Отображение множеств дискретная математика – . . .

Понятие отображения. Виды отображений | Царица Математика

Пусть $X$ и $Y$ — два произвольных множества.

Определение. Соответствие, при котором каждому из элементов множества $X$ сопоставялется единственный элемент из множества $Y$, называется отображением.

Обозначение отображения из множества $X$ в множество $Y$: $X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y$.

Множество $X$ называется областью определения отображения и обозначается $X=D(f)$.

$E(f)$ называется множеством значений отображения, и $E(f) = \{ y \in Y \; | \; \exists x \in X, y = f(x) \}$.

Множество $\Gamma(f)$ называется графиком отображения. $\Gamma(f)=\{(x,y) \in X \times Y, y=f(x), \forall x \in X, y \in Y \}$.

Пусть $f$ — некоторое отображение из множества $X$ в множество $Y$. Если $x$ при этом отображении сопоставляется $y$, то $y=f(x)$. При этом $y$ называется образом $x$, или значением отображения $f$ в точке $x$. А $x$, соответственно, прообразом элемента $y$.

Исходя из определения отображения, видно, что не требуется, чтобы все элементы в множестве $Y$ являлись образами какого-либо $x$ и при том единственного.

Пример.

Даны два множества $X=\{ с, е, н, т, я, б, р, ь \}$ и $Y=\{ 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 \}$

Отображение из множества $X$ в множество $Y$ имеет следующий вид:

$\begin{matrix} \{ с, & е, & н, & т, & я, & б, & р, & ь \}  \\ \;\; \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow \;\; \\ \{ 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 9, & 10, & 11 \} \end{matrix}$

Определение. Совокупность всех элементов из множества $X$, образом которых является $y$ из $Y$, назвается полным прообразом $y$ из $X$. Обозначается: $f^{-1}(y)$.

Определение. Пусть $A \subset X$. Совокупность всех элементов $f(a)$, $a \in A$, называется полным образом множества $A$ при отображении $f$.

Определение. Пусть $B \subset Y$. Множество всех элементов из $X$, образы которых принадлежат множеству $B$, называется полным прообразом множества $B$.

Пример.

$X=Y=R$, $y=x^2$.

$A=[-1; 1] \subset X$

Полный образ $f(A)=[0; 1]$

$B=[0; 1] \subset Y$

Полный прообраз $f^{-1}(B)=[-1; 1]$

Определение. Отображение $f$ называется инъективным отображением, если $\forall \; y \in Y$ $y=f(x)$ является образом единственного $x$.

Определение. Отображение $f$ называется сюръективным отображением, если все элементы в множестве $Y$ являются образами какого-либо $x$. (Это отображение множества $X$ на множество $Y$).

Определение. Отображение $f$ называется биективным, если оно инъективно и сюръективно, в противном случае такое отображение назвается взаимно однозначным соответствием.

Определение. Множества $X$ и $Y$ называются эквивалентными (равномощными), если они находятся во взаимно однозначном соответствии. Обозначается: $X Y$ (множество $X$ эквивалентно множеству $Y$ или множество $X$ равномощно множеству $Y$).

1.  Граф соответствия. Отображение. Инъективное, не сюръективное.

2. Не отображение.

3. Не отображение.

4. Отображение. Не инъективное, сюръективное.

5. Отображение. Инъективное, сюръективное $\Rightarrow$ биективное.

 

mathematike.ru

Теория множеств — Дискретная математика1

Теория множеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов из-за поверхностности абстракции множества, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств, обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримости множеств тщательно разработана дескриптивная теория множеств.

Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики. В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стала широко использоваться в преподавании математики, в том числе, в школах.

Начиная со второй половины XX века благодаря представление о значении теории и её влияние на развитие математики заметно снизились за счёт осознания возможности получения достаточно общих результатов во многих областях математики и без явного использования теории множеств, в частности, с использованием теоретико-категорного инструментария (средствами которого в теории топосов обобщены практически все варианты теории множеств). Тем не менее, нотация теории множеств стала общепринятой во всех разделах математики вне зависимости от использования теоретико-множественного подхода. На идейной основе теории множеств в конце XX века создано несколько обобщений, в том числе теория нечётких множеств, теория комплектов (используемые в основном в приложениях), теория полумножеств[en] (развиваемая в основном чешскими математиками).

Ключевые понятия теории: множество (совокупность объектов произвольной природы), отношение принадлежности элементов множествам, подмножество, операции над множествами, отображение множеств, взаимно-однозначное соответствие, мощность (конечная, счётная, нес

www.sites.google.com

Отображение множеств. Задание отображений. » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.1. Отображение множеств.

Определение. Пусть А и В – произвольные множества. Отображением множества А в множество В называют правило (соответствие), которое каждому элементу множества А ставит в соответствие единственный для этого элемента элемент множества В.

