Конус | LAMPA — онлайн-учебник, который каждый может улучшить
Конус — это тело, которое получается при объединении всех отрезков, соединяющих точки круга (основание конуса) с вершиной конуса.
Прямой конус — это конус, вершина которого лежит на прямой, перпендикулярной основанию и проходящей через центр основания. Эта прямая называется осью прямого конуса.
Высота конуса — это отрезок, проведенный из вершины конуса к основанию перпендикулярно основанию конуса. Отрезок, который соединяет вершину конуса с окружностью в основании, называется образующей конуса.
В задачах ЕГЭ рассматривается в основном прямой конус.
Прямой конус можно получить, если из бумажного круга вырезать сектор (с любым углом от 000 до 2π2\pi2π), потом свернуть его в рупор, склеить по разрезу, а круглое отверстие закрыть кругом.
Если lll — длина образующей конуса, hhh — высота конуса, а rrr — радиус основания конуса, то
- Объем конуса: V=13πr2hV=\frac{1}{3}\pi r^2hV=31πr2h,
- Площадь боковой поверхности конуса: Sбок=πrlS_{бок}=\pi rlSбок=πrl,
- Площадь полной поверхности: S=πr(r+l)S=\pi r(r+l)S=πr(r+l),
- Образующая конуса: l=h3+r2l=\sqrt{h^2+r^2}l=h3+r2.
Заметим, что формула объема конуса очень похожа на формулу объема пирамиды. Это следует из того, что конус — это, по сути, та же пирамида, только вместо многоугольника в основании находится круг.
Формула для образующей конуса следует из теоремы Пифагора. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого — это высота конуса и радиус основания конуса. Поэтому также верны формулы: h=l2−r2h=\sqrt{l^2-r^2}h=l2−r2 и r=l2−h3r=\sqrt{l^2-h^2}r=l2−h3.
Формулу площади боковой поверхности можно получить, если рассмотреть развертку его боковой поверхности на плоскость. Она представляет собой сектор круга радиуса lll. При развертке вершина конуса переходит в центр круга, образующая — в его радиус, а окружность основания — в дугу сектора. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса: 2πr2\pi r2πr. Обозначим радианную меру угла сектора через α\alphaα. Тогда длина его дуги равна αl\alpha lαl, а площадь равна 12αl2\frac{1}{2} \alpha l^221αl2. Тогда αl=2πr\alpha l=2\pi rαl=2πr. Значит, α=2πrl\alpha =\frac{2\pi r}{l}α=l2πr. Тогда площадь сектора равна 12⋅2πrl⋅l2=πrl\frac{1}{2}\cdot \frac{2\pi r}{l} \cdot l^2=\pi rl21⋅l2πr⋅l2=πrl.
Пользуясь формулами, решите следующие задачи:
lampa.io
Как найти образующую конуса
Задание.
Как найти образующую конуса, если диаметр его основания равен 12 см, а высота равна 8 см.
Решение.
Изобразим схематически конус, на котором обозначим его высоту, радиус основания и образующую. Образующая конуса соединяет его вершину с одной из точек на окружности основания конуса. Радиус также соединяет центр окружности с любой из точек на этой окружности. Поэтому можем изобразить радиус и высоту на рисунке так, как нам будет удобно использовать их для решения задачи. Пусть концы радиуса и образующей совпадают.
Из рисунка хорошо видно, что из высоты, радиуса и образующей получается прямоугольный треугольник, к которому можно применить теорему Пифагора. Запишем уравнение для данного треугольника:
Значение высоты известно из условия, радиус можно найти через диаметр. Таким образом, вычислим значение образующей.
Итак, найдем длину радиуса, зная, что диаметр равен 12 см:
Теперь подставим известные значения в теорему Пифагора:
(см).
Ответ. 10 см.
ru.solverbook.com
Как найти радиус основания конуса?
Ответ оставил Гость
1)Если вам известны объем V и высота конуса H, выразите его радиус основания R из формулы V=1/3∙πR²H. Получите: R²=3V/πH, откуда R=√(3V/πH)
.2)Если вам известны площадь боковой поверхности конуса S и длина его образующей L, выразите радиус R из формулы: S=πRL. Вы получите R=S/πL.
3)Следующие способы нахождения радиуса основания конуса базируются на утверждении, что конус образован при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов к оси. Так, если вам известны высота конуса H и длина его образующей L, то для нахождения радиуса R вы можете воспользоваться теоремой Пифагора: L²=R²+H². Выразите из данной формулы R, получите: R²=L²–H² и R=√(L²–H²).
5)Если известны образующая конуса L и угол β между радиусом основания конуса и его образующей, найдите радиус основания R по формуле: R=L∙cosβ. Если известны высота конуса H и угол α между его образующей и радиусом основания, найдите радиус основания R по формуле: R=H∙tgα.
6)Пример: образующая конуса L равна 20 см и угол α между образующей и высотой конуса равен 15º. Найдите радиус основания конуса. Решение: В прямоугольном треугольнике с гипотенузой L и острым углом α противолежащий этому углу катет R вычисляется по формуле R=L∙sinα. Подставьте соответствующие значения, получите: R=L∙sinα=20∙sin15º. Sin15º находится из формул тригонометрических функций половинного аргумента и равен 0,5√(2–√3). Отсюда катет R=20∙0,5√(2–√3)=10√(2–√3)см. Соответственно, радиус основания конуса R равен 10√(2–√3)см.
