Рубрика: Школьная жизнь

В левой ее части находится выражение (a+b)², которое представляет собой квадрат суммы двух выражений a и b, оно так и читается (отсюда понятно и название формулы). Дальше стоит знак равно, он и произносится как равно. В правой части формулы расположена сумма трех слагаемых a², 2·a·b и b². a² и b² – это квадраты первого и второго выражений соответственно, а 2·a·b читается как удвоенное произведение выражений a и b, слово «удвоенное» отвечает числовому коэффициенту 2. Осталось соединить все эти рассуждения в одно предложение, которое будет ответом на вопрос, как читается формула квадрата суммы.

Итак, квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения первого и второго выражений и квадрата второго выражения.

Аналогично читаются и остальные фсу.

Так квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения. Эта формулировка второй фсу вида (a−b)²=a²−2·a·b+b².

Дальше читаем формулу (a+b)³=a³+3·a²·b+3·a·b²+b³. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме куба первого выражения, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе, утроенного произведения первого выражения на квадрат второго и куба второго выражения.

Аналогично читается и формула куба разности (a−b)³=a³−3·a²·b+3·a·b²−b³. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго выражения минус куб второго выражения.

Переходим к чтению пятой по списку формулы сокращенного выражения (a−b)·(a+b)=a²−b². Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов первого и второго выражений.

А для удобства чтения шестой и, последней, седьмой ФСУ используют термины «неполный квадрат суммы» и «неполный квадрат разности» выражений a и b, которыми называют выражения a²+a·b+b² и a²−a·b+b² соответственно. (В свою очередь выражения a²+2·a·b+b² и a²−2·a·b+b² называют полным квадратом суммы и разности соответственно.)

Итак, произведение суммы двух выражений на их неполный квадрат разности равно сумме кубов этих выражений. Так читается формула (a+b)·(a²−a·b+b²)=a³+b³. И произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы равен разности кубов этих выражений, этому утверждению отвечает формула сокращенного умножения вида (a−b)·(a²+a·b+b²)=a³−b³.

Доказательство

Сейчас самое время остановиться на доказательстве формул сокращенного умножения. Доказать их достаточно легко – для этого нужно лишь выполнить возведение в степень или умножение выражений, находящихся в левых частях формул, основываясь на свойствах умножения.

Для примера докажем формулу квадрата разности (a−b)²=a²−2·a·b+b². Возведем разность a−b во вторую степень. Для этого степень заменяем умножением, и выполняем это действие: (a−b)²=(a−b)·(a−b)=
=a·(a−b)−b·(a−b)=a·a+a·(−b)−b·a−b·(−b)=
=a²−a·b−b·a+b·b=a²−a·b−a·b+b²=
=a²−2·a·b+b².

Абсолютно аналогично доказывается любая другая из 7 основных формул сокращенного умножения.

megaobuchalka.ru

Формулы сокращенного умножения

Решая различные задачи, часто приходится умножать друг на друга двучлены следующего вида: , и т.п. Чтобы в таком случае сразу можно было записать ответ, полезно запомнить определенные тождества, которые называются формулами сокращенного умножения.

При помощи формул сокращенного умножения некоторые многочлены можно разложить на множители либо ускорить процесс умножения некоторых выражений друг на друга.

Приведем формулы сокращенного умножения 7 класс:

Квадрат суммы

   и обратная   

Квадрат разности

   и обратная   

Разность квадратов

   и обратная   

Куб суммы

   и обратная   

Куб разности

   и обратная   

Сумма кубов

   и обратная   

Разность кубов

   и обратная   

Отметим, что разложение на множители является обратным преобразованием к умножению многочленов. Схематически, на примере формулы «разность квадратов», это можно изобразить так:

Формулы сокращенного умножения были известны уже давно, еще древнегреческим и древнекитайским математикам. Записывали их словами и доказывали геометрически для положительных чисел. Используя рисунок, доказывали, что площадь квадрата со стороною равна сумме площадей двух квадратов со сторонами и и прямоугольников со сторонами , . То есть доказывали выполнение равенства

Аналогично доказывались и остальные формулы сокращенного умножения.

Бином Ньютона

Отметим, что формулы квадрат суммы/разности, куб суммы/разности являются простейшими случаями формулы бинома Ньютона:

ru.solverbook.com

Относительная плотность (безразмерная величина) d выражает отношение плотности материала q к плотности стандартного вещества qо при определенных физических условиях
d= q/qо·[(T1; p1)/(To; p0)]

Пористость материала — это степень заполнения его объема порами. Определяется объемом пор в единице объема материала и выражается в процентах. Пористость зависит от состава массы, подготовки сырья, условий формования, сушки, температуры и продолжительности выдержки при обжиге. Различают общую, открытую и закрытую пористость. Объем пор (открытых и закрытых) находится в пределах от 2,5 до 6% в фарфоре, до 30% в фаянсе и более 30% в кирпиче. Пористость влияет на прочность, термостойкость, водонепроницаемость, долговечность.

www.stroitelstvo-new.ru

Фарфор Плотность — Энциклопедия по машиностроению XXL

Свежий электролит готовят электрохимическим растворением относительно чистых сплавов золота, получаемых чаще всего в результате обработки анодного шлама серебряного электролиза. Растворение ведут в специальных ваннах круглой формы (рис. 133), снабженных диафрагмами из пористого фарфора, глины или ионообменной пленки. В диафрагму завешивают 6—8 анодов и заливают соляную кислоту плотностью 1,19, разбавленную водой в отношении 3 1. По обе стороны от диафрагмы подвешивают катоды—тонкие пластины из золота или графита. В катодное пространство заливают более разбавленную (1 3) соляную кислоту. При пропускании постоянного тока на аноде растворяется золото, на катоде — восстанавливается водород. Суммарная реакция выражается следуюш,им уравнением  [c.338]

Фаянс, полуфарфор и фарфор получают на основе жгущихся белых глин, каолинов, кварца и полевого шпата, взятых в различных соотношениях. Они обладают различной пористостью, что определяет механические свойства и водопоглощение. Водопоглощение фаянса 10… 12%, предел прочности при сжатии обьино до 100 МПа. Полуфарфор по сравнению с фаянсом имеет более спекшийся черепок (водопоглощение 3…5%), и его прочность выше 150…200 МПа). Фарфор отличается еще большей плотностью  [c.339]

Водопоглощение фарфора, %. не более Кажущаяся плотность фа ра, кг/дм, не менее  [c.285]

Из твердого фарфора изготовляют футеровочные плитки, отличающиеся плотностью и высокой механической прочностью, различные детали и аппаратуру небольшой емкости (до 50й л) и размеров вакуум-аппараты, сосуды, травильные ванны, змеевики, краны, трубы, фильтры, центробежные насосы для перекачки кислорода [2] и пр.  [c.238]

В технике используются механические колебания в очень широком интервале частот — от нескольких герц до 200 МГц, или от инфразвука до ультразвука. Широкий интервал применяемых частот обусловлен тем, что характер их распространения и поглощения зависит от частоты. Ею определяются контролируемая зона, минимальная измеряемая толщина, степень поглощения и характер возбужденных волн. В ультразвуковой дефектоскопии используется целая гамма различных видов волн, которые отличаются друг от друга как направлениями распространения колебаний, так и характером колебаний. Механические колебания используются для выявления нарушения сплошности и измерения толщины. Свойство их поглощения при прохождении через контролируемую среду используется для нахождения мелких рассеянных инородных включений и пустот, оценки неоднородности зерна, структуры, определения плотности массы, внутренних напряжений, коэффициента вязкости, межкристаллитной коррозии, зоны поверхностного распространения. Большим достоинством методов и средств неразрушающего ультразвукового контроля является их универсальность — возможность применения как для металлов и сплавов, так и для керамики, полупроводников, пластических масс, бетона, фарфора, стекла, ферритов, твердых сплавов, т. е. таких синтетических материалов, которые находят все большее применение в технике.  [c.548]

При пользовании анодным способом рабочую ванну наполняют раствором цианистого калия концентрации 20—30 г/л в дистиллированной воде, подогревают до 70° С, завешивают золотые аноды с возможно большей площадью (гофрированные) и производят анодное насыщение раствора золотом при плотности тока 1—1,5 а/дм . В качестве катодов используют стальные стержни, погруженные в сосуды из неглазированной глины или фарфора, которые наполнены 3-процентным раствором едкого кали или  [c.164]

