Что такое рациональные выражения – Рациональные выражения это

Рациональные выражения

На этом уроке мы вспомним, какие выражения называют целыми и дробными. Познакомимся с рациональными выражениями. Узнаем, какие значения называют допустимыми. А также научимся находить допустимые значения выражения.

Вы уже знакомы с целыми и дробными выражениями. Давайте вспомним их определения.

Целые выраженияэто выражения, составленные из чисел и переменных, содержащие действия сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

Например

В отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.

Например

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Определение

Рациональными выражениями называют выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.

Например

Напомним, что целые выражения имеют смысл при любых значениях переменных. Чтобы найти значение целого выражения, нужно подставить указанное значение переменной и выполнить все действия.

Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла.

Например

Чтобы найти значение рационального выражения, надо:

1)    подставить числовое значение переменной в данное выражение;

2)    выполнить все действия.

Определение

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Множество всех допустимых значений переменных называется областью допустимых значений (коротко ОДЗ) или областью определения выражения.

Как вы уже знаете, выражение вида  называется дробью.

Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.

Например

Задание

Найдите значение дроби.

        

Задание

Найдите допустимые значения переменной в выражениях:

        

Итоги:      

Целые выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных, содержащие действия сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

В отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.

Рациональными выражениями называют выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.

Чтобы найти значение рационального выражения, надо:

1)    Подставить числовое значение переменной в данное выражение;

2)    Выполнить все действия.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

 Множество всех допустимых значений переменных называется областью допустимых значений или областью определения выражения.

videouroki.net

РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — это… Что такое РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ?


РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., a2 + b, x/(y — z2).

Большой Энциклопедический словарь. 2000.

  • РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
  • РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО

Смотреть что такое «РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ» в других словарях:

  • Рациональное выражение — Рациональное выражение  алгебраическое выражение, не содержащее радикалов. Другими словам, это одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединённых между собой знаками арифметических действий: сложения, вычитания, умножения… …   Википедия

  • рациональное выражение — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Например, a2 + b, х/(у z2). * * * РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, алгебраическое выражение, не содержащее… …   Энциклопедический словарь

  • Рациональное выражение —         алгебраическое выражение, не содержащее радикалов, например a2 + b, х/(у z3). Если входящие в Р. в. буквы считать переменными, то Р. в. задаёт рациональную функцию (См. Рациональная функция) от этих переменных …   Большая советская энциклопедия

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — алгебрарическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., а2 + b, х/(y z2) …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ВЫРАЖЕНИЕ — первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… …   Большая политехническая энциклопедия

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ — (Rational; Rational) термин, используемый для описания мыслей, чувств и действий, согласуемых с разумом; установка, базирующаяся на объективных ценностях, полученных в результате практического опыта.«Объективные ценности устанавливаются в опыте… …   Словарь по аналитической психологии

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ ПОЗНАНИЕ — субъективный образ объективного мира,полученный с помощью мышления. Мышление – активный процесс обобщенного и опосредованного  отражения действительности, обеспечивающий открытие на основе чувственных данных ее закономерных связей  и их выражение …   Философия науки и техники: тематический словарь

  • УРАВНЕНИЕ, РАЦИОНАЛЬНОЕ — Логическое или математическое выражение, основанное на (рациональных) предположениях о процессах. Такие уравнения отличаются от эмпирических уравнений тем, что их параметры получаются в результате дедуктивных выводов из теоретических… …   Толковый словарь по психологии

  • РАЦИОНАЛЬНЫЙ — РАЦИОНАЛЬНЫЙ, рациональная, рациональное; рационален, рациональна, рационально. 1. прил. к рационализм (книжн.). Рациональная философия. 2. Вполне разумный, обоснованный, целесообразный. Он внес рациональное предложение. Рациональное… …   Толковый словарь Ушакова

  • РЕЗОЛЬВЕНТА — 1) Р. а л г е б р а и ч е с к о г о у р а в н е н и я f(x)=0степени п алгебраическое уравнение g(y)=0с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f(x), такое, что знание корней этого уравнения позволяет найти корни данного уравнения… …   Математическая энциклопедия


dic.academic.ru

рациональное выражение — это… Что такое рациональное выражение?


рациональное выражение
рациона́льное выраже́ние

алгебраическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Например, a2 + b, х/(у-z2).

* * *

РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ

РАЦИОНА́ЛЬНОЕ ВЫРАЖЕ́НИЕ, алгебраическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Напр.,
a2 + b,x/(yz2).

Энциклопедический словарь. 2009.

  • рациональная функция
  • рациональное число

Смотреть что такое «рациональное выражение» в других словарях:

  • Рациональное выражение — Рациональное выражение  алгебраическое выражение, не содержащее радикалов. Другими словам, это одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединённых между собой знаками арифметических действий: сложения, вычитания, умножения… …   Википедия

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., a2 + b, x/(y z2) …   Большой Энциклопедический словарь

  • Рациональное выражение —         алгебраическое выражение, не содержащее радикалов, например a2 + b, х/(у z3). Если входящие в Р. в. буквы считать переменными, то Р. в. задаёт рациональную функцию (См. Рациональная функция) от этих переменных …   Большая советская энциклопедия

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — алгебрарическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., а2 + b, х/(y z2) …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ВЫРАЖЕНИЕ — первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… …   Большая политехническая энциклопедия

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ — (Rational; Rational) термин, используемый для описания мыслей, чувств и действий, согласуемых с разумом; установка, базирующаяся на объективных ценностях, полученных в результате практического опыта.«Объективные ценности устанавливаются в опыте… …   Словарь по аналитической психологии

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ ПОЗНАНИЕ — субъективный образ объективного мира,полученный с помощью мышления. Мышление – активный процесс обобщенного и опосредованного  отражения действительности, обеспечивающий открытие на основе чувственных данных ее закономерных связей  и их выражение …   Философия науки и техники: тематический словарь

  • УРАВНЕНИЕ, РАЦИОНАЛЬНОЕ — Логическое или математическое выражение, основанное на (рациональных) предположениях о процессах. Такие уравнения отличаются от эмпирических уравнений тем, что их параметры получаются в результате дедуктивных выводов из теоретических… …   Толковый словарь по психологии

  • РАЦИОНАЛЬНЫЙ — РАЦИОНАЛЬНЫЙ, рациональная, рациональное; рационален, рациональна, рационально. 1. прил. к рационализм (книжн.). Рациональная философия. 2. Вполне разумный, обоснованный, целесообразный. Он внес рациональное предложение. Рациональное… …   Толковый словарь Ушакова

  • РЕЗОЛЬВЕНТА — 1) Р. а л г е б р а и ч е с к о г о у р а в н е н и я f(x)=0степени п алгебраическое уравнение g(y)=0с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f(x), такое, что знание корней этого уравнения позволяет найти корни данного уравнения… …   Математическая энциклопедия


dic.academic.ru

РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — это… Что такое РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ?


РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ

алгебрарическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., а2 + b, х/(y-z2>).

Естествознание. Энциклопедический словарь.

  • РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
  • РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО

Смотреть что такое «РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ» в других словарях:

  • Рациональное выражение — Рациональное выражение  алгебраическое выражение, не содержащее радикалов. Другими словам, это одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединённых между собой знаками арифметических действий: сложения, вычитания, умножения… …   Википедия

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., a2 + b, x/(y z2) …   Большой Энциклопедический словарь

  • рациональное выражение — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Например, a2 + b, х/(у z2). * * * РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, алгебраическое выражение, не содержащее… …   Энциклопедический словарь

  • Рациональное выражение —         алгебраическое выражение, не содержащее радикалов, например a2 + b, х/(у z3). Если входящие в Р. в. буквы считать переменными, то Р. в. задаёт рациональную функцию (См. Рациональная функция) от этих переменных …   Большая советская энциклопедия

  • ВЫРАЖЕНИЕ — первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… …   Большая политехническая энциклопедия

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ — (Rational; Rational) термин, используемый для описания мыслей, чувств и действий, согласуемых с разумом; установка, базирующаяся на объективных ценностях, полученных в результате практического опыта.«Объективные ценности устанавливаются в опыте… …   Словарь по аналитической психологии

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ ПОЗНАНИЕ — субъективный образ объективного мира,полученный с помощью мышления. Мышление – активный процесс обобщенного и опосредованного  отражения действительности, обеспечивающий открытие на основе чувственных данных ее закономерных связей  и их выражение …   Философия науки и техники: тематический словарь

  • УРАВНЕНИЕ, РАЦИОНАЛЬНОЕ — Логическое или математическое выражение, основанное на (рациональных) предположениях о процессах. Такие уравнения отличаются от эмпирических уравнений тем, что их параметры получаются в результате дедуктивных выводов из теоретических… …   Толковый словарь по психологии

  • РАЦИОНАЛЬНЫЙ — РАЦИОНАЛЬНЫЙ, рациональная, рациональное; рационален, рациональна, рационально. 1. прил. к рационализм (книжн.). Рациональная философия. 2. Вполне разумный, обоснованный, целесообразный. Он внес рациональное предложение. Рациональное… …   Толковый словарь Ушакова

  • РЕЗОЛЬВЕНТА — 1) Р. а л г е б р а и ч е с к о г о у р а в н е н и я f(x)=0степени п алгебраическое уравнение g(y)=0с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f(x), такое, что знание корней этого уравнения позволяет найти корни данного уравнения… …   Математическая энциклопедия


dic.academic.ru

Рациональное выражение — это… Что такое Рациональное выражение?


Рациональное выражение
        алгебраическое выражение, не содержащее радикалов, например a2 + b, х/(у — z3). Если входящие в Р. в. буквы считать переменными, то Р. в. задаёт рациональную функцию (См. Рациональная функция) от этих переменных.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

  • Рациональная функция
  • Рациональное число

Смотреть что такое «Рациональное выражение» в других словарях:

  • Рациональное выражение — Рациональное выражение  алгебраическое выражение, не содержащее радикалов. Другими словам, это одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединённых между собой знаками арифметических действий: сложения, вычитания, умножения… …   Википедия

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., a2 + b, x/(y z2) …   Большой Энциклопедический словарь

  • рациональное выражение — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Например, a2 + b, х/(у z2). * * * РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, алгебраическое выражение, не содержащее… …   Энциклопедический словарь

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — алгебрарическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., а2 + b, х/(y z2) …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ВЫРАЖЕНИЕ — первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… …   Большая политехническая энциклопедия

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ — (Rational; Rational) термин, используемый для описания мыслей, чувств и действий, согласуемых с разумом; установка, базирующаяся на объективных ценностях, полученных в результате практического опыта.«Объективные ценности устанавливаются в опыте… …   Словарь по аналитической психологии

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ ПОЗНАНИЕ — субъективный образ объективного мира,полученный с помощью мышления. Мышление – активный процесс обобщенного и опосредованного  отражения действительности, обеспечивающий открытие на основе чувственных данных ее закономерных связей  и их выражение …   Философия науки и техники: тематический словарь

  • УРАВНЕНИЕ, РАЦИОНАЛЬНОЕ — Логическое или математическое выражение, основанное на (рациональных) предположениях о процессах. Такие уравнения отличаются от эмпирических уравнений тем, что их параметры получаются в результате дедуктивных выводов из теоретических… …   Толковый словарь по психологии

  • РАЦИОНАЛЬНЫЙ — РАЦИОНАЛЬНЫЙ, рациональная, рациональное; рационален, рациональна, рационально. 1. прил. к рационализм (книжн.). Рациональная философия. 2. Вполне разумный, обоснованный, целесообразный. Он внес рациональное предложение. Рациональное… …   Толковый словарь Ушакова

  • РЕЗОЛЬВЕНТА — 1) Р. а л г е б р а и ч е с к о г о у р а в н е н и я f(x)=0степени п алгебраическое уравнение g(y)=0с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f(x), такое, что знание корней этого уравнения позволяет найти корни данного уравнения… …   Математическая энциклопедия


dic.academic.ru

Рациональные выражения

Вопросы занятия:

·  вспомнить, какие выражения называют рациональными;

·  поговорить об основном свойстве дробей;

· вспомнить, как выполняют действия над рациональными дробями.

Материал урока

Прежде, чем мы начнём говорить о рациональных выражениях, стоит вспомнить такие понятия, как «целые выражения» и «дробные выражения».

Итак, целые выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

Например, целыми являются выражения:

Любое целое выражение можно представить многочленом.

В отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.

Т.е. дробные выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на выражения с переменными.

Например, дробными будут выражения:

Напомним, что значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Множество всех допустимых значений переменных называется областью допустимых значений (коротко ОДЗ) или областью определения выражения.

Область определения целого выражениялюбые значения переменных. Чтобы найти значение целого выражения, нужно подставить указанное значение переменной и выполнить все действия.

Например, целое выражение:  имеет смысл при любых действительных , ,  и .

Дробное же выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла.

Область определения дробного выражения – все значения переменных, при которых делители этого выражения не равны нулю.

Например, дробное выражение  не имеет смысла при . Так как в этом случае в знаменателе получится нуль. А мы помним, что на нуль делить нельзя. При всех же остальных значениях переменных это выражение имеет смысл.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Определение.

Рациональными выражениями называют выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.

Например,

Чтобы найти значение рационального выражения, надо:

1)    подставить числовое значение переменной в данное выражение;

2)    выполнить все действия.

Задание.

Найти значение дроби:

а) , при  ;           б) , при ;             в) , при .

Первое выражение: . Подставим указанное значение  в выражение. Выполним действия. В результате получим,

Переходим ко второму дробному выражению . Нужно найти его значение при . Значит, подставим указанное значение вместо а. Выполним все действия по порядку. Получим,

И третье дробное выражение: . Найдём его значение при . Подставим указанное значение. Выполним действия. Получим,

Заметили, в знаменателе получился нуль? Разве мы можем делить на нуль? Правильно! Значит, выражение:  не имеет смысла при , так как на нуль делить нельзя.

Как вы уже знаете, выражение вида  называется дробью.

Определение.

Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.

Например, выражения:

являются рациональными дробями.

Область определения рациональной дроби – все значения переменных, при которых знаменатель не равен нулю.

Задание.

Указать область определения следующих рациональных дробей:

а) ;                                                б) .

Итак, первый пример: . Область определения данной дроби: все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель , т.е. все числа, кроме  и .

И второй пример: . Область определения данной дроби все действительные числа, так как знаменатель  ни при каких а.

Рассмотрим равенство: .

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменной, т.е. при всех , кроме  и .

Такое равенство называют тождеством.

Определение.

Тождество – это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых значениях переменных, называются тождественно равными.

Замену одного такого выражения другим называют тождественным преобразованием выражения.

Справедливо следующее тождество: , если , где  и  – не равные нулю многочлены.

Рассмотрим равенство: .

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменной , т.е. при всех  кроме  и . Так как .

Перейдём к основному свойству рациональной дроби.

Итак, основное свойство рациональной дроби сводится к тому, что:

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Основное свойство рациональной дроби позволяет сокращать дроби и приводить дробь к новому знаменателю.

Чтобы сократить рациональную дробь, нужно предварительно разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить их на общие множители.

Задание.

Привести дроби к новому знаменателю:

а)  к знаменателю ;              б)  к знаменателю .

Первая рациональная дробь: . Её нужно привести к знаменателю . Не трудно заметить, что  – это произведение . Значит, мы должны умножить дробь на . Напомним, что для того чтобы значение дроби не изменилось, нужно и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число. Тогда получаем дробь:

Множитель:  называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби .

Вторая дробь: . Её нужно привести к новому знаменателю . Для этого числитель и знаменатель дроби нужно умножить на выражение: . Выполним умножение. Получим дробь:

Задание.

Сократить дроби:

а) ;                                                              б) .

Рассмотрим первую рациональную дробь. Числитель состоит из произведения ,  и , знаменатель из произведения ,  и . Дробь можно сократить на общий множитель . В итоге получим дробь,

Вторая рациональная дробь: . В числителе вынесем общий множитель  за скобку. Сократим дробь на общий множитель . В результате получим,

Перейдём к действиям над рациональными дробями. Давайте вспомним, какие действия можно выполнять над рациональными дробями и по каким правилам.

Итак, правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

В буквенном виде это правило записывают так:

где ,  и  – многочлены, причём  – не равный нулю многочлен. Это правило справедливо при сложении любого числа дробей.

Например, найдём сумму дробей .

Видно, что у первой и второй рациональных дробей один и тот же знаменатель. Воспользуемся правилом сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Сложим их числители, а знаменатель оставим тем же. Получим,

Вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями выполняется аналогично сложению.

Вспомним правило вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

В буквенном виде это правило записывают так:

где ,  и  – многочлены, причём  – не равный нулю многочлен.

Рассмотрим пример. Найти разность дробей .

Дроби имеют одинаковые знаменатели. Значит, можем смело воспользоваться правилом вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Из числителя первой дроби вычтем числитель второй дроби, знаменатель оставим прежним. Сократим числитель и знаменатель дроби на выражение . В итоге получим,

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями выполняется аналогично сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, но предварительно нужно дроби привести к общему знаменателю.

где , ,  и  – многочлены, причём ,  – не равные нулю многочлены.

Вспомним алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю:

1) разложить на множители знаменатель каждой дроби;

2) найти дополнительный множитель каждой дроби. Он равен произведению тех множителей знаменателей остальных дробей, которые не содержатся в знаменателе этой дроби;

3) домножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Задание.

Представить в виде дроби:

.

Знаменатели дробей представлены в виде одночленов. Разложим знаменатель последней дроби на множители, применяя формулу разности квадратов. Затем приведём дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем трёх дробей является выражение . Значит, дополнительным множителем к первой дроби будет выражение , а дополнительным множителем ко второй дроби: . Тогда получим,

Теперь дроби имеют одинаковые знаменатели. А значит, можем воспользоваться правилом сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упростим числитель, получившейся дроби. Обратите внимание, в числителе можем вынести общий множитель 2 за скобки. Сократим числитель и знаменатель на выражение . В результате, получим дробь:

Умножение рациональных дробей выполняется аналогично умножению обыкновенных дробей.

Вспомним правило умножения рациональных дробей.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби.

В буквенном виде это правило записывают так:

где , ,  и  – многочлены, причём ,  – не равные нулю многочлены.

Это правило выполняется и когда произведение трёх и более рациональных дробей.

Прежде чем выполнять умножение рациональных дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители. Это облегчит сокращение той рациональной дроби, которая получится в результате умножения.

Рассмотрим пример. Выполнить умножение рациональных дробей:

.

Воспользуемся правилом и умножим числитель первой дроби на числитель второй дроби, знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби. Сократим дробь. В результате получим:

Теперь вспомним, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателе дроби.

В буквенном виде это правило записывают так:

где 𝒂, 𝒃 – многочлены, причём .

Рассмотрим пример. Возведём в 4-ую степень дробь .

Воспользуемся правилом возведения рациональной дроби в степень. Получим дробь,

Обратите внимание, что и числовой множитель в числителе мы также возводим в степень.

Деление рациональных дробей сводится к делению обыкновенных дробей.

Вспомним правило деления рациональных дробей:

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

В буквенном виде это правило записывают так:

где 𝒂, 𝒃, 𝒄 и 𝒅 – многочлены, причём ,  и .

Прежде чем выполнять деление рациональных дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители. Это облегчит сокращение той рациональной дроби, которая получится в результате деления.

Рассмотрим пример. Выполнить деление рациональных дробей:

.

Воспользуемся правилом деления рациональных дробей. Т.е. первую дробь умножим на дробь обратную второй или, что то же самое числитель первой дроби умножим на знаменатель второй дроби, а знаменатель первой дроби умножим на числитель второй дроби. Заметим, в числителе дроби мы можем вынести  за скобку, а в знаменателе: 3 за скобку. Затем сократим числитель и знаменатель получившейся дроби на  и на выражение . В результате получим дробь:

Итоги урока

На этом уроке мы разобрали тему «рациональные выражения». Вспомнили, какие выражения называют рациональными. Поговорили об основном свойстве дробей. И вспомнили, как выполняют действия над рациональными дробями.

 

 

 

videouroki.net

Знаете ли вы, что значит «рациональный» и какие числа называются рациональными?

В далеком прошлом, когда еще не была придумана система исчисления, люди подсчитывали все на пальцах. С появлением арифметики и основ математики стало гораздо проще и практичнее вести учет товаров, продуктов, а также бытовых предметов. Однако как выглядит современная система исчисления: на какие виды делятся существующие числа и что значит «рациональный вид чисел»? Давайте разберемся.

Сколько разновидностей чисел существует в математике?

Само понятие «число» обозначает некую единицу любого предмета, которая характеризует его количественные, сравнительные или порядковые показатели. Для того чтобы правильно подсчитать количество определенных вещей или провести некие математические операции с числами (сложить, умножить и др.), в первую очередь следует ознакомиться с разновидностями этих самых чисел.

Итак, существующие числа можно разделить по следующим категориям:

  1. Натуральные — это те числа, которыми мы подсчитываем количество предметов (самое меньшее натуральное число равно 1, логично, что ряд натуральных чисел бесконечен, т. е. не существует наибольшего натурального числа). Множество натуральных чисел принято обозначать буквой N.
  2. Целые числа. К этому множеству относятся все натуральные числа, при этом в него добавляются и отрицательные значения, включая число «ноль». Обозначение множества целых чисел записывают в виде латинской буквы Z.
  3. Рациональные числа — это те, которые мы мысленно можем преобразовать в дробь, числитель которой будет принадлежать множеству целых чисел, а знаменатель — натуральных. Чуть ниже мы разберем подробнее, что значит «рациональное число», и приведем несколько примеров.
  4. Действительные числа — множество, в которое входят все рациональные и иррациональные числа. Обозначается данное множество буквой R.
  5. Комплексные числа содержат в себе часть действительного и часть переменного числа. Используются комплексные числа в решении различных кубических уравнений, которые, в свою очередь, могут иметь в формулах под знаком корня отрицательное выражение (i2= -1).

Что значит «рациональный»: разбираем на примерах

Если рациональными считаются те числа, которые мы можем представить в виде обыкновенной дроби, то получается, что все положительные и отрицательные целые числа также входят в множество рациональных. Ведь любое целое число, например 3 или 15, можно представить в виде дроби, где в знаменателе будет единица.

Дроби: -9/3; 7/5, 6/55 — вот примеры рациональных чисел.

Что значит «рациональное выражение»?

Идем дальше. Мы уже разобрали, что значит рациональный вид чисел. Давайте теперь представим себе математическое выражение, которое состоит из суммы, разности, произведения или частного различных чисел и переменных. Вот пример: дробь, в числителе которой сумма двух или нескольких целых чисел, а знаменатель содержит в себе как целое число, так и некую переменную. Именно такое выражение и называют рациональным. Исходя из правила «на ноль делить нельзя» можно догадаться, что значение данной переменной не может быть таковым, чтобы значение знаменателя обращалось в ноль. Поэтому при решении рационального выражения следует сначала определить область значения переменной. Например, если в знаменателе следующее выражение: x+5-2, то получается, что «x» не может быть равен -3. Ведь в таком случает все выражение превращается в ноль, поэтому при решении необходимо исключить целое число -3 для данной переменной.

Как правильно решать рациональные уравнения?

Рациональные выражения могут содержать в себе довольно-таки большое количество чисел и даже 2 переменные, поэтому порой их решение становится затруднительным. Для облегчения решения такого выражения рекомендуется произвести некие операции рациональным путем. Итак, что значит «рациональным способом» и какие правила необходимо применять при решении?

  1. Первый вид, когда достаточно всего лишь упростить выражение. Для этого можно прибегнуть к операции сокращения числителя и знаменателя до несокращаемой величины. Например, если в числителе имеется выражение 18x, а в знаменателе 9х, то, сокращая оба показателя на 9x, получаем просто целое число, равное 2.
  2. Второй способ практичен тогда, когда в числителе имеем одночлен, а в знаменателе — многочлен. Разберем на примере: в числителе имеем 5x, а в знаменателе — 5x + 20x2. В таком случае лучше всего вынести переменную в знаменателе за скобки, получим следующий вид знаменателя: 5x(1+4x). А теперь можно воспользоваться первым правилом и упростить выражение, сократив 5x в числителе и в знаменателе. В итоге получим дробь вида 1/1+4x.

Какие действия можно выполнять с рациональными числами?

Множество рациональных чисел имеет ряд своих особенностей. Многие из них весьма схожи с характеристикой, присутствующей у целых и натуральных чисел, ввиду того что последние всегда входят в множество рациональных. Вот несколько свойств рациональных чисел, зная которые, можно с легкостью решить любое рациональное выражение.

  1. Свойство коммутативности позволяет суммировать два или несколько чисел, вне зависимости от их очередности. Проще говоря, от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
  2. Свойство дистрибутивности позволяет решать задачи с помощью распределительного закона.
  3. И, наконец, операции сложения и вычитания.