Обозначение. . Здесь, – имя (наименование) отображения. Если – элемент множества А, то элемент множества В, который ставится ему в соответствие при этом отображении обозначают и пишут . Элемент называют значением отображения «в точке а» или образом элемента а. При этом сам элемент а называют прообразом элемента .

Замечание. Слова отображение и функция являются синонимами, при этом множество А называют областью определения функции (отображения) и обозначают , а множество значений обозначают и называют образом отображения . является подмножеством множества В: .

п.2. Задание отображений.

Для того, чтобы определить (задать) отображение множества А в множество В нужно задать сами множества А и В, а затем задать правило с помощью которого мы сможем для каждого находить соответствующий ему элемент . Это правило можно задать простой таблицей, если множество А конечное и имеет небольшое число элементов. Это правило можно задать с помощью формулы (математического выражения). Это правило можно задать с помощью некоторого алгоритма (процедуры). Все зависит от конкретной ситуации.

п.3. Декартово (прямое) произведение множеств.

Определение. Пусть – элементы каких-то множеств (не обязательно одного множества). Две пары элементов и будем называть равными и писать , если и .

Такие пары называют упорядоченными парами, т.е. пару элементов называют упорядоченной парой, если при .

Определение. Декартовым (прямым) произведением множества А на множество В называют множество всех упорядоченных пар , где первый элемент пары является элементом множества А, а второй – множества В и обозначается .

Иначе, . Здесь знак означает равенство по определению.

Пример. Пусть – множество первых восьми букв латинского алфавита. – множество первых восьми натуральных чисел. Тогда декартово произведение множества А на множество В есть множество . Для удобства записи все элементы этого множества можно записывать проще: и мы получаем обозначение всех 64 клеток шахматной доски.

п.4. Декартов квадрат множества.

Определение. Декартовым квадратом множества А называют декартово произведение множества А на множество А (т.е. само на себя).

Обозначение: .

Пример. Пусть – множество действительных чисел. Тогда – множество всех упорядоченных пар действительных чисел. Это множество можно интерпретировать как множество точек на координатной плоскости с соответствующими координатами.

Возможно найдутся ответы здесь:

fxdx.ru

1.2.1. Отображения множеств. Основные понятия

Пусть X и Y – непустые множества. Если каждому элементу ХÎХ ставится в соответствие единственный элемент YÎY, то говорят, что задано Отображение Множества Х во множество Y.

Часто не делают различий между понятием “отображение” и “функция”, однако функциями чаще всего называют отображения числовых множеств.

Если ¦ — отображение множества Х в Y, то пишут: ¦:Х®Y или ХY.

Элемент YÎY, который ставится в соответствие элементу ХÎХ при отображении ¦:

Х®Y, называется Образом элемента Х при отображении ¦. При этом пишут: Y = F(x) или ¦:Х aY. Элемент Х в свою очередь называется Прообразом Y при отображении ¦.

Определение 1. Два отображения ¦:Х®Y и G:X®Y называются равными, если для любого ХÎХ.

Определение 2. Пусть задано отображение ¦:Х®Y и . Образом множества А при отображении ¦ называется совокупность образов всех элементов множества А. Образ A обозначается: ¦(А).

Итак, . Ясно, что .

Определение 3. Пусть ¦:Х®Y и . Отображение, которое каждому элементу ХÎА, рассматриваемому как элемент из

Х, ставит в соответствие , называется Сужением Отображения ¦ на А и обозначается .

Таким образом, , причём «ХÎА. Обратно, при выполнении этих условий ¦:Х®Y является Продолжением отображения.

В случае, если Х и Y – конечные множества, то отображение ¦:Х®Y может быть задано таблицей соответствий, состоящей из двух строк.

Например, для , запись означает, что , , .

Упражнение: Выпишите все различные отображения ¦:Х®Y в указанном примере и определите их количество. Найдите количество различных отображений ¦:Х®Y, если | X | = n, а |Y | = m.

Важным примером таких отображений служат подстановки из n элементов:

, где .

Другие Примеры отображений:

— поворот плоскости вокруг начала координат на угол a;

— проецирование 3-мерного пространства на координатную плоскость XОY;

— ¦:R®R, ¦(X) = sin X.

Определение 4. Отображение ¦:Х®Y называется Инъективным (Взаимно однозначным), если различным элементам множества Х соответствуют различные образы из Y, т. е., если .

Легко видеть, что это условие равносильно следующему:

.

Например, подстановки, повороты плоскости – взаимно однозначные отображения; проецирование – не взаимно однозначное. Отображение , где — не взаимно однозначное, но , где — взаимно однозначное.