Общие сведения. Разрушение изолятора при приложении к нему заданной минимальной разрушающей нагрузки может произойти по фарфору, по арматуре или по цементирующему веществу. Как указывалось в предыдущем параграфе, предел прочности фарфора изменяется в довольно широком диапазоне. То же самое относится и к пределу прочности — как металла арматуры, так и цементирующего вещества. Предел прочности данного металла арматуры, которая в подавляющем большинстве случаев изготовляется литьем, зависит от вида литья (в землю, в кокиль, под давлением), от наличия внутренних раковин и других скрытых дефектов. Предел прочности цементирующего вещества, изготовленного из одной и той же марки цемента, зависит от плотности укладки цементирующего вещества в зазор между фарфором и арматурой и от других причин, не всегда поддающихся учету.  [c.181]

Весьма важным фактором в строении фарфорового материала являются поры, которые снижают качество фарфора. Наибольшую пористость (35—40%) фарфор имеет перед началом спекания. По мере образования стекловидной массы, заполняющей поры, пористость снижается, повышается плотность материала и соответственно сокращаются размеры изделия.  [c.558]

Коэффициент термической стойкости является сложной функцией прочности на разрыв Я, коэффициента линейного теплового расширения а, модуля упругости Е, коэффициента теплопроводности теплоемкости с и плотности с фарфора и приближенно может быть выражен формулой  [c.565]

Химическая стойкость фарфора зависит от его плотности (пористости) и фазового состава.  [c.566]

Повышение температуры обжига фарфора в пределах, гарантирующих сохранение формы изделий, обусловливает увеличение содержания в нем полевошпатового стекла. Пережог фарфора, сопровождающийся повышением пористости, снижает просвечиваемость. Наилучшие результаты получаются при температуре обжига, обеспечивающей наибольшую плотность фарфора.  [c.567]

При отборе газа из линий низкого давления можно использовать трубки из стекла, пластмасс по [92], кварца, фарфора, соединяемых встык резиновыми или пластмассовыми муфтами. Все материалы, применяемые в схемах отбора, не должны оказывать влияния на состав газа. Для предотвращения конденсации пробы температура пробоотборной линии и контейнеров не должна быть ниже температуры газа. При применении каплеуловителя предусматривают установку газового счетчика для определения по объему скопившейся влаги ее доли в объеме газа. После отбора объединенной пробы из линий с давлением газа ниже атмосферного из сборной емкости отбирают три лабораторные пробы в стеклянные пипетки типа Коро вместимостью каждая не менее 500 см . Две из них предназначены для определения влажности газа, удельной плотности, теплоты сгорания и элементного состава, третья хранится в качестве контрольной. При сухом методе отбора баллон  [c.143]

Плотные покрытия можно получить при напылении многих материалов. Большинство металлов благодаря малой вязкости в жидком состоянии дают плотные покрытия. Окиси хрома, никеля, титана и ильменит, расплавляясь,становятся весьма жидкоподвижными и при напылении образуют плотные покрытия. Много говорилось об остаточной пористости пламенных и плазменных покрытий, однако при использовании оптимальной технологии напыления большинство материалов может давать покрытия с пористостью меньше 10%. Это соответствует плотности, составляющей более ч ем 90% от теоретической. В деталях из спеченной керамики и полученных методами порошковой металлургии часто бывает трудно получить такую плотность. Фарфор при плотности, составляющей 90% от теоретической, бывает, как правило, непроницаем, тогда как даже самые плотные напыленные слои имеют открытые поры, через которые могут диффундировать газы. Например, даже стекловидное напыленное покрытие может быть еще весьма пористым. Известны лишь немногие составные покрытия, которые обеспечивают полную герметизацию поверхности, хотя для решения этой задачи предпринималось много попыток. Покрытия, полученные при детонационном распылении, обладают, по-видимому, 12  [c.112]

Основные свойства обожженного фарфора плотность 2,3—2,5 г см -, температурный коэффициент линейного расширения (3—4,5)-10 град — эта величина меньше, чем у стали (11 -10 град ) и цемента (14 -Ю град» ), что необходимо учитывать при армировании и креплении изоляторов. Предел прочности при сжатии весьма велик — 4000—6000 кГ/см , причем для изделий меньшей толщины он выше, чем для более толстых. Значительно меньше пределы прочности при растяжении (350—500 кПсм для глазурованного фарфора и всего лишь около 200—300 кГ см для неглазурованного) и при изгибе (80—100 кГ/см ). Фарфор менее хрупок, чем стекло (его удельная ударная вязкость 1,8—2,2 кГ -см/см ), но все же может ломаться при ударах. Фарфор весьма стоек ко многим химическим реагентам, поэтому его широко применяют для изготовления химической посуды (тиглей, стаканов и пр.).  [c.243]

Основные свойства правильно составленного и обожженного фарфора плотность 2,3—2,5 кг/дм температурный коэффициент расширения 3,0—4,5 10 на ГС—эта величина меньше, чем для стали (11-10 ) и для цемента (14-10 ), что необходимо учитывать при армировании и креплении изоляторов. Прочность па сжатие весьма велика—4000—6 000 кг/слг2, причем для фарфоровых изделий  [c.197]

Кислотоупорный цемент. Кислотоупорный цемент изготовляется путем смешения двух порошкообразных компонентов — наполнителя и ускорителя твердения, затворяемых затем на водном растворе силиката натрия (жидкого стекла). В качестве наполнителей используют измельченные богатые кремнеземом естественные породы (андезит, гранит, кварцевый песок) или искусственные силикатные материалы (плав.ченый диабаз, плавленый базальт, фарфор и др.). Силикатные кислотоупорные цементы обозначают по роду наполнителя — андезитовый, диабазовый цемент и т. п. В качестве ускорителя твердения применяют кремнефтористый натрий. Для приготовления цемента берут разные количества жидкого стекла различной плотности. После смешения компонентов полученные композиции обладают вначале высокой подвижностью, но очень быстро начинают схваты-  [c.456]

Можно предположить, что в случае мелких или покрытых пленкой влаги частиц проявляются значительные силы молекулярного взаимодействия между ними и стенками трубы. Бейлби [Л. 209] нашел, что опилки цинка, золота, серебра или меди при размере частиц меньше 0,1 мм сцепляются не только с поверхностью любого металла, но и со стеклом, фарфором и т. д. На зависание должны влиять также плотность частиц, характер их поверхности и электростатический эффект [Л. 988].  [c.43]

Присадочные материалы. При газовой сварке в качестве присадочного материала применяется проволока той же марки, что и основной металл, или полоски шириной 2—3 мм, вырезанные из основного металла. Для улучшения качества сварного шва применяется флюс ВИ13-6, состоящий из 30% фарфора, 28% мрамора, 20% двуокиси титана, 10% ферромарганца, 6% ферротитаиа и 6% ферросилиция. Флюс растворяется жидким стеклом плотностью 1,3—1,32 из рас-  [c.318]

Области применения. Стеатитовая керамика — хороший электроизоляционный материал. Она превосходит лучшие виды высоковольтного фарфора то механической прочности и диэлектрическим потерям. Благодаря малым диэлектрическим потерям стеатит применяют как высокочастотный диэлектрик. Кроме того, благодаря высокой пробивной напряженности статитовая керамика используется как отличный диэлектрик для высоковольтной техники. Высокая плотность и почти  [c.174]

Протирка фарфоровых изоляторов. Проверка целости фарфора, отсутствия трещин, сколов, проверка прочности крепления фарфоровых кзоляторог, арматуры на них, крепления конструкции и всех контактных соединений, опробование разъединителей, отделителей и коротко-замыкателей и их приводов контрольными включениями и отключениями. Проверка отсутствия перекоса ножей по отношению к неподвижным контактным пластинам. Проверка плотности прилегания ножей щупом. Устранение перекоса.  [c.336]

Циркон Zr02-Si02 (цирконовая руда) имеет твердость 7—8 плотность его около 4700 кг/м . Руду обогащают, в результате полученный циркон содержит 2гОг не менее 60 % и КегОз не более 0,15 %. Циркон используется в качестве основного компонента в стойкой к термоударам керамике и в виде части кристаллической фазы цирконового фарфора. В последнем случае циркон вводится в состав фарфора вместо кварца, кристаллическая фаза керамики в таком случае- представлена цирконом и муллитом. Химический состав сырья, содержащего цирконий, приведен в табл. 23.8.  [c.216]

Сравнительно небольшая плотность (1ч-2 г см ), значительная механическая прочность и высокие фрикционные свойства позволяют в ряде случаев применять пластические массы в качестве заменителей металлов, например, цветных металлов и их сплавов — бронзы, свинца, олова, баббита и т. п. (для изготовления подшипников), а при наличии некоторых специальных свойств (например, бесшумность в работе, антикоррозийность) пластмассы можно использовать и в качестве заменителей черных металлов. Высокие электроизоляционные свойства способствуют применению пластических масс в электро- и радиопромышленности в качестве диэлектриков и заменителей таких материалов, как фарфор, эбонит, шеллак, слюда, натуральный каучук, и многих других.  [c.26]