Даже школьники знают, что значит «рациональный вид чисел» и каким образом решать задачи на основе таких выражений, поэтому взрослому образованному человеку просто необходимо вспомнить хотя бы азы множества рациональных чисел.

fb.ru

Как построить интервальный вариационный ряд – Правила построения дискретных и интервальных рядов распределения

Пример построения интервального вариационного ряда

Пусть измерен некоторый экономический показатель в 30 регионах:

23 29 35 7 11 18 23 30 36 18 11 8 13 20 25 27 14 30 20 20 24 19 21 26 22 16 26 25 33 27

Расставим экспериментальные данные в возрастающем порядке:

7 8 11 11 13 14 16 18 18 19 20 20 20 21 22 23 23 24 25 25 26 26 27 27 29 30 30 33 35 36

По таблице 1 определяем число классов

Таблица 1

Объем выборки

n

Число классов

K

6-11

4

12-22

5

23-46

6

47-93

7

94-187

8

188-377

9

378-755

10

756-1515

11

Для n=30 число классов K=6. Найдем минимальное и максимальное значения вариант: хmin=7, хmax=36. Определим вариационный размах R= хminmax=36-7=29.

Определим величину классового интервала: ===4,8.

Хн1= хmin=7; Хв1= хmin+=7+4,8=11,8

Обобщим полученные данные в таблице:

Таблица 2

Номера классов

Классовые интервалы

Серединные значения классов

Частоты

Накопленные частоты

1

7-11,8

9,4

4

4

2

11,8-16,6

14,2

3

7

3

16,6-21,4

19

7

14

4

21,4-26,2

23,8

9

22

5

26,2-31

28,6

5

27

6

31-36

33,4

3

30

График, называемый гистограммой получается, если в прямоугольной системе координат отложить по оси абсцисс границы классов, а по оси ординат их частоты.

Если серединные точки вершин прямоугольников гистограммы соединить между собой, получится график дискретного варьирования, называемый полигоном распределения.

рис.1. Полигон распределения.

1.2. Мода распределения – это наиболее часто встречающееся значение ряда.

    1. Среднее арифметическое распределения находится по формуле хср= (х123+ …+хn)/n

    2. Дисперсия распределения находится по формуле:

D=

1.5. Стандартное отклонение S=

Пример расчета рангового коэффициента корреляции

Пусть при исследовании десяти человек получены следующие показатели Х и Y. Выясним, существует ли между ними связь. Для этого подсчитаем ранговый коэффициент корреляции и дадим его графическую интерпретацию.

Таблица 3

Х

Y

175

2

176

3

179

8

180

9

181

6

184

7

185

13

186

11

191

10

192

12

Найдем ранг (порядковый номер по убыванию) каждого из значений х и у: Rx и Ry, затем найдем разности соответствующих рангов d, возведем их в квадрат, получим ряд значений d2. Если значения одинаковые, то приписывается промежуточный средний ранг, например, 6,5.

Просуммируем их и подставим в формулу:

rs=1-.

Таблица 4

X

Y

Rx

Ry

|d|

d2

1

175

2

1

1

0

0

2

176

3

2

2

0

0

3

179

8

3

5

2

4

4

180

9

4

6

2

4

5

181

6

5

3

2

4

6

184

7

6

4

2

4

7

185

13

7

10

3

9

8

186

11

8

8

0

0

9

191

10

9

7

2

4

10

192

12

10

9

1

1

Сумма:

30

В нашем случае: rs=1-=0,81.

Оценим значимость коэффициента корреляции

tфакт.==3,92.

По таблице 5 Приложения 2 определяем, что для уровня значимости р=0,05 tкрит.=2,31. Следовательно, вычисленный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля и между показателями х и у наблюдается линейная связь выше среднего.

Для графической интерпретации по оси х откладываются значения признака х, по оси у – значения признака у.

рис.2. Графическая интерпретация коэффициента корреляции.

По значению коэффициента корреляции и графической интерпретации можем сказать, что между признаками х и у есть средняя прямая связь.

studfiles.net

3. Интервальный вариационный ряд

При большом объеме выборки работа с вариационными рядами представляет определенные неудобства, и тогда наблюдаемые данные группируют.

Группировка должна наиболее полно выявлять существенные свойства распределения. Существуют формулы для определения оптимального количества интервалов, но в психологии считается, что следует брать от 5 до 15 интервалов.

Первый способ построения интервального ряда.

Если у исследователя нет предварительной информации о характере распределения признака, то лучше задавать равные интервалы, при этом длина интервала определяется по формуле , где— количество выбранных интервалов (числоокругляется до целого значения).

Начало первого интервала равно , а конец(это будет одновременно и началом второго интервала). Условимся все интервалы считать соткрытым правым концом: . Построение интервалов заканчивается, если в интервал попало наибольшее значение признака.

Далее подсчитывают число значений признака, попавших в каждый интервал (с учетом открытого правого конца). Получается таблица, называемаяинтервальным вариационным рядом.

Интервалы

Сумма

Частоты,

Относительные частоты,

1

Второй способ построения интервального ряда.

Весь диапазон значений признака от доразбивается на равныеинтервалы, называемые также классами. Затем все варианты совокупности распределяются по этим интервалам. Порядок действий:

Пример построения интервального вариационного ряда.

Пусть измерен некоторый показатель для 30 испытуемых:

23, 29, 35, 7, 11, 18, 23, 30, 36, 18, 11, 8, 13, 20, 25,

27, 14, 30, 20, 20, 24, 19, 21, 26, 22, 16, 26, 25, 33, 27.

Это статистический ряд.

Расставим экспериментальные данные в возрастающем порядке, то есть построим вариационный ряд:

7, 8, 11, 11, 13, 14, 16, 18, 18, 19, 20, 20, 20, 21, 22,

23, 23, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 29, 30, 30, 33, 35, 36.

Число классов (интервалов) для :

.

Минимальное и максимальное значения: ,.

Вариационный размах: .

Величина интервала: .

Находим границы интервалов:

;

; ;

; ;

; .

Построим интервальный вариационный ряд.

Номера интервалов

Интервалы

Серединные значения интервалов

Частоты

1

4 – 10

7

2

2

10 – 16

13

4

3

16 – 22

19

8

4

22 – 28

25

10

5

28 – 34

31

4

6

34 – 40

37

2

5. Гистограмма

Вариационные ряды изображают графически с помощью полигона и гистограммы.

с1с2с3с4 с5с6с7с8с9

Гистограммой называется графическое изображение интервального вариационного ряда. На оси абсцисс откладываются отрезки, изображающие интервалы значений варьирующего признака, а затем на этих отрезках, как на основаниях, строятся прямоугольники, площади которых пропорциональны частотам (или относительным частотам).

Полигон частот для дискретного вариационного ряда — это ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами .

Полигон частот признака

studfiles.net

Алгоритм построения интервального вариационного ряда с равными интервалами

  1. Определяем число интервалов (групп) вариационного ряда

Число групп (интервалов) приближенно определяется по формуле Стерджесса:

m = 1 + 3,322 × lg(n)

где n — общее число единиц наблюдения (общее количество элементов в совокупности и т.д.), lg(n) – десятичный логарифм от n.

Полученную по формуле Стерджесса величину округляют обычно до целого большего числа, поскольку количество групп не может быть дробным числом.

Если ряд интервальный ряд с таким количеством групп по каким-то критериям не устраивает, то можно построить другой интервальный ряд, округлив m до целого меньшего числа и выбрать из двух рядов более подходящий.

Число групп не должно быть больше 15.

Также можно пользоваться следующей таблицей, если совсем нет возможности вычислить десятичный логарифм.

Объем выборки, n

25-40

40-60

60-100

100-200

Больше 200

Число интервалов, m

5-6

6-8

7-10

8-12

10-15

  1. Определяем ширину интервала

Ширина интервала для интервального вариационного ряда с равными интервалами определяется по формуле:

где Xмакс — максимальное из значений xi, Xмин — минимальное из значений xi; m — число групп (интервалов).

Величину интервала (i) обычно округляют до целого числа, исключение составляют лишь случаи, когда изучаются малейшие колебания признака (например, при группировке деталей по величине размера отклонений от номинала, измеряемого в долях миллиметра).

Часто применяется следующее правило:

Количество знаков до запятой

Количество знаков после запятой

Пример ширины интервала по формуле

До какого знака округляем

Пример округленной ширины интервала

0

3

0,375

0,01

0,38

0

2

0,56

0,1

0,6

1

3

4,658

0,01

4,66

1

2

2,54

0,1

2,5

2

любое

12,54

1,0

13

3

любое

672,54

10,00

670

4

любое

3472,45

100,00

3500

и т.д.

  1. Определяем границы интервалов

Нижнюю границу первого интервала принимают равной минимальному значению признака (чаще всего его предварительно округляют до целого меньшего числа с таким же разрядом как ширина интервала). Например, хмин= 15, i=130, хн первого интервала = 10.

хн1 ≈ хмин

Верхняя граница первого интервала соответствует значению (Хmin + i).

Нижняя граница второго интервала всегда равно верхней границе первого интервала. Для последующих групп границы определяются аналогично, т е. последовательно прибавляется величина интервала.

xвi = xнi + i

xнi = xвi-1

  1. Определяем частоты интервалов.

Считаем, сколько значений попало в каждый интервал. При этом помним, что если единица обладает значением признака, равным величине верхней границы интервала, то ее следует относить к следующему интервалу.

  1. Строим интервальный ряд в виде таблицы.

  2. Определяем середины интервалов.

Для дальнейшего анализа интервального ряда понадобится выбрать значение признака для каждого интервала. Это значение признака будет общим для всех единиц наблюдения, попавшим в этот интервал. Т.е. отдельные элементы «теряют» свои индивидуальные значения признака и им присваивается одно общее значение признака. Таким общим значением является середина интервала, которая обозначается x’i .

Рассмотрим на примере с ростом детей, как построить интервальный ряд с равными интервалами.

Имеются первоначальные данные.

 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99,  92, 93, 94, 95, 96, 98, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109,  100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 100, 101, 102, 104,  110, 112, 114, 116, 117, 120, 122, 123, 124, 129,  110, 111, 113, 115, 116, 117, 121, 125, 126, 127,  110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129,  111, 113, 116, 127, 123, 122, 130, 131, 132, 133, 134, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 131, 133, 135, 136, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 145, 146, 147, 148

studfiles.net

Вариационный ряд — 23 Августа 2014 — Примеры решений задач

Вариационный ряд  может быть:

     — дискретным, когда изучаемый признак характеризуется определенным числом (как правило целым).

    — интервальным, когда определены границы «от» и «до» для непрерывно варьируемого признака. Интервальный ряд также строят если множество значений дискретно варьируемого признака велико.

Рассмотрим пример построения дискретного вариационного ряда.

Пример 1. Имеются данные о количественном составе 60 семей.

Построить вариационный ряд и полигон распределения

Решение.

Алгоритм построения вариационного ряда:

1) Откроем таблицы Excel.

2) Введем массив данных в диапазон А1:L5. Если вы изучаете документ в электронной форме (в формате Word, например), для этого достаточно выделить таблицу с данными и скопировать ее в буфер, затем выделить ячейку А1 и вставить данные – они автоматически займут подходящий диапазон.

3) Подсчитаем объем выборки n – число выборочных данных, для этого в ячейку В7 введем формулу =СЧЁТ(А1:L5). Заметим, что для того, чтобы в формулу ввести нужный диапазон, необязательно вводить его обозначение с клавиатуры, достаточно его выделить.

4) Определим минимальное и максимальное значение в выборке, введя в ячейку В8 формулу =МИН(А1:L5), и в ячейку В9: =МАКС(А1:L5).

Рис.1.1 Пример 1. Первичная обработка статистических данных в таблицах Excel

5) Далее, подготовим таблицу для построения вариационного ряда, введя названия для столбца  интервалов (значений варианты) и столбца частот. В столбец интервалов введем значения признака от минимального (1) до максимального (6), заняв диапазон  В12:В17.

6) Выделим столбец частот, введем формулу =ЧАСТОТА(А1:L5;В12:В17) и нажмем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER

Рис.1.2 Пример 1. Построение вариационного ряда

7) Для контроля вычислим сумму частот при помощи функции СУММ (значок функции S в группе «Редактирование» на вкладке «Главная»), вычисленная сумма должна совпасть с ранее вычисленным объемом выборки в ячейке В7.

Построим полигон:

1) выделив полученный диапазон частот, выберем команду «График» на вкладке «Вставка». По умолчанию значениями на горизонтальной оси будут порядковые числа — в нашем случае от 1 до 6, что совпадает со значениями варианты (номерами тарифных разрядов).

2) Название ряда диаграммы «ряд 1» можно либо изменить, воспользовавшись той же опцией «выбрать данные» вкладки «Конструктор», либо просто удалить.

Рис.1.3. Пример 1. Построение полигона частот

Примечание: можно скачать готовый шаблон построение дискретного вариационного ряда в Excel

Следующая тема: Построение интервального вариационного ряда в Excel.

www.reshim.su

Как построить интервальный вариационный ряд

Интервальный вариационный ряд представляет собой таблицу, состоящую из 2-х столбцов либо строк. В первом указывается промежуток знака, вариация которого рассматривается, во втором – число единиц общности, попадающих в данный промежуток (частот).

Инструкция

1. Для того дабы возвести интервальный вариационный ряд, в первую очередь нужно предпочесть оптимальное число промежутков и установить длину всякого из них. При этом учтите, что длина промежутка должна быть непрерывной, от того что при обзоре вариационного ряда сопоставляют частоты из различных групп. Оптимальное число групп нужно выбирать так, дабы отразить многообразие знаков общности и совместно с тем их закономерное разделение, а также исключить искажение общности случайными колебаниями частот. Учтите, что если групп будет слишком немного, не будет видна обоснованность разделения, а если, напротив, слишком много – случайные прыжки единиц общности исказят ряд разделения.

2. Для определения числа групп в вариационном ряду воспользуйтесь формулой Стерждеса:h = 1 + 3,322 х ln(n), гдеh – число групп в вариационном ряду;n – количество общности.Если полученное значение окажется дробным, то за значение величины шага промежутка, возьмите всякое ближайшее целое число.

3. После этого определите величину промежутка:i = (Хmax – Xmin)/h, гдеХmax – наивысшее значение знака в целом;Xmin – минимальное значение знака в целом.

4. Дальше заполните границы промежутка. Они могут указываться различными методами: верхняя граница предыдущего промежутка может повторять нижнюю рубеж дальнейшего (5-10, 10-15, 15-20) либо не повторять (5-10, 10,1-15, 15,1-20). За предисловие первого промежутка А0 принимается следующее значение:А0 = Хmin – i/2, гдеi – длина промежутка. За конец j-го промежутка принимается значение Аj, представляющее собой верхнюю рубеж j-го промежутка и предисловие (j+1)-го промежутка:Aj = A(j-1) + i.Построение шкалы промежутков продолжается до тех пор, пока величина Аj удовлетворяет соотношению AjСовет 2: Как возвести вариационный ряд

Вариационный ряд представлен определенной последовательностью вариантов (x(1),…,x(n)), которые расположены в порядке убывание либо неубывания. 1-й элемент вариационного ряда x(1) называют минимальным: его обозначают xmin. Конечный элемент этого ряда именуется максимальным и обозначается xmax. На основании данных вариационного ряда строится график.

Вам понадобится

  • – линейка;
  • – начальная информация;
  • – тетрадь;
  • – легкой карандаш;
  • – ручка.

Инструкция

1. Обратите внимание на то, что существует несколько разновидностей вариационного ряда: дискретный и интервальный. Весь из них имеет свои особенности построения. Дискретной вариацией знака считается та вариация, отдельные значения которой отличаются на определенную величину. Постоянной вариация считается в том случае, если ее отдельные значения разнятся между собой на всякую величину. В интервальном вариационном ряду знаки относятся не к отдельному значению, а к целому промежутку.

2. Раньше чем приступать к построению интервального вариационного ряда верно подберите тезис, на котором основано ранжирование отдельных элементов интервального ряда. Выбор того либо другого знака всецело зависит от однородности анализируемых показателей. К примеру, если представленная общность показателей однородная, то для построения такого вариационного ряда используйте тезис равных промежутков.

3. Впрочем раньше чем определить, однородны показатели либо нет, произведите обстоятельный обзор. Однородность определяется путем построения линейного графика и дальнейшего его обзора с целью обнаружения аномальных (нетипичных для данного вариационного ряда) слежений. Помимо того, правило равных промежутков применяется при построении вариационного ряда со существенными прыжками, повод происхождения которых неведома.

4. Положительно определите величину промежутка, нужную для построения интервального вариационного ряда: она должна быть такой, дабы, во-первых, анализируемый вариационный ряд не казался слишком массивным, и, во-вторых, отчетливо прослеживались постигаемые особенности. Если промежутки равные, то величина промежутка рассчитывается по формуле: h=R/k, в которой R – это размах вариации, а k указывает на число промежутков. При этом R определяется как разность между xmax и xmin.

5. Если выполняется построение дискретного вариационного ряда, то его вариантам можете приписывать не частоты появления какого-то явления, а доли всего варианта в всеобщей анализируемой общности показателей. Эти доли, вычисляемые как отношение определенных частот к всеобщему показателю, называют частостями и обозначают qi. В свою очередь, частости могут быть выражены как в процентах, так и относительных числах.

Обратите внимание!
От правильности обнаружения зависимости между частотами и вариантами вариационного ряда зависит, насколько правильно будет построен график.

Полезный совет
Изредка применяется способ, называемый «расщепление промежутков»: он нужен для сравнения 2-х вариационных рядов, в основе которых находится идентичный знак, но имеющих разные промежутки.

Одно из основных представлений математической статистики – это ряд распределения . Для того дабы было комфортно постигать какое-нибудь явление, данные группируются по определенному варьирующему знаку. На основании ряд а распределения дозволено постигать однородность общности, ее границы и обоснованности становления.

Инструкция

1. Для записи используйте таблицу из 2-х столбцов либо строк. В один из них записывайте группировочный знак, а во 2-й – его частоту либо частость. Частота – это количественное значение знака, скажем, число учащихся с определенной оценкой либо объем продаж за месяц. Дабы рассчитать частость, возьмите всеобщую сумму за 100% и для всей группы укажите долю в всеобщей сумме (скажем, 20%, 30% и 50% – в сумме составляет 100%).

2. В первую очередь обнаружьте знак, метаморфозы которого дозволено будет упорядочить. Скажем, он должен изменяться со временем либо с увеличением объема общности. Дюже комфортно брать в качестве промежутков временные интервалы (месяц, год, день). Рассчитайте значение знака в всяком интервале времени и запишите данные в таблицу.

3. Если вам нужно возвести ряд распределения на основе количественного группировочного знака, поделите его на равные промежутки и посчитайте значение для всякого промежутка отдельно. После этого запишите полученные данные в таблицу. Скажем, если вам нужно составить ряд распределения для учащихся, получивших в итоге ЕГЭ определенное число баллов, поделите группировочный знак – число баллов – на промежутки 0-10, 11-20, 21-30…91-100 и посчитайте, сколько учеников находится в всякой группе. Такие ряд ы будут именоваться интервальными вариационными ряд ами.

4. Если знак, на основе которого вы собираетесь строить ряд , дозволено выразить целым числом, постройте дискретный вариационный ряд . В качестве группирующего знака в этом случае укажите эти числа, скажем, тарифный разряд рабочих, число касс в магазине и т.д.

5. Если численно обозначить знак немыслимо, образуйте ряд распределения по добротному значению. В этом случае обозначьте всякую группу словом, особенно ясно отражающим оглавление. Скажем, дозволено сотворить ряд распределения пород на собачьей экспозиции: болонка, овчарка, терьер, пудель. Наоборот всей породы напишите число собак (4, 5, 5, 6), их процентное соотношение (20%, 25%, 25%, 30%), либо их число в долях (0,2; 0,25; 0,25; 0,3). Такой ряд именуется атрибутивным ряд ом распределения .

Когда ряд разделения теснее дан, дозволено сразу приступать к его изысканию. Но в некоторых задачах в качестве начальных данных представлены легко числа (вес, сумма, число – всякие значения параметра либо знака). В таком случае для того, дабы начать обзор, вначале необходимо возвести интервальный ряд .

Вам понадобится

  • – значения параметра.

Инструкция

1. Если значения параметра изменяются с течением времени, используйте в качестве промежутков временные интервалы, скажем, час, день, месяц, год. При выборе малейшего интервала рассматривайте число и разброс данных, усердствуйте, дабы ряд разделения оказался максимально информативным и в то же время суперкомпактным. Скажем, если вам даны данные по месяцам в течение 2-х лет, разбивка на годы ни о чем не сумеет сказать, а применение в качестве промежутка месяц в некоторых случаях приведет к размыванию данных. Оптимальным решением при этом станет разбивка по кварталам.

2. Если время для составления выборки не имеет значения, сформируйте интервальные интервалы в зависимости от значений. Для этого оцените разброс данных, их наивысшее и минимальное значение и выберите величину промежутка. Дозволено применять такой способ: вычтите из максимального значения минимальное и полученную разность поделите на желаемое число промежутков. После этого установите границы, безусловно, отменнее, если это будут целые числа. Скажем, вам даны числа 32, 33, 35, 38, 45, 47, 48, 50, 58, 59, 63. Позже расчетов вы получите (63-32)/5=6,2. Округлите размер промежутка до 7. Таким образом, вы получите промежутки: (32-39), (40-47), (48-55), (56-63).

3. Обратите внимание, отменнее каждого делать границы промежутков не пересекающимися, то есть дальнейший промежуток начинайте не с того же числа, а с большего на единицу. Вследствие этому вы сумеете избежать разногласий и недоразумений.

4. Позже того как вы распределите все промежутки, посчитайте число значений в всем из них. Запишите полученные итоги в таблицу, где в одной строке будут указаны границы, в иной – число значений, лежащих в рамках этого промежутка. В рассмотренном выше примере расчет числа итогов будет выглядеть так: в промежуток (32-39) входят значения 32, 33, 35, 38 – каждого 4 значения. Значит, в первой ячейке таблицы под этим промежутком укажите число 4. Верно так же рассчитайте значения для следующих промежутков: (40-47) – 2, (48-55) – 2, (56-63) – 3.

jprosto.ru

Интервальный ряд | Примеры решений

Условие:

Имеются данные о возрастном составе рабочих (лет): 18, 38, 28, 29, 26, 38, 34, 22, 28, 30, 22, 23, 35, 33, 27, 24, 30, 32, 28, 25, 29, 26, 31, 24, 29, 27, 32, 25, 29, 29.

    1. Построить интервальный ряд распределения.
    2. Построить графическое изображение ряда.
    3. Графически определить моду и медиану.

Решение:

1) По формуле Стерджесса совокупность надо разделить на 1 + 3,322 lg 30 = 6 групп.

Максимальный возраст – 38, минимальный – 18.

Ширина интервала Так как концы интервалов должны быть целыми числами, разделим совокупность на 5 групп. Ширина интервала – 4.

Для облегчения подсчетов расположим данные в порядке возрастания: 18, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 29, 29, 30, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 38, 38.

Распределение возрастного состава рабочих

Графически ряд можно изобразить в виде гистограммы или полигона. Гистограмма – столбиковая диаграмма. Основание столбика – ширина интервала. Высота столбика равна частоте.

Полигон (или многоугольник распределения) – график частот. Чтобы его построить по гистограмме, соединяем середины верхних сторон прямоугольников. Многоугольник замыкаем на оси Ох на расстояниях, равных половине интервала от крайних значений х.

Мода (Мо) – это величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто.

Чтобы определить моду по гистограмме, надо выбрать самый высокий прямоугольник, провести линию от правой вершины этого прямоугольника к правому верхнему углу предыдущего прямоугольника, и от левой вершины модального прямоугольника провести линию к левой вершине последующего прямоугольника. От точки пересечения этих линий провести перпендикуляр к оси х. Абсцисса и будет модой. Мо ≈ 27,5. Значит, наиболее часто встречаемый возраст в данной совокупности 27-28 лет.

Медиана (Mе) – это величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда.

Медиану находим по кумуляте. Кумулята – график накопленных частот. Абсциссы – варианты ряда. Ординаты – накопленные частоты.

Для определения медианы по кумуляте находим по оси ординат точку, соответствующую 50% накопленных частот (в нашем случае 15), проводим через неё прямую, параллельно оси Ох, и от точки её пересечения с кумулятой проводим перпендикуляр к оси х. Абсцисса является медианой. Ме ≈ 25,9. Это означает, что половина рабочих в данной совокупности имеет возраст менее 26 лет.

mat-reshebnic.ru

Дискретный вариационный ряд

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

148

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

1

1

2

2

1

3

3

6

6

9

15

15

i

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

8

14

10

15

15

11

12

9

6

6

10

1

i

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

190

4

3

3

2

1

1

1

1

1

1

1

В данном примере случайные величины сплошь заполняют промежуток (148;190). Число возможных значений велико. Их нельзя представить в виде случайных величин, принимающих отдельные, изолированные значения, тем самым отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины. Поэтому для построения вариационного ряда будем использовать интервальный ряд распределения. Весь возможный интервал варьирования разобьём на конечное число интервалов и подсчитаем частоту попадания значений величины в каждый интервал. Минимальное и максимальное значения случайной величины: Тогда интервал варьированияR («размах») будет равен R=Длину интервала рассчитывают по формуле:

(6)

При этом значение признака, находящегося на границе интервалов относят к правой границе интервала.

