Рубрика: Школьная жизнь

Теория вероятности теория чисел – Теория вероятностей — Youclever.org

alexxlab / / Школьная жизнь

Теория случайных чисел

Раздел 1. Теория случайных чисел.

Все события делятся на детерминированные, случайные и неопределенные.

Если событие наступает в эксперименте всегда, оно называется достоверным , если никогда – невозможным . Это детерминированные события.

Статистическое определение вероятности: Если в опыте, повторяющемся n раз, событие появляется mA раз, тогда относительная частота наступления события:

. Р(А) – вероятность наступления события А.

Для достоверного события W: Р(W)=1. Для невозможного события Æ: Р(Æ)=0.

0 £ P(A) £ 1, т.к. 0£mA £n — 0 £ hn(A) £ 1

W mA =n hn(A)=1

Æ mA =0 hn(A)=0

Все мыслимые взаимоисключающие исходы опыта называются элементарными событиями . Наряду с ними можно наблюдать более сложные события – комбинации элементарных.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными , если появление одного из них не более возможно, чем другого.

Классическое определение вероятности: Если n-общее число элементарных событий и все они равновозможные, то вероятность события А:

,

где mA — число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Раздел 2. Сложные события.

Теория сложных событий позволяет по вероятностям простых событий определять вероятности сложных. Она базируется на теоремах сложения и умножения вероятностей.

1) Суммой (объединением) двух событий А и В называется новое событие А+В, заключающееся в проявлении хотя бы одного из этих событий.

2) Произведением (пересечением) двух событий А и В называется новое событие АВ, заключающееся в одновременном проявлении обоих событий. А*В=АВ, АА=А, АВА=АВ.

3) Событие А влечет за собой появление события В, если в результате наступления события А всякий раз наступает событие В. АÌВ

А=В: АÌВ, ВÌА

Два события называются несовместными , если появление одного из них исключает возможность появления другого.

Если события несовместны, то АВ=Æ.

События А1 , А2 , …Аn образуют полную группу событий в данном опыте, если они являются несовместными и одно из них обязательно происходит:

Ai Aj = Æ (i ¹ j, i,j=1,2…n)

A1 +A2 +…+An = W

— событие противоположное событию А, если оно состоит в не появлении события А.

А и — полная группа событий, т.к. А+

=W, А=Æ.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей событий:

Р(А+В+С+…) = Р(А) + Р(В) + Р(С) +…

Следствие. Если события A1 +A2 +…+An — полная группа событий, то сумма их вероятностей равна 1.

P(A+ ) = P(A) + P(

) = 1

Вероятность наступления двух совместных событий равна:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ)

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС)

Теорема. Если АÌВ, то Р(А) £ Р(В).

В=В1 +В2 (В1 =А) Р(В)=Р(В1 ) + Р(В2 )= Р(А) + Р(В2 )

Теорема умножения вероятностей. Условные вероятности.

Опыт повторяется n раз, mB раз наступает событие В, mАВ раз наряду с событием В наступает событие А.

hn(B) =

hn(AB) =

Рассмотрим относительную частоту наступления события А, когда событие В уже наступило:

— условная вероятность события А по событию В – вероятность события А, когда событие В уже наступило.

Свойства условных вероятностей.

Свойства условных вероятностей аналогичны свойствам безусловных вероятностей.

1. 0 £ Р(А/В) £ 1, т.к.

; АВ Ì В, Р(АВ) £ Р(В)

2. Р(А/А)=1

3. ВÌА, — Р(А/В)=1

4.

5. Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) – Если события А и С несовместны

Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) — Р(АC/В) – Если события А и С совместны

Теорема . Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого.

Свойства независимых событий.

Если события А и В независимы, то независимы и каждая из пар: А и В, А и

, и В, .

Если события Н1 , Н2 , …Нn независимы, то заменяя любые из них на противоположные, вновь получаем независимые события.

Формула полной вероятности.

Вероятность события В, которое может произойти совместно только с одним из событий Н1 , Н2 , …Нn , образующих полную группу событий, вычисляется по формуле:

События А1 , А2 , …Аn называют гипотезами .

Теорема гипотез (формула Байеса).

Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н1 ), Р(Н2 )…Р(НN ), а в результате опыта произошло событие А, то условные вероятности гипотез находятся по формуле:

Пример. На трех технологических линиях изготавливаются микросхемы. Найти: 1) вероятность того, что случайно выбранное изделие оказывается бракованным; 2) вероятность того, что если изделие дефектно, то оно изготовлено на 1 линии.

Рассмотрим события: Н1 , Н2 ,…Нi ,…,НN (полная группа событий)– изделие изготавливается i линией; А{изделие с браком}.

1) Р(А)=0,25*0,05+0,35*0,04+0,4*002=0,0345=3,45%

2)

Схема последовательных испытаний Бернулли.

Проводится серия из n испытаний, в каждом из которых с вероятностью р может произойти событие А, с вероятностью q=1-р событие

.

Вероятность наступления события А не зависит от числа испытаний n и результатов других испытаний.

Такая схема испытаний с двумя исходами (событие А наступило либо не наступило) называется схемой последовательных испытаний Бернулли.

Пусть при n испытаниях событие А наступило k раз, (n-k) раз событие

. — число различных комбинаций события А

Вероятность каждой отдельной комбинации:

Вероятность того, что в серии из n испытаний событие А, вероятность которого равна р, появится k раз:

— условие нормировки. Пример. Вероятность изготовления нестандартной детали равна р=0,25, q=0.75. Построить многоугольник распределения вероятностей числа нестандартных деталей среди 8 изготовленных.

N=8 p=0.25 q=0.75

Если k0 – наивероятнейшее число, то оно находится в пределах:

np-q £ k0 £ np+q

Если число (np+q) нецелое, то k0 – единственное
Если число (np+q) целое, то существует 2 числа k0 .

Предельные теоремы в схеме Бернулли.

mirznanii.com

Вероятностная теория чисел // Алексей Буфетов ≪ ∀ x, y, z




Цель данного курса — показать, как вероятностные методы и интуиция помогают отвечать на теоретико-числовые вопросы. Я расскажу про два существенно разных сюжета.

1. Правильные гипотезы

Верно ли, что простых чисел-близнецов бесконечно много? Верно ли, что любое четное число раскладывается в сумму двух простых? Ответы на эти вопросы, формально говоря, еще не получены. Однако, существуют правдоподобные гипотезы, дающие куда более точную информацию: так, если — количество простых чисел-близнецов, меньших , то (значение константы также предсказывается). Эта гипотеза следует из простых вероятностных соображений и подтверждается численными данными. Вероятностные «прикидки» позволяют сделать предположения и в ряде других известных вопросов (например, гипотеза Гольдбаха, гипотеза Римана), которые тоже подтверждаются численными экспериментами.

Кажется странным, что в детерминированной ситуации (число уж либо простое, либо нет) оказывается полезным вероятностный подход. Причину можно попытаться описать следующим образом: простые числа определяются свойствами относительно умножения, а относительно сложения никакой ощутимой «структуры» у них нет. Поэтому относительно сложения они ведут себя «случайным» образом.

2. Типичное число простых множителей натурального числа

Пусть — число различных простых делителей натурального числа n. Выберем n равномерно случайно из для большого . Чему равно типичное значение ?

Оказывается, для почти всех мы имеем . Более того, мы докажем теорему Эрдеша-Каца для . Эта теорема утверждает, что имеет порядок и описывается гауссовским распределением.

На этом материале мы познакомимся с базовыми теоремами теории вероятностей: законом больших чисел и центральной предельной теоремой.

Программа:

Базовые понятия: конечное вероятностное пространство, случайные величины, независимость. Множество как вероятностное пространство. Делимость на различные простые как (асимптотически) независимые события. Вероятностная модель Крамера простых чисел.

Улучшенная модель Крамера. Гипотезы: асимптотика количества простых чисел-близнецов, асимптотика количества разложений четного числа в сумму двух простых.

Закон больших чисел и центральная предельная теорема для бернуллиевских величин. Эквивалентная формулировка гипотезы Римана: функция Мебиуса «случайна».

Теорема Эрдеша-Каца: почти всякое натуральное число имеет примерно простых делителей. Более того, число простых делителей удовлетворяет центральной предельной теореме.

По курсу предполагается выдача листочков с задачами. Никаких предварительных знаний по теории вероятностей и теории чисел не предполагается.

Материалы: Листок 1 [pdf 182 KB], Листок 2 [pdf 199 KB]

Алексей Игоревич Буфетов

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
20-27 июля 2016 г.

forany.xyz

Закон больших чисел и теория вероятностей — научная основа анализа статистических данных

В решении важнейшей задачи установление и количественное выражение за­кономерностей и взаимозависимости социальных явлений статистическая наука опирается на закон больших чисел (ЗБЧ), смысл которого состоит в том, что пра­вильности и закономерности социальных явлений могут быть обнаружены только при их массовом наблюдении.

Специфика статистического количественного анализа социальных фактов, в ко­торых проявляется смысл закона больших чисел, заключается в том, что сделанный на его основе вывод, обнаруженная тенденция, закономерность относятся к сово­купности («большому числу») как таковой. Иными словами, закон больших чисел лежит в основе самой логики статистического умозаключения; на основе ЗБЧ вы­является массовая закономерность.

Для статистических закономерностей весьма характерно сложное переплете­ние внутренних и внешних причин, необходимого и случайного. Эти закономер­ности образуются в результате действия внутренних необходимых причин.

Множество вариаций и случайных отклонений сглаживаются (элиминируют) именно в массе, что приводит к образованию статистических закономерностей.Проявление такой закономерности и есть результат действия закона больших чи­сел, которое состоит в том, что совокупность большого числа случайных явлений имеет определенные, не зависящие от случая характеристики, выражаемые коли­чественными, показателями. То есть представление о ЗБЧ и его действии нельзя отрывать от представления о статистической закономерности как формы, в кото­рую облекается закономерность массового явления, изучаемая статистикой с коли­чественной стороны. Причем ЗБЧ проявляется тем отчетливее, чем крупнее стати­стическая совокупность.

Массовые закономерности, а вместе с ними и ЗБЧ, проявляются в самых раз­личных областях действительности. Особенно наглядны они в области демогра­фии, криминальной статистике.

В малом числе наблюдений (например, отдельные преступления) случайные факторы не дают возможности обнаружить закономерность. Напротив, при суммировании большого числа единичных явлений случайности парализуют друг друга, что позволяет установить законы, которые при малых масштабах маскируются ин­дивидуальными отклонениями.



Статистическая закономерность — это не особая форма движения материи, а лишь внешнее проявление этого движения в статистических распределениях и обобщающих статистических характеристиках. Статистически установленные правильности в изменениях количественных показателей, повторяемость и устой­чивость фактов свидетельствуют лишь о том, что в исследуемом массовом явлении заложена известная закономерность, вскрытие которой составляет задачу соответ­ствующей науки (например, криминологии, социологии).

Закономерности массового явления, объективные связи, заложенные в этом яв­лении, находят свое выражение не в отдельных показателях, а в средней величине, в характере распределения.

 

Стоит отмстить, что закон больших чисел не создает уровней, а лишь регули­рует случайные отклонения от заданных природой данного явления уровней.

Таким образом, закон больших чисел основывается иа понятии случайности и вероятности уменьшение степени случайности и возрастание степени вероятности наличия определенного при­знака происходит по мере увеличения статистической совокупно­сти.

Естественнонаучное обоснование, точная формулировка и условия примени­мости закона больших чисел даются в теории вероятностей. Другими словами, теория вероятностей является математическим обоснованием закона больших чисел. Объект теории вероятностей измерение объективной возможности резуль­татов, возникающих в массе однородных случайных событий, и выведение на этом основании количественных закономерностей, которым они подчиняются.

С ее помощью вычисляются шансы возможного наступления случайного со­бытия. Случайный характер варьирующих от единицы к единице совокупности признаков позволяет оценивать, насколько велика вероятность появления того или иного признака в ней. Отношение количества фактически появившихся интере­сующих пае фактов к общему количеству’ всех возможных фактов, выраженное в виде процента или десятичной дроби, называется частостью или опытной (эмпирической) вероятностью.

Вероятность — «математическая, числовая характеристика стелет! возможно­сти появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».

Вероятность обычно обозначается буквой Р. Например, выражение Р(Л) = 0,5 означает, что вероятность наступления события А равна 0,5.

Вероятность принято классифицировать по следующей шкале:

16) 0,00 — полностью исключено;

17) 0,10 — в высшей степени неопределенно;

18) 0,20 — весьма неправдоподобно; I

0,30-0,40 — неправдоподобно;

0,60 — вероятно;

0,70 — весьма вероятно;

0,80 0,90 —в высшей степени вероятно; 1,00 — полностью достоверно.

 

Выводы

Таким образом, вероятность получает определенное количественное выраже­ние, несмотря па то, что наличие того или иного признака или его колебания яв­ляется случайным [6].

Если в урну поместить черный шар и белый шар, то при выемке одного шара из урны одинаково возможно появление любого из них. При этом проявляется альтер­нативная изменчивость, которая заключается в возможности лишь двух исходов: из урны можно вынуть только белый шар либо только черный шар. То же про­исходит и при подбрасывании монеты. Это обстоятельство одинаковой возможно­сти выпадения любой стороны монеты называется равновновозможностью. Событие называется равновозможным, если нет причин, делающих одно из этих событий более возможным, чем другое. Событие называется несовместимым в том случае, когда появление одного делает появление другого невозможным.

Результат каждого единичного опыта с монетой или шарами также зависит от двух групп факторов: основных, связанных со свойствами явления, и случайных, не связанных с этими свойствами. Однако удобством монетной или урновой модели является, во-первых, то, что в ней легко отделить основные причины и свойства явления от побочных; во-вторых, па этой модели легко проследить, как действует каждая группа причин и что является результатом действия каждой из них.

Чтобы априори, т. е. до опыта, определить вероятность наступления какого- либо случайного явления, нужно знать число шансов, благоприятствующих его наступлению, а также число всех возможных шансов (как благоприятствующих, так и неблагоприятствующих). Отношение первой величины ко второй называется математической вероятностью. Она выражается в виде дроби, где в числителе указывается число благоприятствующих шансов, а в знаменателе—число всех воз­можных шансов. Например, при подбрасывании монеты возможно два исхода. Ес­ли считать выпадение орла благоприятным исходом, то вероятность его равна I /2. Если считать благоприятным исходом появление черного шара из урны, в кото­рой находится 70 черных шаров и 30 белых шаров, то вероятность благоприятного исхода при выемке одного шара равна 70/100, а вероятность неблагоприятного исхода равна 30/100 [6].

Вероятность основное понятие теории вероятностей, которая, по образному- выражению автора классических трудов по теории вероятностей П. С. Лапласа (1749-1827), есть здравый смысл, пе­реложенный па вычисление.

 

В числовом выражении вероятность равна доле признака во всей совокупно­сти, как, например, доле черных или белых шаров в урне. Но доля характеризует состав совокупности, а вероятность является оценкой степени объективной воз­можности того или иного результата при отборе наудачу одной единицы из всей совокупности.

Вероятность органически связана с категориями причины и следствия. В са­мом деле, наблюдаемые на поверхности процессов частности — не что иное, как следствие тех или иных внутренних причин, определяющих вероятность явления. Таким образом, вероятность выражает объективную меру связи, причины со след­ствием, выступает мощным средством исследования причинности в массовых яв­лениях. Теория вероятностей показывает, что при достаточно большом (но не ис­черпывающем) числе наблюдений могут быть выявлены и измерены правильности и закономерности, которые присущи изучаемой совокупности.

Применение теории вероятностей к социальным явлениям, в частности к пре­ступности, обусловлено наряду с независимостью отдельных событий (иррегуляр­ностью преступлений) еще и их известной устойчивостью.

Преступность представляет собой типичную статистическую совокупность, обладающую относительно устойчивыми характеристиками, позволяющими кон­кретно изучать се и даже прогнозировать се изменения.

megaobuchalka.ru

Теория вероятности

Вероятность и распределение вероятности.

1. Предмет теории вероятности. Вероятность и статистика.

2. Основные категории теории вероятности.

3. Классическое и статистическое определение вероятности.

4. Теорема сложения вероятностей.

5. Теорема умножения вероятностей.

6. Следствие теорем сложения и умножения вероятностей.

7. Вероятность гипотез. Формула Байеса.

8. Независимые события. Биномиальное распределение.

9. Вероятность редких событий. Формула Пуассона.

10. Локальная теорема де Муавра-Лапласа.

11. Интегральная формула Лапласа.

12. Зависимые события. Гипергеометрическое распределение.

13. Нормальное распределение.

14. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона.

1. Предмет теории вероятности. Вероятность и статистика.

Теория вероятности и математическая статистика – это наука, занимающаяся изучением закономерностей массовых случайных явлений , то есть статистических закономерностей. Такие же закономерности, только в более узкой предметной области социально-экономических явлений, изучает статистика. Между этими науками имеется общность методологии и высокая степень взаимосвязи. Практически любые выводы сделанные статистикой рассматриваются как вероятностные.

Особенно наглядно вероятностный характер статистических исследований проявляется в выборочном методе, поскольку любой вывод сделанный по результатам выборки оценивается с заданной вероятностью.

С развитием рынка постепенно сращивается вероятность и статистика, особенно наглядно это проявляется в управлении рисками, товарными запасами, портфелем ценных бумаг и т.п. За рубежом теория вероятности и математическая статистика применятся очень широко. В нашей стране пока широко применяется в управлении качеством продукции, поэтому распространение и внедрение в практику методов теории вероятности актуальная задача.

2. Основные категории теории вероятности.

Как и всякая наука, теория вероятности и математическая статистика оперируют рядом основных категорий:

— События;

— Вероятность;

— Случайность;

— Распределение вероятностей и т.д.

События – называется произвольное множество некоторого множества всех возможных исходов, могут быть:

— Достоверные;

— Невозможные;

— Случайные.

Достоверным называется событие, которое заведомо произойдет при соблюдении определенных условий.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при соблюдении определенных условий.

Случайным называют события, которые могут произойти либо не произойти при соблюдении определенных условий.

События называют единственновозможными , если наступление одного из них это событие достоверное.

События называют равновозможными , если ни одно из них не является более возможным, чем другие.

События называют несовместимыми , если появление одного из них исключает возможность появления другого в том же испытании.

3. Классическое и статистическое определение вероятности.

Вероятность – численная характеристика реальности появления того или иного события.

Классическое определение вероятности : если множество возможных исходов конечное число, то вероятностью события Е считается отношение числа исходов благоприятствующих этому событию к общему числу единственновозможных равновозможных исходов.

Множество возможных исходов в теории вероятности называется пространством элементарных событий.

Пространство элементарных событий всегда можно описать числом nS=2, nS=6.

Если обозначить число исходов благоприятствующих событию n(E), то вероятность события Е будет выглядеть

. Для наших примеров .

Исходя из классического определения вероятности, можно вывести ее основные свойства :

1) Вероятность достоверного события равна 1.

2) Вероятность невозможного события равна 0.

3) Вероятность случайного события находится в пределах от 0 до 1.

Классическое определение вероятности связано с непосредственным подсчетом вероятности, требует точного знания числа всех возможных исходов, и удобно для расчета вероятности достаточно простых событий.

Расчет вероятности более сложных событий — это сложная задача, требующая определения чисел всех возможных комбинаций появления этих событий. Подобными расчетами занимается специальная наука – комбинаторика . Поэтому на практике часто используется статистическое определение вероятности.

Доказано, что при многократном повторении опыта частости довольно устойчивы и колеблятся около некоторого постоянного числа, представляющего собой вероятность события.

Таким образом, в условиях массовых испытаний распределение частостей превращается в распределение вероятности случайной перемены.

Достоинство статистического определения вероятности в том, что для ее расчета не обязательно знать конечное число исходов.

Если классическое определение вероятности осуществляется априори (до опыта), то статистическое апосториори (после опыта по результатам).

Распределение частостей дискретного ряда, выраженных конечными числами, называется дискретным распределением вероятности .

Если осуществляются исследования массовых событий частостей, которые распределяются непрерывно и могут быть выражены какой-либо функцией, называются непрерывным распределением вероятности .

На графике такое распределение отражается непрерывной плавной линией, а площадь ограниченная этой линией и осью абсцисс всегда равна 1.

4. Теорема сложения вероятностей.

Суммой или объединением событий Е1 и Е2 , называют событием Е, состоящим в появлении события Е1 или Е2 или обоих этих событий.

Площадь прямоугольника – это пространство элементарных событий (число единственно возможных равновозможных исходов). Площади кругов Е1 и Е2 соответственно – это числа исходов благоприятствующих событиям Е1 и Е2 .

— число появлений исходов благоприятствующих событиям Е1 или Е2 или обоих этих событий.

То есть вероятность появления хотя бы одного из двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий.

Данная формула является частным случаем теоремы сложения вероятностей .

Доказывается общий случай теоремы методом математической индукции, путем последовательной разбивки сложного события на пары.

Пример : По результатам наблюдения за продажей мужских костюмов получены следующие данные о вероятности продажи костюмов разных размеров.

Совокупность единственно возможных событий называется полной группой или полной системой .

Сумма вероятностей событий, образующих полную систему равна 1.

образуют полную систему, тогда вероятность появления хотя бы одного события равна 1.

В то же время

не совместны, тогда по теории сложения вероятностей .

Пример : Из каждых 10 посетителей магазина 6 не делают покупок.

Вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна 1.

Два единовременно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными (например: орел и решка).

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Если случайное событие Е имеет весьма малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не произойдет. Если

.

mirznanii.com

теория случайных чисел — Что такое теория вероятности и кто ее разработал? — 22 ответа



теория вероятности википедия

В разделе Наука, Техника, Языки на вопрос Что такое теория вероятности и кто ее разработал? заданный автором спросонья лучший ответ это Эйнштейн

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Что такое теория вероятности и кто ее разработал?

Ответ от Ms. Dum-Dum[гуру]
что за идиоты…эйнштейн разработал теорию относительности..а теория вероятностей началась с того, что пытались разобраться в вероятности выйгрыша в карты или кости в веке эдак 16м…основоположниками стали Героламо Гардано ,Пьер де Ферма и Блеиз Паскаль…все трое были математиками-физиками…
потом позже стали уже рассматривать случаи с вероятностью, где переменная может быть любым реальным числом на промежутке, а необязательно целым..то бишь продолжительные случаи, и не дискретные…появились всякого рода распределения и т.д.
А уже основноположником современной теории вероятности стал русский математик Андрей Николаевич Колмогоров.
Теорияв вероятностей подвергает анализу феномен случайности. Центральные объекты теории: случайные производные, стокастический процесс и события. Две самые фундаментальные теоремы в теории вероятностей: закон больших чисел и теорема центрального лимита.

Ответ от Впросонках[гуру]
Теорию вероятности разработал А. Энштейн.

Ответ от Евровидение[гуру]
Всё. Я пошел в раздел для взрослых)

Ответ от Пользователь удален[гуру]
Теорию вероятноси создал не Энштейн, конечно же, а кто-то другой положил начало. Знаю, что ее начали создавать для того, чтобы описать азартные игры (кости, карты, рулетка). Сейчас теория вероятности- очень сложная наука с очень сложным математическим аппаратом, и одна из самых прикладых в математике.
Определение не помню, но это же понятно должно быть… Например, вероятность выпадения орла при броске монеты — 50 процентов.
Прикольный аватар, кстати. Это ты?

Ответ от Leonid[гуру]
Ребята, это раздел науки и техники, а не юмора.. .Оно конечно, Эйнштейн великий физик, — но при чём тут теория ВЕРОЯТНОСТЕЙ? ! Вы хоть бы в энциклопедию заглянули, а? Или хоть вспомнить, что теория ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ — это одно, а ВЕРОЯТНОСТЕЙ — это ДРУГОЕ! !
Значит, по теме. или можно почитать подробнее. Вкратце — огромное число явлений и в жизни, и в науке (теория газов или квантовая механика) , и в технике (шум, теория передачи сигналов) связано со случайными процессами. И теория вероятностей изучает закономерности, которые там имеют место. Потому что случайне-то они случайные — но все эти случайности подчиняются строгим закономерностям, у них есть определённые свойства и параметры и т. д.

Ответ от Антон Корень[гуру]
Теория вероятностей — направление в науке , утверждающее , что можно с любой заданной точностью предсказать поведение случайного процесса , если иметь достаточную информацию об ограниченом количестве фрагментов этого случайного процесса …Основоположники …действительно море , хотя на сегодняшний день и называют в их ряду чаще всего Паскаля …


Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

История теории вероятностей на Википедии
Посмотрите статью на википедии про История теории вероятностей

Обсуждение шаблона Десятилетия на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Обсуждение шаблона Десятилетия

Применения случайности на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Применения случайности

Теория вероятностей на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Теория вероятностей

Тобольск на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Тобольск

 

Ответить на вопрос:

22oa.ru

Теория вероятности Википедия

Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

История[ | ]

Христиан Гюйгенс Андрей Николаевич Колмогоров

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей[1]. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год)[2].

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний.

В XVIII веке важное значение для развития теории вероятностей имели работы Томаса Байеса, сформулировавшего и доказавшего Теорему Байеса.

В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Карл Гаусс детально исследовал нормальное распределение случайной величины (см. график выше), также называемое «распределением Гаусса».

Во второй половине XIX века значительный вклад внес ряд европейских и русских учёных: П. Л. Чебышёв,

ru-wiki.ru

Единица в любой степени единица – Сколько будет 1 в минус 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 степени?

alexxlab / / Школьная жизнь

число в какой степени будет равно 0?

тока 0 в любой степени, другие числа не имеют такой степени да и любое число в степени 0 равно 1 если вопрос не так задан

не согласна с Александром. . любое число в нулевой степени = единице

Такого числа нет

откройте калькулятор в стандартных и возведите 0 в нулевую степень и получите 1

touch.otvet.mail.ru

1 в степени бесконечность — Энциклопедия научных парадоксов

Материал из Энциклопедия научных парадоксов

Это — материал о парадоксах.
Это — материал собственного авторства.

1∞{\displaystyle 1^{\infty }} — это один из примеров математической неопределённости.

Парадокс заключается в том, что любая степень единицы равна самой единице: 1a=1{\displaystyle 1^{a}=1}. Следственно, и 1∞=1{\displaystyle 1^{\infty }=1}. Таким образом, это не должно быть неопределённостью.

Так почему же это является неопределённостью?[править]

1∞{\displaystyle 1^{\infty }} — это неформальная запись предела lim(x;y)→(1;+∞)xy{\displaystyle \lim _{(x;y)\to (1;+\infty )}{x^{y}}}. Если сначала устремить x{\displaystyle x} к 1{\displaystyle 1}, а потом уже y{\displaystyle y} к +∞{\displaystyle +\infty }, то получится действительно 1{\displaystyle 1}. Но если сначала устремить y{\displaystyle y} к +∞{\displaystyle +\infty }, а потом x{\displaystyle x} к 1{\displaystyle 1} сверху, то получится +∞{\displaystyle +\infty }. А если сначала устремить y{\displaystyle y} к +∞{\displaystyle +\infty }, а потом x{\displaystyle x} к 1{\displaystyle 1} снизу, то получится 0{\displaystyle 0}. Сам же предел lim(x;y)→(1;+∞)xy{\displaystyle \lim _{(x;y)\to (1;+\infty )}{x^{y}}} может принимать любые значения от 0{\displaystyle 0} до +∞{\displaystyle +\infty }, например, limx→+∞(1+1/x)x=e=2,71…{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{(1+1/x)^{x}}=e=2,71…}

paradox.pifia.ru

Возведение в степень

В арифметике сложение равных чисел рассматривается как новое действие — умножение.