Основные свойства электротехнического формованного и литейного фарфора, определенного на образцах плотность 2,3—2,5 кг1дм удельное объемное сопротивление в ом. см при температуре 20°—10 —10 , при 100 — 10 «— 1011, при 200° — 10 —10 диэлектрическая проницаемость 6—7 электрическая прочность при 50 гц, кв мм 20—28 тангенс угла диэлектрических потерь при 50 гц и при температуре 20° — 0,035, при 60° — 0,04, при 80° — 0,06 и при 100° — 0,12.  [c.336]

При анодном способе растворения золота рабочую ванну наполняют раствором цианнстого калия в дистиллированной воде концентрацией 20—30 г л, подогревают до 70° С, завешивают золотые аноды возможно большей площади (гофрированные) и производят анодное насыщение раствора золотом при плотности тока 1 —1,5 а дм . В качестве катодов используют стальные стержни, погруженные в сосуды из неглазированной глины или фарфора, которые наполняют 3-процентным раствором едкого кали или 6—7-процентным раствором поташа. Для получения электролита с концентрацией золота 5 г л (в пересчете на металл) требуется расход постоянного тока 1 а-ч на 1 л электролита.  [c.182]

Фарфор представляет собой керамический материал с плотным, спекшимся, просвечивающим в тонких слоях и не впитывающим воду черепком. Изделия из фарфора подвергают двукратному обжигу. Фарфоровые плитки отличаются от других керамических изделий большой плотностью, высокой кислотоупорностью и механической прочностью. Для антикоррозионных покрытий чаще всего используют квадратные фарфоровые плитки размером 100X100X10 мм.  [c.13]

Скорость распространения продольных волн зависит от плотности материала и его акустических свойств. Эта скорость для продольных и поверхностных волн почти одинакова для попереч-. ных волн в твердых материалах скорость примерно вдвое меньше, чем для продольных. Представление о скорости распространения можно составить по следующим данным. Продольные волны распространяются со скоростью в кварце и кварцевом стекле — 5600 м1сек в каучуке — 1500 м1сек в органическом стекле — 2700 м/сек в слюде — 7800 м/сек в фарфоре — 5300 м/сек в трансформаторном масле—ЛАОО м/сек в воздухе — 335 м/сек.  [c.299]

Керамика наиболее сильно разрушается при действии быстрых нейтронов и осколков деления ядер. При дозах 10 нейтр/см происходит уменьшение теплопроводности, плотности, содержания кристаллической фазы. Форстерит, фарфор, стеатит, не измендя кристаллической структуры, изменяют цвет и снижают вдвое теплопроводность. Кордиерит уменьшает теплопроводность в 4 раза и частично теряет кристаллическую структуру, циркон уменьшает теплопроводность в 5 раз и полностью теряет кристаллическую структуру. Корундовая керамика снижает р на порядок, а пр — на8—10 ,4. Тепловые нейтроны и 7-лучи действуют слабо, если керамика содержит атомы с достаточно низкими значениями эфс к-тивного сечения.  [c.479]

Облучение монокристаллов сапфира или плотноспеченной АЬОз (до плотностей порядка 3,98 г/см ) быстрыми нейтронами вызывает увеличение размеров образца и соответствующее уменьшение плотности. Облучение слабоспеченной окиси алюминия, наоборот, приводит к увеличению плотности и уменьшению линейных размеров. Как видно из табл. 1, большинство стекол (кроме свинцовых) при облучении уменьшает свои линейные размеры. По изменению плотности обычных сортов керамики, имеющих широкое техническое применение и состоящих из кристаллических фаз и стекло-фазы, в литературе имеется сравнительно мало сведений. К тому же приведенные в табл. 1 данные о фарфоре, очевидно, относятся к его специальному сорту (плотность 3,41 г/см ), так как плотность обычных электротехнических сортов фарфора не превышает 2,6 г/см . В настоящей работе проводились исследования линейных размеров технических сортов керамики.  [c.107]

Эматалирование — анодное оксидирование алюминиевых сплавов для получения непрозрачных эмалевидных пленок молочного цвета, напоминающих по внешнему виду эмаль, пластмассу, фарфор и т. п. Эматалированию обычно подвергаются сплавы алюминия с марганцем и магнием (АМц, АМг и др.) в растворах, приведенных в табл. 14. В процессе эматалирования заданную плотность тока поддерживают путем повышения напряжения на ванне.  [c.62]

Материалы для построения С. можно разбить на следующие основные категории 1) строительные материалы, служащие для оформления С., соединения отдельных его элементов, установки С. или для придания ему нек-рых особых свойств (прочности, плотности или безопасности) 2) электротехнич. материалы, служащие для подведения тока к источнику света и его питания, а в некоторых случаях и для трансформирования тока 3) светотехнич. материалы, составляющие оптич. систему С. и перераспределяющие световой поток при отражении, преломлении или пропускании света. Строительные материалы чрезвычайно разнообразны. Наибольшим распространением пользуются металлы черные (листовое железо, чугунные отливки) и цветные (латунь, алюминий, медное, бронзовое литье, антикоррозийные сплавы). Металлич. светильники. благодаря многочисленным способам внешней отделки и возможности придания всевозможных художественных форм и надежной защиты от коррозии составляют наиболее многочисленную группу С. В не-кэтэрых конструкциях в качестве строительных материалов применяется дерево. Художественно исполненные деревянные поделки могут до нек-рой степени служить для замены металла, главным образом в С. для освещения бытового, клубов и других помещений общественного пользования. Однако применение дерева для С. ограничено вследствие совершенного несоответствия этого материала для построения некоторых групп С. (для наружного освещения, помещений и мест сырых), т. к. конструкции С. состоят б. ч. из тонкостенных деталей, что не всегда м. б. достигнуто в случае прртменения дерева кроме того деревянные С. в целях прочности их должны изготовляться довольно массивными при одновременной их сравнительной легкости по весу. В последнее время получили значительное распространение С. из майолики и фарфора. Эти материалы являются очень подходящими для построения С., предназначенных для слул бы в сырых помещениях особенно в помещениях с едкими парами (тра-вилки, отбельные), интенсивно разъедающими металл. Возможность Придания фарфоровым и майоликовым деталям разных форм привела к тому, чтр в настоящее время выпускается довольно много таких С. для освещения лшлых  [c.155]

Эти изоляционные материалы нельзя статать совершенными при длительном пребывании их в ванне, постепенно растворяясь, они загрязняют ванну и кроме того затрудняют правильный подсчет плотности тока. Наиболее идеальной изоляцией является стекло, но не всегда оно является практичным. Когда рамки изготовлены из меди,. можно отдельные части ее поместить в толстостенные стеклянные трубки. Более практичными и стойкими являются фарфор и целлулоид. Как нами упоминалось, не подлежат изоляции те части рамок, которые способствуют равномерному покрытию изделий.  [c.322]

Обжиг тонкостенных фарфоровых изделий (хозяйственного фарфора) производится в два приема первый, или предварительный утильный , обжиг имеет назначение лишь придать черепку необходимую механич. прочность для его оглазурования. Для толстостенных фарфоровых изделий предварительный обжиг не обязателен, так как они достаточно механически прочны в воздушно сухом-состоянии и их легко глазуровать без риска разрушения черепка. Обычно толстостенные изоляторы обжигаются в один прием. После утильного обжига весь товар подвергается перезвонке и отсортировке. Отсортированный товар перед глазурованием тщательно обдувается сжатым воздухом перед специальными вытяжными шкафами от пыли. Глазурование фарфоровых изделий почти повсеместно осуществляется простым окунанием изделий в глазурную ванну, к-рая представляет собою эмульсию взвешенных в воде тонко молотых частиц глазури. Плотность гразурной ванны устанавливается ок. 40° В6. По вынутии изделия из глазурной ванны вода быстро впитывается в тонкие поры изделия, а взвешенные в ней частицы глазури в виде равномерного тонкого слоя оседают на поверхности изделия и, плавясь затем при вторичном обжиге, покрывают изделие равномерным стекловидным слоем.  [c.386]

mash-xxl.info

Фарфор — это… Что такое Фарфор?

Фарфо́р (тур. farfur, fağfur, от перс. faghfur) — вид керамики, непроницаемый для воды и газа. В тонком слое просвечивается. При лёгком ударе деревянной палочкой издаёт характерный высокий чистый звук. В зависимости от формы и толщины изделия, тон может быть разным.

Свойства

Фарфор обычно получают высокотемпературным обжигом тонкодисперсной смеси каолина, кварца, полевого шпата и пластичной глины (такой фарфор называется полевошпатовым). Термин «фарфор» в англоязычной литературе часто применяется и к технической керамике: цирконовый, глинозёмный, литиевый, борнокальциевый и др. фарфор, что отражает высокую плотность соответствующего специального керамического материала.