На практике считают, что правильно составленный ряд распределения содержит от 6 до 15 частичных интервалов. Часто интервальный вариационный ряд заменяют дискретным вариационным рядом, выбирая средние значения интервала (таблица №7).

Для данного примера , округлим до 3, т.е. размер интервалаh=3, а число интервалов будет равно 14. Соответствующий интервальный вариационный ряд приведён в таблице №5.

Таблица 5

Интервальный вариационный ряд

Индекс интервала

i

Число покупателей

(интервалы)

Частота

Относительная частота

1

148-151

1

1/200

2

151-154

0

0

3

154-157

5

5/200

4

157-160

7

7/200

5

160-163

21

21/200

6

163-166

38

38/200

7

166-169

39

39/200

8

169-172

38

38/200

9

172-175

21

21/200

10

175-178

15

15/200

Окончание таблицы 5

Индекс интервала

i

Число покупателей

(интервалы)

Частота

Относительная частота

11

178-181

8

8/200

12

181-184

3

3/200

13

184-187

3

3/200

14

187-190

1

1/200

=1

2) После составления вариационного ряда необходимо построить функцию распределения выборки или эмпирическую функцию F*(x)=, то есть функцию найденную опытным путём. Здесь – относительная частота события Х< х,n — общее число значений.

Эмпирическое распределение можно изобразить в виде полигона, гистограммы или ступенчатой кривой.

Построим выборочную функцию распределения. Очевидно, что для функциятак как. На концах интервалов значения функциирассчитаем в виде «нарастающей относительной частоты» (Таблица 6).

Таблица 6

Расчёт эмпирической функции распределения

Индекс интервала

i

1

1/200

2

1/200

3

1/200+5/200=6/200

4

6/200+7/200=13/200

5

13/200+21/200=34/200

6

34/200+38/200=72/200

Окончание таблицы 6

Индекс интервала

i

7

72/200+39/200=111/200

8

111/200+38/200=149/200

9

149/200+21/200=170/200

10

170/200+15/200=185/200

11

185/200+8/200=193/200

12

193/200+3/200=196/200

13

196/200+3/200=199/200

14

199/200+1/200=200/200

Табличные значения не полностью определяют выборочную функцию распределения непрерывной случайной величины, поэтому при графическом изображении её доопределяют, соединив точки графика, соответствующие концам интервала, отрезками прямой (рис.1).

Полученные данные, представленные в виде вариационного ряда, изобразим графически в виде ломаной линии (полигона), связывающей на плоскости точки с координатами , где— среднее значение интервала , а — относительная частота.(таблица 7 и рис.2). На этом же рисунке отобразим пунктирной линией выравнивающие (теоретические) частоты.

Таблица 7

studfiles.net

Ионкин решебник – Сборник задач с решениями (Ионкин) » СтудИзба

Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для вузов / Под ред. проф. П.А. Ионкина. – М: Энергоиздат, 1982

Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для вузов / Под ред. проф. П.А. Ионкина. – М: Энергоиздат, 1982. – 768 с., ил.


Содержание задачника охватывает все разделы теории линейных и нелинейных цепей и теории электромагнитного поля курса теоретических основ электротехники и соответствует утвержденной программе.

В сборнике приведены задачи, как иллюстрирующие тот или иной метод расчета, так и возникающие при исследовании реальных электротехнических устройств. Все задачи имеют ответы, многие задачи даны с подробными решениями.

Предназначен в качестве учебного пособия для студентов электротехнических и энергетических специальностей вузов.


ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Глава первая. Линейные цепи с источниками постоянных ЭДС и токов (А.И. Донской, П.А. Ионкин, В.А. Кузовкин, Б.Г. Миронов, М.Д. Пирогова)

Введение к гл. 1

1.1. Простейшие электрические цепи

1.2. Переходные и установившиеся процессы в простейших цепях

1.3. Применение уравнений Кирхгофа

1.4. Применение узловых уравнений и уравнений с напряжениями ветвей дерева

1 5. Применение контурных уравнений

1.6. Метод наложения. Свойство взаимности

1.7. Линейные соотношения между напряжениями и токами

1.8. Преобразования электрических схем

1.9. Эквивалентные источники (активные двухполюсники)

1.10. Топологические методы расчета передаточных функций

1.11. Применение сигнальных графов

Глава вторая. Линейные цепи с источниками гармонических ЭДС и токов (И.И. Баранов, С.И. Ващенко, Ф.П. Жарков, В.М. Юркевич)

Введение к гл. 2

2.1. Переходные и установившиеся процессы в простейших цепях

2.2. Мгновенные значения синусоидальных величин. Простейшие операции с комплексными числами. Последовательное и параллельное соединения элементов цепи

2.3. Разветвленные электрические цепи. Векторные и топографические диаграммы. Энергетические соотношения

2.4. Эквивалентные схемы двухполюсников

2.5. Резонанс. Режим согласованной нагрузки

2.6. Электрические цепи с взаимной индукцией

2.7. Диаграммы для цепей с изменяющимися параметрами

2.8. Топологические методы анализа. Расчет схемных функций

2.9. Применение сигнальных графов

Глава третья. Трехфазные цепи (Н.К. Круг, В.А. Майбога)

Введение к гл. 3

3.1. Соединение обмоток и разметка выводов трехфазных источников

3.2. Симметричная нагрузка

3.3. Несимметричная нагрузка

3.4. Симметричные составляющие

3.5. Вращающееся магнитное поле

Глава четвертая. Четырехполюсники (Б.Я. Жуховицкий, В.И. Паротькин)

Введение к гл. 4

4.1. Уравнения и коэффициенты пассивных четырехполюсников

4.2. Характеристические (вторичные) параметры

4.3. Схемы замещения

4.4. Соединения четырехполюсников

4.5. Активные четырехполюсники

4.6. Передаточные функции

Глава пятая. Цепи с распределенными параметрами (Б.Я. Жуховищий)

Введение к гл. 5

5.1. Параметры линии

5.2. Линия с потерями

5.3. Линия без потерь

5.4. Схемы замещения линии

Глава шестая. Линейные цепи с негармоническими периодическими источниками (В.А. Киселева, В.Н. Кудин)

Введение к гл. 6

6.1. Разложение периодических функций в ряд Фурье

6.2. Периодические процессы в линейных цепях

6.3. Мощность. Коэффициенты, характеризующие формы периодических кривых. Измерения в цепях несинусоидального тока

6.4. Резонанс в цепях несинусоидального тока

6.5. Несинусоидальные режимы симметричных трехфазных цепей

Глава седьмая. Фильтры (Б.Я. Жуховицкий, В.И. Паротькин)

Введение к гл. 7

7.1. Фильтры типа k

7.2. Другие типы фильтров

Глава восьмая. Переходные процессы в линейных цепях с сосредоточенными параметрами (Б.А. Болдов, В.И. Паротькин)

Введение к гл. 8

8.1. Переходные процессы в цепях rL (классический метод расчета)

8.2. Переходные процессы в цепях rC (классический метод расчета)

8.3. Переходные процессы в цепях с несколькими реактивными элементами (классический метод расчета)

8.4. Операторный метод расчета переходных процессов

8.5. Переходные процессы при действии источников напряжения или тока произвольной формы

8.6. Переходные процессы при скачкообразных изменениях токов в индуктивностях и напряжений на емкостях

8.7. Расчет переходных процессов методом переменных состояния

Глава девятая. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами (Е.С. Кухаркин, С.А. Левитан)

Введение к гл. 9

9.1. Формирование прямой и обратной волн в линии без потерь

9.2. Переход волны с одной линии на другую

9.3. Волны в линиях при подключении и отключении ветвей

9.4. Формирование импульсов

9.5. Волны в линии без искажений

Глава десятая. Элементы синтеза линейных цепей (Б.Я. Жуховищий)

Введение к гл. 10

10.1. Двухполюсники без потерь

10.2. Двухполюсники с потерями. Мостовые четырехполюсники

Глава одиннадцатая. Нелинейные цепи постоянного тока (П.А. Ионкин, В.В. Каратаев, Ф.Н. Шакирзянов)

Введение к гл. 11

11.1. Графический метод расчета

11.2. Аналитический метод расчета

11.3. Численные методы расчета

Глава двенадцатая. Магнитные цепи при постоянных потоках (Г.П. Андреев)

Введение к гл. 12

12.1. Линейная магнитная цепь

12.2. Нелинейная магнитная цепь без гистерезиса

12.3. Расчет магнитной цепи с учетом гистерезиса. Постоянные магниты

Глава тринадцатая. Нелинейные цепи переменного тока (Б.А. Болдов, Г.Г. Гусев, В.В. Каратаев)

Введение к гл. 13

13.1. Графические и графо-аналитические методы расчета

13.2. Аналитические методы расчета

13.3. Расчет по действующим значениям токов и напряжений

Глава четырнадцатая. Переходные процессы в нелинейных цепях. Автоколебания (Б.А. Болдов, Г.Г. Гусев, В.В. Каратаев)

Введение к гл. 14

14.1. Аналитические и графические методы расчета

14.2. Устойчивость состояния равновесия

14.3. Изображение переходных процессов на фазовой плоскости

14.4. Метод усреднения

14.5. Автоколебания

14.6. Численные методы интегрирования

Глава пятнадцатая. Вводные задачи теории поля (Л.П. Соболева)

Введение к гл.15

15.1. Симметричные поля

15.2. Анализ полей

Глава шестнадцатая. Электрическое поле (Я.Н. Колли, Л.П. Соболева)

Введение к гл.16

16.1. Электростатическое поле в вакууме

16.2. Электростатическое поле в диэлектрике

16.3. Стационарное электрическое поле в проводящей среде

16.4. Квазистатическое электрическое поле в реальной среде

16.5. Уравнения Лапласа и Пуассона

16.6. Энергия и силы в электрическом поле

Глава семнадцатая. Магнитное поле (Б.М. Фрадкин)

Введение к гл. 17

17.1. Постоянное магнитное поле в однородной неограниченной среде

17.2. Дифференциальные уравнения магнитного поля. Векторный и скалярный потенциалы

17.3. Магнитное поле в присутствии магнитных тел

17.4. Энергия и силы в магнитном поле

Глава восемнадцатая. Специальные методы расчета потенциальных полей (Я.Н. Колли, Б.М. Фрадкин)

Введение к гл. 18

18.1. Применение функций комплексного переменного

18.2. Метод интегральных уравнений

Глава девятнадцатая. Электромагнитное поле (Я.Н, Колли, Б.М. Фрадкин)

Введение к гл. 19

19.1. Теорема Умова-Пойнтинга

19.2. Напряженность электрического поля в неподвижных и движущихся средах. Движение заряженных частиц

19.3. Электромагнитное поле в проводящей среде. Поверхностный эффект

19.4. Волны в диэлектрике, волноводы, резонаторы, излучение

Ответы к задачам гл. 1 — 19

Приложение 1. Разложение в ряд Фурье

Приложение 2. Таблица оригиналов и их изображений по Лапласу

Приложение 3. Кривые намагничивания сталей 1211, 1411, 1512, 1561

Приложение 4. Декартовы, цилиндрические и сферические координаты. Операции векторного анализа

Единицы электрических и магнитных величин

Список литературы
Скачать Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для вузов / Под ред. проф. П.А. Ионкина. – М: Энергоиздат, 1982. – 768 с

rgr-toe.ru

Ионкин П.А. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники [PDF]

Ионкин П.А. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники [PDF] — Все для студента
  • Файл формата pdf
  • размером 26,40 МБ
  • Добавлен пользователем Дасов
  • Отредактирован

Учебное пособие, М.: Энергоатомиздат, 1982, 768 с.
Линейные цепи с источниками постоянных ЭДС и токов; Линейные цепи с источниками гармонических ЭДС и токов; Трехфазные цепи; Четырехполюсники; Цепи с распределенными параметрами; Линейные цепи с негармоническими периодическими источниками; Фильтры; Переходные процессы в линейных цепях с сосредоточенными параметрами; Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами; Элементы синтеза линейных цепей; Нелинейные цепи постоянного тока; Магнитные цепи при постоянных потоках; Нелинейные цепи переменного тока; Переходные процессы в нелинейных цепях, Автоколебания; Вводные задачи теории поля; Электрическое поле; Магнитное поле; Специальные методы расчета потенциальных полей; Электромагнитное поле Ответы к задачам

  • Чтобы скачать этот файл зарегистрируйтесь и/или войдите на сайт используя форму сверху.
  • Регистрация

www.twirpx.com

Ионкин П.А. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники. Учеб. пособ [DJVU]

Учебное пособие для энергетических и приборостроительных специальностей вузов. — 4-е изд., перераб. и испр./Л. А. Бессонов, И. Г. Демидова, М. Е. Заруди и др. — М.: Высшая школа, 2003. — 528 с.: ил. — ISBN 5-06-003795-9. В сборнике приведены задачи по всем разделам курса ТОЭ, даны решения некоторых из них. Помимо традиционных представлены задачи по следующим темам:…

  • 15,64 МБ
  • дата добавления неизвестна
  • изменен

8-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1986. — 263 с.: ил. Учебник для электротехн., энерг., приборостроит. спец. вузов. В книге рассмотрены вопросы теории электромагнитного поля, предусмотренные программой курса ТОЭ. Все главы 8-го издания (7-е издание вышло в 1978 г.) переработаны и дополнены; включен новый материал; поле двойного заряженного слоя, расчет полей с…

  • 3,08 МБ
  • дата добавления неизвестна
  • изменен

3-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1988. — 543 с.: ил. В сборнике приведены задачи по всем разделам курса ТОЭ, даны решения некоторых из них. Представлены новые задачи по следующим темам: сверхпроводимость, электрические фильтры, установившиеся режимы и переходные процессы в линиях с распределенными параметрами, а также включены задачи на матрично-топологические методы…

  • 11,22 МБ
  • дата добавления неизвестна
  • изменен

Учебное пособие. – М.: Высшая школа, – 1987. – 288 с.: ил. В сборнике задачи классифицируются по типам, по каждому типу приводится общий алгоритм решения с реализацией на конкретных примерах. Первые задачи каждого типа имеют подробное решение, остальные снабжены указаниями и ответами. По сравнению с предыдущим изданием часть задач обновлена. Содержание задач соответствует новой…

  • 3,36 МБ
  • дата добавления неизвестна
  • изменен

Учебник для вузов. 4-е изд., перераб. — М.: Энергия, 1975. — 752 с.: ил. В книге излагаются общие методы анализа и синтеза и описание свойств линейных электрических цепей с сосредоточенными и распределенными параметрами при постоянных, переменных, периодических и переходных токах и напряжениях. Рассматриваются свойства и методы расчета установившихся и переходных процессов в…

  • 8,15 МБ
  • дата добавления неизвестна
  • изменен

www.twirpx.com

П.А. Ионкин — Учебные пособия ТОЭ ОТЦ ТЛЭЦ электротехника

В разделе выложены для свободного скачивания электронные версии учебников, задачников, решебников, методичек по дисциплинам Теоретические основы электротехники (ТОЭ), Основы теории цепей (ОТЦ), теория линейных электрических цепей (ТЛЭЦ), теоретическая электротехника, электротехника

Задачники ТОЭ ТЛЭЦ ОТЦ электротехника  13 файлов
Задачники по дисциплинам ТОЭ, ТЛЭЦ, ОТЦ, электротехника скачать

Бутырин П.А. Алексейчик Л.В. и др. Сборник задач по теоретическим основам электротехники: в 2 т. Том 1. Электрические и магнитные цепи с сосредоточенными параметрами. – 2012. – 595 с.; ил.

Бутырин П.А. Алексейчик Л.В. и др. Сборник задач по теоретическим основам электротехники: в 2 т. Том 2. Электрические цепи с распределенными параметрами. Электромагнитное поле. – 2012. – 571 с.: ил.

Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособ. для электротехнич., радиотехнич. спец. вузов. — 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1990. — 544 с: ил.

Шебес М.Р. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. Учебное пособие для электротехнич. и радиотехнич. специальностей вузов. М., «Высшая школа», 1973. 656 с. с илл.

Шебес М.Р. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1967.

Сборник задач по основам теоретической электротехники: Учебное пособие / Под ред. Ю.А. Бычкова, В.М. Золотницкого, Э.П. Чернышева, А.Н. Белянина, Е.Б. Соловьевой. – СПб.: Издательство «Лань», 2011. – 400 с.: ил. – (Учебники для вузов. Специальная литература)

Сборник задач по электротехнике и основам электроники: Учеб. пособие для неэлектротехн. спец. вузов / В.Г. Герасимов, X.Э. Зайдель, В.В. Коген-Далин и др.; Под ред. В.Г. Герасимова.— 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1987.— 288 с.: ил.

Сборник задач по электротехнике и основам электроники: Учеб. пособие для вузов / М.Ю. Анвельт, В.Г. Герасимов, В.П. Данильченко и др.; Под ред. В.С. Пантюшина. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1979. – 253 с., ил.

Сборник задач по теоретическим основам электротехники: учеб. пособие для энерг. и приборост. спец. вузов. — 3-е изд., перераб. и доп./ Л.А. Бессонов, И.Г. Демидова, М.Е. Заруди и др.; Под ред. Л.А. Бессонова. — М.: Высш. шк., 1988. — 543 с.: ил.

Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для энерг. и приборостр. спец. вузов. – 4-е изд., перераб. и испр. / Л.А. Бессонов, И.Г. Демидова, М.Е. Заруди и др.; Под ред. JI.А. Бессонова. – М.: Высш. шк.: 2003. – 528 с.: ил.

Теоретические основы электротехники: Методические указания и контрольные задания для студентов технических специальностей вузов / Л. А. Бессонов, И. Г. Демидова, М. Е. Заруди и др. – 3-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2003. – 159 с.

Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для вузов / Под ред. проф. П.А. Ионкина. – М: Энергоиздат, 1982. – 768 с., ил.

Сборник задач по теории электрических цепей: Учеб. пособие для вузов / Данилов Л.В., Матханов П.Н., Мерзлютин Ю.Б. и др.; Под ред. Матханова П.Н., Данилова Л.В. – М.: Высш. школа, 1980. – 224 с., ил.


Методички ТОЭ ТЛЭЦ ОТЦ электротехника  5 файлов
Методички по дисциплинам ТОЭ, ТЛЭЦ, ОТЦ, электротехника скачать

Основы метрологии и электрические измерения. Задание на контрольную работу № 1 с методическими указаниями для студентов III курса специальностей электрификация железнодорожного транспорта и автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте. – М.: ВЗИИТ, 1986

Метрология, стандартизация и сертификация: Задание на контрольную работу с методическими указаниями для студентов заочного обучения специальностей 181400, 101800, 211900, 071900 / Бердников И.А., Санникова Е.П. – Екатеринбург: УрГУПС, 2007

Электротехника и основы электроники: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений / Соколов Б.П., Соколов В.Б. – М.: Высш. шк., 1985. – 128 с, ил

Пигарев А.Ю. Электротехника и электроника: Методические указания для выполнения индивидуальных расчетно-графических заданий на основе системы схемотехнического моделирования Multisim 9. Новосибирск, 2009

Артеменко Ю.П., Сапожникова Н.М. Теоретические основы электротехники: Пособие по выполнению курсовой работы. – М.: МГТУ ГА, 2009


Решебники ТОЭ ТЛЭЦ ОТЦ электротехника  3 файла
Решебники с примерами решения задач по дисциплинам ТОЭ, ТЛЭЦ, ОТЦ, электротехника скачать

Пономаренко В.К. Пособие к практическим занятиям по теории электрических цепей. Учебное пособие — 2-е изд., переработанное и дополненное. Озерск: ОТИ МИФИ, 2001, 200 стр.

Зайчик М.Ю. Сборник задач и упражнений по теоретической электротехнике: Учеб. пособие для техникумов. – 6-е изд., перераб. и доп. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 496 с.: ил

Константинов В.И., Симонов А.Ф. Сборник практических примеров и задач по общей электротехнике. Изд. 3-е, переработ. и доп. Учеб. пособие для неэлектротехн. специальностей техникумов. М., «Высшая школа», 1971, 264 стр. с илл.


Учебники ТОЭ ТЛЭЦ ОТЦ электротехника  10 файлов
Учебники по дисциплинам ТОЭ, ТЛЭЦ, ОТЦ, электротехника скачать

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле: Учебник для электротехн., энерг., приборостроит. спец. вузов. – 8-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 263 с.: ил.

Волков Е.А., Санковский Э.И., Сидорович Д.Ю. Теория линейных электрических цепей железнодорожной автоматики, телемеханики и связи: Учебник для вузов ж.-д. транспорта / Под общей ред. проф. В.А. Кудряшова. – М.: Маршрут, 2005. – 509 с.

Каллер М.Я., Соболев Ю.В., Богданов А.Г. Теория линейных электрических цепей железнодорожной автоматики, телемеханики и связи. Учебник для вузов ж.-д. трансп. – М.: Транспорт, 1987. – 335 с.

Ю.А. Бычков, 
В.М. Золотницкий, 
Э.П. Чернышев, 
А.Н. Белянин Основы теоретической электротехники: Учебное пособие. 2-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 592 с.: ил. – (Учебники для вузов. Специальная литература)

Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1. – 4-е изд. / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. – СПб.: Питер, 2003. – 463 с.: ил.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. – 9-е изд., перераб. и доп. – М.: «Высшая школа», 1996. – 638 с.

Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 3. – 4-е изд. / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. – СПб.: Питер, 2003. – 377 с.: ил.

Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 2. – 4-е изд. / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. – СПб.: Питер, 2003. – 576 с.: ил.

А.Е. Каплянский, А.П. Лысенко, Л.С. Полотовский. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. М., «Высшая школа», 1972. 448 с. с илл.

Иванов И.И., Лукин А.Ф., Соловьев Г.И. Электротехника. Основные положения, примеры и задачи. 2-е изд., исправленное. – СПб.: Издательство «Лань», 2002. – 192 с.


rgr-toe.ru

ГДЗ от Путина Ру — готовые домашние задания

ГДЗ от Путина Найти
    • 1 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Немецкий язык
      • Информатика
      • Природоведение
      • Основы здоровья
      • Музыка
      • Литература
      • Окружающий мир
      • Человек и мир
    • 2 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Немецкий язык
      • Белорусский язык
      • Украинский язык
      • Информатика
      • Природоведение
      • Основы здоровья
      • Музыка
      • Литература
      • Окружающий мир
      • Человек и мир
      • Технология
    • 3 класс
      • Математика

gdzputina.ru

ГДЗ: уникальные решебники домашних заданий

Сборник ГДЗ к учебнику – это простой и надежный помощник для каждого школьника. Разнообразие современной школьной программы порой просто выбивает ребенка из колеи, ему реально трудно понять, чего хочет учитель. Темы сложные, объемные и их очень много! Всё и сразу запомнить может далеко не каждый.Мы припасли лучшие решебники в Рунете к различным учебным пособиям:

  • учебники
  • рабочие тетради
  • дидактические материалы
  • тесты
  • контрольные работы
  • самостоятельные работы и многое другое
  • Авторские решебники домашних заданий, разработанные компетентными авторами, содержат в себе правильные ответы на все упражнения и вопросы из учебников, рабочих тетрадей, тестов и так далее. Теперь не нужно думать, как сделать шпаргалку перед контрольной – достаточно открыть нужный решебник онлайн и посмотреть ответ. Всего за несколько лет ГДЗ из книжки для списывания превратились в универсальную учебную литературу, содержащую огромное количество информации в сжатом виде. Теперь ты сам можешь всего за полчаса повторить любую тему, разобраться со сложным упражнением или даже узнать основную суть того самого рассказа, который задавали прочитать дома.

    Решебники по всем предметам

    Собранные на нашем сайте уникальные решебники для 1-11 класса постоянно обновляются, чтобы школьники могли в любое время пользоваться актуальной информацией. Математика, русский язык, алгебра, геометрия, английский и немецкий, а также другие предметы – всё это отсортировано по разделам. Достаточно выбрать класс и предмет, затем кликнуть на автора и можно смотреть ГДЗ онлайн на мобильном, где угодно. Согласитесь, это поможет сэкономить немало времени при выполнении домашнего задания, или подготовке к самостоятельной работе в классе.