Определение 5. Отображение ¦:Х®Y называется Сюръективным, если каждый элемент YÎY является образом для некоторого элемента

ХÎX, т. е. если каждый элемент YÎY имеет хотя бы один прообраз.

Понятно, что ¦:Х®Y – сюръективно тогда и только тогда, когда .

Например, подстановки, поворот на угол a, проецирование – сюръективны. Отображение , где — не сюръективно, но — сюръективно.

Определение 6. Отображение ¦:Х®Y называется Биективным, если оно одновременно и инъективно и сюръективно.

Примеры. Подстановки; поворот на угол a; ; — биективные отображения.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Лекции по дискретной математике

1.1 Множества и отношения

Множества и элементы множеств

Определение. Множество – любая определенная совокупность объектов произвольной природы. Обозначают множества прописными латинскими буквами: A, B, ¼ , а его элементы обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, ¼.

Например:

( является элементом множества (» принадлежит A«)),

( не является элементом множества A).

Определение. Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента, обозначается оно символом: Æ.

Определение. – универсальное множество (универсум) – множество, из которого берутся элементы в конкретном рассуждении. – множество, рассматриваемое как наиболее общее в данной ситуации.

Множество элементов , удовлетворяющих свойству

P(x) обозначается .

Примеры.

– множество натуральных чисел;

– множество вещественных чисел.

– множество комплексных чисел.

1.2 Сравнение множеств

Определение. (А содержится в В или В включает А), если . А называется подмножеством В. Если и , то А называется строгим (собственным) подмножеством В. Обозначается это .

Определение. если они являются подмножествами друг друга, то есть или

Определение. Мощность конечного множества – число его элементов. Мощность бесконечного множества равна ¥.

1.3 Операции над множествами

Определение. Объединением множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из них.

Определение. Пересечением множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих и первому и второму одновременно.

Определение. Разностью множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Определение. Симметрической разностью множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов множества А, не являющихся элементами множества В и элементов множества В, не являющихся элементами множества А.

Определение. Дополнением множества А () называется множество, состоящее из элементов множества U, не принадлежащих множеству А.

Пример:

зависит от того, какое U. Если , то , если , то .

1.4 Диаграммы Эйлера-Венна

Диаграммы Эйлера-Венна – это геометрическое представление множеств. Множество U изображается прямоугольником, рассматриваемые множества – фигурами (окружностями). Для выделения результата применяется штриховка.

1.5 Табличный способ задания множеств

Пусть задано множество U. Рассмотрим произвольное его подмножество и элемент .

Определение. Индикаторной (характеристической) функцией для множества A называется функция
.

Таким образом: .

Для имеют место свойства:

;

Индикаторы удобно задавать с помощью таблиц:

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1.6 Свойства операций над множествами

Объединение и пересечение:

1. = – коммутативность

2. = – коммутативность

3. – ассоциативность

4. – ассоциативность

5. – дистрибутивность

6. – дистрибутивность

7. – идемпотентность

8. – идемпотентность

9. – свойство дополнения

10. – свойство дополнения

11. – закон де Моргана

12. – закон де Моргана

13. – свойство нуля

14. – свойство нуля

Дополнение:

15. – инволютивность

16.

17.

Разность, симметрическая разность:

18.

19.

20.

21.

22.

23.


1.7 Отношения

Определение. Пусть A и B произвольные множества. Декартовым произведением множеств A и B называется множество всевозможных упорядоченных пар, в которых первый элемент принадлежит множеству A, а второй – множеству B.

Пример. – точки плоскости.

Свойства декартовых произведений

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Понятие отношения.

Отношение это один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-либо признака R у элемента множества A. Например, «быть четным» на множестве натуральных чисел. Все элементы множества A, отличающиеся признаком R , образуют подмножество множества A, называемое отношением R.

Бинарные отношения

Бинарные (двуместные) отношения используются для определения взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов множеств A и B. Все пары элементов множеств A и B, находящиеся в отношении R , образуют подмножество множества .

Определение. Бинарное отношениеэто тройка множеств , где – график отношения. Пишут или aRb.

Область определения : ;

Область значений: ;

Обратное отношение: ;

Композиция отношений и :

.

Частичным порядком (пишут ), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

1.8 Специальные бинарные отношения

Бинарное отношение на A называется

  1. Рефлексивным, если ;
  2. Симметричным, если ;
  3. Транзитивным, если ;
  4. Антисимметричным, если ;
  5. Отношением эквивалентности на (пишут ), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно;

Определение. Бинарное отношение называется функцией из в , если и .

Функция называется

  1. Сюръективной
  2. , если ;
  3. инъективной
  4. , если ;
  5. биективной
  6. , если она сюръективна и инъективна.

s1921687209.narod.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *