#916; АВС и его средняя линия ЕД. Проведем прямую параллельную стороне АВ через точку Д. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. совпадает с ДЕ. Значит, средняя линия параллельна АВ. Проведем теперь среднюю линию ДФ. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник АЕДФ – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕД=АФ, а так как АФ=ФВ по теореме Фалеса, то ЕД = ? АВ. Теорема доказана. _______________________________________________________ где написано Д и Ф пиши по английски

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. ТЕОРЕМА: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть дан Δ АВС и его средняя линия ЕД. Проведем прямую параллельную стороне АВ через точку Д. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. совпадает с ДЕ. Значит, средняя линия параллельна АВ. Проведем теперь среднюю линию ДФ. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник АЕДФ – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕД=АФ, а так как АФ=ФВ по теореме Фалеса, то ЕД = ? АВ. Теорема доказана. _______________________________________________________ где написано Д и Ф пиши по английски

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. ТЕОРЕМА: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть дан Δ АВС и его средняя линия ЕД. Проведем прямую параллельную стороне АВ через точку Д. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. совпадает с ДЕ. Значит, средняя линия параллельна АВ. Проведем теперь среднюю линию ДФ. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник АЕДФ – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕД=АФ, а так как АФ=ФВ по теореме Фалеса, то ЕД = ? АВ. Теорема доказана. _______________________________________________________ где написано Д и Ф пиши по английски

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. ТЕОРЕМА: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть дан Δ АВС и его средняя линия ЕД. Проведем прямую параллельную стороне АВ через точку Д. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. совпадает с ДЕ. Значит, средняя линия параллельна АВ. Проведем теперь среднюю линию ДФ. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник АЕДФ – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕД=АФ, а так как АФ=ФВ по теореме Фалеса, то ЕД = ? АВ. Теорема доказана. _______________________________________________________ где написано Д и Ф пиши по английски

чё вы все одно и тоже копируете? своих мозгов нет?

а какая стр в учебники

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. ТЕОРЕМА: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть дан Δ АВС и его средняя линия ЕД. Проведем прямую параллельную стороне АВ через точку Д. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. совпадает с ДЕ. Значит, средняя линия параллельна АВ. Проведем теперь среднюю линию ДФ. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник АЕДФ – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕД=АФ, а так как АФ=ФВ по теореме Фалеса, то ЕД = ? АВ. Теорема доказана. _______________________________________________________ где написано Д и Ф пиши по английски

Математика Докажите, что Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Подробное решение тут —-&gt;&gt;&gt; <a rel=»nofollow» href=»https://www.youtube.com/watch?v=FltR22Q-1Fg» target=»_blank»>https://www.youtube.com/watch?v=FltR22Q-1Fg</a>

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине. Дано: ΔАВС, КМ — средняя линия. Доказать: КМ ║ АС, КМ = АС/2 Доказательство: 1. Через точку К (середину стороны АВ) проведем прямую, параллельную стороне АС. По теореме Фалеса эта прямая разделит сторону ВС пополам, значит пройдет через точку М. Средняя линия КМ лежит на прямой, параллельной АС, значит КМ ║ АС. 2. Через точку М проведем прямую, параллельную стороне АВ. По теореме Фалеса она разделит сторону АС пополам. Н — середина АС. АКМН — параллелограмм, так как КМ ║ АН и МН ║ АК по построению, значит КМ = АН = АС/2

touch.otvet.mail.ru

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА (ОПРЕДЕЛЕНИЕ). — КиберПедия

 

2.ДОКАЖИТЕ, ЧТО У РАВНОБОКОЙ ТРАПЕЦИИ УГЛЫ ПРИ ОСНОВАНИИ РАВНЫ.

	Дано: ΔАВСД-данная трапеция
Док-ть ∟D=∟C
Доказательство

‘

 

Билет№15.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАПЕЦИИ. ВИДЫ ТРАПЕЦИИ.

 

Все трапеции можно разделить на три вида: — равнобедренные трапеции; — прямоугольные трапеции; — произвольные трапеции. Равнобедренные трапеции — это трапеции, у которых боковые стороны равны. Прямоугольные трапеции — это трапеции, у которых одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Произвольные трапеции — все остальные трапеции, которые не являются ни равнобедренными, ни прямоугольными. Схематически виды трапеций можно изобразить так:

 

ДОКАЖИТЕ, ЧТО ЛЮБЫЕ ДВЕ МЕДИАНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА В ТОЧКЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДЕЛЯТСЯ В ОТНОШЕНИИ 2:1,СЧИТАЯ ОТ ВЕРШИНЫ.

И ВСЕ ТРИ МЕДИАНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ.

	Дано: ΔАВС-треугольник АА1, ВВ1-медианы треугольника АА1∩ВВ1=М
Док-ть АМ:МА1=2:1
Доказательство

 

Билет№16.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТА. СВОЙСТВА КВАДРАТА.

 

2.ТЕОРЕМА ПИФАГОРА (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО).

 

Билет№17.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РОМБА. СВОЙСТВА РОМБА.

 

2.НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА (ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ).

 

Билет№18.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНИКА.

 

 

2. ВЫВОД ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ УГЛОВ 30º ,45º, 60º.

 

Билет№19.

1 .ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА.

 

2.СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО).ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА И ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА (РАССМОТРЕТЬ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ).

Билет№20.