Фарфор также различают в зависимости от состава фарфоровой массы на мягкий и твёрдый. Мягкий фарфор отличается от твёрдого не твёрдостью, а тем, что при обжиге мягкого фарфора образуется больше жидкой фазы, чем при обжиге твёрдого, и поэтому выше опасность деформации заготовки при обжиге.

Твёрдый фарфор

Твёрдый фарфор (англ.)русск., в состав которого входит 47—66% каолина, 25% кварца и 25% полевого шпата, богаче каолином (глинозёмом) и беднее флюсами. Для получения необходимой просвечиваемости и плотности он требует более высокой температуры обжига (от 1400 °C до 1460 °C).

Мягкий фарфор

Мягкий фарфор (англ.)русск. более разнообразен по химическому составу и состоит из 25—40% каолина, 45% кварца и 30% полевого шпата. Температура обжига не превышает 1300—1350 °C. Мягкий фарфор используется преимущественно для изготовления художественных изделий, а твёрдый обычно в технике (электроизоляторы) и в повседневном обиходе (посуда).

Одним из видов мягкого фарфора является костяной фарфор (англ.)русск., в состав которого входит до 50 % костяной золы, а также каолин, кварц и т. д., и который отличается особой белизной, тонкостенностью и просвечиваемостью.

Фарфор, как правило, покрывают глазурью. Белый, матовый, не покрытый глазурью фарфор называется бисквит. В эпоху Классицизма бисквит употреблялся в качестве вставок в мебельные изделия^[1].

Способы декорирования фарфора

Фарфор расписывается двумя способами: подглазурной росписью и надглазурной росписью.

При подглазурном расписывании фарфора краски наносятся на неглазурованный фарфор. Затем фарфоровое изделие покрывается прозрачной глазурью и обжигается при высокой температуре до 1350 градусов.

Палитра красок надглазурной росписи богаче, надглазурная роспись наносится по глазурованному белью (профессиональный термин нерасписанного белого фарфора) и после обжигается в муфельной печи при температуре от 780 до 850 градусов.

При обжиге краска вплавляется в глазурь, уходя за тонкий слой глазури. Краски после хорошего обжига блестят (кроме специальных матовых красок, используемых только для декоративных целей), не имеют никаких шероховатостей и в дальнейшем лучше противостоят механическому и химическому воздействию кислых пищевых продуктов и алкоголя.

Среди красок для росписи фарфора особо выделяется группа красок, приготовленных с использованием благородных металлов. Наиболее распространены краски с использованием золота, платиновая и серебряная краска (или Аргентин).

Золотые краски с более низким процентом содержания золота (10—12 %) обжигаются при температуре от 720 до 760 градусов (костяной фарфор обжигается при более низкой температуре, чем твёрдый — «настоящий» — фарфор). Эти краски более декоративные, и декорированные ими изделия нельзя подвергать механическому воздействию (мыть абразивными средствами и в посудомоечной машине.) Золотые, серебряные люстры, полирголь полировочный и порошковое золото и серебро (50-90-процентное) обжигаются при более высокой температуре вместе с красками. Полировочный полирголь и порошковое золото после обжига имеют матовый вид и цируются агатовым карандашом (наносится узор примерно как простым карандашом по бумаге, только с растушёвкой узора ошибиться нельзя, так как это потом исправить нельзя никак. Мастер в этом случае должен быть очень высокой квалификации) Сочетание матового и блестящего после цировки золота создаёт дополнительный декоративный эффект на фарфоре. Люстры и порошковые золотые краски более устойчивы на фарфоре, чем 10-12 % глянц. Однако за всю историю создания фарфора и его технологий ничего лучше и дешевле декорирования фарфора глянцем не было изобретено.

Профессиональная надглазурная роспись осуществляется на живичном скипидаре и скипидарном масле. Краски предварительно замачиваются на палитре на сутки и более. После для работы тщательно растираются с добавлением скипидарного масла. Скипидар в баночках должен быть сухой, слегка жирный (скипидар постепенно переходит из одного состояния в другое). Масло тоже должно быть более текучее и более густое. Для работы берётся кусочек замоченной краски, добавляется масло, скипидар — и смесь разводится до консистенции густой сметаны. Для мазковой росписи кистью разводят краску чуть погуще, для перьевой росписи — чуть пожиже.

Важно, чтобы краска не растекалась из-под пера или кисти. Подглазурная краска разводится на воде, сахаре с добавлением малого количества глицерина.

История

Фарфор впервые был получен в 620 г. в Китае. Способ его изготовления долго хранился в секрете и лишь в 1708 г. саксонским экспериментаторам Чирнгаузу и Бёттгеру удалось получить европейский фарфор.

Попытки отрыть секрет восточного фарфора продолжались в течение почти двух столетий в Италии, Франции и Англии. Однако в результате получались материалы, отдалённо напоминавшие фарфор и более близкие к стеклу.

Иоганн Фридрих Бёттгер (1682—1719 гг.) начал проводить опыты по созданию фарфора, которые в 1707/1708 году привели к созданию «rothes Porcelain» (красного фарфора) — тонкой керамики, яшмового фарфора.^[2]

Однако настоящий фарфор ещё предстояло открыть. Химии как науки в её современном понимании ещё не существовало. Ни в Китае или Японии, ни в Европе сырьё для производства керамики ещё не могли определить с точки зрения химического состава. То же касалось использовавшейся технологии. Процесс производства фарфора тщательно задокументирован в записках о путешествиях миссионеров и купцов, но из этих отчётов не могли быть выведены использовавшиеся технологические процессы. Известны, например, записки священника-иезуита Франсуа Ксавье д’Антреколя (англ.)русск., содержащие секрет технологии производства китайского фарфора, сделанные им в 1712 году, но ставшие известны широкой общественности только в 1735 году.

Понимание основного принципа, лежащего в основе процесса производства фарфора, а именно необходимости обжига смеси различных видов почвы, — тех, которые легко сплавляются, и тех, что сплавляются сложнее, — возникло в результате долгих систематических экспериментов, основанных на опыте и знании геологических, металлургических и «алхимико-химических» взаимоотношений. Считается, что эксперименты по созданию белого фарфора шли одновременно с опытами по созданию «rothes Porcelain», поскольку всего два года спустя, в 1709 или 1710 году, белый фарфор был уже более или менее готов к изготовлению.

Необходимо заметить, что китайский фарфор, с современной точки зрения, — мягкий фарфор, поскольку в его состав входит существенно меньше каолина, чем в твёрдый европейский фарфор, он также обжигается при более низкой температуре и менее прочен.

Вместе с Беттгером над созданием твёрдого европейского фарфора трудились эксперты и учёные различных специальностей. Европейский твёрдый фарфор (pate dure) был абсолютно новым продуктом в области керамики.

В конце декабря 1707 года был произведён успешный опытный обжиг белого фарфора. Первые лабораторные записки о пригодных к использованию фарфоровых смесях относятся к 15 января 1708 года. 24 апреля 1708 года было отдано распоряжение о создании фарфоровой мануфактуры в Дрездене. Первые образцы фарфора, прошедшие обжиг в июле 1708 года, были неглазурованными. К марту 1709 года Бёттгер решил эту проблему, но покрытые глазурью образцы фарфора он представил королю только в 1710 году.

В 1710 году на пасхальной ярмарке в Лейпциге была представлена пригодная для продажи посуда из «яшмового фарфора», а также образцы глазурованного и неглазурованного белого фарфора.

В России секрет производства твёрдого фарфора был заново открыт сподвижником Ломоносова Д. И. Виноградовым в конце 1740-х гг. Мануфактура в Санкт-Петербурге, где он работал, со временем превратилась в Императорский фарфоровый завод, более известный в СССР под аббревиатурой ЛФЗ.

Крупнейшая в мире частная коллекция советского фарфора принадлежит адвокату Александру Добровинскому, выставлялась в пяти залах Пушкинского музея^[3].

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

dic.academic.ru

Расчет массы | Производство фарфора и фаянса

Химический состав массы рассчитывают по химическому составу сырья, а шихты—по ее рациональному или химическому составу. Зная химический состав сырья и молекулярную формулу черепка, также можно рассчитать материальный состав массы для этого изделия.

Для твердого фарфора молекулярная формула имеет вид:
(0,18 — 0,2)RO·Al₂O₃· (3,5 — 4) ·SiO₂ .

Для мягкого фарфора молекулярная формула характеризуется увеличенным содержанием оснований и имеет вид
(0,3-0,4)RO·Al₂O₃ · (5,5 — 6) SiO₂ ,
где RO — основания.