    Для поклонников гуманитарных дисциплин в решебниках есть

    • примеры сочинений
    • переводы текстов по английскому языку
    • различные пересказы
    • творческие работы

    Всё это одобрено учителями и может смело использоваться как наглядный пример при работе, как дома, так и на уроке. Более того, каждый сборник ГДЗ онлайн перепроверен вручную, что сводит количество возможных ошибок к нулю. Так что пользуйся с умом и ты имеешь все шансы стать отличником. Удиви учителей и порадуй родителей!

gdz.me

решебник с ответами за 1 по 11 класс

gdz.im Найти

Навигация по гдз

1 класс Русский язык Математика Английский язык Окружающий мир Литература Информатика Музыка Человек и мир 2 класс Русский язык Математика Английский язык Немецкий язык Окружающий мир Литература Информатика Музыка Технология Человек и мир Белорусский язык 3 класс Русский язык Математика Английский язык Немецкий язык Окружающий мир Литература Информатика Музыка Человек и мир Белорусский язык Испанский язык 4 класс Русский язык Математика Английский язык Немецкий язык Окружающий мир Литература Информатика Музыка Человек и мир Белорусский язык Испанский язык 5 класс Русский язык Математика Английский язык Немецкий язык История География Биология Обществознание Физика Литература Информатика Музыка Технология ОБЖ Природоведение Естествознание Человек и мир Белорусский язык Украинский язык Французский язык Испанский язык Китайский язык

gdz.im

Производная sin wt – Найти производную y’ = f'(x) = b*sin(w*t) (b умножить на синус от (w умножить на t))

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Производная sin(x^2+3*x+1)^(3)

Дано

$$\sin^{3}{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )}$$

Подробное решение

  1. Заменим
    u = \sin{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )}
    .

  2. В силу правила, применим:
    u^{3}
    получим
    3 u^{2}

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
    \frac{d}{d x} \sin{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )}
    :

    1. Заменим
      u = x^{2} + 3 x + 1
      .

    2. Производная синуса есть косинус:

      \frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      \frac{d}{d x}\left(x^{2} + 3 x + 1\right)
      :

      1. дифференцируем
        x^{2} + 3 x + 1
        почленно:

        1. дифференцируем
          x^{2} + 3 x
          почленно:

          1. В силу правила, применим:
            x^{2}
            получим
            2 x

          2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим:
              x
              получим
              1

            Таким образом, в результате:
            3

          В результате:
          2 x + 3

        2. Производная постоянной
          1
          равна нулю.

        В результате:
        2 x + 3

      В результате последовательности правил:

      \left(2 x + 3\right) \cos{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )}

    В результате последовательности правил:

    3 \left(2 x + 3\right) \sin^{2}{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )} \cos{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )}

  4. Теперь упростим:

    \left(6 x + 9\right) \sin^{2}{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )} \cos{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )}


Ответ:

\left(6 x + 9\right) \sin^{2}{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )} \cos{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )}

Первая производная

2/ 2 / 2
3*sin x + 3*x + 1/*(3 + 2*x)*cosx + 3*x + 1/

$$3 \left(2 x + 3\right) \sin^{2}{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )} \cos{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )}$$

Вторая производная

/ 2 2/ 2 2 2/ 2 / 2 / 2 \ / 2
3* — (3 + 2*x) *sin 1 + x + 3*x/ + 2*(3 + 2*x) *cos 1 + x + 3*x/ + 2*cos1 + x + 3*x/*sin1 + x + 3*x//*sin1 + x + 3*x/

$$3 \left(- \left(2 x + 3\right)^{2} \sin^{2}{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )} + 2 \left(2 x + 3\right)^{2} \cos^{2}{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )} + 2 \sin{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )} \cos{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )}\right) \sin{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )}$$

Третья производная

/ 3/ 2 2 3/ 2 2/ 2 / 2 2 2/ 2 / 2 \
3*(3 + 2*x)* — 6*sin 1 + x + 3*x/ + 2*(3 + 2*x) *cos 1 + x + 3*x/ + 12*cos 1 + x + 3*x/*sin1 + x + 3*x/ — 7*(3 + 2*x) *sin 1 + x + 3*x/*cos1 + x + 3*x//

$$3 \left(2 x + 3\right) \left(- 7 \left(2 x + 3\right)^{2} \sin^{2}{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )} \cos{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )} + 2 \left(2 x + 3\right)^{2} \cos^{3}{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )} — 6 \sin^{3}{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )} + 12 \sin{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )} \cos^{2}{\left (x^{2} + 3 x + 1 \right )}\right)$$ Загрузка… 4*a-3*b=4 3*a4*b=3 y = sqrt(-x^2) >>

uchimatchast.ru

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Производная 1/sin(x)^(59)

Дано

$$\frac{1}{\sin^{59}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

  1. Заменим
    u = \sin^{59}{\left (x \right )}
    .

  2. В силу правила, применим:
    \frac{1}{u}
    получим
    — \frac{1}{u^{2}}

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
    \frac{d}{d x} \sin^{59}{\left (x \right )}
    :

    1. Заменим
      u = \sin{\left (x \right )}
      .

    2. В силу правила, применим:
      u^{59}
      получим
      59 u^{58}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      \frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}
      :

      1. Производная синуса есть косинус:

        \frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

      В результате последовательности правил:

      59 \sin^{58}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}

    В результате последовательности правил:

    — \frac{59 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{60}{\left (x \right )}}


Ответ:

— \frac{59 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{60}{\left (x \right )}}

Первая производная

-59*cos(x)
—————
59
sin(x)*sin (x)

$$- \frac{59 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{60}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

/ 2
| 60*cos (x)|
59*|1 + ———-|
| 2 |
sin (x) /
——————-
59
sin (x)

$$\frac{1}{\sin^{59}{\left (x \right )}} \left(59 + \frac{3540 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

/ 2
| 3660*cos (x)|
-59*|179 + ————|*cos(x)
| 2 |
sin (x) /
——————————-
60
sin (x)

$$- \frac{59 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{60}{\left (x \right )}} \left(179 + \frac{3660 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Загрузка… x^3=2 x=sin(t) y=cos(t) >>

uchimatchast.ru

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Производная 5*sin(t)^(3)

Дано

$$5 \sin^{3}{\left (t \right )}$$

Подробное решение

  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

    1. Заменим
      u = \sin{\left (t \right )}
      .

    2. В силу правила, применим:
      u^{3}
      получим
      3 u^{2}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      \frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )}
      :

      1. Производная синуса есть косинус:

        \frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}

      В результате последовательности правил:

      3 \sin^{2}{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}

    Таким образом, в результате:
    15 \sin^{2}{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}


Ответ:

15 \sin^{2}{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}

Первая производная

$$15 \sin^{2}{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}$$

Вторая производная

/ 2 2
15* — sin (t) + 2*cos (t)/*sin(t)

$$15 \left(- \sin^{2}{\left (t \right )} + 2 \cos^{2}{\left (t \right )}\right) \sin{\left (t \right )}$$

Третья производная

/ 2 2
15* — 7*sin (t) + 2*cos (t)/*cos(t)

$$15 \left(- 7 \sin^{2}{\left (t \right )} + 2 \cos^{2}{\left (t \right )}\right) \cos{\left (t \right )}$$ Загрузка… tan(x)=-1/2 y^2=x^2+2*x y=x+2 >>

uchimatchast.ru

Делить плюс на минус – Умножения и деление отрицательных чисел. Решение примеров.

на больше это какой знак минус плюс умножить разделить

а это смотря что написано… Если написано что больше на 5 см., значит нужно прибавить эти 5. Если написано что больше в 5 раз, значит нужно умножить на эти 5.

плюс…на 10 больше -значит прибавить 10))

на это значит +, а если на сколько это значит -, а если в сколькото раз больше это умножение а если в склькото раз меньше это делить

мы решаем задачу ВЫСОТА ФУТБОЛЬНЫХ ВОРОТ 2 М 40 СМ. ОНА В 2 РАЗА БОЛЬШЕ ВЫСОТЫ ХОККЕЙНЫХ ВОРОТ. УЗНАЙ ВЫСОТУ ХОККЕЙНЫХ и у нас вопрос: в больше это же умножение почему тогда смотрим в инете ответ задачи, а там везде деление футбольных ворот ———-2м 40см хоккейных ворот————в 2 раза больше 2 м40 см=240 см 240:2=120 см =1 м 20см ———высота хоккейных ворот

Плюс! Плюс! И еще раз плюс!

если на сколько там больше то это + а сли на сколько там меньше это —

Это — минус задача (пример) Отец и сын носили воду для поливки сада Отец принес 6 ведер по 9 л. в каждом, а сын6 3 бидона по 3 л. каждый. На сколько литров воды больше принес отец чем сын? решение :6.9-3.3=45 л.))) Была рада помочь!

touch.otvet.mail.ru

Что выйдет если минус делить на плюс? Что выйдет если минус делить на плюс?

Минус. При умножении/делении нечётное кол-во минусов — минус, чётное кол-во минусов — плюс.

при умножении и делении на отрицательное число всегда будет отрицательное

Ходят слухи что будет минус и даже если делить наоборот, то тоже будет минус

Если минус делить на плюс выйдет минус. Даже если минус умножать на плюс тоже выйдет минус. А вот если минус делить или умножать на минус, то уже выйдет плюс.

touch.otvet.mail.ru

По это плюс, минус, умножение, деление? Помогите мне! По это плюс, минус, умножение, деление?

Добавление сказывается всегда знаком + (плюс) . В формуле операнды, называются «слагаемые» (соответственно «первое слагаемое» и «второе слагаемое»), а результат — «сумма». Умножение может сказываться точкой посередине высоты, Косым крестом, Звездочкой, Или в алгебраических формулах с буквенными параметрами и вообще ничем. В формуле операнды называются «множители» или «сомножители» (соответственно «первый множитель» и «второй множитель?) , а результат — «произведение». Вычитание является действием, обращенной к добавлению. Обозначается знаком — (минус) . В формуле первый операнд называется «уменьшаемое», второй операнд — «вычитаемое», а результат — «разница». Деление является действием, обращенной к умножению. Может обозначаться двоеточием, Или косой чертой . В формуле первый операнд называется «делимое», второй операнд — «делитель», а результат — «доля». Принято говорить, что доля является результатом деления делимого на делитель.

Плюс минус умножить и разделить — это математические операторы математических выражений. Если подробнее то смотрите тут — <a rel=»nofollow» href=»http://www.center-pss.ru/math/vopros-otvet/plus-minus-umnozhit-razdelit.htm» target=»_blank»>http://www.center-pss.ru/math/vopros-otvet/plus-minus-umnozhit-razdelit.htm</a>

touch.otvet.mail.ru

Таблицы сложения, вычитания, умножения, деления

Таблицы сложения, вычитания, умножения, деления

      

      Сложение, вычитание, умножение и деление относятся к математическим действиям, точнее, к арифметическим действиям. Таблица сложения, таблица вычитания, таблица умножения и таблица деления наглядно демонстрируют результаты этих математических действий.

      При сложении чисел получается новое число. Числа, которые складываются, называются «слагаемые», результат сложения называется «сумма». Обозначают сложение чисел знаком «плюс» +. При сложении сумма всегда больше любого из слагаемых. Результаты сложения можно записать в виде таблицы сложения.

      Математическим действием, обратным сложению, является вычитание. Вычитание также называют отниманием чисел. Число, из которого вычитают, называется «уменьшаемое». Число, которое вычитают, называется «вычитаемое». Результат вычитания называется «разность». Обозначают вычитание чисел знаком «минус» -. При вычитании уменьшаемое всегда больше разности. Для проверки правильности полученного результата при вычитании нужно сложить разность и вычитаемое. В результате сложения должно получиться уменьшаемое. Результаты вычитания можно записать в виде таблицы вычитания. Эта таблица не является арифметической таблицей вычитания, поскольку в ней представлены отрицательные числа. Отрицательные числа не являются натуральными числами и изучаются алгеброй, а не арифметикой. Перед отрицательными числами ставится знак минус.

      После небольшой рекламной паузы, во время которой вы можете насладиться всеми прелестями Интернета, мы продолжим изучение математических действий и рассмотрим другую «сладкую парочку» – умножение и деление. Там вас ожидает совершенно бесплатный, умопомрачительный бонус — целых ДВЕ упаковки таблицы деления!

      Числа, которые умножаются, называются «сомножители», результат умножения называется «произведение». Обозначают умножение чисел знаком «умножение» х. При умножении положительных чисел произведение всегда положительное и больше любого из сомножителей. При умножении положительного числа на отрицательное результат получается отрицательным – плюс на минус дает минус, минус на плюс дает минус. При умножении двух отрицательных чисел результат получается положительным – минус на минус дает плюс. Результаты умножения можно записать в виде таблицы умножения.

      Математическим действием, обратным умножению, является деление. Иногда при обозначении деления употребляется выражение «частное двух чисел». Обозначают деление знаком «деление» : или дробной чертой. Число, которое делится, называется «делимое». Если число записывается в виде дроби, делимое всегда находится в числителе дроби – над дробной чертой. Число, на которое делят, называется «делитель». Делитель всегда находится в знаменателе дроби – под дробной чертой. Результат деления называется «частное». При делении положительных чисел частное всегда положительно. Если одно из двух чисел, делимое или делитель, отрицательно, результат получается отрицательным – плюс на минус дает минус, минус на плюс дает минус. При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число – минус на минус дает плюс. Результаты деления можно записать в виде таблицы деления. Таблицу деления можно представить правильными дробями или десятичными дробями.

      Немного от себя.

Иметь калькулятор — это хорошо, но знать таблицу умножения — это выгодно! Тогда в любой ситуации продавцам будет гораздо труднее вас обсчитывать. «Пять у два — пятнадцать, плюс двенадцать — сорок семь, а всего с вас семьдесят!» — бойко лопочет продавщица, клацая по клавишам калькулятора. Я тупо смотрю на приготовленные три десятки в руках и прикидываю, могли ли так резко подскочить цены на товары. «А почём же у вас …?» — удивленно спрашиваю я. «Ой, я, наверное, ошиблась…» — продавщица снова клацает по калькулятору, берет у меня приготовленную сумму и дает мне сдачи.

      В помощь посетителям добавлю маленькую рубрику вопрос-ответ. Все вопросы взяты из поисковых запросов посетителей этого сайта, ответы на вопросы — мои.

Как Петр 1 называл сложение, вычитание, умножение и деление? — Петр 1 называл их адиция (по-английски сложение будет addition), субстракция (в английском языке пишется substraction и переводится как фундамент, основание; вычитание в английском языке пишется deduction) мультипликация (на английском языке multiplication означает умножение) и дивизия (по-английски деление будет division; моё любимое «деление на ноль» будет division by zero). Так было сказано в одной из книг о Петре 1, что он должен был знать адицию, субстракцию, мультипликацию и дивизию. То ли кто-то что-то напутал (в смысле спутал основы знаний с банальным вычитанием), то ли царь Петр не шибко вникал в то, что он говорил. Оно и понятно, это подданным нельзя ошибаться, а царям — всё можно.

Умножение и деление на 1 — при умножении или делении числа на единицу это число не изменяется. Например, восемнадцать умноженное (или деленное) на один равняется восемнадцать. Если отрицательное число умножить или разделить на один, в результате получится точно такое же отрицательное число.

Как называются числа при сложении? — при сложении числа называются слагаемыми. Слагаемых может быть два или больше.

Частное — это деление или умножение? — частное — так называется результат деления.

Как делить отрицательные числа? — точно так же, как и положительные. Только не забывайте ставить знак минус перед результатом деления. Если отрицательное число разделить на положительное — в результате будет отрицательное число.

Минус умножить на минус — при умножении минуса на минус будет плюс.

Деление минус на минус — при делении минуса на минус будет плюс.

Деление отрицательных дробей, деление отрицательной дроби на отрицательную — при делении двух отрицательных дробей результат будет положительным. Результат деления может быть как дробным, так и целым числом.

Деление на минус, деление на отрицательное число — при делении положительного числа (плюс) в результате получается отрицательное число (минус), при делении отрицательного числа (минус) в результате будет положительное число (плюс).

Деление положительного числа на отрицательное — дает в результате отрицательное число.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

      19 ноября 2008 года — 28 февраля 2017 года.

© 2006 — 2017 Николай Хижняк. Все права защишены.

ndspaces.narod.ru

Уравнения высшей математики – Высшая математика | Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач

Дифференциальные уравнения

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
$\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$).

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ :

а) дифференцируемы в окрестности точки $a,$ за исключением, быть
может, самой точки $a,$ причем $g'(x)\neq 0$ в этой окрестности;

б) функции $f(x)$ и $g(x)$ являются одновременно либо бесконечно
малыми либо бесконечно большими при $x\rightarrow a;$

в) существует конечный $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$ 

Тогда существует  $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ и
выполняется равенство $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$   

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $a,$

$g(a)=f(a)=0,$ $ g'(a)\neq ,0$ то $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$

 Примеры:

1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{5x^4}{6x^2-1}=1.$

2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-arctg x}{x^3}$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-arctg x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{3x^2(1+x^2)=\frac{1}{3}.}$$

3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

Имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0.$$

4. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Замечая, что $\sin x\sim x$ при $x\rightarrow 0,$ по правилу Лопиталя находим

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-\cos x+x\sin x}{3x^2}=$ $\frac{1}{3}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{3}.$

 

5. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^10-10x+9}{x^5-5x+4}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^10-10x+9}{x^5-5x+4}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{10x^9-10}{5x^4-5}.$

Пользуясь еще раз правилом Лопиталя, находим

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{10x^9-10}{5x^4-5}=2\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^9-1}{x^4-1}=2\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{9x^8}{4x^3}=\frac{9}{2}.$

 

6. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$ 

Пусть $k=[\alpha]+1;$ тогда $\alpha-k<0.$ 

Применяя правило Лопиталя $k$ раз, получаем $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha x^{\alpha-1}}{\beta e^{\beta x}}=…=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)…(\alpha-k+1)x^{\alpha-k}}{\beta^k e^{\beta x}}=0.$

7. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$ 

Пусть $\ln x =t;$ тогда $x=e^t$ и $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}}=\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^{\alpha}}{e^{\beta t}}=0$ (пример 6).

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

8. $\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x$

Преобразуя неопределенность вида $0\cdot\infty$ к виду $\frac{\infty}{\infty}$ и применяя правило Лопиталя имеем

$$\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x=\lim\limits_{x\rightarrow +0}\frac{\ln x}{1/x}=\lim\limits_{x\rightarrow +0}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow +0}(-x)=0.$$

9. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{50}}e^{-1/x^2}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Полагая $1/x^2=t,$ получаем

$$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{50}}e^{-1/x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{t^{25}}{e^t}=0.$$
10.  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg^2 x\right).$ 

Преобразуя неопредленность вида $\infty-\infty$ к виду $\frac{0}{0}$ и используя асимптотическую формулу $\sin x \sim x$ при $x\rightarrow 0,$ получаем

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg^2 x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^2 x-x^2\cos^2 x}{x^2\sin^2 x}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(\sin x+x\cos x)(\sin x-x\cos x)}{x^2\sin^2 x}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}.$$ 

Так как

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}+\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x=2,$$

а $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\frac{1}{3}$  (см. пример 4), то искомый предел равен $2/3.$

mathportal.net

Математический портал. Практические занятия по высшей математике.

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
$\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$).

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ :

а) дифференцируемы в окрестности точки $a,$ за исключением, быть
может, самой точки $a,$ причем $g'(x)\neq 0$ в этой окрестности;

б) функции $f(x)$ и $g(x)$ являются одновременно либо бесконечно
малыми либо бесконечно большими при $x\rightarrow a;$

в) существует конечный $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$ 

Тогда существует  $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ и
выполняется равенство $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$   

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $a,$

$g(a)=f(a)=0,$ $ g'(a)\neq ,0$ то $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$

 Примеры:

1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{5x^4}{6x^2-1}=1.$

2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-arctg x}{x^3}$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-arctg x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{3x^2(1+x^2)=\frac{1}{3}.}$$

3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

Имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0.$$

4. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Замечая, что $\sin x\sim x$ при $x\rightarrow 0,$ по правилу Лопиталя находим

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-\cos x+x\sin x}{3x^2}=$ $\frac{1}{3}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{3}.$

 

5. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^10-10x+9}{x^5-5x+4}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^10-10x+9}{x^5-5x+4}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{10x^9-10}{5x^4-5}.$

Пользуясь еще раз правилом Лопиталя, находим

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{10x^9-10}{5x^4-5}=2\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^9-1}{x^4-1}=2\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{9x^8}{4x^3}=\frac{9}{2}.$

 

6. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$ 

Пусть $k=[\alpha]+1;$ тогда $\alpha-k<0.$ 

Применяя правило Лопиталя $k$ раз, получаем $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha x^{\alpha-1}}{\beta e^{\beta x}}=…=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)…(\alpha-k+1)x^{\alpha-k}}{\beta^k e^{\beta x}}=0.$

7. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$ 

Пусть $\ln x =t;$ тогда $x=e^t$ и $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}}=\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^{\alpha}}{e^{\beta t}}=0$ (пример 6).

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

8. $\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x$

Преобразуя неопределенность вида $0\cdot\infty$ к виду $\frac{\infty}{\infty}$ и применяя правило Лопиталя имеем

$$\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x=\lim\limits_{x\rightarrow +0}\frac{\ln x}{1/x}=\lim\limits_{x\rightarrow +0}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow +0}(-x)=0.$$

9. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{50}}e^{-1/x^2}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Полагая $1/x^2=t,$ получаем

$$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{50}}e^{-1/x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{t^{25}}{e^t}=0.$$
10.  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg^2 x\right).$ 

Преобразуя неопредленность вида $\infty-\infty$ к виду $\frac{0}{0}$ и используя асимптотическую формулу $\sin x \sim x$ при $x\rightarrow 0,$ получаем

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg^2 x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^2 x-x^2\cos^2 x}{x^2\sin^2 x}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(\sin x+x\cos x)(\sin x-x\cos x)}{x^2\sin^2 x}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}.$$ 

Так как

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}+\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x=2,$$

а $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\frac{1}{3}$  (см. пример 4), то искомый предел равен $2/3.$

mathportal.net

Высшая математика решение задач по математике Кузнецов Л.А, примеры, задания беслпатно, решение уравнений, матрицы, производные

Решение задач по высшей математике, РГЗ по математике, ИДЗ, задачи.

Если Вы зашли в этот раздел, значит, у Вас возникли проблемы с самой сложной, но в то же время и самой интересной древней наукой – математикой. Бояться этих проблем не стоит, так как они практически неизбежны при самостоятельном изучении предмета высшая математика. К примеру, для того, чтобы развить понятие интеграла, математикам понадобилось более трех сотен лет, в то время как в обычном учебнике по высшей математике введение этого понятия занимает не более двух страниц! Естественно, что сжатый стиль изложения в современных учебниках является необходимостью. Однако краткость подачи материала приводит к проблемам непонимания теории и , как следствие, трудностям в практическом применении теорем и формул. В решении этих проблем мы и постараемся оказать Вам квалифицированную помощь в том виде, каком Вы сами желаете ее получить.
Прежде всего давайте определимся, какая именно помощь Вам нужна. Возможно, у Вас неважно с высшей математикой, но Вы хотите самостоятельно постичь трудную для Вас тему. В этом случае мы вышлем Вам решение задач по высшей математике с подробным комментариями, читая которые Вы сможете разобраться в непонятном разделе. Возможно, в скором времени у Вас зачет или экзамен, а на решение задач уже просто не остается времени и сил. В этом случае мы поможем Вам быстро и в срок сдать решенную работу по нужной тематике. Конечно, желательно чтобы Вы ознакомились с решениями задач по математике перед тем, как сдавать работу преподавателю. Дело в том, что во многих вузах практикуется так называемая защита работы, на которой студент отвечает на вопросы преподавателя по методам и основным теоремам, что применялись при решении задач.
В любом случае Вы сочли нужным не откладывать проблему в неопределенные дали, а обратиться за помощью, что, бесспорно, верное решение. Проблемы с высшей математикой запускать не стоит, поскольку каждый новый раздел этой науки во многом опирается на результаты предыдущего, не говоря уже о том, что данные математических исследований используют сопредельные науки: теоретическая механика, сопротивление материалов, экономика предприятий и так далее.
Что мы можем предложить Вам в помощь? Конечно, это качественное и быстрое решение задач по высшей математике. Если Вы сочтете нужным, задачи будут снабжены подробным решением или решены тем методом, которым Вы сами укажете. Наверное, Вы обратили внимание на то, что современный Интернет битком набит сайтами с громкими заголовками вроде: «Мы решаем задачи из любых разделов математики», «Решим любую задачу» и тому подобными обещаниями. Если верить подобным заголовкам, то великая теорема Ферма была проблемой на протяжении нескольких столетий лишь потому, что не существовало Интернета. Мы не станем разбрасываться подобными заявлениями, но в любом случае сделаем все возможное, чтобы Вы получили качественное и своевременное решение задачи.