При этом число-слагаемое пишется только один раз, а за ним (после знака умножения) пишется число множитель, которое показывает, сколько раз надо взять слагаемым первое число. Например:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 * 5;
.

В алгебре умножение равных между собой чисел рассматривается как новое действие, которое называется возведением в степень.

Если, например, число 5 умножается само на себя, то произведение 5 * 5 = 25 называется второй степенью числа 5; произведение 5 * 5 * 5 = 125 называется третьей степенью числа 5; число 5 * 5 * 5 * 5 = 625 — четвертой степенью этого числа и т. д. При этом говорят, что число 5 возводится во вторую, в третью, в четвертую и т. д. степень.

Определение. Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень.

При этом:

  1. Произведение n сомножителей, равных a, называется n-й степенью числа a.
  2. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени.
  3. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени.

Так, в рассмотренном примере основанием степени был взято число 5; показателем степени в первом случае было число 2, во втором — число 3, а в третьем — число 4.

Степень коротко записывают так: пишут основание степени и справа от него вверху (более мелко) показатель степени:

52 = 25,     53 = 125,    54 = 625    и т. д.

В общем случаеПриведем примеры, поясняющие все сказанное.

1. Примем за основание число 3 и будем возводить его в различные степени:

32 = 3 * 3 = 9;    33 = 3 * 3 * 3 = 27;    34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81;
35 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 и т. д.

2. Примем за основание какое-нибудь отрицательное число, например –2, тогда получим:
(–2)2 = (–2) * (–2) = 4;
(–2)3 = (–2) * (–2) * (–2) = –8;
(–2)4 = (–2) * (–2) * (–2) * (–2) = 16;
(–2)5 = (–2) * (–2) * (–2) * (–2) * (–2) = –32 и т. д.
3. Приняв за основание дробное число, например , получим:
4. Приняв за основание дробное отрицательное число, например , получим:
Следует запомнить, что нуль в любой степени равен нулю, единица в любой степени равна 1, так как

Принято вторую степень числа называть квадратом, а третью степень — кубом этого числа.

Это объясняется тем, что площадь квадрата со стороной a выражается второй степенью числа a, то есть a * a = a2 (квадратных единиц), а объем куба с ребром, равным a, выражается третьей степенью этого числа: a * a * a = a3 (кубических единиц). Возведение числа во вторую и третью степень короче называют возведением в квадрат и в куб.

По смыслу определения действия возведения в степень показатель степени может равняться двум, трем, четырем и т. д., то есть может быть только натуральным числом, большим единицы.

Принято считать, что первая степень любого числа есть само это число, например:

51 = 5;    8,351 = 8,35;    (–3)1 = –3.

Заметим, однако, что показатель 1 обычно не пишется.

Итак, если число записано без показателя степени, то подразумевается, что этот показатель равен 1.

В арифметике показателями степени пользуются для краткой записи разложения целых чисел на множители в том случае, когда среди простых множителей данного числа имеются равные между собой. Разложив, например, на простые множители число 60984, получим:

60984 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7 * 11 * 11.

Кратко, пользуясь показателями степени, это число можно записать так:

60984 = 23 * 32 * 7 * 112.

Полезно запомнить запись единиц различных разрядов в виде степеней числа 10:

100 = 102;    1000 = 103;    10000 = 104;    100000 = 105;
1000000 = 106 и т. д.

Из приведенных числовых примеров видно, что при возведении отрицательного числа в четную степень получается положительное число, а при возведении в нечетную степень получается отрицательное число.
Это и понятно. Четная степень всякого числа есть произведение четного числа сомножителей, а четное число отрицательных сомножителей дает в произведении положительное число (§ 18).

Нечетная степень отрицательного числа, как произведение нечетного числа отрицательных сомножителей, будет отрицательным числом.

Итак, четная степень отрицательного числа положительна, нечетная степень отрицательна.

mthm.ru

На 5 6 – проект строительства по каркасной технологии из бруса, планировка двухэтажного и одноэтажного жилья с мансардой

alexxlab / / Школьная жизнь

Coвмecтимoсть чиceл 5 и 6 в нумeрoлoгии

Coвмecтимoсть

Хорошая совместимость, которая много принесет положительного и пятеркам, и шестеркам. Такие люди дополняют друг друга и могут прекрасно решать возникающие проблемы и добиваться успеха, если только шестерка не станет настаивать на своем.

Люди с такими числами прекрасно ладят, могут находить компромиссы и поддерживать друг друга в самых трудных ситуациях.

Благодаря взаимопониманию, они способны преодолеть различные преграды, при этом союз благоприятен и для пятерки, и для шестерки. Пятерка шестерке дарит новизну, массу положительных впечатлений и позволяет не сидеть на месте, а шестерка вносит в жизнь пятерки стабильность и постоянство.

Это очень хорошее сочетание и для дружбы и делового партнерства, и для любви. Браки между этими людьми могут быть очень крепкими и плодотворными для обоих партнеров.


Coвмecтимoсть 5 и 6 в любви

Несмотря на отсутствие страсти и влюбленности, эти партнеры гармонично дополняют друг друга. Пятерка вносит в жизнь шестерки свежесть, яркость и нежность, а шестерка помогает ей заземлить и воплотить в жизнь даже самые рискованные планы.

Эти люди прекрасно уравновешивают друг друга, могут образовать очень крепкие отношения, долго встречаться и жить вместе прежде, чем оформить отношения. К детям оба партнера с такими числами относятся хорошо. Пятерка может стать для них прекрасным другом, а шестерка обеспечить основу их жизни и дать направление в развитии способностей и талантов.



Достоинства союза

  • взаимопонимание, стремление к общению и общие интересы;
  • доброжелательность обоих партнеров;
  • пятерка способствует развитию и личностному росту шестерки;
  • отсутствие скуки и рутины в отношениях;
  • умение находить разумные компромиссы;
  • высокий сексуальный и чувственный потенциал обоих партнеров;
  • шестерка способствует развитию пятерки, ее разумности и успешности;
  • активность обоих партнеров, стремление к благополучию и счастью;
  • шестерка способствует личностному росту и взрослению пятерки;
  • оба партнера умеют друг друга поддерживать и настраивать на успех.

Недостатки союза

  • шестерка может давить на пятерку, провоцировать конфликты;
  • в соперничестве эти партнеры друг другу не уступают;
  • пятерка может несерьезно отнестись к словам шестерки;
  • высокая вероятность измен, особенно после 10 лет совместной жизни;
  • в браке возможны психологические травмы и проблемы;
  • партнеры могут быть невнимательны друг к другу;
  • шестерка может перевоспитывать пятерку;
  • шестерка может начать ревновать пятерку;
  • возможны мелкие придирки и ссоры на бытовой почве;
  • со временем могут накапливаться претензии друг к другу и взаимные обиды.

Coвмeстимoсть 5 и 6 в дружбe

Люди с таким сочетанием отличаются умением крепко дружить, развиваться, находить компромиссы. Сотрудничество и дружба с пятеркой позволяют шестерка задумываться над своим поведением и меняться в лучшую сторону, что способствует ее личностному росту и развитию. Пятерка благодаря шестерке может реалистично оценить свои возможности и перспективы, отказаться от невыполнимых планов и идей.

Вместе они могут преодолеть любые трудности, однако пятерке лучше не работать под началом шестерки, так как это способствует конфликтным отношениям.


Характеристика всех чисел в нумерологии

Рейтинг страницы:

5.0 / 5

Проголосовало: 2

moigoroskop.org

ГДЗ для 1-11 класса на 5.fun

  • Все классы ▾
    • Все классы
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5
    • 6
    • 7
    • 8
    • 9
    • 10
    • 11
  • Все предметы ▾
    • Все Предметы
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Алгебра
    • Геометрия
    • Физика
    • Химия
    • Немецкий язык
    • Белорусский язык
    • Украинский язык
    • Французский язык
    • Биология
    • История
    • Информатика
    • ОБЖ
    • География
    • Музыка
    • Литература
    • Обществознание
    • Черчение
    • Окружающий мир
    • Человек и мир
    • Технология
    • Естествознание
    • Испанский язык
    • Искусство
    • Китайский язык
    • Кубановедение

классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

na5.fun

Как найти Пять Шестых Числа. Помогите Как найти Пять Шестых Числа

не… сначала умножить, а потом делить. так проще. большее на меньшее всегда без проблем делиться… . нас лет сорок назад так учили.

Разделить это число на 6 и умножить на 5

раздели на 6 и умножь на 5

раздели это число на шесть и результат умнож на пять)

часть от числа находится умножением этого числа на дробь. выражающую эту часть. пример: 3\7 от 42 42*3\7 7\11 от 121 121*7\11 а*в\с=а*в\с

например: дано число 25 от него нужно найти 5/6 ; 25делим на 6= 4.166667; а потом получившееся число умножаем на 5=20.8333335

touch.otvet.mail.ru

Развивающие занятия (задания) для детей 5 6 лет

Занятия для детей 5-6 лет на развитие логического мышления, математических способностей, письма. Также это лучшее время для обучения чтению.

[ads-for-wp ads-id=»9184″][ads-for-wp ads-id=»9157″][ads-for-wp ads-id=»9158″]

Заниматься с пятилетними детишками – одно удовольствие. И если до 5 лет ребенок еще сопротивлялся подготовке к школе, то с этого возраста – мечтает поскорее вырасти и стать учеником. Теперь открыты новые знания и умения, а зрелость психических функций позволяет довольно долго концентрироваться на задании.

На развивающих занятиях дети в возрасте 5-6 лет осваивают письмо, арифметические действия, учатся распознавать все звуки в словах. Также это лучшее время для обучения чтению, дошкольники с интересом изучают буквы и быстро схватывают принцип их слияния в слоги.

Однако весь обучающий процесс по-прежнему должен быть построен на игровой деятельности, а сами занятия отличаться разнообразием применяемых средств. В противном случае, «утомительные» уроки принесут лишь раздражение, и малыш потеряет интерес.

Задания для занятий с детьми 5-6 лет

К 5-6 годам дети накапливают уже достаточно большой багаж знаний и навыков. Вместе с возросшими интеллектуальными возможностями усложняются и задания.

Математические упражнения и задания

К данному возрасту ребёнок скорее всего уже считает до 10, знает основные фигуры и умеет их сравнивать.

Теперь будущему первокласснику нужно научиться оперировать числами до 10 (вычитать и складывать, постигать состав первого десятка), решать головоломки и задачки в одно действие, сравнивать множества (больше, равно, меньше). Кроме того, до школы нужно закрепить умение ориентироваться в пространстве, выучить прямой/обратный порядок числового ряда. Старшие дошкольники делят круг или квадрат на несколько равных частей, учатся писать цифры и арифметические знаки.

В статье «Развивающие занятия дома в 4-5 лет» уже упоминались обучающие пособия, в которых есть все необходимые для занятий упражнения. Эти же серии выпускаются с пометкой 5+. Кроме того, выучить цифры пятилеткам поможет Тору Кумон и её пособия «Учимся считать».

В занятия для детей 5 лет по математике можно также включить следующие упражнения:

Задания с числовым рядом

Например, «Найди числа». Для игры понадобятся карточки с цифрами. Родитель кладёт перед малышом две карточки с любыми числами. Задача крохи найти выложить между ними промежуточные числа. Например, взрослый предлагает числа 5 и 9, малыш выкладывает между ними 6,7,8. Когда чадо усвоит это упражнение, продолжайте игру без карточек, называя числа устно.

Математические раскраски

Чтобы узнать, в какие цвета раскрасить картинку, ребёнок должен вспомнить цифры, или, что сложнее, решить пример.

Графические диктанты

Для развития произвольного внимания, моторики и пространственного воображения отличным видом работы являются так называемые диктанты «по клеточкам». Они могут быть зрительными, когда малыш перерисовывает схематический рисунок по образцу, и слуховыми. Во втором случае родитель диктует, как ребёнку двигаться по клеточкам (одна вверх, 4 клетки вниз и т.д.), и в результате получается рисунок.

В пять лет длительность таких диктантов составляет 10-15 минут.

Геометрические примеры

Ребёнок выполняет действия с фигурами в голове и выбирает, из предложенных вариантов конечный результат.

Ещё много интересных заданий в статье «Развитие математических способностей».

Старайтесь вовлекать малыша в обучение ненавязчиво. Например, пусть он сам отсыпает по рецепту в пирог 5 ложек сахара и разбивает 3 яйца. Или просите отсчитать деньги за проезд, сдачу, поделить пирог между членами семьи и т.д.

Помогут и настольные игры-ходилки, в которых количество ходов зависит от значения выпавших кубиков. Лучшие из них описаны в статье «Настольные игры для деток 5-6 лет».

Задания на логику

Занимаясь подготовкой к школе, родителям нужно понимать, что главная их задача состоит не в том, что научить ребёнка быстро читать, считать и красиво писать. Этому их научат и в школе. Главной целью должно быть развитие психических процессов. С хорошо развитой памятью, вниманием и мышлением, маленький ученик всегда будет иметь успех в обучении. К тому же, развитие этих самых интеллектуальных способностей наиболее эффективно пока ребёнок маленький.

Что касается логического мышления, за шестой год малыши овладевают следующими умениями:

  • делят предметы по группам, называя какой-нибудь признак;
  • сочиняют рассказ по картинке или придумывают историю по началу;
  • находят лишний предмет;
  • выявляют закономерность и продолжают её.

Логические задания для детей 5 лет могут быть графические (найти похожее, раскрасить по образцу, пройти лабиринт, дорисовать, решить ребус), речевые (задачки на смекалку, загадки), головоломки. Все это можно найти в печатных развивающих пособиях и программах.

Тематические статьи:

Несколько примеров логических заданий.

Лягушка Жу присела на розовый листик. Лягушка ИА находится не на розовом, и не на голубом. Расположи лягушек правильно.

Или, задачка про закономерности. Необходимо подумать, что может быть пропущено. (В данном случае чередуются живые и неживые предметы).

Проверяем пространственное мышление. Какая из салфеток не приколота?

Способности к запоминанию у детей, как и у взрослых разные. Одно известно точно, память можно тренировать. Поэтому организовывая игры на развитие памяти, начинайте с малого – вначале предложите запомнить три объекта, потом больше. Как правило, в возрасте 5 лет малыш может воспроизвести 5-6 зрительных образов, 4-5 не связанных по смыслу слов, 3-4 цифры, повторить за взрослым 5-6 действий.

Более подробно о заданиях, которые помогут крохе быстрее запоминать, читайте в статье «Развитие памяти дошкольников»

Задания для запоминания букв

В школе обучение грамоте происходит от звука к букве. Поэтому прежде чем приступить к изучению алфавита, нужно убедиться, что кроха хорошо различает звуки в слове, может построить звуковую схему слова.

Чтобы малыш быстрее запомнил графическое изображение буквы, её можно вылепить, придумать, на что она похожа, развесить карточки с буквами по комнате.

Если есть магнитные или деревянные буквы, их можно положить в мешочек и доставать наощупь. Также можно изготовить «рельефные» буквы, при помощи круп, стразов и бусинок.

Если ребёнок уже выучил буквы и умеет складывать слоги, можно поиграть со словами.

Например, прочитай слово по первым буквам.

Или подумать над таким заданием.

Разнообразят домашний урок грамоты и ребусы с буквами.

Развиваем речь

К 5 годам дошкольник должен уже чётко называть не только своё имя и фамилию, но и адрес, телефон, знать данные своих родителей. В целом речь 5-летнего ребёнка уже ничем не отличается от взрослой. Дошкольник правильно использует грамматические нормы, может вести беседу, строить рассуждения, задает вопросы.

Формирование звуковой стороны речи осуществляется посредством скороговорок и артикуляционной гимнастики. Также помогут игры на определение позиций звуков в слове, складывание слов из звуков.

Например, родитель проговаривает слова, а ребёнок, услышав заранее обговоренный звук их «ловит» хлопками или прыжками.

Тематический материал:

В другом упражнении родитель кидает мяч и называет слог. Ребёнку нужно придумать на этот слог слово и кинуть мяч обратно.

Развитие деток 5-6 лет в режиме онлайн

Развиваться и обучаться дома поможет и компьютер. Сегодня доступно много образовательных сайтов и онлайн-платформ, которые бесплатно предлагают разнообразные задачки и игровые упражнения для детей.

Задания на них обычно дифференцируются на категории по возрасту и тематикам – логика, грамота, математический материал, расширение кругозора и др. Поэтому подобрать необходимые упражнения несложно.

К примеру, к разделу логика для 5 лет, можно отнести такую задачку с кругами Эйлера.

Источник фото: онлайн-сервис интеллектуального развития детей https://iqsha.ru

Если ответ правильный (в данном примере, «солнце»), ребёнка обязательно похвалит диктор. В случае ошибки можно узнать правильный ответ и объяснение. (Фонарь не теплый, цыплёнок неяркий).

Используя развивающие онлайн-упражнения для детей 5–6 лет, дозируйте время пребывания за компьютером. Если заметно, что внимание ученика рассеивается или решение затянулось, смените вид деятельности.

5-летние дети очень глубоко переживают свои неудачи. Поэтому, если что-то не получается, подбадривайте, предложите справиться с трудностями вместе! Так ребенок не потеряет веру в себя и будет открыт к новым знаниям!

rearchildren.ru

Логические задачи для детей 5

Мы научим ребёнка решать любые задачи! Занимайтесь на ЛогикЛайк по 15-20 минут в день.

Какие задания нравятся детям?

Чтобы завоевать и удержать внимание ребенка, задания на логику должны быть интересными, яркими, красочными и разнообразными.

Перед вами онлайн-платформа с коллекцией именно таких авторских логических задач и головоломок для детей с 5 лет.

Простые логические задания с ответами

Подборка из обучающего курса ЛогикЛайк

Условие: Лягушка ЖУ любит сидеть на розовой кувшинке.
Лягушка ИЯ никогда не выбирает ни розовую, ни голубую.

Вопрос: На какой кувшинке должна сидеть каждая из лягушек?

Догадайся, сколько рыбок нужно запустить в пустой аквариум.

Условие: Картинки расставили в определённом порядке (в виде закономерности).

Задание: Подумай, какой элемент ряда будет следующим.

logiclike.com

Список хороших книг для ребенка 5-6 лет.

Сначала немного вступительных слов. Все-таки я решила систематизировать прочитанные нами книги по возрастам. И потому что мне часто задают  вопрос что почитать в таком то возрасте, а я и сама уже не помню. И потому, что я бы тоже не прочь взглянуть на какой-нибудь список для, например, 9-10 летней девочки… В свое время Женя-Муми Мама составляла списки по направлениям, например, книги о приключениях, романтические книги и т.д. Хорошее было дело, жаль, что Женя свой блог уже не ведет… Я же решила просто написать список что же читала моя дочь именно в том или ином возрасте. Причем это будет только художественная литература и проза. Т.е. я не буду писать про обучающие и развивающие книжки, энциклопедии, а также книжки стихов. Иначе список грозит превратиться в бесконечный;) В этом списке будут те книги, которые мы читали сами или, в крайнем случае, что советовали те люди, мнению которых я доверяю, ну или я покупала или собираюсь купить в подарок другим ребятишкам. Короче, наш список, ниоткуда не содранный;)))

Конечно, проще всего мне писать про то, что прочли недавно, т.к. это относительно помню, да и в блоге кое-что можно подсмотреть. А труднее всего лет на 5-6, потому что ребенок уже сам вовсю читал, я могла даже и не знать что именно, да и времени прошло.. Так что список, естественно, не полный, да и деление весьма условное. Для кого-то слишком рано, для кото-то может уже не интересно. Подчеркиваю, это всего лишь наш собственный опыт;)  И еще картинки кое-где буду вставлять, чтобы и текст нескучный был, и чтобы показать какие конкретно издания мне нравятся;)))
 Итак, сегодня список хороших (по нашему с Полинкой мнению) книг на возраст 5-6 лет.

1)Во-первых, конечно, сказки. Всякие разные. И народные, и известных авторов (Перро, Гримм, Гауф, Пушкин, Андерсен и т.д.)
Красиво изданные сказки можно посмотреть в этом сообщении. 2) Книги с иллюстрациями Беатрис Поттер. У нас такие:

3) Винни-Пух и все-все-все. А.Милн и Б.Заходер

4) Серия книг про Сашу и Машу Анни  Шмидт. Вот такие

Кстати, эти книжки хороши тем, что рассказики совсем небольшие и не отпугнут малыша, который только учится читать;)))
5) Серия книг про медвежонка Паддингтона Майкла Бонда

6) Книги А. Волкова «Волшебник изумрудного города» и др. У нас с классическими иллюстрациями Леонида Владимирского, они мне больше всего нравятся;)

7) «Золотой ключик или приключения Буратино». А.Толстой. Тоже ищите с иллюстрациями Владимирского. Было несколько изданий;)) Например, такие

8) «Приключения Пиноккио». К.Коллоди

9) «Приключения Чиполлино», «путешествие Голубой стрелы». Дж. Родари. 
10) «Щелкунчик и Мышиный король». Гофман. Изданий великое множество, но ни одно мне на 100% не нравится. Из всех пока выбрали такое

11) Книги Эдуарда Успенского. «Крокодил Гена и его друзья», «Дядя Федор, пес и кот», «Каникулы в Простоквашино» и т.д.
12) «Цветик-семицветик» В.Катаев

13)»Буква «Ты» и др. рассказы Л.Пантелеева
14) «Паровозик из Ромашково» и др. рассказы Г.Цыферова
15) «Домовенок Кузька» Т.Александрова.
16) «Трям, здравствуйте!» и др. сказки С.Козлова

17) «Невезучка».И.Ольшанский

18) Любимейшая книга моего брата в детстве- «Рам и Рум». С.Сахарнова. У меня сохранился старый вариант, а сейчас ее переиздали! Мамам мальчиков особенно рекомендую!

19) «Маша и Ойка». С.Прокофьева

20) «Счастливый конец». Е.Борисова













21) «Конек-горбунок» П.Ершов

22) Приключения Незнайки и его друзей Н.Носов

23) «Приключения новогодних игрушек. Страна новогодних игрушек. Е.Ракитина


24) Волшебная мелодия. В.Лунин

25) Повести о малыше и Карлсоне. Сказки. А.Линдгрен

26) Приключения Эмиля из Леннеберги. А.Линдгрен.

27) Муфта, Полботинка и Моховая борода. Эно Рауд.

28) Папа, мама, 8 детей и грузовик. Папа, мама, бабушка и 8 детей в Дании.  А.К.Вестли

29)Тутта Карлсон Первая и единственная, Людвиг Четырнадцатый и другие. Ян-Олаф Экхольм.

30) Чудесное путешествие Нильса с дикими гусями.С.Лагерлеф

31) Серия книг о Петсоне и Финдусе. С.Нурдквист

32) Серия книг Женевьевы Юрье о веселых крольчатах.

33)»Мышь Гликерия». Д.Сабитова

34) Про маленького поросенка Плюха. И.Баллод, И.Румянцева.

35) «Бабушка!-кричит Фридер» Мебс Гудрун

36) «Сипсик» Эно Рауд

37) «Умная собачка Соня». А.Усачев.

38) Приключения Карандаша и Самоделкина. Ю.Дружков.

39) «Аля, Кляксич и буква «А» И.Токмакова


40) «Замок лгунов»  В.Жилинскайте

41) «Как жила Тася» М.Толмачева

42) Маленькое привидение. Маленькая Баба-Яга. И др. сказки. О.Пройслер
43) «Вовка Веснушкин в стране заводных человечков» В.Медведев. Вот когда пожалеешь, что книгу выпустили, а сын уже вырос;)))

44) «Приключения Травки». С.Розанов. Еще одна книга для мальчиков. Потому что, как я заметила, для мальчиков меньше книг, чем для девочек;)))

45) «Три веселых краски» Ю.Смольников. Помните такой мультик?;)

46) «Потерялась девочка» Г.Демыкина. Прекрасные иллюстрации Г.Епишина

47) «Желтый, белый, лиловый» Н.Павлова. Сказки о травках;)))

48) «Катя в игрушечном городе» Т.Александрова, В.Берестов

49) «Про девочку Веру и обезьянку Анфису» Э.Успенский.

50) «Бельчонок, его друзья и волшебная книга» О.Фадеева

51) Рита, Вася и Несправедливость. Р.Гуревич

52) Тряпичная Энн. Новые истории тряпичной Энн.Джонни Груэлл

53) Принцесса Маша Ромашкина и др. сказки. Сборник современных авторов.

54) Приключения Сдобной Лизы. Виктор Лунин

55) Был бы я взрослым. Ева Яниковски

56) Капитаны детского сада. Анна Анисимова.

57) Рассказы и сказки. Сергей Воронин.

58) Дорогая наша мама. Ольга Высотская.

59) Люди и разбойники из Кардамона. Эгнер Турбьерн

60) Однажды после лета. Инга Пальцер, Алена Вересова.

61) Солнечный денек. Любовь Воронкова

62) Серия книг-сказок «Сказки и истории страны дождей» Ирины Даниловой

63) Путешествие на край кухни. Ольга Лукас

Итак, вот  60 с лишним книг для дошкольников. Те книжки, которые посложнее, можно читать вместе с мамой, а относительно короткие, но милые рассказы (как, например, в Саше и Маше) ребенок легко прочтет сам, объем его не отпугнет. Так помаленьку и начнет читать самостоятельно;)))
Очень надеюсь, что наш список поможет хоть немного сориентироваться  при покупке детских книг, что с каждым годом становится все актуальнее и актуальнее (и книг множество, и цены уж больно кусачие, жаль отдавать за что попало;))) Для удобства вынесу ссылку на пост на панель блога;)
Список будет корректироваться по ходу.
Приятного вам чтения!
Ваша Татьяна-Ласточка. Книговед-любитель:))))

lastochkinognezdo.blogspot.com

Дом 5 на 6 — смотрите 80 фото лучших проектов частных домов

Одноэтажный дом площадью 5 на 6 метров может стать полноценным постоянным жильем для небольшой семьи или молодой пары, а также уютным домиком для отдыха. Постройки такой площади часто выбирают владельцы баз отдыха, для сдачи гостевых домиков в аренду. В здании площадью 30 кв. м. легко уместится небольшой магазинчик.

Но вот как построить дом такого размера, чтобы в нем было комфортно и приятно находиться? Как расположить мебель, и спланировать расположение комнат? Как увеличить полезное пространство физически и визуально?

На эти и многие другие вопросы мы постараемся ответить в этой статье. Начнем с того, за что люди все чаще выбирают дома малой площади, рассмотрим их преимущества.