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.

 

2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ). ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ О СКАЛЯРНОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ВЕКТОРОВ.

cyberpedia.su

Свойства средней линии треугольника.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

КРАТКИЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК.

Треугольники.

Прямоугольный треугольник.

Метрические соотношения.

;

;

; ;

,

где — проекции катетов , на гипотенузу ; -высота.

Соотношения между сторонами и углами.

sin A = ; tg A = ; cos A = ; ctg A = ;

Формулы для вычисления радиусов вписанной (r) и описанной (R) окружностей.

R = =m; r = , m –медиана, проведённая из вершины прямого угла.

Формула площади. S = .

Произвольный треугольник.

Определение вида треугольника по его сторонам:

— если , то треугольник остроугольный;

— если , то треугольник прямоугольный;

— если , то треугольник тупоугольный; где c –наибольшая сторона

Соотношения между сторонами и углами.

1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 .

2. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны (неравенство треугольника).

3. Против большей стороны треугольника лежит больший угол и,наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

4. a² = b² + c² – 2bc (теорема косинусов).

5. = = = 2R(теорема синусов).

Свойства медиан.

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника

3. Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

4. m = , где m– медиана, проведённая к стороне с.

Свойства биссектрис.

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности вписанной в треугольник.

2. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Свойство высот.

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Свойство серединных перпендикуляров.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

Свойства средней линии треугольника.

1. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине.

2. Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с какой-либо точкой основания.

©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.

arhivinfo.ru

Два уравнения с тремя неизвестными

63. Два уравнения с тремя неизвестными. Пусть имеем уравнения:

3x + 4y – 2z = 11
5x + 4y + 2z = 19,

которые надо решить совместно. Мы умеем решать совместно 2 уравнения с двумя неизвестными, почему прежде всего приходит мысль, что здесь одно неизвестное является лишним и что его, вероятно, можно заменить любым числом. И действительно. Если дадим x произвольное значение, например, возьмем x = 7, то получим

21 + 4y – 2z = 11
35 + 4y + 2z = 19,

т. е. 2 уравнения с двумя неизвестными, которые мы умеем решить.

Упростив эти уравнения, получим:

4y – 2z = –10
4y + 2z = –16.

Сложив из по частям, получим:

8y = –26 и y = –3 ¼.

Вычитая из 2-го первое, получим:

4z = –6 и z = –1 ½.

Взяв x = 0, получим:

4y – 2z = 11
4y + 2z = 19.

Решив (так же, как и выше) эти уравнения, получим:

y = 3 ¾; z = 2

Так же для x = 1, получим y = 2 ¾; z = 1 ½ и т. д.

Эти решения можно записать в таблице, причем, как видим, здесь одно неизвестное (у нас x) является независимым переменным, а два других являются зависимыми переменными.

Вот эта таблица:

Итак,

два уравнения с тремя неизвестными имеют бесконечно много решений, причем для получения их надо одному из неизвестных давать произвольные значения.

Чтобы удобнее получать эти решения, можно заранее из данных уравнений определить зависимые переменные через независимое.

Для этой цели перенесем члены 3x и 5x, имеющиеся в наших уравнениях, в правую часть (эти члены, ведь, приходится считать известными), — получим:

4y – 2z = 11 – 3x
4y + 2z = 19 – 5x.

Сложив эти уравнения по частям, получим:

8y = 30 – 8x и y = (30 – 8x) / 8 = (15 – 4x) / 4.

Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:

4z = 8 – 2x и z = (8 – 2x) / 4 = (4 – x) / 2.

Теперь, взяв для x какое-нибудь значение, например, x = 2, легко в уме найдем: y = 1 ¾ и z = 1.

Вот еще пример. Пусть даны уравнения:

2x + y – z = 7
3x + 2y + 4z = 11.

Определим из них x и y через z. Для этого сначала перенесем члены с z в правую часть уравнения:

2x + y = 7 + z и 3x + 2y = 11 – 4z      (1).

Обе части первого уравнения умножим на 2:

4x + 2y = 14 + 2z
3x + 2y = 11 – 4z.

Вычтем по частям из 1-го уравнения второе:

x = 3 + 6z      (2)

Таким образом мы определили x через z. Затем умножим обе части 1-го уравнения из системы (1) на 3 и обе части 2-го на 2 (чтобы уравнять коэффициенты при x). Получим:

6x + 3y = 21 + 3z
6x + 4y = 22 – 8z.

Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:

y = 1 – 11z      (3)

Таким образом определили y через z.

Пользуясь равенствами (2) и (3), легко найти сколько угодно решений данных двух уравнений, причем надо неизвестному z давать произвольные значения. Вот несколько решений:

maths-public.ru

Как решать систему уравнений с двумя неизвестными | ЧтоКак.ру

Уравнение – это тождество, где среди известных членов скрывается одно число, которое необходимо поставить вместо латинской буквы, для того чтобы с левой и правой стороны получилось одинаковое числовое выражение. Чтобы его найти, нужно перенести в одну сторону все известные члены, в другую — все неизвестные члены уравнения. А как решать систему из двух таких уравнений? По отдельности – нельзя, следует связать искомые величины из системы друг с другом. Сделать это можно тремя способами: методом подстановки, методом сложения и методом построения графиков.