Наши преподаватели решают следующие задачи по высшей математике

1. Высшая математика
2. Аналитическая геометрия
3. Теория Вероятности
4. Основы комплексного анализа
5. Основы теории вероятности и математической статистики.
6. Математический анализ функций вещественной переменной многое другое…

Бесплатные лекции по высшей математике Лекции по высшей математике (математика)

Скачать беспалатно пример решение по высшей математике

       Двойной интеграл — площадь, полярная система
       Двойной интеграл — смена порядка интегрирования
       Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с правой частью специального вида
       Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
       Применение векторного произведения для нахождения синуса угла
       Применение векторного произведения для определения площади
       Применение двойного интеграла для вычисления объема
       Применение метода Лагранжа для решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка
       Применение скалярного произведения для расчета угла между векторами
       Применение смешанного произведения векторов для нахождения объема пирамиды
       Прямая и плоскость в пространстве
       Решение дифференциального уравнения
       Решение дифференциальных уравнений второго порядка,
       Решение дифференциальных уравнений первого порядка (однородных) (примеры решения задач)
       Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
       Решение системы линейных уравнений тремя методами: методом Гаусса, методом Крамера и методом обратной матрицы
       Решение систем дифференциальных уравнений методом исключения
       Дифференциальные уравнения — Метод Коши решения неоднородных линейных уравнений первого порядка
       Теорема про суперпозицию (наложение) решений неоднородных линейных дифференциальных уравнений
       Дифференциальные уравнения — Уравнение Бернулли
       Вычисление длины дуги
       Вычисление объема по площади поперечного сечения
       Вычисление объема тела вращения
       Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница
       Вычисление площади с помощью определенного интеграла
       Интегрирование некоторых иррациональностей
       Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
       Интегрирование рациональных функций
       Полное исследование функции и построение графика
       Построение графика функции в полярной системе координат
       Построение графика функции с помощью элементарных преобразований
       Вычисление криволинейного интеграла второго рода (по координатам)
       Вычисление криволинейного интеграла второго рода по формуле Грина
       Вычисление криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги)
       Вычисление поверхностных интегралов первого рода высшая математика
       Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Признак Лейбница
       Интегральный признак Коши сходимости числовых рядов
       Область сходимости степенного ряда
       Приближенные вычисления с помощью функциональных рядов
       Признак Д’Аламбера сходимости знакопостоянного числового ряда
       Признак сравнения в предельной форме
       Применение функциональных рядов для приближенного вычисления определенных интегралов
       Радикальный признак Коши сходимости знакопостоянного числового ряда
       Разложение функции в ряд Фурье
       Вычисление потока и циркуляции векторного поля
       Потенциальность и соленоидальность векторных полей. Нахождение потенциала.
       Формула Остроградского-Гаусса
       Вычисление объема с помощью тройного интеграла
       Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
       Определение пределов интегрирования в тройном интеграле
        решения задач по математике скачать…
        решения задач высшей математике скачать…
        решения задач по геометрии скачать…
        решение РГЗ по математике скачать…
        задачи по вышке скачать…
        курсовая работа по математике скачать…
        задачи по алгебре скачать…

botaniks.ru

Высшая математика — Lurkmore

«

— Профессор, а я получу автомат? — Да. После присяги.

»
— анекдот

Высшая математика или вышка (не путать с этой и этой) — одна из важнейших причин, по которым студенты становятся солдатами, а гуманитарии ненавидят технарей.

Эта страна

В настоящее время употребляется чаще всего всевозможными гуманитариями для обозначения некой совокупности преподаваемых в технических вузах дисциплин, где используется неведомая им математическая символика. Что касается самих выпускников этих самых техвузов, то они чаще всего отвечают, что такого, мол, зверя они никогда не видели; не слышали, как ревёт; и не знают, где он водится. Ибо, как правило, на пристойных факультетах нет предмета «высшая математика», а есть несколько предметов из спискоты, которую можно обозреть ниже.

Впрочем, нет правил без исключений. Например, в МГРИ инженеры-технари проходят джва года высшую математику. Как результат, как только начинается физика, гидромеханика, или какие-нибудь спецпредметы, типа «теории разрушения при бурении и взрывании», 95% вдруг выясняют, что нихуя не знают. А преподы дружно возмущаются на придурков-студентов, ни хрена не знающих. Так что же вкладывается в понятие «высшая математика»?

  • аналитическая геометрия (анал, аналит, ангем)
  • алгебра: общая (обычно говорят высшая) и линейная (линейка, линал)
  • многомерная геометрия и линейная алгебра (мгла)
  • математический анализ (матан, матанализ, матанал)
  • векторный анализ (выкидыш матана)
  • дифференциальные уравнения (дифуры)
  • интегральные уравнения (интуры)
  • дифференциальные уравнения с частными производными (УРЧП), хотя тут возможны варианты: например, уравнения математической физики (урмат, УМФ)
  • теория функций комлексного переменного (тфкп, комплан, копьё)
  • функциональный анализ (функан, фан, фуан)
  • дифференциальная геометрия и топология (дифгем)
  • теория вероятностей (тервер)
  • математическая статистика (матстат)
  • теория случайных процессов (слупы)
  • теория чисел (ТЧ)
  • численные методы (ЧМы, числаки, чисмет), иногда величаются «вычислительной математикой» (вычмат)
  • дискретная математика (дискра, дискретка)
  • математическая логика и теория алгоритмов (матлог, логика)
  • теория формальных языков и методы трансляции (метран) aka теория автоматов и формальных языков (таифя)
  • вариационное исчисление и теория управления (вариационка)
  • методы оптимизации (медопты)
  • исследование операций (исо, иссоп)
  • теория игр (тигры)
  • математическое моделирование (матмод)
  • тензорный анализ (тенза)
  • алгебраическая геометрия
  • десятки всякоразных спецкурсов — интегральные преобразования, специальные функции, теория групп, группы Ли, математические модели нелинейной динамики etc

Этот список, похожий на учебный план мехмата МГУ, может разниться от ВУЗа к ВУЗу: одни дисциплины совмещаются в составных курсах, другие разделяются. Например, в последнее время появилась мода выделять из матана кратные интегралы и ряды в векторный анализ.

[править] Взгляд из школы

Согласно версии школьных учителей, 95% из которых училась на каждом курсе по джва года, высшая математика — это лютый кровожадный ненасытный зверь. Зверь сей водится в застенках вузов и питается трупами мозгами студентов. При этом они, конечно, выполняют указания школьной верхушки и элиты родительского комитета, цель которых — не допустить чужое быдло и небыдло в технические вузы, но чтоб их-то безмозглое чадо всенепременно туда поступило и не отправилось в армию. Во исполнение этой благородной цели в школе преподают элементы высшей математики: производные, простенькие интегралы и чуть-чуть теории вероятностей. Преподают, надо сказать, так, что потом в ВУЗах преподы срут кирпичами от той ереси, которую несут первокурсники после слов «я это знаю, мы в школе проходили». Именно поэтому первое, что слышит вчерашнее школиё по приходу в новую Аlma mater — «Забудьте всё, чему вас учили в школе».

Ку! Тру!

Надо заметить, что советское книгостроение породило такую вещь, как справочники по высшей математике, среди которых встречаются очень даже годные творения, и многочисленные учебники по высшей математике. Справочники в массе своей являются просто справочниками по математике, отличной от школьной. То есть если теорему Пифагора там найти ещё можно, то вот про какую-нибудь точку Лемуана — ни строчки. Зато написано много про разделы, перечисленные выше.

Учебники по сабжу — это, как правило, сборная солянка из линала, кусков матана, дифуров и ещё какой-нибудь НЁХ из наиболее любимых сердцу автора разделов математики. В целом, обычно нечитабельны чуть менее чем полностью, и частенько содержат грубые ошибки. Вменяемые преподы обычно советуют читать классику типа Фихтенгольца. Раки же иногда начинают срать кирпичами, когда видят задачу, решённую не по методичке. Разгадка проста. В шарашкиных конторах, как правило, работают поциэнты, больные ФГМ, закончившие такую же шарагу на такие же тройки, да ещё и 40 лет назад.

Вот примеры книготы для интересующихся:

[править] Вышка в массах

На некоторых нематематических факультетах вузов вышак таки бывает нужен. Например, на химфаке МГУ есть аналитическая геометрия, линейная алгебра, матан, тервер, урматы, матстат и диффуры. В качестве бонуса можно также получить статфиз, ТФКП и вариационное исчисление. Разгадка столь годной математической программы в истории факультета — ломоносовский химфак был отпилен от физфака, в то время как остальные химфаки Этой страны выделялись с медфаков.

Бывает, однако, что математика вроде как нужна, но и вроде как не особо много. Вот тут-то и появляется на божий свет такой предмет как высшая математика. Рождённый ублюдок обычно является компиляцией из самых разных разделов математики, но традиционно обязательно включает в себя матан и линал.

Бывает, конечно, и третья ситуация. Когда вышак вроде есть, но как-то не особо нужен. Например, бывает высшая математика у филологов. С точки зрения технарей выглядит как ликбез для слабоумных, а с точки зрения гуманитариев как НЁХ. В силу скверного характера большинства ведущих сие преподов часто превращается в жестокий мозгосос и культивирует ненависть к технарям вообще и математике в частности.

[править] Современное использование

В последнее время серьёзные люди об этом меме стали забывать[Ололо, на башорг!]. Однако, недавний министр образования Этой страны, в миру Андрей Фурсенко, обнаружил в школьной программе эту самую высшую математику, которую необходимо оттуда срочно выпиливать, дабы окончательно не прикончить детскую креативность и вырастить «грамотного потребителя». При этом добавил, что сам её в школе не изучал и при этом не дурее других. Что он при этом имел в виду, остаётся загадкой, особенно с учётом того, сколь ничтожное время на это тратится. Освободившееся время предложено занять уроками патриотизма, физкультурой, основами православной духовности, мусульманской культуры, чуркистанских языков и прочими архиважными предметами.

На самом деле, высшая математика была в школьной программе при совке, потом её оттуда пидорнули, а с введением ЕГЭ снова вернули взад. Зачем она там нужна в том уёбищном виде, в котором она там есть сейчас — загадка. Так что это один из тех немногих случаев, когда вменяемая общественность таки согласна с Фурсенкой. Что, впрочем, не отменяет жгучей попоболи по поводу необходимости растить потреблядей.

Надо отметить, что во всяких школах-рассадниках матана (типа 57-й, 1543-й, СУНЦа или «Второй») различные аспекты высшей математики преподают наряду с олимпиадной. Причём иногда даже весьма успешно и лучшие вполне годно знают к моменту окончания процентов 80 универской программы мехмата за первые два, а то и три курса. Но закон Парето не наебёшь, а 80% усилий к оставшимся 20% курса прикладывать обычно не хочется. В результате хорошие некогда школьники превращаются в плохих студентов и отправляются в биореактор армию.

[править] Позиция Миши Вербицкого

Другой крайности придерживается, в частности Миша Вербицкий, изучавший матан в Пиндостане. Его проект реформы математического образования, представляющий собой довольно странно систематизированный образовательный стандарт с сильным доминированием алгебраической геометрии, опубликован здесь.Если такая программа будет введена, то студентам нужно будет выдавать на каждый семестр по трёхлитровой банке, доверху набитой мелкими кусочками промокательной бумаги, пропитанной растворами ДМТ и ЛСД, а также полмешка сушёной гармалы или другой травы, содержащей бета-карболины, для того, чтобы их организмы лучше усваивали вышеприведённые вещества. Для этой же цели вместо травы могут быть использованы антидепрессанты из класса ингибиторов МАО. Обычно употребляемые студентами в период сессии глицин и ноотропы (пирацетам, аминалон и другие) здесь уже не помогут.

[править] Высшая математика на экономических факультетах

На экономических факультетах сей предмет изучается в течение первых четырёх семестров. На его изучение отводится, как правило, по четыре часа в неделю, без учета статистики, теорвера и матметодов в экономике. В некоторых особо продвинутых мухосранских университетах в качестве регионально-вузовского компонента отдельно выносится односеместровый курс дифференциальных уравнений (для отсева студентов, не являющихся родственниками и единомышленниками преподавателей, а также являющихся просто неугодными преподавательскому составу лицами, со второго курса). Следует заметить, что для освоения на втором курсе даже односеместровых диффуров нужен более серьёзный уровень математической культуры, нежели тот, который приобретается студентами-экономистами в течение первого курса. В прочих более-менее нормальных ВУЗах в отдельную дисциплину выносится теория вероятностей и математическая статистика, служащая базой для дальнейшего изучения статистических дисциплин.

Вылезший из таких шараг частично загнутый, отупевший и озверевший офисный планктон уверен в том, что изучил математику в том же объёме, в каком она изучается на мехматах и при этом люто бешено негодует, когда ему стараются доказать обратное.

Однако, есть среди экономистов лица изучающие математику в большем объёме. Они учатся в РЭШ, МГУ, РАНХиГС, ФУ и ВШЭ. Когда же дипломированные математики начинают учиться экономике, то иногда получаются высококлассные специалисты и исследователи. Действительная илита экономистов, единственно востребованные специалисты, в отличие от выпускников всякого говна, не годных даже дворы подметать.

Высшая математика, ты сказал?! Садись, два.

lurkmore.to

Высшая математика

Многа времени в обучении занимает курс высшей математики. Она нужна экономистам, прикладникам, механикам, статистам, финансистам, логистам и т. п. На каждом шаге она проявляется и в повседневной жизни. Сама по себе математика развивает умение анализировать и принимать оптимальные решения. На одних факультетах курс высшей математики более углубленный, на других более краткий и упрощенный под нужные задачи.

В данной подборке статей вы найдете следующие категории:

Любимые задачи заочников о треугольнике на плоскости и треугольной пирамиде в пространстве Вы найдете в разделе Векторы. Здесь также есть задачи на отыскание расстояния до прямой, между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности, угол между прямыми в пространстве и на плоскости, линии второго порядка.

Категория Матрицы и определители только названием многое рассказывает. Здесь Вы научитесь транспонировать матрицы, искать их ранг, вычислять обратную матрицу.

Все это поможет решать Системы линейных уравнений. Здесь приведены примеры использования всевозможных методов, которые встречаются в обучении и позволяют найти решение.

При моделировании и исследовании процессов, которые окружают нас не обойтись Дифференцирования и Интегрирования. Приведены основные правила и методы, позволяющие быстро отыскать нужный интеграл и производную. Приведенные примеры нахождения площади и объема с использованием интегрирования

В категории Ряды приведены основные правила по которым исследуют их сходимость и показано на примерах где и когда их применять. Примеры будут интересными и практичны студентам на практических занятиях.

Надеюсь, что и Вы захотите принять участие в работе сайта. Наполнение категорий новыми и полезными для Вас статьями не такое и легкое дело, и требует много времени на решение, проверку, оформление интересных задач. Поэтому просьба ко всем студентам и выпускникам присылать по возможности учебные материалы, контрольные, тесты и т.д. Таким образом вы поможете не только сайту но и будущим поколениям студентов. Форма для отправки материала приведена ниже и не требует от Вас ввода личных данных.

{formcalc 4}

yukhym.com

«Чистая» и прикладная математика

На этом сайте даны решения многих типичных и более сложных задач по высшей математике, дискретной математике, статистике и программированию. Они сопровождаются самым необходимым теоретическим материалом по теме.

Материалы сайта адресованы студентам экономических и технических факультетов высших учебных заведений, будущим и практикующим программистам и инженерам любых отраслей. Материалы по математической статистике могут быть полезны также студентам социальных и гуманитарных наук, проводящим исследования по своим темам, так как исследования не могут претендовать на объективность, не будучи подкреплёнными выводами, основанными на численных методах.

Главная задача сайта — раскрыть технологии, алгоритмы решения задач, как в случае студентов, или напомнить их, если они были забыты, как в случаях многих практикующих специалистов. Поэтому при создании материалов сайта по возможности отбрасываются громоздкие теоретические рассуждения, которые сделали бы сайт похожим на учебник.

Коротко об авторе проекта: Юрий Зубков, по первому образованию статистик, по второму — программист. Оба вида деятельности обязывают уделять основное внимание именно практической, прикладной стороне математической науки.

Модель объекта должна быть максимально простой, но не проще, чем сам объект. Это следует из высказывания Альберта Эйнштейна: «Всё должно быть изложено так просто, как только возможно, но не проще». Эта формула прекрасно отражает способы освоения высшей математики с точки зрения математики элементарной, то есть школьной. В высшей математике нет ни одного метода, который нельзя было бы свести к одному или сочетанию нескольких приёмов, изученных в средней школе.

Таков подход, взятый при создании и развитии этого сайта: основой более сложного всегда является элементарное. «Ко всему надо относиться просто, но это так сложно», — любит говорить один знакомый автора проекта. Самое сложное, пожалуй, то, что даже самое простое при освоении новой темы накапливается в таком количестве, которое не всегда удержишь в голове. Число Ингве — 7 плюс-минус 2: доказано, что человеческая память способна удерживать одновременно именно столько связанных между собой структур данных.

Выход — пользоваться ресурсами, где основные темы высшей математики изложены через призму элементарных методов решения задач. Например, этим сайтом.

Вся элементарная математика — Средняя математическая интернет-школа

Все разделы учебной программы по элементарной математике: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия,функции и графики, основы анализа. A также: множества, вероятность, основы аналитической геометрии. Теория и решение задач. Задачи для дошкольников и младших школьников. Варианты экзаменационных тестов. Онлайн-консультации. Подготовка в университеты и колледжи.


Решение задач по математике, физике, информатике

Быстрое и качественное решение контрольных работ по математике, физике, информатике. Оформление в Word всех решений по высшей математике. Гарантии правильности выполнения заданий.


Решение математических заданий

Помощь в решении контрольных работ по математическому анализу, теории вероятностей и т.д., каталог решений популярных задачников.


Математика для студентов и прочее

Решения типовых студенческих задач из различных разделов высшей Математики. В разделе Видео — большая коллекция видеолекций, в основном по математике.


Электронный задачник

Главная часть сайта — это сборник задач по школьному курсу математики, отобранных авторами сайта вследствие многолетнего репетиторства с выпускниками средней школы. Задач в сборнике ровно 1000 соответственно названию сайта (хотя на всем сайте их значительно больше).


www.teorver.ru

Теория вероятностей, математическая статистика, математический анализ, биографии математиков и многое другое


www.trivida.ru

Инженерная графика 1 курс Сайт TriVida.ru содержит уникальные уроки по инженерной графике, начертательной геометрии и черчению.
Есть возможность срочно выполнить чертежи на заказ.


термех — теормех решение задач готовый Яблонский, Мещерский, Тарг Шпоры

Решение задач теормех (термех), Яблонский, Мещерский, Тарг.

Помощь в решении задач: теоретическая механика (теормех, термех). Решение задач, выполнение курсовых и контрольных работ, консультации, репетитор, индивидуальные занятия. Шпоры, решенные, готовые задачи из Яблонского, Мещерского и Тарга, задачи по теормеху (термеху), выполненные лично автором, он-лайн консультации, решебник Мещерского.


Учебные материалы по химии и не только

Сайт для школьников и студентов — помощь в решении задач по химии, математике и физике, а также полезные учебные материалы.


Multiring.ru — каталог ЭОР, библиотека бесплатных русских электронных образовательных программ, онлайн обучение.

При подготовке материалов сайта использована следующая литература:

Афанасьев, М.Ю., Багриновский, К.А., Матюшок, В.М. Прикладные задачи исследования операций. Москва, «Инфра-М», 2006. 352 стр.

Бахвалов, С.В., Моденов, П.С., Пархоменко, А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва, «Наука», 1964. 440 стр.

Беклемишева, Л.А., Петрович, А.Ю., Чубаров, И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Москва, «Наука», 1987. 495 стр.

Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Москва, «Наука», 1985. 384 стр.

Боревич, З.И. Определители и матрицы. Москва, «Наука», 1988. 184 стр.

Бурилич, И.Н., Дмитриев, В.И. (сост.) Кратные интегралы: Методические указания и индивидуальные задания для тренинга и контроля. Курск, Курск. гос. техн. ун-т. 2001. 30 с.

Ващенко, Г.В. Вычислительная математика. Красноярск, СибГТУ, 2005. 80 стр.

Вентцель, Е.С., Овчаров, Л.А. Теория вероятностей. Москва, «Наука», 1969. 355 стр.

Вентцель, Е.С., Овчаров, Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Москва, «Высшая школа», 2000. 480 стр.

Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей. Москва, «Наука», 1988. 446 стр.

Дейт, К.Дж. Введение в системы баз данных. Москва, «Вильямс», 2005. 1328 стр.

Добрица, Б.Т., Дубограй, И.В., Скуднева, О.В. Кратные интегралы и их приложения. Москва, Московский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана, 2000. 44 стр.

Ермолаев, Л.А. Введение в линейную алгебру и линейное программирование. Алма-Ата, «Наука», 1966. 187 стр.

Ефимов, А.В., Поспелов, А.С. Сборник задач по математике для втузов. Т. 2 . Москва, Издательство физико-математической литературы, 2001. 431 стр.

Ефимов, Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. Москва, «Наука», 1967. 227 стр.

Ильин, В.А., Позняк, Э.Г. Аналитическая геометрия. Москва, «Наука», 1981. 232 стр.

Ильин, В.А., Позняк, Э.Г. Основы математического анализа. Москва, «Наука», 1967. 572 стр.

Карасев, А.И., Аксютина, З.М., Савельева, Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Т. 1. Москва, «Высшая школа», 1982. 272 стр.

Карасев, А.И., Аксютина, З.М., Савельева, Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Т. 2. Москва, «Высшая школа», 1982. 320 стр.

Карпов, В.Г., Мощенский, В.А. Математическая логика и дискретная математика. Минск, «Вышэйшая школа», 1977. 256 стр.

Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва, «Наука», 1986. 224 стр.

Крамор, В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва, «Просвещение», 1990. 415 стр.

Кремер, Н.Ш. Исследование операций в экономике. Москва, «Юнити», 2002. 413 стр.

Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1. Москва, «Высшая школа», 1981. 687 стр.

Куликов, Л.Я. Алгебра и теория чисел. Москва, «Высшая школа», 1979. 560 стр.

Курош, А.Г. Курс высшей алгебры. Москва, «Наука», 1975. 432 стр.

Льюс, Р.Д., Райфа, Х. Игры и решения. Москва, Издательство иностранной литературы, 1961. 642 стр.

Мелентьев, Е.К., Бутакова, Г.И., Калашникова, Л.А., Тимофеева, Л.К. Упражнения и задачи по курсу «Линейная алгебра и линейное программирование». Куйбышев, Куйбышевский плановый институт, 1964. 125 стр.

Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. Москва, «Высшая школа», 1979. 400 стр.

Новиков, П.С. Элементы математической логики. Москва, Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. 400 стр.

Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. Т. 1. Москва, «Наука», 1966. 552 стр.

Проскуряков, И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Москва, «Наука», 1984. 336 стр.

Савин, А.П. (сост.) Энциклопедический словарь юного математика. Москва, «Педагогика», 1989. 352 стр.

Тимофеев, А.Ф. Интегрирование функций. Москва, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. 433 стр.

Фаддеев, Д.К., Соминский, И.С. Сборник задач по высшей алгебре. Москва, «Наука», 1968. 303 стр.

Филипс, Г. Дифферециальные уравнения. Москва-Ленинград, Государственное технико-теоретическое издательство, 1932. 80 стр.

Харари, Ф. Теория графов. Москва, «Мир», 1973. 300 стр.

Цилькер, Б.Я., Орлов, С.А. Организация ЭВМ и систем. СПб, «Питер», 2004. 654 стр.

Шикин, Е.В., Чхартишвили, А.Г. Математические методы и модели в управлении. Москва, «Дело», 2002. 439 стр.

Шипачев, В.С. Высшая математика. Москва, «Высшая школа», 1990. 479 стр.

Щегольков, Е.А. Интегральное исчисление. Москва, Учпедгиз, 1952. 138 стр.

Яунземс, А. Математика для экономических наук. Рига, Латвийский Университет, 1993. 841 стр.

Chankong, V, Haimes, Y. Multiobjective decision making: Theory and Methodology. N.Y.: Dover Publications, 2008. 432 P.

von Neumann, J, Morgenstern, 0. Theory of Games and economic behaviour. Princeton: Princeton University Press, 1953. 300 P.

Roman, S. An Introduction to Discrete Mathematics. W.B. Saunders College Publishing, 1989. 470 P.

Wayne L. Operations Research Applications and Algorithms. N.Y: Informatio/Publishing group, 1991. 1392 P.

Arhipova, I., Bāliņa, S. Statistika ekonomikā un biznesā. Rīga, Datorzinību centrs, 2006. 362 lpp.

Bože, Dz., Biezā, L., Siliņa, B., Strence, A. Uzdevumu krājums augstākajā matemātikā. Rīga, «Zvaigzne», 1984. 320 lpp.

Kļaviņš, D, Zelčs, J. Operāciju pētīšanas matemātiskās metodes. Rīga, Zvaigzne, 1978. 303 lpp.