Если количество всех основных оксидов (R2O + RO) привести к единице, то молекулярная формула твердого фарфора примет вид:
1RO·5Al₂O₃· (17,5 — 20)SiO₂ .

Чтобы вычислить молекулярное соотношение оксидов, необходимо количество каждого оксида в процентах разделить на его относительную молекулярную массу.

Если необходимо один из компонентов массы заменить другим, то при выполнении расчетов исходят из того, что рациональный состав массы не должен изменяться. Сначала рассчитывают рациональный состав компонентов, а затем рациональный состав массы, по которому определяют шихтовый состав масс. Зная рациональные составы сырьевых материалов и массы (табл. 2) рассчитывают шихтовый состав, например фарфоровой массы, по следующей методике.

По технологическим соображениям, в связи с необходимостью получения массы достаточной пластичности и формуемости, прочности полуфабриката, получения изделий с заданными свойствами заранее задают содержание каолина в массе (например, 40%). Далее определяют содержание компонентов, вводимых с каолином в массу (табл. 3).

По разности содержания каолинита в массе и каолине определяют содержание каолинита, вводимого с другими компонентами:
42,53 —36,48 = 6,05 ч. по массе.

Необходимое количество глины в массе составит: 6,05-100:71 = 8,52 4. по массе (≈8).

В состав массы фарфора необходимо ввести полевого шпата:
22,91 —3,29= 19,62 ч. по массе.

Количество полевого шпата определяют из расчета 19,62-100 : 75,45=26 ч. по массе. Полевой шпат вводят в массу в составе пегматита (см. табл. 2). Недостающее количество кварцевого песка вводится из расчета:
32,34 — (0,42 + 5,78) = 26,14% .

Таким образом (округляя расчетные данные), шихтовой состав массы фарфора будет следующим, % : каолина—40, глины огнеупорной — 8, пегматита— 26, кварца — 26.

www.stroitelstvo-new.ru

Intro

Помню, на первом курсе на занятиях по математическому анализу пришел в голову один интеграл. Преподаватель вызвал к доске, но прозвенел звонок. По дороге домой в автобусе сложился «скелет» решения кубического уравнения. Общая схема, конечно, не самая рациональная. Есть более эффективная — тригонометрическая формула Виета. Там сразу выписывается корень по виду уравнения, а, вообще, по объему вычислений все-таки лучше использовать численный метод Ньютона, поскольку степенные ряды для обратных тригонометрических функций сходятся медленно (по ним строятся вычисления таких функций в некоторых библиотеках). Вот что получилось.

1. Исходный интеграл и кубическое уравнение

Применяя метод неопределенных коэффициентов, представим знаменатель подынтегральной функции как

откуда получаем нелинейную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов, для решения которой требуется найти положительный корень неполного кубического уравнения

Исследуя функцию в левой части уравнения на монотонность, можно выяснить, что она имеет максимум

и минимум

При этом

Тогда из непрерывности функции следует, что исходное уравнение имеет три действительных корня, причем два отрицательных и один положительный, принадлежащий отрезку , .
Найдем его.

2. Поиск положительного решения

Преобразуем его к виду

Тогда решение кубического уравнения сводится к решению системы

причем (по условию положительности корня).
От данной системы перейдем к системе

По сути в (1) записана теорема Виета для квадратного уравнения

или

Дискриминант здесь отрицательный, казалось бы, можно закончить решение, но нам требуется не действительность и , а действительность их суммы. В этом помогут комплексные числа.

Тригонометрическая форма записи корней квадратного уравнения имеет вид

,
где — мнимая единица.

Тогда

Может возникнуть вопрос: в системе (1) первое уравнение было получено возведением обеих частей в куб, не вызовет ли это появление дополнительных комплексных корней? Нет, поскольку если выразить через в исходной системе, то получится уже рассмотренное квадратное уравнение. При выражении через имеем тоже самое. Это и доказывает справедливость последней совокупности.
Извлечем кубический корень из и по правилу извлечения корней из комплексных чисел. Получим

где

Выберем такую пару и , чтобы их сумма в мнимой части комплексного числа давала 0, а действительная часть была бы отрицательной. При этом будем использовать формулы приведения (если требуется найти остальные корни уравнения, то лучше использовать формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение), а также учтем, что угол принадлежит первой четверти. Тогда

Откуда искомый корень

Если использовать тригонометрическую формулу Виета, то полученный корень запишется в более простой форме

Возникает вопрос: почему я не использовал формулу Кардано? Ведь в школах нам говорили, что для решения кубических уравнений используют ее. По своей форме она похожа на то, что сейчас проделал — в итоге придется извлекать кубический корень из комплексного числа. Кстати, именно при решении уравнений третьей степени комплексные числа впервые получили свое применение.

Замечу, что для выяснения состава корней кубического уравнения используют понятие дискриминанта (как и в случае квадратного уравнения). Вообще, понятие дискриминанта в алгебре введено для многочленов произвольной степени.

2. Пример физической задачи с кубическим уравнением

где — суммарный коэффициент трения, — ускорение свободного падения, — коэффициент аэродинамического сопротивления, — площадь лобового сечения автомобиля, откуда и получаем неполное кубическое уравнение.

3. Вопросы и ответы

1. Почему автор не рассматривал полного кубического уравнения? Ответ: полное кубическое уравнение сводится к неполному заменой

где — новая переменная, — коэффициент при , — коэффициент при .

2. В начале топика был рассмотрен многочлен четвертой степени. Есть ли методы, позволяющие аналитически разрешать такие уравнения? Ответ: да, существует метод Феррари.

3. По теореме Абеля-Руффини уравнение, выше четвертой степени, не разрешимо в радикалах. А тут получается корень кубического уравнения, содержащий тригонометрические функции, который, скорее всего, нельзя выразить через радикалы, как так? Ответ: в формулировке теоремы имеется в виду общая запись корня, т.е. корни могут извлекаться и из комплексных чисел при подстановке в формулы коэффициентов уравнения.

4. После Эвариста Галуа были ли попытки получения формул корней уравнения произвольной степени? Ответ: не так давно мне попался на глаза русский перевод книги американского математика Дэвида Мамфорда «Лекции о тэта-функциях» (Мир, 1988). Там в качестве добавления приведена работа Хироси Умемура «Решение алгебраических уравнений с помощью тэта-констант», где заменяется функция извлечения корня другой функцией — модулярной функцией Зигеля, выражаемой через тэта-константы. В этой работе также освещена история исследования данного вопроса после Галуа.

5. Как я понимаю, такие формулы не применимы для использования в практических задачах решения уравнений произвольной степени. Есть ли какие-нибудь современные работы с описанием алгоритмов получения приближенных корней? Ответ: советую книгу Г.П. Кутищева «Решение алгебраических уравнений произвольной степени: Теория, методы, алгоритмы» (URSS, 2010).

6. Существуют ли современные модификации численного метода Ньютона, являющегося на сегодняшний день основным для получения приближенных решений уравнений и систем уравнений? Ответ: можно посмотреть статью Janak Raj Sharma, Rangan Kumar Guha и Rajni Sharma «An efficient fourth order weighted-Newton method for systems of nonlinear equations».

7. Имеются ли какие-нибудь частные случаи уравнений высокой степени, для которых удалось получить аналитические формулы корней? Ответ: корень Бринга для поиска действительного решения уравнения пятой степени и формула Лоуренса Глассера для неполных уравнений произвольной степени.

В заключении для начинающих рекомендую книгу С.Л. Табачникова и Д.Б. Фукса «Математический дивертисмент» (МЦНМО, 2010).

habr.com

Решение кубического уравнения онлайн | umath.ru

Кубическим уравнением называется уравнение вида Если коэффициент то уравнение не является кубическим. Если коэффициент то уравнение имеет корень равный нулю и делением на сводится к квадратному уравнению.

Кубическое уравнение может иметь как действительные, так и комплексные корни. Для обозначения комплексной единицы в ответе калькулятор использует символ .

Дискриминант кубического уравнения показывает природу корней:

• если то уравнение имеет только один действительный корень,
• если то все корни уравнения — действительные,
• если то все корни уравнения действительные и равны между собой.

umath.ru

📝Решение квадратного и кубического уравнения онлайн

Ознакомиться с правилами решения такого упражнения вы можете, пересмотрев формулы. В полях с единицами укажите, ваши коэффициенты при неизвестных.
Квадратное уравнение имеет вид: $ax^2+bx+c=0 $, где $a$ не может быть ровно нулю!

Решение кубического уравнения, которое имеет вид: $ax^3+bx^2+cx+d=0$, где $a$ не может быть ровно нулю!

