Рубрика: Школьная жизнь

ОГЭ 2015 (задание 13, модуль «ГЕОМЕТРИЯ»)

ОГЭ 2015 (задание 13, модуль «ГЕОМЕТРИЯ») 169915 Какие из следующих утверждений верны? 1) Если угол равен 45, то вертикальный с ним угол равен 45. 2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. 3) Через

ID_7510 1/9 neznaika.pro

1 Анализ геометрических высказываний Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

ГЕОМЕТРИЯ: ПЛАНИМЕТРИЯ

ГЕОМЕТРИЯ: ПЛАНИМЕТРИЯ I Группа 1.01 Разность двух углов, получившихся при пересечении двух прямых, равна 20. Найти больший из этих углов. 1.02 Углы треугольника пропорциональны числам 3:7:8. Найти наибольший

Подробнее

Прототипы задания В6-2 (2013)

Прототипы задания В6-2 (2013) ( 27742) Один острый угол прямоугольного треугольника на больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. ( 27743) В треугольнике ABC угол A равен, внешний

Подробнее

Тренировочные задачи

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Теорема Пифагора 1. Найдите диагональ квадрата со стороной a. a. В прямоугольном треугольнике с углом 60 гипотенуза равна. Найдите катеты.

Подробнее

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники».

Тема 1 «Трапеция. Многоугольники». Трапеция четырехугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В8 Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Александр и Наталья Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 А.С. Крутицких

Подробнее

ОКРУЖНОСТИ И ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ

ОКРУЖНОСТИ И ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ wwwfmclssru Задача В параллелограмм можно вписать окружность Найдите ее радиус, если известно, что радиус окружности, описанной около него, равен Задача Диагонали ромба равны

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Площадь круга. 1)Пусть х 1

Квадрат L S = l= ; а в Трапеция O угол между диагоналями l средняя линия трапеции Метод координат l D ) Пусть А(х ; у ), В(х ; у ), тогда координаты вектора АВх х у ) Пусть А(х ; у ), В(х ; у ), тогда

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач по планиметрии (В5 и В8) Наталья и Александр Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 Необходимо знать все фигуры планиметрии. А также следующие

Подробнее

Задания В6. . Найдите AB.

Задания В6 1. В треугольнике ABC угол C равен 90, тангенс внешнего угла при вершине A равен -0,1. Найдите tga. 2. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 52. Найдите угол C этого 3.

Подробнее

Произвольный треугольник

Произвольный треугольник В приведенных ниже формулах используются следующие обозначения: а) с длины сторон АВС лежащие против углов А В и С соответственно б) высоты медианы l l l биссектрисы в) радиус

Подробнее

AC 6, cos A. Найдите BH.

Прототипы задания 6 1. Задание 6 ( 26097) 16. Задание 6 ( 20001) В треугольнике ABC угол C равен 90, sin A 0, 6, 21 AC 4. Найдите AB. В треугольнике ABC AC BC 12, sin B. 5 2. Задание 6 ( 29580) Найдите

Подробнее

ШКОЛА С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ПРЕДМЕТА

Примерные экзаменационные билеты для проведения устной итоговой аттестации выпускников IX классов общеобразовательных учреждений ГЕОМЕТРИЯ По геометрии предлагается два блока экзаменационных билетов для

Подробнее

ЗАДАНИЕ 15 Планиметрия Треугольник

ЗАДАНИЕ 15 Планиметрия Треугольник 1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 2. На клетчатой бумаге с клетками

Подробнее

10 класс Повторение планиметрии

Учебное пособие по геометрии 10 класс Повторение планиметрии (задачи в картинках) Для учащихся Лицея 1502 при МЭИ І полугодие Краткое содержание 1. Программа коллоквиума по «Планиметрии». 2. Содержание

Подробнее

Выполнила: Науменко Елена

ГЛОССАРИЙ учебной практики 1 курса группы МИБ-111 факультета МИФ «Волгоградского государственного социально-педагогического университета» по теме : «Четырехугольники» Выполнила: Науменко Елена 1.Четырехугольники:

Подробнее

n n a a Формулы n n n a a b

Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( — = — + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( — = — + — Сумма кубов + = ( + ( — + Разность кубов

Подробнее

Тренировочные задачи

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Параллелограмм. Периметр параллелограмма равен, а одна из его сторон вдвое больше другой. Найдите стороны параллелограмма. и 4. Найдите

Подробнее

Вписанные и описанные окружности

Вписанные и описанные окружности Окружностью, описанной около треугольника, называется окружность, которая проходит через все его вершины. Около всякого треугольника можно описать единственную окружность.

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии.

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне

Подробнее

МАЛЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КубГУ

МАЛЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КубГУ ПЛАНИМЕТРИЯ (10 11 класс) Титов Г.Н. Задания по планиметрии тематически разбиты на десять пунктов. В каждом пункте кратко изложен необходимый теоретический материал

Подробнее

Все прототипы заданий В3

1. Прототип задания B3 ( 27543) Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 Все прототипы заданий В3 2. Прототип задания B3 ( 27544) Найдите площадь треугольника,

Подробнее

tgbac. В8 ЕГЭ В ABC C = 90 0, CH высота, AB = 13, tga 5. Найдите BH. 12,5 3 В ABC C = 90 0, AB = 13, tga. Найдите высоту CH.

В-8. ПРОТОТИПЫ Задание ответ В ABC C = 90 0, CH высота, AB =, tga. Найдите AH., В ABC C = 90 0, CH высота, AB =, tga. Найдите, В ABC C = 90 0, AB =, tga. Найдите высоту CH., В ABC C = 90 0, CH высота,

Подробнее

А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Планиметрия: квадрат, прямоугольник, треугольник. 27583.

Подробнее

docplayer.ru

По сторонам параллелограмма найти его диагонали

Если в задаче требуется по сторонам параллелограмма найти его диагонали, следует воспользоваться свойством диагоналей параллелограмма.

Задача 1.

Диагонали параллелограмма равны 7 см и 11 см, а его стороны относятся как 6:7. Найти стороны параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC=11 см, BD=7 см,

AB:AD=6:7

 Найти: AB, AD.

Решение:

Пусть k — коэффициент пропорциональности (k>0). Тогда AB=6k см, AD=7k см.

По свойству диагоналей параллелограмма,

   

Составим уравнение и решим его:

   

   

   

   

   

Следовательно, AB=6∙1=6 см, AD=7∙1=7 см.

Ответ: 6 см, 7 см.

Задача 2.

Одна из сторон параллелограмма на 5 см больше другой, а диагонали параллелограмма равны 17 см и 19 см. Найти стороны параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC=19 см, BD=17 см,

AD на 5 см больше  AB.

 Найти: AB, AD.

Решение:

Пусть AB=x см, тогда AD=(x+5) см.

По свойству диагоналей параллелограмма,

   

Составим уравнение и решим его:

   

   

   

   

   

   

   

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Значит, AB=10 см, AD= 10+5=15 см.

Ответ: 10 см, 15 см.

www.treugolniki.ru

Как вычислить угол параллелограмма 🚩 формула углов параллелограмма 🚩 Математика

21 марта 2012

Автор КакПросто!

У параллелограмма имеется четыре угла. У прямоугольника и квадрата все они равны 90 градусам, у остальных же параллелограммов их значение может быть произвольным. Зная другие параметры фигуры, эти углы можно вычислить.