Оглавление статьи:

Достоинства небольших домов

Экономичность. Строительство дома 5х6 не требует больших затрат на стройматериалы, отделку и наемную рабочую силу. С постройкой такого размера справятся 1-2 человека. Да и на эксплуатации и обслуживании небольшого дома можно значительно сэкономить.

Скорость строительства. В хорошую погоду летом возвести такое здание можно за 8-10 дней.

Минимальная занимаемая площадь особо важна владельцам земельных участков небольшого размера, а также тем, у кого на участке уже есть основной дом, а новый строится в качестве гостевого.

Маленькую площадь гораздо проще содержать в чистоте и порядке, чем большой коттедж.

Затраты на отопление таких домиков минимальны, так как они быстро прогреваются, долго сохраняют тепло и не требуют отдельного помещения под котел.

Большое количество вариантов планировки позволяет подстроить жилое пространство под конкретные нужды владельцев.

Планировочные решения для домов 5х6м

Важной частью строительства на небольшом участке земли является планировка дома. Тщательно продуманный проект позволяет увеличить полезное пространство и максимально использовать его для комфортного отдыха или работы.

При рациональном использовании пространства, дом 5 х 6 может уместить в себе и отдельные комнаты, и санузел, и кухню, и даже гардеробную или парную, а пристроенная терраса может стать дополнительным местом для отдыха.

При использовании помещения в качестве нежилого, можно оборудовать его под продуктовый или промышленный магазинчик со складом, торговым залом и санузлом, а также под маленькое кафе с залом на несколько столиков и барной стойкой.

Принципы, которых стоит придерживаться при планировке таких домов.

  • Большая часть пространства дома должна быть отведена под жилые площади;
  • Не основные помещения, такие как прихожая или кладовка, должны занимать минимально возможную площадь;
  • Ванную и туалет следует объединить;
  • Зону кухни лучше объединить со столовой и гостиной зонами, отделенная стеной кухня значительно уменьшает пространство как визуально, так и физически;
  • Чтобы не пришлось отводить под отопительный котел отдельное помещение, рекомендуется выбирать настенный компактный вариант, который можно повесить в кухне или в ванной.

Под хранение вещей стоит отвести высокие шкафы, полки и антресоли, чтобы использовать вертикальное пространство по максимуму.

Отличным выбором станет складная мебель, также подойдут угловые варианты кухонных гарнитуров или диванов, они займут углы, которые, как правило, используются не рационально.

Небольшая площадь строения не значит, что отдыхать и жить в нем не комфортно. Грамотный проект дома 5 на 6 обеспечит комфортабельное пребывание в доме хозяевам и их гостям.

Как увеличить жилую площадь домов 5х6м

Любой владелец рано или поздно задумывается о расширении жилого пространства, конечно лучше позаботиться об этом еще на этапе планирования стройки. Если в дом строится для постоянного проживания, эта проблема становится более острой. Среди способов увеличить количество квадратных метров следует особо выделить следующие:

Если заранее позаботиться о наличии подвала, его пространство можно использовать не только как погреб, но и как тренажерный зал, мастерскую, библиотеку или кабинет.

Самый простой, но и более затратный способ увеличить полезную площадь частного дома 5х6 это строительство второго этажа. На нем чаще всего размещают спальные помещения. Но такой способ требует больше строительных и отделочных материалов, а также более надежного фундамента.

Использование террасы в качестве кухни или столовой. Такой способ требует утеплить и застеклить террасу.

Мансарда. Очень часто именно она используется в качестве второго этажа в частных домах маленькой площади. Для того чтобы установить мансардную крышу потребуется чуть больше строительных материалов, но это незначительно увеличит стоимость дома. Кроме спальни, на мансарде можно разместить детскую игровую комнату, ведь дети так любят играть на чердаке.

Если вы хотите обустроить классическую двускатную крышу, то можно и под ней разместить спальные места. Для этого при строительстве необходимо соорудить надежную площадку под крышей. Такой метод уменьшит высоту потолков, но позволит максимально использовать вертикальное пространство и сэкономить горизонтальное, не размещая на нем кровати.

Еще один вариант крыши, который позволит увеличить площадь дома – односкатная крыша. Стены при такой крыше разной высоты, у более высокой стены можно надстроить небольшую площадку на опорах. К площадке пристраивается лестница, и использоваться она может по-разному, как спальня, рабочее место, гардеробная.

Вышеперечисленные методы эффективно увеличат жилую площадь без существенных затрат, но позаботится о них нужно заранее. После того как дом построен увеличить полезное пространство можно разве что застеклив террасу или пристраивая к дому дополнительные постройки.

Методы визуального расширения пространства

Дизайн частного дома – кульминация и одна из важных составляющих всего строительства. После проектирования и планировки дома, стоит тщательно проработать дизайн-проект, который подчеркнет архитектурные особенности и позволит зрительно расширить пространство. В арсенале профессиональных дизайнеров имеются особые приемы для визуального увеличения площади в домах 5 на 6м. Вот некоторые из них:

Избегайте использования темных и ярких цветов отделки стен, а также потолка и пола. Пастельные оттенки сделают комнату светлее и шире. Не используйте обои или плитку с крупными узорами и рисунками.

Чтобы разграничить пространство не стоит использовать сплошные стены. Отделите столовую от кухни легкой ширмой, а прихожую от гостиной стеллажом.

Один стиль в дизайне всего дома объединит интерьер, сделает пространство более цельным.

Один источник света лучше заменить несколькими, расположенными на разной высоте. Например, напольный торшер, настенные бра и потолочные светильники.

Известный прием зрительного увеличения пространства – зеркала. Выберете шкафы или двери с зеркальными вставками, ли просто большое зеркало.

По фото частного дома 5 на 6 м. построенного с учетом всех советов, приведенных в статье, сложно представить, что все это создано на таком небольшом участке земли. Тщательно продуманный проект позволит без особых затрат построить уютный и функциональный дом, пригодный как для летнего отдыха, так и для постоянного проживания.

Фото домов 5 на 6


Вам понравилась статья?

planirovkainfo.ru

Формула площа прямокутника – Формули площі. Площа трикутника, квадрата, прямокутника, ромба, паралелограма, трапеції, круга, еліпса.

alexxlab / / Школьная жизнь

Формула площі прямокутника

Площа прямокутника дорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін

S =  a · b де S — площа прямокутника,

a, b — довжини сторін прямокутника.

У процесі подальшого вимірювання й обчислення площі прямокутники

і розв’язування задач на обчислення площі слід мати на увазі такі моменти:

1. Діти повинні достатньо практикуватися у вимірюванні площ прямокутників на моделях та малюнках.

2. Кожен учень має виконати 2—3 завдання на вимірювання площі класної дошки, вікна, поверхні кришки стола, підлоги, стіни класної кімнати, земельної ділянки тощо.

3. Треба розв’язати достатню кількість задач на обчислення площі прямокутника, сторони якого виражені складеними іменованими числами. Саме тоді стане зрозумілою вимога правила про те, що довжину і ширину прямокутника необхідно вимірювати однією і тією самою мірою. Розв’язування задач на обчислення площі потрібно поєднувати з розв’язуван­ням задач на обчислення периметра.

4. Слід практикувати обчислення площі прямокутних ділянок за їх планом.

Для ознайомлення учнів з палеткою як інструментом для вимірювання площі фігур можна скористатися прийомом аналогії (масштабна лінійка призначена для вимірювання довжини відрізка, палетка — для вимірювання площі фігури). Розкриваючи мету уроку, вчитель повідомляє дітям, що раніше нони знаходили площу фігури тільки прямокутної форми і робили це за правилом. Тепер потрібно навчитись з допомогою особливого пристрою знаходити площу фігур, що мають форму круга, будь-якого многокутника або фігури будь-якої форми. На фігуру накладають палетку — прозору плівку або пластинку, поділену на квадрати, — і лічать, скільки квадратів цієї палетки накладається на дану фігуру. На дошці вчитель креслить довільну криволінійну фігуру, накладає на неї палетку, показує спосіб підрахунку повних і неповних квадратів. (Палетка вчителя поділена на квадратні дециметри). Використовуючи зображення геометричних фігур, учні за допо­могою палетки визначають їх площу.

61.Методика формування в учнів поняття швидкості та залежності між трійкою величин: швидкістю, часом та відстанню (шляхом) при рівномірному прямолінійному русі. Одиниці швидкості. Формули знаходження швидкості, часу і відстані.

Діти вже знайомі з величинами: час та відстань. Чули вони й слово „швидкість”. Але, перед тим, як перейти до розгляду залежності між відстанню, швидкістю та часом при рівномірному русі, поняття про швидкість руху треба ввести.

Спостерігаючи за рухом кількох тіл, учні помітили, що:

  • за один й той самий час два тіла можуть пройти різну відстань;

  • одну й ту саму відстань два тіла можуть подолати за різний час.

Чому так відбувається? Учні можуть відповісти: „Тому що у цих тіл різні швидкості!”. Що таке швидкість? На це запитання навряд можна отримати свідому відповідь…

Швидкість — нова величина, з якою ознайомлюють учнів 4 класу. Це векторна величина. У початковій школі поняття напрямленої величини не розглядають, але на малюнках напрям руху тіл вказують. Поняття швидкості пояснюють на основі поданої нижче задачі.

Задача. За 2 год автобус проїхав 120 км. Скільки кілометрів він проїде за І год, коли щогодини проїжджатиме однакову кількість кілометрів?

Розв’язання

120:2 = 60(км).

Відповідь. За 1 год автобус проїде 60 км.

Пояснення. Якщо за кожну годину автобус проїжджає 60 км, то кажуть, що він рухається зі швидкістю 60 км/год. Це записують так: 60 км/год.

Відразу можна подати таке правило: щоб знайти швидкість, треба відстань поділити на час.

З поняттям «швидкість» ми маємо справу часто: «трамвай рухався повільно»; «літак рухався з надзвуковою швидкістю»; «перша космічна швидкість»; «друга комічна швидкість»; «швидкість променя світла» та ін.

Швидкості вимірюються в різних одиницях. Наприклад: 3 м/с; 10 м/хв; 120 км/год. Ці одиниці швидкості можна перетворювати. Так, 5 м/с — це те саме, що 5 • 60 м/хв, тобто 300 м/хв.

Безпосередньо з поняттям швидкості уточнюється поняття відстані і часу, встановлюється залежність між цими величинами.

Одиниці вимірювання швидкості: й тощо

  1. Формули для знаходження відстані, якщо відомі час і швидкість мають вигляд: S = v * t, де S — відстань, v — швидкість, t — час; 2.Формули для обчислення швидкості, якщо відомі час і відстань: v = S / t, де S — відстань, v — швидкість, t — час; 3. Формули для визначення часу, якщо відомі швидкість і відстань мають вигляд: t = S / v, де S — відстань, v — швидкість, t — час;

62.Методика вивчення тем „Частини” і „Дроби” в початковому курсі математики. Ознайомлення учнів з частинами. Утворення частин. Задачі на знаходження частини від числа і числа за його частиною. Поняття „дріб”. Утворення та запис дробів. Чисельник і знаменник дробу. Порівняння дробів.

У молодших школярів необхідно створити конкретні уявлення про процес утворення частин від цілого предмета чи сукупності предметів. З цією метою вже в 3 класі дітей ознайомлюють з частинами, їх записом, вчать знаходити частину числа та число за відомою його частиною. У 4 класі продовжують працювати над засвоєнням частини числа, учнів ознайомлюють з дробами та їх записом, вчать порівнювати частини, знаходити кілька частин від числа, дріб від числа, розв’язувати складені задачі, що передбачають знаходження дробу від числа.

Розглядають ці питання з допомогою наочності, виконуючи практичні вправи, пов’язані з кресленням, вимірюванням, перегинанням, практичним поділом круга, прямокутника, смужки на рівні частини.

Ознайомлення з частинами

Діти часто чують від старших слова «півкілограма яблук», «третя частина, кавуна», «чверть години» тощо. Цей життєвий досвід учнів треба впорядкувати і систематизувати. Правильні уявлення про частини, а пізніше про дроби будуть сформовані тоді, коли діти своїми руками зроблять, наприклад, половину круга, знайдуть четверту частину смужки та ін.

Покажемо, як ознайомлювати учнів з частинами. Учитель запитує, хто бачив половину хлібини (кавуна, яблука тощо), ставить завдання показати половину кружечка, розділити навпіл смужку паперу. Перегинаючи круг, смужку паперу навпіл, діти роблять висновок, що половини одного й того самого круга чи тієї самої смужки паперу рівні між собою.

Діти повинні усвідомити, що для знаходження половини числа його треба поділити на 2, для знаходження третини — поділити на 3, для знаходження чверті — поділити на 4.

Наприкінці навчання у 2 класі і впродовж 3 класу учні знаходять довжини вказаних частин смужки, частини чисел (без позначення частин числа циф­рами

У 3 класі дітей вчать позначати частини цифрами. їм потрібно спочатку показати поділ першого круга на дві рівні частини, другого — на чотири рівні частини. Тоді необхідно з’ясувати з ними, на скільки рівних частин поділені дані круги.

Учитель показує, що взяли одну таку частину. Терміни «чисельник», «знаменник» не вводять. Просто кажуть, що число під рискою показує, на скільки рівних частин поділили круг (смужку), а число над рискою показує, що взяли одну таку частину.

Під час виконання вправ на знаходження частини смужки (круга, квадрата тощо) доцільно звертати увагу учнів, що в цілій смужці (крузі, квадраті) є дві половини, три третіх частини, чотири четвертих частини і т. ін.

Задачі на обчислення частин числа діти розв’язують, спираючись на розуміння процесу знаходження частини числа. Щоб знайти, наприклад, четверту частину числа, треба це число поділити на чотири; щоб обчислити довжину 1/3 смужки, потрібно довжину смужки поділити на 3.

Задача. У шкільному саду росте 60 дерев. 1/3 дерев становлять яблуні і 1/4 — груші. Скільки яблунь і груш у саду разом?

Учитель пояснює, що частини записують за допомогою двох цифр. Наприклад, третю частину круга, смужки позначають так: 1/3. Число 3 показує, що круг, смужку або іншу фігуру поділили на три рівні частини, а число 1

Ознайомлення з дробами

У 4 класі актуалізують знання школярів про частини: їх утворення, позначення, знаходження частини числа та числа за його відомою частиною, вчать порівнювати частини.

Порівнюють частини тільки з опорою на унаочнення .

Користуючись малюнком, учні з’ясовують, наприклад, скільки четвертих частин у половині, скільки восьмих частин у цілому і т. ін. Наочно бачать, що 1/4 < 1/2; 1/2 > 1/8; 1/8 > 1/10 і т. ін.

Учні мають зрозуміти, що коли ціле поділити на рівні частини, то кожна частина буде менша від цього цілого; чим на більшу кількість частин поділено ціле, тим меншою буде кожна його частина.

Із дробами учні ознайомлюються, виконуючи під керівництвом учителя такі вправи:

1. На скільки рівних частин поділено кожний квадрат ?

Як називається незаштрихована частина у квадраті? Скільки таких частин у квадраті заштриховано?

2. Полічіть, на скільки рівних частин поділено кожний круг. Скільки таких частин заштриховано?

Ми вже вміємо позначати цифрами одну частину числа. Яка частина першого круга заштрихована? (1/6). (Учитель записує це число на дошці). Скільки таких шостих частин заштриховано у другому крузі? (2). Тобто заштриховано 2/6 частини. (Вчитель записує на дошці). Скільки таких шос­тих частин заштриховано у третьому крузі? І т. д.

Числа виду 1/2, 2/3, 3/4, 1/6, 2/3, 5/6 називаються дробовими числами. Число 5/6 — дріб, 5 — чисельник дробу, а 6 — знаменник дробу. Число під рискою дробу — знаменник дробу — показує, на скільки рівних частин поділено ціле. Число над рискою дробу — чисельник дробу — показує, скільки взято рівних частин цілого.

Здобуті знання про дроби та їх зображення використовують під час розв’язування задач на знаходження дробу від числа. Пояснення знаходження дробу від числа подають на основі готового розв’язання.

studfiles.net

Площа прямокутника — опис і формули

Починаючи з 5 класу учні починають знайомитися більш глибше з поняттям площ різних фігур. Особлива роль відводиться площі прямокутника, так як формули даної фігури є основою для вивчення формул прямокутного трикутника.

Поняття площі

Певні фігури мають свою площу, а обчислення площі відштовхуються від одиничного квадрата, тобто від квадрата з довгої сторони в 1 мм, або 1 см, 1 дм і так далі. В такому випадку, його площа дорівнює 1 * 1 = 1мм2, або 1см2 і т. Д. Площа позначається буквою – S. В яких одиницях вимірюється ширина і довжина, то в таких одиницях і буде вимірюватися площа фігури. При необхідності їх потрібно переводити в одні вимірювання.

Довжина або ширина характеризує розмір відрізка на прямій, а площа показує розмір тієї частини площині, яку займає фігура, окреслена відрізками.

Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути однаковою градусної міри і рівні по 900, а протилежні сторони попарно паралельні і рівні.

Прямокутник для багатьох творчих людей служила натхненням. Так, в Парижі в 1882 році на вставці була виставлена ​​картина статі Біло, на якій був зображений чорний прямокутник під специфічною назвою «Битва негрів в тунелі».

Формула площі прямокутника

Для того, щоб знайти площу прямокутника необхідно порахувати кількість одиничних квадратів, на які розбита фігура.

Прямокутник розбитий на 15 квадратів, тобто його площа дорівнює 15 см2. Варто звернути увагу, що в ширину фігура займає 3 квадрата, а в довжину 5, тому щоб відняти кількість одиничних квадратів, необхідно помножити довжину на ширину. Менша сторона четерехугольніка – ширина, велика довжина. Таким чином, ми отримаємо формулу для обчислення площі прямокутника:

S = a · b,

  • a, b – ширина і довжина фігури.

Наприклад, якщо довжина прямокутника 5 см, а ширина 4 см, то площа буде дорівнює 4 * 5 = 20 см2.

Розрахунок площі прямокутника, з використанням його діагоналі
Для того, що б розрахунку площі прямокутника через діагональ необхідно застосувати формулу:

S = 1/2 ⋅ d2 ⋅ sinα

Якщо в завданні дано значення кута між діагоналями, а також значення самої діагоналі, то відняти площу дуже просто. Діагональ – це відрізок, який з’єднує протилежні точки прямокутника. Причому важливо прийняти до уваги, що діагоналі прямокутника рівні, і при перетині вони діляться на навпіл.

Для закріплення теми розглянемо приклади завдань:

№1. Знайти площу городньої ділянки, такої форми як на малюнку.

Рішення: Для того щоб відняти площу, необхідно фігуру розбити на два прямокутника. Один з них буде мати розміри 10м. і 3 м., інший 5 м. і 7 м. Окремо знаходимо їх площі:

S1 = 3 * 10 = 30 м2;

S2 = 5 * 7 = 35 м2.

Далі необхідно знайти їх суму:

30 + 35 = 65 м2

Це і буде площа городньої ділянки S = ​​65 м2.

№2. Відняти площу прямокутник, якщо дано його діагональ d = 6 см. І кут між діагоналями α = 300.

Рішення: Значення sin 300 = ½,

S = 1/2 ⋅ d2 ⋅ sinα

S = 1/2 * 62 * 1/2 = 9 см2

Таким чином, S = 9 см2.

Діагоналі розділяє прямокутник на 4 фігури – 4 трикутника. При цьому трикутники попарно рівні. Якщо провести діагональ в прямокутнику, то вона розділяє фігуру на два рівних прямокутних трикутника.

Діагоналі не є бісектрисами кутів прямокутника. А також якщо провести бісектриси кожного кута, то при їх перетині вийде прямокутник.

Що ми дізналися?

Ознайомившись з темою площа прямокутника, можна навчитися знаходити площа даної фігури. Формули знаходження площі використовують в залежності від вихідних даних або від ходу виконання завдання. Також варто не забувати, що якщо в завданні різні одиниці виміру сторін необхідно перевести їх одну.

« Класифікація неорганічних речовин Відносна молекулярна маса »

moyaosvita.com.ua

Формула площади прямоугольника (Богданович Е.М.). Видеоурок. Математика 5 Класс

Приступая к вычислению площади прямоугольника, вспомним, в каких единицах может измеряться площадь. Она может измеряться в квадратных сантиметрах, метрах, километрах. Рассмотрим измерение площади на примере прямоугольника (рис. 1) и най­дем его пло­щадь. Чтобы из­ме­рить пло­щадь, разо­бьем дан­ный пря­мо­уголь­ник на квад­ра­ти­ки.

                                

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

Получаем четыре строчки по шесть квадратиков в каждой. Всего () 24 квадратика. С дугой стороны шесть столбцов и в каждом по четыре строки: .

Возьмем другой прямоугольник (рис. 2) и попробуем его также разбить на квадратики.

 

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2

Получается, что в каждом столбце по пять квадратиков: .

С другой стороны получилось пять строчек по три квадратика: .

Площадь прямоугольника – 15 квадратиков. Три – это длина прямоугольника, а пять – это ширина прямоугольника.

В предыдущем случае: 4 – это ширина, а 6 – это длина прямоугольника.

Таким образом, при умножении ширины на длину получаем площадь.

Обозначим площадь латинской буквой , ширину – , длину – . Тогда площадь равна произведению ширины на длину.

Рис. 3. Формула площади прямоугольника

Возьмем большой прямоугольник и для вычисления площади разобьем его на квадратики (рис. 4).

                                                  

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 3

Не получилось разбить на квадратики данный прямоугольник – мерка не поместилась. Для того чтобы этого избежать, необходимо образовать новую мерку – разбиваем каждую сторону нашего квадратика на десять частей так, чтобы перейти от квадратных сантиметров к квадратным миллиметрам (рис. 4).

  

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3

Теперь удобно перевести все значения из сантиметров в миллиметры. Так получаем ширину равную 50 мм, а длину равную 75 мм.

Если миллиметры займут не весь прямоугольник, тогда разобьем еще на более мелкие мерки и будем измерять ими. Так необходимо делать до тех пор, пока не подберем такую мерку, которая целиком уложится в прямоугольнике.

1. Возьмем прямоугольник (рис. 6). Чтобы посчитать площадь, необходимо ширину прямоугольника умножить на длину.

Рис. 6. Иллюстрация к примеру 4 (Источник)

2. Площадь данного прямоугольника (рис. 7):

Рис. 7. Иллюстрация к примеру 4

Умение вычислять площади фигур – одно из важных знаний. Данное умение можно применить в повседневной жизни, например для вычисления площади комнаты, в которой хочется сделать ремонт.

Например, длина комнаты – 705 см, а ширина – 560 см. Тогда площадь будет равна:

Предположим, что площадь комнаты известна и можно измерить одну ее сторону, а вторая сторона вся заставлена мебелью, поэтому ее измерить невозможно.

В таком случае необходимо вспомнить, что площадь – это произведение сторон, следовательно, эти стороны – множители. Так, для определения одного из множителей необходимо произведение разделить на известный множитель – площадь разделить на значение известной стороны.

Например, площадь комнаты – , а ширина – . Тогда длина равна:

1. Для вычисления площади прямоугольника необходимо длину умножить на ширину.

2. Для определения одной из сторон достаточно площадь разделить на значение известной стороны.

 

Список литературы

1. Математика. 5 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н.Я. Виленкин и др.] – 24-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2008. – 280 с. : ил. 2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика, 5 класс. – М.: Мнемозина.

3. Истомина Н.Б., Математика, 5 класс. – М.: Ассоциация ХХI век.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)

2. Интернет-сайт fxyz.ru (Источник)

3. Интернет-сайт «КакИменно.ру» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Математика. 5 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н.Я. Виленкин и др.] – 24-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2008., ст. 108 § 18, № 715, 718.

2. Как определить площадь прямоугольника?

3. Как найти длину, если известна ширина и площадь прямоугольника? Как вычислить ширину, если известна длина и площадь прямоугольника?           

4. * Определите площадь, если – ширина,  – длина и они равны:

interneturok.ru

Площа прямокутника. Площа квадрата

Площа прямокутника. Площа квадрата

 

Кожний многокутник обмежує певну частину площини, яка характеризується своєю величиною – площею. Кажуть, що кожний многокутник має свою площу.

Площа фігури вимірюється в квадратних одиницях. Ними є:

— Один квадратний міліметр – площа квадрата зі стороною один міліметр;

— Один квадратний сантиметр – площа квадрата зі стороною один сантиметр;

— Один квадратний дециметр – площа квадрата зі стороною один дециметр;

— Один квадратний метр – площа квадрата зі стороною один метр;

— Один квадратний кілометр – площа квадрата зі стороною один кілометр.

Для вимірювання площ ділянок на поверхні Землі користуються такими одиницями площ:

Один ар (сотка) – площа квадрата зі стороною десять метрів;

Один гектар – площа квадрата зі стороною сто метрів.

Запам’ятайте!

1 см2 = 100 мм2;

1 дм2 = 100 см2;

1 м2 = 100 дм2 = 10 000 см2;

1 ар = 100 м2;

1 га = 10 000 м2.

Щоб знайти площу прямокутника, треба помножити його ширину на довжину. Формула площі прямокутника: S = ab, де a і b – сторони прямокутника.

Щоб знайти площу квадрата, треба його сторону помножити саму на себе, тобто підвести до квадрата. Формула площі квадрата: S = a2, де a — сторона квадрата.

Запам’ятайте!

Якщо сторона одного квадрата у 3 рази більша за сторону другого квадрата, то його площа у 9 разів більша за площу другого квадрата.

Фігури, які мають рівні площі, називаються рівновеликими.

 

shkolyar.in.ua

Формули площі плоских фігур

В цій статті ми вирішили допомогти українським школярам та студентам з геометрією: ми розглянули формули площі плоских фігур.

Отже, тут ви знайдете формулу площі прямокутника, формулу площі квадрата, формула площі трапеції, формулу площі паралелограма, формулу площі правильного багатокутника, формулу площі ромба, формулу площі сектора кола та окружності, формулу площі круга, формулу площі сегмента кола, окружності. Також тут описана формула площі кільця через радіуси, формула площі кільця через діаметри, формула площі сектора кільця.

Огляд формул площ плоских фігур

Першою в нашому списку буде розглянута формула площі прямокутника. Спочатку коротка теорія, а далі формула і пояснення до неї.

Площа прямокутника, формула

Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути рівні. Всі кути в прямокутнику прямі, тобто складають 90°. Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін (a, b):

S = a*b

 де (a, b – сторони прямокутника)

 Формула площі квадрата

Квадратом називається паралелограм з прямими кутами і рівними сторонами. Квадрат є окремим випадком прямокутника, а також окремим випадком ромба. Площа квадрата дорівнює квадрату довжини його сторони, або половині квадрата діагоналі.

S = H 2

де H – довжина сторони квадрата

(d – діагональ квадрата)

Формула площі трапеції

Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні. Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ (a, b) на висоту (h):

(a, b – основи трапеції; h – висота трапеції)

Формула площі паралелограмма

Параллелограммом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Площа паралелограма дорівнює добутку його заснування (a) на висоту (h). Площа паралелограма, формула:

S = a*h

(a – основа паралелограма; h – висота паралелограма)

Площа правильного багатокутника, формула

Для того щоб обчислити площу правильного багатокутника, йог

clout.com.ua

Алгоритм как решать – Алгоритмы. Разработка алгоритма решения задачи

alexxlab / / Школьная жизнь

Как построить блок-схему 🚩 блок схема онлайн 🚩 Компьютеры и ПО 🚩 Другое

Автор КакПросто!