Решить уравнение – это означает найти такое число, которое могло б заменить неизвестное, и при этом равность выполнялась, то есть была бы правильной. И, не важно, квадратное оно, кубическое или высшей степени, суть одна, разница только в методах нахождение его неизвестного или так називаемого корня.

На вашем конкретном примере онлайн калькулятор все распишет максимально детально. Я только остановлюсь на нескольких основных аспектах. Для первого, метод базируется на нахождении дискриминанта, если он положительных, то существует два разных вещественных корня, если отрицательный, то два комплексных (или нет корней, когда рассматриваются только поле вещественных чисел). Для второго, все значительно сложнее и разных вариантов там на много больше, так что, либо подставляйте в формы выше свои данные или идите на страницу с теорией по данному вопросу.

Так что данный калькулятор поможет вам онлайн найти решение квадратного или кубического уравнения, при этом вы получите подробнейший ход всего решения со всем необходимым теоретическим материалом. С его помощью вы можете, как просто узнать правильный ответ, для проверки самого себя, так и весь метод от начала и до конца, что значительно упростит нахождения ошибки, если она существует. И даже он можете вас научить делать подобные упражнения, если у вас есть желание для этого.

И, конечно же, очень прошу вас изучить страницу Часто задаваемых вопросов и ответов на них, чтобы не повторять ошибки своих предшественников, особенно это нужно для тех, кто собирается задать вопрос в комментариях.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

matemonline.com

Занятие 17. Трехчленные кубические уравнения

Занятие 17.

Трехчленные кубические уравнения

Пример 1. Решите уравнение .

Решение

Положим и подставим в уравнение, получим:

или

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -16, а произведение 64.

Получим уравнение: , ;

.

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

Уравнение примет вид: .

Получим еще один корень: .Ответ: .

Пример2. Решите уравнение .

Решение

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -4, а произведение 8.

Получим уравнение: , ;

Квадратное уравнение корней не имеет.

Однако, первоначальное кубическое уравнение имеет действительные корни. В самом деле, среди делителей свободного члена: нетрудно найти корень: . В самом деле: .

Разделим, по схеме Горнера, трёхчлен на x — 2, получим:

Уравнение примет вид: . Решим квадратное уравнение:

.

Ответ: .
Пример3. Решите уравнение .
Решение

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -2, а произведение -8.

Получим уравнение: , ;

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

Уравнение примет вид:.

Уравнение не имеет действительных корней, т. к. его дискриминант отрицателен:

.

Уравнение имеет один действительный корень: .

Ответ: .
Не всегда этот метод может дать положительный результат!
Пример 4. Решите уравнение .

Решение

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -30, а произведение .

Получим уравнение: ,

, а значит квадратное уравнение не имеет решений.

Однако, исходное уравнение имеет три действительных корня 2, 3 и -5.

Методика решения такого типа уравнений рассматривается на множестве комплексных чисел и будет приведено ниже.
Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения:

1. . 2. . 3. .

Занятие 18.

Полные кубические уравнения

Полное кубическое (кубичное) уравнение вида

легко приводится к трёхчленному кубическому уравнению подстановкой .

,

. Положим , получим трёхчленное кубическое уравнение .
Пример 1. Решите уравнение .

Решение

Положим , получим ,

.

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна 9, а произведение 8.

Получим уравнение: , ;

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

Уравнение примет вид: . Уравнение не имеет действительных корней.

Получим один корень: . Найдем решение данного кубического уравнения: . Оно также имеет один действительный корень.
Ответ: .
Пример 2. Решите уравнение .
Решение
Положим , получим ,

.

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -6 а произведение 8.

Получим уравнение: , ;

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

Уравнение примет вид: .

Уравнение не имеет действительных корней, поскольку его дискриминант отрицателен.

Получим один корень: . Найдем решение данного кубического уравнения: . Оно также имеет один действительный корень.

Решение

Положим , получим ,

.

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем: .

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -4 а произведение 8.

Хотя, совершенно очевидно, что x = 1 является корнем данного уравнения, ибо сумма его коэффициентов равна нулю.

Разделим многочлен на x — 1 по схеме Горнера:

Квадратное уравнение имеет два корня:

, .
Ответ: , , .
Пример 4. Решите уравнение .
Решение
Положим , получим ,

.

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем: .

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна 98 а произведение -3375.

Получим уравнение . Оно имеет корни .

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

Уравнение примет вид: . Уравнение не имеет действительных корней.

Получим один корень: . Найдем решение данного кубического уравнения: . Оно также имеет один действительный корень.
Ответ: .
Пример 5. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение, разделив обе его части на коэффициент при , т. е. на 27, получим уравнение: .

Положим , получим ,

,

, .

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем: .

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна а произведение .

Получим уравнение или

Оно имеет корни .

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

Уравнение имеет два равных действительных корня .

Получим корни: , . Найдем решение данного кубического уравнения: , , .
Ответ: , .

Задание для самостоятельной работы.

Решите уравнение.

1. ; 2. ; 3. ;

voeto.ru

Решение. Распространённые ошибки — не заметить вершины графа, которые не соединены ни с одной другой вершиной, в том числе с самой собой, и не включить их во множество вершин графа, а также указать не все рёбра графа, соединяющие две вершины. Поэтому вершину f данного графа обязательно включаем во множество вершин графа V, а, рёбра 6 и 7, хотя они соединяют одну и ту же вершину саму с собой и обе не имеют направления, включаем во множество рёбер U.

Итак, задаём граф следующими множествами:

множество вершин: V = {a, b, c, d, e, f}

множество рёбер: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

множество инциденций: P = {(b, 1, a), (b, 2, a), (a, 3, b), (b, 4, b), (b, 5, b), (c, 6, c), (c, 7, c), (b, 8, d), (d, 8, b), (b, 9, d), (b, 10, e), (b, 11, e), (e, 11, b)}

Смежность вершин графа — это когда две вершины графа соединены ребром.

Зададимся вопросом: можно ли поместить слона в компьютер? Ответ: можно, если слона смоделировать в виде графа, в котором вершинами являются части его тела, а рёбра соединяют те части тела, которые соединены в слоне как биологическом объекте. При этом получившийся граф должен быть представлен в памяти компьютера в понятном компьютеру виде.

В связи с широким применением графов в программировании и информационных технологиях вообще возникает вопрос о представлении графа в виде структуры данных. Различные способы представления графов в памяти компьютера отличаются объёмом занимаемой памяти и скоростью выполнения операций над графами.

Наиболее часто используются три такие структуры данных — матрица смежности, матрица инцидентности и список инцидентности.

Матрица смежности, как и матрица инцидентности, позволяет установить множество вершин, соседних с заданной (то есть рассматриваемой в конкретной задаче), не прибегая к полному просмотру всей матрицы. Матрицы смежности обычно представляются двумерным массивом размера n x n, где n — число вершин графа.

Матрица смежности S — это квадратная матрица, в которой и число строк, и число столбцов равно n — числу вершин графа. В ячейки матрицы смежности записываются некоторые числа в зависимости от того, соединены соответствующие вершины рёбрами или нет, и от типа графа.

Матрица смежности для неориентированного графа

Элемент матрицы смежности sij неориентированного графа определяется следующим образом:

— равен единице, если вершины vi и vj смежны;

— равен нулю, если вершины vi и vj не смежны.

Если для элемента матрицы vij имеет место i = j, то есть элемент находится на диагонали, то этот элемент равен единице, если этот элемент имеет петлю, и нулю, если элемент не имеет петли.

Пример 2. Составить матрицу смежности для графа, представленного на рисунке ниже.

Ответ.

Таким образом, матрица смежности неориентированного графа симметрична относительно главной диагонали.

Матрица смежности для ориентированного графа

Элемент матрицы смежности sij ориентированного графа определяется следующим образом:

— равен единице, если из вершины vi в вершину vj входит дуга;

— равен нулю, если из вершины vi в вершину vj дуга не входит.

Как и для неориентированных графов, так и для ориентированных, если для элемента матрицы vij имеет место i = j, то есть элемент находится на диагонали, то этот элемент равен единице, если этот элемент имеет петлю, и нулю, если элемент не имеет петли.

Пример 3. Составить матрицу смежности для графа, представленного на рисунке ниже.

Ответ.

Таким образом, матрица смежности ориентированного графа не симметрична.

Матрица смежности для графа с кратными рёбрами

Если в графе есть вершины, соединённые между собой несколькими рёбрами, то элемент матрицы смежности sij равен числу рёбер, соединяющих вершины vi и vj. Из этого следует, что если вершины vi и vj не соединены рёбрами, то элемент матрицы смежности sij равен нулю.

Пример 4. Составить матрицу смежности для графа, представленного на рисунке ниже.

Ответ.