Статьи по теме:

Инструкция

Параллелограмм -это фигура, у которой противоположные стороны, а также углы равны и параллельны. Существует четыре вида параллелограмма, причем три из них являются частным случаем этой фигуры. У классического параллелограмма два острых и два тупых угла. У квадрата и прямоугольника все углы прямые. Ромб аналогичен классическому параллелограмму и отличается от него лишь тем, что является равносторонним. Все параллелограммы, независимо от вида, имеют ряд общих свойств. Во-первых, диагонали этой фигуры всегда пересекаются в точке, совпадающей с их серединами. Во-вторых, в любом параллелограмме противоположные углы равны. В ряде задач дан классический параллелограмм с двумя перекрещивающимися между собой диагоналями. Из условия известны две его стороны и площадь. Этого достаточно, чтобы найти один из углов фигуры. Формула связи между площадью, сторонами и углом выглядит так:S=a*b*sin α, где a — длина параллелограмма, b — ширина, α — острый угол, S — площадь.Преобразуйте эту формулу следующим образом:α=arcsin(S/ab).Значение тупого угла β найдите, вычтя значение острого из 180 градусов:β=180-α.

Углы прямоугольника и квадрата находить не требуется — они всегда равны 90°. У ромба же углы могут быть различными, но в связи с одинаковыми длинами всех четырех сторон формула может быть упрощена:S=a^2*sin α, где a — сторона ромба, α — острый угол, S — площадь.Соответственно, угол α равен значению:α=arcsin(S/a^2).Значение тупого угла найдите способом, указанным выше.

Если в параллелограмме или ромбе провести высоту, образуется прямоугольный треугольник. Сторона параллелограмма будет гипотенузой, а высота — катетом этого треугольника. Отношение этого катета к гипотенузе равно синусу угла параллелограмма:sinα=h/c.Отсюда угол α равен:α=arcsin(h/c).

www.kakprosto.ru

Следует отметить интересный факт о том, что любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.

Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:

(1)

Обозначим через вектор неизвестных и определим вектор-функцию Тогда система (1) записывается в виде уравнения:

(2)

Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].

Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.

С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое.

Так, в публикации [2], на основании проведенных вычислительных экспериментов, доказано, что библиотечная функция newton_krylov, предназначенная для решения больших систем нелинейных уравнений, имеет в два раза меньшее быстродействие, чем алгоритм TSLS+WD
(two-step least squares), реализованный средствами библиотеки NumPy.

Целью настоящей публикации является сравнение по числу итераций, быстродействию, а главное, по результату решения модельной задачи в виде системы из ста нелинейных алгебраических уравнений при помощи библиотечной функции scipy.optimize.root и методом Ньютона, реализованного средствами библиотеки NumPy.

Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method=’hybr’, jac=None, tol=None,callback=None, ptions=None)
fun — Векторная функция для поиска корня.
x0 –Начальные условия поиска корней

method:
hybr -используется модификация Пауэлл гибридный метод;
lm – решает системы нелинейных уравнений методом наименьших квадратов.
Как следует из документации [3] методы broyden1, broyden2, anderson, linearmixing, diagbroyden, excitingmixing, krylov являются точными методами Ньютона. Остальные параметры являются «не обязательными» и с ними можно ознакомится в документации.

Методы решения систем нелинейных уравнений

В методе Ньютона новое приближение для решения системы уравнений (2) определяется из решения системы линейных уравнений:

(3)

Определим матрицу Якоби:

(4)

Запишем(3) в виде:

(5)

Многие одношаговые методы для приближенного решения (2) по аналогии с двухслойными итерационными методами для решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в виде:

(6)

где — итерационные параметры, a — квадратная матрица n х n, имеющая обратную.

При использовании записи (6) метод Ньютона (5) соответствует выбору:

Система линейных уравнений (5) для нахождения нового приближения может решаться итерационно. В этом случае мы имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешними и внутренними итерациями. Например, внешний итерационный процесс может осуществляться по методу Ньютона, а внутренние итерации — на основе итерационного метода Зейделя

При решении систем нелинейных уравнений можно использовать прямые аналоги стандартных итерационных методов, которые применяются для решения систем линейных уравнений. Нелинейный метод Зейделя применительно к решению (2) дает:

(7)

В этом случае каждую компоненту нового приближения из решения нелинейного уравнения, можно получить на основе метода простой итерации и метода Ньютона в различных модификациях. Тем самым снова приходим к двухступенчатому итерационному методу, в котором внешние итерации проводятся в соответствии с методом Зейделя, а внутренние — с методом Ньютона.

Основные вычислительные сложности применения метода Ньютона для приближенного решения систем нелинейных уравнений связаны с необходимостью решения линейной системы уравнений с матрицей Якоби на каждой итерации, причем от итерации к итерации эта матрица меняется. В модифицированном методе Ньютона матрица Якоби обращается только один раз:

(8)

Выбор модельной функции

n=100
def f(x):
         f = zeros([n])
         for i in arange(0,n-1,1):
                  f[i] = (3 + 2*x[i])*x[i] - x[i-1] - 2*x[i+1] - 2
         f [0] = (3 + 2*x[0] )*x[0] - 2*x[1] - 3
         f[n-1] = (3 + 2*x[n-1] )*x[n-1] - x[n-2] - 4
         return f

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней

from numpy import*
from scipy import optimize
import time 
ti = time.clock() 
n=100
def f(x):
         f = zeros([n])
         for i in arange(0,n-1,1):
                  f[i] = (3 + 2*x[i])*x[i] - x[i-1] - 2*x[i+1] - 2
         f [0] = (3 + 2*x[0] )*x[0] - 2*x[1] - 3
         f[n-1] = (3 + 2*x[n-1] )*x[n-1] - x[n-2] - 4
         return f
x0 =zeros([n])
sol = optimize.root(f,x0, method='krylov')
print('Solution:\n', sol.x)
print('Krylov method iteration = ',sol.nit)
print('Optimize root time', round(time.clock()-ti,3), 'seconds')

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Krylov method iteration = 4219
Optimize root time 7.239 seconds:

Solution:
[1.00000018 0.99999972 0.99999985 1.00000001 0.99999992 1.00000049
0.99999998 0.99999992 0.99999991 1.00000001 1.00000013 1.00000002
0.9999997 0.99999987 1.00000005 0.99999978 1.0000002 1.00000012
1.00000023 1.00000017 0.99999979 1.00000012 1.00000026 0.99999987
1.00000014 0.99999979 0.99999988 1.00000046 1.00000064 1.00000007
1.00000049 1.00000005 1.00000032 1.00000031 1.00000028 0.99999992
1.0000003 1.0000001 0.99999971 1.00000023 1.00000039 1.0000003
1.00000013 0.9999999 0.99999993 0.99999996 1.00000008 1.00000016
1.00000034 1.00000004 0.99999993 0.99999987 0.99999969 0.99999985
0.99999981 1.00000051 1.0000004 1.00000035 0.9999998 1.00000065
1.00000061 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.00000059 1.00000056
1.00000047 1.00000016 1.00000018 0.99999988 1.00000061 1.00000002
1.00000033 1.00000034 1.0000004 1.00000046 1.00000009 1.00000024
1.00000017 1.00000014 1.00000054 1.00000006 0.99999964 0.99999968
1.00000005 1.00000049 1.0000005 1.00000028 1.00000029 1.00000027
1.00000027 0.9999998 1.00000005 0.99999974 0.99999978 0.99999988
1.00000015 1.00000007 1.00000005 0.99999973 1.00000006 0.99999995
1.00000021 1.00000031 1.00000058 1.00000023 1.00000023 1.00000044
0.99999985 0.99999948 0.99999977 0.99999991 0.99999974 0.99999978
0.99999983 1.0000002 1.00000016 1.00000008 1.00000013 1.00000007
0.99999989 0.99999959 1.00000029 1.0000003 0.99999972 1.00000003
0.99999967 0.99999977 1.00000017 1.00000005 1.00000029 1.00000034
0.99999997 0.99999989 0.99999945 0.99999985 0.99999994 0.99999972
1.00000029 1.00000016]
Krylov method iteration = 9178
Optimize root time 23.397 seconds