В настоящее время программисты при написании программ обычно не чертят для них блок-схем. Но в школьном курсе информатики преподаватели нередко до сих пор требуют от учеников сопровождение программ такими схемами. Составлять их совсем несложно.

Статьи по теме:

Вам понадобится

  • — трафарет для черчения блок-схем;
  • — механический карандаш;
  • — ластик;
  • — бумага;
  • — компьютер с доступом в интернет.

Инструкция

Начало и конец алгоритма обозначаются овалами. Внутри них помещают, соответственно, слова «Начало» и «Конец». От овала, символизирующего начало алгоритма, исходит одна стрелка вниз, к овалу, символизирующему конец алгоритма, приходит стрелка сверху. Шаги, соответствующие действиям, не связанным с вводом-выводом, обозначаются при помощи прямоугольников. Пример такого действия — вычисление по формуле и присвоение результата той или иной переменной. Стрелка от предыдущего шага приходит к прямоугольнику сверху, а снизу от него исходит стрелка к следующему шагу. Для обозначения шагов, соответствующих операциям ввода-вывода, используются параллелограммы. Такие операции бывают двух видов: присвоение поступивших откуда-либо данных переменной и вывод данных из переменной в файл, порт, на экран, принтер и т.п. Ветвления обозначаются ромбами. В верхний угол ромба приходит стрелка от предыдущего шага, а из его боковых углов исходят стрелки, помеченные как «Нет» и «Да». Они приходят, соответственно, к шагам, выполняемым при несоблюдении и соблюдении условия. Нижний угол ромба оставляется свободным. Само условие (например, равенство, строгое или нестрогое) записывается внутри ромба.

Прямоугольник, боковые стенки которого двойные, олицетворяет переход к подпрограмме. После того как в подпрограмме встретился оператор возврата, продолжается выполнение основной программы. Внутри прямоугольника указывается название подпрограммы. Блок-схемы всех подпрограмм помещаются под блок-схемой основной программы либо на отдельных страницах.

Чертить блок-схемы удобнее всего через специальные трафареты, пользуясь механическим карандашом. Его можно стирать ластиком, аналогично обычному карандашу, но не требуется точить.

Если вы желаете составлять блок-схемы в электронном виде, воспользуйтесь онлайн-приложением под названием Flowchart. При желании можно также освоить особые языки программирования, в которых сам процесс программирования заключается в составлении блок-схемы. Таких языков два: Дракон и HiAsm.

Первое и самое главное умение программиста — составить алгоритм. Знание языка это уже второе дело, их выбор — практически дело вкуса. А вот основы алгоритмизации едины всегда.

Инструкция

Изучите основные элементы и обозначения в алгоритме. Сначала вам может показаться это сложным и неуместным, однако, как только вам понадобится написать что-то действительно объёмное и комплексное, вы сами почувствуете, что канонично изображенный алгоритм легко читать. Прямоугольником обозначается формирование данных и новый процесс, ввод данных – параллелограммом, а ромбом – условие. Цикл начинается шестиугольником, использование подпрограммы – прямоугольником с дополнительными полосами сбоку. Начало и конец – круг. Вывод полученных значений – «оборванный лист», прямоугольник с нижней стороной в форме волны. Сокращайте! Главным требованием к любому алгоритму является его простота. Чем меньше элементов в вашей конструкции, тем надежнее она будет работать. Более того, приучите себя к тому, что после составления изначального варианта, наверняка можно будет исключить из него 2-3 лишних шага. Попытайтесь «взять себя на слабо», и воспринимайте процесс сокращения алгоритма как некий вызов, а не раздражитель. Помните – чем короче все выглядит в теории, тем проще будет написание программы.

Предпочитайте «отсев» «развилке». Гораздо более удобным с точки зрения программного кода, как правило, является проверка условий. Иными словами, стремитесь к более «прямой» структуре, а не разветвленной. Классическим примером послужит алгоритм задачи «определить четверть плоскости, в которой находится точка, по координатам». В данном случае лучше окажется алгоритм, составленный из условий: «x>0, y>0 –данет», «x<0, y>0 –данет», и т.д. Менее удобным окажется вариант: «если x>0, то…», на большинстве языков он потребует больше шагов для выполнения.

Внимательно изучите доступные библиотеки. Многие начинающие программисты грешат тем, что не знают основных команд даже встроенных библиотек, из-за чего им постоянно приходится изобретать велосипед. Вполне возможно (особенно при работе с текстом, для него существует огромный запас различных команд) что некоторое действие (к примеру сравнение длинны строк) может быть выполнено стандартной подпрограммой. Это сразу исключает 5-7 лишних шагов из вашего алгоритма.

Видео по теме

Обратите внимание

-Пишите алгоритм на бумаге. Из-за обилия геометрических фигур это просто удобнее.

-Спросите 2-3 человека как бы они решмили поставленную задачу. Вполне возможно вам покажут кардинально иной подход.

Полезный совет

-Алгоритм изображается сверху вниз.

Алгоритмирование — наука о создании алгоритмов и процессов, важнейшая компонента структурного программирования. Без алгоритмов не обойдется составление бизнес-плана, разработка приложения для мобильного или компьютерной игры. Умение создавать алгоритмы позволяет делать многие вещи многократно, с минимумом усилий, в автоматическом режиме.

Инструкция

Впервые слово «алгоритм» употребил один из создателей современной алгебры, мудрец и астроном Аль-Хорезми еще в 224 году н.э. в своих фундаментальных трудах. В его понимании алгоритм — инструкция, позволяющая решить задачу. Аль-Хорезми был уважаемым ученым среди своих коллег, и составление таких инструкций стало в математической среде нормой.

Важнейшую практическую и прикладную роль составление алгоритмов приобрело с появлением компьютеров. Огромные машины на электронных лампах были созданы с целью вычисления сложных выражений и решения задач. Компьютер мыслить творчески не умеет, понимая лишь указания (команды) в двоичном коде. Алгоритм в программировании — последовательность команд, ведущая к достижению результата.

Для того чтобы составить алгоритм, сначала нужно определить цель. Затем можно сформулировать своими словами (и записать на бумаге, пусть даже расплывчато), как этой цели достичь.

Основные черты алгоритма — краткость изложения, шаговая поэтапность, понятность исполнителю. Хороший пример алгоритма — кулинарный рецепт. Превратите ваше расплывчатое описание достижения цели в инструкцию, разбитую на конкретные действия, приближающие достижение цели. Команды должны быть ясными, возможными, не вызывающими вопросов, измеримыми. Например: «Возьмите 2 яйца. Варите их 10 минут в кастрюле. Очистите от скорлупы».

Для перевода алгоритма в программный код нужно максимально упростить его. Затем можно переписать его в «псевдокоде» — в этом языке все действия выполняются в стиле программирования, но человеческими, а не программными словами. По завершении псевдокод переводится в код на известном вам языке программирования, а сама программа компилируется (выполняется вычислительной машиной).

Видео по теме

Полезный совет

Научиться искусству алгоритмирования поможет изучение доказательств теорем математики. Изящные ходы интеллекта, минимализм решения и пошаговые действия – основа любых математических работ.

www.kakprosto.ru

Алгоритмы как их решать?

Последовательность точно определенных операций, описывающих необходимый порядок действий для решения поставленнойзадачи. Любая задача может быть решена с помощью алгоритма. Перед составлением инструкции в алгоритм вводятся переменные величины с учетом условия задачи. Наиболее простые типы алгоритма: линейные, циклические и алгоритмы с ветвлением. Каждый из них, путем конечного числа операций, осуществляет переход от вводных данных к искомому в задаче результату.

Инструкция

Внимательно ознакомьтесь с условием исходной задачи. Продумайте ее решение: имеется ли цикличность в задаче. Возможно, заданы операции, выполнение которых обусловлено удовлетворением разных условий. Выпишите все известные данные и искомые величины.



Как решать задачи с алгоритмом

Любой алгоритм требует формализованной записи. Если вам требуется составить блок-схему алгоритма, используйте специальные элементы для обозначения каждой операции создаваемой инструкции. Какправило, это блоки из прямоугольных и ромбическихфигур, соединенные в общеедерево.

Составьте общий алгоритмрешения задачи. На первом шаге введите в алгоритм переменные величины, обозначающие известные данные и результирующие значения. Присвойте переменным известные из условия задачизначения.Детализируйте алгоритм. Подробно распишите условиезадачи. Каждый шаг инструкции должен быть записан на отдельной строке. При необходимости задайте циклы или разветвления алгоритма.Все действия в шагах инструкции производите с заданнымипеременными. Если необходимо ввести вспомогательные переменные, включите их дополнительно в самом начале алгоритма.Часто из смысла исходной задачив процессе решения вытекают условия, при удовлетворении которых над данными проводится одно действие, а без удовлетворения – другое. В этом случае речь идет о разветвлении алгоритма. Оформите его двумя ветками дерева-инструкции.Если при разветвлении алгоритма после прохождения условия одну из веток необходимо вернутьназад по телу алгоритма, тообразуется циклический алгоритм. Четко проследите, чтобы цикл внутри инструкции не был бесконечен и имел конечное число итераций.Любая последовательность выполняемых действий должна привести к конечному результату, заданному в условии задачи. После получения искомой величины, завершите тело алгоритма и запишите полученный ответ.

istinaved.ru

Памятка -алгоритм по математике «Как решать задачи» (1класс)

Примерный план ответа-рассуждения ребенка при решении задачи:

Анализ задачи.

1. Известно, что… (расскажи условие задачи)

2. Надо узнать… (повтори вопрос)

3. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо …

4. Сразу мы не можем ответить на вопрос задачи, так как не знаем…

5. Поэтому в первом действии мы узнаем …

6. Во втором действии мы ответим на вопрос задачи. Для этого…(какое действие выполняем)

«КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ»

1. Прочитай задачу и представь себе то, о чем в ней говорится.

2. Выдели условие и вопрос.

3. Запиши условие кратко или выполни чертёж.

4.Подумай можно ли сразу

ответить на вопрос задачи.

Если нет, то почему.

Что надо узнать сначала, что

потом?

5. Составь план решения.

6. Выполни решение.

7. Проверь решение и запиши ответ задачи.

ПАМЯТКА

(алгоритм)  

«КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ»

1  КЛАСС

  1. Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого и слагаемого.

*У Иры было 9 тетрадей. Когда несколько тетрадей Ира исписала, их осталось-6. Сколько тетрадей исписала Ира?

*На полке было 5 книг. Когда еще несколько книг поставили на полку, их стало 8. Сколько книг поставили на полку?

  1. Задачи на нахождение уменьшаемого.

*Когда Коля раскрасил в книжке 4 картинки, их осталось 3. Сколько картинок в книжке?

  1. Задачи на разностное сравнение.

*В саду 8 кустов малины и 5 кустов крыжовника. На сколько больше кустов малины, чем кустов крыжовника?

На сколько меньше кустов крыжовника, чем кустов малины?

8.Составные задачи на нахождение остатка.

*В классе учились 12 девочек и 10 мальчиков. Потом 4 человека ушли. Сколько человек осталось

ТИПЫ ЗАДАЧ

  1. Задачи на нахождение суммы

*На ветке сидело 4 воробья и 3 снегиря. Сколько птиц сидело на ветке?

  1. Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц.

*В Северном Ледовитом океане 10 морей, а в Индийском на 5 меньше. Сколько морей в Индийском океане?

*Антон нашел 5 боровиков, а сыроежек  на 4 больше. Сколько сыроежек нашел Антон?

  1. Задачи на нахождение неизвестного слагаемого.

*За два дня турист прошел 8 км. В первый день

он прошел 3 км. Сколько км он прошел во второй день?

  1. Задачи на нахождение остатка.

*На дереве сидело 7 птиц. 3 улетели. Сколько птиц осталось?

12.Составные задачи на нахождение третьего слагаемого.

*У нашей кошки 11 котят: 3 белых 4 черных и несколько рыжих. Сколько рыжих котят у нашей кошки?

13.Составные задачи на нахождение суммы.

*На полке стояло 9 книг на немецком языке, а на английском на 14 книг больше, чем на немецком, а на французском языке на 12 книг меньше, чем на английском. Сколько всего книг стояло на полке?

14.Составные задачи на нахождение уменьшаемого.

*В банке были соленые огурцы. За завтраком съели 12 огурцов, а в обед 21. Сколько огурцов было в банке, если в ней осталось 15 огурцов?

15.Составные задачи на разностное сравнение.

*В тетради 6 чистых страниц, исписано на 4 страницы больше. На сколько меньше исписанных страниц, чем всего страниц в тетради?

*В коробке было 9 красных и зеленых ручек. Из них красных — 3 ручки. На сколько больше было зеленых ручек, чем красных?

9.Задачи с косвенными вопросами.

*Ров первого деревянного кремля имел глубину

5 м, что на 2 м больше, чем его ширина.

Какова ширина рва?

*Жук олень имеет длину 7 си, что на 4 см

меньше длины уссурийского усача. Какова

длина уссурийского усача?

10.Составные задачи на нахождение суммы.

*В магазин привезли 20 ящиков конфет, а

печенья на 6 ящиков больше. Сколько всего

ящиков привезли в магазин?

11.Составные задачи на нахождение слагаемого и вычитаемого.

*В классе 14 девочек и 15 мальчиков. В школу пришло 18 детей. Сколько детей заболело?

*Ежик собрал 28 яблок. 9 из них он отдал ежику

и еще несколько белочке. Сколько ежик отдал яблок белочке, если у него осталось 12 яблок?

infourok.ru

алгоритмы как их решать? — Математика

Последовательность точно определенных операций, описывающих необходимый порядок действий для решения поставленнойзадачи. Любая задача может быть решена с помощью алгоритма. Перед составлением инструкции в алгоритм вводятся переменные величины с учетом условия задачи. Наиболее простые типы алгоритма: линейные, циклические и алгоритмы с ветвлением. Каждый из них, путем конечного числа операций, осуществляет переход от вводных данных к искомому в задаче результату.

Инструкция

Внимательно ознакомьтесь с условием исходной задачи. Продумайте ее решение: имеется ли цикличность в задаче. Возможно, заданы операции, выполнение которых обусловлено удовлетворением разных условий. Выпишите все известные данные и искомые величины.



Как решать задачи с алгоритмом

Любой алгоритм требует формализованной записи. Если вам требуется составить блок-схему алгоритма, используйте специальные элементы для обозначения каждой операции создаваемой инструкции. Какправило, это блоки из прямоугольных и ромбическихфигур, соединенные в общеедерево.

Составьте общий алгоритмрешения задачи. На первом шаге введите в алгоритм переменные величины, обозначающие известные данные и результирующие значения. Присвойте переменным известные из условия задачизначения.Детализируйте алгоритм. Подробно распишите условиезадачи. Каждый шаг инструкции должен быть записан на отдельной строке. При необходимости задайте циклы или разветвления алгоритма.Все действия в шагах инструкции производите с заданнымипеременными. Если необходимо ввести вспомогательные переменные, включите их дополнительно в самом начале алгоритма.Часто из смысла исходной задачив процессе решения вытекают условия, при удовлетворении которых над данными проводится одно действие, а без удовлетворения – другое. В этом случае речь идет о разветвлении алгоритма. Оформите его двумя ветками дерева-инструкции.Если при разветвлении алгоритма после прохождения условия одну из веток необходимо вернутьназад по телу алгоритма, тообразуется циклический алгоритм. Четко проследите, чтобы цикл внутри инструкции не был бесконечен и имел конечное число итераций.Любая последовательность выполняемых действий должна привести к конечному результату, заданному в условии задачи. После получения искомой величины, завершите тело алгоритма и запишите полученный ответ.

otvetytut.com

примеры, элементы, построение. Блок-схемы алгоритмов :: SYL.ru

В этой статье будут рассмотрены примеры блок-схем, которые могут встретиться вам в учебниках по информатике и другой литературе. Блок-схема представляет собой алгоритм, по которому решается какая-либо задача, поставленная перед разработчиком. Сначала нужно ответить на вопрос, что такое алгоритм, как он представляется графически, а самое главное – как его решить, зная определенные параметры. Нужно сразу отметить, что алгоритмы бывают нескольких видов.

Что такое алгоритм?

Это слово ввел в обиход математик Мухаммед аль-Хорезми, который жил в период 763-850 года. Именно он является человеком, который создал правила выполнения арифметических действий (а их всего четыре). А вот ГОСТ от 1974 года, который гласит, что:

Алгоритм – это точное предписание, которое определяет вычислительный процесс. Причем имеется несколько переменных с заданными значениями, которые приводят расчеты к искомому результату.

Алгоритм позволяет четко указать исполнителю выполнять строгую последовательность действий, чтобы решить поставленную задачу и получить результат. Разработка алгоритма – это разбивание одной большой задачи на некую последовательность шагов. Причем разработчик алгоритма обязан знать все особенности и правила его составления.

Особенности алгоритма

Всего можно выделить восемь особенностей алгоритма (независимо от его вида):

  1. Присутствует функция ввода изначальных данных.
  2. Есть вывод некоего результата после завершения алгоритма. Нужно помнить, что алгоритм нужен для того, чтобы достичь определенной цели, а именно – получить результат, который имеет прямое отношение к исходным данным.
  3. У алгоритма должна быть структура дискретного типа. Он должен представляться последовательными шагами. Причем каждый следующий шаг может начаться только после завершения предыдущего.
  4. Алгоритм должен быть однозначным. Каждый шаг четко определяется и не допускает произвольной трактовки.
  5. Алгоритм должен быть конечным – необходимо, чтобы он выполнялся за строго определенное количество шагов.
  6. Алгоритм должен быть корректным – задавать исключительно верное решение поставленной задачи.
  7. Общность (или массовость) – он должен работать с различными исходными данными.
  8. Время, которое дается на решение алгоритма, должно быть минимальным. Это определяет эффективность решения поставленной задачи.

А теперь, зная, какие существуют блок-схемы алгоритмов, можно приступить к рассмотрению способов их записи. А их не очень много.

Словесная запись

Такая форма, как правило, применяется при описании порядка действий для человека: «Пойди туда, не знаю куда. Принеси то, не знаю что».

Конечно, это шуточная форма, но суть понятна. В качестве примера можно привести еще, например, привычную запись на стеклах автобусов:«При аварии выдернуть шнур, выдавить стекло».

Здесь четко ставится условие, при котором нужно выполнить два действия в строгой последовательности. Но это самые простые алгоритмы, существуют и более сложные. Иногда используются формулы, спецобозначения, но при обязательном условии – исполнитель должен все понимать.

Допускается изменять порядок действий, если необходимо вернуться, например, к предыдущей операции либо обойти какую-то команду при определенном условии. При этом команды желательно нумеровать и обязательно указывается команда, к которой происходит переход: «Закончив все манипуляции, повторяете пункты с 3 по 5».

Запись в графической форме

В этой записи участвуют элементы блок-схем. Все элементы стандартизированы, у каждой команды имеется определенная графическая запись. А конкретная команда должна записываться внутри каждого из блоков обычным языком или математическими формулами. Все блоки должны соединяться линиями – они показывают, какой именно порядок у выполняемых команд. Собственно, этот тип алгоритма более подходит для использования в программном коде, нежели словесный.

Запись на языках программирования

В том случае, если алгоритм необходим для того, чтобы задачу решала программа, установленная на ПК, то нужно его записывать специальным кодом. Для этого существует множество языков программирования. И алгоритм в этом случае называется программой.

Блок-схемы

Блок-схема – это представление алгоритма в графической форме. Все команды и действия представлены геометрическими фигурами (блоками). Внутри каждой фигуры вписывается вся информация о тех действиях, которые нужно выполнить. Связи изображены в виде обычных линий со стрелками (при необходимости).

Для оформления блок-схем алгоритмов имеется ГОСТ 19.701-90. Он описывает порядок и правила создания их в графической форме, а также основные методы решения. В этой статье приведены основные элементы блок-схем, которые используются при решении задач, например, по информатике. А теперь давайте рассмотрим правила построения.

Основные правила составления блок-схемы

Можно выделить такие особенности, которые должны быть у любой блок-схемы:

  1. Обязательно должно присутствовать два блока – «Начало» и «Конец». Причем в единичном экземпляре.
  2. От начального блока до конечного должны быть проведены линии связи.
  3. Из всех блоков, кроме конечного, должны выходить линии потока.
  4. Обязательно должна присутствовать нумерация всех блоков: сверху вниз, слева направо. Порядковый номер нужно проставлять в левом верхнем углу, делая разрыв начертания.
  5. Все блоки должны быть связаны друг с другом линиями. Именно они должны определять последовательность, с которой выполняются действия. Если поток движется снизу вверх или справа налево (другими словами, в обратном порядке), то обязательно рисуются стрелки.
  6. Линии делятся на выходящие и входящие. При этом нужно отметить, что одна линия является для одного блока выходящей, а для другого входящей.
  7. От начального блока в схеме линия потока только выходит, так как он является самым первым.
  8. А вот у конечного блока имеется только вход. Это наглядно показано на примерах блок-схем, которые имеются в статье.
  9. Чтобы проще было читать блок-схемы, входящие линии изображаются сверху, а исходящие снизу.
  10. Допускается наличие разрывов в линиях потока. Обязательно они помечаются специальными соединителями.
  11. Для облегчения блок-схемы разрешается всю информацию прописывать в комментариях.

Графические элементы блок-схем для решения алгоритмов представлены в таблице:

Линейный тип алгоритмов

Это самый простой вид, который состоит из определенной последовательности действий, они не зависят от того, какие данные вписаны изначально. Есть несколько команд, которые выполняются однократно и только после того, как будет сделана предшествующая. Линейная блок-схема выглядит таким образом:

Причем связи могут идти как сверху вниз, так и слева направо. Используется такая блок-схема для записи алгоритмов вычислений по простым формулам, у которых не имеется ограничений на значения переменных, входящих в формулы для расчета. Линейный алгоритм – это составная часть сложных процессов вычисления.

Разветвляющиеся алгоритмы

Блок-схемы, построенные по таким алгоритмам, являются более сложными, нежели линейные. Но суть не меняется. Разветвляющийся алгоритм – это процесс, в котором дальнейшее действие зависит от того, как выполняется условие и какое получается решение. Каждое направление действия – это ветвь.

На схемах изображаются блоки, которые называются «Решение». У него имеется два выхода, а внутри прописывается логическое условие. Именно от того, как оно будет выполнено, зависит дальнейшее движение по схеме алгоритма. Можно разделить разветвляющиеся алгоритмы на три группы:

  1. «Обход» – при этом одна из веток не имеет операторов. Другими словами, происходит обход нескольких действий другой ветки.
  2. «Разветвление» – каждая ветка имеет определенный набор выполняемых действий.
  3. «Множественный выбор» – это разветвление, в котором есть несколько веток и каждая содержит в себе определенный набор выполняемых действий. Причем есть одна особенность – выбор направления напрямую зависит от того, какие заданы значения выражений, входящих в алгоритм.

Это простые алгоритмы, которые решаются очень просто. Теперь давайте перейдем к более сложным.

Циклический алгоритм

Здесь все предельно понятно – циклическая блок-схема представляет алгоритм, в котором многократно повторяются однотипные вычисления. По определению, цикл – это определенная последовательность каких-либо действий, выполняемая многократно (более, чем один раз). И можно выделить несколько типов циклов:

  1. У которых известно число повторений действий (их еще называют циклами со счетчиком).
  2. У которых число повторений неизвестно – с постусловием и предусловием.

Независимо от того, какой тип цикла используется для решения алгоритма, у него обязательно должна присутствовать переменная, при помощи которой происходит выход. Именно она определяет количество повторений цикла. Рабочая часть (тело) цикла – это определенная последовательность действий, которая выполняется на каждом шаге. А теперь более детально рассмотрим все типы циклов, которые могут встретиться при составлении алгоритмов и решении задач по информатике.

Циклы со счетчиками

На рисунке изображена простая блок-схема, в которой имеется цикл со счетчиком. Такой тип алгоритмов показывает, что заранее известно количество повторений данного цикла. И это число фиксировано. При этом переменная, считающая число шагов (повторений), так и называется – счетчик. Иногда в учебниках можно встретить иные определения – параметр цикла, управляющая переменная.

Блок-схема очень наглядно иллюстрирует, как работает цикл со счетчиком. Прежде чем приступить к выполнению первого шага, нужно присвоить начальное значение счетчику – это может быть любое число, оно зависит от конкретного алгоритма. В том случае, когда конечное значение меньше величины счетчика, начнет выполняться определенная группа команд, которые составляют тело цикла.

После того, как тело будет выполнено, счетчик меняется на величину шага счетчика, обозначенную буквой h. В том случае, если значение, которое получится, будет меньше конечного, цикл будет продолжаться. И закончится он лишь в тогда, когда конечное значение будет меньше, чем счетчик цикла. Только в этом случае произойдет выполнение того действия, которое следует за циклом.

Обычно в обозначениях блок-схем используется блок, который называется «Подготовка». В нем прописывается счетчик, а затем указываются такие данные: начальное и конечное значения, шаг изменения. На блок-схеме это параметры I н, Ik и h, соответственно. В том случае, когда h=1, величину шага не записывают. В остальных случаях делать это обязательно. Необходимо придерживаться простого правила – линия потока должна входить сверху. А линия потока, которая выходит снизу (или справа, в зависимости от конкретного алгоритма), должна показывать переход к последующему оператору.

Теперь вы полностью изучили описание блок-схемы, изображенной на рисунке. Можно перейти к дальнейшему изучению. Когда используется цикл со счетчиком, требуется соблюдать определенные условия:

  1. В теле не разрешается изменять (принудительно) значение счетчика.
  2. Запрещено передавать управление извне оператору тела. Другими словами, войти в цикл можно только из его начала.

Циклы с предусловием

Этот тип циклов применяется в тех случаях, когда количество повторений заранее неизвестно. Цикл с предусловием – это тип алгоритма, в котором непосредственно перед началом выполнения тела осуществляется проверка условия, при котором допускается переход к следующему действию. Обратите внимание на то, как изображаются элементы блок-схемы.

В том случае, когда условие выполняется (утверждение истинно), происходит переход к началу тела цикла. Непосредственно в нем изменяется значение хотя бы одной переменной, влияющей на значение поставленного условия. Если не придерживаться этого правила, получим «зацикливание». В том случае, если после следующей проверки условия выполнения тела цикла оказывается, что оно ложное, то происходит выход.

В блок-схемах алгоритмов допускается осуществлять проверку не истинности, а ложности начального условия. При этом из цикла произойдет выход только в том случае, если значение условия окажется истинным. Оба варианта правильные, их использование зависит от того, какой конкретно удобнее использовать для решения той или иной задачи. Такой тип цикла имеет одну особенность – тело может не выполниться в случае, когда условие ложно или истинно (в зависимости от варианта, который применяется для решения алгоритма).

