Понятие отображения. Виды отображений | Царица Математика
Пусть $X$ и $Y$ — два произвольных множества.
Определение. Соответствие, при котором каждому из элементов множества $X$ сопоставялется единственный элемент из множества $Y$, называется отображением.
Обозначение отображения из множества $X$ в множество $Y$: $X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y$.
Множество $X$ называется областью определения отображения и обозначается $X=D(f)$.
$E(f)$ называется множеством значений отображения, и $E(f) = \{ y \in Y \; | \; \exists x \in X, y = f(x) \}$.
Множество $\Gamma(f)$ называется графиком отображения. $\Gamma(f)=\{(x,y) \in X \times Y, y=f(x), \forall x \in X, y \in Y \}$.
Пусть $f$ — некоторое отображение из множества $X$ в множество $Y$. Если $x$ при этом отображении сопоставляется $y$, то $y=f(x)$. При этом $y$ называется образом $x$, или значением отображения $f$ в точке $x$. А $x$, соответственно, прообразом элемента $y$.
Исходя из определения отображения, видно, что не требуется, чтобы все элементы в множестве $Y$ являлись образами какого-либо $x$ и при том единственного.
Пример.
Даны два множества $X=\{ с, е, н, т, я, б, р, ь \}$ и $Y=\{ 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 \}$
Отображение из множества $X$ в множество $Y$ имеет следующий вид:
$\begin{matrix} \{ с, & е, & н, & т, & я, & б, & р, & ь \} \\ \;\; \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow \;\; \\ \{ 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 9, & 10, & 11 \} \end{matrix}$
Определение. Совокупность всех элементов из множества $X$, образом которых является $y$ из $Y$, назвается полным прообразом $y$ из $X$. Обозначается: $f^{-1}(y)$.
Определение. Пусть $A \subset X$. Совокупность всех элементов $f(a)$, $a \in A$, называется полным образом множества $A$ при отображении $f$.
Определение. Пусть $B \subset Y$. Множество всех элементов из $X$, образы которых принадлежат множеству $B$, называется полным прообразом множества $B$.
Пример.
$X=Y=R$, $y=x^2$.
$A=[-1; 1] \subset X$
Полный образ $f(A)=[0; 1]$
$B=[0; 1] \subset Y$
Полный прообраз $f^{-1}(B)=[-1; 1]$
Определение. Отображение $f$ называется инъективным отображением, если $\forall \; y \in Y$ $y=f(x)$ является образом единственного $x$.
Определение. Отображение $f$ называется сюръективным отображением, если все элементы в множестве $Y$ являются образами какого-либо $x$. (Это отображение множества $X$ на множество $Y$).
Определение. Отображение $f$ называется биективным, если оно инъективно и сюръективно, в противном случае такое отображение назвается взаимно однозначным соответствием.
Определение. Множества $X$ и $Y$ называются эквивалентными (равномощными), если они находятся во взаимно однозначном соответствии. Обозначается: $X Y$ (множество $X$ эквивалентно множеству $Y$ или множество $X$ равномощно множеству $Y$).
1. Граф соответствия. Отображение. Инъективное, не сюръективное.
2. Не отображение.
3. Не отображение.
4. Отображение. Не инъективное, сюръективное.
5. Отображение. Инъективное, сюръективное $\Rightarrow$ биективное.
mathematike.ru
Теория множеств — Дискретная математика1
Теория множеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов из-за поверхностности абстракции множества, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств, обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримости множеств тщательно разработана дескриптивная теория множеств.Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики. В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стала широко использоваться в преподавании математики, в том числе, в школах.
Начиная со второй половины XX века благодаря представление о значении теории и её влияние на развитие математики заметно снизились за счёт осознания возможности получения достаточно общих результатов во многих областях математики и без явного использования теории множеств, в частности, с использованием теоретико-категорного инструментария (средствами которого в теории топосов обобщены практически все варианты теории множеств). Тем не менее, нотация теории множеств стала общепринятой во всех разделах математики вне зависимости от использования теоретико-множественного подхода. На идейной основе теории множеств в конце XX века создано несколько обобщений, в том числе теория нечётких множеств, теория комплектов (используемые в основном в приложениях), теория полумножеств[en] (развиваемая в основном чешскими математиками).
Ключевые понятия теории: множество (совокупность объектов произвольной природы), отношение принадлежности элементов множествам, подмножество, операции над множествами, отображение множеств, взаимно-однозначное соответствие, мощность (конечная, счётная, нес
www.sites.google.com
Отображение множеств. Задание отображений. » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru
п.1. Отображение множеств.