Матрица смежности для взвешенного графа

В случае взвешенного графа элемент матрицы смежности sij равен числу w, если существует ребро между вершинами vi и vj с весом w. Элемент sij равен нулю, если рёбер между вершинами vi и vj не существует.

Пример 5. Составить матрицу смежности для графа, представленного на рисунке ниже.

Ответ.

Матрица инцидентности H — это матрица размера n x m, где n — число вершин графа, m — число рёбер графа. Обычно в матрице инцидентности строки соответствуют вершинам графа, а столбцы — рёбрам графа.

Матрица инцидентности для неориентированного графа

Элемент матрицы инцидентности для неориентированного графа hij определяется следующим образом:

— равен единице, если вершина vi инцидентна ребру ej;

— равен нулю, если вершина vi не инцидентна ребру ej.

Пример 6. Составить матрицу инцидентности для графа, представленного на рисунке ниже.

Ответ.

Матрица инцидентности для ориентированного графа

Элемент матрицы инцидентности для ориентированного графа hij определяется следующим образом:

— равен минус единице, если вершина vi является началом ребра ej;

— равен единице, если вершина vi является концом ребра ej;

— равен нулю, если вершина vi не инцидентна ребру ej.

Пример 7. Составить матрицу инцидентности для графа, представленного на рисунке ниже.

Ответ.

На сайте есть пример реализации на языке программирования С++ алгоритма обхода в глубину графа, представленного матрицей инцидентности.

Графы значительного объёма целесообразно хранить в памяти компьютера в форме списков инцидентности.

Список инцидентности одной вершины графа включает номера вершин, смежных с ней.

Ссылки на начало этих списков образуют одномерный массив, индексами которого служат номера вершин графа.

Пример 8. Составить списки инцидентности для графа, представленного на рисунке ниже.

Ответ.

1:2→3
2:1→4→5
3:1→5
4:2
5:2→3

Матрицы смежности и инцидентности целесообразнее использовать когда:

• число вершин графа невелико;
• число рёбер графа относительно большое;
• в алгоритме часто требуется проверять, соединены ли между собой две вершины;
• в алгоритме используются фундаментальные понятия теории графов, например, связность графа.

Из-за последнего обстоятельства матрицы чаще используются в теоретических исследованиях графов.

Списки инцидентности целесообразнее использовать когда:

• число вершин графа велико;
• число рёбер графа относительно невелико;
• граф формируется по какой-либо модели;
• во время действия алгоритма часто требуется модифицировать граф;
• в алгоритме часто используются локальные свойства вершин, например, например, окрестности вершин.

На практике списки чаще используются в прикладных целях.

Весь блок «Теория графов»

function-x.ru

как построить матрицы смежности, инцидентности — 28 Октября 2013 — Примеры решений задач

матрицы смежности, инцидентности

Пусть D = (V, Х) – орграф, где V={v1, v2, …,vn}, X={x1, x2, …, xm}.

Определение. Матрицей смежности орграфа D называется квадратная матрица A(D)=[aij] порядка n, у которой

Определение. Матрицей инцидентности орграфа D называется (nґm) –матрица B(D)=[bij], у которой

Введем также матрицы смежности и инцидентности для неориентированных графов. Пусть G = (V, X) – граф, где V={v1, v2, …,vn}, X={x1, x2, …, xm}.

Определение. Матрицей смежности графа G называется квадратная матрица A(G)=[aij] порядка n, у которой

Определение. Матрицей инцидентности графа G называется (nґm) –матрица B(G)=[bij], у которой

С помощью введенных матриц удобно задавать графы для обработки на ЭВМ. Используя матрицу смежности легко определить локальные степени вершин графа: сумма элементов матрицы по строке равна локальной степени соответствующей вершины. Для орграфов по строке определяются полустепени исхода, по столбцам – полустепени захода.

Пример 72.

Построить матрицы смежности и инцидентности для графа G = (V, X) (рис. 25).

Решение.

Матрица смежности имеет вид

.

Поскольку граф не имеет петель, то на главной диагонали стоят все нули. Для любого графа матрица смежности симметрична относительно главной диагонали.

Для того, чтобы построить матрицу инцидентности необходимо пронумеровать ребра графа (рис. 26). Матрица инцидентности имеет вид:

Напомним, что в строках указываются вершины, в столбцах – ребра. Матрица инцидентности может быть как квадратной, так и прямоугольной.

Пример 73.

Построить матрицы смежности и инцидентности для  орграфа D= (V, X) (рис. 27).

Решение.

Матрица смежности имеет вид:

Матрица инцидентности имеет вид

www.reshim.su

Построить граф по матрице

Построить ненаправленный граф по матрице

Заданная матрица смежности ненаправленного графа

Полученный граф, построенный по матрице

Первая работа по теории графов, принадлежащая известному швейцарскому математику Л. Эйлеру, появилась в 1736 г.

Вначале теория графов казалась довольно незначительным разделом математики, так как она имела дело в основном с математическими развлечениями и головоломками.

Однако дальнейшее развитие математики и особенно ее приложений дало сильный толчок развитию теории графов.

Уже в XIX столетии графы использовались при построении схем электрических цепей и молекулярных схем.

Граф — это  одно из представлений  связей, между объектами / событиями.

В настоящее время теория графов находит многочисленные применения в разнообразных практических вопросах: при установлении разного рода соответствий, при решении транспортных задач, задач о потоках в сеги нефтепроводов и вообще в так называемом «программировании». Теория графов теперь применяется и в таких областях, как экономика, психология и биология. 

В виде графов преобразовываются электрические схемы,  производственные цепочки на предприятии, план мероприятий, оптимальная логистическая доставка, связи между родственниками, друзьями  и многое другое.

Графы делятся на ненаправленные, направленные, с весовыми коэффицикентами(взвешенные) и без коэффициентов.

Каждый граф имеет определенные характеристики. Основные из них это остов графа, матрица смежности, матрица инцидентности.

Остов графа — это подграф данного графа, содержащий все его вершины и являющийся деревом.

Матрица смежности графа — это квадратная матрица ( по числу вершин графа) где, каждый элемент матрицы (на пересечении i- столбца и j-ряда) есть состояния связи  между вершинами i и j.

Элемент матрицы равен 1 если i-вершина графа, соединена с j-вершиной графа.

Во всех других случаях, в том числе когда i=j, значение элемента матрицы равно 0.

Это условие применимно только для ненаправленных графов и только для связей которые не начинаются и заканчиваются на одной и той же вершине ( петля)

Ненаправленный граф — граф, где не указаны направления движения связей между любыми  вершинами.

Невзвешенный граф — граф, где связям между любыми вершинами не присвоено никакое значение, а показывает только лишь сам факт связи этих двух вершин

На этой странице  бот строит ненаправленный граф, если  для него задана  матрица смежности.

Если мы не можете в уме построить матрицу смежности, то для этого есть ресурс Теория графов. Матрица смежности онлайн где можно построить такую матрицу. 

Интересные особенности

В матрице смежности неориентированного графа (взвешенного или невзвешенного) не важно, есть одна очень важная особенность

Значения матрицы  относительно главной диагонали — одинаковы.

Таким образом в принципе достаточно в качестве исходных данных вводить только верхнюю(диагональную) часть матрицы, но для удобства восприятия, ввод данных был сделан для полной матрицы.

Второй вывод который следует из вышесказанного следующий( и в примерах он прослеживается): Бот не проверяет  симметричность-соответствие  данных  в позициях матрицы относительно главной диагонали. 

Примеры:

Задана матрица смежности такого вида

В запросе пишем  0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0

и получаем ответ

Матрица задана таким видом

Пишем в запросе 

0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0  0 1 0  0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0  1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

получем ответ

Заданная матрица смежности ненаправленного графа

Полученный граф, построенный по матрице

Удачи в расчетах!!

• Построить график функции c помощью GeoGebra >>

abakbot.ru

Построение геометрических орграфов на основании матриц

Отношение x > y обладает следующими свойствами:

1. Оно антирефлексивно, так как ни для каких х не имеет места x > x,  орграф отношения не имеет петель.
2. Оно асимметрично, так как для двух чисел имеет место только соотношение x > y.
3. Оно транзитивно, так как если x > y и y > z, то x > z, орграф отношения  является транзитивным, т.е. существуют замыкающие дуги:  и  влечет  и т.д.

Пример 5. Задана матрица

Нарисовать на плоскости орграф G = ( X, U ), единственный с точностью до изоморфизма, имеющий заданную матрицу В своей матрицей смежности. Найти матрицу инцидентности   орграфа G.

Решение. Заданная матрица смежности В имеет 4 строки и 4 столбца, следовательно, орграф имеет 4 вершины. Обозначим их соответственно ,, , . Матрицу В перепишем в виде

.