Ниже приведена блок-схема, которая описывает все эти действия:

Если внимательно присмотреться, то этот вид циклов чем-то похож на предыдущий. Самостоятельно построить блок-схему, описывающую этот цикл, мы сейчас и попробуем. Особенность заключается в том, что неизвестно заранее число повторений. А условие задается уже после того, как произошел выход из тела. Отсюда видно, что тело, независимо от решения, будет выполняться как минимум один раз. Для наглядности взгляните на блок-схему, описывающую выполнение условия и операторов:

Ничего сложного в построении алгоритмов с циклами нет, достаточно в них только один раз разобраться. А теперь перейдем к более сложным конструкциям.

Сложные циклы

Сложные – это такие конструкции, внутри которых есть один или больше простых циклов. Иногда их называют вложенными. При этом те конструкции, которые охватывают иные циклы, называют «внешними». А те, которые входят в конструкцию внешних – внутренними. При выполнении каждого шага внешнего цикла происходит полная прокрутка внутреннего, как представлено на рисунке:

Вот и все, вы рассмотрели основные особенности построения блок-схем для решения алгоритмов, знаете принципы и правила. Теперь можно рассмотреть конкретные примеры блок-схем из жизни. Например, в психологии такие конструкции используются для того, чтобы человек решил какой-то вопрос:

Или пример из биологии для решения поставленной задачи:

Решение задач с блок-схемами

А теперь рассмотрим примеры задач с блок-схемами, которые могут попасться в учебниках информатики. Например, задана блок-схема, по которой решается какой-то алгоритм:

При этом пользователь самостоятельно вводит значения переменных. Допустим, х=16, а у=2. Процесс выполнения такой:

  1. Производится ввод значений х и у.
  2. Выполняется операция преобразования: х=√16=4.
  3. Выполняется условие: у=у2=4.
  4. Производится вычисление: х=(х+1)=(4+1)=5.
  5. Дальше вычисляется следующая переменная: у=(у+х)=(5+4)=9.
  6. Выводится решение: у=9.

На этом примере блок-схемы по информатике хорошо видно, как происходит решение алгоритма. Нужно обратить внимание на то, что значения х и у задаются на начальном этапе и они могут быть любыми.

www.syl.ru

Алгоритмы в математике

Разделы: Математика

Современные формы обучения, инновации в преподавании, введение новых технологий диктуют учителю необходимость постигать секреты мастерства, а значит, и совершенствовать методы обучения и воспитания учащихся.

Исследования психологов и педагогов, опыт коллег показывают: чтобы научить детей самостоятельно учиться и проявлять творчество необходимо применение деятельностного подхода в обучении. Для этого учащихся нужно замотивировать и обучить их приемам и способам учебной деятельности, которые помогут сформировать необходимые знания, умения и навыки.

Курс школьной математики имеет достаточно широкие возможности для применения различных приемов, методов и технологий. В последние годы в содержание школьного курса естественным образом закладывается алгоритмическая линия. Так как применение алгоритмов является приоритетным в моей работе, то нужно отметить что, между понятиями “прием” и “алгоритм” существует много общего, ни и есть принципиальные отличия, а именно:

– прием – это рациональный способ работы, который состоит из отдельных действий, он может быть выражен в виде правил или инструкций, его можно перестроить и на его основе создать новый прием. Приемы деятельности допускают самостоятельный выбор учениками конкретных действий по решению учебных задач;
– алгоритм – это общепонятное и однозначное предписание, которое определяет последовательность действий, позволяющее достичь искомый результат. Алгоритм предполагает жесткое выполнение шагов, а прием дает общее направление деятельности по решению учебных задач, не регламентируя каждый шаг. Поэтому я в своей работе выделяю два подхода: 1) обучение алгоритмам; 2) формирование приемов решения задач. Школьные задачи делятся на: алгоритмические, полуалгоритмические, полуэвристические и эвристические. Каждый тип задачи предполагает свои схемы решения, подходы, применение логики и изобретательности.

На начальном этапе обучения математике применение алгоритмов способствует формированию и прочному усвоению навыков владения математическими методами. Также осуществляется подготовка к формированию первоначальных представлений о математическом моделировании. Уже в начальных классах прослеживается применение простейших алгоритмов выполнения арифметических операций, дети овладевают навыками выполнения последовательных действий. Решают задачи с составлением схем и кратких записей. Это можно рассматривать как пропедевтику операционного стиля мышления.

Следующий уровень алгоритмической культуры учащихся – введение понятия алгоритма и формирование его основных свойств. Это происходит в среднем звене школы. Именно в этот период необходимо сочетания алгоритма и образца ответа, что дает возможность ученику, верно, ответить на поставленный вопрос, сопроводив его правильной речью. У учителя появляется возможность предлагать задачи с элементами творчества. А материал, предлагаемый в наших школьных учебниках, является хорошей базой для обучения составлению простейших алгоритмов и дальнейшей их записи в разных формах. Мы применяем табличную, графическую (блок-схема), словесную и формульную форму записи алгоритмов.

В качестве примера, иллюстрирующего процесс алгоритмизации как средство обучения, можно указать на решение задач методом уравнений. Примером графического алгоритма является блок-схема для отыскания количества решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными (см. Рисунок 1).

Отыскания числа решений системы двух линейных уравнений (блок-схема)




Рис. 1
Графические алгоритмы

Табличную форму алгоритма можно продемонстрировать на примере таблицы, составляемой для исследования функций и дальнейшего построения графиков (см. рис. 2).

Исследование функции и построение графика

Функция задана уравнением у = f(x). Исследовать функцию и построить ее график.

1. Таблица исследования функции

2. Построение графика


Рис. 2
Табличный алгоритм

Пример формульного способа – последовательность нахождения компонентов при составлении уравнения касательной к графику той или иной функции (см. рис. 3).

Уравнение касательной к графику функции


Рис. 3
Формульный способ

Словесный алгоритм используется практически во всех правилах выполнения действий, например, правило сложения чисел с разными знаками (см. рис. 4).

Алгоритм сложения чисел с разными знаками


Рис. 4
Словесный алгоритм

В старших классах работа становится разнообразней и содержательней, появляется возможность включать упражнения разного типа и уровня сложности, предполагающее, что приемы деятельности могут быть разной степени сложности и обобщенности. Они состоят из большого числа действий, выполнение которых приводит к применению алгоритмов на отдельных этапах работы.

Такой подход к преподаванию математики в основной школе определяет условия для формирования у учащихся навыков, позволяющих в старших классах успешно изучать базовый курс “Информатики и ИКТ”. Применение алгоритмов в старших классах, по мнению некоторых учителей, отбивает творческий подход к решению задач, но с другой стороны, твердое знание основных задач курса и умение их решать, является твердым фундаментом для активизации самостоятельной и творческой работы учащихся.

Список литературы

  1. Кухарев Н.В. На пути к профессиональному совершенству. – М.: Просвещение, 1990.
  2. Епишева О.Б. Крутич В.И. Учить школьников учиться математике. – М.: Просвещение, 1990.
  3. Сост. Глейзер Г.Д. Повышение эффективности обучения математике в школе. – М.: Просвещение, 1991.
  4. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М.: Просвещение, 1990.
  5. Байдак В.А. и др. Формирование алгоритмической культуры у учащихся. – М.: Просвещение, 1989.

26.06.2011

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Виды алгоритмов в информатике: примеры

При изучении информатики немало внимания уделяется изучению алгоритмов и их видам. Не зная основных сведений о них, нельзя написать программу или проанализировать ее работу. Изучение алгоритмов начинается еще в школьном курсе информатики. Сегодня мы рассмотрим понятие алгоритма, свойства алгоритма, виды.

Понятие

Алгоритм – это определенная последовательность действий, которая приводит к достижению того или иного результата. Составляя алгоритм, детально прописывают каждое действие исполнителя, которое в дальнейшем приведет его к решению поставленной задачи.

Довольно часто алгоритмы используют в математике для решения тех или иных задач. Так, многим известен алгоритм решения квадратных уравнений с поиском дискриминанта.

Свойства

Прежде чем рассматривать виды алгоритмов в информатике, необходимо выяснить их основные свойства.

Среди основных свойств алгоритмов необходимо выделить следующие:

  • Детерминированность, то есть определенность. Заключается в том, что любой алгоритм предполагает получение определенного результата при заданных исходных.
  • Результативность. Означает, что при наличии ряда исходных данных после выполнения ряда шагов будет достигнут определенный, ожидаемый результат.
  • Массовость. Написанный единожды алгоритм может использоваться для решения всех задач заданного типа.
  • Дискретность. Она подразумевает, что любой алгоритм можно разбить на несколько этапов, каждый из которых имеет свое назначение.

Способы записи

Вне зависимости от того, какие виды алгоритмов в информатике вы рассматриваете, существует несколько способов их записи.

  1. Словестный.
  2. Формульно-словестный.
  3. Графический.
  4. Язык алгоритма.

Наиболее часто изображают алгоритм в виде блок-схемы, используя специальные обозначения, зафиксированные ГОСТами.

Основные виды

Выделяют три основных схемы:

  1. Линейный алгоритм.
  2. Ветвящийся алгоритм, или разветвленный.
  3. Циклический.

Далее мы рассмотрим виды алгоритмов в информатике, примеры, которые помогут более детально понять, как они работают.

Линейный

Наиболее простым в информатике считается линейный алгоритм. Он предполагает последовательность выполнения действий. Приведем наиболее простой пример алгоритма такого вида. Назовем его «Сбор в школу».

1. Встаем, когда звенит будильник.

2. Умываемся.

3. Чистим зубы.

4. Делаем зарядку.

5. Одеваемся.

6. Кушаем.

7. Обуваемся и идем в школу.

8. Конец алгоритма.

Разветвляющийся алгоритм

Рассматривая виды алгоритмов в информатике, нельзя не вспомнить о разветвляющейся структуре. Данный вид предполагает наличие условия, при котором в случае его выполнения действия выполняются в одном порядке, а в случае невыполнения – в другом.

Например, возьмем следующую ситуацию – переход дороги пешеходом.

1. Подходим к светофору.

2. Смотрим на сигнал светофора.

3. Он должен быть зеленым (это условие).

4. Если условие выполняется, мы переходим дорогу.

4.1 Если нет – ждем, пока загорится зеленый.

4.2 Переходим дорогу.

5. Конец алгоритма.

Циклический алгоритм

Изучая виды алгоритмов в информатике, детально следует остановиться на циклическом алгоритме. Данный алгоритм предполагает участок вычислений или действий, который выполняется до выполнения определенного условия.

Возьмем простой пример. Если ряд чисел от 1 до 100. Нам необходимо найти все простые числа, то есть те, которые делятся на единицу и себя. Назовем алгоритм «Простые числа».

1. Берем число 1.

2. Проверяем, меньше ли оно 100.

3. Если да, проверяем простое ли это число.

4. Если условие выполняется, записываем его.

5. Берем число 2.

6. Проверяем, меньше ли оно 100.

7. Проверяем, простое ли оно.

…. Берем число 8.

Проверяем, меньше ли оно 100.

Проверяем, простое ли число.

Нет, пропускаем его.

Берем число 9.

Таким образом перебираем все числа, до 100.

Как видите, шаги 1 – 4 будут повторяться некоторое число раз.

Среди циклических выделяют алгоритмы с предусловием, когда условие проверяется в начале цикла, или с постусловием, когда проверка идет в конце цикла.

Другие варианты

Алгоритм может быть и смешанным. Так, он может быть циклическим и разветвленным одновременно. При этом используются разные условия на разных отрезках алгоритма. Такие сложные структуры приеняются при написании сложных программ и игр.

Обозначения в блок-схеме

Мы с вами рассмотрели, какие виды алгоритмов есть в информатике. Но мы не рассказали о том, какие обозначения используются при их графической записи.

  1. Начало и конец алгоритма записываются в овальной рамке.
  2. Каждая команда фиксируется в прямоугольнике.
  3. Условие прописывается в ромбе.
  4. Все части алгоритма соединяются при помощи стрелок.

Выводы

Мы с вами рассмотрели тему «Алгоритмы, виды, свойства». Информатика уделяет немало времени изучению алгоритмов. Их используют при написании различных программ как для решения математических задач, так и для создания игр и различного рода приложений.

fb.ru

Правило деления умножения вычитания и сложения дробей – , , ()

alexxlab / / Школьная жизнь

Правила на сложение (вычитание), умножение (деление) обыкновенных и десятичных дробей. 6 класс

Правила на сложение (вычитание), умножение (деление) обыкновенных и десятичных дробей. 6 класс

Подготовил: учитель математики Водопьянова Н. С.

1. Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно

1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;

2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была под запятой;

3) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;

4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

3,7 – 2,651 =

2. Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д. надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

0,065 100 =

2,9 1000 =

3. Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;

2) поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.

Если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля.

19,2 : 8 = 2,88 : 4 =

4. Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д. надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

8,765 : 100 =

2,9 10 =

5. Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

1) выполнить умножение, не обращая внимание на запятые;

2) отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе

Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей

0,8 0,92 =

6. Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо:

1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;

2) после этого выполнить деление на натуральное число.

12,096 : 2,24 = 4,5 : 0,125 =

7. Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

8. Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.

9. Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

10. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

11. При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель оставляют тот же.

12. При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же.

13. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сложить ил вычесть полученные дроби.

infourok.ru

Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей;…

Для того, чтобы сложить/вычесть 2 дроби необходимо:
1. Привести дроби к наименьшему общему знаменателю
2. Сложить/вычесть числители дробей, знаменатель оставить без изменений
3. Сократить полученную дробь
4.  Если дробь получилась неправильной, то преобразовать её в смешанную. 
======================================================
Для того, чтобы умножить 2 дроби необходимо:
1. Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби
2. Умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби
3. Сократить полученную дробь
4.  Если дробь получилась неправильной, то преобразовать её в смешанную. 
======================================================
Для того, чтобы разделить две дроби необходимо:
1. Знак деления заменить на знак умножения, а вторую дробь заменить обратной к ней дробью
2. Далее смотрим алгоритм умножения дробей

Оцени ответ

napyaterku.com

Умножение и деление смешанных чисел. Онлайн калькулятор

Чтобы умножить или разделить смешанные числа, нужно представить их в виде неправильных дробей и выполнить требуемое действие с обыкновенными дробями.

Когда выполняется умножение смешанного числа на натуральное число (или наоборот), смешанное число можно не записывать в виде неправильной дроби. Такие примеры можно решить используя распределительный закон умножения:

Так как умножение сводится лишь к умножению целой части и числителя дробной части на натуральное число, то умножение смешанного и натурального числа обычно записывают без промежуточных вычислений в более краткой форме:

При делении смешанного числа на натуральное число (или наоборот), их можно представить в виде неправильных дробей и выполнить требуемое действие с обыкновенными дробями:

При умножении и делении смешанного числа на дробь (или наоборот), смешанное число переводится в неправильную дробь, после чего требуемое действие выполняется с обыкновенными дробями:

Калькулятор умножения и деления смешанных чисел

Данный калькулятор поможет вам выполнить умножение и деление смешанных чисел. Просто введите два числа и нажмите кнопку Вычислить. Данный калькулятор позволяет также выполнять умножение/деление: натурального числа и дроби, смешанного числа и дроби, натурального и смешанного числа, натуральных чисел.

naobumium.info

Эффективные методы сложения, деления и умножения чисел

Автор: Илoнa Ильмapoвнa Пoтaпoвa, кандидат экономических наук, профессор Московского технико-экономического колледжа.

 

В работе и быту постоянно возникает необходимость в разных вычислениях. Использование простейших методов устных вычислений поможет вам снизить утомляемость, развить свое внимание и память. Применение рациональных методов вычислений также позволит вам повысить производительность труда, точность и скорость подсчетов. Вот четыре основные группы методик эффективных устных вычислений.

 

1. Приемы упрощенного сложения чисел

Известно четыре способа сложения, позволяющие ускорить подсчеты.

Способ последовательного поразрядного сложения используется при устных вычислениях, так как он упрощает и ускоряет суммирование слагаемых. При использовании этого способа сложение начинается с высших разрядов: к первому слагаемому прибавляются соответствующие разряды второго слагаемого.

Пример. Найдем сумму чисел 5287 и 3564, используя способ последовательного поразрядного сложения.

Решение. Расчет произведем в такой последовательности:

5 287 + 3 000 = 8 287;
8 287 + 500 = 8 787;
8 787 + 60 = 8 847;
8 847 + 4 = 8 851.

Ответ: 8 851.

Другой способ последовательного поразрядного сложения заключается в том, что к высшему разряду первого слагаемого прибавляется высший разряд второго слагаемого, затем к следующему разряду первого слагаемого прибавляется следующий разряд второго слагаемого и т.д.

Рассмотрим этот вариант решения на приведенном выше примере, получим:

5 000 + 3 000 = 8 000;
200 + 500 = 700;
80 + 60 = 140;
7 + 4 = 11;
8851.

Способ круглого числа. Число, имеющее одну значащую цифру и оканчивающееся одним или несколькими нулями, называется круглым числом. Этот способ применяется, когда из двух или более слагаемых можно выбрать такие, которые можно дополнить до круглого числа. Разность между круглым и заданным в условии вычислений числами называется дополнением. Например, 1 000 — 978 = 22. В этом случае число 22 является арифметическим дополнением числа 978 до 1 000.

Чтобы произвести сложение способом круглого числа, необходимо одно или несколько слагаемых, близких к круглым числам, округлить, выполнить сложение круглых чисел и из полученной суммы вычесть арифметические дополнения.

Пример. Найдем сумму чисел 1 238 и 193, используя способ круглого числа.

Решение. Округлим число 193 до 200 и произведем сложение следующим образом: 1 238 + 193 = (1 238 + 200) — 7 = 1 431.

 

Способ группировки слагаемых. Этот способ применяют в том случае, когда слагаемые при их группировке в сумме дают круглые числа, которые затем складывают между собой.

Пример. Найдем сумму чисел 74, 32, 67, 48, 33 и 26.

Решение. Суммируем числа, сгруппированные следующим образом: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

 

Способ поразрядного суммирования отдельными столбцами. Данный способ состоит в сложении разрядов исходных чисел с повторным поразрядным суммированием полученных частных сумм.

Пример. Найдем сумму чисел 167, 532, 629, 274, 22, 18 и 14, используя способ поразрядного сложения.

Решение.

+167

532

629

274

+22

18

14

 1656.

 

2. Приемы упрощенного вычитания чисел

Способ последовательного поразрядного вычитания. Этим способом производится последовательное вычитание каждого разряда, вычитаемого из уменьшаемого. Он применяется, когда числа нельзя округлить.

Пример. Найдем разность чисел 721 и 398.

Решение. Выполним действия для нахождения разности заданных чисел в следующей последовательности:

  1. представим число 398 в виде суммы: 300 + 90 + 8 = 398;
  2. выполним поразрядное вычитание: 721 — 300 = 421; 421 — 90 = 331; 331 — 8 = 323.

 

Способ круглого числа. Этот способ применяют, когда вычитаемое близко к круглому числу. Для расчета необходимо из уменьшаемого вычесть вычитаемое, взятое круглым числом, и к полученной разности прибавить арифметическое дополнение.

Пример. Вычислим разность чисел 235 и 197, используя способ круглого числа.

Решение. 235 — 197 = 235 — 200 + 3 = 38.

 

Способ замены вычитания сложением. Способ заключается в том, что к вычитаемому нужно подобрать такое число, которое в сумме с ним было бы равно уменьшаемому. Подбор нужного числа выполняется по частям.

Пример. Найдем разность денежных сумм 50 р. и 28 р. 57 к., используя способ замены вычитания сложением.

Решение. Для суммы 28 р. 57 к. подберем числа по частям, для чего:

  1. добавим к заданной сумме 43 к. и получим 29 р.;
  2. добавим к определенной в п. 1 сумме 21 р. для получения суммы 50 р.

Таким образом, искомое число — это результат вычисления слагаемых из двух сумм, т.е. разность денежных сумм 50 р. и 28 р. 57 к. составляет 21 р. 43 к.

 

3. Приемы упрощенного умножения чисел

Умножение на единицу с последующими нулями. При умножении числа на число, включающее единицу с последующими нулями (10; 100; 1 000 и т.д.), к нему приписывают справа столько нулей, сколько их в множителе после единицы.

Пример. Найдем произведение чисел 568 и 100.

Решение. 568 x 100 = 56 800.

 

Умножение на единицу с предшествующими нулями. При умножении числа на единицу с предшествующими ей нулями (0,1; 0,01; 0,001 и т.д.) как целого числа, так и десятичной дроби в первом сомножителе отделяют запятой справа столько знаков, сколько нулей во множителе перед единицей, включая ноль целых.

Пример. Найдем произведение чисел 467 и 0,01.

Решение. 467 x 0,01 =4,67.

 

Способ последовательного поразрядного умножения. Этот способ применяется при умножении числа на любое однозначное число. Если нужно умножить двузначное (трех-, четырехзначное и т.д.) число на однозначное, то вначале один из сомножителей умножают на десятки другого сомножителя, потом на его единицы и полученные произведения суммируют.

Пример. Найдем произведение чисел 39 и 7.

Решение. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

 

Способ круглого числа. Применяют этот способ только когда один из сомножителей близок к круглому числу. Множимое умножают на круглое число, а затем на арифметическое дополнение и в конце из первого произведения вычитают второе.

Пример. Найдем произведение чисел 174 и 69.

Решение. 174 x 69 = (174 x 70) — (174 x 1) = 12 180 — 174 = 12 006.

 

Способ разложения одного из сомножителей. В этом способе сначала раскладывают на части (слагаемые) один из сомножителей, затем поочередно умножают второй сомножитель на каждую часть первого сомножителя и полученные произведения суммируют.

Пример. Найдем произведение чисел 13 и 325.

Решение. Разложим число порций на слагаемые:13 = 10 + 3.Умножим каждое из полученных слагаемых на 325: 10 x 325 р. = 3 250 р.; 3 x 325 р. = 975 р. Суммируем полученные произведения: 3 250 р. + 975 р. = 4 225 р.

 

Сокращенные приемы умножения на 0,5; 0,25 и 0,125. Десятичную дробь 0,5 можно выразить простой дробью 1/2. При умножении любого числа на 1/2 достаточно разделить это число на 2.

Пример. Найдем произведение чисел 325 и 0,5.

Решение. 322 x 0,5 = 322 / 2 = 161.

Десятичную дробь 0,25 можно выразить простой дробью 1/4. При умножении какого-то числа на 1/4 достаточно разделить это число на 4.

Пример. Найдем произведение чисел 68 и 0,25.

Решение. 68 x 0,25 = 68 / 4 = 17.

Десятичную дробь 0,125 можно выразить простой дробью 1/8. При умножении любого числа на 1/8 достаточно разделить это число на 8.

Пример. Найдем произведение чисел 600 и 0,125.

Решение. 600 x 0,125 = 600 / 8 = 75.

 

Сокращенные приемы умножения на 5; 50 и 500. Чтобы умножить какое-то число на 5; 50; 500, его нужно умножить соответственно на 10; 100; 1 000 и полученное произведение разделить на 2. Помните, что число нулей в произведении равно числу цифр в целой части множителя.

Пример. Найдем произведение чисел 74 и 50.

Решение. 74 x 50 = (74 х 100) / 2 = 7400 / 2 = 3 700.

 

Сокращенные приемы умножения на 2,5; 25 и 250. Чтобы умножить число на 2,5; 25; 250, его необходимо вначале умножить соответственно на 10; 100; 1 000 и разделить на 4.

Пример. Найдем произведение чисел 28 и 250.

Решение. 28 х 250 = (28 х 1 000) / 4 = 28000 / 4 = 7 000.

 

Сокращенные приемы умножения на 0,15. Чтобы умножить число на 0,15, нужно это число разделить на 10, полученное частное разделить на 2, а затем оба частных сложить.

Пример. Найдем произведение чисел 240 и 0,15.

Решение. 240 x 0,15 = (240 / 10) + 1/2 х (240 / 10) = 24 + 12 = 36.

 

Сокращенные приемы умножения на 1,5; 15 и 150. Чтобы умножить число на 1,5; 15; 150, нужно это число умножить соответственно на 1; 10; 100 и к полученному произведению прибавить его половину.

Пример. Найдем произведение чисел 66 и 1,5.

Решение. 66 x 1,5 = 66 + (66 / 2) = 99.

 

Сокращенные приемы умножения на 1,25; 12,5; 125. Чтобы умножить какое-то число на 1,25; 12,5; 125, его нужно сначала умножить соответственно на 10; 100; 1 000, а затем полученное произведение разделить на 8.

Пример. Найдем произведение чисел 70 и 12,5.

Решение. 70 х 12,5 = (70 х 100) / 8 = 7 000 / 8 = 875

 

4. Приемы упрощенного деления чисел

Существуют следующие приемы сокращенного деления.

 

Разложение делимого на слагаемые. Разложение делимого на такие слагаемые, которые легко бы делились раздельно, ускоряет устный подсчет числа при делении.

Пример. Найдем частное чисел 2 808 и 9.

Решение. 2808 / 9 = (2700 / 9) + (90 / 9) + (18 / 9) = 300 + 10 + 2 = 312.

 

Деление на единицу с последующими нулями. При делении на 10; 100; 1 000 как целого числа, так и дробного в нем отделяют запятой справа налево столько десятичных знаков, сколько нулей стоит в делителе после единицы.

Пример. Найдем частное от деления чисел 136 на 10, 32,7 на 1000.

Решение. 136 / 10= 13,6;32,7 / 1 000 = 0,0317.

 

Деление на единицу с предшествующими нулями. При делении на 0,1; 0,01; 0,001 эти десятичные дроби заменяют простыми, т.е. соответственно 1/10, 1/100, 1/1000. Чтобы выполнить деление какого-то числа, это число умножают на знаменатель (10; 100; 1 000) и делят на числитель (1). Чтобы разделить какое-то целое число на 1 с предшествующими ей нулями, надо приписать к этому числу справа столько нулей, сколько их в делителе; чтобы разделить дробное число, надо перенести в нем запятую слева направо настолько десятичных знаков, сколько нулей в делителе, включая ноль целых.

Пример. Разделим числа 235; 57,6 соответственно на 0,1 и 0,01.

Решение. 235 / 0,1 = 2 350;57,6 / 0,01 = 5 760.

 

Деление на 0,5; 0,25; 0,125. Десятичную дробь 0,5 заменяют простой, т.е. 1/2. Чтобы разделить какое-то число на 0,5, необходимо умножить его на 2.

Пример. Разделим число 325 на 0,5.

Решение. 325 / 0,5 = 325 / 1/2 = 325 х 2 = 650.

При делении числа на десятичную дробь 0,25 ее заменяют простой дробью, т.е. 1/4. Чтобы разделить какое-то число на 0,25, необходимо умножить его на 4.

Пример. Разделим число 325 на 0,25.

Решение. 325 / 0,25 = 325 x 4 = 1300.

При делении десятичную дробь 0,125 заменяют простой, т.е. 1/8. Чтобы разделить какое-то число на 0,125, необходимо умножить его на 8.

Пример. Разделим число 325 на 0,125.

Решение. 325 / 0,125 = 325 x 8 = 2600.