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона

from numpy import*
import time 
ti = time.clock() 
def jacobian(f, x):
         h = 1.0e-4
         n = len(x)
         Jac = zeros([n,n])
         f0 = f(x)
         for i in arange(0,n,1):
                  tt = x[i]
                  x[i] = tt + h
                  f1= f(x)
                  x[i] = tt
                  Jac [:,i] = (f1 - f0)/h
         return Jac, f0
def newton(f, x, tol=1.0e-9):
         iterMax = 50
         for i in range(iterMax):
                  Jac, fO = jacobian(f, x)
                  if sqrt(dot(fO, fO) / len(x)) < tol:
                           return x, i                 
                  dx = linalg.solve(Jac, fO)
                  x = x - dx
         print ("Too many iterations for the Newton method")
n=100
def f(x):
         f = zeros([n])
         for i in arange(0,n-1,1):
                  f[i] = (3 + 2*x[i])*x[i] - x[i-1] - 2*x[i+1] - 2
         f [0] = (3 + 2*x[0] )*x[0] - 2*x[1] - 3
         f[n-1] = (3 + 2*x[n-1] )*x[n-1] - x[n-2] - 4
         return f
x0 =zeros([n])
x, iter = newton(f, x0)
print ('Solution:\n', x)
print ('Newton iteration = ', iter)
print('Newton method time', round(time.clock()-ti,3), 'seconds')

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 13
Newton method time 0.496 seconds

Решение для n=200:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 14
Newton method time 1.869 seconds

Чтобы убедиться в том, что программа действительно решает систему, перепишем модельную функцию для ухода от корня со значением 1 в виде:

n=10
def f(x):
         f = zeros([n])
         for i in arange(0,n-1,1):
                  f[i] = (3 + 2*x[i])*x[i]*sin([i]) - x[i-1] - 2*x[i+1] - 2+e**-x[i]
         f [0] = (3 + 2*x[0] )*x[0] - 2*x[1] - 3
         f[n-1] = (3 + 2*x[n-1] )*x[n-1] - x[n-2] - 4
         return f

Вывод: Программа работает и при изменении модельной функции.

Теперь вернёмся к начальной модельной функции и проверим более широкий диапазон для n, например в 2 и 500.
n=2
Solution:
[1. 1.]
Newton iteration = 6
Newton method time 0.048 seconds
n=500

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 15
Newton method time 11.754 seconds

Выводы:

Ссылки:

1. Рейтинг языков программирования 2018.
2. Бондарь И.В, Фалейчик Б.В. Безматричные итерационные процессы со среднеквадратичным подавлением ошибки для больших систем нелинейных уравнений.
3. scipy.optimize.root.
4. Вабищевич П.Н. Численные методы: Вычислительный практикум. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. — 320 с.

habr.com

6 Численное решение систем нелинейных уравнений » СтудИзба

Численное решение систем нелинейных уравнений

Постановка задачи

Дана система линейных уравнений

                   (1)

Введём обозначения: вектор  — вектор аргументов:

Аналогично вектор функций

Тогда систему 1 можно переписать в виде:

Система линейных уравнений в общем виде неразрешима. Поэтому мы будем рассматривать только численные методы решения системы линейных уравнений.

Метод Ньютона

Для уравнения имеет вид:

По анологии метод Ньютона для системы линейных уравнений

где  — вектор аргументов на -ом шаге итерации

 — значения вектора функций (системы уравнений ) при

 — обратная матрица Якоби

— матрица, Якоби-матрица, состоящая из частных производных

Вполне естественно очевидно, что формулу Ньютона можно применять в том случае, когда Якоби-матрица неособенная, невырождённая, то есть .

Пример:

Дано:

Матрица Якоби

Превоначальная оцнка

1)          

2)  

3)  

-=-=

и так далее

Результаты итераций лучше всего сводить в таблицу

Прекращаем вычисления, когда  — заданная точность.

Как и в любых численных методах встают следующие задачи: о сходимости метода и о выборе начального значения.

Сходимость метода Ньютона

Вопросами сходимости метода Ньютона занимались такие учёные, как Виллус, Стёпин, Островский, Канторович и другие. Мы же будем рассматривать сходимость, единственность корня и выбор начального условия по Канторовичу. При рассмотрении этих характеристик метода ипользуются понятия нормы. Поэтому прежде дадим определения :

-нормой — называется максимальная сумма модулей элементов по строкам.

-нормой — называется максимальная сумма модулей элементов по столбцам.

-нормой — нызывается квадратный корень из суммы квадратов модулей элементов матрицы

Пример:

Для оценки матриц, используемых в методе Ньютона для нелинейных систем, будем использовать -нормы, а именно

Теорема о существовании корней и сходимости процесса Ньютона

Пусть дана нелинейная система уравнений

,

где  — вектор-функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядков в некоторой области . Положим, что  — есть точка, лежащая в  вместе со своей замкнутой -окрестностью. При этом выполняются следующие условия:

1)  матрица Якоби при  имеет обратную функцию

2)  

3)  

4)  постоянные  удовлетворяют неравенству

Тогда процесс Ньютона при начальном приблежении  сходится к решению  — есть решение такое, что

Для проверки условия  даёт оценку расходимости начального и первого приблежения.

Быстрота сходимости процесса Ньютона

Если выполнимы все четыре условия теоремы 1, то для последовательных приближений ,  справедливо неравенство:

где  — искомое решение, а

При  сходимость метода — сверхбыстрая.

Единственность решения

Если выполнимы все четыре условия, в области

то содержится единственное решение системы

Выбор начального условия

Если выполнимы все четыре условия и , то процесс сходится к единственному решению  в основной области  при любом выборе начального условия из области

Модифицированный метод Ньютона

При использовании метода Ньютона наиболее трудоёмким является процесс вычисления обратной матрицы Якоби.

Если матрица  невырождённая для некоторого приближения , и  достаточно близко к  (искомому решению), то можно использовать модифицированный метод Ньютона.

Метод итераций

Дана система нелинейных уравнений:

или

             (1)

Допустим, что систему 1 можно привести к виду:

           (2)

Введём обозначения:

,       ,

Можно систему уравнений 2 переписать в виде:

Приведённое матричное уравнение и есть формула метода итераций

Необходимое и достаточное условие сходимости процесса итерации

Пусть функции  и  непрерывны в области , причём в области  выполнимо неравенство:

где  — некоторая константа.

Если последовательные приближения

,     

не выходят из области , то этот процесс сходится к единственному решению системы.

Следствие:

оценка пиближённо

На практике лучше всего рассматривать матрицу с элементами

Для сходимости должно выполнятся условие

1)  

2)  

3)  

Метод скорейшего спуска (градиентный метод)

Дана система линейных уравнений:

            (1)

В матричном виде

Считаем, что  действительны и непрерывно дифференцируемы в их общей области определения.

Рассмотрим функцию

      (2)

Очевидно, что если мы найдём решение системы уравнений 1 , то это решение является и решением системы уравнений 2 и наоборот.

Предполагаем, что система 1 имеет лишь одно изолированное решение, представляющего собой точку строго минимум функции . Таким образом задача сводится к нахождению минимум функции  в -мерном пространстве.

Берём точку  — нулевое приближение. Через точку  проходит поверхность уровня и . Если  близка , то поверхность = будет похожа на элипсоид.

Из точки  движемся по нормали к поверхности  до тех пор, пока эта нормаль не коснётся  другой поверхности:

И так далее.

Так как , то двигаясь таким образом, мы быстро приближаемся к точке с минимальным значением , которая соответствует некоему корню .

Градиент функции U

 — набла или grad — есть вектор приложенный к точке , имеющий направление нормали. Из векторных произведений

,              (3)

Как определить ? Для этого рассматривают скалярную функцию :

Уравнение 3 можно преобразовать так, чтобы не было явного выражения градиента. Введем обозначения , тогда итерационная формула градиентного метода будет иметь вид:

,

где

Вычисления производятся до тех пор, пока не станет справедливым следующее неравенство:

e,

где e — заданная точность вычисления.

Пример. Дана система нелинейных уравнений:

Найти решение системы градиентным методом с точностью e=0,01

Определим начальное приближение как:

Вектор-функция имеет вид:

Якобиан, или матрица частных производных имеет вид:

1 итерация

2 итерация

Решение системы нелинейных уравнений представлено в таблице:

Таким образом, решение системы уравнений имеет вид:

Сходимость градиентного метода

Сходимость метода гарантируется при выборе начального приближения вблизи .

В любом случае метод может остановитья в точке относительного метода.

studizba.com

Решение систем нелинейных уравнений

Простейшие системы нелинейных уравнений система МС может решать с помощью символьных преобразований. ВНИМАНИЕ! Знаки = в уравнениях набираются не с клавиатуры, а вызываются с панели булевых функций Boolean. Вот несколько примеров:

,,

.

Системы, которые не удается решить символьными преобразованиями, можно попытаться решить численными методами. Для этого в системе МС нужно произвести следующие действия:

1. Неизвестным присвоить начальные значения по возможности близкие к ожидаемому решению.

2. В очередном блоке записать с клавиатуры слово given, которое является директивой системы МС и открывает «увеличенный блок», где записываются уравнения системы. В слове given не имеет значения, записано оно прописными буквами или строчными.

3. В последующих блоках записать уравнения, используя знак =, взятый с панели Boolean. В каждом блоке записывается одно уравнение.

4. Записать функцию Find(x,y,z,…), где в скобках указываются неизвестные системы уравнений. Лишние шаблоны в аргументе функции можно удалить. Эта функция, записанная в отдельном блоке, завершает «увеличенный блок», посвященный решению системы. Значения этой функции (решение системы) образуют вектор. Можно какому-нибудь переменному присвоить значение этой функции. Можно просто посмотреть ответы на экране, поставив после функции знак = с клавиатуры.

Рассмотрим пример

given

Итак, система MATHCAD выдала решение x = 1.109, y = 0.613. Произведем проверку

.

Видим, что с точностью до тысячных равенства системы выполнены. Эта точность соответствует точности, с которой выведены на экран результаты. На самом деле результат значительно лучше. Используем найденные значения z, а не их округленную запись на экране:

.

Таким образом, ошибка появляется только в пятнадцатом знаке после запятой!

Очень многое зависит от задания начальных значений. Если в приведенном выше примере изменить начальные условия, задав , то система сообщит, что решение задачи не найдено. Неизвестные и их начальные значения можно задавать в векторном виде. Пример (установите начало нумерации элементов матриц с 1):

given

.

Точность решения системы уравнений с помощью функции Find регулируется двумя системными переменными TOL и CTOL, которые можно найти через меню Tools пункт Worksheet Options.

Корни многочлена

Как мы видели на первом занятии, в системе МС имеется возможность разложить многочлен на множители с помощью символьных операций. Но эта возможность реализуется только в том случае, когда получающиеся множители имеют целые коэффициенты. При этом множители не всегда получаются линейными или квадратичными. Проверьте это на многочленах ,,,,. В других случаях для разложения на множители приходится находить корни многочлена. Как это можно сделать в системе МС, описано выше. Следует, однако, учесть, что функцияpolyroots гарантирует хорошие результаты только для многочленов невысокой степени. Аналогичным недостатком обладает и директива solve для символьного нахождения корней. Рассмотрим следующий пример. Пусть

.

Этот многочлен имеет два кратных корня 1.5 и 1.9 кратности 2. Раскроем скобки, для чего воспользуемся директивой Collect из меню Symbolics (из-за формата страницы результат записан в двух строчках):

Попробуем найти корни с помощью символьной операции solve (на экране условие записывается в одной строке):

Как видим, корни найдены точно, и каждый показан столько раз, какова его кратность. Используем функцию polyroots. Для этого потребуется вектор из коэффициентов многочлена. Чтобы его компоненты не набирать вручную, воспользуемся пунктом Polynomial coefficient из меню Symbolics, выделив сначала переменную x в записи многочлена. В результате получим

Тот же результат можно получить кнопкой coeffs на панели Symbolic. Скопируем результат и выполним присвоение:

. Вычислим корни: .

В этом случае результаты значительно отличаются от точных корней. Это связано и со степенью многочлена, которая является довольно высокой, и с наличием кратных корней, которые превратились в комплексно сопряженные простые корни. Если по этим корням получить многочлен, производя округления с точностью до 5 знаков после запятой, то получим многочлен, коэффициенты которого отличаются от исходных только в четвертом знаке.

Посмотрим, как изменение коэффициентов влияет на корни. Для этого в многочлене p(x) уменьшим коэффициент при x на единицу последнего знака, т.е. на ,. Найдем корни с помощью функцииpolyroots. Увидим, что изменения происходят уже в третьем знаке после десятичной точки, причем простой вещественный корень 2 превращается в комплексный:

.

Если воспользоваться символьным нахождением корней, то получим результат, заметно отличающийся от ранее вычисленного. В частности, корень 2 исходного многочлена превращается в корень, приближенно равный 1.8 (из-за громоздких записей распечатка не приводится). Таким образом, мы убедились, что для многочлена высокой степени малое изменение коэффициентов может вызвать существенное изменение корней и к полученным результатам с помощью функции polyroots нужно относиться осторожно.

Если подставить найденные значения корней в многочлен, то для корней, вычисленных символьным методом, результаты будут иметь порядок , а для корней, полученных с помощью функцииpolyroots, – порядок .

Если результат, полученный символьным способом, желательно округлить до меньшего числа цифр после десятичной точки, то нужно его выделить, а затем в меню Symbolics выбрать пункт Evaluate и в развернувшемся меню пункт Floating Point. В появившемся окне указывается общее число значащих цифр результата (до точки и после нее, нули слева не учитываются). То же можно сделать и с помощью панели Symbolic. Округлим корни предыдущего многочлена до пяти цифр после точки, используя эту панель. Из-за громоздкой записи здесь в исходных корнях приведены только 7 цифр после точки, на экране их 19.

.

После того как найдены корни многочлена, мы можем представить его в виде произведения. Произведение будет содержать в вещественном случае линейные и квадратичные множители, в комплексном случае – только линейные. Произведем это разложение для рассмотренного выше многочлена. Используем корни, округленные до пяти цифр после запятой. Это округление у нас уже имеется. Чтобы не переписывать длинные наборы цифр, скопируем набор корней и создадим соответствующую векторную величину

.

Найдем квадратичные множители. Для этого используем пары комплексно сопряженных корней. Если за счет вычислений комплексные корни отличаются от комплексно сопряженных на величину, лежащую за пределами заданной точности, то их нужно исправить. Исправить нужно так, чтобы они стали комплексно сопряженными. Для удобства преобразований используем кнопку стрелка с шаблоном на панели Symbolic. Сначала набираем выражение . Затем нажимаем стрелку с шаблоном. Нажимаемcollect на той же панели. Клавишей табулирования переходим на следующий шаблон. Нажимаем кнопку float. Вписываем 6 в шаблон. Переходим на следующий шаблон и удаляем его. Щелкаем мышью за пределами блока. В результате получаем

.

Аналогично получим

.

Теперь можно записать разложение многочлена на множители (из-за размера страницы мы приводим только 2 цифры после десятичной точки):

.

studfiles.net

3.Численное решение систем нелинейных уравнений.

Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений.

Пусть дана система:

Согласно методу Ньютона последовательные приближения вычисляются по формулам:

, где

Начальные приближения определяются приближенно (например, графически).

Метод Ньютона эффективен только при достаточной близости начального приближения к решению системы.

4.Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау).

Метод Гаусса с выбором главного элемента для системы линейных уравнений

Система из п линейных уравнений с п неизвестными вида:

(3.1)

имеет единственное решение при условии: , где

­ матрица коэффициентов системы (3.1)

К точным методам относится метод Гаусса с выбором главного элемента. Среди элементов матрицыА выберем наибольший по модулю, называемый главным элементом. Пусть им будет элемент . Строка с номеромр, содержащая главный элемент, называется главной строкой.