Построим на плоскости 4 точки и обозначим их ,, , .

Рис. 22. Изоморфный орграф G = ( X, U ).

Так как , то при вершине  нет петель, , значит из вершины  исходят 2 стрелки к вершине . Рассуждая таким же образом, построим геометрический орграф, изоморфный орграфу G = ( X, U ), для которого матрица В является матрицей смежности ( рис. 22 ).

Теперь запишем матрицу инцидентности С для орграфа G.

Построенный орграф G = ( X, U ) имеет 4 вершины и 12 дуг, т.е. Х={,,,},

U= .

Матрица инцидентности орграфа G будет иметь 4 строки и 12 столбцов

 Петле соответствует нулевой столбец. Матрица инцидентности только указывает на наличие петель в орграфе, но не указывает, каким вершинам эти петли инцидентны.

3. Задана симметрическая матрица А неотрицательных целых чисел.

    1. Нарисовать на плоскости граф (единственный с точностью до изоморфа), имеющий заданную матрицу А своей матрицей смежности. Найти матрицу инцидентности  графа G.

     2. Нарисовать на плоскости орграф  (единственный с точностью до изоморфизма), имеющий заданную матрицу А свое матрицей смежности. Найти матрицу инцидентности  орграфа G.

А=

            Решение1. Напомним, что матрицей смежности графа  с множеством вершин  называется матрица  размера , в которой элемент  равен числу ребер в G, соединяющих  с . Матрица смежности графа G является симметрической, то есть

=.

            Построим граф  по заданной матрице смежности.

            Поскольку данная матрица является  симметрической матрицей четвертого порядка с неотрицательными элементами, то ей соответствует неориентированный граф с четырьмя вершинами. Расположив вершины  на плоскости произвольным образом  (рис. 3), соединяем их с учетом кратности ребер.

А=

Рис. 3 Граф G=(X,U)

            Теперь найдем матрицу инцидентности графа G =(X,U).

Напомним определение матрицы инцидентности графа G=(X,U) с множеством вершин  и множеством ребер  Так называется матрица  размера , у которой

2. Заданная матрица А имеет 4 строки и 4 столбца, следовательно орграф имеет 4 вершины. Обозначим их соответственно   а матрицу представим в виде

            На плоскости строим 4 точки. Обозначим их через

                                                      Рис. 4. Изоморфный орграф G=(X,U).

            Так как   то при вершине   имеется петля;  значит, из вершины  выходят две стрелки к вершине  и т.д. (рис.4).

            Теперь запишем матрицу инцидентности С для орграфа G.

            Построим орграф G=(X,U) имеет 4 вершины и 17 дуг, т.е.

            Матрица инцидентности орграфа G будет иметь 4 строки и 17 столбцов

4. Заданная формула  От формулы  перейти к  эквивалентной ей формуле  так, чтобы формула  не содержала связок «» и «». Исходя из истинностных таблиц, доказать, что формулы  и  равно сильны (логически эквивалентны). Для формулы  СКНФ и СДНФ.

Решение. Как известно, все формулы логики высказываний можно записать при помощи пропозициональных связок :  т.е. пропозициональные связки   могут быть определены в терминах  связок  Можно доказать, что

                                                   (1)

                                                         (2)

                                  (3)

               Используя равенства (1) – (3) и основные законы

21 – 30. Задана симметрическая матрица A неотрицательных целых чисел.

1. Нарисовать на плоскости граф G=(X,U)  (единственный с точностью до изоморфизма), имеющий заданную матрицу А своей матрицей смежности. Найти матрицу инцидентности  

графа G.

2. Нарисовать на плоскости орграф G=(X,U)  (единственный с точностью до изоморфизма)? Имеющий заданную матрицу А своей матрицей смежности. Найти матриц инцидентности

Орграфа G.

21.                                      22.

23.                                 24.         

25.                                        26.

27.                                                28.

29.                                                30.

vunivere.ru

Матрица инцидентности и матрица смежности

На рис. 1,2 изображено множество точек и множество линий , соединяющих эти точки, которые все вместе образуют граф .Если линии имеют стрелки, то граф называется ориентированным или орграфом (рис. 2).

Рис. 1. Граф . Рис. 2. Орграф .

Графы и можно представить в аналитической форме либо матрицей смежности ,либо матрицей инцидентности .

Для нашего конкретного неориентированного графа матрицы и выглядят следующим образом:

Матрица смежности для неориентированного графа всегда симметрична.

Фигурирующая в ней 2 может быть в некоторых случаях заменена на 1.

В матрице инцидентности сумма единиц по столбцам указывает на степень вершины v_i. Нередко расположение вершин и ребер в этой матрице меняют местами (транспонируют). Так, для нашего конкретного орграфа матрицы и выглядят существенно иначе:

В общем случае матрица смежности для ориентированного графа уже не будет симметричной. В матрице инцидентности ставится 1, если дуга исходит из вершины, и —1, если дуга заходит в нее.

Матрица смежности и матрица инцидентности

Есть два стандартных способа представить граф G = (V,E) 

Первый обычно предпочтительнее, ибо дает более компактное представление разреженных графов– тех, у которых |E| много меньше |V|².

Большинство стандартных алгоритмов используют именно это представление. Но в некоторых ситуациях удобнее пользоваться матрицей смежности – например, для плотных графов, у которых |EG| сравнимо с |VG|².

Матрица смежности позволяет быстро определить, соединены ли две данные вершины ребром. Алгоритмы отыскания кратчайших путей для всех пар вершин, используют представление графа с помощью матрицы смежности.

• Определение Матрицей смежностиграфа G = (V, E) называется квадратная булева матрицаAпорядкаn,элементы которой определяются следующим образом:

Свойства

1. А – симметрическая матрица

2. На главной диагонали матрицы смежности всегда стоят 0.

3. Число единиц в строке равно степени соответствующей вершины.

Матрицей инцидентностиграфаGназывается булева матрица размера |V|´|G| вида

Свойства:

1.   В каждом столбце матрицы ровно две единицы

2. Равных столбцов нет.

Например, на следующем рисунке граф задан графически, списком смежных вершин, матрицей смежности и матрицей инцидентности.

Рассматриваются также графы с нагруженными ребрами или взвешенные – графы, у которых каждому ребру поставлено в соответствие некоторое вещественное число – вес или нагрузка ребра.

Такой граф можно задать матрицей расстояний – квадратной матрицей размера |V|´|V|, где на пересечении i-ой строки и j-го столбца записан вес ребра (i, j), если ребро есть, ¥, если ребра нет и 0, если i = j.

studfiles.net

Пусть G – помеченный граф порядка N , V(G) = {1, 2, 3, …, N}. Матрицей смежности графа G называется бинарная N´N-матрица M(G) = (Mij), такая, что Mij = 1, если вершина I смежна с вершиной J, и Mij = 0, в противном случае.

Легко видеть, что матрица смежности простого графа G является симметричной, с нулями на главной диагонали. Число единиц в каждой строке (каждом столбце) равно степени соответствующей вершины. Понятно, что и обратно, всякой бинарной матрице с указанными свойствами соответствует некоторый простой граф. Таким образом, матрица смежности является одним из способов задания графов.

Для мульти — и псевдографов матрица смежности определяется так, что:

Mij =

Для ориентированного графа G:

Mij =

Таким образом, всякая бинарная матрица является матрицей смежности соответствующего ориентированного графа. Например, следующей матрице соответствует изображенный далее граф.

Абстрактный граф приводит к различным матрицам смежности в зависимости от нумерации вершин.

Теорема. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежности получаются друг из друга путём парных перестановок одинаковых строк и столбцов.

Доказательство. Действительно таким перестановкам (переставляются одновременно, как одна операция, две строчки и два столбца с одинаковыми номерами) соответствует перенумерация вершин графа, что очевидно приводит к изоморфному графу.

Из теоремы, в частности, следует, что ранги матриц смежности изоморфных графов совпадают. Этот общий ранг различных матриц смежности изоморфных графов называется рангом соответствующего абстрактного графа G и обозначается rg G. Совпадают так же характеристические многочлены и собственные значения матриц смежности изоморфных графов, которые называются, соответственно, характеристическим многочленом и спектром графа G.

Для двудольного графа G, с долями V1 = {X1, X2, …, Xn} и V2 = {Y1, Y2, …, Ym} рассматривается так же приведённая N´M-матрица смежности, такая, что Mij = 1, если вершина Xi смежная с Yj, и Mij = 0 в противном случае.

Для взвешенных графов вместо матрицы смежности обычно рассматривается матрица весов, элементы которой mij = вес рёбра {i, j}. Отсутствующим рёбрам присваивается вес ∞ или 0, в зависимости от решаемой задачи.

matica.org.ua