Инструкция

1

Способ сложения.Нужно записать два уравнения строго друг под другом: 2 –5у=61-9х+5у=-40.Далее, сложить каждое слагаемое уравнений соответственно, учитывая их знаки:2х+(-9х)=-7х, -5у+5у=0, 61+(-40)=21. Как правило, одна из сумм, содержащая неизвестную величину, будет равна нулю. Составить уравнение из полученных членов:-7х+0=21.Найти неизвестное: -7х=21, ч=21:(-7)=-3.Подставить уже найденное значение в любое из исходных уравнений и получить второе неизвестное, решив линейное уравнение:2х–5у=61, 2(-3)–5у=61, -6-5у=61, -5у=61+6, -5у=67, у=-13,4.Ответ системы уравнений: х=-3, у=-13,4.

2

Способ подстановки.Из одного уравнения следует выразить любое из искомых членов:х–5у=61-9х+4у=-7.х=61+5у, х=61+5у.Подставить получившееся уравнение во второе вместо числа «икс» (в данном случае):-9(61+5у)+4у=-7.Далее решивлинейное уравнение, найти число «игрек»:-549+45у+4у=-7, 45у+4у=549-7, 49у=542, у=542:49, у?11.В произвольно выбранное (из системы) уравнение вставить вместо уже найденного «игрека» число 11 и вычислить второе неизвестное:Х=61+5*11, х=61+55, х=116.Ответ данной системы уравнений: х=116, у=11.

3

Графический способ.Заключается в практическом нахождении координаты точки, в которой пересекаются прямые, математически записанные в системе уравнений. Следует начертить графики обоих прямых по отдельности в одной системе координат. Общий вид уравнения прямой: – у=kх+b. Чтобы построить прямую, достаточно найти координаты двух точек, причем, х выбирается произвольно.Пусть дана система: 2х – у=4 у=-3х+1.Строится прямая по первому уравнению, для удобства его нужно записать: у=2х-4. Придумать (полегче) значения для икс, подставляя его в уравнение, решив его, найти игрек. Получаются две точки, по которым строится прямая. (см рис.)х 0 1у -4 -2Строится прямая по второму уравнению: у=-3х+1.Так же построить прямую. (см рис.)х 0 2у 1 -5Найти координаты точки пересечения двух построенных прямых на графике (если прямые не пересекаются, то система уравнений не имеет решения – так бывает).

chtokak.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

      Определение 1. Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение, имеющее вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 2. Решением уравнения (1) называют пару чисел   (x ; y) ,   для которых формула (1) является верным равенством.

      Пример 1. Найти решение уравнения

      Решение. Выразим из равенства (2) переменную   y   через переменную   x :

      Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида

где   x   – любое число.

      Замечание. Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел   (x ; y)   является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число   x   можно взять любым, а число   y   после этого вычислить по формуле (3).

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

      Определение 3. Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными   x   и   y   называют систему уравнений, имеющую вид

где   a₁ ,  b₁ ,  c₁ ,  a₂ ,  b₂ ,  c₂   – заданные числа.

      Определение 4. В системе уравнений (4) числа   a₁ ,  b₁ ,  a₂ ,  b₂   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   c₁ ,  c₂  – свободными членами.

      Определение 5. Решением системы уравнений (4) называют пару чисел   (x ; y) ,   являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).

      Определение 6. Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными), если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.

      Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»

      Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных, который мы проиллюстрируем на примерах.

      Пример 2 . Решить систему уравнений

      Решение. Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное   х.

      С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном   x   в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.

      Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при   x   во втором уравнении (число   7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при   x   в первом уравнении (число   2 ), то система (5) примет вид

      Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему

      Из второго уравнения находим   y = 3 ,   и, подставив это значение в первое уравнение, получаем

      Ответ.   (–2 ; 3) .

      Пример 3. Найти все значения параметра   p ,   при которых система уравнений

      а) имеет единственное решение;

      б) имеет бесконечно много решений;

      в) не имеет решений.

      Решение. Выражая   x   через   y   из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо   x   в первое уравнение системы (7), получим

      Следовательно, система (7) равносильна системе

      Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра   p .   Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):

      Если   ,   то уравнение (9) имеет единственное решение

      Следовательно, система (8) равносильна системе

      Таким образом, в случае, когда   ,   система (7) имеет единственное решение

      Если   p = – 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

,

и его решением является любое число . Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел

,

где   y   – любое число.

      Если   p = 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

      Определение 7. Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными   x ,   y     и   z   называют систему уравнений, имеющую вид

где   a₁ ,  b₁ ,  c₁ ,  d₁ ,  a₂ ,  b₂ ,  c₂ ,  d₂ ,  a₃ ,  b₃ ,  c₃ ,  d₃   – заданные числа.

      Определение 8. В системе уравнений (10) числа   a₁ ,  b₁ ,  c₁ ,  a₂ ,  b₂ ,  c₂ ,  a₃ ,  b₃ ,  c₃   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   d₁ ,  d₂ ,  d₃   – свободными членами.

      Определение 9. Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.

      Пример 4 . Решить систему уравнений

      Решение. Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных.

      Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное   y ,  совершив над системой (11) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
• из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему

      Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное   x ,  совершив над системой (12) следующие преобразования:

• первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
• из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему

      Из системы (13) последовательно находим

z = – 2 ;   x = 1 ;   y = 2 .

      Ответ.   (1 ; 2 ; –2) .

      Пример 5. Решить систему уравнений

      Решение. Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:

      Если числа   (x ; y ; z)   являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа   (x ; y ; z)   должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):

      Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел   (3 ; 0 ; –1)   в исходную систему (14), убеждаемся, что числа   (3 ; 0 ; –1)   действительно являются ее решением.

      Ответ:   (3 ; 0 ; –1) .

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Как решать систему уравнений с двумя неизвестными

completerepair.ru

Калькулятор для расчета разности двух множеств онлайн

Разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств A и B обозначается как AB

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению входящим в неё множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности.

котангенс — с испанского на русский

translate.academic.ru

котангенс — с русского на все языки

translate.academic.ru

котангенс — с русского на все языки

translate.academic.ru

КОТАНГЕНС — это… Что такое КОТАНГЕНС?

dic.academic.ru

Котангенс — с русского на все языки

translate.academic.ru

Монотонность функции. Возрастание и убывание

Возрастающая и убывающая функции в промежутке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция называется возрастающей в промежутке , если большому значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любой пары таких, что справедливо неравенство ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция называется убывающей в промежутке , если большому значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть для любой пары таких что справедливо

Монотонная функция

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция называется монотонной на промежутке, если она на этом промежутке или возрастает, или убывает.

Достаточное условие монотонности функции.Пусть функция определена и дифференцируема в промежутке . Для того чтобы функция была возрастающей в промежутке , достаточно, чтобы для всех

Для убывания функции достаточно, чтобы для всех

Для исследования функции на монотонность необходимо:

1. найти её производную ;
2. найти критические точки функции как решения уравнения ;
3. определить знак производной на каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции;
4. согласно достаточному условию монотонности функции определить промежутки возрастания и убывания.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

§ 4. Промежутки возрастания и убывания функций

Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.

Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [a, b] (интервале (a, b)), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b] соответствует большее значение функции, то есть если x₁ < x₂, то f(x₁) < f(x₂).

Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему значению аргумента x из [a, b]соответствует большее значение функции, то есть если x₁ <x₂, то f(x₁) > f(x₂).

Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.

(-∞, a), (c, +∞) – убывает;

(a, b) – постоянная;

(b, c) – возрастает.

Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f ‘(x)≥ 0.

Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ‘ (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b].

Доказательство.

Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [a, b]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Δx. Тогда если Δx>0, то x<x+Δx. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)<f(x+Δx), то есть f(x+Δx) — f(x)>0. Но тогда и Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x)<0, а 

Переходя в этом равенстве к пределу при Δx→0, получим , то естьf ‘(x)≥0.

Докажем вторую часть теоремы. Пусть f ‘(x)>0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x₁ и x₂ таких, что x₁ < x₂. Нужно доказать, что f(x₁)< f(x₂). По теореме Лагранжа существует такое число c Î (x₁, x₂), что . По условиюf ‘(x)>0, x₁ – x₂>0Þ , а это и значит, чтоf(x) – возрастающая функция.

Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Еслина (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].

Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривойy=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f ‘(x)≥0.

Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.

Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f ‘(x)>0 – для возрастания или f ‘(x)<0 – для убывания.

Примеры. Определить интервалы монотонности функции.

. Область определения заданной функции D(y) = (-∞; 0)È(0; +∞).

. Следовательно, f(x) – убывает на (-∞; 0) и (0; +∞).

 

Найдем промежутки, на которых производная заданной функции положительна или отрицательна методом интервалов.

Итак, f(x) – убывает на (–∞; –1] и [1; +∞), возрастает на отрезке [–1; 1].

 

.

Используя метод интервалов, получим f(x) убывает на (0; 1) и (1; e], возрастает на [e; +∞).

studfiles.net

Интервалы возрастания и убывания функции

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

y = x^3-3*x^2+9*x+2
Область существования функции
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 3 • x²-6 • x+9
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
3 • x²-6 • x+9 = 0
Для данного уравнения корней нет.

 

16.Дана функция . Тогда

(Укажите интервал выпуклости вверх (вниз) функции).

Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
f»(x) = 6 • x-6
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
6 • x-6 = 0
Откуда точки перегиба:
x₁ = 1

(-∞ ;1)	(1; +∞)
f»(x) < 0	f»(x) > 0
функция выпукла	функция вогнута

 

17.Найти наибольшее значение функции в интервале [4,5].

Экстремумы функции

y = x^2-11*x+28
[4;5]
Необходимое условие экстремума функции одной переменной.
Уравнение f’₀(x*) = 0 — это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x_с, в которых функция не возрастает и не убывает.
Достаточное условие экстремума функции одной переменной.
Пусть f₀(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f’₀(x*) = 0
f»₀(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f’₀(x*) = 0
f»₀(x*) < 0
то точка x* — локальный (глобальный) максимум.
Решение.
Находим первую производную функции:
y’ = 2 • x-11
Приравниваем ее к нулю:
2 • x-11 = 0

Вычисляем значения функции на концах отрезка

f(4) = 0
f(5) = -2
Ответ:
f_min = -2, f_max = 0

 

 

18.Пусть функции — непрерывны на интервале . Тогда (Основные свойства неопределенного интеграла).

Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то

Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.

Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют первообразные на промежутке X , то

Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.

Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:

 

Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.

 

Если функция f ( x ) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:

Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

 

19.Таблица интегралов. ( ).

Sinx+C

20.Найдите интеграл , , , ,

21.Вычислить , , ,

22.Пусть функции — непрерывны на интервале . Тогда (Основные свойства определенного интеграла, 9 свойств).

Основные свойства интеграла. Установим ряд важных свойств определенного интеграла. Большая часть этих свойств присуща интегралам от любых интегрируемых функций, но мы будем формулировать их для функций непрерывных.

Теорема 1. Если f(x) и g(x) — две непрерывные функции, заданные на промежутке [a, b], то

т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.

В самом деле, составляя интегральную сумму для функции f(x) + g(x), очевидно, будем иметь

после чего остается перейти к пределу при λ → 0.

Аналогично доказывается

Теорема 2. Если f(x) — непрерывная функция, а c — постоянное число, то

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.

В самом деле, будем при раздроблении промежутка [a, b] на части включать c в число точек деления. Если c = x_m, то

Каждая из написанных здесь трех сумм является интегральной суммой соответственно для промежутков [a, b], [a, c] и [c, b]. Остается перейти к пределу при λ → 0.

Доказанную теорему можно высказать в более общей форме. Для этого нам понадобится расширить смысл символа интеграла.

Если f(x) — любая функция, определенная в точке a, то по определению полагаем

(11)

Таким образом, интеграл с совпадающими пределами равен нулю.

Пусть функция f(x) интегрируема на промежутке [a, b]. Тогда по определению полагаем

(12)

Таким образом, при перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак.

Теперь можем привести упомянутую более общую форму теоремы 3:

Теорема 4. Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [A, B]. Если a, b, c суть точки этого промежутка, то

(13)

В самом деле, если из точек a, b и c две (а тем более три) совпадают, то равенство (13) очевидно. Пусть же все эти точки различны. Если a < c < b, то дело сводится к теореме 3. Прочие случаи взаимного расположения точек a, b, c тоже легко свести к той же теореме. Пусть, например, c < b < a. Тогда

откуда

и остается дважды применить формулу (12).

Свойство интеграла, выражаемое теоремами 3 и 4, называется аддитивностью его, как функции промежутка интегрирования.

Теорема 5. Если f(x) — непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что

(14)

В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

Так как при всех k будет m ≤ f(ξ_k) ≤ M, а x_k+1 > x_k, то m(x_k+1 — x_k) ≤ M(x_k+1 — x_k). Складывая такие неравенства и замечая, что

получим:

m(b — a) ≤ σ ≤ M(b — a).

Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b — a к новому неравенству

Таким образом, частное

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (14).

Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.

Теорему 5 обычно называют теоремой о среднем значении. Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами.

Теорема 6. Если f(x) — неотрицательная непрерывная функция и нижний предел интеграла не больше верхнего^*, то и сам интеграл будет числом неотрицательным

Действительно, в этом случае оба сомножителя правой части формулы (14) неотрицательны.

___________________________________

^* Если в интеграле будет a ≤ b, то будем говорить, что порядок пределов интегрирования — нормальный.

Последний результат можно несколько уточнить.

Теорема 7. Если a < b, а f(x) — непрерывная неотрицательная функция, которая хотя бы в одной точке [a, b] отлична от нуля, то

В самом деле, пусть x₀ (a < x₀ < b) — такая точка, что f(x₀) > 0. Возьмем столь малое δ > 0, чтобы при | x — x₀ | < δ было f(x) > 0, что, очевидно, возможно, благодаря непрерывности нашей функции. Не ограничивая общности, можно принять, что a ≤ x₀ — δ, x₀ + δ ≤ b. Тогда

Первый и третий интегралы правой части по предыдущей теореме неотрицательны, а второй интеграл по теореме о среднем представим в форме

и потому строго положителен.

Теорему 7 можно, очевидно, формулировать и так:

Теорема 8. Пусть f(x) — неотрицательная непрерывная функция, заданная в [a, b], причем a < b. Если

то f(x) всюду на [a, b] равна нулю.

В обеих теоремах 7 и 8 (в отличие от теоремы 6) нельзя отбросить условия непрерывности подинтегральной функции. Например, функция, которая в конечном числе точек [a, b] равна единице, а в остальных точках этого промежутка равна нулю, будет неотрицательной и нетождественной нулю, а интеграл от нее (как показано в пунктеОпределенный интеграл) равен нулю.

Теорема 9. Если a ≤ b, а f(x) и u·g(x) — две непрерывные функции, которые на [a, b] удовлетворяют условию f(x) ≤ g(x), то

(15)

т. е. при нормальном порядке пределов интегрирования неравенство можно интегрировать почленно.

Действительно,

Если бы мы допустили, что a < b и что хоть в одной точке оказывается f(x) < g(x), то смогли бы и в (15) исключить знак равенства.

Теорема 10. Если a ≤ b и f(x) непрерывна на [a, b], то

(16)

т. е. при нормальном порядке пределов интегрирования абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины подинтегральной функции.

В самом деле, интегрируя неравенств

— | f(x) | ≤ f(x) ≤ | f(x) |,

находим:

а это равносильно неравенству (16).

 

23.Пусть — площадь фигуры, ограниченной линиями , . Тогда значение лежит в интервале

Приводим подобные:

2Решаем уравнение:

3Решаем уравнение:

4Решаем уравнение:

5Графики уравнений:

 

Ответ:

(Решение уравнения с учётом ОДЗ )

 

24.Формула для вычисления длины дуги плоской кривой, заданной явно и параметрически.