Далее вычисляем множители: для всех. Затем преобразуем матрицу следующим образом: из каждой неглавной строки вычитаем почленно главную строку, умноженную наm_i . В результате получим матрицу, у которой все элементы q-го столбца, за исключением , равны нулю. Отбрасываем этот столбец и главную строку и

получаем новую матрицу с меньшим на единицу числом строк и столбцов. Над матрицейповторяем аналогичные операции, после чего получаем матрицуА₂ и т. д. Такие преобразования продолжаем до тех пор, пока не получим матрицу, содержащую одну строку, которую считаем тоже главной. Затем объединяем все главные строки, начиная с последней. После некоторой перестановки они образуют треугольную матрицу, эквивалентную исходной. На этом заканчивается этап вычислений, называемый прямым ходом. Решив систему с полученной треугольной матрицей коэффициентов, найдём последовательно значения неизвестных . Этот этап вычислений называетсяобратным ходом. Смысл выбора главного элемента состоит в том, чтобы сделать достаточно малым число m_i и тем самым уменьшить погрешность вычислений.

Вычисление обратной матрицы для системы линейных уравнений

Пусть дана невырожденная матрица , где(i, j = 1, 2,…, n). Для нахождения элементов обратной матрицы , где (i, j = 1, 2,… n) воспользуемся основным соотношением:

АА^-1 =Е, где Е – единичная матрица.

Перемножая матрицы А и А^-1 и используя равенство их матрице Е, получим п систем линейных уравнений вида:(i = 1, 2, …, n; j – фиксировано), где .

Полученные п систем линейных уравнений имеют одну и ту же матрицу А и различные столбцы свободных членов. Эти системы можно решать методом Гаусса (см. п. 3.1.1). В результате решения систем получаем единичную матрицу A.

Метод простой итерации для систем линейных уравнений

Метод простой итерации даёт возможность получить последовательность приближённых значений, сходящуюся к точному решению системы.

Преобразуем систему (3.1) к нормальному виду:

.                                                 (3.2)

Правая часть системы (3.2) определяет отображение:

, преобразующее точку -мерного

метрического пространства в точку того же пространства.

Выбрав начальную точку , можно построить итерационную последовательность точекп — мерного пространства:

При определённых условиях данная последовательность сходится.

Так, для исследования сходимости таких последовательностей используется принцип сжимающих отображений, который состоит в следующем.

Если F – сжимающее отображение, определённое в полном метрическом пространстве с метрикой , то существует единственная неподвижная точка, такая, что. При этом итерационная последовательность,, полученная с помощью отображенияF с любым начальным членом х⁽⁰⁾, сходится к .

Оценка расстояния между неподвижной точкой отображенияF и приближением х^(к) даётся формулами:

(3.3)

где α – множитель, определяемый достаточными условиями сжимаемости отображения F.

Значение множителя α, определяется выбором метрики, в которой проверяется сходимость последовательности значений .

Рассмотрим Достаточные условия сходимости итерационной последовательности .

Практически, для применения метода итерации систему линейных уравнений удобно «погрузить» в одну из трёх следующих метрик:

(3.4)

Для того, чтобы отображение F, заданное в метрическом пространстве соотношениями (3.2), было сжимающим, достаточно выполнение одного из следующих условий:

а) в пространстве с метрикой :

, т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по строкам, должна быть меньше единицы.

б) в пространстве с метрикой :, т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы.

в) в пространстве с метрикой : , т. е. сумма квадратов при неизвестных в правой части системы (3.2) должна быть меньше единицы

Метод Зейделя для систем линейных уравнений

Метод Зейделя является модификацией метода простой итерации. Вычисление проводится по следующим формулам:

Достаточные условия сходимости итерационной последовательности приближенных решений системы и оценка погрешности проводятся по тем же формулам, что и в методе простой итерации.

studfiles.net

Методы решения систем нелинейных уравнений — КиберПедия

cyberpedia.su

Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СУМСКИЙ ГОСУДАСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

кафедра информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО КУРСУ:

Численные методы

на тему:

«Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений»

Сумы, 2006

Содержание

1. Методы решения систем нелинейных уравнений. Общая информация

2. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

2.1 Метод простых итераций

2.2 Преобразование Эйткена

2.3 Метод Ньютона

2.3.1 Модификации метода Ньютона

2.3.2 Квазиньютоновские методы

2.4 Другие итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

2.4.1 Метод Пикара

2.4.2 Метод градиентного спуска

2.4.3 Метод релаксаций

3. Реализация итерационных методов программно и с помощью математического пакета Maple

3.1 Метод простых итераций

3.2 Метод градиентного спуска

3.3 Метод Ньютона

3.4 Модифицированный метод Ньютона

Выводы

Список использованной литературы

1. Методы решения нелинейных уравнений. Общая информация.

Пусть нам дана система уравнений, где

Она может быть также представлена в матричном виде:

Где

Её решением называется такое значение

Очень распространенной является вычислительная задача нахождения некоторых или всех решений системы (1.1) из n нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений с n неизвестными.

Обозначим через Х вектор-столбец (х ₁, х ₂,…, х_n )^T и запишем систему уравнений в виде формулы (1.2): F (Х ) = 0, где F = (f ₁, f ₂,…, f_n )^T .

Подобные системы уравнений могут возникать непосредственно, например, при конструировании физических систем, или опосредованно. Так, к примеру, при решении задачи минимизации некоторой функции G (х )часто необходимо определить те точки, в которых градиент этой функции равен нулю. Полагая F = grad G, получаем нелинейную систему.

В отличие от систем линейных алгебраических уравнений, для решения которых могут применяться как прямые (или точные ), так и итерационные (или приближенные ) методы, решение систем нелинейных уравнений можно получить только приближенными, итерационными методами. Они позволяют получать последовательность приближений

Для полноты представления о методах нахождения решения системы необходимо разъяснить такое понятие, как «скорость сходимости». Если для последовательности x_n , сходящейся к пределу х_* , верна формула

(k — положительное действительное число), то k называется скоростью сходимости данной последовательности.

2. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

2.1 Метод простых итераций

Метод простых итераций (последовательных приближений) является одним из основных в вычислительной математике и применяется для решения широкого класса уравнений. Приведём описание и обоснование этого метода для систем нелинейных уравнений вида

f_i (x₁ ,x₂ ,…x_n ) = 0, i =1,2,..n ;

Приведём систему уравнений к специальному виду:

Или в векторном виде

Причем переход к этой системе должен быть только при условии, что

Используя некоторое начальное приближение X⁽⁰⁾ = (x₁⁽⁰⁾ ,x₂⁽⁰⁾ ,…x_n⁽⁰⁾ )

построим итерационный процесс X^(k+1) =  (X^(k) ). Расчёты продолжаются до выполнения условия

Проведём обоснование метода в некоторой норме

Приведём теорему о сходимости, выполнение условий которой приводит к нахождению решения системы.

Теорема (о сходимости). Пусть

1). Вектор-функция Ф(х) определена в области

2). Для

3). Справедливо неравенство

Тогда в итерационном процессе:

1.

2.

где

3.

Замечание. Неравенство условия 2) есть условие Липшица для вектор -функции Ф(х) в области S с константой

Доказательство . Поскольку

Будем рассуждать по индукции. При

По индуктивному предположению

Следовательно,

т.е. неравенство (2.3) справедливо для

Итак,

Покажем, что последовательность

mirznanii.com

Глава 7. Численное решение систем нелинейных уравнений

Задача нахождения некоторых или всех решений системы из n нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений сn неизвестными

f (x ,…,x )=0

n 1 n

является одной из самых распространенной вычислительных задач. Подобные системы уравнений могут возникать непосредственно, например, при конструировании физических систем, или к таким системам сводится решение других задач. Так, к примеру, при решении задачи минимизации некоторой функции G(x1, x2,…, xn) часто необходимо определить те точки, в которых

градиент этой функции равен нулю. Полагая F = grad G, получаем нелинейную систему.