Оцени ответ
reshebka.com
Площадь поверхности конуса
R — радиус основания конуса
H — высота
L — образующая конуса
π ≈ 3.14
Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус ( R) и образующую (L), (Sбок):
Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (Sбок):
Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S):
Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (S):
- Подробности
- Автор: Administrator
-
www-formula.ru
Конус [wiki.eduVdom.com]
Конусом (прямым круговым конусом) называется тело, состоящее из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.
Конус является телом вращения.
Конус
Рис.1
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.
Конус — тело, которое ограничено конической поверхностью и плоскостью, на которой лежат концы образующих конической поверхности.
Коническая поверхность — поверхность, которая образуется движением отрезка, один из концов которого неподвижен, а другой перемещается на плоскости вдоль некоторой кривой. Отрезки называют образующими конической поверхности, а кривую – направляющей. Неподвижная точка – вершина конической поверхности.
Боковая поверхность конуса — часть конической поверхности, ограниченная плоскостью.
Основание конуса — часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью конуса.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания (См.Рис.1). В противном случае, конус называется наклонным. В школьном курсе изучается прямой круговой конус.
Круговой конус
Прямой круговой конус (просто конус) — круговой конус, у которого прямая, соединяющая вершину конуса с центром круга, лежащего в основании, перпендикулярна плоскости основания.
Ось конуса — прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.
Высота конуса — отрезок оси конуса, соединяющий вершину конуса с центром основания.
Конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет.
Образующие конуса совпадают с образующими конической поверхности.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса. См.Рис.2
.Рис.2
Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
Площадь боковой поверхности (круглого) конуса равна произведению половины длины окружности основания (C) на образующую (l):
$$S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot Cl=\pi\cdot rl$$
, где r – радиус основания, l – длина образующей.
Площадь полной поверхности конуса — сумма площадей основания конуса и его боковой поверхности, которая записывается формулой: $$S_{полн}=\pi\cdot r(l+r)$$ , где r — радиус основания, l — длина образующей.
Объем всякого конуса равен трети произведения площади основания (S) на высоту (
Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания. См.Рис.3.
Усечённый конус
Рис.3
Формулы для усечённого конуса (См.Рис.4): $$ S_{бок}=\pi\cdot l\cdot (R+r) \\ S_{полн}=S_{бок}+\pi(R^2+r^2) \\ V=\frac{1}{3}\pi\cdot h(R^2+R\cdot r+r^2) $$
Усечённый конус
Рис.4
Пример 1. Высота конуса равна 4 , а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.
Видео-решение.
www.wiki.eduvdom.com
Объем конуса — формула, пример расчета
Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения.
Построим вписанную в конус правильную n-угольную пирамиду и опишем вокруг данного конуса правильную n-угольную пирамиду.
Вписанная пирамида содержится в конусе. Из этого следует, что ее объем не больше объема конуса.
Описанная пирамида содержит конус, а это значит, что ее объем не меньше объема конуса.
Впишем в основание вписанной пирамиды окружность.
Если радиус вписанного правильного n-угольника равен R, то радиус вписанной в него окружности будет равен:
Объем вписанной пирамиды вычисляется по формуле:
где S – основание пирамиды.
Площадь данного круга вычисляется по формуле:
Площадь основания вписанной пирамиды не меньше площади круга, содержащегося в ней
Поэтому утверждение, что объем вписанной в конус пирамиды не меньше верно.
А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий эту пирамиду будет больше или равен
V≥
Теперь опишем окружность вокруг основания описанной вокруг конуса пирамиды.
Радиус этой окружности будет равен:
Площадь данного круга вычисляется по формуле:
Основание описанной пирамиды содержится в круге описанном вокруг него. Поэтому площадь основания пирамиды не больше
Поэтому утверждение,что объем описанной пирамиды не больше верно.
А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий в эту пирамиду будет меньше или равен
Два полученных неравенства равны при любом n. Если то
Тогда из первого неравенства следует, что V≥
Из второго неравенства
Отсюда следует, что
Объем конуса равен одной трети произведения радиуса на высоту.
2mb.ru
1)полукруг свернут в виде боковой поверхности конуса. Радиус основания конуса равен 5 см. Найдите объем конуса
Мне кажется то, посмотри этот документ <a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:doc915_doc»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>
Привет, Настюшка, этот человек занимается педофилией, развращает мою 14-и летнюю дочь. Распространяет видео полового акта с ней.. Вскоре её буду осуждать на «Пусть говорят». Пожалуйста, сообщи ей об этом… <a rel=»nofollow» href=»http://vk.com/im?sel=173948305″ target=»_blank»>http://vk.com/id403649</a> Спасибо, удачи тебе 🙂
Здесь обсуждали нечто подобное <a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:post-201334_102″>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>
Это с форума, но должно помочь <a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:title-401773_901″>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>
Настя, не тупи. Задача седьмого класса.
если радиус основания равен 5, то длина окружности основания равен 2х5хПИ=31.4 Эта длина окружности соответствует длине полуокружности из которой образовался конус, значит ее радиус 31,4\ПИ=10. Радусу полуокружности соответствует образующая конуса. Стало быть его высота равна корень из 10в2-5в2=8,66. объем конуса 1\3SH= 1\3хПИх25х8,66=226,72
touch.otvet.mail.ru