 

Деление на 5 и 50. Делители 5 и 50 заменяют единицей с последующими нулями, т.е. соответственно на 10 и 100. Однако 10 в 2 раза больше, чем 5, а 100 в 2 раза больше, чем 50, поэтому, чтобы разделить какое-то число на 5 или 50, необходимо разделить его на 10 или 100, а частное умножить на 2.

Пример. Разделим число 1 250 соответственно на 50.

Решение. 1250 / 50 = (1250 / 100) х 2 = 12,5 x 2 = 25.

 

Деление на 2,5 и 25. Чтобы разделить число на 2,5 или 25, необходимо разделить его на 10 или 100 и затем частное умножить на 4.

Пример. Разделим число 285 на 2,5.

Решение. 285 / 2,5 = (285 / 10) х 4 = 28,5 x 4 = 114;

 

Деление на 1,25 и 12,5. Чтобы разделить число на 1,25 или 12,5, необходимо разделить его на 10 или 100 и затем частное умножить на 8.

Пример. Разделим число 300 на 12,5.

Решение. 300 / 12,5 = (300 / 100) х 8 = 3 x 8 = 24.

Усвоение навыков рационального устного счета позволит сделать вашу работу более эффективной. Это возможно только при хорошем овладении всеми четырьмя арифметическими действиями и сокращенными приемами вычислений. Применение рациональных приемов счета ускоряет вычисления, обеспечивает необходимую точность.

 

Изучите эффективные техники запоминания услышанной и прочитанной информации в курсе «Развитие памяти»: отдельно или по абонементу, со скидкой.

www.elitarium.ru

1. Правило сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных дробей с одинаковыми и

УСЛОВИЕ:

1. Правило сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных дробей с одинаковыми и разными знаменателями
2. Определение процента. Нахождение процента от числа ,числа по её проценту.
3. Арифметические действия с десятичными дробями (правила сложения, вычитания, умножения ,деления)
4. Правила нахождение части от целого и целого по его части (приведите примеры)
5. Представление о пропорции. Основное свойство пропорции.
6. Понятие степени ,квадрата и куба числа
7. Определения уравнения и корня уравнения. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую.
8. Определение коэффициента



РЕШЕНИЕ:1) При складывании и вычитании дробей знаменатели должен быть одинаковыми. Если знаменатели разные, то нужно найти наименьшее число, которое бы делилось на оба знаменателя с образованием целого числа и домножить эти дроби на такое значение, чтобы получилось это наименьшее число. Пример: 1/2+1/3=3/6+2/6=5/6 или же 1/2-1/3=3/6-2/6=1/6. При умножении нужно перемножить числитель с числителем. Пример: 1/2*1/3=1/6. При делении на дробь нужно перевернуть вторую дробь и поставить между ними знак умножения. Пример: 1/3:1/2=1/3*2=2/3.
2) Чтобы определить процент, нужно разделить одно число на другое и умножить на 100%. Пример: Сколько процентов составляет 20 от 50? Делим всегда меньшее число на большее, так как коэффициент деления при нахождении процента не должен превышать 1. И так, делим 20 на 50 и получаем 0,4, но это не все, теперь нам нужно 0,4 умножить на 100% и получим 40%. Чтобы найти процент от числа, нужно процент разделить на 100 и умножить на число. Пример: Найдите 50% от 40. Делим 50% на 100 и получаем 0,5, а дальше умножаем 0,5 на 40 и получаем 20.
3) Сложение и вычитание десятичных дробей нужно производить как с обычными числами. Деление и умножение нужно производить в столбик так же, как и с обычными числами, но учитывая запятые.
4) Нахождение части от целого и целого от части – это то же самое, что и проценты, только вместо процентов мы пишем число, которое получится, если этот процент разделить на 100. Пример: Какую часть составляет 2 от 4? Делим 2 на 4 и получаем 1/2. Найти целое число, если 4 составляет 2/5 от целого. Делим 4 на 2/5 и получаем 10. 
5) Пропорция – равенство двух отношений, так как a/b=c/d. То есть, число а относится к числу b так же, как и число c к числу d. Основным свойством пропорции является то, что если мы хотим представить его в виде произведения, то мы должны перемножить накрестлежащие значения: a/b=c/d        a*d=b*c.
6) Степень – это значение, обозначающее сколько раз мы должны умножить главное число на самого себя. Квадрат числа означает, что главное число мы умножаем на самого себя 2 раза. Куб числа означает, что мы должны умножить главное число на самого себя 3 раза. Пример: 4^2 (такая запись читается: 4 в квадрате)=4*4=16. 2^3 (такая запись читается: 2 в кубе)=2*2*2=8.
7) Уравнение – это равенство, причем в одной или обоих сторонах находятся переменные. Корень уравнения – это то значение переменной, которое обращает уравнение в логическое. При переносе слагаемых из одной части в другую, нужно менять знак перед ними. Пример: a+b=c+d       a+b-d=c
8) Коэффициент – это безразмерная величина, которая получается при делении двух значений одной величины.

Похожие примеры:

mathshkola.ru

Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей

Сложение и вычитание десятичных дробей аналогично сложению и вычитанию натуральных чисел, но с определенными условиями.

Правило. Сложение и вычитание десятичных дробей производится по разрядам целой и дробной части как натуральных чисел.

При письменном сложении и вычитании десятичных дробей запятая, отделяющая целую часть от дробной, должна находиться у слагаемых и суммы или у уменьшаемого, вычитаемого и разности в одном столбце (запятая под запятой от записи условия до конца вычисления).

Примеры.

Сложение и вычитание десятичных дробей в строку:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 — 700,628 = (800 — 700) + 40 + 3 + (0,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Сложение и вычитание десятичных дробей в столбик:

Сложение десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для записи чисел, когда сумма разряда переходит через десяток. Вычитание десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для того, чтобы отметить разряд, в котором одалживается 1.

Если справа от слагаемого или уменьшаемого не хватает разрядов дробной части, то справа в дробной части можно дописывать столько нулей (увеличивать разрядность дробной части), сколько разрядов в другом слагаемом или уменьшаемом.

Умножение десятичных дробей производится так же, как и умножение натуральных чисел, по тем же правилам, но в произведении ставится запятая по сумме разрядов множителей в дробной части, считая справа налево (сумма разрядов множителей — это количество разрядов после запятой у множителей, вместе взятых).

Пример:

При умножении десятичных дробей в столбик первая справа значащая цифра подписывается под первой справа значащей цифрой, как и в натуральных числах:

Запись умножения десятичных дробей в столбик:

Запись деления десятичных дробей в столбик:

Подчеркнутые знаки — это знаки, за которые переносится запятая, потому что делитель должен быть целым числом.

Правило. При делении дробей делитель десятичной дроби увеличивается на столько разрядов, сколько разрядов в дробной его части. Чтобы дробь не изменилась, на столько же разрядов увеличивается и делимое (в делимом и делителе запятая переносится на одно и то же число знаков). Запятая ставится в частном на том этапе деления, когда целая часть дроби разделена.

Для десятичных дробей, как и для натуральных чисел, сохраняется правило: на ноль десятичную дробь делить нельзя!


shkolo.ru

Конспект урока «Сложение, вычитание, умножение, деление десятичных дробей»

5 класс

Цель деятельности педагога: создать условия для развития умений выполнять вычитание суммы из числа и числа из суммы.

Предметные: моделируют ситуации, иллюстрирующие арифметическое действие и ход его выполнения.

Личностные: проявляют устойчивый и широкий интерес к способам решения познавательных задач, положительное отношение к урокам математики, дают адекватную оценку результатов своей учебной деятельности.

Метапредметные:

– регулятивные: составляют план выполнения задач, решения проблем творческого и поискового характера;

– познавательные: делают предположения об информации, которая нужна для решения предметной учебной задачи;

– коммуникативные: умеют взглянуть на ситуацию с иной позиции и договориться с людьми иных позиций.

Ресурсный материал: плакат для устного счета.

Ход урока

I. Устные упражнения.

Сложение десятичных дробей выполняется по правилам сложения в столбик.

При сложении десятичные дробизаписываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. При этом запятые должны стоять чётко друг под другом.

Неправильная запись

Правильная запись

Складывают десятичные дроби в столбик как натуральные числа, не обращая внимания на запятые.

В ответе запятую ставим под запятыми в исходных дробях.

Реши:
 22,25 + 17,70 
75,36 – 29,201 

33,29  +  17,001

 28,46  +  261,046  

Также как и сложение, вычитание десятичных дробей производим по правилам вычитания в столбик натуральных чисел.

Основные правила вычитания десятичных дробей.

  • Уравниваем количество знаков после запятой.

  • Записываем десятичные дроби друг под другом так, чтобы запятые были друг под другом.

  • Выполняем вычитание десятичных дробей, не обращая внимания на запятые, по правилам вычитания в столбик натуральных чисел.

Ставим в ответе запятую под запятыми. Реши:

39,35  –  24,065 

  24,66  –  13,77 

75,79  –  41,091 

27,28  –  1,33 

Умножение десятичных дробей происходит в три этапа.

  • Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.

  • Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй. Их количество складываем.

  • В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько получилось их в пункте выше и ставим запятую.

Как умножать десятичные дроби

Пример:

  • Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые. То есть 3,11мы рассматриваем как311, а0,01как1.

  • Получили 311. Теперь считаем количество знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В первой десятичной дроби два знака и во второй — два. Общее количество цифр после запятых: 2 + 2 = 4

  • Отсчитываем справа налево 4знака (цифры) у полученного числа. В полученном результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В таком случае нужно слеваприписать недостающее число нулей.

У нас не хватает одной цифры, поэтому приписываем слева один ноль.

Запомните!

При умножении любой десятичной дробина 10; 100; 1000и т.д. запятая в десятичной дроби перемещается вправо на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы.

Запомните!

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1;    0,01;    0,001и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей.

Считаем и ноль целых!
Реши:

27,8 • 0,1  0,5 • 0,2  

55,89 • 10 0,05 • 2 

371 • 0,01 2,5 • 4 

71,26 • 100  0,25 • 0,4

Деление десятичной дроби на натуральное число

Для деления десятичной дроби на натуральное число пользуемся следующими правилами.

  1. Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимание на запятую.

  2. Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.


Пример:

0,806 : 31 =

Обратите внимание, что целая часть десятичной дроби (у нас это 0) меньше, чем делитель (31). Поэтому в частном сразу ставим 0 в целой части.

Не забываем записывать ответ в пример:

0,806 : 31 = 0,026


Реши:

0,39 : 13                  

23,1 : 7                          

0,231 : 7  

Запомните!

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

Реши:

  • 310,1 : 10

  • 27,56 : 100

  • 0,75 : 10

IV. Домашнее задание: п. 32 повторить п. 7; карточки

multiurok.ru

Из jpg в word – Convert JPG to DOC (WORD) (Online & Free) — Convertio

alexxlab / / Школьная жизнь

Конвертировать JPG в DOC онлайн, бесплатно преобразовать .jpg в .doc

Расширение файла.doc
Категория файла documents
ОписаниеDOC – специальное расширение, соответствующее документам, созданным в текстовом редакторе Microsoft World, до версии 2007 года. В этом формате хранятся сведения о форматировании текстового документа – абзацы, списки, отступы, выравнивания и многое другое. Файлы DOC могут включать в себя не только текстовую информацию, но и многочисленные изображения, графики, сценарии, диаграммы. DOC представляет собой расширение в формате двоичного файла, который начинается с информационного блока, выступающего ключевым элементом всей совокупности файлов данных. Такие двоичные файлы включают в себя довольно большой объем информации о форматировании текстового документа. Традиционно расширение получило широкое распространение для создания документов текстового формата в большом диапазоне ОС. Файлы в этом формате открываются любыми, в том числе современными версиями редактора Word или его аналогами из бесплатных пакетов вроде Open Office, Libre Office или утилитами наподобие Corel WordPerfect.
Технические деталиПервые версии файлового формата DOC приоритетно ориентировались на содержание форматированного текста, но со временем к нему добавилось большое количество встроенных объектов, среди которых встречаются как диаграммы и графики, так и различные медиа-файлы (звуки, видео). Файлы с расширением DOC способны содержать данные о слиянии, благодаря чему шаблон обработки слов может применяться вместе с таблицей либо базой данных.
Программы

Microsoft Word

OpenOffice.org Writer

IBM Lotus Symphony

Apple Pages

AbiWord

Основная программаMicrosoft Word
РазработчикMicrosoft
MIME type

application/msword

application/kswps

onlineconvertfree.com

Инструкция по преобразованию изображения JPEG в текст в MS Word

Всем нам рано или поздно приходится сталкиваться с необходимостью распознать текст изображения. Причины для этого разные: нужно скачать конспект, перевести написанный вами от руки текст в электронный формат, перевести напечатанную книгу в формат PDF. В этом вам помогут онлайн-ресурсы для распознавания текста.

Сайты, на которых можно распознать текст онлайн

На большинстве сайтов бесплатно можно распознать только некоторое количество страниц, а за полноценное пользование придётся заплатить (например, FineReader Online поддерживает многие форматы, 10 страниц без регистрации, после регистрации вам добавляются 5 бесплатных страниц в месяц). Такие сервисы обычно обладают высокой точностью и прекрасно подойдут вам, если вам нужно разово распознать несколько страниц.

Если вам приходится часто распознавать текст, советуем воспользоваться сервисами из нашего списка:

  1. Online OCR – воспользоваться им можно без регистрации, но она потребуется, если вы хотите загружать на распознавание сразу несколько файлов.
  2. OCR Convert – позволяет загружать одновременно пять документов объемом не более 5 МБ. Поддерживает форматы PDF, GIF, BMP и JPEG. Сохраняет в виде ссылки, которую нужно вставить в документ. Регистрация не требуется.
  3. Free Online OCR (http://www.newocr.com/) – поддерживает много языков, позволяет распознавать сразу несколько файлов. Напрямую JPEG в нём распознать нельзя, понадобится вставить картинку в документ Microsoft Word.
  4. OnlineOcr – распознаёт 15 страниц в час, приходится каждый раз вводить капчу. Распознаёт текст с файлов в формате PEG, BMP, TIFF и GIF.
  5. FreeOcr – одна страница за раз, не более 10 документов в час (размер файла – не более 5000 пикселей и не более 2 МБ). Придётся каждый раз вводить капчу. Поддерживает форматы: PDF, JPG, GIF, TIFF или BMP.

По запросу “OCR free” (Optical Character Recognition – Оптическое распознавание символов) можно найти бесплатные приложения в Google.play.

Как скопировать текст с сайта, который защищен?

Стоит сказать, что сайты защищены не просто так – это означает, что администратор сайта, предположительно, владелец статей, выложенных на ресурсе, против того, чтобы их труд копировали.

Лучше спросить разрешения у администратора сайта. В конце концов, напечатать что-то своё, используя информацию, можно вручную, а полностью скопированный текст мало где может вам пригодиться, так как не пройдёт проверку антиплагиатом.

Но если вам срочно понадобилось распознать текст, это делается так:

  1. Вы делаете скрин страницы.
  2. Сохраняете его (если ваш компьютер поддерживает такую функцию – то напрямую, иначе – вставив его, скажем, в Paint) в формате JPEG (не в PNG: многие распознавалки не поддерживают его).
  3. Загружаете в любую распознавалку.
  4. Получаете готовый текст.

Качество извлечения текста с изображений

Во всех нормальных программах не должно возникнуть никаких проблем с распознанием печатного текста, если скриншот нормального качества. Текст должен быть распознан точь-в-точь. Если речь идёт о фотографии рукописного текста, могут возникнуть сложности – всё зависит от почерка.

Хорошие утилиты (как правило, они платные), как Adobe Reader, могут довольно точно распознать страницу, написанную разборчивым почерком, однако вычитывать и корректировать текст всё равно придётся. Если же почерк неразборчивый, программе будет очень сложно распознать написанное.

По сути, распознавать придётся вам, но с помощью сервиса. Помощь программы нужна для того, чтобы подсказать, на что похоже слово, которое вы совсем не можете прочесть. Возможно, программа увидит несколько букв (в редких случаях – всё слово сразу), что подтолкнёт вас в верном направлении.

Простая альтернатива

Не хотите заморачиваться с распознаванием текста и поиском подходящих для этого ресурсов? Вставьте скриншот нужной вам статьи в Word. Если вы не пытаетесь выдать написанную информацию за свою, это будет хорошим вариантом: и текст читается, и долго возиться с этим не нужно.

Бесплатные онлайн-ресурсы, описанные в нашей статье, помогут вам успешно распознавать тексты. Преобразовать изображение в текст не станет сложной задачей, если воспользоваться приведенными выше советами.

setupik.ru

👍конвектор из jpg в ворд

  1. Нажмите кнопку ЗАГРУЗИТЬ и выберите до 20 Word-файлов. Подождите окончания процесса конвертации.
  2. Нажмите кнопку СКАЧАТЬ ВСЕ, чтобы получить результат конвертации одним файлом в ZIP формате или скачайте файлы по одному.

Все загруженные данные хранятся не более 1 часа.

Преобразовать файл JPEG в WORD

Другие способы преобразования и конвертации файлов

Чтобы преобразовать jpg в документ word, необходимо загрузить программу оптического распознавания символов (OCR) на свой компьютер. Но также можно все сделать онлайн, если использовать специальный конвертер.

здесь реклама 1

Программы OCR выполняют процедуру сканирования файлов изображения, при этом происходит преобразование всего текста в виде документа. Эти программы можно использовать, если есть необходимость преобразовать совершенно любое изображение с текстом в документ, который может редактироваться.

На сегодняшний день вполне доступными является довольно большое количество как платных, так и свободно распространяемых программ оптического распознавания символов. Их можно легко загрузить и установить на своем компьютере. Но также удобно использовать и онлайн сервисы, которые не требуют дополнительной установки на компьютер.

К числу популярных загружаемых программ относятся OCRtoWord и FreeOCR. Эти две программы обладают функцией поддержания сканирования изображений в формате JPG/JPEG.

В число наиболее популярных сервисов, выполняемых конвертацию файлов, относятся Free-OCR и OnlineOCR. Эти две программы также имеют функции поддержания сканирования изображений в формате JPG/JPEG.

Потом выполняется загрузка изображений, которые необходимо просканировать. Используя сервис онлайн проводится загрузка изображений на сайт. С использованием установленной программы, в ней открывается файл изображения.

Теперь необходимо подождать, пока не завершится процесс преобразования файла. В том случае, если файл изображения будет слишком большой, эта процедура может занимать несколько минут.

здесь реклама 2

Потом копируется преобразованный текст. После завершения сканирования документа, программа OCR отражает текст в виде, приемлемом для копирования. В зависимости от четкости исходного изображения будет и качество готового текста.

Программа OCR не будет предоставлять исходное изображение, так как выполняется преобразование только одного текста. Потом текст вставляется в нужный документ.

На следующем этапе необходимо выполнить проверку на наличие ошибок. Даже самые современные и передовые программы изредка могут допускать несколько ошибок. Именно поэтому необходимо внимательно перечитать конечный текст, чтобы убедиться в отсутствии ошибок либо опечаток.

Сначала находится нужное изображение, которое необходимо добавить в документ Word. Его можно скопировать из интернета либо использовать другие источники.

Потом надо щелкнуть правой кнопкой мыши на само изображение и выбирать пункт «копировать картинку», после чего изображение помещается в буфер обмена. Открывается документ Word и курсор помещается на то место, где должно находиться изображение.

Скопированное изображение вставляется в документ Word. При необходимости выполняется изменение размера изображения, потянув за его уголки.

Wandeln Sie Ihre jpg-Dateien online & kostenlos in doc um

  • Von meinem Computer
  • Mit URL hinzufügen
  • Auswählen von Dropbox
  • Auswählen von Google Drive

PDF Dateien teilenPDF komprimierenPDF zusammenfügen

Wie man JPG in DOC konvertiert?

Die JPG-Erweiterung wurde den Bilddateien zugeordnet. Viele Foto- und Webgrafiken werden als JPG gespeichert. Um Bitmaps zu komprimieren werden sie in .jpg gespeichert, da es einfacher ist, diese Dateien im Internet zu übertragen und herunterzuladen. Das JPG-Format basiert auf der 24-Bit-Farbpalette. Je höher das angewendete Kompressionslevel, um die JPG-Datei zu erstellen, desto größer der Dekompressionseffekt bei der Bildqualität.

DOC ist eine Dateierweiterung für wortverarbeitende Dokumente. Es wird hauptsächlich mit der Anwendung Microsoft Word verbunden. DOC-Dateien können außerdem Grafiken und Tabellen, Videos, Bilder, Sound und Diagramme enthalten. Es unterstützt fast alle Betriebssysteme.

Конвертер JPG и PNG в Текст Извлекает текст из ваших изображений онлайн

Основанный на OCR технологии, наш инструмент конвертирует ваши отсканированные JPG, PNG. и PDF в один текстовый файл.

Как извлечь текст из изображения

Просто выберите ваш файл с JPG или PNG изображением, и черехз несколько секунд наш инструмент автоматически извлечет все найденные в вашем изображении тексты, вы сможете скачать их в виде одного текстового файла.

Мы интегрировали в наш инструмент технологию OCR, так как эта функция является лучшим способом извлечь текст из отсканированных изображений.

Мы очень рады, что сейчас наш конвертер поддерживает такие форматы как JPG, PNG, BMP, GIF и многие другие, вы можете с удовольствием конвертировать их в тексты.

Не волнуйтесь за свои файлы, все загруженные и сгенерированные файлы будут удалены с сервера.

Наш основанный на функции OCR конвертер поддерживает многие языки, вам нужно просто выбрать язык перед тем, как загружать ваш файл с изображением.

Конвертировать JPG в DOC — Конвертируйте ваш файл прямо сейчас — онлайн и бесплатно — эта страница также содержит информацию о расширениях файлов JPG и DOC.

Corel Paint Shop Pro

Microsoft Windows Photo Gallery Viewer

jpg в docx (Microsoft Word 2007 Document)

jpg в gif (Compuserve graphics interchange)

gladweb.ru

Метод наименьших квадратов линейная аппроксимация – Линейная аппроксимация

alexxlab / / Школьная жизнь

Моделирование в электроэнергетике — Аппроксимация опытных данных. Метод наименьших квадратов

Аппроксимация опытных данных. Метод наименьших квадратов

 

Аппроксимация опытных данных – это метод, основанный на замене экспериментально полученных данных аналитической функцией наиболее близко проходящей или совпадающей в узловых точках с исходными значениями (данными полученными в ходе опыта или эксперимента). В настоящее время существует два способа определения аналитической функции:

— с помощью построения интерполяционного многочлена n-степени, который проходит непосредственно через все точки заданного массива данных. В данном случае аппроксимирующая функция представляется в виде: интерполяционного многочлена в форме Лагранжа или  интерполяционного многочлена в форме Ньютона.

— с помощью построения аппроксимирующего многочлена n-степени, который проходит в ближайшей близости от точек из заданного массива данных. Таким образом, аппроксимирующая функция сглаживает все случайные помехи (или погрешности), которые могут возникать при выполнении эксперимента: измеряемые значения в ходе опыта зависят от случайных факторов, которые колеблются по своим собственным случайным законам (погрешности измерений или приборов, неточность или ошибки опыта). В данном случае аппроксимирующая функция определяется по методу наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (в англоязычной литературе Ordinary Least Squares, OLS) — математический метод, основанный на определении аппроксимирующей функции, которая строится в ближайшей близости от точек из заданного массива экспериментальных данных. Близость исходной и аппроксимирующей функции F(x) определяется числовой мерой, а именно: сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой F(x) должна быть наименьшей.

Рис.1. Аппроксимирующая кривая, построенная по методу наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов используется:

— для решения переопределенных систем уравнений, когда количество уравнений превышает количество неизвестных;

— для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений;

— для аппроксимации точечных значений некоторой аппроксимирующей функцией.

Аппроксимирующая функция по методу наименьших квадратов определяется из условия минимума суммы квадратов отклонений   расчетной аппроксимирующей функции от заданного массива экспериментальных данных. Данный критерий метода наименьших квадратов записывается в виде следующего выражения:

 — значения расчетной аппроксимирующей функции  в узловых точках ,

— заданный массив экспериментальных данных в узловых точках .

Квадратичный критерий обладает рядом «хороших» свойств, таких, как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.

В зависимости от условий задачи аппроксимирующая функция представляет собой многочлен степени m

Степень аппроксимирующей функции  не зависит от числа узловых точек, но ее размерность должна быть всегда меньше размерности (количества точек) заданного массива экспериментальных данных.

∙  В случае если степень аппроксимирующей функции m=1, то мы аппроксимируем табличную функцию прямой линией (линейная регрессия).

∙  В случае если степень аппроксимирующей функции m=2, то мы аппроксимируем табличную функцию квадратичной параболой (квадратичная аппроксимация).

∙  В случае если степень аппроксимирующей функции m=3, то мы аппроксимируем табличную функцию кубической параболой (кубическая аппроксимация).

В общем случае, когда требуется построить аппроксимирующий многочлен степени m для заданных табличных значений, условие минимума суммы квадратов отклонений по всем узловым точкам переписывается в следующем виде:

 — координаты узловых точек таблицы;

 — неизвестные коэффициенты аппроксимирующего многочлена степени m;

— количество заданных табличных значений.

             Необходимым условием существования минимума функции является равенству нулю ее частных производных по неизвестным переменным . В результате получим следующую систему уравнений:

Преобразуем полученную линейную систему уравнений: раскроем скобки и перенесем свободные слагаемые в правую часть выражения. В результате полученная система  линейных алгебраических выражений будет записываться в следующем виде:

Данная система линейных алгебраических выражений может быть переписана в матричном виде:

 

В результате была получена система линейных уравнений размерностью m+1, которая состоит из m+1 неизвестных. Данная система может быть решена с помощью любого метода решения линейных алгебраических уравнений (например, методом Гаусса). В результате решения будут найдены неизвестные  параметры аппроксимирующей функции, обеспечивающие минимальную сумму квадратов отклонений аппроксимирующей функции от исходных данных, т.е. наилучшее возможное квадратичное приближение.  Следует помнить, что при изменении даже одного значения исходных данных все коэффициенты изменят свои значения, так как они полностью определяются исходными данными.

 

Аппроксимация исходных данных линейной зависимостью

(линейная регрессия)

В качестве примера, рассмотрим методику определения аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости. В соответствии с методом наименьших квадратов условие минимума суммы квадратов отклонений записывается в следующем виде:

 — координаты узловых точек таблицы;

 — неизвестные коэффициенты аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости.

Необходимым условием существования минимума функции является равенству нулю ее частных производных по неизвестным переменным. В результате получаем следующую систему уравнений:

Преобразуем полученную линейную систему уравнений.

Решаем полученную систему линейных уравнений. Коэффициенты аппроксимирующей функции в аналитическом виде определяются следующим образом (метод Крамера):

 

Данные коэффициенты обеспечивают построение линейной аппроксимирующей функции в соответствии с критерием минимизации суммы квадратов аппроксимирующей функции от заданных табличных значений (экспериментальные данные).

Алгоритм реализации метода наименьших квадратов

1. Начальные данные:

— задан массив экспериментальных данных  с количеством измерений N

— задана степень аппроксимирующего многочлена (m)

2. Алгоритм вычисления:

2.1. Определяются коэффициенты для построения системы уравнений размерностью 

 — коэффициенты системы уравнений (левая часть уравнения)

 — индекс номера строки квадратной матрицы системы уравнений

 — индекс номера столбца квадратной матрицы системы уравнений

— свободные члены системы линейных уравнений (правая часть уравнения)

 — индекс номера строки квадратной матрицы системы уравнений

2.2. Формирование системы линейных уравнений размерностью .

2.3. Решение системы линейных уравнений с целью определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующего многочлена степени m.

2.4.Определение суммы квадратов отклонений аппроксимирующего многочлена от исходных значений по всем узловым точкам

Найденное значение суммы квадратов отклонений является минимально-возможным.

 Аппроксимация с помощью других функций

Следует отметить, что при аппроксимации исходных данных в соответствии с методом наименьших квадратов в качестве  аппроксимирующей функции иногда используют  логарифмическую функцию, экспоненциальную функцию и степенную функцию.

Логарифмическая аппроксимация

Рассмотрим случай, когда аппроксимирующая функция задана логарифмической функцией вида: 

Поиск неизвестных коэффициентов осуществляется по методу наименьших квадратов в соответствии со следующей системой уравнений.

Решаем полученную систему линейных уравнений. Коэффициенты аппроксимирующей функции в аналитическом виде определяются следующим образом:

Экспоненциальная аппроксимация

Рассмотрим случай, когда аппроксимирующая функция задана экспоненциальной функцией вида: 

Для применения метода наименьших квадратов экспоненциальная функция линеаризуется:

Поиск неизвестных коэффициентов осуществляется по методу наименьших квадратов в соответствии со следующей системой уравнений.

Решаем полученную систему линейных уравнений. Коэффициенты аппроксимирующей функции в аналитическом виде определяются следующим образом:

Степенная аппроксимация

Рассмотрим случай, когда аппроксимирующая функция задана степенной функцией вида: 

Для применения метода наименьших квадратов степенная функция линеаризуется:

Поиск неизвестных коэффициентов осуществляется по методу наименьших квадратов в соответствии со следующей системой уравнений.

Решаем полученную систему линейных уравнений. Коэффициенты аппроксимирующей функции в аналитическом виде определяются следующим образом:

Выбор наилучшей аппроксимирующей функции определяется значением среднеквадратического отклонения. В связи с этим следует по методу наименьших квадратов определить несколько аппроксимирующих функций, а затем по критерию наименьшего среднеквадратического отклонения выбрать наиболее подходящую функцию.

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

simenergy.ru

Лекция 8. Метод наименьших квадратов

Постановка задачи

Определение вида функциональных зависимостей, получаемых в физическом эксперименте, имеет очень важное значение. Так, в результате эксперимен-

тов часто получают совокупность точек (x1 , y1 )…(xN , yN ), абсциссы которых{xk } различны. Одно из назначений численных методов – определение формулы видаy = f (x), которая связывает эти переменные, точнее – выбор класса допустимых формул, коэффициенты в которых должны быть определены.

Если все численные значения {xk },{yk } известны с несколькими знаками

точности, то интерполяционный полином может быть с успехом использован, иначе это невозможно. В некоторых экспериментах применяется специализированное оборудование, позволяющее получить измеряемые точки, по крайней мере, с пятью знаками точности. Однако большинство экспериментов проводится на оборудовании, которое надежно дает только три или меньше знаков точности. Часто в измерении присутствует экспериментальная ошибка. И хотя

записываются три цифры для значений {xk },{yk }. Подразумевается, что ис-

тинное значение f (xk ) удовлетворяет равенству:

 

f (xk)= yk+ εk

(8.1)

где εk – ошибка измерения.

Для определения лучшего приближения функции к полученным точкам, проведем исследование ошибок (также называемыхотклонениями илиос-

татками):

 

εk = f(xk )− yk , для 1≤ k≤ N.

(8.2)

Существует несколько норм, которые можно использовать с остатками в (8.2), чтобы измерить, насколько далеко от данных лежит кривая y = f (x).

Максимальная ошибка:

E∞ ( f)= max{

 

 

 

f (xk )− yk

 

}

 

 

 

(8.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

1≤k≤N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

N

 

 

 

 

Средняя ошибка:

E1

( f )=

∑

 

f (xk )− yk

 

 

 

 

 

(8.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

( f )=

1

N

 

2

2

Среднеквадратическая ошибка:

E2

∑

 

f (xk )− yk

 

 

(8.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

N

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим это на примере.

Пример 1. Сравнить максимальную, среднюю и среднеквадратичную ошибки для линейного приближения функцииy = f (x)= 8,6 − 1,6 x по за-

данным точкам (−1;10),(0;9),(1;7 ),(2;5),(3;4),(4;3),(5;0) и(6;−1).

51

 

 

12

 

 

 

 

 

yk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

f(xk)

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

-1

0

1

2

3

4

5

6

 

 

-2

 

 

 

 

 

 

Рис. 8.1

График функции y = f (x)= 8,6 − 1,6 x с нанесенными точками

Найдем ошибки, используя значения функции f (xk ) иεk , полученные в таблице 8.1.

 

Вычисления для нахождения E1 ( f )

и E2 ( f)

Таблица 8.1

 

 

xk

yk

f (xk )= 8,6− 1,6 xk

 

 

εk

 

 

εk2

 

 

 

 

 

 

0,2

 

-1

10

10,2

 

0,04

0

9

8,6

 

0,4

0,16

1

7

7,0

 

0,0

0,00

2

5

5,4

 

0,4

0,16

3

4

3,8

 

0,2

0,04

4

3

2,2

 

0,8

0,64

5

0

0,6

 

0,6

0,36

6

-1

-1,0

 

0,0

0,00

 

 

∑

 

2,6

1,40

E∞ ( f)= max{0,2;0,4;0,0;0,4;0,2;0,8;0,6;0,0}= 0,8

E1 ( f)= 81 (2,6)= 0,325

E2

 

1,4

1 2

≈ 0 ,41833

( f )=

8

 

 

 

 

 

 

 

Ясно, что максимальная ошибка наибольшая и если одна точка плохая, то ее значение определяет E∞ ( f ). Средняя ошибкаE1 ( f ) – просто среднее абсолютных величин ошибок разных различных точек. Она часто используется

52

благодаря простоте вычисления. Ошибку E2 ( f ) часто используют при изуче-

нии ошибок статистической природы.

Наилучшая построенная линия определяется путем минимизации одной из величин, заданных выражениями (8.3) – (8.5). Таким образом, можно найти три наилучшим образом построенные линии. Традиционно выбирается третья нор-

ма E2 ( f ) потому, что ее намного легче минимизировать.

Метод наименьших квадратов

Пусть зависимость между переменными x иy представлена таблицей данных, полученных в эксперименте:

X

x1

x2

…

xN

 

 

 

 

yN

Y

y1

y2

…

Требуется полученные данные описать некоторой функциональной зависимостью вида y = f (x). Такая зависимость должна отразить основную тенденцию изменения переменнойy с изменением переменнойx и сгладить слу-

чайные погрешности измерений, которые неизбежны в эксперименте.

Задача нахождения эмпирической формулы (формулы, служащей для аналитического представления опытных данных) состоит из двух основных этапов.

На первом этапе необходимо установить вид зависимости y = f (x), т.е.

решить

 

является

ли

она линейной

f (x)= a0 + a1 x,

квадратичной

f (x)=a

0

+a

1

x+a

2

x2,

логарифмической

f (x)=a +a

1

ln(x)

или какой-либо

 

 

 

 

 

0

 

 

иной. Для этого экспериментальные точки наносятся на координатную плоскость и по их расположению выдвигают гипотезу о виде эмпирической зависимости.

На втором этапе, когда общий вид эмпирической функции выбран, необходимо определить числовые значения ее параметров a0 , a1 , a2 ,…, an . Критери-

ем выбора значений параметров является метод наименьших квадратов

(МНК).

В методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция (полином) строится на основании того, что сумма квадратов невязок по всем точкам должна быть наименьшей. Т.е.:

N

 

N

 

 

 

 

 

 

F = ∑δk

=∑( f(xk )− yk )2 min,

(8.6)

k=1

k=1

 

 

 

 

 

 

где δk – невязки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если взять полином в виде:

 

 

 

 

 

 

 

f (x)=a +a

1

x+a

2

x2 +…+a

m

xm

,

(8.7)

0

 

 

 

 

 

 

то F= F(a0 ,a1 ,…,am )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что степень полинома m должна быть меньше числа точекN . (В случаеm = N − 1 получим полином Лагранжа).

53

f (x)=a0 +a1 x

Линейная аппроксимация (интерполяция)

В этом случае m = 1 , тогда аппроксимирующая функция будет иметь вид: (8.8)

Согласно МНК значения ее параметров подбираются таким образом, чтобы отклонение экспериментальных точек (xk ; yk ) от выбранной кривой было минимальным. Т.е. параметрыa0 ,a1 должны быть такими, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значенийyk от рассчитанных по функции

(8.8), была минимальной. Сумма квадратов отклонений от линейной функции (8.8) имеет вид:

 

N

 

 

F (a0 , a1 )= ∑(a0 + a1 xk − yk )2 min

(8.9)

Величина E2 ( f )

k=1

 

будет минимальной тогда и только тогда, когда будет

минимальной величина (8.9).

Величина F (ao ,a1 ) есть функция двух переменных. Необходимым усло-

вием экстремума такой функции является равенство нулю всех ее частных производных:

 

 

∂F(ao

,a1 )

= 0

∂F(ao ,a1 )

= 0

(8.10)

Они имеют вид:

 

∂a0

∂a1

 

 

 

 

∂F(a0 , a1 )

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

= 2∑(a0 +a1 xk −yk )=0

 

 

∂a0

 

 

 

k=1

 

 

(8.11)

 

∂F(a0 , a1 )

N

 

 

 

 

 

 

= 2∑(a0+ a1xk− yk) xk= 0

 

∂a1

 

 

k=1

 

 

 

Таким образом, после преобразования имеем нормальную систему двух линейных уравнений относительно неизвестных параметров регрессииa0 ,a1 .

 

 

N

N

 

 

a0 N

+ a1∑xk=

∑yk

 

 

 

k=1

k=

1

(8.12)

 

N

N

 

N

a0∑xk+ a1∑xk2 = ∑ykxk

 

 

k=1

k=1

 

k=1

 

Решение системы – значение параметров a0 ,a1 можно найти методом обратной матрицы1. Представим систему (8.12) в матричной форме:

N

 

 

 

 

 

N

 

 

∑xk

a

 

 

∑yk

 

или

k=1

 

 

a

0

 

= k=1

 

N

 

 

1

N

 

 

∑xk2

 

 

∑yk

xk

 

k=1

 

 

 

 

 

k=1

 

 

1 Основы работы с матрицами в MS Excel представлены в приложении 1

54

studfiles.net

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших квадратов

Библиографическое описание:

Селютин А. Д. Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших квадратов // Молодой ученый. — 2018. — №16. — С. 91-96. — URL https://moluch.ru/archive/202/49571/ (дата обращения: 24.06.2019).



Вданной статье рассмотрено решение проблемы уменьшения суммы квадратов отклонений определённых функций от искомых переменных для полиномиальных уравнений n степени. Приведено подробное решение для уравнений 2 степени, рассматриваемой проблемы. Представлена рабочая программа.

Ключевые слова: метод наименьших квадратов, полиномы, полиномиальная регрессия, оконное приложение.

Метод наименьших квадратов — один из методов статистики, имеющий различное практическое применение, в основе которого лежит минимизация суммы квадратов отклонений функций от подлежащих нахождению переменных [4].

История создания.

Одной из основных задач, для решения которой применяется метод наименьших квадратов, является решение систем линейных уравнений, в которых число неизвестных переменных меньше, чем число уравнений. Впервые, метод был применён в 1796 году Фридрихом Гауссом, а в 1805 году Адриен Лежандр опубликовал метод под насущным названием. Метод в дальнейшем был доработан и улучшен [4].

Суть метода.

Допустим, что x — группа nнеизвестных переменных: –набор функций от группы переменных. Целью является подбор таких x, чтобы значения функций были близки к yi [3]. Следовательно, суть метода наименьших квадратов может быть выражена следующей формулой:

Полиномиальная регрессия.

Допустим, что имеется nзначений переменной yи соответствующих переменных x. Необходимо аппроксимировать корреляцию между yи xопределённой функцией f(x,a), где a–известные параметры.

В случае, когда имеется некоторая полиномиальная регрессионная зависимость, например: можно определить параметры системы, учитывая, что а также

Тогда, матричные уравнения будут иметь следующий вид:

Цель работы.

Целью проводимой работы является вывод рабочих формул, минимизирующих сумму квадратов отклонений полиномиальной функции 2 степени, а также создание практической программы, позволяющей находить коэффициенты квадратичной функции и полинома nстепени. Приложение будет являться оконным (будет предусмотрена возможность построения графика по заданным точкам).

Математическое решение проблемы для полиномов 2 степени.

Пусть дан полином второй степени вида:

Пусть задана функция

Тогда: (двойку можно сократить)

В итоге имеем: (Преобразуем к виду (1) см. ниже)

Тогда: (двойку можно сократить)

В итоге имеем: (Преобразуем к виду (2) см. ниже)

Тогда: (двойку можно сократить)

В итоге имеем: (Преобразуемк виду (3) см. ниже)

Составим систему линейных уравнений:

Решим систему. Найдём определитель системы:

Найдём первый частный определитель системы:

Найдём второй частный определитель системы:

Найдём третий частный определитель системы:

, b=, c=.

Решение проблемы для полиномов n степени.

Пусть дан полином вида: , где , а длина отрезка известных нам значений [2].

Необходимо найти такие параметры , чтобы сумма квадратов отклонений от в точках была минимальной, то есть

Задача сводится к решению системы уравнений:

Для решения будем использовать метод Гаусса. Результат решения системы можно наблюдать в работе оконного приложения на языке программирования C#.

Программа

Оконное приложение на языке программирования C# для определения коэффициентов аппроксимации полиномов nстепени.

Основная работа программы приходится на обработчик нажатия кнопки вычислить. Считывается степень полинома. Вычисляется кол-во точек. Далее по заданным точкам заполняется матрица сумм. Далее матрица сумм приводится к такому виду, чтобы на главной диагонали не было нулей. Высчитываются коэффициенты аппроксимации.

Программа позволяет импортировать данные из текстового файла, строить график получившейся функции и сохранять его в формате.png, экспортировать в текстовый файл получившиеся коэффициенты.

Оконные формы приложения:

Рис. 1. Оконное приложение, реализующее метод наименьших квадратов для полиномиальных уравнений n степени.

Рис. 2. Полученный график, аппроксимированной функции.

Программа доступна к использованию по ссылке: https://yadi.sk/d/G9WiaoGe3UYqsJ

Вывод

В ходе работы были выведены рабочие формулы, минимизирующие сумму квадратов отклонений полиномиальной функции второй и n-ой степени, а также была создана практическая программа, позволяющая находить коэффициенты аппроксимируемой функции.

Разработанная программа может применяться при расчётах в эконометрике для наглядного определения зависимостей одних зависимостей от других, также в оценке параметров однофакторной эконометрической модели и других областях науки.

Литература:

  1. Письменный Т.Д — Конспект лекций по высшей математике
  2. NetBeansURL: https://netbeans.org/ (Дата обращения: 5.4.18).
  3. Аппроксимация функций полиномом методом наименьших квадратов.URL: http://www.alexeypetrov.narod.ru/C/sqr_less_about.html (Дата обращения: 6.4.18)
  4. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Метод наименьших квадратов. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_наименьших_квадратов (Дата обращения: 6.4.18).

Основные термины (генерируются автоматически): оконное приложение, частный определитель системы, сумма квадратов отклонений, вид, практическая программа, полиномиальная функция, полиномиальная регрессия, матрица сумм, квадрат, язык программирования.

moluch.ru

Как пользоваться сервисом «Метод Наименьших Квадратов» · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Расскажу, как пользоваться сервисом «Метод наименьших квадратов» онлайн.

Линейная аппроксимация МНК

Допустим вам даны данные эксперимента: и вы хотите произвести линейную аппроксимацию на прямую (нелинейная тут) с доверительной вероятностью p=0,95. Чтобы воспользоваться данным сервисом, нужно подготовить данные эксперимента, а именно перенести эти данные в файл программы excel с расширением xls. Пример файла можно скачать тут. Все, данные подготовлены, нажимаем кнопку «Аппроксимировать». перейти к сервису: >> здесь << Результат для приведенного примера будет таким:

Сделаем линейную аппроксимацию методом наименьших квадратов для данных.
Попытаемся представить данные в виде y = a*x + b.

xi yi xi — x (xi — x)2 yi — y (xi — x)(yi — y)
1.01.1-2.04.0-0.410.82
2.01.3-1.01.0-0.210.21
3.01.50.00.0-0.010
4.01.71.01.00.190.19
5.01.952.04.00.440.88
Сумма15.07.5510.02.1

где x = (1.0 + 2.0 + 3.0 + 4.0 + 5.0)/5 = 15.0/ 5 = 3.0,
      y = (1.1 + 1.3 + 1.5 + 1.7 + 1.95)/5 = 7.55/ 5 = 1.51,

a = ∑(xi — x)(yi — y)/∑(xi — x)2 — суммы i=1 до 5, зн. из таблицы

a = 2.1/10.0 = 0.21 b = y — a*x, значит b = 1.51 — 0.21*3.0 = 0.88 поэтому y = a*x + b = 0.21*x + 0.88

Посчитаем среднеквадратичные ошибки определения a и b:

т.к. Sa2 = ∑[(yi — a*xi — b)2]/(n — 2)/∑[(xi — x)2],

то Sa = √0.001/(5 — 2)/10.0 = 0.0057735026919

т.к. Sb2 = ∑[(yi — a*xi — b)2]/(n — 2)*(1/n + (x)2/∑[(xi — x)2]),

то Sb = √0.001/(5 — 2)*(1/5 + 3.02/10.0) = 0.0191485421551

При доверительной вероятности p=0.95: абсолютные ошибки определения a и b:

При такой вероятности p и количестве измерений n=5 кол-во степеней свободы f=4, зн. коэффициент Студьента (таблица) равен t=2.7764451052, тогда:

абсолютные ошибки для a и b:

Δa = t*Sa = 2.7764451052*0.0057735026919 = 0.0160298132888
Δb = t*Sb = 2.7764451052*0.0191485421551 = 0.0531648761383

Последний знак у a после запятой по счёту — 2й, значит у Δa оставляем 3 знаков после запятой

Последний знак у b после запятой по счёту — 2й, значит у Δb оставляем 3 знаков после запятой

Поэтому аппроксимация будет выглядеть так:

y = a*x + b, где
a = 0.21 ± 0.016
b = 0.88 ± 0.053;

Нелинейная аппроксимация

Есть ещё обобщённый метод наименьших квадратов, который позволяет аппроксимировать до нелинейных функций. Им тоже можно воспользоваться по ссылке >> здесь << только нужно выбрать метод Обобщенный (нелинейный) Если ввести такие данные как эти и указать нелинейную функцию k1/(x^k2)*sin(k3*x), то получиться такой результат:

Найденные аппроксимированные параметры:

  • k1 = 1.62408905511
  • k2 = 0.228873651613
  • k3 = 1.98234923393

Получается график функции:
f(x) = k1/(x^k2)*sin(k3*x) = 1.62408905511498*x^(-0.228873651613201)*sin(1.98234923393379*x)

А график с нелинейной аппроксимацией будет

www.kontrolnaya-rabota.ru

6.6. Линейная аппроксимация по мнк

Пусть зависимоcть y от x задана в дискретной форме: {x1, y1; x2,y2; … xn,yn}. По этим данным можно построить такую аппроксимирующую функцию, график которой будет располагаться между узлами интерполяции близко к ним, но не обязательно точно проходить через все узлы. Такая зависимость носит сглаживающий характер и строится, например, для того, чтобы описать экспериментальные данные с помощью функции заданного вида. Необходимо определить лишь параметры этой функции. Для решения такой задачи используется метод наименьших квадратов — МНК. Его суть заключается в минимизации полной квадратичной невязки между построенной функцией и значениями yi в узловых точках:

где F(x) – искомая аппроксимирующая функция.

Часто в качестве приближения, строящегося по МНК, берутся полиномы степени l, , гдеl<n-1. В простейшем случае строится полином первой степени, т.е. линейная функция: F(x) =ax+b. Коэффициенты a и b находятся с помощью метода наименьших квадратов по следующим формулам:

, .

Для нахождения коэффициентов, можно использовать стандартные функции системы MathCAD и Excel.

В MathCAD имеется функция line(vx, vy), которая возвращает линейные коэффициенты по значениям векторных аргументов vx и vy.

В Excel имеется функция ЛИНЕЙН, у которой также имеются два аргумента, состоящих из диапазонов ячеек. На первом месте диапазон ячеек соответствующий ординате. После ввода этой функции (например, «=ЛИНЕЙН(F10:F12;E1:E3)» ) выводится только один линейный коэффициент. Для вывода обоих коэффициентов необходимо выделить две ячейки (включая первую слева) потом нажать «F2», а затем комбинацию клавиш «crtl», «shift», «enter».

Лабораторная работа №8

Используя исходные данные из предыдущей работы, построить линейную функцию по методу наименьших квадратов. Вычислить полную квадратичную невязку полученной функции. Вычислить значение функции при заданном значении аргумента.

Физическая задача №3

Полагаем, что измерение интенсивности радиоактивного распада было выполнено для (К+1) моментов времени с заданным интервалом времени . Эти измерения дали таблицу, состоящую из К+1 (К=3-5) значений количества распадовдля моментов времени.

Используя метод наименьших квадратов, определить константу распада, период полураспада и значение суммы квадратов невязок.

Знание закона радиоактивного распада

(1)

подсказывает вычислить значения и использовать метод наименьших квадратов для величин, отыскивая параметры линейной зависимости. Тангенс угла наклона линейной зависимости определяет константу радиоактивного распада.

В отчете должен быть представлен график прямой вместе с экспериментальными точками. Заметим, что закон радиоактивного распада является вероятностным и выполняется сравнительно точно для больших значений. Периоды полураспада радиоактивных изотопов изменяются в очень широких пределах. Например, период полураспада изотопа азота равен 10 минутам, а период полураспада изотопа хлора 300 000 лет [1]. В заданиях период полураспада равен часам (и ответ следует выдавать в часах).

Из определения периода полураспада следует его связь с постоянной распада:

. (2)

Параметры задачи преподаватель выдает студенту по аналитическим формулам

, .

В этих формулах — номер студента в группе, а— номер измерения (, время в этой формуле измеряется в часах. Между номером студента и периодом полураспада имеется линейная зависимость.

В отчете показать вывод уравнений, позволяющих решить задачу, график с прямой в логарифмическом масштабе для и экспериментальными точками, выписать значения постоянной распада и времени полураспада в часах.

275

studfiles.net

2.3. Аппроксимация линейной комбинацией функций.

Mathcad предоставляет пользователям встроенную функцию linfit для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов линейной комбинацией произвольных функций.

Функция linfit(x, y, F) имеет три аргумента:

  • вектор x – x–координаты заданных точек,

  • вектор y – y–координаты заданных точек,

  • функция F – содержит вектор столбец функций, который будет использоваться для построения их линейной комбинации.

Задаем функцию F (аппроксимирующая функция ищется в виде F(x)=:

Построим аппроксимирующую функцию:

Вычислим стандартное отклонение

:

Графики аппроксимирующего полинома функции и данных аппроксимации :

2.4. Аппроксимация функцией произвольного вида.

Теперь построим аппроксимирующую функцию дробно–рационального типа f(x)= — ax/(b+x3).

Для этого воспользуемся функцией genfit(x,y,v,F ) , с помощью которой вычисляем коэффициенты аппроксимирующей функции .

Функция имеет следующие параметры:

  • x, y – векторы, содержащие координаты заданных точек,

  • F(x,u) – функция, задающая искомую функциональную n–параметрическую зависимость и частные производные этой зависимости по параметрам.

  • u — вектор столбец искомых коэффициентов .

  • v – вектор, задающий начальные приближения для поиска козффициентов.

— вектор столбец искомых коэффициентов.

Поскольку нулевой элемент функции F содержит искомую функцию, определяем функцию следующим образом:

Вычисляем среднее квадратичное отклонение

3. Метод наименьших квадратов.

Функция y=f(x) задана таблицей значений в точках.

Используя метод наименьших квадратов (МНК), найти многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения оптимальной степениm=m*.

За оптимальное значение m* принять ту степень многочлена, начиная с которой величина стабилизируется или начинает возрастать.

ПОРЯДОК(алгоритм) РЕШЕНИЯ :

1. Задать векторы x и y исходных данных.

2. Используя функцию mnk (см. ниже пример решения в среде Mathcad ), найти многочлены Pm, m=0,1,2,…, по методу наименьших квадратов.

Вычислить соответствующие им значения .

3. Построить гистограмму зависимости отm, на основании которой выбрать оптимальную степень m* многочлена наилучшего среднеквадратичного приближения.

4. На одном чертеже построить графики многочленов Pm, m=0,1,2,…, m*, и точечный график исходной функции.

Пример решения в среде Mathcad .

Векторы исходных данных:

Функция mnk, строящая многочлен степени m по методу наименьших квадратов,

возвращает вектор a коэффициентов многочлена:

 

Входные данные :

x, y — векторы исходных данных;

n+1 — размерность x,y.

Вычисление коэффициентов многочленов степени 0,1,2,3 по методу наименьших квадратов:

Построение функции P , которая возвращает значение многочлена степени m в точке t (многочлен задается с помощью вектора коэффициентов a) :

 

Функция возвращает значение среднеквадратичного уклонения многочлена P(a,m,t) :

Вычисление значений , где m=0,1,2,3 :

Гистограмма

Вывод:

  1. оптимальная степень m*=2;

  2. многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения:

P2(x)=-1.102+1.598x+0.717.

Графики многочленов степени 0,1,2 и точечный график исходной функции:

studfiles.net

Лекция № 3. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.

1. Интегральное среднеквадратичное приближение функций ортогональными многочленами.

Пусть на отрезке задана функцияи определена система функций

Обобщённым полиномом (многочленом) порядка (степени) nназывают функцию вида

, где- некоторые постоянные.

Обобщённый многочлен называют многочленом наилучшего среднеквадратического приближения функциина отрезке, если расстояние от многочлена до данной функции по среднеквадратичной норме (среднеквадратичное отклонение) является наименьшим. Иначе говоря, выполняется условие:

— наименьшее.

Задачу о нахождении такого многочлена называют задачей об интегральном среднеквадратичном приближении (аппроксимации) функциина отрезкеобобщённым многочленом. Эта задача сводится к нахождению коэффициентовиз условия (1).

Если функция и система функцийопределены на множестве точек, то приближение функциимногочленомназывают точечным среднеквадратичным приближением на множестве точек. При этом для обобщённого многочлена наилучшего приближениясреднеквадратичное отклонениена системе точек.