Векторная запись нелинейных систем. Введем векторные обозначения:

где f 1,.., fn — заданные, в общем случае, нелинейные вещественные функцииn переменных(x1,x2,…,xn ) и запишем систему уравнений в виде

большей размерности и для ее решения применяются итерационные методы. Например, итерационный процесс, где компоненты приближений определяются из соотношений

имеет те же решения, что и исходное уравнение (7.1), и для приближенного нахождения этих решений можно формально записать итерационный процесс

Эта формула определяет большое семейство итерационных методов. В случае Ak ≡A получают метод простых итераций с линейной сходимостью

где

Тогда:

ϕ1(x)

Φ(xr) =ϕ2(xr)M

ϕn(xr)

Это можно сделать, например, умножив (7.1) на некоторуюr невырожденную

матрицу −A и прибавив затем к тождествуx = x .Получится система x = xr− AF(xr)

эквивалентная исходной, где Φ(x) = xr− AF(xr) . Проблема теперь состоит лишь в подборе матричного параметраA такого, при которомΦ(x)

обладала бы нужными свойствами.

Задача о решении системы нелинейных уравнений в записи (7.4) – это задача о неподвижной точке нелинейного отображения Φ:Rn → Rn .

Запишем рекуррентное равенство r

x(k +1)=Φ(x(k )) ,

которое определяет метод простых итераций (или метод последовательных приближений). Если начать процесс построения последовательности(x(k ) ) с некоторого вектораxr(0) =(x1(0) ,…, xn(0) )T и продолжить по формуле

то при определенных условиях эта последовательность со скоростью геометрической прогрессии будет приближаться к вектору x* — неподвижной точке отображенияΦ(x) .

Справедлива следующая теорема:

Теорема: Пусть функцияΦ(x) и замкнутое множествоM D(Φ) Rn

таковы, что

1. Φ(xr) M xr M;

2. q <1 : ||Φ(xr)−Φ(xr*) ||≤q ||xr−xr* ||.

— Φ(xr) имеет вM единственную неподвижную точкуxr*;

— последовательность (xr(k ) ) , определяемая методом простых итераций

(7.5) сходится к этой точке; — справедливы следующие оценки:

в ряд Тейлора:

J (xrk )

Этот метод также является аналогом метода Зейделя и наряду с (7.5) широко используется на практике, так как они требуют малого объема памяти и просты в реализации.

7.2. Метод Ньютона

Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности линейных систем.

Метод Ньютона для n уравнений применим толькоrтогда, когда могут быть вычислены все частные производные функцийfi(x) по переменным

ее (i, j)-йэлемент есть

Как и в одномерном случае (n = 1), метод Ньютонаr начинается с

произвольного xr , обозначенногоxr0 . РазложимF(x)

F(xr)= F(xr0 )+F′(xr0 )(xr−xr0 )+…

и, учитывая лишьr первые члены, получим линейное приближение к уравнениюF(x) =0:

Новым, по сравнению со скалярным случаем, фактором, осложняющим применение метода Ньютона к решению n — мерной системы, является

необходимость обращения матриц J (xk ) на каждой итерации.

Однако, вычисление обратной матрицы F′(x0)−1 не является необходимым.

Этого можно избежать, если формулу (7.7), требующую обращения матриц на каждой итерации, переписать в неявном виде:

Применение метода Ньютона в форме (7.8)r

прибавлением к xrk векторной поправкиr(k ) = x

решения линейной алгебраической системы

F′(xr(k ))rr(k )=−F(xr(k )), т.е. xr(k +1)= xr(k )+rr(k ).

.

К решению таких линейных систем (7.9) можно привлекать самые разные методы как прямые, так и итерационные в зависимости от размерности n решаемой задачи и особенностей матрицы Якоби.

Сходимость итерационного процесса (7.10) доказывается теоремой, смысл которой сводится к следующему.

Пусть xr* — решение системыF(x) =0 такое, при котором матрица ЯкобиJ (xr*) не вырождена и вторые частные производные функцииF(x)

непрерывны вблизи xr*. Тогда, еслиx0 достаточно близко кxr*, то

итерации по методу Ньютона сходятся. Более того, для er(k ) = xr* −xr(k ) отношение

e (k +1)

er(k )2

второго порядка.

Как и в одномерном случае, здесь основная проблема состоит в удачном выборе начального приближения, которое желательно было бы выбрать достаточно близко к предполагаемому решению, чтобы могла начаться быстрая сходимость.

На практике такое приближение достигается или очень большим везением (удачно выбран x0 ), или мужеством и настойчивостью исследователя (выполняется очень много итераций до того, как процесс начнет быстро сходиться).

Этот метод требует значительно меньших вычислительных затрат на один итерационный шаг, но итераций при этом может потребоваться значительно больше для достижения заданной точности.

studfiles.net

Следующая глава >

fil.wikireading.ru

Тест с ответами по этике

1. Что подразумевается под предметом этики?
а) культура;
б) мораль;+
в) прекрасное;
г) социальные отношения

2. Каким этическим нормам уделяется основное внимание в рамках западной европейской культуры?
а) польза, выгода, трудолюбие;
б) справедливость, добро, благо;+
в) честь, свобода, вера.

3. Какие существуют виды барьеров общения?
а) межъязыковые;+
б) мировоззренческие;
в) психологические;+
г) соматические;
д) социальные;+
е) технические;+

4.Этическая категория, которая лежит в основе высказывания «Все равны перед законом и судом»?
а) долг;
б) достоинство;
в) ответственность;
г) справедливость;+
д) честь

5.Каковы правила представления по канону?
а) женщина первая представляется мужчине;
б) лица с более высоким статусом представляются людям со статусом более низким;
в) младшие по возрасту представляются старшим;+
г) мужчина первым представляется женщине+

6. Где не используется литературный язык?
а) в научной речи;
б) в невербальном общении;+
в) в официально-деловой речи;
г) в письменной речи;
д) в профессиональном общении

7. Компоненты, которые включает в себя культура делового общения:
а) все ответы верны;+
б) психологию делового общения;
в) служебный этикет;
г) технику делового общения;
д) этику делового общения

8. Что из ниже перечисленного относится к стилям руководства?
а) Политический
б) Либеральный+
в) Демократический+
г) Авторитарный+

9.Как называется моральный принцип, который выражается в желании помочь другим:
а) альтруизм;+
б) толерантность;
в) честолюбие;
г) эмпатия

10. На чем из ниже перечисленного основано в деловой этике недопустимость вмешательства в дела конкурентов, ущемление их интересов?
а) равенстве;
б) свободе;+
в) справедливости;
г) честности

11.Как называется набор наиболее важных предположений, которые принимаются членами организации, и получают выражение в заявляемых организацией ценностях, задающих людям ориентиры их поведения и действий:
а) должностные обязанности;
б) кодекс чести;
в) корпоративная культура;+
г) правила внутреннего распорядка

12.Что такое ответственность?
а) категория этики, означающая отношение личности к обществу, другим людям, выражающаяся в нравственной обязанности по отношению к ним в конкретных условиях;
б) категория этики, опирающаяся на принцип равенства всех людей в моральном отношении;
в) категория этики, характеризующая личность с точки зрения выполнения ею нравственных требований, соответствия ее моральной деятельности нравственному долгу;+
г) категория этики, характеризующая моральную ценность личности в связи с его статусом, родом деятельности и признаваемыми за ним моральными заслугами;
д) категория этики, характеризующая способность человека осуществлять нравственный самоконтроль, внутреннюю самооценку с точки зрения соответствия своего поведения требованиям нравственности, самостоятельно формулировать для себя нравственные задачи и требовать от себя их выполнения

13.Кто из данных деятелей относится к наиболее известным русским купцам-меценатам?
а) Алексеев
б) Морозов+
в) Третьяков+
г) Прохоров+

14. Какие компоненты относятся к социальным компонентам деловой репутации организации?
а) Социальная жизнь
б) Социальные блага+
в) Социальные гарантии по ТК РФ+
г) Социальная ответственность+

15. Какие компоненты относятся к компонентам деловой репутации организации?
а) Моральная
б) Рыночная+
в) Финансовая+
г) Социальная+

16. К какому году, по оценке специалистов, появляется субъект этики деловых отношений в рамках постсоветской России?
а) 1992 году;+
б) 1995 году;
в) 1998 году

17.Как называется подсистема этикета, которая определяет пространственную организацию общения?
а) вербальный этикет;
б) мимика и жесты;
в) этикетная атрибутика;
г) этикетная проксемика+

18.Через что проходит самосовершенствование человека в буддизме?
а) самобичевание;
б) самовоспитание;
в) самообразование;
г) самоотречение;+
д) самопожертвование

19.Как называется сложившееся у окружающих мнение о нравственном облике личности или коллектива, которое основано на его предшествующем поведении и выражающееся в признании его заслуг?
а) авторитет;
б) имидж;
в) популярность;
г) престиж;
д) репутация+

20. Что такое тактичность?
а) внутренний голос человека;
б) определенный круг обязательств и исполнение своих обязанностей, сложившихся на основе профессиональных или общественных отношений;
в) сделал, и что хотел сделать;
г) способность и привычка человека вести себя, уважая достоинство другого человека;+
д) способность человека осуществлять внутренний нравственный самоконтроль;

21.Что относится к основным категориям этики?
а) добро и зло;+
б) пространство и время;
в) свобода;
г) совесть

22. Верно ли убеждение, что различные сферы человеческой деятельности обусловливают специфику профессиональной этики?
Да+
Нет

test-s-otvetami.ru

Тесты по Профессиональной этике | Социальная сеть работников образования

Примерные образцы тестовых заданий

1.        Этика как наука существует:

a)        более 20 веков;

b)        более 10 веков;

c)        с конца 18 века;

d)        с IV века до нашей эры.

2.        Этика — это наука:

a)        которая изучает добродетели;

b)        об общепринятых и повторяющихся формах поведения людей

c)        о морали, нравственности;

d)        о нравах, обычаях.

3.        Мораль — это:

a)        общепринятые в рамках социальной общности (группы)правила, образцы поведения или действия в определенной ситуации;

b)        форма общественного сознания, в которой отражаются идеи, представления, принципы и правила поведения людей в обществе;

c)        общепринятые и повторяющиеся формы поведения людей, которые служат средством передача социального и культурного опыта от поколения к поколению;

d)        правила поведения людей при совершении обрядов и форм деятельности.

4.        Социальные нормы — это:

a)        общепринятые в рамках социальной общности (группы)правила, образцы поведения или действия в определенной ситуации;

b)        форма общественного сознания, в которой отражаются идеи, представления, принципы и правила поведения людей в обществе;

c)        общепринятые и повторяющиеся формы поведения людей, которые служат средством передача социального и культурного опыта от поколения к поколению;

d)        правила поведения людей при совершении обрядов и форм деятельности.

5.        Ритуалы — это:

a)        правила поведения людей при совершении обрядов и форм деятельности.

b)        общепринятые и повторяющиеся формы поведения людей, которые служат средством передачи социального и культурного опыта от поколения к поколению.

c)        правила поведения, которые устанавливаются и охраняются государством.

d)        наиболее обобщенные и стабильные правила поведения людей в том или ином обществе, которые выверены временем и длительно существуют.

6.        Традиции — это:

a)        правила поведения, которые устанавливаются и охраняются государством.

b)        представляют собой правила поведения, которые устанавливаются самими общественными организациями и охраняются с помощью мер общественного воздействия, предусмотренных уставами этих организаций.

c)        духовно-нравственные правила человеческого общежития, основанные на представлении людей о Боге как творце мироздания.

d)        наиболее обобщенные и стабильные правила поведения людей в том или ином обществе, которые выверены временем и длительно существуют.

7.        Права — это:

a)        представляют собой правила поведения, которые устанавливаются самими общественными организациями и охраняются с помощью мер общественного воздействия, предусмотренных уставами этих организаций.

b)        правила поведения, которые устанавливаются и охраняются государством.

c)        духовно-нравственные правила человеческого общежития, основанные на представлении людей о Боге как творце мироздания.

d)        наиболее обобщенные и стабильные правила поведения людей в том или ином обществе, которые выверены временем и длительно существуют.

8.        Религия — это:

a.        духовно-нравственные правила человеческого общежития, основанные на представлении людей о Боге как творце мироздания.

b)        передача социального и культурного опыта от поколения к поколению;

c)        правила поведения людей при совершении обрядов и форм деятельности.

d)        наиболее обобщенные и стабильные правила поведения людей в том или ином обществе, которые выверены временем и длительно существуют.

9.        Нормы общественных организаций — представляют собой:

a)        наиболее обобщенные и стабильные правила поведения людей в том или ином обществе, которые выверены временем и длительно существуют.

b)        правила поведения, которые устанавливаются и охраняются государством.

c)        правила поведения, которые устанавливаются самими общественными организациями и охраняются с помощью мер общественного воздействия, предусмотренных уставами этих организаций.

d)        общепринятые и повторяющиеся формы поведения людей, которые служат средством передачи социального и культурного опыта от поколения к поколению.

10.        Основателем этики признаётся:

a)        Платон (428-328 до н.э.)

b)        великий древнегреческий философ Сократ (469-399 до н.э.).

c)        Аристотель (384-322 до н.э.),

d)        Сенека (4 до н.э. – 65 н.э.)

11.        Термин «этика» (ethica) впервые использовал для обозначения науки, которая изучает добродетели:

a)        Платон (428-328 до н.э.)

b)        великий древнегреческий философ Сократ (469-399 до н.э.).

c)        Аристотель (384-322 до н.э.),

d)        Сенека (4 до н.э. – 65 н.э.)

12.        В истории развития этики как науки можно выделить:

a)        3 этапа: античная этика,  средневековая этика, современная этика.

b)        2 этапа: античная этика, современная этика.

c)        5 этапов: предэтика, античная этика, средневековая этика, этика Нового времени, современная этика.

d)        4 этапа: античная этика, средневековая этика, этика Нового времени, современная этика.

14.  Автор термина “Мораль”:

a.        Гомер;

b.        Тацит;

c.        Цицерон.

15.  Нравственность — термин:

a.        французский;

b.        китайский;

c.        русский.

16.  “Домострой” — памятник этической мысли:

a.        Древней Греции;

b.        Индии;

c.        России.

17.  “Любовь к ближнему” — моральная норма этики:

a.        античной;

b.        конфуцианской;

c.        христианской.

18.  Этический утилитаризм — это этика:

a.        феодальных экономических отношений;

b.        рабовладельческих рыночных отношений;

c.        буржуазных рыночных отношений.

19.  Эвдемонизм — это:

a.        долг;

b.        красота;

c.        счастье.

20.  Гедонизм — это:

a.        аскетизм;

b.        чувственное наслаждение.

c.        патриотизм;

21.  Логос — это закон:

a.        Римской империи;

b.        Российской империи;

c.        Космоса.

22.  Аскетизм — это:

a.        отказ от чувственно-физических наслаждений;

b.        печаль;

c.        развлечение;

23.  Понятие “греха” впервые сформулировано:

a.        Платоном;

b.        Аристотелем;

c.        Фомой Аквинским.

24.  “Деонтология” — это:

a.        учение о правилах поведения;

b.        учение об общественных нравах и обычаях;

c.        учение о проблемах морали и нравственности, раздел этики.

b)        профессиональная этика.