Orlovska, A. Statistika. Rīga, Rīgas tehniskā universitāte, 2007. 111 lpp.

function-x.ru

Пределы последовательности примеры решения – ?

Задание 1. Доказать, используя определение предела последовательности, что . Найти номер элемента последовательности, начиная с которого последовательность отличается от своего предела не более, чем на 0,001.

Решение. Доказать, что – это значит указать такой номер , что все элементы последовательности, начиная с этого номера, не больше чем на по модулю отличаются от .

В нашем случае

;

.

Если достаточно большое настолько, что , то равенство выполняется . Значит, для в качестве можно выбрать 1.

Если , то из неравенства следует, что и в качестве можно выбрать любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству, например ( – целая часть числа ).

Итак,

При .

Задание 4. Доказать, что последовательность является неограниченной, но не является бесконечно большой.

Решение. Решение состоит из двух частей. Доказать, что последовательность неограниченна, т. е. , другими словами, последовательность содержит сколь угодно большие элементы. Тем не менее, эта последовательность не является бесконечно большой, т. е. для последовательности неверно утверждение , а верно обратное утверждение . Другими словами, в последовательности есть элементы со сколь угодно большими номерами, модуль которых не превосходит некоторого числа.

В данном случае . При – нечётных , при — чётных .

Докажем первую часть утверждения. Выберем произвольное сколь угодно большое и найдём такой номер , что . Если нечётно, то . Из неравенства следует, что в качестве можно выбрать любое нечётное число, большее, чем .

Чтобы доказать вторую часть утверждения, обратим внимание на то, что все элементы последовательности с чётными номерами . Если (например ), то какой бы мы ни указали номер , найдется номер больше (чётный), такой, что .

Таким образом, последовательность не является бесконечно большой.

Задание 5.

Пример 1. Доказать, что последовательность имеет предел.

Решение. Покажем, что последовательность монотонно возрастающая.

Сравним последовательность с последовательностью

, каждый член – сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем .

Сумма членов геометрической прогрессии определяется по формуле , т. е. , при имеем .

Так как , то . Итак, все условия теоремы о сходимости монотонной и ограниченной последовательности выполнены, следовательно, последовательность имеет предел. Обратите внимание на то, что не является , поэтому нельзя утверждать, что .

Пример 2. Доказать, что последовательность

имеет предел, и вычислить его.

Решение. Покажем, что последовательность:

А) ограничена сверху;

Б) монотонно возрастает.

При доказательстве пункта а) используем метод математической индукции. Очевидно, что . Предположим, что для произвольного номера выполняется неравенство , тогда . В соответствии с методом математической индукции неравенство выполняется для любого номера, т. е. , следовательно, последовательность ограничена сверху. б) Докажем, что , снова используя метод математической индукции. Очевидно, что . Пусть .

.

, но так как , то , значит, для .

Таким образом, последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, значит, она имеет предел. Вычислим его. Пусть . Так как , то . Поскольку

, но , , тогда , . Так как мы установили, что , то отбрасываем. Итак .

При выполнении заданий 6, 7, 8 используется следующий результат

Задание 6. Вычислить предел

Решение. При нахождении предела отношения двух многочленов необходимо сравнить степени в числителе и в знаменателе. При кажущейся простоте этой операции она требует определенного внимания и навыков. Рассмотрим предел =Приведем подобные члены

Так как наивысшие степени в числителе и знаменателе равны между собой , то предел равен отношению коэффициентов при наивысших степенях.

Задание 7. Вычислить предел .

Решение. Отметим, что

; ,

Тогда

.

В следующем задании предлагается найти предел выражения, которое представляет собой сумму, число слагаемых которой возрастает с ростом . В этом случае нельзя переходить к пределу в каждом слагаемом отдельно. Предел можно вычислить, предварительно просуммировав слагаемые под знаком предела. С этой целью используются известные формулы суммирования членов арифметической и геометрических прогрессий.

Задание 8.

Пример 1. Найти предел числовой последовательности

.

Решение. Преобразуем заданное выражение

.

В числителе стоит сумма членов арифметической прогрессии со знаменателем . Сумма членов арифметической прогрессии равна . В нашем примере , , число членов , тогда .

.

Пример 2. Найти предел числовой последовательности

.

Решение. Преобразуем заданное выражение

Таким образом, мы имеем сумму членов двух геометрических прогрессий, знаменатель одной из них , первый член , знаменатель другой , первый член .

Сумма членов геометрической прогрессии определяется по формуле , т. е.

Для первой прогрессии ,

Для второй прогрессии ,

При имеем

Задание 9.

Пример 1. Вычислить предел

.

Решение.

Для раскрытия неопределённости воспользуемся соотношением

И домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение

При вычислении предела было учтено, что , .

Пример 2. Вычислить предел

.

Решение.

Для раскрытия неопределённости воспользуемся соотношением и домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение

Задание 10. Вычислить предел .

Решение. Так как , то – величина бесконечно малая, , т. е. – величина ограниченная. Произведение величины ограниченной на бесконечно малую есть величина бесконечно малая, т. е.

.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Предел последовательности

Определение числовой последовательности

Вначале введем определения числовой последовательности и основные понятия, связанные с числовыми последовательностями.

Определение 1

Числовая функция, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел, называется числовой последовательностью.

Определение 2

Отображения множества натуральных чисел на множество действительных чисел называется числовой последовательностью.

Для понятия числовой последовательности существуют понятия монотонности и ограниченности.

Определение 3

Числовая последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого номера $n\in N$ $x_nx_{n+1}$).

Определение 4

Числовая последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого номера $n\in N$ $x_n\ge x_{n+1}$ ($x_n\le x_{n+1}$).

Определение 5

Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует действительное число $M$ $(m)$, такое что для любого номера $n\in N$ $x_n\le M$ ($x_n\ge m$).

Определение 6

Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена как сверху, так и снизу, то есть существуют действительные числа $M$ и $m$ такие, что для любого номера $n\in N$ $m\le x_n\le M$.

Определение 7

Числовая последовательность называется неограниченной сверху (снизу), если для любого действительного числа $M$ $(m)$ существует $x_{n_0}$ такое, что $x_{n_0} >M$ ($x_{n_0}

Определение 8

Числовая последовательность называется неограниченной, если она неограничена хотя бы с одной стороны.

Определение 9

Числовая последовательность называется неограниченной, если для любого натурального числа $M$ существует $x_{n_0}$, такое что ${|x}_{n_0}| >M$.

Предел числовой последовательности

Приведем вначале несколько определений предела числовой последовательности.

Определение 10

Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если для любого $\varepsilon >0$ существует номер $N$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любого номера $n >N$ выполняется неравенство $\left|x_n-a\right|

Определение 11

Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если в любую окрестность точки $a$ попадают все члены последовательности $(x_n)$, за исключением, быть может, конечного числа членов.

Определение 12

Предел числовой последовательности $(x_n)$ равен $+\infty \ (-\infty )$ $[\infty ]$, если для любого числа $M > 0$ существует номер $N$, зависящий от $M$, такой, что для любого номера $n >N$ $x_n >M$ $(x_nM]$

С понятием предела числовой последовательности связано понятие сходимости и расходимости числовой последовательности.

Определение 13

Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел, в противном случае она называется расходящейся.

Свойства предела числовой последовательности

  1. Всякая сходящаяся числовая последовательность ограничена.

  2. Если числовая последовательность $(x_n)$ имеет конечный предел, то он единственный.

  3. Если числовые последовательности $(x_n)$ и $(y_n)$ имеют конечные пределы $a,b\in R$, то выполняются равенства

и если дополнительно известно, что $b\ne 0$, то

Теоремы, связанные с понятием предела числовой последовательности

Теорема 1

Теорема Вейерштрасса

Пусть числовая последовательность $(x_n)$ монотонно возрастает (убывает), тогда:

  1. Если числовая последовательность $\left(x_n\right)$ ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

  2. Если числовая последовательность $\left(x_n\right)$ неограничена сверху (снизу), то ее предел равен $+\infty $ $(-\infty )$.

Теорема 2

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Из всякой ограниченной числовой последовательности $\left(x_n\right)$ можно извлечь по крайней мере одну подпоследовательность, которая имеет конечный предел.

Теорема 3

Теорема — Критерий Больцано-Коши

Для того чтобы числовая последовательность $(x_n)$ имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon >0$ существовал номер $N$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любых номеров $n,\ m >N$ выполняется равенство $\left|x_n-x_m\right|

Примеры задач на вычисление пределов числовой последовательности

Рассматривая далее задачи, мы введем универсальные правила для вычисления некоторых числовых последовательностей.

Пример 1

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{3n^4+2n-1}{4n^3+5n^2-8}\ }$

Решение:

Правило 1: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя больше степени знаменателя, то данный предел равен $\infty $.

Таким образом, получаем что

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{3n^4+2n-1}{4n^3+5n^2-8}\ }=\infty \]

Пример 2

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^6+3n-6}{7n^7+5n^2+3}\ }$

Решение:

Правило 2: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя меньше степени знаменателя, то данный предел равен $0$.

Таким образом, получаем что

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^6+3n-6}{7n^7+5n^2+3}\ }=0\]

Пример 3

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{2n^3-2n+4}{4n^3+8n^2-3}\ }$

Решение:

Правило 1: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя равна степени знаменателя, то данный предел равен отношению коэффициентов, стоящих при старших степенях.

Таким образом, получаем что

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{2n^3-2n+4}{4n^3+8n^2-3}\ }=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]

spravochnick.ru

Как вычислить пределы последовательностей? :: SYL.ru

Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись.

Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей».

Что такое последовательности и где их предел?

Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди. Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность. А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок.

Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом:

х1, х2, х3, …хn

Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества.

Как строится числовая последовательность?

Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n…

В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например:

х1 — первый член последовательности;

х2 — второй член последовательности;

х3 — третий член;

хn — энный член.

В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например:

Хn=3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так:

х1 = 3;

х2 = 6;

х3 = 9;

и т. д.

Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д.

Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна.

Задача: «Пусть а1=15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда»

Решение: а1= 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда).

а2= 15+4=19 — второй член прогрессии.

а3=19+4=23 — третий член.

а4=23+4=27 — четвёртый член.

Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а125.. Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: аn=a1+d(n–1). В данном случае а125=15+4(125-1)=511.

Виды последовательностей

Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой аn=(-1)n . Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд.

-1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться.

Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: аn = (n+1)!

Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом:

а1 = 1х2=2;

а2 = 1х2х3 = 6;

а3 = 1х2х3х4 =24 и т. д.

Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1<k<1. Например: аn= (–1/2)n.

а1 = – ½;

а2 = ¼;

а3 = – 1/8 и т. д.

Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, аn=6 состоит из бесконечного множества шестёрок.

Определение предела последовательности

Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции:

  1. Все пределы обозначаются сокращённо lim.
  2. Запись предела состоит из сокращения lim, какой-либо переменной, стремящейся к определённому числу, нулю или бесконечности, а также из самой функции.

Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: аx = 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом.

5, 9, 13, 17, 21…x …

Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так:

Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим:

ax = 4x + 1.

А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять.

Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий.

Общее обозначение предела последовательностей

Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре.

Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств?

∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п.

∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел.

Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п.

Далее идёт модуль. Очевидно, модуль — это расстояние, которое по определению не может быть отрицательным. Значит модуль разности строго меньше «эпсилона».

Для закрепления материала прочитайте формулу вслух.

Неопределённость и определённость предела

Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции:

Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь:

Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев.

Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х1 .

Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1.

Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х1.

Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски:

Получается следующее выражение:

Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя.

Что такое окрестность?

Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются.

Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями.

Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно.

Теперь зададим некоторую последовательность хn и положим, что десятый член последовательности (x10)входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке?

Допустим, х10 находится правее от точки а, тогда расстояние х10–а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х10–а|<ε.

Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |xn – a|< ε.

С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ.

Теоремы

Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства:

  1. Единственность предела последовательности. Предел у любой последовательности может быть только один или не быть вовсе. Тот же пример с очередью, у которой может быть только один конец.
  2. Если ряд чисел имеет предел, то последовательность этих чисел ограничена.
  3. Предел суммы (разности, произведения) последовательностей равен сумме (разности, произведению) их пределов.
  4. Предел частного от деления двух последовательностей равен частному пределов тогда и только тогда, когда знаменатель не обращается в ноль.

Доказательство последовательностей

Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере.

Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю.

По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |xn– a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности.

На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» — числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе.

Откуда получается, что n > –3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать.

Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания.

А может, его нет?

Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» xn= (–1)n . очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела.

Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка ( 0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения.

Монотонная последовательность

Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью».

Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство xn < xn+1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство xn > xn+1.

Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, xn ≤ xn+1 (неубывающая последовательность) и xn ≥ xn+1 (невозрастающая последовательность).

Но легче понимать подобное на примерах.

Последовательность, заданная формулой хn= 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность.

А если взять xn=1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность.

Предел сходящейся и ограниченной последовательности

Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел.

Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один.

Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность.

Предел монотонной последовательности

Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела.

Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного).

Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся.

Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль).

Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся.

Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей — также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено!

Различные действия с пределами

Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции.

Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов.

Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно.

Свойства величин последовательностей

Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем:

  1. Сумма любого количества сколько угодно малых величин будет также малой величиной.
  2. Сумма любого количества больших величин будет бесконечно большой величиной.
  3. Произведение сколь угодно малых величин бесконечно мало.
  4. Произведение сколько угодно больших чисел — величина бесконечно большая.
  5. Если исходная последовательность стремится к бесконечно большому числу, то величина, ей обратная, будет бесконечно малой и стремиться к нулю.

На самом деле вычислить предел последовательности — не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин.

www.syl.ru

1.Предел последовательности.

Пусть аргумент принимает все значения изнатурального ряда

(1)

члены которого мы представляем себе упорядоченными по возрастанию (т.е. большее число следует за меньшим). Если каждомупо некоторому правилу или закону поставлено в соответствие, то говорят, что задана последовательность.

(2)

Например:

(3)

Определение 1.Числоназывается пределом последовательности, если для любого сколь угодно малого положительногонайдется такой номер, что для всехвыполняется неравенство:

. (4)

Тот факт, что число является пределом последовательности, записывается так:

. (5)

Неравенство (4) эквивалентно неравенствам или. Последние неравенства означают, что элементнаходится в-окрестности числа.-окрестностьючисланазывается интервал. Поэтому определение предела последовательности можно сформулировать также и следующим образом:

Определение 2. Последовательностьимеет предел, если существует числотакое, что в любой-окрестности числанаходятся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.

Теоремы о пределах последовательности.

Теорема 1.Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Теорема 2.Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 3.Предел суммы (разности) двух последовательностей равен

сумме (разности) пределов этих последовательностей.

.

Теорема 4.Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей.

.

Теорема 5. Предел частного двух последовательностей равен частному пределов этих последовательностей (при условии, что знаменатель не обращается в нуль).

.

Теорема 6.Если для двух последовательностейии, члены последовательностиудовлетворяют неравенству, тогда.

Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Определение 3.Последовательностьназывается бесконечно малой, если. Последовательностьназывается бесконечно большой, если.

  • Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

  • Произведение конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

  • Произведение конечной величины на бесконечно малую величину есть величина бесконечно малая.

  • Сумма конечного числа бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая.

  • Произведение конечного числа бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая.

  • Произведение конечной величины на бесконечно большую величину есть величина бесконечно большая.

  • Если является бесконечно большой величиной, то ее обратная величинабудет бесконечно малой.

Предел последовательности Число.

Предел данной последовательности равен

где число -основание натурального логарифма.

При вычислении пределов типа (6) следует использовать следующие свойства:

1.(7)

2.(8)

3.(9)

4.(10)

Приведем несколько примеров вычисления пределов последовательности.

Пример 1

Вычислить предел последовательности.

Решение:

В данном примере последовательность представляет собой рациональную дробь, для вычисления пределов такого вида необходимо знаменатель и числитель дроби разделить на в наивысшей степени. В нашем примере это.

Так как , если, а- ограниченная величина.

Ответ:

Пример 2

Вычислить предел последовательности

Решение:

Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей, содержащих иррациональности.

Ответ:

Пример 3

Вычислить предел последовательности .

Решение:

Для вычисления подобных пределов с неопределенностью , необходимо умножить и разделитьна его сопряженное. Это необходимо для того, чтобы воспользоваться формулой «разность квадратов»и, избавившись от квадратного корня, получить дробь.

Ответ:

Пример 4

Вычислить предел последовательности .

Решение:

Для вычисления подобных пределов необходимо умножить и разделить на неполный квадрат суммы. Это необходимо для того, чтобы воспользоваться формулой «разность кубов»и, избавившись от кубических корней, получить дробь. Неполным квадратом суммы в нашем примере является:

Ответ:

Пример 5

Вычислить предел последовательности

Решение:

Последовательность — является арифметической прогрессией с разностью. Суммапервых членов арифметической прогрессии находится по формуле:

(11)

Т.е. тогда

Ответ:

Пример 6

Вычислить предел последовательности

Решение:

Напомним, что

(12)

(13)

Ответ:

Пример 7

Вычислить предел последовательности

Решение:

Для вычисления предела преобразуем к виду (6). С этой целью выделим в числителе выражение, стоящее в знаменателе и почленно разделим, а затем воспользуемся свойствами (7)-(10):

Ответ:

studfiles.net

Предел последовательности, формулы и примеры

Доказательство Предположим противное, что заданная последовательность имеет предел, который равен . Это означает, что для любого существует такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство :

   

Поскольку имеют место следующие неравенства:

   

тогда взяв , будем иметь, что

   

Или, подставляя значения:

   

Рассмотрим модуль следующей разности: . С одной стороны имеем, что

   

а с другой стороны модуль разности меньше либо равен суммы модулей, то есть

   

   

Итак, имеем, что

   

То есть получили противоречие , которое означает, что предположение, что заданная последовательность имеет предел, который равен , неверно. Следовательно, последовательность не имеет предела.

Что и требовалось доказать.

ru.solverbook.com

Числовая последовательность и ее предел

Определения числовых последовательностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел , следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция целочисленного аргумента , то есть .

Если число – это предел последовательности , то это обозначают как , или при , или

Теоремы числовых последовательностей

ТЕОРЕМА 1

Числовая последовательность не может иметь более одного предела.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае числовая последовательность называется расходящейся.

Для сходящихся числовых последовательностей имеют место следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 2 Предел суммы/разности двух последовательностей равен сумме/разности пределов от каждой из них, если последние существуют:

   

Пример:

   

ТЕОРЕМА 3 Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют:

   

Пример:

   

ТЕОРЕМА Предел отношения двух последовательностей равен отношению пределов от каждой из них, если эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю:

   

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

1.Числовая последовательности и ее предел.

 Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

  (1)

следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого  задается как функция целочисленного аргумента,  т.е.  .

Число А называется пределом последовательности (1), если для любого   существует число  , такое, что при  выполняется неравенство  . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:

 если  .

Пример 1. 

 Найти общий член последовательности 1, 4, 9, 16, 25, …

Р е ш е н и е : нетрудно видеть, что

 и т.д.

Следовательно 

 

Пример 2.

 Найти общий член последовательности 

Р е ш е н и е : не трудно видеть, что

  

  и т.д.

Следовательно:

  Пример 3.

 Доказать, что последовательность с общим членом  имеет предел, равный нулю.

Р е ш е н и е : запишем ряд членов последовательности

и положим  . Для всех членов данной последовательности, начиная с четвертого, выполняется равенство

Действительно

 и т.д.

В данном случае N (см. определение предела последовательности) можно принять равным трем (или любому числу, больше трех), так как, если порядковый номер члена последовательности n больше трех, то выполняется неравенство

 .

Положим теперь  . Ясно, что для всех членов последовательности начиная с седьмого,

 .

Теперь за N можно принять шесть (или любое число, большее шести). Если  , то  и т.д.

В данном случае можно найти общее выражение для числа N в зависимости от  . Общий член данной последовательности  . Задавшись произвольным положительным числом  , мы должны в соответствии с определением предела, потребовать, чтобы при n > N выполнялось неравенство , если  .

Решая неравенство относительно n, получаем  . Итак, за N можно принять число  (или любое большее число). Таким образом, мы показали, что для любого  существует такое  , чтопри  , выполняется неравенство  , а это и доказывает, что пределом последовательности является нуль.

Отметим, что в этой задаче члены последовательности приближались к своему пределу, оставаясь больше этого предела, как говорят, справа.

2.Способы задания функции.

1. Аналитический способ

      Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у = f (х),  где f (х) — некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

      Для аналитически заданной функции иногда не указывают явно область определения функции. В таком случае подразумевают, что область определения функции у = f (х) совпадает с областью определения выражения f (х), т. е. с множеством тех значений х, при которых выражение f (х) имеет смысл.

studfiles.net

Треугольник прямоугольный периметр – Формулы периметра прямоугольного треугольника

Как найти периметр прямоугольного треугольника

Чтобы узнать как найти периметр прямоугольного треугольника, нужно вспомнить что такое периметр.
Для того, чтобы найти периметр нужно сложить все длины сторон данного треугольника.
Например, если МТЕ — прямоугольный треугольник, и он имеет катеты и и гипотенузу , то его периметр будет равен:

   

Рассмотрим примеры того, как найти периметр треугольника с прямым углом.

Пример 1.
У прямоугольного треугольника гипотенузы равна 19 дм, а катеты соответственно по 13 дм и 17 дм. Найдем периметр этого треугольника.

Решение.
Воспользуемся формулой для нахождения периметра прямоугольного треугольника:

   

Подставим известные значения и получим:
(дм).

Ответ. (дм).

Пример 2.
Известны гипотенуза и катет прямоугольного треугольника, длины которых равны соответственно 31 см и 23 см. Найдем периметр заданного треугольника.

Решение.
Согласно условию дан прямоугольный треугольник, у которого есть две известные длины — длина гипотенузы и длина катета. Для того, чтобы найти периметр заданного треугольника, необходимо знать и длину второго катета. Поскольку треугольник является прямоугольным, то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, из которой и найдем неизвестную длину:

   

(см).
Найдем периметр согласно рассмотренной выше формуле:
(см).

Ответ. (см).

ru.solverbook.com

Периметр прямоугольного треугольника формула | Помощь школьнику

1) у = 2х + 5 2) у = 4 – 3х 3) у = 8х – 2 4) у = 5х 5) у = 0,1х + 8 6) Х = 2 7) У = х – 3, у = 2х + 3 у = -3х + 1 у = 4х – 2 у = 5х + 2 у = 3 у = -х у = -3 + х, 1) 0 2) 0 3) 1 4) 0 5) 1 6) 1 7) Бесконечное множество. с тестами по карточкам. Карточка № 1. А10. Соотнесите функции, заданные формулами с их графиками (рис. 1).

Как найти периметр прямоугольного треугольника?

Прямоугольный треугольник — это частный вид произвольного треугольника. Как и любой другой треугольник он имеет три стороны, но один из его углов обязательно должен составлять 90 градусов. Ка только вы определили, что заданный треугольник является прямоугольным, можно приступить к нахождению его основных величин. Одной из характеристик прямоугольного треугольника является его периметр. Нахождению периметра прямоугольного треугольника посвящено много задач по геометрии.

Где P — периметр треугольника;

A, b, c — стороны треугольника.

Исходя из теоремы Пифагора появилась возможность определять периметр прямоугольного треугольника по его двум любым сторонам известной длины. Если известны длины катетов, то периметр треугольника определяется через нахождение величины гипотенузы по формуле:

Если известен только один из катетов и длина гипотенузы, то периметр треугольника определяется через нахождение величины недостающего катета по формуле:

Если в прямоугольном треугольнике известна только длина гипотенузы с и один из прилегающих к ней острых углов α, то периметр треугольника в данном случае может быть определен по формуле:

В том случае, когда условиями задачи задана длина катета a и величина противолежащего ему острого угла α, то периметр прямоугольного треугольника в данном случае вычисляется по формуле:

Если же задан катет a с прилежащим к нему углом β, то периметр треугольника может быть рассчитан на основе выражения:

Периметр прямоугольного треугольника формула

Как найти периметр прямоугольного треугольника

Прямоугольным треугольником считается такой треугольник, один из углов которого равен 90 градусам, а два других являются острыми углами. Расчет периметра такого треугольника будет зависим от количества известных о нем данных.

В зависимости от случая, знание двух из трех сторон треугольника, а также одного из его острых углов.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как найти периметр прямоугольного треугольника» Как найти площадь поверхности пирамиды Как найти периметр если известна площадь Как найти периметр равностороннего треугольника

Способ 1.Если известны все три стороны треугольника, то, независимо от того, прямоугольный ли треугольник или нет, его периметр будет рассчитан так:

P = a + b + c, где, допустим,

Способ 2. Если в прямоугольнике известны только 2 стороны, то, используя теорему Пифагора, периметр этого треугольника можно рассчитать по формуле:

P = v(a2 + b2) + a + b, или

P = v(c2 – b2) + b + с.