Определение. Пусть А и В – произвольные множества. Отображением множества А в множество В называют правило (соответствие), которое каждому элементу множества А ставит в соответствие единственный для этого элемента элемент множества В.
Обозначение. . Здесь, – имя (наименование) отображения. Если – элемент множества А, то элемент множества В, который ставится ему в соответствие при этом отображении обозначают и пишут . Элемент называют значением отображения «в точке а» или образом элемента а. При этом сам элемент а называют прообразом элемента .
Замечание. Слова отображение и функция являются синонимами, при этом множество А называют областью определения функции (отображения) и обозначают , а множество значений обозначают и называют образом отображения . является подмножеством множества В: .
п.2. Задание отображений.
Для того, чтобы определить (задать) отображение множества А в множество В нужно задать сами множества А и В, а затем задать правило с помощью которого мы сможем для каждого находить соответствующий ему элемент . Это правило можно задать простой таблицей, если множество А конечное и имеет небольшое число элементов. Это правило можно задать с помощью формулы (математического выражения). Это правило можно задать с помощью некоторого алгоритма (процедуры). Все зависит от конкретной ситуации.
п.3. Декартово (прямое) произведение множеств.
Определение. Пусть – элементы каких-то множеств (не обязательно одного множества). Две пары элементов и будем называть равными и писать , если и .
Такие пары называют упорядоченными парами, т.е. пару элементов называют упорядоченной парой, если при .
Определение. Декартовым (прямым) произведением множества А на множество В называют множество всех упорядоченных пар , где первый элемент пары является элементом множества А, а второй – множества В и обозначается .
Иначе, . Здесь знак означает равенство по определению.
Пример. Пусть – множество первых восьми букв латинского алфавита. – множество первых восьми натуральных чисел. Тогда декартово произведение множества А на множество В есть множество . Для удобства записи все элементы этого множества можно записывать проще: и мы получаем обозначение всех 64 клеток шахматной доски.
п.4. Декартов квадрат множества.
Определение. Декартовым квадратом множества А называют декартово произведение множества А на множество А (т.е. само на себя).
Обозначение: .
Пример. Пусть – множество действительных чисел. Тогда – множество всех упорядоченных пар действительных чисел. Это множество можно интерпретировать как множество точек на координатной плоскости с соответствующими координатами.
Возможно найдутся ответы здесь:
fxdx.ru
1.2.1. Отображения множеств. Основные понятия
Пусть X и Y – непустые множества. Если каждому элементу ХÎХ ставится в соответствие единственный элемент YÎY, то говорят, что задано Отображение Множества Х во множество Y.
Часто не делают различий между понятием “отображение” и “функция”, однако функциями чаще всего называют отображения числовых множеств.
Если ¦ — отображение множества Х в Y, то пишут: ¦:Х®Y или ХY.
Элемент YÎY, который ставится в соответствие элементу ХÎХ при отображении ¦:Х®Y, называется
Определение 1. Два отображения ¦:Х®Y и G:X®Y называются равными, если для любого ХÎХ.
Определение 2. Пусть задано отображение ¦:Х®Y и . Образом множества А при отображении ¦ называется совокупность образов всех элементов множества А. Образ A обозначается: ¦(А).
Итак, . Ясно, что .
Определение 3. Пусть ¦:Х®Y и . Отображение, которое каждому элементу ХÎА, рассматриваемому как элемент из Х, ставит в соответствие , называется Сужением Отображения ¦ на А и обозначается .
Таким образом, , причём « ХÎА. Обратно, при выполнении этих условий ¦:Х®Y является Продолжением отображения.
В случае, если Х и Y – конечные множества, то отображение ¦:Х®Y может быть задано таблицей соответствий, состоящей из двух строк.
Например, для , запись означает, что , , .
Упражнение: Выпишите все различные отображения ¦:Х®Y в указанном примере и определите их количество. Найдите количество различных отображений ¦:Х®Y, если | X | = n, а |Y | = m.
Важным примером таких отображений служат подстановки из n элементов:
, где .
Другие Примеры отображений:
— поворот плоскости вокруг начала координат на угол a;
— проецирование 3-мерного пространства на координатную плоскость XОY;
— ¦:R®R, ¦(X) = sin X.
Определение
Легко видеть, что это условие равносильно следующему:
.
Например, подстановки, повороты плоскости – взаимно однозначные отображения; проецирование – не взаимно однозначное. Отображение , где — не взаимно однозначное, но , где — взаимно однозначное.
Определение 5. Отображение ¦:Х®Y называется Сюръективным, если каждый элемент YÎY является образом для некоторого элемента ХÎX, т. е. если каждый элемент YÎY имеет хотя бы один прообраз.
Понятно, что ¦:Х®Y – сюръективно тогда и только тогда, когда .
Например, подстановки, поворот на угол a, проецирование – сюръективны. Отображение , где — не сюръективно, но — сюръективно.
Определение 6. Отображение ¦:Х®Y называется Биективным, если оно одновременно и инъективно и сюръективно.
Примеры. Подстановки; поворот на угол a; ; — биективные отображения.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
matica.org.ua
Лекции по дискретной математике
1.1 Множества и отношения
Множества и элементы множеств
Определение. Множество – любая определенная совокупность объектов произвольной природы. Обозначают множества прописными латинскими буквами: A, B, ¼ , а его элементы обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, ¼.
Например:
( является элементом множества (» принадлежит A«)),
( не является элементом множества A).
Определение. Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента, обозначается оно символом: Æ.
Определение. – универсальное множество (универсум) – множество, из которого берутся элементы в конкретном рассуждении. – множество, рассматриваемое как наиболее общее в данной ситуации.
Множество элементов , удовлетворяющих свойству P(x) обозначается .
Примеры.
– множество натуральных чисел;
– множество вещественных чисел.
– множество комплексных чисел.
1.2 Сравнение множеств
Определение. (А содержится в В или В включает А), если . А называется подмножеством В. Если и , то А называется строгим (собственным) подмножеством В. Обозначается это .
Определение. если они являются подмножествами друг друга, то есть или
Определение. Мощность конечного множества – число его элементов. Мощность бесконечного множества равна ¥.
1.3 Операции над множествами
Определение. Объединением множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из них.
Определение. Пересечением множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих и первому и второму одновременно.
Определение. Разностью множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.
Определение. Симметрической разностью множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов множества А, не являющихся элементами множества
Определение. Дополнением множества А () называется множество, состоящее из элементов множества U, не принадлежащих множеству А.
Пример:
зависит от того, какое U. Если , то , если , то .
1.4 Диаграммы Эйлера-Венна
Диаграммы Эйлера-Венна – это геометрическое представление множеств. Множество U изображается прямоугольником, рассматриваемые множества – фигурами (окружностями). Для выделения результата применяется штриховка.
1.5 Табличный способ задания множеств
Пусть задано множество U. Рассмотрим произвольное его подмножество и элемент .
Определение. Индикаторной (характеристической) функцией для множества A называется функция
.
Таким образом: .
Для имеют место свойства:
;
Индикаторы удобно задавать с помощью таблиц:
0 0 1 1 | 0 1 0 1 | 0 1 1 1 | 0 0 0 1 | 0 0 1 0 | 1 1 0 0 | 0 1 1 0 |
1.6 Свойства операций над множествами
Объединение и пересечение:
1. = – коммутативность
2. = – коммутативность
3. – ассоциативность
4. – ассоциативность
5. – дистрибутивность
6. – дистрибутивность
7. – идемпотентность
8. – идемпотентность
9. – свойство дополнения
10. – свойство дополнения
11. – закон де Моргана
12. – закон де Моргана
13. – свойство нуля
14. – свойство нуля
Дополнение:
15. – инволютивность
16.
17.
Разность, симметрическая разность:
18.
19.
20.
21.
22.
23.
1.7 Отношения
Определение. Пусть A и B произвольные множества. Декартовым произведением множеств A и B называется множество всевозможных упорядоченных пар, в которых первый элемент принадлежит множеству A, а второй – множеству B.
Пример. – точки плоскости.
Свойства декартовых произведений
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Понятие отношения.
Отношение это один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.
Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-либо признака R у элемента множества A. Например, «быть четным» на множестве натуральных чисел. Все элементы множества A, отличающиеся признаком R , образуют подмножество множества A, называемое отношением R.
Бинарные отношения
Бинарные (двуместные) отношения используются для определения взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов множеств A и B. Все пары элементов множеств A и B, находящиеся в отношении R , образуют подмножество множества .
Определение. Бинарное отношение – это тройка множеств , где – график отношения. Пишут или aRb.
Область определения : ;
Область значений: ;
Обратное отношение: ;
Композиция отношений и :
.
Частичным порядком (пишут ), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
1.8 Специальные бинарные отношения
Бинарное отношение на A называется
- Рефлексивным, если ;
- Симметричным, если ;
- Транзитивным, если ;
- Антисимметричным, если ;
- Отношением эквивалентности на (пишут ), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно;
Определение. Бинарное отношение называется функцией из в , если и .
Функция называется
- Сюръективной , если ;
- инъективной , если ;
- биективной , если она сюръективна и инъективна.
s1921687209.narod.ru