Задача нахождения многочлена наилучшего приближения функциина отрезкеупрощается, если система функцийобладает свойством ортогональности на данном отрезке.

Введём сначала ряд определений.

Определение 1. Скалярным произведением функций ина отрезкеназывается определённый интеграл от их произведения на этом отрезке. Обозначим скалярное произведение, каки запишем:

.

Определение 2. Нормой функции на отрезкеназывается число. Функция, для которой существует интеграл, называется интегрируемой с квадратом на отрезке.

Определение 3. Функции иназываются ортогональными на отрезке, если их скалярное произведение на этом отрезке равно нулю, то есть

.

Определение 4. Система функций называется ортогональной на отрезке, если все функции этой системы попарно ортогональны на этом отрезке.

Коэффициенты обобщённого многочлена

называются коэффициентами Фурье функции относительно ортогональной системы функций, если они определяются по формулам

Теорема. Для любой функции, интегрируемой с квадратом на отрезке, обобщённый многочленп-го порядкас коэффициентами Фурье функцииотносительно ортогональной на отрезкесистемы функцийявляется многочленом наилучшего среднеквадратичного отклонения этой функции, причём квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения определяется соотношением

, где— коэффициенты Фурье, определяемые по формулам (3).

2. Метод наименьших квадратов. Эмпирические формулы.

Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений переменных х иу.

Можно поставить задачу об отыскании аналитической зависимости между переменными, то есть некоторой формулы , явным образом выражающей зависимостьу отх. Естественно требовать, чтобы график искомой функцииизменялся плавно и не слишком уклонялся от экспериментальных точек. Поиск такой функциональной зависимости называют “сглаживанием” экспериментальных данных.

Задачу о сглаживании экспериментальных данных можно решать методом наименьших квадратов. Согласно методу наименьших квадратов, указывается формула

,

где — числовые параметры.

Наилучшими значениями параметров (которые обозначим) считаются те, для которых сумма квадратов уклонений функцииот экспериментальных точекявляется минимальной, то есть функция

в точке () достигает минимума. Отсюда, используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получаем систему уравнений для определения параметров:

.

Если система (6) имеет единственное решение , то оно является искомым и аналитическая зависимость между экспериментальными данными определяется формулой. Заметим, что в общем случае эта система нелинейна.

Рассмотрим подробнее аппроксимирующие зависимости с двумя параметрами: . Используя соотношения (6) и опуская несложные выкладки, получим систему двух уравнений с двумя неизвестнымии:

.

В частном случае аппроксимации экспериментальных данных с помощью линейной функции имеем:

.

Система (7) для этого случая является линейной относительно неизвестных и:

.

Если для переменных х иу соответствующие значения экспериментальных данныхне располагаются вблизи прямой, то выбирают новые переменные

так, чтобы преобразованные экспериментальные данные в новой системе координатдавали бы точкименее уклоняющиеся от прямой. Для аппроксимирующей прямойкоэффициенты можно определить из уравнений (8), где вместоиподставляют соответствующие значенияи. Нахождение зависимостей (9) называют, выравниваем экспериментальных данных. Функциональная зависимостьопределена неявно уравнениемразрешимым относительноу в частных случаях.

Пример 1.Установить вид эмпирической формулы, используя аппроксимирующие зависимости с двумя параметрамии, и определить наилучшие значения параметров, если опытные данные представлены таблицей:

1

2

3

4

5

7,1

27,8

62,1

110

161

Решение.

Легко заметить, что экспериментальные точки лежат приблизительно на одной прямой. Положими составим таблицу для экспериментальных данных в новых переменных:

0,000

0,693

1,099

1,386

1,609

1,960

3,325

4,129

4,700

5,081

Точки лежат приблизительно на одной прямой, в чём легко убедиться, построив их в системе координат. Наилучшие значения параметровинаходятся из системы уравнений (8):

.

Решив эту систему, получим: . Неявное уравнение, выражающее связь между переменнымииимеет вид. Отсюда легко получить прямую зависимость между переменными в виде степенной функции:

.

Для сравнения можно привести таблицу экспериментальных данных, и данных, полученных с помощью найденной формулы:

1

2

3

4

5

7,1

27,8

62,1

110

161

.

7,16

27,703

61,081

107,04

165,39

Формула, полученная в результате решения приведённого примера, является частным случаем аппроксимирующей зависимости с двумя параметрами, имеющей вид . Параметры этой зависимости можно было бы найти из системы нелинейных уравнений (7) непосредственно, однако применение способа выравнивания существенно упрощает вычисление параметров. В данном случае.

Рекомендации по переведению экспериментальных данных в аппроксимирующие зависимости с двумя переменными приведены в следующей таблице.

№

Выравнивание данных

(преобразование переменных)

Эмпирическая формула

1

2

3

4

5

6

Одну из шести предложенных формул преобразования следует выбирать одновременно с проверкой линейной зависимости к исходным данным. Условием выбора наилучшей эмпирической формулы является наименьшее уклонение исходных или преобразованных экспериментальных данных от прямой. Его можно определить по формуле:

.

Для наилучшей эмпирической формулы значение будет наименьшим.

Задание.

Экспериментальные данные содержатся в таблицах. Для каждой из них выполнить следующие операции:

  1. Нанести экспериментальные точки на координатную сетку.

  2. Выбрать одну из шести предложенных формул преобразования к новым переменным так, чтобы преобразованные экспериментальные данныенаименее уклонялись от прямой.

  3. Методом наименьших квадратов найти наилучшие значения параметров

и в уравнении прямой.

  1. Найти явный вид эмпирической формулы и построить график эмпирической функции.

а)

1

2

3

4

5

1,1

1,4

1,6

1,7

1,9

б)

1

2

3

4

5

1,05

1,55

1,7

1,75

1,8

в)

1

2

3

4

5

7,5

6,2

5,5

3,5

3,0

г)

1

2

3

4

5

0,4

0,55

0,13

0,09

0,07

studfiles.net

Как на калькуляторе посчитать корень 3 степени – 3

alexxlab / / Школьная жизнь

как на калькуляторе посчитать квадратный корень.. .

Если калькулятор «домашний», то вводим число из которого извлечь, затем нажимаем значок корня. Если компьютерный (виндовский) , то там вместо значка корня 4 буквы: Эс_Ку_Ар_Ти. Также можно возвести в степень 1/2 — то же самое.

не на всех калькуляторах есть эта функция. Если нет знчка корня, то никак.

Смотря на каком калькуляторе. На инженерных есть соответствующая кнопка. В Windows также встроен калькулятор, в меню Вид его надо переключить на «Инженерный». Иначе по формуле меотодом последовательных приближений..

Воспользуйтесь <a rel=»nofollow» href=»http://reshit.ru/Servisi_dlya_uchashihsya/kalkulyator/index.html» target=»_blank» >онлайн калькулятором</a>

если нет функции — считай численно. замечательный алгоритм извлечения корня из А: V1 = чему угодно, например — самому А, или значению корня на глазок а дальше последовательно считаешь: V[i+1]=(Vi — A/Vi*)/2 Сходится замечательно, 3-4 итерации хватит

На калькуляторе в windows 10 в режиме «инженерный» для того, чтобы ввести кв. корень, достаточно нажать «пробел»

touch.otvet.mail.ru

как рассчитать корень третьей степени в Excel или на калькуляторе(инженерном)?

В Экселе очень просто, если число из которого необходимо извлечь корень записано в ячейке A01, а степень, корень которой необходимо извлечь в ячейке В01, то записав в любой ячейке =СТЕПЕНЬ (А01;В01) получите степень числа а если в ячейке В01 написать «1/3» то это и будет кубический корень из искомого числа

на калькуляторе есть такая функция х^у, корень третьей степени это 1/3=0.33333333333333333333333333333333333333333333333 ну и набираешь число. . потом эту функцию. . и 0.333333333333333333333333333 и вот тебе счастье

Подробная инструкция в видео <a rel=»nofollow» href=»https://www.youtube.com/watch?v=_DIjLQ4TC8Y» target=»_blank»>https://www.youtube.com/watch?v=_DIjLQ4TC8Y</a>

touch.otvet.mail.ru

как на калькуляторе расчитать корень 8 степени?

Возвести в степень 1/8 или в 0.125 Например, корень восьмой степени из 256: 256^(1/8)=2 или 256^0.125=2

Возведи число в степень 1/8. Это то же что и корень 8 степени. Кстати, сие можно сбацать во встроеном, виндяшном калькуляторе.

Извлеки три раза квадратный корень.

Вы с ума сошли? ? Три раза квадратный корень — это получится корень шестой степени. Совсем в школе не учились, что ли?

смотря какой калькулятор (функции)

Три раза квадратный корень — это корень восьмой степени. В школе не учились? (1/2)*(1/2)*(1/2)=…

touch.otvet.mail.ru

Подскажите пожалуйста, как на калькуляторе взять корень 4 степени?! Заранее спасибо!

если он хороший — на нем скорее всего есть возможность возведения в степень корень четвертой степени — это возведение в степень 1/4

два раза нажать на обычный корень

два раза нажать нужно на корень

пуск — программы — стандартные — калькулятор — вид инженерный Затем набрать число, из которого желаете извлечь корень 4-й степени, нажать на x^y набрать 0,25 нажать = Удачи !

touch.otvet.mail.ru

Как на калькуляторе посчитать степень

Автор КакПросто!

Для возведения числа в степень можно использовать как простейшие, так и научные калькуляторы. Во втором случае появляется возможность использовать в качестве показателя степени дробное или отрицательное число.

Статьи по теме:

Инструкция

На простейшем калькуляторе можно возводить только в целые положительные степени. Для этого нажмите клавишу [C], введите число, а затем нажмите клавиши [X] и [=]. Число будет возведено в степень 2. Последующие нажатия клавиши [=] приведут к возведению введенного вами числа в степени 3, 4, 5, и так далее, до тех пор, пока не произойдет переполнение разрядной сетки. В последнем случае на индикаторе включится сегмент E или ERROR, а считать результат достоверным будет нельзя.

Если показатель степени значителен, подсчитывать нажатия клавиши [=] можно при помощи второго калькулятора. Последовательно нажмите на нем клавиши [1], [+] и [=]. Последующие нажатия на клавишу [=] приведут к появлению на индикаторе чисел 2, 3, 4, 5, и так далее. Остается нажимать клавиши [=] на обоих калькуляторах синхронно с таким расчетом, чтобы показания индикатора второго прибора соответствовали степени, в которую возведено число на первом.

Для возведения в степень на научном калькуляторе с обратной польской записью вначале нажмите клавишу [C], затем число, подлежащее возведению, затем кнопку со стрелкой вверх (на аппаратах фирмы HP — с надписью Enter), затем показатель степени, а затем клавишу [xy]. Если эта надпись расположена не на самой клавише, а над ней, то перед ней нажмите клавишу [F]. Отличить такой калькулятор от научного с арифметической записью можно по отсутствию клавиши [=].

При использовании научного калькулятора с алгебраической записью вначале нажмите клавишу [C], затем число, подлежащее возведению в степень, затем клавишу [xy] (при необходимости — совместно с клавишей [F], как указано выше), затем показатель степени, а затем — клавишу [=].

Наконец, при использовании двухстрочного калькулятора с формульной записью введите в верхнюю строку все выражение в том же виде, в каком оно записано на бумаге. Для ввода знака возведения в степень используйте клавишу [xy] или [^], в зависимости от типа аппарата. После нажатия клавиши [=] результат отобразится в нижней строке.

При отсутствии калькулятора для возведения в степень можно использовать компьютер. Для этого запустите на нем программу виртуального калькулятора: в Windows — Calc, в Linux — XCalc, KCalc, Galculator и др. Переключите программу в инженерный режим, если этого не было сделано ранее. Калькулятор XCalc можно перевести в режим обратной польской записи, запустив его командой xcalc -rpn. Компиляторы языка Паскаль использовать в качестве калькуляторов не рекомендуется — команды возведения в степень там нет, и реализовывать соответствующий алгоритм приходится вручную. В интерпретаторах языка Бейсик, например, UBasic, для осуществления этой операции служит знак ^.

Совет полезен?

Похожие советы

www.kakprosto.ru

Как написать уравнение асимптот – Как найти асимптоты графика функции, примеры решений

alexxlab / / Школьная жизнь

Примеры нахождения наклонных асимптот

В предыдущей статье наведены определения наклонных, вертикальных, горизонтальных асимптот. Сейчас же будут приведены примеры нахождения асимптот с применением правила Лопиталя. Его удобно применять при нахождении границ с неопределенностями типа ноль на ноль или бесконечность на бесконечность , то есть, когда есть границы вида

или

то по правилу Лопиталя ее значение равно

если функции дифференцируемы и определены в окрестности точки . Производную можно применять повторно до тех пор, пока не получим константу в числителе или знаменателе или дробь избавится особенности.

————————————

Примеры.

Найти асимптоты функций

І.

Решение:

Знаменатель дроби не должен превращаться в ноль

Область определения будет разбита на два интервала

Точка которая разбивает область определения будет вертикальной асимптотой . Найдем наклонную асимптоту согласно формулы

Первую неизвестную найдем с предела

Вторую определяем по правилу

Окончательное уравнение наклонной асимптоты следующее

Функцию с асимптотой изображено на графике

——————————————

ІІ.

Решение:

Функция определена во всех точках кроме тех, в которых знаменатель равен нулю. Найдем решения квадратного уравнения

Оба корня разбивают область определения на три интервала

а также являются вертикальными асимптотами функции. Наклонную асимптоту находим с применением правила Лопиталя

При вычислении констант , входящих в уравнение прямой, пришлось применить правило Лопиталя трижды для первой и дважды для второй неизвестной. В конечном итоге получили следующее уравнение наклонной асимптоты

График функции приведен ниже

—————————————

III.

Решение:

С виду функции следует что она определена во всех точках где определены корни

Накладывая оба промежутка получим область определения

Точка является вертикальной асимптотой функции. Вычислим коэффициенты, входящие в уравнение наклонной асимптоты. Применение правила Лопиталя к данному примеру никаких упрощений не даст поэтому используем другое

Упростим выражение в числителе

и подставим в границу

Уравнение наклонной асимптоты примет вид

График заданной функции с наклонной асимптотой следующий

—————————————

Приведенные решения частично ознакомили Вас с возможными примерами которые могут быть на практике. Для лучшего владения данной тематикой решайте задачи самостоятельно, изучайте удобные методики нахождения пределов функции которые позволят получить результаты быстрее.

————————————

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Понятие асимптот вводится для кривых, график которых (или отдельные ветви графика) уходит в бесконечность. Это может быть, когда функция не ограничена или когда она задана на неограниченном промежутке.

Определение. Прямая линия называется асимптотой кривой , если расстояние точки кривой до этой прямой стремится к нулю при стремлении точки к бесконечности.

Пример 1. Доказать, пользуясь определением асимптоты, что прямая является асимптотой кривой .

Решение. По определению асимптоты . В нашем случае .

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты.

Уравнение любой вертикальной прямой, то есть прямой, параллельной оси , имеет вид .

Если прямая является вертикальной асимптотой графика функции , то очевидно, что хотя бы один из односторонних пределов или равен бесконечности ( или ).

Все функции с бесконечными разрывами (разрывы второго рода) имеют вертикальные асимптоты.

Пример 2. Найти уравнение вертикальных асимптот графика функции .

Решение. Видим, что , если , точнее , то есть прямая является вертикальной асимптотой, причем двусторонней.

Горизонтальные асимптоты.

Всякая горизонтальная прямая имеет уравнение .

Если прямая является горизонтальной асимптотой кривой , то .

Пример 3. Найти горизонтальные асимптоты кривой .

Решение. Найдем , то есть при и при , значит прямая – горизонтальная асимптота данной кривой.

Наклонные асимптоты.

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде . По определению асимптоты или

. (1)

Разделим обе части этого равенства на :

, откуда

. (2)

Теперь из (1):

. (3)

Для существования наклонных асимптот необходимо существование пределов (2) и (3). Если хотя бы один из них не существует, то наклонных асимптот нет. Пределы (2) и (3) нужно находить отдельно при и при , так как пределы могут быть разными (функция имеет две разные асимптоты).

Пример 4. Найти наклонные асимптоты графика функции .

Решение. По формуле (2) найдем .

Теперь найдем . Получаем уравнение наклонной асимптоты .

Пример 5. Найти асимптоты кривой .

Решение. Вертикальных и горизонтальных асимптот нет, так как при . Ищем наклонные:

.

Таким образом, кривая асимптот не имеет.

Пример 6. Найти асимптоты кривой .

Решение. Поскольку при и при , то прямые и являются вертикальными асимптотами. Так как , то – горизонтальная асимптота. Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот: , следовательно, кривая наклонных асимптот не имеет (искать не имеет смысла, так как горизонтальные асимптоты уже найдены).

Для самостоятельной работы.

1. Пользуясь определением асимптот, доказать, что прямая является асимптотой кривой .

2. Найти асимптоты следующих кривых:

А) . Ответ: .

Б) . Ответ: .

В) . Ответ: .

Г) . Ответ: .

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Определение 23.4. Прямая называется Асимптотой Графика функции Y = F(X) , если расстояние от переменой точки этого графика до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Рассмотрим три вида асимптот и определим способы их нахождения.

1. Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида х = а. В этом случае определение асимптоты подтверждается, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке А бесконечен.

Пример. Вертикальной асимптотой графика функции

Является прямая Х = 1.

Рис. 5

2. Горизонтальные асимптоты – прямые вида У = а. Такие асимптоты имеет график функции, предел которой при или при конечен, т. е.

Пример. Горизонтальными асимптотами функции Y = Arctg X являются

Рис. 6

3. Наклонные асимптоты – прямые вида Y = Kx + B. Найдем K И B. Поскольку

Если этот предел существует, конечен и не равен нулю. Однако даже при выполнении этих условий наклонная асимптота может не существовать. Для ее существования требуется, чтобы имелся конечный предел при разности F(X) – Kx. Этот предел будет равен B , так как

Замечание. Число вертикальных асимптот графика функции не ограничено, а наклонных и горизонтальных в сумме может быть не более двух (при и при ).

Пример.

Функция имеет бесконечный разрыв при Х = 1, то есть Х = 1 – вертикальная асимптота.

Поэтому горизонтальных асимптот график не имеет. Проверим наличие наклонных асимптот. Для этого вычислим

Тогда

Заметим, что оба предела не зависят от знака бесконечности, поэтому прямая Y = X + 1 является асимптотой графика на обоих концах оси Ox.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Как найти наклонные асимптоты функции

Чтобы прямая y=kx+b являлась наклонной асимптотой к графику функции у, ее уравнение должно удовлетворять условию

   

Из этого условия можно вычислить коэффициенты k и b наклонной асимптоты к графику функции у:

   

Тогда

   

По свойству пределов:

   

и

   

Подставим вместо у выражение из правой части уравнения прямой и почленно поделим числитель и воспользуемся свойством предела:

   

Вынесем постоянные за знак предела:

   

Следовательно, функция у будет иметь наклонную асимптоту в виде y=kx+b только в том случае, когда будут существовать конечные пределы:
и

Пример.
Найдем наклонные асимптоты функции .

Решение.
Найдем наклонные асимптоты.
Уравнение наклонных асимптот имеет вид . Согласно определению асимптоты:

   

Найдем коэффициент k:

   

Найдем коэффициент \textit{b:}

   

Получили уравнение наклонной асимптоты:

   

Ответ. — наклонная асимптота функции .

Таким образом, нахождение наклонных асимптот сводится к вычислению соответствующих пределом.
Чтобы убедиться в правильности решения можно построить график у функции и соответствующей асимптоты.

ru.solverbook.com

Свойства гиперболы. Асимптоты гиперболы. » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.3. Свойства гиперболы.

Теорема. (Свойства гиперболы.)

1. В канонической для гиперболы системе координат, в полосе

                                       

нет точек гиперболы.

2. Точки  лежат на гиперболе.

3. Гипербола является кривой, симметричной относительно своих главных осей.

4. Центр гиперболы является его центром симметрии.

   Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения гиперболы.

3, 4) Пусть М(х, у) – произвольная точка гиперболы. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнению (4). Но тогда координаты точек  также удовлетворяют уравнению (4), и, следовательно, являются точками гиперболы, откуда и следуют утверждения теоремы.

Теорема доказана.

Определение. Величина 2а называется действительной осью гиперболы, величина а называется действительной полуосью гиперболы.

Определение. Величина 2b называется мнимой осью гиперболы, величина b называется мнимой полуосью гиперболы.

Определение. Точки пересечения гиперболы с его действительной (фокальной) осью: , называются действительными вершинами гиперболы.

Определение. Точки  называются мнимыми вершинами гиперболы.

Определение. Две пары прямых, параллельных главным осям гиперболы

                                 , ,

высекают прямоугольник, который называется основным прямоугольником гиперболы.

                                            рис.3.

п.4. Асимптоты гиперболы.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если при удалении от начала координат расстояние между ними стремится к нулю.

Уточним понятие расстояния от кривой L до прямой. Пусть М – произвольная (текущая) точка кривой L. Опустим из точки М перпендикуляр MN на прямую. Тогда наименьшее возможное значение длины этого перпендикуляра

                                   

называется расстоянием от кривой L до данной прямой.

                                            рис.4.

Вернемся к понятию асимптоты кривой.

                

                                      рис.5.

   Пусть дана прямая  и кривая L. Пусть  – точка на кривой L,  – длина перпендикуляра, опущенного на прямую  а  из точки М,  – длина отрезка прямой, проходящей через точку М параллельно оси ординат, заключенного между прямой  а  и кривой L. Из построения следует, что если М(х, у) – координаты точки М, то  – координаты точки . По определению, прямая а является асимптотой кривой L тогда и только тогда, когда  при . В свою очередь .

   Таким образом, прямая а является асимптотой кривой L тогда и только тогда, когда

                                        .

Теорема. Для того, чтобы прямая а была асимптотой для кривой L необходимо и достаточно, чтобы

                         .                            (5)

   Доказательство. Угол между прямой а и осью ординат Оу остается неизменным при любом расположении точки М на кривой L и не равным нулю (мы предполагаем, что прямая ). Из прямоугольного треугольника MNK следует, что

                                ,

где . Отсюда,

                           .

Теорема доказана.

   Применим доказанную теорему к нахождению асимптот гиперболы.

Теорема. Прямые  являются асимптотами гиперболы.

   Доказательство. В силу симметричности гиперболы относительно осей координат, достаточно доказать, что прямая  является асимптотой для гиперболы в 1 – й четверти, т.е. при  и . Выражая их канонического уравнения гиперболы у, получаем

                            .                     (6)

Мы можем рассматривать гиперболу в 1-й четверти как график функции, задаваемой равенством (6). Найдем ее производную:

                                .

Следовательно, в первой четверти эта функция является возрастающей. Далее,

                     ,

т.е. график функции (гипербола) лежит ниже прямой  для всех . Вычисляем предел (5):

.

Отсюда, в силу предыдущей теоремы, следует, что прямая  является асимптотой для гиперболы в первой четверти. Теперь справедливость теоремы следует из симметрии гиперболы относительно осей и начала координат.

Теорема доказана.

Возможно найдутся ответы здесь:

fxdx.ru

Глава 27. Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты

Определение

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек плоскости и , называемых фокусами, есть величина постоянная, равная .

Расстояние между фокусами – .

Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат (рис. 2.13.1), то каноническое уравнение гиперболы имеет вид

(2.13.1)

Где . Уравнение вида (2.13.1) называется Каноническим Уравнением гиперболы. При указанном выборе системы координат оси координат являются Осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее Центром симметрии. Ось называется Действительной осью, а – Мнимой осью гиперболы. Точки пересечения гиперболы с осью называются Вершинами гиперболы.

Рис. 2.13.1.

Прямоугольник со сторонами и , расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженные) являются асимптотами гиперболы и определяются уравнениями

, .

(2.13.2)

Эксцентриситетом гиперболы (как и эллипса) называется число , где – расстояние от центра гиперболы до ее вершины. Очевидно, что для любой гиперболы .

Если – произвольная точка гиперболы, то отрезки и называются Фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы правой ветви гиперболы могут быть вычислены по формулам и . Фокальные радиусы левой ветви гиперболы – по формулам и .

Если гипербола задана уравнением (2.13.1), то прямые, определяемые уравнениями , называются ее Директрисами.

Пример

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если точка лежит на гиперболе и известны уравнения асимптот .

Решение

Из уравнений для асимптот находим , или . Поскольку точка принадлежит гиперболе, ее координаты удовлетворяют уравнению (2.13.1): , где или . Отсюда находим , тогда , следовательно, уравнение гиперболы имеет вид .

Пример

Дана гипербола . Найти ее полуоси и , фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот.

Решение

Разделим обе части этого уравнения на 144. Получим . Значит , следовательно оси гиперболы соответственно равны и . Так как , то фокусы гиперболы находятся в точках и . Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле . В соответствии с (2.13.2), уравнения асимптот имеют вид: .

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

1.2 Исследование формы гиперболы по её уравнению

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением.

1.  Уравнение (11.9) содержит x и у только в четных степенях. Сле­довательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О(0;0), которую называют центром гиперболы.

2.  Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив у=0  в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью Ох: А1(a;0) и A2(-a;0). Положив x=0 в (11.9), получаем y^2=-b^2, чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.

Точки A1(a;0) и A2(-a;0) называются вершинами гиперболы, а отрезок A1A2=2a

действительной осью, отрезок OA1=OA2=a — действительной полуосью гиперболы.

Отрезок B1B2(B1B2=2b), соединяющий точки B1(0;b) и B2(0;-b) называется мнимой осью, число b  —  мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

3.  Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое x^2/a^2 не меньше единицы  т. е. что 1<=x^2/a^2   или  a<=|x| . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой x=a (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой x=-a (левая ветвь гиперболы).

4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда |x| возрастает, то и |y| воз­растает. Это следует из того,  что разность x^2/a^2 –y^2/b^2 сохраняет   постоянное   значение, равное единице.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей). Как раз таки график оптического свойства для гиперболы выглядит также:

Продолжение отраженного луча света, исходящего из одного фокуса гиперболы, попадает во второй фокус.

1.3 Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой K  до этой прямой стремится к ну­лю при неограниченном удалении точки M вдоль кривой K от начала координат. На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой К.

Покажем, что гипербола x^2/a^2-y^/b^2 имеет две асимптоты:

  (11.11)

Так как прямые (11.11) и гипербола (11.9) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой y=bx/a точку N имеющей ту же абсциссу х, что и точка M(x;y) на гиперболе y=b(x^2-a^2)^1/2/a  (см.рис. 56), и найдем разность ΜΝ между ордина­тами прямой и ветви гиперболы:

Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; числитель — есть постоянная величина.

Стало быть, длина отрезка ΜΝ стремится к нулю. Так как ΜΝ больше расстояния d от точки Μ до прямой, то d и подавно стремится к ну­лю. Итак, прямые  y=+bx/a являются асимптотами гиперболы (11.9).

При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить ос­новной прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, — асимптоты гиперболы и отметить вершины A1 и A2, гиперболы.

studfiles.net

1 … 18 19 20 21 22 … 343