Способ 3. Пусть в прямоугольном треугольнике даны гипотенуза c и острый угол?, то найти периметр можно будет таким образом:

P = (1 + sin? + cos?)*с.

Способ 4. Дано, что в прямоугольном треугольнике длина одного из катета равна a, а напротив него лежит острый угол?. Тогда расчет периметра этого треугольника будет вестись по формуле:

P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)

Способ 5. Пускай нам известен катет a и прилежащий к нему угол?, тогда периметр будет рассчитан так:

P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)

Другие новости по теме:

Площадь и периметр — основные числовые характеристики любых геометрических фигур. Нахождение этих величин упрощается благодаря общепринятым формулам, согласно которым можно также вычислить одно через другое с минимумом или полным отсутствием дополнительных начальных данных. Спонсор размещения P&G

Равносторонний треугольник наряду с квадратом является, пожалуй, самой простой и симметричной фигурой в планиметрии. Разумеется, все соотношения, справедливые для обычного треугольника, верны также и для равностороннего. Однако для правильного треугольника все формулы становятся намного проще. Вам

Периметр треугольника, как и любой другой плоской геометрической фигуры, составляет сумма длин ограничивающих его отрезков. Поэтому, чтобы вычислить длину периметра, надо знать длины его сторон. Но в силу того, что длины сторон в геометрических фигурах связаны определенными соотношениями с

Прямоугольным считается такой треугольник, у которого один из углов прямой. Сторона треугольника, расположенная напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами. Чтобы найти длины сторон прямоугольного треугольника, можно воспользоваться несколькими способами. Спонсор

Периметр любой геометрической фигуры, в том числе треугольника, равен совокупной длине границ этой фигуры. Он обозначается заглавной латинской буквой P и легко находится методом сложения длин всех сторон данной фигуры. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как вычислить периметр треугольника»

Треугольник — это многоугольник, имеющий три стороны и три угла. Как же вычислить его периметр? Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как находить перим

poiskvstavropole.ru

Высота прямоугольного треугольника делит его на треугольники с периметрами 3 и 4. Найдите периметр заданного треугольника.

Способ 1.
Анализ. Очевидно, что

Поэтому используя подобие треугольников, выразим через одну переменную стороны и свяжем их, используя данные значения периметров, а так же теорему Пифагора.

Решение. Так как 

то 

Пусть AH=x, BH=y, CH=h, тогда AC=4-(x+y), CB=3-(y+h).

Учитывая, что 

Из треугольника ACH по теореме Пифагора:

Свяжем теперь три стороны, используя периметр и найдем значение h:

Осталось подставить

Ответ: 5.

Способ 2.

Оказывается, что сумма квадратов периметров двух треугольников, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник, равна квадрату периметра этого треугольника.

Докажем это в общем виде.

Для начала напомню формулу квадрата суммы трех слагаемых:

Рассмотрим треугольники:

Пусть CB=a; AC=b, CH=h, HB=x, тогда AH=c-x. Учитывая, что угол A и угол BCH равны, получаем:

Для удобства в дальнейшем доказательстве я обозначила каждое равенство отдельным цветом. Далее находим сумму квадратов периметров «малых» треугольников:

Теперь, очевидно, для нахождения периметра треугольника необходимо

Ответ: 5.

mathrepetitor.blogspot.com

теорема Пифагора и формула косинусов в зависимости от известных сторон

Периметр — это величина, подразумевающая длину всех сторон плоской (двумерной) геометрической фигуры. Для разных геометрических фигур существуют разные способы нахождения периметра.

В данной статье вы узнаете как находить периметр фигуры разными способами, в зависимости от известных его граней.

Вконтакте

Одноклассники

Facebook

Мой мир

Twitter

Возможные методы:

  • известны все три стороны равнобедренного или любого другого треугольника;
  • как найти периметр прямоугольного треугольника при двух известных его гранях;
  • известны две грани и угол, который расположен между ними (формула косинусов) без средней линии и высоты.

Это интересно: что микроэкономика изучает, кратко об основателях и основах науки.

Первый метод: известны все стороны фигуры

Как находить периметра треугольника, когда известны все три грани, необходимо использовать следующую формулу: P = a + b + c, где a,b,c — известные длины всех сторон треугольника, P — периметр фигуры.

Например, известны три стороны фигуры: a = 24 см, b = 24 см, c = 24 см. Это правильная равнобедренная фигура, чтобы вычислить периметр пользуемся формулой: P = 24 + 24 + 24 = 72 см.

Данная формула подходит к любому треугольнику, необходимо просто знать длины всех его сторон. Если хотя бы одна из них неизвестна, необходимо воспользоваться другими способами, о которых мы поговорим ниже.

Еще один пример: a = 15 см, б = 13 см, c = 17 см. Вычисляем периметр: P = 15 + 13 + 17 = 45 см.

Очень важно помечать единицу измерения в полученном ответе. В наших примерах длины сторон указаны в сантиметрах (см), однако, существуют разные задачи, в условиях которых присутствуют другие единицы измерения.

Это интересно: что понимают под образовательными информационными ресурсами?

Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны

В том случае, когда в задании, которое нужно решить, дана прямоугольная фигура, длины двух граней которой известны, а третья нет, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора описывает соотношение между гранями прямоугольного треугольника. Формула, описываемая этой теоремой, является одной из самых известных и наиболее часто применяемых теорем в геометрии. Итак, сама теорема:

Стороны любого прямоугольного треугольника описываются таким уравнением: a^2 + b^2 = c^2, где а и b — катеты фигуры, а c — гипотенуза.

  • Гипотенуза. Она всегда расположена противоположно прямому углу (90 градусов), а также является самой длинной гранью треугольника. В математике принято обозначать гипотенузу буквой c.
  • Катеты — это грани прямоугольного треугольника, которые относятся к прямому углу и обозначаются буквами а и b. Один из катетов одновременно является и высотой фигуры.

Таким образом, если условиями задачи заданы длины двух из трех граней такой геометрической фигуры, с помощью теоремы Пифагора необходима найти размерность третьей грани, после чего воспользоваться формулой из первого метода.

Например, мы знаем длину 2-х катетов: a = 3 см, b = 5 см. Подставляем значения в теорему: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c^2 => c = 5 см. Итак, гипотенуза такого треугольника равна 5 см. К слову, данный пример является самым распространенным и называется «Египетский треугольник». Иными словами, если два катета фигуры равны 3 см и 4 см, то гипотенуза составит 5 см соответственно.

Если неизвестна длина одного из катетов, необходимо преобразовать формулу следующим образом: c^2 — a^2 = b^2. И наоборот для другого катета.

Продолжим пример. Теперь необходимо обратиться к стандартной формуле поиска периметра фигуры: P = a + b + c. В нашем случае: P = 3 + 4 + 5 = 12 см.

Третий метод: по двум граням и углу между ними

В старшей школе, а также университете, чаще всего приходится обращаться именно к данному способу нахождения периметра. Если условиями задачи заданы длины двух сторон, а также размерность угла между ними, то необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Данная теорема применима абсолютно к любому треугольнику, что и делает ее одной из наиболее полезных в геометрии. Сама теорема выглядит следующим образом: c^2 = a^2 + b^2 — (2 * a * b * cos(C)), где a,b,c — стандартно длины граней, а A,B и С — это углы, которые лежат напротив соответствующих граней треугольника. То есть, A — угол, противолежащий стороне a и так далее.

Представим, что описан треугольник, стороны а и б которого составляют 100 см и 120 см соответственно, а угол, лежащий между ними, составляет 97 градусов. То есть а = 100 см, б = 120 см, C = 97 градусов.

Все, что нужно сделать в данном случае — это подставить все известные значения в теорему косинусов. Длины известных граней возводятся в квадрат, после чего известные стороны перемножаются между друг другом и на два и умножаются на косинус угла между ними. Далее, необходимо сложить квадраты граней и отнять от них второе полученное значение. Из итоговой величины извлекается квадратный корень — это будет третья, неизвестная до этого сторона.

После того как все три грани фигуры известны, осталось воспользоваться уже полюбившейся нам стандартной формулой поиска периметра описываемой фигуры из первого метода.

Задача решена.

obrazovanie.guru

Периметр — прямоугольный треугольник — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Периметр — прямоугольный треугольник

Cтраница 1

Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см, а высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см. Найти стороны треугольника.  [1]

Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см. Найти его стороны, если высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см. Решение.  [2]

Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а гипотенуза равна с.  [3]

Периметр прямоугольного треугольника равен 132, а сумма квадратов сторон треугольника-6050.  [4]

Периметр прямоугольного треугольника равен 2 р, а гипотенуза равна с.  [5]

Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а гипотенуза равна с.  [6]

Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.  [7]

Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.  [8]

Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а гипотенуза равна с.  [9]

Периметр прямоугольного треугольника равен 60 дюймам, а длина высоты, перпендикулярной гипотенузе, равна 12 дюймам.  [10]

Периметр прямоугольного треугольника ЛВС ( С я / 2) равен, 72 см, а разность между длинами медианы СК и высоты СМ равна 7 см. Найти площадь треугольника ЛВС.  [11]

Периметр прямоугольного треугольника ABC ( Z C90) равен 72 см, а разность между длинами медианы С / С и высоты СМ равна 7 см. Найти длину гипотенузы.  [12]

Периметр прямоугольного треугольника ABC ( ZLC90) равен 72 см, а разность между длинами медианы С / С и высоты СМ равна 7 см. Найти длину гипотенузы.  [13]

Периметр прямоугольного треугольника ЛВС ( С я / 2) равен 72 см, а разность между длинами медианы С / С и высоты СМ равна 7 см. Найти площадь треугольника ЛВС.  [14]

Длина периметра прямоугольного треугольника равна Чр, а длина гипотенузы равна С.  [15]

Страницы:      1    2

www.ngpedia.ru

Log 4 по основанию 2 – Помогите log4 по основанию 2

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение cos((5pi)/12)
3 Найти точное значение arctan(-1)
4 Найти точное значение sin(75)
5 Найти точное значение arcsin(-1)
6 Найти точное значение sin(60 град. )
7 Найти точное значение sin(pi/3)
8 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
9 Найти точное значение cos(pi/3)
10 Найти точное значение sin(0)
11 Найти точное значение cos(pi/12)
12 Найти точное значение sin(30 град. )
13 Найти точное значение cos(60 град. )
14 Найти точное значение cos(30 град. )
15 Найти точное значение sin((2pi)/3)
16 Найти точное значение arcsin(1)
17 Найти точное значение sin(pi/2)
18 График f(x)=x^2
19 Найти точное значение sin(45 град. )
20 Найти точное значение sin(15)
21 Упростить квадратный корень x^2
22 Найти точное значение arccos(-1)
23 Найти точное значение tan(60 град. )
24 Найти точное значение cos(45 град. )
25 Вычислить логарифм по основанию 2 от 8
26 Упростить квадратный корень x^3
27 Найти точное значение arcsin(-1/2)
28 Найти точное значение cos(45)
29 Найти точное значение tan(30 град. )
30 Найти точное значение tan(30)
31 Найти точное значение arcsin(1)
32 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
33 Найти точное значение sin(45)
34 Найти точное значение cos(0)
35 Найти точное значение tan(45 град. )
36 Найти точное значение arctan(0)
37 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
38 График y=x^2
39 Вычислить натуральный логарифм 1
40 Вычислить логарифм по основанию 3 от 81
41 Найти точное значение cos(15)
42 Вычислить логарифм по основанию 5 от 125
43 Упростить кубический корень из квадратного корня 64x^6
44 Вычислить логарифм по основанию 3 от 81
45 Вычислить логарифм по основанию 2 от 8
46 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
47 Найти точное значение cos(75)
48 Найти точное значение sin((3pi)/4)
49 Упростить (1/( квадратный корень x+h)-1/( квадратный корень x))/h
50 Упростить кубический корень x^3
51 Найти точное значение sin((5pi)/12)
52 Найти точное значение arcsin(-1/2)
53 Найти точное значение sin(30)
54 Найти точное значение sin(105)
55 Найти точное значение tan((3pi)/4)
56 Упростить квадратный корень s квадратный корень s^7
57 Упростить корень четвертой степени x^4y^2z^2
58 Найти точное значение sin(60)
59 Найти точное значение arccos(-( квадратный корень 2)/2)
60 Найти точное значение tan(0)
61 Найти точное значение sin((3pi)/2)
62 Вычислить логарифм по основанию 4 от 64
63 Упростить корень шестой степени 64a^6b^7
64 Вычислить квадратный корень 2
65 Найти точное значение arccos(1)
66 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 3)/2)
67 График f(x)=2^x
68 Найти точное значение sin((3pi)/4)
69 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
70 Вычислить логарифм по основанию 5 от 25
71 Найти точное значение tan(pi/2)
72 Найти точное значение cos((7pi)/12)
73 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
74 Найти точное значение sin((5pi)/6)
75 Преобразовать из градусов в радианы 150
76 Найти точное значение tan(pi/2)
77 Множитель x^3-8
78 Упростить корень пятой степени 1/(x^3)
79 Упростить корень пятой степени 1/(x^3)
80 Найти точное значение sin(135)
81 Преобразовать из градусов в радианы 30
82 Преобразовать из градусов в радианы 60
83 Найти точное значение sin(120)
84 Найти точное значение tan((2pi)/3)
85 Вычислить -2^2
86 Найти точное значение tan(15)
87 Найти точное значение tan((7pi)/6)
88 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 3)/2)
89 Найти точное значение sin(pi/2)
90 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
91 Упростить кубический корень 8x^7y^9z^3
92 Упростить arccos(( квадратный корень 3)/2)
93 Упростить i^2
94 Вычислить кубический корень 24 кубический корень 18
95 Упростить квадратный корень 4x^2
96 Найти точное значение sin((3pi)/4)
97 Найти точное значение tan((7pi)/6)
98 Найти точное значение tan((3pi)/4)
99 Найти точное значение arccos(-1/2)
100 Упростить корень четвертой степени x^4

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение cos((5pi)/12)
3 Найти точное значение arctan(-1)
4 Найти точное значение sin(75)
5 Найти точное значение arcsin(-1)
6 Найти точное значение sin(60 град. )
7 Найти точное значение sin(pi/3)
8 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
9 Найти точное значение cos(pi/3)
10 Найти точное значение sin(0)
11 Найти точное значение cos(pi/12)
12 Найти точное значение sin(30 град. )
13 Найти точное значение cos(60 град. )
14 Найти точное значение cos(30 град. )
15 Найти точное значение sin((2pi)/3)
16 Найти точное значение arcsin(1)
17 Найти точное значение sin(pi/2)
18 График f(x)=x^2
19 Найти точное значение sin(45 град. )
20 Найти точное значение sin(15)
21 Упростить квадратный корень x^2
22 Найти точное значение arccos(-1)
23 Найти точное значение tan(60 град. )
24 Найти точное значение cos(45 град. )
25 Вычислить логарифм по основанию 2 от 8
26 Упростить квадратный корень x^3
27 Найти точное значение arcsin(-1/2)
28 Найти точное значение cos(45)
29 Найти точное значение tan(30 град. )
30 Найти точное значение tan(30)
31 Найти точное значение arcsin(1)
32 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
33 Найти точное значение sin(45)
34 Найти точное значение cos(0)
35 Найти точное значение tan(45 град. )
36 Найти точное значение arctan(0)
37 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
38 График y=x^2
39 Вычислить натуральный логарифм 1
40 Вычислить логарифм по основанию 3 от 81
41 Найти точное значение cos(15)
42 Вычислить логарифм по основанию 5 от 125
43 Упростить кубический корень из квадратного корня 64x^6
44 Вычислить логарифм по основанию 3 от 81
45 Вычислить логарифм по основанию 2 от 8
46 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
47 Найти точное значение cos(75)
48 Найти точное значение sin((3pi)/4)
49 Упростить (1/( квадратный корень x+h)-1/( квадратный корень x))/h
50 Упростить кубический корень x^3
51 Найти точное значение sin((5pi)/12)
52 Найти точное значение arcsin(-1/2)
53 Найти точное значение sin(30)
54 Найти точное значение sin(105)
55 Найти точное значение tan((3pi)/4)
56 Упростить квадратный корень s квадратный корень s^7
57 Упростить корень четвертой степени x^4y^2z^2
58 Найти точное значение sin(60)
59 Найти точное значение arccos(-( квадратный корень 2)/2)
60 Найти точное значение tan(0)
61 Найти точное значение sin((3pi)/2)
62 Вычислить логарифм по основанию 4 от 64
63 Упростить корень шестой степени 64a^6b^7
64 Вычислить квадратный корень 2
65 Найти точное значение arccos(1)
66 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 3)/2)
67 График f(x)=2^x
68 Найти точное значение sin((3pi)/4)
69 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
70 Вычислить логарифм по основанию 5 от 25
71 Найти точное значение tan(pi/2)
72 Найти точное значение cos((7pi)/12)
73 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
74 Найти точное значение sin((5pi)/6)
75 Преобразовать из градусов в радианы 150
76 Найти точное значение tan(pi/2)
77 Множитель x^3-8
78 Упростить корень пятой степени 1/(x^3)
79 Упростить корень пятой степени 1/(x^3)
80 Найти точное значение sin(135)
81 Преобразовать из градусов в радианы 30
82 Преобразовать из градусов в радианы 60
83 Найти точное значение sin(120)
84 Найти точное значение tan((2pi)/3)
85 Вычислить -2^2
86 Найти точное значение tan(15)
87 Найти точное значение tan((7pi)/6)
88 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 3)/2)
89 Найти точное значение sin(pi/2)
90 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
91 Упростить кубический корень 8x^7y^9z^3
92 Упростить arccos(( квадратный корень 3)/2)
93 Упростить i^2
94 Вычислить кубический корень 24 кубический корень 18
95 Упростить квадратный корень 4x^2
96 Найти точное значение sin((3pi)/4)
97 Найти точное значение tan((7pi)/6)
98 Найти точное значение tan((3pi)/4)
99 Найти точное значение arccos(-1/2)
100 Упростить корень четвертой степени x^4

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение cos((5pi)/12)
3 Найти точное значение arctan(-1)
4 Найти точное значение sin(75)
5 Найти точное значение arcsin(-1)
6 Найти точное значение sin(60 град. )
7 Найти точное значение sin(pi/3)
8 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
9 Найти точное значение cos(pi/3)
10 Найти точное значение sin(0)
11 Найти точное значение cos(pi/12)
12 Найти точное значение sin(30 град. )
13 Найти точное значение cos(60 град. )
14 Найти точное значение cos(30 град. )
15 Найти точное значение sin((2pi)/3)
16 Найти точное значение arcsin(1)
17 Найти точное значение sin(pi/2)
18 График f(x)=x^2
19 Найти точное значение sin(45 град. )
20 Найти точное значение sin(15)
21 Упростить квадратный корень x^2
22 Найти точное значение arccos(-1)
23 Найти точное значение tan(60 град. )
24 Найти точное значение cos(45 град. )
25 Вычислить логарифм по основанию 2 от 8
26 Упростить квадратный корень x^3
27 Найти точное значение arcsin(-1/2)
28 Найти точное значение cos(45)
29 Найти точное значение tan(30 град. )
30 Найти точное значение tan(30)
31 Найти точное значение arcsin(1)
32 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
33 Найти точное значение sin(45)
34 Найти точное значение cos(0)
35 Найти точное значение tan(45 град. )
36 Найти точное значение arctan(0)
37 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
38 График y=x^2
39 Вычислить натуральный логарифм 1
40 Вычислить логарифм по основанию 3 от 81
41 Найти точное значение cos(15)
42 Вычислить логарифм по основанию 5 от 125
43 Упростить кубический корень из квадратного корня 64x^6
44 Вычислить логарифм по основанию 3 от 81
45 Вычислить логарифм по основанию 2 от 8
46 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
47 Найти точное значение cos(75)
48 Найти точное значение sin((3pi)/4)
49 Упростить (1/( квадратный корень x+h)-1/( квадратный корень x))/h
50 Упростить кубический корень x^3
51 Найти точное значение sin((5pi)/12)
52 Найти точное значение arcsin(-1/2)
53 Найти точное значение sin(30)
54 Найти точное значение sin(105)
55 Найти точное значение tan((3pi)/4)
56 Упростить квадратный корень s квадратный корень s^7
57 Упростить корень четвертой степени x^4y^2z^2
58 Найти точное значение sin(60)
59 Найти точное значение arccos(-( квадратный корень 2)/2)
60 Найти точное значение tan(0)
61 Найти точное значение sin((3pi)/2)
62 Вычислить логарифм по основанию 4 от 64
63 Упростить корень шестой степени 64a^6b^7
64 Вычислить квадратный корень 2
65 Найти точное значение arccos(1)
66 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 3)/2)
67 График f(x)=2^x
68 Найти точное значение sin((3pi)/4)
69 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
70 Вычислить логарифм по основанию 5 от 25
71 Найти точное значение tan(pi/2)
72 Найти точное значение cos((7pi)/12)
73 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
74 Найти точное значение sin((5pi)/6)
75 Преобразовать из градусов в радианы 150
76 Найти точное значение tan(pi/2)
77 Множитель x^3-8
78 Упростить корень пятой степени 1/(x^3)
79 Упростить корень пятой степени 1/(x^3)
80 Найти точное значение sin(135)
81 Преобразовать из градусов в радианы 30
82 Преобразовать из градусов в радианы 60
83 Найти точное значение sin(120)
84 Найти точное значение tan((2pi)/3)
85 Вычислить -2^2
86 Найти точное значение tan(15)
87 Найти точное значение tan((7pi)/6)
88 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 3)/2)
89 Найти точное значение sin(pi/2)
90 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
91 Упростить кубический корень 8x^7y^9z^3
92 Упростить arccos(( квадратный корень 3)/2)
93 Упростить i^2
94 Вычислить кубический корень 24 кубический корень 18
95 Упростить квадратный корень 4x^2
96 Найти точное значение sin((3pi)/4)
97 Найти точное значение tan((7pi)/6)
98 Найти точное значение tan((3pi)/4)
99 Найти точное значение arccos(-1/2)
100 Упростить корень четвертой степени x^4

www.mathway.com

2 log по основанию 4

Вы искали 2 log по основанию 4? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 логарифм 3 по основанию 2, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «2 log по основанию 4».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 2 log по основанию 4,2 логарифм 3 по основанию 2,log 1 3 по основанию 3,log 2 3 по основанию 2,log 4 5,log 5,log 5 4,log 5 по основанию 3 корень из 5,log по основанию 2 log по основанию 3 1,log по основанию 2 числа 4,log по основанию 4 числа 2,log числа 2 по основанию 4,log числа 4 по основанию 2,log2 по основанию 3,вычисление логарифма,вычислить log,вычислить логарифм,вычислить логарифмы,как посчитать логарифм,как рассчитать логарифм,лог 2 по основанию 10,лог 2 по основанию 3,лог 3 по основанию 2,лог 3 по основанию 3,логарифм 1 2 по основанию 2,логарифм 10 по основанию 2,логарифм 2,логарифм 2 по основанию 0,логарифм 2 по основанию 10,логарифм 2 по основанию 4,логарифм 2 по основанию 7,логарифм 2 по основанию 9,логарифм 3 по основанию 2,логарифм 3 по основанию 9,логарифм 4 по основанию 4 равен,логарифм 5 по основанию 7,логарифм 7 по основанию 2,логарифм вычислить,логарифм по основанию 2 6,логарифмы вычислить,найти логарифм,онлайн логарифм по основанию 2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 log по основанию 4. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, log 1 3 по основанию 3).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 log по основанию 4 Онлайн?

Решить задачу 2 log по основанию 4 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

www.pocketteacher.ru

Сходимость и расходимость интегралов – ?

Несобственные интегралы

Сегодня я подготовил для вас подробную статью о несобственных интегралах

Определенные интегралы , для которых отрезок [a; b] конечен, а функция f(x) – непрерывна на этом отрезке, называют собственными.

С целью обобщения понятия интеграла рассмотрим:

1) определенные интегралы от непрерывных функций, но с бесконечными пределами интегрирования;
2) определенные интегралы с конечными пределами интегрирования, но от функций, имеющих бесконечный разрыв на промежутке интегрирования. Такие определенные интегралы называют несобственными.

1. Интегралы с бесконечными пределами.

Пусть функция  f(x) определена на промежутке [a; +∞) и пусть f(x) интегрирована на любом отрезке [a; b]  (b> a– произвольные действительные числа).

Определение 1.1. Предел  интеграла при b→+∞  называется несобственными интегралом функции f(x) от а до +∞ и обозначается символом

 

Если предел (1.1) есть конечное число, то несобственный интеграл   называют сходящимся. Если предел (1.1) не существует или равен бесконечности, то несобственный  интеграл называют расходящимся.