Если линия задана параметрическими уравнениями , то при выполнении некоторых условий, на которых я не буду останавливаться, длина дуги кривой , которая прочерчивается при изменении параметра в пределах , рассчитывается по формуле:

, где – значения, определяющие точки и .

 

25. ,

Частные производные

z = x^3/y^2+acos(sqrt(y))
Находим частные производные:
При нахождении ∂z/∂x считаем аргумент y постоянным:

При нахождении ∂z/∂y считаем аргумент x постоянным:

Находим вторые частные производные:

Найдем смешанные частные производные:
Для того, чтобы найти ∂²z/∂x∂y дифференцируем ∂z/∂x по у:

 

26. ;

Частные производные

z = x^3/y^2
Находим частные производные:
При нахождении ∂z/∂x считаем аргумент y постоянным:

При нахождении ∂z/∂y считаем аргумент x постоянным:

Найдем смешанные частные производные:
Для того, чтобы найти ∂²z/∂x∂y дифференцируем ∂z/∂x по у:

 

27. ;

z = 3*x^2*y*z^8+y^2*z^3/log(x)
Находим частные производные по формулам:


Для нашей функции F(x,y,z):
При нахождении ∂F/∂x считаем y и z постоянными:

При нахождении ∂F/∂y считаем x и z постоянными:

При нахождении ∂F/∂z считаем x и y постоянными:

По формулам находим частные производные:

 

∂z∂x=−6⋅x⋅y⋅z8−y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x)∂z∂x=−6⋅x⋅y⋅z8−y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x)

или

 

∂z∂x=−6⋅x⋅y⋅z8+y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x)∂z∂x=−6⋅x⋅y⋅z8+y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x)

 

или

Полный дифференциал функции.

 

dz=(−6⋅x⋅y⋅z8+y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x))dx+(−3⋅x2⋅z8−2⋅y⋅z3ln(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x))dydz=(−6⋅x⋅y⋅z8+y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x))dx+(−3⋅x2⋅z8−2⋅y⋅z3ln(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x))dy

 

28.Найти производную функции в точке М(1;-2) :

z = 5*x*y-y*y
Находим частные производные:
При нахождении ∂z/∂x считаем аргумент y постоянным:

При нахождении ∂z/∂y считаем аргумент x постоянным:

Полный дифференциал функции.

dz = (5 • y)dx + (5 • x-2 • y)dy
Найдем частные производные в точке А(1;-2)

или


или

Находим вторые частные производные:




Найдем вторые частные производные в точке А(1;-2)

или


или

Найдем смешанные частные производные:
Для того, чтобы найти ∂²z/∂x∂y дифференцируем ∂z/∂x по у:


Найдем значение производной в точке А(1;-2)

или

29.Найти градиент функции в точке .

z = 3*x^2+x*y-2*y^2
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:


Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(2;1)

или

Модуль grad(z) — наибольшая скорость возрастания функции:


Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

30.Укажите сходящийся несобственный интеграл 1-го рода.

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Тема «Возрастание и убывание квадратичной функции» Найти по

Описание презентации Тема «Возрастание и убывание квадратичной функции» Найти по по слайдам

Тема «Возрастание и убывание квадратичной функции» Найти по графику промежутки возрастания и убывания квадратичной функции

Нахождение по графику промежутков возрастания и убывания квадратичной функции ху 0 11 Функция является убывающей на промежутке, если большему значению х соответствует меньшее значение у , т. е. при движении слева направо график идет вниз (просмотр по щелчку) Функция является возрастающей на промежутке, если большему значению х соответствует большее значение у , т. е. при движении слева направо график идет вверх (просмотр по щелчку)

8 у х0 11 Найти по графику и записать промежутки возрастания и убывания квадратичной функции Обратите внимание, что график квадратичной функции состоит из двух ветвей. Ветви соединяются между собой вершиной параболы. При записи промежутков возрастания и убывания самую главную роль будет играть абсцисса (х) вершины параболы Пример 1. Рассмотрим движение по каждой ветке параболы отдельно: • по левой ветке при движении слева направо график идет вниз, значит функция убывает ; • по правой ветке — график идет вверх, значит функция возрастает. Ответ: промежуток убывания (- ∞; -1 ] ; промежуток возрастания [ -1; +∞)

present5.com

Как найти промежутки возрастания и убывания функции примеры

ЕГЭ, ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ Стереометрия Найдите V/S поверхности МНОГОГРАННИКА, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые)

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы.

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика. К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.

В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач.

Рекомендуем при необходимости обращаться к разделу дифференцирование функции, так как все признаки в этой статье основаны на нахождении производной.

Навигация по странице.

Возрастание и убывание функции на интервале.

Определение возрастающей функции.

Определение убывающей функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точки минимума и максимума называют Точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют Экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X ; если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

найти область определения функции; найти производную функции; к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Переходим к нахождению производной функции:

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Достаточные условия экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

Находим область определения функции. Находим производную функции на области определения. Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют Точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак). Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала). Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак — они и являются точками экстремума.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2 .

Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5 , знаменатель обращается в ноль при x=2 . Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6 .

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.

Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:

Найдем производную функции:

В точке x=0 производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:

В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0 (смотрите раздел исследование функции на непрерывность):

Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:

Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения прои

poiskvstavropole.ru

3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания

Видеоурок: Возрастание и убывание функции

Лекция: Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания

Монотонность функции

Невозможно правильно построить охарактеризовать функцию и построить график без исследования её на монотонность.

Если у функции имеются диапазоны, на которых она постоянно убывает, или возрастает, такие функции называются монотонными.

Функция называется возрастающей, если на некотором промежутке большему значению функции соответствует большее значение аргумента, если же большему аргументы соответствует меньшее значение функции, то она называется убывающей.

Обратите внимание на рисунок: на промежутке от а до х₁ значение функции увеличивается, а значит, данный промежуток функции является возрастающим. На промежутке от х₁ до х₂ функция убывает. А на промежутке от х₂ до b функция снова возрастает.

Постоянство, возрастание, убывание

Для того, чтобы знать, как ведет себя функция необходимо знать некоторые тонкости. В этом нам помогут теоремы:

1. Функция имеет постоянные значения на некотором промежутке в том случае, когда производная в каждой точке данного промежутка равна нулю.

При этом данный промежуток может иметь конечные значения, а может иметь и бесконечные значения аргумента.

2. Достаточным признаком возрастания функции считается то, что производная данной функции на заданном интервале принимает положительные значения.

3. Достаточным признаком убывания функции на некотором промежутке можно считать отрицательное значение производной в точках, выбранных из заданного диапазона.

cknow.ru

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями. Геометрический смысл определенного интеграла

Плоская фигура, ограниченная осью , прямыми  и  и графиком непрерывной на отрезке  функции , которая не меняет знак на этом промежутке, называется криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу:

То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.

На основании геометрического смысла определенного интеграла покоится целый класс задач на нахождение площадей фигур, ограниченных линиями.

100task.ru

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

Для того, чтобы вычислить площадь фигуры, которая ограничена указанными линиями, полезно сначала начертить графики заданных функций и определить какими функциями она ограничена сверху, снизу и на каком отрезке по оси Ох. Затем уже используют формулу нахождения площади фигуры:

Удобнее этот вопрос изучать на примерах.

Пример.
Найдем площадь фигуры, которая ограничена линиями , , , .

Решение.
Из условия видно, что площадь фигуры нужно найти на промежутке (на это указывают функции и ).

При построении графика функций определим, что сверху фигура будет ограничена функцией , а снизу — функцией .

Подставим полученные данные в формулу:

Ответ.  кв. ед.

Встречаются случаи, когда отрезок, на котором нужно вычислить площадь фигуры, явно не задан. В таком случае сначала находят этот отрезок, а затем вычисляют определенный интеграл.

Пример.
Вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями и .

Решение.
Найдем точки пересечения данных функций. Для этого составим уравнение:

Запишем определенный интеграл для нахождения площади заданной фигуры:

Ответ.  кв. ед.

ru.solverbook.com

Вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

Вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла  |   | 

Пример 1.

 

Решение

 

Сделаем чертёж фигуры, ограниченной указанными линиями:

Найдём точки пересечения линий:

Найдём площадь фигуры с помощью определённого интеграла:

 

Ответ:  кв.ед.

 

 

 

 

Пример 2.

 

 

Решение

 

Сделаем чертёж фигуры, ограниченной указанными линиями:

 

Найдём площадь фигуры с помощью определённого интеграла:

Ответ:  кв.ед.

 

 

primer.by

Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

0. y = x² – 2x + 2, y = x + 2.

Решение варианта 0.

Данная фигура сверху ограничена прямойy = x + 2, снизу параболой y = x² – 2x + 2. Искомую площадь вычислим по формуле S =  Пределами интегрирования будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Решая систему уравнений y = x² – 2x + 2, y = x + 2 находим: , , т. е. a = 0, b = 3. Таким образом получаем:

S = = =

= =–9 +

y = x + 1, y = cosx, y = 0.	xy = – 2, y = x – 3.
y = x2, y = 3 – x.	y = x2 + 4x, y = x + 4.
y = ,y = x3.	y = – x2 + 4, 2x + y – 4 = 0.
y = x – 2, y = x(2 – x).	y = x2 – 4x , y = 0.
y2 = 9x, y = 3x.	y = –x2 – 3x + 6, y = x2 – x – 6.
y2 = 4x, x2 = 4y.	x = y2 – 6y + 8, x + y = 4.
y = x2, y = 2 – x2.	y = –x2 + 2x – 1, y = –x + 1.
y = ,y = .	y = , y =0.
xy =5, x + y = 6.	y = –x2 + x + 3, y = x2 – 5x – 17.
xy =4, x + y – 5 = 0.	y = lnx, y = –x +1 + e, y = 0.
y = x, y = 2x, y = .	y = tgx, y = 2x +1 – ,y = 0.
y2 = x + 1, y2 = 9 – x.	y = tgx, y = sinx.
y = x2 + 2, x + y – 4 = 0.

Задание 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг указанной оси фигуры, ограниченной линиями:

0. y = sinx, (0≤x≤), y = 0, Ox.

Решение варианта 0.

Изобразим указанное тело на чертеже.

Искомый объем вычислим по формуле V = . Имеем:

V = == = .

y = 2x – x2, y = x, Ox.	y2 = 2x, x = 4, y = 0, Ox.
y = , y = x2, Ox.	y = lnx, (0≤x≤a), y = 0, Ox.
y2 = x, x2 = y, Ox.	y2 = 4x, x = 2, y = 0, Ox.
y2 = 4 – x, x = 0, Oy.	xy =4, 2x + y – 6 = 0, Ox.
y = , (1≤x≤2), y = 0, Ox.	y = 2 – , x + y = 2, Oy.
y = –x2 + 8, y = x2, Ox.	y = , y = x, Ox.
y = x3, x = 0, y = 8, Oy.	y = 4 – x2, x ≥ 0, y = 0, Oy.
y = x – x2, y = 0, Ox.	y = x2 – 3x + 2, y = 0, Ox.
y = x2, y2 = 8x, Oy.	y = sinx, (0≤x≤), y = 1, Ox.
y = , (0≤x≤4), y = 0, Ox.	y = , y = x, Ox.
Oy.	y = tgx, (0≤x≤), y = 0, Ox.
2y2 = x3, y = 0,x = 4, Ox.	y3 = 4x2, x = 0, y = 2, Oy.
x2 + y4 = y2, Oy.

studfiles.net

Двойной интеграл. Вычисление площади плоской фигуры

Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле

$$S=\int \int _{D}dxdy.$$

Если область D определена, например, неравенствами \(a\leq x\leq b, \varphi _1(x)\leq y\leq \varphi _2(x)\), то

$$S=\int_{a}^{b}{dx\int_{\varphi _1}^{\varphi _2}{dy}}. $$

Если область D в полярных координатах определена неравенствами \(\alpha \leq \theta \leq \beta , \varphi (\theta )\leq \rho \leq f(\theta ),\) то

$$S=\int \int _{D}\rho d\rho d\theta=\int_{\alpha }^{\beta }{d\theta }\int_{\varphi (\theta )}^{f(\theta )}{\rho d\rho} .$$

Пример 1. Вычеслить площадь фигуры, ограниченной линиями \(x=4y-y^2, x+y=6.\)

Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решая систему уравнений \(x=4y-y^2\) и \(x+y=6\) (чертеж рекомендуется выполнить самостоятельно). В результате получим \(А(4;2), В(3;3)\). Таким образом получим,

$$S=\int \int _{D}dxdy=\int_{2}^{3}{dy}\int_{6-y}^{4y-y^2}{dx}=\int_{2}^{3}{x}\mid \begin{matrix} 4y-y^2 \\ 6-y \end{matrix} dy=$$

$$=\int_{2}^{3}{(-y^2+5y-6)dy}=[-\frac{1}{3}y^3+\frac{5}{2}y^2-6y]_2^3=\frac{1}{6}.$$

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями : \(y=3/x, y=4e^x, y=3, y=4.\)

Решение. Построим область интегрирования D и находим площадь ограниченной области D (заштрихованая область).

Пределы интегрирования для данной области определяются ее границами из неравенства \(3\leq y\leq 4; ln\frac{y}{4}\leq x\leq \frac{3}{y}\). Отсюда, применяя интегрирование по частям, получим

$$S=\int_{3}^{4}{dy}\int_{\ln (y/4)}^{3/y}{dx}=\int_{3}^{4}{\left[\frac{3}{y}-\ln \frac{y}{4}dy \right]}=\left[ 3\ln y-y\ln \frac{y}{4}+y\right]_3^4=1$$

Итак, площадь данной фигуры равна 1.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линией \(x^3+y^3=axy\)/

Решение. Область интегрирования есть площадь петли, симметричной относительно прямой \(x=y\). Преобразуем данное уравнение, используя полярные координаты.

Имеем :

$$r^3(\sin ^3\varphi +\cos ^3\varphi )=r^2\cdot a\cdot \sin \varphi \cdot \cos \varphi, или r=\frac{a\sin \varphi \cdot \cos \varphi }{\sin ^3\varphi +\cos ^3}.$$

Осью симметрии петли является ось \(\varphi =\pi /4\), поэтому область интегрирования разделим на две равные части по оси симметрии и искомая площадь будет равна удвоенному интегралу:

$$S=2\int \int _{D} rdrd\varphi =2\int_{0}^{\pi /4}{d\varphi }\int_{0}^{a\sin \varphi \cdot \cos \varphi /(\sin ^3\varphi +\cos ^3\varphi) }{rdr}=a^2\int_{0}^{\pi /4}{\frac{\sin ^2\varphi \cdot \cos ^2\varphi }{(\sin ^3\varphi +\cos ^3\varphi)}d\varphi }=$$

$$=a^2\int_{0}^{\pi /4}{\frac{tg^2\varphi \cdot \cos ^4\varphi }{\cos ^6\varphi (1+tg^3\varphi )^2}d\varphi }=\frac{a^2}{3}\int_{0}^{\pi /4}{\frac{3tg^2\varphi d(tg\varphi )}{(1+tg^3\varphi )2}}=$$

$$=\frac{a^2}{3}\int_{0}^{\pi /4}{\frac{d(1+tg^3\theta )}{(1+tg^3\theta )^2}}=-\frac{a^2}{3}\left[\frac{1}{1+tg^3\theta } \right]_0^\pi /4=\frac{a^2}{6}$$

Итак, площадь данной фигуры равна \(S=\frac{a^2}{6}\) .

---

2012-12-05 • Просмотров [ 17839 ]

primat.org

Решение квадратных тригонометрических уравнений — МегаЛекции