25.  “Категорический императив” встречается в учении:

a.        Маркса;

b.        Гегеля;

c.        Канта.

26.  Религиозное начало преобладало в этике:

a.        античности;

b.        Нового времени;

c.        Средних веков.

27.  Рационализм — отличительная черта этики:

a.        протестантизма.

b.        язычества;

c.        православия;

28.  Этикет — это :

a.        религиозное учение;

b.        памятник древней этической мысли;

c.        культура поведения.

29.  Этику к “практической философии” относил:

a.        Аристотель.

b.        Гегель;

c.        Маркс;

30.  Эмотивизм — это направление в этике:

a.        марксизма;

b.        экзистенциализма;

c.        неопозитивизма.

31.  “Научить человека быть счастливым” — это точка зрения:

a.        разумного эгоизма;

b.        гедонизма;

c.        эвдемонизма.

32.  Эмотивизм это направление в этике:

a.        марксизма;

b.        экзистенциализма;

c.        неопозитивизма.

33.  “Человек должен быть свободным” считает этика:

a.        этического утилитаризма;

b.        экзистенциализма;

c.        неотомизма

34.  Добро и зло —  это:

a)        самооценивающее чувство, переживание, один из древнейших интимноличностных регуляторов поведения людей.

b)        нравственная задача, которую человек формулирует для себя сам на основании нравственных требований, обращенных ко всем.

c)        наиболее общие формы моральной оценки, разграничивающие нравственное и безнравственное.

35.   В этике справедливость — категория,

a)        означающая такое положение вещей, которое рассматривается как должное, отвечающее представлениям о сущности человека, его неотъемлемых правах, исходящее из признания равенства между всеми людьми и необходимости соответствия между деянием и воздаянием за добро и зло;

b)        специфически моральная категория;

c)        специфически правовая категория.

36.   Долг представляет собой:

a)        нравственную задачу, которую человек формулирует для себя сам на основании нравственных требований, обращенных ко всем.

b)        самооценивающее чувство, переживание, один из древнейших интимноличностных регуляторов поведения людей.

c)        категория этики, характеризующая личность с точки зрения выполнения ею нравственных требований, соответствия ее моральной деятельности нравственному долгу, рассматриваемого с позиций возможностей личности

37.   Совесть — это:

a)        самооценивающее чувство, переживание, один из древнейших интимноличностных регуляторов поведения людей.

b)        нравственная задача, которую человек формулирует для себя сам на основании нравственных требований, обращенных ко всем.

c)        категория этики, характеризующая способность человека осуществлять нравственный самоконтроль, внутреннюю самооценку с позиций соответствия своего поведения требованиям нравственности, самостоятельно формулировать для себя нравственные задачи и требовать от себя их выполнения.

d)        обязанность и необходимость давать отчет в своих действиях, поступках, отвечать за их возможные последствия

38.   Ответственность — это:

a)        выражение ответственности человека за свое поведение перед самим собой, форма самоутверждения личности.

b)        нравственную задачу, которую человек формулирует для себя сам на основании нравственных требований, обращенных ко всем.

c)        категория этики, характеризующая личность с точки зрения выполнения ею нравственных требований, соответствия ее моральной деятельности нравственному долгу, рассматриваемого с позиций возможностей личности.

d)        обязанность и необходимость давать отчет в своих действиях, поступках, отвечать за их возможные последствия.

39.   Достоинство — это:

a)        категория этики, означающая особое моральное отношение человека к самому себе и отношение к нему со стороны общества, окружающих, основанное на признании ценности человека как личности.

b)        категория этики, характеризующая личность с точки зрения выполнения ею нравственных требований, соответствия ее моральной деятельности нравственному долгу, рассматриваемого с позиций возможностей личности.

c)        мнение о нравственном облике человека, сложившееся у окружающих, основанное на его предшествующем поведении.

d)        выражение ответственности человека за свое поведение перед самим собой, форма самоутверждения личности.

40.   Репутация— это:

a)        самооценивающее чувство, переживание, один из древнейших интимноличностных регуляторов поведения людей.

b)        нравственная задача, которую человек формулирует для себя сам на основании нравственных требований, обращенных ко всем.

c)        мнение о нравственном облике человека, сложившееся у окружающих, основанное на его предшествующем поведении.

d)        выражение ответственности человека за свое поведение перед самим собой, форма самоутверждения личности.

41.   Право — это:

a)        нравственная задача, которую человек формулирует для себя сам на основании нравственных требований, обращенных ко всем.

b)        необходимые, взаимосвязанные и взаимопроникающие системы регуляции общественной жизни.

c)        совокупность установленных или санкционированных государством общеобязательных правил поведения (норм), соблюдение которых обеспечивается мерами государственного воздействия

42.   Мораль и право – это:

a)        необходимые, взаимосвязанные и взаимопроникающие системы регуляции общественной жизни.

b)        совокупность установленных или санкционированных государством общеобязательных правил поведения (норм), соблюдение которых обеспечивается мерами государственного воздействия

c)        выполняют единую социальную функцию – регулирование поведения людей в обществе.

d)        признание достоинства и ценности личности.

43.   Презумпция невиновности означает:

a)        нравственная задача, которую человек формулирует для себя сам на основании нравственных требований, обращенных ко всем.

b)        мнение о нравственном облике человека, сложившееся у окружающих, основанное на его предшествующем поведении.

c)        выражение ответственности человека за свое поведение перед самим собой, форма самоутверждения личности.

d)        признание достоинства и ценности личности.

44.   Презумпция невиновности впервые была сформулирована:

a)        в Декларации прав человека и гражданина, принятой во Франции в 1789 году,

b)        в Международном пакте о гражданских и политических правах от 19 декабря 1966 года

c)        в Конституции Российской Федерации 1993 года

45.   Культура уголовного процесса представляет собой:

a)        уровень, степень развития какой-либо отрасли хозяйственной или умственной деятельности.

b)        качественную характеристику этого вида государственной деятельности, опирающуюся на общее понятие культуры, а также представления о юридической культуре.

c)        достижения общества в производственной, общественной и духовной жизни.

nsportal.ru

Тест по курсу «Профессиональная этика»

Вид работы: Тест

Предмет: Профессиональная этика

1. Термин “этика” появился:

а) в Античности;

б) Средние века;

в) эпоху Возрождения.

2. Что изучает наука этика?

а) мораль, нравственность;
б) традиции, обычаи, народное творчество;
в) поведение каждого конкретного человека в обществе;
г) социальные проблемы общества;
д) политическое устройство общества.

3. Понятие “нравственность”:

а) совпадает по содержанию с понятием “мораль”;

б) совпадает по содержанию с понятием “этика”;

в) обозначает основные понятия морального самосознания;

г) обозначает область поступков людей, реальных нравов, сложившихся в обществе.

4. Специфика нравственных отношений состоит в том, что:

а) они возникают естественным образом, стихийно;

б) они представляют собой особый вид общественных отношений;

в) они являются компонентом, стороной других видов общественных отношений.

5. Мораль регулирует:

а) мышление и намерения людей;

б) наиболее значимые сферы жизнедеятельности людей;

в) все сферы жизнедеятельности людей.

6. Основное требование профессиональной этики состоит:

а) в выполнении приказов и инструкций;

б) защите прав человека;

в) соблюдении моральной справедливости.

7. Добро – это:

а) моральный выбор человека, ведущий к успеху;

б) моральная категория, предельно выражающая то, что важно и значимо для жизни человека и общества;

в) моральная категория, выражающая определенную степень человеческого совершенства.

8. Нравственная категория, выражающаяся в моральной обязанности по отношению к другим людям в конкретных условиях; – это:

а) честь;
б) долг;
в) справедливость;
г) ответственность;
д) совесть.

9. Совесть – это:

а) внутренний голос человека;

xn--d1aux.xn--p1ai