Пример 1.1. Исследовать на сходимость интеграл

Решение. Вычислим определенный интеграл

Имеем

Следовательно, заданный интеграл сходится и он равен

Из рассмотренного следует, что вопрос о сходимости (расходимости) несобственных интегралов решается с помощью первоначальной функции для подынтегральной функции. Это обстоятельство сильно сужает круг практического использования понятия несобственного интеграла. В отдельных случаях вопрос о сходимости (расхождении) несобственного интеграла можно решить, не находя первообразной для подынтегральной функции. При этом пользуются так называемыми признаками сходимости несобственных интегралов. Простейшим признаком сходимости является признак сравнения.

Теорема 1.1. Пусть для всех x ≥ a функции f(x) и g(x) определены и выполняются неравенства 0 ≤ f(x) g(x). Тогда:

Для функции f(x), непрерывной на бесконечном промежутке -∞ < x ≤ b, определяется несобственный интеграл 

Для функции f(x), непрерывной на всей числовой оси, несобственный интеграл  определяется равенством:

где с – произвольное действительное число. 

2. Интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция f(x) такая, что для произвольного малого ɛ>0  она определена, ограничена и интегрирована на отрезке [a+ɛ; b] и неограниченна на (a; b].

Определение 1.2. Предел определенного интеграла  при ɛ→0  называется несобственным интегралом функции f(x) на отрезке [a; b]  и обозначается символом

Аналогично для функции f(x), определенной, непрерывной и интегрированной на отрезке [a; b- ɛ] и неограниченной на [a; b) обозначается несобственный интеграл:

Если пределы (1.4), (1.5) есть конечные числа, то несобственные интегралы называются сходящимися, а если эти пределы не существуют, то несобственные интегралы называются расходящимися.

В конце отметим, что для функции f(x), которая имеет на промежутке (a; b) точку с, в окрестности которой f(x) неограниченная, но является ограниченной и интегрированной на каждом из отрезков [a; c- ɛ] и [ñ + ɛ; b], интеграл определяется равенством.

Аналогично обозначается несобственный интеграл на отрезке [a; b] от функции, которая непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, и неограниченной вблизи этих точек.

Пример 1.2.Исследовать сходимость интегралов. Для сходящихся интегралов найти их значение:

Решение.

а) функция  
 
ограничена и непрерывна, а потому и интегрируемая. Предельное значение

 

существует; таким образом,


ограничена и непрерывна, но

 расходится.

Пример 1.3Исследовать сходимость интегралов. Для сходящихся интегралов найти их значение

Решение.

если α > 0, интеграл сходится; если α ≤ 0, то интеграл расходится;

 

если α > 1; если 0 < α ≤ 1, интеграл расходится как и при α = 1:

так и при 0 < α < 1:

Пример 1.4. Найти несобственный интеграл

Решение. Функция  непрерывна при 0 ≤ x < 2 и имеет бесконечный разрыв в точке x=2, поэтому имеем

Поэтому данный интеграл сходится и равен 2√2.

Пример 1.5. Исследовать сходимость интегралы. Для сходящихся интегралов найти их значение:

Решение.

то есть, несобственный интеграл  расходится

то есть, несобственный интеграл I2 сходится и равен .

Пример 1.5. Исследовать на сходимость интегралы:

Решение.

Если у Вас есть ко мне вопросы, или нужна помощь, консультация по решению несобственных интегралов, записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь. 

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Сходимость интегралов, формулы и примеры

Теорема (Признак сравнения). Пусть на промежутке функции и непрерывны, а в правом конце указанного промежутка, то есть в точке , терпят разрыв второго рода. Пусть для указанных функций справедливо следующее неравенство: . Тогда из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

ru.solverbook.com

3.3 Признаки сходимости несобственных интегралов

Рассмотрим достаточные признаки сходимости несобственных интегралов (признаки сравнения), позволяющие выяснить вопрос о сходимости несобственного интеграла без знания первообразной его подынтегральной функции.

Признак сравнения 1 (без доказательства). Пусть на промежутке функцииинепрерывны и удовлетворяют неравенствам. Тогда:

1) если интеграл сходится, то сходится и интеграл;

2) если интеграл расходится, то расходится и интеграл.

Признак сравнения 2 (без доказательства). Пусть на промежутке функцииинепрерывны и удовлетворяют неравенствам. Тогда, если существует конечный и отличный от нуля предел

,

то несобственные интегралы иоба сходятся или оба расходятся.

Замечание 1. Аналогичные признаки сравнения справедливы и для других видов несобственного интеграла первого рода, а также для несобственных интегралов второго рода.

Замечание 2. При применении признаков сравнения требуется знать несобственные интегралы, относительно которых заранее известно, сходятся они или расходятся. В качестве таких «эталонных» интегралов на практике часто используются следующие несобственные интегралы:

1) несобственный интеграл первого рода

,

который сходится при и расходится при;

2) несобственный интеграл второго рода

,

который сходится при и расходится при.

Пример. Исследуем на сходимость несобственный интеграл первого рода

.

Так как на промежутке

,

а интеграл сходится, то по признаку сравнения 1 исходный интеграл также сходится.

3.4 Абсолютная и условная сходимости

Определение. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл от абсолютной величины подынтегральной функции.

Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а несобственный интеграл от абсолютной величины подынтегральной функции расходится.

Теорема 3.1 (без доказательства). Абсолютно сходящийся интеграл сходится.

Используя понятие абсолютной сходимости и данную теорему, можно исследовать сходимость несобственных интегралов от знакопеременных функций, применяя признаки сравнения.

Пример. Исследуем на сходимость несобственный интеграл первого рода

от знакопеременной функции

.

Так как на промежутке

,

и интеграл сходится, то по признаку сравнения 1 исходный интеграл также сходится (абсолютно).

4 Обыкновенные дифференциальные уравнения

4.1 Общие понятия

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции.

Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Если же неизвестная функция зависит от двух или большего числа независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

Определение. Порядком n дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной или наивысшего дифференциала, входящих в уравнение.

В данном разделе будем изучать только обыкновенные дифференциальные уравнения, как правило, относительно неизвестной функции аргументаx.

Примеры

, , уравнение 1-го порядка;

,, уравнение 3-го порядка;

,, уравнение 6-го порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция , которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в верное равенство (тождество).

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения, а действие интегрирования функций называется квадратурой.

При этом под квадратурой всегда будем понимать какую-либоодну первообразную.

Однако не всегда решение дифференциального уравнения может быть получено в виде явно заданной функции .

Пример

;

;

.

Обозначим

.

Определение. Уравнение ,которое определяет решение дифференциального уравнения как неявную функциюx, называется интегралом рассматриваемого дифференциального уравнения.

studfiles.net

Определение определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Приложения определенного интеграла, страница 7

7.  Несобственные интегралы

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т.е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования  (несобственный интеграл I рода), или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный  разрыв (несобственный интеграл II рода).

Рассмотрим, как вычисляются несобственные интегралы I рода. Здесь возможны три варианта:

1) Пусть функция  непрерывна на промежутке , тогда

       у

                       

        0          а                                          х

                    Рисунок 19

.

Если этот предел существует, то говорят, что интеграл сходится; если же  предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

2) Если функция   непрерывна на промежутке , тогда

                                                          у

                      

                                               в      0     х

                       Рисунок 20

.

Сходимость и расходимость такого интеграла определяется аналогично.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется формулой

                          ,

где с – произвольное число.

                у

                  

                                             

                     0         с                           х

                       Рисунок 21

Интеграл, стоящий в левой части равенства, сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла, стоящие в правой части равенства.

 Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость :

1.  данный интеграл сходится.

2.  т. к. при    не существует,   данный интеграл расходится.

следовательно, данный интеграл сходится.

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл, достаточно лишь знать, сходится он или нет.

Сформулируем признак сходимости:

Интеграл  :  1) сходится, если     и  ;

2)  расходится, если    и   , где  М,  m  — постоянные.

Пример.  Установить, сходится или расходится интеграл  , используя признак сходимости.

Решение. Так как , то   , т.е. подынтегральная функция удовлетворяет условию (1) при  ,   данный интеграл сходится.

Теперь рассмотрим, как вычисляются несобственные интегралы II рода.

Если функция   терпит бесконечный разрыв в точках  ,  или  , или  , то интеграл  называется несобственным интегралом II рода.

Таким образом, при вычислении таких интегралов также возможны три варианта:

Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, несобственный интеграл II рода расходится. В противном случае – сходится.

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1.

    ,

следовательно, данный интеграл сходится.

2.

   

   

так как этот предел не существует, следовательно, данный интеграл расходится.

3.

   

следовательно, данный интеграл расходится .

Задания для самостоятельной работы

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

                                                                                               Ответы:

1. 

.

2. 

1.

3.  .

Расходится.

4.  .

6.

5.  .

1.

6.  .

.

vunivere.ru

2. Несобственные интегралы

Несобственный интеграл

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

может существовать (т.е. иметь определенное конечное значение) лишь при выполнении условий

  1. отрезок интегрирования [a; b] конечный;

  2. подынтегральная функция непрерывная (или хотя бы кусочно-непрерывная) и, следовательно, ограниченная на этом отрезке.

Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то определение теряет смысл. Действительно, в случае бесконечного отрезка, например [a; ) его нельзя разбить на п частей конечной длины , которая к тому же с увеличением количества отрезков стремилась бы к нулю. В случае же неограниченной в некоторой точкес[a; b] нарушается требование произвольного выбора точки на частичных отрезках – нельзя выбрать=с, поскольку значение функции в этой точке не определено. Однако и для этих случаев можно обобщить понятие определенного интеграла, введя еще один предельный переход. Интегралы по бесконечным промежуткам и от разрывных (неограниченных) функций называют несобственными.

Определение.

Пусть функция определена на промежутке [a; ) и интегрируема на любом конечном отрезке [a; b], т.е. существует для любого b > a. Предел вида называютнесобственным интегралом первого рода (или несобственным интегралом по бесконечному промежутку) и обозначают .

Таким образом, по определению, =.

Если предел справа существует и конечен, то несобственный интеграл называютсходящимся. Если этот предел бесконечен, или не существует вообще, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично можно ввести понятие несобственного интеграла от функции по промежутку (–; b]:

=.

А несобственный интеграл от функции по промежутку (–; +) определяется как сумма введенных выше интегралов:

=+,

где а – произвольная точка. Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно из слагаемых.

С геометрической точки зрения, интеграл,, определяет численное значение площади бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции, слева – прямой, снизу – осью ОХ. Сходимость интеграла означает существование конечной площади такой трапеции и равенство ее пределу площади криволинейной трапеции с подвижной правой стенкой.

На случай интеграла с бесконечным пределом можно обобщить и формулу Ньютона-Лейбница:

= =F(+) – F(a),

где F(+) = . Если этот предел существует, то интеграл сходится, в противном случае – расходится.

Мы рассмотрели обобщение понятия определенного интеграла на случай бесконечного промежутка.

Рассмотрим теперь обобщение для случая неограниченной функции.

Определение

Пусть функция определена на промежутке [a; b), неограниченна в некоторой окрестности точки b, и непрерывна на любом отрезке , где>0 (и, следовательно, интегрируема на этом отрезке, т.е. существует). Предел виданазываетсянесобственным интегралом второго рода (или несобственным интегралом от неограниченной функции) и обозначается .

Таким образом, несобственный интеграл от неограниченной в точке b функции есть по определению

=.

Если предел справа существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если конечного предела не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Аналогично можно определить несобственный интеграл от функции имеющей бесконечный разрыв в точкеа:

=.

Если функция имеет бесконечный разрыв во внутренней точкес, то несобственный интеграл определяется следующим образом

=+ = +.

Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно слагаемое.

С геометрической точки зрения, несобственный интеграл от неограниченной функции также характеризует площадь неограниченной криволинейной трапеции:

Поскольку несобственный интеграл выводится путем предельного перехода из определенного интеграла, то все свойства определенного интеграла могут быть перенесены (с соответствующими уточнениями) на несобственные интеграла первого и второго рода.

Во многих задачах, приводящих к несобственным интегралам, не обязательно знать, чему равен этот интеграл, достаточно лишь убедиться в его сходимости или расходимости. Для этого используют признаки сходимости. Признаки сходимости несобственных интегралов:

1) Признак сравнения.

Пусть для всех х. Тогда, еслисходится, то сходится и, причем. Еслирасходится, то расходится и.

2) Если сходится , то сходится и(последний интеграл в этом случае называетсяабсолютно сходящимся).

Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны сформулированным выше.

Примеры решения задач.

Пример 1.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

а) ; б); в)

г) ; д).

Решение.

а) По определению имеем:

,

Следовательно, данный интеграл сходится и равен .

б) Аналогично

.

Следовательно, данный интеграл сходится и равен .

в) По определению =+, причем,а – произвольное число. Положим в нашем случае , тогда получим:

.

Данный интеграл сходится.

г)

Значит, данный интеграл расходится.

д) Рассмотрим. Чтобы найти первообразную подынтегральной функции, необходимо применить метод интегрирования по частям. Тогда получим:

Поскольку ни , нине существуют, то не существует и

.

Следовательно, данный интеграл расходится.

Пример 2.

Исследовать сходимость интеграла в зависимости от п.

Решение.

При имеем:

.

Если , тои. Следовательно, интеграл расходится.

Если , то, а, тогда

,

=,

Следовательно, интеграл сходится.

Если , то

,

следовательно, интеграл расходится.

Таким образом,

Пример 3.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

а) ; б); в) .

Решение.

а) Интегралявляется несобственным интегралом второго рода, поскольку подынтегральная функцияне ограничена в точке. Тогда, по определению,

.

Интеграл сходится и равен .

б) Рассмотрим. Здесь также подынтегральная функция не ограничена в точке. Поэтому, данный интеграл – несобственный второго рода и по определению,

.

Следовательно, интеграл расходится.

в) Рассмотрим. Подынтегральная функциятерпит бесконечный разрыв в двух точках:и, первая из которых принадлежит промежутку интегрирования. Следовательно, данный интеграл – несобственный второго рода. Тогда, по определению

==

.

Следовательно, интеграл сходится и равен .

studfiles.net

Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость

Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость

Пример 1 Исследовать на сходимость . Вычислим интеграл по определению: .

Таким образом, данный интеграл сходится при a>1 и расходится при a£1.

Пример 2 Исследовать на сходимость . Вычислим интеграл по определению: .

Таким образом, данный интеграл сходится при a<1 и расходится при a³1.

Пример 3 Исследовать на сходимость .

Подынтегральная функция может быть бесконечно большой ( если m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два

.

Сходимость первого интеграла I1 исследуем с помощью эквивалентной функции: ( т. к. n>0), а интеграл сходится при m>-1 (пример 2). Аналогично, для интеграла I2 :

, а интеграл сходится при m+n<-1 (пример2). Следовательно, исходный интеграл сходится при выполнении одновременно двух условий m>-1 и m+n<-1, и будет расходится при нарушении хотя бы одного из них.

Пример 4 Исследовать на сходимость .

Подынтегральная функция может быть бесконечно большой ( если m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два:

.

Так как arctgx »x при x®0, то интеграл I1 эквивалентен интегралу , который сходится при m+1>-1 т. е. при m>-2 (пример1).

Для подынтегральная функции в несобственном интеграле первого рода I2 подберем эквивалентную:

т. к. arctgx » p/2 при x® ¥. Следовательно, по второму признаку сравнения интеграл I2 будет сходится при m+n<-1, и расходится в противном случае.

Объединяя условия сходимости интегралов I1 и I2 получим условия сходимости исходного интеграла: m>-2 и m+n<-1 одновременно.

Замечание. В примерах 2-4 использовался 2 признак сравнения, который обеспечивает необходимые и достаточные условия сходимости, что позволяет, установив сходимость при некотором условии на значения параметров, не доказывать расходимость интеграла при нарушении полученных условий сходимости.

Пример 5 Исследовать на сходимость .

Данный интеграл содержит особую точку 0, в которой подынтегральная функция может обращается в бесконечность при p<0, поэтому снова разобьем исходный интеграл на два:

.

Интеграл I1 является несобственным интегралом второго рода, и подынтегральная функция эквивалентна при x®0 функции xp (e-x ®1 при x®0), т. е. I1 сходится при p>-1 (пример 1).

Интеграл I2 является несобственным интегралом первого рода. Подобрать функцию, эквивалентную подынтегральной функции, такую, чтобы она не содержала показательной функции, не удается. Поэтому использовать признак сравнения 2, как в предыдущих примерах, нельзя. Применим первый признак сравнения, для чего используем следующий известный факт:

При a>0 и любом p. Из этого, и того, что функция xpe-ax непрерывна, следует, что эта функция ограничена, т. е. существует такая константа M>0, что xpe-ax < M. Возьмем, например, a=1/2, и оценим интеграл I2 сверху:

,

Т. е. интеграл I2 сходится при любом p.

Таким образом, исходный интеграл сходится при p>-1.

Пример 6 Исследовать на сходимость .

Проведем замену переменной: t = lnx, и получим

.

Разбиение интеграла на два произведено аналогично примеру 5. Интеграл I1 полностью эквивалентен интегралу I1 из примера 5 и, следовательно, сходится при q<1.

Рассмотрим интеграл I2 . При условии 1-p<0 этот интеграл полностью эквивалентен интегралу I2 в примере 5 (доказательство сходимости аналогично, а условие 1-p<0 нужно для выполнения и a=(1-p)/2. ).

Итак, I2 сходится при p>1. Однако, на этом исследование сходимости этого интеграла не закончено, так как использованный признак сходимости дает только достаточные условия сходимости. Поэтому нужно исследование сходимости при 1-p£0.

Рассмотрим случай p=1. Тогда интеграл I2 эквивалентен , который сходится при q>1 (заметим, что в этом случае интеграл I1 расходится) и расходится в противном случае.

При p<1 оценим интеграл I2 и покажем его расходимость. Для этого вспомним, что При 1-p>0, и, следовательно, начиная с некоторого А>1 выполнено TQE(1-P)T ³ M=const>0. Тогда для интеграла I2 справедлива оценка

,

Где интеграл в правой части расходится, что и доказывает расходимость интеграла I2 .

Суммируя полученные результаты, получаем что исходный интеграл сходится при q<1 и p>1, в противном случае интеграл расходится.

Пример 6 Исследовать на абсолютную и условную сходимость .

Разобьем исходный интеграл на два:

.

Сходимость. Интеграл I1 эквивалентен , т. е. сходится при p<2 (пример 1) , причем абсолютно, так как подынтегральная функция положительна на отрезке интегрирования.

Интеграл I2 сходится про признаку Дирихле-Абеля при p>0 т. к. первообразная sin(x) ограничена, а функция 1/xp монотонно стремится к нулю при x стремящемся к бесконечности.

Покажем, что при p£0 интеграл расходится. Воспользуемся для этого критерием Коши, а точнее его отрицанием

.

Возьмем в качестве R1и R2 следующие величины: R1=2pk и R2=2pk+p/2, тогда

, при p>0.

Таким образом, интеграл сходится при 0<p<1.

Абсолютная сходимость Абсолютная сходимость интеграла I1 уже установлена, рассмотрим абсолютную сходимость I2 . Оценим интеграл сверху:

, т. е. интеграл сходится при p>1.

Для доказательства расходимости при p£1 оценим интеграл снизу

.

Разобьем последний интеграл от разности функций на разность интегралов

.

Если оба интеграла сходятся, то и интеграл от разности сходится, если один из интегралов расходится, а другой сходится — то интеграл от разности расходится. В случае расходимости обоих интегралов сходимость интеграла от разности подлежит дальнейшему исследованию. Нас интересует второй из описанных случаев.

расходится (пример 1) при p<1. сходится по признаку Дирихле-Абеля при 1>p>0 (см. Сходимость), следовательно интеграл оценивается снизу расходящимся интегралом, т. е. расходится.

Случай p³1 нас не интересует, т. к. при этих значениях параметра интеграл расходится.

Таким образом, исходный интеграл сходится абсолютно при 0<p<1, сходится условно при 1£p<2.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

§1. Несобственные интегралы 1-го рода

– 68–

Тема НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В теме «Определенный интеграл» было рассмотрено понятие определенного интеграла для случая конечного промежуткаи ограниченной функции(см. теорему 1 из §3). Теперь займемся обобщением этого понятия для случаев бесконечного промежутка и неограниченной функции. Необходимость такого обобщения показывают, например, такие ситуации.

1. Если, используя формулу для длины дуги, попытаться вычислить длину четверти окружности ,, то придем к интегралу от неограниченной функции:

, где .

2. Пусть тело массой движется по инерции в среде с силой сопротивления , где— скорость тела. Используя второй закон Ньютона (, гдеускорение), получим уравнение:, где. Нетрудно показать, что решением этого (дифференциального!) уравнения является функцияЕсли нам потребуется вычислить путь, пройденный телом до полной остановки, т.е. до момента, когда , то придем к интегралу по бесконечному промежутку:

I Определение

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке. Тогда для любогоона интегрируема на промежутке, то есть существует интеграл.

Определение 1. Конечный или бесконечный предел этого интеграла при называют несобственным интегралом 1-го рода от функциипо промежуткуи обозначают символом. При этом, если указанный предел конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае (или не существует ) – расходящимся.

Итак, по определению

(1)

Примеры

1..

2..

3.– не существует.

Несобственный интеграл из примера 1 сходится, в примерах 2 и 3 интегралы расходятся.

II Формула Ньютона – Лейбница для несобственного интеграла первого рода

Пусть — некоторая первообразная для функции(сущест-вует на, т.к.— непрерывна). Тогда

Отсюда ясно, что сходимость несобственного интеграла (1) равносильна существованию конечного предела. Если этот предел обозначить, то можно написать для интеграла (1) формулу Ньютона-Лейбница:

, где .

Примеры.

4. .

5. .

6. Более сложный пример: . Сначала найдем первообразную:

Теперь можем найти интеграл , учитывая, что:

.

III Свойства

Приведем ряд свойств несобственного интеграла (1), которые вытекают из общих свойств пределов и определенного интеграла:

  1. интегралы исходятся или расходятся одновременно;

  2. если , то интегралыисходятся или рас-ходятся одновременно;

  3. если интеграл сходится, то.

IV Другие определения

Определение 2. Если непрерывна на , то

.

Определение 3. Если непрерывна на, то принимают по определению

(– произвольное),

причем несобственный интеграл в левой части сходится, если только оба ин-теграла в правой части сходятся.

Для этих интегралов, как и для интеграла (1) можно написать соответствующие формулы Ньютона – Лейбница.

Пример 7.

§2. Признаки сходимости несобственного интеграла 1-го рода

Чаще всего несобственный интеграл вычислить по определению не-возможно, поэтому используют приближенное равенство

(для больших ).

Однако, это соотношение имеет смысл лишь для сходящихся интегралов. Необходимо иметь методы выяснения поведения интеграла минуя определение.

I Интегралы от положительных функций

Пусть на . Тогда определенный интеграл как функция верхнего предела есть функция возрастаю-щая (это следует из общих свойств определенного интеграла).

Теорема 1. Несобственный интеграл 1го рода от неотрицательной функ-ции сходится тогда и только тогда, когда функция остается ограниченной при увеличении.

Эта теорема – следствие общих свойств монотонных функций. Практического смысла теорема почти не имеет, но позволяет получить т.н. признаки сходимости.

Теорема 2 (1-й признак сравнения). Пусть функции инепре-рывны наи удовлетворяют неравенству. Тогда:

1) если интеграл сходится, то исходится;

2) если интеграл расходится, то ирасходится.

Доказательство. Обозначим: и. Так как, то. Пусть интегралсходится, тогда (в силу теоремы 1) функция‒ ограничена. Но тогда иограничена, а значит, интегралтоже сходится. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы.

Этот признак не применим в случае расходимости интеграла от или сходимости интеграла от. Этот недостаток отсутствует у 2-го признака сравнения.

Теорема 3 (2-й признак сравнения). Пусть функции инепрерывны и неотрицательны на. Тогда, еслипри, то несобственные интегралыисходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Из условия теоремы получим такую цепочку равно-сильных утверждений:

, ,

.

Пусть, например, . Тогда:

.

Применим теорему 2 и свойство 1) из §1 и получим утверждение теоремы 3.

В качестве эталонной функции, с которой сравнивают данную, высту-пает степенная функция ,. Предлагаем студентам самим доказать, что интеграл

сходится при и расходится при.

Примеры. 1. .

Рассмотрим подынтегральную функцию на промежутке :

, .

Интеграл сходится, ибо. По 2-му признаку сравнения сходится и интеграл, а в силу свойства 2) из §1 сходится и исход-ный интеграл.

2..

Так как , тоcуществует такое, что при. Для таких значений переменной:

.

Известно, что логарифмическая функция растет медленнее степенной, т.е.

,

а значит, начиная с некоторого значения переменной, эта дробь меньше 1. Поэтому

.

Интеграл сходится как эталонный. В силу 1-го признака сравнения сходится и. Применяя 2-й признак, получим, что и интегралсходится. И снова свойство 2) из §1 доказывает сходимость исходного интеграла.

studfiles.net